Física - Livro 3-009-012

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F
R
E
N
T
E
 1
9
re
d
d
z
/1
2
3
rf
.c
o
m
Podemos resumir as características das forças de atrito
estático e dinâmico na tabela a seguir.
Força Direção Sentido Módulo
Atrito
estático
Paralela à
superfície de
contato entre
os corpos
Contrário à tendência
do movimento
0 ≤ Fat,e ≤ µe · N
Atrito
dinâmico
Contrário ao
movimento
Fat,d = µd · N
Tab. 1 Direção, sentido e módulo das forças de atrito estático e dinâmico.
Resistência dos fluidos
O movimento de um corpo em um fluido (líquido ou gás)
recebe a resistência desse fluido por meio de uma força.
Essa força de oposição ao movimento é dada, experi-
mentalmente, pela seguinte expressão:
F = k ⋅ vn
onde:
y k é a constante que depende da densidade do fluido,
da área da superfície do corpo e da sua geometria.
y v é a velocidade do corpo.
y n é uma constante que depende do fluido e do corpo.
Para o movimento de um corpo no ar, chamamos esta
força de arrasto (D), do inglês drag, dada por:
D S C v
D
= ⋅ ⋅ ⋅
1
2
2r
com:
n e k S C
D
= = ⋅ ⋅2
1
2
r
onde:
y r é a densidade do ar
y S é a área de referência do corpo
y CD é o coeficiente de arrasto
Podemos tomar como exemplo um corpo em queda
livre:
P

Far

Fig. 14 Atrito devido à resistência do ar.
Se a queda for no vácuo, a única força será o peso, e o
movimento será uniformemente variado. No entanto, sujeito
à resistência do ar, a resultante será dada por:
FR = P Far = P k·v
2
Então:
m a mg k v a g
kv
m
⋅ = − ⋅ ⇒ = −2
2
O gráfico seguinte mostra a variação da aceleração
durante a queda.
g
0 t
a
Fig. 15 Gráfico da aceleração em função do tempo de um corpo em queda com
resistência do ar.
No início do movimento, v = 0 e a = g. Com a ace-
leração, a velocidade vai aumentando e a aceleração
diminuindo, até que a força de resistência se iguale ao
peso. Nesse ponto, o corpo atingirá uma velocidade limite
e a aceleração será nula.
Far = P⇒ k ⋅ v
2
lim = mg
Logo:
v
mg
k
lim =
Ao atingir a velocidade limite, o corpo adquire movi-
mento uniforme. O gráfico seguinte mostra a variação da
velocidade durante a queda.
0 t
v
v
lim
Fig. 16 Gráfico da velocidade em função do tempo de um corpo em queda com
resistência do ar.
Para Far = k ⋅v
2, a unidade de k é dada por:
unidk
unidF
unid v
kg
unidk
kg
m
ar( )
( )
( )
( )= =
⋅
⇒ =
2
2
2
m/s
m /s
2
Dinâmica do movimento circular
Tomemos um corpo que se move em uma trajetória
curva. Já estudamos a geometria desse movimento e vimos
que é útil decompor a aceleração vetorial instantânea em
duas direções: tangencial e normal à trajetória.
at

a

acp

Fig. 17 Aceleração de um corpo em um movimento curvilíneo.
onde:
y

a
t
 é chamada de aceleração tangencial e está relacio-
nada com a variação do módulo de

v. Ela é tangente à
trajetória no instante considerado, com o mesmo sen-
tido de

v quando o movimento é acelerado e oposto
ao de

v quando retardado. Seu módulo é igual ao mó-
dulo da aceleração escalar.
FÍSICA Capítulo 9 Força do atrito e dinâmica do movimento circular10
y

a
cp
 é chamada de aceleração centrípeta e está re-
lacionada com a variação da direção de

v. Ela é
perpendicular à trajetória no instante considerado,
com sentido orientado para o centro da trajetória. Seu
módulo é dado por
v
R
2
, onde v é o módulo de

v e R é
o raio de curvatura da trajetória. Quando a trajetória é
circular, R é o próprio raio da circunferência.
Da segunda lei de Newton, sabemos que:


= ⋅F m a
R
Para estudar a dinâmica do movimento de um corpo, vi-
mos que é necessário que a aceleração desse corpo e as
forças sobre ele aplicadas estejam todas decompostas em
duas direções definidas. Porém, como a aceleração de um
corpo em movimento curvilíneo já costuma ser decomposta
nas direções tangencial e normal à trajetória, então nos vemos
forçados a decompor todas as forças nessas duas direções.

