Física 1-184-186

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CAPÍTULO
11Cinemática angular
Capítulo 11182
X
Y
1. Medidas de ângulos
2. Deslocamento 
angular
3. Velocidade angular
4. Período e frequência 
5. Transmissão de 
movimento circular
6. Rolamento
7. A persistência 
retiniana e o efeito 
estroboscópico
Nos capítulos anteriores estudamos alguns aspectos dos movimentos de transla-
ção. Neste capítulo vamos estudar a Cinemática do movimento de rotação de um 
corpo rígido (indeformável).
Suponhamos, por exemplo, que um disco esteja girando em um antigo toca-
discos (fi g. 1). Sobre o disco consideremos dois pontos, X e Y, alinhados com o 
centro O. em determinado instante eles estão nas posições da fi gura 2 e, depois de 
algum tempo, estarão nas posições da fi gura 3.
Figura 1. Figura 3. Figura 2.
TH
IN
k
ST
O
C
k
/g
eT
Ty
 IM
A
g
eS
X
Y
O
X
Y
O
α
É fácil perceber que a distância percorrida pelo ponto X é maior do que a distân-
cia percorrida pelo ponto Y. No entanto há algo em comum aos deslocamentos de 
X e Y: o ângulo central α. Podemos garantir que, entre os instantes correspondentes 
às fi guras 2 e 3, todos os pontos do disco giraram o mesmo ângulo α (com exceção 
do ponto O).
esse exemplo nos mostra que, para estudar a rotação de um corpo, pode ser 
mais interessante usar o ângulo girado em vez da distância percorrida por um pon-
to. Mesmo no caso de uma partícula, se esta tiver movimento circular, veremos que 
pode ser conveniente descrever o movimento usando o ângulo girado.
1. Medidas de ângulos
Na geometria elementar são usadas duas unidades de ângulo: o grau e a revo-
lução (ou volta). A relação entre essas unidades é:
1 revolução = 1 rev = 360°
Na Trigonometria é introduzida outra unidade: o radiano, cujo símbolo é rad, e 
que é a unidade de ângulo do SI.
Cinemática angular 183
Figura 8.
O radiano é defi nido como a medida de um ângulo central de uma circun-
ferência que corresponde a um arco de comprimento igual ao raio da circunfe-
rência (fi g. 4).
Sabemos que o comprimento (perímetro) da circunferência é dado por 
C = 2πr, em que π ≅ 3,14. Assim, C ≅ 6,28r. Como cada R corresponde a um 
radiano (fi g. 5), o número de radianos em uma volta (1 rev) é igual a 2π:
1 volta = 1 rev = 360° = 2π rad ≅ 6,28 rad
Portanto:
1 rad = 
360°
2π
 ≅ 
360°
6,28
 ≅ 57,3°
Como consequência, temos (fi g. 6):
1 rad → r
θ rad → s
 ⇒ 
 
s = θ · R
em radianos
 1
Devido à simplicidade da equação 1 , há uma prefe-
rência pela unidade radiano no estudo das rotações.
AB = Rθ = 1 rad
A
R
B
Figura 4.
R
R
x
R
R
R
R
α
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Figura 5.
R
R
s
R
R
R
1 rad
θ rad
Figura 6.
Em uma circunferência de raio R = 60 cm, consideramos um arco AB de comprimento s, determinado por um ângulo 
central θ = 30°. Vamos determinar o valor de s.
360° → 2π rad
30° → x rad
 ⇒ x = 
(30)(2π)
360
 rad = 
π
6
 rad ⇒ θ = 
π
6
 rad
Para θ em radianos, podemos usar a equação 1 :
s = θ · R = 
π
6
 (60 cm) = 10π cm ≅ 10(3,14) cm ≅ 31,4 cm
s ≅ 31,4 cm
Exemplo 1
Figura 7.
s
R
R
A
B
O θ = 30¡
É costume dar como medida de um arco o ângulo central a ele correspondente. 
Assim, no exemplo 1, o arco Ab tem comprimento aproximadamente igual a 31,4 cm, 
mas podemos dizer: “Ab é um arco de 30°” ou “Ab é um arco de π
6
 rad”. 
2. Deslocamento angular
Na fi gura 8a representamos uma partícula que se deslocou do ponto A para o ponto 
B sobre uma circunferência de centro O e raio R. O comprimento Δs do arco Ab é o 
espaço percorrido pela partícula, e o ângulo central Δθ oposto ao arco Ab é o deslo-
camento angular:
Δθ = deslocamento angular
Na fi gura 8a o deslocamento ocorreu no sentido horário, isto é, no mesmo sentido 
dos ponteiros do relógio; na fi gura 8b o deslocamento do ponto P ao ponto Q ocorreu 
no sentido anti-horário, isto é, no sentido oposto ao do movimento dos ponteiros do 
relógio. Na maioria das aplicações, levaremos em conta o deslocamento angular em 
R
R
A
B
O Δθ Δs
(a)
R
R
Q
P
O Δθ Δs
(b)
Capítulo 11184
módulo; porém, em certos casos, quando estivermos analisando dois ou mais pontos 
girando em sentidos diferentes, poderemos adotar um dos sentidos como positivo e o 
outro como negativo.
Assim como na Trigonometria, também poderemos ter deslocamentos angulares 
maiores que uma volta.
3. Velocidade angular
Definimos a velocidade escalar média por v
m
 = 
Δs
Δt
 e a velocidade vetorial média 
por v
m
 = 
d
Δt
, em que Δs é a variação de posição e d é o vetor deslocamento. De modo 
análogo, definimos uma velocidade angular média.
Suponhamos que, num intervalo de tempo Δt, uma partícula em movimento circu-
lar (fig. 9) execute um deslocamento angular Δθ. A velocidade angular média (ω
m
) da 
partícula nesse intervalo de tempo é definida por:
ω
m
 = 
Δθ 
Δt
 2
Se tivermos um corpo rígido em rotação, a equação 2 nos dará a velocidade angu-
lar média do corpo, isto é, todos os pontos do corpo terão a mesma velocidade angular 
(com exceção dos pontos do eixo de rotação).
No Sistema Internacional, a unidade de velocidade angular é o rad/s (ou rad · s–1), 
mas, com frequência, também são usadas as unidades rev/s (simbolizada por rps) e 
rev/min (simbolizada por rpm). As unidades envolvendo o grau (grau/s, grau/min, etc.) 
são pouco usadas.
No capítulo 3 vimos que, além da velocidade escalar média, há a velocidade escalar 
instantânea, definida por um limite. Aqui ocorre o mesmo; além da velocidade angular 
média, definimos uma velocidade angular instantânea por meio de um limite:
ω
i
 = lim
Δt → 0
 
Δθ 
Δt
Na realidade, não calcularemos esse limite. Vamos apenas repetir o comentário feito 
no capítulo 3: se a velocidade angular instantânea for constante (movimento uniforme), 
ela será igual à velocidade angular média em qualquer intervalo de tempo:
ω
i
 = constante ⇒ ω
i
 = ω
m
 = 
Δθ 
Δt
 (movimento uniforme)
De modo geral, tomaremos a velocidade angular em módulo. No entanto, quando 
vários movimentos ocorrerem em sentidos diferentes, é conveniente atribuir um sinal à 
velocidade angular.
No capítulo 1 vimos que a grandeza ângulo não é básica. Assim, embora a unidade 
de ω, no SI, seja
rad · s–1
a equação dimensional de ω é:
[ω] = T–1
Figura 9.
R
O Δθ
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