Matemática - Livro 2-361-363

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F
R
E
N
T
E
 3
361
23 Fuvest 2018 No plano cartesiano real, considere o
triângulo ABC, em que A(5, 0), B(8, 0), C(5, 5), e a reta
de equação y = ax, 0 < a < 1 Seja f(a) a área do trapé-
zio ABED, em que D é a interseção da reta y = ax com
a reta de equação x = 5, e o segmento DE é paralelo
ao eixo Ox.
y
xA
C
D E
y = αx
O B
a) Encontre o comprimento do segmento DE em fun
ção de a.
b) Expresse f(a) e esboce o gráfico da função f.
24 ITA 2016 Se a reta de equação x = a divide o quadri-
látero cujos vértices são (0, 1), (2, 0), (4, 0) e (6, 4) em
duas regiões de mesma área, então o valor de a é
igual a:
A 2 5 1
 2 6 1
C 3 5 4
 2 7 2
E 3 7 5
25 ITA 2018 No plano cartesiano são dados o ponto
P(0, 3) e o triângulo de vértices A(0, 0), B(3, 0) e C(3, 2).
Determine um ponto N sobre o eixo dos x de modo
que a reta que passa por P e N divida o triângulo ABC
em duas regiões de mesma área.
26 IME 2017 Sejam os pontos A(0, 0), B(–1, 1), C(1, 2), D(4,1)
e




E 3,
1
2
. A reta r passa por A e corta o lado CD, di-
vidindo o pentágono ABCDE em dois polígonos de
mesma área. Determine a soma das coordenadas do
ponto de interseção da reta r com a reta que liga C
e D.
A
25
7

51
14
C
26
7

53
14
E
27
7
27 Unifesp 2016 Na figura, as retas r, s e t estão em um
mesmo plano cartesiano. Sabe-se que r e t passam
pela origem desse sistema, e que PQRS é um trapézio.
0
7
8
3,5
3,5 x
y
s
t
r
R
S
Q
P
a) Determine as coordenadas do ponto de interseção
entre as retas r e s.
b) Prove que os lados não paralelos do trapézio PQRS
não possuem a mesma medida, ou seja, que o tra
pézio PQRS não é isósceles.
28 IFMG 2017 Sejam as funções reais p(x) = 3x – 4,
= +q(x) –
x
2
4, r(x) = 3x – 10 e s(x) = 1. Considerando
todas as interseções entre essas retas, o único qua-
drilátero que pode ser desenhado, utilizando quatro
dessas interseções como vértices, é um
A losango.
 trapézio.
C quadrado.
 retângulo.
29 UPE 2017 Qual é a medida da área do quadrilátero li-
mitado pelas retas (r) y = 4; (s) 3x – y – 2 = 0; (t) y = 1 e
(u) 3x + 2y – 20 = 0?
A 7,5
 9,0
C 10,5
 11
E 12
30 UEMG 2017 No gráfico, representado a seguir, uma das
retas esboçadas tem inclinação igual a –3 e a outra
reta, inclinação igual a
1
2
. Sabendo-se disso, a área
(em unidade de área) da região hachurada é:
y
x1
2
A 6 u.a.

21
5
 u.a.
C
29
7
 u.a.

33
7
 u.a.
31 Unicamp Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico
da função =y
1
x
, x > 0. As abscissas de A, B e C são
iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é
paralelo ao segmento CD.
a) Encontre as coordenadas do ponto D.
b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios
dos segmentos AB e CD passa também pela ori-
gem.
32 PUC-Rio 2016 Sejam f: R→ R e g: R→ R as funções
definidas por f(x) = |3x – 1| e g(x) = 1 – 3x.
a) Esboce os gráficos de f e g no mesmo sistema de
coordenadas cartesianas.
b) Para quais valores de x, temos f(x) – g(x) ≤ 28? Jus-
tifique sua resposta.
c) Determine a área do triângulo ABC, onde A(0, f(0)),
B(3, g(3)) e C(3, f(3)), justificando sua resposta.
MATEMÁTICA Capítulo 8 O estudo da reta362
33 Col. Naval 2015 As retas r1: 2x – y + 1 = 0, r2: x + y +
+ 3 = 0 e r3: ax + y – 5 = 0 concorrem em um mes-
mo ponto P para determinado valor de a ∈ R. Sendo
assim, pode-se afirmar que o valor da expressão
aπ



