TEMA 1 - Projeto de Pilares de Concreto Armado

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Projeto de Pilares de Concreto Armado
Prof. Roberto Lucas Junior
Descrição A função dos pilares, sua utilização e seu projeto.
Propósito O projeto estrutural das edificações é uma etapa fundamental no
desenvolvimento de uma construção. Um dos elementos de suma
importância e em grande quantidade nesse projeto estrutural são os
pilares. Com isto, torna-se inevitável um estudo mais aprofundado sobre
o projeto de pilares de concreto armado.
Objetivos
Módulo 1
NBR 6118 – Projeto de
estruturas de concreto
Reconhecer a NBR 6118.
Módulo 2
Pilares centrais
Reconhecer a função dos pilares centrais.
Módulo 3
Pilares laterais
Analisar as ações sobre os pilares laterais.
Módulo 4
Pilares de canto
Reconhecer os pilares de canto.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda os conceitos
de projeto de pilares de concreto armado.

1 - NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a NBR 6118.
Vamos começar!
Como interpretar a norma ABNT NBR 6118.
Assista ao vídeo para conhecer os principais pontos que serão abordados neste
módulo.

NBR 6118
No Brasil, o uso do concreto armado é amplamente difundido na construção
civil. Para isso, muitas normas que garantam a qualidade do material e a
segurança para o usuário devem ser seguidas.
A NBR 6118 - Projetos de estruturas de concreto, criada pela Associação
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), norteia o projeto de estruturas de
concreto armado, apresentando diretrizes do que deve ser feito nesse tipo de
trabalho. Ela apresenta as exigências normativas relacionadas aos efeitos de 2ª
ordem em estruturas de concreto. Entenda!
1ª ordem
Quando a estrutura está em
equilíbrio. Os esforços em
uma estrutura são
determinados a partir de seu
equilíbrio. Essa fase é
considerada a configuração
inicial da estrutura, a qual
ainda não apresenta
deformação. Essa é a
chamada análise de 1ª
ordem.
2ª ordem
Quando a estrutura é
submetida a ações
horizontais, são impostos
deslocamentos horizontais na
estrutura, os quais geram
mais efeitos, sendo
necessário analisar a
estrutura quando ela não está
mais em um estado de
equilíbrio, ou seja, há uma não
linearidade, pois já há
alterações físicas e
geométricas, sendo esses
seus efeitos de 2ª ordem.
Segundo a NBR 6118:2014, a não linearidade presente nas estruturas de
concreto armado deve ser obrigatoriamente considerada. Basicamente, os
efeitos de 2ª ordem são os que se somam aos obtidos em uma análise de 1ª
ordem, quando a estrutura passa a ser analisada a partir da sua deformação.
Isso ocorre principalmente quanto mais esguia for a estrutura ou o elemento,
como os pilares, sendo maior a relevância desse tipo de efeito; ou seja, é
essencial considerar esse efeito no dimensionamento estrutural.
Dica
É imprescindível realizar um estudo para a estabilidade global das edificações,
um tema comum entre calculistas estruturais.
Segundo a NBR 6118:2014, quando identificado o comportamento não linear dos
materiais como efeito de 2ª ordem, ele pode ser desprezado sempre que não
representar um acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações sobre a
estrutura.
A estabilidade global é uma condição que deve ser atendida pelas estruturas.
Quando a estrutura atinge o seu estado limite, significa que houve um acréscimo
na intensidade do carregamento e, consequentemente, das deformações. A
análise estrutural dos efeitos de 2ª ordem busca garantir que a estrutura não
entre em desequilíbrio.
Como visto, a NBR 6118 define as normas para todos os projetos e elementos
construídos com estruturas de concreto armado, entre as quais destacam-se
edifícios, aeroportos, pontes e viadutos. Veja um exemplo na próxima imagem:
Viaduto.
Os elementos que mais se destacam na imagem apresentada são os pilares. Em
relação a eles, a NBR 6118:2014 apresenta diretrizes que devem ser seguidas
durante a realização de projeto de pilares de concreto armado.
Classi�cação dos pilares
Os pilares de concreto armado são classificados quanto à posição que ocupam
dentro da planta de forma e quanto ao índice de esbeltez.
Os pilares de uma edificação, quanto à posição na planta de forma, podem ser
classificados como:
Pilares
centrais
Situados mais
próximos da
compressão
centrada.
Pilares
laterais
Caracterizam
flexo-compressão
reta.
Pilares de
canto
Caracterizam
flexo-compressão
oblíqua.
