Multiplicação de Frações

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2ª SÉRIE 
ENSINO MÉDIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2024 
MATERIAL FORMATIVO DE 
MATEMÁTICA 
Período: 11/03 a 19/03/2024 
 Professor(a) 
 
 
 
 
 
 
 
Prezado(a) Professor(a), 
 
Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão envolvendo frações, a relação entre elas 
e suas propriedades operatórias implica em compreender e utilizar diferentes estratégias para 
realizar tais operações, bem como identificar as propriedades mais usuais e sua validade ou não 
em se tratando de números fracionários. Os estudantes devem perceber, por exemplo, que assim 
como ocorre com números naturais, a comutatividade vale para a multiplicação de frações, mas 
não para a divisão de frações. 
Entendemos que a representação por meio de figuras e a resolução geométrica são 
fundamentais para promover uma aprendizagem significativa em relação as operações envolvendo 
números fracionários. Por isso, nas atividades que compõem essa sequência, damos ênfase na 
representação de retângulos divididos em partes iguais para trabalhar a multiplicação e a divisão 
envolvendo frações. No esquema a seguir, apresentamos estrutura deste e dos demais materiais 
que lhes serão disponibilizados durante o ano letivo. 
 
No esquema a seguir, apresentam-se os componentes de cada material que lhe será 
disponibilizado: 
 
 
- As atividades que compõem essa sequência foram inicialmente organizadas para serem 
desenvolvidas em quatro aulas, no período de 11 a 19 de março de 2024; 
- Ressaltamos que as atividades aqui propostas, bem como as sugestões e orientações, não 
têm a pretensão de limitar sua atuação. Dessa forma, você tem a liberdade de fazer as 
adaptações necessárias nas atividades em conformidade com o nível de aprendizagem de 
sua turma e também acrescentar outras atividades práticas e teóricas. 
 
Desafios
Habilidades e 
Descritores
Fundamentos 
teóricos
Atividades
Orientações 
metodológicas
 
 
 
 
 
 
 
HABILIDADES DESCRITOR 
 
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam as operações com números racionais. 
(foco na multiplicação e divisão envolvendo 
números racionais na forma fracionária). 
 
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema 
utilizando diferentes algoritmos. 
 
(D25-9ºA) Efetuar cálculos que envolvam 
operações com números racionais (adição, 
subtração, multiplicação, divisão, potenciação). 
(D26-9ºA) Resolver problema com números 
racionais envolvendo as operações (adição, 
subtração, multiplicação, divisão, potenciação). 
RETOMAR AS SEGUINTES HABILIDADES E DESCRITORES. 
 
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar 
frações associadas às ideias de partes de inteiros e 
resultado de divisão, identificando frações 
equivalentes. 
 
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e 
cujo resultado seja um número natural, com e sem 
uso de calculadora. 
 
(EF07MA10) Comparar e ordenar números 
racionais em diferentes contextos e associá-los a 
pontos da reta numérica. 
 
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar 
frações associadas às ideias de parte de inteiros e 
resultado de divisão, identificando frações 
equivalentes. 
 
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que 
envolvam adição ou subtração com números 
racionais positivos na representação fracionária. 
 
(EF07MA08) Comparar e ordenar frações 
associadas às ideias de partes de inteiros resultado 
da divisão, razão e operador. 
 
 
(D21-9ºA) Reconhecer as diferentes 
representações de um número racional. 
 
(D22-9ºA) Identificar fração como representação 
que pode estar associada a diferentes significados. 
 
(D23-9ºA) Identificar frações equivalentes. 
 
(D24-9ºA) Reconhecer as representações decimais 
dos números racionais como uma extensão do 
sistema de numeração decimal, identificando a 
existência de “ordens” como décimos, centésimos e 
milésimos. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Multiplicação de frações 
(Material a ser desenvolvido em duas aulas) 
 
A multiplicação de frações revela-se como uma operação matemática essencial, oferecendo uma 
abordagem cuidadosa na combinação de partes fracionárias. Nesta exploração, buscamos desvendar a 
complexidade desse procedimento, ressaltando sua aplicação prática em cenários diversos. Por meio de 
exemplos lúdicos, apresentamos de forma concisa e ilustrativa como a multiplicação de frações se insere 
de maneira relevante no âmbito matemático. Este texto convida à compreensão aprofundada dessa 
operação fundamental, destacando sua importância em contextos variados. 
 
 
 
 
 
 
 
Professor, nas abordagens convencionais, é comum ensinar a multiplicação de frações seguindo a regra 
usual, sem fornecer justificativas que levem o estudante a compreender verdadeiramente o processo. No 
entanto, para garantir um aprendizado matemático sólido, é fundamental ter uma compreensão do porquê 
de cada etapa da operação. Antes de aplicarmos a regra tradicional (numerador multiplica numerador e 
denominador multiplica denominador), é crucial esclarecer o significado de multiplicar duas frações, visto 
que a ideia de adições repetidas, utilizada na multiplicação de números naturais, não se aplica de maneira 
direta às frações em geral. Nossa proposta é que os estudantes realizem algumas multiplicações utilizando 
figuras, a fim de perceberem padrões que levem à compreensão prática dessa operação. Após atividades 
ilustrativas, incluímos a seção “mão na massa”, na qual desenvolveremos um argumento que permitirá 
formalizar a regra prática da multiplicação de frações. 
 
Este texto de multiplicação contém 13 atividades e a seção “mão na massa”. Recomendamos abordar as 
três primeiras atividades e a seção “mão na massa” na primeira aula. Posteriormente, sugerimos que os 
estudantes tentem resolver o restante das atividades em casa. Na aula seguinte, uma discussão sobre as 
demais atividades possibilitará a conclusão do texto. Incentive os estudantes a elaborarem e testarem 
hipóteses, e, se possível, auxilie-os nesse processo. Desejamos a você e aos seus alunos um excelente 
trabalho! 
 
Atividade 1 
Dona Josefa fez uma torta de frango para dividir com seus queridos vizinhos. Ela pensou em dar 
3
7
 da torta 
para Dona Francisca, a sua vizinha da direita. Porém, quando a torta estava no forno, o cheiro se espalhou 
pela vizinhança e ela teve que refazer a distribuição para contemplar um número maior de vizinhos. Decidiu, 
então, dar a Dona Francisca apenas 
2
5
 da fração que tinha pensado em dar inicialmente. 
 
a) Desenhe um retângulo para representar a torta que Dona Josefa fez e nele represente a fração que ela 
pretendia dar a Dona Francisca, usando barras verticais. 
 
b) Agora, usando barras horizontais, divida o retângulo inteiro do item a) em 5 partes iguais e destaque a 
parte realmente dada a Dona Francisca. 
 
c) De acordo com os itens anteriores, qual foi a fração da torta inteira que Dona Francisca recebeu depois 
de refeita a divisão? 
 
Professor, o objetivo principal desta atividade é que o aluno consiga calcular o produto entre as frações 
2
5
 e 
3
7
 de um inteiro. Antes de aplicarmos as regras formalizadas de multiplicação de frações, vamos tentar 
motivar os alunos a deduzirem os resultados destas operações utilizando ideias concretas. Vejamos: 
 
Fundamentos Teóricos 
 
 
 
 
 
4 
 
a) A solução do item a) é bem intuitiva e já foi vista nas lições anteriores. 
 
