Aula_03_-_Trigonometria_-_UNICAMP_2024

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ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 1
UNICAMP 
Exasiu
Prof. Marçal Ferreira 
Aula 03 – Trigonometria. 
vestibulares.estrategia.com 
EXTENSIVO 
2024 
Exasi
u
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 4 
1. ELEMENTOS BÁSICOS DA TRIGONOMETRIA 5 
1.1. O que é um ângulo 5 
1.2. Ângulos e arcos de circunferência 6 
1.2.1. Graus 6 
1.2.2. Grados 7 
1.2.3. Radianos 8 
1.2.4. Arcos notáveis 12 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 14 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 15 
2. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 17 
2.1. Porcentagem 17 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 19 
2.2. Razão cosseno 20 
2.3. Razão seno 27 
3. CICLO TRIGONOMÉTRICO 27 
3.1. Tabela de senos e cossenos 35 
3.2. Redução ao primeiro quadrante 36 
4. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 37 
4.1. Razões seno e cosseno no triângulo retângulo 37 
4.2. Razão tangente no triângulo retângulo 39 
4.3. Outras razões trigonométricas 40 
4.4. Associação de arcos 40 
4.4.1. Soma de arcos 41 
4.4.2. Diferença de arcos 41 
4.4.3. Arco duplo 41 
4.4.4. Arco metade 41 
5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 41 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 3 
5.1. Função cosseno 42 
5.2. Função seno 44 
5.3. Comparativo entre as funções seno e cosseno 45 
5.4. Translação 46 
5.5. Amplitude e proximidade com relação ao eixo 𝒙 47 
5.6. Período da função 49 
5.6.1. Alteração do período da função 50 
5.7. Notação cíclica 53 
6. FÓRMULAS, DEMONSTRAÇÕES E COMENTÁRIOS 54 
6.1. Coeficiente angular da função linear e a trigonometria 54 
7. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 59 
8. GABARITO DAS QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 76 
9. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES RESOLVIDAS E COMENTADAS 77 
10. CONSIDERAÇÕES FINAIS 158 
 
 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 4 
Introdução 
Nesta aula estudaremos as razões trigonométricas. Ao longo do curso, outros tópicos de 
trigonometria serão adicionados conforme necessidade pedagógica. Contudo, esta aula contém 
bases importantíssimas para o desenvolvimento do assunto. 
A teoria contém uma contextualização para entendermos o que são as razões seno e 
cosseno e a resolução dos exercícios traz de forma mais extensiva a aplicação dessa teoria. 
Estude com cautela tanto a teoria quanto a resolução dos exercícios. Trigonometria é um 
assunto delicado e precisa de um tempo de maturação para ser absorvido. 
Indico a leitura da parte teórica, seguida da lista de exercícios de vestibulares anteriores 
resolvidos e comentados e, ao final, a resolução dos exercícios de forma autônoma até que 
consiga resolver toda a lista sem consulta. 
Após terminar a aula, revise-a periodicamente. É fácil deixarmos detalhes para trás com 
o tempo. 
Se ficar com dúvidas, já sabe. Entre em contato pelo fórum ou pelo site. 
Um grande abraço e bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
/professormarcal /professor.marcal /professormarcal 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 5 
1. Elementos básicos da trigonometria 
1.1. O que é um ângulo 
Você se lembra, das aulas de física, das ideias de direção e sentido? 
Ao passo que uma reta tem uma única direção, apresenta dois sentidos diferentes. 
Parecido ao que ocorre em uma rua de mão única, a rua (se reta, claro) representa a 
direção enquanto a mão da rua, o sentido. 
Direção é como se fosse um “rumo”. Um professor me disse uma vez que direção é o que 
existe de comum em um feixe de retas paralelas. 
Pois bem, o ângulo, objeto deste tópico, é a diferença de direção entre duas retas 
concorrentes1. 
Ao analisarmos duas retas concorrentes, podemos notar várias situações possíveis, 
acompanhe: 
 
Na representação dos ângulos é comum colocarmos os ângulos entre segmentos de 
retas, vetores, ou até representações de objetos. No entanto, estamos nos referindo ao ângulo 
entre as retas que contém os segmentos ou os vetores ou qualquer outro elemento que se possa 
representar, ok? Um ângulo é tomado entre duas retas. 
 
1 Retas concorrentes: retas que têm apenas um ponto em comum. 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 6 
1.2. Ângulos e arcos de circunferência 
Ao analisarmos os ângulos, é natural dizermos que o ângulo reto é “maior” que um ângulo 
agudo. 
Mas veja que, sem definirmos um sistema de medida, a própria comparação fica 
comprometida. 
Com esse problema na cabeça, foram desenvolvidos vários sistemas de medida para os 
ângulos. Os mais famosos são: 
 
Vamos entender cada uma dessas medidas. 
1.2.1. Graus 
Há séculos a humanidade tem ciência de que a trajetória da Terra em torno do sol é 
circular e de ciclo periódico. A esse período, denominamos ano terrestre. 
Nos primeiros calendários, o ano figurava com 360 dias. Conforme nosso conhecimento 
se ampliava, a precisão foi aumentando até chegarmos aos 365 dias e 6 horas, 
aproximadamente. 
Justamente por causa dos calendários antigos, a circunferência foi dividida em 360 partes, 
uma para cada dia de translação da Terra em torno do sol. A cada uma dessas partes, chamamos 
de um grau2, simbolizado por 1°. 
Desse modo, surgiu a divisão da circunferência em graus como conhecemos hoje. 
Para praticidade, dividiremos a circunferência em quatro partes, chamadas quadrantes. 
Cada parte é o equivalente a 
1
4
∙ 360° = 90° 
Embora você possa traçar uma origem onde quiser em uma circunferência, por padrão, 
iniciamos no ponto extremo à direita e contamos os ângulos no sentido anti-horário. 
 
2 Grau: do latim gradus, significa etapa, passo. 
Grau
Grado
Radiano
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 7 
 
1.2.2. Grados 
A origem da palavra grados é a mesma da palavra graus e eles apresentam significados 
semelhantes. 
A diferença é que, enquanto para os graus a circunferência foi dividida com base na 
astronomia e no calendário, para os grados a base foi nosso próprio sistema de numeração 
decimal. 
Como nossa contagem é decimal, é de se esperar que dividamos as coisas em múltiplos 
e divisores dessa linguagem. Dessa forma, cada quadrante da circunferência foi dividido em 100 
partes, cada parte denominada de 1 grado. 
Desse modo, a circunferência toda conta com 400 grados. 
Veja a graduação da circunferência em graus e em grados. 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 8 
 
1.2.3. Radianos 
A palavra radianos deriva do latim radius que significa raio. 
Nos radianos, a intenção é estabelecer uma medida angular que dependa somente da 
própria circunferência. 
Como a definição de circunferência está intimamente ligada à definição de raio, nada mais 
justo que atrelarmos a medida angular ao raio da circunferência. 
 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 9 
 
Falando em circunferência, você sabe diferenciá-la de círculo? 
Circunferência é o conjunto de pontos equidistantes de um ponto central. 
 
A distância desse ponto central a qualquer um dos pontos 
da circunferência é chamada de raio da circunferência. 
 
Já o círculo é a área interna a uma circunferência. 
 
Podemos pensar que uma pizza e um disco são exemplos de círculos, 
enquanto um anel e um pneu fino são mais semelhantes à circunferência. 
 
Para o estabelecimento do radiano como 
unidade de medida angular, vamos pegar a 
medida de um raio da circunferência e colocá-lo 
na própria circunferência. 
Aqui podemos definir dois conceitos 
importantes. 
O ângulo entre a reta que contém o raio 
contínuo e o raio pontilhado é de 1 radiano, 
representado por 1 rad. 
Um “pedaço” da circunferência, nesse caso 
referente a 1 raio, é chamado de arco de 
circunferência. 
 
 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 10Mesmo dividindo a circunferência em radianos, ainda há a necessidade de dividir a 
circunferência em quadrantes. Vejamos como isso acontece. 
 
Agora começaram os problemas. 
Dividir a circunferência em arcos de um raio de comprimento, ou, em outras palavras, em 
arcos de 1 radiano, não retorna um número inteiro. 
Pelo que vimos na imagem anterior, uma volta na circunferência tem pouco mais de 6 
raios, ou 6 radianos, o que é proporcional a pouco mais de 3 radianos em meia volta (dois 
quadrantes ou 180°). 
Por meio do cálculo diferencial e de computação de alto desempenho, hoje sabemos com 
milhões de casas decimais de precisão, quanto vale esse “pouco mais de 3 radianos” que estão 
em 180°. 
Esse 3 e pouco é tão importante em nossa ciência atual que tem até um nome específico. 
Já sabe de quem eu estou falando? 
Do número 𝜋 (Pi), que vale, aproximadamente, 𝜋 = 3,1415926535… 
Na verdade, o 𝜋 é um número irracional, sem padrão definido e infinitas casas decimais. 
Ângulo Arco
diferença de direção entre 
duas retas
parte de circunferência
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 11 
A definição formal do número 𝜋 é a razão entre o semiperímetro da circunferência (o 
comprimento equivalente a 180°) e o raio (obviamente, da mesma circunferência). 
𝑆𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑟𝑎𝑖𝑜
=
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜
= 𝜋 
Utilizando somente a segunda igualdade, temos: 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜
= 𝜋 
Multiplicando por 2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 ∙
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜
= 𝜋 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 
 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜
∙ 2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 = 𝜋 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 
 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝜋 ∙ 2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 
Você já deve ter visto essa relação, com o perímetro da circunferência simbolizado pela 
letra C, o raio da circunferência por 𝑟 e invertendo a ordem do produto do segundo membro: 
𝐶 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 
Muito bem, já conseguimos definir o valor de 𝜋, dividir a circunferência em quadrantes e 
descobrir uma fórmula para o perímetro da circunferência. 
Vamos, agora, escrever os ângulos dos quadrantes em radianos. 
No entanto, para escrevê-los, não utilizaremos os números inteiros(1 𝑟𝑎𝑑, 2 𝑟𝑎𝑑, 3 𝑟𝑎𝑑,… ), 
pois vimos que a circunferência não pode ser dividida em um número inteiro de radianos. 
Ao invés disso, já que 𝜋 é justamente o número de radianos correspondentes a 180° (meia 
volta), vamos utilizá-lo como padrão. 
Marquemos também a metade de 𝜋 rad, equivalente a 90°: 
1
2
∙ 180° =
1
2
∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 =
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑, 
o arco referente a 270°, o triplo de 90°, portanto, 
3 ∙ 90° = 3 ∙
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 =
3𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑, 
E a totalidade da circunferência: 
360° = 2 ∙ 180° = 2 ∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 12 
 
E, assim, estabelecemos como dividir a circunferência em radianos. 
1.2.4. Arcos notáveis 
Alguns arcos são muito recorrentes em problemas de física, matemática, engenharia e até 
computação. 
Por aparecerem tanto, vale a pena verificá-los com alguma deferência. 
Esses arcos notáveis são algumas frações do arco 𝜋 radianos, que acabamos de ver. 
Os mais frequentes são: 
𝜋
2
,
𝜋
3
,
𝜋
4
 𝑒
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 
Ok, professor, tudo bem. Mas como vou saber quantos graus equivalem a cada um destes 
arcos em radianos? 
Ótima pergunta! 
A técnica mais comum para essa transformação de unidades é a famosa regra de três: 
180° equivalem a 𝜋 radianos. Quantos graus equivalem a fração de radianos procurada? 
No entanto, gostaria que você fosse por outro caminho. 
Sabemos que 180° equivalem a 𝜋 radianos e você precisa memorizar isso. 
Pois bem. Para transformar uma fração de 𝜋 radianos em graus, basta retirar o número 𝜋 
(com a unidade radianos) e colocar 180° no lugar, veja como é simples. 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 13 
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 =
180°
2
= 90° 
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 =
180°
3
= 60° 
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 =
180°
4
= 45° 
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 =
180°
6
= 30° 
Essa técnica é um pouco mais rápida que a regra de três e, a meu ver, tem mais potencial 
para ajudar na interpretação dos exercícios do vestibular. 
Vamos marcar estes arcos notáveis na circunferência? 
 
Professor, e se eu tenho um ângulo em graus, como o expresso em radianos? 
Igualmente simples. A regra de três sempre é uma opção, além de podermos dizer a 
fração que o ângulo é de 180°, afinal, é exatamente o que vale o 𝜋, não é? Já fizemos isso para 
estabelecer os ângulos de 90°, 270° 𝑒 360° anteriormente. 
Vish, entendi nada, professor... 
Calma, vejamos como fica na prática que você vai entender. 
Vamos transformar, digamos, 150° para uma fração de 𝜋 radianos. 
150° = 150° ∙ 1 = 150° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 150 
5 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o
=
5𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
Perceba que a fração que inserimos não afeta o valor de 150°, pois a fração tem valor 
nominal igual a 1. Ao simplificar 150° com 180°, chegamos à fração correspondente ao arco em 
radianos. Note também que a unidade de graus também foi simplificada. 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 14 
Esse método, com prática, acaba sendo mais rápido que a regra de três e aconselho a 
você treinar por este nos exercícios. 
Além dos arcos que já vimos como notáveis, todos os seus múltiplos, até uma volta 
completa, costumam aparecer nos problemas também. 
Sendo assim, vamos transformar todos esses múltiplos em radianos e marca-los na 
circunferência. 
Podemos fazer os múltiplos desses arcos tanto em radianos quanto em graus. 
Como exercício, vamos fazer em graus e, depois, transformá-los para radianos. 
Arco Múltiplos 
30° 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, 270°, 300°, 330°, 360° 
45° 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360° 
60° 120°, 180°, 240°, 300°, 360° 
Nossa, são muitos, professor! 
Sem preguiça! Eu faço daqui e você faz daí, depois conferimos. 
Muitos deles se repetem como múltiplos de mais de um ângulo, então não precisamos 
calculá-los toda vez que aparecerem. Os arcos já conhecidos também não precisam ser 
calculados, como 90°, 180°, 270° e assim por diante. 
Vamos lá? Façamos essas transformações como um exercício de fixação. 
 Exercício de fixação 
1. Transforme para radianos os seguintes ângulos dados em graus: 
a) 𝟏𝟐𝟎° b) 𝟏𝟑𝟓° c) 𝟏𝟓𝟎° d) 210° e) 𝟐𝟐𝟓° f) 𝟐𝟒𝟎° g) 300° 
h) 𝟑𝟏𝟓° i) 330° j) 360° 
Já fez? Ok, minha vez então. 
Arco em graus Arco em radianos 
𝟏𝟐𝟎° 
120° = 120° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 120 
2 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
3 o
=
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
𝟏𝟑𝟓° 
135° = 135° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 135 
3 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
4 o
=
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 
𝟏𝟓𝟎° 
150° = 150° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 150 
5 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o
=
5𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 15 
𝟐𝟏𝟎° 
210° = 210° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 210 
7 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o
=
7𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
𝟐𝟐𝟓° 
225° = 225° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 225 
5 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
4 o
=
5𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 
𝟐𝟒𝟎° 
240° = 240° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 240 
4 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
3 o
=
4𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟎𝟎° 
300° = 300° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 300 
5 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
3 o
=
5𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟏𝟓° 
315° = 315° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 315 
7 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
4 o
=
7𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟑𝟎° 
330° = 330° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 330 
11 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o
=
11𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟔𝟎° 
360° = 360° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 360 
2 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
1 o
= 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
Como nosso último exercício sobre esse assunto, que tal colocarmos todos esses arcos na 
circunferência? 
 
 Exercício de fixação 
2. Indique os múltiplos dos arcos notáveis na circunferência. 
 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA16 
Conseguiu? 
Vamos conferir. 
Os múltiplos dos arcos notáveis, posicionados na circunferência: 
 
 
 
 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 17 
2. Razões Trigonométricas 
2.1. Porcentagem 
A porcentagem é uma razão entre duas grandezas, expressa em grupos de cem. 
Porcentagem pode até parecer meio distante da trigonometria agora, mas, em algumas páginas, 
você verá o quão próximos esses dois tópicos são. Acompanhe. 
Para calcular uma porcentagem de algo, é comum que se use uma calculadora ou, na 
melhor das hipóteses, a regra de três. 
Veremos aqui uma maneira mais direta de expressar essa razão, quer expressa em 
grupos de cem, quer na forma pura. 
Vamos lá. 
Pense na idade da pessoa mais idosa que você conhece. Pode ser um parente, alguém 
do trabalho, da escola, quem você quiser. 
Agora, vamos comparar a idade dessa pessoa com a sua por meio da porcentagem. 
De posse da sua idade e da outra, podemos fazer duas razões: 
 a sua idade dividida pela dela a idade dela dividida pela sua 
Vamos analisar ambos os casos. 
Aqui, vou indicar a sua idade como 20 anos e a idade da pessoa mais velha como 95 
anos, mas você pode refazer as operações com os valores reais. 
O que indicaria a razão: a sua idade dividida pela dela? 
Vejamos: 
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 1 =
20
95
≅ 0,2105 
Se quisermos expressar essa razão em porcentagem, basta multiplicarmos por 100 100⁄ . 
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 1 =
20
95
≅ 0,2105 ∙
100
100
=
21,05
100
= 21,05 % 
Isso significa, literalmente, que você viveu 0,2105 vida da pessoa ou, se preferir, 21,05 % 
da vida da pessoa. Bem simples, não é? 
Vamos fazer a razão inversa: a idade da pessoa dividida pela sua. 
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 2 =
95
20
= 4,75 = 4,75 ∙
100
100
=
475
100
= 475 % 
Indicando que a pessoa viveu 4,75 vidas suas ou 475 % da sua vida. 
Desse modo, veja mais algumas relações entre a notação decimal e a de porcentagem. 
 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 18 
Porcentagem Notação decimal 
𝟏𝟓 % 0,15 
𝟒𝟖 % 0,48 
𝟏𝟎 % 0,10 = 0,1 
𝟓 % 0,05 
𝟏 % 0,01 
𝟗𝟗 % 0,99 
𝟏𝟎𝟎 % 1 
Durante nosso curso, sempre que você vir um número na forma decimal, indico fazer um 
gatilho mental para a porcentagem até que isso fique automático para você. Isso lhe trará muitos 
benefícios na matéria. 
Agora, vamos à aplicação. 
Você viu que a porcentagem é um número, mas o que esse número significa? 
Bem, para contextualizá-lo, precisamos saber sobre o objeto de referência da 
porcentagem. 
Se eu digo a você que meu salário é de 75%, acabei não passando muita informação 
acerca desse ganho. Mas se eu digo que meu salário é 75% de 𝑅$2.000,00, a informação está 
completa e você tem informação suficiente para calcular o quanto ganho, correto? 
Nesse caso, o cálculo fica assim: 
75% 𝑑𝑒 𝑅$2.000,00 
75
100
⋅ 2.000 
1500 
Então, meu salário é de 𝑅$1500,00. 
O que é importante aqui é entender que uma porcentagem sozinha é um número como 
outro qualquer. Falar 75% isoladamente é o mesmo que falar 0,75. 
Já quando temos um contexto e estamos calculando porcentagem de algo, significa que 
vamos multiplicar essa porcentagem por esse algo, o que aconteceu com o caso do salário de 
que acabamos de falar. 
E isso não se dá apenas com porcentagem, acontece com qualquer fração. Perceba que 
se eu disser que vendi minha bicicleta por 20%, a informação ficou incompleta. Bem, vimos que 
20% é o mesmo que 1/5, ou ainda, 0,2, então, também não faz muito sentido dizer que vendi 
minha bicicleta por uma fração ou por um número isolado. O contexto, nesse caso, seria 20% do 
preço de uma nova, ou, do mesmo modo, 1/5 do preço de uma nova. 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 19 
Vamos ver se entendemos bem? 
 Exercício de fixação 
3. Calcule: 
𝒂) √𝟒% 
𝒃) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟓𝟎% 
𝒄) 
𝟐𝟓%
𝟓𝟎%
 
𝒅)
𝟐𝟓
𝟓𝟎%
 
𝒆) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟒𝟗𝟓 
Comentários 
𝒂) √𝟒% 
√𝟒% = √
𝟒
𝟏𝟎𝟎
=
√𝟒
√𝟏𝟎𝟎
=
𝟐
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟐 = 𝟐𝟎% 
𝒃) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟓𝟎% 
𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟓𝟎% =
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
⋅
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
=
𝟏
𝟏𝟎
⋅
𝟓
𝟏𝟎
=
𝟓
𝟏𝟎𝟎
= 𝟓% 
𝒄) 
𝟐𝟓%
𝟓𝟎%
 
𝟐𝟓%
𝟓𝟎%
=
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
=
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎
⋅
𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎
=
𝟏
𝟏
⋅
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓 = 𝟓𝟎% 
𝒅)
𝟐𝟓
𝟓𝟎%
 
𝟐𝟓
𝟓𝟎%
=
𝟐𝟓
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐𝟓 ⋅
𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎
= 𝟏 ⋅
𝟏𝟎𝟎
𝟐
= 𝟓𝟎 
Embora não temha sido pedido o formato da resposta, caso o contexto exija, podemos 
expressar o número 50 em porcentagem também, como 𝟓𝟎𝟎𝟎%, sem problemas, ok? 
Porcentagem é só uma maneira de representar um número com uma fração de denominador 
𝟏𝟎𝟎. 
𝒆) 𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟒𝟗𝟓 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 20 
𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟒𝟗𝟓 =
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
⋅ 𝟒𝟗𝟓 =
𝟏
𝟏𝟎
⋅ 𝟒𝟗𝟓 =
𝟒𝟗𝟓
𝟏𝟎
= 𝟒𝟗, 𝟓 
 
2.2. Razão cosseno 
Imagine que, em um dia de sol a pino, você coloque uma tábua deitada no chão. 
O solo, imediatamente abaixo dessa tábua, será impedido de receber diretamente a luz 
solar, pois a tábua projeta no solo uma sombra. 
Você diria que a sombra dessa tábua, que está praticamente tocando o solo, será muito 
maior que a própria tábua, aproximadamente do mesmo tamanho ou menor que a tábua? 
Pois bem, a sombra deve ter, praticamente, o mesmo tamanho de quem a projeta, já que 
quem a projeta está a pouca distância. 
 
