Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_ESA_2024

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ESA 
2024 
AULA 03 
Geometria Plana IV 
 
 
 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Sumário 
APRESENTAÇÃO 3 
1.0 – POLÍGONOS 3 
1.1 – POLÍGONOS SIMPLES CONVEXOS 4 
1.1.1 – CLASSIFICAÇÃO 4 
1.1.2 – NÚMERO DE DIAGONAIS 4 
1.1.3 – SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS 5 
1.2. POLÍGONOS REGULARES 7 
1.2.1 – DEFINIÇÃO 7 
1.2.2 – FÓRMULA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS 7 
1.2.3 – PROPRIEDADES 7 
1.2.4 – CÁLCULO DO LADO E APÓTEMA DO POLÍGONO REGULAR 10 
1.2.5 – COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 12 
2.0 – ÁREA DE FIGURAS PLANAS 17 
2.1 – DEFINIÇÃO 17 
2.2 – TEOREMAS 19 
2.2.1 – TEOREMA 1 19 
2.2.2 – TEOREMA 2 20 
2.3. ÁREA DE POLÍGONOS 21 
2.3.1 – RETÂNGULO 21 
2.3.2 – QUADRADO 23 
2.3.3 – PARALELOGRAMO 23 
2.3.4 – TRIÂNGULO 24 
2.3.5 – LOSANGO 24 
2.3.6 – TRAPÉZIO 25 
2.3.7 – POLÍGONO REGULAR 25 
2.3.8 – OUTRAS EXPRESSÕES PARA ÁREA DO TRIÂNGULO 26 
2.3.9 – RELAÇÃO MÉTRICA ENTRE ÁREAS 30 
2.4. ÁREA DE CÍRCULOS 31 
2.4.1 – DEDUÇÃO DA FÓRMULA 31 
2.4.2 – PARTES DO CÍRCULO 32 
3.0 – LISTA DE QUESTÕES – NÍVEL 1 35 
3.1 – GABARITO 71 
4.0 – LISTA DE QUESTÕES COMENTADAS – NÍVEL 1 73 
5.0 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 163 
6.0 – CONSIDERAÇÕES FINAIS 163 
 
 
 
 
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APRESENTAÇÃO 
Olá, 
Vamos finalizar o estudo da geometria plana. Nessa aula, veremos os conceitos de polígonos e áreas 
de figuras planas. As provas militares adoram cobrar questões envolvendo áreas geométricas. Devido à alta 
taxa de incidência dos tópicos dessa aula, resolveremos muitos exercícios para fixar esse conteúdo. 
 
1.0 – POLÍGONOS 
Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas que são formadas por segmentos de retas 
chamados de lados. A condição de um polígono é 𝑛 ≥ 3, sendo 𝑛 seu número de lados. 
Podemos ter polígonos simples ou complexos. Os polígonos são simples quando seus lados não se 
cruzam, caso contrário, eles são complexos. Veja: 
 
Polígonos também podem ser convexos ou côncavos. 
 
 
 
 
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1.1 – POLÍGONOS SIMPLES CONVEXOS 
1.1.1 – CLASSIFICAÇÃO 
Um polígono recebe as seguintes denominações dependendo do seu número de lados: 
 
Número de Lados Nome do Polígono Número de Lados Nome do Polígono 
3 Triângulo 9 Eneágono 
4 Quadrado 10 Decágono 
5 Pentágono 11 Undecágono 
6 Hexágono 12 Dodecágono 
7 Heptágono 15 Pentadecágono 
8 Octógono 20 Icoságono 
 
1.1.2 – NÚMERO DE DIAGONAIS 
A diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que liga dois vértices não adjacentes. 
Exemplo: 
 
 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ são as diagonais do polígono acima. Note que para o vértice 𝐴, os vértices 𝐵 e 𝐹 são 
adjacentes. 
Podemos calcular o número de diagonais de um polígono de 𝑛 lados. Seja 𝑑 esse número, então, 
sua fórmula é dada por: 
𝒅 =
𝒏(𝒏 − 𝟑)
𝟐
 
Demonstração: 
 
 
 
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Em um polígono de 𝑛 lados, temos 𝑛 vértices. Então, o número de diagonais que partem de um 
vértice é igual a 𝑛 − 3, pois devemos descontar os vértices adjacentes e o próprio vértice, veja o exemplo: 
 
Nesse caso, temos 6 lados e 6 vértices. O número de diagonais que partem do vértice 𝐴 é igual a 
6 − 3 = 3 (nessa contagem, desconsideramos os vértices 𝐴, 𝐵 e 𝐹). 
Então, se queremos calcular o número total de diagonais de um polígono de 𝑛 lados, devemos 
contar o número de diagonais que podem ser formados em cada vértice. Sabemos que cada vértice possui 
𝑛 − 3 diagonais, assim, considerando todos os vértices do polígono, temos 𝑛(𝑛 − 3) diagonais. Mas, nesse 
número, estamos contando duas vezes as diagonais, no exemplo acima, temos a diagonal que parte do 
vértice 𝐴 e termina no vértice 𝐸 e a diagonal que parte de 𝐸 e termina em 𝐴. Portanto, devemos dividir 
𝑛(𝑛 − 3) por 2: 
𝑑 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
 
1.1.3 – SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS 
Seja 𝑃𝑛 um polígono convexo de 𝑛 lados, então, se 𝑆𝑖 é a soma dos seus ângulos internos e 𝑆𝑒 é a 
soma dos seus ângulos externos, temos: 
𝑺𝒊 = (𝒏 − 𝟐) ∙ 𝟏𝟖𝟎°
𝑺𝒆 = 𝟑𝟔𝟎°
 
Demonstração: 
Vamos demonstrar a soma dos ângulos internos. Seja 𝐴1𝐴2𝐴3…𝐴𝑁 um polígono convexo de 𝑛 
lados, tomando 𝑂 o ponto no interior do polígono e ligando esse ponto a cada vértice: 
 
 
 
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Perceba que temos 𝑛 triângulos: Δ𝐴1𝐴2𝑂, Δ𝐴2𝐴3𝑂, Δ𝐴3𝐴4𝑂, Δ𝐴5𝐴5𝑂,… , Δ𝐴𝑛𝐴1𝑂. 
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então, a soma dos ângulos 
internos do polígono é dada pela soma dos ângulos internos dos 𝑛 triângulos subtraído do ângulo central: 
𝛼1 + 𝛼2 +⋯+ 𝛼𝑛⏟ 
𝑆𝑖
+ 𝛽1 + 𝛽2 +⋯+ 𝛽𝑛⏟ 
360°
= 𝑛 ∙ 180° 
𝑆𝑖 = 180° ∙ 𝑛 − 180° ∙ 2 ⇒ 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180° 
Para provar a fórmula da soma dos ângulos externos, podemos usar a propriedade de ângulos 
suplementares. Então, para cada vértice, temos: 
 
𝛼1 + 𝜃1 = 180° 
𝛼2 + 𝜃2 = 180° 
⋮ 
𝛼𝑛 + 𝜃𝑛 = 180° 
Somando-se cada expressão acima: 
 
 
 
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𝛼1 + 𝛼2 +⋯+ 𝛼𝑛⏟ 
𝑆𝑖
+ 𝜃1 + 𝜃2 +⋯+ 𝜃𝑛⏟ 
𝑆𝑒
= 𝑛 ∙ 180° 
𝑆𝑖 + 𝑆𝑒 = 𝑛 ∙ 180° 
Substituindo 𝑆𝑖: 
(𝑛 − 2) ∙ 180° + 𝑆𝑒 = 𝑛 ∙ 180° ⇒ 𝑆𝑒 = 360° 
 
1.2. POLÍGONOS REGULARES 
1.2.1 – DEFINIÇÃO 
Um polígono é considerado regular se ele for equilátero e equiângulo. Por exemplo, um triângulo 
equilátero possui todos os lados de mesma medida e todos os ângulos internos congruentes, logo, ele é 
um polígono regular. 
 
1.2.2 – FÓRMULA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS 
Podemos deduzir a fórmula dos ângulos internos e externos do polígono regular usando a fórmula 
de 𝑆𝑖 e 𝑆𝑒. Seja 𝛼𝑖 o ângulo interno do polígono regular, então: 
𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 𝛼 ⇒ 𝑛 ∙ 𝛼⏟
𝑆𝑖
= (𝑛 − 2) ∙ 180° 
∴ 𝜶 =
𝒏 − 𝟐
𝒏
∙ 𝟏𝟖𝟎° 
Analogamente para o ângulo externo 𝜃𝑖: 
𝜃1 = 𝜃2 = ⋯ = 𝜃𝑛 = 𝜃 ⇒ 𝑛 ∙ 𝜃⏟
𝑆𝑒
= 360° 
∴ 𝜽 =
𝟑𝟔𝟎°
𝒏
 
 
1.2.3 – PROPRIEDADES 
P1) Todo polígono regular é inscritível. 
P2) Todo polígono regular é circunscritível. 
P3) Ângulo Central 
Demonstrações: 
P1) Seja 𝐴1𝐴2𝐴3…𝐴𝑛 um polígono convexo regular, então, tomando os pontos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 
podemos desenhar uma circunferência 𝜆 que passa por esses pontos, vamos provar que 𝐴4 ∈ 𝜆: 
 
 
 
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Como 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 ∈ 𝜆, temos 𝑂𝐴1 = 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐴3. O polígono é regular, então, 𝐴1𝐴2 = 𝐴2𝐴3 =
𝐴3𝐴4. 
Sabemos que os ângulos internos de um polígono regular são congruentes, assim, analisando os 
triângulos isósceles 𝐴1𝑂𝐴2 e 𝐴2𝑂𝐴3, temos: 
 
Como os ângulos internos do polígono são congruentes, temos 𝛼 = 𝛽. Observe os triângulos 
𝐴2𝑂𝐴3 e 𝐴3𝑂𝐴4, note que 𝐴2𝐴3 = 𝐴3𝐴4, 𝑂𝐴3 é um lado comum e 𝛼 = 𝛽, logo, podemos aplicar o critério 
de congruência LAL: 
Δ𝐴2𝑂𝐴3 ≡ Δ𝐴3𝑂𝐴4 
Dessa forma, temos 𝑂𝐴2 = 𝑂𝐴4. Logo, 𝐴4 ∈ 𝜆. De modo análogo, podemos provar para os outros 
vértices do polígono regular. Portanto, qualquer polígono convexo regular é inscritível. 
 
P2) Sem perda de generalidade, vamos usar o pentágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Sendo regular, ele é 
inscritível, logo: 
 
 
 
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Os triângulos isósceles 𝑂𝐴𝐵,𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐷, 𝑂𝐷𝐸, 𝑂𝐸𝐴 são congruentes, então, a altura desses 
triângulos são congruentes: 
 
Como a medida dos segmentos são congruentes, temos 𝑂𝐻1 = 𝑂𝐻2 = 𝑂𝐻3 = 𝑂𝐻4 = 𝑂𝐻5, então, 
𝑂 é o centro de uma outra circunferência. Vamos chamá-la de 𝜆′. 
Sabendo que esses segmentos são perpendiculares às suas respectivas bases, temos que os lados 
do polígono tangenciam a circunferência 𝜆′, logo, ele é circunscritível. 
 
P3) Vimos que qualquer polígono regular é inscritível e cirscunscritível.Um polígono regular de 𝑛 
lados possui 𝑛 triângulos isósceles e seus vértices são o centro 𝑂 das circunferências e os vértices 
consecutivos do polígono regular. Chamamos de ângulo central o ângulo do vértice 𝑂 de cada triângulo 
isósceles e seu valor é igual a: 
𝑎𝑐 =
360°
𝑛
 
Chamamos de apótema de um polígono regular a altura de cada um desses triângulos isósceles: 
 
 
 
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1.2.4 – CÁLCULO DO LADO E APÓTEMA DO POLÍGONO REGULAR 
Vamos deduzir a fórmula geral do lado e apótema do polígono regular em função do raio da 
circunferência circunscrita e do ângulo central: 
Para um polígono regular de 𝑛 lados inscrito em uma circunferência de raio 𝑅, sendo 𝑎𝑛 o apótema 
e 𝑙𝑛 o lado do polígono, temos: 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é um dos lados do polígono regular de 𝑛 lados. 
Sabemos que o ângulo central é dado por: 
𝑎𝑐 =
360°
𝑛
 
 
 
 
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 Usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo 𝑂𝐴𝐻, temos: 
𝑠𝑒𝑛 (
𝑎𝑐
2
) =
𝑙𝑛
2
𝑅
⇒ 𝒍𝒏 = 𝟐𝑹𝒔𝒆𝒏(
𝟏𝟖𝟎°
𝒏
) 
cos (
𝑎𝑐
2
) =
𝑎𝑛
𝑅
⇒ 𝒂𝒏 = 𝑹𝐜𝐨𝐬 (
𝟏𝟖𝟎°
𝒏
) 
 Podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo 𝑂𝐴𝐻 e encontrar 𝑎𝑛 em função de 𝑙𝑛 e 𝑅: 
𝑅2 = 𝑎𝑛
2 + (
𝑙𝑛
2
)
2
⇒ 𝒂𝒏 =
𝟏
𝟐
√𝟒𝑹𝟐 − 𝒍𝒏𝟐 
 Também é possível deduzir a fórmula do lado de um polígono regular de 2𝑛 lados em função do 
raio 𝑅 e do lado 𝑙𝑛 do polígono regular de 𝑛 lados. Veja a figura: 
 
 𝑙𝑛 e 𝑎𝑛 é o lado e o apótema do polígono regular de 𝑛 lados, respectivamente. Note que 
Δ𝐶𝐸𝐵~Δ𝐴𝐶𝐵: 
Δ𝐶𝐸𝐵~Δ𝐴𝐶𝐵 ⇒
𝐶𝐵
𝐸𝐵
=
𝐴𝐵
𝐶𝐵
⇒
𝑙2𝑛
𝑅 − 𝑎𝑛
=
2𝑅
𝑙2𝑛
⇒ (𝑙2𝑛)
2 = 2𝑅(𝑅 − 𝑎𝑛) (𝐼) 
 Escrevendo 𝑎𝑛 em função de 𝑙𝑛 e 𝑅, temos: 
𝑎𝑛 =
1
2
√4𝑅2 − 𝑙𝑛2 
 Substituindo em (𝐼): 
(𝑙2𝑛)
2 = 2𝑅 (𝑅 −
1
2
√4𝑅2 − 𝑙𝑛2) 
∴ 𝒍𝟐𝒏 = √𝑹(𝟐𝑹 −√𝟒𝑹𝟐 − 𝒍𝒏𝟐) 
 
 
 
 
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1.2.5 – COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
Vimos que o lado de um polígono regular de 𝑛 lados é dado por: 
 
𝑙𝑛 = 2𝑅𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
) 
O perímetro desse polígono é igual a: 
𝑝𝑛 = 𝑛 ⋅ 2𝑅 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
) 
Se tomarmos 𝑛 um número que tende ao infinito, o perímetro desse polígono se aproxima ao 
comprimento da circunferência circunscrita a ele. Então, aplicando o limite, temos: 
𝐶 = lim
n→∞
(2𝑅 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
)) ⇒ 𝐶 = 2𝑅 lim
n→∞
(𝑛 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 (
180°
𝑛
))
⏟ 
𝜋
⇒ 𝐶 = 2𝜋𝑅 
Não veremos a explicação para o limite resultar em 𝜋. Apenas saiba que o comprimento de uma 
circunferência é dado por: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝑹 
 
1. Provar que num pentágono regular as diagonais são divididas em 2 segmento que estão na razão áurea. 
Resolução: 
 
 
 
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 Sabemos que todo polígono regular é inscritível numa circunferência e o ângulo central do 
pentágono regular é igual a 
360°
5
= 72°. O ângulo de 𝐷Â𝐶 é igual à metade do ângulo central 
𝐷Â𝐶 = 36°. 
 Vamos calcular o ângulo de cada vértice do pentágono: 
𝑎𝑖 =
𝑛 − 2
𝑛
⋅ 180° ⇒ 𝑎𝑖 =
3
5
⋅ 180° = 108° 
Como os lados do polígono possuem a mesma medida, temos: 
 
 Sendo o ângulo interno do pentágono igual a 108°, temos 𝐴�̂�𝐹 = 36° e 𝐴�̂�𝐷 = 72°. 
 
 
 
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 Note que 𝐷�̂�𝐶 = 72° (soma dos ângulos internos igual a 180°). Portanto, os triângulos 𝐴𝐷𝐶 
e 𝐷𝐶𝐹 são isósceles e semelhantes. 
 
 Vamos analisar o triângulo isósceles 𝐴𝐶𝐷, chamando as diagonais 𝐴𝐷 e 𝐴𝐶 de 𝑎 e 𝐴𝐹 de 𝑏, 
temos (𝐴𝐹 = 𝐷𝐹 = 𝐷𝐶 resultado dos triângulos isósceles): 
 
 Fazendo a semelhança de triângulos: 
Δ𝐴𝐷𝐶~Δ𝐷𝐶𝐹 ⇒
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑎 − 𝑏
⇒ 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑏2 = 0 
 
 
 
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 Encontrando as raízes na variável 𝑎: 
𝑎 =
𝑏 ± √5𝑏2
2
 
 Como o resultado negativo não convém, temos: 
𝑎
𝑏
=
√5 + 1
2
 
 Essa é a razão áurea. 
Gabarito: Demonstração 
2. 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭 é um hexágono reglar cujas diagonais 𝑨𝑬̅̅ ̅̅ e 𝑩𝑭̅̅ ̅̅ se cortam em 𝑰. Mostrar que 𝟐𝑰𝑭 = 𝑰𝑩. 
Resolução: 
 O hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros e o seu ângulo interno é igual a: 
𝑎𝑖 =
𝑛 − 2
𝑛
⋅ 180° =
4
6
⋅ 180° = 120° 
 Vamos desenhar esse polígono: 
 
 Note que os triângulos 𝐴𝐹𝐸 e 𝐹𝐴𝐵 são isósceles. Como o ângulo de seus vértices são iguais a 
120°, temos que os ângulos de suas bases são iguais a 30°. Sendo 𝐴�̂�𝑂 e 𝐹�̂�𝑂 os ângulos de 
triângulos equiláteros, temos: 
 
 
 
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 Os triângulos 𝐼𝐴𝐹 e 𝐼𝐵𝐸 são semelhantes, logo: 
Δ𝐼𝐴𝐹~Δ𝐼𝐵𝐸 ⇒
𝐼𝐹
𝐼𝐵
=
𝑙
2𝑙
 
∴ 2𝐼𝐹 = 𝐼𝐵 
Gabarito: Demonstração 
3. 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 é um pentágono regular e 𝑬𝑫𝑪𝑴 é um paralelogramo interno ao pentágono. Calcular os 
ângulos do triângulo 𝑨𝑴𝑬. 
Resolução: 
 Sabendo que 𝐸𝐷𝐶𝑀 é um paralelogramo e 𝐷𝐸 = 𝐶𝐷 (lados do pentágono regular), temos que 
𝐸𝑀 = 𝐶𝐷 e 𝐷𝐸 = 𝐶𝑀, logo, 𝐸𝐷𝐶𝑀 é um losango. Vamos desenhar a figura: 
 
 
 
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 Sendo 𝐸 o vértice do pentágono, temos 𝐴Ê𝑀 = 36°. Como 𝐴𝐸 = 𝑀𝐸, o triângulo 𝐴𝑀𝐸 é 
isósceles, logo: 
𝐸Â𝑀 = 𝐸�̂�𝐴 = 72° 
 Portanto, os ângulos internos do Δ𝐴𝑀𝐸 são: 
36°, 72° e 72° 
Gabarito: 𝟑𝟔°, 𝟕𝟐° 𝐞 𝟕𝟐° 
 
2.0 – ÁREA DE FIGURAS PLANAS 
2.1 – DEFINIÇÃO 
Vamos estudar um dos temas mais explorados em geometria plana pelas provas militares, o cálculo 
de áreas de figuras planas. Estudamos até agora as formas geométricas, as medidas dos ângulos e os 
comprimentos dos segmentos das figuras planas. O estudo da área dessas figuras envolve o conceito de 
extensão. Compare as figuras abaixo e diga qual possui maior extensão. 
 
 
 
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Supondo que as duas figuras possuem as mesmas unidades de medida, podemos dizer que o 
quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 possui maior extensão que o triângulo 𝑋𝑌𝑍. Quando fazemos esse tipo de comparação, 
estamos comparando as áreas dessas figuras. 
Duas figuras são ditas equivalentes quando possuem a mesma extensão, independentemente de 
suas formas. Se juntarmos dois quadriláteros de áreas 𝐴1 e 𝐴2 para formar uma outra figura de área 𝐴3, 
podemos afirmar que esta possui área igual à soma das duas primeiras: 
 
 
Usualmente, usamos as letras maiúsculas 𝑆 ou 𝐴 para simbolizar a área das figuras. Nos exemplos 
acima, perceba que 𝑆3 = 𝑆1 + 𝑆2 e 𝑆4 = 𝑆1 + 𝑆2, logo, podemos afirmar que as figuras de áreas 𝑆3 e 𝑆4 
são equivalentes. 
Dizemos que área é um número real positivo associado a uma superfície limitada. A unidade de 
medida usual da área é o 𝑚2 (metro quadrado). 
Vamos estudar dois teoremas importantes para formar nossa base no estudo da área de figuras 
planas. Esses teoremas serão usados para deduzir todas as fórmulas das áreas que podem ser cobradas na 
prova. 
 
