Polígonos e Triângulos

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Um polígono convexo que possui todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos 
internos congruentes entre si é chamado de polígono regular.
Exemplo
No polígono ABCDE, abaixo, a reta r que contém o lado AB deixa os demais lados em um mesmo 
semiplano de origem r. O mesmo acontece com a reta que contém qualquer um dos outros lados. 
Por isso, dizemos que esse polígono é convexo. 
r E D
CB
A
Contraexemplo (polígono não convexo)
O polígono ABCDEF, a seguir, não é convexo, pois a reta r que contém o lado AB não deixa os 
demais lados em um mesmo semiplano de origem r.
C
B
D
EF
A
r
Polígono regular
Quadrilátero regular
(quadrado)
Triângulo regular
(triângulo equilátero)
Hexágono regular
Exemplos
Notas:
Dois segmentos de reta, AB e CD, são congruentes quando têm a mesma medida. indica-se 
essa congruência por: AB & CD
Dois ângulos, AOB e MPQ, são congruentes quando têm a mesma medida. indica-se essa 
congruência por: AOB & MPQ
Polígono convexo
em um plano, a reunião de uma reta r com qualquer uma das duas regiões separadas por ela 
é chamada de semiplano de origem r.
r semiplano de origem r
Um polígono é convexo se, e somente se, a reta r que contém qualquer um de seus lados 
deixa os demais lados contidos em um mesmo semiplano de origem r.
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 Os triângulos apresentam uma rigidez 
geométrica que outros polígonos não têm. 
Essa característica é responsável pela 
frequente utilização de triângulos em 
grandes estruturas, como pontes e torres.
 Triângulos
O triângulo é o polígono fundamental, pois 
qualquer outro polígono pode ser considerado uma 
composição de triângulos dispostos lado a lado. Por 
exemplo: o pentágono ABCDE, abaixo, é composto 
pelos triângulos ABC, BCE e CDE.
B B
A
A
E E
E
B
D
D
E
C C
C
Por isso, o triângulo merece um estudo mais 
detalhado.
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos, um triângulo pode ser classificado como:
Triângulo retângulo: 
tem um ângulo 
interno reto.
Triângulo acutângulo: 
tem os três ângulos 
internos agudos.
Triângulo obtusângulo: 
tem um ângulo 
interno obtuso.
No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os outros, 
de catetos.
Quanto aos lados, um triângulo pode ser classificado como:
Triângulo equilátero: 
tem os três lados 
congruentes entre si.
Triângulo isósceles: 
tem dois lados 
congruentes entre si.
Triângulo escaleno: 
tem os três lados com medidas 
diferentes entre si.
Observe que o triângulo equilátero também é isósceles, pois tem dois lados congruentes 
entre si. 
No triângulo isósceles, o extremo comum aos lados congruentes é chamado de vértice do 
triângulo isósceles e o lado oposto a esse vértice, de base do triângulo.
Nota:
Três números positivos a, b e c podem representar as medidas dos lados de um triângulo 
se, e somente se, a soma de dois deles é maior que o terceiro. essa propriedade é chamada de 
desigualdade triangular.
Por exemplo, os números 1, 2 e 4 não podem ser lados de um triângulo, pois 1 1 2  4:
4
21
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N L
M
P
altura relativa
ao lado TPN
(ou relativa
ao vértice M)
BH
A
C
altura relativa ao
lado TCB (ou relativa
ao vértice A)
Nota:
Nesta e nas definições a seguir, quando for dito que um segmento de reta liga dois pontos, 
significa que os extremos do segmento são esses pontos.
Elementos de um triângulo
• Altura de um triângulo é o segmento de reta que liga perpendicularmente um vértice à reta 
que contém o lado oposto a esse vértice.
• Bissetriz interna de um triângulo é o segmento de reta contido na bissetriz de um ângulo 
interno, ligando um vértice ao lado oposto.
BI
A
α α
C
bissetriz interna relativa ao
vértice A (ou relativa ao lado TCB )
• Mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado 
oposto.
BM
(ponto médio)
A
C
mediana relativa ao vértice A
(ou relativa ao lado TCB )
• Mediatriz em um triângulo é a reta perpendicular a um dos lados que passa pelo ponto médio 
desse lado.
BM
(ponto médio)
A
C
mediatriz relativa ao lado TCB
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Considere um triângulo qualquer ABC, cujos ângulos internos A, B e C têm medidas a, d e J, 
respectivamente (figura 1).
Traçando por B a reta DE, paralela a AC, determinamos ângulos alternos congruentes (figura 2).
A C
B
α
β
�
A C
BD E
α
α
β
�
�
Figura 2Figura 1
Como o ângulo DBE é raso, concluímos que: a 1 d 1 J 5 180w
isso significa que:
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180w.
EXERCÍCIO REsOlvIdO
EXERCÍCIO REsOlvIdO
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