 
 
Usando a porcentagem que acabamos de ver, é seguro dizer que essa sombra tem 100% 
do tamanho da tábua ou, em decimal, 1 tábua de comprimento. 
Por algum motivo, você decide levantar uma das extremidades da tábua e nota que a 
sombra que a tábua projeta no chão começa a diminuir. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 21 
 
 
Se precisássemos calcular qual o tamanho da sombra em relação à tábua, poderíamos 
fazer a razão entre o tamanho da sombra e o comprimento da tábua. 
É de se imaginar que, quanto mais inclinamos a tábua, menor será sua sombra, até que, 
quando a tábua estiver de pé, praticamente não fará sombra alguma, ou seja, 0 % de sombra. 
Se projetarmos uma circunferência com uma tábua de raio, podemos representar essa 
exata situação, veja: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 22 
 
A sombra máxima possível é de 1 tábua e a mínima, quando a tábua estiver a 90°, zero. 
Nesse modelo, é razoável considerarmos a sombra do outro lado da tábua, como negativa, 
significando que a tábua foi “tombada”. 
Vamos indicar os arcos notáveis do primeiro quadrante, bem como os números máximo e 
mínimo para a sombra da tábua em função da tábua. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 23 
 
Conforme vamos alterando o ângulo entre a tábua e a horizontal, a sombra também varia. 
Suponhamos que você tenha feito as medidas e calculado as razões para os arcos 
indicados e os tenha anotado no diagrama. Seria algo mais ou menos assim: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 24 
 
 
Muito bem, vejamos o que conseguimos concluir a partir disso tudo. 
Vamos comparar as inclinações que obtivemos e as razões entre sombra e tábua. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 25 
Arco 
𝑹𝒂𝒛ã𝒐 =
𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒂
𝒕á𝒃𝒖𝒂
 
Porcentagem 
𝝅
𝟔
𝒓𝒂𝒅 (𝟑𝟎°) 0,866 86,6 % 
𝝅
𝟒
𝒓𝒂𝒅 (𝟒𝟓°) 0,707 70,7 % 
𝝅
𝟑
𝒓𝒂𝒅 (𝟔𝟎°) 0,5 50 % 
 
Trocando em “miúdos” 
Com a tábua deitada, ou seja, a 0°, a sombra tinha 100% do comprimento da tábua. 
Quando inclinamos a tábua em um ângulo de 30° com a horizontal, a sombra representava 
86,6 % do comprimento da tábua. 
Inclinando mais um pouco, a 45°, a sombra tinha o equivalente a 70,7 % do comprimento 
da tábua. 
Um pouco mais e chegamos a 60°, quando a tábua estava com 50 % do comprimento da 
tábua. 
E, finalmente, se inclinarmos a tábua até 90°,a sombra do comprimento da tábua deixaria 
de existir, ou seja, 0 % do comprimento da tábua. Talvez uma pequena sombra da largura da 
tábua, mas o comprimento não projetaria sombra. 
Agora é que vem a parte interessante. Esses ângulos estão atrelados a essas 
porcentagens, independentemente do tamanho da tábua. 
É isso mesmo. 
Em qualquer lugar do universo, ao montarmos um experimento semelhante, as 
porcentagens seriam idênticas. 
Essas porcentagens são muito conhecidas e recebem o nome de cosseno do ângulo (ou 
de um arco), simbolizadas por cos (𝑎𝑟𝑐𝑜), assim, podemos dizer que: 
cos (
𝜋
6
) = cos(30°) ≅ 0,866 cos (
𝜋
4
) = cos(45°) ≅ 0,707 cos (
𝜋
3
) = cos(60°) ≅ 0,5 
Perceba que, quando falamos em radianos, não precisamos anotar a unidade no 
argumento (a bolinha °) da razão cosseno; mas quando falamos em graus, sim. 
Além disso, a partir de agora e pelo resto de sua vida, quando vir um cosseno, relacione-
o à porcentagem de projeção na horizontal de uma barra inclinada. 
Entender o que representam as razões trigonométricas é um diferencial imenso e tem o 
potencial de levar você a um patamar muito diferenciado tanto na hora da prova quanto no ensino 
superior em si, caso opte por algum curso na área de exatas. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 26 
Vamos, por fim, nomear o eixo horizontal de nossa circunferência como eixo dos cossenos 
e nasce, aqui, nosso ciclo trigonométrico: uma circunferência de raio 1, cuja projeção do arco na 
horizontal representa uma porcentagem com relação ao raio. 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 27 
2.3. Razão seno 
A razão seno é semelhante à razão cosseno, porém é uma porcentagem com relação ao 
eixo vertical ao invés de ao horizontal. 
Podemos pensar na seguinte situação prática para compreender essa razão de modo 
mais efetivo. 
Uma estrutura inclinada sempre projeta uma sombra cuja porcentagem do comprimento 
da estrutura é dada pelo cosseno do ângulo de inclinação. 
Essa mesma estrutura inclinada sempre atinge uma altura máxima, que é expressa em 
porcentagem do comprimento da estrutura e é dada pelo seno do ângulo de inclinação. 
Colocando essa estrutura o eixo vertical do nosso ciclo trigonométrico, temos: 
 
3. Ciclo Trigonométrico 
Comecemos desfazendo um engano muito comum: o nome é ciclo trigonométrico e não 
círculo trigonométrico. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 28 
Apesar de ser, sim, construído em cima de um círculo, o nome ciclo trigonométrico se dá 
por ser cíclico, ou seja, a cada volta que se dá na circunferência do ciclo trigonométrico, as razões 
seno e cosseno (e todas as outras que veremos mas adiante) voltam a seus valores iniciais e o 
ciclo se repete. 
Estudemos, agora, como o ciclo trigonométrico completa seu ciclo. 
Intuitivamente, fomos construindo os elementos base de que precisaremos agora. 
Dividimos, por exemplo, a circunferência em quadrantes. Esses quadrantes, que, certamente são 
quatro, recebem a seguinte denominação: 
 
A origem dos arcos se dá no ponto extremo à direita e seu sentido de rotação é anti-
horário. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 29 
 
Seno e cosseno são, na verdade, porcentagens com relação ao objeto de referência. 
Como o tamanho do objeto de referência é, em porcentagem, 100 % = 1, temos, aí, definido o 
raio do ciclo trigonométrico: raio unitário. 
 
O seno e o cosseno de um arco do 1° quadrante são, sempre, positivos e servem de 
referência para os valores de seno e de cosseno de arcos de outros quadrantes. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 30 
 
No segundo quadrante, os ângulos continuam apresentando seno positivo, mas o cosseno 
passa a ser negativo. 
 
Para arcos do terceiro quadrante, tanto seno quanto cosseno são negativos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 31 
 
 
E, por fim, os ângulos do quarto quadrante apresentam valores de seno negativos e de 
cosseno positivos. 
 
Professor, e quando o ângulo está em cima do eixo, a qual quadrante ele pertence? 
Excelente pergunta! Na verdade, a quadrante nenhum, ele pertence ao eixo. 
Quando isso acontece, uma de suas razões trigonométricas é nula e a outra é máxima. 
Vejamos no ciclo trigonométrico como isso acontece. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 32 
 
Esse caso reflete nossa situação inicial, lembra? A tábua deitada tem sombra máxima 
(cos(0) = 1 = 100 %) e altura mínima (sen(0) = 0), praticamente sem altura. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 33 
Vejamos o próximo caso. 
 
Ou seja, a tábua em pé não faz sombra, mas atinge altura máxima igual a 100 % = 1 
altura. 
Próximo. 
 
O caso aqui é similar à tábua no chão. O sinal de negativo no cosseno indica só que ela 
está do outro lado da origem, mas a interpretação é a mesma. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 34 
Mais um? 
 
E, finalmente, completamos o ciclo com o último arco, 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. 
 
Perceba que 
sen(2𝜋) = sen(0) = 0 cos(2𝜋) = cos(0) = 1 
E essa igualdade marca o reinício do ciclo trigonométrico. Caso continuemos a girar, todo 
o comportamento visto até aqui se repetirá indefinidamente. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 35 
3.1. Tabela de senos e cossenos 
Nossa, vimos muita coisa, não? Vamos organizar esses dados. 
 
Arco em 
radianos 
𝟎 𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
𝝅
𝟐
 𝝅 
𝟑𝝅
𝟐
 
𝟐𝝅 
Arco em 
graus 
0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 
seno 0 0,5 0,707… 0,866… 1 0 −1 0 
cosseno 1 0,866… 0,707… 0,5 0 −1 0 1 
 
Você percebeu uma inversão entre os valores apresentados para os arcos de 30° e 60°? 
Isso acontece porque esses arcos são complementares, isto é, arcos cuja soma é 90°. 
Quaisquer arcos 𝛼 e 𝛽, nos quais 
𝛼 + 𝛽 =
𝜋
2
, 
temos 
sen(𝛼) = cos(𝛽) 
sen(𝛽) = cos(𝛼) 
Outro ponto importante é que há, nessa tabela, alguns números aproximados. 
Chegamos a esses valores de maneira experimental, no experimento da tábua inclinada. 
Utilizando outros métodos, podemos chegar a frações mais precisas que a medição direta 
e aí, esses números aproximados são representações dessas frações já estabelecidas. Você 
pode usar tanto o valor aproximado quanto a fração. No entanto, em alguns exercícios é mais 
indicado um ou outro método. 
Sendo assim, para facilitar, vejamos também a mesma tabela com as frações que geram 
os valores que constam na tabela anterior. 
Arco em 
radianos 
0 𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
𝝅
𝟐
 𝝅 
𝟑𝝅
𝟐
 
𝟐𝝅 
Arco em 
graus 
0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 
seno 0 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
1 0 -1 0 
cosseno 1 √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
0 -1 0 1 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 36 
E sim, você terá que memorizar esses valores. Mas não precisa ser agora, pois vamos, 
ainda, colocar mais informação nessa tabela. Quando chegar a hora, passo a você um método 
para memorizá-la facilmente, ok? Sem estresse por enquanto, mais tarde ele aparece . 
 
3.2. Redução ao primeiro quadrante 
Os arcos que vimos como notáveis funcionam, também, como guia para descobrirmos 
senos e cossenos de ângulos correspondentes nos outros quadrantes. 
Veja, para o caso do arco de 30°, como isso acontece. 
 
Professor, tenho que decorar isso? 
Negativo! 
Na verdade, a redução ao primeiro quadrante é uma técnica que permite a você uma 
dedução rápida dos arcos dos outros quadrantes, sabendo apenas as razões trigonométricas 
dos arcos do primeiro quadrante. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA37 
4. Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
4.1. Razões seno e cosseno no triângulo retângulo 
Suponha que você pegue uma escada e a 
encoste na parede para fixar um quadro. 
O pé da escada está a 2 metros da parede e o 
topo da escada, a 4 metros de altura. 
Que tamanho de sala, heim professor! 
Sim, minha sala é grande! 
Vamos ilustrar a situação. 
Como retomada de conteúdo, pergunto a você: 
qual é o comprimento da escada? 
Bom, o chão e a parede, normalmente, formam 
um ângulo de 90°, então estamos falando dos lados 
de um triângulo retângulo. 
Um teorema muito famoso relacionado aos 
lados de um triângulo retângulo é o teorema de 
Pitágoras, lembra-se dele? 
O teorema de Pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado 
da hipotenusa. 
Escrevendo uma equação equivalente, com a hipotenusa representada pela letra 𝑎 e os 
catetos, pelas letras 𝑏 e 𝑐, temos: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
Os catetos são os lados menores, no nosso caso, o chão e a parede, enquanto a 
hipotenusa é o maior, a própria escada. 
Substituindo, temos: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
𝑎2 = 22 + 42 
𝑎2 = 4 + 16 
𝑎2 = 20 
Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros, temos: 
√𝑎2 = √20 
|𝑎| = √20 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 38 
𝑎 = ±√20 
Como estamos falando de uma distância, 
𝑎 = +√20 
Fatorando o 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5, temos: 
𝑎 = √22 ∙ 5 
𝑎 = √22 ∙ √5 
𝑎 = 2 ∙ √5 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
Atualizando nossos dados: 
 
Com o que aprendemos até agora, podemos nos perguntar: qual é o cosseno do ângulo 
𝜃, formado entre o chão e a escada? 
Simples, o cosseno é a porcentagem da projeção horizontal (sombra) da escada no chão. 
Como já sabemos calcular a porcentagem, podemos fazer: 
cos(𝜃) =
𝑐ℎã𝑜
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎
=
2
2√5
=
1
√5
≅ 0,447 ≅ 44,7 % 
E a altura, que porcentagem ela representa da escada? 
Altura? Seno! 
A porcentagem é dada por: 
sen(𝜃) =
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎
=
4
2√5
=
2
√5
≅ 0,894 ≅ 89,4 % 
Perfeito. 
No triângulo retângulo, como dito a pouco, os dois menores lados são chamados de 
catetos e o maior, hipotenusa. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 39 
Quando estabelecemos um ângulo no triângulo que não seja o ângulo reto, temos um 
cateto ao lado do ângulo, ou seja, adjacente3 ao ângulo; e outro do outro lado do triângulo, 
oposto. 
Com essa nomenclatura nova, cateto adjacente e cateto oposto, podemos fazer, 
diretamente, essas porcentagens em quaisquer triângulos retângulos que queiramos, veja: 
cos(𝜃) =
𝑐ℎã𝑜
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
 
sen(𝜃) =
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
 
4.2. Razão tangente no triângulo retângulo 
Ainda sobre a escada na parede, outra pergunta muito frequente, sobretudo na 
engenharia civil, é: quantas vezes a altura é maior que a sombra? 
Essa ideia é até intuitiva e dá diretamente uma ideia de inclinação. 
Na aviação, a razão de planeio de uma aeronave é exatamente isso: quantos quilômetros 
de alcance para cada quilômetro de altura (caso pare o motor). 
O nome dessa relação é tangente, tg(𝜃) e, em nosso exemplo anterior, é dada por: 
 
tg(𝜃) =
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
𝑐ℎã𝑜
=
4
2
= 2 = 200 % 
 
Indicando que a altura atingida pela escada na parede é 
equivalente ao dobro da sombra. 
Essa definição da tangente pode ser expandida para 
qualquer triângulo retângulo, como fizemos com o seno e com o 
cosseno, veja: 
 
tg(𝜃) =
𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
𝑐ℎã𝑜
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
 
Um fato interessante é que, ao dividirmos o seno pelo cosseno, chegamos exatamente à 
mesma expressão: 
 
 
3 Adjacente: ao lado, junto, próximo, vizinho. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 40 
sen(𝜃)
cos(𝜃)
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
 
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
 
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
∙
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
∙
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
⇒ tg(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
 
 
 
4.3. Outras razões trigonométricas 
Além das razões trigonométricas que estudamos, há as chamadas razões trigonométricas 
derivadas, que são razões definidas a partir das que já estudamos. 
Apesar de não serem tão comuns, vale a citação. 
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 ⇒ sec(𝜃) =
1
cos(𝜃)
 
𝐶𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝜃) =
1
sen(𝜃)
 
𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) =
1
tg(𝜃)
=
cos(𝑥)
sen(𝑥)
 
 
4.4. Associação de arcos 
Professor, se cos(60°) = 0,5, podemos dizer que cos(120°) = 1? 
Negativo. 
Veremos no próximo capítulo quanto vale cos(120°), mas adianto que não é 1. 
Quando conhecemos o valor de uma razão trigonométrica de um ângulo e queremos 
descobrir a mesma razão trigonométrica do dobro desse mesmo ângulo, não podemos 
simplesmente dobrar o valor, pois as razões trigonométricas não são lineares, não podemos 
fazer regras de três com elas. 
Você terá contato aqui com algumas fórmulas prontas. 
sen 𝜃 =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
cos 𝜃 =
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
tg 𝜃 =
sen 𝜃
cos 𝜃
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 41 
Ainda não temos recursos para prová-las, mas teremos quando estudarmos a Geometria 
Analítica. 
Até lá, não é preciso decorá-las de imediato. Tenha-as à mão para consulta quando for 
fazer os exercícios e, com a prática, sua memória as fixará. 
No transcorrer do curso, daremos a elas um tratamento minucioso e a memorização, 
então, ficará muito mais fácil. 
Por enquanto, as apresento. 
4.4.1. Soma de arcos 
sen(𝑎 + 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) + sen(𝑏) cos(𝑎) 
cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − sen(𝑎) sen(𝑏) 
tg(𝑎 + 𝑏) =
tg(𝑎) + tg(𝑏)
1 − tg(𝑎) tg(𝑏)
 
4.4.2. Diferença de arcos 
sen(𝑎 − 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) − sen(𝑏) cos(𝑎) 
cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sen(𝑎) sen(𝑏) 
tg(𝑎 − 𝑏) =
tg(𝑎) − tg(𝑏)
1 + tg(𝑎) tg(𝑏)
 
4.4.3. Arco duplo 
sen(2𝑎) = 2 sen(𝑎) cos(𝑎) cos(2𝑎) =
{
 
 
 
 
cos2(𝑎) − sen2(𝑎)
 
2 cos2(𝑎) − 1
 
1 − 2 sen2(𝑎)
 tg(2𝑎) =
2tg(𝑎)
1− tg2(𝑎)
 
4.4.4. Arco metade 
cos (
𝑎
2
) = ±√
1+ cos(𝑎)
2
 sen (
𝑎
2
) = ±√
1−cos(𝑎)
2
 tg (
𝑎
2
) = ±√
1− cos(𝑎)
1+ cos(𝑎)
 
 
5. Funções Trigonométricas 
Quando estudamos as funções, vimos que há duas condições a serem satisfeitas para 
que uma relação entre dois conjuntos seja uma função. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 42 
 
5.1. Função cosseno 
Podemos, então, estabelecer dois conjuntos: 
 
E, entre eles, uma relação tal que a cada ângulo 𝑥, relacionamos o seu cosseno, cos(𝑥). 
Essa relação obedece às duas regras para que tenhamos uma função? 
Vejamos. 
Para qualquer ângulo 𝑥, conseguimos calcular cos(𝑥), então, a primeira regra está 
satisfeita. 
A cada ângulo 𝑥 está associado um único valor de cos(𝑥), então, a segunda regra também 
está satisfeita. Desse modo, é seguro estabelecer que 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) é uma função. 
 
Estamos em um ponto crítico na construção do conhecimento acerca da trigonometria. 
De um lado temos o ciclo trigonométrico cujo eixo horizontal marca os cossenos dos ângulos 
marcados na circunferência. 
De outro, definindo uma função como o cosseno de um ângulo, podemos fazer o gráfico dessa 
função. 
O gráfico da função é, como foi até agora para todas as funções que estudamos, no plano 
cartesiano. E plano cartesiano não é o mesmo que ciclo trigonométrico, apesar de terem seus 
pontos em comum. 
 
Esclarecido, pergunto: como seria o gráfico dessa função? 
Vamos calcular alguns valores de cosseno e relacioná-los aos seus respectivos valores 
angulares em uma tabela e, a partir dela, esboçar o gráfico da função. 
Função
1) A regra da função deve 
fornecer um 𝑓(𝑥) para todo 𝑥
pertencente ao Domínio. Sem 
exceções.
2) Não são aceitas 
ambiguidades. A cada 𝑥 deve 
haver um único 𝑓(𝑥)
correspondente.
ângulos do ciclo 
trigonométrico
números entre −1 e 1
ESTRATÉGIA VESTIBULARES– PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 43 
x cos(x) 
 
x cos(x) 
 
x cos(x) 
0 1,000 
 
165 -0,966 
 
330 0,866 
15 0,966 
 
180 -1,000 
 
345 0,966 
30 0,866 
 
195 -0,966 
 
360 1,000 
45 0,707 
 
210 -0,866 
 
375 0,966 
60 0,500 
 
225 -0,707 
 
390 0,866 
75 0,259 
 
240 -0,500 
 
405 0,707 
90 0,000 
 
255 -0,259 
 
420 0,500 
105 -0,259 
 
270 0,000 
 
435 0,259 
120 -0,500 
 
285 0,259 
 
450 0,000 
135 -0,707 
 
300 0,500 
 
465 -0,259 
150 -0,866 
 
315 0,707 
 
480 -0,500 
Os valores foram calculados em meio computacional, mas podemos reconhecer, neles, 
alguns dos valores que já estudamos. 
Agora, vamos colocar esses valores em um plano cartesiano. 
 
Comentamos anteriormente que o cosseno só poderia variar entre −1 e 1, visto que ele 
representa uma porcentagem. Era de se esperar que o esboço do gráfico da função cosseno 
também ficasse limitado a esses extremos. 
Se colocarmos cada vez mais pontos no gráfico, vamos desenhar uma linha contínua cuja 
forma é chamada de cossenoide. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 44 
 
5.2. Função seno 
Podemos fazer exatamente o mesmo para o seno, estabelecendo a função 𝑔(𝑥) = sen(𝑥). 
 
x sen(x) 
 
x sen(x) 
 
x sen(x) 
0 0,000 
 
165 0,259 
 
330 -0,500 
15 0,259 
 
180 0,000 
 
345 -0,259 
30 0,500 
 
195 -0,259 
 
360 0,000 
45 0,707 
 
210 -0,500 
 
375 0,259 
60 0,866 
 
225 -0,707 
 
390 0,500 
75 0,966 
 
240 -0,866 
 
405 0,707 
90 1,000 
 
255 -0,966 
 
420 0,866 
105 0,966 
 
270 -1,000 
 
435 0,966 
120 0,866 
 
285 -0,966 
 
450 1,000 
135 0,707 
 
300 -0,866 
 
465 0,966 
150 0,500 
 
315 -0,707 
 
480 0,866 
 
Colocando esses valores em um plano cartesiano. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 45 
 
E, enfim, esboçando o gráfico da função. 
 
