PV - 3 Série - Livro 1 - Octa Mais-124

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� Mediatriz e circuncentro
Mediatriz
Mediatriz é a reta que passa pelo ponto médio de um 
segmento e é perpendicular a este. 
A B
Mediatriz
Ponto médio
M
C
D
A mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico 
dos pontos do plano que equidistam dos extremos A e B.
Circuncentro
As três mediatrizes dos lados de um triângulo se inter-
ceptam em um ponto chamado circuncentro, que é o centro 
da circunferência circunscrita ao triângulo.
m1
m3
m2
O
CB
A
Circuncentro O do triângulo ABC.
 
As mediatrizes dos lados de um triângulo não são cevia-
nas desse triângulo. 
 
Atenção!
O circuncentro pode ser:
• interno, se o triângulo for acutângulo;
A
O
CB
Circuncentro O interno ao triângulo.
Mediatriz do segmento AB.
• externo, se o triângulo for obtusângulo;
CB
A
O
Circuncentro O externo ao triângulo.
• no ponto médio da hipotenusa, se o triângulo for retângulo.
CB
A
O
Circuncentro O no ponto médio da hipotenusa.
O ponto médio da hipotenusa é, portanto, equidistante 
dos vértices e também o centro da circunferência circunscri-
ta (circuncentro). Disso, concluímos que a mediana relativa à 
hipotenusa tem medida igual ao raio da circunferência que 
circunscreve o triângulo.
Hipotenusa
R R
R
Mediana
relativa à 
hipotenusa
A
CB
Mediana relativa à hipotenusa.
 � Casos particulares
Triângulo equilátero
No triângulo equilátero, o baricentro, o incentro, o orto-
centro e o circuncentro coincidem no mesmo ponto.
Lembrando que a altura h de um triângulo equilátero de 
lado L mede 
L 3
2
 e que o baricentro divide a mediana na pro-
porção de 2 : 1, podemos calcular os raios das circunferências 
circunscrita e inscrita, respectivamente R e r, aproveitando 
o fato de que os centros do triângulo equilátero coincidem. 
MATEMÁTICA – FRENTE 3370
ATIVIDADES 5 E 6
Pontos notáveis do triângulo
2020_OCTA+_V1_MAT_F3.INDD / 22-10-2019 (09:54) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA 2020_OCTA+_V1_MAT_F3.INDD / 22-10-2019 (09:54) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA
 � Mediatriz e circuncentro
Mediatriz
Mediatriz é a reta que passa pelo ponto médio de um 
segmento e é perpendicular a este. 
A B
Mediatriz
Ponto médio
M
C
D
A mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico 
dos pontos do plano que equidistam dos extremos A e B.
Circuncentro
As três mediatrizes dos lados de um triângulo se inter-
ceptam em um ponto chamado circuncentro, que é o centro 
da circunferência circunscrita ao triângulo.
m1
m3
m2
O
CB
A
Circuncentro O do triângulo ABC.
 
As mediatrizes dos lados de um triângulo não são cevia-
nas desse triângulo. 
 
