APOSTILA DE GEOMETRIA PLANA

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1 
 
 
 
 2 
 
 
I. GEOMETRIA PLANA 
 
1. ÁREAS E PERÍMETROS ...................................................................................................................................................... 03 
2. ÁREAS DO CÍRCULO E SUAS PARTES ........................................................................................................................ 08 
3. POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS EM UMA CIRCUFERÊNCIA ............................. 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
A tabela a seguir mostra as fórmulas usadas 
para calcular a área das principais figuras 
planas. Elas serão muito utilizadas em 
Geometria métrica espacial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde p é o semiperímetro e a, b e c são os 
lados. 
 
 
 
 
 
 
h
a
ah
S =
2
 
 
 4 
 
1-(IFPE 19) A imagem abaixo é o esboço do 
símbolo do super-herói Menino-Vespa. Qual a 
área da região sombreada se a malha 
quadriculada é formada por quadrados com 1 
cm de lado? 
 
a) 222 cm 
b) 228 cm 
c) 236 cm 
d) 218 cm 
e) 214 cm 
 
2-(UNICAMP 19) No triângulo ABC exibido na 
figura a seguir, M é o ponto médio do lado AB, 
e N é o ponto médio do lado AC. Se a área do 
triângulo MBN é igual a t, então a área do 
triângulo ABC é igual a 
 
a) 3t. 
b) 2 3t. 
c) 4t. 
d) 3 2t. 
 
3-(CMRJ 19) Observe as figuras A, B, C, D e E 
desenhadas no quadriculado abaixo. 
Somando-se as áreas de todas as figuras, qual 
dessas figuras tem área igual a 1/6 dessa 
soma? 
 
 
 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
 
 
4-(UNICAMP 20) A figura abaixo exibe o 
triângulo ABC, em que AB = BC e AD é uma 
altura de comprimento h. A área do triângulo 
ABC é igual a 
 
a) 2h . 
b) 22 h . 
c) 23 h . 
d) 22h . 
 
5-(CP2 19) Nas salas de aula do Colégio Pedro 
II serão colocados pisos conforme a figura a 
seguir. Cada piso é formado por quatro 
retângulos iguais de lados 10 cm e (x + 10) cm 
respectivamente, e um quadrado de lado igual 
a x cm. Sabendo-se que a área de cada piso 
equivale a 900 cm2, o valor de x, em 
centímetros, é 
 
a) 10. 
b) 23. 
c) 24. 
d) 50. 
 
6-(FATEC 19) Uma artesã borda, com lã, 
tapetes com desenhos baseados em figuras 
geométricas. Ela desenvolve um padrão 
retangular de 20 cm por 40 cm. No padrão, 
serão bordados dois triângulos pretos e 
quatro triângulos na cor cinza e o restante 
será bordado com lã branca, conforme a 
figura. Cada triângulo preto é retângulo e 
isósceles com hipotenusa 12 2 cm. Cada 
triângulo cinza é semelhante a um triângulo 
preto e possui dois lados de medida 10 cm. 
Assim posto, a área no padrão bordada em 
branco é, em cm2 
 
a) 344. 
b) 456. 
c) 582. 
d) 628. 
e) 780. 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 
E C B A A B 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
1-(EEAR 19) Um trapézio tem 12 cm de base 
média e 7 cm de altura. A área desse 
quadrilátero é ______ cm2. 
 
a) 13 
b) 19 
c) 44 
d) 84 
 
2-(COT 19) Frente ao crescente volume de 
construções nas cidades, muitas vezes de 
forma desordenada, um projeto paisagístico 
tem a importante missão de devolver a 
harmonia do ser humano com o meio 
ambiente, possibilitando-lhe uma melhor 
convivência com a natureza. O projeto de um 
museu prevê que se construa um jardim, 
formando com o prédio do museu uma área 
retangular, de acordo com a figura abaixo. 
Nela, a região cinza representa o lugar em que 
o jardim será construído. Sabendo que o 
jardim ocupa 
184 m2, calcule 
a medida x, em 
metros. 
 
a) 7 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
 
3-(CEFET RJ 19) Na figura a seguir, ABCD é um 
paralelogramo e os pontos E e P foram 
tomados sobre o lado CD de modo que a área 
do triângulo ABE fosse igual a 220,5 cm . 
 
a) Qual seria a área, em cm2, do triângulo 
ABP? 
b) Qual a área do paralelogramo ABCD? 
 