O nome dessa curva é senoide e tem exatamente o mesmo formado da cossenoide, 
porém deslocada. 
5.3. Comparativo entre as funções seno e cosseno 
Vamos analisar ambas as curvas em um mesmo plano cartesiano. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 46 
 
Perceba que ambas as funções estão sempre fora de sincronia, embora seus ciclos sejam 
sempre de 360°. 
No ângulo 0°, o cosseno é máximo enquanto o seno é zero, exatamente o que vimos 
quando estudamos o ciclo trigonométrico. Já em 90°, é ao contrário, o cosseno é nulo e o seno 
é máximo. 
Ambas as funções vão se alternando ciclicamente. (Ciclo trigonométrico, lembra?) 
 
5.4. Translação 
Na aula passada, estudamos os conceitos de translação (horizontal e vertical) para as 
funções. 
Pois bem, essas translações também valem para as funções trigonométricas, então, fique 
à vontade para usá-las. No item anterior, fizemos o esboço do gráfico de 𝑓(𝑥) = sen(𝑥). 
Esbocemos, então, com as técnicas de translação, o gráfico da função 𝑓(𝑥) deslocada 2 
unidades para cima e 80° para a direita. 
Para deslocar a função para cima em 2 unidades, façamos 𝑔(𝑥) = sen(𝑥) + 2 
Para deslocar a função 80° para a direita, façamos ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥 − 80°) = sen(𝑥 − 80°) + 2. 
Vejamos como ficam essas funções no gráfico. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 47 
 
5.5. Amplitude e proximidade com relação ao eixo 𝒙 
Vimos que tanto a função seno quanto a função cosseno são limitadas ao intervalo [−1; 1]. 
Esse limite vem, diretamente, do raio do ciclo trigonométrico, que é unitário. 
Dizemos, assim, que a amplitude das funções seno e cosseno é igual a 1, 𝐴 = 1. 
No gráfico dessas funções, podemos entender a amplitude como sendo o deslocamento 
máximo da função com relação ao eixo 𝑥. Mas atenção, só podemos comparar com o eixo 𝑥 
quando a função não sofreu translações, ok? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 48 
 
Note que a amplitude da função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) é 𝐴 = 1. Não há amplitude negativa, 
amplitude é o módulo do afastamento máximo da função com relação ao eixo. 
Caso nós apliquemos a teoria que vimos sobre afastamento à função seno, seus pontos 
sofrerão alteração e, consequentemente, também afetará a amplitude. 
A amplitude das funções seno e cosseno está intimamente ligada ao módulo do número 
que a acompanha, multiplicando a própria função. 
𝑓(𝑥) = sen(𝑥) ⇒ A = 1 
𝑓(𝑥) = 2 ∙ sen(𝑥) ⇒ A = 2 
𝑓(𝑥) = −5 ∙ cos(𝑥) ⇒ A = 5 
𝑓(𝑥) = −sen(𝑥) ⇒ A = 1 
𝑓(𝑥) = √3 ∙ cos(𝑥) ⇒ A = √3 
Vejamos graficamente quando multiplicamos a função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) por 3. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 49 
 
Desse modo, podemos definir a amplitude das funções seno e cosseno como sendo: 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ sen(𝑥) 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ cos(𝑥) 
5.6. Período da função 
Para calcular qual é o período da função, ou seja, o tamanho de seu ciclo, podemos pegar 
a diferença horizontal entre dois pontos máximos (pontos de pico) ou dois pontos mínimos 
(pontos de vale). 
Para a função seno, por exemplo, vemos no gráfico que o primeiro ponto de pico acontece 
em (90°; 1) e o segundo em (450°; 1). A diferença horizontal entre esses pontos é de 450° −
90° = 360°. 
E o que isso significa? 
Significa que o período da função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) é 360°, ou ainda, 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. A função faz 
todo o seu ciclo e volta a repetir seu comportamento indefinidamente a cada 360°. 
Podemos usar os pontos de vale também. Peguemos os dois pontos de vale da função 
𝑓(𝑥) = cos(𝑥), que acontecem em (180°;−1) e (540°;−1). O ciclo da função é dado por 540° −
180° = 360°, ou seja, o período da função cosseno também é de 360°. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 50 
Amplitude 
Deslocamento horizontal 
Deslocamento vertical 
? 
5.6.1. Alteração do período da função 
Olhando todos os termos de uma função seno (ou cosseno), já entendemos os papéis de 
várias constantes, veja: 
 
 
 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ sen(𝑏 ∙ (𝑥 − 𝑐)) + 𝑑 
 
 
 
Oras, ainda falta um termo para estudarmos! 
O que será que faz esse termo 𝑏? 
Vamos fazer alguns gráficos alterando o termo 𝑏 e descobrir de vez. 
 
Aumentemos o termo 𝑏 para 𝑏 = 2. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 51 
 
Interessante... 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 52 
Mais um, 𝑏 = 3. 
 
Legal. Será que 𝑏 pode ser fracionário? Testemos para 𝑏 = 1,5. 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 53 
Número de ciclos em 360° 
Deslocamento horizontal 
Deslocamento vertical 
Amplitude 
 
Negativo? 𝑏 = −1 
 
Muito bem, já entendi. 
O termo 𝑏 é responsável pelo número de ciclos que a função executa em 360°. 
Desse modo, vamos completar nosso esquema. 
 
 
 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ sen(𝑏 ∙ (𝑥 − 𝑐)) + 𝑑 
 
 
 
5.7. Notação cíclica 
Por causa da periodicidade das funções trigonométricas, frequentemente temos mais de 
uma resposta para condições dadas em equações. 
Por exemplo, imagine que estejamos interessados em expressar quais os valores de 𝑥 
satisfazem: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 54 
{
 
 
 
 cos(𝑥) =
√3
2 
sen(𝑥) =
1
2
 
Oras, esse é um ângulo notável, já sabemos quanto ele vale. 
{
 
 
 
 cos(𝑥) =
√3
2 
sen(𝑥) =
1
2
 ⇒ 𝑥 =
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 (30°) 
Pois é, não está errado, mas também não está inteiramente correto. 
Pense que, as mesmas condições de seno e cosseno que são próprias do ângulo de 30°, 
aconteceriam novamente a cada 360°, ou seja, 30° + 360°, 30° + 2 ∙ 360°, 30° + 3 ∙ 360° e assim 
por diante. 
Dessa forma, é comum expressarmos a resposta a esse tipo de situação como: 
{
 
 
 
 cos(𝑥) =
√3
2 
sen(𝑥) =
1
2
 ⇒
𝑥 = 30° + 𝑘 ∙ 360°, 𝑘 ∈ ℤ
 
𝑜𝑢
 
𝑥 =
𝜋6
 𝑟𝑎𝑑 + 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑, 𝑘 ∈ ℤ
 
 
6. Fórmulas, demonstrações e comentários 
6.1. Coeficiente angular da função linear e a trigonometria 
Quando estudamos as retas, vimos a equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e chamamos o coeficiente 𝑎 de 
coeficiente angular e o coeficiente 𝑏 de coeficiente linear. 
Pois bem, agora, temos condições de entender um pouquinho mais sobre esse coeficiente 
angular. 
Vamos analisar um exemplo prático, peguemos a reta 𝑦 = 2𝑥 + 6 como objeto de estudo. 
O gráfico dessa nossa função é: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 55 
 
Agora, uma pergunta interessante. O que podemos saber sobre o ângulo entre a nossa 
reta e o eixo horizontal? 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 56 
Podemos trabalhar esse problema do ponto de vista da trigonometria também. Veja que 
há um triângulo retângulo formado pela nossa reta e pelos eixos coordenados: 
 
Vamos extrair esse triângulo do plano cartesiano. 
 
Note que, agora, temos dois catetos e nossa pergunta inicial era sobre o ângulo 𝛼, ou 
seja, o ângulo entre a nossa reta e o eixo horizontal. 
Se conhecemos os valores do cateto oposto e do cateto adjacente, nossa razão 
trigonométrica de escolha deve ser a tangente, pois ela traz exatamente esses dois catetos em 
sua definição. 
Assim, temos: 
𝑡𝑔(𝛼) =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 57 
𝑡𝑔(𝛼) =
6
3
 
𝑡𝑔(𝛼) = 2 
Voltemos, agora, à nossa equação da função: 𝑦 = 2𝑥 + 6. Esse 2, que ocupa o lugar de 
coeficiente angular, não está ali por acaso, nem é coincidência seu valor ser exatamente o da 
tangente do ângulo entre a reta e o eixo coordenado. 
Como os eixos coordenados são sempre perpendiculares entre si, teremos sempre um 
triângulo retângulo definido por dois pontos distintos da reta e algum segmento paralelo aos 
eixos. Desse modo, nosso coeficiente angular será sempre dado pela tangente do ângulo entre 
nossa reta e o eixo horizontal. 
Assim, na equação da reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, temos, sempre, 𝑎 = 𝑡𝑔(𝛼). 
Uma observação importante. 
Não é sempre que conhecemos a tangente do ângulo. Nesse caso mesmo, você não tem 
esse valor na tabela de arcos notáveis, não é? 
Nesse caso, podemos apenas dizer que o ângulo 𝛼 é o ângulo, ou arco a depender do 
contexto, que tem tangente igual a 2. Em notação matemática, escrevemos 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2). 
É o equivalente às funções inversas, mas no contexto das funções trigonométricas. 
Nesse caso específico, se você utilizar uma ferramenta computacional (uma calculadora 
científica, um programa de computador, um site especializado), encontrará o valor aproximado 
𝛼 ≅ 63,4° 
6.2. Tabela de senos, cossenos e tangentes 
Pois bem. Depois de tudo o que vimos, há muita preocupação no que se deve memorizar 
e o que não é necessário. 
Aqui, deixo uma indicação: saiba de memória a tabela a seguir e entenda o processo que 
relaciona os ângulos múltiplos aos ângulos notáveis no ciclo trigonométrico. Com isso, você terá 
um excelente suporte nas resoluções dos exercícios no contexto de prova. 
Se preferir, desenhe-os para ajudar na sua resolução. Como você deve ter percebido nas 
aulas, eu desenho . 
Arco em radianos 𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
 
Arco em graus 
 
𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 
 
Seno 
1
2
 √2
2
 
√3
2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 58 
 
 
Cosseno 
 
√3
2
 
√2
2
 
1
2
 
 
Tangente 
 
√3
3
 
1 √3 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 59 
7. Questões de vestibulares anteriores 
1. (Enem/2019) Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um 
círculo com diâmetro medindo 𝟔 𝒎, é cercada por grama. A administração do condomínio 
deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 𝟖 𝒎, o 
diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O condomínio 
dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 𝟏𝟎𝟎 𝒎² de área. O síndico 
do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a 
região a ser ampliada. Utilize 𝟑 como aproximação para 𝝅. A conclusão correta a que o 
síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material 
disponível em estoque 
𝒂) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 𝟐𝟏 𝒎². 
𝒃) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 𝟐𝟒 𝒎². 
𝒄) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 𝟒𝟖 𝒎². 
𝒅) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 𝟏𝟎𝟖 𝒎². 
𝒆) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 𝟏𝟐𝟎 𝒎². 
 
2. (UERJ/2019.1) O círculo a seguir tem o centro na origem do plano cartesiano 𝒙𝒚 e 
raio igual a 𝟏. Nele, 𝑨𝑷 determina um arco de 𝟏𝟐𝟎°. 
 
As coordenadas de 𝑷 são: 
𝒂) (−
𝟏
𝟐
,
√𝟑
𝟐
) 
𝒃) (−
𝟏
𝟐
,
√𝟐
𝟐
) 
𝒄) (−
√𝟑
𝟐
,
𝟏
𝟐
) 
𝒅) (−
√𝟐
𝟐
,
𝟏
𝟐
) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 60 
 
3. (Unesp/2019) Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as seguintes 
coordenadas geográficas: 
 
Considerando a Terra uma esfera de raio 𝟔. 𝟑𝟎𝟎 𝒌𝒎, a medida do menor arco 𝑷�̂� sobre a 
linha do paralelo 𝟑𝟎° 𝑵 é igual a 
a) 𝟏. 𝟏𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
b) 𝟏. 𝟐𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
c) 𝟏 , 𝟎𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
d) 𝟏. 𝟑𝟐𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
e) 𝟏. 𝟑𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
 
4. (Fuvest/2019) Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia-se 
sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido 
horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com 
uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser 
uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante. 
 
Usando as dimensões indicadas na figura (𝑨𝑩 = 𝟏 e 𝑩𝑪 = 𝟐), qual é o comprimento da 
trajetória percorrida pelo vértice 𝑩, desde a posição mostrada, até a aresta 𝑩𝑪 apoiar-se 
no solo novamente? 
𝒂)
𝟑
𝟐
𝝅 
𝒃)
𝟑 + √𝟑
𝟑
𝝅 
𝒄)
𝟏𝟑
𝟔
𝝅 
𝒅)
𝟑 + √𝟑
𝟐
𝝅 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 61 
𝒆)
𝟖 + 𝟐√𝟑
𝟑
𝝅 
 
5. (UEL/2019) A icônica obra Mona Lisa, de Leonardo Da Vinci, exposta no Museu do 
Louvre, possibilita pôr à prova as proporções matemáticas nela presentes. Partindo de 
um quadrado 𝑨𝑩𝑪𝑫 de lado 𝟏, que delimita uma região abaixo da cabeça, pode-se obter 
um retângulo, que contém a cabeça da Mona Lisa, por meio da construção geométrica 
descrita a seguir. 
Seja 𝑶 o ponto médio do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . Tome a circunferência de centro 𝑶 e raio 𝑶𝑫̅̅̅̅̅. 
Encontre o ponto 𝑬 dado pela intersecção da circunferência com a semirreta 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
Considere o ponto 𝑭 de modo a obter o retângulo de vértices 𝑬𝑨𝑫𝑭, como ilustrado na 
figura a seguir. 
 
Com base na construção geométrica fornecida e na figura, assinale a alternativa que 
apresenta, corretamente, o comprimento do segmento 𝑬𝑨̅̅ ̅̅ . 
𝒂) 
𝟏 − √𝟓
𝟐
 
𝒃) 
𝟑 − √𝟓
𝟐
 
𝒄) 
√𝟓 − 𝟏
𝟐
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 62 
𝒅) 
√𝟓 + 𝟏
𝟐
 
𝒆) 
√𝟓 + 𝟑
𝟐
 
 
6. (Unesp/2018) A figura indica os gráficos das funções 𝑰, 𝑰𝑰 𝒆 𝑰𝑰𝑰. Os pontos 
𝑨(𝟕𝟐°, 𝟎, 𝟑𝟎𝟗), 𝑩(𝒙𝑩, −𝟎, 𝟑𝟎𝟗) e 𝑪(𝒙𝑪, 𝟎, 𝟑𝟎𝟗) são alguns dos pontos de intersecção dos 
gráficos. 
 
Nas condições dadas, 𝒙𝑩 + 𝒙𝑪 é igual a 
a) 𝟓𝟑𝟖° b) 𝟒𝟖𝟖° c) 𝟓𝟒𝟎° d) 𝟒𝟑𝟐° e) 𝟒𝟔𝟎° 
 
7. (Fuvest/2018) 
 
Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e que a 
linha contínuarepresente o gráfico da função 𝒈(𝒙) = 𝜶. 𝒔𝒆𝒏(𝜷. 𝒙), segue que 
𝒂) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 e 𝟎 < 𝜷 < 𝟏 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 63 
𝒃) 𝜶 > 𝟏 𝒆 𝟎 < 𝜷 < 𝟏 
𝒄) 𝜶 = 𝟏 𝒆 𝜷 > 𝟏 
𝒅) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 𝒆 𝜷 > 𝟏 
𝒆) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 𝒆 𝜷 = 𝟏 
 
8. (Fuvest/2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura 
constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: 𝑽(𝒕) =
𝒍𝒐𝒈𝟐(𝟓 + 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝝅 ∙ 𝒕)), 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐, em que 𝒕 é medido em horas e 𝑽(𝒕) é medido em 𝒎
𝟑. A 
pressão máxima do gás no intervalo de tempo [𝟎, 𝟐] ocorre no instante 
a) 𝒕 = 𝟎, 𝟒 b) 𝒕 = 𝟎, 𝟓 c) 𝒕 = 𝟏 d) 𝒕 = 𝟏, 𝟓 e) 𝒕 = 𝟐 
 
9. (UEA/2017) Na figura, a reta 𝒓 intercepta o plano 𝜶 em 𝑷 e forma com ele um ângulo 
de 𝟑𝟎°. 
 
Se 𝑨𝑷̅̅ ̅̅ = 𝟑𝟎 𝒄𝒎, então a menor distância de 𝑨 ao plano 𝜶 é 
𝒂) 𝟏𝟓√𝟑 𝒄𝒎 
𝒃) 𝟑𝟎 𝒄𝒎 
𝒄) 𝟑𝟎√𝟑 𝒄𝒎 
𝒅) 𝟏𝟓 𝒄𝒎 
𝒆) 𝟏𝟓√𝟐 𝒄𝒎 
 
10. (Unesp/2015) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de 
uma mesa de bilhar retangular 𝑨𝑩𝑪𝑫, com caçapas em 𝑨,𝑩, 𝑪 e 𝑫. O ponto 𝑷, localizado 
em 𝑨𝑩, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo 𝑷𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟏, 𝟓 𝒎 e 𝑷𝑨̅̅ ̅̅ = 𝟏, 𝟐 𝒎. 
Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com 𝑩𝑪 no ponto 𝑻, sendo 
a medida do ângulo 𝑷�̂�𝑩 igual 𝟔𝟎°. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, 
diretamente até a caçapa 𝑫. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 64 
 
Nas condições descritas e adotando √𝟑 ≅ 𝟏, 𝟕𝟑, a largura do tampo da mesa, em metros, 
é próxima de 
𝒂) 𝟐, 𝟒𝟐. 
𝒃) 𝟐, 𝟎𝟖. 
𝒄) 𝟐, 𝟐𝟖. 
𝒅) 𝟐, 𝟎𝟎. 
𝒆) 𝟐, 𝟓𝟔. 
 
11. (UFPR/2015) Qual é o número mínimo de voltas completas que a menor das 
engrenagens deve realizar para que as quatro flechas fiquem alinhadas da mesma maneira 
novamente? 
 
𝒂) 𝟏𝟒 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔 
𝒃) 𝟐𝟏 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔 
𝒄) 𝟓𝟕 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔 
𝒅) 𝟔𝟎 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 65 
𝒆) 𝟖𝟒 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔 
 
12. (Unesp/2014) A figura mostra um relógio de parede, com 𝟒𝟎 𝒄𝒎 de diâmetro externo, 
marcando 𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒆 𝟓𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. 
 
Usando a aproximação 𝝅 = 𝟑, a medida, em 𝒄𝒎, do arco externo do relógio determinado 
pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário 
mostrado, vale aproximadamente 
𝒂) 𝟐𝟐. 
𝒃) 𝟑𝟏. 
𝒄) 𝟑𝟒. 
𝒅) 𝟐𝟗. 
𝒆) 𝟐𝟎. 
 
13. (Unesp/2014) O conjunto solução (𝑺) para a inequação 𝟐 ⋅ 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) > 𝟐, em 
que 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, é dado por: 
𝒂) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎,𝝅)|𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟔
 𝒐𝒖 
𝟓𝝅
𝟔
< 𝒙 < 𝝅} 
𝒃) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|
𝝅
𝟑
< 𝒙 <
𝟐𝝅
𝟑
 } 
𝒄) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟑
 𝒐𝒖 
𝟐𝝅
𝟑
< 𝒙 < 𝝅} 
𝒅) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|
𝝅
𝟔
< 𝒙 <
𝟓𝝅
𝟔
 } 
𝒆) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎,𝝅)} 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 66 
14. (Unesp/2013) A caçamba de um caminhão basculante tem 𝟑 𝒎 de comprimento das 
direções de seu ponto mais frontal 𝑷 até a de seu eixo de rotação e 𝟏 𝒎 de altura entre os 
pontos 𝑷 e 𝑸. Quando na posição horizontal, isto é, quando os segmentos de retas 𝒓 e 𝒔 
se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 𝟏, 𝟐 𝒎 do solo. Ela pode girar, no 
máximo, 𝜶 graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte traseira inferior, 
conforme indicado na figura. 
 
Dado 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝟎, 𝟖, a altura, em metros, atingida pelo ponto 𝑷, em relação ao solo, quando 
o ângulo de giro a for máximo, é 
𝒂) 𝟒. 𝟖. 
𝒃) 𝟓, 𝟎. 
𝒄) 𝟑, 𝟖. 
𝒅) 𝟒, 𝟒. 
𝒆) 𝟒, 𝟎. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 67 
 
15. (Fuvest/2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a 
Erastóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente entre 𝟐𝟕𝟓 a.C. e 𝟏𝟗𝟓 a.C. 
Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de 
verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Erastóstenes decidiu investigar o que 
ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso 
observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical 
apresentava sombra e determinou o ângulo 𝜽 entre as direções do bastão e de incidência 
dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de 𝜽 e da distância entre 
Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 𝟕. 𝟓𝟎𝟎 km. 
 
O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de 𝜽 são 
(Note e adote: Distância aproximada por Erastóstenes entre Assuã e Alexandria = 𝟗𝟎𝟎 km; 
𝝅 = 𝟑.) 
𝒂) junho; 7°. 
𝒃) dezembro; 7°. 
𝒄) junho; 23°. 
𝒅) dezembro; 23°. 
𝒆) junho; 0,3°. 
 
