Projeto de Pilares de Concreto Armado

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Projeto de Pilares de Concreto Armado
Prof. Roberto Lucas Junior
Descrição
A função dos pilares, sua utilização e seu projeto.
Propósito
O projeto estrutural das edificações é uma etapa fundamental no desenvolvimento de uma construção. Um
dos elementos de suma importância e em grande quantidade nesse projeto estrutural são os pilares. Com
isto, torna-se inevitável um estudo mais aprofundado sobre o projeto de pilares de concreto armado.
Objetivos
Módulo 1
NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto
Reconhecer a NBR 6118.
Módulo 2
Pilares centrais
Reconhecer a função dos pilares centrais.
Módulo 3
Pilares laterais
Analisar as ações sobre os pilares laterais.
Módulo 4
Pilares de canto
Reconhecer os pilares de canto.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda os conceitos de projeto de pilares de concreto
armado.

1 - NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a NBR 6118.
Vamos começar!
Como interpretar a norma ABNT NBR 6118.

Assista ao vídeo para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
NBR 6118
No Brasil, o uso do concreto armado é amplamente difundido na construção civil. Para isso, muitas normas
que garantam a qualidade do material e a segurança para o usuário devem ser seguidas.
A NBR 6118 - Projetos de estruturas de concreto, criada pela Associação Brasileira de Normas Técnicas
(ABNT), norteia o projeto de estruturas de concreto armado, apresentando diretrizes do que deve ser feito
nesse tipo de trabalho. Ela apresenta as exigências normativas relacionadas aos efeitos de 2ª ordem em
estruturas de concreto. Entenda!
1ª ordem
Quando a estrutura está em equilíbrio. Os esforços em uma estrutura são determinados a partir de seu
equilíbrio. Essa fase é considerada a configuração inicial da estrutura, a qual ainda não apresenta
deformação. Essa é a chamada análise de 1ª ordem.
2ª ordem
Quando a estrutura é submetida a ações horizontais, são impostos deslocamentos horizontais na estrutura,
os quais geram mais efeitos, sendo necessário analisar a estrutura quando ela não está mais em um estado
de equilíbrio, ou seja, há uma não linearidade, pois já há alterações físicas e geométricas, sendo esses seus
efeitos de 2ª ordem.
Segundo a NBR 6118:2014, a não linearidade presente nas estruturas de concreto armado deve ser
obrigatoriamente considerada. Basicamente, os efeitos de 2ª ordem são os que se somam aos obtidos em
uma análise de 1ª ordem, quando a estrutura passa a ser analisada a partir da sua deformação. Isso ocorre
principalmente quanto mais esguia for a estrutura ou o elemento, como os pilares, sendo maior a relevância
desse tipo de efeito; ou seja, é essencial considerar esse efeito no dimensionamento estrutural.
Dica
É imprescindível realizar um estudo para a estabilidade global das edificações, um tema comum entre
calculistas estruturais.
Segundo a NBR 6118:2014, quando identificado o comportamento não linear dos materiais como efeito de
2ª ordem, ele pode ser desprezado sempre que não representar um acréscimo superior a 10% nas reações e
nas solicitações sobre a estrutura.
A estabilidade global é uma condição que deve ser atendida pelas estruturas. Quando a estrutura atinge o
seu estado limite, significa que houve um acréscimo na intensidade do carregamento e, consequentemente,
das deformações. A análise estrutural dos efeitos de 2ª ordem busca garantir que a estrutura não entre em
desequilíbrio.
Como visto, a NBR 6118 define as normas para todos os projetos e elementos construídos com estruturas
de concreto armado, entre as quais destacam-se edifícios, aeroportos, pontes e viadutos. Veja um exemplo
na próxima imagem:
Viaduto.
Os elementos que mais se destacam na imagem apresentada são os pilares. Em relação a eles, a NBR
6118:2014 apresenta diretrizes que devem ser seguidas durante a realização de projeto de pilares de
concreto armado.
Classi�cação dos pilares
Os pilares de concreto armado são classificados quanto à posição que ocupam dentro da planta de forma e
quanto ao índice de esbeltez.
Os pilares de uma edificação, quanto à posição na planta de forma, podem ser classificados como:
Pilares centrais
Situados mais próximos da compressão centrada.
Pilares laterais
Caracterizam flexo-compressão reta.
Pilares de canto
Caracterizam flexo-compressão oblíqua.
Na imagem a seguir, veremos um exemplo desses pilares.
Pilares de uma edificação.
A compressão centrada ocorre quando a força normal solicita um pilar, sendo estes os pilares internos de
edifícios. Por outro lado, a flexo-compressão reta ocorre quando há apenas um momento fletor agindo no
plano principal de um pilar. Um pilar está sob a flexo-compressão oblíqua quando é solicitado pela ação
simultânea de uma força normal e um momento fletor agindo em um plano inclinado em relação aos planos
principais do pilar.
Quando classificados quanto ao índice de esbeltez, os pilares são definidos como:
Pilares curtos
Não há a necessidade de considerar os efeitos de segunda ordem.
Pilares semiesbeltos
Não são desprezados, mas são considerados de forma aproximada.
Pilares esbeltos
Os efeitos de segunda ordem são analisados levando em conta a não linearidade física e geométrica.
Para se alcançar os resultados do índice de esbeltez, deve-se identificar a altura efetiva do pilar para, a partir
dessa informação, utilizar as seguintes equações:
Rotacione a tela. 
Índice de esbeltez em x
Rotacione a tela. 
Índice de esbeltez em y
Onde:
Altura efetiva do pilar é a altura do pilar + a metade da espessura da laje inferior + a metade da espessura
da laje superior (em cm);
 é o menor lado do pilar (em cm);
 é o maior lado do pilar (em cm).
Exemplo
Em um pilar com altura efetiva de 3m e dimensão de 20cm x 25cm, o resultado da equação é o seguinte:
λe = 3, 46
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46
 Altura efetiva do pilar 
ly
lx
ly
lx
Para o índice de esbeltez , o resultado dos pilares curtos deve ser abaixo de 35; para os pilares
semiesbeltos o resultado deve ser entre 35 e 90 e para os pilares esbeltos o resultado deve ser superior a
90. Esses índices são fundamentais no cálculo de pilares em estruturas mais complexas. Veja na próxima
imagem.
Pilares esbeltos.
Pilar equivalente
Ao tratar de estruturas mais complexas, sob a ação de cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura de
uma edificação se deslocam lateralmente, de modo que tais deslocamentos, quando exagerados, causam
importantes efeitos de 2ª ordem.
A intensidade do deslocamento acaba por classificar as estruturas quanto ao deslocamento lateral dos nós,
avaliando a sua sensibilidade sob os efeitos de 2ª ordem. Dessa forma, o deslocamento dos nós no
esquema estrutural é classificado como:
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
300
20 = 51, 9
ly
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
300
25 = 41, 5
(λe)
Nós �xos
Quando as estruturas apresentam os efeitos globais de 2ª ordem inferiores a 10% dos efeitos de 1ª
ordem.
Nós móveis
Quando as estruturas apresentam os efeitos globais de 2ª ordem superiores a 10% dos efeitos de 1ª
ordem.
Segundo a NBR 6118:2014, uma estrutura reticulada e simétrica pode ser considerada como sendo de nós
fixos apenas se o seu parâmetro for menor que o valor de , como apresentado a seguir:
Rotacione a tela. 
Sendo,
Se 
se 
Onde:
: representa o número de pavimentos acima da fundação.
: representa a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação.

