Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-24042021

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6 Prova de Matemática de 24/04/2021
6.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 10) De uma função f , cont́ınua no intervalo [1, 3], sabe-se que f(1) = 7 e f(3) = 4.
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) A função f tem pelo menos um zero no intervalo [1, 3]
(B) A função f não tem zeros no intervalo [1, 3]
(C) A equação f(x) = 5 tem pelo menos uma solução no intervalo [1, 3]
(D) A equação f(x) = 5 não tem solução no intervalo [1, 3]
Resolução: A opção certa é a (C) por aplicação do teorema de Bolzano:
f(3) = 4 < 5 < 7 = f(1)
f continua [1,3]⇒
Teorema Bolzano
∃c ∈ ]1, 3[ : f(c) = 5
2.(Caṕıtulo 8) Considere α ∈
]
0, π
6
]
. Os valores de k para os quais sen (α) = 2k + 1
2
são:
(A)
[
−1
4
, 0
]
(B)
[
−1
2
, 0
]
(C)
]
−1
2
, 0
]
(D)
]
−1
4
, 0
]
Resolução: A opção certa é a (D) porque:
α ∈
]
0, π
6
]
⇒ 0 < sen α ≤ 1
2
⇔ 0 < 2k + 1
2
≤ 1
2
⇔ 0− 1
2
< 2k ≤ 1
2
− 1
2
⇔ −1
2
< 2k ≤ 0⇔ −1
4
< k ≤ 0⇔ k ∈
]
−1
4
, 0
]
3.(Caṕıtulo 9) Considere a função g definida por g(x) = ln(3x). O ponto que pertence ao
gráfico da função g é:
(A) (e, ln3) (B) (e, 1 + ln3)
(C) (e, e× ln3) (D) (e, e+ ln3)
Resolução: A opção certa é a (B) porque:
x = e⇒ g(e) = ln (3e) = ln 3 + ln e = ln 3 + 1
43
4.(Caṕıtulo 7) O domı́nio da função f(x) =
√
x
x2−3x é:
(A) R+ (B) R\ {0, 3}
(C) R+\ {3} (D) R\ {0}
Resolução: A opção certa é (C) porque:
Df =
{
x ∈ R : x ≥ 0 ∧ x2 − 3x 6= 0
}
= {x ∈ R : x ≥ 0 ∧ x (x− 3) 6= 0} = R+\ {3}
5.(Caṕıtulo 10) Para que valor real k é cont́ınua em R, a função h definida por:
h(x) =
{
1 se x ≤ 0
ln (x+ k) se x > 0
(A) −1 (B) 1
(C) 0 (D) e
Resolução: A opção certa é a (D) porque:
lim
x→0−
h(x) = h(0) = 1
lim
x→0+
h(x) = lim
x→0+
ln (x+ k) = ln k
 ⇒f continua ln k = 1⇔ k = e1 = e
6.(Caṕıtulo 11) Sabendo que a reta tangente ao gráfico da função f(x) = e2x−1 + 3 no ponto
A(x0, y0) é perpendicular à reta de equação y = − e2x− 4, as coordenadas do ponto A são:
(A) (0, e−1 + 3) (B)
(
0, 2
e
)
(C) (0, e+ 3) (D)
(
2
e
, 0
)
Resolução: Representando por p a reta dada, por mp o seu declive e por mt o declive da reta
tangente ao gráfico da função num ponto, temos:
f(x) = e2x−1 + 3⇒ f ′(x) = (e2x−1 + 3)′ = 2e2x−1 ⇒
{
mt(x = 0) = 2× e2×0−1 = 2e−1 = 2e
mt
(
x = 2
e
)
= 2× e2× 2e−1 = 2e 4e−1
p : y = − e
2
x− 4⇔ mp = − e2 ⇒
mt=− 1mp
mt =
2
e
Daqui se conclui que o ponto do gráfico de f onde a reta tangente tem o declive pretendido é
o ponto de abcissa 0, ou seja (0, f(0)) = (0, e2×0−1 + 3) = (0, e−1 + 3).
A opção certa é a (A).
44
Nota: Para responder a esta pergunta bastava verificar que, dos pontos dados, este é o único
que pertence ao gráfico de f !
7.(Caṕıtulo 5 e 11) Seja f uma função de domı́nio R, derivável em todos os pontos do seu
domı́nio. Na figura encontra-se representada parte do gráfico da função derivada de f , f ′. A
função f ′ tem apenas um zero.
