Exercicios (1001)-mesclado-150

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N L
M
P
altura relativa
ao lado TPN
(ou relativa
ao vértice M)
BH
A
C
altura relativa ao
lado TCB (ou relativa
ao vértice A)
Nota:
Nesta e nas definições a seguir, quando for dito que um segmento de reta liga dois pontos, 
significa que os extremos do segmento são esses pontos.
Elementos de um triângulo
• Altura de um triângulo é o segmento de reta que liga perpendicularmente um vértice à reta 
que contém o lado oposto a esse vértice.
• Bissetriz interna de um triângulo é o segmento de reta contido na bissetriz de um ângulo 
interno, ligando um vértice ao lado oposto.
BI
A
α α
C
bissetriz interna relativa ao
vértice A (ou relativa ao lado TCB )
• Mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado 
oposto.
BM
(ponto médio)
A
C
mediana relativa ao vértice A
(ou relativa ao lado TCB )
• Mediatriz em um triângulo é a reta perpendicular a um dos lados que passa pelo ponto médio 
desse lado.
BM
(ponto médio)
A
C
mediatriz relativa ao lado TCB
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Considere um triângulo qualquer ABC, cujos ângulos internos A, B e C têm medidas a, d e J, 
respectivamente (figura 1).
Traçando por B a reta DE, paralela a AC, determinamos ângulos alternos congruentes (figura 2).
A C
B
α
β
�
A C
BD E
α
α
β
�
�
Figura 2Figura 1
Como o ângulo DBE é raso, concluímos que: a 1 d 1 J 5 180w
isso significa que:
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180w.
EXERCÍCIO REsOlvIdO
EXERCÍCIO REsOlvIdO
324
C
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CAP 10.indb 324 03.08.10 13:12:40
xx
x
1 Calcular a medida de cada ângulo interno de um triângulo equilátero.
EXERCÍCIO REsOlvIdO
Resolução
 Os três ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes entre si. 
Indicando por x a medida de cada um desses ângulos, temos:
 x 1 x 1 x 5 180w ] 3x 5 180w
 } x 5 60w
 Logo, cada ângulo interno do triângulo equilátero mede 60w.
Teorema do ângulo externo de um triângulo
Na figura abaixo, o ângulo BAD é adjacente e suplementar de um ângulo interno do triângulo 
ABC; por isso BAD é chamado de ângulo externo desse triângulo.
Há uma importante relação entre a medida de um ângulo externo e as medidas dos ângulos 
internos de um triângulo. Para obtê-la, vamos traçar por B a reta r paralela a CA e indicar por a e 
d as medidas dos ângulos internos C e B, respectivamente, e por e a medida do ângulo externo 
relativo ao vértice A, conforme a figura 2.
A
ângulo externo
relativo ao vértice A
C
B
D A
β
α
α
C
F B
e
r
D
Figura 1 Figura 2
Os ângulos BCA e CBF têm medidas iguais por serem alternos internos formados por duas 
retas paralelas e uma transversal. Pelo mesmo motivo, os ângulos BAD e ABF também têm me-
didas iguais, isto é:
m(BAD) 5 m(ABF) ] e 5 a 1 d
Demonstramos, assim, o seguinte teorema:
A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos 
internos não adjacentes a ele.
2 No triângulo ABC, a expressão próxima de cada ân-
gulo indica a medida, em grau, do respectivo ângulo. 
Determinar a medida do ângulo externo relativo ao 
vértice C.
EXERCÍCIO REsOlvIdO
Resolução
 Pelo teorema do ângulo externo, temos:
 4x 2 10w 5 2x 1 20w 1 x 1 10w ] x 5 40w
 Logo, a medida do ângulo externo relativo ao vértice C é 4 3 40w 2 10w, ou seja, 150w.
C
2x � 20°
4x � 10°x � 10°
A
B
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CAP 10.indb 325 03.08.10 13:12:41
1 As medidas, em grau, dos ângulos internos de um 
triângulo são x, 2x e 3x.