α α1
α = Htot√
Nk
ECSIC
α ≤ 3
α1 = 0, 2 + 0, 1n
α ≥ 4
α1 = 0, 6
n
Htot 
: representa o somatório de todas as cargas verticais atuantes no edifício, de acordo com o nível
considerado para o cálculo de .
: representa o módulo de rigidez da estrutura do edifício equivalente a um pilar de seção constante,
estando ele engastado na base e livre no topo.
Essa expressão possui o único objetivo de fornecer ao calculistado projeto uma avaliação do quão sensível
é a estrutura aos efeitos de 2ª ordem. Caso seja avaliada, após a análise, a necessidade de se considerar
mais esforços a serem adicionados, devido a possíveis deslocamentos da estrutura, o calculista deverá
utilizar um índice de majoração ou acréscimos estimados para quantificar o aumento desses esforços de 2ª
ordem.
Para se determinar o módulo de rigidez equivalente, deve-se contar com o conjunto de pórticos e pilares-
parede que, por possuírem rigidez elevada, têm a capacidade de absorver a maior parte das ações
horizontais. Para se chegar ao valor representativo do módulo de rigidez equivalente, deve-se verificar o
deslocamento do topo da edificação quando este é submetido a um carregamento lateral uniformemente
distribuído, apresentado em um modelo gráfico. Esse modelo representa um pilar de seção constante, que
está engastado na base e livre no topo, possuindo a altura igual à da edificação que, sujeito à mesma ação,
apresenta um deslocamento idêntico. Determina-se assim a linha elástica de pilar, apresentada a seguir:
Linha elástica de pilar.
Desse modo, a seguinte equação da linha elástica apresenta o valor do módulo de rigidez do pilar.
Rotacione a tela. 
Onde:
q é a ação lateral uniformemente distribuída;
H é a altura total da edificação;
a é o deslocamento do edifício ao receber a ação lateral de valor igual a q.
Nk
Htot 
EcsIc
EI =
qH 4
8a
Mão na massa
Questão 1
Qual a principal função da NBR 6118:2014?
Parabéns! A alternativa C está correta.
A NBR 6118:2014 - projetos de estruturas de concreto norteia o projeto de estruturas de concreto
armado.
Questão 2
Dada a expressão:

A Nortear o projeto de estruturas de aço.
B Definir o planejamento em obras civis.
C Nortear o projeto de estruturas de concreto armado.
D Definir a compatibilização das estruturas.
E Nortear o projeto de estruturas de madeira.
Sendo,
Uma estrutura reticulada e simétrica pode ser considerada com pouca incidência de efeitos de 2ª
ordem quando
Parabéns! A alternativa A está correta.
Estruturas de nós fixos são as estruturas que apresentam os efeitos globais de ordem com pouca
incidência, pois os valores resultantes são inferiores a 10% dos efeitos de ordem. Assim, segundo a
NBR 6118:2014, uma estrutura reticulada e simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos,
ou seja, com pouca incidência dos efeitos de ordem, apenas se o seu parâmetro for menor que o
valor de . Valores de , que são o número de pavimentos acima da fundação e , que é a altura
total da estrutura, medida a partir do topo da fundação, apenas intensificam os efeitos de ordem,
pois tornam a edificação esbelta.
Questão 3
Em uma estrutura de concreto armado, a compressão centrada ocorre em quais pilares?
α = Htot
√ Nk
ECSIC
α1 = 0, 2 + 0, 1n se α ≤ 3
α1 = 0, 6 se α ≥ 4
A for menor que o valor de .α α1
B os valores de e forem altos.Htot  Nk
C for maior que o valor de α α1
D for igual ao valor de α α1
E os valores de e forem altos.Htot  n
2a
1a
2a α
α1 n Htot
2a
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Cálculo de esforços em um Pilar
Questão 4
Dada a expressão, responda:
Qual fator representa as ações laterais sobre pilares?
A Em todos os pilares.
B Apenas nos pilares que suportam a cobertura.
C Nos pilares internos de edifícios.
D Nos pilares externos de edifícios.
E Apenas nos pilares associados à fundação.
EI =
qH 4
8a
Parabéns! A alternativa D está correta.
O fator trata das ações laterais uniformemente distribuídas sobre pilares.
Questão 5
Como é classificado, quanto ao índice de esbeltez, um pilar com altura de 2,50m; igual a 0,50m; 
igual a 0,50m e lajes inferior e superior com 0,20m de espessura?
A H
B a
C EI
D q
E qH 4
q
lx ly
A Pilar curto
B Pilar semiesbelto
C Pilar esbelto
D Pilar curto e semiesbelto
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Como o resultado para os dois lados do pilar foi igual a 18,68, conclui-se que o pilar é classificado
como curto, pois, para o índice de esbeltez ( , o resultado para os pilares curtos deve ser abaixo de
35.
Questão 6
Como é classificado, quanto ao índice de esbeltez, um pilar com altura de 3,00m ; igual a 0,40m; 
igual a 0,40m e lajes inferior e superior com 0,20m de espessura?
E Pilar semiesbelto e esbelto
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
250 + 10 + 10
50
= 18, 68
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
250 + 10 + 10
50
= 18, 68
λe)
lx ly
A Pilar curto
B Pilar semiesbelto
C Pilar esbelto
D Pilar curto e semiesbelto
Parabéns! A alternativa A está correta.
Como o resultado para os dois lados do pilar foi igual a 27,68, conclui-se que o pilar é classificado
como curto, pois, para o índice de esbeltez ( e), o resultado para os pilares curtos deve ser abaixo de
35.
Teoria na prática
Planeja-se o reforço estrutural de um galpão. A primeira ação é estudar os pilares retangulares existentes e
classificá-los. Sendo este um galpão com a altura do pilar equivalente a 5m, laje inferior e superior com
0,20m de espessura e com os pilares com o lado menor com 0,25m e o lado maior com 0,50m, classifique
os pilares quanto ao índice de esbeltez.
E Pilar semiesbelto e esbelto
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
300 + 10 + 10
40
= 27, 68
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
300 + 10 + 10
40
= 27, 68
λ
_black
Galpão.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Quais os resultados do índice de esbeltez para um pilar com altura de 3,20m; (l_x) igual a 0,20m; (l_y)
igual a 0,25m e lajes inferior e superior com 0,22m de espessura?
Mostrar solução
A para para λe lx = 59, 16/λe ly = 47, 33
B para para λe lx = 55, 36/λe ly = 44, 28
C para para λe lx = 51, 90/λe ly = 41, 52
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Questão 2
Quais os resultados do índice de esbeltez para o mesmo pilar apresentado anteriormente, caso a sua
altura fosse alterada de 3,20m para 7,00m? Nesse caso, as outras dimensões continuam as mesmas.
(l_x) igual a 0,20m
(l_y) igual a 0,25m
lajes inferior e superior com 0,22m de espessura
D para para λe lx = 59, 16/λe ly = 59, 16
E para para λe lx = 124, 90/λe ly = 99, 92
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
320 + 11 + 11
20
= 59, 16
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
320 + 11 + 11
25
= 47, 33
A para e para λe lx = 59, 16/λ ly = 47, 33
B para e para λe lx = 55, 36/λ ly = 44, 28
Parabéns! A alternativa E está correta.
Temos que:
C para e para λe lx = 51, 90/λ ly = 41, 52
D para e para λe lx = 59, 16/λ ly = 59, 16
E para para λe (lx) = 124, 90/λe (ly) = 99, 92
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
700 + 11 + 11
20
= 124, 90
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
700 + 11 + 11
25
= 99, 92
2 - Pilares centrais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a função dos pilares centrais.
Vamos começar!
Reconhecendo a função dos pilares centrais!
Assista ao vídeo para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Pilares
Segundo a NBR 6118:2014, os pilares são elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical,
em que as forças normais de compressão são preponderantes. A função principal dos pilares é receber as
ações atuantes em diversos níveis da estrutura e conduzi-las até as fundações. O dimensionamento é feito
em função dos esforços externos solicitantes de cálculo, sendo estas as forças normais , os
momentos fletores e e as forças cortantes e 
Além de transmitir as solicitações impostas à edificação até as fundações, os
pilares também possuem grande importância na contribuição para a estabilidade
global da estrutura e na resistência às solicitações geradas pelas ações horizontais
incidentes na estrutura.