 
 
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2.2 – TEOREMAS 
2.2.1 – TEOREMA 1 
A razão entre as áreas de dois retângulos que possuem uma dimensão congruente é igual à razão 
entre as dimensões não congruentes. 
Demonstração: 
Considere os dois retângulos abaixo de bases congruentes: 
 
O teorema afirma que: 
𝑨𝟏
𝑨𝟐
=
𝒉𝟏
𝒉𝟐
 
Onde 𝐴1 e 𝐴2 são as áreas dos retângulos 𝐹1 e 𝐹2, respectivamente. Para demonstrar essa 
propriedade, devemos considerar dois casos possíveis: 
Caso 1) ℎ1 e ℎ2 são comensuráveis 
Como ℎ1 e ℎ2 são comensuráveis, então, existe um número 𝑢 ∈ ℝ+
∗ que cabe um número inteiro 
de vezes em ℎ1 e ℎ2. Sejam 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ
∗ múltiplos de ℎ1 e ℎ2, respectivamente, então, podemos escrever: 
ℎ1 = 𝑚𝑢
ℎ2 = 𝑛𝑢
⇒
ℎ1
ℎ2
=
𝑚
𝑛
 (𝐼)Seja 𝑠 a área dos pequenos retângulos de cada retângulo de base 𝑏 e altura 𝑢 dos retângulos acima. 
Para o retângulo 𝐹1, temos que 𝑚 retângulos de área 𝑠 cabem em 𝐹1, logo: 
𝐴1 = 𝑚𝑠 
Analogamente para 𝐹2: 
𝐴2 = 𝑛𝑠 
A razão entre as áreas é dada por: 
 
 
 
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𝐴1
𝐴2
=
𝑚𝑠
𝑛𝑠
⇒
𝐴1
𝐴2
=
𝑚
𝑛
 (𝐼𝐼) 
Assim, das relações (𝐼) e (𝐼𝐼), encontramos: 
𝐴1
𝐴2
=
ℎ1
ℎ2
 
Caso 2) ℎ1 e ℎ2 não são comensuráveis 
Nesse caso, não podemos escrever ℎ1 e ℎ2 como múltiplos de uma mesma unidade de medida 𝑢. 
Tomando 𝑢 ∈ ℝ+
∗ tal que: 
ℎ2 = 𝑛𝑢 
Sendo ℎ1 e ℎ2 incomensuráveis, temos para 𝑚 ∈ ℕ
∗: 
𝑚𝑢 < ℎ1 < (𝑚 + 1)𝑢 
Dividindo a desigualdade acima por 𝑛𝑢: 
𝑚𝑢
𝑛𝑢
<
ℎ1
𝑛𝑢
<
(𝑚 + 1)𝑢
𝑛𝑢
⇒
𝑚
𝑛
<
ℎ1
ℎ2
<
𝑚 + 1
𝑛
 
Como 𝑢 é um submúltiplo arbitrário de ℎ2, podemos escolher 𝑢 tão pequeno quanto se queira tal 
que 𝑚 será um número tão grande que 𝑚𝑢 e (𝑚 + 1)𝑢 convergem para ℎ1. Dessa forma, encontramos: 
ℎ1
ℎ2
=
𝑚
𝑛
 
Procedendo de modo análogo para a área, encontramos: 
𝑚𝑠 < 𝐴1 < (𝑚 + 1)𝑠
𝐴2 = 𝑛𝑠
⇒
𝑚
𝑛
<
𝐴1
𝐴2
<
𝑚 + 1
𝑛
⇒
𝐴1
𝐴2
=
𝑚
𝑛
⇒
𝐴1
𝐴2
=
ℎ1
ℎ2
 
 
2.2.2 – TEOREMA 2 
A razão entre a área de dois retângulos é igual à razão entre os produtos de suas dimensões. 
Demonstração: 
Considere os três retângulos abaixo: 
 
 
 
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Usando o teorema 1, podemos escrever: 
𝑆1
𝑆3
=
ℎ1
ℎ2
 (𝐼) 
𝑆3
𝑆2
=
𝑏1
𝑏2
 (𝐼𝐼) 
Multiplicando as razões (𝐼) e (𝐼𝐼), temos: 
𝑆1
𝑆3
⋅
𝑆3
𝑆2
=
ℎ1
ℎ2
⋅
𝑏1
𝑏2
 
∴
𝑺𝟏
𝑺𝟐
=
𝒉𝟏𝒃𝟏
𝒉𝟐𝒃𝟐
 
 
2.3. ÁREA DE POLÍGONOS 
Com base no teorema 2, vamos deduzir as fórmulas das áreas dos principais polígonos. 
2.3.1 – RETÂNGULO 
Para calcular a área do retângulo, vamos adotar como área unitária um quadrado de lado 1. Seja 
𝐴𝑢 a área desse quadrado e 𝐴𝑅 a área do retângulo de base 𝑏 e altura ℎ, sabendo que 𝐴𝑢 = 1, temos: 
 
 
 
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Aplicando o teorema 2: 
𝐴𝑅
𝐴𝑢
=
𝑏 ⋅ ℎ
1 ⋅ 1
⇒
𝐴𝑅
1
= 𝑏 ⋅ ℎ 
𝑨𝑹 = 𝒃 ⋅ 𝒉 
Portanto, a área de um retângulo é dada pelo produto entre sua base e sua altura. 
 
 
 Ao calcular área de figuras planas, precisamos nos atentar a um detalhe. Veja a questão 
abaixo: 
 Calcule a área de um retângulo de base e altura medindo 5 𝑐𝑚 e 10 𝑐𝑚, respectivamente. 
 Essa questão nos fornece a unidade de medida em centímetros. Quando calculamos a área 
dessa figura, precisamos também incluir a unidade de medida: 
𝐴𝑅 = 𝑏 ⋅ ℎ ⇒ 𝐴𝑅 = (5 𝑐𝑚) ⋅ (10 𝑐𝑚) ⇒ 𝐴𝑅 = 50 𝑐𝑚
2 
 Caso a questão forneça os dados em diferentes unidades de medida, temos que convertê-los 
na mesma unidade. Veja: 
 Calcule a área do retângulo de base e altura medindo 5 𝑐𝑚 e 10 𝑘𝑚, respectivamente. 
 Nessa questão, não podemos multiplicar diretamente a base a altura, pois ambas estão em 
diferentes unidades de medida (cm e km). Antes, devemos igualar as unidades. Vamos 
converter o quilômetro em centímetro: 
10 𝑘𝑚 = 10 ⋅ 103 𝑚 = 10 ⋅ 103 ⋅ 102 𝑐𝑚 = 106 𝑐𝑚 
 Agora, podemos calcular a área: 
𝐴𝑅 = (5 𝑐𝑚) ⋅ (10
6 𝑐𝑚) ⇒ 𝐴𝑅 = 5 ⋅ 10
6 𝑐𝑚2 
 Esse detalhe pode tirar alguns pontos da sua prova, então, atenção na hora de ler a questão! 
 A tabela abaixo fornece as principais conversões de unidades de medida, vamos adotar como 
unidade padrão o metro: 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
2.3.2 – QUADRADO 
Esse é um caso particular de retângulo. Como o quadrado possui lados congruentes, a sua altura e 
base possuem as mesmas medidas. Para um quadrado de lado 𝑙: 
 
𝑨𝑸 = 𝒍
𝟐 
 
2.3.3 – PARALELOGRAMO 
O paralelogramo pode ser visto como um retângulo inclinado, veja: 
 
A área do paralelogramo de altura ℎ e base 𝑏 é equivalente à área de um retângulo de altura ℎ e 
base 𝑏, logo: 
𝑨𝑷 = 𝒃 ⋅ 𝒉 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
2.3.4 – TRIÂNGULO 
A área de um triângulo é igual à metade da área de um paralelogramo de altura ℎ e base 𝑏. Seja 𝐴𝑇 
a área de um triângulo de base 𝑏 e altura ℎ: 
 
Analisando a figura, podemos ver que: 
2𝐴𝑇 = 𝑏 ⋅ ℎ 
𝑨𝑻 =
𝒃 ⋅ 𝒉
𝟐
 
 
2.3.5 – LOSANGO 
A área de um losango de diagonal maior 𝐷 e diagonal menor 𝑑 é igual à 2 vezes a área de um 
triângulo de base 𝑑 e altura 𝐷/2: 
 
𝐴𝐿 = 2𝐴𝑇 ⇒ 𝐴𝐿 = 2 ⋅
𝑑 ⋅
𝐷
2
2
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝑨𝑳 =
𝒅 ⋅ 𝑫
𝟐
 
 
2.3.6 – TRAPÉZIO 
Para calcular a área de um trapézio de base menor 𝑏 e base maior 𝐵 e altura ℎ, podemos dividi-lo 
em 2 triângulos de altura ℎ e bases 𝑏 e 𝐵: 
 
𝐴𝑇𝑟 = 𝐴1 + 𝐴2 ⇒ 𝐴𝑇𝑟 =
𝑏 ⋅ ℎ
2
+
𝐵 ⋅ ℎ
2
 
𝑨𝑻𝒓 =
(𝒃 + 𝑩) ⋅ 𝒉
𝟐
 
 
2.3.7 – POLÍGONO REGULAR 
Dado um polígono regular de 𝑛 lados, sendo: 
𝑎 − medida do apótema 
𝑙 − medida do lado 
𝑛 − número de lados 
𝑝 − semiperímetro do polígono 
Esse polígono pode ser dividido em 𝑛 triângulos congruentes de base 𝑙 e altura 𝑎: 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
A área desse polígono é dada por: 
𝐴𝑃𝑜𝑙 =
𝑛 ⋅ 𝑙 ⋅ 𝑎
2
 
O perímetro desse polígono é igual a: 
2𝑝 = 𝑛 ⋅ 𝑙 
Assim, substituindo a identidade acima na expressão da área do polígono, encontramos: 
𝐴𝑃𝑜𝑙 =
2𝑝 ⋅ 𝑎
2
 
𝑨𝑷𝒐𝒍 = 𝒑 ⋅ 𝒂 
 
2.3.8 – OUTRAS EXPRESSÕES PARA ÁREA DO TRIÂNGULO 
Dependendo dos dados da questão, podemos calcular a área do triângulo de outras formas. Vamos 
explorar as possibilidades: 
1) Dados um dos lados e a respectiva altura 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Seja 𝑆 a área do triângulo, como vimos anteriormente, a área do triângulo em função do lado e da 
respectiva altura é dada por: 
𝑺 =
𝒂 ⋅ 𝒉𝒂
𝟐
=
𝒃 ⋅ 𝒉𝒃
𝟐
=
𝒄 ⋅ 𝒉𝒄
𝟐
 
 
2) Dados dois lados e um ângulo compreendido entre eles 
 
Temos a base do triângulo, precisamos calcular a altura 𝐶𝐻: 
𝐶𝐻 = 𝑏 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝛼 
A área é dada por: 
𝑺 =
𝒃 ⋅ 𝒄 ⋅ 𝒔𝒆𝒏𝜶
𝟐
 
 
3) Dados um lado e dois ângulos adjacentes 
 
Nesse caso, procedemos chamando um lado de 𝑥, escolhendo o lado 𝐴𝐶, temos: 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
A área desse triângulo é dada por: 
𝑆 =
𝑥 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝛼
2
 
Podemos encontrar o valor de 𝑥 usando a lei dos senos: 
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛(180° − (𝛼 + 𝛽))
⇒
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽)
⇒ 𝑥 =
𝑐 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽)
 
Substituindo na expressão da área, encontramos: 
𝑺 =
𝒄𝟐 ⋅ 𝒔𝒆𝒏𝜶 ⋅ 𝒔𝒆𝒏𝜷
𝟐 ⋅ 𝒔𝒆𝒏(𝜶 + 𝜷)
 
 
4) Dados os lados e o raio da circunferência inscrita 
 
 No triângulo acima, temos três triângulos cujas bases são os lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶 e a altura é 𝑟: 
𝑆 = 𝑆𝐴𝐵𝐼 + 𝑆𝐴𝐶𝐼 + 𝑆𝐵𝐶𝐼 ⇒ 𝑆 =
𝑐 ⋅ 𝑟
2
+
𝑏 ⋅ 𝑟
2
+
𝑎 ⋅ 𝑟
2
⇒ 𝑆 =
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
2⏟ 
𝑝
⋅ 𝑟 
𝑺 = 𝒑 ⋅ 𝒓 
 
5) Dados os lados e o raio da circunferência circunscrita 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
 Vamos usar a propriedade do arco capaz e tomar o lado 𝐵𝐶 como base, então, temos: 
 
 Note que os triângulos 𝐴𝐻𝐶 e 𝐴𝐵𝐷 são semelhantes, pois ambos são retângulos e �̂� ≡ �̂�. Assim, 
podemos escrever: 
Δ𝐴𝐻𝐶~Δ𝐴𝐵𝐷 ⇒
𝐴𝐶
𝐴𝐻
=
𝐴𝐷
𝐴𝐵
⇒
𝑏
ℎ𝑎
=
2𝑅
𝑐
⇒ ℎ𝑎 =
𝑏𝑐
2𝑅
 
A área é dada por: 
𝑆 =
𝑎 ⋅ ℎ𝑎
2
 
𝑺 =
𝒂𝒃𝒄
𝟒𝑹
 
 
 6) Fórmula de Heron 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
A fórmula de Heron é útil quando a questão nos dá apenas os lados do triângulo. 
 
Sabemos que a área do triângulo pode ser dada por: 
𝑆 =
𝑎 ⋅ ℎ𝑎
2
 
Vimos no capítulo de cálculo de cevianas do triângulo que ℎ𝑎 pode ser escrita em função dos lados 
e do semiperímetro do triângulo: 
ℎ𝑎 =
2𝑎
√𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 
Substituindo essa identidade na expressão da área, encontramos: 
𝑆 =
𝑎 ⋅
2
𝑎 √𝑝
(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
2
 
𝑺 = √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) 
Essa fórmula é conhecida como fórmula de Heron. 
 
2.3.9 – RELAÇÃO MÉTRICA ENTRE ÁREAS 
Para figuras geométricas semelhantes, podemos encontrar uma relação para suas áreas. Considere 
os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐹 semelhantes abaixo: 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Como Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐷𝐸𝐹, temos: 
ℎ1
ℎ2
=
𝑏1
𝑏2
= 𝐾 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜) 
A área de cada triângulo é dada por: 
𝑆1 =
𝑏1 ⋅ ℎ1
2
 
𝑆2 =
𝑏2 ⋅ ℎ2
2
 
Dividindo as áreas, encontramos: 
𝑆1
𝑆2
=
𝑏1 ⋅ ℎ1
2
𝑏2 ⋅ ℎ2
2
⇒
𝑆1
𝑆2
=
𝑏1
𝑏2
⋅
ℎ1
ℎ2
⇒
𝑆1
𝑆2
= 𝐾 ⋅ 𝐾 
𝑺𝟏
𝑺𝟐
= 𝑲𝟐 
Portanto, a razão entre as áreas de figuras semelhantes é o valor da razão de proporção elevado ao 
quadrado. 
Vimos para o caso de triângulos semelhantes. Saiba que essa razão é válida para quaisquer figuras 
planas semelhantes. 
2.4. ÁREA DE CÍRCULOS 
2.4.1 – DEDUÇÃO DA FÓRMULA 
Para calcular a área do círculo, podemos usar a área do polígono regular de 𝑛 lados: 
 
𝑺𝑪 = 𝝅 ⋅ 𝑹
𝟐 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
2.4.2 – PARTES DO CÍRCULO 
Para finalizar o assunto de áreas de círculos, vamos aprender alguns termos que podem ser cobrados na 
prova a respeito das áreas das partes dos círculos: 
1) Setor circular 
 
Setor circular é uma fatia do círculo. Sua área é dada pela proporção: 
𝑆 =
𝜃
2𝜋⏟
𝑓𝑎𝑡𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
⋅ 𝜋𝑅2 ⇒ 𝑆 =
𝜃𝑅2
2
 
 
2) Segmento circular 
 
Segmento circular é a região delimitada pelo círculo e pelo triângulo isósceles cujo vértice é o centro 
do círculo e seu ângulo é 𝜃. Dessa forma, a área é dada pela diferença entre a área do setor circular e a 
área do triângulo isósceles. 
 
3) Lúnula 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Lúnula é a região do círculo menor localizada na parte externa do círculo maior. 
 
4) Triângulo Curvilíneo 
 
Triângulo curvilíneo é o triângulo 𝐴𝐵𝐶 cujos lados são todos curvos. 
 
5) Triângulo Mistilíneo 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Um triângulo é mistilíneo quando possui um ou dois lados curvos. Os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐶𝐷𝐸 
representados acima são mistilíneos. 
 
4. Determinar a área do trapézio 𝑨𝑩𝑪𝑫, cujas bases são 𝑨𝑫 = 𝒂 e 𝑩𝑪 = 𝒃 (𝒂 > 𝒃), e no qual �̂� = 𝟒𝟓° 
e �̂� = 𝟑𝟎°. 
Resolução: 
 Vamos desenhar a figura da questão e inserir as variáveis: 
 
 Usando a razão tangente, temos: 
𝑡𝑔45° =
ℎ
𝑥
⇒ 𝑥 = ℎ 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝑡𝑔30° =
ℎ
𝑦
⇒ 𝑦 = ℎ√3 
 De acordo com a figura, podemos inferir: 
𝑥 + 𝑏 + 𝑦 = 𝑎 ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 − 𝑏 ⇒ ℎ + ℎ√3 = 𝑎 − 𝑏 ⇒ ℎ =
𝑎 − 𝑏
√3 + 1
 
⇒ ℎ =
(𝑎 − 𝑏)(√3 − 1)
2
 
 A área do trapézio é dada por: 
𝑆 = (𝑎 + 𝑏) ⋅
ℎ
2
⇒ 𝑆 =
(𝑎 + 𝑏)
2
⋅
(𝑎 − 𝑏)(√3 − 1)
2
⇒ 𝑆 =
1
4
(√3 − 1)(𝑎2 − 𝑏2) 
Gabarito: 𝑨 =
𝟏
𝟒
(√𝟑 − 𝟏)(𝒂𝟐 − 𝒃𝟐) 
 
3.0 – LISTA DE QUESTÕES – NÍVEL 1 
1. (FN 2011) 
Determine as medidas x, y e z em graus, respectivamente, de acordo com a figura abaixo. 
 
a) 98; 88 e 68 
b) 98; 82 e 57 
c) 87; 74 e 89 
d) 87; 93 e 57 
e) 89; 82 e 98 
 
2. (FN 2013) 
Qual o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é 900°? 
 
 
 
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a) Pentágono 
b) Heptágono 
c) Eneágono 
d) Dodecágono 
e) Ecoságono 
 
3. (FN 2003) Uma área de 0,5 km² equivale à área de um terreno retangular com lados medindo: 
a) 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝐦 𝐱 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝐦 
b) 𝟓𝟎𝟎 𝐦 𝐱 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝐦 
c) 𝟓𝟎 𝐦 𝐱 𝟏𝟎𝟎 𝐦 
d) 𝟓 𝐦 𝐱 𝟏𝟎𝟎 𝐦 
 
4. (FN 2003) Um terreno vai ser cercado com cinco voltas de arame farpado. Esse terreno mede 75 m de 
comprimento por 30 m de largura. Quantos metros de arame farpados são gastos? 
a) 210 m 
b) 𝟑𝟕𝟓 m 
c) 3.050 m 
d) 2.250 m 
 
5. (FN 2003) Quantos números de 2 ordens podem ser escritos usando apenas os algarismos 3, 4, 5 e 6 
sem repeti-los? 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
 
6. (FN 2003) O número decimal correspondente ao ponto assinalado na reta numerada da figura abaixo 
é: 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
a) 2,3 
b) - 1,7 
c) - 2,03 
d) - 2,3 
 
7. (FN 2005) Para cercar um quartel, são necessários 5 voltas de arame farpado em seu perímetro. 
Quantos quilômetros de arame serão necessários para cercar um quartel que mede 500 metros de 
comprimento e 300 metros de largura? 
a) 16 
b) 15,5 
c) 12 
d) 10,5 
e) 9 
 
8. (FN 2005) 
 
 
Qual o perímetro do polígono acima? 
a) 15 cm 
b) 18 cm 
c) 20 cm 
d) 22 cm 
e) 23 cm 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
9. (FN 2005) Quantas placas quadradas de 20 cm de lado são necessárias para cobrir uma área de 50 m2? 
a) 2000 
b) 1500 
c) 1250 
d) 1150 
e) 1000 
 
10. (FN 2005) 
 
 
Na figura acima, os dois quadrados maiores são iguais. O perímetro total da figura é 16 cm e área total 
é 5,5 cm². Quanto mede, em centímetros, o lado do quadrado grande? 
a) 1,9 
b) 1,7 
c) 1,5 
d) 1,2 
e) 1,1 
 
11. (FN 2006) 
 
Onze cubinhos, todos de mesma aresta, foram colados conforme a figura acima. O menor número de 
cubinhos, iguais aos já utilizados, que devem ser colocados no sólido formado pelos onze cubinhos para 
obtermos um cubo maciço é: 
a) 48 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
b) 49 
c) 52 
d) 53 
e) 56 
 
12. (FN 2006) O jardim de uma casa tem forma retangular. A largura mede 6 metros a mais que o 
comprimento e o perímetro desse jardim é 92 metros. Qual é a área desse jardim? 
a) 260 m² 
b) 280 m² 
c) 400 m² 
d) 520 m² 
e) 832 m² 
 
13. (FN 2008) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 3x, y e (x + y) unidades de comprimento. 
Qual o polinômio que representa o volume desse paralelepípedo retângulo? 
a) 2 3x y xy+ 
b) 23x y xy+ 
c) 23 3xy xy+ 
d) 2 23 3x y xy+ 
e) 2 23 3x y xy+ 
 
14. (FN 2008) Qual é a área da base de um paralelepípedo retângulo, cuja altura mede 15 dm e seu volume 
é 3720 dm³? 
a) 72 dm² 
b) 124 dm² 
c) 248 dm² 
d) 496 dm² 
e) 1860 dm² 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
15. (FN 2008) O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência é 40 cm. Então, o raio da 
circunferência mede: 
a) 5 cm 
b) 5 √𝟐 cm 
c) 5 √𝟑 cm 
d) 10√𝟐 cm 
e) 10√𝟑 cm 
 
16. (FN 2008) Uma piscina de 8 m de comprimento por 3 m de largura e 3 m de profundidade está cheia 
até os 
3
8
 de sua capacidade. Quantos metros cúbicos de água ainda cabem na piscina? 
a) 28 m³ 
b) 36 m³ 
c) 45 m³ 
d) 54 m³ 
e) 72 m³ 
 
17. (FN 2008) 
 
Observando a figura acima, quantos cubinhos de 1 cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, 
precisaremos para construir um cubo de 3 cm de comprimento, 3 cm de largura e 3 cm de altura? 
a) 9 
b) 18 
c) 27 
d) 36 
e) 54 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
18. (FN 2011) Uma pessoa percorreu 5 voltas ao redor de uma praça circular que tem um raio de 12m. 
Sendo 3,14 = , essa pessoa percorreu, em metros, aproximadamente: 
a) 124,2 
b) 188,4 
c) 376,8 
d) 753,6 
e) 766,6 
 
19. (FN 2011) As dimensões internas de um reservatório de água com forma de paralelepípedo são: 1,2m, 
80cm e 60cm. Qual a quantidade de água, em litros, que cabe nesse reservatório? 
a) 0,576 
b) 5,676 
c) 57,66 
d) 576,0 
e) 5.760 
 
20. (FN 2011) O perímetro, em metros, do polígono abaixo é: 
 
a) 16 
b) 18 
c) 19 
d) 22 
e) 225 
 
 
 
 
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AULA 03 –GEOMETRIA PLANA IV 
 
21. (FN 2011) Calcule a área aproximada, em m², da região sombreada da figura abaixo, sendo 3,14 = e 
assinale a opção correta. 
 
a) 6,24 
b) 5,66 
c) 5,33 
d) 4,34 
e) 3,44 
 
22. (FN 2012) Calcule a área da região colorida da figura, sabendo-se que o triângulo é equilátero. 
 
a) 22 3
4
 
− 
 
 
b) 2 1
4
 
− 
 
 
c) 2 3
2
3
 
− 
 
 
d) ( )
2
2 3
8
− 
e) ( )2 2 4 − 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
23. (FN 2012) Uma das maneiras de calcular o volume de um objeto é mergulhá-lo num recipiente 
contendo água. O volume da água deslocada corresponde ao volume do objeto. Calcule, então, o 
volume de um peso para ginástica, sabendo que a base do recipiente mede 0,8 m por 0,6 m e que o 
nível da água sobe de 0,6 m para 0,7m quando o peso é mergulhado. 
a) 0,336 m³ 
b) 0,288 m³ 
c) 0,240 m³ 
d) 0,226 m³ 
e) 0,048 m³ 
 
24. (FN 2013) Durante a edificação de um prédio construiu-se uma caixa cúbica com 2,5 m de aresta para 
guardar areia. Quantas viagens um pequeno caminhão basculante precisa fazer, no mínimo, para 
encher essa caixa, se ele transporta, no máximo, 2 m³ de areia em cada viagem? 
a) 5 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 11 
 
25. (FN 2013) A altura de um triângulo equilátero T tem comprimento igual ao do lado de um triângulo 
equilátero V. Sabendo que a área de V é de 10m², qual a área de T? 
a) 20 m² 
b) 
35
2
 m² 
c) 
40
3
 m² 
d) 50 m² 
e) 
53
2
 m² 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
26. (FN 2014) Considere dois quadrados. Um deles tem 12 cm de lado e o outro tem 15 cm de lado Qual é 
a razão entre o perímetro do quadrado menor e o perímetro do quadrado maior? 
a) 
5
4
 
b) 
3
4
 
c) 
4
3
 
d) 
2
3
 
e) 
4
5
 
 
27. (FN 2014) Em uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível 
de água em 10 cm, a quantidade de litros de água necessária é: 
a) 50 ℓ 
b) 500 ℓ 
c) 5.000 ℓ 
d) 50.000 ℓ 
e) 500.000 ℓ 
 
28. (FN 2014) A parede de um muro retangular de 4,40 m por 2,50 m tem duas aberturas: uma porta de 
1,80 m por 1,0 m e uma janela de 1,50 m por 1,80 m. Qual a área da superfície pintada desse muro? 
 
a) 3,75 m² 
b) 4,50 m² 
c) 6,50 m² 
d) 5,25 m² 
e) 6,90 m². 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
29. (FN 2014) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Quantos metros de arame serão necessários para 
cercá-lo, se a cerca tiver quatro fios? 
 
a) 275,0 m 
b) 429,6 m 
c) 381,0 m 
d) 550,0 m 
e) 600,0 m. 
 