Sabe-se que f(0) = 3.
Qual dos seguintes valores pode ser o valor de f(−2)?
(A) −2 (B) 1
(C) 2 (D) 4
Resolução: A opção certa é a (D) porque de acordo com o gráfico da função derivada temos:
x −∞ a > 0 +∞
f ′ − 0 +
f ↘ ↗
Min
Donde se conclui que a função f é decrescente de −∞ até a > 0.
Assim f(−2) > f(0)⇔ f(−2) > 3.
45
6.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 9) O valor aproximado da quantidade de iodo-131, em gramas (g), presente numa
amostra, num determinado instante t medido em dias, pode ser determinado por:
A(t) = 10e−0.0862t
Foi recolhida uma amostra de tecido celular da glândula da tiroide, para análise, no dia 13 de
março de 2021.
1.1 Indique qual era a quantidade de iodo-131 que estava presente na amostra quando esta foi
recolhida.
Resolução: O que é pedido é:
A(0) = 10× e−0.0862×0 = 10× e0 = 10× 1 = 10 g
1.2 Determine o valor aproximado de iodo-131 presente na amostra ao fim de 2 semanas.
Resolução: O que é pedido é:
A(14) = 10× e−0.0862×14 = 10× e−1.2068 ' 3 g
1.3 Quanto tempo será necessário passar, para que a quantidade de iodo-131 presente na amos-
tra fique BrickReduzido a menos de 0.5 g?
Resolução: O que é pedido é:
A(t) = 10e−0.0862t = 0, 5⇔ e−0,0862t = 0,5
10
⇔ e−0,0862t = 0, 05⇔ −0, 0862t = ln 0, 05
⇔ t = ln 0,05−0,0862 ⇔ t ' 34, 75 dias
Assim, seriam necessários 35 dias.
2.(Caṕıtulo 5 e 7) Considere a função real de variável real definida por:
f(x) =
∣∣∣∣3− 1x
∣∣∣∣
2.1 Determine o domı́nio e o contradomı́nio da função.
Resolução: O que é pedido é o domı́nio de f :
Df = {x ∈ R : x 6= 0} = R\ {0}
e o contradomı́nio de f , que se pode determinar através da representação gráfica de f : módulo
do gráfico de − 1
x
transladado de 3 unidades na vertical:
46
Através desta representação verifica-se que D′f = [0,+∞[ = R+0
2.2 Determine, algebricamente, os valores de x para os quais f(x) > 1.
Resolução:∣∣3− 1
x
∣∣ > 1 ⇔
x∈Df
3− 1
x
> 1 ∨ 3− 1
x
< −1 ⇔
x∈Df
3x− 1 > x ∨ 3x− 1 < −x
⇔
x∈Df
2x > 1 ∨ 4x < 1 ⇔
x∈Df
x > 1
2
∨ x < 1
4
⇔ x ∈
(]
−∞, 1
4
[
∪
]
1
2
,+∞
[)
\ {0}
3.(Caṕıtulo 4) Sabendo que sen(x) + cos(x) = 2 determine o valor de sen(x)× cos(x).
Sugestão: determine e simplifique (sen(x) + cos(x))2.
Resolução:
(sen(x) + cos(x))2 = 22 ⇔ sen2(x) + 2sen(x) cos(x) + cos2(x) = 4
⇔ 2sen(x) cos(x) + (sen2(x) + cos2(x)) = 4⇔ 2sen(x) cos(x) + 1 = 4
2sen(x) cos(x) = 3⇔ sen(x) cos(x) = 3
2
4.(Caṕıtulo 3 e 7) Diga, justificando, se, em R, são verdadeiras ou falsas as seguintes
afirmações:
4.1 |x| = 6⇒ x (x2 − 36) = 0
Resolução: A afirmação é verdadeira porque:
|x| = 6⇔

x = 6⇒ 6× (62 − 36) = 6× 0 = 0
ou
x = −6⇒ −6×
(
(−6)2 − 36
)
= −6× 0 = 0
4.2 −1
3
x > 0⇔ 3− x > 0
47
Resolução: A afirmação é falsa porque o conjunto solução não é o mesmo:
−1
3
x > 0⇔ −x > 0⇔ x < 0⇔ x ∈ ]−∞, 0[
3− x > 0⇔ −x > −3⇔ x < 3⇔ x ∈ ]−∞, 3[
5.(Caṕıtulo 7 e 11) De uma função f de domı́nio R, sabe-se que a sua derivada, f ′ é definida
por:
f ′(x) =
−2x
(x2 + 1)2
Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de
pontos de inflexão.