Atenção!
O circuncentro pode ser:
• interno, se o triângulo for acutângulo;
A
O
CB
Circuncentro O interno ao triângulo.
Mediatriz do segmento AB.
• externo, se o triângulo for obtusângulo;
CB
A
O
Circuncentro O externo ao triângulo.
• no ponto médio da hipotenusa, se o triângulo for retângulo.
CB
A
O
Circuncentro O no ponto médio da hipotenusa.
O ponto médio da hipotenusa é, portanto, equidistante 
dos vértices e também o centro da circunferência circunscri-
ta (circuncentro). Disso, concluímos que a mediana relativa à 
hipotenusa tem medida igual ao raio da circunferência que 
circunscreve o triângulo.
Hipotenusa
R R
R
Mediana
relativa à 
hipotenusa
A
CB
Mediana relativa à hipotenusa.
 � Casos particulares
Triângulo equilátero
No triângulo equilátero, o baricentro, o incentro, o orto-
centro e o circuncentro coincidem no mesmo ponto.
Lembrando que a altura h de um triângulo equilátero de 
lado L mede 
L 3
2
 e que o baricentro divide a mediana na pro-
porção de 2 : 1, podemos calcular os raios das circunferências 
circunscrita e inscrita, respectivamente R e r, aproveitando 
o fato de que os centros do triângulo equilátero coincidem. 
MATEMÁTICA – FRENTE 3370
ATIVIDADES 5 E 6
Pontos notáveis do triângulo
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G
R
r
h
G é baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro do 
triângulo ABC.
Assim:
r h r
L
r
L
R h R
L
R
L
� � � � � � �
� � � � � � �
1
3
1
3
3
2
3
6
2
3
2
3
3
2
3
3
Triângulo isósceles
Na figura a seguir, o triângulo ABC é isósceles e AB = AC. 
O segmento AD é mediana, altura e bissetriz relativas à base 
BC, além de estar contido na mediatriz desse segmento. Em 
relação ao lado AC:
• BB1 é altura;
• BB2 é bissetriz interna;
• BB3 é mediana;
• CB3 está contido na mediatriz.
G
D
I
CB
A
B1
B2
B3
O
H
Observamos que o ortocentro (H), o incentro (I), o bari-
centro (G) e o circuncentro (O) estão alinhados sobre a ce-
viana AD.
Triângulo retângulo
No triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio 
da hipotenusa e o ortocentro coincide com o vértice do ân-
gulo reto.
Mediana
relativa à
hipotenusa
Circuncentro
R
Ortocentro
R
R
Cevianas e pontos notáveis do triângulo isósceles.
Cevianas e pontos notáveis do triângulo retângulo.
1 Um ponto Q pertence à região interna de um triângulo 
DEF e equidista dos lados desse triângulo. O ponto Q é, do 
triângulo DEF, o: 
A baricentro. 
B incentro. 
C circuncentro. 
D ortocentro. 
2 Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se posicio-
nam externamente a ele? 
A Baricentro e ortocentro. 
B Incentro e circuncentro. 
C Baricentro e circuncentro. 
D Incentro e ortocentro.
E Baricentro e incentro.
3 Qual dos pontos notáveis do triângulo pode ser um de 
seus vértices? 
A Baricentro.
B Incentro.
C Circuncentro.
D Ortocentro.
4 Um ponto P equidista dos vértices de um triângulo ABC. O 
ponto P é, do triângulo ABC, o: 
A baricentro. 
B incentro. 
C circuncentro. 
D ortocentro. 
5 O segmento da perpendicular traçada de um vértice de 
um triângulo à reta do lado oposto é denominado altura. O 
ponto de intersecção das três retas suportes das alturas do 
triângulo é chamado de:
A baricentro.
B incentro.
C circuncentro.
D ortocentro.
E mediana.
MATEMÁTICA – FRENTE 3 371
ATIVIDADES 5 E 6
Pontos notáveis do triângulo
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6 No triângulo ABC, em que AB = 18, AC = 24 e BC = 30, 
determine:
a) o raio da circunferência circunscrita;
b) a distância entre o baricentro e o circuncentro.
7 Na figura, o ponto G é o baricentro do triângulo, e a área 
de S1 é 6 cm
2.
A
D C
G
S1
A área do triângulo ABC é:
A 72 cm2.
B 62 cm2.
C 50 cm2.
D 42 cm2.
E 36 cm2.
8 No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é a bissetriz 
do ângulo interno em A, e AD DB= . O ângulo interno em A 
é igual a:
D60°
B
C
A
A 60°
B 70°
C 80°
D 90°
9 No triângulo ABC, G é o baricentro. Calcule x e y.
A
C D
CG = y + 2
GE = x
AG = y
GD = 7 – x
B
E
G
 
10 Sejam XY um segmento de reta cujo comprimento é 4 m 
e Z um ponto da mediatriz do segmento XY cuja distância ao 
segmento XY é 6 m. Se P é um ponto equidistante de X, Y e Z, 
então a distância, em metros, de P ao segmento XY é igual a:
A 
8
3
B 
7
3
C 
9
4
D 
7
4
11 Seja r o raio, em cm, da circunferência inscrita em um 
triângulo retângulo com catetos medindo 6 cm e 8 cm. Quan-
to vale 24r? 
12 O segmento da perpendicular traçada de um vértice de 
um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado:
A mediana.
B mediatriz.
C bissetriz.
D altura.
E base.
13 O ∆ABC da figura a seguir é equilátero, e seu lado mede 
42 cm. Se BD = BC e AE = EC, calcule BF.
BC
A
E
F
D 
14 No triângulo ABC da figura a seguir, I é o seu incentro. 
Calcule o valor do ângulo x.
25° 10°
x
I
A
C B 
15 O quadrado ABCD da figura a seguir possui lado de me-
dida a. Sendo E o ponto médio de AB, determine a medida 
do segmento FG.
A E B
D C
F
G
 
16 Dado o triângulo equilátero de lado 4 3 cm, calcule:
a) o raio da circunferência inscrita;
b) o raio da circunferência circunscrita.
MATEMÁTICA – FRENTE 3372
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Pontos notáveis do triângulo
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