30. (FN 2015) Uma loja de materiais de construção dispõe de um caminhão cuja carroceria tem as seguintes 
dimensões: 8 m, 2,50 m e 50 cm. Quantos tijolos iguais a esse cabem na carroceria? 
 
a) 10.400 
b) 10.300 
c) 10.200 
d) 10.100 
e) 10.000 
 
31. (FN 2015) A figura a seguir representa o molde da superfície de uma caixa de leite. Após montada, 
quantos litros de leite cabem na caixa? 
 
 
 
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a) 0,01ℓ. 
b) 0,1ℓ. 
c) 1ℓ. 
d) 10ℓ. 
e) 100ℓ. 
 
32. (FN 2015) João comprou dois terrenos, todos de forma quadrada com 900m² de área e outro com 2.500 
m² de área. Qual a medida total dos lados de ambos os terrenos somados? 
 
a) 160m. 
b) 320m. 
c) 900m. 
d) 2.500m. 
e) 3.400m. 
 
33. (FN 2015) O quadrilátero ABCD da figura abaixo está circunscrito. Qual o seu perímetro? 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
a) 24 
b) 25 
c) 26 
d) 27 
e) 28 
 
34. (FN 2015) É necessário um certo número de lajotas de 25 cm x 25 cm para cobrir o piso de uma cozinha 
com 5 m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 20 lajotas. Supondo que nenhuma lajota 
quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para ladrilhar a cozinha? 
a) 32 
b) 28 
c) 25 
d) 19 
e) 16 
 
35. (FN 2015) Qual a medida da base (b) do paralelogramo abaixo de área 27,3 cm²? 
 
a) 9,1cm. 
b) 9,3cm. 
c) 24,2cm. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
d) 27,3cm. 
e) 30,6cm. 
 
36. (FN 2016) Os lados do retângulo interno medem a metade dos lados do retângulo externo. 
 
Então, calcule a área hachurada? 
a) 12 m². 
b) 36 m². 
c) 42 m². 
d) 48 m². 
e) 60 m². 
 
37. (FN 2016) Uma sala retangular de 7 m por 4 m será forrada com lajotas quadradas de 25 cm de lado. 
Quantas lajotas serão necessárias? 
a) 112 
b) 360 
c) 448 
d) 560 
e) 896 
 
38. (FN 2016) A soma das áreas dos polígonos seguintes é 119 cm². Sabendo que – 3y x = cm, determine 
essas áreas. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
a) 14 cm² e 105 cm². 
b) 18 cm² e 101 cm². 
c) 28 cm² e 91 cm². 
d) 34 cm² e 85 cm². 
e) 49 cm² e 70 cm². 
 
39. (FN 2016) Uma sala de forma quadrangular é formada por 225 quadradinhos de 20 cm x 20 cm. Quanto 
mede o lado desta sala? 
a) 15,00 m. 
b) 9,00 m. 
c) 6,00 m. 
d) 3,00 m. 
e) 1,50 m. 
 
40. (FN 2017) Com base na figura abaixo, determine a área da figura hachurada. 
 
a) 1805 cm² 
b) 1225 cm² 
c) 1075 cm² 
d) 1205 cm² 
e) 1005 cm² 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
41. (FN 2017) Um aquário com a forma de um paralelepípedo de faces retangulares (blocos retangulares) 
tem 40 cm de comprimento, 30 cm de largura e 20 cm de altura e contém água, que ocupa 
2
3
 de sua 
capacidade. Um objeto é mergulhado na água de maneira que o conteúdo do aquário passa ao ocupar 
19.600 cm³. O volume desse objeto em centímetros cúbicos é? 
a) 600 cm³ 
b) 2.800 cm³ 
c) 3.600 cm³ 
d) 4.800 cm³ 
e) 5.600 
 
42. (FN 2017) Nas figuras abaixo, as medidas são dadas na mesma unidade de medida. 
 
Pode-se afirmar que: 
a) a área do quadrado é igual à área do triângulo. 
b) a área do quadrado é igual à área do retângulo. 
c) a área do retângulo é metade da área do quadrado. 
d) a área do quadrado é o triplo da área do retângulo. 
e) a área do triângulo é igual à área do retângulo. 
 
43. (FN 2017) Paulo descobriu que a quadra de salão de seu colégio tem área de 384 m² e perímetro de 80 
m. 
 
 
 
 51 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
x = comprimento da quadra 
y = largura da quadra 
Com base nas informações acima, qual a equação que determina as dimensões dessa quadra? 
a) 2 40 384 0y Y+ − = 
b) 2 – 35 397 4Y Y + = 
c) 2 47 – 574 66Y Y+ = 
d) 2 – 40 384 0Y Y + = 
e) 2 50 – 277 0Y Y+ = 
 
44. (FN 2018) O retângulo e o quadrado abaixo são equivalentes (têm a mesma área). Observe 
atentamente as figuras e determine qual a medida do lado do quadrado e o seu perímetro, 
respectivamente. 
 
a) 8 e 32 
b) 12,8 e 35,6 
c) 8 e 16 
d) 12,8 e 20,8 
e) 8 e 12,8 
 
45. (FN 2019) Na figura abaixo, M é o ponto médio do seguimento AB e N é o ponto médio do seguimento 
MB . Sabendo que 100AB = cm, a razão entre os seguimentos AN e NB é: 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
46. (FN 2019) Uma sala retangular, medindo 3,52 m de largura e 4,16 m de comprimento, terá seu piso 
totalmente revestido com ladrilhos inteiros, quadrados e de mesma dimensão, sem que haja espaço 
entre os ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que possuam o maior tamanho 
possível. Nessas condições, qual o tamanho máximo do lado do ladrilho? 
a) Maior de 10 cm e menor de 15 cm 
b) Maior de 15 cm e menor de 20 cm 
c) Maior de 20 cm e menor de 25 cm 
d) Maior de 25 cm e menor de 30 cm 
e) Maior de 30 cm e menor de 35 cm 
 
47. (FN 2019) Qual das expressões abaixo têm o mesmo resultado de 1967: 350? 
a) 196,7 : 3,5 
b) 196,7 :0,35 
c) 19,67 : 3,5 
d) 1,967 : 3,5 
e) 1,967 : 0,035 
 
48. (FN 2019) Para preencher totalmente o fundo de uma caixa cúbica de vidro com um metro de aresta, 
com cubos menores de 1 dm³, sem empilhá-los, quantos cubos menores serão usados? 
a) 100.000 
b) 10.000 
c) 1000 
d) 100 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
e) 10 
 
49. (FN 2019) Em uma viagem, João dirigiu 1500 km fazendo apenas uma parada para descanso. Na 
primeira jornada da viagem, dirigiu 12 horas 24 minutos e 37 segundos. Na segunda jornada dirigiu 6 
horas 38 minutos e 51 segundos. Qual o total de tempo que levou a viagem? 
a) 19 h 3 min 28 seg 
b) 18 h 13 min 38 seg 
c) 18 h 23 min 58 seg 
d) 17 h 33 min 60 seg 
e) 16 h 3 min 58 seg 
 
50. (EAM 2004) A área da figura hachurada, onde todas as medidas são em metros é: 
 
Considere: 3,1 = e 3 1,3= 
a) 54,1 
b) 56,1 
c) 58,2 
d) 60,1 
e) 61,3 
 
51. (EAM 2004) No painel o desenho de uma árvore de natal, na forma de um triângulo isósceles, onde a 
altura, e a base são números inteiros e os lados medem 10 , será revestido com um papel de parede, 
que custa R$ 8,00 o metro quadrado. Qual o custo mínimo para revestir essa árvore? 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
a) R$ 16,00 
b) R$ 24,00 
c) R$ 32,00 
d) R$ 40,00 
e) R$ 48,00 
 
52. (EAM 2005) Um cavalo deve ser amarrado a uma estaca situada em um dos vértices de um pasto que 
tem a forma de um quadrado, cujo lado mede 20 m. Para que ele possa pastar em cerca de 20% da 
área total do pasto, a parte inteira, em metros, do comprimento da corda que o prende à estaca deve 
ser igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 5 
d) 8 
e) 10 
 
53. (EAM 2005) 
 
Considerando-se que, nas figuras acima, os triângulos X, Y e Z estejam inscritos em retângulos 
congruentes, pode-se afirmar que: 
a) apenas as áreas dos triângulos X e Y são iguais 
b) apenas as áreas dos triângulos X e Z são iguais 
c) apenas as áreas dos triângulos Y e Z são iguais 
d) as áreas dos triângulos X, Y e Z são iguais entre si 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
e) as áreas dos triângulos X, Y e Z são diferentes entre si 
 
54. (EAM 2005) Em uma sala retangular de piso plano nas dimensões 8,80 m por 7,60 m, deseja-se colocar 
lajotas quadradas iguais sem a necessidade de recortar qualquer peça. A medida máxima em 
centímetros, do lado de cada lajota deverá ser igual a: 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
 
55. (EAM 2005) 
 
Considerando-se que a figura A seja um retângulo e as figuras B e C sejam obtidas, respectivamente, 
pela retirada da figura A de um quadrado de lado unitário, pode-se afirmar que: 
a) apenas os perímetros das figuras A e B são iguais 
b) apenas os perímetros das figuras A e C são iguais 
c) apenas os perímetros das figuras B e C são iguais 
d) os perímetros das figuras A, B e C são todos iguais 
e) os perímetros das figuras A, B e C são todos diferentes 
 
56. (EAM 2006) Um quadrado ABCD tem 64 cm de perímetro. Quanto mede o lado de um quadrado cujo 
perímetro é o dobro do perímetro do quadrado ABCD? 
a) 8 
b) 16 
c) 18 
d) 28 
e) 32 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
57. (EAM 2006) 
 
Na figura acima, o segmento AB mede 2 cm. Qual o valor da área do triângulo ABC medidos em cm²? 
a) 2 3 
b) 3 
c) 4 
d) 2 
e) 1 
 
58. (EAM 2006) Observe a figura. 
 
Nela, ABCD é um trapézio e CDEF, um quadrado. Sabendo que AB AD x= = e 3BC x= + , qual a 
expressão que representa a área da figura? 
a) 
24 3 6
2
x x+ +
 
b) 
24 15 18
2
x x+ +
 
c) 
24 3 18
2
x x+ +
 
d) 
220 3
2
x x+
 
e) 
28 3
2
x x+
 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
59. (EAM 2007) Uma corda de 20 metros de comprimento foi cortada em dois pedaços de tamanhos 
diferentes. Os pedaços foram usados para fazer dois quadrados. Sabendo que a diferença entre as áreas 
é igual a 5 m², é correto afirmar que a área do quadrado maior, em metros quadrados, é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 7 
e) 9 
 
60. (EAM 2007) A raiz da equação 23 13 10 0x x− − = representa a medida em centímetros do lado de um 
quadrado. Quanto mede em centímetros quadrados, a área desse quadrado? 
a) 20 
b) 25 
c) 30 
d) 36 
e) 225 
 
61. (EAM 2007) Em um paralelogramo, dois lados consecutivos medem 16 cm e 10 cm é o ângulo obtuso 
interno 150°. Determine, em centímetros quadrados, a área do paralelogramo. 
a) 50 
b) 50 2 
c) 80 
d) 128 
e) 160 
 
62. (EAM 2008) O retângulo de dimensões ( )4 2x − cm e ( )3x + cm. O perímetro desse retângulo, em 
centímetros, mede: 
a) 48 
b) 52 
c) 60 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
d) 74 
e) 80 
 
63. (EAM 2009) Observe a figura plana a seguir. 
 
Na figura, tem-se dois quadrados. O maior tem 5 cm de lado, e o menor, 3 cm. A área da região 
hachurada, em cm², é: 
a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 20 
e) 25 
 
64. (EAM 2009) Observe a figura abaixo. 
 
Assinale a opção que indica o seu perímetro. 
a) 24 
b) 21 
c) 17 
d) 14 
e) 10 
 
65. (EAM 2009) Para ladrilhar uma sala, foram necessários 640 azulejos quadrados de 15 cm de lado. Qual 
a área da sala em metros quadrados? 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
a) 12,1 
b) 14,4 
c) 16,9 
d) 19,6 
e) 21,3 
 
66. (EAM 2010) ABCD é um quadrado de lado 12 m. Unindo os pontos médios dos lados deste quadrado é 
obtido um quadrilátero de área igual a: 
a) 72 m² 
b) 68 m² 
c) 64 m² 
d) 56 m² 
e) 45 m² 
 
67. (EAM 2010) O perímetro de um triângulo de lados inteiros é igual a 12 m. O maior valor possível para 
um dos lados deste triângulo tem medida igual a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
68. (EAM 2011) Uma pessoa comprou 350 m de arame farpado para cercar seu terreno que tem a forma 
de um retângulo de lados 12 m e 30 m. Ao contornar todo o terreno uma vez, a pessoa deu a primeira 
volta no terreno. Quantas voltas completas, no máximo, essa pessoa pode dar nesse terreno antes de 
acabar o arame comprado? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
e) 6 
 
69. (EAM 2014) Analise a figura a seguir. 
 
Suponha que o terreno comprado por um proprietário tenha a forma da figura acima e suas medida 
sejam representadas, em unidades de comprimento pelas variáveis X, Y e Z. A expressão algébrica que 
representa o perímetro desse terreno é: 
a) 2X + 3Y + Z 
b) 3X + 4Y + 2Z 
c) 3X + 3Y + Z 
d) 3X + 2Y + 3Z 
e) 4X + 3Y + 2Z 
 
70. (EAM 2014) Observe a figura a seguir. 
 
Essa figura representa uma praça de eventos na forma de um quadrado de 12 m de lado que teve seu 
piso revestido com cerâmica branca e cinza. A região revestida pela cerâmica branca foi obtida 
construindo quatro triângulos retângulos com catetos medindo 4 m em cada uma das extremidades. 
Quantos metros quadrados de cerâmica cinza foram utilizados na construção dessa praça? 
a) 64 
b) 72 
c) 80 
d) 100 
e) 112 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
71. (EAM 2015) Considere que um senhor deseja cercar um terreno retangular de 200 m² de área, 
utilizando 60 metros de arame. Sendo assim, é correto afirmar que o comprimento e a largura, deste 
terreno, são respectivamente: 
a) 50 m e 4 m 
b) 40 m e 5 m 
c) 25 m e 8 m 
d) 20 m e 10 m 
e) 16 m e 12, 5 m 
 
72. (EAM 2015) Deseja-se revestir com azulejos uma parede sem aberturas, com 8 metros de comprimento 
por 3 metros de altura. Sabendo que os azulejos têm dimensões 40 × 40 cm e que há uma perda de 
10% na colocação dos mesmos, qual a quantidade de azulejosque se deve adquirir para revestir a 
parede? 
a) 176 
b) 165 
c) 160 
d) 150 
e) 24 
 
73. (EAM 2015) A área de um círculo é igual a 121 cm². O raio deste círculo, em cm, mede: 
a) 121 
b) 60,5 
c) 21 
d) 11 
e) 5,5 
 
74. (EAM 2016) Analise a figura. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Sabendo que EP é raio da semicircunferência de centro em E, como mostra a figura acima, determine 
o valor da área mais escura e assinale a opção correta: 
Dado: 3 = 
a) 10 cm² 
b) 12 cm² 
c) 18 cm² 
d) 22 cm² 
e) 24 cm² 
 
75. (EAM 2016) Sabendo que o diâmetro da roda de uma bicicleta de 29 polegadas (incluindo o pneu) é, 
aproximadamente, igual a 74 cm, determine a distância, em metros, percorrida por essa roda, ao dar 4 
voltas completas sem nenhum deslize. 
Dado: 3 = . 
a) 5,55 m 
b) 6,66 m 
c) 8,88 m 
d) 328,55 m 
e) 438,08 m 
 
76. (EAM 2017) Analise a figura a seguir. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Calcule a soma das áreas hachuradas da figura acima, sabendo que os polígonos I e II são quadrados, e 
assinale a opção correta. 
a) 22 3 
b) 22 
c) 13 4 3+ 
d) 11 
e) 11 13 
 
77. (EAM 2017) Deseja-se azulejar, até o teto, as 4 paredes de uma cozinha. Sabe-se que a cozinha possui 
2 portas medindo 210 cm de altura e 80 cm de largura cada uma, e uma janela com 150 cm de altura 
e 110 cm de comprimento. O comprimento, a largura e a altura da cozinha são iguais a 5,0 m, 4,0 m e 
3,0 m, respectivamente. Determine o número mínimo de metros quadrados inteiros de azulejos que 
devem ser comprados e assinale a opção correta. 
a) 42 
b) 43 
c) 49 
d) 55 
e) 58 
 
78. (EAM 2017) A área de um retângulo corresponde à expressão 2 10 24K k− − quando 36k = . Sendo 
assim, calcule suas dimensões e assinale a opção correta. 
a) 38 e 24 
b) 36 e 32 
c) 63 e 24 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
d) 54 e 38 
e) 32 e 24 
 
79. (EAM 2018) Analise a figura abaixo. 
 
A área do trapézio da figura acima é 12. Considere que o segmento EC = 4; CD = 2 e GH = 2r. Considere, 
ainda, que os pontos C, G e H são pontos de tangência e r é o raio do semicírculo sombreado. Sendo 
assim, é correto afirmar que a área do semicírculo sombreado é igual a: 
a)  
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
80. (EAM 2004) Para sustentação do letreiro é feito um suporte de ferro na forma de um triângulo 
retângulo ABC . Calcule o comprimento da barra de ferro representada pelo segmento AD sabendo 
que é bissetriz do ângulo BAC . 
 
a) 0,56 m 
b) 0,84 m 
c) 0,92 m 
d) 1 m 
e) 1,2 m 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
81. (EAM 2005) 
 
Uma escada de 10 metros de comprimento forma ângulo de 60° com a horizontal quando encostada 
ao edifício de um dos lados da rua, e ângulo de 45° se for encostada ao edifício do outro lado, apoiada 
no mesmo ponto do chão. A largura da rua, em metros, vale aproximadamente: 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 11 
 
82. (EAM 2005) Em um triângulo, os lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm. Quanto mede, em centímetros, a 
altura relativa ao maior lado desse triângulo? 
a) 8,0 
b) 7,2 
c) 6,0 
d) 5,6 
e) 4,3 
 
83. (EAM 2007) Um robô de brinquedo dá passos de 2 centímetros. A partir de ponto A, ele caminha 8 
passos para frente, gira 90° para a esquerda, dá mais 6 passos em frente e para em um ponto B. Qual 
a medida, em centímetros, do segmento AB? 
a) 10 
b) 14 
c) 20 
d) 25 
e) 28 
 
84. (EAM 2008) Observe a figura abaixo. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
O triângulo ABC é retângulo em A e o triângulo ABD é equilátero. Se a medida de BC é 12, o 
comprimento de AB é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
85. (EAM 2008) Em um triângulo retângulo isósceles, a hipotenusa tem por medida 5 2 cm. A soma das 
medidas dos catetos, em centímetros, é 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 12 
 
86. (EAM 2009) Observe a figura abaixo. 
 
