CBMERJ - Geometria - Módulo 10

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GEOMETRIA MÓDULO 10 CBMERJ 
 
 
 
1 
Todas os exercícios da apostila que tiverem essa câmera , estão 
gravados em vídeo para você. Nossos professores resolveram as 
questões, comentando cada detalhe para te ajudar na hora de estudar. 
Muitas questões trazem dicas preciosas. Não deixe de assistir aos 
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Áreas de Figuras Planas 
 
A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. 
Assim, quanto maior a superfície da figura, maior será sua área. 
 
Quadrado 
Um quadrado de lado L pode ser dividido em L2 quadrados de área 
1.u.a..Portanto, sua área mede L2 u.a. 
 
 
 
Squad = L2 
 
Retângulo 
Um retângulo cuja base mede b e altura mede h pode ser dividido em bh 
quadrados de área 1. Portanto, sua área mede bh. 
 
 
 
Sret = b.h 
 
Paralelogramo 
Um paralelogramo é equivalente a um retângulo de mesmas base e 
altura, como mostra o esquema abaixo. Portanto, a expressão da área do 
paralelogramo é igual a do retângulo. 
 
 
 
Spar = b.h 
 
 
 
Triângulo 
 
Um triangulo equivale a metade da área de um paralelogramo de mesma 
base e altura. 
 
 
 
 
4.1. Qualquer 
 
 
tri
b.h
S =
2
 
 
4.2. Equilátero 
 
 
 
2
tr.eq
L 3
S =
4
 
 
OBS: A altura de um triângulo equilátero vale: 
L 3
h
2
= , a qual iremos 
provar mais para frente. 
 
4.3. Ângulo entre lados 
 
 
tri
a.b.senθ
S =
2
 
 
 
4.4. Fórmula de Heron 
 
Fómula usada para descobrir a área através das medidas única e 
exclusivamente dos lados. 
 
 
( )( )( )HeronS = p p-a p-b p-c 
 
OBS: p = semiperímetro, isto é, 
a b c
p
2
+ +
= . 
 
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2 
Losango 
 
 
os
D.d
S =l
2
 
 
Trapézio 
 
 
( )
tra
B+b .h
S =
2
 
 
 
Hexágono Regular 
 
O hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. 
Portanto: 
 
 
2
hex
6L
S =
4
3
 
 
Exercícios 
 
1. A figura abaixo exibe o triângulo ABC, em que AB BC= e AD é 
uma altura de comprimento h. A área do triângulo ABC é igual a 
 
a) 2h . 
b) 
22h . 
c) 
23 h . 
d) 22h . 
 
2. Um valor aproximado da área do círculo pode ser obtido elevando-
se ao quadrado 
8
9
 do seu diâmetro. Fazer esse cálculo corresponde a 
substituir, na fórmula da área do círculo, o valor de π por um número 
racional. 
 
Esse número é igual a: 
a) 
128
9
 
b) 
256
9
 
c) 
128
81
 
d) 
256
81
 
 
3. Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus 
extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um 
paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o 
paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração 
desse objeto, associa‐se ,θ a medida do menor ângulo interno do 
paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando 
90θ =  é A. 
 
 
 
Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A 2, o 
valor de θ é, necessariamente, igual a 
a) 15 . 
b) 22,5 . 
c) 30 . 
d) 45 . 
e) 60 . 
 
4. No triângulo ABC exibido na figura a seguir, M é o ponto médio 
do lado AB, e N é o ponto médio do lado AC. 
 
 
 
Se a área do triângulo MBN é igual a t, então a área do triângulo ABC 
é igual a 
a) 3t. 
b) 2 3t. 
c) 4t. 
d) 3 2t. 
 
 
 
 
 
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3 
5. As tomografias computadorizadas envolvem sobreposição de 
imagens e, em algumas situações, é necessário conhecer a área da 
região de intersecção das imagens sobrepostas. Na figura, um triângulo 
equilátero ABC se sobrepõe a um círculo de centro N e raio
NB NC NM,= = com M e N sendo pontos médios, 
respectivamente, de AB e BC. 
 
 
 
Sendo a área de triângulo equilátero de lado igual a 
2 3
4
 e a área 
de círculo de raio r igual a 
2r ,π se o lado do triângulo ABC medir 
4 cm, então, a área de intersecção entre o triângulo e o círculo, em 
2cm , será igual a 
a) 3 3π + 
b) 
3 3
2
π +
 
c) 3π + 
d) 
2 6 3
3
π +
 
e) 2 3π + 
 
6. Considere a semicircunferência y, que possui raio de 5 5 cm 
e contém os quadrados ABCD e BEFG, conforme indica a imagem. 
 