Na imagem a seguir, veremos um exemplo desses pilares.
Pilares de uma edificação.
A compressão centrada ocorre quando a força normal solicita um pilar, sendo
estes os pilares internos de edifícios. Por outro lado, a flexo-compressão reta
ocorre quando há apenas um momento fletor agindo no plano principal de um
pilar. Um pilar está sob a flexo-compressão oblíqua quando é solicitado pela
ação simultânea de uma força normal e um momento fletor agindo em um plano
inclinado em relação aos planos principais do pilar.
Quando classificados quanto ao índice de esbeltez, os pilares são definidos
como:
Pilares
curtos
Não há a
necessidade de
considerar os
Pilares
semiesbeltos
Não são
desprezados, mas
são considerados
Pilares
esbeltos
Os efeitos de
segunda ordem
são analisados
efeitos de segunda
ordem.
de forma
aproximada.
levando em conta
a não linearidade
física e
geométrica.
Para se alcançar os resultados do índice de esbeltez, deve-se identificar a altura
efetiva do pilar para, a partir dessa informação, utilizar as seguintes equações:
Índice de esbeltez em x Índice de esbeltez em y
Onde:
Altura efetiva do pilar é a altura do pilar + a metade da espessura da
laje inferior + a metade da espessura da laje superior (em cm);
 é o menor lado do pilar (em cm);
 é o maior lado do pilar (em cm).
Exemplo
Em um pilar com altura efetiva de 3m e dimensão de 20cm x 25cm, o resultado
da equação é o seguinte:
Para o índice de esbeltez , o resultado dos pilares curtos deve ser abaixo
de 35; para os pilares semiesbeltos o resultado deve ser entre 35 e 90 e para os
pilares esbeltos o resultado deve ser superior a 90. Esses índices são
λe = 3, 46
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46
 Altura efetiva do pilar 
ly
lx
ly
lx
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
300
20 = 51, 9
ly
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
300
25 = 41, 5
(λe)
fundamentais no cálculo de pilares em estruturas mais complexas. Veja na
próxima imagem.
Pilares esbeltos.
Pilar equivalente
Ao tratar de estruturas mais complexas, sob a ação de cargas verticais e
horizontais, os nós da estrutura de uma edificação se deslocam lateralmente, de
modo que tais deslocamentos, quando exagerados, causam importantes efeitos
de 2ª ordem.
A intensidade do deslocamento acaba por classificar as estruturas quanto ao
deslocamento lateral dos nós, avaliando a sua sensibilidade sob os efeitos de 2ª
ordem. Dessa forma, o deslocamento dos nós no esquema estrutural é
classificado como:
Nós �xos
Quando as estruturas
apresentam os efeitos
globais de 2ª ordem
inferiores a 10% dos efeitos
de 1ª ordem.
Nós móveis
Quando as estruturas
apresentam os efeitos
globais de 2ª ordem
superiores a 10% dos
efeitos de 1ª ordem.

Segundo a NBR 6118:2014, uma estrutura reticulada e simétrica pode ser
considerada como sendo de nós fixos apenas se o seu parâmetro for menor
que o valor de , como apresentado a seguir:
Sendo,
Se se 
Onde:
: representa o número de pavimentos acima da fundação.
: representa a altura total da estrutura, medida a partir do topo da
fundação.
: representa o somatório de todas as cargas verticais atuantes no
edifício, de acordo com o nível considerado para o cálculo de .
: representa o módulo de rigidez da estrutura do edifício
equivalente a um pilar de seção constante, estando ele engastado na
base e livre no topo.
Essa expressão possui o único objetivo de fornecer ao calculista do projeto uma
avaliação do quão sensível é a estrutura aos efeitos de 2ª ordem. Caso sejaavaliada, após a análise, a necessidade de se considerar mais esforços a serem
adicionados, devido a possíveis deslocamentos da estrutura, o calculista deverá
utilizar um índice de majoração ou acréscimos estimados para quantificar o
aumento desses esforços de 2ª ordem.
Para se determinar o módulo de rigidez equivalente, deve-se contar com o
conjunto de pórticos e pilares-parede que, por possuírem rigidez elevada, têm a
capacidade de absorver a maior parte das ações horizontais. Para se chegar ao
valor representativo do módulo de rigidez equivalente, deve-se verificar o
deslocamento do topo da edificação quando este é submetido a um
carregamento lateral uniformemente distribuído, apresentado em um modelo
gráfico. Esse modelo representa um pilar de seção constante, que está
α
α1
α = Htot√
Nk
ECSIC
α ≤ 3
α1 = 0, 2 + 0, 1n
α ≥ 4
α1 = 0, 6
n
Htot 
Nk
Htot 
EcsIc
engastado na base e livre no topo, possuindo a altura igual à da edificação que,
sujeito à mesma ação, apresenta um deslocamento idêntico. Determina-se
assim a linha elástica de pilar, apresentada a seguir:
Linha elástica de pilar.
