Aula_08_-_Trigonometria_-_UNESP_2024

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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 1
UNESP 
Prof. Andrew Cazé 
Aula 08 – Trigonometria. 
vestibulares.estrategia.com 
EXTENSIVO 
2024 
Exasi
u
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 4 
1.0 ELEMENTOS BÁSICOS DA TRIGONOMETRIA 5 
1.1. O que é um ângulo 5 
1.2. Ângulos e arcos de circunferência 5 
2.0 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 15 
2.1. Razão cosseno 15 
2.2. Razão seno 20 
3.0 CICLO TRIGONOMÉTRICO 21 
3.1. Tabela de senos e cossenos 27 
3.2. Redução ao primeiro quadrante 28 
3.3. Relação Fundamental da Trigonometria 31 
4.0 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 33 
4.1. Razões seno e cosseno no triângulo retângulo 34 
4.2. Razão tangente no triângulo retângulo 35 
4.3. Outras razões trigonométricas 38 
4.4. Associação de arcos 39 
5.0 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 41 
5.1. Função cosseno 42 
5.2. Função seno 44 
5.3. Comparativo entre as funções seno e cosseno 45 
5.4. Translação de funções seno e cosseno 46 
5.5. Amplitude e proximidade com relação ao eixo 𝒙 47 
5.6. Período das funções trigonométricas 49 
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AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 3 
5.7. Notação cíclica 52 
6.0 QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 57 
7.0 GABARITO 78 
8.0 QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 79 
9.0 CONSIDERAÇÕES FINAIS 147 
10.0 VERSÕES DAS AULAS 147 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 4 
Introdução 
 
Olá! Tudo certo?! 
Nesta aula estudaremos as razões trigonométricas. Ao longo do curso, outros tópicos de 
trigonometria serão adicionados conforme necessidade pedagógica. Contudo, esta aula 
contém bases importantíssimas para a construção do conhecimento trigonométrico. 
A teoria contém uma contextualização para entendermos o que são as razões seno e 
cosseno e a resolução dos exercícios traz de forma prática a aplicação dessa teoria. 
Estude com cautela tanto a teoria quanto a resolução dos exercícios. 
Trigonometria é um assunto delicado e precisa de um tempo de dedicação para ser 
absorvido. 
Indico a leitura da parte teórica, seguida da lista de exercícios de vestibulares anteriores 
resolvidos e comentados e, ao final, a resolução dos exercícios de forma autônoma até que 
consiga resolver toda a lista sem consulta. 
Se ficar com dúvidas, já sabe. Entre em contato pelo fórum ou pelo site. 
Forte abraço e vamos nessa! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 5 
1.0 Elementos básicos da trigonometria 
1.1. O que é um ângulo 
Então vamos lá. Imagine uma reta. Ela tem dois sentidos, para os dois lados. Entretanto 
ela possui uma única direção. Parecido ao que ocorre em uma rua de mão única, a rua (se 
reta, claro) representa a direção enquanto a mão da rua, o sentido. 
Imaginando duas retas, chegamos a um conceito prático de ângulo: 
Um ângulo é a diferença de direção entre duas retas concorrentes1. 
Um ângulo é tomado entre duas retas. 
Ao analisarmos duas retas concorrentes, podemos notar várias situações possíveis, 
acompanhe: 
 
 
 
Ângulo Obtuso: 
abertura maior que 
90° e menor que 
180°. 
Ângulo Reto: 
Abertura Igual a 
𝟗𝟎𝟎. 
Ângulo Raso: 
Abertura igual a 𝟏𝟖𝟎𝟎. 
Ângulo Agudo: 
abertura maior do 
que 0° e menor que 
90°. 
 
1.2. Ângulos e arcos de circunferência 
Os ângulos podem ser medidos e para isso foram criados vários tipos de medidas. Para 
o vestibular, você precisa saber os mais famosos: 
 
1 Retas concorrentes: retas que têm apenas um ponto em comum. 
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AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 6 
 
Vamos entender cada uma dessas medidas. 
 
1.2.1. Graus 
Imagine uma circunferência dividida em 360 partes. A cada uma dessas partes, 
chamamos de um grau2, simbolizado por 1°. Esse sistema surgiu baseado nos calendários 
antigos, nos quais 1 ano terrestre continha 360 dias. 
Para praticidade, dividiremos a circunferência em quatro partes, chamadas quadrantes. 
Cada parte é o equivalente a 
1
4
∙ 360° = 90° 
Embora você possa traçar uma origem onde quiser em uma circunferência, por padrão, 
iniciamos no ponto extremo à direita e contamos os ângulos no sentido anti-horário. 
 
2 Grau: do latim gradus, significa etapa, passo. 
Grau
Grado
Radiano
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AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 7 
 
1.2.2. Grados 
A diferença de graus para grados é que, enquanto para os graus a circunferência foi 
dividida com base na astronomia e no calendário, para os grados a base foi nosso próprio 
sistema de numeração decimal. 
Dessa forma, cada quadrante da circunferência foi dividido em 100 partes, cada parte 
denominada de 1 grado. 
Desse modo, a circunferência toda conta com 𝟒𝟎𝟎 grados. 
Veja a graduação da circunferência em graus e em grados. 
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AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 8 
 
1.2.3. Radianos 
A palavra radianos deriva do latim radius que significa raio. Nos radianos, a intenção é 
estabelecer uma medida angular que dependa somente da própria circunferência e do seu raio. 
 
Circunferência é o conjunto de pontos equidistantes de um ponto central. (ex.: um anel) 
Raio é a distância do ponto central a um ponto qualquer da circunferência. 
Círculo é a área interna a uma circunferência. (ex.: uma pizza) 
Para o estabelecimento do radiano como unidade de medida angular, vamos pegar a 
medida de um raio da circunferência e colocá-lo na própria circunferência. 
Assim, o ângulo entre a reta que contém o raio contínuo e o raio pontilhado é de 1 
radiano, representado por 1 rad. 
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AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 9 
Um “pedaço” da circunferência, nesse caso referente a 1 raio, é chamado de arco de 
circunferência. O arco lembra uma fatia de pizza. 
 
 
 
Mesmo dividindo a circunferência em radianos, ainda há a necessidade de dividir a 
circunferência em quadrantes. Vejamos como isso acontece. 
Ângulo Arco
diferença de direção entre 
duas retas
parte de circunferência
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AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 10 
 
Dividir a circunferência em arcos de um raio de comprimento, ou, em outras palavras, 
em arcos de 1 radiano, não retorna um número inteiro. Pelo que vimos na imagem anterior, 
uma volta na circunferência tem pouco mais de 6 raios, ou 6 radianos, o que é proporcional a 
pouco mais de 3 radianos em meia volta (dois quadrantes ou 180°). 
Ou seja, através de cálculos avançados, chega-se à conclusão de que o raio cabe 
3,1415926535… na metade da circunferência (semicircunferência). 
Daí surge o número 𝝅 (Pi), que vale, aproximadamente, 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑𝟓… 
Na verdade, o 𝜋 é um número irracional, sem padrão definido e infinitas casas decimais. 
A definição formal do número 𝜋 é a razão entre o semiperímetro da circunferência (o 
comprimento equivalente a 180°) e o raio (obviamente, da mesma circunferência). 
𝑆𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑟𝑎𝑖𝑜
=
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
2 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜
= 𝜋 
Desenvolvendo a segunda igualdade, temos uma expressão para o cálculo do perímetro 
da circunferência, representado pela letra C e o raio da circunferência por 𝑟: 
𝐶 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 
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Diferentemente do que acontece nas medidas graus e grados, onde os ângulos são 
representados por números inteiros, a medida em radianos será feita em função de 𝜋, que é 
um número irracional, com infinitas casas decimais, vejamos: 
• a metade da circunferência, vale 180°, em radianos, 𝜋 𝑟𝑎𝑑; 
• a metade de 𝜋 rad, equivalente a 90°, então: 
1
2
∙ 180° =
1
2
∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 =
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑; 
• o arco referente a 270°, o triplo de 90°, portanto, 
3 ∙ 90° = 3 ∙
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 =
3𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑; 
• E a totalidade da circunferência: 
360° = 2∙ 180° = 2 ∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑. 
Logo, os quadrantes ficam divididos assim: 
 
1.2.4. Arcos notáveis 
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AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 12 
Alguns arcos são muito recorrentes em problemas de física, matemática, engenharia e 
até computação. Esses arcos notáveis são algumas frações do arco 𝜋 radianos, que acabamos 
de ver. 
Os mais frequentes são: 
𝜋
2
,
𝜋
3
,
𝜋
4
 𝑒
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 
Para transformarmos esses arcos de radianos para graus usamos a famosa regra de 
três: 180° equivalem a 𝜋 radianos. Quantos graus equivalem a fração de radianos procurada? 
No entanto, gostaria que você fosse por outro caminho, pois ajudará a ganhar tempo no 
vestibular. 
Sabemos que 180° equivalem a 𝜋 radianos e você precisa memorizar isso. 
Pois bem. Para transformar uma fração de 𝜋 radianos em graus, basta retirar o número 
𝜋 (com a unidade radianos) e colocar 180° no lugar, veja como é simples: 
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 =
180°
2
= 90° 
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 =
180°
3
= 60° 
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 =
180°
4
= 45° 
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 =
180°
6
= 30° 
Vamos marcar estes arcos notáveis na circunferência? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 13 
 
Vamos fazer agora o processo inverso: transformar a medida de graus para radianos. 
Vamos transformar, digamos, 150° para uma fração de 𝜋 radianos. 
150° = 150° ∙ 1 = 150° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 150 
5 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o
=
5𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
Perceba que a fração que inserimos não afeta o valor de 150°, pois a fração tem valor 
nominal igual a 1. Ao simplificar 150° com 180°, chegamos à fração correspondente ao arco em 
radianos. Note também que a unidade de graus também foi simplificada. 
Esse método, com prática, acaba sendo mais rápido que a regra de três e aconselho a 
você treinar por ele nos exercícios. 
Além dos arcos que já vimos como notáveis, todos os seus múltiplos, até uma volta 
completa, costumam aparecer nos problemas também: 
Arco Múltiplos 
𝟑𝟎° 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, 270°, 300°, 330°, 360° 
𝟒𝟓° 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360° 
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AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 14 
𝟔𝟎° 120°, 180°, 240°, 300°, 360° 
Podemos fazer os múltiplos desses arcos tanto em radianos quanto em graus. Então 
mãos à obra: 
 
(Exercício de fixação) Transforme para radianos os seguintes ângulos dados em graus: 
a) 120° b) 135° c) 150° d) 210° e) 225° f) 240° g) 300° 
h) 315° i) 330° j) 360° 
Resolução: 
Na prática, multiplicamos o arco em graus por 𝜋 e dividimos por 180°: 
𝟏𝟐𝟎° = 120° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 120 
2 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
3 o
=
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
𝟏𝟑𝟓° = 135° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 135 
3 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
4 o
=
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 
𝟏𝟓𝟎° = 150° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 150 
5 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o
=
5𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
𝟐𝟏𝟎° = 210° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 210 
7 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o
=
7𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
𝟐𝟐𝟓° = 225° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 225 
5 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
4 o
=
5𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 
𝟐𝟒𝟎° = 240° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 240 
4 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
3 o
=
4𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟎𝟎° = 300° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 300 
5 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
3 o
=
5𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟏𝟓° = 315° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 315 
7 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
4 o
=
7𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 
𝟑𝟑𝟎° = 330° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 330 
11 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
6 o
=
11𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
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𝟑𝟔𝟎° = 360° ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
= 360 
2 o ∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180 
1 o
= 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
Agora, iremos assinalar os ângulos encontrados na circunferência: 
(Exercício de fixação) Indique os múltiplos dos arcos notáveis na circunferência. 
Resposta: 
 
2.0 Razões Trigonométricas 
2.1. Razão cosseno 
Imagine que, em um dia de sol a pino, você coloque uma tábua deitada no chão. 
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AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 16 
O solo, imediatamente abaixo dessa tábua, será impedido de receber diretamente a luz 
solar, pois a tábua projeta no solo uma sombra. 
Você diria que a sombra dessa tábua, que está praticamente tocando o solo, será muito 
maior que a própria tábua, aproximadamente do mesmo tamanho ou menor que a tábua? 
Pois bem, a sombra deve ter, praticamente, o mesmo tamanho de quem a projeta, já 
que quem a projeta está a pouca distância. 
 
 
 
Usando a porcentagem que acabamos de ver, é seguro dizer que essa sombra tem 
100% do tamanho da tábua ou, em decimal, 1 tábua de comprimento. 
Por algum motivo, você decide levantar uma das extremidades da tábua e nota que a 
sombra que a tábua projeta no chão começa a diminuir. 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 17 
Se precisássemos calcular qual o tamanho da sombra em relação à tábua, poderíamos 
fazer a razão entre o tamanho da sombra e o comprimento da tábua. 
É de se imaginar que, quanto mais inclinamos a tábua, menor será sua sombra, até que, 
quando a tábua estiver de pé, praticamente não fará sombra alguma, ou seja, 0 % de sombra. 
Se projetarmos uma circunferência com uma tábua de raio, podemos representar essa 
exata situação, veja: 
 
A sombra máxima possível é de 1 tábua e a mínima, quando a tábua estiver a 90°, zero. 
Nesse modelo, é razoável considerarmos a sombra do outro lado da tábua, como 
negativa, significando que a tábua foi “tombada”. 
Conforme vamos alterando o ângulo entre a tábua e a horizontal, a sombra também 
varia. 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 18 
 
 
 
 
 
Trabalhando com os ângulos notáveis do 1º quadrante e, calculando as porcentagens 
entre as medidas da sombra e da tábua, podemos comprovar matematicamente essa variação: 
 
Arco 𝑹𝒂𝒛ã𝒐 =
𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒂
𝒕á𝒃𝒖𝒂
 Porcentagem 
𝝅
𝟔
𝒓𝒂𝒅 (𝟑𝟎°) 0,866 86,6 % 
𝝅
𝟒
𝒓𝒂𝒅 (𝟒𝟓°) 0,707 70,7 % 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
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𝝅
𝟑
𝒓𝒂𝒅 (𝟔𝟎°) 0,5 50 % 
 
 
Esses ângulos estão atrelados a essas porcentagens, independentemente do tamanho 
da tábua, que, no nosso exemplo, fez a função do raio da circunferência. 
Essas porcentagens são muito conhecidas e recebem o nome de cosseno do ângulo, 
simbolizadas por cos (𝑎𝑟𝑐𝑜), assim, podemos dizer que: 
cos (
𝜋
6
) = cos(30°) ≅ 0,866 
cos (
𝜋
4
) = cos(45°) ≅ 0,707 cos (
𝜋
3
) = cos(60°) ≅ 0,5 
Perceba que, quando falamos em radianos, não precisamos anotar a unidade no 
argumento da razão cosseno; mas quando falamos em graus, sim. 
Relacionar o cosseno à porcentagem de projeção na horizontal de uma tábua inclinada 
será de extrema utilidade para que você avance nos conhecimentos matemáticos. 
Vamos, por fim, nomear o eixo horizontal de nossa circunferência como eixo dos 
cossenos e nasce, aqui, nosso ciclo trigonométrico: uma circunferência de raio 1, cuja projeção 
do arco na horizontal representa uma porcentagem com relação ao raio. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 20 
 
 
2.2. Razão seno 
A razão seno é semelhante à razão cosseno, porém é uma porcentagem com relação ao 
eixo vertical ao invés de ao horizontal. 
Podemos pensar na seguinte situação prática para compreender essa razão de modo 
mais efetivo. 
Uma estrutura inclinada sempre projeta uma sombra cuja porcentagem do comprimento 
da estrutura é dada pelo cosseno do ângulo de inclinação. 
Essa mesma estrutura inclinada sempre atinge uma altura máxima, que é expressa em 
porcentagem do comprimento da estrutura e é dada pelo seno do ângulo de inclinação. 
Colocando essa estrutura o eixo vertical do nosso ciclo trigonométrico, temos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 21 
 
 
3.0 Ciclo Trigonométrico 
Comecemos desfazendo um engano muito comum: o nome é ciclo trigonométrico e não 
círculo trigonométrico. 
Apesar de ser, sim, construído em cima de um círculo, o nome ciclo trigonométrico se dá 
por ser cíclico, ou seja, a cada volta que se dá na circunferência do ciclo trigonométrico, as 
razões seno e cosseno (e todas as outras que veremos mais adiante) voltam a seus valores 
iniciais e o ciclo se repete. Vamosentender melhor como isso funciona: 
O ciclo é dividido em quatro quadrantes, que recebem a seguinte denominação: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 22 
 
A origem dos arcos se dá no ponto extremo à direita e seu sentido de rotação é anti-
horário. 
Seno e cosseno são, na verdade, porcentagens com relação ao objeto de referência. 
Como o tamanho do objeto de referência é, em porcentagem, 100 % = 1, temos, aí, definido o 
raio do ciclo trigonométrico: raio unitário. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 23 
 
O seno e o cosseno de um arco do 1° quadrante são, sempre, positivos e servem de 
referência para os valores de seno e de cosseno de arcos de outros quadrantes. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 24 
No segundo quadrante, os ângulos continuam apresentando seno positivo, mas o 
cosseno passa a ser negativo. 
 
Para arcos do terceiro quadrante, tanto seno quanto cosseno são negativos. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 25 
E, por fim, os ângulos do quarto quadrante apresentam valores de seno negativos e de 
cosseno positivos. 
 
 
 
Quando um ângulo está sobre um dos eixos, ele não pertence aos quadrantes, sendo 
uma de suas razões trigonométricas nula e a outra máxima. Vejamos: 
O ângulo 0 𝑟𝑎𝑑 (tábua deitada) tem cosseno máximo (cos(0) = 1) e seno mínimo 
(sen(0) = 0). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 26 
 
O ângulo de 
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 (tábua em pé) tem cosseno mínimo (cos(0) = 0) e seno máximo 
(sen (
𝜋
2
) = 1). 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 27 
Podemos continuar essa análise com todos os ângulos que pertencem às divisões dos 
quadrantes, até que cheguemos ao ângulo 2𝜋, ou seja, uma volta completa. 
No próximo tópico iremos analisar os valores obtidos para seno e cosseno. 
Perceba que 
sen(2𝜋) = sen(0) = 0 cos(2𝜋) = cos(0) = 1 
E essa igualdade marca o reinício do ciclo trigonométrico. Caso continuemos a girar, 
todo o comportamento visto até aqui se repetirá indefinidamente. 
 
3.1. Tabela de senos e cossenos 
Vamos organizar esses dados, mas com uma diferença: não utilizaremos os valores 
aproximados encontrados com a experiência da tábua, mas sim frações mais precisas, 
advindas de métodos diferentes de cálculo. 
Sendo assim: 
Arco em 
radianos 
0 
𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
𝝅
𝟐
 𝝅 
𝟑𝝅
𝟐
 𝟐𝝅 
Arco em 
graus 
0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 
seno 0 
1
2
 
√2
2
 
√3
2
 1 0 -1 0 
cosseno 1 
√3
2
 
√2
2
 
1
2
 0 -1 0 1 
 
 
Algumas observações importantíssimas: 
O sinal de negativo no cosseno indica que o ângulo está à esquerda da origem. 
O sinal de negativo no seno indica que o ângulo está abaixo da origem. 
O arco 2𝜋 possui os mesmos valores que o arco 0, pois essa igualdade marca o reinício 
do ciclo trigonométrico: 
sen(2𝜋) = sen(0) = 0 cos(2𝜋) = cos(0) = 1 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 28 
Ademais, você percebeu uma inversão entre os valores apresentados para os arcos de 
30° e 60°? Isso acontece porque esses arcos são complementares, isto é, arcos cuja soma é 
𝟗𝟎°. Quaisquer arcos 𝛼 e 𝛽, nos quais 
𝜶 + 𝜷 =
𝝅
𝟐
, 
temos 
sen(𝛼) = cos(𝛽) 
sen(𝛽) = cos(𝛼) 
E, por último, sim, você terá que memorizar esses valores. Mas não precisa ser agora, 
pois vamos, ainda, colocar mais informação nessa tabela. 
Quando chegar a hora, passo a você um método para memorizá-la facilmente, ok? Sem 
estresse por enquanto, mais tarde ele aparece . 
 