 
 
b) Professor, por favor, certifique-se de instruir os estudantes a não apagarem as barras feitas no item a), 
para garantir uma solução clara. Observe que a parte amarela da figura corresponde aos 
3
7
 do bolo. Após a 
construção do item b), perceba que as 3 barras do item a) ficam divididas em 5 partes. Dessas partes, duas, 
que compreendem os 6 quadradinhos vermelhos, serão destinadas à Dona Francisca. Como o retângulo 
inteiro está dividido em 35 quadradinhos, concluímos que os 6 de Dona Francisca equivalema 
6
35
, 
representando os 
2
5
 dos 
3
7
 da torta inteira. 
 
 
 
c) Este item conduz o aluno ao registro algébrico que ele desenvolveu nos itens anteriores. Vejamos: 
 
2
5
 de 
3
7
 = 
2
5
 .
3
7
=
6
35
 
 
Atividade 2 
O Inverso de um número racional: 
 
Ana examinou a figura abaixo e chegou a uma conclusão: 
 
 
 
a) Ela concluiu que três metades de 
2
3
 dão a unidade inteira. Você concorda? 
 
Professor, motive seus alunos a buscarem um entendimento profundo e a alcançarem a conclusão 
significativa proposta nesta atividade. Compreender que o produto de dois números inversos quaisquer 
sempre resulta na unidade completa é um tema muito crucial no estudo dos números racionais de maneira 
geral. 
 
Auxilie os estudantes a perceberem que a metade de 
2
3
 corresponde a 1 quadradinho, e, com isso, as três 
metades juntas representam o inteiro completo. Incentive a reflexão sobre essa relação para fortalecer o 
entendimento do conceito. 
 
 
 
 
5 
 
 
 
b) Como três metades correspondem a 
3
2
, a fala de Ana pode ser escrita como uma multiplicação de duas 
frações. Escreva esta multiplicação. 
A multiplicação em questão é dada por 
3
2
 .
2
3
= 1. 
 
c) Vamos tentar usar novamente o raciocínio de Ana 
I) Desenhe um quadrado para representar a unidade e destaque 
3
4
 dele. 
Professor, aqui não exigimos divisão específica para a unidade, mas vamos transformar o quadrado em uma 
malha quadriculada ao longo dos itens. 
 
 
II) Use a figura do item I) e destaque 
1
3
 dos 
3
4
 que você desenhou. 
Não importa como o aluno fez a divisão da unidade, a resposta é a mesma. Nesta solução, estamos dividindo 
a unidade em 12 retângulos menores iguais, cada um valendo 
1
12
 da unidade. Os três retângulos em 
vermelho representam a solução deste item. 
 
 
III) Observe atentamente os desenhos que você fez e responda: quanto dá 4 vezes 
1
3
 de 
3
4
 (Lembre-se que 
4 vezes 
1
3
 é o mesmo que
4
3
)? 
Professor, o esperado é que o aluno veja que 4 vezes 
1
3
 de 
3
4
 vão resultar nos 12 retângulos que formam a 
unidade. Logo, 4 vezes 
1
3
 de 
3
4
 dão a unidade inteira. 
 
IV) O resultado o item anterior pode ser escrito como uma multiplicação de duas frações. Escreva esta 
multiplicação. 
A multiplicação em questão é dada por 
3
4
 .
4
3
= 1 
 
d) Agora siga os mesmos passos do item acima e tente descobrir o valor de 
8
5
 𝑑𝑒 
5
8
. 
Professor, os itens anteriores devem ser suficientes para conduzir o estudante ao resultado esperado, ou 
seja, à unidade. Vamos propor uma abordagem mais lúdica: 
Nas figuras abaixo, à esquerda, temos 
5
8
 da unidade pintados de amarelo. Já na figura à direita, a parte 
pintada de vermelho, composta por 5 retângulos, corresponde a 
1
5
 de 
5
8
. Assim, podemos concluir que 
8
5
 de 
5
8
 
 
 
 
 
6 
 
são 8 vezes 
1
5
 de 
5
8
, resultando em 8 . 5 = 40 retângulos. Estes 40 retângulos totalizam a unidade. Logo, 
8
5
 .
5
8
= 1 
 
 
 
 
e) O que você notou nas multiplicações que fizemos nesta atividade? 
Professor, o esperado é que os alunos percebam que o produto de duas frações de numerador e 
denominador alternados sempre resulta em 1. O objetivo desta atividade é levar o aluno a compreender, no 
fim das contas, que o inverso da fração 
𝑎
𝑏
, com a e b inteiros e diferentes de zero é dada por 
𝑏
𝑎
. 
 
f) Quando a multiplicação de duas frações resulta em 1, as frações são chamadas de inversa uma da outra. 
Faça como Ana e encontre a fração inversa de cada fração dada abaixo: 
I) 
5
2
 II) 
8
7
 III) 
1
13
 IV) 
25
26
 
 
Respostas do item f): I) 
2
5
 II) 
7
8
 III) 
13
1
 IV) 
26
25
 
 
 
Atividade 3 
Vamos calcular o resultado da multiplicação de 
4
3
 .
5
3
. 
a) Desenhe um retângulo cujos lados meçam 
4
3
 e 
5
3
. 
Professor, as respostas esperadas são retângulos com as medidas solicitadas. Explique aos alunos que 
esta atividade é um pouco mais complexa que as anteriores porque aborda o produto de duas frações 
impróprias, aquelas que representam valores maiores que a unidade (Aproveite para lembrá-los que em 
frações impróprias o numerador é maior do que ou igual ao denominador, pois do contrário, o resultado seria 
menor do que a unidade e a fração seria chamada de fração própria). 
 
b) Usando o que você já aprendeu, descubra qual é o menor número natural que pode ser obtido adicionando 
frações iguais a 
4
3
? Faça o mesmo para a fração 
5
3
. 
Professor, o objetivo deste item é guiar o estudante na construção de um retângulo cujos lados sejam 
números naturais obtidos como somas de parcelas iguais a 
4
3
 e parcelas iguais a 
5
3
. Ao procurarmos os 
menores números naturais, obtemos 
4
3
+
4
3
+
4
3
= 4 e 
5
3
+
5
3
+
5
3
= 5. Incentive o estudante a perceber as 
multiplicações envolvidas aqui: 
4
3
+
4
3
+
4
3
= 3 .
4
3
= 4 e 
5
3
+
5
3
+
5
3
= 3 .
5
3
= 5. 
 
 c) Construa um retângulo cujos lados são os valores obtidos no item 
 
 
 
 
7 
 
b). Depois transforme este retângulo em uma malha quadriculada em que cada retângulo menor tenha 
dimensões 
4
3
 e 
5
3
. Finalmente, calcule a área de cada um dos retângulos menores observando qual é a fração 
que cada um representa do retângulo inteiro. 
 