16. (Fuvest/2012) O numeral real 𝒙, com 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, satisfaz a equação 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒙)) +
𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬(𝒙)) = −𝟐. Então, 𝐜𝐨𝐬(𝟐 ∙ 𝒙) + 𝐬𝐞𝐧(𝒙) vale 
𝒂)
𝟏
𝟑
 
𝒃)
𝟐
𝟑
 
𝒄)
𝟕
𝟗
 
𝒅)
𝟖
𝟗
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 68 
𝒆)
𝟏𝟎
𝟗
 
 
17. (Fuvest/2011) Sejam 𝒙 e 𝒚 números reais positivos tais que 
𝒙 + 𝒚 =
𝝅
𝟏𝟐
. 
Sabendo-se que 
𝐬𝐞𝐧(𝒚 − 𝒙) =
𝟏
𝟑
 , 
o valor de 𝐭𝐠𝟐(𝒚) − 𝐭𝐠𝟐(𝒙) é igual a 
𝒂)
𝟑
𝟐
 
𝒃)
𝟓
𝟒
 
𝒄)
𝟏
𝟐
 
𝒅)
𝟏
𝟒
 
𝒆)
𝟏
𝟖
 
 
18. (UEA/2011) O Parque Zoobotânico do Museu Paraense Emílio Goeldi abriga uma 
significativa mostra da fauna e da flora amazônica, com destaque para a vitória-régia, 
planta aquática que possui uma grande folha em forma de um círculo, fica sobre a 
superfície da água e pode chegar a 𝟐, 𝟓 𝒎 de diâmetro. Nesse caso, é correto afirmar que 
o comprimento, em metros, da circunferência da folha dessa planta pode chegar até 
𝒂) 𝟏, 𝟐𝟓 𝝅 
𝒃) 𝟏, 𝟓𝟎 𝝅 
𝒄) 𝟐, 𝟐𝟓 𝝅 
𝒅) 𝟐, 𝟓𝟎 𝝅 
𝒆) 𝟔, 𝟐𝟓 𝝅 
 
19. (Unesp/2010) Em um experimento sobre orientação e navegação de pombos, 
considerou-se o pombal como a origem 𝑶 de um sistema de coordenadas cartesianas e 
os eixos orientados Sul-Norte (𝑺𝑵) e Oeste-Leste (𝑾𝑳). Algumas aves foram liberadas 
num ponto 𝑷 que fica 𝟓𝟐 𝒌𝒎 ao leste do eixo 𝑺𝑵 e a 𝟑𝟎 𝒌𝒎 ao sul do eixo 𝑾𝑳. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 69 
O ângulo azimutal de 𝑷 é o ângulo, em graus, medido no sentido horário a partir da 
semirreta 𝑶𝑵 até a semirreta 𝑶𝑷. No experimento descrito, a distância do pombal até o 
ponto de liberação das aves, em 𝒌𝒎, e o ângulo azimutal, em graus, desse ponto são, 
respectivamente: 
Dado: √𝟑𝟔𝟎𝟒 ≈ 𝟔𝟎. 
 
𝒂) 𝟒𝟐, 𝟓 𝒆 𝟑𝟎. 
𝒃) 𝟒𝟐, 𝟓 𝒆 𝟏𝟐𝟎. 
𝒄) 𝟔𝟎 𝒆 𝟑𝟎. 
𝒅) 𝟔𝟎 𝒆 𝟏𝟐𝟎. 
𝒆) 𝟔𝟎 𝒆 𝟏𝟓𝟎. 
 
20. (Unesp/2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de 
aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como 
na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos 
pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas 
um ciclo do processo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 70 
 
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração 
completo ocorre a cada 𝟓 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em 
módulo, é 𝟎. 𝟔 ⋅ 𝟏/𝒔, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva 
representada na figura é: 
𝒂) 𝑽(𝒕) =
𝟐𝝅
𝟓
𝒔𝒆𝒏(
𝟑
𝟓
𝒕) 
𝒃) 𝑽(𝒕) =
𝟑
𝟓
𝒔𝒆𝒏(
𝟓
𝟐𝝅
𝒕) 
𝒄) 𝑽(𝒕) = 𝟎, 𝟔𝒄𝒐𝒔 (
𝟐𝝅
𝟓
𝒕) 
𝒅) 𝑽(𝒕) = 𝟎, 𝟔𝒔𝒆𝒏 (
𝟐𝝅
𝟓
𝒕) 
𝒆) 𝑽(𝒕) =
𝟓
𝟐𝝅𝒄𝒐𝒔(𝟎, 𝟔𝒕) 
 
21. (Unesp/2008) Dois edifícios, 𝑿 e 𝒀, estão um em frente ao outro, num terreno plano. 
Um observador, no pé do edifício 𝑿 (ponto 𝑷), mede um ângulo a em relação ao topo do 
edifício 𝒀 (ponto 𝑸). Depois disso, no topo do edifício 𝑿, num ponto 𝑹, de forma que 𝑹𝑷𝑻𝑺 
formem um retângulo e 𝑸𝑻 seja perpendicular a 𝑷𝑻, esse observador mede um ângulo 𝜷 
em relação ao ponto 𝑸 no edifício 𝒀. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 71 
Sabendo que a altura do edifício 𝑿 é 𝟏𝟎 𝒎 e que 𝟑𝒕𝒈𝜶 = 𝟒𝒕𝒈𝜷, a altura 𝒉 do edifício 𝒀, em 
metros, é: 
𝒂) 
𝟒𝟎
𝟑
 
𝒃) 
𝟓𝟎
𝟒
 
𝒄) 𝟑𝟎. 
𝒅) 𝟒𝟎. 
𝒆) 𝟓𝟎. 
 
22. (UEA/2008) Dois observadores, um situado em 𝑨 e outro em 𝑩, observam uma torre 
entre eles. Das duas posições, os ângulos de visada da torre são respectivamente 𝜶 e 𝜷, 
como mostra a figura a seguir: 
 
Se 𝑨𝑩 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎, 𝒕𝒈𝜶 = 𝟎, 𝟐 e 𝒕𝒈𝜷 = 𝟎, 𝟑, a altura da torre é de: 
𝒂) 𝟐𝟒 𝒎 
𝒃) 𝟐𝟎 𝒎 
𝒄) 𝟏𝟖 𝒎 
𝒅) 𝟐𝟐 𝒎 
𝒆) 𝟐𝟔 𝒎 
 
23. (Unesp/2006) A figura representa parte dos gráficos das funções 𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) 
e 𝒈(𝒙) = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬(𝒙). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 72 
 
Se 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 e 𝒙𝟑 são, respectivamente, as abscissas dos pontos 𝑷,𝑸 e 𝑹 de intersecção dos 
gráficos das funções 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙) no intervalo [𝟎, 𝝅], a soma 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 é: 
𝒂)
𝟐𝝅
𝟑
 
𝒃)
𝟒𝝅
𝟑
 
𝒄) 
𝟑𝝅
𝟐
 
 𝒅) 
𝟓𝝅
𝟔
 
𝒆) 
𝟕𝝅
𝟏𝟐
 
 
24. (Unesp/2005) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular 
de raio 𝟏 𝒄𝒎, como mostra a figura. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 73 
 
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 𝟏 radiano. 
O perímetro do "monstro", em cm, é: 
𝒂) 𝝅 − 𝟏. 
𝒃) 𝝅 + 𝟏. 
𝒄) 𝟐𝝅 − 𝟏. 
𝒅) 𝟐𝝅. 
𝒆) 𝟐𝝅 + 𝟏. 
 
25. (Unesp/2003) Uma máquina produz diariamente 𝒙 dezenas de certo tipo de peças. 
Sabe-se que o custo de produção 𝑪(𝒙) e o valor de venda 𝑽(𝒙) são dados, 
aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções: 
𝑪(𝒙) = 𝟐 − 𝐜𝐨𝐬
(𝒙𝝅)
𝟔
 𝒆 𝑽(𝒙) = 𝟑√𝟐 𝒔𝒆𝒏 (
𝒙𝝅
𝟏𝟐
) 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 
O lucro, em reais, obtido na produção de 𝟑 dezenas de peças é 
𝒂) 𝟓𝟎𝟎. 
𝒃) 𝟕𝟓𝟎. 
𝒄) 𝟏 𝟎𝟎𝟎. 
𝒅) 𝟐 𝟎𝟎𝟎. 
𝒆) 𝟑 𝟎𝟎𝟎. 
 
26. (Fuvest/2002) A soma das raízes da equação 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙) − 𝟐 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝒙) = 𝟎, que estão no 
intervalo [𝟎, 𝟐𝝅], é: 
𝒂) 𝟐𝝅 
𝒃) 𝟑𝝅 
𝒄) 𝟒𝝅 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 74 
𝒅) 𝟔𝝅 
𝒆) 𝟕𝝅 
 
27. (Fuvest/2002) Se α está no intervalo [𝟎, 𝝅 𝟐⁄ ] e satisfaz 𝐬𝐞𝐧
𝟒(𝜶) − 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) = 
𝟏
𝟒
, então, 
o valor da tangente de α é: 
𝒂) √
𝟑
𝟓
 
𝒃) √
𝟓
𝟑
 
𝒄) √
𝟑
𝟕
 
𝒅) √
𝟕
𝟑
 
𝒆) √
𝟓
𝟕
 
 
28. (Fuvest/2001) O quadrado adiante tem O como centro e M como ponto médio de um 
de seus lados. Para cada ponto 𝑿 pertencente aos lados do quadrado, seja θ o ângulo 
𝑴Ô𝑿, medido em radianos, no sentido anti-horário. O gráfico que melhor representa a 
distância de O a 𝑿, em função de θ, é: 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 75 
 
 
 
 
 
29. (Fuvest/2001) Se 𝐭𝐠(𝜽) = 𝟐, então o valor de 
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽)
𝟏+𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽)
 é: 
𝒂) − 𝟑 
𝒃) −
𝟏
𝟑
 
𝒄)
𝟏
𝟑
 
𝒅)
𝟐
𝟑
 
𝒆)
𝟑
𝟒
 
 
30. (Fuvest/2000) O dobro do seno de um ângulo θ, 𝟎 < 𝜽 < 𝝅 𝟐⁄ , é igual ao triplo do 
quadrado de sua tangente. Logo, o valor de seu cosseno é: 
𝒂)
𝟐
𝟑
 
𝒃)
√𝟑
𝟐
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 76 
𝒄)
√𝟐
𝟐
 
𝒅)
𝟏
𝟐
 
𝒆)
√𝟑
𝟑
 
 
8. Gabarito das questões de vestibulares anteriores 
 
1. E 
2. A 
3. C 
4. C 
5. C 
6. C 
7. A 
8. D 
9. D 
10. A 
11. D 
12. B 
13. A 
14. C 
15. A 
16. E 
17. A 
18. D 
19. D 
20. D 
21. D 
22. A 
23. C 
24. E 
25. C 
26. C 
27. B 
28. A 
29. B 
30. B 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 77 
9. Questões de vestibulares anteriores resolvidas e 
comentadas 
1. (Enem/2019) Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um 
círculo com diâmetro medindo 𝟔 𝒎, é cercada por grama. A administração do condomínio 
deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 𝟖 𝒎, o 
diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O condomínio 
dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 𝟏𝟎𝟎 𝒎² de área. O síndico 
do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a 
região a ser ampliada. Utilize 𝟑 como aproximação para 𝝅. A conclusão correta a que o 
síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material 
disponível em estoque 
𝒂) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 𝟐𝟏 𝒎². 
𝒃) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 𝟐𝟒 𝒎². 
𝒄) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 𝟒𝟖 𝒎². 
𝒅) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 𝟏𝟎𝟖 𝒎². 
𝒆) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 𝟏𝟐𝟎 𝒎². 
Comentários 
Fazendo um esboço da situação temos: 
 
Inicialmente tínhamos apenas a área 𝑆(1). Se o diâmetro era, inicialmente, de 6 𝑚, ou seja, raio 
de 3 𝑚, a área 𝑆(1) é dada por: 
𝑆(1) = 𝜋 ⋅ (𝑟1)² 
𝑆(1) = 3 ⋅ (3)² 
𝑆(1) = 27 𝑚² 
Ao aumentar em 8 𝑚 o novo diâmetro passa a ser 14 𝑚, ou seja, o novo raio passa a ser 7 𝑚, 
então: 
𝑆(2) = 𝜋 ⋅ (𝑟2)² 
𝑆(2) = 3 ⋅ (7)2 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 78 
𝑆(2) = 147 𝑚² 
A região a ser pavimentada, portanto, é a diferença entre essas áreas: 
𝑆 = 𝑆(2) − 𝑆(1) 
𝑆 = 147 − 27 
𝑆 = 120 𝑚² 
Assim, a grama disponível não será suficiente, pois precisaríamos de 120 𝑚² de grama para a 
obra. 
Gabarito: e) 
2. (UERJ/2019.1) O círculo a seguir tem o centro na origem do plano cartesiano 𝒙𝒚 e 
raio igual a 𝟏. Nele, 𝑨𝑷 determina um arco de 𝟏𝟐𝟎°. 
 
As coordenadas de 𝑷 são: 
𝒂) (−
𝟏
𝟐
,
√𝟑
𝟐
) 
𝒃) (−
𝟏
𝟐
,
√𝟐
𝟐
) 
𝒄) (−
√𝟑
𝟐
,
𝟏
𝟐
) 
𝒅) (−
√𝟐
𝟐
,
𝟏
𝟐
) 
Comentários 
Sabemos que 120° guarda relação com o ângulo de 60°: mesmo seno e cosseno com sinal 
invertido. 
Dessa forma, temos: 
𝑠𝑒𝑛(120°) = 𝑠𝑒𝑛(60°) =
√3
2
 
cos(120°) = −cos(60°) = −
1
2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 79 
Como o raio do círculo (na verdade, está mais para circunferência, concorda?) é unitário, temos 
que o valor da ordenada do ponto 𝑃 é o próprio valor do seno, enquanto a abcissa é o valor do 
cosseno do ângulo. 
Desse modo, temos que 
𝑃 = (−
1
2
,
√3
2
) 
Gabarito: a) 
3. (Unesp/2019) Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as seguintes 
coordenadas geográficas: 
 
Considerando a Terra uma esfera de raio 𝟔. 𝟑𝟎𝟎 𝒌𝒎, a medida do menor arco 𝑷�̂� sobre a 
linha do paralelo 𝟑𝟎° 𝑵 é igual a 
𝒂) 𝟏. 𝟏𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
𝒃) 𝟏. 𝟐𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
𝒄) 𝟏 , 𝟎𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
𝒅) 𝟏. 𝟑𝟐𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
𝒆) 𝟏. 𝟑𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
Comentários 
O enunciado nos diz que o arco em questão é um arco menor que está exatamente em cima da 
linha do paralelo 30° 𝑁. 
Para ficar mais claro, vamos fazer um esboço dessa linha do paralelo 30° 𝑁, assim como os 
elementos mais importantes para a nossa análise. 
ESTRATÉGIAVESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 80 
 
Como o arco é em cima da linha do paralelo 30° 𝑁, precisaremos do raio dessa linha para 
podermos calculá-lo. Obtenhamos, então, então, esse raio 𝑟, lembrando que, segundo o 
enunciado, o raio da Terra é 𝑅 = 6 300 𝑘𝑚. 
Como estamos em uma esfera (aproximando a forma da Terra, como pediu o enunciado), temos 
o triângulo formado pelos pontos 𝐶-𝑐-𝐴 um triângulo retângulo em 𝑐. Assim, podemos calcular o 
valor de 𝑟 por meio da relação seno. 
sen(60) =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
=
𝑟
6300
 
√3
2
=
𝑟
6300
 
6300 ⋅
√3
2
= 𝑟 
 6300 
3150 ⋅
√3
 2 
= 𝑟 
3150 ⋅ √3 = 𝑟 
Agora que já conhecemos o raio do paralelo em questão, podemos focar nossos esforços no 
arco propriamente dito. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 81 
Marquemos, então, no paralelo, os pontos 𝑃 e 𝑄 informados na tabela. Note que ambos estão 
com latitude 30°𝑁, portanto, em cima da linha que esboçamos anteriormente. 
Além disso, enquanto 𝑃 tem longitude 45°𝐿, o ponto 𝑄 tem longitude 15 𝑂, indicando que a 
distância angular deles é de 𝜃 = 45° + 15° = 60°, veja. 
 
Por estarmos vendo o paralelo em perspectiva, temos a impressão de que os segmentos 𝑃𝑐 e 
𝑄𝑐 são diferentes, mas ambos representam o raio do paralelo e são, portanto, iguais. Uma vista 
superior pode tornar esse fato mais evidente. 
 
Assim, finalmente, podemos calcular o arco solicitado, pois sabemos seu raio (3150 ⋅ √3 = 𝑟) e 
seu ângulo correspondente, 𝜃 = 60°. Utilizando a fórmula para calcular o comprimento de um 
setor, temos. 
𝑆 =
𝜃
360°
⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 
𝑆 =
60°
360°
⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 3150 ⋅ √3 
𝑆 =
 60° 
 360° 
6 ⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 3150 ⋅ √3 
𝑆 =
1
 6 
⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 3150 
525 ⋅ √3 
𝑆 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 525 ⋅ √3 
𝑆 = 1 050 ⋅ 𝜋 ⋅ √3 𝑘𝑚 
Alternativa c) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 82 
4. (Fuvest/2019) Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia-se 
sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido 
horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com 
uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser 
uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante. 
 
Usando as dimensões indicadas na figura (𝑨𝑩 = 𝟏 e 𝑩𝑪 = 𝟐), qual é o comprimento da 
trajetória percorrida pelo vértice 𝑩, desde a posição mostrada, até a aresta 𝑩𝑪 apoiar-se 
no solo novamente? 
𝒂)
𝟑
𝟐
𝝅 
𝒃)
𝟑 + √𝟑
𝟑
𝝅 
𝒄)
𝟏𝟑
𝟔
𝝅 
𝒅)
𝟑 + √𝟑
𝟐
𝝅 
𝒆)
𝟖 + 𝟐√𝟑
𝟑
𝝅 
Comentários 
O exercício nos pede para fazermos 3 rotações em sequência, até que o triângulo volte à posição 
original. 
É importante que sejamos obedientes com relação ao enunciado, então, façamos exatamente o 
que se pede. 
No diagrama, deixemos, também, explicitados os ângulos �̂� e �̂�. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 83 
 
Como foi pedido apenas a trajetória do ponto B, vamos explicitá-la. 
 
Pelo esboço, percebemos que o triângulo, para retornar à posição de origem, faz 3 rotações. No 
entanto, o ponto 𝐵 fica “parado” na última rotação, pois a rotação ocorre exatamente em torno 
dele. 
Assim, o ponto 𝐵 faz apenas duas rotações: a primeira em torno do ponto 𝐶 e a segunda em 
torno do ponto 𝐴. 
Vejamos as características dessas duas rotações do ponto 𝐵, lembrando que o comprimento de 
um setor circular (portanto a trajetória de um ponto ao percorrer um arco de circunferência) é 
dado por 𝑆 = 𝜃 ⋅ 𝑅, onde 𝑆 é o valor da trajetória, 𝜃 o ângulo correspondente ao setor e 𝑅, o raio 
da circunferência. 
Rotação Raio Ângulo de rotação Trajetória 
Em torno do ponto 𝐶 2 𝜋 − 𝐶 𝑆1 = (𝜋 − 𝐶) ⋅ 2 
Em torno do ponto 𝐴 1 𝜋
2
 𝑆2 =
𝜋
2
⋅ 1 
Para calcularmos o valor do comprimento da trajetória do ponto 𝐵, precisamos do valor do ângulo 
𝐶. Para isso, vamos recorrer ao triângulo fornecido. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 84 
 
Perceba que, com relação ao ponto 𝐶, o triângulo nos fornece o cateto oposto (1) e a hipotenusa 
(2). Com essas duas informações, podemos calcular 𝐶 por meio de seu seno. 
𝑠𝑒𝑛(𝐶) =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
=
1
2
 
Como sabemos que o ângulo 𝐶 faz parte de um triângulo retângulo, sabemos que ele não pode 
superar 
𝜋
2
 , portanto, a única opção plausível é 
𝐶 =
𝜋
6
 
Agora sim, de posse do valor do ângulo 𝐶, podemos calcular a trajetória total do ponto 𝑇𝐵. 
𝑇𝐵 = 𝑆1 + 𝑆2 
𝑇𝐵 = (𝜋 − 𝐶) ⋅ 2 +
𝜋
2
⋅ 1 
𝑇𝐵 = (𝜋 −
𝜋
6
) ⋅ 2 +
𝜋
2
 
𝑇𝐵 =
5𝜋
6
⋅ 2 +
𝜋
2
 
𝑇𝐵 =
10𝜋 + 3𝜋
6
 
𝑇𝐵 =
13𝜋
6
 
Gabarito: c) 
5. (UEL/2019) A icônica obra Mona Lisa, de Leonardo Da Vinci, exposta no Museu do 
Louvre, possibilita pôr à prova as proporções matemáticas nela presentes. Partindo de 
um quadrado 𝑨𝑩𝑪𝑫 de lado 𝟏, que delimita uma região abaixo da cabeça, pode-se obter 
um retângulo, que contém a cabeça da Mona Lisa, por meio da construção geométrica 
descrita a seguir. 
Seja 𝑶 o ponto médio do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . Tome a circunferência de centro 𝑶 e raio 𝑶𝑫̅̅̅̅̅. 
Encontre o ponto 𝑬 dado pela intersecção da circunferência com a semirreta 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
Considere o ponto 𝑭 de modo a obter o retângulo de vértices 𝑬𝑨𝑫𝑭, como ilustrado na 
figura a seguir. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 85 
 
Com base na construção geométrica fornecida e na figura, assinale a alternativa que 
apresenta, corretamente, o comprimento do segmento 𝑬𝑨̅̅ ̅̅ . 
𝒂) 
𝟏 − √𝟓
𝟐
 
𝒃) 
𝟑 − √𝟓
𝟐
 
𝒄) 
√𝟓 − 𝟏
𝟐
 
𝒅) 
√𝟓 + 𝟏
𝟐
 
𝒆) 
√𝟓 + 𝟑
𝟐
 
Comentários 
Com 𝑂 é o ponto médio de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐵 = 1, temos que 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ =
1
2
. 
Considerando o ponto 𝐺 como médio entre 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , temos que 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 1 e 𝐷𝐺̅̅ ̅̅ = 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ =
1
2
. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 86 
 
 
Dessa forma, podemos calcular, utilizando o teorema de Pitágoras, a distância 𝑑 = 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ que será 
igual ao raio da circunferência traçada. 
𝑑2 = 12 + (
1
2
)
2
 
𝑑2 = 1 +
1
4
 
𝑑2 =
5
4
 
√𝑑2 = √
5
4
 
|𝑑| =
√5
2
 
𝑑 = ±
√5
2
 
Como estamos lidando com o raio de uma circunferência, podemos descartar a parte negativa e 
considerar apenas 
𝑑 =
√5
2
. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 87 
Tomando 𝑑 =
√5
2
 como o raio da circunferência, podemos dizer que 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐸̅̅ ̅̅ = 𝑑 =
√5
2
. 
Como 𝑂𝐸̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ (ambos são raios da circunferência), temos: 
𝑂𝐸̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ 
√5
2
=
1
2
+ 𝑥 
√5
2
−
1
2
= 𝑥 
√5 − 1
2
= 𝑥 
Gabarito: c) 
6. (Unesp/2018) A figura indica os gráficos das funções 𝑰, 𝑰𝑰 𝒆 𝑰𝑰𝑰. Os pontos 
𝑨(𝟕𝟐°, 𝟎, 𝟑𝟎𝟗), 𝑩(𝒙𝑩, −𝟎, 𝟑𝟎𝟗) e 𝑪(𝒙𝑪, 𝟎, 𝟑𝟎𝟗) são alguns dos pontos de intersecção dos 
gráficos. 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 88 
Nas condições dadas, 𝒙𝑩 + 𝒙𝑪 é igual a 
𝒂) 𝟓𝟑𝟖° 
𝒃) 𝟒𝟖𝟖° 
𝒄) 𝟓𝟒𝟎° 
𝒅) 𝟒𝟑𝟐° 
𝒆) 𝟒𝟔𝟎° 
Comentários 
Antes de começar a parte algébrica, vamos dividir o gráfico nos quatro quadrantes do ciclo 
trigonométrico. 
 