2 Determine a medida do ângulo externo relativo ao 
vértice C do triângulo abaixo:
3 Um mastro AB de uma bandeira localiza-se sobre um 
terreno plano e horizontal. Uma pessoa, parada em 
um ponto P desse terreno, avista o ponto A por um 
ângulo de medida a com a horizontal. Caminhando 
em linha reta no sentido da base B do mastro, essa 
pessoa para em um ponto Q e avista o ponto A por 
um ângulo de medida 60w com a horizontal. Sabendo 
 que a medida do ângulo PAQ é a __ 
4
 , calcule a medida 
 a, em grau.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 1 a 4.
2xx
3x
 Quanto mede o menor ângulo interno desse triân-
gulo?
A
100°
2x � 70°
x
B C
a) Sabemos que a soma dos ângulos internos de 
um triân gulo qualquer é 180w. A partir dessa in-
formação, calcule a soma dos ângulos internos 
do quadrilátero, do pentágono e do hexágono 
convexos representados acima.
b) Calcule a soma dos ângulos internos de um po-
lígono convexo de n vértices.
4 Vimos que o triângulo é considerado o polígono 
fundamental, pois qualquer outro polígono pode 
ser considerado uma composição de triângulos 
dispostos lado a lado. Por exemplo, um quadrilá-
tero é composto de dois triângulos, um pentágono 
é composto de três triângulos e um hexágono é 
composto de quatro triângulos.
J
O
N M
L
K
B
C
D
A
I
H
G
F
E
 Congruência de triângulos
Se você tivesse dois triângulos de cartolina na mão, como faria para descobrir se os lados 
e os ângulos internos de um deles têm medidas respectivamente iguais aos lados e ângulos 
internos do outro?
Intuitivamente, a igualdade entre essas medidas ocorrerá se for possível uma sobreposição 
total dos dois triângulos, isto é, se for possível sobrepor os triângulos de modo que cada ponto de 
qualquer um deles coincida com um ponto do outro.
(Lemos 6 como “coincide”.)
A sobreposição total entre dois triângulos só é possível se, para cada ângulo de qualquer um 
dos triângulos, existe um ângulo congruente no outro, e se, para cada lado de qualquer um dos 
triângulos, existe um lado congruente no outro. Sob essas condições, dizemos que os triângulos 
são congruentes (indicamos a congruência pelo símbolo &).
A D
B C
A � D
B � E C � F
E F
326
C
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Definição
Dois triângulos são congruentes se, e somente se, existe uma correspondência biunívoca 
que associa os três vértices de um triângulo aos três vértices do outro tais que:
• ângulos com vértices correspondentes são congruentes;
• lados opostos a vértices correspondentes são congruentes.
:ABC & :DEF [ 
A & D
B & E
C & F
 e 
AB & DE
AC & DF
BC & EF
Notas:
1. Ao indicar a congruência por :ABC & :DEF estamos afirmando que os vértices A, B e C são 
os correspondentes dos vértices D, E e F, respectivamente.
2. em triângulos congruentes, lados opostos a vértices correspondentes serão chamados de 
lados correspondentes.
3. A medida de um segmento de reta AB é indicada por AB (sem o traço).
4. Não dizemos que dois triângulos congruentes são iguais, porque um ente matemático só é 
igual a ele mesmo. Assim, se dois triângulos representam conjuntos de pontos diferentes, não 
é possível dizer que eles são iguais.
Casos de congruência de triângulos
A definição de congruência de triângulos exige que sejam obedecidas seis condições: três 
congruências entre lados e três entre ângulos. Porém, escolhendo adequadamente algumas 
dentre essas seis condições, percebemos que, se elas forem obedecidas, as outras também o 
serão. Qualquer conjunto formado por uma quantidade mínima de condições capazes de garantir 
a congruência entre dois triângulos é chamado de caso de congruência (ou critério de con-
gruência). A seguir, apresentamos os principais casos de congruência de triângulos.
Caso LAL (lado-ângulo-lado)
Dois triângulos são congruentes se, e somente se, têm dois lados e o ângulo compreendido 
por eles, respectivamente, congruentes.
Caso ALA(ângulo-lado-ângulo)
Dois triângulos são congruentes se, e somente se, têm um lado e os ângulos adjacentes a 
ele, respectivamente, congruentes.
:ABC & :DEF [ 
AB & DE
B & E
BC & EF
:ABC & :DEF [ 
B & E
BC & EF
C & F
A D
B C E F
A D
B C E F
A D
B C E F
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