Professor, este item pode ser desafiador para alguns estudantes. Você pode começar perguntando quais 
foram as dificuldades que enfrentaram, inclusive em relação ao entendimento do problema. A figura abaixo 
pode auxiliar na explicação. Observe que o retângulo tem dimensões 4 (3 .
4
3
) e 5 (3 .
5
3
), e que a área que 
ele limita é dada por 5 . 4 = 20 (Considerando conhecida a área da região limitada por um retângulo). 
Pergunte aos estudantes quantas vezes a área de um dos retângulos menores cabe dentro da área total. A 
resposta esperada é 9 vezes. Sendo assim, a área de cada retângulo de dimensões 
4
3
 e 
5
3
 é dada por 
20
9
 da 
área total. Logo, a resposta esperada é 
4
3
 .
5
3
= 
20
9
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 duas frações, sendo 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 inteiros, com 𝑏 e 𝑑 não-nulos. A figura abaixo deve nos auxiliar 
a compreender geometricamente o produto 
𝑎
𝑏
 .
𝑐
𝑑
. Vamos observar: 
 
Tomando como referência o retângulo de lados 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
, vamos construir um cujos lados são 𝑎 e 𝑏. Sabemos 
que 3 vezes 
5
3
 resulta em 5, pois é 3 vezes a terça parte de 5; da mesma forma, 𝑏 vezes 
𝑎
𝑏
 resulta em 𝑎. Isso 
significa que cada linha do retângulo abaixo possui 𝑏 vezes o valor do lado 
𝑎
𝑏
. Da mesma forma, cada coluna 
do retângulo abaixo possui 𝑑 vezes o valor do lado 
𝑐
𝑑
, resultando em 𝑐. Portanto, o retângulo completo tem 
lados 𝑎 e 𝑐 e limita uma área igual a 𝑎 . 𝑐. Este retângulo completo possui 𝑏 . 𝑑 retângulos menores (já que 
são 𝑏 colunas e 𝑑 linhas). 
 
Fundamentos Teóricos 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
Logo, a área de um dos retângulos menores equivale à fração 
1
𝑏 .𝑑
 da área total 𝑎 . 𝑐, o que significa dividir 
𝑎 . 𝑐 por 𝑏 . 𝑑 (Lembre-se que dividir 𝑎 . 𝑐 por 𝑏 . 𝑑 equivale a 
𝑎 .𝑐
𝑏 .𝑑
). Como você recorda da Geometria Plana, o 
cálculo da área de um retângulo é o produto de suas dimensões. Portanto: 
 
𝑎
𝑏
 .
𝑐
𝑑
= 
𝑎 . 𝑐
𝑏 . 𝑑
 
 
O que fizemos acima foi utilizar argumentos sólidos para compreender que o produto de duas frações é uma 
fração, cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores das 
frações fornecidas. 
 
Observação: todas as operações realizadas até aqui foram baseadas em números racionais, ou seja, 
resultados da divisão de dois números inteiros, com o divisor não nulo. É fundamental que você, estudante, 
compreenda que a mesma conclusão sobre o produto de frações pode ser aplicada quando envolvemos 
números irracionais. Não apresentamos exemplos lúdicos com esses números, pois não é o foco deste 
material, e, além disso, taisexemplos seriam desnecessariamente complexos, desviando do propósito de 
proporcionar uma compreensão fundamental dessa operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
Atividade 4 
Em cada um dos itens abaixo, a parte pintada de amarelo no retângulo da esquerda representa uma fração 
e a parte pintada de vermelho no retângulo da direita representa o produto dessa fração por uma segunda 
fração. Encontre as duas frações e calcule seu produto. 
a) 
 
 
A parte pintada de amarelo no retângulo da esquerda representa os 
2
3
 do total, já a parte vermelha na figura 
da direita representa a quarta parte da referida parte amarela. Sendo assim, a parte vermelha representa o 
produto 
1
4
 𝑑𝑒 
2
3
 𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
2
12
 𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
1
6
 𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. 
 
b) 
 
 
A parte pintada de amarelo no retângulo da esquerda representa 
4
5
 do total, enquanto a área vermelha na 
figura da direita representa 
3
8
 da mencionada parte amarela. Portanto, a parte vermelha representa o 
produto 
3
8
 𝑑𝑒 
4
5
 𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
12
40
 𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
3
10
 𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. 
 
 
Atividade 5 
Use as figuras abaixo para calcular cada produto: 
 
a) 
5
4
 .
3
2
 
 
Atividades 
 
 
 
 
10 
 
 
 
Observe que 
5
4
 .
3
2
 = 
15
8
 (
1
8
 da área total, 15) 
 
 
b) 
1
3
 .
5
2
 
 
 
 
Observe que 
1
3
 .
5
2
= 
5
6
 (
1
6
 da área total, 5) 
 
 
c) Agora tente fazer seus próprios desenhos e descubra cada resultado: 
I) 
3
2 
 .
3
2
 II) 3 .
3
5
 III) 2
1
3
 . 1
1
4
 IV) 
1
4
 .
1
4
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
I) 
 
Observe que 
3
2 
 .
3
2
= 
9
4
 (
1
4
 da área total, 9) 
 
 
II) 
 
 
Observe que 3 .
3
5
= 
9
5
 (
1
5
 da área total, 9) 
 
III) 
 
 
 
 
12 
 
Observe que 2
1
3
 . 1
1
4
= 
35
12
 (
1
12
 da área total, 35) 
 
 
IV) 
Observe que 
1
4
 .
1
4
= 
1
16
 (
1
16
 da unidade) 
 
 
Atividade 6 
Carlos passa 
1
4
 do dia estudando. Do tempo que passa estudando, ele utiliza 
1
3
 para estudar Matemática. 
 
a) Que fração do dia Carlos utiliza para estudar Matemática? 
Para responder a esta atividade, o aluno precisa calcular quanto vale 
1
3
 de 
1
4
 de um dia. A resposta é 
1
3
 .
1
4
=
 
1
12
 de um dia. 
 
b) Quantos minutos por dia Carlos passa estudando Matemática? 
Carlos passa 2 horas do dia estudando Matemática, pois um dia tem 24 horas e 
1
12
 . 24 = 2. Como uma hora 
tem 60 minutos, podemos concluir que ele passa 2 . 60 = 120 minutos do dia estudando Matemática. 
 
 
Atividade 7 
Calcule o valor de cada expressão abaixo (lembre-se que, na presença de adições ou subtrações juntamente 
com multiplicações ou divisões, as multiplicações e divisões têm, prioridade de execução sobre as adições 
e subtrações). 
 
a) 1 − 
3
4
 .
2
3
 
 Lembrando que a multiplicação tem prioridade sobre a subtração, primeiro devemos calcular o valor de 
3
4
 .
2
3
. 
Para isto, veja que, no quadrado abaixo que representa a unidade, a parte amarela corresponde a 
2
3
. 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
Em seguida, observe que calculamos 
3
4
 da parte amarela, que corresponde a 6 dos retângulos em vermelho. 
Esta segunda divisão do quadrado o dividiu em 12 retângulos iguais. Sendo assim, observe que a referida 
parte em vermelho vale 
6
12
= 
1
2
. 
 
 
 
Finalmente, a parte branca do quadrado nesta última figura representa a resposta do item proposto. Esta 
resposta é 
1
2
, jã que são 6 retângulos de um total de 12. 
 
 
 
b) 1
1
2
 . 3
1
4
− 4 
 
Uma solução: professor, inicialmente, demonstre ao aluno como transformar os números mistos em frações, 
utilizando como exemplo. Por exemplo, 1
1
2
 pode ser interpretado como 1 inteiro e 1 meio, correspondendo 
 
 
 
 
14 
 
a 3 vezes 
1
2
, ou seja, 
3
2
. Da mesma forma, podemos deduzir que 3
1
4
 equivale a 13 vezes 
1
4
, resultando em 
13
4
. 
Aproveite para destacar a transformação algébrica presente nesse processo prático: 1
1
2
= 1 + 
1
2
= 
2
2
+ 
1
2
=
 
3
2
 e 3
1
4
= 3 + 
1
4
= 
12
4
+ 
1
4
= 
13
4
. 
 