a π



aπ



cos
3
 – 3sen
(–3 – )
8
 –
5 3
2
 tg
–
6
3 é:
A +



3 1
2
4
b 2 –
3 2
4
C +2 2
8
d +3 2
4
E



3 1 –
2
4
34 Uerj 2014
y
x0
BC
A
Q
P
No gráco apresentado, estão indicados os pontos
A(1, 0), B(2, 1) e C(0, 1), que são xos, e os pontos P
e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se
desloca no segmento de reta de C até A, enquanto
o ponto Q se desloca no segmento de A até B. Nes-
ses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é
igual à ordenada de Q.
Determine a medida da maior área que o triângulo
PAQ pode assumir.
35 Unicamp 2014 Considere no plano cartesiano os pon-
tos A(–1, 1) e B(2, 2)
a) Encontre a equação que representa o lugar geo-
métrico dos centros dos círculos que passam
pelos pontos A e B
) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das
ordenadas Determine C de modo que o triângulo
ABC tenha área igual a 8
36 Fuvest A hipotenusa de um triângulo retângulo está con-
tida na reta r: y = 5x – 13, e um de seus catetos está
contido na reta s: y = x – 1. Se o vértice onde está o
ângulo reto é um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s,
determine
a) todos os vértices do triângulo;
) a área do triângulo.
37 FGV-SP 2018 Sejamm e n números reais e
+ =
+ =



3x my n
x 2y 1
um sistema de equações nas incógnitas x e y. A res-
peito da representação geométrica desse sistema no
plano cartesiano, é correto afirmar que, necessaria-
mente, é formada por duas retas
A paralelas distintas, se m = 6 e n ≠ 3.
b paralelas coincidentes, se m = 6 e n ≠ 3.
C paralelas distintas, se m = 6.
d paralelas coincidentes, se n = 3.
E concorrentes, se m ≠ 0.
38 AFA 2018 Considere no plano cartesiano as retas r e s
dadas pelas equações:
+ + = ∈+ = R
r: 3x 3py p 0
, onde p
s: px 9y – 3 0
Baseado nessas informações, marque a alternativa
incorreta.
A r e s são retas concorrentes se |p| ≠ 3.
b Existe um valor de p para o qual r é equação do
eixo das ordenadas e s é perpendicular a r.
C r e s são paralelas distintas para dois valores reais
de p.
d r e s são retas coincidentes para algum valor de p.
39 ITA 2017 Considere as retas de equações = +r: y 2x a 
= + e s: y bx c , em que a, b e c são reais Sabendo que
r e s são perpendiculares entre si, com r passando por
(0, 1) e s, por ( )2, 4 , determine a área do triângulo
formado pelas retas r, s e o eixo x
40 FGV-RJ 2017 No plano cartesiano são dados os pontos
A( 3, 1) e B(4, 5). A reta r de equação kx y + 2 = 0 é va
riável, pois sua posição depende do coeficiente real k.
a) Determine para que valores de k os pontos A e B
ficam de um mesmo lado da reta r.
) Determine para que valor de k os pontos A e B fi
cam equidistantes da reta r.
41 Efomm 2018 A projeção ortogonal de A sobre a reta
BC
� 
, sabendo-se que A(3, 7), B(1, 1) e C(9, 6), terá as
coordenadas da projeção:
A = =x 468
85
; y
321
89
b = =x 478
87
; y
319
87
C = =x 487
84
; y
321
87
d = =x 457
89
; y
319
89
E = =x 472
89
; y
295
89
42 UEMG 2018 Com o sistema de coordenadas da Geome
tria Analítica, é possível obter a interpretação algébrica
de problemas geométricos. Por exemplo, sabendo-se
que as retas r e s são perpendiculares, conhecendo a
equação da reta r dada por x + y 1 = 0 e sabendo que
o ponto P( 3, 2) pertence à reta s, é possível encontrar
o ponto Q, simétrico de P em relação à reta r Nesse
caso, o ponto Q é dado por:
A (1, 3) b ( 1, 3) C (1, 4) d ( 1, 4)
43 UFTM 2012 Seja A o conjunto dos pontos (x, y) do pla
no cartesiano ortogonal em que x e y podem assumir
quaisquer valores do conjunto { 1, 0, 1}, incluindo va
lores iguais.
a) Calcule o total de retas distintas que passam por
pelo menos dois pontos de A.
) Dentre todas as retas distintas que passam por
pelo menos dois pontos de A, calcule a porcenta
gem daquelas que são perpendiculares à reta de
equação 2x + 2y 5 = 0.
F
R
E
N
T
E
 3
363
44 ITA 2015 Dados o ponto