(Nd)
(Mdx Mdy)(Vdx Vdy)
Em alguns casos, como podemos ver na imagem, no Palácio da Alvorada, em Brasília, os pilares somam as
suas funções básicas à necessidade por impor à edificação um design moderno e arrojado. Sendo um
elemento presente em construções em concreto armado, sua forma acaba por se destacar e valorizar a
arquitetura como um todo.
Palácio da Alvorada.
Dimensionar pilares é mais difícil do que dimensionar, por exemplo, lajes e vigas. A dificuldade está em
dimensionar o esforço crítico atuante no pilar e em que seção este esforço atua. Geralmente, os pilares
estão submetidos à flexão composta oblíqua, o que significa que nas duas direções há momentos fletores,
além de esforço normal de compressão.
A força normal atuante em pilares pode estar deslocada em certa distância do seu centro geométrico,
sendo esta distância chamada de excentricidade. Nesse caso, a excentricidade relativa é a relação direta
entre a excentricidade do pilar e a dimensão dele na direção analisada, seja sua base (b) ou sua altura (h).
Pilares centrais
Como visto, quanto à posição na planta de forma, os pilares são classificados em pilares centrais, pilares
laterais e pilares de canto.
Os pilares centrais consideram a compressão centrada na situação de projeto, pois como as lajes e vigas
são contínuas sobre o pilar, admite-se que os momentos fletores transmitidos ao pilar são pequenos e
desprezíveis. Assim, os momentos fletores e de ordeḿ nas extremidades do pilar não existem.
Observe a imagem a seguir. A partir da perspectiva externa da edificação com 5 pavimentos, não é possível
ver os pilares centrais devido a sua característica relativa à posição na planta de forma.
MA MB 1
a
Edifício.
Apenas por meio de dois cortes na edificação, um corte longitudinal e um corte transversal, torna-se
possível ver o pilar central, além de sua continuidade até a fundação da edificação, como na imagem a
seguir.
Edifício em corte.
Ao observarmos a planta baixa apresentada a seguir, estando o referido pilar central em destaque na cor
preta, observa-se que ele está localizado no centro da edificação, conectado às paredes do interior dos
ambientes.
Planta baixa do Edifício.
Quanto à sua característica estrutural, observa-se na imagem a seguir que, pelos momentos fletores
transmitidos ao pilar serem pequenos e desprezíveis, não há momentos fletores e .MA MB
Característica estrutural do pilar central.
Mesmo assim, sendo pequenos e desprezíveis os momentos fletores transmitidos ao pilar, o estudo do
dimensionamento dos pilares não é simples, pois além de estarem sujeitos à flexão composta e à
flambagem, nas estruturas de concreto armado há o problema da fissuração, que influencia diretamente no
estado de deformação e é de difícil avaliação.
O concreto, durante toda a sua vida útil, iniciando em seu processo da fabricação até seus últimos
momentos, apresenta diversas manifestações patológicas que podem trazer diversos malefícios aos
usuários. A manifestação patológica mais comum acaba por ser a fissuração.
O termo “fissuras” é utilizado quando se refere às próprias fissuras, assim como às trincas e rachaduras. As
fissuras podem ser classificadas como:
Fissuras
São caracterizadas por aberturas menores que 0,5mm na face do concreto.
Fissuras.
Trincas
São caracterizadas por aberturas maiores que 0,5mm e menores que 1mm que, em sua maioria, dividem o
objeto em duas partes, percorrendo toda a sua extensão.
Trincas.
Rachaduras
São caracterizadas por aberturas maiores e preocupantes, pois sua dimensão permite a passagem de
elementos como a água e luz através de frestas.
Rachaduras.
Nessa situação, o cálculo da armadura do pilar pode ser realizado pelo método simplificado com o auxílio
de ábacos, o que permite determinar a armadura necessária sem o uso de programa de computador.
Deve ser respeitada a NBR 6118 quanto às armaduras mínimas e máximas dos pilares. Veja:
Armaduras mínimas
A norma procura evitar a ruptura das seções transversais considerando para tal um momento mínimo que é
dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto.
Armaduras máximas
A norma procura assegurar condições de ductilidade e respeitar os critérios de funcionamento conjunto
entre o aço e o concreto.
Cálculo dos pilares centrais
No pilar central, os momentos fletores de ordem são nulos em ambas as direções do pilar, onde
 e, portanto, a excentricidade também é nula. Nesse caso, pode-se alcançar os resultados
dos esforços solicitantes sob o pilar, o índice de esbeltez, o momento fletor mínimo e a esbeltez limite.
Para isso, devem ser realizadas as seguintes etapas.
Primeira etapa
Calcula-se os esforços solicitantes, por meio da equação a seguir:
Rotacione a tela. 
Onde:
 é o coeficiente de majoração da força normal;
1a
MA = MB = 0
Nd = γn ⋅ γf ⋅ Nk
γn
 é o coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU);
 é a força normal característica do pilar.
Tanto como são retirados da NBR 6118, sendo, respectivamente, as imagens apresentadas a seguir.
Imagem da tabela de coeficiente de majoração da força normal.
Imagem da tabela de coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU).
O resultado da tabela de coeficiente de ponderação das ações, no estado limite último (ELU), estando
sempre condicionado pela relação entre combinações de ações e os tipos de ações.
Segundo a tabela de coeficiente de majoração da força normal, b é a menor dimensão do pilar.
Segunda etapa
É realizado o cálculo do índice de esbeltez, já apresentado neste conteúdo.
De acordo com esse cálculo, para se alcançar os resultados do índice de esbeltez, deve-se identificar a
altura efetiva do pilar para, a partir dessa informação, utilizar a seguinte equação:
γf
Nk
γn γf
lx
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
Onde:
Altura efetiva do pilar é a Altura do pilar + a metade da espessura da laje inferior + a metade da espessura
da laje superior (em cm);
 é o menor lado do pilar (em cm);
 é o maior lado do pilar (em cm).
Terceira etapa
Deve ser alcançado o momento fletor mínimo a partir da equação a seguir.
Rotacione a tela. 
Onde:
h é dimensão do pilar, em cm, na direção considerada.
Quarta etapa
É calculada a esbeltez limite, por meio da equação a seguir:
Rotacione a tela. 
Onde:
ly
λe = 3, 46.
 Altura efetiva do pilar 
ly
lx
ly
M1d,min = Nd(1, 5 + 0, 03h)
λ1 =
25 + 12, 5 ⋅
e1
h
αb
, com 35 ≤ λ1 ≤ 90
 para pilar intermediário;
 - não é considerado o efeito local de ordem na direção considerada;
 - é considerado o efeito local de ordem na direção considerada.
Caso haja a avaliação do momento de 2ª ordem, isso pode ser feito por meio do método do pilar-padrão
com curvatura aproximada e do método do pilar-padrão com rigidez k aproximada.
No método do pilar-padrão com curvatura aproximada deve ser utilizada a seguinte equação:
Rotacione a tela. 
Mão na massa
Questão 1
Qual é a principal função dos pilares?
e1 = 0
λ ≤ λ1 2
a
λ > λ1 2
a
Md,tot = αb ⋅ M1d,A + Nd
l2e
10
1
r
{  e M1d,A ≥ M1d, mín 
M1d,A
M1d, min 