Perceba que o ponto 𝐴 está no primeiro quadrante; o 𝐵, no terceiro; e o 𝐶, no quarto. 
Além disso, o gráfico nos mostra os seguintes valores: 
𝐴 = 72° cos(𝐴) = 0,309 cos(𝐵) = −0,309 cos(𝐶) = 0,309 
Vamos colocar todos esses valores no ciclo trigonométrico. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 89 
 
Com todos os valores explicitados, podemos dizer que: 
𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 + 180° = 72° + 180° = 252° 
𝑥𝐶 = 360° − 72° =288° 
Assim, 
𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 252° + 288° = 540° 
Gabarito: c) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 90 
7. (Fuvest/2018) 
 
Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e que a 
linha contínua represente o gráfico da função 𝒈(𝒙) = 𝜶. 𝒔𝒆𝒏(𝜷. 𝒙), segue que 
𝒂) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 
𝒃) 𝜶 > 𝟏 𝒆 𝟎 < 𝜷 < 𝟏 
𝒄) 𝜶 = 𝟏 𝒆 𝜷 > 𝟏 
𝒅) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 𝒆 𝜷 > 𝟏 
𝒆) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 𝒆 𝜷 = 𝟏 
Comentários 
Analisando a função de 𝛼: 
A função sen(𝑥) é limitada de forma que −1 ≤ sen(𝑥) ≤ 1. 
Dessa forma, quando multiplicamos a função seno por uma constante, essa constante 
altera esse limite, veja: 
−1 ≤ sen(𝑥) ≤ 1 
−1 ∙ 𝛼 ≤ 𝛼 ∙ sen(𝑥) ≤ 𝛼 ∙ 1 
Como vemos que o gráfico da nossa função 𝑔(𝑥) = 𝛼. 𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑥) tem amplitude menor do 
que a amplitude de 𝑓(𝑥) = sen(𝑥), podemos concluir que |𝛼| < 1, ou seja, −1 < 𝛼 < 1. 
Analisando a função de 𝛽: 
A função sen(𝑥) = sen(1 ∙ 𝑥) realiza um ciclo, uma volta completa, em 360° ou 2𝜋 𝑟𝛼𝑑. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 91 
Podemos pensar que, quanto multiplicamos o argumento da função seno por um número 
diferente de 1, estamos condicionando a função sen(𝛽 ∙ 𝑥) a realizar 𝛽 ciclos em 360° ou 
2𝜋 𝑟𝛼𝑑. 
Perceba que a função 𝑔(𝑥) = 𝛼. 𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑥) realiza menos ciclos que a função sen(𝑥), o 
que nos leva a concluir que |𝛽| < 1, ou seja, −1 < 𝛽 < 1. 
A única alternativa a apresentar corretamente ambas as conclusões, −1 < 𝛼 < 1 e −1 <
𝛽 < 1, é a alternativa a). 
Gabarito: a) 
8. (Fuvest/2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura 
constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: 
𝑽(𝒕) = 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝟓 + 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝝅 ∙ 𝒕)), 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐, 
em que 𝒕 é medido em horas e 𝑽(𝒕) é medido em 𝒎𝟑. A pressão máxima do gás no intervalo 
de tempo [𝟎, 𝟐] ocorre no instante 
a) 𝒕 = 𝟎, 𝟒 
b) 𝒕 = 𝟎, 𝟓 
c) 𝒕 = 𝟏 
d) 𝒕 = 𝟏, 𝟓 
e) 𝒕 = 𝟐 
Comentários 
 
A questão cobra, além de conhecimentos matemáticos, o conhecimento de que Volume e 
Pressão são grandezas inversamente proporcionais, evidenciada na da Equação de 
Clapeyron4. Quanto menor for o volume, maior a pressão no gás, entendendo, claro, à 
temperatura constante. 
 
Como o enunciado pede “A pressão máxima do gás”, mas ofereceu a equação do volume 
𝑉(𝑡) = 𝑙𝑜𝑔2(5 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡)), 
procuraremos, na verdade, o volume mínimo. 
 
4 Equação de Clapeyron sobre gases ideais: 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 92 
 
Considerações feitas, vamos “à caça” desse volume mínimo. 
 
Perceba que a função principal, mais ampla, é a função logarítmica, na qual o argumento 
(5 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡)) contém uma função seno. 
Como a função logarítmica é estritamente crescente, o menor valor para a função logarítmica se 
dará quando seu argumento for o menor possível. Analisemos esse argumento. 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 (5 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡)) → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡) 
 
Definido que nossa tarefa foi reduzida a encontrar o valor mínimo para sen(𝜋 ∙ 𝑡) e o valor mínimo 
para a função seno é −1, temos: 
sen(𝜋 ∙ 𝑡) = −1 
O primeiro ângulo que tem seno igual a −1 é 270° = 3𝜋 2⁄ 𝑟𝑎𝑑, o que acaba por se repetir a cada 
volta, 𝑘 ∙ 360° = 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑, no ciclo trigonométrico. Dessa forma, temos: 
sen(𝜋 ∙ 𝑡) = −1 
sen(𝜋 ∙ 𝑡) = sen (
3𝜋
2
+ 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋) 
Igualando os argumentos, temos: 
𝜋 ∙ 𝑡 =
3𝜋
2
+ 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 
Colocando 𝜋 em evidência no segundo membro da equação, temos: 
Pressão Máxima Volume Mínimo
Pressão Máxima Volume Mínimo 𝑉(𝑡)Mínimo
Pressão Máxima Volume Mínimo 𝑉(𝑡)Mínimo
5 + 2 ∙ sen 𝜋 ∙ 𝑡 Mínimosen 𝜋 ∙ 𝑡 Mínimo
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 93 
𝜋 ∙ 𝑡 =
3𝜋
2
+ 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 
𝜋 ∙ 𝑡 = 𝜋 ∙ (
3
2
+ 2 ∙ 𝑘) 
Dividindo ambos os membros por 𝜋: 
𝜋 ∙ 𝑡
𝜋
=
𝜋
𝜋
∙ (
3
2
+ 2 ∙ 𝑘) 
𝜋 ∙ 𝑡
𝜋
=
𝜋
𝜋
∙ (
3
2
+ 2 ∙ 𝑘) 
𝑡 =
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 
Agora, precisamos ver para quais valores de 𝑘 nosso 𝑡 está dentro do intervalo solicitado na 
questão, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2. 
Como os valores de 𝑘 têm que ser inteiros, podemos testá-los um a um até encontrar um que 
satisfaça ou, para maior precisão, resolver a inequação do intervalo válido para 𝑡. 
0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
0 ≤
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 ≤ 2 
Subtraindo 3 2⁄ de todos os membros da inequação: 
0 −
3
2
≤
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 −
3
2
≤ 2 −
3
2
 
Para frações, já sabe, MMC. 
−
3
2
≤
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 −
3
2
≤
4 − 3
2
 
−
3
2
≤ 2 ∙ 𝑘 ≤
1
2
 
Multiplicando a equação por 1 2⁄ : 
−
3
2
∙
1
2
≤ 2 ∙ 𝑘 ∙
1
2
≤
1
2
∙
1
2
 
−
3
4
≤ 2 ∙ 𝑘 ∙
1
2
≤
1
4
 
−
3
4
≤ 𝑘 ≤
1
4
 
Sabemos que o valor de 𝑘 é inteiro e que está entre −3 4⁄ e 
1
4⁄ . O único valor inteiro possível 
para 𝑘 nessas condições é 𝑘 = 0. 
Assim, 
𝑡 =
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 94 
𝑡 =
3
2
+ 2 ∙ 0 
𝑡 =
3
2
= 1,5 
Gabarito: d) 
9. UEA/2017) Na figura, a reta 𝒓 intercepta o plano 𝜶 em 𝑷 e forma com ele um ângulo 
de 𝟑𝟎°. 
 
Se 𝑨𝑷̅̅ ̅̅ = 𝟑𝟎 𝒄𝒎, então a menor distância de 𝑨 ao plano 𝜶 é 
𝒂) 𝟏𝟓√𝟑 𝒄𝒎 
𝒃) 𝟑𝟎 𝒄𝒎 
𝒄) 𝟑𝟎√𝟑 𝒄𝒎 
𝒅) 𝟏𝟓 𝒄𝒎 
𝒆) 𝟏𝟓√𝟐 𝒄𝒎 
Comentários: 
A menor distância pedida é a distância entre 𝐴 e sua projeção ortogonal ao plano 𝛼. Vejamos na 
imagem: 
 
Utilizando a definição de seno nesse triângulo retângulo, temos: 
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
𝑐𝑜
hip
 
𝑠𝑒𝑛 30° =
𝑑
𝐴𝑃̅̅ ̅̅
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 95 
1
2
=
𝑑
30
 
Multiplicando ambos os membros por 30: 
1
2
∙ 30 = 𝑑 
15 𝑐𝑚 = 𝑑 
Gabarito: d) 
10. (Unesp/2015) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de 
uma mesa de bilhar retangular 𝑨𝑩𝑪𝑫, com caçapas em 𝑨,𝑩, 𝑪 e 𝑫. O ponto 𝑷, localizado 
em 𝑨𝑩, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo 𝑷𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟏, 𝟓 𝒎 e 𝑷𝑨̅̅ ̅̅ = 𝟏, 𝟐 𝒎. 
Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com 𝑩𝑪 no ponto 𝑻, sendo 
a medida do ângulo 𝑷�̂�𝑩 igual 𝟔𝟎°. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, 
diretamente até a caçapa 𝑫. 
 
Nas condições descritas e adotando √𝟑 ≅ 𝟏, 𝟕𝟑, a largura do tampo da mesa, em metros, 
é próxima de 
𝒂) 𝟐, 𝟒𝟐. 
𝒃) 𝟐, 𝟎𝟖. 
𝒄) 𝟐, 𝟐𝟖. 
𝒅) 𝟐, 𝟎𝟎. 
𝒆) 𝟐, 𝟓𝟔. 
Comentários 
Aprendemos na física que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, está lembrado? 
Aqui é a mesma coisa. Façamos um esboço da trajetória da bola até atingir a caçapa D, como 
indicado no enunciado. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 96 
 
No triângulo 𝐵𝑃𝑇, temos: 
𝑡𝑔(60°) =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
⇒ √3 =
𝐵𝑃
𝐵𝑇
⇒ 1,73 ≅
1,5
𝐵𝑇
⇒ 𝐵𝑇 ≅
1,5
1,73
⇒ 𝐵𝑇 ≅ 0,8671 
No triângulo 𝐶𝐷𝑇, temos: 
𝑡𝑔(60°) =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
⇒ √3 =
𝐶𝐷
𝐶𝑇
⇒ 1,73 ≅
1,5 + 1,2
𝐶𝑇
⇒ 𝐶𝑇 ≅
2,7
1,73
⇒ 𝐶𝑇 ≅ 1,5607 
Dessa forma, a largura do tampo da mesa é dada por: 
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 = 𝐵𝑇 + 𝐶𝑇 ≅ 0,8671 + 1,5607 ≅ 2,4278 
Gabarito: a) 
11. (UFPR/215) Qual é o número mínimo de voltas completas que a menor das 
engrenagens deve realizar para que as quatro flechas fiquem alinhadas da mesma maneira 
novamente? 
 
𝒂) 𝟏𝟒 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔 
𝒃) 𝟐𝟏 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔 
𝒄) 𝟓𝟕 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔 
𝒅) 𝟔𝟎 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔 
𝒆) 𝟖𝟒 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒔 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 97 
Comentários: 
Aqui, embora tenhamos o comprimento de cada circunferência dado em dentes e não em 
medidas tradicionais como o metro, nada muda. Para que todas as circunferências estejam, 
novamente, nas mesas posições em que estavam inicialmente, cada uma deve completar um 
número inteiro de voltas. 
Dessa forma, devemos ter o menor múltiplo comum entre os números dadospara a primeira 
ocorrência solicitada. 
Assim, estamos procurando o 𝑀𝑀𝐶(2, 3, 7, 10). 
Utilizando o método prático, temos: 
 
7 20 30 2 
7 10 15 2 
7 5 15 3 
7 5 5 5 
7 1 1 7 
1 1 1 − 
 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 420 
 
Assim, devemos ter um percurso de 420 dentes para que todas as engrenagens façam voltas 
completas. 
Como a engrenagem menor tem somente 7 dentes, o número 𝑛 de voltas que ela terá que 
executar será dado por: 
𝑛 =
420
7
 
𝑛 = 60 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠 
Gabarito: d) 
12. (Unesp/2014) A figura mostra um relógio de parede, com 𝟒𝟎 𝒄𝒎 de diâmetro externo, 
marcando 𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒆 𝟓𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 98 
 
Usando a aproximação 𝝅 = 𝟑, a medida, em 𝒄𝒎, do arco externo do relógio determinado 
pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário 
mostrado, vale aproximadamente 
𝒂) 𝟐𝟐. 
𝒃) 𝟑𝟏. 
𝒄) 𝟑𝟒. 
𝒅) 𝟐𝟗. 
𝒆) 𝟐𝟎. 
Comentários 
Vamos dividir a questão em duas partes: a diferença angular entre a posição vertical e ambos os 
ponteiros. 
 
O ponteiro das horas move-se 30° (entre dois números inteiros) a cada 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. Para saber 
qual foi seu deslocamento em 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒 54 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, ou seja, 114 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, podemos utilizar a 
regra de três: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 99 
𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 
30° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 60 𝑚𝑖𝑛
 
𝛼 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 114 𝑚𝑖𝑛
 
 
30°
𝛼
=
60 𝑚𝑖𝑛 
114 𝑚𝑖𝑛 
⇒ 60 ⋅ 𝛼 = 114 ⋅ 30° ⇒ 𝛼 =
114 ⋅ 30°
60
⇒ 𝛼 = 57° 
Podemos pensar o mesmo para encontrar o ângulo 𝛽, mas tomemos cuidado ao calculá-lo, pois 
ele não representa o deslocamento do ponteiro dos minutos e sim o seu explementar, ou seja, o 
que lhe falta para completar 360°. Dessa forma, representaremos o deslocamento angular do 
ponteiro dos minutos por 360° − 𝛽. 
Novamente, outra regra de três. 
Dessa vez, não precisamos utilizar o tempo total de 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒 54 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, pois o ponteiro dos 
minutos realiza uma volta completa a cada 1 ℎ𝑜𝑟𝑎. Desse modo, utilizaremos, na regra de três, 
apenas o tempo de 54 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 
360° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 60 𝑚𝑖𝑛
 
360° − 𝛽 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 54 𝑚𝑖𝑛
 
 
360°
360° − 𝛽
=
60 𝑚𝑖𝑛 
54 𝑚𝑖𝑛 
⇒ 60 ⋅ (360° − 𝛽) = 54 ⋅ 360° ⇒ 360° − 𝛽 =
54 ⋅ 360°
60
⇒ 
 
⇒ 360° − 𝛽 = 324° ⇒ 360° − 324° = 𝛽 ⇒ 36° = 𝛽 
Temos, então, que a diferença angular entre ambos os ponteiros é dada por 
𝛼 + 𝛽 = 57° + 36° = 93° 
Para saber o comprimento de um arco, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
𝑆 =
𝜃
360°
⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 
𝑆 =
93°
360°
⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 20 𝑐𝑚 
𝑆 = 31 𝑐𝑚 
Gabarito: b) 
13. (Unesp/2014) O conjunto solução (𝑺) para a inequação 𝟐 ⋅ 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) > 𝟐, em 
que 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, é dado por: 
𝒂) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎,𝝅)|𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟔
 𝒐𝒖 
𝟓𝝅
𝟔
< 𝒙 < 𝝅} 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 100 
𝒃) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|
𝝅
𝟑
< 𝒙 <
𝟐𝝅
𝟑
 } 
𝒄) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟑
 𝒐𝒖 
𝟐𝝅
𝟑
< 𝒙 < 𝝅} 
𝒅) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|
𝝅
𝟔
< 𝒙 <
𝟓𝝅
𝟔
 } 
𝒆) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎,𝝅)} 
Comentários 
Questão algébrica que pede, diretamente, a solução da inequação. Obedeçamos. 
2 ⋅ cos2(𝑥) + cos(2𝑥) > 2 
2 ⋅ cos2(𝑥) + cos2(𝑥) − sen2(𝑥) > 2 
3 ⋅ cos2(𝑥) − sen2(𝑥) > 2 
3 ⋅ cos2(𝑥) − (1 − cos2(𝑥)) > 2 
3 ⋅ cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) > 2 
4 ⋅ cos2(𝑥) − 1 > 2 
4 ⋅ cos2(𝑥) > 2 + 1 
4 ⋅ cos2(𝑥) > 3 
cos2(𝑥) >
3
4
 
√cos2(𝑥) > √
3
4
 
|cos(𝑥)| >
√3
2
 
Para que o módulo de cos(𝑥) seja maior que a fração, é necessário que, caso ele seja positivo, 
que seja maior que 
√3
2
 ou, sendo negativo, que seja menor que 
√3
2
. 
cos(𝑥) >
√3
2
 cos(𝑥) < −
√3
2
 
 Para assinalar o intervalo angular referente a essas duas condições, vamos recorrer ao 
ciclo trigonométrico. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 101 
 
 
Assim, podemos perceber que, para que tenhamos cos(𝑥) > 
√3
2
, precisamos ter ângulos entre 0° 
e 30° e, para que tenhamos cos(𝑥) < − 
√3
2
, entre 150° e 180°. 
Reescrevendo essas informações em radianos, temos: 
𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)|0 < 𝑥 <
𝜋
6
 𝑜𝑢 
5𝜋
6
< 𝑥 < 𝜋} 
Gabarito: a) 
14. (Unesp/2013) A caçamba de um caminhão basculante tem 𝟑 𝒎 de comprimento das 
direções de seu ponto mais frontal 𝑷 até a de seu eixo de rotação e 𝟏 𝒎 de altura entre os 
pontos 𝑷 e 𝑸. Quando na posição horizontal, isto é, quando os segmentos de retas 𝒓 e 𝒔 
se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 𝟏, 𝟐 𝒎 do solo. Ela pode girar, no 
máximo, 𝜶 graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte traseira inferior, 
conforme indicado na figura. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 102 
 
Dado 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝟎, 𝟖, a altura, em metros, atingida pelo ponto 𝑷, em relação ao solo, quando 
o ângulo de giro a for máximo, é 
𝒂) 𝟒. 𝟖. 
𝒃) 𝟓, 𝟎. 
𝒄) 𝟑, 𝟖. 
𝒅) 𝟒, 𝟒. 
𝒆) 𝟒, 𝟎. 
Comentários 
Vamos traçar algumas retas auxiliares e delimitar os ângulos que já conhecemos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 103 
 
Com os pontos definidos na imagem anterior, a altura ℎ do ponto 𝑃 ao solo é dada por: 
ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟 + 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ + 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ 
A altura da reta 𝑟 já foi dada no enunciado: 𝑎𝑙𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟 = 1,2 𝑚. 
No triângulo 𝐵𝐶𝑄, temos: 
sen(𝛼) =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
⇒ √1 − cos2(𝛼) =
𝐵𝑄̅̅ ̅̅
3
⇒ √1 − (0,8)2 =
𝐵𝑄̅̅ ̅̅
3
⇒ 
⇒ 3 ⋅ √1 − 0,64 = 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ ⇒ 3 ⋅ √0,36 = 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ ⇒ 3 ⋅ 0,6 = 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ ⇒ 1,8 = 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ 
Já no triângulo 𝐴𝑃𝑄, 
cos(𝛼) =
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
⇒ 0,8 =
𝑄𝐴̅̅ ̅̅
1
⇒ 1 ⋅ 0,8 = 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ ⇒ 0,8 = 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ 
Dessa forma, podemos dizer que a altura ℎ é dada por: 
ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟 + 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ + 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ 
ℎ = 1,2 + 1,8 + 0,8 
ℎ = 3,8 𝑚 
Gabarito: c) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 104 
15. (Fuvest/2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a 
Erastóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente entre 𝟐𝟕𝟓 a.C. e 𝟏𝟗𝟓 a.C. 
Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de 
verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Erastóstenes decidiu investigar o que 
ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso 
observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical 
apresentava sombra e determinou o ângulo 𝜽 entre as direções do bastão e de incidência 
dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de 𝜽 e da distância entre 
Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 𝟕. 𝟓𝟎𝟎 km. 
 