 
4-(UFJF 19) Uma empresa de eventos realizará 
um show num espaço fechado, cujas 
dimensões e forma estão representadas na 
figura a seguir: 
 
 
 
O espaço está dividido nos setores I e II. O 
número de ingressos que será posto à venda 
para cada setor deverá ser dimensionado de 
forma que, com a venda de todos os ingressos, 
o número de pessoas por metro quadrado 
para cada setor e o valor do ingresso por 
pessoa sejam conforme descritos no quadro 
abaixo: 
 
Setor 
Número de pessoas por 
metro quadrado 
Preço do ingresso por 
pessoa 
I 2 R$ 180,00 
II 3 R$ 80,00 
 
Qual é o valor da arrecadação esperada com a 
venda de todos os ingressos para esse show? 
 
5-(UECE 19) Se as medidas dos comprimentos 
dos lados de um triângulo são 
respectivamente 4 m, 6 m e 8 m, então, a 
medida da área desse triângulo, em m2, é 
 
a) 5 6. 
b) 3 15. 
c) 6 5. 
d) 4 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 
D D 20,5 e 41 312.000 B 
 
 
 
 6 
 
1-(ENEM 19) No trapézio isósceles mostrado 
na figura a seguir, M é o ponto médio do 
segmento BC, e os pontos P e Q são obtidos 
dividindo o segmento AD em três partes 
iguais. 
 
 
 
Pelos pontos B, M, C, P e Q são traçados 
segmentos de reta, determinando cinco 
triângulos internos ao trapézio, conforme a 
figura. A razão entre BC e AD que determina 
áreas iguais para os cinco triângulos 
mostrados na figura é 
 
a) 
1
3
 
b) 
2
3
 
c) 
2
5
 
d) 
3
5
 
e) 
5
6
 
 
2-(CEFET RJ 19) As quatro figuras a seguir têm: 
 
 
 
a) perímetros diferentes e áreas diferentes. 
b) perímetros diferentes e áreas iguais. 
c) perímetros iguais e áreas diferentes. 
d) perímetros iguais e áreas iguais. 
 
3-(IFSC 17) A garagem de um prédio chamado 
Lucas tem o formato da letra L, cujas medidas 
estão indicadas na figura a seguir. Dentre as 
reformas que o dono do prédio planeja fazer 
na estrutura física do imóvel, está a colocação 
de piso cerâmico na garagem, utilizando peças 
quadradas medindo 50 cm x 50 cm. Com base 
nessas informações, calcule o número mínimo 
necessário de peças cerâmicas que deverá ser 
utilizado para revestir essa área. 
 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
 
a) 3.200 peças cerâmicas. 
b) 2.560 peças cerâmicas. 
c) 2.816 peças cerâmicas. 
d) 1.040 peças cerâmicas. 
e) 1.280 peças cerâmicas. 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 
B C B 
 
 
 7 
 
1-(CP2 17) Uma sequência numérica muito 
famosa é a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 
5, 8, ...). Essa sequência possui uma lei de 
formação simples: cada elemento, a partir do 
terceiro, é obtido somando-se os dois 
anteriores. Observe: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 
= 5 e assim sucessivamente. O retângulo 
exposto a seguir representa, 
geometricamente, a parte inicial dessa 
sequência. Ele está dividido em seis 
quadrados, cujas medidas dos lados são 
diretamente proporcionais aos termos iniciais 
dessa sequência. Se a área do menor 
quadrado é igual a 4 cm2 a razão entre a área 
do retângulo maior e a área do menor 
quadrado é 
 
a) 40. 
b) 64. 
c) 104. 
d) 240. 
 
2-(IFSC 16) A região representada pela figura 
abaixo é formada pelos seguintes polígonos: 
um triângulo equilátero de lados 18 m, um 
retângulo de lados 10 m de largura por 20 m 
de comprimento e um triângulo retângulo de 
catetos 15 m e 20 m. 
 
 
 
Com base nessas informações e considerando 
3 1,7,= é CORRETO afirmar que a área e o 
perímetro dessa região são, respectivamente, 
 
a) 2437,7 m e 148 m. 
b) 2457,7 m e 118 m. 
c) 2437,7 m e 156 m. 
d) 2487,7 m e 118 m. 
3-(IFSUL 17) As medidas do comprimento e da 
altura (em metros) do outdoor retangular, 
representado na figura abaixo, são 
exatamente as soluções da equação 
2x 10x 21 0.− + = 
 
 
 
Dessa forma, é correto afirmar que a área 
desse outdoor é 
 
a) 210 m . 
b) 220 m . 
c) 221m . 
d) 224 m . 
 
