Para determinar a imagem da transformação linear \( T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 \) dada por \( T(x, y, s, t) = (x - y + s + t, z + 2st, z + y + 3s - 3t) \), precisamos analisar as expressões resultantes. 1. **Primeiro componente**: \( x - y + s + t \) 2. **Segundo componente**: \( z + 2st \) 3. **Terceiro componente**: \( z + y + 3s - 3t \) Agora, vamos analisar as opções: a) \( \text{Im}T = \{(x, x + 2y, z + y); x, y \in \mathbb{R}\} \) b) \( \text{Im}T = \{(x, 1 - y, z - 2y); z, y \in \mathbb{R}\} \) c) \( \text{Im}T = \{(x, 1 + y, z + 2y); x, y \in \mathbb{R}\} \) d) \( \text{Im}T = \{(x, 2x + y, x + 2y); x, y \in \mathbb{R}\} \) e) \( \text{Im}T = \{(x, x + 2y, x - 2y); z, y \in \mathbb{R}\} \) Analisando as opções: - A opção **a** não se encaixa, pois não representa corretamente os componentes. - A opção **b** também não se encaixa, pois não reflete a estrutura da transformação. - A opção **c** não é correta, pois não corresponde aos componentes. - A opção **d** parece não se alinhar com a transformação dada. - A opção **e** apresenta uma combinação que pode se alinhar com a estrutura da transformação. Após a análise, a opção que melhor representa a imagem da transformação linear é: **e) ImT = {(x, x + 2y, x - 2y); z, y ∈ R}**.