Geometria Plana e Proporções

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MATEMÁTICAALEXSANDRO 
KESLLER
09 GEOMETRIA 
PLANA
02/06/2020
2
GEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANA
 Paralelismo: Teorema de Tales
 Semelhança de triângulos
3
O encosto da última poltrona de um ônibus, quando totalmente reclinado, 
forma um ângulo de 30° com a parede do ônibus (veja a figura abaixo). O 
ângulo na figura abaixo mostra o maior valor que o encosto pode reclinar. 
O valor de é:
A) 50°
B) 90°
C) 100°
D) 120°
E) 150º
4
Utilizando a propriedade 
do ângulo externo
º90º30 
º120
5
6
Medindo segmentos correspondentes
Se medirmos com precisão os segmentos determinados por um feixe de 
paralelas sobre duas transversais, observamos que essas medidas são 
proporcionais, isto é:
10
30
5
?
7
10
30
5
?
MONTANDO UMA PROPORÇÃO
x
5
30
10

150x10 
10
150
x 
15x 
8
10
30
5
?
ANALISANDO A CONSTATE DE 
PROPORCIONALIDADE
?  Vale o triplo de 5, ou seja 15
30
10
K 
3
1
K 
9
A distância entre dois pilares paralelos de sustentação de uma 
rampa é de 12 m. O pilar mais baixo foi fincado no chão a 24 m do 
pé da rampa, e o topo dele dista 18 m do topo
do pilar mais alto. Observe a figura e o esquema.
Qual é o comprimento da rampa?
12 m 24 m
18 m C = ?
x
MONTANDO UMA PROPORÇÃO
x
18
24
12

10
12 m 24 m
18 m C = ?
x
x
18
24
12

m36x 
x
18
2
1

11
12 m 24 m
18 m C = ?
x
ANALISANDO A CONSTATE DE 
PROPORCIONALIDADE
x  Vale o dobro de 18, ou seja 36
24
12
K 
2
1
K 
12
Uma barra de aço para sustentação de um muro mede 7 m. Um cano de 
aço, paralelo ao chão, foi fincado perpendicularmente ao muro e colado 
na barra. Observe a figura. Considerando as medidas especificadas na 
figura, determinar a altura do muro.
2 m
3 m
1,5
x
13
1,5
x
MONTANDO UMA PROPORÇÃO
4
3
x
5,1

m2x 
6x3 
3
6
x 
m2m 5,1h 
m 5,3h 
14
15
Exemplos:
 ■ Observe as medidas dos triângulos I e II.
2 6
5
4
?
15
? = 12
6
2
K 
3
1
K 
16
Exemplos:
 ■ Observe as medidas dos triângulos III e IV.
2
6
3
4 ?
4
? = 8
4
2
K 
2
1
K 
17
Na escada da figura, os degraus distam um do outro d = 25 cm.
Qual é a altura dessa escada?
18
40 cm
x
50 cm
75 cm
19
40 cm
x
50 cm
75 cm
H
MONTANDO UMA PROPORÇÃO
H = 40 + 60 = 100 cm
75
50
x
40

m60x 
120x2 
2
120
x 
3
2
x
40

20
40 cm 50 cm 125 cm
H
POR SEMELHANÇA
125
50
H
40

m100H 
200H2 
2
200
H 
5
2
H
40

21
Numa cidade do interior, à noite, 
surgiu um objeto voador não 
identificado em forma de disco 
circular, que estacionou a 50 m do 
solo, aproximadamente. Um 
helicóptero do exército, situado a 
aproximadamente 30 m acima do 
objeto, iluminou-o com um 
holofote, conforme figura abaixo.
Quanto mede o diâmetro do disco 
voador? 
22
GEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANA
 Equação do 2º Grau 
- Definição e coeficientes
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