A Conectar no eixo horizontal as vigas da edificação.
B
Receber as ações atuantes em diversos níveis da estrutura e conduzi-las até as
fundações.
C Fazer a sustentação das alvenarias.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
A função dos pilares
Questão 2
Quanto aos pilares centrais, admite-se que os momentos fletores transmitidos ao pilar são
D Conectar no eixo vertical as vigas da edificação.
E Apoiar as lajes da edificação.
A grandes e significativos.
B grandes e importantes.
C pequenos e desprezíveis.
D pequenos e relevantes.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Quanto aos pilares centrais, admite-se que os momentos fletores transmitidos ao pilar são pequenos e
desprezíveis.
Questão 3
Calcule os esforços solicitantes sob um pilar central biapoiado na base e no topo, cuja dimensão é
 e , como apresentado aseguir.
E comuns e irrelevantes.
25cm × 50cm Nk = 500kN
A 500kN
B 700kN
C 750kN
D 800kN
E 980kN
Parabéns! A alternativa B está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, na qual, sendo o menor lado do
pilar maior que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU), na qual a
combinação de ações é normal.
Para
Questão 4
Calcule os esforços solicitantes sob um pilar central biapoiado na base e no topo, cuja dimensão é
 e , como apresentado a seguir.
Nd = γn.γf.Nk
γn
19cm
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 500
Nd = 700kN
20cm × 35cm Nk = 700kN
A 500kN
B 700kN
C 750kN
Parabéns! A alternativa E está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, na qual, sendo o menor lado do
pilar maior que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU), na qual a
combinação de ações é normal.
Para
Questão 5
Quanto ao índice de esbeltez, considerando o pilar cuja dimensão é 25cm x 50cm, qual é o resultado, já
que o pilar possui 3,20m de altura e as lajes inferior e superior possuem 22cm de espessura?
D 800kN
E 980kN
Nd = γn.γf.Nk
γn
19cm
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 700
Nd = 980kN
A para para λe lx = 47, 33/λe ly = 23, 66
B para para λe lx = 48, 44/λe ly = 24, 22
C para para λe lx = 51, 20/λe ly = 25, 60
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Questão 6
Quanto ao índice de esbeltez, considerando o pilar cuja dimensão é 20cm x 35cm, qual é o resultado, já
que o pilar possui 3,50m de altura e as lajes inferior e superior possuem 20cm de espessura?
D para para λe lx = 53, 97/λe ly = 26, 98
E para para λe lx = 64, 01/λe ly = 36, 57
λe = 3, 46.
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
320 + 11 + 11
25
= 47, 33
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
320 + 11 + 11
50
= 23, 66
A para para λe lx = 47, 33/λe ly = 23, 66
B para para λe lx = 48, 44/λe ly = 24, 22
C para para λe lx = 51, 20/λe ly = 25, 60
D para para λe lx = 53, 97/λe ly = 26, 98
Parabéns! A alternativa E está correta.
Temos que:
Teoria na prática
Considerando:
Onde:
 para pilar intermediário;
 não é considerado o efeito local de ordem na direção considerada;
 É considerado o efeito local de ordem na direção considerada;
Calcule a esbeltez limite para um pilar central, no qual o valor de 
E para para λe lx = 64, 01/λe ly = 36, 57
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
350 + 10 + 10
20
= 64, 01
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
350 + 10 + 10
35
= 36, 57
_black
λ1 =
25+12,5⋅
e1
h
αb
, com 35 ≤ λ1 ≤ 90
e1 = 0
λ ≤ λ1− 2
a
λ > λ1− 2
a
αb = 1, 0.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Para um pilar central biapoiado na base e no topo, cuja dimensão é e ,
calcule o momento fletor mínimo.
Mostrar solução
25cm × 50cm Nk = 400kN
A X – 2,10cm / Y – 2,55cm
B X – 2,25cm / Y – 3,00cm
C X – 3,00cm / Y – 4,10cm
D X – 3,20cm / Y – 4,90cm
Parabéns! A alternativa B está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, na qual, sendo o menor lado do
pilar maior que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU), na qual a
combinação de ações é normal.
Para
, com dimensão do pilar, em cm, na direção considerada.
Questão 2
Para um pilar central biapoiado na base e no topo, cuja dimensão é e .
Calcule o momento fletor mínimo.
E X – 3,60cm / Y – 5,20cm
Nd = γn.γf.Nk
γn
19cm
γf
Nd = 1, 0.1, 4.400
Nd = 560kN
M1d,min = Nd(1, 5 + 0, 03h) h =
X − 560(1, 5 + 0, 03.25) = 1.260kN/cm; e1x,min =
1260
560
= 2, 25cm
Y − 560(1, 5 + 0, 03.50) = 1.680kN/cm; e1x,min =
1680
560
= 3, 00cm
20cm × 35cm Nk = 550kN
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, na qual, sendo o menor lado do
pilar maior que , o resultado obtido é 
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU), na qual a
combinação de ações é normal.
Para
 com h = dimensão do pilar, em cm, na direção considerada.
A X - 2,10cm / Y - 2,55cm
B X - 2,25cm / Y - 3,00cm
C X - 3,00cm / Y - 4,10cm
D X - 3,20cm / Y - 4,90cm
E X - 3,60cm / Y - 5,20cm
Nd = γn.γf.Nk
γn
19cm 1, 0.
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 550
Nd = 770kN
M1d,min = Nd(1, 5 + 0, 03h),
X − 770(1, 5 + 0, 03 ⋅ 20) = 1.617kN/cm; e1x,min =
1617
770 = 2, 10cm
Y − 770(1, 5 + 0, 03 ⋅ 35) = 1.964kN/cm; e1x,min =
1964
770 = 2, 55cm
3 - Pilares laterais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar as ações sobre os pilares laterais.
Vamos começar!
Área de in�uência, pré-dimensionamento e cálculo dos
pilares laterais
Assista ao vídeo para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.