4-(IFSP 16) Em uma sala residencial será 
construído um jardim de inverno com formato 
retangular. Esse jardim de inverno terá 
comprimento igualao dobro da sua largura e 
perímetro de 15 metros. Após a construção 
desse jardim sobrará, da sala residencial, uma 
área útil de 45,5 metros quadrados. Sendo 
assim, a área total útil da sala residencial, 
antes da construção desse jardim, é: 
 
a) 58 metros quadrados. 
b) 55 metros quadrados. 
c) 52 metros quadrados. 
d) 61 metros quadrados. 
e) 49 metros quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 
C E C A 
 
 
 
 8 
 
 
 
 
 
 
1-(UEL 19) Um quatrefoil é uma figura 
simétrica comumente usada em arte, design e 
arquitetura. Sua forma é antiga e o nome vem 
do latim, significando “quatro folhas”. Ele 
possui quatro folhas de mesmo tamanho, com 
formato circular, interconectadas, as quais se 
sobrepõem ligeiramente, e se assemelha a 
uma flor de quatro pétalas. Considere dois 
exemplos de quatrefoil, a seguir. 
 
 
 
Pretende-se construir um quatrefoil similar ao 
apresentado no Exemplo A, no qual as folhas 
são formadas por semicírculos. Sabendo que 
seu perímetro deve ser de 28 cmπ determine 
a área total da figura a ser construída. 
 
2-(FMP 19) A figura abaixo mostra um círculo 
que representa uma região cuja área mede 
600 m2. No círculo está destacado um setor 
circular, definido por um ângulo central que 
mede 24°. Quantos metros quadrados mede a 
área da região representada pelo setor 
circular? 
 
a) 25 
b) 40 
c) 24 
d) 48 
e) 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R
C
S = R
2
S = (R - r )2 2
R
Cr
S =
2
R2
360
R2
S =
Em graus Em radianos
R
C
RC
E m radianos
S =
R 2
2
( - sen )
 
 
 
 9 
3-(IFPE 19) Para controlar a velocidade no 
trânsito, são utilizadas placas como a da 
imagem abaixo. Perceba que ela é circular e 
considere que possui 25 cm de raio. A parte 
branca da placa, onde aparece a indicação de 
30 km/h também é circular e você deve 
considerá-la com 20 cm de raio, portanto, a 
faixa circular escura da borda tem 5 cm de 
largura. Usando π 3,= é CORRETO afirmar que 
a área da faixa escura da borda, em 
centímetros quadrados, é 
 
a) 75. 
b) 1875. 
c) 1200. 
d) 675. 
e) 30. 
 
4-(FAE MED 19) Já funciona no extremo sul da 
costa brasileira um radar capaz de detectar e 
identificar embarcações em alto-mar depois 
da curvatura da Terra. Feito com apoio da 
Marinha, o radar OTH chega a acompanhar o 
tráfego de navios a cerca de 370 km da costa. 
 
(http://revistapesquisa.fapesp.br, 24.08.2018. Adaptado.) 
 
O feixe de ondas desse radar fornece uma 
cobertura de 120 graus a partir da antena 
transmissora, conforme exemplificado na 
ilustração: 
 
 
Considere que a área de cobertura indicada na 
figura represente um setor circular no plano. 
De acordo com os dados, a área de cobertura 
desse radar é um valor entre 
 
a) 240.000 km e 250.000 km . 
b) 2140.000 km e 2150.000 km . 
c) 2230.000 km e 2240.000 km . 
d) 2310.000 km e 2320.000 km . 
e) 2420.000 km e 2430.000 km . 
5-(FAMERP 19) As bases do sólido ilustrado na 
figura 1, destacadas em amarelo, são figuras 
congruentes contidas em planos paralelos, 
que distam entre si 6 unidades de 
comprimento. A base inferior desse sólido, 
apresentada na figura 2, é limitada por arcos 
de circunferências centradas em (2, 0), (4, 0) e 
(4, 2) e por dois segmentos de reta. 
 
 
 
 
 
O volume do sólido indicado na figura 1, em 
unidades de volume do sistema de 
coordenadas cartesianas Oxyz é igual a 
 
a) 17 .π 
b) 18 .π 
c) 16,5 .π 
d) 16 .π 
e) 17,5 .π 
 
 
 
1 2 3 4 5 
2A 98 ( 2) cm .π=  + B D B C 
 
 
 
 10 
 
1-(CEFET MG 19) A figura abaixo representa 
quatro circunferências de mesmo raio e 
centros A, B, C e D. Essas circunferências 
tangenciam-se em um único ponto P, comum 
às quatro circunferências, e o quadrilátero 
ABCD é um quadrado cujo lado mede 2 2 cm. 
 
