Matemática - Livro 1-295-297

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F
R
E
N
T
E
 3
295
De acordo com essa definição de semelhança e usan-
do propriedades simples de proporções, podemos provar
que todas as medidas e comprimentos correspondentes
são proporcionais, ou seja, não são apenas os lados que
estão na mesma razão; as alturas, as medianas e os perí-
metros também estão na razão k.
Critérios de semelhança de triângulos
Para afirmar que dois triângulos são semelhantes, não
é necessário conhecer todas as medidas dos ângulos e
dos lados. Em alguns casos, sabendo poucas medidas, já é
possível afirmar se os triângulos são ou não semelhantes.
A semelhança entre figuras geométricas é indicada
pelo símbolo ~.
É correto afirmar que dois triângulos são semelhantes
nos casos indicados a seguir.
Caso AA
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes, então
eles são semelhantes.
B
A C A
B
C
~
A e B� �  � ∼= = ⇔A' B' ABC A'B'C'∆ ∆
Reta paralela a um lado do triângulo
Se uma reta paralela a um lado de um triângulo corta os
outros dois lados, ela forma um novo triângulo semelhante
ao original.
C
D
BA
E r //AB
r // AB ⇔ ∆ ∆ABC EDC
Caso LAL
Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos
lados homólogos (correspondentes) de outro triângulo, e se
o ângulo formado por esses lados for congruente ao ângulo
correspondente do outro triângulo, então os triângulos são
semelhantes
E
D
F
B
C
A
AB
DE
AC
DF
e A D ABC DEF= = ⇔� � ∼∆ ∆
Caso LLL
Se os três lados de um triângulo são proporcionais
aos três lados de outro triângulo, então esses triângulos
são semelhantes.
E
D
F
B
C
A
AB
DE
AC
DF
BC
EF
ABC DEF= = ⇔ ∼∆ ∆
Exercícios resolvidos
8 Um ponto P situado no menor lado do triângulo ABC
de lados AB = 12, BC = 15 e AC = 21 é tal que AP = 4
Uma reta paralela ao lado BC desse triângulo passa
pelo ponto P e determina um ponto Q sobre o lado
AC. Calcule as medidas dos segmentos CQ e PQ.
Resolução:
O enunciado pode ser representado pela seguinte
gura:
A
4
P
B
y
Q
x
C15
12
21
A medida x de CQ pode ser obtida a partir do teorema
de Tales, pois PQ // BC, logo:
AP
PB
AQ
QC
= .
Observando que PB = 12 – 4 = 8 e AQ = 21 – x, temos:
4
8
21= x
x
. Resolvendo a equação, temos x = 14.
Já a medida y do segmento PQ pode ser obtida
a partir da semelhança entre os triângulos APQ
e ABC, apresentados na gura, pois como
PQ BC APQ ABC // ⇒ ∆ ∆
Dessa semelhança, temos: AP
AB
PQ
BC
= . Assim, resolven
do a equação 4
12 15
=
y
, temos y = 5.
Portanto, CQ = 14 e PQ = 5
MATEMÁTICA Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas296
9 Fuvest O retângulo PQRS está inscrito no triângulo
ABC e tem sua base PQ com medida igual ao dobro
de sua altura
B
P
b
Q
C
x
2xS
R
A
h
Sendo b e h os valores da base e da altura do triângulo
ABC, podemos afirmar que x vale:
A
hb
h b+
b
hb
h b2 +
C
hb
h b2 +( )
d
hb
h b+2
E
2hb
h b+
Resolução:
Como os lados opostos de um retângulo são parale-
los, SR BC ASR ABC // ⇒ ∆ ∆ .
Dessa semelhança, temos, por exemplo, que a razão
entre as alturas desses triângulos é igual à razão entre
suas bases. Assim:
h x
h
x
b
xh b h x hx bh bx= ⇒ = ( ) ⇒ = ⇒2 2 2
h x bx bh x h b bh x
hb
h
⇒ + = ⇒ +( ) = ⇒ =
+
2 2
2 bb
Alternativa: B
10 As medidas dos lados do triângulo ABC são AB = 5,
AC = 8 e BC = 7. As medidas dos lados do triângulo
PQR são PQ = 10, PR = 16 e QR = 14.
A
8
75
B
C
60°
P
10
Q
16
R
14
Sabendo que o ângulo interno de vértice A do triângulo
menor mede 60°, determine a soma das medidas dos
ângulos internos de vértices Q e R do triângulo maior
Resolução:
Observando que as medidas dos lados do triângulo
menor correspondem à metade das medidas dos lados
do triângulo maior, concluímos que AB
PQ
AC
PR
BC
QR
= = .
Assim, ∆ABC ~ ∆PQR pelo caso LLL.
Como o vértice A do triângulo menor corresponde ao
vértice P do triângulo maior, o ângulo interno do vértice
P do triângulo maior também mede 60°. Assim, sendo
α e β as medidas dos outros dois ângulos do triângulo
maior, temos que α + β + 60° = 180°. Logo, α + β = 120°.
11 Na figura a seguir, os ângulos BAC e ADC têm a mes-
ma medida
Sabendo que AB = 12, AC = 7 e CD = 18, determine a
medida do segmento BC.
DCB
Resolução:
Nos triângulos ABC e DBA, o ângulo de vértice B é co-
mum aos dois, e os ângulos BAC e ADC têm a mesma
medida. Logo, podemos concluir que esses triângulos
são semelhantes pelo caso AA. Assim:
∆ ∆ABC DBA AB
DB
BC
BA
AC
DA
 ⇒ = =
Então, sendo x a medida do segmento BC, temos que:
12
18 12
7
x
x
DA+
= =
Do produto cruzado entre as primeiras razões da pro-
porção, temos a equação:
x x x x
x
+( ) = ⋅ ⇒ + − =
= ⋅ ⋅ ( ) = + =
= −
18 12 12 18 144 0
18 4 1 144 324 576 900
1
2
2∆
88 900
2 1
18 30
2
6
24
1
2
±
⋅
= − ±
=
=
�

x
x
Como x > 0, podemos concluir que BC = 6.
Duas figuras, mais complexas que os triângulos, tam
bém podem ser semelhantes uma a outra. Para isso, é
necessário que todos os triângulos determinados pelos
pontos de uma figura sejam semelhantes aos triângulos
formados pelos pontos correspondentes na outra figura
A
B
H
C
M
D
V
Figura 1
Figura 2
A
B
C
M
D
V
H
∼
F
R
E
N
T
E
 3
297
Propriedades da razão de semelhança
Uma vez garantida a semelhança de duas figuras, basta
tomarmos os comprimentos de dois segmentos correspon
dentes e dividir o valor de um pelo valor do outro para
obtermos a razão de semelhança entre as duas figuras
O quociente entre quaisquer medidas de elementos
que são correspondentes em figuras semelhantes resulta
na potência k
n
, sendo k a razão de semelhança e n o núme
ro de dimensões dos elementos medidos. Assim, se duas
figuras geométricas são semelhantes, então:
y Os ângulos que se correspondem em cada figura têm
a mesma medida
y A razão entre quaisquer comprimentos correspon
dentes é igual a k.
y A razão entre as áreas de regiões correspondentes
é igual a k
2
.
y A razão entre os volumes, no caso de serem figuras
espaciais, é igual a k
3
Exercícios resolvidos
12 Na figura a seguir, o segmento PQ é paralelo à base
BC do triângulo ABC e divide os lados AB e AC na
razão de 3 para 2.
A
3
P
2
B C
Q
Se o triângulo APQ tem 18 cm
2
 de área, qual é a área
do triângulo ABC?
 8 cm
2
b 12 cm
2
.
c 27 cm
2
.
 30 cm
2
 50 cm
2
.
Resolução:
Os triângulos APQ e ABC são semelhantes, e a razão
dessa semelhança é k =
+
=3
3 2
3
5
.
Sendo X a área do triângulo ABC em centímetros qua
drados, temos que k
X
2 18= Assim:
3
5
18 9
25
18
9 25 18 50
2



 = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =X X
X X
Alternativa: E
13 Na figura a seguir, o quadrado maior tem o triplo da
área do quadrado menor.
b
a
Determine a razão
a
b
.
Resolução:
Todos os quadrados são semelhantes. Sendo k > 0 a
razão de semelhança entre os quadrados da gura, a
razão entre suas áreas é k
2 = 3, logo, k = 3. Como a
diagonal do quadrado menor mede b 2 , a razão en
tre as diagonais desses quadrados é k
a
b
=
2
.
Portanto:
a
b
a
b2
3 6= ⇔ = .
14 Na década de 1970, era difícil encontrar uma pista de
dança sem um globo espelhado, que, na verdade, é
uma esfera plástica (ou de isopor) revestida de peque
nos pedaços quadrados de espelho. Considere dois
desses globos: um completamente cercado por 500
pedaços de espelho, e outro menor com apenas 320.
Se os pedaços usados em ambos são do mesmo ta
manho, qual é o número inteiro mais próximo da razão
entre seus volumes?
 1
b 2
c 3
 4
 5
Resolução:
Como todas as esferas são guras semelhantes, temos
que k é a razão de semelhança entre a maior e a menor
das esferas que dão formato aos globos espelhados.
A quantidade de pedaços de espelhos que cerca
cada globo deve ser diretamente proporcional à área
da superfície de cada esfera Portanto, k2
500
320
25
16
= =
e, como k > 0, temos que k = =25
16
5
4
Assim, a razão entre os volumes dos globos é
k
3
3
5
4
125
64
1 953125 2= 

 = = ≅,
Alternativa: B