Área de in�uência
Ao elaborarmos a planta de forma de uma edificação, devemos definir as dimensões dos pilares antes de
chegarmos aos resultados dos esforços solicitantes atuantes na estrutura. Um método comum para
determinar as dimensões do pilar é a estimativa da carga vertical no pilar, por meio da sua área de
influência; nesse caso, busca-se estimar a dimensão da carga que incide na laje dentro da área de influência
do pilar. Para isso, é necessário utilizar um valor representativo da carga total por metro quadrado de laje, o
qual está diretamente relacionado a todos os carregamentos, sendo eles permanentes ou móveis.
Dica
Pode ser estimado para edificações com pequenas dimensões e com uma utilização que não gere uma
carga elevada em seus espaços, sejam elas habitacionais ou comerciais, uma carga equivalente a 10kN/m².
Deve ser enfatizado que essa estimativa deve ser realizada apenas para um dimensionamento inicial, como
um ponto de partida.
Após o ponto de partida, deve ser realizado o dimensionamento final, utilizando a área de influência. Para
isso, é necessário seguir os seguintes passos:
Primeiro passo
Dimensionar a espessura da laje. Essa espessura da laje é definida pela NBR 6118:2014, de
acordo com o vão da laje e a sua utilização, até determinado limite. A partir dele, é necessário
calcular a espessura tendo como parâmetros o tipo de aço utilizado e as características dos
apoios dessa laje para o seu lado de menor dimensão, como para o seu lado de maior
dimensão.
Segundo passo
2
A seguir, observe a imagem de um hospital, que segundo a NBR 6120:2019 possui carga uniformemente
distribuída diferente para setores diferentes. Isso também ocorre para diferentes edificações e por essa
razão é importante considerar essa observação antes da conclusão do cálculo.
Definir as cargas em kN/m2, como na estimativa apresentada anteriormente, mas com
valores calculados conforme as características da edificação. O primeiro valor é retirado do
peso próprio da laje, pois, com a obtenção da espessura da laje, essa dimensão deve ser
multiplicada pelo peso específico do concreto armado, sendo este 25kN/m3.
Terceiro passo
Calcular a carga proveniente do contrapiso, que usualmente é preparado sob a laje com uma
espessura de 3cm. Sendo assim, a dimensão da espessura do contrapiso deve ser
multiplicada por 21kN/m³, que é o seu peso específico. Quanto à composição do concreto
armado, há variação da sua carga em kN/m² devido à escolha do Fck e do CA, o que interfere
diretamente no valor alcançado de q Sck. Quanto ao peso de revestimento, aconselha-se
utilizar, também como critério de majoração, um material com uma carga elevada, e o granito,
com a carga equivalente a 0,56kN/m², encaixa-se bem nesse critério.
Quarto passo
Somar os valores e acrescentar a eles os valores característicos nominais das cargas
variáveis, segundo a NBR 6120:2019, relativo ao espaço edificado.
Hospital.
Por fim, toda essa carga que incide sobre a laje deve ser decompostapara indicar o “caminho” que ela faz
até chegar aos pilares. Para isso, a área de influência sobre a laje deve ser definida para indicar quanto da
carga vai para as vigas mais próximas, e, após essa etapa, a carga é distribuída para o pilar que deverá ser
calculado.
Pré-dimensionamento de pilares
Os pilares laterais estão nas extremidades das edificações, mas não estão posicionados no canto, como
apresentado a seguir.
Pilar lateral.
Para um pré-dimensionamento simplificado da seção transversal de pilares laterais, pode ser utilizada a
seguinte equação:
Rotacione a tela. 
Onde:
 é a Área da seção transversal do pilar em ;
 é a força normal de cálculo em kN;
 é a Resistência característica do concreto em .
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac cm
2
Nd
Ac kN/cm
2
Esse pré-dimensionamento pode ser utilizado apenas em edificações de pequeno porte e quando utilizado
aço CA-50.
Assim, tendo como exemplo um pilar lateral que possui o concreto fck , sob o qual há uma carga
 equivalente a , o procedimento é o seguinte:
Rotacione a tela. 
Para o pré-dimensionamento:
Rotacione a tela. 
Cálculo dos pilares laterais
Para o cálculo dos pilares laterais, agora não mais admitindo um pré-dimensionamento, outros fatores
devem ser levantados e considerados. Nesse sentido, será utilizado como ponto de partida o pré-
dimensionamento feito anteriormente.
Novamente, sob o pilar, há uma carga equivalente a , sendo o coeficiente de majoração da carga
 igual a 1,4.
A altura efetiva do pilar é igual a 3,00m.
Portanto, os seguintes passos devem ser seguidos:

= 30MPa
Nk 400kN
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 400 = 560kN
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 560
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 443cm2
Nk 400kN
(γf)
Primeiro passo
É realizado o cálculo dos esforços solicitantes.