O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de 𝜽 são 
(Note e adote: Distância aproximada por Erastóstenes entre Assuã e Alexandria = 𝟗𝟎𝟎 km; 
𝝅 = 𝟑.) 
a) junho; 7°. 
b) dezembro; 7°. 
c) junho; 23°. 
d) dezembro; 23°. 
e) junho; 0,3°. 
Comentários 
De início, vamos fazer um diagrama inserindo as informações do enunciado. Coloquemos uma 
das cidades no início do ciclo trigonométrico para facilitar nosso entendimento. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 105 
 
Sabemos que o comprimento de um setor circular de ângulo 𝜃, dado em radianos, é dado por: 
𝑆 = 𝜃 ∙ 𝑟 
Como sabemos o comprimento do setor e o raio da circunferência, podemos inferir o ângulo 𝜃: 
𝑆 = 𝜃 ∙ 𝑟 
900 = 𝜃 ∙ 7500 
Dividindo ambos os membros da equação por 7500, temos: 
900
7500
=
𝜃 ∙ 7500
7500
 
900
7500
= 𝜃 
Em vez de fazermos a conta manualmente, vamos utilizar simplificações sucessivas para dar a 
você mais agilidade na hora da prova, acompanhe: 
𝜃 =
9007500
=
9
75
=
3
25
 𝑟𝑎𝑑 
 
Professor, eu não estou vendo essa resposta nas alternativas! Como faço? 
Simples, jovem padawan, essa medida está em radianos e nossas alternativas, em graus. 
Precisamos fazer uma transformação. 
Sabendo que 180° equivalem a 𝜋 radianos, podemos montar a seguinte regra de três. 
𝐺𝑟𝑎𝑢𝑠 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠
 
180° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝜋
 
𝜃 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
25
 
Na regra de três, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, está lembrado? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 106 
𝜃 ∙ 𝜋 = 180 ∙
3
25
 
Dividindo ambos os membros da equação por 𝜋, temos: 
𝜃 ∙ 𝜋
𝜋
=
180
𝜋
∙
3
25
 
𝜃 ∙ 𝜋
𝜋
=
180
𝜋
∙
3
25
 
𝜃 =
180
𝜋
∙
3
25
 
Como nosso exercício solicitou que usássemos a aproximação 𝜋 ≅ 3, prossigamos: 
𝜃 =
180
𝜋
∙
3
25
 
𝜃 =
180
3
∙
3
25
 
𝜃 = 60 ∙
3
25
 
𝜃 =
180
25
=
36
5
= 7,2° 
E a primeira parte encontra-se pronta: 𝜃 = 7,2°. 
Ok, professor, até aqui eu entendi. Mas e essa parte da data? Não me lembro de ter visto esse 
tipo de matéria no ensino médio. 
Pois bem, é verdade. Aqui teremos que ir um pouco além do âmbito da matemática pura. 
Vejamos o que o enunciado tem a nos oferecer que possa nos ajudar a decifrar a data das 
observações. 
 
Note que o exercício deu ênfase à ideia de aproximação dos valores: 
Egito fica no hemisfério norte
“Sabendo que em Assuã, cidade localizada no
sul do Egito, ...”
“... Alexandria, cidade no 
norte do Egito, ...”
No hemisfério norte, 
o solstício de verão acontece em
21 de junho
“... ao meio dia do solstício de verão ...”
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 107 
“O valor do raio da Terra, obtido a partir de 𝜃 e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, 
aproximadamente, 7.500 km.” 
“O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de 𝜃 são” 
“Distância aproximada por Erastóstenes entre Assuã e Alexandria = 900 km; 𝜋 = 3.)” 
Desse modo, a que melhor se encaixa aos dados é alternativa a) junho; 7°. 
Gabarito: a) 
16. (Fuvest/2012) O numeral real 𝒙, com 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, satisfaz a equação 
𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒙)) + 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬(𝒙)) = −𝟐. 
Então, 𝐜𝐨𝐬(𝟐 ∙ 𝒙) + 𝐬𝐞𝐧(𝒙) vale 
𝒂)
𝟏
𝟑
 
𝒃)
𝟐
𝟑
 
𝒄)
𝟕
𝟗
 
𝒅)
𝟖
𝟗
 
𝒆)
𝟏𝟎
𝟗
 
Comentários 
Antes de calcularmos cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥), vamos simplificar a equação dada e ver o que ela nos 
revela. 
log3(1 − cos(𝑥)) + log3(1 + cos(𝑥)) = −2 
A soma de logaritmos pode ser transformada em logaritmo do produto, lembra? 
log3(1 − cos(𝑥)) + log3(1 + cos(𝑥)) = −2 
log3[(1 − cos(𝑥)) ∙ (1 + cos(𝑥))] = −2 
No produto, temos uma soma e uma diferença. Então, podemos aplicar esse produto notável. 
log3[(1 − cos(𝑥)) ∙ (1 + cos(𝑥))] = −2 
log3[(1
2 − cos2(𝑥))] = −2 
Nesse ponto, podemos aplicar a definição de logaritmo. 
 
 
log3[(1
2 − cos2(𝑥))] = −2 
 
Ou seja, 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 108 
3−2 = 12 − cos2(𝑥) 
Para resolver a equação, podemos somar cos2(𝑥) a ambos os termos da equação. 
3−2 + cos2(𝑥) = 12 − cos2(𝑥) + cos2(𝑥) 
3−2 + cos2(𝑥) = 12 − cos2(𝑥) + cos2(𝑥) 
3−2 + cos2(𝑥) = 12 
Como 
3−2 =
1
32
=
1
9
, 
temos 
3−2 + cos2(𝑥) = 1 
1
9
+ cos2(𝑥) = 1 
 
Subtraindo 1 9⁄ de ambos os termos: 
1
9
+ cos2(𝑥) −
1
9
= 1 −
1
9
 
1
9
+ cos2(𝑥) −
1
9
= 1 −
1
9
 
cos2(𝑥) = 1 −
1
9
 
Frações: MMC. 
cos2(𝑥) =
9 − 1
9
 
cos2(𝑥) =
8
9
 
Como o enunciado pediu cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥), não é necessário, a princípio, encontrar o próprio 
cosseno. Utilizemo-nos, nesse caso, da relação fundamental da trigonometria para encontrar 
algo acerca do seno de 𝑥. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
Para esse caso específico, sabemos 
cos2(𝑥) =
8
9
 
Então, 
sen2(𝑥) +
8
9
= 1 
Subtraindo 8 9⁄ de ambos os membros da equação: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 109 
sen2(𝑥) +
8
9
−
8
9
= 1 −
8
9
 
sen2(𝑥) +
8
9
−
8
9
= 1 −
8
9
 
sen2(𝑥) = 1 −
8
9
 
Frações: MMC. 
Professor, você vai falar isso pra sempre? 
Talvez. 
Mas você vai acertar na prova, nem que seja de raiva. 
Continuando. 
sen2(𝑥) =
9 − 8
9
 
sen2(𝑥) =
1
9
 
Voltando ao enunciado, a questão pede cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥), precisaremos, portanto, calcular 
sen(𝑥). 
sen2(𝑥) =
1
9
 
Extraindo raiz quadrada de ambos os termos: 
 
√sen2(𝑥) = √
1
9
 
Já aprendemos que a raiz quadrada de algo elevado ao quadrado é igual ao módulo do 
argumento. Assim, 
|sen(𝑥)| = √
1
9
 
|sen(𝑥)| =
1
3
 
O argumento de um módulo pode ser tanto positivo quanto negativo, então: 
sen(𝑥) = ±
1
3
 
E qual usaremos? O positivo? O negativo? Os dois? 
Vejamos se o enunciado nos esclarece isso. 
 “O numeral real 𝑥, com 0 < 𝑥 < 𝜋,… " 
Bom, se nosso ângulo está entre 0 e 𝜋, o seno só pode ser positivo, veja. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 110 
 
 
Desse modo, podemos concluir que 
sen(𝑥) = +
1
3
 
Sempre de olho no enunciado. Estamos procurando o valor da expressão cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥). 
Então, vamos lá. 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
Pelo cosseno do arco duplo, temos: 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
cos2(𝑥) − sen2(𝑥) + sen(𝑥) 
Professor, nós não temos o valor de sen2(𝑥), como faremos? 
Simples. Recorreremos à equação fundamental da trigonometria. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
Para isolar sen2(𝑥), subtraiamos cos2(𝑥) de ambos os termos. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
Voltemos ao andamento de nossa resolução. Partimos de 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
e chegamos a 
cos2(𝑥) − sen2(𝑥) + sen(𝑥) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 111 
Fazendo a substituição do quadrado do seno, ficamos com: 
cos2(𝑥) − (1 − cos2(𝑥)) + sen(𝑥) 
Distribuindo o sinal de negativo, 
cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) + sen(𝑥) 
Simplificando, 
2 cos2(𝑥) − 1 + sen(𝑥) 
Já temos os valores de 
cos2(𝑥) =
8
9
 
sen(𝑥) = +
1
3
 
Substituindo novamente, temos: 
2 cos2(𝑥) − 1 + sen(𝑥) 
2 ∙
8
9
− 1 +
1
3
 
 
Professor “ducéu”, agora o 𝑥 sumiu! O que vou calcular agora? 
 
 
O exercício nos pediu o valor de uma expressão. Está lembrado de nossa aula inicial? Vamos, 
na verdade, calcular o valor da expressão mesmo, não há uma igualdade. Só substituiremos o 
valor que encontramos para a condição da equação 
log3(1 − cos(𝑥)) + log3(1 + cos(𝑥)) = −2 
na expressão 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
que é, na verdade, a pergunta do nosso exercício. 
 
Avante. 
2 ∙
8
9
− 1 +
1
3
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 112 
16
9
− 1 +
1
3
 
Frações? 
Exatamente, MMC. 
16
9
−
9
9
+
3
9
 
10
9
 
Que é encontrado em nossa última alternativa. 
Gabarito: e) 
17. (Fuvest/2011) Sejam 𝒙 e 𝒚 números reais positivos tais que 
𝒙 + 𝒚 =
𝝅
𝟐
. 
Sabendo-se que 
𝐬𝐞𝐧(𝒚 − 𝒙) =
𝟏
𝟑
 , 
o valor de 
𝐭𝐠𝟐(𝒚) − 𝐭𝐠𝟐(𝒙) 
é igual a 
𝒂)
𝟑
𝟐
 
𝒃)
𝟓
𝟒
 
𝒄)
𝟏
𝟐
 
𝒅)
𝟏
𝟒
 
𝒆)
𝟏
𝟖
 
Comentários 
A primeira equação, 
𝑥 + 𝑦 =
𝜋
2
 
apresenta uma informação importantíssima para o exercício. 
Como a soma dos ângulos 𝑥 e 𝑦 é 𝜋 2⁄ , ou seja, 90°, temos que 
sen(𝑥) = cos(𝑦) 
e 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 113 
cos(𝑥) = sen(𝑦). 
O enunciado também nos informa que 
sen(𝑦 − 𝑥) =
1
3
. 
Desenvolvendo o seno da diferença, temos: 
sen(𝑦 − 𝑥) =
1
3
 
sen(𝑦) ∙ cos(𝑥) − sen(𝑥) ∙ cos(𝑦) =
1
3
 
Para ficarmos com uma só variável, faremos uma substituição. Optaremos aqui a ficar apenas 
com a variável 𝑥, mas ficar somente com a variável 𝑦 também é um caminho viável. 
sen(𝑦) ∙ cos(𝑥) − sen(𝑥) ∙ cos(𝑦) =
1
3
 
cos(𝑥) ∙ cos(𝑥) − sen(𝑥) ∙ sen(𝑥) =
1
3
 
cos2(𝑥) − sen2(𝑥) =
13
 
Para reduzir a apenas uma função trigonométrica, podemos contar com a equação fundamental 
da trigonometria: 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
Isolemos sen2(𝑥), subtraindo cos2(𝑥) de ambos os membros da equação. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
Podemos, então, fazer a substituição: 
cos2(𝑥) − sen2(𝑥) =
1
3
 
sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
cos2(𝑥) − (1 − cos2(𝑥)) =
1
3
 
cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) =
1
3
 
cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) =
1
3
 
2 ∙ cos2(𝑥) − 1 =
1
3
 
Somando 1 a ambos os membros da equação: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 114 
2 ∙ cos2(𝑥) − 1 + 1 =
1
3
+ 1 
2 ∙ cos2(𝑥) − 1 + 1 =
1
3
+ 1 
2 ∙ cos2(𝑥) =
1
3
+ 1 
Frações... 
MMC... 
2 ∙ cos2(𝑥) =
1 + 3
3
 
2 ∙ cos2(𝑥) =
4
3
 
Dividindo por 2 ambos os membros da equação: 
2 ∙ cos2(𝑥)
2
=
4
3
∙
1
2
 
 
Você percebeu que, no primeiro membro, dividimos por 2, enquanto, no segundo membro, 
multiplicamos por 1 2⁄ ? 
Dividir por 2 e multiplicamos por 1 2⁄ são operações equivalentes. Se a manobra não pareceu 
confortável a você, reveja o item 6.1 da aula 01, onde analisamos as divisões entre frações. 
 
 
2 ∙ cos2(𝑥)
2
=
4
3
∙
1
2
 
cos2(𝑥) =
4 
2
3
∙
1
2
 
cos2(𝑥) =
2
3
 
De posse do cosseno ao quadrado, recorramos novamente à equação fundamental da 
trigonometria para encontrar o valor de seno ao quadrado. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
sen2(𝑥) +
2
3
= 1 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 115 
Subtraindo 2 3⁄ de ambos os membros da equação. 
sen2(𝑥) +
2
3
−
2
3
= 1 −
2
3
 
sen2(𝑥) +
2
3
−
2
3
= 1 −
2
3
 
sen2(𝑥) = 1 −
2
3
 
Frações... MMC... 
sen2(𝑥) =
3 − 2
3
 
sen2(𝑥) =
1
3
 
 
Ok. Perceba que, até aqui, só trabalhamos com as duas informações iniciais fornecidas pelo 
enunciado: 
𝒙 + 𝒚 =
𝝅
𝟐
. 
𝐬𝐞𝐧(𝒚 − 𝒙) =
𝟏
𝟑
 
E chegamos às seguintes conclusões: 
sen(𝑥) = cos(𝑦) 
cos(𝑥) = sen(𝑦) 
cos2(𝑥) =
2
3
 
sen2(𝑥) =
1
3
 
 
Agora temos condições de responder, efetivamente, à questão feita: qual o valor da expressão 
𝐭𝐠𝟐(𝒚) − 𝐭𝐠𝟐(𝒙). 
Como 
tg(𝑎) =
sen(𝑎)
cos(𝑎)
 
podemos dizer que 
𝐭𝐠𝟐(𝒚) − 𝐭𝐠𝟐(𝒙) 
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒚)
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒚)
−
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙)
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙)
 
Para transformarmos toda a expressão em apenas uma variável, façamos 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 116 
sen(𝑥) = cos(𝑦) 
cos(𝑥) = sen(𝑦) 
 
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒚)
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒚)
−
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙)
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙)
 
 
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙)
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙)
−
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙)
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙)
 
 
Como já temos os valores 
cos2(𝑥) =
2
3
 
sen2(𝑥) =
1
3
 
Podemos, finalmente, chegar ao valor da expressão: 
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙)
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙)
−
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙)
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙)
 
𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
−
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
 
Divisão de frações: conserve a primeira multiplique pelo inverso da segunda. 
2
3
∙
3
1
−
1
3
∙
3
2
 
2
3
∙
3
1
−
1
3
∙
3
2
 
2 −
1
2
 
Mais fração... mais MMC... 
4 − 1
2
 
3
2
 
Finalmente, podemos dizer que tg2(𝑦) − tg2(𝑥) = 3 2⁄ , equivalência apresentada corretamente 
na alternativa a). 
Professor, esse exercício ficou muito grande, nem me lembro mais de onde saímos! 
Realmente foi um exercício extenso, com muitos passos. 
Vamos fazer um diagrama para entendermos melhor o processo feito? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: a) 
18. (UEA/2011) O Parque Zoobotânico do Museu Paraense Emílio Goeldi abriga uma 
significativa mostra da fauna e da flora amazônica, com destaque para a vitória-régia, 
planta aquática que possui uma grande folha em forma de um círculo, fica sobre a 
superfície da água e pode chegar a 𝟐, 𝟓 𝒎 de diâmetro. Nesse caso, é correto afirmar que 
o comprimento, em metros, da circunferência da folha dessa planta pode chegar até 
𝒂) 𝟏, 𝟐𝟓 𝝅 
𝒃) 𝟏, 𝟓𝟎 𝝅 
𝒄) 𝟐, 𝟐𝟓 𝝅 
𝒅) 𝟐, 𝟓𝟎 𝝅 
𝑥 + 𝑦 =
𝜋
2
sen 𝑥 = cos 𝑦
cos 𝑥 = sen 𝑦
sen 𝑦 − 𝑥 =
1
3
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 =
2
3
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =
1
3
t𝑔2 𝑥 − t𝑔2 𝑦 3
2
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 118 
𝒆) 𝟔, 𝟐𝟓 𝝅 
Comentários: 
Visto que o diâmetro fornecido foi de 2,5 𝑚, podemos inferir que o raio vale 1,25 𝑚. 
O comprimento, então, é dado por: 
𝐶 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 
C = 2 ⋅ 𝜋 ∙ 1,25 
C = 2,5 ⋅ 𝜋 
Gabarito: d) 
19. (Unesp/2010) Em um experimento sobre orientação e navegação de pombos, 
considerou-se o pombal como a origem 𝑶 de um sistema de coordenadas cartesianas e 
os eixos orientados Sul-Norte (𝑺𝑵) e Oeste-Leste (𝑾𝑳). Algumas aves foram liberadas 
num ponto 𝑷 que fica 𝟓𝟐 𝒌𝒎 ao leste do eixo 𝑺𝑵 e a 𝟑𝟎 𝒌𝒎 ao sul do eixo 𝑾𝑳. 
O ângulo azimutal de 𝑷 é o ângulo, em graus, medido no sentido horário a partir da 
semirreta 𝑶𝑵 até a semirreta 𝑶𝑷. No experimento descrito, a distância do pombal até o 
ponto de liberação das aves, em 𝒌𝒎, e o ângulo azimutal, em graus, desse ponto são, 
respectivamente: 
Dado: √𝟑𝟔𝟎𝟒 ≈ 𝟔𝟎. 
 
𝒂) 𝟒𝟐, 𝟓 𝒆 𝟑𝟎. 
𝒃) 𝟒𝟐, 𝟓 𝒆 𝟏𝟐𝟎. 
𝒄) 𝟔𝟎 𝒆 𝟑𝟎. 
𝒅) 𝟔𝟎 𝒆 𝟏𝟐𝟎. 
𝒆) 𝟔𝟎 𝒆 𝟏𝟓𝟎. 
Comentários 
Tracemos duas retas auxiliares no sistema de orientação fornecido. Uma a 52 𝑘𝑚 a leste do eixo 
𝑆𝑁 e outra a 30 𝑘𝑚 ao sul do eixo 𝑊𝐿. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 119 
Nesse mesmo sistema, explicitemos o ponto 𝑃 e o ângulo azimutal, conforme as instruções 
dadas, além do ângulo auxiliar 𝛼. 
 
Para calcular a distância 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ , podemos separar o triângulo retângulo a seguir. 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
𝑂𝑃̅̅ ̅̅ 2 = 522 + 30² 
𝑂𝑃̅̅ ̅̅ 2 = 2704 + 900 
𝑂𝑃̅̅ ̅̅ 2 = 3604 
√𝑂𝑃̅̅ ̅̅ 2 = √3604 
|𝑂𝑃̅̅ ̅̅ | ≈ 60 
Observe que utilizamos a aproximação fornecida no próprio enunciado: √3604 ≈ 60. 
Assim, a distância do pombal até o ponto de liberação das aves é de, aproximadamente, 60 𝑘𝑚. 
Calculemos, agora, o ângulo azimutal. 
Perceba que, no sistema de coordenadas, nosso ângulo azimutal é 90° maior que nosso ângulo 
𝛼. Assim, podemos dizer que: 
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = 𝛼 + 90° 
Utilizemos nosso triângulo auxiliar para calcular 𝛼 e, assim, obter nosso ângulo azimutal. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 120 
 
Podemos utilizar qualquer uma das razões trigonométricas no triângulo retângulo para descobrir 
o valor do ângulo 𝛼. No entanto, algumas razões acabam sendo mais complicadas que outras 
em virtude da aproximação que utilizamos anteriormente. 
Note que há uma razão mais simples de ser utilizada, envolvendo os valores da hipotenusa e do 
cateto oposto, pois um valor é múltiplo do outro. 
Assim, optemos pela razão trigonométrica seno. 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
=
30
60
=
1
2
 
∴ 5 𝛼 = 30° 
Cuidado aqui para não se afobar e assinalar a alternativa c). Ainda não calculamos o ãngulo 
azimutal! 
Continuemos... 
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = 𝛼 + 90° 
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = 30° + 90° 
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = 120° 
Gabarito: d) 
20. (Unesp/2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de 
aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como 
na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos 
pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas 
um ciclo do processo. 
 