Desse modo, a seguinte equação da linha elástica apresenta o valor do módulo
de rigidez do pilar.
Onde:
q é a ação lateral uniformemente distribuída;
H é a altura total da edificação;
a é o deslocamento do edifício ao receber a ação lateral de valor igual a
q.
Mão na massa
EI =
qH 4
8a

Questão 1
Qual a principal função da NBR 6118:2014?
Parabéns! A alternativa C está correta.
A NBR 6118:2014 - projetos de estruturas de concreto norteia o projeto de
estruturas de concreto armado.
Questão 2
Dada a expressão:
Sendo,
Uma estrutura reticulada e simétrica pode ser considerada com pouca
incidência de efeitos de 2ª ordem quando
A Nortear o projeto de estruturas de aço.
B Definir o planejamento em obras civis.
C Nortear o projeto de estruturas de concreto armado.
D Definir a compatibilização das estruturas.
E Nortear o projeto de estruturas de madeira.
α = Htot
√ Nk
ECSIC
α1 = 0, 2 + 0, 1n se α ≤ 3
α1 = 0, 6 se α ≥ 4
Parabéns! A alternativa A está correta.
Estruturas de nós fixos são as estruturas que apresentam os efeitos globais
de ordem com pouca incidência, pois os valores resultantes são inferiores
a 10% dos efeitos de ordem. Assim, segundo a NBR 6118:2014, uma
estrutura reticulada e simétrica pode ser considerada como sendo de nós
fixos, ou seja, com pouca incidência dos efeitos de ordem, apenas se o seu
parâmetro for menor que o valor de . Valores de , que são o número de
pavimentos acima da fundação e , que é a altura total da estrutura,
medida a partir do topo da fundação, apenas intensificam os efeitos de 
ordem, pois tornam a edificação esbelta.
Questão 3
Em uma estrutura de concreto armado, a compressão centrada ocorre em
quais pilares?
A for menor que o valor de .α α1
B os valores de e forem altos.Htot  Nk
C for maior que o valor de α α1
D for igual ao valor de α α1
E os valores de e forem altos.Htot  n
2a
1a
2a
α α1 n
Htot
2a
A Em todos os pilares.
B Apenas nos pilares que suportam a cobertura.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Cálculo de esforços em um Pilar
Questão 4
Dada a expressão, responda:
Qual fator representa as ações laterais sobre pilares?
C Nos pilares internos de edifícios.
D Nos pilares externos de edifícios.
E Apenas nos pilares associados à fundação.
EI =
qH 4
8a
A H
B a
C EI
Parabéns! A alternativa D está correta.
O fator trata das ações laterais uniformemente distribuídas sobre pilares.
Questão 5
Como é classificado, quanto ao índice de esbeltez, um pilar com altura de
2,50m; igual a 0,50m; igual a 0,50m e lajes inferior e superior com 0,20m
de espessura?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
D q
E qH 4
q
lx ly
A Pilar curto
B Pilar semiesbelto
C Pilar esbelto
D Pilar curto e semiesbelto
E Pilar semiesbelto e esbelto
Como o resultado para os dois lados do pilar foi igual a 18,68, conclui-se que
o pilar é classificado como curto, pois, para o índice de esbeltez ( , o
resultado para os pilares curtos deve ser abaixo de 35.
Questão 6
Como é classificado, quanto ao índice de esbeltez, um pilar com altura de
3,00m ; igual a 0,40m; igual a 0,40m e lajes inferior e superior com 0,20m
de espessura?
Parabéns! A alternativa A está correta.
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
250 + 10 + 10
50
= 18, 68
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
250 + 10 + 10
50
= 18, 68
λe)
lx ly
A Pilar curto
B Pilar semiesbelto
C Pilar esbelto
D Pilar curto e semiesbelto
E Pilar semiesbelto e esbelto
Como o resultado para os dois lados do pilar foi igual a 27,68, conclui-se que
o pilar é classificado como curto, pois, para o índice de esbeltez ( e), o
resultado para os pilares curtos deve ser abaixo de 35.