O pé de uma escada de 10 m de comprimento está afastado 6 m de um muro. A que altura do chão, 
em metros, encontra-se o topo da escada? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
87. (EAM 2010) Seja x, y e z os lados de um triângulo retângulo. Sabendo que y é a medida do maior lado 
então: 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
a) 2 2 22y x z= + 
b) 2 2 22 2y x z= + 
c) 2 2 22y x z= + 
d) 2 2 2y x z= + 
e) 2 2 22y x z= + 
 
88. (EAM 2012) Uma aeronave decola fazendo, com a pista plana e horizontal, um ângulo de elevação de 
30°. Após percorrer 1,2 km, a aeronave se encontra em relação ao solo, a uma altura igual a: 
a) 900 m 
b) 600 m 
c) 500 m 
d) 400 m 
e) 300 m 
 
89. (EAM 2012) A área do triângulo retângulo de lados 1,3 dm, 0,05 m e 0,012 dam é: 
a) 28 cm² 
b) 30 cm² 
c) 32 cm² 
d) 33 cm² 
e) 34 cm² 
 
90. (EAM 2013) Considere que o triângulo ABC é retângulo. Sabendo que 90A =  , 12AB = cm e 5AC = 
cm, qual é o perímetro, em centímetros, desse triângulo? 
a) 20 
b) 30 
c) 40 
d) 50 
e) 140 
 
91. (EAM 2014) Uma pipa ficou presa em um galho de uma árvore e seu fio ficou esticado formando um 
ângulo de 60° com o solo. Sabendo que o comprimento do fio é 50 m, a que altura, aproximadamente, 
do solo encontrava-se a pipa? 
Dado: considere 3 1,7= 
a) 15,7 m 
 
 
 
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b) 25 m 
c) 42,5 m 
d) 50,5 m 
e) 85 m 
 
92. (EAM 2015) Um avião decola de um aeroporto e sobe segundo um ângulo constante de 15° com a 
horizontal. Na direção do percurso do avião, a 2 km do aeroporto, um garoto observa o avião sobre ele. 
Qual a altura do avião neste momento? 
Dados: sen 15 0,26 = , cos 15 0,96 = , tan 15 0,27 = . 
a) 960 m 
b) 540 m 
c) 260 m 
d) 96 m 
e) 26 m 
 
93. (EAM 2016) Analise a figura: 
 
Uma escada com 10 degraus, construída sobre uma rampa, conforme a figura. Deve ligar dois 
pavimentos de uma casa. Sabendo que o comprimento de cada degrau é igual a 30 cm e a inclinação 
da rampa com a horizontal é igual a 53°, determine a altura de cada degrau, considerando que o seno 
de 53° é igual a 0,8 e o cosseno de 53° é igual a 0,6, assinalado a seguir, a opção correta. 
a) 10 cm 
b) 20 cm 
c) 40 cm 
d) 50 cm 
e) 60 cm 
 
94. (EAM 2017) Apoiado em dois pilares construídos sobre um terreno plano e distantes 3m um do outro, 
constrói-se um telhado, cuja inclinação é de 30° em relação ao piso. Se o pilar de menor altura mede 4 
metros, qual é a altura do outro pilar? 
 
 
 
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Dado: 3 1,7= 
a) 5,5 m 
b) 5,7 m 
c) 6,0 m 
d) 6,5 m 
e) 6,9 m 
 
95. (EAM 2017) Observe a figura a seguir. 
 
Na figura acima, tem-se um triângulo isósceles ACD, no qual o segmento AB mede 3cm, o lado desigual 
AD mede 10 2 cm e os segmentos AC e CD são perpendiculares. Sendo assim, é correto afirmar que 
o segmento BD mede: 
a) 53 cm 
b) 97 cm 
c) 111 cm 
d) 149 cm 
e) 161 cm 
 
96. (EAM 2019) Os lados de um triângulo medem 30 cm, 70 cm e 80 cm. Ao traçarmos a altura desse 
triângulo em relação ao maior lado, dividiremos esse lado em dois segmentos. Sendo assim, calcule o 
valor do menor segmento em centímetros e assinale a opção correta. 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 11 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
97. (EAM 2019) Observe a figura abaixo. 
 
Considerando que os triângulos BDA e BCA apresentados acima são, respectivamente, retângulos em 
D e C, calcule o valor de x em função do lado c e assinale a opção correta. 
a) 3 2c − 
b) 2 1c − 
c) 2 5c + 
d) 3c −e) 2 3c − 
 
 
 
 
 
 
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3.1 – GABARITO 
1. “b”. 
2. “b”. 
3. “c”. 
4. “*”. 
5. “d”. 
6. “b”. 
7. “*”. 
8. “d”. 
9. “c”. 
10. “c”. 
11. “d”. 
12. “d”. 
13. “d”. 
14. “c”. 
15. “b”. 
16. “c”. 
17. “c”. 
18. “c”. 
19. “d”. 
20. “d”. 
21. “e”. 
22. “d”. 
23. “e”. 
24. “c”. 
25. “c”. 
26. “e”. 
27. “c”. 
28. “c”. 
29. “b”. 
30. “e”. 
31. “c”. 
32. “b”. 
33. “a”. 
34. “e”. 
35. “a”. 
36. “b”. 
37. “c”. 
38. “e”. 
39. “d”. 
40. “c”. 
41. “c”. 
42. “*”. 
43. “d”. 
44. “a”. 
45. “b”. 
46. “e”. 
47. “c”. 
48. “d”. 
49. “a”. 
50. B 
51. B 
52. E 
53. D 
54. D 
55. B 
56. E 
57. B 
58. C 
59. E 
60. B 
61. C 
62. B 
63. A 
 
 
 
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64. A 
65. B 
66. A 
67. A 
68. C 
69. B 
70. E 
71. D 
72. B 
73. D 
74. B 
75. C 
76. B 
77. C 
78. A 
79. B 
80. B 
81. D 
82. B 
83. C 
84. B 
85. D 
86. D 
87. D 
88. B 
89. B 
90. B 
91. C 
92. B 
93. C 
94. B 
95. D 
96. A 
97. E 
 
 
 
 
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4.0 – LISTA DE QUESTÕES COMENTADAS – NÍVEL 1 
1. (FN 2011) 
Determine as medidas x, y e z em graus, respectivamente, de acordo com a figura abaixo. 
 
a) 98; 88 e 68 
b) 98; 82 e 57 
c) 87; 74 e 89 
d) 87; 93 e 57 
e) 89; 82 e 98 
 
Comentários 
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 540°. Então vamos calcular o valor 
de 𝑥: 
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 25 + 𝑥 + 25 = 540 
5𝑥 + 50 = 540 
5𝑥 = 540 − 50 
𝑥 =
490
5
 
𝑥 = 98 
Vemos na figura que 𝑥 e 𝑦 são ângulos complementares, ou seja, sua soma equivale a 180°. Logo: 
𝑥 + 𝑦 = 180 
98 + 𝑦 = 180 
𝑦 = 180 − 98 
𝑦 = 82 
 
 
 
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Vemos também na figura que 𝑥 + 25° e 𝑧 são ângulos complementares. Logo: 
𝑥 + 25 + 𝑧 = 180 
98 + 25 + 𝑧 = 180 
𝑧 = 180 − 123 
𝑧 = 57 
 
Gabarito “b”. 
2. (FN 2013) 
Qual o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é 900°? 
a) Pentágono 
b) Heptágono 
c) Eneágono 
d) Dodecágono 
e) Ecoságono 
 
Comentários 
Para descobrirmos isso, devemos usar a fórmula 𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180°, onde 𝑆𝑖 é a soma dos 
ângulos internos e 𝑛 o número de lados do polígono. Interpretando o enunciado, sabemos que 
nesse caso 𝑆𝑖 = 900°, então vamos calcular: 
𝑆𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180 
900 = (𝑛 − 2) ∙ 180 
𝑛 − 2 =
900
180
 
𝑛 − 2 = 5 
𝑛 = 5 + 2 
𝑛 = 7 
Sabemos que o polígono que possui 7 lados é o heptágono. 
 
 
 
 
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Gabarito “b”. 
3. (FN 2003) Uma área de 0,5 km² equivale à área de um terreno retangular com lados medindo: 
a) 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝐦 𝐱 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝐦 
b) 𝟓𝟎𝟎 𝐦 𝐱 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝐦 
c) 𝟓𝟎 𝐦 𝐱 𝟏𝟎𝟎 𝐦 
d) 𝟓 𝐦 𝐱 𝟏𝟎𝟎 𝐦 
 
Comentários 
Vamos calcular de acordo com as alternativas: 
a) 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝟐 → 𝟓𝟎𝟎 𝒌𝒎𝟐 → incorreta 
b) 𝟓𝟎𝟎 𝒎 ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝟐 → 𝟓𝟎 𝒌𝒎𝟐 → incorreta 
c) 𝟓𝟎 𝒎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 𝒎 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝟐 → 𝟎, 𝟓 𝒌𝒎𝟐 → correta 
d) 𝟓 𝒎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 𝒎 = 𝟓𝟎𝟎 𝒎𝟐 → 𝟎, 𝟎𝟓 𝒌𝒎𝟐 → incorreta 
 
Gabarito “c”. 
4. (FN 2003) Um terreno vai ser cercado com cinco voltas de arame farpado. Esse terreno mede 75 m de 
comprimento por 30 m de largura. Quantos metros de arame farpados são gastos? 
a) 210 m 
b) 𝟑𝟕𝟓 m 
c) 3.050 m 
d) 2.250 m 
 
Comentários 
Primeiramente, vamos calcular o perímetro do terreno. 
Este terreno tem 𝟕𝟓 m de comprimento e 𝟑𝟎 m de largura. Logo: 
𝟕𝟓 + 𝟕𝟓 + 𝟑𝟎 + 𝟑𝟎 = 𝟐𝟏𝟎 
Como serão 𝟓 voltas de arame farpado, precisamos multiplicar por 𝟓: 
𝟐𝟏𝟎 ∙ 𝟓 = 𝟏. 𝟎𝟓𝟎 𝒎 
 
 
 
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Porém, vemos que não há resposta correta. 
 
Gabarito “*”. 
5. (FN 2003) Quantos números de 2 ordens podem ser escritos usando apenas os algarismos 3, 4, 5 e 6 
sem repeti-los? 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
 
Comentários 
Vamos escrever: 𝟑𝟒, 𝟑𝟓, 𝟑𝟔, 𝟒𝟑, 𝟒𝟓, 𝟒𝟔, 𝟓𝟑, 𝟓𝟒, 𝟓𝟔, 𝟔𝟑, 𝟔𝟒, 𝟔𝟓. Contando, temos 𝟏𝟐 números. 
 
Gabarito “d”. 
6. (FN 2003) O número decimal correspondente ao ponto assinalado na reta numerada da figura abaixo 
é: 
 
a) 2,3 
b) - 1,7 
c) - 2,03 
d) - 2,3 
 
Comentários 
Analisando a reta, vemos que entre cada número há 𝟗 risquinhos, o que representa as casas 
decimais. Contando, vemos que o ponto assinalado está no sétimo risquinho regredindo do −𝟏 
ao −𝟐, logo temos o número −𝟏, 𝟕. 
 
Gabarito “b”. 
 
 
 
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7. (FN 2005) Para cercar um quartel, são necessários 5 voltas de arame farpado em seu perímetro. 
Quantos quilômetros de arame serão necessários para cercar um quartel que mede 500 metros de 
comprimento e 300 metros de largura? 
a) 16 
b) 15,5 
c) 12 
d) 10,5 
e) 9 
 
Comentários 
Primeiramente, vamos calcular o perímetro do quartel. 
No enunciado diz que este quartel tem 𝟓𝟎𝟎 m de comprimento e 𝟑𝟎𝟎 m de largura. Logo, o 
perímetro mede: 
𝟓𝟎𝟎 + 𝟓𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝟎 = 𝟏. 𝟔𝟎𝟎 𝒎 
 
Como serão 𝟓 voltas de arame farpado, precisamos multiplicar por 𝟓: 
𝟏. 𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟓 = 𝟖. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 
 
Sabemos que 𝟏 𝒌𝒎 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒎, então: 
𝟖. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 = 𝟖 𝒌𝒎 
 
Porém, vemos que não há resposta correta. 
 
Gabarito “*”. 
8. (FN 2005) 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Qual o perímetro do polígono acima? 
a) 15 cm 
b) 18 cm 
c) 20 cm 
d) 22 cm 
e) 23 cm 
 
Comentários 
O perímetro é calculado somando a medida de todos os lados do polígono. 
Analisando a figura, vemos que há medidas já expostas no desenho. Como há lados paralelos, 
basta subtrair a medida do menor lado da medida do maior para descobrir as que faltam na figura. 
Assim: 
𝟐 + 𝟖 + 𝟎, 𝟓 + 𝟏, 𝟓 + 𝟏 + 𝟖 + 𝟏 = 𝟐𝟐 𝒄𝒎 
 
Gabarito “d”. 
9. (FN 2005) Quantas placas quadradas de 20 cm de lado são necessárias para cobrir uma área de 50 m2? 
a) 2000 
b) 1500 
c) 1250 
d) 1150 
e) 1000 
 
Comentários 
Primeiro, vamos calcular a área da placa em 𝒎𝟐: 
 
 
 
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𝟐𝟎 𝒄𝒎 ∙ 𝟐𝟎 𝒄𝒎 = 𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 → 𝟎, 𝟎𝟒 𝒎𝟐 
 
Agora, basta dividir a área que queremos cobrir pela área das placas quadradas: 
𝟓𝟎 𝒎𝟐 ÷ 𝟎, 𝟎𝟒 𝒎𝟐 = 𝟏𝟐𝟓𝟎 
 
Gabarito “c”. 
10. (FN 2005) 
 
 
Na figura acima, os dois quadrados maiores são iguais. O perímetro total da figura é 16 cm e área total 
é 5,5 cm². Quanto mede, em centímetros, o lado do quadrado grande? 
a) 1,9 
b) 1,7 
c) 1,5 
d) 1,2 
e) 1,1 
 
Comentários 
Vamos formar equações com o que foi dito no enunciado, chamando o lado maior de 𝑳 e menor 
de 𝒍: 
𝟒𝒍 + 𝟒𝑳 + 𝟒𝑳 = 𝟏𝟔 
𝟖𝑳 + 𝟒𝒍 = 𝟏𝟔 
𝟐𝑳 + 𝒍 = 𝟒 
𝑳𝟐 + 𝒍𝟐 + 𝑳𝟐 = 𝟓, 𝟓 
𝟐𝑳𝟐 + 𝒍𝟐 = 𝟓, 𝟓 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Vamos formar um sistema de equação e resolver com o método da substituição: 
{
𝟐𝑳 + 𝒍 = 𝟒
𝟐𝑳𝟐 + 𝒍𝟐 = 𝟓, 𝟓
 
𝒍 = 𝟒 − 𝟐𝑳 
𝟐𝑳𝟐 + 𝒍𝟐 = 𝟓, 𝟓 
𝟐𝑳𝟐 + (𝟒 − 𝟐𝑳)𝟐 = 𝟓, 𝟓 
𝟐𝑳𝟐 + 𝟏𝟔 − 𝟏𝟔𝑳 + 𝟒𝑳𝟐 = 𝟓, 𝟓 
𝟔𝑳𝟐 − 𝟏𝟔𝑳 + 𝟏𝟔 − 𝟓, 𝟓 = 𝟎 
𝟔𝑳𝟐 − 𝟏𝟔𝑳 + 𝟏𝟎, 𝟓 = 𝟎 
 
Chegamos então a uma equação de segundo grau. Vamos chamar 𝑳 de 𝒙 e usar a fórmula 
quadrática. 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
Onde, 
𝒂 = 𝟔, 
𝒃 = −𝟏𝟔 e 
𝒄 = 𝟏𝟎, 𝟓. 
Calculando: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−(−𝟏𝟔) ± √(−𝟏𝟔)𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟔 ∙ 𝟏𝟎, 𝟓
𝟐 ∙ 𝟔
 
𝒙 =
𝟏𝟔 ± √𝟐𝟓𝟔 − 𝟐𝟓𝟐
𝟏𝟐
 
𝒙 =
𝟏𝟔 ± √𝟒
𝟏𝟐
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV𝒙 =
𝟏𝟔 ± 𝟐
𝟏𝟐
 
𝒙 =
𝟖 ± 𝟏
𝟔
 
 
Como é uma equação do segundo grau, temos duas respostas: 
𝒙𝟏 =
𝟖 + 𝟏
𝟔
 
𝒙𝟏 =
𝟗
𝟔
 
𝒙𝟏 = 𝟏, 𝟓 
𝒙𝟐 =
𝟖 − 𝟏
𝟔
 
𝒙𝟐 =
𝟕
𝟔
 
 
Ou seja: 
𝑳𝟏 = 𝟏, 𝟓 
𝑳𝟐 =
𝟕
𝟔
 
 
Vamos substituir o primeiro valor na equação: 
𝒍𝟏 = 𝟒 − 𝟐𝑳𝟏 
𝒍𝟏 = 𝟒 − 𝟐 ∙ 𝟏, 𝟓 
𝒍𝟏 = 𝟒 − 𝟑 
𝒍𝟏 = 𝟏 
 
Vamos testar na outra: 
𝟐𝑳𝟐 + 𝒍𝟐 = 𝟓, 𝟓 
𝟐 ∙ 𝟏, 𝟓𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟓, 𝟓 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝟐 ∙ 𝟐, 𝟐𝟓 + 𝟏 = 𝟓 
𝟒, 𝟓 + 𝟏 = 𝟓, 𝟓 
𝟓, 𝟓 = 𝟓, 𝟓 
 
Provamos então que o primeiro resultado é real e satisfaz nossas condições. 
 
Vamos substituir o segundo valor na equação: 
𝒍𝟐 = 𝟒 − 𝟐𝑳𝟐 
𝒍𝟐 = 𝟒 − 𝟐 ∙
𝟕
𝟔
 
𝒍𝟐 = 𝟒 −
𝟕
𝟑
 
𝒍𝟐 =
𝟏𝟐 − 𝟕
𝟑
 
𝒍𝟐 =
𝟓
𝟑
 
 
Vamos testar na outra: 
𝟐𝑳𝟐 + 𝒍𝟐 = 𝟓, 𝟓 
𝟐 ∙ (
𝟕
𝟔
)
𝟐
+ (
𝟓
𝟑
)
𝟐
= 𝟓, 𝟓 
𝟐 ∙
𝟒𝟗
𝟑𝟔
+
𝟐𝟓
𝟗
= 𝟓 
𝟒𝟗
𝟏𝟖
+
𝟐𝟓
𝟗
= 𝟓, 𝟓 
𝟒𝟗 + 𝟓𝟎
𝟏𝟖
= 𝟓, 𝟓 
𝟗𝟗
𝟏𝟖
= 𝟓, 𝟓 
𝟏𝟏
𝟐
= 𝟓, 𝟓 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝟓, 𝟓 = 𝟓, 𝟓 
 
Provamos então que o segundo resultado também é real e satisfaz nossas condições. 
 
Então, temos que os valores possíveis para o lado do quadrado grande são 𝟏, 𝟓 e 𝟏, 𝟏𝟔𝟔𝟔…(
𝟕
𝟔
). 
Vendo as alternativas possíveis, concluímos que a resposta correta é a c). 
 
Gabarito “c”. 
11. (FN 2006) 
 
Onze cubinhos, todos de mesma aresta, foram colados conforme a figura acima. O menor número de 
cubinhos, iguais aos já utilizados, que devem ser colocados no sólido formado pelos onze cubinhos para 
obtermos um cubo maciço é: 
a) 48 
b) 49 
c) 52 
d) 53 
e) 56 
 
Comentários 
Para que o sólido seja um cubo, sua base de ter 𝟒 ∙ 𝟒 = 𝟏𝟔 cubinhos (o cubo tem todas as arestas 
de mesmo tamanho). 
O cubo todo deve possuir, portanto 𝟒 bases superpostas, em um total de 𝟏𝟔 ∙ 𝟒 = 𝟔𝟒 cubinhos. 
Subtraindo quantos cubinhos já tem, 𝟔𝟒 − 𝟏𝟏 = 𝟓𝟑 cubinhos. 
 
Gabarito “d”. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
12. (FN 2006) O jardim de uma casa tem forma retangular. A largura mede 6 metros a mais que o 
comprimento e o perímetro desse jardim é 92 metros. Qual é a área desse jardim? 
a) 260 m² 
b) 280 m² 
c) 400 m² 
d) 520 m² 
e) 832 m² 
 
Comentários 
Sabemos que o perímetro é a soma de todos os lados. Logo: 
𝟐𝒍 + 𝟐𝒄 = 𝟗𝟐 
 
Porém, o enunciado nos diz que: 
𝒍 = 𝟔 + 𝒄 
 
Portanto: 
𝟐𝒍 + 𝟐𝒄 = 𝟗𝟐 
𝟐(𝟔 + 𝒄) + 𝟐𝒄 = 𝟗𝟐 
𝟏𝟐 + 𝟐𝒄 + 𝟐𝒄 = 𝟗𝟐 
𝟒𝒄 = 𝟗𝟐 − 𝟏𝟐 
𝒄 =
𝟖𝟎
𝟒
 
𝒄 = 𝟐𝟎 
 
Então: 
𝒍 = 𝟔 + 𝒄 
𝒍 = 𝟔 + 𝟐𝟎 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝒍 = 𝟐𝟔 
 
Sabemos que a área de um retângulo é a largura multiplicada pelo comprimento. Calculando: 
𝒍 ∙ 𝒄 
𝟐𝟎 ∙ 𝟐𝟔 
𝟓𝟐𝟎 𝒎𝟐 
 
Gabarito “d”. 
13. (FN 2008) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 3x, y e (x + y) unidades de comprimento. 
Qual o polinômio que representa o volume desse paralelepípedo retângulo? 
a) 2 3x y xy+ 
b) 23x y xy+ 
c) 23 3xy xy+ 
d) 2 23 3x y xy+ 
e) 2 23 3x y xy+ 
 
Comentários 
Sabemos que o volume de um paralelepípedo retângulo é calculado por comprimento ∙ altura ∙ 
largura. Com as informações do enunciado, vamos calcular: 
𝟑𝒙 ∙ 𝒚 ∙ (𝒙 + 𝒚) 
𝟑𝒙𝒚 ∙ (𝒙 + 𝒚) 
𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 
 
Gabarito “d”. 
14. (FN 2008) Qual é a área da base de um paralelepípedo retângulo, cuja altura mede 15 dm e seu volume 
é 3720 dm³? 
a) 72 dm² 
b) 124 dm² 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
c) 248 dm² 
d) 496 dm² 
e) 1860 dm² 
 
Comentários 
Sabemos que o volume de um paralelepípedo retângulo é calculado por comprimento ∙ altura ∙ 
largura. Escrevendo matematicamente: 
𝑽 = 𝒄 ∙ 𝒍 ∙ 𝒂 
 
O que o enunciado nos pede é a área de base (𝒃) do paralelepípedo, o que seria correspondente 
a 𝒄 ∙ 𝒍. Usando as informações do enunciado, vamos calcular: 
𝑽 = 𝒄 ∙ 𝒍 ∙ 𝒂 
𝟑. 𝟕𝟐𝟎 = 𝒃 ∙ 𝟏𝟓 
𝒃 =
𝟑. 𝟕𝟐𝟎
𝟏𝟓
 
𝒃 = 𝟐𝟒𝟖 𝒅𝒎𝟐 
 
Gabarito “c”. 
15. (FN 2008) O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência é 40 cm. Então, o raio da 
circunferência mede: 
a) 5 cm 
b) 5 √𝟐 cm 
c) 5 √𝟑 cm 
d) 10√𝟐 cm 
e) 10√𝟑 cm 
 
Comentários 
Sabemos que um quadrado tem 4 lados. Logo, seu perímetro (𝑷𝒒) será a soma desses 4 lados. Ou 
seja: 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝑷𝒒 = 𝟒𝒍 
 
Utilizando a informação do enunciado: 
𝟒𝒍 = 𝟒𝟎 
𝒍 =
𝟒𝟎
𝟒
 
𝒍 = 𝟏𝟎 
 
Como o quadrado está inscrito na circunferência, significa que a diagonal do quadrado (𝑫𝒒) 
representa o diâmetro da circunferência (𝒅𝒄). Então, vamos calcular qual a medida da diagonal 
desse quadrado e do diâmetro: 
𝑫𝒒 = 𝒍√𝟐 
𝑫𝒒 = 𝟏𝟎√𝟐 
𝑫𝒒 = 𝒅𝒄 
𝒅𝒄 = 𝟏𝟎√𝟐 
 
O raio, como sabemos, é metade do diâmetro. Logo, sua medida é: 
𝒓 =
𝒅𝒄
𝟐
 
𝒓 =
𝟏𝟎√𝟐
𝟐
 
𝒓 = 𝟓√𝟐 
 
Gabarito “b”. 
16. (FN 2008) Uma piscina de 8 m de comprimento por 3 m de largura e 3 m de profundidade está cheia 
até os 
3
8
 de sua capacidade. Quantos metros cúbicos de água ainda cabem na piscina? 
a) 28 m³ 
b) 36 m³ 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
c) 45 m³ 
d) 54 m³ 
e) 72 m³ 
 
Comentários 
Primeiro, vamos calcular o volume da piscina em 𝒎𝟑. 
Vemos que a piscina se encaixa como um paralelepípedo retângulo e que o volume de um 
paralelepípedo retângulo é calculado por comprimento ∙ profundidade ∙ largura. Então, usando as 
informações do enunciado, vamos calcular: 
𝒄 ∙ 𝒑 ∙ 𝒍 
𝟖 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 
𝟕𝟐 𝒎𝟑 
 
O enunciado diz que ela já está cheia 𝟑/𝟖 de sua capacidade e pede o quanto ainda dá pra enchê-
la, logo o que estamos procurando é 𝟓/𝟖 (𝟖/𝟖 − 𝟑/𝟖) de sua capacidade. Vamos calcular: 
𝟓/𝟖 de 𝟕𝟐 
𝟓
𝟖
∙ 𝟕𝟐 
𝟒𝟓 𝒎𝟑 
 
Gabarito “c”. 
17. (FN 2008) 
 
Observando a figura acima, quantos cubinhos de 1 cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, 
precisaremos para construir um cubo de 3 cm de comprimento, 3 cm de largura e 3 cm de altura? 
a) 9 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
b) 18 
c) 27 
d) 36 
e) 54 
 
Comentários 
O volume de um cubo é dado pela fórmula 𝑽 = 𝒂𝟑, onde 𝒂 → aresta. Um cubo com 𝟑 cm de 
aresta, tem volume de 𝟐𝟕 𝒄𝒎𝟑 (𝟑𝟑 = 𝟐𝟕). Já um cubinho com 𝟏 cm de aresta, tem o volume de 
𝟏 𝒄𝒎𝟑 (𝑽 = 𝟏𝟑 = 𝟏). Dividindo, temos que são necessários 𝟐𝟕 cubinhos de 𝟏 𝒄𝒎𝟑 para formar 
um cubo de 𝟐𝟕 𝒄𝒎𝟑 (𝟐𝟕 ÷ 𝟏 = 𝟐𝟕). 
 