Segundo passo
É realizado o pré-dimensionamento.
Ou seja, trata-se de um pilar com a dimensão 21cm x 21cm, como visto a seguir:
Pilar lateral de 21 x 21cm.
A partir do índice de esbeltez, é definido se o pilar é curto, semiesbelto ou esbelto.
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 400 = 560kN

Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 560
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 443cm2
Rotacione a tela. 
Trata-se, portanto, de um pilar semiesbelto, já que está entre 35 e 90.
Depois de se obter o índice de esbeltez, calcula-se o momento fletor mínimo, respeitando os seguintes
dados:
Aço = CA 50;
Fck = 30.
Segundo a NBR 6118:2004, o , ou seja, 
, com h em cm, no qual o momento fletor mínimo em cada direção é
apresentado a seguir:
Com esse resultado, é possível calcular o índice de resistência por meio da força normal adimensional.
Rotacione a tela 
λe = 3, 46 ⋅
300
21
= 49, 4
λe = 3, 46 ⋅
300
21
= 49, 4
Fcd =
Fck
γc
Fcd =
30
1,4 = 21, 42MPaNd = 560kN
Mid,min = Nd(1, 5 + 0, 03h)
Dir. x
M1d,min = 5120(1, 5 + 0, 03.21) = 1 ⋅ 192, 8kN . cm; e1x,min =
1⋅192,8
560 = 2, 13cm
Dir. y
M1d,min = 560(1, 5 + 0, 03.21) = 1 ⋅ 192, 8kN ⋅ cm; e1x,min =
1.192,8
560 = 2, 13cm
V =
Nd
Ac ⋅ fcd
Rotacione a tela. 
Onde:
;
;
.
Rotacione a tela. 
Deste, passa-se para a curvatura na direção x que está sujeita a momentos fletores de 2ª ordem.
Rotacione a tela. 
Com excentricidade máxima de 2ª ordem igual a:
Rotacione a tela. 
Para se calcular o momento fletor de 2ª ordem, deve ser aplicado o método do pilar-padrão com curvatura
aproximada.
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela 
Nd = 560kN
Ac = 21 × 21 = 441cm
2
Fcd = 21, 42MPa
V =
Nd
Ac ⋅ fcd
=
560
441.21, 42
= 0, 05
1
r
=
0, 005
h(v + 0, 50)
1
r
=
0, 005
21(0, 05 + 0, 50)
= 4, 330 × 10−4
e2x =
l2e
10
1
r
=
3002
10
4, 330 × 10−4 = 3, 89cm
Md,tot = αb ⋅ M1d,A + Nd
l2e
10
1
r
{ ,  e M1d,A ≥ M1d, mín 
M1d,A
M1d,mi ́n
Md, tot  = 1, 0 ⋅ 1.192, 8 + 560
3002
10
4, 330 × 10−4 = 3.374, 6 ≥ M1d,min = 1.192, 8kN/cm
Rotacione a tela. 
Dir. x.
Como o valor é maior que o encontrado no momento fletor mínimo, este valor deve ser o utilizado.
Rotacione a tela. 
Concluindo o cálculo do índice de resistência, chega-se finalmente ao resultado de .
Rotacione a tela. 
Md,tot = 3.374, 61kN/cm
μ
μ =
Md,tot
hx ⋅ Ac ⋅ fcd
μ =
Md,tot
hx⋅ ⋅ Ac ⋅ fcd
=
3.374, 6
21 ⋅ 441 ⋅ 21, 42
= 0, 017
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Elabore o pré-dimensionamento de um pilar lateral com as seguintes características:
Υf = 1, 4
Nk = 500kN
Fck = 30
A 277cm²
B 440cm²
Parabéns! A alternativa C está correta.
Temos que:
Para o pré-dimensionamento:
Questão 2
Elabore o pré-dimensionamento de um pilar lateral que possui as seguintes características:
C 553cm²
D 620cm²
E 700cm²
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 500 = 700kN
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 700
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 553cm2
Υf = 1, 4
Nk = 250kN
Fck = 30
A 277cm²
B 440cm²
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Para o pré-dimensionamento:
C 553cm²
D 620cm²
E 700cm²
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 250 = 350kN
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 350
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 277cm2
4 - Pilares de canto
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os pilares de canto.
Vamos começar!
Pilares de canto
Assista ao vídeo para conhecer os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Situações de projeto
Conforme visto, o cálculo dos pilares pode ser realizado diretamente a partir dos resultados obtidos da
força normal e do momento fletor total que incide sob o pilar, sem que haja um aprofundamento sobre as
excentricidades de . No cálculo relativo aos pilares laterais, observou-se o cálculo do momento fletor
mínimo, expresso pela seguinte equação:
Rotacione a tela. 
Também foi apresentado o cálculo do momento fletor total, como apresentado a seguir:

Nd
Mid,min = Nd(1, 5 + 0, 03h)
Rotacione a tela. 
Tanto o cálculo do momento fletor mínimo como o cálculo do momento fletor total tornam o projeto do pilar
baseado nos momentos fletores, e não nas excentricidades.
Deve-se observar que os cálculos realizados com base nos momentos fletores ou na excentricidade chegam
ao mesmo resultado, mas, quando as excentricidades são consideradas, devem ser as seguintes:
Excentricidade de 1ª ordem
Excentricidade mínima
, com h em cm
Excentricidade de 2ª ordem
Excentricidade de 1ª ordem na seção intermediária C
Quanto ao pilar de canto, a solicitação de projeto é a flexão composta oblíqua, na qual há excentricidade de
1ª ordem nas duas direções do pilar. Caso haja excentricidades de 2ª ordem, estas devem, segundo a
direção em que existir, serem acrescidas às excentricidades de 1ª ordem. A imagem a seguir apresenta um
pilar de canto.
Md, tot  = αb ⋅ M1d,A + Nd
l2e
10
1
r
{  e M1d,A ≥ M1d, min 
M1d,A
M1d, min 
e1,A =
M1d,A
Nd
e1,B =
M1d,B
Nd
e1,min = 1, 5 + 0, 03h
e2 =
0,0005l2e
(v+0,5)h
e1,c ≥ {
0, 6e1,A + 0, 4e1,B
0, 4e1,A
Pilar de canto.
A excentricidade possui relação direta com a estabilidade do pilar, pois os esforços em uma estrutura são
determinados a partir de seu equilíbrio. Nessa análise, é considerada a configuração inicial do pilar,
momento em que ele ainda não apresenta deformação. Essa é a chamada de análise de 1ª ordem, mas
quando são identificados mais efeitos, torna-se necessário analisar o pilar em desequilíbrio, ou seja, quando
há uma não linearidade, pois já há alterações físicas e geométricas, sendo esses seus efeitos de 2ª ordem.
Pilar de canto
O pilar de canto possui uma importante função de contraventamento por estar em um local estratégico
quanto à estrutura, sendo fundamental para a estabilidade global da edificação.
O módulo de rigidez equivalente também pode ser estimado considerando um modelo bidimensional, com
critérios definidos para uma melhor análise dos resultados. O método consiste na associação, utilizando o
mesmo procedimento para a determinação dos esforços solicitantes na edificação quando submetido a
ações horizontais.
Sobre a avaliação da estabilidade global das estruturas, segundo a NBR 6118:2014,
existem diferentes metodologias para se realizara análise estrutural; mas,
referindo-se ao concreto armado, deve-se estudar a relação entre a tensão e a
deformação, realizando o estudo sobre o seu comportamento linear e não linear.
Essa avaliação estrutural possui a função de determinar o comportamento da edificação quando submetida
a ações externas, ou seja, busca-se obter as informações quanto a tensões, deformações e deslocamentos.
Deve-se observar que, a cada etapa da avaliação, é estudado o comportamento da estrutura de forma a se
verificar, com a maior eficiência possível, se os limites quanto à segurança da estrutura são atendidos.
Grande parte das construções apresentam um comportamento linear elástico sob o efeito de
carregamentos. As edificações com muitos pavimentos são exceções, pois apresentam um comportamento
não linear e, antes de alcançarem o seu estado limite, apresentam uma resposta não linear significante.
Devido à complexidade da estrutura e aos esforços solicitantes ocasionados pela configuração complexa,
essas estruturas possuem um comportamento não linear na relação entre a tensão e a deformação, pois a
deformação não é proporcional à tensão que é aplicada. Por isso, torna-se essencial considerar esta não
linearidade no cálculo estrutural, como realizado no decorrer desse estudo.
Realizar esta analise não linear torna a construção, quanto aos seus aspectos estruturais, mais eficiente e
próxima das intenções de projeto. Ou seja, a avaliação da estabilidade global das estruturas, que estuda o
comportamento estrutural total perante o limite último de instabilidade, considera a não linearidade física e
geométrica do material da estrutura, pois a perda de estabilidade está diretamente ligada às deformações
sofridas. Entenda a diferença entre elas a seguir:
Não linearidade física
Ocorre quando o comportamento do material não é elástico linear. Ela pode ocorrer também nas
relações momento-rotação de conexões semirrígidas ou flexíveis, ou também por meio de flambagem,
plastificação ou fissuração na estrutura.
Não linearidade geométrica
Ocorre quando há valores altos de deslocamentos, que podem trazer como consequência o surgimento
de efeitos de 2ª ordem, devido à presença do esforço normal.
Cálculo dos pilares de canto
Para o cálculo dos pilares de canto, alguns fatores devem ser levantados e considerados. Para tal, será
utilizado como ponto de partida o pré-dimensionamento para pilares de canto.
Nesse caso, há sob o pilar uma carga equivalente a , sendo o coeficiente de majoração da carga
 igual a 1,4.

Nk 300kN
(γf)
A altura efetiva do pilar é igual a 3,00m.
Portanto, os seguintes passos devem ser seguidos:

Primeiro passo
É realizado o cálculo dos esforços solicitantes.

Segundo passo
É realizado o pré-dimensionamento.
Ou seja, trata-se de um pilar com a dimensão 19cm x 19cm:
Pilar lateral de 19cm x 19cm.
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 300 = 420kN

Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5.420
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 332cm2
A partir do índice de esbeltez, define-se se o pilar é curto, semiesbelto ou esbelto.
Rotacione a tela. 
É um pilar semiesbelto, já que ele está entre 35 e 90. A partir do resultado do índice de esbeltez, é calculado
o momento fletor mínimo, respeitando os seguintes dados:
Aço = CA 50;
Fck = 30.
Segundo a NBR 6118:2004, o Fcd , ou seja, 
, com h em cm, no qual o momento fletor mínimo em cada direção é
apresentado a seguir:
Com esse resultado, é possível calcular o índice de resistência por meio da força normal adimensional.
Rotacione a tela 
λe = 3, 46 ⋅
300
19
= 54, 6
λe = 3, 46 ⋅
300
19
= 54, 6
=
Fck
γc
Fcd =
30
1,4 = 21, 42MPaNd = 420kN
Mid,min = Nd(1, 5 + 0, 03h)
Dir. x
M1d,min = 420(1, 5 + 0, 03.19) = 869, 4kN/cm; e1x,min =
869,4
420 = 2, 07cm
Dir. y
M1d,min = 420(1, 5 + 0, 03.19) = 869, 4kN/cm; e1x,min =
869,4
420 = 2, 07cm
V =
Nd
Ac ⋅ fcd
Rotacione a tela. 
Onde:
Fcd 
Rotacione a tela. 
Deste, passa-se para a curvatura na direção x que está sujeita a momentos fletores de 2ª ordem.
Rotacione a tela. 
Com excentricidade máxima de 2ª ordem igual a:
Rotacione a tela. 
Para se calcular o momento fletor de 2ª ordem, deve ser aplicado o método do pilar-padrão com curvatura
aproximada.
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela 
Nd = 420kN
AC = 19 × 19 = 361cm
2
= 21, 42MPa
V =
Nd
Ac ⋅ fcd
=
420
361 ⋅ 21, 42
= 0, 05
1
r
=
0, 005
h(v + 0, 50)
1
r
=
0, 005
19(0, 05 + 0, 50)
= 4, 780 × 10−4
e2x =
l2e
10
1
r
=
3002
10
4, 780 × 10−4 = 4, 30cm
Md, tot  = αb ⋅ M1d,A + Nd
l2e
10
1
r
{ , e M1d,A ≥ M1d,mi ́n
M1d,A
M1d,min
Md,tot = 1, 0.869, 4 + 420
3002
10
4, 780 × 10−4 = 2.678 ≥ M1d,min = 869, 4kN/cm
Rotacione a tela. 
Dir. x.
Como o valor é maior que o encontrado no momento fletor mínimo, esse valor deve ser o utilizado.
Rotacione a tela. 
Concluindo o cálculo do índice de resistência, chega-se finalmente ao resultado de .
Rotacione a tela. 
Mão na massa
Questão 1
Qual é a importante função do pilar de canto?
Md,tot = 2.678kN/cm
μ
μ =
Md,tot
hx ⋅ Ac ⋅ fcd
μ =
Md,tot
hx ⋅ Ac ⋅ fcd
=
2.678
19 ⋅ 361.21, 42
= 0, 018

