Mediana, Moda e Média

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Em uma amostra cujas frequências dos elementos não são todas iguais, chama-se moda, e 
se indica por Mo, todo elemento de maior frequência.
 Moda
Nem sempre a média aritmética é o melhor elemento para a representação de uma amos-
tra. Dependendo da situação, é possível que outro elemento seja a melhor escolha ou, até 
mesmo, que não exista média aritmética, como o caso de amostras cujos elementos não são 
números. Por exemplo, suponha que cada um de cinco medicamentos, A, B, C, D e E, indicados 
contra insônia tenha sido testado em vinte pacientes e que os resultados sejam descritos 
na tabela:
 Mediana
Em um escritório de contabilidade, trabalham cinco pessoas com salário médio de R$ 2.460,00, 
isto é, a média aritmética entre os cinco salários é R$ 2.460,00.
Essa informação pode dar a falsa ideia de que os cinco trabalhadores desse escritório têm 
salário próximo de R$ 2.460,00. Para perceber que apenas a média aritmética não é representativa 
dessa amostra, observe os salários dos cinco funcionários apresentados em rol:
R$ 450,00 R$ 500,00 R$ 520,00 R$ 4.550,00 R$ 6.280,00
Na verdade, os altos salários estão concentrados em um extremo do rol. Isso faz a média 
aritmética perder a tendência central e ficar mais próxima desse extremo que do extremo dos 
baixos salários. Por isso, nesse caso, além da média aritmética, convém informar o valor do centro 
do rol (R$ 520,00), que é chamado de mediana da amostra. Note como a amostra fica mais bem 
representada pelas informações:
O salário médio dos cinco funcionários é R$ 2.460,00, e a mediana é R$ 520,00.
Com essas informações, concluímos que metade dos funcionários tem salário menor ou igual 
a R$ 520,00 e que a outra metade tem salário maior ou igual a R$ 520,00. E, como a média arit-
mética é R$ 2.460,00, concluímos também que há uma grande desigualdade de salários entre 
os extremos do rol.
Medicamento Número de resultados positivos
A 12
B 14
C 11
D 12
E 16
Observe que o medicamento E corresponde à maior frequência na amostra de resultados 
positivos. Portanto, se não houver contraindicação médica, a escolha do medicamento E é a 
melhor opção contra insônia. O elemento de maior frequência em uma amostra é chamado de 
moda da amostra.
Exemplos
• Na amostra 2, 6, 4, 6, 4, 6 e 5, temos Mo 5 6.
• Na amostra 1, 4, 3, 7, 2, 7, 8 e 4, temos duas modas (amostra bimodal): Mo 5 4 e Moe 5 7.
• A amostra 1, 8, 3, 5, 0, 2, 7 e 4 não tem moda, pois todos os elementos têm a mesma fre-
quência.
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Para determinar a mediana em uma amostra de números diferentes, a amostra pode ser co-
locada em rol, do número menor para o maior ou do maior para o menor. Nos dois róis, a mediana 
é a mesma.
Podemos definir mediana, genericamente, assim:
Considerando n números, x1, x2, x3, ..., xn, dispostos em rol: 
• sendo n ímpar, chama-se mediana, indicada por Md, o termo central do rol, isto é, o termo 
 xi com i 5 
n 1 1
 ______ 
2
 ;
• sendo n par, chama-se mediana (Md ) a média aritmética entre os termos centrais desse 
 rol, isto é, a média aritmética entre os termos xi e xi 1 1 com i 5 
n
 __ 
2
 .
Exemplos
a) Considere o rol com número ímpar de termos:
Md 5 
19 1 22
 ________ 
2
 5 20,5
 A mediana é a média aritmética entre os termos centrais, 19 e 22, isto é:
b) Considere o rol com número par de termos:
 A mediana é o termo central 14, isto é, Md 5 14.