3.2. Redução ao primeiro quadrante 
Os arcos que vimos como notáveis funcionam, também, como guia para descobrirmos 
senos e cossenos de ângulos correspondentes nos outros quadrantes. 
Veja, para o caso do arco de 30°, como isso acontece. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 29 
 
Professor, tenho que decorar isso? 
Negativo! 
Na verdade, a redução ao primeiro quadrante é uma técnica que permite a você uma 
dedução rápida dos arcos dos outros quadrantes, sabendo apenas as razões trigonométricas 
dos arcos do primeiro quadrante. 
Um método prático para reduzirmos qualquer ângulo ao primeiro quadrante é entender 
que um ângulo 𝛼, no 1º quadrante terá um ângulo simétrico, em cada um dos outros 3 
quadrantes, da seguinte forma: 
1º quadrante → 𝜶 
2º quadrante → 𝝅 − 𝜶 
3º quadrante → 𝝅 + 𝜶 
4º quadrante → 𝟐𝝅 − 𝜶 
Ou 
1º quadrante → 𝜶 
2º quadrante → 𝟏𝟖𝟎° − 𝜶 
3º quadrante → 𝟏𝟖𝟎° + 𝜶 
4º quadrante → 𝟑𝟔𝟎° − 𝜶 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 30 
Esquematizando: 
 
Vamos utilizar o ângulo de 1350, como exemplo. 
O ângulo de 1350 pertence ao 2º quadrante, logo: 
1800 − 𝛼 = 1350 
−𝛼 = 1350 − 1800 
𝛼 = 450 
Dessa forma o ângulo de 135º terá mesmos valores, em módulo, de seno e cosseno de 
45º, porém com sinais do 2º quadrante. Vejamos: 
𝒔𝒆𝒏𝟏𝟑𝟓𝟎 = |𝑠𝑒𝑛 450| =
√2
2
 (𝑛𝑜 2º 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑜 é 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟑𝟓𝟎 = |𝑐𝑜𝑠 450| = −
√2
2
 (𝑛𝑜 2º 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 é 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 
Vejamos outro exemplo, com um arco maior que 360°: 
Qual é o valor de 𝑐𝑜𝑠 (
7𝜋
3
) ? 
7𝜋
3
=
7 ∙ 180°
3
= 420° 
O arco de 420° deu uma volta completa no ciclo e “parou” no primeiro quadrante, pois: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 31 
360° + 60° = 420° 
Dessa forma: 
𝑐𝑜𝑠 (
7𝜋
3
) = |𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
3
)| =
1
2
 (𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 é 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑛𝑜 1º 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒) 
 
 
3.3. Relação Fundamental da Trigonometria 
O ciclo trigonométrico, como visto anteriormente, é uma circunferência de raio unitário. 
Vamos desenhar um triângulo retângulo com um dos ângulos agudos igual a 𝒙, formado 
entre o raio unitário, o 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥 e o 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥: 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras entre os lados explicitados, temos: 
 
Eis a relação fundamental da trigonometria (RFT). 
Vamos aplicar essa relação em uma questão! 
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 32 
1. (UNICAMP/2018) Seja 𝑥 um número real tal que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,2. Logo, |𝑠𝑒𝑛𝑥 −
𝑐𝑜𝑠𝑥|é igual a 
a) 0,5. 
b) 0,8. 
c) 1,1. 
d) 1,4. 
Comentários 
Sendo 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,2, podemos reescrever como: 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Podemos substituir na equação fundamental da trigonometria: 
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 
(
1
5
− cos 𝑥)
2
+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
2 cos2 𝑥 −
2
5
⋅ cos 𝑥 −
24
25
= 0 
25 cos2 𝑥 − 5 ⋅ cos 𝑥 − 12 = 0 
Calculando as raízes: 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
5 ± √(−5)2 − 4 ⋅ 25 ⋅ (−12)
4
 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
5 ± √1225
4
 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
5 ± 35
50
 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
40
50
= 4/5 
Ou 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
−30
50
= −3/5 
 
→ Se 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
4
5
, então 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −
3
5
. 
→ Se 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −
3
5
, então 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
4
5
. 
Em ambos os casos, 
|𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥| =
7
5
= 1,4 
Gabarito: d) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 33 
4.0 Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
Antes de mergulharmos de cabeça neste tópico é fundamental que conheçamos bem os 
elementos do triângulo retângulo3: 
 
No triângulo retângulo, os dois menores lados são chamados de catetos e o maior, 
hipotenusa. Note que os catetos são os dois lados que, juntos, formam o ângulo de 90° e que 
o lado oposto ao ângulo reto se chama hipotenusa. Beleza, maravilha, tudo legal, já sabemos 
disso! Mas, agora precisamos introduzir uma novidade. 
Repare que temos a presença de dois outros ângulos, além do ângulo reto, 
complementares como vimos anteriormente. O nome de cada cateto será acompanhado de um 
sobrenome e isso dependerá do ângulo ao qual estamos nos referindo. Vejamos: 
Com relação ao ângulo 𝜶 , o cateto 𝒃 é adjacente4 e o cateto 𝒄 é oposto. 
 
3 O triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (90°). 
4 Adjacente: ao lado, junto, próximo, vizinho. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA08 – TRIGONOMETRIA. 34 
 
 
Já com relação ao ângulo 𝜷 , o cateto 𝒃 é oposto e o cateto 𝒄 é adjacente. 
 
 
O cateto ser oposto ou adjacente depende do ângulo considerado. 
Tenha sempre em mente a principal relação métrica no triângulo retângulo: o Teorema 
de Pitágoras, que, em linhas gerias, diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa ou: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
Feitas as considerações acerca dos lados, vamos às razões trigonométricas. 
 
4.1. Razões seno e cosseno no triângulo retângulo 
As razões trigonométricas no triângulo retângulo são divisões, ou porcentagens, que 
relacionam os lados do triângulo retângulo aos valores de seno (𝑠𝑒𝑛) e cosseno (𝑐𝑜𝑠) e 
tangente (𝑡𝑔) dos seus ângulos internos. 
Veja: 
𝒃 (𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒) 
𝒄 (𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜) 
𝒂 (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎) 
𝒂 (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎) 
𝒄 (𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒) 
𝒃 (𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 35 
cos(𝜃) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
 
sen(𝜃) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
 
 
4.2. Razão tangente no triângulo retângulo 
A tangente surge do seguinte questionamento: qual seria a razão entre os dois catetos, 
oposto e adjacente, nessa ordem? 
Simples, temos a razão tangente descrita como: 
sen(𝜃)
cos(𝜃)
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
 
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
 
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
∙
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
∙
ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
⇒ tg(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
Note que a tangente também pode ser descrita como a razão entre seno e cosseno. 
tg(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
 
Um bizu para memorizarmos as três fórmulas é a frase SOH CAH TOA. 
SOH – seno é a razão entre o oposto pela hipotenusa; 
CAH – cosseno é a razão entre o adjacente pela hipotenusa; 
TOA – tangente é a razão entre o oposto e o adjacente. 
 
 
Vejamos algumas questões de provas anteriores: 
2. (UEA/2015) Para determinar a largura de um rio de margens paralelas, um técnico, 
situado no ponto P, distante 2 metros da margem M, determina um ponto fixo Q na 
margem oposta, com 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ perpendicular às margens. De P, ele traça uma perpendicular a 
PQ e marca sobre ela os pontos R, distante x metros de P, e S, distante 21 metros de R, 
cujos ângulos �̂� e �̂� medem, respectivamente, 60° e 45°, conforme mostra a figura. 
sen 𝜃 =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
cos 𝜃 =
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
tg 𝜃 =
sen 𝜃
cos 𝜃
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 36 
 
Usando √3 = 1,7, o técnico obteve a largura h aproximada desse rio, que é de 
(A) 30 m. 
(B) 49 m. 
(C) 38 m. 
(D) 45 m. 
(E) 28 m. 
Comentários: 
Podemos notar dois triângulos retângulos, na figura. 
Analisando o triângulo QPS, de catetos 𝑸𝑷 = 𝒉 + 𝟐 e 𝑷𝑺 = 𝒙 + 𝟐𝟏 
 
 
Podemos utilizar a razão tangente para o ângulo de 45º: 
 
𝑡𝑔 450 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
𝑡𝑔 450 =
ℎ + 2
𝑥 + 21
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 37 
1 =
ℎ + 2
𝑥 + 21
 
ℎ + 2 = 𝑥 + 21 (𝑖) 
 
Analisando o triângulo QPR, de catetos 𝑸𝑷 = 𝒉 + 𝟐 e 𝑷𝑹 = 𝒙 
 
Podemos utilizar a razão tangente para o ângulo de 60º: 
 
𝑡𝑔 600 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑡𝑔 600 =
ℎ + 2
𝑥
 
√3 =
ℎ + 2
𝑥
 
𝑥 =
ℎ + 2
1,7
 
ℎ + 2 = 1,7𝑥(𝑖𝑖) 
 
Como ℎ + 2 está isolado nas duas equações obtidas, podemos igualá-las: 
1,7𝑥 = 𝑥 + 21 
0,7𝑥 = 21 
𝑥 = 30 
Dessa forma, o valor de ℎ será: 
ℎ + 2 = 𝑥 + 21 
ℎ = 30 + 21 − 2 
ℎ = 49 
Gabarito: b) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 38 
3. INÉDITA - Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são 2 ⋅
𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 3 cos 𝑥 e (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥), respectivamente, onde 𝑥 é um ângulo acutângulo. O valor 
da tangente de 𝑥 é: 
a) 1/2 
b) 3/4 
c) 2/3 
d) 4/3 
e) 5/4 
Comentários: 
Como os três termos estão em PA, temos a seguinte relação: 
𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2 
3cos 𝑥 − 2sin 𝑥 = (sen 𝑥 + 2cos 𝑥) − 3cos 𝑥 
3cos 𝑥 − 2sin 𝑥 = sen 𝑥 − cos 𝑥 
4cos 𝑥 = 3sen 𝑥 
4 = 3 ∙
sen 𝑥
cos 𝑥
 
4 = 3 ∙ 𝑡𝑔 𝑥 
∴ 𝑡𝑔 𝑥 =
4
3
 
Gabarito: D 
 
4.3. Outras razões trigonométricas 
Além das razões trigonométricas que estudamos, há as chamadas razões 
trigonométricas derivadas, que são razões definidas a partir das que já estudamos. 
Apesar de não serem tão comuns, vale a citação. 
𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 ⇒ sec(𝜃) =
1
cos(𝜃)
 
𝐶𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝜃) =
1
sen(𝜃)
 
𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) =
1
tg(𝜃)
=
cos(𝑥)
sen(𝑥)
 
Quando presentes em provas, precisaremos realizar as substituições, para resolvermos 
as equações, vejamos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 39 
4. (EV – Prof. Andrew) Sendo 𝑥 um arco pertencente ao círculo trigonométrico, tal 
que 𝑈 = [0,2𝜋[, o valor da expressão 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 é 
equivalente a: 
a) 1 + 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
 
b) 1 − cos 5𝜋 
c) 1 − cos𝜋 
d) 1 − cos 4𝜋 
Comentários: 
Desenvolvendo a equação trigonométrica: 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 −
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
0 
Dentre as alternativas dadas, a única que apresenta valor igual a zero é: 
1 − cos 4𝜋 = 1 − 1 = 0 ⟶ Lembrete: 4𝜋 é um arco congruente a 0 radiano. Logo, cos 4𝜋 =
cos 0 = 1. 
Gabarito: d) 
 
4.4. Associação de arcos 
Professor, se cos(60°) = 0,5, podemos dizer que cos(120°) = 1? 
Negativo. 
Veremos no próximo capítulo quanto vale cos(120°), mas adianto que não é 1. 
Quando conhecemos o valor de uma razão trigonométrica de um ângulo e queremos 
descobrir a mesma razão trigonométrica do dobro desse mesmo ângulo, não podemos 
simplesmente dobrar o valor, pois as razões trigonométricas não são lineares, não podemos 
fazer regras de três com elas. 
Você terá contato aqui com algumas fórmulas prontas. 
Ainda não temos recursos para prová-las, mas teremos quando estudarmos a Geometria 
Analítica. 
Até lá, não é preciso decorá-las de imediato. Tenha-as à mão para consulta quando for 
fazer os exercícios e, com a prática, sua memória as fixará. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 40 
No transcorrer do curso, daremos a elas um tratamento minucioso e a memorização, 
então, ficará muito mais fácil. 
Por enquanto, as apresento. 
 
A. Soma de arcos 
sen(𝑎 + 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) + sen(𝑏) cos(𝑎) 
cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − sen(𝑎) sen(𝑏) 
tg(𝑎 + 𝑏) =
tg(𝑎) + tg(𝑏)
1 − tg(𝑎) tg(𝑏)
 
B. Diferença de arcos 
sen(𝑎 − 𝑏) = sen(𝑎) cos(𝑏) − sen(𝑏) cos(𝑎) 
cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sen(𝑎) sen(𝑏) 
tg(𝑎 − 𝑏) =
tg(𝑎) − tg(𝑏)
1 + tg(𝑎) tg(𝑏)
 
C. Arco duplo 
sen(2𝑎) = 2 sen(𝑎) cos(𝑎) 
cos(2𝑎) =
{
 
 
 
 
cos2(𝑎) − sen2(𝑎)
 
2 cos2(𝑎) − 1
 
1 − 2 sen2(𝑎)
 
tg(2𝑎) =
2 tg(𝑎)
1 − tg2(𝑎)
 
D. Arco metade 
cos (
𝑎
2
) = ±√
1+ cos(𝑎)
2
 
sen (
𝑎
2
) = ±√
1 − cos(𝑎)
2
 
tg (
𝑎
2
) = ±√
1 − cos(𝑎)
1 + cos(𝑎)
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 41 
Vejamos a aplicação dessas associações: 
5. INÉDITA - O arco 𝑥 que satisfaz a relação 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3
+ 𝑥) + cos (
𝜋
6
+ 𝑥) = √3 no universo 
𝑈 = [0,2𝜋[ é dado, em radianos, por: 
a) 0 
b) 
𝜋
2
 
c) 
5𝜋
6
 
d) 
3𝜋
2
 
e) 
5𝜋
3
 
Comentários: 
Pelas relações de adição de arcos, temos que: 
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3
+ 𝑥) + cos (
𝜋
6
+ 𝑥) = √3 
𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
∙ cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ cos
𝜋
3
+ cos
𝜋
6
∙ cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = √3 
√3
2
. cos 𝑥 +
1
2
. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
√3
2
. cos 𝑥 −
1
2
. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = √3 
√3
2
. cos 𝑥 +
√3
2
. cos 𝑥 = √3 
2√3
2
. cos 𝑥 = √3 
cos 𝑥 = 1 
O arco da circunferência trigonométrica na primeira volta cujo cosseno é igual a 1 é 0°ou 0 
radianos. 
Gabarito: a) 
 
5.0 Funções Trigonométricas 
Quando estudamos as funções, vimos que há duas condições a serem satisfeitas para 
que uma relação entre dois conjuntos seja uma função. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 42 
 
 
5.1. Função cosseno 
Podemos, então, estabelecer dois conjuntos: 
 
E, entre eles, uma relação tal que a cada ângulo 𝑥, relacionamos o seu cosseno, cos(𝑥). 
Essa relação obedece às duas regras para que tenhamos uma função? 
Vejamos. 
Para qualquer ângulo 𝑥, conseguimos calcular cos(𝑥), então, a primeira regra está 
satisfeita. 
A cada ângulo 𝑥 está associado um único valor de cos(𝑥), então, a segunda regra 
também está satisfeita. Desse modo, é seguro estabelecer que 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) é uma função. 
 
Estamos em um ponto crítico na construção do conhecimento acerca da trigonometria. 
De um lado temos o ciclo trigonométrico cujo eixo horizontal marca os cossenos dos ângulos 
marcados na circunferência. 
De outro, definindo uma função como o cosseno de um ângulo, podemos fazer o gráfico dessa 
função. 
Função
1) A regra da função deve 
fornecer um 𝑓(𝑥) para todo 
𝑥 pertencente ao Domínio. 
Sem exceções.
2) Não são aceitas 
ambiguidades. A cada 𝑥 deve 
haver um único 𝑓(𝑥)
correspondente.
ângulos do ciclo 
trigonométrico
números entre −1 e 1
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 43 
O gráfico da função é, como foi até agora para todas as funções que estudamos, no plano 
cartesiano. E plano cartesiano não é o mesmo que ciclo trigonométrico, apesar de terem seus 
pontos em comum. 
Esclarecido, pergunto: como seria o gráfico dessa função? 
Vamos calcular alguns valores de cosseno e relacioná-los aos seus respectivos valores 
angulares em uma tabela e, a partir dela, esboçar o gráfico da função. 
x cos(x) x cos(x) x cos(x) 
0 1,000 
 
165 -0,966 
 
330 0,866 
30 0,866 
 
195 -0,966 
 
360 1,000 
45 0,707 
 
210 -0,866 
 
375 0,966 
60 0,500 
 
225 -0,707 
 
390 0,866 
90 0,000 
 
255 -0,259 
 
420 0,500 
120 -0,500 
 
285 0,259 
 
450 0,000 
135 -0,707 
 
300 0,500 
 
465 -0,259 
150 -0,866 
 
315 0,707 
 
480 -0,500 
Os valores foram calculados em meio computacional, mas podemos reconhecer, neles, 
alguns dos valores que já estudamos. 
Agora, vamos colocar esses valores em um plano cartesiano. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 44 
 
Comentamos anteriormente que o cosseno só poderia variar entre −1 e 1, visto que ele 
representa uma porcentagem. Era de se esperar que o esboço do gráfico da função cosseno 
também ficasse limitado a esses extremos. 
Se colocarmos cada vez mais pontos no gráfico, vamos desenhar uma linha contínua 
cuja forma é chamada de cossenoide. 
 
5.2. Função seno 
Podemos fazer exatamente o mesmo para o seno, estabelecendo a função 𝑔(𝑥) =
sen(𝑥). 
x sen(x) 
 
x sen(x) 
 
x sen(x) 
0 0,000 
 
165 0,259 
 
330 -0,500 
30 0,500 
 
195 -0,259 
 
360 0,000 
45 0,707 
 
210 -0,500 
 
375 0,259 
60 0,866 
 
225 -0,707 
 
390 0,500 
90 1,000 
 
255 -0,966 
 
420 0,866 
120 0,866 
 
285 -0,966 
 
450 1,000 
135 0,707 
 
300 -0,866 
 
465 0,966 
150 0,500 
 
315 -0,707 
 
480 0,866 
Colocando esses valores em um plano cartesiano e esboçando o gráfico da função: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 45 
 
O nome dessa curva é senoide e tem exatamente o mesmo formado da cossenoide, 
porém deslocada. 
 
5.3. Comparativo entre as funções seno e cosseno 
Vamos analisar ambas as curvas em um mesmo plano cartesiano. 
 
Perceba que ambas as funções estão sempre fora de sincronia, embora seus ciclos 
sejam sempre de 360°. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 46 
No ângulo 0°, o cosseno é máximo enquanto o seno é zero, exatamente o que vimos 
quando estudamos o ciclo trigonométrico. Já em 90°, é ao contrário, o cosseno é nulo e o seno 
é máximo. 
Ambas as funções vão se alternando ciclicamente. (Ciclo trigonométrico, lembra?) 
 
5.4. Translação de funções seno e cosseno 
Na aula passada, estudamos os conceitos de translação (horizontal e vertical) para as 
funções. 
Pois bem, essas translações também valem para as funções trigonométricas, então, 
fique à vontade para usá-las. No item anterior, fizemos o esboço do gráfico de 𝑓(𝑥) = sen(𝑥). 
Esbocemos, então, com as técnicas de translação, o gráfico da função 𝑓(𝑥) deslocada 2 
unidades para cima e 80° para a direita. 
Para deslocar a função para cima em 2 unidades, façamos 𝑔(𝑥) = sen(𝑥) + 2 
Para deslocar a função 80° para a direita, façamos ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥 − 80°) = sen(𝑥 − 80°) +
2. 
Vejamos como ficam essas funções no gráfico. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 47 
 
 
5.5. Amplitude e proximidade com relação ao eixo 𝒙 
Vimos que tanto a função seno quanto a função cosseno são limitadas ao intervalo 
[−1; 1]. 
Esse limite vem, diretamente, do raio do ciclo trigonométrico, que é unitário. 
Dizemos, assim, que a amplitude das funções seno e cosseno é igual a 1, 𝑨 = 𝟏. 
No gráfico dessas funções, podemos entender a amplitude como sendo o deslocamento 
máximo da função com relação ao eixo 𝑥. Mas atenção, só podemos comparar com o eixo 𝑥 
quando a função não sofreu translações, ok? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 48 
 
Note que a amplitude da função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) é 𝐴 = 1. Não há amplitude negativa, 
amplitude é o módulo do afastamento máximo da função com relação ao eixo. 
Caso nós apliquemos a teoria que vimos sobre afastamento à função seno, seus pontos 
sofrerão alteração e, consequentemente, também afetará a amplitude. 
A amplitude das funções seno e cosseno está intimamente ligada ao módulo do número 
que a acompanha, multiplicando a própria função. 
𝑓(𝑥) = sen(𝑥) ⇒ A = 1 
𝑓(𝑥) = 2 ∙ sen(𝑥) ⇒ A = 2 
𝑓(𝑥) = −5 ∙ cos(𝑥) ⇒ A = 5 
𝑓(𝑥) = −sen(𝑥) ⇒ A = 1 
𝑓(𝑥) = √3 ∙ cos(𝑥) ⇒ A = √3 
Vejamos graficamente quando multiplicamos a função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) por 3. 
 