Gabarito “c”. 
18. (FN 2011) Uma pessoa percorreu 5 voltas ao redor de uma praça circular que tem um raio de 12m. 
Sendo 3,14 = , essa pessoa percorreu, em metros, aproximadamente: 
a) 124,2 
b) 188,4 
c) 376,8 
d) 753,6 
e) 766,6 
 
Comentários 
Vamos primeiro calcular qual o comprimento da praça. Sabemos que a fórmula para calcularmos 
o comprimento de uma circunferência é 𝑪 = 𝟐𝝅𝒓. Com a informação do enunciado, vamos 
calcular: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝒓 
𝑪 = 𝟐 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟏𝟐 
𝑪 = 𝟕𝟓, 𝟑𝟔 
 
Já que a pessoa de 5 voltas, devemos multiplicar por 5: 
𝟕𝟓, 𝟑𝟔 ∙ 𝟓 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝟑𝟕𝟔, 𝟖 
 
Gabarito “c”. 
19. (FN 2011) As dimensões internas de um reservatório de água com forma de paralelepípedo são: 1,2m, 
80cm e 60cm. Qual a quantidade de água, em litros, que cabe nesse reservatório? 
a) 0,576 
b) 5,676 
c) 57,66 
d) 576,0 
e) 5.760 
 
Comentários 
Primeiro, vamos calcular o volume desse reservatório. 
Sabemos que o volume de um paralelepípedo retângulo é calculado por comprimento ∙ altura ∙ 
largura. 
Usando as informações do enunciado, vamos calcular: 
(𝟏, 𝟐 𝒎 → 𝟏𝟐𝟎 𝒄𝒎) 
𝑽 = 𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝟖𝟎 ∙ 𝟔𝟎𝑽 = 𝟓𝟕𝟔. 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 
 
Sabemos que 𝟏 𝒄𝒎𝟑 → 𝟏 𝒎𝒍. Logo, temos 𝟓𝟕𝟔. 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒍. Em litros, temos 𝟓𝟕𝟔 𝒍 (𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒍 →
𝟏 𝒍). 
 
Gabarito “d”. 
20. (FN 2011) O perímetro, em metros, do polígono abaixo é: 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
a) 16 
b) 18 
c) 19 
d) 22 
e) 225 
 
Comentários 
Nessa questão precisamos completar o retângulo. A figura terá o mesmo perímetro do retângulo, 
independentemente, da quantidade de degraus e suas medidas. 
Então o perímetro será igual ao de um retângulo de 7m de comprimento por 4 m de largura. 
𝟒 + 𝟒 + 𝟕 + 𝟕 = 𝟐𝟐 
 
Gabarito “d”. 
21. (FN 2011) Calcule a área aproximada, em m², da região sombreada da figura abaixo, sendo 3,14 = e 
assinale a opção correta. 
 
a) 6,24 
b) 5,66 
c) 5,33 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
d) 4,34 
e) 3,44 
 
Comentários 
Para sabermos a área sombreada, devemos calcular a área do quadrado e subtrair a área do 
círculo. 
Vamos primeiro calcular a área do quadrado. Para calcularmos a área do quadrado, temos a 
fórmula 𝑨 = 𝒍𝟐. Então, usando a informação da figura: 
𝑨 = 𝒍𝟐 
𝑨 = 𝟒𝟐 
𝑨 = 𝟏𝟔 𝒎𝟐 
 
Vamos agora calcular a área do círculo. Para calcularmos a área do círculo, temos a fórmula 𝑨 =
𝝅𝒓𝟐. Analisando a figura, vemos que o diâmetro do círculo é 𝟒. Logo o raio é 2, visto que o raio é 
a metade do diâmetro. Então, vamos calcular: 
𝑨 = 𝝅𝒓𝟐 
𝑨 = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟐𝟐 
𝑨 = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟒 
𝑨 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟔 𝒎𝟐 
 
Agora, vamos subtrair os valores para descobrir a área da área sombreada: 
𝟏𝟔 − 𝟏𝟐, 𝟓𝟔 
𝟑, 𝟒𝟒 𝒎𝟐 
 
Gabarito “e”. 
22. (FN 2012) Calcule a área da região colorida da figura, sabendo-se que o triângulo é equilátero. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
a) 22 3
4
 
− 
 
 
b) 2 1
4
 
− 
 
 
c) 2 3
2
3
 
− 
 
 
d) ( )
2
2 3
8
− 
e) ( )2 2 4 − 
 
Comentários 
Sabemos que a área do triângulo equilátero é: 
𝑨𝒕𝒆 =
𝒍𝟐√𝟑
𝟒
 
 
E a área do setor circular é: 
𝑨𝒔𝒄 =
𝜽𝝅𝒓𝟐
𝟑𝟔𝟎
 
 
(𝜽 → ângulo do setor circular). 
Para sabermos a área da região colorida da figura, precisamos subtrair da área do triângulo 
equilátero a área dos setores circulares. Vamos calcular: 
𝑨𝒕𝒆 − 𝟑 ∙ 𝑨𝒔𝒄 
 
 
 
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𝒍𝟐√𝟑
𝟒
− 𝟑 ∙
𝟔𝟎𝝅𝒓𝟐
𝟑𝟔𝟎
 
𝒍𝟐√𝟑
𝟒
−
𝝅𝒓𝟐
𝟐
 
 
Analisando a figura, vemos que o raio dos setores circulares é metade do lado. Ou seja: 
𝒓 =
𝒍
𝟐
 
 
Vamos substituir: 
𝒍𝟐√𝟑
𝟒
−
𝝅𝒓𝟐
𝟐
 
𝒍𝟐√𝟑
𝟒
−
𝝅(
𝒍
𝟐)
𝟐
𝟐
 
𝒍𝟐√𝟑
𝟒
−
𝝅
𝒍𝟐
𝟒
𝟐
 
𝒍𝟐√𝟑
𝟒
−
𝝅𝒍𝟐
𝟒
𝟐
 
𝒍𝟐√𝟑
𝟒
−
𝝅𝒍𝟐
𝟒
∙
𝟏
𝟐
 
𝒍𝟐√𝟑
𝟒
−
𝝅𝒍𝟐
𝟖
 
𝟐𝒍𝟐√𝟑
𝟖
−
𝝅𝒍𝟐
𝟖
 
𝟐𝒍𝟐√𝟑 − 𝝅𝒍𝟐
𝟖
 
 
𝒍𝟐(𝟐√𝟑 − 𝝅)
𝟖
 
𝒍𝟐
𝟖
(𝟐√𝟑 − 𝝅) 
 
 
 
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Gabarito “d”. 
23. (FN 2012) Uma das maneiras de calcular o volume de um objeto é mergulhá-lo num recipiente 
contendo água. O volume da água deslocada corresponde ao volume do objeto. Calcule, então, o 
volume de um peso para ginástica, sabendo que a base do recipiente mede 0,8 m por 0,6 m e que o 
nível da água sobe de 0,6 m para 0,7m quando o peso é mergulhado. 
a) 0,336 m³ 
b) 0,288 m³ 
c) 0,240 m³ 
d) 0,226 m³ 
e) 0,048 m³ 
 
Comentários 
A altura (h) da água no recipiente sobe 0,1 m (𝟎, 𝟔 − 𝟎, 𝟕 = 𝟎, 𝟏 𝒎) após o objeto ser 
mergulhado. Então, o volume correspondente a essa elevação do nível da água será dada por: 
Base do recipiente: 𝟎, 𝟖 𝒎 ∙ 𝟎, 𝟔 𝒎 
Altura (h): 𝟎, 𝟏 𝒎 
Volume = área da base do recipiente X altura 
𝑽 = 𝟎, 𝟖 ∙ 𝟎, 𝟔 ∙ 𝟎, 𝟏 
𝑽 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟖 𝒎𝟑 
 
Gabarito “e”. 
24. (FN 2013) Durante a edificação de um prédio construiu-se uma caixa cúbica com 2,5 m de aresta para 
guardar areia. Quantas viagens um pequeno caminhão basculante precisa fazer, no mínimo, para 
encher essa caixa, se ele transporta, no máximo, 2 m³ de areia em cada viagem? 
a) 5 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 11 
 
 
 
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Comentários 
Vamos calcular o volume da caixa. 
O volume de um cubo é calculado por 𝑽 = 𝒂𝟑. Logo, essa o volume dessa caixa é: 
𝑽 = 𝒂𝟑 
𝑽 = 𝟐, 𝟓𝟑 
𝑽 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟐𝟓 𝒎𝟑 
 
Agora, vamos dividir pela capacidade do caminhão: 
𝟏𝟓, 𝟔𝟐𝟓 ÷ 𝟐 = 𝟕, 𝟖𝟏𝟐𝟓 
 
Portanto, ele precisa fazer 𝟖 viagens, 𝟕 com o caminhão levando o total de sua capacidade e uma 
última com o restante. 
 
Gabarito “c”. 
25. (FN 2013) A altura de um triângulo equilátero T tem comprimento igual ao do lado de um triângulo 
equilátero V. Sabendo que a área de V é de 10m², qual a área de T? 
a) 20 m² 
b) 
35
2
 m² 
c) 
40
3
 m² 
d) 50 m² 
e) 
53
2
 m² 
 
Comentários 
Vamos nomear da seguinte forma: 
𝒉𝒕 = altura de T 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝒍𝒕 = lado de T 
𝒍𝒗 = lado de V 
𝑨𝒕 = área de T 
𝑨𝒗 = área de V 
 
Logo, no triângulo T: 
𝒉𝒕 =
𝒍𝒕√𝟑
𝟐
 
𝑨𝑻 =
(𝒍𝒕)
𝟐 ∙ √𝟑
𝟒
 
 
Da mesma forma, no triângulo V: 
𝒉𝒗 =
𝒍𝒗√𝟑
𝟐
 
𝑨𝒗 =
(𝒍𝒗)
𝟐 ∙ √𝟑
𝟒
 
 
O enunciado nos diz que a altura do triângulo T é igual ao lado do triângulo V. Ou seja: 
𝒉𝒕 = 𝒍𝒗 
𝒍𝒗 =
𝒍𝒕√𝟑
𝟒
 
 
Também nos diz que a área de V é 𝟏𝟎 𝒎𝟐, portanto: 
𝑨𝒗 = 𝟏𝟎 
(𝒍𝒗)
𝟐 ∙ √𝟑
𝟒
= 𝟏𝟎 
(𝒍𝒗)
𝟐 ∙ √𝟑 = 𝟒𝟎 
(𝒍𝒗)
𝟐 =
𝟒𝟎
√𝟑
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
(𝒍𝒗)
𝟐 =
𝟒𝟎√𝟑
𝟑
 
𝒍𝒗 =
√𝟒𝟎 ∙ √𝟑
𝟒
√𝟑
 
 
Substituindo na outra equação: 
𝒍𝒗 =
𝒍𝒕√𝟑
𝟐
 
√𝟒𝟎 ∙ √𝟑
𝟒
√𝟑
=
𝒍𝒕√𝟑
𝟐
 
𝟐√𝟒𝟎 ∙ √𝟑
𝟒
= 𝟑 ∙ 𝒍𝒕 
𝒍𝒕 =
𝟐√𝟒𝟎 ∙ √𝟑
𝟒
𝟑
 
 
Agora calculando a área de T: 
𝑨𝑻 =
(𝒍𝒕)
𝟐 ∙ √𝟑
𝟒
 
𝑨𝑻 =
(
𝟐√𝟒𝟎 ∙ √𝟑
𝟒
𝟑 )
𝟐
∙ √𝟑
𝟒
 
𝑨𝑻 =
(
𝟒 ∙ 𝟒𝟎 ∙ √𝟑
𝟗 ) ∙ √𝟑
𝟒
 
𝑨𝑻 =
𝟒 ∙ 𝟒𝟎 ∙ 𝟑
𝟗 ∙ 𝟒
 
𝑨𝒕 =
𝟒𝟎
𝟑
 𝒎𝟐 
 
Gabarito “c”. 
26. (FN 2014) Considere dois quadrados. Um deles tem 12 cm de lado e o outro tem 15 cm de lado Qual é 
a razão entre o perímetro do quadrado menor e o perímetro do quadrado maior? 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
a) 
5
4
 
b) 
3
4
 
c) 
4
3
 
d) 
2
3
 
e) 
4
5
 
 
Comentários 
Vamos calcular o perímetro de cada quadrado. 
O perímetro de um quadrado é dado por 𝑷 = 𝟒𝒍. 
Logo o quadrado de 𝟏𝟐 cm de lado: 
𝑷 = 𝟒𝒍 
𝑷 = 𝟒 ∙ 𝟏𝟐 
𝑷 = 𝟒𝟖 𝒄𝒎 
 
Da mesma forma, o quadrado de 𝟏𝟓 cm de lado: 
𝑷 = 𝟒𝒍 
𝑷 = 𝟒 ∙ 𝟏𝟓 
𝑷 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎 
 
Agora, vamos fazer a razão: 
𝟒𝟖
𝟔𝟎
=
𝟒
𝟓
 
 
Gabarito “e”. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
27. (FN 2014) Em uma piscina retangular com 10 m de comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível 
de água em 10 cm, a quantidade de litros de água necessária é: 
a) 50 ℓ 
b) 500 ℓ 
c) 5.000 ℓ 
d) 50.000 ℓ 
e) 500.000 ℓ 
 
Comentários 
Para sabermos a quantidade de litros, precisamos calcular primeiro qual é volume. 
Para sabermos o volume, basta multiplicarmos as medidas da piscina: 𝟏𝟎 m de comprimento, 𝟓 
m de largura e 𝟎, 𝟏 m (𝟏𝟎 𝒄𝒎 = 𝟎, 𝟏 𝒎) de profundidade (o que queremos aumentar). 
Multiplicando: 
𝑽 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟓 ∙ 𝟎, 𝟏 
𝑽 = 𝟓 𝒎𝟑 
 
Agora, precisamos transformar os 𝒎𝟑 em litros. Sabemos que 𝟏 𝒎𝟑 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 litros. Portanto, 
temos 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 litros (𝟓 𝒎𝟑 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝒍). 
 
Gabarito “c”. 
28. (FN 2014) A parede de um muro retangular de 4,40 m por 2,50 m tem duas aberturas: uma porta de 
1,80 m por 1,0 m e uma janela de 1,50 m por 1,80 m. Qual a área da superfície pintada desse muro? 
 
a) 3,75 m² 
b) 4,50 m² 
c) 6,50 m² 
d) 5,25m² 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
e) 6,90 m². 
 
Comentários 
Primeiro, vamos calcular a área total do muro. 
A área de um retângulo é dada por base ∙ altura. Logo: 
𝟒, 𝟒 ∙ 𝟐, 𝟓 = 𝟏𝟏 𝒎𝟐 
 
Agora, vamos calcular a área da porta e da janela. 
Da porta: 
𝟏, 𝟖 ∙ 𝟏 = 𝟏, 𝟖 𝒎𝟐 
 
Da janela: 
𝟏, 𝟖 ∙ 𝟏, 𝟓 = 𝟐, 𝟕 𝒎𝟐 
 
Agora, basta subtrair da área do muro: 
𝟏𝟏 − 𝟏, 𝟖 − 𝟐, 𝟕 = 𝟔. 𝟓 𝒎𝟐 
 
Gabarito “c”. 
29. (FN 2014) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Quantos metros de arame serão necessários para 
cercá-lo, se a cerca tiver quatro fios? 
 
a) 275,0 m 
b) 429,6 m 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
c) 381,0 m 
d) 550,0 m 
e) 600,0 m. 
 
Comentários 
Primeiro, vamos calcular o perímetro do terreno. 
Para calcularmos o perímetro, basta somarmos o valor de todos os lados: 
(𝟏, 𝟖𝟓 𝒅𝒂𝒎 = 𝟏𝟖, 𝟓 𝒎) 
𝑷 = 𝟏𝟐 + 𝟏𝟖, 𝟓 + 𝟏𝟐, 𝟓 + 𝟐𝟎 + 𝟐𝟏, 𝟒 + 𝟐𝟑 
𝑷 = 𝟏𝟎𝟕, 𝟒 𝒎 
 
Como a cerca tem 4 fios de arame, precisamos multiplicar por 4: 
𝟏𝟎𝟕, 𝟒 ∙ 𝟒 = 𝟒𝟐𝟗, 𝟔 
 
Gabarito “b”. 
30. (FN 2015) Uma loja de materiais de construção dispõe de um caminhão cuja carroceria tem as seguintes 
dimensões: 8 m, 2,50 m e 50 cm. Quantos tijolos iguais a esse cabem na carroceria? 
 
a) 10.400 
b) 10.300 
c) 10.200 
d) 10.100 
e) 10.000 
 
Comentários 
 
 
 
 103 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Vamos primeiro calcular o volume da carroceria. 
Para calcularmos o volume, precisamos multiplicar todos as dimensões: 
(𝟓𝟎 𝒄𝒎 = 𝟎, 𝟓 𝒎) 
𝟖 ∙ 𝟐, 𝟓 ∙ 𝟎, 𝟓 = 𝟏𝟎 𝒎𝟑 
 
Agora, vamos calcular o volume do tijolo. 
Vamos colocar as medidas do tijolo em m e calcular. Da mesma forma: 
(𝟏𝟎 𝒄𝒎 = 𝟎, 𝟏 𝒎, 𝟐𝟎 𝒄𝒎 = 𝟎, 𝟐 𝒎, 𝟓 𝒄𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝒎) 
𝟎, 𝟏 ∙ 𝟎, 𝟐 ∙ 𝟎, 𝟎𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒎𝟑 
 
Agora, precisamos dividir o volume da carroceria pelo volume do tijolo para sabermos quantos 
tijolos cabem na carroceria: 
𝟏𝟎 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 tijolos 
 
Gabarito “e”. 
31. (FN 2015) A figura a seguir representa o molde da superfície de uma caixa de leite. Após montada, 
quantos litros de leite cabem na caixa? 
 
a) 0,01ℓ. 
b) 0,1ℓ. 
c) 1ℓ. 
d) 10ℓ. 
e) 100ℓ. 
 
 
 
 104 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Comentários 
Analisando o molde, percebemos que quando ele estiver montado, ele será um cubo com 𝟏𝟎 cm 
de aresta. Para sabermos sua capacidade, precisamos saber seu volume. O volume de um cubo é 
dado por 𝑽 = 𝒂𝟑. Então: 
𝑽 = 𝒂𝟑 
𝑽 = 𝟏𝟎𝟑 
𝑽 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 
 
Sabemos que 𝟏 𝒄𝒎𝟑 = 𝟏 𝒎𝒍, portanto temos 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒍 (𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒍), que é 1 
litro, visto que 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒍 = 𝟏𝒍. 
 
Gabarito “c”. 
32. (FN 2015) João comprou dois terrenos, todos de forma quadrada com 900m² de área e outro com 2.500 
m² de área. Qual a medida total dos lados de ambos os terrenos somados? 
 
a) 160m. 
b) 320m. 
c) 900m. 
d) 2.500m. 
e) 3.400m. 
 
Comentários 
Temos que a área do quadrado é 𝑨 = 𝒍𝟐. Assim, vamos calcular: 
𝑨 = 𝒍𝟐 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝟗𝟎𝟎 = 𝒍𝟐 
𝒍 = √𝟗𝟎𝟎 
𝒍 = ±𝟑𝟎 𝒎 
 
𝑨 = 𝑳𝟐 
𝟐. 𝟓𝟎𝟎 = 𝑳𝟐 
𝑳 = √𝟐. 𝟓𝟎𝟎 
𝑳 = ±𝟓𝟎 𝒎 
 
Como estamos falando de uma medida geométrica, podemos descartar o resultado negativo, 
então ficamos com 𝟑𝟎 metros e 𝟓𝟎 metros. 
Vamos calcular o perímetro de cada. Temos que o perímetro de um quadrado é expresso por 𝑷 =
𝟒𝒍. Vamos calcular: 
𝑷 = 𝟒𝒍 
𝑷 = 𝟒 ∙ 𝟑𝟎 
𝑷 = 𝟏𝟐𝟎 𝒎 
 
𝑷 = 𝟒𝑳 
𝑷 = 𝟒 ∙ 𝟓𝟎 
𝑷 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎 
 
Somando esses dois valores, temos 𝟑𝟐𝟎 metros (𝟏𝟐𝟎 + 𝟐𝟎𝟎). 
 