Para desenvolver a expressão, o estudante deve recordar que a multiplicação tem prioridade sobre a 
subtração. Portanto, temos inicialmente 1
1
2
 . 3
1
4
 = 
3
2
 .
13
4
= 
39
8
. Finalmente, a resposta é dada por 
39
8
− 4 =
 
39
8
− 
32
8
= 
7
8
. 
 
 
Outra solução: Uma maneira interessante de olhar para a expressão 1
1
2
 . 3
1
4
− 4 é através da figura abaixo, 
onde temos um retângulo com lados 1
1
2
= 
3
2
 e 3
1
4
= 
13
4
. Observe que a base do retângulo mede 3 inteiros e 
1
4
 , sendo dividida em 4 partes iguais a 
1
4
 cada. Da mesma forma, a altura do retângulo mede 1 inteiro e 
1
2
, 
sendo dividida em 2 partes iguais a 
1
2
 cada. A divisão ilustrada mostra que o retângulo maior foi dividido em 
39 retângulos menores e iguais, dos quais 8 correspondem à unidade (pois eles formam um quadrado de 
lado 1). Portanto, o retângulo maior possui 4 unidades inteiras e 
7
8
 de uma unidade (a parte vermelha 
representa os 
7
8
). 
 
Concluímos que 1
1
2
 . 3
1
4
 resulta em 4 inteiros e 
7
8
 (Professor, aproveite para mostrar que estes 4 inteiros e 
7
8
 
equivalem a 39 vezes 
1
8
, pois cada retângulo menor representa 
1
8
 da unidade, totalizando, são 39 deles, ou 
seja, 4
7
8
= 
39
8
). Para finalizar, observe que 1
1
2
 . 3
1
4
− 4 corresponde a 4 inteiros e 
7
8
 menos 4 inteiros, 
resultando em 
7
8
, que é a resposta procurada (parte em vermelho na figura). 
 
 
 
 
Atividade 8 
Clotilde distribuiu uma certa quantidade de bombons de chocolate a seus três sobrinhos. Tobias, o mais 
velho dos três, recebeu 
1
3
 do total de bombons. Adalberto, o mais jovem, recebeu 
3
7
 do que restou depois que 
Tobias recebeu a sua parte. André recebeu os 16 bombons restantes. Adalberto deu 
1
6
 de seus bombons a 
Marcela, sua namorada. O objetivo desta atividade é calcular a quantidade de bombons que Marcela 
recebeu. Para isto: 
 
 
 
 
 
15 
 
a) Desenhe a fração do total de bombons que Tobias recebeu. (Dica: desenhe um retângulo para representar 
a totalidade dos bombons e destaque a fração procurada) 
 
Tobias recebeu 
1
3
 do total de bombons. Podemos representar geometricamente essa fração através da figura 
abaixo, na qual a parte dos bombons que coube a Tobias está pintada de amarelo. 
 
 
b) No mesmo desenho do item a), destaque a parte que Adalberto recebeu e diga que fração do total ela 
representa. (Dica: se você dividiu horizontalmente o retângulo no item a), vale a pena fazer uma segunda 
divisão, só que agora na vertical) 
Depois que Tobias pegou a sua parte, restaram 
2
3
 do total de bombons, representados na figura pela parte 
branca. Em seguida, Adalberto recebeu 
3
7
 do que restou, ou seja, recebeu 
3
7
 𝑑𝑒 
2
3
= 
3
7
 .
2
3
= 
6
21
. Para 
representar essa fração, dividimos cada retângulo horizontal em 7 partes iguais e pintamos de vermelho, em 
cada uma das duas linhas brancas, 3 desses 7 retângulos menores (pois Adalberto recebeu 
3
7
 do que restou). 
O resultado é mostrado na próxima figura. 
 
 
 
c) Que fração representa a soma das frações recebidas por Tobias e Adalberto? 
De acordo com os itens anteriores, devemos calcular o resultado da soma 
1
3
+ 
6
21
. Sabemos que 
1
3
 é 
equivalente a 
7
21
 (Professor, solicite aos alunos que observem esta equivalência diretamente nas figuras que 
eles mesmos construíram. Recomendamos que você, professor, também faça desenhos na lousa para 
auxiliá-los diante de eventuais dificuldades). A resposta é, portanto, 
1
3
+ 
6
21
= 
7
21
+ 
6
21
= 
13
21
, Isso indica que, 
dos 21 quadradinhos que representam a quantidade inteira de bombons, Tobias e Adalberto ficaram com 
13 (Observe a figura que apresentamos no item b) e perceba que estamos nos referindo às partes amarelas 
e vermelhasjuntas). 
 
 
d) Qual foi a fração do total que coube a André? 
De acordo com o item c), a fração que coube a Tobias e Adalberto juntos foi 
13
21
. Desse modo, os 8 retângulos 
que ficaram brancos na figura do item b) correspondem à fração de André. Professor, destaque esta 
passagem antes de escrever a conta formalizada, dada por 1 − 
13
21
= 
21
21
− 
13
21
= 
8
21
. Esta é a fração que 
coube a André. 
 
 
e) Depois de descobrir a fração que André recebeu, descubra qual foi a quantidade de bombons distribuídos 
por Clotilde. 
Professor, é possível que alguns estudantes encontrem dificuldades ao responder a este item por não 
conseguirem relacionar a quantidade de bombons recebida por André, que foi 16, com a fração que ele 
recebeu, que é representada por 
8
21
. Vamos revisitar as figuras: 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
A figura acima ilustra claramente a situação de André. Note que sua parte corresponde a 8 quadradinhos, 
representando 16 bombons, de modo que 1 quadradinho representa certamente 16 ∶ 8 = 2 bombons. É 
importante destacar para o estudante que este 1 quadradinho representa 
1
21
 do total de bombons. Assim, o 
aluno deve compreender que a quantidade total de bombons é 
21
21
, equivalente a 21 vezes 
1
21
, resultando em 
21 . 2 = 42 bombons, visto que 
1
21
 do total equivale a 2 bombons. As duas figuras seguintes ilustram o que 
acabamos de descrever. Vamos observar: 
 
 
 
 
 
 
 
f) Qual foi a quantidade de bombons que Adalberto recebeu? 
 
Uma vez que descobrimos a quantidade total de bombons, 42, e sabendo que a fração dada a Adalberto foi 
6
21
 do total, podemos concluir que a quantidade de bombons dada a Adalberto foi 
6
21
 𝑑𝑒 42, o que equivale a 
6
21
 . 42 = 
252
21
= 12. 
 