𝑓(𝑥) = 3
∙ sen(𝑥) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 49 
 
Desse modo, podemos definir a amplitude das funções seno e cosseno como sendo: 
 
 
 
5.6. Período das funções trigonométricas 
Para calcular qual é o período da função, ou seja, o tamanho de seu ciclo, podemos 
pegar a diferença horizontal entre dois pontos máximos (pontos de pico) ou dois pontos 
mínimos (pontos de vale). 
Para a função seno, por exemplo, vemos no gráfico que o primeiro ponto de pico 
acontece em (90°; 1) e o segundo em (450°; 1). A diferença horizontal entre esses pontos é de 
450° − 90° = 360°. E o que isso significa? 
Significa que o período da função 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) é 360°, ou ainda, 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. A função faz 
todo o seu ciclo e volta a repetir seu comportamento indefinidamente a cada 360°. 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ sen(𝑥) 
𝑓(𝑥) = ±|𝐴| ∙ cos(𝑥) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 50 
Podemos usar os pontos de vale também. Peguemos os dois pontos de vale da função 
𝑓(𝑥) = cos(𝑥), que acontecem em (180°;−1) e (540°;−1). O ciclo da função é dado por 540° −
180° = 360°, ou seja, o período da função cosseno também é de 360°. 
 
5.6.1. Alteração do período da função 
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑚 (𝑥), representada a seguir: 
 
Vamos multiplicar o arco 𝑥 por uma constante 𝑏. No nosso exemplo 𝑏 = 2: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 51 
 
Interessante... 
Pois bem, o termo 𝑏 é responsável pelo número de ciclos que a função executa em 
360°. 
 
A relação entre o coeficiente b e o período da função é muito útil para a resolução de questões 
e é dada por: 
𝑷 =
𝟐𝝅
𝒃
 
Desse modo, vamos criar um esquema com as informações que construímos: 
 
 
Amplitude
Deslocamento horizontal
Número de ciclos em Deslocamento vertical
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 52 
5.7. Notação cíclica 
Por causa daperiodicidade das funções trigonométricas, frequentemente temos mais de 
uma resposta para condições dadas em equações. 
Por exemplo, imagine que estejamos interessados em expressar quais os valores de 𝑥 
satisfazem: 
{
 
 
 
 cos(𝑥) =
√3
2 
sen(𝑥) =
1
2
 
Oras, esse é um ângulo notável, já sabemos quanto ele vale. 
{
 
 
 
 cos(𝑥) =
√3
2 
sen(𝑥) =
1
2
 ⇒ 𝑥 =
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 (30°) 
Pois é, não está errado, mas também não está inteiramente correto. 
Pense que, as mesmas condições de seno e cosseno que são próprias do ângulo de 
30°, aconteceriam novamente a cada 360°, ou seja, 30° + 360°, 30° + 2 ∙ 360°, 30° + 3 ∙ 360° e 
assim por diante. 
Dessa forma, é comum expressarmos a resposta a esse tipo de situação como: 
{
 
 
 
 cos(𝑥) =
√3
2 
sen(𝑥) =
1
2
 ⇒
𝑥 = 30° + 𝑘 ∙ 360°, 𝑘 ∈ ℤ
 
𝑜𝑢
 
𝑥 =
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 + 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑, 𝑘 ∈ ℤ
 
Vamos resolver questões: 
6. INÉDITA - O termostato de uma estufa foi programado para regular a temperatura 
ambiente, segundo a relação 𝑇(𝑡) = 20 + 3𝑠𝑒𝑛 
𝜋(𝑡+2)
12
, em que 𝑇 é a temperatura da estufa 
na hora 𝑡 do dia, sendo 0 ≤ 𝑡 < 12. Com isso, o momento do dia em que o termostato 
indica a maior temperatura ambiente é às: 
a) 3 horas 
b) 4 horas 
c) 5 horas 
d) 6 horas 
e) 7 horas 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 53 
Comentários: 
O maior valor da função periódica apresentada se dá quando a função seno atinge seu maior 
valor (quando o arco é 
𝜋
2
). 
𝜋(𝑡 + 2)
12
=
𝜋
2
 
𝑡 + 2
12
=
1
2
 
2𝑡 + 4 = 12 
2𝑡 = 8 
𝑡 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Comentários: b) 
7. INÉDITA - A amplitude das marés é a diferença entre os níveis da maré alta e da 
maré baixa, que varia dependendo da posição da Lua. Dado que esse movimento é 
periódico, estudiosos traçaram um gráfico que apresenta a altura ℎ, em metros, da maré, 
em função da hora 𝑡 do dia, sendo 0 ≤ 𝑡 ≤ 12. 
 
A função ℎ(𝑡) representada pelo gráfico dado pode ser descrita como: 
a) ℎ(𝑡) = −3𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
b) ℎ(𝑡) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
c) ℎ(𝑡) = −3𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 
d) ℎ(𝑡) = 3𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 54 
e) ℎ(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
Comentários: 
Dado que o período dessa função seno se completa a cada 𝜋 rad, logo: 
𝑃 =
2𝜋
𝑏
→ 𝑏 =
2𝜋
𝜋
= 2 
Como o gráfico oscila entre 3 e -3, indo primeiro pela parte positiva do gráfico, temos que a 
função é representada por ℎ(𝑡) = 3𝑠𝑒𝑛(2𝑡). 
Gabarito: d) 
8. INÉDITA - A figura abaixo mostra o esboço de parte da curva de equação 
𝑦 = 5 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 45)0 𝑥 ≥ 0 
 
O ponto 𝑃, situado no vale da curva, possui coordenadas: 
a) P (
π
4
, 5) ; 
b) P (
3π
4
, −5) ; 
c) P (
3π
4
, 5) ; 
d) P (
5π
4
,−5) ; 
e) P (
5π
4
, 1) ; 
Comentários: 
Podemos analisar a questão graficamente. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 55 
 
Note que o ponto Q era o ponto mais baixo da função padrão 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, onde a amplitude é 
1 e o período 2𝜋. 
A função 𝑦 = 5 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 45)0 possui um deslocamento horizontal para a direita, pois tem o −45 
subtraindo o valor de 𝑥. 
Dessa forma o deslocamento de Q para P se dá através da soma 
𝜋 + 450 = 𝜋 +
𝜋
4
=
5𝜋
4
 
Já a amplitude dessa nova função é multiplicada por 5. Como P está na parte negativa do eixo 
vertical, seu valor de ordenada será −5. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 56 
Assim, as coordenadas de P são dadas por 
𝑃 (
5𝜋
4
,−5). 
Gabarito: d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 57 
6.0 Questões de Provas Anteriores 
 
1. (ENEM / 2014 – 2ª APLICAÇÃO) Uma pessoa usa um programa de computador que 
descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som escolhido. A equação da 
onda é dada, num sistema de coordenadas cartesianas, por 𝒚 = 𝒂 · 𝒔𝒆𝒏[𝒃(𝒙 + 𝒄)], em 
que os parâmetros a, b, c são positivos. O programa permite ao usuário provocar 
mudanças no som, ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A pessoa deseja 
tornar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda. 
O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser alterado(s) é(são) 
a) a. 
b) b. 
c) c. 
d) a e b. 
e) b e c. 
 
2. (ENEM / 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante 
utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α 
fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele 
seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo possível ver o mesmo 
ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação: 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, 
verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 58 
Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até 
o ponto fixo P será 
a) 1 000 m. 
b) 1 000 √3 m. 
c) 2 000 √3/3 m. 
d) 2 000 m 
e) 2 000 √3 m. 
 
3. (ENEM / 2009 – CANCELADO) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o 
seu reservatório, que tem a forma de um tronco de cone circular reto, conforme 
mostrado na figura. 
 
Considere que a base do reservatório tenha raio r = 2√3m e que sua lateral faça um 
ângulo de 60° com o solo. 
Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de 
a) 𝟏𝟐𝝅 𝒎𝟐 
b) 𝟏𝟎𝟖𝝅 𝒎𝟐 
c) (𝟏𝟐 + 𝟐√𝟑)²𝝅 𝒎𝟐 
d) (𝟐𝟒 + 𝟐√𝟑)²𝝅 𝒎𝟐 
e) 𝟑𝟎𝟎𝝅 𝒎𝟐 
 
4. (UNICAMP/2018) Seja 𝑥 um número real tal que 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟎, 𝟐. Logo, 
|𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙|é igual a 
a) 0,5. 
b) 0,8. 
c) 1,1. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 59 
d) 1,4. 
 
5. (UEA/2015) Para determinar a largura de um rio de margens paralelas, um técnico, 
situado no ponto P, distante 2 metros da margem M, determina um ponto fixo Q na 
margem oposta, com 𝑷𝑸̅̅ ̅̅ perpendicular às margens. De P, ele traça uma perpendicular a 
PQ e marca sobre ela os pontos R, distante x metros de P, e S, distante 21 metros de R, 
cujos ângulos �̂� e �̂� medem, respectivamente, 60° e 45°, conforme mostra a figura. 
 
Usando √𝟑 = 𝟏, 𝟕, o técnico obteve a largura h aproximada desse rio, que é de 
(A) 30 m. 
(B) 49 m. 
(C) 38 m. 
(D) 45 m. 
(E) 28 m. 
 
6. INÉDITA - Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são 𝟐 ⋅
𝒔𝒆𝒏𝒙 , 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝒙 e (𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙), respectivamente, onde 𝒙 é um ângulo acutângulo. O 
valor da tangente de 𝒙 é: 
𝐚) 𝟏/𝟐 
𝐛) 𝟑/𝟒 
𝐜) 𝟐/𝟑 
𝐝) 𝟒/𝟑 
𝐞) 𝟓/𝟒 
 
7. (EV - Prof. Andrew) Sendo 𝒙 um arco pertencente ao círculo trigonométrico, tal que 
𝑼 = [𝟎, 𝟐𝝅[, o valor da expressão 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒕𝒈𝟐𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 é 
equivalente a: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 60 
a) 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟐
 
b) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟓𝝅 
c) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝝅 
d) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟒𝝅 
 
8. INÉDITA - Sendo 𝒙 um arco pertencente ao círculo trigonométrico, tal que 𝑼 =
[𝟎, 𝟐𝝅[, o valor da expressão 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒕𝒈𝟐𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 é 
equivalente a: 
a) 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟐
 
b) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟓𝝅 
c) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝝅 
d) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟒𝝅 
 
9. INÉDITA - O arco 𝒙 que satisfaz a relação 𝒔𝒆𝒏 (
𝝅
𝟑
+ 𝒙) + 𝐜𝐨𝐬 (
𝝅
𝟔
+ 𝒙) = √𝟑 no 
universo 𝑼 = [𝟎, 𝟐𝝅[ é dado, em radianos, por: 
a) 0 
b) 
𝝅
𝟐
 
c) 
𝟓𝝅
𝟔
 
d) 
𝟑𝝅
𝟐
 
e) 
𝟓𝝅
𝟑
 
 
10. INÉDITA - O termostato de uma estufa foi programado para regular a temperatura 
ambiente, segundo a relação 𝑻(𝒕) = 𝟐𝟎 + 𝟑𝒔𝒆𝒏 
𝝅(𝒕+𝟐)
𝟏𝟐
, em que 𝑻 é a temperatura da estufa 
na hora 𝒕 do dia, sendo 𝟎 ≤ 𝒕 < 𝟏𝟐. Com isso, o momento do dia em que o termostato 
indica a maior temperatura ambiente é às: 
a) 3 horas 
b) 4 horas 
c) 5 horas 
d) 6 horas 
e) 7 horasESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 61 
11. INÉDITA - A amplitude das marés é a diferença entre os níveis da maré alta e da 
maré baixa, que varia dependendo da posição da Lua. Dado que esse movimento é 
periódico, estudiosos traçaram um gráfico que apresenta a altura 𝒉, em metros, da maré, 
em função da hora 𝒕 do dia, sendo 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟐. 
 
A função 𝒉(𝒕) representada pelo gráfico dado pode ser descrita como: 
a) 𝒉(𝒕) = −𝟑𝒔𝒆𝒏(𝒕) 
b) 𝒉(𝒕) = 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝒕) 
c) 𝒉(𝒕) = −𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒕) 
d) 𝒉(𝒕) = 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒕) 
e) 𝒉(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏(𝒕) 
 
12. INÉDITA - A figura abaixo mostra o esboço de parte da curva de equação 
𝒚 = 𝟓 ⋅ 𝒄𝒐𝒔(𝒙 − 𝟒𝟓)𝟎 𝒙 ≥ 𝟎 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 62 
 
O ponto 𝑷, situado no vale da curva, possui coordenadas: 
𝐚) 𝐏 (
𝛑
𝟒
, 𝟓) ; 
𝐛) 𝐏 (
𝟑𝛑
𝟒
,−𝟓) ; 
𝐜) 𝐏 (
𝟑𝛑
𝟒
, 𝟓) ; 
𝐝) 𝐏 (
𝟓𝛑
𝟒
,−𝟓) ; 
𝐞) 𝐏 (
𝟓𝛑
𝟒
, 𝟏) ; 
 
13. (UEA/2018) A figura mostra uma circunferência 𝝀, de centro O, e um triângulo AOB, 
que tangencia a circunferência no ponto A. 
 
Se 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝟏/𝟐 e 𝑶𝑨 + 𝑶𝑩 = 𝟗 𝒄𝒎, o comprimento da circunferência 𝝀 é igual a 
(A) 12π cm. 
(B) 6π cm. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 63 
(C) 8π cm. 
(D) 3π cm. 
(E) 9π cm. 
 
14. (Unicamp/2020) A figura abaixo exibe o triângulo retângulo 𝑨𝑩𝑪, em que 𝑨𝑩 =
𝑨𝑴 = 𝑴𝑪. Então, 𝒕𝒈𝜽 é igual a 
 
a) 𝟏/𝟐 
b) 𝟏/𝟑 
c) 𝟏/𝟒 
d) 𝟏/𝟓 
 
15. (UFPR 2004) Uma pessoa de 2 m de altura, passeando pela cidade, caminha em 
linha reta em uma rua horizontal, na direção da portaria de um edifício. A pessoa pára 
para ver o topo desse edifício, o que a obriga a olhar para cima num ângulo de 30 graus 
com a horizontal. Após caminhar 49 m, pára uma segunda vez para ver o topo do edifício 
e tem que olhar para cima num ângulo de 45 graus com a horizontal. Suponha que cada 
andar do edifício tenha 3 m de altura. Utilize √𝟑 = 𝟏, 𝟕. 
Nessa situação, é correto afirmar: 
( ) O edifício tem menos de 30 andares. 
( ) No momento em que a pessoa pára pela primeira vez, ela está a 160 m da portaria do 
edifício. 
( ) Quando a pessoa pára pela segunda vez, a distância em que ela se encontra da portaria é 
igual à altura do edifício. 
( ) Se, depois da segunda vez em que pára, a pessoa caminhar mais 35 m em direção à 
portaria, para ver o topo do edifício será necessário erguer os olhos num ângulo maior do que 
60 graus com a horizontal. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 64 
16. (UFPR/2012) Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 𝟔 𝒄𝒎 será 
encaixado no vão triangular de uma superfície, como ilustra a figura ao lado. Que porção 
𝒙 da altura do cano permanecerá acima da superfície? 
 
a) 𝟏/𝟐 cm. 
b) 𝟏 cm. 
c) √𝟑 ∕ 𝟐 cm. 
d) 𝝅 ∕ 𝟐 cm. 
e) 𝟐 cm. 
 
17. (UFPR/2010) Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o 
ano de 2009, possa ser descrito pela função 
𝒇(𝒕) = 𝟏𝟖, 𝟖 − 𝟏, 𝟑 ⋅ 𝒔𝒆𝒏 (
𝟐𝝅
𝟑𝟔𝟓
⋅ 𝒕) 
sendo t o tempo dado em dias e 𝒕 = 𝟎 o dia 1º de janeiro. Com base nessas informações, 
considere as seguintes afirmativas: 
1. O período da função acima é 𝟐𝝅. 
2. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo. 
3. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 65 
 
18. (UERJ/2020) O gráfico a seguir representa a função periódica definida por 𝒇(𝒙) =
𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑹. No intervalo [
𝝅
𝟐
,
𝟓𝝅
𝟐
], A e B são pontos do gráfico nos quais 𝒇 (
𝝅
𝟐
) = 𝒇 (
𝟓𝝅
𝟐
) 
são valores máximos dessa função. 
 
A área do retângulo ABCD é: 
a) 𝟔𝝅 
b) 𝟓𝝅 
c) 𝟒𝝅 
d) 𝟑𝝅 
 
19. (UNESP/2003) Uma máquina produz diariamente 𝒙 dezenas de certo tipo de peças. 
Sabe-se que o custo de produção 𝑪(𝒙) e o valor de venda 𝑽(𝒙) são dados, 
aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções 
𝑪(𝒙) = 𝟐 − 𝒄𝒐𝒔 (
𝒙𝝅
𝟔
) 𝒆 𝑽(𝒙) = 𝟑√𝟐 ⋅ 𝒔𝒆𝒏 (
𝒙𝝅
𝟏𝟐
), 
𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔. 
O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é 
a) 500. 
b) 750. 
c) 1 000. 
d) 2 000. 
e) 3 000. 
 
20. (UNICAMP 2020) Se 𝜽𝝐(𝟎, 𝝅 ∕ 𝟐), a expressão 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 66 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽
+𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝐬𝐢𝐧𝜽
𝐜𝐨𝐬𝜽 +
𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽
 
é equivalente a 
𝒂) 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝜽) − 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝜽). 
𝒃) 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽) + 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽). 
𝒄) 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽) − 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽). 
𝒅) 𝟏. 
 
21. (UNICAMP 2020) Sabendo que 𝟎 < 𝜽 ≤ 𝟗𝟎𝟎 e que 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 ⋅ +𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝟒, é correto 
afirmar que 
a) 𝟎 < 𝜽 ≤ 𝟑𝟎𝟎. 
b) 𝟑𝟎𝟎 < 𝜽 ≤ 𝟒𝟓𝟎. 
c) 𝟒𝟓𝟎 < 𝜽 ≤ 𝟔𝟎𝟎. 
d) 𝟔𝟎𝟎 < 𝜽 ≤ 𝟗𝟎𝟎. 
 
22. (Fuvest 2018) Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função 
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e que a linha contínua represente o gráfico da função 𝒈(𝒙) = 𝜶. 𝒔𝒆𝒏(𝜷. 𝒙), 
segue que 
𝒂) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 
𝒃) 𝜶 > 𝟏 𝒆 𝟎 < 𝜷 < 𝟏 
𝒄) 𝜶 = 𝟏 𝒆 𝜷 > 𝟏 
𝒅) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 𝒆 𝜷 > 𝟏 
𝒆) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 𝒆 𝜷 = 𝟏 
 
23. (Fuvest/2015) Sabe-se que existem números reais A e 𝒙𝟎, sendo A > 0, tais que 
𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒙–𝒙𝟎) para todo x real. O valor de A é igual a 
a) √𝟐 
b) √𝟑 
c) √𝟓 
d) 𝟐√𝟐 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 67 
e) 𝟐√𝟑 
 
24. (UNESP/2018) A figura indica os gráficos das funções 𝑰, 𝑰𝑰 𝒆 𝑰𝑰𝑰. Os pontos 
𝑨(𝟕𝟐°, 𝟎, 𝟑𝟎𝟗), 𝑩(𝒙𝑩, −𝟎, 𝟑𝟎𝟗) e 𝑪(𝒙𝑪, 𝟎, 𝟑𝟎𝟗) são alguns dos pontos de intersecção dos 
gráficos. 
 