FR,t

FR,cp

FR
Fig. 18 Força resultante em um movimento curvilíneo.
onde:




= ⋅ = ⋅F m a e F m a
R,t t R,cp cp
A resultante tangencial é tangente à trajetória, com mesmo sentido
de

v no movimento acelerado e sentido contrário ao de

v no movi-
mento retardado.
A resultante centrípeta é perpendicular à trajetória, com sentido
orientado para o centro da trajetória.
Atenção
Exercícios resolvidos
1 Um bloco de massa 5 kg repousa sobre uma mesa.
Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre
o bloco e a mesa valem, respectivamente, 0,4 e 0,3.
Ao aplicar uma força F horizontal sobre o bloco, de-
termine a intensidade da força de atrito e o valor da
aceleração do bloco para:
Adote: g = 10 m/s2.
a) F = 18 N b) F = 25 N
Resolução:
Isolando o bloco, temos:
F
N
P
Fat
y
x
a
Em y, há equilíbrio:
N = P ⇒ N = 50 N
Precisamos calcular a máxima Fat,e e a Fat,d:
Fat,emáx
= me ⋅ N = 0,4 ⋅ 50 = 20 N
Fat,d = md ⋅ N = 0,3 ⋅ 50 = 15 N
a) Se F = 18 N < Fat,emáx, então o bloco estará em re-
pouso: a = 0 e F – Fat = 0 ⇒ Fat = F ⇒ Fat = 18 N
b) Se F = 25 N > Fat,emáx, então o bloco estará em
movimento:
Fat = Fat,d ⇒ Fat = 15 N e
F Fat = m ⋅a ⇒ 25 15 = 5 ⋅a ⇒ a = 2 m/s
2
2 Um corpo desliza sobre uma superfície áspera, com
coeficiente de atrito dinâmico igual a 0,4, sujeito ape
nas à força peso e à força de contato da superfície. Ao
passar por um ponto A, sua velocidade vale 20 m/s.
Determine o espaço percorrido pelo corpo até parar,
a partir de A, sabendo que g = 10 m/s2.
Resolução:
Isolando o corpo em qualquer ponto entre A e B (po-
sição em que o corpo para):
d
A B
v = 020 m/s
N
P
Fat
y
x
a
Em y, há equilíbrio:
N = P ⇒ N = mg
Em x:
Fat = m ⋅ a ⇒ m ⋅ N = m ⋅ a ⇒ m ⋅ mg = m ⋅ a ⇒
⇒ a = m ⋅ g = 0,4 ⋅ 10 ⇒ a = 4 m/s2
Logo, o corpo sofrerá uma desaceleração de 4 m/s
2
.
Aplicando a equação de Torricelli entre A e B:
0
2 = 202 - 2 ⋅ 4 ⋅ d ⇒ d = 50 m
3 Um corpo de massa 2 kg está sobre uma superfície
horizontal, com a qual tem coeficiente de atrito dinâ-
mico de 0,5. O corpo é puxado por uma força F, que
forma um ângulo θ com a horizontal, sentido para cima,
em que cosθ = 0,6. Se g = 10 m/s2 e a aceleração do
corpo vale 3 m/s
2
, determine o valor de F.
Resolução:
Isolando o sistema:
N
P
Fat
F · cosθ
F
θ
F · senθ
y
x
a
F
R
E
N
T
E
 1
11
Em y, há equilíbrio:
N + F ⋅ sen θ = P ⇒ N = mg - F ⋅ sen  θ = 20 - F ⋅ 0,8
Em x:
F ⋅ cos  θ - Fat = m ⋅ a (I)
Mas:
Fat = µ ⋅ N = 0,5 ⋅ (20 - F ⋅ 0,8) = 10 - 0,4F
Em (I):
F ⋅ 0,6 (10 0,4F) = 2 ⋅ 3 ⇒ 0,6F + 0,4F 10 = 6 ⇒
⇒ F = 16 N
4 No sistema a seguir, as massas de A e B valem 5 kg e
4 kg, respectivamente. Os coeficientes de atrito está-