Observações: 
 
• Professor, calculamos o produto 6 . 42 = 252 para depois dividirmos por 21 e obtermos 12 como 
resposta. No entanto, é interessante investigar se o estudante já conhece os métodos de 
simplificação de frações. Neste caso, simplificando 42 por 21, obteríamos facilmente 6 . 2 = 12; 
 
• A resposta poderia ser dada imediatamente pelo produto 6 . 2 = 12, considerando que cada 
quadradinho equivale a 2 bombons, e que Adalberto ficou com 6 quadradinhos; 
 
• Professor, Lembre ao estudante que 
6
21
 𝑑𝑒 42 é o mesmo que 3/7 de 42 = 12. 
 
g) Finalmente, quantos bombons Marcela recebeu? 
Ora, Marcela recebeu 
1
6
 dos bombons de Adalberto, resultando em 
1
6
 𝑑𝑒 16, o que equivale a 
1
6
 . 12 = 
12
6
= 2 
bombons. Professor, não esqueça de lembrar aos estudantes que 
1
6
 𝑑𝑒 12 corresponde à sexta parte de 12 
e, portanto, 12 ∶ 6 = 2. 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Atividade 9 
Joaquim comeu 
1
8
 de uma pizza e José comeu 
2
7
 do que restou. Que fração da pizza os dois comeram 
juntos? 
A pizza inteira pode ser representada por 
8
8
. Como Joaquim comeu 
1
8
 da pizza, podemos concluir que 
sobraram 
8
8
− 
1
8
= 
7
8
 da pizza. Sabendo que José comeu 
2
7
 do que restou, temos que José comeu 
2
7
 .
7
8
= 
14
56
=
 
1
4
 da pizza. Sendo assim, os dois comeram juntos 
1
8
+ 
1
4
= 
1
8
+ 
2
8
= 
3
8
 da pizza. 
 
 
Atividade 10 
Ana e Beto tinham como missão calcular os valores de alguns produtos. 
 
O primeiro deles era 
3
10
 .
10
11
. Ana calculou conforme a professora ensinou, 
3 .10
10 .11
= 
30
110
. Em seguida, ela 
simplificou o resultado e obteve 
3
11
. Beto pensou da seguinte forma: “Preciso multiplicar 3 por 10 e depois 
dividir o resultado encontrado pelo produto de 10 e 11. Ora, isso é equivalente a pegar 
3
11
 e multiplicar e 
dividir por 10. Sendo assim, o resultado certamente é 
3
11
”. Perceba que os dois estão corretos. Ana simplificou 
o resultado e Beto usou um raciocínio eficiente ao simplificar a multiplicação antes de realizar os cálculos. 
Este raciocínio é bastante útil, principalmente quando as multiplicações envolvem números grandes. 
 
O segundo deles era 
11
250
 .
2
3
 .
500
11
. Ana fez o seguinte cálculo: 
 
11
250
 .
2
3
 .
500
11
= 
11 . 2 . 500
250 . 3 . 11
=
11000
8250
 
 
Depois ela simplificou o resultado e encontrou 
4
3
. 
 
Beto pensou assim: “O resultado do produto 
11
250
 .
2
3
 .
500
11
 é um número no qual, em algum momento, 
multipliquei e dividi por 11. Então o 11 que dividiu desfez o 11 que multipliquei. Da mesma forma, precisei 
multiplicar este número por 500 e dividir por 250, e o resultado é 2. Finalmente, depois das observações que 
fiz, o resultado é o produto de 
2
3
 por 2, que dá 
4
3
. 
 
Vamos organizar as simplificações que Beto fez: 
11
250⏟
1
 .
2
3
 .
500⏞
2
11
= 
2
3
 . 2 = 
4
3
 
 
Você viu o quanto o raciocínio de Beto deixou as multiplicações muito mais simples? Agora é sua vez de 
calcular novos produtos sempre simplificando, quando possível. 
a) 
5
2
 .
4
5
 .
3
4
 b) 
600
7
 .
21
200
 c) 
3
71
 .
142
7
 .
7
9
 d) 
4
15
 .
18
16
 .
5
7
 
 
a) 
5
2
 .
4
5
 .
3
4
= 
5⏞
1
2
 .
4⏞
1
5⏟
1
 .
3
4⏟
1
= 
3
2
 
 
b) 
600
7
 .
21
200
= 
600⏞
3
7⏟
1
 .
21⏞
3
200⏟
1
= 
3
1
 .
3
1
= 9 
 
 
 
 
 
18 
 
c) 
3
71
 .
142
7
 .
7
9
= 
3⏞
1
71⏟
1
 .
142⏞
2
7⏟
1
 .
7⏞
1
9⏟
3
= 
1 .2 .1
1 .1 .3
= 
2
3
 
 
d) 
4
15
 .
18
16
 .
5
7
= 
4⏞
1
15⏟
5
 .
18⏞
6
16⏟
4
 .
5
7
= 
1
5⏟
1
 .
6⏞
3
4⏟
2
 .
5⏞
1
7
= 
3
2 .7
= 
3
14
 
 
 
Atividade 11 
A metade de um muro é pintada de vermelho, um terço do que resta é pintado de verde e o restante de azul. 
A parte pintada de azul mede 160 cm de comprimento. Qual o comprimento da parte pintada de vermelho? 
 
A figura abaixo auxiliará na resolução que apresentaremos a partir de agora. A parte vermelha representa 
metade da figura. Da outra metade, a parte verde representa um terço (podemos entender como 
1
3
 𝑑𝑒 
1
2
, o 
que resulta em 
1
6
), e a parte azul corresponde a dois terços (podemos entender como 
2
3
 𝑑𝑒 
1
2
, que resulta em 
2
6
) A parte pintada de azul ser igual a 160 cm é o mesmo que dizer que dois destes retângulos menores 
correspondem a 160 cm, sendo que cada retângulo menor corresponde a 160 cm ∶ 2 = 80 cm. Sabendo 
que a parte pintada de vermelho contém 3 desses retângulos, podemos concluir que a parte pintada de 
vermelho tem comprimento igual a 3 . 80 cm = 240 cm. 
 
 
 
 
 
Atividade 12 
(OBM) Carlos fez uma viagem de 1210 km, sendo 
7
11
 de avião, 
2
5
 do restante de trem, 
3
8
 do novo resto de 
automóvel e os demais quilômetros a cavalo. Calcule quantos quilômetros Carlos percorreu a cavalo. 
Primeiro vamos calcular os 
7
11
 de 1210 𝑘𝑚, que representa a distância percorrida de avião. Para isso, lembre-
se que 
7
11
 significa 7 partes de 11, o que implica em dividir 1210 𝑘𝑚 por 11 e depois multiplicar o resultado 
por 7. Assim, 
7
11
 . 1210 𝑘𝑚 = 7 . 110 𝑘𝑚 = 770 𝑘𝑚. Então, sobraram 1210 𝑘𝑚 − 770 𝑘𝑚 = 440 𝑘𝑚 e, destes, 
2
5
 foram percorridos de trem, o que dá 
2
5
 . 440 𝑘𝑚 = 2 . 88 𝑘𝑚 = 176 𝑘𝑚, resultando em 440 𝑘𝑚 − 176 𝑘𝑚 =
264 𝑘𝑚. Deste último resto, 
3
8
 foram percorridos de automóvel, resultando em 
3
8
 . 264 𝑘𝑚 = 3 . 33 = 99 𝑘𝑚. 
Para terminar, sobraram 264 𝑘𝑚 − 99 𝑘𝑚 = 165 𝑘𝑚, que correspondem à distância percorrida à cavalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Atividade 13 
(OBMEP - adaptada) Uma loja de roupas reduziu em 
1
10
 o preço de uma camiseta, mas não conseguiu vendê-
la. Na semana seguinte, reduziu em 
1
5
 o novo preço, e a camiseta foi vendida por R$ 54,00. Qual era o 
preço original da camiseta? 
 