Nas condições dadas, 𝒙𝑩 + 𝒙𝑪 é igual a 
a) 𝟓𝟑𝟖° b) 𝟒𝟖𝟖° c) 𝟓𝟒𝟎° d) 𝟒𝟑𝟐° e) 𝟒𝟔𝟎° 
 
25. (UNESP/2015) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de 
uma mesa de bilhar retangular 𝑨𝑩𝑪𝑫, com caçapas em 𝑨,𝑩, 𝑪 e 𝑫. O ponto 𝑷, localizado 
em 𝑨𝑩, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo 𝑷𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟏, 𝟓 𝒎 e 𝑷𝑨̅̅ ̅̅ = 𝟏, 𝟐 𝒎. 
Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com 𝑩𝑪 no ponto 𝑻, 
sendo a medida do ângulo 𝑷�̂�𝑩 igual 𝟔𝟎°. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória 
reta, diretamente até a caçapa 𝑫. 
 
Nas condições descritas e adotando √𝟑 ≅ 𝟏, 𝟕𝟑, a largura do tampo da mesa, em metros, 
é próxima de 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 68 
a) 𝟐, 𝟒𝟐. b) 𝟐, 𝟎𝟖. c) 𝟐, 𝟐𝟖. d) 𝟐, 𝟎𝟎. e) 𝟐, 𝟓𝟔. 
 
26. (UNESP/2015) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi detonada sobre a 
cidade japonesa de Nagasaki. A bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto que 
ficaria conhecido como “marco zero”. 
 
No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na qual o herói, acompanhado 
do militar japonês Yashida, se encontrava a 1 km do marco zero e a 50 m de um poço. No 
momento da explosão, os dois correm e se refugiam no poço, chegando nesse local no 
momento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela 
explosão, passa por eles. A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da 
explosão da bomba, do poço e dos personagens do filme no momento da explosão da 
bomba. 
 
Se os ventos provocados pela explosão foram de 800 km/h e adotando a aproximação, 
os personagens correram até o poço, em linha reta, com uma velocidade média, em 
km/h, de aproximadamente 
a) 28. 
b) 24. 
c) 40. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 69 
d) 36. 
e) 32. 
 
27. (UNESP/2006) A figura representa parte dos gráficos das funções 𝒇(𝒙) = 𝟏 +
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) e 𝒈(𝒙) = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝒙).Se 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 e 𝒙𝟑 são respectivamente, as abscissas dos pontos P, Q e R de intersecção dos 
gráficos das funções 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙) no intervalo [𝟎, 𝝅], a soma 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 é: 
a) 
𝟐𝝅
𝟑
 
b) 
𝟒𝝅
𝟑
 
c) 
𝟑𝝅
𝟐
 
d) 
𝟓𝝅
𝟔
 
e) 
𝟕𝝅
𝟏𝟐
 
 
28. (UNESP/2006) A figura representa um trapézio retângulo em que a medida de AB é 
𝒌 centímetros, o lado AD mede 𝟐𝒌 e o ângulo 𝑫�̂�𝑬 mede 30°. 
 
Nestas condições, a área do trapézio, em função de 𝒌, é dada por: 
a) 𝒌𝟐(𝟐 + √𝟑) 
b) 𝒌𝟐 (
𝟐+√𝟑
𝟐
) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 70 
c) 
𝟑𝒌𝟐√𝟑
𝟐
 
d) 𝟑𝒌𝟐√𝟑 
e) 𝒌𝟐√𝟑 
 
29. (UNESP/2006.2) Considere os gráficos das funções 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) em 
um mesmo plano cartesiano. O número de intersecções desses gráficos, para 𝒙 no 
intervalo [𝟎, 𝟐𝝅], é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
30. (UNESP/2006.2) Se 𝒕𝒈(𝒙) =
𝟐𝒂𝒃
𝒂𝟐−𝒃𝟐
, em que 𝒂 > 𝒃 > 𝟎 e 𝟎° < 𝒙 < 𝟗𝟎°, então o valor de 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) é: 
a) 
𝒃
𝒂
 
b) 
𝒃
𝒂+𝒃
 
c) 
𝒂−𝒃
𝒂+𝒃
 
d) 
𝒂𝟐−𝒃𝟐
𝒂𝟐+𝒃𝟐
 
e) 
𝟐𝒂𝒃
𝒂𝟐+𝒃𝟐
 
 
31. (Fuvest/2000 – Questão 59 – Prova T) O dobro do seno de um ângulo , 𝟎 < 𝜽 <
𝝅
𝟐
, é 
igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo o valor de seu cosseno é: 
a) 
𝟐
𝟑
 
b) 
√𝟑
𝟐
 
c) 
√𝟐
𝟐
 
d) 
𝟏
𝟐
 
e) 
√𝟑
𝟑
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 71 
32. (Fuvest/1997 - Questão 64 – Prova M) No retângulo abaixo, o valor, em graus, de 
 +  é 
 
a) 50 
b) 90 
c) 120 
d) 130 
e) 220 
 
33. (UEA/2018) De uma chapa metálica, com a forma do triângulo retângulo ABC, 
retirou-se uma região retangular AMNP, conforme indicado na figura. Sabe-se que 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 
mede 56 cm, que M é ponto médio de 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ e que a medida de é 30º. 
 
Usando, AP + AM mede, aproximadamente, 
(A) 32,8 cm. 
(B) 38,2 cm. 
(C) 40,2 cm. 
(D) 36,1 cm. 
(E) 35,1 cm. 
 
34. (UEA/2015) Em um sistema de eixos cartesianos com origem em O estão 
representadas uma circunferência tangente ao eixo das ordenadas, de centro C(–1,0), e 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 72 
uma reta t, que passa pelo ponto C (centro da circunferência) e pelo ponto M no eixo das 
ordenadas, conforme mostra a figura. 
 
Nessas condições, o valor da área do triângulo colorido é igual a 
(𝑨) 𝟑√𝟐 
(𝑩)
𝟐√𝟑
𝟑
 
(𝑪)𝟐√𝟑 
(𝑫)
√𝟑
𝟑
 
(𝑬)
√𝟑
𝟔
 
 
35. (UEA/2015) Examine a figura. 
 
Sabendo-se que o quadrilátero ABCD e a reta r estão contidos no mesmo plano, e que a 
reta BC é paralela à reta r, é correto afirmar que a medida da projeção ortogonal do 
segmento DC sobre a reta r é igual a 
(A) 6 cm. 
(B) 𝟑√𝟐 𝒄𝒎. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 73 
(C) 3 cm. 
(D) √𝟐 𝒄𝒎. 
(E) 𝟑√𝟑 𝒄𝒎. 
 
36. (UFU/2015) O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma rota retilínea AC 
orientado por um farol F, localizado numa ilha. Ele pretendia determinar as distâncias do 
farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o comandante 
obteve a medida 𝑭𝑨𝑪 = 𝟑𝟎° e, após percorrer 6 milhas marítimas, localizando-se em B, 
ele fez a medição do ângulo FBC, obtendo 𝟔𝟎°. Observe a figura a seguir que ilustra esta 
situação. 
 
De acordo com as informações, as distâncias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto 
inicial A ao farol F, obtidas pelo comandante foram, respectivamente, 
𝒂) 𝟐√𝟑 𝒆 
𝟐
𝟑
√𝟑. 
𝒃) 𝟐√𝟑 𝒆 𝟒√𝟑. 
𝒄) 𝟑√𝟑 𝒆 𝟔√𝟑. 
𝒅) 𝟑√𝟑 𝒆 √𝟑. 
 
37. (Unesp/2019) Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as seguintes 
coordenadas geográficas: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 74 
Considerando a Terra uma esfera de raio 𝟔. 𝟑𝟎𝟎 𝒌𝒎, a medida do menor arco 𝑷�̂� sobre a 
linha do paralelo 𝟑𝟎° 𝑵 é igual a 
a) 𝟏. 𝟏𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 b) 𝟏. 𝟐𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 c) 𝟏 , 𝟎𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
d) 𝟏. 𝟑𝟐𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 e) 𝟏. 𝟑𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
 
38. (Fuvest/2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura 
constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: 
𝑽(𝒕) = 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝟓 + 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝝅 ∙ 𝒕)), 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐, 
em que 𝒕 é medido em horas e 𝑽(𝒕) é medido em 𝒎𝟑. A pressão máxima do gás no 
intervalo de tempo [𝟎, 𝟐] ocorre no instante 
a) 𝒕 = 𝟎, 𝟒 
b) 𝒕 = 𝟎, 𝟓 
c) 𝒕 = 𝟏 
d) 𝒕 = 𝟏, 𝟓 
e) 𝒕 = 𝟐 
 
39. (Unesp/2014) A figura mostra um relógio de parede, com 𝟒𝟎 𝒄𝒎 de diâmetro 
externo, marcando 𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒆 𝟓𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. 
 
Usando a aproximação 𝝅 = 𝟑, a medida, em 𝒄𝒎, do arco externo do relógio determinado 
pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário 
mostrado, vale aproximadamente 
a) 𝟐𝟐. b) 𝟑𝟏. c) 𝟑𝟒. d) 𝟐𝟗. e) 𝟐𝟎. 
 
40. (Unesp/2014) O conjunto solução (𝑺) para a inequação 𝟐 ⋅ 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) > 𝟐, 
em que 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, é dado por: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 75 
𝒂) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎,𝝅)|𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟔
 𝒐𝒖 
𝟓𝝅
𝟔
< 𝒙 < 𝝅} 
𝒃) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|
𝝅
𝟑
< 𝒙 <
𝟐𝝅
𝟑
 } 
𝒄) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟑
 𝒐𝒖 
𝟐𝝅
𝟑
< 𝒙 < 𝝅} 
𝒅) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|
𝝅
𝟔
< 𝒙 <
𝟓𝝅
𝟔
 } 
𝒆) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎,𝝅)} 
 
41. (Unesp/2013) A caçamba de um caminhão basculante tem 𝟑 𝒎 de comprimento 
das direções de seu ponto mais frontal 𝑷 até a de seu eixo de rotação e 𝟏 𝒎 de altura 
entre os pontos 𝑷 e 𝑸. Quando na posição horizontal, isto é, quando os segmentos de 
retas 𝒓 e 𝒔 se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 𝟏, 𝟐 𝒎 do solo. Ela pode 
girar, no máximo, 𝜶 graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte 
traseira inferior, conforme indicado na figura. 
 
Dado 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝟎, 𝟖, a altura, em metros, atingida pelo ponto 𝑷, em relação ao solo, quando 
o ângulo de giro a for máximo, é 
a) 𝟒. 𝟖. b) 𝟓, 𝟎. c) 𝟑, 𝟖. d) 𝟒, 𝟒. e) 𝟒, 𝟎. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 76 
42. (Fuvest/2012) O numeral real 𝒙, com 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, satisfaz a equação 
𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒙)) + 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬(𝒙)) = −𝟐. 
Então, 𝐜𝐨𝐬(𝟐 ∙ 𝒙) + 𝐬𝐞𝐧(𝒙) vale 
𝒂)
𝟏
𝟑
 
𝒃)
𝟐
𝟑
 
𝒄)
𝟕
𝟗
 
𝒅)
𝟖
𝟗
 
𝒆)
𝟏𝟎
𝟗
 
 
43. (Unesp/2010) Em um experimento sobre orientação e navegação de pombos, 
considerou-se o pombal como a origem 𝑶 de um sistema de coordenadas cartesianas e 
os eixos orientados Sul-Norte (𝑺𝑵) e Oeste-Leste (𝑾𝑳). Algumas aves foram liberadas 
num ponto 𝑷 que fica 𝟓𝟐 𝒌𝒎 ao leste do eixo 𝑺𝑵 e a 𝟑𝟎 𝒌𝒎 ao sul do eixo 𝑾𝑳. 
O ângulo azimutal de 𝑷 é o ângulo, em graus, medido no sentido horário a partir da 
semirreta 𝑶𝑵 até a semirreta 𝑶𝑷. No experimento descrito, a distância do pombal até o 
ponto de liberação das aves, em 𝒌𝒎, e o ângulo azimutal, em graus, desse ponto são, 
respectivamente: 
Dado: √𝟑𝟔𝟎𝟒 ≈ 𝟔𝟎. 
 
a) 42,5 e 30. b) 42,5 e 120. c) 60 e 30. d) 60 e 120. e) 60 e 150. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 77 
44. (Unesp/2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de 
aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem 
como na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de 
ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando 
apenas um ciclo do processo. 
 
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e 
expiração completo ocorre a cada 𝟓 segundos e que a taxa máxima de inalação e 
exalação, em módulo, é 𝟎. 𝟔 ⋅ 𝟏/𝒔, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima 
da curva representada na figura é: 
𝒂) 𝑽(𝒕) =
𝟐𝝅
𝟓
𝒔𝒆𝒏(
𝟑
𝟓
𝒕) 𝒃) 𝑽(𝒕) =
𝟑
𝟓
𝒔𝒆𝒏 (
𝟓
𝟐𝝅
𝒕) 𝒄) 𝑽(𝒕) = 𝟎, 𝟔𝒄𝒐𝒔 (
𝟐𝝅
𝟓
𝒕) 
𝒅) 𝑽(𝒕) = 𝟎, 𝟔𝒔𝒆𝒏 (
𝟐𝝅
𝟓
𝒕) 𝒆) 𝑽(𝒕) =
𝟓
𝟐𝝅
𝒄𝒐𝒔(𝟎,𝟔𝒕) 
 
45. (Fuvest/2001) Se 𝐭𝐠(𝜽) = 𝟐, então o valor de 
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽)
𝟏 + 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽)
 
é: 
𝒂) − 𝟑 
𝒃) −
𝟏
𝟑
 
𝒄)
𝟏
𝟑
 
𝒅)
𝟐
𝟑
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 78 
𝒆)
𝟑
𝟒
 
 
 
7.0 Gabarito 
 
 
1 B 11 B 21 B 31 E 41 A 
2 B 12 D 22 B 32 B 42 C 
3 B 13 D 23 A 33 D 43 E 
4 D 14 B 24 C 34 B 44 D 
5 B 15 B 25 C 35 E 45 D 
6 D 16 VFFV 26 A 36 C 46 B 
7 D 17 B 27 D 37 C 
8 D 18 D 28 C 38 C 
9 D 19 C 29 B 39 D 
10 A 29 C 30 C 40 B 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 79 
8.0 Questões Resolvidas e Comentadas 
1. (ENEM / 2014 – 2ª APLICAÇÃO) Uma pessoa usa um programa de computador que 
descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som escolhido. A equação da 
onda é dada, num sistema de coordenadas cartesianas, por 𝒚 = 𝒂 · 𝒔𝒆𝒏[𝒃(𝒙 + 𝒄)], em 
que os parâmetros a, b, c são positivos. O programa permite ao usuário provocar 
mudanças no som, ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A pessoa deseja 
tornar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda. 
O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser alterado(s) é(são) 
a) a. 
b) b. 
c) c. 
d) a e b. 
e) b e c. 
Comentários 
Na expressão 
𝑦 = 𝑎 · 𝑠𝑒𝑛[𝒃(𝑥 + 𝑐)] 
Temos que: 
• a define a amplitude da onda. 
• c define o momento inicial da onda. 
• b define o período da onda 
Como a pessoa deseja tornar o som mais agudo, então deverá diminuir o período da 
onda, ou seja, alterar o parâmetro b. 
Gabarito: b) 
2. (ENEM / 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante 
utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α 
fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele 
seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo possível ver o mesmo 
ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 80 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, 
verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. 
Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até 
o ponto fixo P será 
a) 1 000 m. 
b) 1 000 √3 m. 
c) 2 000 √3/3 m. 
d) 2 000 m 
e) 2 000 √3 m. 
Comentários: 
A menor distância entre o barco e o ponto fixo P ocorrerá quando o barco chegar ao 
ponto C. 
 
Utilizando as relações trigonométricas do triângulo retângulo ACP, temos que: 
𝑡𝑔 30° =
𝑑
2000 + 𝑥
=
√3
3
 
3𝑑 = √3(2000 + 𝑥) 
𝑑 =
√3(2000 + 𝑥)
3
 
No triângulo BCP, temos que: 
𝑡𝑔 60° =
𝑑
𝑥
= √3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 81 
𝑑 = √3𝑥 
Logo, podemos relacionar esses dois valores: 
√3(2000 + 𝑥)
3
= √3𝑥 
2000 + 𝑥
3
= 𝑥 
3𝑥 = 2000 + 𝑥 
2𝑥 = 2000 
𝑥 = 1000 𝑚 
Logo o valor de 𝑑 é dado por: 
𝑑 = √3𝑥 = 1000√3 𝑚 
Gabarito: b) 
3. (ENEM / 2009 – CANCELADO) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o 
seu reservatório, que tem a forma de um tronco de cone circular reto, conforme 
mostrado na figura. 
 
Considere que a base do reservatório tenha raio r = 2√3m e que sua lateral faça um 
ângulo de 60° com o solo. 
Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de 
a) 𝟏𝟐𝝅 𝒎𝟐 
b) 𝟏𝟎𝟖𝝅 𝒎𝟐 
c) (𝟏𝟐 + 𝟐√𝟑)²𝝅 𝒎𝟐 
d) (𝟐𝟒 + 𝟐√𝟑)²𝝅 𝒎𝟐 
e) 𝟑𝟎𝟎𝝅 𝒎𝟐 
Comentários: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 82 
Como temos um ângulo externo de 60°, o ângulo complementar a ele, interno ao 
triângulo retângulo formado, mede 30°. Sendo 𝑥 a medida do outro cateto desse 
triângulo retângulo, temos: 
 
𝑡𝑔 30° =
𝑥
12
=
√3
3
 
3𝑥 = 12√3 
𝑥 = 4√3 𝑚 
Logo, o raio da base maior desse tronco de cone mede 2√3 + 4√3 = 6√3 metros. 
𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋. (6√3)
2
= 108𝜋 𝑚2 
Gabarito: b) 
4. (UNICAMP/2018) Seja 𝑥 um número real tal que 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟎, 𝟐. Logo, 
|𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙|é igual a 
a) 0,5. 
b) 0,8. 
c) 1,1. 
d) 1,4. 
Comentários 
Sendo 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,2, podemos reescrever como: 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Podemos substituir na equação fundamental da trigonometria: 
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 
(
1
5
− cos 𝑥)
2
+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 83 
2 cos2 𝑥 −
2
5
⋅ cos 𝑥 −
24
25
= 0 
25 cos2 𝑥 − 5 ⋅ cos 𝑥 − 12 = 0 
Calculando as raízes: 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
5 ± √(−5)2 − 4 ⋅ 25 ⋅ (−12)
4
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
5 ± √1225
4
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
5 ± 35
50
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
40
50
= 4/5 
Ou 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
−30
50
= −3/5 
 
Se 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
4
5
, então 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −
3
5
. 
Se 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −
3
5
, então 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
4
5
. 
Em ambos os casos, 
|𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥| =
7
5
= 1,4 
Gabarito: d) 
5. (UEA/2015) Para determinar a largura de um rio de margens paralelas, um técnico, 
situado no ponto P, distante 2 metros da margem M, determina um ponto fixo Q na 
margem oposta, com 𝑷𝑸̅̅ ̅̅ perpendicular às margens. De P, ele traça uma perpendicular a 
PQ e marca sobre ela os pontos R, distante x metros de P, e S, distante 21 metros de R, 
cujos ângulos �̂� e �̂� medem, respectivamente, 60° e 45°, conforme mostra a figura. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 84 
6. 
Usando √𝟑 = 𝟏, 𝟕, o técnico obteve a largura h aproximada desse rio, que é de 
(A) 30 m. 
(B) 49 m. 
(C) 38 m. 
(D) 45 m. 
(E) 28 m. 
Comentários 
Podemos notar dois triângulos retângulos, na figura. 
Analisando o triângulo QPS, de catetos 𝑸𝑷 = 𝒉 + 𝟐 e 𝑷𝑺 = 𝒙 + 𝟐𝟏 
 
Podemos utilizar a razão tangente para o ângulo de 45º: 
𝑡𝑔 450 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
𝑡𝑔 450 =
ℎ + 2
𝑥 + 21
 
1 =
ℎ + 2
𝑥 + 21
 
ℎ + 2 = 𝑥 + 21 (𝑖) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 85 
Analisando o triângulo QPR, de catetos 𝑸𝑷 = 𝒉 + 𝟐 e 𝑷𝑹 = 𝒙 
 
Podemos utilizar a razão tangente para o ângulo de 60º: 
𝑡𝑔 600 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑡𝑔 600 =
ℎ + 2
𝑥
 