 
 
A área da região sombreada na figura, em cm2, 
é 
 
a) 2 4.π − 
b) 8 4.π − 
c) 8 16.π − 
d) 16 16.π − 
 
2-(CP 19) Daniela desenhou em seu caderno 
um triângulo equilátero ABC de lado 8 cm 
(Figura 1). A seguir, tomando como referência 
os pontos médios dos lados desse triângulo, 
traçou outro triângulo equilátero DEF, 
congruente a ABC, em que D é ponto médio 
de BC e A é ponto médio de EF (Figura 2). Para 
finalizar, desenhou um coração com dois 
semicírculos (de mesmo raio e centros sobre 
EF) e quatro arcos congruentes (dois deles 
com centro em A, outro com centro em B e 
outro com centro em C), conforme a Figura 3. 
Considere: 3π  e 3 1,7 . A área do 
coração, em centímetros quadrados, é 
 
a) 15,2 
b) 39,2 
c) 55,2 
d) 66,2 
3-(ENEM 19) Uma administração municipal 
encomendou a pintura de dez placas de 
sinalização para colocar em seu pátio de 
estacionamento. O profissional contratado 
para o serviço inicial pintará o fundo de dez 
placas e cobrará um valor de acordo com a 
área total dessas placas. O formato de cada 
placa é um círculo de diâmetro d = 40 cm, que 
tangencia lados de um retângulo, sendo que o 
comprimento total da placa é h = 60 cm, 
conforme lustrado na figura. Use 3,14 como 
aproximação para .π Qual é a soma das 
medidas das áreas, em centímetros 
quadrados, das dez placas? 
 
a) 16.628 
b) 22.280 
c) 28.560 
d) 41.120 
e) 66.240 
 
4-(FMTM MG 03) A figura mostra uma 
circunferência de centro O e raio igual a 2 e 
um pentágono regular ABCDO, cujos vértices 
A e D pertencem à circunferência. A região 
hachurada tem área igual a: 
 
a) 
5
6 
b) 
3
8 
c) 
4
9 
d) 
3
10 
e) 
5
12 
 
1 2 3 4 
C B B A 
 
 
 
 
 
 11 
 
 
Um polígono é regular quando tem os lados 
congruentes e os ângulos congruentes. 
 
 
Polígono inscrito no círculo é o polígono, cujos 
vértices ficam na circunferência. Os lados são 
cordas. O círculo diz-se circunscrito ao 
polígono. 
 
 
 
Polígono circunscrito ao círculo é o polígono, 
cujos lados são tangentes à circunferência. Os 
lados são cordas. O círculo diz-se inscrito ao 
polígono. 
 
 
 
• A inscrição de polígonos regulares baseia-
se no teorema, onde arcos iguais 
subtendem cordas iguais. 
• Centro de um polígono regular é o centro 
da circunferência circunscrita. 
• Raio de um polígono regular é o raio da 
circunferência circunscrita 
 
 
 
 
 
Apótema de um polígono regular é a distância 
do centro a qualquer lado. 
 
 
 
O Apótema é sempre perpendicular ao lado. 
 
Ângulo cêntrico do polígono regular é o 
ângulo formado por dois raios consecutivos 
do mesmo polígono. O valor do ângulo 
cêntrico é 
n
0360
, sendo n o número de lados. 
 
Todos os polígonos regulares são inscritíveis 
e circunscritíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
 
1-Calcule o apótema de um quadrado inscrito 
numa circunferência de raio 27 . 
 
2-O lado de um quadrado inscrito numa 
circunferência mede 210 cm. Calcule o raio 
da circunferência. 
 
3-A medida do apótema de um quadrado 
inscrito numa circunferência é 25 cm. Calcule 
o raio da circunferência. 
 
4-Calcule o apótema de um quadrado inscrito 
numa circunferência de raio 28 . 
 
5-O lado de um quadrado inscrito numa 
circunferência mede 4 cm. Calcule o raio da 
circunferência. 
 
6-Um quadrado tem o apótema medindo 5 
cm. Calcule o perímetro desse quadrado 
inscrito na circunferência. 
 
