Transformações Lineares em Álgebra Linear

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Segunda Avaliação Presencial de Álgebra Linear I – 26/11/2011 
Gabarito 
 
1ª Questão.(3,0) Seja 32: ℜ→ℜT tal que ( ) ( )1,0,13,2 −=−T e ( ) ( )0,1,02,1 −=−T . 
(a) Determine ( )yxT , . 
(b) Determine o núcleo de T e a imagem de T. 
(c) Determine uma base para o núcleo e para a imagem de T. 
Solução. (a) O conjunto {(-2,3),(1,-2)} é uma base do 2ℜ e 
(x, y) = (-2x-y)(-2,3) + (-3x-2y)(1,-2) 
T(x,y) = (-2x-y)T(-2,3) + (-3x-2y)T(1,-2) 
T(x,y) = (-2x-y)(-1,0,1) + (-3x-2y)(0,-1,0) 
T(x,y) = (2x+y,3x+2y,-2x-y) 
(b) 0
02
023
02
==⇒





=−−
=+
=+
yx
yx
yx
yx
. Logo, N(T) = {(0,0)} 
⇒





=−−
=+
=+
cyx
byx
ayx
2
23
2
 Logo, ( ){ }ℜ∈ℜ∈−= baabaT ,/,,)Im( 3 
(c) A base para N(T) é o conjunto vazio e B={(0,1,0), (1,0,-1)} é uma base de Im(T). 
 
2ª Questão.(1,5) Considere as seguintes transformações lineares planas: 
 
R : reflexão no eixo y; 
S : uma rotação de 30º no sentido anti-horário. 
Determine a matriz da transformação linear RST o: . 
 Solução. 
A matriz da transformação linear T1, que representa uma reflexão no eixo y é dada por 
 [R] 




−
=
10
01
 
A matriz da transformação linear T2, que representa uma rotação de 30º é dada por 







 −
=




 −
=
2
3
2
1
2
1
2
3
º30cosº30
º30º30cos
][
sen
sen
S 
 Logo, [ ] =T







 −
−
−
2
3
2
1
2
1
2
3





−
10
01
= 








−
−−
2
3
2
1
2
1
2
3
. 
 
3ª Questão.(2,0) Considere o operador T: 22 ℜ→ℜ , definido por T(x,y) = (x + y, x - y). 
(a) Determine BT ][ , onde B = {(1,2), (0,1)}. 
(b) Use a matriz encontrada em (a) para calcular BvT )]([ , dado v = (5,3). 
Solução. (a) T(1, 2) = (3, -1) = 3(1, 2) + -7(0,1) e T(0,1)=(1, -1) = 1(1,2) -3(0,1) 
Logo, 





−−
=
37
13
][ BT . 
(b) (5,3) = 5(1,2) -7(0,1) ⇒ 





−
=
7
5
][ Bv 
( ) BBB vTvT ][][][ = = )14,8(][
14
8
7
5
37
13
−=⇒





−
=





−





−− BT 
4ª Questão. (1,5) Dadas 




−
=
72
31
][ ,BAI e B = {(1,2), (1,-1)}, determine a base A. 
 
Solução. Seja A = {(a,b), (c,d)}. Então, (a,b) = -1(1,2) +2 (1,-1) = (1, -4) 
e (c,d) = 3(1,2) +7(1,-1) = (10, -1). 
Logo, A = {(1,-4), (10,-1)}. 
 
5ª Questão. (2,0) Considere o subespaço ( ) ( )[ ]0,1,2,1,1,0,1,1 −−=U do 4ℜ . 
Determine U⊥ e uma base de U⊥ . 
Solução. Um vetor v = (x, y, z, t) ∈ U ⊥ se 
,-1) t).(1,1,0z, y, (x, = 0 e 2,1,0)- t).(1,z, y, (x, = 0 
 Daí ,



=+−
=−+
02
0
zyx
tyx
 
Logo, U⊥ = {(x, y, -x+2y, x+y) | x, y ℜ∈ }. 
Como (x, y, -x+2y, x+y) = x(1,0,-1,1) + y(0,1,2,1), então uma base de U⊥ é 
B = {(1,0,-1,1), (0,1,2,1)}.