Teoria na prática
Planeja-se o reforço estrutural de um galpão. A primeira ação é estudar os
pilares retangulares existentes e classificá-los. Sendo este um galpão com a
altura do pilar equivalente a 5m, laje inferior e superior com 0,20m de espessura
e com os pilares com o lado menor com 0,25m e o lado maior com 0,50m,
classifique os pilares quanto ao índice de esbeltez.
Galpão.
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
300 + 10 + 10
40
= 27, 68
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
300 + 10 + 10
40
= 27, 68
λ
_black
Mostrar solução
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Quais os resultados do índice de esbeltez para um pilar com altura de 3,20m;
(l_x) igual a 0,20m; (l_y) igual a 0,25m e lajes inferior e superior com 0,22m de
espessura?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
A para para λe lx = 59, 16/λe ly = 47, 33
B para para λe lx = 55, 36/λe ly = 44, 28
C para para λe lx = 51, 90/λe ly = 41, 52
D para para λe lx = 59, 16/λe ly = 59, 16
E para para λe lx = 124, 90/λe ly = 99, 92
Questão 2
Quais os resultados do índice de esbeltez para o mesmo pilar apresentado
anteriormente, caso a sua altura fosse alterada de 3,20m para 7,00m? Nesse
caso, as outras dimensões continuam as mesmas.
(l_x) igual a 0,20m
(l_y) igual a 0,25m
lajes inferior e superior com 0,22m de espessura
Parabéns! A alternativa E está correta.
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
320 + 11 + 11
20
= 59, 16
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
320 + 11 + 11
25
= 47, 33
A para e para λe lx = 59, 16/λ ly = 47, 33
B para e para λe lx = 55, 36/λ ly = 44, 28
C para e para λe lx = 51, 90/λ ly = 41, 52
D para e para λe lx = 59, 16/λ ly = 59, 16
E para para λe (lx) = 124, 90/λe (ly) = 99, 92
Temos que:
2 - Pilares centrais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a função dos pilares centrais.
Vamos começar!
Reconhecendo a função dos pilares
centrais!
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
700 + 11 + 11
20
= 124, 90
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
700 + 11 + 11
25
= 99, 92

Assista ao vídeo para conhecer os principais pontos que serão abordados neste
módulo.
Pilares
Segundo a NBR 6118:2014, os pilares são elementos lineares de eixo reto,
usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são
preponderantes. A função principal dos pilares é receber as ações atuantes em
diversos níveis da estrutura e conduzi-las até as fundações. O dimensionamento
é feito em função dos esforços externos solicitantes de cálculo, sendo estas as
forças normais , os momentos fletores e e as forças
cortantes e 
Além de transmitir as solicitações impostas à edificação até
as fundações, os pilares também possuem grande
importância na contribuição para a estabilidade global da
estrutura e na resistência às solicitações geradas pelas ações
horizontais incidentes na estrutura.
Em alguns casos, como podemosver na imagem, no Palácio da Alvorada, em
Brasília, os pilares somam as suas funções básicas à necessidade por impor à
edificação um design moderno e arrojado. Sendo um elemento presente em
construções em concreto armado, sua forma acaba por se destacar e valorizar a
arquitetura como um todo.
(Nd) (Mdx Mdy)
(Vdx Vdy)
Palácio da Alvorada.
Dimensionar pilares é mais difícil do que dimensionar, por exemplo, lajes e vigas.
A dificuldade está em dimensionar o esforço crítico atuante no pilar e em que
seção este esforço atua. Geralmente, os pilares estão submetidos à flexão
composta oblíqua, o que significa que nas duas direções há momentos fletores,
além de esforço normal de compressão.
A força normal atuante em pilares pode estar deslocada em certa distância do
seu centro geométrico, sendo esta distância chamada de excentricidade. Nesse
caso, a excentricidade relativa é a relação direta entre a excentricidade do pilar e
a dimensão dele na direção analisada, seja sua base (b) ou sua altura (h).
Pilares centrais
Como visto, quanto à posição na planta de forma, os pilares são classificados
em pilares centrais, pilares laterais e pilares de canto.
Os pilares centrais consideram a compressão centrada na situação de projeto,
pois como as lajes e vigas são contínuas sobre o pilar, admite-se que os
momentos fletores transmitidos ao pilar são pequenos e desprezíveis. Assim, os
momentos fletores e de ordeḿ nas extremidades do pilar não
existem.