Gabarito “b”. 
33. (FN 2015) O quadrilátero ABCD da figura abaixo está circunscrito. Qual o seu perímetro? 
 
 
 
 106 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
a) 24 
b) 25 
c) 26 
d) 27 
e) 28 
 
Comentários 
Temos um quadrilátero ABCD circunscrito a uma circunferência. Então, a soma de lados opostos 
são iguais: 
𝑨𝑩 + 𝑪𝑫 = 𝑩𝑪 + 𝑫𝑨 
Vamos substituir com os valores dados pela imagem: 
(𝒑 + 𝟏) + (𝒑 + 𝟑) = 𝒑 + 𝟐𝒑 
𝒑 + 𝟏 + 𝒑 + 𝟑 = 𝒑 + 𝟐𝒑 
𝒑 + 𝒑 − 𝒑 − 𝟐𝒑 = −𝟏 − 𝟑 
−𝒑 = −𝟒 
𝒑 = 𝟒 
Sabemos que o perímetro é a soma de todos os lados. Vamos calcular: 
(𝒑 + 𝟏) + (𝒑 + 𝟑) + 𝒑 + 𝟐𝒑 
𝟒 + 𝟏 + 𝟒 + 𝟑 + 𝟒 + 𝟐 ∙ 𝟒 
𝟏𝟔 + 𝟖 
𝟐𝟒 
 
 
 
 107 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Gabarito “a”. 
34. (FN 2015) É necessário um certo número de lajotas de 25 cm x 25 cm para cobrir o piso de uma cozinha 
com 5 m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 20 lajotas. Supondo que nenhuma lajota 
quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para ladrilhar a cozinha? 
a) 32 
b) 28 
c) 25 
d) 19 
e) 16 
 
Comentários 
Vamos calcular a área do piso da cozinha. Tem 𝟓 m de comprimento e 𝟒 m de largura, então temos 
𝟓 ∙ 𝟒 = 𝟐𝟎 𝒎𝟐. 
Agora, vamos calcular a área de cada lajota. Cada lajota tem 𝟐𝟓 cm de comprimento e largura. 
Vamos levar essas medidas para metro: se cada 𝟏𝟎𝟎 cm temos 𝟏 m, logo 𝟐𝟓 cm seria 𝟎, 𝟐𝟓 m 
(𝟐𝟓 ÷ 𝟏𝟎𝟎). Então, vamos calcular a área: 𝟎, 𝟐𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓 𝒎𝟐. 
Para sabermos quantas lajotas ladrilham a cozinha precisamos dividir a área do piso da cozinha 
pela área de cada lajota: 𝟐𝟎 ÷ 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓 = 𝟑𝟐𝟎 ladrilhos. 
Como cada caixa tem 𝟐𝟎 ladrilhos, então temos que são necessárias para ladrilhar a cozinha é 𝟏𝟔 
caixas (𝟑𝟐𝟎 ÷ 𝟐). 
 
Gabarito “e”. 
35. (FN 2015) Qual a medida da base (b) do paralelogramo abaixo de área 27,3 cm²? 
 
a) 9,1cm. 
b) 9,3cm. 
c) 24,2cm. 
d) 27,3cm. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
e) 30,6cm. 
 
Comentários 
A área de um paralelogramo é calculado por 𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉. Então, vamos calcular: 
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 
𝟐𝟕, 𝟑 = 𝒃 ∙ 𝟑 
𝒃 =
𝟐𝟕, 𝟑
𝟑
 
𝒃 = 𝟗, 𝟏 𝒄𝒎 
 
Gabarito “a”. 
36. (FN 2016) Os lados do retângulo interno medem a metade dos lados do retângulo externo. 
 
Então, calcule a área hachurada? 
a) 12 m². 
b) 36 m². 
c) 42 m². 
d) 48 m². 
e) 60 m². 
 
Comentários 
Para sabermos a área hachurada, precisamos calcular a área do retângulo externo e subtrair a área 
do retângulo interno. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Vamos calcular a área do retângulo externo primeiro. Para calcular a área do retângulo, temos a 
fórmula 𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉. Portanto: 
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 
𝑨 = 𝟖 ∙ 𝟔 
𝑨 = 𝟒𝟖 𝒎𝟐 
 
Agora, vamos calcular a área do retângulo interno. Segundo o enunciado, os lados do retângulo 
internos medem metade do lado do retângulo externo. Ou seja, temos os valores 𝟒 cm e 𝟑 cm. 
Vamos calcular: 
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 
𝑨 = 𝟒 ∙ 𝟑 
𝑨 = 𝟏𝟐 𝒎𝟐 
Agora basta subtrair: 
𝟒𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟑𝟔 𝒎𝟐 
 
Gabarito “b”. 
37. (FN 2016) Uma sala retangular de 7 m por 4 m será forrada com lajotas quadradas de 25 cm de lado. 
Quantas lajotas serão necessárias? 
a) 112 
b) 360 
c) 448 
d) 560 
e) 896 
 
Comentários 
Vamos calcular a área da sala. Tem 𝟕 m por 𝟒 m de largura, então temos 𝟕 ∙ 𝟒 = 𝟐𝟖 𝒎𝟐. 
Agora, vamos calcular a área de cada lajota. Cada lajota tem 𝟐𝟓 cm de comprimento e largura. 
Vamos levar essas medidas para metro: se cada 𝟏𝟎𝟎 cm temos 𝟏 m, logo 𝟐𝟓 cm seria 𝟎, 𝟐𝟓 m 
(𝟐𝟓 ÷ 𝟏𝟎𝟎). Então, vamos calcular a área: 𝟎, 𝟐𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓 𝒎𝟐. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Para sabermos quantas lajotas ladrilham a cozinha precisamos dividir a área do piso da cozinha 
pela área de cada lajota: 𝟐𝟖 ÷ 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓 = 𝟒𝟒𝟖 ladrilhos. 
 
Gabarito “c”. 
38. (FN 2016) A soma das áreasdos polígonos seguintes é 119 cm². Sabendo que – 3y x = cm, determine 
essas áreas. 
 
a) 14 cm² e 105 cm². 
b) 18 cm² e 101 cm². 
c) 28 cm² e 91 cm². 
d) 34 cm² e 85 cm². 
e) 49 cm² e 70 cm². 
 
Comentários 
Vamos calcular a área de cada um primeiro. 
A área de um quadrado é expressa por 𝑨𝒒 = 𝒍
𝟐. Assim, um quadrado com lado 𝒙, sua área seria 
𝑨𝒒 = 𝒙
𝟐. 
A área de um retângulo é expressa por 𝑨𝒓 = 𝒃 ∙ 𝒉. Assim, um retângulo com lados 𝒙 e 𝒚, sua área 
seria 𝑨𝒓 = 𝒙 ∙ 𝒚. 
Portanto, usando a informação do enunciado, temos: 
𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 = 𝟏𝟏𝟗 
 
Agora, vamos utilizar a outra informação dada pelo enunciado, porém de forma diferente: 
𝒚 − 𝒙 = 𝟑 
𝒚 = 𝟑 + 𝒙 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 = 𝟏𝟏𝟗 
𝒙𝟐 + 𝒙(𝟑 + 𝒙) = 𝟏𝟏𝟗 
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝟏𝟏𝟗 
𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟏𝟗 = 𝟎 
 
Temos então uma equação de segundo grau. Para resolvermos uma equação de segundo grau, 
usamos a fórmula quadrática: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
Onde, nesse caso: 
𝒂 = 𝟐, 
𝒃 = 𝟑 e 
𝒄 = −𝟏𝟏𝟗 
Vamos resolver: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−𝟑 ± √𝟑𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟐 ∙ (−𝟏𝟏𝟗)
𝟐 ∙ 𝟐
 
𝒙 =
−𝟑 ± √𝟗 + 𝟗𝟓𝟐
𝟒
 
𝒙 =
−𝟑 ± √𝟗𝟔𝟏
𝟒
 
𝒙 =
−𝟑 ± 𝟑𝟏
𝟒
 
 
Como é uma equação de segundo grau, temos duas respostas: 
𝒙𝟏 =
−𝟑 + 𝟑𝟏
𝟒
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝒙𝟏 =
𝟐𝟖
𝟒
 
𝒙𝟏 = 𝟕 𝒄𝒎 
 
𝒙𝟐 =
−𝟑 − 𝟑𝟏
𝟒
 
𝒙𝟐 =
−𝟑𝟒
𝟒
 
𝒙𝟐 = −𝟖, 𝟓 𝒄𝒎 
 
Como estamos falando de uma medida geométrica, podemos descartar o valor de 𝒙𝟐. Agora que 
descobrimos o valor de 𝒙, vamos achar o de 𝒚. 
𝒚 = 𝟑 + 𝒙 
𝒚 = 𝟑 + 𝟕 
𝒚 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 
 
Agora, vamos calcular as áreas. 
A área do quadrado: 
𝑨𝒒 = 𝒙
𝟐 
𝑨𝒒 = 𝟕
𝟐 
𝑨𝒒 = 𝟒𝟗 𝒄𝒎
𝟐 
 
A área do retângulo: 
𝑨𝒓 = 𝒙 ∙ 𝒚 
𝑨𝒓 = 𝟕 ∙ 𝟏𝟎 
𝑨𝒓 = 𝟕𝟎 𝒄𝒎
𝟐 
 
Descobrimos os valores que queríamos. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Gabarito “e”. 
39. (FN 2016) Uma sala de forma quadrangular é formada por 225 quadradinhos de 20 cm x 20 cm. Quanto 
mede o lado desta sala? 
a) 15,00 m. 
b) 9,00 m. 
c) 6,00 m. 
d) 3,00 m. 
e) 1,50 m. 
 
Comentários 
Uma sala quadrangular é uma sala em que os lados têm medidas iguais. Ou seja, temos o mesmo 
tanto de quadradinhos na horizontal e vertical. Portanto, o número de quadradinhos por lado seria 
√𝟐𝟐𝟓 = 𝟏𝟓 quadradinhos por lado. O enunciado nos diz que cada quadradinho tem 𝟐𝟎 cm de 
lado, logo, a sala quadrangular tem 𝟏𝟓 ∙ 𝟐𝟎 = 𝟑𝟎𝟎 cm de lado, ou seja, 𝟑 m, visto que 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎 =
𝟏 𝒎. 
 
Gabarito “d”. 
40. (FN 2017) Com base na figura abaixo, determine a área da figura hachurada. 
 
a) 1805 cm² 
b) 1225 cm² 
c) 1075 cm² 
d) 1205 cm² 
e) 1005 cm² 
 
Comentários 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Primeiro, vamos lembrar que a área do retângulo é expressa por 𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉. 
Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos dividir essa figura em 𝟑 retângulos. 
Vamos traçar uma linha imaginária onde acaba os 𝟑𝟎 cm (que está na parte superior), formando 
o retângulo 𝟏 que tem a base igual a 𝟑𝟎 cm e a altura igual a 𝟐𝟎 cm. 
Vamos traçar outra linha imaginária onde começa os 𝟓 cm (na parte da direita), formando o 
retângulo 𝟐 com a base igual a 𝟓 cm e altura igual a 𝟐𝟎 cm. 
Por consequência, entre esses dois, formamos o retângulo 𝟑, que tem 𝟏𝟓 cm (𝟒𝟓 − 𝟑𝟎) de base 
e 𝟐𝟓 cm (𝟐𝟎 + 𝟓) de altura. 
Agora, vamos calcular as áreas dos 𝟑. 
Retângulo 𝟏: 
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 
𝑨 = 𝟑𝟎 ∙ 𝟐𝟎 
𝑨 = 𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 
 
Retângulo 𝟐: 
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 
𝑨 = 𝟓 ∙ 𝟐𝟎 
𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 
 
Retângulo 3: 
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 
𝑨 = 𝟏𝟓 ∙ 𝟐𝟓 
𝑨 = 𝟑𝟕𝟓 𝒄𝒎𝟐 
 
Vamos somar todas as áreas: 
𝟔𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 + 𝟑𝟕𝟓 = 𝟏𝟎𝟕𝟓 𝒄𝒎𝟐 
Gabarito “c”. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
41. (FN 2017) Um aquário com a forma de um paralelepípedo de faces retangulares (blocos retangulares) 
tem 40 cm de comprimento, 30 cm de largura e 20 cm de altura e contém água, que ocupa 
2
3
 de sua 
capacidade. Um objeto é mergulhado na água de maneira que o conteúdo do aquário passa ao ocupar 
19.600 cm³. O volume desse objeto em centímetros cúbicos é? 
a) 600 cm³ 
b) 2.800 cm³ 
c) 3.600 cm³ 
d) 4.800 cm³ 
e) 5.600 
 
Comentários 
Primeiro, vamos calcular o volume do aquário em 𝒄𝒎𝟑. 
Vemos que a piscina se encaixa como um paralelepípedo retângulo e que o volume de um 
paralelepípedo retângulo é calculado por comprimento ∙ altura ∙ largura. Então, usando as 
informações do enunciado, vamos calcular: 
𝒄 ∙ 𝒂 ∙ 𝒍 
𝟒𝟎 ∙ 𝟐𝟎 ∙ 𝟑𝟎 
𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 
 
O enunciado diz que ela já está cheia 𝟐/𝟑 de sua capacidade. Vamos calcular isso: 
𝟐/𝟑 de 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 
𝟐
𝟑
∙ 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 
𝟏𝟔. 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 
O enunciado nos diz que quando o objeto é mergulhado, o conteúdo do aquário ocupa 
𝟏𝟗. 𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑. O aquário já tinha ocupado 𝟏𝟔. 𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑, logo, o volume do objeto é 𝟏𝟗. 𝟔𝟎𝟎 −
𝟏𝟔. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟑. 𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑. 
 
Gabarito “c”. 
42. (FN 2017) Nas figuras abaixo, as medidas são dadas na mesma unidade de medida. 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Pode-se afirmar que: 
a) a área do quadrado é igual à área do triângulo. 
b) a área do quadrado é igual à área do retângulo. 
c) a área do retângulo é metade da área do quadrado. 
d) a área do quadrado é o triplo da área do retângulo. 
e) a área do triângulo é igual à área do retângulo. 
 
Comentários 
Antes de tudo, vamos calcular as áreas da figura. 
A área de um quadrado é expressa por 𝑨𝒒 = 𝒍
𝟐. Logo, a área desse quadrado: 
𝑨𝒒 = 𝒍
𝟐 
𝑨𝒒 = 𝟔
𝟐 
𝑨𝒒 = 𝟑𝟔 
 
A área de um retângulo é expressa por 𝑨𝒓 = 𝒃 ∙ 𝒉. Logo, a área desse retângulo: 
𝑨𝒓 = 𝒃 ∙ 𝒉 
𝑨𝒓 = 𝟔 ∙ 𝟑 
𝑨𝒓 = 𝟏𝟖 
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
A área de um triângulo é expressa por 𝑨𝒕 =
𝒃∙𝒉
𝟐
. Logo, a área desse triângulo: 
𝑨𝒕 =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
 
𝑨𝒕 =
𝟑 ∙ 𝟏𝟐
𝟐
 
𝑨𝒕 =
𝟑𝟔
𝟐
 
𝑨𝒕 = 𝟏𝟖 
 
Agora, vamos analisar as alternativas. 
a) 𝑨𝒒 = 𝑨𝒕 → 𝟑𝟔 = 𝟏𝟖 – incorreto 
b) 𝑨𝒒 = 𝑨𝒓 → 𝟑𝟔 = 𝟏𝟖 - incorreto 
c) 𝑨𝒓 = 𝑨𝒒/𝟐 → 𝟏𝟖 = 𝟑𝟔/𝟐 = 𝟏𝟖 - correto 
d) 𝑨𝒒 = 𝟑𝑨𝒓 → 𝟑𝟔 = 𝟑 ∙ 𝟏𝟖 = 𝟓𝟒 - incorreto 
e) 𝑨𝒕 = 𝑨𝒓 → 𝟏𝟖 = 𝟏𝟖 – correto 
 
Vemos que há duas alternativas corretas. 
 
Gabarito “*”. 
43. (FN 2017) Paulo descobriu que a quadra de salão de seu colégio tem área de 384 m² e perímetro de 80 
m. 
 
x = comprimento da quadra 
y = largura da quadra 
Com base nas informações acima, qual a equação que determina as dimensões dessa quadra? 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
a) 2 40 384 0y Y+ − = 
b) 2 – 35 397 4Y Y + = 
c) 2 47 – 574 66Y Y+ = 
d) 2 – 40 384 0Y Y + = 
e) 2 50 – 277 0Y Y+ = 
 
Comentários 
Sabemos que a área de um retângulo é expressa por 𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 e perímetro é a soma de todos os 
lados. Assim, usando a informação do enunciado: 
𝑨 = 𝒙 ∙ 𝒚 
𝑷 = 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 
𝒙 ∙ 𝒚 = 𝟑𝟖𝟒 
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖𝟎 
 
Vamos formar um sistema de equações e simplificar: 
{
𝒙 ∙ 𝒚 = 𝟑𝟖𝟒
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖𝟎
 
{
𝒙 ∙ 𝒚 = 𝟑𝟖𝟒
𝒙 + 𝒚 = 𝟒𝟎
 
 
Vamos isolar o 𝒙 na equação de baixo e substituir na de cima: 
𝒙 + 𝒚 = 𝟒𝟎 
𝒙 = 𝟒𝟎 − 𝒚 
𝒙 ∙ 𝒚 = 𝟑𝟖𝟒 
(𝟒𝟎 − 𝒚) ∙ 𝒚 = 𝟑𝟖𝟒 
𝟒𝟎𝒚 − 𝒚𝟐 = 𝟑𝟖𝟒 
−𝒚𝟐 + 𝟒𝟎𝒚 − 𝟑𝟖𝟒 = 𝟎 
𝒚𝟐 − 𝟒𝟎𝒚 + 𝟑𝟖𝟒 = 𝟎 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Chegamos a uma equação que determina as dimensões dessa quadra. 
 
Gabarito “d”. 
44. (FN 2018) O retângulo e o quadrado abaixo são equivalentes (têm a mesma área). Observeatentamente as figuras e determine qual a medida do lado do quadrado e o seu perímetro, 
respectivamente. 
 
a) 8 e 32 
b) 12,8 e 35,6 
c) 8 e 16 
d) 12,8 e 20,8 
e) 8 e 12,8 
 
Comentários 
Vamos calcular a área de cada um inicialmente. 
A área de um quadrado é dada por 𝑨𝒒 = 𝒍
𝟐. Logo, um quadrado com lado 𝒙: 𝑨𝒒 = 𝒙
𝟐. 
A área de um retângulo é dada por 𝑨𝒓 = 𝒃 ∙ 𝒉. Calculando, a área desse retângulo: 𝑨𝒓 = 𝟓 ∙
𝟏, 𝟔𝒙 = 𝟖𝒙. 
Segundo o enunciado a área dos dois é igual. Vamos calcular o valor de 𝒙 então: 
𝑨𝒒 = 𝑨𝒓 
𝒙𝟐 = 𝟖𝒙 
𝒙 = 𝟖 
 
Vamos calcular o perímetro do quadrado: 
𝑷 = 𝟒𝒍 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝑷 = 𝟒 ∙ 𝟖 
𝑷 = 𝟑𝟐 
 
Gabarito “a”. 
45. (FN 2019) Na figura abaixo, M é o ponto médio do seguimento AB e N é o ponto médio do seguimento 
MB . Sabendo que 100AB = cm, a razão entre os seguimentos AN e NB é: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
Comentários 
Dizer que M é o ponto médio de 𝑨𝑩, significa que M está na metade de 𝑨𝑩. Se 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎, 
logo 𝑴𝑩 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎 (
𝟏𝟎𝟎
𝟐
= 𝟓𝟎). 
Da mesma forma, dizer que N é o ponto médio de 𝑴𝑩, significa que N está na metade de 𝑴𝑩. Se 
𝑴𝑩 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎, logo 𝑵𝑩 = 𝟐𝟓 𝒄𝒎 (
𝟓𝟎
𝟐
= 𝟐𝟓). 
Também podemos afirmar que 𝑨𝑴 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎, visto que 𝑨𝑴 = 𝑴𝑩. E podemos afirmar que 
𝑴𝑵 = 𝟐𝟓 𝒄𝒎, visto que 𝑴𝑵 = 𝑵𝑩. Agora, se somarmos os dois, que seria 𝑨𝑵, teremos 
𝟕𝟓 𝒄𝒎 (𝟓𝟎 + 𝟏𝟓 = 𝟕𝟓). 
Fazendo a razão: 
𝑨𝑵
𝑵𝑩
=
𝟕𝟓
𝟐𝟓
= 𝟑 
 
Gabarito “b”. 
46. (FN 2019) Uma sala retangular, medindo 3,52 m de largura e 4,16 m de comprimento, terá seu piso 
totalmente revestido com ladrilhos inteiros, quadrados e de mesma dimensão, sem que haja espaço 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
entre os ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que possuam o maior tamanho 
possível. Nessas condições, qual o tamanho máximo do lado do ladrilho? 
a) Maior de 10 cm e menor de 15 cm 
b) Maior de 15 cm e menor de 20 cm 
c) Maior de 20 cm e menor de 25 cm 
d) Maior de 25 cm e menor de 30 cm 
e) Maior de 30 cm e menor de 35 cm 
 
Comentários 
Vamos converter as medidas da sala para centímetro, visto que as alternativas estão em cm e para 
facilitar os cálculos. Sabemos que 𝟏 𝒎 → 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎, então: 
𝟑, 𝟓𝟐 𝒎 → 𝟑𝟓𝟐 𝒄𝒎 
𝟒, 𝟏𝟔 𝒎 → 𝟒𝟏𝟔 𝒄𝒎 
 
Queremos que os ladrilhos tenham a maior dimensão possível. Então, vamos calcular o Máximo 
Divisor Comum entre 352 e 416: 
𝟑𝟓𝟐 𝟒𝟏𝟔 | 𝟐
𝟏𝟕𝟔 𝟐𝟎𝟖 | 𝟐
𝟖𝟖 𝟏𝟎𝟒 | 𝟐
 
𝟒𝟒 𝟓𝟐 | 𝟐
𝟐𝟐 𝟐𝟔 | 𝟐
𝟏𝟏 𝟏𝟑 |𝟏𝟏
 
 𝟏 𝟏𝟑 |𝟏𝟑
 𝟏 𝟏 \ 
 
 
M.D.C.: 𝟐𝟓 = 𝟑𝟐 cm. 
Portanto, é um valor maior que 𝟑𝟎 cm e menor que 𝟑𝟓 cm. 
 
