Eletromag1_1a_Lista_de_Exercicios

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Universidade Federal de São Carlos - UFSCar
Departamento de F́ısica - DF
Disciplina: 92240 - Eletromagnetismo 1
Professor: Rodrigo F. Shiozaki
Peŕıodo: 2023/2
1ª Lista de Exerćıcios: Análise vetorial - Eletrostática
(Data de entrega: data da P1)
1. (Teorema do Divergente): Verifique o teorema do divergente na função:
v⃗ = r2 cos θ r̂ + r2 cosφ θ̂ − r2 cos θ senφ φ̂,
usando como volume um octante de uma esfera de raio R. Certifique-se de que toda a
superf́ıcie foi inclúıda.
2. (Teorema do Stokes): Verifique o teorema de Stokes usando a função v⃗ = ayx̂+ bxŷ (a e
b são constantes) e um caminho circular de raio R, centrado na origem do plano xy.
3. (Teoremas - segundas derivadas): Os dois casos de derivadas segundas nulas podem ser
verificados combinando os teoremas fundamentais.
a) Combine o teorema do gradiente para linha fechada com o teorema de Stokes e verifique
o resultado para o rotacional do gradiente.
b) Combine o teorema de Stokes para superf́ıcie fechada com o teorema do divergente e
verifique o resultado para o divergente do rotacional.
4. (Campo Elétrico): (a) Encontre o campo elétrico numa altura z acima do centro de uma
placa quadrada de lado a com densidade de carga superficial σ. Avalie os casos limites
(b) a → ∞; e (c) z ≫ a.
5. (Lei de Gauss - coord. esféricas): Uma casca esférica oca possui uma densidade de carga
dada por:
ρ =
k
r2
,
na região a ≤ r ≤ b, sendo a o raio interno e b, o raio externo. Encontre o campo elétrico
nas regiões: (a) r < a; (b) a < r < b; e (c) r > b. (d) Faça o gráfico de |E⃗| como função
de r.
6. (Lei de Gauss - coord. ciĺındricas): Um longo cabo coaxial possui uma densidade (vo-
lumétrica) de carga uniforme ρ no cilindro interno (raio a), e uma densidade de carga
superficial uniforme na casca ciĺındrica externa (raio b). Sendo ρ positivo, a densidade
superficial é negativa e sua magnitude é tal que o cabo como um todo é eletricamente
neutro. Encontre o campo elétrico nas regiões: (a) dentro do cilindro interno; (b) entre
os cilindros; e (c) fora do cabo. (d) Faça o gráfico de |E⃗| como função de s (coordenada
ciĺındrica radial). Sugestão: faça o gráfico assumindo b > 3a.
7. (Diferença de potencial): No problema anterior, calcule a diferença de potencial entre
um ponto do eixo e um ponto no cilindro externo.
1
8. (Diferença de Potencial): Uma superf́ıcie cônica (um cone de sorvete vazio) tem um carga
superficial uniforme σ. Tanto a altura do cone quanto o raio do topo valem h. Encontre
a diferença de potencial entre os pontos a (o vértice) e b (o centro do topo).
9. (Potencial): Através da equação:
V (r⃗) =
1
4πϵ0
∫
ρ(r⃗′)
|r⃗ − r⃗′|
d3r′, (1)
determine o potencial dentro de uma esfera sólida de raio R e carga total q carregada
uniformemente.
10. (Equação de Poisson): Verifique que a Eq. 1 do exerćıcio anterior satisfaz a equação de
Poisson.
Respostas:
1. πR4/4
2. πR2(b− a)
3.
4. (a) σ
2ϵ0
(
4
π
arctan
√
1 + a2
z2
− 1
)
; (b) σ
2ϵ0
; (c) 1
4πϵ0
q
z2
5. (a) 0; (b) k
ϵ0
(
r−a
r2
)
r̂; (c) k
ϵ0
(
b−a
r2
)
r̂
6. (a) ρs
2ϵ0
ŝ; (b) ρa2
2ϵ0s
ŝ; (c) 0
7. −ρa2
4ϵ0
[
1 + 2 ln
(
b
a
)]
8. σh
2ϵ0
[
1− ln
(
1 +
√
2
)]
9. q
8πϵ0R
(
3− r2
R2
)
10.
2