A 4,
25
6
 e a reta
r: 3x + 4y – 12 = 0, considere o triângulo de vértices
ABC, cuja base BC está contida em r e a medida dos
lados AB e AC é igual a
25
6
. Então, a área e o perímetro
desse triângulo são, respectivamente, iguais a:
A
22
3
 e
40
3
.

23
3
 e
40
3
.
C
25
3
 e
31
3
.

25
3
 e
35
3
.
E
25
3
 e
40
3
.
45 ITA 2017 Considere a reta r: y = 2x. Seja A(3, 3) o vér-
tice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está
contida em r. A área deste quadrado é:
A
9
5

12
5
C
18
5

21
5
E
24
5
46 EsPCEx 2017 Considere a reta t mediatriz do segmento
cujos extremos são os pontos em que a reta intercep-
ta os eixos coordenados. Então, a distância do ponto
M(1, 1)à reta t é:
A
13 3
11

10 13
13
C
13 11
13

3 11
13
E
3 3
11
47 ITA 2015 Considere os pontos A(0, –1), B(0, 5) e a reta
r: 2x – 3y + 6 = 0. Das afirmações a seguir:
I. d(A, r) = d(B, r)
II. B é simétrico de A em relação à reta r.
III. AB é base de um triângulo equilátero ABC de vér-
tice ( ) ( )C –3 3, 2 ou C 3 3, 2 .
É (são) verdadeira(s) apenas
A I.
 II.
C I e II.
 I e III.
E II e III.
48 Insper 2014 A figura mostra um tabuleiro de um jogo
Batalha Naval, em que André representou três navios
nas posições dadas pelas coordenadas B2, B14 e M3.
Cada navio está identificado por um quadrado som-
breado.
1
B
A
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
André deseja instalar uma base em um quadrado
do tabuleiro cujo centro que equidistante dos cen-
tros dos três quadrados onde foram posicionados os
navios. Para isso, a base deverá estar localizada no
quadrado de coordenadas:
A G8
 G9
C H8
 H9
E H10
49 UFSCar Admita os pontos A(2, 2) e B( 3, 4) como sen-
do vértices opostos de um losango ACBD.
a) Determine a equação geral de cada uma das retas
suportes das diagonais do losango ACBD.
b) Calcule o comprimento do lado do losango ACBD,
admitindo-se que um de seus vértices esteja no
eixo das abscissas
50 Uerj 2012 A figura a seguir representa a superfície
plana de uma mesa retangular BFGH na qual estão
apoiados os seguintes instrumentos para desenho
geométrico, ambos de espessuras desprezíveis
– um transferidor com a forma de um semicírculo de
centro O e diâmetro AB;
– um esquadro CDE, com a forma de um triângulo re-
tângulo isósceles.
H
A
O
B E D
C
F
G
10
20
30
40
5
0
6
0
7
0
8
0
0
0
0
1
0
2
0
3
0
1
40
50
60
170180
180 70
60
150
4
0
1
3
0
1
2
0
1
1
0
1
0
0
0
8
0
7
0
6
0
0
0
30
20
10
0356890
Considere as informações a seguir:
ED está contido em BF;
OA está contido em BH;
AB = 10 cm;
BD = 13 cm.
Calcule a medida, em centímetros, do menor segmento
que liga a borda do transferidor à borda do esquadro.
51 IME 2016 O lugar geométrico dos pontos em R2 equi
distantes às retas de equações 4x + 3y 2 = 0 e
12x 16y + 5 = 0 é:
A 4x + 28y + 13 = 0
 8x – 7y – 13 = 0
C 28x – 4y – 3 = 0
 56x2 + 388y – 184x – 56y2 – 16y + 19 = 0
E 112x2 + 768xy – 376x – 112y2 – 32y + 39 = 0