1, 5, 9, 14, 15, 19, 25
termo
central
termos
centrais
10, 12, 15, 19, 22, 29, 38, 45
4 Dois países, A e B, de 100 milhões de habitantes cada um, têm a mesma renda per capita mensal. 
As tabelas abaixo descrevem a distribuição de renda entre os habitantes desses países.
EXERCÍCIO RESOlvIdO
País A País B
Renda mensal 
por pessoa 
(em real)
Número 
de habitantes
(em milhão)
Renda mensal 
por pessoa 
(em real)
Número 
de habitantes
(em milhão)
400,00 90 1.500,00 60
16.400,00 10 2.750,00 40
 Calcular:
a) a renda per capita	mensal	de	cada	país;
b)	 a	mediana	das	rendas	mensais	dos	habitantes	de	cada	país;
c) a moda das rendas mensais dos habitantes de cada país.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
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c) No país A a renda mais frequente é R$ 400,00, e no país B a renda mais frequente é R$ 1.500,00. 
Assim, as modas das rendas dos países A e B são R$ 400,00 e R$ 1.500,00, respectivamente.
 Note que as rendas per capita, as medianas e as modas permitem a comparação da riqueza dos 
países e da riqueza individual de seus habitantes. Os dois países são igualmente ricos, mas, como 
a mediana no país A é menor que no país B, concluímos que a distribuição de renda em B é mais 
equitativa. Além disso, a moda revela que a maioria das rendas no país B é superior à maioria 
das rendas no país A.
Resolução
a) Indicando por xA e xB as rendas per capita mensais dos países A e B, respectivamente, temos:
xA 5 90.000.000 3 400 1 10.000.000 3 16.400 ____________________________________ 
100.000.000
 5 2.000 e
xB 5 60.000.000 3 1.500 1 40.000.000 3 2.750 _____________________________________ 
100.000.000
 5 2.000
 Note que, apesar de os dois países terem a mesma renda per capita mensal (R$ 2.000,00), no país 
A a riqueza está concentrada em apenas 10% da população, enquanto no país B há uma distri­
buição de renda mais equitativa.
b) Representando em rol os rendimentos mensais dos habitantes, temos:
 País A:
400, 400, 400, ..., 400, 400, ..., 400, 16.400, 16.400, ..., 16.400
termos
centrais
 País B:
1.500, 1.500, 1.500, ..., 1.500, 1.500, ..., 1.500, 2.750, 2.750, ..., 2.750
termos
centrais
 Assim, as medianas das rendas mensais dos habitantes dos países A e B são, res pectivamente, 
R$ 400,00 e R$ 1.500,00.
14 Calcule a média aritmética dos números apresen­
tados em cada item.
a)	 2;	5;	8	e	6
b)	 4,5;	2,8;	3,2;	7,0	e	4,5
EXERCÍCIOS pROpOStOS
15 (UFMA) A média aritmética de um conjunto de 
15 números é 12. Se os números 10, 16, 25 e 30 fo­
rem retirados do conjunto, a média aritmética dos 
números restantes é:
a) 15 d) 7
b) 12 e) 9
c) 8
16 Em cada item, escreva os dados numéricos em rol 
e determine a moda e a mediana.
a) 2, 5, 1, 0, 3, 5, 9, 8, 7, 17 e 5
b) 23, 16, 10, 13, 22, 13, 15, 16, 16 e 15
17 Os 735 elementos de uma amostra de números 
foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, 
ocupa a:
a) 366a posição d) 368a posição
b) 367a posição e) 370a posição
c) 369a posição
18 O preço de um produto sofre apenas um reajuste 
por ano. O gráfico a seguir descreve a evolução desse 
preço, em real, de 2007 a 2010.
P
re
ço
 (
R
$)
1.522
1.386
1.200
1.000
2007 2008 2009 2010 Ano
 Nesse período:
a) Qual foi a média anual de preço desse produto?
b) Qual foi a média anual de aumento, em real, no 
preço desse produto?
c) Qual foi a média anual de aumento percentual 
no preço desse produto?
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