 
 
Os vértices C, D e F pertencem à y, e os vértices A, B e E estão 
sobre seu diâmetro. 
 
A área do quadrado BEFG, em 2cm , é igual a: 
a) 25 
b) 35 
c) 45 
d) 55 
 
7. Considere na imagem abaixo: 
 
- os quadrados ACFG e ABHI, cujas áreas medem, respectivamente, 
1S e 2S ; 
- o triângulo retângulo ABC; 
- o trapézio retângulo BCDE, construído sobre a hipotenusa BC, que 
contém o ponto X. 
 
 
Sabendo que CD CX= e BE BX,= a área do trapézio BCDE é 
igual a: 
a) 1 2
S S
2
+
 
b) 1 2
S S
3
+
 
c) 1 2S S 
d) 2 21 2(S ) (S )+ 
 
8. Os polígonos SOL e LUA são triângulos retângulos isósceles 
congruentes. Os triângulos retângulos brancos no interior de SOL são 
congruentes, assim como também são congruentes os triângulos 
retângulos brancos no interior de LUA. 
 
 
 
A área da superfície em amarelo e a área da superfície em azul estão na 
mesma unidade de medida. Se x é o número que multiplicado pela 
medida da área da superfície em amarelo resulta a medida da área da 
superfície em azul, então x é igual a 
a) 
16
15
 
b) 
15
16
 
c) 
9
10
 
d) 
24
25
 
e) 
25
24
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 
9. Na figura, ABCD é um quadrado de lado 6 cm e AFE é um 
triângulo retângulo de hipotenusa AE. Considere que AD AF= e 
DE 4 cm.= 
 
 
Sabendo que os pontos A, D e E estão alinhados, o valor da área 
destacada, em 2cm , é 
a) 24. 
b) 18. 
c) 22. 
d) 20. 
e) 16. 
 
10. A figura abaixo exibe um quadrilátero ABCD, onde 
AB AD= e BC CD 2 cm.= = 
 
 
 
A área do quadrilátero ABCD é igual a 
a) 
22 cm . 
b) 
22 cm . 
c) 
22 2 cm . 
d) 
23 cm . 
 
11. Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área 
A, em metros quadrados. Os valores de P e A variam de acordo com 
a medida do lado do triângulo. 
 
Desconsiderando as unidades de medida, a expressão Y P A= − 
indica o valor da diferença entre os números P e A. 
 
O maior valor de Y é igual a: 
a) 2 3 
b) 3 3 
c) 4 3 
d) 6 3 
 
12. Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um 
pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, 
obedecendo-se às instruções abaixo. 
 
1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo 
novamente: 
 
 
 
2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida 
com o ponto P do segmento MN: 
 
 
 
3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP. 
 
 
 
A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é igual a: 
a) ( )−25 4 3 
b) ( )−25 6 3 
c) ( )−50 2 3 
d) ( )−50 3 3 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
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13. Observe a simetria do corpo humano na figura acima e considere um 
quadrado inscrito em um círculo de raio R, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
A área da região sombreada é dada por: 
a) 
2A R ( 2)π= − 
b) 
2R ( 2)
A
2
π −
= 
c) 
2 2R ( 4)
A
2
π −
= 
d) 
2R ( 2)
A
4
π −
= 
e) 
2 2R ( 2)
A
4
π −
= 
 
14. Determine a área da região hachurada, que é a região delimitada 
por um hexágono regular obtida pela intersecção das regiões delimitadas 
por dois triângulos equiláteros inscritos na circunferência cuja área é de 
23 cmπ . 
 
 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) 
23 3 cm
2
 
b) 23 3 cm 
c) 22 6 cm 
d) 
24 3 cm
2
 
e) 22 6 cm 
 
15. Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro 
O e BC .α= A reta OC é perpendicular ao segmento AB e o 
ângulo AOB mede 
3
π
 radianos. Então, a área do triângulo ABC vale: 
 
 
a) 
2
8
α
 
b) 
2
4
α
 
c) 
2
2
α
 
d) 
23
4
α
 
e) 2α16. A figura a seguir representa sete hexágonos regulares de lado 1 e 
um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos 
hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a: 
 
a) 3 3 
b) 2 3 
c) 
3 3
2
 
d) 3 
e) 
3
2
 
 
17. Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas de 8m × 8m para 
recortar formas circulares de 4m de diâmetro, como mostrado na figura 
a seguir. 
 