√3 =
ℎ + 2
𝑥
 
𝑥 =
ℎ + 2
1,7
 
ℎ + 2 = 1,7𝑥(𝑖𝑖) 
Como ℎ + 2 está isolado nas duas equações obtidas, podemos igualá-las: 
1,7𝑥 = 𝑥 + 21 
0,7𝑥 = 21 
𝑥 = 30 
Dessa forma, o valor de ℎ será: 
ℎ + 2 = 𝑥 + 21 
ℎ = 30 + 21 − 2 
ℎ = 49 
Gabarito: b) 
7. INÉDITA - Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são 𝟐 ⋅
𝒔𝒆𝒏𝒙 , 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝒙 e (𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙), respectivamente, onde 𝒙 é um ângulo acutângulo. O 
valor da tangente de 𝒙 é: 
𝐚) 𝟏/𝟐 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 86 
𝐛) 𝟑/𝟒 
𝐜) 𝟐/𝟑 
𝐝) 𝟒/𝟑 
𝐞) 𝟓/𝟒 
Comentários: 
Como os três termos estão em PA, temos a seguinte relação: 
𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2 
3cos 𝑥 − 2sin 𝑥 = (sen 𝑥 + 2cos 𝑥) − 3cos 𝑥 
3cos 𝑥 − 2sin 𝑥 = sen 𝑥 − cos 𝑥 
4cos 𝑥 = 3sen 𝑥 
4 = 3 ∙
sen 𝑥
cos 𝑥
 
4 = 3 ∙ 𝑡𝑔 𝑥 
∴ 𝑡𝑔 𝑥 =
4
3
 
Gabarito: d) 
8. INÉDITA - Sendo 𝒙 um arco pertencente ao círculo trigonométrico, tal que 𝑼 =
[𝟎, 𝟐𝝅[, o valor da expressão 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒕𝒈𝟐𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 é 
equivalente a: 
a) 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟐
 
b) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟓𝝅 
c) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝝅 
d) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟒𝝅 
Comentários: 
Desenvolvendo a equação trigonométrica: 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 −
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
0 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 87 
Dentre as alternativas dadas, a única que apresenta valor igual a zero é: 
1 − cos 4𝜋 = 1 − 1 = 0 
⟶ Lembrete: 4𝜋 é um arco congruente a 0 radiano. 
Logo, cos 4𝜋 = cos 0 = 1. 
Gabarito: d) 
9. INÉDITA - Sendo 𝒙 um arco pertencente ao círculo trigonométrico, tal que 𝑼 =
[𝟎, 𝟐𝝅[, o valor da expressão 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒕𝒈𝟐𝒙.𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 é 
equivalente a: 
a) 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟐
 
b) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟓𝝅 
c) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝝅 
d) 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟒𝝅 
Comentários: 
Desenvolvendo a equação trigonométrica: 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 −
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
. 𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
0 
Dentre as alternativas dadas, a única que apresenta valor igual a zero é: 
1 − cos 4𝜋 = 1 − 1 = 0 ⟶ Lembrete: 4𝜋 é um arco congruente a 0 radiano. Logo, 
cos 4𝜋 = cos 0 = 1. 
Gabarito: d) 
10. INÉDITA - O arco 𝒙 que satisfaz a relação 𝒔𝒆𝒏 (
𝝅
𝟑
+ 𝒙) + 𝐜𝐨𝐬 (
𝝅
𝟔
+ 𝒙) = √𝟑 no 
universo 𝑼 = [𝟎, 𝟐𝝅[ é dado, em radianos, por: 
a) 0 
b) 
𝝅
𝟐
 
c) 
𝟓𝝅
𝟔
 
d) 
𝟑𝝅
𝟐
 
e) 
𝟓𝝅
𝟑
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 88 
Comentários: 
Pelas relações de adição de arcos, temos que: 
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3
+ 𝑥) + cos (
𝜋
6
+ 𝑥) = √3 
𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
∙ cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ cos
𝜋
3
+ cos
𝜋
6
∙ cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = √3 
√3
2
. cos 𝑥 +
1
2
. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
√3
2
. cos 𝑥 −
1
2
. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = √3 
√3
2
. cos 𝑥 +
√3
2
. cos 𝑥 = √3 
2√3
2
. cos 𝑥 = √3 
cos 𝑥 = 1 
O arco da circunferência trigonométrica na primeira volta cujo cosseno é igual a 1 é 0° 
ou 0 radianos. 
Gabarito: a) 
11. INÉDITA - O termostato de uma estufa foi programado para regular a temperatura 
ambiente, segundo a relação 𝑻(𝒕) = 𝟐𝟎 + 𝟑𝒔𝒆𝒏 
𝝅(𝒕+𝟐)
𝟏𝟐
, em que 𝑻 é a temperatura da estufa 
na hora 𝒕 do dia, sendo 𝟎 ≤ 𝒕 < 𝟏𝟐. Com isso, o momento do dia em que o termostato 
indica a maior temperatura ambiente é às: 
a) 3 horas 
b) 4 horas 
c) 5 horas 
d) 6 horas 
e) 7 horas 
Comentários: 
O maior valor da função periódica apresentada se dá quando a função seno atinge seu 
maior valor (quando o arco é 
𝜋
2
). 
𝜋(𝑡 + 2)
12
=
𝜋
2
 
𝑡 + 2
12
=
1
2
 
2𝑡 + 4 = 12 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 89 
2𝑡 = 8 
𝑡 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Comentários: b) 
12. INÉDITA - A amplitude das marés é a diferença entre os níveis da maré alta e da 
maré baixa, que varia dependendo da posição da Lua. Dado que esse movimento é 
periódico, estudiosos traçaram um gráfico que apresenta a altura 𝒉, em metros, da maré, 
em função da hora 𝒕 do dia, sendo 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟐. 
 
A função 𝒉(𝒕) representada pelo gráfico dado pode ser descrita como: 
a) 𝒉(𝒕) = −𝟑𝒔𝒆𝒏(𝒕) 
b) 𝒉(𝒕) = 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝒕) 
c) 𝒉(𝒕) = −𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒕) 
d) 𝒉(𝒕) = 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒕) 
e) 𝒉(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏(𝒕) 
Comentários: 
Dado que o período dessa função seno se completa a cada 𝜋 rad, logo: 
𝑃 =
2𝜋
𝑏
→ 𝑏 =
2𝜋
𝜋
= 2 
Como o gráfico oscila entre 3 e -3, indo primeiro pela parte positiva do gráfico, temos 
que a função é representada por ℎ(𝑡) = 3𝑠𝑒𝑛(2𝑡). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 90 
Gabarito: d) 
13. INÉDITA - A figura abaixo mostra o esboço de parte da curva de equação 
𝒚 = 𝟓 ⋅ 𝒄𝒐𝒔(𝒙 − 𝟒𝟓)𝟎 𝒙 ≥ 𝟎 
 
O ponto 𝑷, situado no vale da curva, possui coordenadas: 
𝐚) 𝐏 (
𝛑
𝟒
, 𝟓) ; 
𝐛) 𝐏 (
𝟑𝛑
𝟒
,−𝟓) ; 
𝐜) 𝐏 (
𝟑𝛑
𝟒
, 𝟓) ; 
𝐝) 𝐏 (
𝟓𝛑
𝟒
,−𝟓) ; 
𝐞) 𝐏 (
𝟓𝛑
𝟒
, 𝟏) ; 
Comentários: 
Podemos analisar a questão graficamente. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 91 
 
Note que o ponto Q era o ponto mais baixo da função padrão 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, onde a 
amplitude é 1 e o período 2𝜋. 
A função 𝑦 = 5 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 45)0 possui um deslocamento horizontal para a direita, pois 
tem o −45 subtraindo o valor de 𝑥. 
Dessa forma o deslocamento de Q para P se dá através da soma 
𝜋 + 450 = 𝜋 +
𝜋
4
=
5𝜋
4
 
Já a amplitude dessa nova função é multiplicada por 5. Como P está na parte negativa 
do eixo vertical, seu valor de ordenada será −5. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 92 
Assim, as coordenadas de P são dadas por 
𝑃 (
5𝜋
4
,−5). 
Gabarito: d) 
14. (UEA/2018) A figura mostra uma circunferência 𝝀, de centro O, e um triângulo AOB, 
que tangencia a circunferência no ponto A. 
 
Se 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝟏/𝟐 e 𝑶𝑨 + 𝑶𝑩 = 𝟗 𝒄𝒎, o comprimento da circunferência 𝝀 é igual a 
(A) 12π cm. 
(B) 6π cm. 
(C) 8π cm. 
(D) 3π cm. 
(E) 9π cm. 
Comentários 
Podemos começar aplicando a razão seno ao ângulo 𝛼, contido no triângulo retângulo 
OAB: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑂𝐴
𝑂𝐵
 
1
2
=
𝑂𝐴
𝑂𝐵
 
1
2
=
𝑂𝐴
9 − 𝑂𝐴
 
9 − 𝑂𝐴 = 2𝑂𝐴 
𝑂𝐴 = 3 
 
Como OA é o raio da circunferência 𝜆, basta calcularmos seu comprimento: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 93 
 
𝑪 = 𝟐𝝅 ⋅ 𝒓 
𝐶 = 2𝜋 ⋅ 3 
𝐶 = 6𝜋 
Gabarito: b) 
15. (Unicamp/2020) A figura abaixo exibe o triângulo retângulo 𝑨𝑩𝑪, em que 𝑨𝑩 =
𝑨𝑴 = 𝑴𝑪. Então, 𝒕𝒈𝜽 é igual a 
 
a) 𝟏/𝟐 
b) 𝟏/𝟑 
c) 𝟏/𝟒 
d) 𝟏/𝟓 
Comentários: 
Como 𝐴𝐵 = 𝐴𝑀 e o triângulo 𝐴𝐵𝑀 é retângulo em 𝐴, temos que 𝐴�̂�𝑀 = 𝐴�̂�𝐵 = 45°. 
Dessa forma, 𝐴�̂�𝑀 = 45° + 𝜃. 
O triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo em 𝐴 e, pelo enunciado, 𝐴𝐶 = 2𝐴𝑀. 
Dessa forma, podemos dizer que: 
𝑡𝑔(𝜃 + 45°) =
2𝑎
𝑎
 
𝑡𝑔(𝜃) + 𝑡𝑔(45°)
1 − 𝑡𝑔(𝜃) ⋅ 𝑡𝑔(45°)
= 2 
𝑡𝑔(𝜃) + 1
1 − 𝑡𝑔(𝜃) ⋅ 1
= 2 
𝑡𝑔(𝜃) + 1 = 2(1 − 𝑡𝑔(𝜃)) 
𝑡𝑔(𝜃) + 1 = 2 − 2 ⋅ 𝑡𝑔(𝜃) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 94 
3 ⋅ 𝑡𝑔(𝜃) = 1 
𝑡𝑔(𝜃) =
1
3
 
Gabarito: b) 
16. (UFPR 2004) Uma pessoa de 2 m de altura, passeando pela cidade, caminha em 
linha reta em uma rua horizontal, na direção da portaria de um edifício. A pessoa pára 
para ver o topo desse edifício, o que a obriga a olhar para cima num ângulo de 30 graus 
com a horizontal. Após caminhar 49 m, pára uma segunda vez para ver o topo do edifício 
e tem que olhar para cima num ângulo de 45 graus com a horizontal. Suponha que cada 
andar do edifício tenha 3 m de altura. Utilize √𝟑 = 𝟏, 𝟕. 
Nessa situação, é correto afirmar: 
( ) O edifício tem menos de 30 andares. 
( ) No momento em que a pessoa pára pela primeira vez, ela está a 160 m da portaria do 
edifício. 
( ) Quando a pessoa pára pela segunda vez, a distância em que ela se encontra da portaria é 
igual à altura do edifício. 
( ) Se, depois da segunda vez em que pára, a pessoa caminhar mais 35 m em direção à 
portaria, para ver o topo do edifício será necessário erguer os olhos num ângulo maior do que 
60 graus com a horizontal. 
Comentários: 
( V ) O edifício tem menos de 30 andares. 
No esquema abaixo, temos que: 
 
𝒕𝒈 𝟑𝟎° =
𝒙
𝒙 + 𝟒𝟗
=
√𝟑
𝟑
 
𝟑𝒙 = √𝟑(𝒙 + 𝟒𝟗) 
𝟑𝒙 = 𝟏, 𝟕𝒙 + 𝟖𝟑, 𝟑 
𝟏, 𝟑𝒙 = 𝟖𝟑, 𝟑 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 95 
𝒙 = 𝟒𝟗 𝒎 
Com isso, a altura total do prédio é 𝟒𝟗 + 𝟐 = 𝟓𝟏 metros. Como cada andar tem 3 
metros, concluímos que esse prédio tem 17 andares. 
 
( F ) No momento em que a pessoa pára pela primeira vez, ela está a 160 m da 
portaria do edifício. 
Como já vimos que 𝒙 = 𝟒𝟗 m, temos que a distância da pessoa até a portaria é de 
𝟒𝟗 + 𝟒𝟗 = 𝟗𝟖 metros. 
 
( F ) Quando a pessoa pára pela segunda vez, a distância em que ela se encontra 
da portaria é igual à altura do edifício. 
Quando a pessoa pára pela segunda vez, ela está a 49 metros da portaria do prédio, 
que tem 51 metros de altura. 
 
( V ) Se, depois da segunda vez em que pára, a pessoa caminhar mais 35 m em 
direção à portaria, para ver o topo do edifício será necessário erguer os olhos 
num ângulo maior do que 60 graus com a horizontal. 
Ao caminhar mais 35 metros, a distância da pessoa até a portaria é de 14 metros. 
Como a distância vertical até o topo do prédio é de 49 metros, temos a relação: 
𝒕𝒈 𝜶 =
𝟒𝟗
𝟏𝟒
= 𝟑, 𝟓 
Dado que 𝒕𝒈 𝟔𝟎° = √𝟑 = 𝟏, 𝟕, concluímos que 𝜶 deve ser um ângulo maior que 60°. 
Gabarito: V-F-F-V 
17. (UFPR/2012) Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 𝟔 𝒄𝒎 será 
encaixadono vão triangular de uma superfície, como ilustra a figura ao lado. Que porção 
𝒙 da altura do cano permanecerá acima da superfície? 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 96 
a) 𝟏/𝟐 cm. 
b) 𝟏 cm. 
c) √𝟑 ∕ 𝟐 cm. 
d) 𝝅 ∕ 𝟐 cm. 
e) 𝟐 cm. 
Comentários: 
Traçando uma reta bissetriz que vai do vértice mais baixo do triângulo e vai até o 
centro da circunferência, podemos obter um triângulo retângulo, cujo cateto oposto ao 
ângulo de 30° é igual ao raio da circunferência (3 cm) e a hipotenusa é a distância 
entre o vértice mais baixo do triângulo e o centro da circunferência. 
𝑠𝑒𝑛 30° =
3
𝑦
 
1
2
=
3
𝑦
 
𝑦 = 6 𝑐𝑚 
Somando essa altura com o raio do cano, temos 6 + 3 = 9 𝑐𝑚. 
Essa altura ultrapassa em 1 cm a altura marcada com 8 cm. 
Gabarito: b) 
18. (UFPR/2010) Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o 
ano de 2009, possa ser descrito pela função 
𝒇(𝒕) = 𝟏𝟖, 𝟖 − 𝟏, 𝟑 ⋅ 𝒔𝒆𝒏 (
𝟐𝝅
𝟑𝟔𝟓
⋅ 𝒕) 
sendo t o tempo dado em dias e 𝒕 = 𝟎 o dia 1º de janeiro. Com base nessas informações, 
considere as seguintes afirmativas: 
1. O período da função acima é 𝟐𝝅. 
2. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo. 
3. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 97 
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
Comentários 
Numa função periódica, o período é o intervalo de tempo em que se dá uma volta 
completa. No caso, o período é igual a 365 dias, ou 1 ano. Portanto, a afirmativa 1 é 
falsa. 
Como a função seno está sendo subtraída de uma constante, temos que o valor 
mínimo da função periódica é dado quando a função seno atinge seu maior valor, igual 
a 1. Ou seja, o arco deve ser de 90°, ou 
𝜋
2
. 
2𝜋
365
. 𝑡 =
𝜋
2
 
2𝑡
365
=
1
2
 
4𝑡 = 365 
𝑡 = 91,25 
Logo, o pôr-do-sol ocorrerá mais cedo por volta do 91º dia do ano, em 1º de abril. 
Portanto, a afirmativa 2 é verdadeira. 
Como já dito anteriormente, o pôr-do-sol ocorreu mais cedo quando a função seno foi 
igual a 1. Portanto: 
𝑓(𝑥) = 18,8 − 1,3 . 1 = 18,8 − 1,3 = 17,5 
Logo, esse horário será às 17h30min. Portanto, a afirmativa 3 é verdadeira. 
Gabarito: d) 
19. (UERJ/2020) O gráfico a seguir representa a função periódica definida por 𝒇(𝒙) =
𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑹. No intervalo [
𝝅
𝟐
,
𝟓𝝅
𝟐
], A e B são pontos do gráfico nos quais 𝒇 (
𝝅
𝟐
) = 𝒇 (
𝟓𝝅
𝟐
) 
são valores máximos dessa função. 
 
A área do retângulo ABCD é: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 98 
a) 𝟔𝝅 
b) 𝟓𝝅 
c) 𝟒𝝅 
d) 𝟑𝝅 
Comentários: 
A base do retângulo ABCD, indicada pelo segmento DC tem comprimento igual a 
𝟓𝝅
𝟐
−
𝝅
𝟐
=
𝟒𝝅
𝟐
= 𝟐𝝅 
unidades de comprimento. 
A altura AD desse retângulo é dada pelo maior valor que a função 𝒇(𝒙) pode ter. Como 
a função seno sempre se localiza no intervalo [−𝟏, 𝟏], o maior valor de 𝒇(𝒙) é 
𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝟐 . 𝟏 = 𝟐. 
Portanto, a área do retângulo ABCD é 𝟐𝝅 . 𝟐 = 𝟒𝝅 unidades de área. 
Gabarito: c) 
20. (UNESP/2003) Uma máquina produz diariamente 𝒙 dezenas de certo tipo de peças. 
Sabe-se que o custo de produção 𝑪(𝒙) e o valor de venda 𝑽(𝒙) são dados, 
aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções 
𝑪(𝒙) = 𝟐 − 𝒄𝒐𝒔 (
𝒙𝝅
𝟔
) 𝒆 𝑽(𝒙) = 𝟑√𝟐 ⋅ 𝒔𝒆𝒏 (
𝒙𝝅
𝟏𝟐
), 
𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔. 
O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é 
a) 500. 
b) 750. 
c) 1 000. 
d) 2 000. 
e) 3 000. 
Comentários: 
Do enunciado, tiramos que para 𝑥 dezenas de certo produto, o lucro em milhares de 
reais é obtido por: 
𝐿(𝑥) = 𝑉(𝑥) – 𝐶(𝑥) 
𝐿(𝑥) = 3√2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥𝜋
12
) – [2 − 𝑐𝑜𝑠 (
𝑥𝜋
6
) ] 
Substituindo 𝑥 = 3, temos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 99 
𝐿(3) = 3 ⋅ √2 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 (
3𝜋
12
) − [2 − 𝑐𝑜𝑠 (
3𝜋
6
)] 
𝐿(3) = 3 ⋅ √2 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
4
) − 2 + 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
) 
𝐿(3) = 3 ⋅ √2 ⋅
√2
2
− 2 + 0 
𝐿(3) = 3 − 2 = 1 
Dessa forma, o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas dessas peças é 1000 
reais. 
Gabarito: c) 
21. (UNICAMP 2020) Se 𝜽𝝐(𝟎, 𝝅 ∕ 𝟐), a expressão 
𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽
+𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝐬𝐢𝐧𝜽
𝐜𝐨𝐬𝜽 +
𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽
 
é equivalente a 
𝒂) 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝜽) − 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝜽). 
𝒃) 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽) + 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽). 
𝒄) 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽) − 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽). 
𝒅) 𝟏. 
Comentários: 
Desenvolvendo a expressão 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
+𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃 +
𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 , 
temos: 
𝑐𝑜𝑠2𝜃 + sen𝜃 cos 𝜃 + sen𝜃 cos 𝜃 − sen2 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
sin2 𝜃 sen 𝜃 cos 𝜃 − sen 𝜃 cos 𝜃 + cos2 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
 