Observe inicialmente que quando a loja reduziu o preço da camiseta em 
1
10
, significa dizer que ela passou a 
cobrar 
9
10
 do que cobrava antes (pois 1 − 
1
10
= 
10
10
− 
1
10
= 
9
10
). Como a loja não conseguiu vender a camiseta, 
ela reduziu o preço atual (que agora vale 
9
10
 do total) em 
1
5
, o que quer dizer que agora ela cobra4
5
 dos 
9
10
 do 
total, resultando em 
4⏞
2
5
 .
9
10⏟
5
= 
2 . 9
5 . 5
= 
18
25
 do total. Como a camisa foi vendida por R$ 54,00, vamos dizer que os 
18
25
 do total correspondem a R$ 54,00. Para entender como vamos calcular o preço original da camisa, tome 
por base o quadrado maior abaixo, que representa o preço original da camisa e que foi dividido em 25 
quadradinhos menores, sendo 18 amarelos e 7 vermelhos. 
 
Como a parte amarela corresponde a 
18
25
 do quadrado maior, vamos entender que é ela que vale os R$ 54,00. 
Ora, se os 18 quadradinhos correspondem a R$ 54,00, então cada quadradinho vale 𝑅$ 54,00 ∶ 18 = 𝑅$ 3,00, 
o que nos leva a concluir que os 25 quadradinhos que representam o preço original da camiseta valem, 
juntos, 25 . 𝑅$ 3,00 = 𝑅$ 75,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
Divisão de frações 
(Material a ser desenvolvido em duas aulas) 
 
Na análise das operações matemáticas, as divisões de frações surgem como um tema fundamental, 
apresentando-se como ferramenta essencial na resolução de problemas mais complexos. Este contexto 
envolve a distribuição equitativa de partes fracionárias de um todo, delineando um processo desafiador, 
porém crucial. Este texto busca proporcionar uma introdução lúdica às nuances das divisões de frações, 
convidando a uma compreensão profunda e aplicada dessas operações fundamentais. 
 
 
 
 
 
 
 
Professor, você pode iniciar sua aula perguntando aos alunos se eles acreditam que a divisão de frações 
ocorre da mesma maneira que a multiplicação, isto é, dividindo o numerador de uma fração pelo numerador 
da outra e dividindo o denominador de uma fração pelo denominador da outra. A resposta é sim (Lembre-
se que 
𝑎
𝑏
∶ 
𝑐
𝑑
= 
𝑎
𝑏
 .
𝑑
𝑐
= 
𝒂𝒅
𝒃𝒄
 e que 
𝑎∶ 𝑐
𝑏∶ 𝑑
= 
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
= 
𝑎
𝑐
∶ 
𝑏
𝑑
= 
𝑎
𝑐
 .
𝑑
𝑏
= 
𝒂𝒅
𝒃𝒄
. Daí, 
𝑎
𝑏
∶ 
𝑐
𝑑
= 
𝑎∶ 𝑐
𝑏∶ 𝑑
). No entanto, não revele isso 
ainda a eles! Você pode exemplificar com casos simples na lousa. Um exemplo seria 
18
4
∶ 
3
2
= 
18
4
 .
2
3
= 
36
12
=
3, pois 
18 ∶ 3
4 ∶ 2
= 
6
2
= 3. 
 
Esta abordagem não é vantajosa, pois pode gerar muita dificuldade em situações simples, como no caso do 
item a) da atividade 1, onde Ana precisa dividir 
1
2
 por 3. Nesse caso, teríamos 
1
2
∶ 
3
1
= 
1∶3
2∶1
 = 
0,333…
2
. 
 
Vamos adotar uma abordagem mais lúdica sempre que possível, sem deixar de destacar os pontos cruciais 
em cada etapa, mesmo que, em alguns momentos, pareça repetitivo. Entendemos que a repetição é muito 
útil ao aprender Matemática. Além disso, não devemos esquecer da formalidade algébrica que gradualmente 
se tornará indispensável na escrita das conclusões desejadas. 
 
Este texto de divisão contém 10 atividades e a seção “mão na massa”. Recomendamos abordar as três 
primeiras atividades e a seção “mão na massa” na primeira aula. Posteriormente, sugerimos que os 
estudantes tentem resolver o restante das atividades em casa. Na aula seguinte, uma discussão sobre as 
demais atividades possibilitará a conclusão do texto. Incentive os estudantes a elaborarem e testarem 
hipóteses, e, se possível, auxilie-os nesse processo. Desejamos a você e aos seus alunos um excelente 
trabalho! 
 
 
Atividade 1 
Ana recebeu uma barra de chocolate de sua mãe. Ela quis repartir a metade da barra entre três de suas 
amigas. 
 
a) Desenhe um retângulo que represente a barra de chocolate que Ana recebeu e nele destaque parte que 
Ana quer repartir entre as amigas. 
 
A resposta esperada é uma figura semelhante à que apresentamos. Na figura mencionada, destacamos a 
parte em verde que representa 
1
2
 da barra, a ser dividida entre as amigas de Ana. 
 
Fundamentos Teóricos 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
b) Na mesma figura que você fez no item a), faça uma nova divisão que lhe permita descobrir qual foi a 
fração da barra que cada amiga recebeu. 
 
Agora vamos dividir a barra que mede 
1
2
 em 3 partes iguais. A subdivisão realizada ilustra a divisão da 
unidade em 6 partes iguais, cada uma medindo 
1
6
 da unidade. Note que 
1
2
∶ 3 é igual a 
1
6
, pois 3 vezes 
1
6
 
resulta em 
1
2
. A conclusão que chegamos é que 
1
2
∶ 3 = 
1
2 .3
= 
1
6
. 
 
 
 
 
 
Atividade 2 
Rita precisa fazer algumas divisões entre frações e números inteiros. Ajude-a: 
 
a) Use a figura e responda quantos 
1
2
 cabem em 1 inteiro. 
 
 
 
Complete: em _____ inteiro cabem ____ vezes ____, ou seja, _____ dividido por ____ é igual a _____. 
 
Em 1 inteiro cabem 2 vezes 
1
2
, ou seja, 1 dividido por 
1
2
 é igual a 2. Professor, é indispensável que você 
oriente o estudante a fazer o registro algébrico. Aqui, temos 1 ∶ 
1
2
= 2. Abaixo, apresentamos uma possível 
divisão do inteiro. 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
b) Use a figura para responder quantos 
1
3
 cabem em 1 inteiro 
 
 
 
Complete: em _____ inteiro cabem ____ vezes ____, ou seja, _____ dividido por ____ é igual a ____. 
 
Em 1 inteiro cabem 3 vezes 
1
3
, ou seja, 1 dividido por 
1
3
 é igual a 3. Professor, é indispensável que você 
oriente o estudante a fazer o registro algébrico. Aqui, temos 1 ∶ 
1
3
= 3. Abaixo, apresentamos uma possível 
divisão do inteiro. 
 
 
 
c) Use a figura para responder quantos 
1
3
 cabem em 2 unidades? 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
Complete: em _____ inteiros cabem ____ vezes ____, ou seja, _____ dividido por ____ é igual a ____. 
 
Em 2 inteiros cabem 6 vezes 
1
3
, ou seja, 2 dividido por 
1
3
 é igual a 6. Professor, é indispensável que você 
oriente o estudante a fazer o registro algébrico. Aqui, temos 2 ∶ 
1
3
= 3. Abaixo, apresentamos uma possível 
divisão do inteiro. 
 
 
 
d) Use a figura para responder quantos 
1
5
 cabem em 
4
5
. 
 
