Geometria Analítica

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TRATAMENTO ALGÉBRICO
DE VETORES
Aula 2
Prof. Dani Prestini
VETORES NO PLANO - INTRODUÇÃO
De modo geral, dados dois vetores x e y não-paralelos, podemos 
representar inúmeros vetores (v, u, w, t, ...) de tal maneira que:
Onde “a” e “b” são números reais e o conjunto B = { x, y } é 
chamado de BASE do plano.
“Dada uma base qualquer no plano, todo vetor desse 
plano é combinação linear dos vetores dessa base.”
BASE ORTONORMAL – A BASE XOY
Na prática, as bases mais utilizadas são as Ortonormais.
No plano xOy - R2, a base é formada pelos 
vetores i e j onde i = (1,0) e j = (0, 1). 
Essa base é chamada de Base Canônica.
Dado um vetor v no plano cartesiano (R2), podemos 
representá-lo das seguintes maneiras:
Exemplos:
• 3 i – 5 j = (3, -5)
• 3 j = (0, 3)
• -4 i = (-4, 0)
• 0 = (0, 0)
OPERAÇÕES COM VETORES NO R2
• IGUALDADE DE VETORES
Exemplo 1: Determine os valores de “a” e “b” de modo que 
os vetores u = (a + 1, 4) e v = (5, 2b – 6) sejam iguais.
• SOMA/ SUBSTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
Graficamente:
1 1 2 2Sendo u = (x , y ), v = (x , y ) e , definimos:
  
  
 
 
1
3 2
2
6 4 2
4 4
4
x u v x
x u v x
x v u
v
x u
    .
1
Exemplo 3: Determinar o vetor x tal que 3x + 2u = v + x 
2
onde u = 3,-1 e v = -2,4
   
 

 
 
 
 
1
2 4 3 1
7
2
4
2
Substituindo as coordenadas :
x , ,
x ,
     
 
, ,
.
Exemplo 2: Dado os vetores u = 2,-3 v = -1,4 e w = 1,2
determine 2u 3 v 4 w
Inicialmente isolando o "x":
     
       
      
    
2 3 4 2 2 3 3 1 4 4
11 10
1 2
4 6 3 12 4 8
u v w , ,
,, , ,
     
     
   
  
  
  
 


 



 
10 2 3 5 1 2
10 2 3 5 2
10 2 3 5 2
2 4 4
3 10
5 2 2
2
Substituindo as coordenadas :
, a , b ,
, a, a b, b
, a b,
a e b ou seja,
a b
a b
onde teremos :
a b
v u w
      , .
Exemplo 4: Determine as constantes 'a' e 'b' de modo que
v au + bw, sendo v = 10,2 u = 3,5 e w = -1,2
VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS – R2
Podemos determinar as coordenadas um vetor, a partir de dois 
pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), da seguinte forma:
Dentre os infinitos representantes do vetor AB, o que “melhor o 
caracteriza” é aquele que tem sua origem no ponto O(0,0).
Podemos perceber pela figura abaixo, que os segmentos 
orientados OP, AB e CD representam o mesmo vetor:

  
  
   
 
   
 
1
2
1
2
1
2
1
4
5
3 2 4
0
2
2
Como CD AB , temos :
D C (B A)
D (B A) C ou seja,
D ( , ) ( , )
D ,
 .
Exemplo 5: Dado os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), 
1
determinar o ponto D de modo que CD AB
2
Verifique o outro modo 
de resolução na 
página 26.
 
     
Ou seja, AM MC e BM MD. Agora :
M A C M e M B D M
Exemplo 6: Sendo A(2,1) e B(5,2) vértices consecutivos de
um paralelogramo ABCD e M(4,3) o ponto de intersecção
das diagonais, determinear os vértices C e D.
Analisando a figura, 
podemos verificar que o 
ponto M é o ponto médio 
das diagonais.
Isolando os pontos procurados :
   2 2C M A e D M B, ou seja :
   2 4 3 2 1 2 4 3 5 2C ( , ) ( , ) e D ( , ) ( , ) Finalmente :
 6 5 3 4C ( , ) e D ( , )
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
Sendo M (x, y) o ponto médio do segmento AB, podemos 
determinar suas coordenadas pela seguinte fórmula:
  
 
 2 2
A B A Bx x y yM ;
PARALELISMO DE DOIS VETORES
Verifique essa 
demonstração na 
página 28.
1 1
2 2
x y
x y
  
1 1 2 2
A condição necessária e suficiente para que dois vetores
u = (x ,y ) e v = (x ,y ) sejam paralelos é que suas 
componentes sejam proporcionais.
MÓDULO DE UM VETOR
2 2v x y 
Seja v um vetor posição de coordenadas v = (x,y). 
Pelo teorema de Pitágoras, fica fácil perceber que:
2 2
2 1 2 1AB ( x x ) ( y y )   
ã ,
ó â :
Caso o vetor n o seja posicional podemos determinar o 
seu m dulo pela dist ncia entre dois pontos

v
Pela fórmula vers(v ) temos :
v
Exemplo 7: Determine o versor de v = (3, -4).
      
       
     
2 2
3 4 3 4
1
5 5 5 5
Não podemos esquecer que o versor é um vetor unitário:
;
 
    
 2 2
3 4 3 4
3 4 3 4
53 4
( , ) ( , )
vers( , ) vers( , )
( )
 
   
 

3 4
3 4
5 5
vers( , ) ;
Inicialmente iremos calcular 2u - 3v:
Exemplo 8: Dados os pontos A(2,-1) e B(-1,4) e os vetores
u = (-1, 3) e v = (-2, -1), determine:
a) 2u - 3v
   2 1 3 3 2 1 4 92u - 3v ( , ) ( , ) ( , )
Agora o seu módulo:
    2 22 3 4 9 74 99u v ( , )
b) a distância entre os pontos A e B. 
   2 21 2 4
34
1
Substituindo os valores na fórmula:
d
d(
(A, B) = 
A, B)
( )
 = 
( )
As coordenadas serão P(x, 0).
Exemplo 9: Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja
equidistante dos pontos A(-1, -2) e B(5, -4).
Agora, d(P, A) = d(P, B) ou seja,
         2 2 2 21 2 0 5 4 0( x ) ( ) ( x ) ( )
Logo, teremos como resultado: x = 3
P(3, 0)
Graficamente:
Exemplo 10: Dado o vetor v = (-2, 1), determine o vetor 
paralelo a v que tenha:
5Podemos observar que o "tamanho" de v é 2,2. 
Precisamos determinar as coordenadas de outro vetor 
(com mesmo sentido e direção) que tenha o seu 
"tamanho", módulo igual a 4.
Para isso, iremos calcular o vetor unitário de v - seu
versor:
a) mesmo sentido de v e módulo 4.


 
 
  
 
2 2
2 1
2 1
2 1
5 5
v ( , )
vers v = vers v = 
v ( ) ( )
vers v = ,
Como o vetor procurado precisar ter módulo 4 e
mesmo sentido que v, basta fazermos:
 

 



  
82 1
4
55
4
55
, ,
b) sentido contrário de v e metade do módulo de v.
 
 
 
 
1
1
2
2 1
-1
Basta multiplicar o vetor v por . Assim:
2
-1
,( , )
2
Exercícios pág. 40 até 42 
1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 14,
16, 17, 18, 20, 21 e 23