𝑐𝑜𝑠²𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 +2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
𝑐𝑜𝑠 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
1
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 100 
𝑐𝑜𝑠 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 
Gabarito b) 
22. (UNICAMP 2020) Sabendo que 𝟎 < 𝜽 ≤ 𝟗𝟎𝟎 e que 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 ⋅ +𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝟒, é correto 
afirmar que 
a) 𝟎 < 𝜽 ≤ 𝟑𝟎𝟎. 
b) 𝟑𝟎𝟎 < 𝜽 ≤ 𝟒𝟓𝟎. 
c) 𝟒𝟓𝟎 < 𝜽 ≤ 𝟔𝟎𝟎. 
d) 𝟔𝟎𝟎 < 𝜽 ≤ 𝟗𝟎𝟎. 
Comentários: 
Substituindo cos 2𝜃, temos: 
2 ⋅ [cos2 𝜃 − sin2 𝜃] + 5 cos 𝜃 = 4 
2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2 ⋅ sin2 𝜃 + 5 cos 𝜃 = 4 
2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2 ⋅ (1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃) + 5 cos 𝜃 = 4 
2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2 + 2𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 5 cos 𝜃 = 4 
4 ⋅ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 5 cos 𝜃 − 6 = 0 
cos 𝜃 =
3
4
= 0,75 
cos 𝜃 = −2 
cos 300 < cos 𝜃 < cos 450 
0,866… < cos 𝜃 < 0,707… 
𝐿𝑜𝑔𝑜: 
300 < 𝜃 < 450 
Gabarito b) 
23. (Fuvest 2018) Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função 
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e que a linha contínua represente o gráfico da função 𝒈(𝒙) = 𝜶. 𝒔𝒆𝒏(𝜷. 𝒙), 
segue que 
𝒂) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 
𝒃) 𝜶 > 𝟏 𝒆 𝟎 < 𝜷 < 𝟏 
𝒄) 𝜶 = 𝟏 𝒆 𝜷 > 𝟏 
𝒅) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 𝒆 𝜷 > 𝟏 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 101 
𝒆) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏 𝒆 𝜷 = 𝟏 
Comentários 
Analisando a função de 𝛼: 
A função sen(𝑥) é limitada de forma que −1 ≤ sen(𝑥) ≤ 1. 
Dessa forma, quando multiplicamos a função seno por uma constante, essa constante 
altera esse limite, veja: 
−1 ≤ sen(𝑥) ≤ 1 
−1 ∙ 𝛼 ≤ 𝛼 ∙ sen(𝑥) ≤ 𝛼 ∙ 1 
Como vemos que o gráfico da nossa função 𝑔(𝑥) = 𝛼. 𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑥) tem amplitude menor 
do que a amplitude de 𝑓(𝑥) = sen(𝑥), podemos concluir que |𝛼| < 1, ou seja, −1 < 𝛼 <
1. 
Analisando a função de 𝛽: 
A função sen(𝑥) = sen(1 ∙ 𝑥) realiza um ciclo, uma volta completa, em 360° ou 2𝜋 𝑟𝛼𝑑. 
Podemos pensar que, quanto multiplicamos o argumento da função seno por um 
número diferente de 1, estamos condicionando a função sen(𝛽 ∙ 𝑥) a realizar 𝛽 ciclos 
em 360° ou 2𝜋 𝑟𝛼𝑑. 
Perceba que a função 𝑔(𝑥) = 𝛼. 𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑥) realiza menos ciclos que a função sen(𝑥), o 
que nos leva a concluir que |𝛽| < 1, ou seja, −1 < 𝛽 < 1. 
A única alternativa a apresentar corretamente ambas as conclusões, −1 < 𝛼 < 1 e 
−1 < 𝛽 < 1, é a alternativa a). 
Alternativa a). 
24. (Fuvest/2015) Sabe-se que existem números reais A e 𝒙𝟎, sendo A > 0, tais que 
𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒙–𝒙𝟎) para todo x real. O valor de A é igual a 
a) √𝟐 
b) √𝟑 
c) √𝟓 
d) 𝟐√𝟐 
e) 𝟐√𝟑 
Comentários: 
Note que a expressão 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑥– 𝑥0) possui em seu Segundo membro 
um cosseno da diferença entre dois arcos. 
Logo podemos reescrevê-la: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 102 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑥– 𝑥0) 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝐴(cos 𝑥 ⋅ cos 𝑥0 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥0 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑥0) 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = A ⋅ cos 𝑥 ⋅ cos 𝑥0 + 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑥0 ⋅𝑠𝑒𝑛 𝑥0 
Como se trata de uma identidade, pois a expressão é válida para qualquer x real, 
temos então que: 
2 = 𝐴 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥0 
Que pode ser reescrito como 
cos 𝑥0 =
2
𝐴
 
E 
1 = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝑥0 
O que pode ser reescrito como 
sen 𝑥0 =
1
𝐴
 
Dessa forma, aplicando o teorema fundamental da trigonometria, temos que: 
 
𝑠𝑒𝑛2𝑥0 + 𝑐𝑜𝑠
2 𝑥0 = 1 
1
𝐴2
+
4
𝐴2
= 1 
5
𝐴2
= 1 
𝐴2 = 5 
𝐴 = ±√5 
 
Como A é positivo, ficamos apenas com o valor de +√5. 
Gabarito: c) 
25. (UNESP/2018) A figura indica os gráficos das funções 𝑰, 𝑰𝑰 𝒆 𝑰𝑰𝑰. Os pontos 
𝑨(𝟕𝟐°, 𝟎, 𝟑𝟎𝟗), 𝑩(𝒙𝑩, −𝟎, 𝟑𝟎𝟗) e 𝑪(𝒙𝑪, 𝟎, 𝟑𝟎𝟗) são alguns dos pontos de intersecção dos 
gráficos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 103 
 
Nas condições dadas, 𝒙𝑩 + 𝒙𝑪 é igual a 
a) 𝟓𝟑𝟖° b) 𝟒𝟖𝟖° c) 𝟓𝟒𝟎° d) 𝟒𝟑𝟐° e) 𝟒𝟔𝟎° 
Comentários 
Antes de começar a parte algébrica, vamos dividir o gráfico nos quatro quadrantes do 
ciclo trigonométrico. 
 
Perceba que o ponto 𝐴 está no primeiro quadrante; o 𝐵, no terceiro; e o 𝐶, no quarto. 
Além disso, o gráfico nos mostra os seguintes valores: 
𝐴 = 72° 
cos(𝐴) = 0,309 
cos(𝐵) = −0,309 
cos(𝐶) = 0,309 
Vamos colocar todos esses valores no ciclo trigonométrico. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 104 
 
Com todos os valores explicitados, podemos dizer que: 
𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 + 180° = 72° + 180° = 252° 
𝑥𝐶 = 360° − 72° = 288° 
Assim, 
𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 252° + 288° = 540° 
Gabarito: c) 
26. (UNESP/2015) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de 
uma mesa de bilhar retangular 𝑨𝑩𝑪𝑫, com caçapas em 𝑨,𝑩, 𝑪 e 𝑫. O ponto 𝑷, localizado 
em 𝑨𝑩, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo 𝑷𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟏, 𝟓 𝒎 e 𝑷𝑨̅̅ ̅̅ = 𝟏, 𝟐 𝒎. 
Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com 𝑩𝑪 no ponto 𝑻, 
sendo a medida do ângulo 𝑷�̂�𝑩 igual 𝟔𝟎°. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória 
reta, diretamente até a caçapa 𝑫. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 105 
 
Nas condições descritas e adotando √𝟑 ≅ 𝟏, 𝟕𝟑, a largura do tampo da mesa, em metros, 
é próxima de 
a) 𝟐, 𝟒𝟐. b) 𝟐, 𝟎𝟖. c) 𝟐, 𝟐𝟖. d) 𝟐, 𝟎𝟎. e) 𝟐, 𝟓𝟔. 
Comentários 
Aprendemos na física que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, está 
lembrado? Aqui é a mesma coisa. Façamos um esboço da trajetória da bola até atingir 
a caçapa D, como indicado no enunciado. 
 
No triângulo 𝐵𝑃𝑇, temos: 
𝑡𝑔(60°) =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 106 
√3 =
𝐵𝑃
𝐵𝑇
 
1,73 ≅
1,5
𝐵𝑇
 
𝐵𝑇 ≅
1,5
1,73
 
𝐵𝑇 ≅ 0,8671 
No triângulo 𝐶𝐷𝑇, temos: 
𝑡𝑔(60°) =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
√3 =
𝐶𝐷
𝐶𝑇
 
1,73 ≅
1,5 + 1,2
𝐶𝑇
 
𝐶𝑇 ≅
2,7
1,73
 
𝐶𝑇 ≅ 1,5607 
Dessa forma, a largura do tampo da mesa é dada por: 
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 = 𝐵𝑇 + 𝐶𝑇 ≅ 0,8671 + 1,5607 ≅ 2,4278 
Gabarito: a) 
27. (UNESP/2015) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi detonada sobre a 
cidade japonesa de Nagasaki. A bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto que 
ficaria conhecido como “marco zero”. 
 
No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na qual o herói, acompanhado 
do militar japonês Yashida, se encontrava a 1 km do marco zero e a 50 m de um poço. No 
momento da explosão, os dois correm e se refugiam no poço, chegando nesse local no 
momento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela 
explosão, passa por eles. A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da 
explosão da bomba, do poço e dos personagens do filme no momento da explosão da 
bomba. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 107 
 
Se os ventos provocados pela explosão foram de 800 km/h e adotando a aproximação, 
os personagens correram até o poço, em linha reta, com uma velocidade média, em 
km/h, de aproximadamente 
a) 28. 
b) 24. 
c) 40. 
d) 36. 
e) 32. 
Comentários 
Analisando o triângulo retângulo formado entre a bomba, o marco zero e o poço, 
temos: 
 
Dessa forma: 
𝑑2 = (
1
2
)
2
+ 12 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 108 
𝑑2 =
1
4
+ 1 
𝑑2 =
5
4
 
𝑑 = √
5
4
 
𝑑 =
√5
2
 
𝑑 ≅ 1,12 𝑘𝑚 
Sabendo que os ventos, provocados pela explosão, tiveram velocidade de 800 km/h, 
então podemos descobrir o tempo utilizado pelas personagens: 
𝑉 =
𝛥𝑠
𝛥𝑡
 
𝛥𝑡 =
𝛥𝑠
𝑉
 
𝛥𝑡 =
1,12
800
 
𝛥𝑡 =
112.10−2
8.102
 
𝛥𝑡 = 14 ⋅ 10−4 ℎ 
Concluímos que Yashida e Wolverine percorreram os 50𝑚 em 14 ⋅ 10−4 ℎ. 
Dessa forma, teremos: 
𝑉 =
𝛥𝑠
𝛥𝑡
 
𝑣 =
50 ⋅ 10−3 𝑘𝑚
14 ⋅ 10−4 ℎ
 
𝑣 = 35,7𝑘𝑚 ∕ ℎ 
A alternativa mais próxima é a alternativa d). 
Gabarito: d) 
28. (UNESP/2006) A figura representa parte dos gráficos das funções 𝒇(𝒙) = 𝟏 +
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) e 𝒈(𝒙) = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝒙). 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 109 
 
Se 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 e 𝒙𝟑 são respectivamente, as abscissas dos pontos P, Q e R de intersecção dos 
gráficos das funções 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙) no intervalo [𝟎, 𝝅], a soma 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 é: 
a) 
𝟐𝝅
𝟑
 
b) 
𝟒𝝅
𝟑
 
c) 
𝟑𝝅
𝟐
 
d) 
𝟓𝝅
𝟔
 
e) 
𝟕𝝅
𝟏𝟐
 
Comentários: 
As intersecções dos dois gráficos ocorrem quando 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙). Logo: 
𝟏 + 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 
𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝒙). 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 
𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝒙). 𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝟎 
𝒄𝒐𝒔(𝒙). (𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙) − 𝟏) = 𝟎 
𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝟎 
ou 
𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒙) − 𝟏 = 𝟎 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) =
𝟏
𝟐
 
No intervalo [𝟎, 𝝅], temos: 
Se 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝟎, então 𝒙 =
𝝅
𝟐
. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 110 
Se 𝒔𝒆𝒏(𝒙) =
𝟏
𝟐
, então 𝒙 =
𝝅
𝟔
 ou 𝒙 =
𝟓𝝅
𝟔
. 
Logo, 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 =
𝝅
𝟐
+
𝝅
𝟔
+
𝟓𝝅
𝟔
=
𝟑𝝅 + 𝝅 + 𝟓𝝅
𝟔
=
𝟗𝝅
𝟔
=
𝟑𝝅
𝟐
 
Alternativa: c) 
29. (UNESP/2006) A figura representa um trapézio retângulo em que a medida de AB é 
𝒌 centímetros, o lado AD mede 𝟐𝒌 e o ângulo 𝑫�̂�𝑬 mede 30°. 
 
Nestas condições, a área do trapézio, em função de 𝒌, é dada por: 
a) 𝒌𝟐(𝟐 + √𝟑) 
b) 𝒌𝟐 (
𝟐+√𝟑
𝟐
) 
c) 
𝟑𝒌𝟐√𝟑
𝟐
 
d) 𝟑𝒌𝟐√𝟑 
e) 𝒌𝟐√𝟑 
Comentários: 
Pelas propriedades da geometria plana, concluímos que o ângulo �̂� mede 30°. 
Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos: 
 
𝑠𝑒𝑛 30° =
ℎ
2𝑘
=
1
2
 
2ℎ = 2𝑘 ⟶ ℎ = 𝑘 
𝑐𝑜𝑠 30° =
𝑥
2𝑘
=
√3
2
 ⟶ 2𝑥 = 2√3𝑘 ⟶ 𝑥 = √3𝑘 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 111 
A área do trapézio é calculada como: 
𝐴 =
(𝐵 + 𝑏). ℎ
2
=
(𝑘 + √3𝑘 + 𝑘). 𝑘
2
=
(2𝑘 + √3𝑘)𝑘
2
=
𝑘2(2 + √3)
2
= 𝑘2. (
2 + √3
2
) 
Alternativa: b) 
30. (UNESP/2006.2) Considere os gráficos das funções 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) em 
um mesmo plano cartesiano. O número de intersecções desses gráficos, para 𝒙 no 
intervalo [𝟎, 𝟐𝝅], é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
Comentários: 
Usando as relações fundamentais da trigonometria: 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝒙). 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 
𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝒙). 𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝟎 
𝒔𝒆𝒏(𝒙). (𝟐. 𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝟏) = 𝟎 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝟎 
ou 
𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝟏 = 𝟎 
𝒄𝒐𝒔(𝒙) =
𝟏
𝟐
 
No intervalo [𝟎, 𝟐𝝅]: 
Se 𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝟎, então 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝝅 ou 𝒙 = 𝟐𝝅. 
Se 𝒄𝒐𝒔(𝒙) =
𝟏
𝟐
, então 𝒙 =
𝝅
𝟑
 ou 𝒙 =
𝟓𝝅
𝟑
. 
No total, são 5 soluções possíveis. 
Alternativa: c) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 112 
31. (UNESP/2006.2) Se 𝒕𝒈(𝒙) =
𝟐𝒂𝒃
𝒂𝟐−𝒃𝟐
, em que 𝒂 > 𝒃 > 𝟎 e 𝟎° < 𝒙 < 𝟗𝟎°, então o valor de 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) é: 
a) 
𝒃
𝒂
 
b) 
𝒃
𝒂+𝒃
 
c) 
𝒂−𝒃
𝒂+𝒃
 
d) 
𝒂𝟐−𝒃𝟐
𝒂𝟐+𝒃𝟐
 
e) 
𝟐𝒂𝒃
𝒂𝟐+𝒃𝟐
 
Comentários: 
Utilizando a razão tangente: 
𝒕𝒈(𝒙) =
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
=
𝟐𝒂𝒃
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
 
𝟐𝒂𝒃. 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = (𝒂𝟐 − 𝒃𝟐). 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 
𝒄𝒐𝒔(𝒙) =
(𝒂𝟐 − 𝒃𝟐). 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝟐𝒂𝒃
 
Pela Relação Fundamental da Trigonometria, temos: 
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) + 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒙)= 𝟏 
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) + (
(𝒂𝟐 − 𝒃𝟐). 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝟐𝒂𝒃
)
𝟐
= 𝟏 
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) +
(𝒂𝟐 − 𝒃𝟐)𝟐. 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)
𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐
= 𝟏 
𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) + (𝒂𝟒 − 𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝒃𝟒). 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) = 𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 
(𝒂𝟒 − 𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝒃𝟒 + 𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐). 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) = 𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 
(𝒂𝟒 + 𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝒃𝟒). 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) = 𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 
(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐)𝟐. 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) = 𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) =
𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐
(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐)𝟐
 
𝒔𝒆𝒏(𝒙) =
𝟐𝒂𝒃
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
 
Alternativa: e) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 113 
32. (Fuvest/2000 – Questão 59 – Prova T) O dobro do seno de um ângulo , 𝟎 < 𝜽 <
𝝅
𝟐
, é 
igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo o valor de seu cosseno é: 
a) 
𝟐
𝟑
 
b) 
√𝟑
𝟐
 
c) 
√𝟐
𝟐
 
d) 
𝟏
𝟐
 
e) 
√𝟑
𝟑
 
Comentários 
A frase “o dobro do seno de um ângulo  é igual ao triplo do quadrado de sua tangente” 
pode ser algebricamente representada por: 
𝟐 ⋅ 𝐬𝐞𝒏 𝜽 = 𝟑 ⋅ (𝒕𝒈𝜽)² 
Sabendo que a tangente de um ângulo é a divisão do seno pelo cosseno do ângulo, 
então: 
2 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 3 ⋅
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑐𝑜𝑠2𝜃
 
Podemos dividir os dois membros por 𝑠𝑒𝑛 𝜃, da seguinte forma: 
2 = 3 ⋅
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠2𝜃
 
Da relação fundamental da trigonometria, inferimos que 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − sen2θ, então: 
2 = 3 ⋅
𝑠𝑒𝑛 𝜃
(1 − sen2θ)
 
Multiplicando meios e extremos: 
2 − 2𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 
2𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 3𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2 = 0 
Uma equação do segundo grau, cujas raízes serão: 
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
1
2
 
𝑠𝑒𝑛𝜃 = −2 
Descartamos a segunda raiz, pois não existe seno com esse valor. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 114 
Substituindo 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
1
2
, na relação fundamental, encontraremos o valor do cosseno do 
ângulo 𝜃: 
 
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 ²𝜃 = 1 
(
1
2
)
2
+ 𝑐𝑜𝑠 ²𝜃 = 1 
𝑐𝑜𝑠 ²𝜃 =
3
4
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
√3
2
 
Utilizamos só a raiz positivo, pois 0 < 𝜃 <
𝜋
2
, ou seja 𝜃 pertence ao primeiro quadrante. 
Gabarito: b) 
33. (Fuvest/1997 - Questão 64 – Prova M) No retângulo abaixo, o valor, em graus, de 
 +  é 
 
a) 50 
b) 90 
c) 120 
d) 130 
e) 220 
Comentários 
Note que no triângulo que contém o ângulo 𝛽, o outro ângulo não-reto será dado 
por 90 − 𝛽. Isso serve para o triângulo que contém o ângulo 𝛼. Vejamos: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 115 
 
Sabendo que o ângulo superior esquerdo do retângulo vale 90 graus, então temos que: 
90 − 𝛼 + 90 − 𝛽 + 400 = 900 
𝛼 + 𝛽 = 1300 
Gabarito: d) 
34. (UEA/2018) De uma chapa metálica, com a forma do triângulo retângulo ABC, 
retirou-se uma região retangular AMNP, conforme indicado na figura. Sabe-se que 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 
mede 56 cm, que M é ponto médio de 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ e que a medida de é 30º. 
 