Observe a imagem a seguir. A partir da perspectiva externa da edificação com 5
pavimentos, não é possível ver os pilares centrais devido a sua característica
relativa à posição na planta de forma.
MA MB 1a
Edifício.
Apenas por meio de dois cortes na edificação, um corte longitudinal e um corte
transversal, torna-se possível ver o pilar central, além de sua continuidade até a
fundação da edificação, como na imagem a seguir.
Edifício em corte.
Ao observarmos a planta baixa apresentada a seguir, estando o referido pilar
central em destaque na cor preta, observa-se que ele está localizado no centro
da edificação, conectado às paredes do interior dos ambientes.
Planta baixa do Edifício.
Quanto à sua característica estrutural, observa-se na imagem a seguir que, pelos
momentos fletores transmitidos ao pilar serem pequenos e desprezíveis, não há
momentos fletores e .
Característica estrutural do pilar central.
Mesmo assim, sendo pequenos e desprezíveis os momentos fletores
transmitidos ao pilar, o estudo do dimensionamento dos pilares não é simples,
pois além de estarem sujeitos à flexão composta e à flambagem, nas estruturas
de concreto armado há o problema da fissuração, que influencia diretamente no
estado de deformação e é de difícil avaliação.
O concreto, durante toda a sua vida útil, iniciando em seu processo da fabricação
até seus últimos momentos, apresenta diversas manifestações patológicas que
podem trazer diversos malefícios aos usuários. A manifestação patológica mais
comum acaba por ser a fissuração.
O termo “fissuras” é utilizado quando se refere às próprias fissuras, assim como
às trincas e rachaduras. As fissuras podem ser classificadas como:
Fissuras
São caracterizadas por aberturas menores que 0,5mm na face do
concreto.
MA MB
Fissuras.
Trincas
São caracterizadas por aberturas maiores que 0,5mm e menores que
1mm que, em sua maioria, dividem o objeto em duas partes, percorrendo
toda a sua extensão.
Trincas.
Rachaduras
São caracterizadas por aberturas maiores e preocupantes, pois sua
dimensão permite a passagem de elementos como a água e luz através
de frestas.
Rachaduras.
Nessa situação, o cálculo da armadura do pilar pode ser realizado pelo método
simplificado com o auxílio de ábacos, o que permite determinar a armadura
necessária sem o uso de programa de computador.
Deve ser respeitada a NBR 6118 quanto às armaduras mínimas e máximas dos
pilares. Veja:
Armaduras
mínimas
A norma procura evitar a
ruptura das seções
transversais considerando
para tal um momento mínimo
que é dado pelo valor
correspondente ao que
produziria a ruptura da seção
de concreto.
Armaduras
máximas
A norma procura assegurar
condições de ductilidade e
respeitar os critérios de
funcionamento conjunto entre
o aço e o concreto.
Cálculo dos pilares centrais
No pilar central, os momentos fletores de ordem são nulos em ambas as
direções do pilar, onde e, portanto, a excentricidade também é
nula. Nesse caso, pode-se alcançar os resultados dos esforços solicitantes sob
o pilar, o índice de esbeltez, o momento fletor mínimo e a esbeltez limite.
Para isso, devem ser realizadas as seguintes etapas.
Primeira etapa
Calcula-se os esforços solicitantes, por meio da equação a seguir:
1a
MA = MB = 0
Nd = γn ⋅ γf ⋅ Nk
Onde:
 é o coeficiente de majoração da força normal;
 é o coeficiente de ponderação das ações no estado limite último
(ELU);
 é a força normal característica do pilar.
Tanto como são retirados da NBR 6118, sendo, respectivamente, as
imagens apresentadas a seguir.
Imagem da tabela de coeficiente de majoração da força normal.
Imagem da tabela de coeficiente de ponderação das ações no estado limite último (ELU).
O resultado da tabela de coeficiente de ponderação das ações, no estado limite
último (ELU), estando sempre condicionado pela relação entre combinações de
ações e os tipos de ações.
Segundo a tabela de coeficiente de majoração da força normal, b é a menor
dimensão do pilar.
Segunda etapa
É realizado o cálculo do índice de esbeltez, já apresentado neste conteúdo.
De acordo com esse cálculo, para se alcançar os resultados do índice de
esbeltez, deve-se identificar a altura efetiva do pilar para, a partir dessa
γn
γf
Nk
γn γf
informação, utilizar a seguinte equação:
Onde:
Altura efetiva do pilar é a Altura do pilar + a metade da espessura da
laje inferior + a metade da espessura da laje superior (em cm);
 é o menor lado do pilar (em cm);
 é o maior lado do pilar (em cm).