A Atuar como contraventamento.
B Suportar laje.
C Suportar as vigas.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
A importância do pilar de canto
Questão 2
Calcule os esforços solicitantes sob um pilar de canto, cuja dimensão é e 
D Conectar as fundações.
E Conectar as vigas.
20cm × 30cm Nk = 200kN
A 280kN
B 300kN
C 450kN
D 500kN
E 680kN
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, sendo o menor lado do pilar maior
que , o resultado obtido é 
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU), na qual a
combinação de ações é normal.
Para
Questão 3
Calcule os esforços solicitantes sob um pilar central biapoiado na base e no topo, cuja dimensão é
 e .
Nd = γn ⋅ γf ⋅ Nk
γn
19cm 1, 0.
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 200
Nd = 280kN
50cm × 50cm Nk = 400kN
A 500kN
B 560kN
C 700kN
D 810kN
E 880kN
Parabéns! A alternativa B está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, sendo o menor lado do pilar maior
que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU), na qual a
combinação de ações é normal.
Para
Questão 4
Calcule os esforços solicitantes sob um Pilar central biapoiado na base e no topo, cuja dimensão é
 e .
Nd = γn ⋅ γf ⋅ Nk
γn
19cm
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 400
Nd = 560kN
30cm × 45cm Nk = 900kN
A 530kN
B 740kN
C 790kN
D 1.000kN
E 1.260kN
Parabéns! A alternativa E está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, sendo o menor lado do pilar maior
que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU), na qual a
combinação de ações é normal.
Para
Questão 5
Elabore o pré-dimensionamento de um pilar de canto com as seguintes características:
Nd = γn ⋅ γf ⋅ Nk
γn
19cm
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 900
Nd = 1.260kN
Υf = 1, 4
Nk = 400kN
Fck = 30
A 278cm²
B 443cm²
C 563cm²
D 680cm²
Parabéns! A alternativa B está correta.
Temos que:
Para o pré-dimensionamento:
Questão 6
Elabore o pré-dimensionamento de um pilar de canto com as seguintes características:
E 720cm²
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 400 = 560kN
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 560
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 443cm2
Υf = 1, 4
Nk = 250kN
Fck = 30
A 277cm²
B 448cm²
C 567cm²
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Para o pré-dimensionamento:
Teoria na prática
Calcule o momento fletor mínimo de um pilar de canto de , cujo é igual a .
D 691cm²
E 733cm²
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 250 = 350kN
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 350
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 277cm2
_black
30cm × 50cm Nd 1200kN
Mostrar solução
Falta pouco para atingirseus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Para um pilar de canto, cuja dimensão é e . Calcule o momento fletor
mínimo.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, sendo o menor lado do pilar maior
que , o resultado obtido é 
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU), na qual a
combinação de ações é normal.
30cm × 50cm Nk = 300kN
A X - 2,10cm / Y - 2,55cm
B X - 2,40cm / Y - 3,00cm
C X - 2,70cm / Y - 3,30cm
D X - 3,20cm / Y - 4,90cm
E X - 3,60cm / Y - 5,20cm
Nd = γn ⋅ γf ⋅ Nk
γn
19cm 1, 0.
γf
Para
, com h dimensão do pilar, em cm, na direção considerada.
Questão 2
Para um pilar de canto, cuja dimensão é e . Calcule o momento fletor
mínimo.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Temos que:
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 300
Nd = 420kN
M1d,min = Nd(1, 5 + 0, 03h) =
X − 420(1, 5 + 0, 03 ⋅ 30) = 1.008kN/cm; e1x,min =
1008
420
= 2, 40cm
Y − 420(1, 5 + 0, 03 ⋅ 50) = 1.260kN/cm; e1x,min =
1260
420
= 3, 00cm
40cm × 60cm Nk = 450kN
A X - 2,10cm / Y - 2,55m
B X - 2,25cm / Y - 3,00m
C X - 2,70cm / Y - 3,30 cm
D X - 3,20cm / Y - 4,90cm
E X - 3,60cm / Y - 5,20cm
Nd = γn ⋅ γf⋅Nk
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, na qual pelo menor lado do pilar
ser maior que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU), na qual a
combinação de ações é normal.
Para
, com dimensão do pilar, em cm, na direção considerada.
Considerações �nais
Neste conteúdo, você aprendeu sobre os pilares em edifícios, observando a importância fundamental
desses elementos nas construções. Estudou também os tipos de pilares, sendo eles centrais, laterais e os
de canto.
Para entender com mais profundidade a importância prática ao projetar pilares de concreto, vimos as
indicações da NBR 6118 e as consequentes implicações destas nos cálculos de diferentes tipos de pilares.
Nas imagens fornecidas como exemplos, foi possível observar a aplicação prática dos pilares, bem como os
possíveis problemas de edificações dessas estruturas. Dessa forma, você pode ter atenção ao identificar
alguma falha visual a fim de resolvê-la de forma apropriada.
γn
19cm
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4.450
Nd = 630kN
M1d,min = Nd(1, 5 + 0, 03h) h =
X − 630(1, 5 + 0, 03 ⋅ 40) = 1.701kN/cm; e1x,min =
1701
630
= 2, 70cm
Y − 630(1, 5 + 0, 03 ⋅ 60) = 2.079kN/cm; e1x,min =
2079
630
= 3, 30cm
Podcast
Agora, o especialista encerra o tema falando sobre os principais tópicos abordados.
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Aprenda softwares BIM, como o REVIT, para elaborar os seus projetos, alcançando maior detalhe quanto aos
elementos projetados e compatibilizando a estrutura com a arquitetura e as instalações. Nos módulos, os
desenhos que apresentam os pilares no edifício, foram elaborados por esse software; você pode utilizá-lo
para praticar.
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto —
procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas de
edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 2019.
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