 
 
Complete: em ______ cabem ____ vezes ____, ou seja, _____ dividido por ____ é igual a ____. 
 
Em 
4
5
 cabem 4 vezes 
1
5
, ou seja, 
4
5
 dividido por 
1
5
 é igual a 4. Professor, é indispensável que você oriente o 
estudante a fazer o registro algébrico. Aqui, temos 
4
5
∶ 
1
5
= 4. Abaixo, apresentamos uma possível divisão do 
inteiro. 
 
 
Atividade 3 
Como você explicaria para um amigo o que fazer para dividir 
8
15
 por 4? Use uma figura para construir seu 
argumento. 
Uma ideia é dividir a unidade em 15 retângulos iguais, cada um medindo 
1
15
 da unidade. A parte a ser dividida 
por 4 possui 8 destes retângulos. Observe, na figura destacada, que podemos formar 4 grupos cada um 
com 2 retângulos menores, ou seja, 2 vezes 
1
15
= 
2
15
. Sendo assim, 
8
15
∶ 4 = 
2
15
. Professor, você pode lembrar 
ao aluno que dividir por 4 é o mesmo que calcular a quarta parte. Assim, 
8
15
∶ 4 = 
1
4⏟
1
 .
8⏞
2
15
= 
2
15
. 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudante, até aqui você foi guiado por algumas divisões usando figuras e compreendeu corretamente, não 
é verdade? É importante que você compreenda que algumas divisões podem ser desafiadoras quando 
representadas por meio de figuras. Tais desenhos podem tornar a solução confusa e não faria sentido 
estudar algo que causasse mais confusão do que aprendizado. Por isso, é crucial que você utilize todas as 
ferramentas matemáticas que aprendeu até aqui para desenvolver argumentos que permitam realizar 
qualquer divisão entre frações. Vamos lá? 
 
• Você aprendeu na aula anterior que a multiplicação de números inversos resulta na unidade. Por 
exemplo, 
2
3
 .
3
2
= 1. 
• Você aprendeu que ao multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número, 
o resultado não se altera (frações equivalentes). 
 
Vamos utilizar estas importantes propriedades das frações para nosso argumento. Sendo assim, vamos 
dividir 
3
7
 por 
4
5
, ou seja, 
3
7
∶ 
4
5
= 
3
7
4
5
. Ora, 
3
7
∶ 
4
5
= 
3
7
4
5
= 
3
7 .
5
4
4
5
 .
5
4
= 
3
7 .
5
4
1
= 
3
7
 .
5
4
 
 
Finalmente, a conclusão que podemos tirar é que 
3
7
∶ 
4
5
=3
7
 .
5
4
= 
3 .5
7 .4
= 
15
28
. 
 
O raciocínio que usamos é bastante interessante, e pode ser generalizado, como veremos: 
 
Sejam as frações 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 números inteiros, sendo 𝑏, 𝑐 e 𝑑 diferentes de zero. 
 
Vamos ver como podemos dividir 
𝑎
𝑏
 por 
𝑐
𝑑
, isto é, 
𝑎
𝑏
∶ 
𝑐
𝑑
= 
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
. 
 
Primeiro vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração por 
𝑑
𝑐
, pois 
𝑐
𝑑
 .
𝑑
𝑐
= 1. 
 
𝑎
𝑏
∶ 
𝑐
𝑑
= 
𝑎
𝑏
 .
𝑑
𝑐
𝑐
𝑑
 .
𝑑
𝑐
= 
𝑎
𝑏
 .
𝑑
𝑐
1
= 
𝑎
𝑏
 .
𝑑
𝑐
 
 
Finalmente, a conclusão que podemos tirar é que 
𝑎
𝑏
∶ 
𝑐
𝑑
 = 
𝑎
𝑏
 .
𝑑
𝑐
. 
 
O que fizemos acima foi usar argumentos sólidos para entender que a divisão de duas frações é a fração 
que resulta do produto da primeira delas pelo inverso da segunda fração. 
 
Observação: todas as operações que realizadas até aqui foram usando os números racionais, ou seja, 
números resultantes da divisão de dois números inteiros, sendo o divisor não nulo. É importante que você, 
estudante, compreenda que a mesma conclusão que tiramos sobre a divisão de frações pode ser aplicada 
quando envolvemos números irracionais. Não incluímos exemplos lúdicos envolvendo tais números porque 
não é o foco deste material e porque, além de tudo, esses exemplos seriam desnecessariamente difíceis, 
Fundamentos Teóricos 
 
 
 
 
 
25 
 
fugindo do propósito de fazer com que você entenda a essência das operações básicas que envolvem as 
frações. 
 
 
 
 
 
Atividade 4 
Um grupo de pessoas realizou 
5
8
 de uma tarefa em um dia. O restante foi dividido igualmente entre 5 pessoas. 
Que parte da tarefa coube a cada pessoa? 
 
Professor, é provável que o estudante apresente uma solução algébrica para o problema em questão. Uma 
vez que o grupo de pessoas realizou 
5
8
 da tarefa em um dia, sobraram 1 −
5
8
= 
8
8
− 
5
8
= 
3
8
 da tarefa. Agora 
devemos dividir 
3
8
 por 5, ou seja, 
3
8
∶ 5 = 
3
8
∶ 
5
1
= 
3
8
 .
1
5
= 
3
40
 (Professor, não esqueça de lembrar ao estudante 
que dividir por 5 é o mesmo que calcular a quinta parte. Então 
3
8
∶ 5 = 
1
5
 𝑑𝑒 
3
8
= 
1
5
 .
3
8
= 
3
40
). Esta atividade 
pode ser realizada usando uma figura. Não deixe de incentivar o aluno a fazer um desenho para ilustrar a 
situação. 
 
Uma solução usando figura: a parte verde representa os 
3
8
 que sobraram depois que os 
5
8
 da tarefa foram 
realizados. 
 
 
 
 
A próxima figura ilustra a divisão dos 
3
8
 que restaram por 5. Então, da maneira que dividirmos a unidade, 
podemos ver que 
3
8
 divididos por 5 resultam em um retângulo com 3 vezes 
1
40
, ou seja, 
3
8
∶ 5 = 
3
40
. 
 
 
 
 
 
Atividades 
 
 
 
 
26 
 
Atividade 5 
Um barril contém 120 litros de vinho, que serão armazenados em garrafas com capacidade de 
3
4
 de litro cada 
uma. Quantas garrafas serão necessárias? 
 
Solução: Devemos descobrir quantas vezes 
3
4
 da unidade cabem dentro de 120 inteiros (120 divididos por 
3
4
 
= 120 ∶ 
3
4
= 
120
3
4
). Ora, 
1
4
 cabe 4 vezes em um inteiro, então 120 unidades equivalem a 120 vezes as quatro 
vezes em que 
1
4
 cabe na unidade, ou seja 120 . 4 = 480. Como 
3
4
 são 3 vezes 
1
4
, para descobrir quantas 
vezes 
3
4
 cabem em 120, devemos dividir as 480 partes acima por 3. Logo, a resposta procurada é 480 ∶ 3 =
160 garrafas. 
 
Vamos organizar os argumentos que fizemos: 
Primeiro multiplicamos 120 por 4 e depois dividimos o resultado por 3. Veja: 
120
3
4
= (120 . 4): 3 = 160. 
 