7-Calcular a medida do raio e do apótema no 
quadrado inscrito numa circunferência, cujo o 
lado mede 12 cm. 
 
8-A diagonal de um quadrado inscrito em uma 
circunferência mede 5 cm. Calcule o lado do 
hexágono regular inscrito nessa mesma 
circunferência. 
 
9-O lado de um quadrado inscrito em uma 
circunferência mede 210 cm. Calcule a 
medida do lado do triângulo equilátero 
inscrito na mesma circunferência. 
 
10-O lado de um quadrado inscrito numa 
circunferência mede 212 cm. Calcular o lado 
do quadrado circunscrito ao mesmo círculo. 
 
11-Em um círculo, estão inscritos um 
quadrado e um triângulo equilátero. Se o lado 
do triângulo mede 12 cm, quanto mede o lado 
do quadrado? 
12-O perímetro deum quadrado inscrito 
mede 232 cm. Calcular a medida do raio do 
círculo de inscrição. 
 
13-Determine o perímetro de um hexágono 
regular inscrito numa circunferência de 5 cm 
de raio. 
 
14-O apótema de um hexágono regular 
inscrito numa circunferência mede 15 cm. 
Quanto mede o seu lado? 
 
15-O apótema de um hexágono regular 
inscrito numa circunferência mede 37 cm. 
Determine o perímetro do hexágono. 
 
16-O raio de um hexágono regular inscrito 
numa circunferência mede 5 cm. Calcule o 
perímetro do hexágono. 
17-O lado de um hexágono regular inscrito 
numa circunferência mede 26 cm. Quanto 
mede o seu apótema? 
 
18-Achar o lado do hexágono regular, inscrito 
num círculo, onde a diagonal do quadrado 
circunscrito mede 8 cm. 
 
19-Em um círculo está inscrito, um quadrado 
e um hexágono regular. Se o apótema do 
hexágono mede 12 cm, quanto mede o lado 
do quadrado? 
 
20-Num círculo estão inscritos um hexágono 
regular e um triângulo equilátero. A soma do 
quadrado do número que representa a 
medida do apótema do hexágono com o 
número que representa o apótema do 
triângulo, vale 310. Calcular o lado do 
hexágono e o do triângulo. 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 
7 10 225 28 22 40 26 ; 6 
 
8 9 10 11 12 13 14 
2,5 310 24 64 8 30 310 
 
15 16 17 18 19 20 
84 30 313 2,828 68 20; 34,6 
 
 
 13 
 
1-Numa circunferência está inscrito um 
triângulo equilátero cujo apótema mede 3 cm. 
Qual a medida do seu diâmetro? 
 
a) 10 cm 
b) 12 cm 
c) 14 cm 
d) 16 cm 
 
2-O perímetro de um hexágono regular 
inscrito numa circunferência de 14 cm de 
diâmetro é: 
 
a) 36 cm 
b) 42 cm 
c) 48 cm 
d) 54 cm 
 
3-A medida do diâmetro de uma 
circunferência é 36 cm. A medida do lado de 
um quadrado inscrito nessa circunferência é: 
 
a) 9 cm 
b) cm212 
c) cm312 
d) cm218 
 
4-O perímetro de um quadrado inscrito numa 
circunferência é 40 cm. Então, o raio da 
circunferência mede: 
 
a) cm25 
b) cm35 
c) cm210 
d) cm310 
 
5-O perímetro de um hexágono regular cujo 
apótema mede cm35 é: 
 
a) 58 cm 
b) 60 cm 
c) 62 cm 
d) 64 cm 
6-O raio de uma circunferência onde se 
inscreve um triângulo equilátero de 3 cm de 
lado é: 
 
a) 1 
b) 3 
c) 2/3 
d) 4/3 
 
7-O perímetro de um quadrado inscrito numa 
circunferência cujo apótema mede cm
2
1
3 é: 
 
a) 24 cm 
b) 26 cm 
c) 28 cm 
d) 30 cm 
 
8-O lado do quadrado inscrito numa 
circunferência mede 4 cm. O lado do triângulo 
equilátero inscrito na mesma circunferência 
mede: 
 
a) 32 
b) 62 
c) 23 
d) 26 
 
9-A distância entre dois lados paralelos de um 
hexágono regular inscrito numa 
circunferência é definida por ( ) ma 3.2+ . 
Assim sendo, o raio dessa circunferência tem 
por expressão: 
 
a) m32 
b) ma 3 
c) ( )ma 2+ 
d) m
a
2
2+
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
B B D A B B C B C