Álgebra Linear: Transformações e Matrizes

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do 
Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Segunda Avaliação Presencial de Álgebra Linear I - 14/06/2008 
GABARITO 
 
Nome:___________________________________________________ 
 
Pólo:_____________________________________________________ 
 
1ª Questão.(5,0pts) Considere a transformação 22: ℜ→ℜT definida por 
)3,2(),( yxyxyxT ++= . 
(a) Mostre que T é linear. 
Solução. Sejam (x, y) e (z, w) vetores do 2ℜ . 
=+ )),(),(( wzyxT =++++++=++ ))(3)(),()(2(),( wyzxwyzxwyzxT 
=++++++= ))3()3(),2()2(( wzyxwzyx 
+++= ))3(),2(( yxyx ))3(),2(( wzwz ++ = ).,(),( wzTyxT + 
=)),(( yxT α =),( yxT αα =++=++ ))3(),2(()3,2( yxyxyxyx αααααα 
).,()3,2( yxTyxyx αα =++= 
(b) Determine seu núcleo. T é injetora? Justifique. 
Solução. Para (x, y) N(T),∈ T(x, y) (0,0)= . Daí, 
2x y 0
x 3y 0
+ =
 + =
. Conjunto-solução é o conjunto {(0,0)}. Logo, N(T)= {(0,0)} 
e T é injetora. 
(c) Determine o conjunto imagem de T. T é sobrejetora? Justifique. 
Solução. dim 2ℜ = dim N(T) + dim Im(T). Logo dim Im(T) = 2. Daí, Im(T) = 
2ℜ e T é sobrejetora. 
(d) Encontre [ ]T , a matriz canônica de T. 
Solução. T(1,0) = (2,1) = 2(1,0) + 1(0,1) 
T(0,1) = (1,3) = 1(1,0) + 3(0,1) 
Logo, [ ] 2 1
T
1 3
 =  
 
. 
(e) Verifique se o operador T é inversível. Caso seja encontre uma 
fórmula para seu inverso. 
Solução. T é inversível pois det[ ]T 5 0= ≠ . 
2 1 1 0
1 3 0 1
 
⇒ 
 
1 3 0 1
2 1 0 1
 
⇒ 
 
1 2
5 5
0 11 3
0 1 −
 
⇒ 
 
3 1
5 5
1 2
5 5
1 0
0 1
−
−
 
⇒ 
 
 
( )3x y x 2y1
5 5T (x, y) ,− − +− = . 
 
2ª Questão.(1,0) Mostre que o conjunto S = {(1, 0, 0), (0, )}, 2
1
2
3− é 
ortonormal. 
Solução. S é ortonormal pois, 0),,0(),0,0,1( 2
1
2
3 =− , 1)0,0,1( = e 
1),,0( 2
1
2
3 =− . 
3ª Questão. (2,0pts) Determine a matriz da transformação linear de 2ℜ em 2ℜ 
que representa uma rotação de 60º, seguida de uma projeção sobre o eixo y. 
 Solução. A rotação de 60º é dada pela matriz A=









 −
2
1
2
3
2
3
2
1
. 
A projeção sobre o eixo y é dada pela matriz B = 





10
00
 
Logo, a matriz que representa a transformação é dada pelo produto das 
matrizes B.A = 





10
00









 −
2
1
2
3
2
3
2
1
= 




 00
2
1
2
3 .