Gabarito “e”. 
47. (FN 2019) Qual das expressões abaixo têm o mesmo resultado de 1967: 350? 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
a) 196,7 : 3,5 
b) 196,7 : 0,35 
c) 19,67 : 3,5 
d) 1,967 : 3,5 
e) 1,967 : 0,035 
 
Comentários 
𝟏𝟗𝟔𝟕: 𝟑𝟓𝟎 = 𝟓, 𝟔𝟐, analisando as alternativas: 
 
a) 𝟏𝟗𝟔, 𝟕: 𝟑, 𝟓 = 𝟓𝟔, 𝟐 - errado 
b) 𝟏𝟗𝟔, 𝟕: 𝟎, 𝟑𝟓 = 𝟓𝟔𝟐 - errado 
c) 𝟏𝟗, 𝟔𝟕: 𝟑, 𝟓 = 𝟓, 𝟔𝟐 - correto 
d) 𝟏, 𝟗𝟔𝟕: 𝟑, 𝟓 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟐 - errado 
e) 𝟏, 𝟗𝟔𝟕: 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 = 𝟓𝟔, 𝟐 - errado 
 
Gabarito “c”. 
48. (FN 2019) Para preencher totalmente o fundo de uma caixa cúbica de vidro com um metro de aresta, 
com cubos menores de 1 dm³, sem empilhá-los, quantos cubos menores serão usados? 
a) 100.000 
b) 10.000 
c) 1000 
d) 100 
e) 10 
 
Comentários 
1 dm³, logicamente, tem 1 dm de altura, 1 dm de largura e 1 dm de comprimento. O fundo de 
uma caixa cúbica com 1 m de aresta, seria, obviamente, 1 metro de largura e 1 m de comprimento. 
Além disso, sabemos que 1 dm é 0,1 m. Portanto, para completar uma fileira, seria necessário 10 
cubinhos. Como queremos completar uma área quadrada com esses cubinhos, devemos 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
multiplicar esse número com ele mesmo (ou seja, elevar ao quadrado), resultando em 100 
cubinhos (𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎). 
 
Gabarito “d”. 
49. (FN 2019) Em uma viagem, João dirigiu 1500 km fazendo apenas uma parada para descanso. Na 
primeira jornada da viagem, dirigiu 12 horas 24 minutos e 37 segundos. Na segunda jornada dirigiu 6 
horas 38 minutos e 51 segundos. Qual o total de tempo que levou a viagem? 
a) 19 h 3 min 28 seg 
b) 18 h 13 min 38 seg 
c) 18 h 23 min 58 seg 
d) 17 h 33 min 60 seg 
e) 16 h 3 min 58 seg 
 
Comentários 
Somando o tempo, temos: 
𝟏𝟐𝒉𝟐𝟒𝐦𝐢𝐧𝟑𝟕𝒔𝒆𝒈 + 𝟔𝒉𝟑𝟖𝐦𝐢𝐧𝟓𝟏𝒔𝒆𝒈 
𝟏𝟖𝒉𝟔𝟐𝐦𝐢𝐧 𝟖𝟖𝒔𝒆𝒈 
𝟏𝟗𝒉 𝟑𝒎𝒊𝒏 𝟐𝟖𝒔𝒆𝒈 
 
Gabarito “a”. 
50. (EAM 2004) A área da figura hachurada, onde todas as medidas são em metros é: 
 
Considere: 3,1 = e 3 1,3= 
a) 54,1 
b) 56,1 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
c) 58,2 
d) 60,1 
e) 61,3 
 
Comentário 
A área da figura hachurada equivale à área do quadrado menos a área do triângulo menos a área 
do semicírculo. Então: 
𝑆 = 𝑆𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 − 𝑆𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 − 𝑆𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 
O lado do quadrado, conforme a figura, vale 8: 
𝑆𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 8
2 = 64 
O raio do semicírculo, conforme a segura, vale 2: 
𝑆𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 =
𝜋𝑟2
2
=
3,1.22
2
= 3,1.2 = 6,2 
O triângulo possui uma altura de √3 e uma base de 8 − 6 = 2: 
𝑆𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
(𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
2
=
(2)(√3)
2
= √3 = 1,7 
Por fim: 
𝑆 = 64 − 6,2 − 1,7 = 56,1 
 
Gabarito: B 
51. (EAM 2004) No painel o desenho de uma árvore de natal, na forma de um triângulo isósceles, onde a 
altura, e a base são números inteiros e os lados medem 10 , será revestido com um papel de parede, 
que custa R$ 8,00 o metro quadrado. Qual o custo mínimo para revestir essa árvore? 
 
a) R$ 16,00 
b) R$ 24,00 
 
 
 
 125 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
c) R$ 32,00 
d) R$ 40,00 
e) R$ 48,00 
 
Comentário 
Perceba: 
 
𝑎 é a altura do triângulo e 𝑏 é a base do triângulo. Acima, temos a figura de metade da árvore: um 
triângulo retângulo de lados 𝑎,
𝑏
2
 𝑒 √10. Aplicando Pitágoras: 
𝑎2 + (
𝑏
2
)
2
= (√10)
2
 
𝑎2 +
𝑏2
4
= 10 
4𝑎2 + 𝑏2 = 40 
Da equação acima, devemos testar os possíveis números inteiros para 𝑎 e 𝑏 que satisfazem a 
equação. Testando 𝑎 = 1,2,3.., chegamos nas possíveis soluções: 
𝑎 = 1 𝑒 𝑏 = 6 
𝑜𝑢 
𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = 2 
Sabemos que a área do triângulo é dada por: 
(𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑢𝑟𝑎)
2
=
𝑏𝑎
2
 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Se o revestimento custa R$ 8,00 por metro quadrado, então o custo mínimo será para a área 
mínima encontrada. Testando as 2 possíveis áreas: 
Á𝑟𝑒𝑎1 =
𝑎𝑏
2
=
1.6
2
= 3 
Á𝑟𝑒𝑎2 =
𝑎𝑏
2
=
3.2
2
= 3 
Áreas iguais! Assim, podemos calcular para qualquer uma delas. Basta fazer a regra de 3: 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 Á𝑟𝑒𝑎 
𝑅$8,00 1𝑚2 
𝑃 3𝑚2 
𝑃. 1 = 3.8 
𝑃 = 𝑅$ 24,00 
 
Gabarito: B 
52. (EAM 2005) Um cavalo deve ser amarrado a uma estaca situada em um dos vértices de um pasto que 
tem a forma de um quadrado, cujo lado mede 20 m. Para que ele possa pastar em cerca de 20% da 
área total do pasto, a parte inteira, em metros, do comprimento da corda que o prende à estaca deve 
ser igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 5 
d) 8 
e) 10 
 
Comentário 
Perceba: 
 
 
 
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A área hachurada é a área que o cavalo pode pastar: 
1
4
 de um círculo de raio r. Para que essa área 
represente 20% da área do quadrado: 
20% 𝑆𝑞𝑢𝑎𝑑 = 𝑆𝑐𝑖𝑟 
0,2.202 =
𝜋𝑟2
4
 
4.0,2.400 = 𝜋𝑟2 
√
320
𝜋
= 𝑟𝑟 ~ 10,09 
Cuja parte inteira é 10. 
 
Gabarito: E 
53. (EAM 2005) 
 
Considerando-se que, nas figuras acima, os triângulos X, Y e Z estejam inscritos em retângulos 
congruentes, pode-se afirmar que: 
a) apenas as áreas dos triângulos X e Y são iguais 
b) apenas as áreas dos triângulos X e Z são iguais 
c) apenas as áreas dos triângulos Y e Z são iguais 
 
 
 
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d) as áreas dos triângulos X, Y e Z são iguais entre si 
e) as áreas dos triângulos X, Y e Z são diferentes entre si 
 
Comentário 
Se os triângulos estão inscritos em retângulos congruentes, perceba que suas bases e suas alturas 
são iguais. A área de um triângulo é dada por: 
𝑆 =
(𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
2
 
Se a base e a altura dos 3 triângulos são iguais, então suas áreas são iguais. 
 
Gabarito: D 
54. (EAM 2005) Em uma sala retangular de piso plano nas dimensões 8,80 m por 7,60 m, deseja-se colocar 
lajotas quadradas iguais sem a necessidade de recortar qualquer peça. A medida máxima em 
centímetros, do lado de cada lajota deverá ser igual a: 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
 
Comentário 
Devemos ter um número do lado da lajota que caiba, sem sobrar e faltar, nas dimensões de 8,8m 
e 7,6m. Assim, a medida do lado deve ser um divisor de de 8,8 e 7,6. Analisando as alternativas, 
percebemos que apenas 0,1m, 0,2m e 0,4m atendem às características. Todas essas medidas 
fornecem números inteiros quando dividem 8,8 e 7,6: 
8,8
0,1
= 88 𝑒
7,6
0,1
= 76 
8,8
0,2
= 44 𝑒
7,6
0,2
= 38 
8,8
0,4
= 22 𝑒
7,6
0,4
= 19 
 
 
 
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Dentre as opções, 0,4m = 40cm apresenta a máxima medida. 
 
Gabarito: D 
55. (EAM 2005) 
 
Considerando-se que a figura A seja um retângulo e as figuras B e C sejam obtidas, respectivamente, 
pela retirada da figura A de um quadrado de lado unitário, pode-se afirmar que: 
a) apenas os perímetros das figuras A e B são iguais 
b) apenas os perímetros das figuras A e C são iguais 
c) apenas os perímetros das figuras B e C são iguais 
d) os perímetros das figuras A, B e C são todos iguais 
e) os perímetros das figuras A, B e C são todos diferentes 
 
Comentário 
Perímetro da figura A: 
2𝑏 + 2𝑎, em que b é a base do retângulo e 𝑎 sua altura. 
Perímetro da figura B: 
𝑏 + 𝑎 + 𝑎 + (𝑏 − 1) + 1 + 1 + 1 = 2𝑏 + 2𝑎 + 2 
Perímetro da figura C: 
𝑏 + 𝑎 + (𝑏 − 1) + 1 + 1 + (𝑎 − 1) = 2𝑏 + 2𝑎 
Assim, os perímetros das figuras A e C são iguais. 
 
Gabarito: B 
56. (EAM 2006) Um quadrado ABCD tem 64 cm de perímetro. Quanto mede o lado de um quadrado cujo 
perímetro é o dobro do perímetro do quadrado ABCD? 
a) 8 
b) 16 
 
 
 
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c) 18 
d) 28 
e) 32 
 
Comentário 
O perímetro do novo quadrado é o dobro do perímetro do quadrado ABCD: 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑛𝑜𝑣𝑜 = 2.64 
Se x é o lado do novo quadrado: 
4𝑥 = 128 
𝑥 = 32𝑐𝑚 
Gabarito: E 
57. (EAM 2006) 
 
Na figura acima, o segmento AB mede 2 cm. Qual o valor da área do triângulo ABC medidos em cm²? 
a) 2 3 
b) 3 
c) 4 
d) 2 
e) 1 
 
Comentário 
Perceba que o triângulo é isósceles, pois possui 2 ângulos iguais (ABC e ACB). Assim, AB=AC=2cm. 
Ainda: 
𝐵Â𝐶 = 180𝑜 − 30𝑜 − 30𝑜 = 120𝑜 
Assim, para encontrar a área do triângulo, basta utilizarmos a fórmula trigonométrica: 
𝑆 =
1
2
(𝐴𝐵)(𝐴𝐶)𝑠𝑒𝑛(𝐵Â𝐶) =
1
2
2𝑥2𝑥𝑠𝑒𝑛(120𝑜) 
 
 
 
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𝑆 =
2𝑥√3
2
= √3 
 
Gabarito: B 
58. (EAM 2006) Observe a figura. 
 
Nela, ABCD é um trapézio e CDEF, um quadrado. Sabendo que AB AD x= = e 3BC x= + , qual a 
expressão que representa a área da figura? 
a) 
24 3 6
2
x x+ +
 
b) 
24 15 18
2
x x+ +
 
c) 
24 3 18
2
x x+ +
 
d) 
220 3
2
x x+
 
e) 
28 3
2
x x+
 
 
Comentário 
Perceba: 
 
𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 = 𝐷𝑃 = 𝑥, 𝐵𝐶 = 𝑥 + 3, 𝑃𝐶 = 3 
Achamos DC com Pitágoras: 
 
 
 
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𝐷𝐶2 = 𝑥2 + 32 → 𝐷𝐶2 = 𝑥2 + 9 
Assim, achamos a área da figura: 
𝑆 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝑆𝐶𝐷𝐸𝐹 =
((𝑥 + 3) + 𝑥)𝑥
2
+ 𝐷𝐶2 
𝑆 =
2𝑥2 + 3𝑥
2
+ 𝑥2 + 9 =
2𝑥2 + 3𝑥
2
+
2𝑥2 + 18
2
 
𝑆 =
4𝑥2 + 3𝑥 + 18
2
 
 
Gabarito: C 
59. (EAM 2007) Uma corda de 20 metros de comprimento foi cortada em dois pedaços de tamanhos 
diferentes. Os pedaços foram usados para fazer dois quadrados. Sabendo que a diferença entre as áreas 
é igual a 5 m², é correto afirmar que a área do quadrado maior, em metros quadrados, é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 7 
e) 9 
 
Comentário 
A corda foi cortada em 2 pedaços de 𝑥 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 e (20 − 𝑥) 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. Ambas foram usadas para 
fazer um quadrado. O primeiro quadrado terá um lado de 
𝑥
4
 e o segundo terá um de 
20−𝑥
4
. Então: 
𝑆1 − 𝑆2 = 5 
(
𝑥
4
)
2
− (
20 − 𝑥
4
)
2
= 5 
𝑥2 − (400 − 40𝑥 + 𝑥2) = 16.5 
40𝑥 − 400 = 80 
40𝑥 = 480 
𝑥 = 12𝑚 
 
 
 
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Assim, o maior quadrado possui lado 
𝑥
4
=
12
4
= 3𝑚 e sua área vale: 
𝑆1 = 3
2 = 9𝑚2 
 
Gabarito: E 
60. (EAM 2007) A raiz da equação 23 13 10 0x x− − = representa a medida em centímetros do lado de um 
quadrado. Quanto mede em centímetros quadrados, a área desse quadrado? 
a) 20 
b) 25 
c) 30 
d) 36 
e) 225 
 
Comentário 
Apliquemos a fórmula de Báskara na equação 3𝑥2 − 13𝑥 − 10 = 0. Achando Δ: 
Δ = (−13)2 − 4.3. (−10) = 169 + 120 = 289 = 172 
Assim: 
𝑥 =
−(−13) ± √289
2.3
=
13 ± 17
6
→ 𝑥 = 5 𝑜𝑢 𝑥 = −
2
3
 
Como x é o lado de um quadrado, x>0, x=5. Para calcular a área do quadrado: 
𝑆 = 𝑥2 = 52 = 25𝑐𝑚2 
 
Gabarito: B 
61. (EAM 2007) Em um paralelogramo, dois lados consecutivos medem 16 cm e 10 cm é o ângulo obtuso 
interno 150°. Determine, em centímetros quadrados, a área do paralelogramo. 
a) 50 
b) 50 2 
c) 80 
d) 128 
 
 
 
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e) 160 
 
Comentário 
Basta saber que a área formada por um paralelogramo de lados 𝑎 e 𝑏 e ângulo 𝑥 é dada por: 
𝑆 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Substituindo os valores dados: 
𝑆 = 16.10. 𝑠𝑒𝑛(150𝑜) 
𝑆 = 160. (
1
2
) = 80𝑐𝑚2 
 
Gabarito: C 
62. (EAM 2008) O retângulo de dimensões ( )4 2x − cm e ( )3x + cm. O perímetro desse retângulo, em 
centímetros, mede: 
a) 48 
b) 52 
c) 60 
d) 74 
e) 80 
 
Comentário 
 
Se o retângulo possui 144𝑐𝑚2 de área: 
(4𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = 144 
4𝑥2 + 12𝑥 − 2𝑥 − 6 = 144 
4𝑥2 + 10𝑥 − 150 = 0 
2𝑥2 + 5𝑥 − 75 = 0 
Aplicando Báskara: 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 52 − 4.2. (−75) → 25 + 600 = 625 = 252 
 
 
 
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Assim: 
𝑥 =
−5 ± √625
2.2
=
−5 ± 25
4
→ 𝑥 = 5 𝑜𝑢 𝑥 = −
30
4
 
Tome 𝑥 = 5, pois os lados devem ser positivos. Então, temos os lados: 
𝑎 = 4𝑥 − 2 = 4.5 − 2 = 18𝑐𝑚 
𝑏 = 𝑥 + 3 = 5 + 3 = 8𝑐𝑚 
Assim, ao perímetro: 
𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 = 2(𝑎 + 𝑏) = 2(18 + 8) = 52𝑐𝑚 
 
Gabarito: B 
63. (EAM 2009) Observe a figura plana a seguir. 
 
Na figura, tem-se dois quadrados. O maior tem 5 cm de lado, e o menor, 3 cm. A área da região 
hachurada, em cm², é: 
a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 20 
e) 25 
 
Comentário: 
A área da região hachurada será dada por: 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 𝑆𝑞𝑢𝑎𝑑𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑆𝑞𝑢𝑎𝑑𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = (𝑙𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟)
2 − (𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)
2 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = (5)
2 − (3)2 = 25 − 9 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 16𝑐𝑚
2 
 
 
 
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Gabarito: A 
64. (EAM 2009) Observe a figura abaixo. 
 
Assinale a opção que indica o seu perímetro. 
a) 24 
b) 21 
c) 17 
d) 14 
e) 10 
 
Comentário: 
Perceba, observando os lados verticais, que o lado esquerdo éigual a soma dos dois lados direitos: 
𝑥 − 2 = 1 + 4 → 𝑥 = 7 
Analogamente, a soma dos dois lados horizontais de cima é igual ao lado horizontal de baixo, que 
vale x. Assim, seu perímetro: 
𝑝 = 𝑥 − 2 + 𝑥 + 1 + 4 + 𝑥 = 3𝑥 + 3 = 3.7 + 3 
𝑝 = 24 
Gabarito: A 
65. (EAM 2009) Para ladrilhar uma sala, foram necessários 640 azulejos quadrados de 15 cm de lado. Qual 
a área da sala em metros quadrados? 
a) 12,1 
b) 14,4 
c) 16,9 
d) 19,6 
e) 21,3 
 
 
 
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Comentário: 
Foram utilizados 640 azulejos quadrados de lado 15𝑐𝑚 = 0,15𝑚. Assim, a área da sala é de: 
𝑆 = 640𝑥(0,15)2 = 640𝑥0,0225 
𝑆 = 14,4 𝑚2 
 
Gabarito: B 
66. (EAM 2010) ABCD é um quadrado de lado 12 m. Unindo os pontos médios dos lados deste quadrado 
é obtido um quadrilátero de área igual a: 
a) 72 m² 
b) 68 m² 
c) 64 m² 
d) 56 m² 
e) 45 m² 
 
Comentário: 
Observe: 
 
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo acima: 
62 + 62 = 𝑙2 → 𝑙 = 6√2 
 
 
 
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Assim, o novo quadrilátero formado pela junção dos pontos médios dos lados do quadrado é um 
novo quadrado de lado 6√2. Com isso, temos a área: 
𝑆 = (6√2)
2
= 36.2 = 72𝑚2 
 
Gabarito: A 
67. (EAM 2010) O perímetro de um triângulo de lados inteiros é igual a 12 m. O maior valor possível para 
um dos lados deste triângulo tem medida igual a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
Comentário: 
Temos um triângulo com lados a, b e c. Então: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 12 
Pela desigualdade triangular: 
𝑎 + 𝑏 > 𝑐 
12 − 𝑐 > 𝑐 
12 > 2𝑐 
6 > 𝑐 
Analogamente, aplicando a mesma equação para 𝑎 e 𝑏, teremos: 
6 > 𝑏 
6 > 𝑎 
Assim, o maior valor inteiro possível para um lado desse triângulo vale 5. 
 
Gabarito: A 
 
 
 
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68. (EAM 2011) Uma pessoa comprou 350 m de arame farpado para cercar seu terreno que tem a forma 
de um retângulo de lados 12 m e 30 m. Ao contornar todo o terreno uma vez, a pessoa deu a primeira 
volta no terreno. Quantas voltas completas, no máximo, essa pessoa pode dar nesse terreno antes de 
acabar o arame comprado? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
Comentário: 
Temos um perímetro na volta do terreno de: 
𝑝 = 12 + 12 + 30 + 30 = 24 + 60 = 84𝑚 
Assim, precisamos saber quantas vezes 84 cabe dentro de 350: 
350
84
== 4,1666… 
Assim, o arame consegue de 350m dar 4 voltas inteiras no terreno de 84m e ainda sobra uma 
parcela de 0,166... de seu total. 
 
Gabarito: C 
69. (EAM 2014) Analise a figura a seguir. 
 
Suponha que o terreno comprado por um proprietário tenha a forma da figura acima e suas medida 
sejam representadas, em unidades de comprimento pelas variáveis X, Y e Z. A expressão algébrica que 
representa o perímetro desse terreno é: 
a) 2X + 3Y + Z 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
b) 3X + 4Y + 2Z 
c) 3X + 3Y + Z 
d) 3X + 2Y + 3Z 
e) 4X + 3Y + 2Z 
 
Comentário: 
Para encontrar o perímetro, basta somar todos os lados: 
𝑝 = 𝑍 + 𝑌 + 𝑋 + 𝑋 + 𝑌 + 𝑋 + 2𝑌 + 𝑍 = 3𝑋 + 4𝑌 + 2𝑍 
 
Gabarito: B 
70. (EAM 2014) Observe a figura a seguir. 
 
Essa figura representa uma praça de eventos na forma de um quadrado de 12 m de lado que teve seu 
piso revestido com cerâmica branca e cinza. A região revestida pela cerâmica branca foi obtida 
construindo quatro triângulos retângulos com catetos medindo 4 m em cada uma das extremidades. 
Quantos metros quadrados de cerâmica cinza foram utilizados na construção dessa praça? 
a) 64 
b) 72 
c) 80 
d) 100 
e) 112 
 
Comentário: 
A área hachurada é dada pela área do quadrado menos a área dos 4 triângulos retângulos de 
catetos 4 e 4: 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 𝑆𝑞𝑢𝑎𝑑 − 4𝑆𝑡𝑟𝑖 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 12
2 − 4.
4.4
2
 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 144 − 32 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 112𝑚
2 
 
Gabarito: E 
71. (EAM 2015) Considere que um senhor deseja cercar um terreno retangular de 200 m² de área, 
utilizando 60 metros de arame. Sendo assim, é correto afirmar que o comprimento e a largura, deste 
terreno, são respectivamente: 
a) 50 m e 4 m 
b) 40 m e 5 m 
c) 25 m e 8 m 
d) 20 m e 10 m 
e) 16 m e 12, 5 m 
 
Comentário: 
Seja 𝑎 o comprimento e 𝑏 a largura. Então: 
2𝑎 + 2𝑏 = 60 → 𝑎 + 𝑏 = 30 
𝑎𝑏 = 200 
Testando as alternativas, temos que a única que atende as duas condições acima é 𝑎 = 20𝑚 𝑒 𝑏 =
10𝑚. 
 