 
Atividade 6 
A família de Fernando bebe água em copos cuja capacidade é de 
2
5
 de litro. Se o garrafão de água que estão 
utilizando ainda tem 4
3
5
 de litros de água, quantos copos eles ainda poderão encher completamente? 
 
Esta atividade consiste em descobrir quantas vezes 
2
5
 de litro cabe dentro de 4
3
5
 de litros de água. Para isso, 
devemos realizar a divisão 4
3
5
∶ 
2
5
. Primeiramente, transformamos o número misto 4
3
5
 em fração imprópria, 
resultando em 4
3
5
= 4 + 
3
5
= 
20
5
+ 
3
5
= 
23
5
. Espera-se que o estudante apresente uma solução algébrica para 
a divisão. Vejamos uma: 4
3
5
∶ 
2
5
= 
23
5
∶ 
2
5
= 
23
5⏟
1
 .
5⏞
1
2
= 
23
2
. Observa-se que 
23
2
 copos é equivalente a 11 copos e 
meio. 
 
Uma solução que usa figuras: 
Abaixo, temos cinco unidades, cada uma subdividida em 5 partes iguais de 
1
5
. A quantidade de água que 
ainda resta no garrafão, 4
3
5
, está representada pelos 23 retângulos menores coloridos. Como cada copo 
possui capacidade equivalente a 
2
5
 da unidade, podemos concluir que ainda será possível encher 
completamente 11 copos e meio. A fração imprópria que representa estes 11 copos e meio é dada por 
23
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
Atividade 7 
Efetue as seguintes divisões. Simplifique o resultado sempre que possível. 
 
a) 
3
8
∶ 
2
5
 b) 4 ∶ 
3
5
 c) 1
2
3
∶ 5 d) 
1
4
∶ 
3
2
 e) 2 ∶ 1
3
4
 
 
 
f) 
3
8
∶ 
9
2
 g) 
3
4
∶ 3 h) 
5
6
∶ 
1
2
 i) 
1
5
∶ 
1
4
 j) 
5
6
∶ 
2
3
 
 
 
Soluções: 
a) 
3
8
∶ 
2
5
= 
3
8
 .
5
2
= 
15
16
 b) 4 ∶ 
3
5
= 4 .
5
3
= 
20
3
 c) 1
2
3
∶ 5 = 
5
3
∶ 5 = 
5⏞
1
3
 .
1
5⏟
1
= 
1
3
 
 
d) 
1
4
∶ 
3
2
= 
1
4⏟
2
 .
2⏞
1
3
= 
1
2 .3
= 
1
6
 e) 2 ∶ 1
3
4
= 2 ∶ 
7
4
= 2 .
4
7
= 
8
7
 f) 
3
8
∶ 
9
2
= 
3⏞
1
8⏟
4
 .
2⏞
1
9⏟
3
= 
1
4 .3
= 
1
12
 
 
g) 
3
4
∶ 3 = 
3⏞
1
4
 .
1
3⏟
1
= 
1
4
 h) 
5
6
∶ 
1
2
= 
5
6⏟
3
 . 2⏞
1
= 
5
3
 i) 
1
5
∶ 
1
4
= 
1
5
 . 4 = 
4
5
 
 
j) 
5
6
∶ 
2
3
= 
5
6⏟
2
 .
3⏞
1
2
= 
5
4
 
 
 
Atividade 8 
Determine o valor das expressões numéricas: 
 
a) (
2
5
+ 
1
5
) ∶ (
1
4
+ 
2
4
) 
 
É importante destacar que a operação principal aqui é a divisão entre duas operações. Então precisamos 
realizar logo estas operações e depois dividir os resultados. Note que 
2
5
+ 
1
5
= 
3
5
 e que 
1
4
+ 
2
4
= 
3
4
. Sendo 
assim, temos: 
(
2
5
+ 
1
5
) ∶ (
1
4
+ 
2
4
) = 
3
5
∶ 
3
4
= 
3⏞
1
5
 .
4
3⏟
1
= 
4
5
 
 
b) (
1
3
− 
1
4
) ∶ (
2
5
− 
1
10
) 
 
É importante destacar que a operação principal aqui é a divisão entre duas operações. Então precisamos 
realizar logo estas operações e depois dividir os resultados. Note que 
1
3
− 
1
4
= 
1 .4
3 .4
− 
1 .3
4 .3
= 
4
12
− 
3
12
= 
1
12
 e 
que 
2
5
− 
1
10
= 
2 . 2
5 . 2
− 
1
10
= 
4
10
− 
1
10
= 
3
10
. Finalmente, temos: 
 
(
1
3
− 
1
4
) ∶ (
2
5
− 
1
10
) = 
1
12
∶ 
3
10
= 
1
12⏟
6
 .
10⏞
5
3
= 
5
18
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
Atividade 9 
(FUVEST) Qual é o valor numérico da expressão 
𝑎+𝑏
1−𝑎𝑏
 para 𝑎 = 
1
2
 e para 𝑏 = 
1
3
? 
Lembre-se que devemos efetuar a divisão de 𝑎 + 𝑏 por 1 − 𝑎𝑏. Sendo assim, vamos descobrir primeiro cada 
um destes valores: 
𝑎 + 𝑏 = 
1
2
+ 
1
3
= 
1 . 3
2 . 3
+ 
1 . 2
3 . 2
= 
3
6
+ 
2
6
= 
5
6
 
 
1 − 𝑎𝑏 = 1 − 
1
2
 .
1
3
= 1 − 
1
6
= 
6
6
− 
1
6
= 
5
6
 
 
 
Diante do apresentado, temos 
𝑎+𝑏
1−𝑎𝑏
= 
5
6
5
6
= 1, já que é a divisão de um número não nulo por ele mesmo. 
 
Atividade 10 
10. (CMF) Doze amigas resolveram alugar uma casa de praia para passar uma temporada. Metade do 
aluguel foi pago no dia da assinatura do contrato, sendo o valor dividido igualmente por todas as doze 
amigas. O restante deveria ser pago no dia em que chegassem à casa, porém, no dia do passeio, três 
amigas desistiram. O restante do valor do aluguel teve, então, de ser dividido igualmente apenas entre 
aquelas amigas que compareceram. Qual foi a fração do valor total do aluguel pago por cada uma das 
amigas que compareceu? 
 
Uma solução: Como metade do aluguel foi pago antecipadamente, sendo o valor dividido igualmenteentre 
cada uma das 12 amigas, temos que cada uma pagou 
1
12
 𝑑𝑒 
1
2
= 
1
24
 do valor total. A segunda metade do 
total foi repartida igualmente entre as 9 amigas que restaram, e cada uma pagou 
1
9
 𝑑𝑒 
1
2
= 
1
18
 do total. 
Portanto, a fração do valor total do aluguel pago por cada uma das amigas que compareceu pode ser dada 
por 
1 . 3
24 . 3
+ 
1 . 4
18 . 4
= 
3
72
+ 
4
72
= 
7
72
. 
 
 
 
EQUIPE RESPONSÁVEL 
 
Raimundo Alves de Brito 
Gideône Barros Mendes 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
IMENES, Luiz Marcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Moderna, 2012. (8º ano). 
 
LOPES, Antônio José. Matemática. São Paulo: Scipione, 2013. (7º ano). 
 
Material estruturado do Ceará: Números Racionais (B), operações com Frações 
 
RIPOLL, Cydara Cavedon et al. Frações no Ensino Fundamental – Volume 1. Rio de Janeiro: Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA-OS), 2016