5 O símbolo ∴ significa “portanto”. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 121 
 
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração 
completo ocorre a cada 𝟓 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em 
módulo, é 𝟎. 𝟔 ⋅ 𝟏/𝒔, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva 
representada na figura é: 
𝒂)𝑽(𝒕) =
𝟐𝝅
𝟓
𝒔𝒆𝒏(
𝟑
𝟓
𝒕) 
𝒃) 𝑽(𝒕) =
𝟑
𝟓
𝒔𝒆𝒏(
𝟓
𝟐𝝅
𝒕) 
𝒄) 𝑽(𝒕) = 𝟎, 𝟔𝒄𝒐𝒔 (
𝟐𝝅
𝟓
𝒕) 
𝒅) 𝑽(𝒕) = 𝟎, 𝟔𝒔𝒆𝒏 (
𝟐𝝅
𝟓
𝒕) 
𝒆) 𝑽(𝒕) =
𝟓
𝟐𝝅
𝒄𝒐𝒔(𝟎, 𝟔𝒕) 
Comentários 
Uma questão muito interessante sobre leitura de gráficos e translações no plano cartesiano. 
Vamos colocar os dados do enunciado nos devidos eixos do gráfico: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 122 
Número de ciclos em 360° 
Deslocamento horizontal 
Deslocamento vertical 
Amplitude 
 
Comecemos, então, nossa análise. 
Perceba que temos uma função de onda, parecida com um seno ou com um cosseno. Como a 
função parte da origem, optemos pela função seno por enquanto, já que 𝑠𝑒𝑛(0) = 0. 
Assim, nossa função deve ser do tipo 
 
 
 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ sen(𝑏 ∙ (𝑥 − 𝑐)) + 𝑑 
 
 
 
A amplitude da função, fornecida no enunciado e explicitada no gráfico é de 0,6. Como não há 
inversão da função, a amplitude é positiva. Assim, podemos atualizar nossa função. 
𝑉(𝑡) = +0,6 ∙ sen(𝑏 ∙ (𝑡 − 𝑐) + 𝑑 
𝑉(𝑡) = 0,6 ∙ sen(𝑏 ∙ (𝑡 − 𝑐) + 𝑑 
Além disso, a função passa na origem, ou seja, no ponto (0; 0). Assim, temos, para a função 
seno, 𝑐 = 0 e 𝑑 = 0, pois não há deslocamentos nem vertical nem horizontal. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 123 
 
Poderíamos, também, conseguir o mesmo gráfico deslocando horizontalmente a função 
cosseno. No entanto, as alternativas deixam claro não haver deslocamentos horizontais ou 
verticais na função pela ausência dos coeficientes 𝑐 e 𝑑. Por esse motivo, optamos pela função 
seno, ok? 
𝑉(𝑡) = 0,6 ∙ sen(𝑏 ∙ (𝑡 − 𝑐) + 𝑑 
𝑉(𝑡) = 0,6 ∙ sen(𝑏 ∙ (𝑡 − 0) + 0 
𝑉(𝑡) = 0,6 ∙ sen(𝑏𝑡) 
O coeficiente 𝑏 traz a informação de quantos ciclos são percorridos em 360° ou, se preferir, em 
2𝜋 𝑟𝑎𝑑. Como as alternativas não mostram o símbolo de graus (°), podemos concluir que a 
notação de preferência na questão é o radiano. 
Para saber quantos ciclos são percorridos, podemos utilizar a regra de três. O gráfico nos mostra 
que há um ciclo completo quando 𝑡 = 5, assim: 
𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠
 
1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5
 
𝑏 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2𝜋
 
Resolvendo. 
1
𝑏
=
5
2𝜋
⇒ 𝑏 =
2𝜋
5
 
Atualizando a função. 
𝑉(𝑡) = 0,6 ∙ sen (
2𝜋
5
𝑡) 
Gabarito: d) 
21. (Unesp/2008) Dois edifícios, 𝑿 e 𝒀, estão um em frente ao outro, num terreno plano. 
Um observador, no pé do edifício 𝑿 (ponto 𝑷), mede um ângulo a em relação ao topo do 
edifício 𝒀 (ponto 𝑸). Depois disso, no topo do edifício 𝑿, num ponto 𝑹, de forma que 𝑹𝑷𝑻𝑺 
formem um retângulo e 𝑸𝑻 seja perpendicular a 𝑷𝑻, esse observador mede um ângulo 𝜷 
em relação ao ponto 𝑸 no edifício 𝒀. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 124 
 
Sabendo que a altura do edifício 𝑿 é 𝟏𝟎 𝒎 e que 𝟑𝒕𝒈𝜶 = 𝟒𝒕𝒈𝜷, a altura 𝒉 do edifício 𝒀, em 
metros, é: 
𝒂) 
𝟒𝟎
𝟑
 
𝒃) 
𝟓𝟎
𝟒
 
𝒄) 𝟑𝟎. 
𝒅) 𝟒𝟎. 
𝒆) 𝟓𝟎. 
Comentários 
No triângulo 𝑃𝑄𝑇, temos 
𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
=
ℎ
𝑃𝑇
 
Já no triângulo 𝑄𝑅𝑆, temos 
𝑡𝑔𝛽 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
=
ℎ − 10
𝑃𝑇
 
Com esses dados, retornemos à equação dada no enunciado. 
3𝑡𝑔𝛼 = 4𝑡𝑔𝛽 
3
ℎ
𝑃𝑇
= 4
ℎ − 10
𝑃𝑇
 
3
ℎ
 𝑃𝑇 
= 4
ℎ − 10
 𝑃𝑇 
 
3ℎ = 4(ℎ − 10) 
3ℎ = 4ℎ − 40 
40 = 4ℎ − 3ℎ 
40 = ℎ 
Gabarito: d) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 125 
22. (UEA/2008) Dois observadores, um situado em 𝑨 e outro em 𝑩, observam uma torre 
entre eles. Das duas posições, os ângulos de visada da torre são respectivamente 𝜶 e 𝜷, 
como mostra a figura a seguir: 
 
Se 𝑨𝑩 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎, 𝒕𝒈𝜶 = 𝟎, 𝟐 e 𝒕𝒈𝜷 = 𝟎, 𝟑, a altura da torre é de: 
𝒂) 𝟐𝟒 𝒎 
𝒃) 𝟐𝟎 𝒎 
𝒄) 𝟏𝟖 𝒎 
𝒅) 𝟐𝟐 𝒎 
𝒆) 𝟐𝟔 𝒎 
Comentários: 
Chamemos 𝐻 a altura do poste, 𝑑 a distância de 𝐴 até o poste. Dessa forma, a distância de 𝐵 até 
o poste será 200 − 𝑑. 
 
 
Usando a definição de tangente, o ponto 𝐴, o poste e o ângulo 𝛼, temos: 
𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
𝑡𝑔𝛼 =
𝐻
𝑑
 
0,2 =
𝐻
𝑑
 
0,2 ⋅ 𝑑 = H 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 126 
𝑑 =
𝐻
0,2
 
Agora, fazendo o mesmo processo com o ponto 𝐵, o poste e o ângulo 𝛽. 
𝑡𝑔𝛽 =
𝐻
200 − 𝑑
 
0,3 =
𝐻
200 −
𝐻
0,2
 
0,3 ⋅ (200 −
𝐻
0,2
) = H 
60 − 0,3 ⋅
𝐻
0,2
= H 
Multiplicando toda a equação por 0,2, temos: 
12 − 0,3 ⋅ 𝐻 = 0,2𝐻 
12 = 0,2 ⋅ 𝐻 + 0,3 ⋅ 𝐻 
12 = 0,5 ⋅ 𝐻 
12
0,5
= 𝐻 
24 = 𝐻 
Gabarito: a) 
23. (Unesp/2006) A figura representa parte dos gráficos das funções 𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) 
e 𝒈(𝒙) = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬(𝒙). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 127 
 
Se 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 e 𝒙𝟑 são, respectivamente, as abscissas dos pontos 𝑷,𝑸 e 𝑹 de intersecção dos 
gráficos das funções 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙) no intervalo [𝟎, 𝝅], a soma 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 é: 
𝒂)
𝟐𝝅
𝟑
 
𝒃)
𝟒𝝅
𝟑
 
𝒄) 
𝟑𝝅
𝟐
 
𝒅) 
𝟓𝝅
𝟔
 
𝒆) 
𝟕𝝅
𝟏𝟐
 
Comentários 
Podemos calcular os pontos de intersecção entre 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) igualando as funções. 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
1 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 1 + cos(𝑥) 
 1 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 1 + cos(𝑥) 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = cos(𝑥) 
2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ cos(𝑥) = cos(𝑥) 
2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ cos(𝑥) − cos(𝑥) = 0 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 128 
cos(𝑥) ⋅ (2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1) = 0 
Como temos um produto igual a zero, um de seus fatores deve ser nulo. 
cos(𝑥) = 0 (2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1) = 0 
𝑥 =
𝜋
2
 
2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1 = 0 
 
2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 1 
 𝑠𝑒𝑛(𝑥) =
1
2
 
 𝑥 =
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
6
 
Assim, podemos calcular a soma solicitada. 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =
𝜋
6
+
𝜋
2
+
5𝜋
6
=
𝜋
6
+
3𝜋
6
+
5𝜋
6
=
𝜋 + 3𝜋 + 5𝜋
6
=
 9 
3 𝜋
 6 
2 =
3𝜋
2
 
Gabarito: c) 
24. (Unesp/2005) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular 
de raio 𝟏 𝒄𝒎, como mostra a figura. 
 
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 𝟏 radiano. 
O perímetro do "monstro", em cm, é: 
𝒂) 𝝅 − 𝟏. 
𝒃) 𝝅 + 𝟏. 
𝒄) 𝟐𝝅 − 𝟏. 
𝒅) 𝟐𝝅. 
𝒆) 𝟐𝝅 + 𝟏. 
Comentários 
Sabemos que o perímetro 𝐶 de uma circunferência de raio 𝑟 completa é 𝐶 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟, e que o 
perímetro 𝑆 de um setor circular de ângulo 𝛼 de mesmo raio 𝑟 é 𝑆 = 𝛼 ⋅ 𝑟. 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 129 
Assim, o perímetro 𝑀 do nosso “monstro” é dado por: 
𝑀 = 𝐶 − 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 1 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜 + 2 𝑟𝑎𝑖𝑜𝑠 
𝑀 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 − 𝛼 ⋅ 𝑟 + 2 ⋅ 𝑟 
𝑀 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 − 𝛼 ⋅ 𝑟 + 2 ⋅ 𝑟 
Do enunciado, tiramos que 𝑟 = 1 𝑐𝑚 e 𝛼 = 1 𝑟𝑎𝑑, então: 
𝑀 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 − 𝛼 ⋅ 𝑟 + 2 ⋅ 𝑟 
𝑀 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 
𝑀 = 2 ⋅ 𝜋 − 1 + 2 
𝑀 = 2 ⋅ 𝜋 + 1 
Gabarito: e) 
25. (Unesp/2003) Uma máquina produz diariamente 𝒙 dezenas de certo tipo de peças. 
Sabe-se que o custo de produção 𝑪(𝒙) e o valor de venda 𝑽(𝒙) são dados, 
aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções: 
𝑪(𝒙) = 𝟐 − 𝐜𝐨𝐬 (
𝒙𝝅
𝟔
) 𝒆 𝑽(𝒙) = 𝟑√𝟐 𝒔𝒆𝒏 (
𝒙𝝅
𝟏𝟐
) 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 
O lucro, em reais, obtido na produção de 𝟑 dezenas de peças é 
𝒂) 𝟓𝟎𝟎. 
𝒃) 𝟕𝟓𝟎. 
𝒄) 𝟏 𝟎𝟎𝟎. 
𝒅) 𝟐 𝟎𝟎𝟎. 
𝒆) 𝟑 𝟎𝟎𝟎. 
Comentários 
O enunciado nos diz que as fórmulas fazem referência a 𝑥 dezenas de certo tipo de peças. Como 
precisamos calcular o lucro obtido na produção de 3 dezenas, consideraremos 𝑥 = 3. Perceba 
que esse valor de 𝑥 está dentro da faixa de atuação das funções: 0 ≤ 𝑥 ≤ 6. 
Calculemos, então, o custo de produção e o valor de venda de 3 dezenas de peças. 
 
𝐶(𝑥) = 2 − cos (
𝑥𝜋
6
) 𝑉(𝑥) = 3√2 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥𝜋
12
) 
𝐶(𝑥) = 2 − cos (
3𝜋6
) 𝑉(𝑥) = 3√2 𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
12
) 
𝐶(𝑥) = 2 − cos (
𝜋
2
) 𝑉(𝑥) = 3√2 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
4
) 
𝐶(𝑥) = 2 − 0 
𝑉(𝑥) = 3√2
√2
2
 
𝐶(𝑥) = 2 
𝑉(𝑥) = 3
2
2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 130 
 𝑉(𝑥) = 3 
 
Podemos pensar no lucro obtido 𝐿(𝑥) como a diferença entre o preço de venda 𝑉(𝑥) e o preço 
de custo 𝐶(𝑥), assim: 
𝐿(𝑥) = 𝑉(𝑥) − 𝐶(𝑥) 
𝐿(𝑥) = 3 − 2 
𝐿(𝑥) = 1 
Gabarito: c) 
26. (Fuvest/2002) A soma das raízes da equação 
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙) − 𝟐 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝒙) = 𝟎, 
que estão no intervalo [𝟎, 𝟐𝝅], é: 
𝒂) 𝟐𝝅 
𝒃) 𝟑𝝅 
𝒄) 𝟒𝝅 
𝒅) 𝟔𝝅 
𝒆) 𝟕𝝅 
Comentários 
Inicialmente, vemos duas funções trigonométricas em uma só equação. 
Tentemos, por meio da equação fundamental da trigonometria, deixar a equação com apenas 
uma função trigonométrica. 
A equação fundamental da trigonometria nos diz que: 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
Subtraindo cos2(𝑥) de ambos os membros da equação, conseguimos isolar a função seno, veja: 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
Preparado o jogo, comecemos com nossa equação do enunciado. 
sen2(𝑥) − 2 ∙ cos4(𝑥) = 0 
Entenda que estamos resolvendo uma equação, portanto, procurando os valores da incógnita6 𝑥 
que satisfaz a condição dada. 
sen2(𝑥) − 2 ∙ cos4(𝑥) = 0 
 
6 Incógnita: algo desconhecido, que se busca saber. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 131 
1 − cos2(𝑥) − 2 ∙ cos4(𝑥) = 0 
Você percebeu que temos alguma semelhança entre essa equação e uma equação do segundo 
grau? 
Vamos evidenciá-la. 
Primeiro passo: escrever a equação em ordem decrescente de potências. 
1 − cos2(𝑥) − 2 ∙ cos4(𝑥) = 0 
−2 ∙ cos4(𝑥) − cos2(𝑥) + 1 = 0 
Segundo passo: reescrever as potências como potências de 2. 
−2 ∙ (cos2(𝑥))2 − cos2(𝑥) + 1 = 0 
Agora, um recurso muitíssimo interessante que usaremos várias e várias vezes neste curso: a 
mudança de variável. Veja como funciona. 
Chamemos a expressão cos2(𝑥) = 𝑦 e reescrevamos nossa equação. 
−2 ∙ (cos2(𝑥))2 − cos2(𝑥) + 1 = 0 
−2 ∙ 𝑦2 − 𝑦 + 1 = 0 
Percebeu como apareceu uma equação do segundo grau? 
Agora, é só resolvermos a equação como já estamos acostumados, com a fórmula de Bhaskara. 
−2 ∙ 𝑦2 − 𝑦 + 1 = 0 
 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−1)2 − 4 ∙ (−2) ∙ 1 = 1 + 8 = 9 
𝑦 =
−𝑏 ± √∆
2 ∙ 𝑎
=
−(−1) ± √9
2 ∙ (−2)
=
{
 
 
 
 𝑦′ =
1 + 3
−4
=
4
−4
= −1
 
𝑦′′ =
1 − 3
−4
=
−2
−4
=
1
2
 
Perceba que nossa incógnita 𝑦, na verdade, é cos2(𝑥) = 𝑦, assim: 
 
𝑦 = cos2(𝑥) = {
𝑦′ = −1 → 𝑁ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚, 𝑝𝑜𝑖𝑠 cos2(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠.
 
𝑦′′ =
1
2
 
 
Então, 
cos2(𝑥) =
1
2
 
Extraindo a raiz quadrada dos dois membros da equação. 
cos2(𝑥) =
1
2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 132 
√cos2(𝑥) = √
1
2
 
Como já vimos, raiz quadrada de algo elevado ao quadrado resulta em um módulo. 
| cos(𝑥) | = √
1
2
 
cos(𝑥) = ±√
1
2
 
cos(𝑥) = ±
√1
√2
 
cos(𝑥) = ±
1
√2
 
Racionalizando, temos: 
cos(𝑥) = ±
1
√2
∙
√2
√2
 
cos(𝑥) = ±
√2
2
 
Muito bem, estamos quase lá. 
Voltemos ao enunciado para orientação. 
Ele nos pediu: “A soma das raízes da equação...”, ou seja, precisamos encontrar os valores de 
𝑥 e, depois, somá-los. 
Dentre os ângulos notáveis, temos um cujo cosseno é 
cos(𝑥) =
√2
2
 
Se você se lembra da tabela dos ângulos notáveis, esse ângulo é 
𝑥 = 45° =
𝜋
4
 𝑟𝑎𝑑 
Mas esse ângulo é só o primeiro com essa condição. Ademais, nossa equação nos trouxe a 
condição de que 
cos(𝑥) = ±
√2
2
, 
incluindo ambos os valores, positivo e negativo. 
Recorramos ao ciclo trigonométrico para entender quais valores de ângulo 𝑥 satisfazem a essa 
condição, partindo do ângulo notável. 
𝑥 = 45° =
𝜋
4
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 133 
 
Como o ciclo trigonométrico, como o próprio nome diz, é cíclico, ou seja, não tem fim, quantos 
ângulos devemos considerar? 
A resposta a essa pergunta está no próprio enunciado, veja: 
“A soma das raízes da equação ... que estão no intervalo [𝟎, 𝟐𝝅]" 
Ou seja, somente os valores que estão na primeira volta do ciclo. 
Dessa forma, a soma solicitada das raízes, é dada por: 
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 = 45° + 135° + 225° + 315° = 720° 
ou ainda 
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 =
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 +
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 +
5𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 +
7𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 =
16 
4 𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 = 4𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
Como as alternativas trazem a soma em radianos, temos nossa resposta na alternativa c). 
Gabarito: c) 
27. (Fuvest/2002) Se α está no intervalo [𝟎, 𝝅 𝟐⁄ ] e satisfaz 
𝐬𝐞𝐧𝟒(𝜶) − 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) =
𝟏
𝟒
, 
então, o valor da tangente de α é: 
𝒂) √
𝟑
𝟓
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 134 
𝒃) √
𝟓
𝟑
 
𝒄) √
𝟑
𝟕
 
𝒅) √
𝟕
𝟑
 
𝒆) √
𝟓
𝟕
 
Comentários 
Nessa questão, podemos começar diretamente na resolução da equação dada. 
𝐬𝐞𝐧𝟒(𝜶) − 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) =
𝟏
𝟒
, 
Como temos duas funções trigonométricas na mesma equação, vamos preparar a equação para 
que tenhamos apenas uma. 
De início, separemos a potência do seno em duas potências grau 2. 
𝐬𝐞𝐧𝟒(𝜶) − 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) =
𝟏
𝟒
 
(𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜶))𝟐 − 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) =
𝟏
𝟒
 
O sen2(𝛼) é a nossa deixa para utilizar a equação fundamental da trigonometria. 
sen2(𝛼) + cos2(𝛼) = 1 
Subtraindo cos2(𝛼) de ambos os membros para isolarmos o sen2(𝛼). 
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜶) + 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) − 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) 
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜶) + 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) − 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) 
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜶) = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) 
Voltando à nossa equação, temos: 
(𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜶))𝟐 − 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) =
𝟏
𝟒
 
(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶))𝟐 − 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) =
𝟏
𝟒
 
Está lembrado do produto notável “quadrado da diferença”? 
(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶))𝟐 − 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) =
𝟏
𝟒
 
Pois vamos expandi-lo agora. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 135 
𝟏 − 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) + 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) − 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) =
𝟏
𝟒
 
Simplificando, temos: 
𝟏 − 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) + 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) − 𝐜𝐨𝐬𝟒(𝜶) =
𝟏
𝟒
 
𝟏 − 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) =
𝟏
𝟒
 
Somando 2 cos2(𝛼) a ambos os membros da equação: 
𝟏 − 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) + 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) =
𝟏
𝟒
+ 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) 
𝟏 − 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) + 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) =
𝟏
𝟒
+ 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) 
𝟏 =
𝟏
𝟒
+ 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) 
Subtraindo 1 4⁄ de ambos os membros: 
1 −
1
4
=
1
4
+ 2 cos2(𝛼) −
1
4
 
1 −
1
4
=
1
4
+ 2 cos2(𝛼) −
1
4
 
1 −
1
4
= 2 cos2(𝛼) 
Fração, já sabe... MMC. 
4 − 1
4
= 2 cos2(𝛼) 
3
4
= 2 cos2(𝛼) 
Dividindo ambos os membros por 2, lembrando que dividir por 2 e multiplicar por 1 2⁄ são 
equivalentes, ok? 
3
4
∙
1
2
=
2 cos2(𝛼)
2
 
3
8
=
2 cos2(𝛼)
2
 
3
8
= cos2(𝛼) 
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros. 
√
3
8
= √cos2(𝛼) 
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AULA 03 – TRIGONOMETRIA 136 
√
3
8
= | cos(𝛼) | 
±√
3
8
= cos(𝛼) 
Separando as raízes na fração. 
±
√3
√8
= cos(𝛼) 
Fatorando o 8, temos 
8 = 23 = 22 ∙ 2 
Portanto, nossa raiz do denominador fica 
±
√3
√22 ∙ 2
= cos(𝛼) 
Separando as raízes no produto do denominador. 
±
√3
√22 ∙ √2
= cos(𝛼) 
Raiz quadrada de dois ao quadrado é o módulo de 2. 
±
√3
|2| ∙ √2
= cos(𝛼) 
E, como 2 é positivo, |2| = 2, então 
±
√3
2 ∙ √2
= cos(𝛼) 
Racionalizando para retirar a raiz quadrada do denominador. 
±
√3
2 ∙ √2
∙
√2
√2
= cos(𝛼) 
±
√6
2 ∙ 2
= cos(𝛼) 
±
√6
4
= cos(𝛼) 
Uma pequena pausa para analisarmos o ponto em que estamos no exercício. 
O enunciado nos pediu para que resolvêssemos a equação 
sen4(𝛼) − cos4(𝛼) =
1
4
 
e calculássemos a tangente da solução, 𝛼. 
No desenvolvimento da equação, chegamosa 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 137 
±
√6
4
= cos(𝛼) 
Como 𝛼 é um ângulo do ciclo trigonométrico, há, literalmente, infinitas soluções para a equação. 
Para limitarmos o número de soluções, procuremos no enunciado alguma orientação nesse 
sentido. 
O texto traz a seguinte informação a respeito do valor de 𝛼: “α está no intervalo [0, 𝜋 2⁄ ]". 
Desse modo, podemos dizer que, se um ângulo está entre 0 e 𝜋 2⁄ radianos, seu cosseno é 
positivo, veja: 
 