Gabarito: D 
72. (EAM 2015) Deseja-se revestir com azulejos uma parede sem aberturas, com 8 metros de 
comprimento por 3 metros de altura. Sabendo que os azulejos têm dimensões 40 × 40 cm e que há 
uma perda de 10% na colocação dos mesmos, qual a quantidade de azulejos que se deve adquirir para 
revestir a parede? 
a) 176 
b) 165 
c) 160 
 
 
 
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d) 150 
e) 24 
 
Comentário: 
Na horizontal: 
𝑁 =
8
0,4
= 20 𝑎𝑧𝑢𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 
Na vertical: 
3
0,4
= 7,5 𝑎𝑧𝑢𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 
Temos um total de: 
20.7,5 = 150 𝑎𝑧𝑢𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 
Contudo, há uma perda de 10%: 
150.0,1 = 15 𝑎𝑧𝑢𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 
Assim, adicionamos mais 15 azulejos para repormos: 
150 + 15 = 165 𝑎𝑧𝑢𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 
 
Gabarito: B 
73. (EAM 2015) A área de um círculo é igual a 121 cm². O raio deste círculo, em cm, mede: 
a) 121 
b) 60,5 
c) 21 
d) 11 
e) 5,5 
 
Comentário: 
Sabemos que a área de um círculo de raio r é dada por: 
𝑆 = 𝜋𝑟2 
 
 
 
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Assim: 
𝜋𝑟2 = 121𝜋 → 𝑟2 = 121 
𝑟 = 11𝑐𝑚 
 
Gabarito: D 
74. (EAM 2016) Analise a figura. 
 
Sabendo que EP é raio da semicircunferência de centro em E, como mostra a figura acima, determine 
o valor da área mais escura e assinale a opção correta: 
Dado: 3 = 
a) 10 cm² 
b) 12 cm² 
c) 18 cm² 
d) 22 cm² 
e) 24 cm² 
 
Comentário: 
A área mais escura é igual a soma da área do semicírculo com metade da área do retângulo. 
Aplicando Pitágoras para achar a base do retângulo, que é também o diâmetro do semicírculo: 
52 = 32 + 𝑏2 → 𝑏2 = 25 − 9 = 16 
𝑏 = 4𝑐𝑚 
Assim: 
𝑆 = 𝑆𝑠𝑒𝑚𝑖 +
𝑆𝑟𝑒𝑡
2
 
𝑆 =
𝜋𝑟2
2
+
3𝑥4
2
= 3𝑥
(
4
2
)
2
2
+
3𝑥4
2
= 3𝑥2 + 6 = 12𝑐𝑚2 
 
 
 
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Gabarito: B 
75. (EAM 2016) Sabendo que o diâmetro da roda de uma bicicleta de 29 polegadas (incluindo o pneu) é, 
aproximadamente, igual a 74 cm, determine a distância, em metros, percorrida por essa roda, ao dar 4 
voltas completas sem nenhum deslize. 
Dado: 3 = . 
a) 5,55 m 
b) 6,66 m 
c) 8,88 m 
d) 328,55 m 
e) 438,08 m 
 
Comentário: 
Cada volta equivale a uma distância de: 
𝐶 = 2𝜋𝑟 = 2𝑥3𝑥 (
0,74
2
) = 2,22𝑚 
Assim, para 4 voltas: 
𝐷 = 4𝑥2,22 = 8,88𝑚 
 
Gabarito: C 
76. (EAM 2017) Analise a figura a seguir. 
 
Calcule a soma das áreas hachuradas da figura acima, sabendo que os polígonos I e II são quadrados, e 
assinale a opção correta. 
 
 
 
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a) 22 3 
b) 22 
c) 13 4 3+ 
d) 11 
e) 11 13 
 
Comentário: 
A área hachurada será igual à área do quadrado maior menos a área dos quadrados 1 e 2. Perceba 
que o lado do quadrado 1 é dado por: 
𝑙1 = 4√3 − (2√3 − 1) = 2√3 + 1 
Assim: 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 𝑆𝑞𝑢𝑎𝑑 − 𝑆1 − 𝑆2 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = (4√3)
2
− (2√3 + 1)
2
− (2√3 − 1)
2
 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 16.3 − (12 + 4√3 + 1 + 12 − 4√3 + 1) 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 48 − (26) 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 22 
Gabarito: B 
77. (EAM 2017) Deseja-se azulejar, até o teto, as 4 paredes de uma cozinha. Sabe-se que a cozinha possui 
2 portas medindo 210 cm de altura e 80 cm de largura cada uma, e uma janela com 150 cm de altura 
e 110 cm de comprimento. O comprimento, a largura e aaltura da cozinha são iguais a 5,0 m, 4,0 m e 
3,0 m, respectivamente. Determine o número mínimo de metros quadrados inteiros de azulejos que 
devem ser comprados e assinale a opção correta. 
a) 42 
b) 43 
c) 49 
d) 55 
e) 58 
 
 
 
 
 146 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Comentário: 
O número mínimo de metros quadrados será dado pela área das 4 paredes menos as áreas das 
portas e da janela: 
𝑆 = 𝑆𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 − 2𝑆𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 − 𝑆𝑗𝑎𝑛𝑒𝑙𝑎 
𝑆 = 2𝑥3𝑥4 + 2𝑥3𝑥5 − 2(2,1𝑥0,8) − 1,5𝑥1,1 
𝑆 = 24 + 30 − 3,36 − 1,65 
𝑆 = 48,99 𝑚2 
Assim, o número mínimo inteiro fica de 49m2. 
 
Gabarito: C 
78. (EAM 2017) A área de um retângulo corresponde à expressão 2 10 24K k− − quando 36k = . Sendo 
assim, calcule suas dimensões e assinale a opção correta. 
a) 38 e 24 
b) 36 e 32 
c) 63 e 24 
d) 54 e 38 
e) 32 e 24 
 
Comentário: 
Se k=36, então sua área é: 
𝑘2 − 10𝑘 − 24 = 362 − 10.36 − 24 = 912 
Analisando as alternativas, as únicas dimensões possíveis – cujo produto é igual a 912 – é a da 
letra A,38 e 24. Pois: 
38𝑥24 = 912 
 
Gabarito: A 
79. (EAM 2018) Analise a figura abaixo. 
 
 
 
 147 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
A área do trapézio da figura acima é 12. Considere que o segmento EC = 4; CD = 2 e GH = 2r. Considere, 
ainda, que os pontos C, G e H são pontos de tangência e r é o raio do semicírculo sombreado. Sendo 
assim, é correto afirmar que a área do semicírculo sombreado é igual a: 
a)  
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Comentário: 
Observe: 
 
 
 
 
 148 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
EC=EG pois ambos são segmentos de tangência. O mesmo ocorre para CD e DH. EP = EG-DH=4-
2=2. Assim, aplicando a fórmula da área do trapézio: 
𝑆 =
(𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 + 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 
12 =
(4 + 2)2𝑟
2
→ 4 = 2𝑟 → 𝑟 = 2 
Por fim, a área do semicírculo é dada por: 
𝑆 =
𝜋𝑟2
2
=
𝜋4
2
= 2𝜋 
 
Gabarito: B 
80. (EAM 2004) Para sustentação do letreiro é feito um suporte de ferro na forma de um triângulo 
retângulo ABC . Calcule o comprimento da barra de ferro representada pelo segmento AD sabendo 
que é bissetriz do ângulo BAC . 
 
a) 0,56 m 
b) 0,84 m 
c) 0,92 m 
d) 1 m 
e) 1,2 m 
 
Comentário 
Seja x o comprimento de AD, a bissetriz dada. Se AD é bissetriz, então o ângulo BAD = CAD = 45o, 
pois CAB = 90o. Sabemos que a área de um triângulo de lados 𝑎 𝑒 𝑏, com ângulo y entre eles é 
dado por: 
𝑆 =
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑦) 
Assim, podemos equacionar: 
𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝛥𝐶𝐴𝐷 + 𝑆𝛥𝐴𝐷𝐵 
 
 
 
 149 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
(140√2)(60√2)
2
=
1
2
140√2𝑥𝑠𝑒𝑛(45𝑜) +
1
2
60√2𝑥𝑠𝑒𝑛(45𝑜) 
Cortando 
1
2
, 10 𝑒 √2: 
14.60√2 =
(14𝑥 + 6𝑥)√2
2
 
14.60 = 10𝑥 
𝑥 = 84𝑐𝑚 = 0,84𝑚 
 
Gabarito: B 
81. (EAM 2005) 
 
Uma escada de 10 metros de comprimento forma ângulo de 60° com a horizontal quando encostada 
ao edifício de um dos lados da rua, e ângulo de 45° se for encostada ao edifício do outro lado, apoiada 
no mesmo ponto do chão. A largura da rua, em metros, vale aproximadamente: 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 11 
 
Comentário 
 
Perceba: 
 
 
 
 150 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
As projeções das escadas são os catetos adjacentes aos ângulos dados, ou seja, 10 multiplicado 
pelo cosseno do ângulo. Assim: 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎 = 10 cos(45𝑜) + 10cos (60𝑜) 
= 10(
√2
2
+
1
2
) 
= 5(√2 + 1) 
~ 5(1,4 + 1) 
~ 5(2,4) 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎 = 12 
 
Gabarito: D 
82. (EAM 2005) Em um triângulo, os lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm. Quanto mede, em centímetros, a 
altura relativa ao maior lado desse triângulo? 
a) 8,0 
b) 7,2 
c) 6,0 
d) 5,6 
e) 4,3 
 
Comentário 
 
Perceba que o triângulo formado pelos lados 9, 12 e 15 é retângulo. Pois: 
92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152 
 
 
 
 151 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Assim, busca-se a altura H: 
 
Das relações métricas do triângulo retângulo: 
15𝑥𝐻 = 12𝑋9 → 𝐻 =
108
15
 
𝐻 = 7,2𝑐𝑚 
 
Gabarito: B 
83. (EAM 2007) Um robô de brinquedo dá passos de 2 centímetros. A partir de ponto A, ele caminha 8 
passos para frente, gira 90° para a esquerda, dá mais 6 passos em frente e para em um ponto B. Qual 
a medida, em centímetros, do segmento AB? 
a) 10 
b) 14 
c) 20 
d) 25 
e) 28 
 
Comentário 
 
Dando 8 passos para a frente, o robô caminho um total de 8𝑥2 = 16𝑐𝑚 
Girando 90o e andando 6 passos a frente, o robô caminha mais um total de 6𝑥2 = 12𝑐𝑚 
Assim, AB será a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos catetos de 16cm e 12cm: 
𝐴𝐵2 = 162 + 122 = 256 + 144 = 400 = 202 
𝐴𝐵 = 20𝑐𝑚 
Gabarito: C 
 
 
 
 152 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
84. (EAM 2008) Observe a figura abaixo. 
 
O triângulo ABC é retângulo em A e o triângulo ABD é equilátero. Se a medida de BC é 12, o 
comprimento de AB é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
Comentário 
 
Se o triângulo ABC é equilátero, então o ângulo ABC vale 60o. Assim: 
cos(ABC) = cos(60𝑜) =
𝐴𝐵
𝐵𝐶
 
1
2
=
𝐴𝐵
12
→ 𝐴𝐵 = 6 
 
Gabarito: B 
85. (EAM 2008) Em um triângulo retângulo isósceles, a hipotenusa tem por medida 5 2 cm. A soma das 
medidas dos catetos, em centímetros, é 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 12 
 
Comentário 
 
Se o triângulo retângulo é isósceles, então ambos catetos são iguais e valem x. Aplicando Pitágoras: 
 
 
 
 153 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
𝑥2 + 𝑥2 = (5√2)
2
 
2𝑥2 = 25.2 
𝑥2 = 25 → 𝑥 = 5 
Assim, a soma dos catetos vales: 
𝑠 = 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥 = 2.5 = 10𝑐𝑚 
 
Gabarito: D 
86. (EAM 2009) Observe a figura abaixo. 
 
O pé de uma escada de 10 m de comprimento está afastado 6 m de um muro. A que altura do chão, 
em metros, encontra-se o topo da escada? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
Comentário: 
 
Temos a escada formando uma hipotenusa de 10m e a distância dela ao chão formando um cateto 
de 6m. Assim, aplicando Pitágoras, achamos o outro cateto (altura) H: 
102 = 62 + 𝐻2 
100 − 36 = 𝐻2 = 64 
𝐻 = 8𝑚 
 
Gabarito: D 
87. (EAM 2010) Seja x, y e z os lados de um triângulo retângulo. Sabendo que y é a medida do maior lado 
então: 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
a) 
2 2 22y x z= + 
b) 
2 2 22 2y x z= + 
c) 
2 2 22y x z= + 
d) 
2 2 2y x z= + 
e) 
2 2 22y x z= + 
 
Comentário: 
 
A hipotenusa de um triângulo retângulo sempre o maior lado deste triângulo. Assim, y é a 
hipotenusa. Utilizando Pitágoras: 
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 
𝑦2 = 𝑥2 + 𝑧2 
 
Gabarito: D 
88. (EAM 2012) Uma aeronave decola fazendo, com a pista plana e horizontal, um ângulo de elevação de 
30°. Após percorrer 1,2 km, a aeronave se encontra em relação ao solo, a uma altura igual a: 
a) 900 m 
b) 600 m 
c) 500 m 
d) 400 m 
e) 300 m 
 
Comentário: 
 
Perceba: 
 
O avião percorre a hipotenusa de 1,2km. Sua altura será o cateto oposto ao ângulo de 300: 
 
 
 
 155 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
ℎ = 1,2. 𝑠𝑒𝑛(30𝑜) = 1,2.
1
2
 
ℎ = 0,6𝑘𝑚 = 600𝑚 
 
Gabarito: B 
89. (EAM 2012) A área do triângulo retângulo de lados 1,3 dm, 0,05 m e 0,012 dam é: 
a) 28 cm² 
b) 30 cm² 
c) 32 cm² 
d) 33 cm² 
e) 34 cm² 
 
Comentário: 
 
Os lados do triângulo retângulo são 1,3𝑑𝑚 = 13𝑐𝑚, 0,05𝑚 = 5𝑐𝑚 e 0,012𝑑𝑎𝑚 = 12𝑐𝑚. Os 2 
menores lados são os catetos e o maior é a hipotenusa. Assim: 
𝑆 =
(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜1)(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2)
2
=
12𝑥5
2
= 30𝑐𝑚2 
 
Gabarito: B 
90. (EAM 2013) Considere que o triângulo ABC é retângulo. Sabendo que 90A =  , 12AB = cm e 5AC =cm, qual é o perímetro, em centímetros, desse triângulo? 
a) 20 
b) 30 
c) 40 
d) 50 
e) 140 
 
Comentário: 
 
Se A = 90o, AB=12cm e AC=5cm, então temos catetos de 12cm e 5cm. Para achar a hipotenusa, 
usamos Pitágoras: 
ℎ2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 
 
 
 
 156 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
ℎ = 13𝑐𝑚 
Assim, o perímetro será de: 
𝑝 = 13 + 12 + 5 = 30𝑐𝑚 
 
Gabarito: B 
91. (EAM 2014) Uma pipa ficou presa em um galho de uma árvore e seu fio ficou esticado formando um 
ângulo de 60° com o solo. Sabendo que o comprimento do fio é 50 m, a que altura, aproximadamente, 
do solo encontrava-se a pipa? 
Dado: considere 3 1,7= 
a) 15,7 m 
b) 25 m 
c) 42,5 m 
d) 50,5 m 
e) 85 m 
 
Comentário: 
 
O fio da pipa forma a hipotenusa do triângulo retângulo com ângulo de 600, pois a árvore faz 90o 
com o solo. Assim, a altura é o cateto oposto ao ângulo de 60o: 
ℎ = 50. 𝑠𝑒𝑛(60𝑜) = 50
√3
2
= 25√3 = 25.1,7 = 42,5𝑚 
 
Gabarito: C 
92. (EAM 2015) Um avião decola de um aeroporto e sobe segundo um ângulo constante de 15° com a 
horizontal. Na direção do percurso do avião, a 2 km do aeroporto, um garoto observa o avião sobre ele. 
Qual a altura do avião neste momento? 
Dados: sen 15 0,26 = , cos 15 0,96 = , tan 15 0,27 = . 
a) 960 m 
b) 540 m 
c) 260 m 
d) 96 m 
e) 26 m 
 
Comentário: 
 
 
 
 157 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
A distância de 2km representa o cateto adjacente a 15o e a altura o cateto adjacente em um 
triângulo retângulo: 
 
Assim: 
𝑡𝑔15𝑜 =
ℎ
2
 
ℎ = 2𝑡𝑔15𝑜 = 2.0,27 
𝑡𝑔15𝑜 = 0,54𝑘𝑚 = 540𝑚 
 
 
Gabarito: B 
93. (EAM 2016) Analise a figura: 
 
Uma escada com 10 degraus, construída sobre uma rampa, conforme a figura. Deve ligar dois 
pavimentos de uma casa. Sabendo que o comprimento de cada degrau é igual a 30 cm e a inclinação 
da rampa com a horizontal é igual a 53°, determine a altura de cada degrau, considerando que o seno 
de 53° é igual a 0,8 e o cosseno de 53° é igual a 0,6, assinalado a seguir, a opção correta. 
a) 10 cm 
b) 20 cm 
c) 40 cm 
 
 
 
 158 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
d) 50 cm 
e) 60 cm 
 
Comentário: 
 
Se o comprimento de cada degrau é 30cm, então: 
tan(53𝑜) =
𝑠𝑒𝑛(53𝑜)
cos(53𝑜)
=
ℎ
30
→
0,8
0,6
=
ℎ
30
→ ℎ =
4
3
. 30 
ℎ = 40𝑐𝑚 
 
Gabarito: C 
94. (EAM 2017) Apoiado em dois pilares construídos sobre um terreno plano e distantes 3m um do outro, 
constrói-se um telhado, cuja inclinação é de 30° em relação ao piso. Se o pilar de menor altura mede 4 
metros, qual é a altura do outro pilar? 
Dado: 3 1,7= 
a) 5,5 m 
b) 5,7 m 
c) 6,0 m 
d) 6,5 m 
e) 6,9 m 
 
Comentário: 
 
Perceba: 
 
 
 
 
 159 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
Para encontrar x: 
𝑡𝑔(30𝑜) =
𝑥
3
 
√3 = 𝑥 = 1,7 
Assim, a altura do segundo pilar será de: 
ℎ = 4 + 𝑥 = 4 + 1,7 = 5,7𝑚 
 
Gabarito: B 
95. (EAM 2017) Observe a figura a seguir. 
 
Na figura acima, tem-se um triângulo isósceles ACD, no qual o segmento AB mede 3cm, o lado 
desigual AD mede 10 2 cm e os segmentos AC e CD são perpendiculares. Sendo assim, é correto 
afirmar que o segmento BD mede: 
a) 53 cm 
b) 97 cm 
c) 111 cm 
d) 149 cm 
e) 161 cm 
 
Comentário: 
 
Perceba: 
 
 
 
 160 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Se ACD é retângulo isósceles, então DC=AC. Pitágoras: 
(10√2)
2
= 𝐷𝐶2 + 𝐴𝐶2 → 𝐷𝐶 = 𝐴𝐶 = 10𝑐𝑚 
Se AC=DC=10cm, então BC = 10-3=7cm. Assim, aplica-se Pitágoras no triângulo BDC: 
𝐵𝐷2 = 72 + 102 → 𝐵𝐷2 = 149 
𝐵𝐷 = √149 
 
Gabarito: D 
96. (EAM 2019) Os lados de um triângulo medem 30 cm, 70 cm e 80 cm. Ao traçarmos a altura desse 
triângulo em relação ao maior lado, dividiremos esse lado em dois segmentos. Sendo assim, calcule o 
valor do menor segmento em centímetros e assinale a opção correta. 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 11 
 
Comentário: 
 
Perceba: 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Aplicando Pitágoras em ambos triângulos retângulos: 
ℎ2 + 𝑥2 = 9 
ℎ2 + (8 − 𝑥)2 = 49 
Subtraindo uma equação da outra: 
(8 − 𝑥)2 − 𝑥2 = 40 
64 − 16𝑥 + 𝑥2 − 𝑥2 = 40 
16𝑥 = 24 
𝑥 =
24
16
=
3
2
= 1,5 
Assim, temos os segmentos: 
𝑥 = 1,5𝑚 = 15𝑐𝑚 
8 − 𝑥 = 8 − 1,5 = 6,5𝑚 = 65𝑐𝑚 
O menor segmento é de 15cm. 
 
Gabarito: A 
97. (EAM 2019) Observe a figura abaixo. 
 
 
 
 162 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Considerando que os triângulos BDA e BCA apresentados acima são, respectivamente, retângulos em 
D e C, calcule o valor de x em função do lado c e assinale a opção correta. 
a) 
3 2c − 
b) 
2 1c − 
c) 
2 5c + 
d) 3c − 
e) 
2 3c − 
 
Comentário: 
 
Aplicando Pitágoras nos triângulos ADB e ACB: 
𝐴𝐵2 = 22 + 𝑥2 
𝐴𝐵2 = 𝑐2 + 12 
Igualando: 
𝐴𝐵2 = 𝐴𝐵2 
4 + 𝑥2 = 𝑐2 + 1 → 𝑥2 = 𝑐2 − 3 
𝑥 = √𝑥2 − 3 
 
Gabarito: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 163 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
5.0 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
[1] Dolce, Osvaldo. Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. 
ed. Atual, 2013. 456p. 
[2] Morgado, Augusto César. Wagner, Eduardo. Jorge, Miguel. Geometria I. 5 ed. Livraria Francisco Alves 
Editora, 1990. 151p. 
[3] Morgado, Augusto César. Wagner, Eduardo. Jorge, Miguel. Geometria II. 1 ed. FC & Z Livros, 2002. 296p. 
 
6.0 – CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
É isso, meu querido! Finalizamos a nossa aula. Espero que tenham gostado! 
Restando qualquer dúvida, estou à disposição no fórum de dúvidas. Pode usar sem moderação!! 
Mantenham a pegada, a sua aprovação está mais perto que imagina! 
Qualquer crítica, sugestão ou elogio, só mandar mensagem no fórum! 
 
 
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Vamos que vamos! Fé na missão!