tico e dinâmico entre A e a mesa valem 0,4. Os fios e
as polias são ideais.
A
(1)(2)
B C
Sabendo que g = 10 m/s2, determine:
a) o máximo valor da massa de C para que o sistema
fique em repouso.
b) o mínimo valor da massa de C para que o sistema
fique em repouso.
c) os módulos da aceleração do sistema e das tra-
ções nos fios quando a massa de C for igual a 11 kg.
Resolução:
Como, em qualquer uma das situações, A estará em
equilíbrio na vertical, então:
NA = PA = 50 N
a) Quando mC for máximo, A tenderá a se mover
para a direita. Logo, o atrito sobre A é estático,
máximo e para a esquerda:
Fat,A = Fatemáx = µe ⋅ NA = 0,4 ⋅ 50 = 20 N
Isolando os corpos:
T1
B
40 N
A C
PC
T2
T2
Fat,A
T1
y
x
Equilíbrio de B em y:
T2 = 40 N
Equilíbrio de A em x:
T1 = T2 + Fat,A = 40 + 20 ⇒ T1 = 60 N
Equilíbrio de C em y:
PC = T1 = 60 N ⇒ mC = 6 kg
b) Quando mC for mínimo, A tenderá a se mover
para a esquerda. Logo, o atrito sobre A é estático,
máximo e para a direita:
Fat,A = Fatemáx = 20 N
Isolando os corpos:
T1
B
40 N
A C
PC
T2
T2
Fat,A
T1
y
x
Equilíbrio de B em y:
T2 = 40 N
Equilíbrio de A em x:
T2 = T1 + Fat,A ⇒ 40 = T1 + 20 ⇒ T1 = 20 N
Equilíbrio de C em y:
PC = T1 = 20 N ⇒ mC = 2 kg
c) Quando mC = 11 kg, C descerá, pois o valor de sua
massa é maior que o valor máximo de 6 kg. A se
moverá para a direita, B subirá, o atrito sobre A
será dinâmico e para a esquerda.
Fat,A= Fat,d = µd ⋅ NA = 0,4 ⋅ 50 = 20 N
Isolando os corpos:
a a
a
T1
B
40 N
A C
110 N
T2
T2
Fat,A
T1
B: T2 - 40 = 4a (I)
A: T1 - T2 - 20 = 5a (II)
C: 110 - T1 = 11a (III)
50 = 20a ⇒ a = 2,5 m/s2
Em (I):
T2 40 = 4 ⋅ 2,5 ⇒ T2 = 50 N
Em (III):
110 - T1 = 11 ⋅ 2,5 ⇒ T1 = 82,5 N
5 No sistema a seguir, as massas de A e B valem 4 kg e
3 kg, respectivamente. O coeficiente de atrito dinâmi
co entre B e o plano vale 0,5. Os fios e as polias são
ideais.
θ
A
Sabendo que sen  θ = 0,8 e g = 10 m/s2, determine:
a) a aceleração do sistema.
b) a tração no fio.
FÍSICA Capítulo 9 Força do atrito e dinâmica do movimento circular12
Resolução:
Como a massa de A é maior do que a de B, então a
tendência de A é descer e a de B subir.
a) e b) Isolando o corpo B:
x
Ty
NB
PB
Fat,B
P B
· s
en
θ
PB · cos θ
θ
B
Em y, há equilíbrio:
NB = PB · cos  θ = 30 ⋅ 0,6 ⇒ NB = 18 N
Em x:
T Fat,B PB sen  θ = mB a (I)
Mas:
Fat,B = µ · NB = 0,5 ⋅ 18 ⇒ Fat,B = 9 N
Em (I):
T 9 30 ⋅ 0,8 = 3 ⋅ a ⇒ T 33 = 3a (II)
Isolando o corpo A:
T
A
PA
y
x
a
Em y:
PA - T = mA ⋅ a ⇒ 40 - T = 4 · a (III)
De (II) e (IIII):
T - 33 = 3a
40 - T = 4a
7 = 7a ⇒ a = 1 m/s2
Em (II):
T - 33 = 3 ⋅ 1 ⇒ T = 36 N
6 No sistema a seguir, as massas de A e B valem 6 kg e