 
Desse modo, podemos excluir a parte negativa e afirmar que 
+
√𝟔
𝟒
= 𝐜𝐨𝐬(𝜶) 
A questão está solicitando a tangente do ângulo 𝛼 e conseguimos descobrir o cosseno. Como a 
tangente é a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo, vamos utilizar novamente a equação 
fundamental da trigonometria, mas, dessa vez, para descobrir o valor do seno do ângulo 𝛼. 
sen2(𝛼) + cos2(𝛼) = 1 
sen2(𝛼) + (
√6
4
)
2
= 1 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 138 
sen2(𝛼) +
6
16
= 1 
Poderíamos simplificar a fração da equação, mas optaremos aqui por deixá-la como está, pois 
isso facilitará extrairmos a raiz quadrada em alguns passos, acompanhe. 
Subtraindo 6 16⁄ de ambos os membros da equação. 
sen2(𝛼) +
6
16
−
6
16
= 1 −
6
16
 
sen2(𝛼) +
6
16
−
6
16
= 1 −
6
16
 
sen2(𝛼) = 1 −
6
16
 
Um dia eu prometo que paro de falar isso, mas não será hoje rsrs 
Fração, MMC. 
sen2(𝛼) =
16 − 6
16
 
sen2(𝛼) =
10
16
 
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros da equação. 
√sen2(𝛼) = √
10
16
 
| sen(𝛼) | = √
10
16
 
sen(𝛼) = ±√
10
16
 
Separando as raízes, temos: 
sen(𝛼) = ±
√10
√16
 
sen(𝛼) = ±
√10
4
 
Exatamente a mesma discussão que tivemos sobre o cosseno. Se 𝛼 está entre 0 e 𝜋 2⁄ radianos, 
seu seno, com certeza, é positivo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 139 
 
sen(𝛼) = +
√10
4
 
Novamente, retorno ao enunciado. 
A questão apresenta: “o valor da tangente de α é” 
Como já sabemos que 
sen(𝛼) =
√10
4
 
𝐜𝐨𝐬(𝜶) =
√𝟔
𝟒
 
Podemos calcular a tangente de alfa: 
tg(𝛼) =
sen(𝛼)
cos(𝛼)
 
tg(𝛼) =
√10
4
√6
4
 
Divisão entre frações: conservamos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 140 
tg(𝛼) =
√10
4
4
√6
 
tg(𝛼) =
√10
4
4
√6
 
tg(𝛼) =
√10
√6
 
Agora, façamos o processo inverso. Ao invés de separar, juntemos as duas raízes em uma só. 
tg(𝛼) = √
10
6
 
Simplificando numerador e denominador por 2: 
tg(𝛼) = √
10 
5
6 
3 
tg(𝛼) = √
5
3
 
Gabarito: b) 
28. (Fuvest/2001) O quadrado adiante tem O como centro e M como ponto médio de um 
de seus lados. Para cada ponto 𝑿 pertencente aos lados do quadrado, seja θ o ângulo 
𝑴Ô𝑿, medido em radianos, no sentido anti-horário. O gráfico que melhor representa a 
distância de O a 𝑿, em função de θ, é: 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 141 
 
 
 
 
Comentários 
Como nosso ângulo 𝜃 tem início em zero, vamos analisar o que acontece quando o ponto 𝑋 
percorre o primeiro segmento até encontrar o primeiro vértice do quadrado, ou seja, para 
0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 (90°): 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 142 
 
Das relações trigonométricas no triângulo retângulo, temos que 
cos(𝜃) =
𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅
𝑂𝑋̅̅ ̅̅
 
Para isolar o segmento 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ , objeto do estudo nessa questão, multipliquemos ambos os termos 
da equação por 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ : 
cos(𝜃) ∙ 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ =
𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅
𝑂𝑋̅̅ ̅̅
∙ 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ 
cos(𝜃) ∙ 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ =
𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅
𝑂𝑋̅̅ ̅̅
∙ 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ 
cos(𝜃) ∙ 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ = 𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅ 
e dividamos ambos os termos por cos(𝜃): 
cos(𝜃) ∙ 𝑂𝑋̅̅ ̅̅
cos(𝜃)
=
𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅
cos(𝜃)
 
cos(𝜃) ∙ 𝑂𝑋̅̅ ̅̅
cos(𝜃)
=
𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅
cos(𝜃)
 
𝑂𝑋̅̅ ̅̅ =
𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅
cos(𝜃)
 
Para maior clareza, vamos escrever o segundo membro da equação como um produto de dois 
fatores: 
𝑂𝑋̅̅ ̅̅ =
𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅
cos(𝜃)
 
𝑂𝑋̅̅ ̅̅ = 𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅ ∙
1
𝑎
 
Conseguiu reconhecer a sec(𝜃) na expressão? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 143 
Veja, 
sec(𝜃) =
1
cos(𝜃)
 
Logo, temos que, 
𝑂𝑋̅̅ ̅̅ = 𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅ ∙ sec(𝜃) 
Aqui, usaremos dois conceitos para entender o que ocorre com o segmento 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ quanto 𝜃 varre 
ângulos entre 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 (90°): afastamento da função com relação ao eixo 𝑥 e o gráfico da 
função secante. 
O afastamento da função com relação ao eixo 𝑥 se dá quando multiplicamos uma função por 
uma constante que, neste caso, é o módulo de 𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅, visto que não estamos trabalhando com 
tamanhos negativos. 
O esboço do gráfico da função sec(𝜃) é: 
 
 
Não se preocupe com o gráfico estranho. Podemos entender a construção com base no 
comportamento da função cosseno, não é necessário decorá-lo, ok? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 144 
Perceba que, quando multiplicamos uma função por uma constante, em nosso caso por 𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅, o 
comportamento da função não muda, apenas fica mais próximo ou mais distante do eixo das 
abscissas 𝑥. 
Outro ponto importante é que só estamos considerando, nesta parte do problema, os valores 
para o ângulo entre 
0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 (90°), 
assim, nosso gráfico vale apenas nesse intervalo, veja: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 145 
 
Perceba que, quando multiplicamos uma função por uma constante, em nosso caso por 𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅, o 
comportamento da função não muda, apenas fica mais próximo ou mais distante do eixo das 
abscissas 𝑥. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 146 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 147 
 
Após 𝜃 atingir o limite 𝜋 2⁄ 𝑟𝑎𝑑, o valor de 𝑂𝑋
̅̅ ̅̅ atinge seu limite máximo e começa a diminuir, 
fazendo o caminho inverso de seu crescimento até que atinja 𝜃 = 𝜋 2⁄ 𝑟𝑎𝑑. 
Vejamos como isso se dá na figura: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 148 
 
E como essa situação reflete no gráfico: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 149 
A partir do ângulo 𝜃 = 𝜋 2⁄ 𝑟𝑎𝑑, a situação se repete do início, ciclicamente. 
Se estendermos o gráfico, com esse comportamento, até 𝜃 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑, teremos: 
 
 
Dentre as alternativas, a que melhor se encaixa para os valores de 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ , é a alternativa a). 
 
Fizemos um estudo analítico da questão, chegando exatamente à resposta almejada e 
recomendo veementemente que você entenda todos os passos dados até aqui. 
No entanto, de posse desse conhecimento, não é necessário todo esse desenvolvimento na hora 
da prova, principalmente na primeira fase. 
Vamos analisar cada alternativa e ver como poderemos chegar à alternativa correta de modo 
mais prático, mas insisto: só conseguiremos fazer essa análise com o conhecimento prévio 
adquirido, ok? 
Então, vamos lá. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 150 
Já sabemos que essa é nossa alternativa correta. Vamos deixá-la guardada por enquanto e 
tentar eliminar as outras. 
 
 
Essa alternativa, embora interessante ao mostrar o crescimento do segmento 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ para 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
4⁄ 𝑟𝑎𝑑, falha ao mostrar uma transição suave quando 𝜃 passa por 
𝜋
4⁄ 𝑟𝑎𝑑, já que o 
comportamento da função muda de crescimento para decrescimento abruptamente. 
 
Exatamente a mesma justificativa para o item anterior, falha ao mostrar a transição de 𝜃 na região 
de 𝜋 4⁄ rad. 
 
 
Essa alternativa indica que o comprimento de 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ teria um decrescimento entre 𝜃 = 0 e 𝜃 = 𝜋 4⁄ , 
o que percebemos olhando a figura dopróprio exercício que não condiz com o comportamento 
real de 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ . 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 151 
 
 
Essa alternativa indica que o comprimento de 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ permaneceria constante em um intervalo de 𝜃, 
o que não condiz à condição dada pelo exercício. Podemos perceber diretamente na figura 
fornecida no próprio exercício que, ao variar 𝜃, o valor de 𝑂𝑋̅̅ ̅̅ não permanece constante. 
Sendo assim, realmente a única alternativa que é compatível à condição dada é a primeira. 
Gabarito: a) 
29. (Fuvest/2001) Se 𝐭𝐠(𝜽) = 𝟐, então o valor de 
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽)
𝟏 + 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽)
 
é: 
𝒂) − 𝟑 
𝒃) −
𝟏
𝟑
 
𝒄)
𝟏
𝟑
 
𝒅)
𝟐
𝟑
 
𝒆)
𝟑
𝟒
 
Comentários 
A questão apresenta uma expressão e pede o valor numérico correspondente a uma substituição 
indicada. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 152 
Dessa forma, vamos desenvolver a expressão, simplificá-la e, ao final, substituir o valor numérico 
dado de tg(𝜃) = 2, pois a substituição direta não é possível. 
Analisando a expressão 
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽)
𝟏 + 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽)
 
percebemos que há duas possibilidades de expansão: o cosseno do arco duplo e o seno do arco 
duplo. 
Pois bem, vamos desenvolvê-los. 
Sabemos que 
cos(2𝜃) = cos2(𝜃) − sen2(𝜃) 
sen(2𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃) 
Dessa forma, podemos expandir nossa expressão inicial. 
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽)
𝟏 + 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽)
 
 
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜽) − 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜽)
𝟏 + 𝟐 𝐬𝐞𝐧(𝜽) 𝐜𝐨𝐬(𝜽)
 
 
 
Está vendo aquele 1 solitário e esquecido ali no cantinho? 
Pois bem, ele é a chave para continuarmos nossa simplificação. 
Lembra nossa equação fundamental da trigonometria? 
sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 
Como a igualdade resulta em 1, podemos continuar nossa expansão. 
 
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜽) − 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜽)
𝟏 + 𝟐𝐬𝐞𝐧(𝜽) 𝐜𝐨𝐬(𝜽)
 
 
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜽) − 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜽)
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜽) + 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜽) + 𝟐 𝐬𝐞𝐧(𝜽) 𝐜𝐨𝐬(𝜽)
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 153 
Com essa expressão, percebemos dois produtos notáveis: no numerador, uma diferença de dois 
quadrados e, no denominador, um trinômio quadrado perfeito, veja: 
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜽) − 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜽)
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜽) + 𝟐 𝐬𝐞𝐧(𝜽) 𝐜𝐨𝐬(𝜽) + 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜽)
 
Fatorando ambos os produtos notáveis, temos: 
(𝐜𝐨𝐬(𝜽) + 𝐬𝐞𝐧(𝜽)) ∙ (𝐜𝐨𝐬(𝜽) − 𝐬𝐞𝐧(𝜽))
(𝐬𝐞𝐧(𝜽) + 𝐜𝐨𝐬(𝜽))𝟐
 
Surge aqui a oportunidade de simplificação, pois temos o mesmo termo (cos(𝜃) + sen(𝜃)) tanto 
no numerador quanto no denominador. 
(𝐜𝐨𝐬(𝜽) + 𝐬𝐞𝐧(𝜽)) ∙ (𝐜𝐨𝐬(𝜽) − 𝐬𝐞𝐧(𝜽))
(𝐬𝐞𝐧(𝜽) + 𝐜𝐨𝐬(𝜽)) ∙ (𝐬𝐞𝐧(𝜽) + 𝐜𝐨𝐬(𝜽))
 
 
 𝐜𝐨𝐬(𝜽) − 𝐬𝐞𝐧(𝜽) 
𝐬𝐞𝐧(𝜽) + 𝐜𝐨𝐬(𝜽)
 
 
A questão nos deu o valor de uma tangente, mas, em nossa simplificação, não apareceu a função 
tangente. 
Desse modo, vamos “forçar” o aparecimento dela dividindo todas as parcelas tanto do numerador 
quanto do denominador por cos(𝜃), acompanhe. 
 
𝐜𝐨𝐬(𝜽)
𝐜𝐨𝐬(𝜽)
−
𝐬𝐞𝐧(𝜽)
𝐜𝐨𝐬(𝜽)
 
𝐬𝐞𝐧(𝜽)
𝐜𝐨𝐬(𝜽)
+
𝐜𝐨𝐬(𝜽)
𝐜𝐨𝐬(𝜽)
 
Sabemos que 
tg(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
, 
portanto 
 
cos(𝜃)
cos(𝜃)
−
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 
sen(𝜃)
cos(𝜃)
+
cos(𝜃)
cos(𝜃)
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 154 
 1 − tg(𝜃) 
tg(𝜃) + 1
 
E, finalmente, conseguimos simplificar a expressão dada o bastante para usarmos o dado 
fornecido no exercício de que 
tg(𝜃) = 2. 
Desse modo, 
 1 − tg(𝜃) 
tg(𝜃) + 1
 
 1 − 2 
2 + 1
=
−1
3
= −
1
3
 
Gabarito: b) 
30. (Fuvest/2000) O dobro do seno de um ângulo θ, 𝟎 < 𝜽 < 𝝅 𝟐⁄ , é igual ao triplo do 
quadrado de sua tangente. Logo, o valor de seu cosseno é: 
𝒂)
𝟐
𝟑
 
𝒃)
√𝟑
𝟐
 
𝒄)
√𝟐
𝟐
 
𝒅)
𝟏
𝟐
 
𝒆)
√𝟑
𝟑
 
Comentários 
Vamos montar a equação descrita no enunciado. 
O dobro do seno de um ângulo θ ⇒ 2 ∙ sen(𝜃) 
é igual ⇒ = 
ao triplo do quadrado de sua tangente ⇒ 3 ∙ tg2(𝜃) 
Dessa forma, “O dobro do seno de um ângulo θ, 0 < 𝜃 < 𝜋 2⁄ , é igual ao triplo do quadrado de 
sua tangente”, é equivalente a: 
2 ∙ sen(𝜃) = 3 ∙ tg2(𝜃) 
Além disso, como o ângulo 𝜃 está no intervalo 0 < 𝜃 < 𝜋 2⁄ , temos certeza de que 
sen(𝜃) ≠ 0 
cos(𝜃) ≠ 0 
tg(𝜃) ≠ 0 
Essas informações são muito importantes quando precisarmos simplificar 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 155 
 
Com nossa equação montada, precisamos resolvê-la. 
2 ∙ sen(𝜃) = 3 ∙ tg2(𝜃) 
Perceba que temos duas funções trigonométricas diferentes. É interessante reduzirmos a apenas 
uma. Para isso, vamos decompor a tangente em duas funções básicas, seno e cosseno. 
tg(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 
Dessa forma, 
2 ∙ sen(𝜃) = 3 ∙ tg2(𝜃) 
2 ∙ sen(𝜃) = 3 ∙ (tg(𝜃))2 
2 ∙ sen(𝜃) = 3 ∙ (
sen(𝜃)
cos(𝜃)
)
2
 
2 ∙ sen(𝜃) = 3 ∙
sen2(𝜃)
cos2(𝜃)
 
Dividindo ambos os membros por sen(𝜃), temos: 
2 ∙ sen(𝜃)
sen(𝜃)
= 3 ∙
sen2(𝜃)
cos2(𝜃)
∙
1
sen(𝜃)
 
 
2 ∙ sen(𝜃)
sen(𝜃)
= 3 ∙
sen2(𝜃)
cos2(𝜃)
∙
1
sen(𝜃)
 
 
2 = 3 ∙
sen(𝜃)
cos2(𝜃)
 
Continuamos com duas funções trigonométricas, então, recorramos à equação fundamental da 
trigonometria para nos ajudar. 
sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 
Subtraindo sen2(𝜃) de ambos os termos da equação, isolamos cos2(𝜃). 
sen2(𝜃) + cos2(𝜃) − sen2(𝜃) = 1 − sen2(𝜃) 
sen2(𝜃) + cos2(𝜃) − sen2(𝜃) = 1 − sen2(𝜃) 
cos2(𝜃) = 1 − sen2(𝜃) 
Continuemos com nossa equação. 
2 = 3 ∙
sen(𝜃)
cos2(𝜃)
 
2 = 3 ∙
sen(𝜃)
1 − sen2(𝜃)
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 156 
Agora temos apenas uma função trigonométrica, como pretendíamos. 
Vamos multiplicar ambos os membros pela expressão 1 − sen2(𝜃) para nos livrarmos da fração. 
2 ∙ (1 − sen2(𝜃)) = 3 ∙
sen(𝜃)
1 − sen2(𝜃)
∙ (1 − sen2(𝜃)) 
 
2 ∙ (1 − sen2(𝜃)) = 3 ∙
sen(𝜃)
1 − sen2(𝜃)
∙ (1 − sen2(𝜃)) 
 
2 ∙ (1 − sen2(𝜃)) = 3 ∙ sen(𝜃) 
Distribuindo o produto no primeiro membro, temos: 
 
2 ∙ (1 − sen2(𝜃)) = 3 ∙ sen(𝜃) 
2 − 2 ∙ sen2(𝜃) = 3 ∙ sen(𝜃) 
Adicionando a expressão 2 ∙ sen2(𝜃) − 2 a ambos os membros da equação, temos: 
2 − 2 ∙ sen2(𝜃) + 2 ∙ sen2(𝜃) − 2 = 3 ∙ sen(𝜃) + 2 ∙ sen2(𝜃) − 2 
2 − 2 ∙ sen2(𝜃) + 2 ∙ sen2(𝜃) − 2 = 3 ∙ sen(𝜃) + 2 ∙ sen2(𝜃) − 2 
0 = 3 ∙ sen(𝜃) + 2 ∙ sen2(𝜃) − 2 
Escrevendo a equação em ordem decrescente da potência de seno e deixando o zero no 
segundo membro: 
2 ∙ sen2(𝜃) + 3 ∙ sen(𝜃) − 2 = 0 
 
Aqui, poderíamos fazer uma mudança de variável, chamando sen(𝜃) = 𝑥, por 
exemplo, e resolver a equação do segundo grau, depois reverter a mudança de 
variável. 
No entanto, gostaria que você se acostumasse a fazer esse processo 
diretamente, sem fazer a mudança propriamente dita, pois isso trará benefícios 
em alguns processos futuros. 
 
O primeiro passo para resolver essa equação é reconhecer o padrão de equação de segundo 
grau cuja incógnita é sen(𝜃). 
2 ∙ sen2(𝜃) + 3 ∙ sen(𝜃) − 2 = 0 
e seus coeficientes, 
𝑎 = 2 
𝑏 = 3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 157 
𝑐 = −2 
A partir daqui, resolvemos a equação normalmente, como sempre fazemos, usando Bhaskara. 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 32 − 4 ∙ 2 ∙ (−2) = 9 + 16 = 25 
sen(𝜃) =
−𝑏 ± √∆
2 ∙ 𝑎
=
−3 ± √25
2 ∙ 2
=
{
 
 
 
 sen′(𝜃) =
−3 + 5
4
=
2
4
=
1
2
 
sen′′(𝜃) =
−3 − 5
4
=
−8
4
= −2
 
 
 
Quando resolvemos uma equação do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, a fórmula de Bhaskara nos retorna 
os dois possíveis valores para a incógnita 𝑥, que chamamos comumente 𝑥′ e 𝑥′′. 
Ao nomearmos nossa incógnita com outro nome, digamos 𝑦, nada muda, e nossa equação, 
que será do tipo 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, terá suas raízes 𝑦′ e 𝑦′′. 
Perceba que, se fizermos uma equação cuja incógnita seja, como neste exercício, sen(𝜃), a 
fórmula de Báskara retornará, como é de se esperar, duas possibilidades para sen(𝜃), que 
chamamos de sen ′(𝜃) e sen′′(𝜃).Desse modo, temos duas possibilidades para nossa solução: 
 
𝐬𝐞𝐧′(𝜽) =
𝟏
𝟐
 
𝐬𝐞𝐧′′(𝜽) = −𝟐 
𝜃 =
𝝅
𝟔
 𝒓𝒂𝒅 (𝟑𝟎°) Impossível sen(𝜃) < −1 
 
Como 𝜋 6⁄ 𝑟𝑎𝑑 (30°) é um ângulo notável, podemos dizer, diretamente, que 
cos(𝜃) = cos (
𝜋
6
) =
√3
2
 
Gabarito: b) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 03 – TRIGONOMETRIA 158 
10. Considerações finais 
A aula que acabamos de fazer tem o intuito de ser uma introdução ao assunto 
trigonometria. 
Embora tenhamos visto muita coisa, ainda temos pela frente outros assuntos sobre 
trigonometria e voltaremos a eles durante nosso curso em momento pedagógico adequado. 
Tenha em mente que tudo o que vamos construindo de conhecimento matemático serve 
de base para os próximos passos. 
Estude com responsabilidade e não deixe dúvidas para trás. Se precisar, entre em contato 
pelo fórum de dúvidas, estamos aqui para ajudar você a alcançar a vaga na faculdade dos seus 
sonhos! 
Um forte abraço e até a próxima aula. 
 
 
 
 
 
 
 
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