Usando, AP + AM mede, aproximadamente, 
(A) 32,8 cm. 
(B) 38,2 cm. 
(C) 40,2 cm. 
(D) 36,1 cm. 
(E) 35,1 cm. 
Comentários 
Para calcularmos AP + AM, precisamos levar alguns dados em observação: 
1) AP = MN, pois são lados opostos do retângulo vermelho AMNP; 
2) CM = AM, pois M é o ponto médio do segmento AC; 
3) BC é a hipotenusa do triângulo maior, ABC, e vale 56 cm. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 116 
4) O ângulo conhecido mede 𝟑𝟎𝟎. 
Vamos observar a figura, com o triângulo ABC destacado e algumas anotações que fiz: 
 
Analisando o triângulo ABC, conhecemos o ângulo de 300, o a hipotenusa, 𝑩𝑪 = 56 
cm, podemos encontrar cateto adjacente (CA) 𝐴𝐵, que será útil à resolução do 
problema. A fórmula que contém esses três elementos é a do seno, 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝐶0
ℎ𝑖𝑝
. 
𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝟎 =
𝑪𝑶
𝒉𝒊𝒑
 
(𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑑𝑒300𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑎𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠𝑛𝑜𝑡á𝑣𝑒𝑖𝑠, 𝑡𝑒𝑚𝑞𝑢𝑒𝑚𝑒𝑚𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟𝑛𝑎𝑐𝑎𝑐ℎ𝑜𝑙𝑎!) 
𝟏
𝟐
=
𝑨𝑪
𝟓𝟔
 
(𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝐷𝐸𝑁𝑂𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂𝑅𝐸𝑆 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑒𝑚 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠, 
𝑣𝑜𝑐ê 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐á − 𝑙𝑜𝑠, 𝑎𝑞𝑢𝑖 𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 2. ) 
𝟏
𝟏
=
𝑨𝑪
𝟐𝟖
 
(𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 = 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑒 
é 𝑠ó 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠) 
𝑨𝑪 = 𝟐𝟖 𝒄𝒎 
Sabendo que M divide AC em dois segmentos iguais, então basta dividirmos 28 por 2 
que encontramos o valor de AM. 
𝑨𝑴 =
𝑨𝑪
𝟐
= 𝟏𝟒 𝒄𝒎 
 
Agora precisamos encontrar o valor de AP, para concluirmos a questão. Ora, AP = MN, 
portanto podemos encontrar MN, utilizando o triângulo que contém o segmento em 
questão: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 117 
 
Analisando o triângulo CNM, conhecemos o ângulo de 𝟑𝟎𝟎, o cateto oposto, 𝐶𝑀 = 14 
cm, e podemos encontrar cateto adjacente (CA), 𝑀𝑁, que será útil à resolução do 
problema. A fórmula que contém esses três elementos é a da tangente, 𝑡𝑔 𝛼 =
𝐶0
𝐶𝐴
. 
𝒕𝒈𝟑𝟎𝟎 =
𝑪𝑴
𝑴𝑵
 
(𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒300𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑎𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠𝑛𝑜𝑡á𝑣𝑒𝑖𝑠, 𝑡𝑒𝑚𝑞𝑢𝑒𝑚𝑒𝑚𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟!) 
√𝟑
𝟑
=
𝟏𝟒
𝑴𝑵
 
(𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑑𝑒𝑓𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 = 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 − 𝑠𝑒𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜𝑒é𝑠ó𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜𝑜𝑀𝑁) 
√𝟑𝑴𝑵 = 𝟒𝟐 
(𝑎 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑜𝑢 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 √3 = 1,73. ) 
𝑴𝑵 =
𝟒𝟐
𝟏, 𝟕𝟑
≅ 𝟐𝟒. 𝟐𝟕 = 𝑨𝑷 
Tudo certo! Agora podemos somar os valores encontrados e partir para o abraço: 
𝑨𝑷 + 𝑨𝑴 = 14 + 24,27 ≅ 𝟑𝟖, 𝟐𝟕 cm 
Gabarito: b) 
35. (UEA/2015) Em um sistema de eixos cartesianos com origem em O estão 
representadas uma circunferência tangente ao eixo das ordenadas, de centro C (–1,0), e 
uma reta t, que passa pelo ponto C (centro da circunferência) e pelo ponto M no eixo das 
ordenadas, conforme mostra a figura. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 118 
 
Nessas condições, o valor da área do triângulo colorido é igual a 
(𝑨) 𝟑√𝟐 
(𝑩)
𝟐√𝟑
𝟑
 
(𝑪)𝟐√𝟑 
(𝑫)
√𝟑
𝟑
 
(𝑬)
√𝟑
𝟔
 
Comentários 
Note que, no triângulo retângulo COM, o cateto oposto ao ângulo de 30º equivale a 
altura do triângulo. Enquanto o cateto adjacente, medindo 1 unidade, equivale a base 
do triângulo. 
A fórmula que relaciona o ângulo e os dois catetos é a da tangente, logo: 
 
𝑡𝑔 300 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
√3
3
=
ℎ
1
 
ℎ =
√3
3
 
 
Por fim, vamos calcular a área do triângulo: 
 
𝐴𝛥 =
𝑏 ⋅ ℎ
2
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 119 
𝐴𝛥 =
1 ⋅
√3
3
2
 
𝐴𝛥 =
√3
6
 
Gabarito: e) 
36. (UEA/2015) Examine a figura. 
 
Sabendo-se que o quadrilátero ABCD e a reta r estão contidos no mesmo plano, e que a 
reta BC é paralela à reta r, é correto afirmar que a medida da projeção ortogonal do 
segmento DC sobre a reta r é igual a 
(A) 6 cm. 
(B) 𝟑√𝟐 𝒄𝒎. 
(C) 3 cm. 
(D) √𝟐 𝒄𝒎. 
(E) 𝟑√𝟑 𝒄𝒎. 
Comentários 
A projeção ortogonal do segmento DC sobre a reta r é a medida da distância 𝑥, na 
figura abaixo: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 120 
 
No triângulo retângulo em destaque, podemos aplicar a razão cosseno para descobrir o 
valor de 𝑥: 
𝑐𝑜𝑠 600 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
1
2
=
𝑥
6
 
2𝑥 = 6 
𝑥 = 3 𝑐𝑚 
Gabarito: c) 
37. (UFU/2015) O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma rota retilínea AC 
orientado por um farol F, localizado numa ilha. Ele pretendia determinar as distâncias do 
farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o comandante 
obteve a medida 𝑭𝑨𝑪 = 𝟑𝟎° e, após percorrer 6 milhas marítimas, localizando-se em B, 
ele fez a medição do ângulo FBC, obtendo 𝟔𝟎°. Observe a figura a seguir que ilustra esta 
situação. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 121 
De acordo com as informações, as distâncias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto 
inicial A ao farol F, obtidas pelo comandante foram, respectivamente, 
𝒂) 𝟐√𝟑 𝒆 
𝟐
𝟑
√𝟑. 
𝒃) 𝟐√𝟑 𝒆 𝟒√𝟑. 
𝒄) 𝟑√𝟑 𝒆 𝟔√𝟑. 
𝒅) 𝟑√𝟑 𝒆 √𝟑. 
ComentáriosChamaremos de 𝑥 a distância entre o ponto F e o ponto D, projeção ortogonal de F no 
segmento AC (menor distância entre esses dois elementos), e nomearemos 𝑦 a 
distância entre A e F. 
Analisando o triângulo ABF, nota-se que o ângulo 𝐴�̂�𝐹 é igual a 120°, por ser 
suplementar ao ângulo 𝐹�̂�𝐶. O ângulo 𝐴�̂�𝐵 deve medir 30° para que a soma dos 
ângulos internos desse triângulo seja igual a 180°. Com isso, temos um triângulo com 
dois ângulos iguais; logo, seus lados AB e BF também têm a mesma medida, 6 milhas. 
No triângulo BDF, temos que: 
𝑠𝑒𝑛 60° =
𝑥
6
 
√3
2
=
𝑥
6
 
2𝑥 = 6√3 
𝑥 = 3√3 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠 
 
No triângulo ADF, temos que: 
𝑠𝑒𝑛 30° =
𝑥
𝑦
 
1
2
=
3√3
𝑦
 
𝑦 = 6√3 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠 
Gabarito: c) 
38. (Unesp/2019) Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as seguintes 
coordenadas geográficas: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 122 
 
Considerando a Terra uma esfera de raio 𝟔. 𝟑𝟎𝟎 𝒌𝒎, a medida do menor arco 𝑷�̂� sobre a 
linha do paralelo 𝟑𝟎° 𝑵 é igual a 
a) 𝟏. 𝟏𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 b) 𝟏. 𝟐𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 c) 𝟏 , 𝟎𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
d) 𝟏. 𝟑𝟐𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 e) 𝟏. 𝟑𝟓𝟎𝝅√𝟑 𝒌𝒎 
Comentários 
O enunciado nos diz que o arco em questão é um arco menor que está exatamente em 
cima da linha do paralelo 30° 𝑁. 
Para ficar mais claro, vamos fazer um esboço dessa linha do paralelo 30° 𝑁, assim 
como os elementos mais importantes para a nossa análise. 
 
Como o arco é em cima da linha do paralelo 30° 𝑁, precisaremos do raio dessa linha 
para podermos calculá-lo. Obtenhamos, então, então, esse raio 𝑟, lembrando que, 
segundo o enunciado, o raio da Terra é 𝑅 = 6 300 𝑘𝑚. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 123 
Como estamos em uma esfera (aproximando a forma da Terra, como pediu o 
enunciado), temos o triângulo formado pelos pontos 𝐶-𝑐-𝐴 um triângulo retângulo em 𝑐. 
Assim, podemos calcular o valor de 𝑟 por meio da relação seno. 
sen(60) =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
=
𝑟
6300
 
√3
2
=
𝑟
6300
 
6300 ⋅
√3
2
= 𝑟 
 6300 3150 ⋅
√3
 2 
= 𝑟 
3150 ⋅ √3 = 𝑟 
Agora que já conhecemos o raio do paralelo em questão, podemos focar nossos 
esforços no arco propriamente dito. 
Marquemos, então, no paralelo, os pontos 𝑃 e 𝑄 informados na tabela. Note que 
ambos estão com latitude 30°𝑁, portanto, em cima da linha que esboçamos 
anteriormente. 
Além disso, enquanto 𝑃 tem longitude 45°𝐿, o ponto 𝑄 tem longitude 15 𝑂, indicando 
que a distância angular deles é de 𝜃 = 45° + 15° = 60°, veja. 
 
Por estarmos vendo o paralelo em perspectiva, temos a impressão de que os 
segmentos 𝑃𝑐 e 𝑄𝑐 são diferentes, mas ambos representam o raio do paralelo e são, 
portanto, iguais. Uma vista superior pode tornar esse fato mais evidente. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 124 
Assim, finalmente, podemos calcular o arco solicitado, pois sabemos seu raio (3150 ⋅
√3 = 𝑟) e seu ângulo correspondente, 𝜃 = 60°. Utilizando a fórmula para calcular o 
comprimento de um setor, temos. 
𝑆 =
𝜃
360°
⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 
𝑆 =
60°
360°
⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 3150 ⋅ √3 
𝑆 =
 60° 
 360° 
6 ⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 3150 ⋅ √3 
𝑆 =
1
 6 
⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 3150 
525 ⋅ √3 
𝑆 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 525 ⋅ √3 
𝑆 = 1 050 ⋅ 𝜋 ⋅ √3 𝑘𝑚 
Alternativa c) 
39. (Fuvest/2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura 
constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: 
𝑽(𝒕) = 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝟓 + 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝝅 ∙ 𝒕)), 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐, 
em que 𝒕 é medido em horas e 𝑽(𝒕) é medido em 𝒎𝟑. A pressão máxima do gás no 
intervalo de tempo [𝟎, 𝟐] ocorre no instante 
a) 𝒕 = 𝟎, 𝟒 
b) 𝒕 = 𝟎, 𝟓 
c) 𝒕 = 𝟏 
d) 𝒕 = 𝟏, 𝟓 
e) 𝒕 = 𝟐 
Comentários 
 
A questão cobra, além de conhecimentos matemáticos, o conhecimento de que Volume 
e Pressão são grandezas inversamente proporcionais, evidenciada na da Equação de 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 125 
Clapeyron5. Quanto menor for o volume, maior a pressão no gás, entendendo, claro, à 
temperatura constante. 
Como o enunciado pede “A pressão máxima do gás”, mas ofereceu a equação do 
volume 
𝑉(𝑡) = 𝑙𝑜𝑔2(5 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡)), 
procuraremos, na verdade, o volume mínimo. 
 
Considerações feitas, vamos “à caça” desse volume mínimo. 
 
Perceba que a função principal, mais ampla, é a função logarítmica, na qual o 
argumento (5 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡)) contém uma função seno. 
Como a função logarítmica é estritamente crescente, o menor valor para a função 
logarítmica se dará quando seu argumento for o menor possível. Analisemos esse 
argumento. 
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 (5 + 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡)) → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∙ 𝑡) 
 
Definido que nossa tarefa foi reduzida a encontrar o valor mínimo para sen(𝜋 ∙ 𝑡) e o 
valor mínimo para a função seno é −1, temos: 
sen(𝜋 ∙ 𝑡) = −1 
O primeiro ângulo que tem seno igual a −1 é 270° = 3𝜋 2⁄ 𝑟𝑎𝑑, o que acaba por se 
repetir a cada volta, 𝑘 ∙ 360° = 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 𝑟𝑎𝑑, no ciclo trigonométrico. Dessa forma, 
temos: 
sen(𝜋 ∙ 𝑡) = −1 
 
5 Equação de Clapeyron sobre gases ideais: 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇. 
Pressão 
Máxima
Volume 
Mínimo
Pressão
Máxima
Volume
Mínimo
𝑉(𝑡)
Mínimo
Pressão
Máxima
Volume
Mínimo
𝑉(𝑡)
Mínimo
5 + 2 ∙ sen 𝜋 ∙ 𝑡
Mínimo
sen 𝜋 ∙ 𝑡 Mínimo
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 126 
sen(𝜋 ∙ 𝑡) = sen (
3𝜋
2
+ 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋) 
Igualando os argumentos, temos: 
𝜋 ∙ 𝑡 =
3𝜋
2
+ 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 
Colocando 𝜋 em evidência no segundo membro da equação, temos: 
𝜋 ∙ 𝑡 =
3𝜋
2
+ 2 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 
𝜋 ∙ 𝑡 = 𝜋 ∙ (
3
2
+ 2 ∙ 𝑘) 
Dividindo ambos os membros por 𝜋: 
𝜋 ∙ 𝑡
𝜋
=
𝜋
𝜋
∙ (
3
2
+ 2 ∙ 𝑘) 
𝜋 ∙ 𝑡
𝜋
=
𝜋
𝜋
∙ (
3
2
+ 2 ∙ 𝑘) 
𝑡 =
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 
Agora, precisamos ver para quais valores de 𝑘 nosso 𝑡 está dentro do intervalo 
solicitado na questão, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2. 
Como os valores de 𝑘 têm que ser inteiros, podemos testá-los um a um até encontrar 
um que satisfaça ou, para maior precisão, resolver a inequação do intervalo válido para 
𝑡. 
0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
0 ≤
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 ≤ 2 
Subtraindo 3 2⁄ de todos os membros da inequação: 
0 −
3
2
≤
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 −
3
2
≤ 2 −
3
2
 
Para frações, já sabe, MMC. 
−
3
2
≤
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 −
3
2
≤
4 − 3
2
 
−
3
2
≤ 2 ∙ 𝑘 ≤
1
2
 
Multiplicando a equação por 1 2⁄ : 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 127 
−
3
2
∙
1
2
≤ 2 ∙ 𝑘 ∙
1
2
≤
1
2
∙
1
2
 
−
3
4
≤ 2 ∙ 𝑘 ∙
1
2
≤
1
4
 
−
3
4
≤ 𝑘 ≤
1
4
 
Sabemos que o valor de 𝑘 é inteiro e que está entre −3 4⁄ e 
1
4⁄ . O único valor inteiro 
possível para 𝑘 nessas condições é 𝑘 = 0. 
Assim, 
𝑡 =
3
2
+ 2 ∙ 𝑘 
𝑡 =
3
2
+ 2 ∙ 0 
𝑡 =
3
2
= 1,5 
Gabarito: d) 
40. (Unesp/2014) A figura mostra um relógio de parede, com 𝟒𝟎 𝒄𝒎 de diâmetro 
externo, marcando 𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒆 𝟓𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. 
 
Usando a aproximação 𝝅 = 𝟑, a medida, em 𝒄𝒎, do arco externo do relógio determinado 
pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário 
mostrado, vale aproximadamente 
a) 𝟐𝟐. b) 𝟑𝟏. c) 𝟑𝟒. d) 𝟐𝟗. e) 𝟐𝟎. 
Comentários 
Vamos dividir a questão em duas partes: a diferença angular entre a posição vertical e 
ambos os ponteiros. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 128 
 
O ponteiro das horas move-se 30° (entre dois números inteiros) a cada 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
Para saber qual foi seu deslocamento em 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒 54 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, ou seja, 114 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, 
podemos utilizar a regra de três: 
𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 
30° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 60 𝑚𝑖𝑛
 
𝛼 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 114 𝑚𝑖𝑛
 
 
30°
𝛼
=
60 𝑚𝑖𝑛 
114 𝑚𝑖𝑛 
⇒ 60 ⋅ 𝛼 = 114 ⋅ 30° ⇒ 𝛼 =
114 ⋅ 30°
60
⇒ 𝛼 = 57° 
Podemos pensar o mesmo para encontrar o ângulo 𝛽, mas tomemos cuidado ao 
calculá-lo, pois ele não representa o deslocamento do ponteiro dos minutos e sim o seu 
explementar, ou seja, o que lhe falta para completar 360°. Dessa forma, 
representaremos o deslocamento angular doponteiro dos minutos por 360° − 𝛽. 
Novamente, outra regra de três. 
Dessa vez, não precisamos utilizar o tempo total de 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒 54 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, pois o 
ponteiro dos minutos realiza uma volta completa a cada 1 ℎ𝑜𝑟𝑎. Desse modo, 
utilizaremos, na regra de três, apenas o tempo de 54 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 
360° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 60 𝑚𝑖𝑛
 
360° − 𝛽 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 54 𝑚𝑖𝑛
 
 
360°
360° − 𝛽
=
60 𝑚𝑖𝑛 
54 𝑚𝑖𝑛 
⇒ 60 ⋅ (360° − 𝛽) = 54 ⋅ 360° ⇒ 360° − 𝛽 =
54 ⋅ 360°
60
⇒ 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 129 
⇒ 360° − 𝛽 = 324° ⇒ 360° − 324° = 𝛽 ⇒ 36° = 𝛽 
Temos, então, que a diferença angular entre ambos os ponteiros é dada por 
𝛼 + 𝛽 = 57° + 36° = 93° 
Para saber o comprimento de um arco, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
𝑆 =
𝜃
360°
⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 
𝑆 =
93°
360°
⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 20 𝑐𝑚 
𝑆 = 31 𝑐𝑚 
Gabarito: b) 
41. (Unesp/2014) O conjunto solução (𝑺) para a inequação 𝟐 ⋅ 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) > 𝟐, 
em que 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, é dado por: 
𝒂) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎,𝝅)|𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟔
 𝒐𝒖 
𝟓𝝅
𝟔
< 𝒙 < 𝝅} 
𝒃) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|
𝝅
𝟑
< 𝒙 <
𝟐𝝅
𝟑
 } 
𝒄) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟑
 𝒐𝒖 
𝟐𝝅
𝟑
< 𝒙 < 𝝅} 
𝒅) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎, 𝝅)|
𝝅
𝟔
< 𝒙 <
𝟓𝝅
𝟔
 } 
𝒆) 𝑺 = {𝒙 ∈ (𝟎,𝝅)} 
Comentários 
Questão algébrica que pede, diretamente, a solução da inequação. Obedeçamos. 
2 ⋅ cos2(𝑥) + cos(2𝑥) > 2 
2 ⋅ cos2(𝑥) + cos2(𝑥) − sen2(𝑥) > 2 
3 ⋅ cos2(𝑥) − sen2(𝑥) > 2 
3 ⋅ cos2(𝑥) − (1 − cos2(𝑥)) > 2 
3 ⋅ cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) > 2 
4 ⋅ cos2(𝑥) − 1 > 2 
4 ⋅ cos2(𝑥) > 2 + 1 
4 ⋅ cos2(𝑥) > 3 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 130 
cos2(𝑥) >
3
4
 
√cos2(𝑥) > √
3
4
 
|cos(𝑥)| >
√3
2
 
Para que o módulo de cos(𝑥) seja maior que a fração, é necessário que, caso ele seja 
positivo, que seja maior que 
√3
2
 ou, sendo negativo, que seja menor que 
√3
2
. 
cos(𝑥) >
√3
2
 cos(𝑥) < −
√3
2
 
 Para assinalar o intervalo angular referente a essas duas condições, vamos recorrer 
ao ciclo trigonométrico. 
 