4 kg, respectivamente. Os coeficientes de atrito está-
tico e dinâmico entre os blocos valem 0,5 e 0,4. Não
há atrito entre A e o plano. Aplica-se sobre A uma
força horizontal F.
F
B
A
Sabendo que g = 10 m/s2, determine:
a) a força máxima aplicada em A para que não haja
movimento relativo entre os blocos.
b) a aceleração de cada bloco e a força de atrito en-
tre eles para F = 30 N.
c) a aceleração de cada bloco e a força de atrito en-
tre eles para F = 60 N.
Resolução:
Se não houvesse atrito entre A e B, o corpo B não
poderia receber nenhuma força horizontal. Logo,
sua aceleração nessa direção seria nula. A exis
tência de coeciente de atrito permite que, se
necessário, A e B exerçam, um sobre o outro, força
de atrito que tem direção paralela à superfície de
contato, ou seja, horizontal. É preciso muita aten
ção em um problema como este para determinar o
sentido da força.
Em nosso problema, o corpo A é puxado para a di-
reita por F, logo, ele se movimentará ou tenderá a
se mover nesse sentido, tendo, portanto, a força de
atrito de B atuando sobre ele em sentido contrário,
para a esquerda. Pelo princípio da ação e reação,
se B realiza sobre A uma força para a esquerda, en-
tão, A realiza sobre B uma força de mesmo módulo
para a direita.
Outra forma de raciocinar sobre o sentido da força
de atrito é pensar que ela atua no sentido de impe-
dir ou de tentar impedir o movimento relativo entre
os corpos, para mantê-los juntos. Assim, como o
corpo A tende a se mover para a direita, a força
de atrito atua sobre B de modo que este acom-
panhe o corpo A, ou seja, com uma força de atrito
para a direita. Pelo princípio da ação e reação, se
A realiza sobre B uma força para a direita, então, B
realiza sobre A uma força de mesmo módulo para
a esquerda.
Isolando os blocos:
F
B A
Fat
Fat
NB
PB
NB
NA PA
y
x
aA
aB
a) Para não haver movimento relativo entre os blo-
cos, o atrito deve ser estático, com aA = aB = a.
No caso de F ser máxima, teremos Fat,emáx.
Em B:
Fat = Fat,emáx
= µe ⋅ NB = µe ⋅ PB = 0,5 ⋅ 40 = 20N
Mas:
Fat = mB ⋅ a ⇒ 20 = 4 ⋅ a ⇒ a = 5 m/s
2
Como todo o sistema se move com a mesma
aceleração, podemos isolar o conjunto:
F = (mA + mB) ⋅ a = (6 + 4) ⋅ 5 ⇒ F = 50 N
b) Quando F = 30 N < 50 N, o atrito é estático e
todo o conjunto se move com a mesma acelera-
ção: aA = aB = a.
Para o conjunto:
F = (mA + mB) ⋅ a ⇒ 30 = 10 ⋅ a ⇒ a = 3 m/s
2
Para B:
Fat = mB ⋅ a = 4 ⋅ 3 ⇒ Fat = 12 N
c) Quando F = 60 N > 50 N, os blocos possuem
acelerações diferentes e o atrito é dinâmico. Por-
tanto, não podemos isolar A e B juntos.