A área de chapa que resta após a operação é de aproximadamente: 
Dado: considere š = 3,14 
a) 7,45 m2 
b) 13,76 m2 
c) 26,30 m2 
d) 48 m2 
e) 56 m2 
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18. Um losango com lado 20 cm e um ângulo de 30° tem área de: 
a) 57 cm2 
b) 87 cm2 
c) 200 cm2 
d) 346 cm2 
e) 400 cm2 
 
19. No retângulo ABCD da figura tem-se CD = e AD 2 .= Além 
disso, o ponto E pertence à diagonal BD, o ponto F pertence ao lado 
BC e EF é perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo 
ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede 
 
 
a) 
2
.
8
 
b) 
2
.
4
 
c) 
2
.
2
 
d) 
2
3 .
4
 
e) 2. 
 
20. A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C, onde 
o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo. 
 
 
Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do trapézio ABED, em cm2, 
é 
a) 84. 
b) 96. 
c) 120. 
d) 150. 
e) 192. 
 
 
 
 
 
 
 
21. Uma construtora fez um loteamento em um terreno cujo formato está 
representado na figura a seguir, onde AB//CD//EF. 
 
 
 
É correto afirmar que a área total do terreno, em m2, é: 
a) 525 m2 
b) 675 m2 
c) 150 (2 + 7 ) m2 
d) 300 (1 + 7 ) m2 
e) 450 7 m2 
 
22. Na figura a seguir, o quadrado maior foi dividido em dois quadrados 
e dois retângulos. Se os perímetros dos dois quadrados menores são 20 
e 80, qual a área do retângulo sombreado? 
 
a) 80 
b) 90 
c) 100 
d) 120 
e) 140 
 
23. Na figura a seguir, as circunferências têm centros nos pontos A e B e 
cada uma delas é tangente a três lados do retângulo. Sabendo que cada 
círculo tem área 2, qual é a área do retângulo? 
 
 
a) 4 
b) 
12
π
 
c) 4ð 
d) 12-ð 
e) 3 
 
 
 
 
 
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24. A razão entre a área do triângulo e a área do círculo inscrito, 
ilustrados na figura a seguir, é: 
 
a) 
12
π
 
b) 
6
π
 
c) 
18
π
 
d) 
4
π
 
e) 
1
π
 
 
25. A bandeira de um time de futebol tem o formato de um retângulo 
MNPQ. Os pontos A, B e C dividem o lado MN em quatro partes iguais. 
Os triângulos PMA e PCB são coloridos com uma determinada cor C1, o 
triângulo PAB com a cor C2 e o restante da bandeira com a cor C3. Sabe-
se que as cores C1, C2 e C3 são diferentes entre si. Que porcentagem da 
bandeira é ocupada pela cor C1? 
 
a) 12,5% 
b) 15% 
c) 22,5% 
d) 25% 
e) 28,5% 
 
26. Uma empresa tem o seguinte logotipo: 
 
Se a medida do raio da circunferência inscrita no quadrado é 3 cm, a área, 
em cm2, de toda a região pintada de preto é 
a) 9 -
9
4
π 
 
 
. 
b) 18 -
9
4
π 
 
 
. 
c) 18 -
9
2
π 
 
 
. 
d) 36 -
9
4
π 
 
 
. 
e) 36
9
2
π 
 
 
. 
 
27. Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 
8 cm × 14 cm, é dobrada como indicado na figura 2. 
 
 
Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm2, é igual 
a: 
a) 112 
b) 88 
c) 64 
d) 24 
 
28. Uma piscina retangular, de 6m de largura por 12m de comprimento, é 
contornada por uma superfície ladrilhada de 2m de largura, porém tendo 
os cantos formando triângulos, como mostra a figura. 
 
A área (em m2) dessa região ladrilhada, que está marcada na figura, é 
a) 72. 
b) 80. 
c) 88. 
d) 120. 
e) 152. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29. Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede a. Um dos arcos 
está contido na circunferência de centro C e raio a, e o outro é uma 
semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro a. A 
área da região hachurada é: 
 
a) Um quarto da área do círculo de raio a. 
b) Um oitavo da área do círculo de raio a. 
c) O dobro da área do círculo de raio 
a
2
. 
d) Igual à área do círculo de raio 
a
2
. 
e) A metade da área do quadrado. 
 
30. Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, 
uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área 
da região hachurada é: 
 
a) 
2
π 
 
 
+ 2 
b) ð + 2 
c) ð + 3 
d) ð + 4 
e) 2ð + 1 
 
GABARITO 
 
1. A 
2. D 
3. C 
4. C 
5. D 
6. A 
7. A 
8. B 
9. B 
10. B 
11. B 
12. B 
13. B 
14. A 
15. B 
16. E 
17. B 
18. C 
19. E 
20. B 
21. C 
22. C 
23. B 
24. B 
25. D 
26. B 
27. C 
28. B 
29. B 
30. B