 
Assim, podemos perceber que, para que tenhamos cos(𝑥) > 
√3
2
, precisamos ter ângulos 
entre 0° e 30° e, para que tenhamos cos(𝑥) < − 
√3
2
, entre 150° e 180°. 
Reescrevendo essas informações em radianos, temos: 
𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)|0 < 𝑥 <
𝜋
6
 𝑜𝑢 
5𝜋
6
< 𝑥 < 𝜋} 
Gabarito: a) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 131 
 
42. (Unesp/2013) A caçamba de um caminhão basculante tem 𝟑 𝒎 de comprimento 
das direções de seu ponto mais frontal 𝑷 até a de seu eixo de rotação e 𝟏 𝒎 de altura 
entre os pontos 𝑷 e 𝑸. Quando na posição horizontal, isto é, quando os segmentos de 
retas 𝒓 e 𝒔 se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 𝟏, 𝟐 𝒎 do solo. Ela pode 
girar, no máximo, 𝜶 graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte 
traseira inferior, conforme indicado na figura. 
 
Dado 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝟎, 𝟖, a altura, em metros, atingida pelo ponto 𝑷, em relação ao solo, quando 
o ângulo de giro a for máximo, é 
a) 𝟒. 𝟖. b) 𝟓, 𝟎. c) 𝟑, 𝟖. d) 𝟒, 𝟒. e) 𝟒, 𝟎. 
Comentários 
Vamos traçar algumas retas auxiliares e delimitar os ângulos que já conhecemos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 132 
 
Com os pontos definidos na imagem anterior, a altura ℎ do ponto 𝑃 ao solo é dada por: 
ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟 + 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ + 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ 
A altura da reta 𝑟 já foi dada no enunciado: 𝑎𝑙𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟 = 1,2 𝑚. 
No triângulo 𝐵𝐶𝑄, temos: 
sen(𝛼) =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
⇒ √1 − cos2(𝛼) =
𝐵𝑄̅̅ ̅̅
3
⇒ √1 − (0,8)2 =
𝐵𝑄̅̅ ̅̅
3
⇒ 
⇒ 3 ⋅ √1 − 0,64 = 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ ⇒ 3 ⋅ √0,36 = 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ ⇒ 3 ⋅ 0,6 = 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ ⇒ 1,8 = 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ 
Já no triângulo 𝐴𝑃𝑄, 
cos(𝛼) =
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
⇒ 0,8 =
𝑄𝐴̅̅ ̅̅
1
⇒ 1 ⋅ 0,8 = 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ ⇒ 0,8 = 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ 
Dessa forma, podemos dizer que a altura ℎ é dada por: 
ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟 + 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ + 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ 
ℎ = 1,2 + 1,8 + 0,8 
ℎ = 3,8 𝑚 
Gabarito: c) 
43. (Fuvest/2012) O numeral real 𝒙, com 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, satisfaz a equação 
𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒙)) + 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬(𝒙)) = −𝟐. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 133 
Então, 𝐜𝐨𝐬(𝟐 ∙ 𝒙) + 𝐬𝐞𝐧(𝒙) vale 
𝒂)
𝟏
𝟑
 
𝒃)
𝟐
𝟑
 
𝒄)
𝟕
𝟗
 
𝒅)
𝟖
𝟗
 
𝒆)
𝟏𝟎
𝟗
 
Comentários 
Antes de calcularmos cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥), vamos simplificar a equação dada e ver o que 
ela nos revela. 
log3(1 − cos(𝑥)) + log3(1 + cos(𝑥)) = −2 
A soma de logaritmos pode ser transformada em logaritmo do produto, lembra? 
log3(1 − cos(𝑥)) + log3(1 + cos(𝑥)) = −2 
log3[(1 − cos(𝑥)) ∙ (1 + cos(𝑥))] = −2 
No produto, temos uma soma e uma diferença. Então, podemos aplicar esse produto 
notável. 
log3[(1 − cos(𝑥)) ∙ (1 + cos(𝑥))] = −2 
log3[(1
2 − cos2(𝑥))] = −2 
Nesse ponto, podemos aplicar a definição de logaritmo. 
 
 
log3[(1
2 − cos2(𝑥))] = −2 
 
Ou seja, 
3−2 = 12 − cos2(𝑥) 
Para resolver a equação, podemos somar cos2(𝑥) a ambos os termos da equação. 
3−2 + cos2(𝑥) = 12 − cos2(𝑥) + cos2(𝑥) 
3−2 + cos2(𝑥) = 12 − cos2(𝑥) + cos2(𝑥) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 134 
3−2 + cos2(𝑥) = 12 
Como 
3−2 =
1
32
=
1
9
, 
temos 
3−2 + cos2(𝑥) = 1 
1
9
+ cos2(𝑥) = 1 
 
Subtraindo 1 9⁄ de ambos os termos: 
1
9
+ cos2(𝑥) −
1
9
= 1 −
1
9
 
1
9
+ cos2(𝑥) −
1
9
= 1 −
1
9
 
cos2(𝑥) = 1 −
1
9
 
Frações: MMC. 
cos2(𝑥) =
9 − 1
9
 
cos2(𝑥) =
8
9
 
Como o enunciado pediu cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥), não é necessário, a princípio, encontrar o 
próprio cosseno. Utilizemo-nos, nesse caso, da relação fundamental da trigonometria 
para encontrar algo acerca do seno de 𝑥. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
Para esse caso específico, sabemos 
cos2(𝑥) =
8
9
 
Então, 
sen2(𝑥) +
8
9
= 1 
Subtraindo 8 9⁄ de ambos os membros da equação: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 135 
sen2(𝑥) +
8
9
−
8
9
= 1 −
8
9
 
sen2(𝑥) +
8
9
−
8
9
= 1 −
8
9
 
sen2(𝑥) = 1 −
8
9
 
Frações: MMC. 
Professor, você vai falar isso para sempre? 
Talvez. 
Mas você vai acertar na prova, nem que seja de raiva. 😊 
Continuando. 
sen2(𝑥) =
9 − 8
9
 
sen2(𝑥) =
1
9
 
Voltando ao enunciado, a questão pede cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥), precisaremos, portanto, 
calcular sen(𝑥). 
sen2(𝑥) =
1
9
 
Extraindo raiz quadrada de ambos os termos: 
√sen2(𝑥) = √
1
9
 
Já aprendemos que a raiz quadrada de algo elevado ao quadrado é igual ao módulo do 
argumento. Assim, 
|sen(𝑥)| = √
1
9
 
|sen(𝑥)| =
1
3
 
O argumento de um módulo pode ser tanto positivo quanto negativo, então: 
sen(𝑥) = ±
1
3
 
E qual usaremos? O positivo? O negativo? Os dois? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 136 
Vejamos se o enunciado nos esclarece isso. 
 “O numeral real 𝑥, com 0 < 𝑥 < 𝜋,… " 
Bom, se nosso ângulo está entre 0 e 𝜋, o seno só pode ser positivo, veja. 
 
Desse modo, podemos concluir que 
sen(𝑥) = +
1
3
 
Sempre de olho no enunciado. Estamos procurando o valor da expressão cos(2 ∙ 𝑥) +
sen(𝑥). 
Então, vamos lá. 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
Pelo cosseno do arco duplo, temos: 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
cos2(𝑥) − sen2(𝑥) + sen(𝑥) 
Professor, nós não temos o valor de sen2(𝑥), como faremos? 
Simples. Recorreremos à equação fundamental da trigonometria. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 137 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 
Para isolar sen2(𝑥), subtraiamos cos2(𝑥) de ambos os termos. 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) − cos2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) 
Voltemos ao andamento de nossa resolução. Partimos de 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
e chegamos a 
cos2(𝑥) − sen2(𝑥) + sen(𝑥) 
Fazendo a substituição do quadrado do seno, ficamos com: 
cos2(𝑥) − (1 − cos2(𝑥)) + sen(𝑥) 
Distribuindo o sinal de negativo, 
cos2(𝑥) − 1 + cos2(𝑥) + sen(𝑥) 
Simplificando, 
2 cos2(𝑥) − 1 + sen(𝑥) 
Já temosos valores de 
cos2(𝑥) =
8
9
 
sen(𝑥) = +
1
3
 
Substituindo novamente, temos: 
2 cos2(𝑥) − 1 + sen(𝑥) 
2 ∙
8
9
− 1 +
1
3
 
 
Professor “ducéu”, agora o 𝑥 sumiu! O que vou calcular agora? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 138 
 
O exercício nos pediu o valor de uma expressão. Está lembrado de nossa aula inicial? 
Vamos, na verdade, calcular o valor da expressão mesmo, não há uma igualdade. Só 
substituiremos o valor que encontramos para a condição da equação 
log3(1 − cos(𝑥)) + log3(1 + cos(𝑥)) = −2 
na expressão 
cos(2 ∙ 𝑥) + sen(𝑥) 
que é, na verdade, a pergunta do nosso exercício. 
Avante. 
2 ∙
8
9
− 1 +
1
3
 
16
9
− 1 +
1
3
 
Frações? 
Exatamente, MMC. 
16
9
−
9
9
+
3
9
 
10
9
 
Que é encontrado em nossa última alternativa. 
Gabarito: e) 
44. (Unesp/2010) Em um experimento sobre orientação e navegação de pombos, 
considerou-se o pombal como a origem 𝑶 de um sistema de coordenadas cartesianas e 
os eixos orientados Sul-Norte (𝑺𝑵) e Oeste-Leste (𝑾𝑳). Algumas aves foram liberadas 
num ponto 𝑷 que fica 𝟓𝟐 𝒌𝒎 ao leste do eixo 𝑺𝑵 e a 𝟑𝟎 𝒌𝒎 ao sul do eixo 𝑾𝑳. 
O ângulo azimutal de 𝑷 é o ângulo, em graus, medido no sentido horário a partir da 
semirreta 𝑶𝑵 até a semirreta 𝑶𝑷. No experimento descrito, a distância do pombal até o 
ponto de liberação das aves, em 𝒌𝒎, e o ângulo azimutal, em graus, desse ponto são, 
respectivamente: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 139 
Dado: √𝟑𝟔𝟎𝟒 ≈ 𝟔𝟎. 
 
a) 42,5 e 30. b) 42,5 e 120. c) 60 e 30. d) 60 e 120. e) 60 e 150. 
Comentários 
Tracemos duas retas auxiliares no sistema de orientação fornecido. Uma a 52 𝑘𝑚 a 
leste do eixo 𝑆𝑁 e outra a 30 𝑘𝑚 ao sul do eixo 𝑊𝐿. 
Nesse mesmo sistema, explicitemos o ponto 𝑃 e o ângulo azimutal, conforme as 
instruções dadas, além do ângulo auxiliar 𝛼. 
 
Para calcular a distância 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ , podemos separar o triângulo retângulo a seguir. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 140 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
𝑂𝑃̅̅ ̅̅ 2 = 522 + 30² 
𝑂𝑃̅̅ ̅̅ 2 = 2704 + 900 
𝑂𝑃̅̅ ̅̅ 2 = 3604 
√𝑂𝑃̅̅ ̅̅ 2 = √3604 
|𝑂𝑃̅̅ ̅̅ | ≈ 60 
Observe que utilizamos a aproximação fornecida no próprio enunciado: √3604 ≈ 60. 
Assim, a distância do pombal até o ponto de liberação das aves é de, 
aproximadamente, 60 𝑘𝑚. 
Calculemos, agora, o ângulo azimutal. 
Perceba que, no sistema de coordenadas, nosso ângulo azimutal é 90° maior que 
nosso ângulo 𝛼. Assim, podemos dizer que: 
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = 𝛼 + 90° 
Utilizemos nosso triângulo auxiliar para calcular 𝛼 e, assim, obter nosso ângulo 
azimutal. 
 
Podemos utilizar qualquer uma das razões trigonométricas no triângulo retângulo para 
descobrir o valor do ângulo 𝛼. No entanto, algumas razões acabam sendo mais 
complicadas que outras em virtude da aproximação que utilizamos anteriormente. 
Note que há uma razão mais simples de ser utilizada, envolvendo os valores da 
hipotenusa e do cateto oposto, pois um valor é múltiplo do outro. 
Assim, optemos pela razão trigonométrica seno. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 141 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
=
30
60
=
1
2
 
∴ 6 𝛼 = 30° 
Cuidado aqui para não se afobar e assinalar a alternativa c). Ainda não calculamos o 
ângulo azimutal! 
Continuemos... 
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = 𝛼 + 90° 
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = 30° + 90° 
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = 120° 
Gabarito: d) 
45. (Unesp/2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de 
aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem 
como na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de 
ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando 
apenas um ciclo do processo. 
 
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e 
expiração completo ocorre a cada 𝟓 segundos e que a taxa máxima de inalação e 
exalação, em módulo, é 𝟎. 𝟔 ⋅ 𝟏/𝒔, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima 
da curva representada na figura é: 
𝒂) 𝑽(𝒕) =
𝟐𝝅
𝟓
𝒔𝒆𝒏(
𝟑
𝟓
𝒕) 𝒃) 𝑽(𝒕) =
𝟑
𝟓
𝒔𝒆𝒏 (
𝟓
𝟐𝝅
𝒕) 𝒄) 𝑽(𝒕) = 𝟎, 𝟔𝒄𝒐𝒔 (
𝟐𝝅
𝟓
𝒕) 
 
6 O símbolo ∴ significa “portanto”. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 142 
𝒅) 𝑽(𝒕) = 𝟎, 𝟔𝒔𝒆𝒏 (
𝟐𝝅
𝟓
𝒕) 𝒆) 𝑽(𝒕) =
𝟓
𝟐𝝅
𝒄𝒐𝒔(𝟎, 𝟔𝒕) 
Comentários 
Uma questão muito interessante sobre leitura de gráficos e translações no plano 
cartesiano. 
Vamos colocar os dados do enunciado nos devidos eixos do gráfico: 
 
Comecemos, então, nossa análise. 
Perceba que temos uma função de onda, parecida com um seno ou com um cosseno. 
Como a função parte da origem, optemos pela função seno por enquanto, já que 
𝑠𝑒𝑛(0) = 0. 
Assim, nossa função deve ser do tipo 
 
A amplitude da função, fornecida no enunciado e explicitada no gráfico é de 0,6. Como 
não há inversão da função, a amplitude é positiva. Assim, podemos atualizar nossa 
função. 
𝑉(𝑡) = +0,6 ∙ sen(𝑏𝑡 + 𝑐) + 𝑑 
𝑉(𝑡) = 0,6 ∙ sen(𝑏𝑡 + 𝑐) + 𝑑 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 143 
Além disso, a função passa na origem, ou seja, no ponto (0; 0). Assim, temos, para a 
função seno, 𝑐 = 0 e 𝑑 = 0, pois não há deslocamentos nem vertical nem horizontal. 
 
Poderíamos, também, conseguir o mesmo gráfico deslocando horizontalmente a 
função cosseno. No entanto, as alternativas deixam claro não haver deslocamentos 
horizontais ou verticais na função pela ausência dos coeficientes 𝑐 e 𝑑. Por esse 
motivo, optamos pela função seno, ok? 
𝑉(𝑡) = 0,6 ∙ sen(𝑏𝑡 + 𝑐) + 𝑑 
𝑉(𝑡) = 0,6 ∙ sen(𝑏𝑡 + 0) + 0 
𝑉(𝑡) = 0,6 ∙ sen(𝑏𝑡) 
O coeficiente 𝑏 traz a informação de quantos ciclos são percorridos em 360° ou, se 
preferir, em 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. Como as alternativas não mostram o símbolo de graus (°), 
podemos concluir que a notação de preferência na questão é o radiano. 
Para saber quantos ciclos são percorridos, podemos utilizar a regra de três. O gráfico 
nos mostra que há um ciclo completo quando 𝑡 = 5, assim: 
𝐶𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠
 
1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5
 
𝑏 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2𝜋
 
Resolvendo. 
1
𝑏
=
5
2𝜋
⇒ 𝑏 =
2𝜋
5
 
Atualizando a função. 
𝑉(𝑡) = 0,6 ∙ sen (
2𝜋
5
𝑡) 
Gabarito: d) 
46. (Fuvest/2001) Se 𝐭𝐠(𝜽) = 𝟐, então o valor de 
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽)
𝟏 + 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽)
 
é: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 144 
𝒂) − 𝟑 
𝒃) −
𝟏
𝟑
 
𝒄)
𝟏
𝟑
 
𝒅)
𝟐
𝟑
 
𝒆)
𝟑
𝟒
 
Comentários 
A questão apresenta uma expressão e pede o valor numérico correspondente a uma 
substituição indicada. 
Dessa forma, vamos desenvolver a expressão, simplificá-la e, ao final, substituir o valor 
numérico dado de tg(𝜃) = 2, pois a substituição direta não é possível. 
Analisando a expressão 
cos(2𝜃)
1 + sen(2𝜃)
 
percebemos que há duas possibilidades de expansão: o cosseno do arco duplo e o 
seno do arco duplo. 
Pois bem, vamos desenvolvê-los. 
Sabemos que 
cos(2𝜃) = cos2(𝜃) − sen2(𝜃) 
sen(2𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃) 
Dessa forma, podemos expandir nossa expressão inicial. 
cos(2𝜃)
1 + sen(2𝜃)
 
 
cos2(𝜃) − sen2(𝜃)
1 + 2 sen(𝜃) cos(𝜃)
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 145 
 
Está vendo aquele 1 solitário e esquecido ali no cantinho? 
Pois bem, ele é a chave para continuarmos nossa simplificação. 
Lembra nossa equação fundamental da trigonometria? 
 sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 
Como a igualdade resulta em 1, podemos continuar nossa expansão. 
cos2(𝜃) − sen2(𝜃)
1 + 2 sen(𝜃) cos(𝜃)
 
cos2(𝜃) − sen2(𝜃)
sen2(𝜃) + cos2(𝜃) + 2 sen(𝜃) cos(𝜃)
 
Com essa expressão, percebemos dois produtos notáveis: no numerador, uma 
diferença de dois quadrados e, no denominador, um trinômio quadrado perfeito, veja: 
cos2(𝜃) − sen2(𝜃)
sen2(𝜃) + 2 sen(𝜃) cos(𝜃) + cos2(𝜃)
 
Fatorando ambos os produtos notáveis,temos: 
(cos(𝜃) + sen(𝜃)) ∙ (cos(𝜃) − sen(𝜃))
(sen(𝜃) + cos(𝜃))2
 
Surge aqui a oportunidade de simplificação, pois temos o mesmo termo (cos(𝜃) +
sen(𝜃)) tanto no numerador quanto no denominador. 
(cos(𝜃) + sen(𝜃)) ∙ (cos(𝜃) − sen(𝜃))
(sen(𝜃) + cos(𝜃)) ∙ (sen(𝜃) + cos(𝜃))
 
 cos(𝜃) − sen(𝜃) 
sen(𝜃) + cos(𝜃)
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 146 
A questão nos deu o valor de uma tangente, mas, em nossa simplificação, não 
apareceu a função tangente. 
Desse modo, vamos “forçar” o aparecimento dela dividindo todas as parcelas tanto do 
numerador quanto do denominador por cos(𝜃), acompanhe. 
 
cos(𝜃)
cos(𝜃)
−
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 
sen(𝜃)
cos(𝜃)
+
cos(𝜃)
cos(𝜃)
 
Sabemos que 
tg(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
, 
portanto 
 
cos(𝜃)
cos(𝜃)
−
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 
sen(𝜃)
cos(𝜃)
+
cos(𝜃)
cos(𝜃)
 
 1 − tg(𝜃) 
tg(𝜃) + 1
 
E, finalmente, conseguimos simplificar a expressão dada o bastante para usarmos o 
dado fornecido no exercício de que 
tg(𝜃) = 2. 
Desse modo, 
 1 − tg(𝜃) 
tg(𝜃) + 1
 
 1 − 2 
2 + 1
=
−1
3
= −
1
3
 
Gabarito: b) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 08 – TRIGONOMETRIA. 147 
9.0 Considerações Finais 
A aula que acabamos de fazer tem o intuito de ser uma introdução ao assunto 
trigonometria. 
Embora tenhamos visto muita matéria, ainda temos pela frente outros assuntos sobre 
trigonometria e voltaremos a eles durante nosso curso em momento pedagógico adequado. 
Tenha em mente que tudo o que vamos construindo de conhecimento matemático serve 
de base para os próximos passos. 
Estude com responsabilidade e não abandone dúvidas. Se precisar, entre em contato 
pelo site ou pelo fórum de dúvidas que estamos aqui para ajudar você a alcançar a vaga na 
faculdade dos seus sonhos. 
Um forte abraço e até a próxima aula. 
Grande abraço e Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10.0 Versões Das Aulas 
 
Caro aluno! Para garantir que o curso esteja atualizado, sempre que alguma 
mudança no conteúdo for necessária, uma nova versão da aula será disponibilizada. 
24/03/2022: Versão original 
13/08/2022: Versão original 
- Mudança nas alternativas da questão 4 da teoria. 
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