Resolução: Para responder ao pedido deve calcular-se a segunda derivada de f :
f ′′(x) =
(
−2x
(x2+1)2
)′
=
(−2x)′×(x2+1)
2
−(−2x)×
[
(x2+1)
2
]′
[(x2+1)2]
2
=
−2×(x2+1)
2
+2x×
[
2(x2+1)
2−1
×(x2+1)
′]
(x2+1)4
=
−2×(x2+1)
2
+2x×[2(x2+1)×2x]
(x2+1)4
=
−2×(x2+1)
2
+8x2×(x2+1)
(x2+1)4
=
(x2+1)[−2(x2+1)+8x2]
(x2+1)4
= −2x
2−2+8x2
(x2+1)3
= 6x
2−2
(x2+1)3
f ′′(x) = 0⇔ 6x
2 − 2
(x2 + 1)3
= 0 ⇔
(x2+1)3>0
6x2 − 2 = 0⇔ x = ±
√
3
3
Através dos zeros da segundo derivada constrúımos o seguinte quadro:
x −∞ −
√
3
3
√
3
3
+∞
6x2 − 2 + 0 − 0 +
(x2 + 1)
3
+ + + + +
f ′′ + 0 − 0 +
f ∪ PI ∩ PI ∪
Assim se conclui que a função f tem dois pontos de inflexão, um em x = −
√
3
3
e outro em x =
√
3
3
.
A concavidade é voltada para cima em
]
−∞, −
√
3
3
[
e em
]√
3
3
,+∞
[
e voltada para baixo
em
]
−
√
3
3
,
√
3
3
[
.
6.(Caṕıtulo 10) Calcule:
48
6.1 lim
x→0+
x2−x
x+
√
x
Resolução:
lim
x→0+
x2 − x
x+
√
x
0
0= lim
x→0+
(x2 − x) (x−
√
x)
(x+
√
x) (x−
√
x)
= lim
x→0+
(x2 − x) (x−
√
x)
(x2 − x)
= lim
x→0+
(
x−
√
x
)
= 0−0 = 0
6.2 lim
x→0
tg(x)×sen(π2 +x)
3x
Resolução:
lim
x→0
tg(x)×sen(π2 +x)
3x
tg(x)=
sen(x)
cos(x)
=
sen(π2 +x)=cos(x)
lim
x→0
sen(x)
cos(x)
×cos(x)
3x
= lim
x→0
sen(x)
3x
= 1
3
× lim
x→0
sen(x)
x
= 1
3
× 1 = 1
3
7.(Caṕıtulo 8 e 11) Considere a função f definida por f(x) = sen
(
3x− π
4
)
. Mostre que
f ′
(π
4
)
− f
(π
4
)
+ f ′′
(π
4
)
< 0
Resolução: Para responder ao pedido deve calcular-se a primeira e a segunda derivada de f :
f ′(x) = cos
(
3x− π
4
)
×
(
3x− π
4
)′
= 3 cos
(
3x− π
4
)
f ′′(x) =
(
3 cos
(
3x− π
4
))′
= 3×
[
−sen
(
3x− π
4
)]
×
(
3x− π
4
)′
= −9sen
(
3x− π
4
)
Considerando x = π
4
:
f(x) = sen
(
3x− π
4
)
f ′(x) = 3 cos
(
3x− π
4
)
f ′′(x) = −9sen
(
3x− π
4
)
⇒

f
(
π
4
)
= sen
(
3× π
4
− π
4
)
= sen
(
π
2
)
= 1
f ′
(
π
4
)
= 3 cos(
3× π
4
− π
4
)
= 3 cos
(
π
2
)
= 3× 0 = 0
f ′′
(
π
4
)
= −9sen
(
3× π
4
− π
4
)
= −9sen
(
π
2
)
= −9× 1 = −9
Assim se conclui que:
f ′
(π
4
)
− f
(π
4
)
+ f ′′
(π
4
)
= 0− 1− 9 = −10 < 0
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