Olimpiada Cearense de Matematica Nivel 3 2022

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XLI Olimpı́ada Cearense de Matemática
Nı́vel 3 - Ensino Médio
Problema 1. Um número natural é um paĺındromo se coincidir com o número formado a partir
dele, com os algarismos escritos na ordem inversa. Por exemplo, 2002 e 19491 são paĺındromos, mas
2022 não o é.
(a) Prove que todo paĺındromo de três algarismos divide um paĺındromo de sete algarismos .
(b) Encontre um paĺındromo de três algarismos que divida pelo menos quarenta paĺındromos de
cinco algarismos.
Problema 2. Oito números reais distintos (não há dois iguais) estão associados aos vértices de
um cubo de modo que, para cada vértice, o número associado a esse vértice é igual ao produto dos
números associados aos seus três vértices vizinhos. Quais os posśıveis valores do produto dos oito
números?
Problema 3. Encontre o menor inteiro positivo n tal que existem inteiros positivos distintos a e b
satisfazendo
1
n
=
1
a2
+
1
b2
.
Problema 4. Seja ABC um triângulo e seja Γ o seu ćırculo circunscrito. A bissetriz interna relativa
a A intersecta BC em Q e intersecta Γ em X (com X ̸= A). Seja Y o pé da altura relativa a A. A
reta XY intersecta Γ em P (com P ̸= X). Seja R o ponto de Γ tal que AR é diâmetro. Mostre que
P , Q e R são colineares.
Problema 5. Uma famı́lia F de subconjuntos de X = {1, . . . , n} é dita exemplar se cada elemento
de X aparece em uma quantidade ı́mpar de subconjuntos em F . Encontre a quantidade de famı́lias
exemplares de X.