Terceira etapa
Deve ser alcançado o momento fletor mínimo a partir da equação a seguir.
Onde:
h é dimensão do pilar, em cm, na direção considerada.
Quarta etapa
É calculada a esbeltez limite, por meio da equação a seguir:
Onde:
 para pilar intermediário;
lx
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
ly
λe = 3, 46.
 Altura efetiva do pilar 
ly
lx
ly
M1d,min = Nd(1, 5 + 0, 03h)
λ1 =
25 + 12, 5 ⋅
e1
h
αb
, com 35 ≤ λ1 ≤ 90
e1 = 0
 - não é considerado o efeito local de ordem na direção
considerada;
 - é considerado o efeito local de ordem na direção
considerada.
Caso haja a avaliação do momento de 2ª ordem, isso pode ser feito por meio do
método do pilar-padrão com curvatura aproximada e do método do pilar-padrão
com rigidez k aproximada.
No método do pilar-padrão com curvatura aproximada deve ser utilizada a
seguinte equação:
Mão na massa
Questão 1
Qual é a principal função dos pilares?
λ ≤ λ1 2
a
λ > λ1 2
a
Md,tot = αb ⋅ M1d,A + Nd
l2e
10
1
r
{  e M1d,A ≥ M1d, mín 
M1d,A
M1d, min 

A Conectar no eixo horizontal as vigas da edificação.
B
Receber as ações atuantes em diversos níveis da estrutura e
conduzi-las até as fundações.
C Fazer a sustentação das alvenarias.
D Conectar no eixo vertical as vigas da edificação.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
A função dos pilares
Questão 2
Quanto aos pilares centrais, admite-se que os momentos fletores
transmitidos ao pilar são
Parabéns! A alternativa C está correta.
E Apoiar as lajes da edificação.
A grandes e significativos.
B grandes e importantes.
C pequenos e desprezíveis.
D pequenos e relevantes.
E comuns e irrelevantes.
Quanto aos pilares centrais, admite-se que os momentos fletores
transmitidos ao pilar são pequenos e desprezíveis.
Questão 3
Calcule os esforços solicitantes sob um pilar central biapoiado na base e no
topo, cuja dimensão é e , como apresentado a
seguir.
Parabéns! A alternativa B estácorreta.
25cm × 50cm Nk = 500kN
A 500kN
B 700kN
C 750kN
D 800kN
E 980kN
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, na qual,
sendo o menor lado do pilar maior que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite
último (ELU), na qual a combinação de ações é normal.
Para
Questão 4
Calcule os esforços solicitantes sob um pilar central biapoiado na base e no
topo, cuja dimensão é e , como apresentado a
seguir.
Nd = γn.γf.Nk
γn
19cm
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 500
Nd = 700kN
20cm × 35cm Nk = 700kN
A 500kN
B 700kN
Parabéns! A alternativa E está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, na qual,
sendo o menor lado do pilar maior que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite
último (ELU), na qual a combinação de ações é normal.
Para
Questão 5
Quanto ao índice de esbeltez, considerando o pilar cuja dimensão é 25cm x
50cm, qual é o resultado, já que o pilar possui 3,20m de altura e as lajes
inferior e superior possuem 22cm de espessura?
C 750kN
D 800kN
E 980kN
Nd = γn.γf.Nk
γn
19cm
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 700
Nd = 980kN
A para para λe lx = 47, 33/λe ly = 23, 66
B para para λe lx = 48, 44/λe ly = 24, 22
C para para λe lx = 51, 20/λe ly = 25, 60
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Questão 6
Quanto ao índice de esbeltez, considerando o pilar cuja dimensão é 20cm x
35cm, qual é o resultado, já que o pilar possui 3,50m de altura e as lajes
inferior e superior possuem 20cm de espessura?
D para para λe lx = 53, 97/λe ly = 26, 98
E para para λe lx = 64, 01/λe ly = 36, 57
λe = 3, 46.
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
320 + 11 + 11
25
= 47, 33
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
320 + 11 + 11
50
= 23, 66
A para para λe lx = 47, 33/λe ly = 23, 66
B para para λe lx = 48, 44/λe ly = 24, 22
C para para λe lx = 51, 20/λe ly = 25, 60
D para para λe lx = 53, 97/λe ly = 26, 98
Parabéns! A alternativa E está correta.
Temos que:
Teoria na prática
Considerando:
Onde:
 para pilar intermediário;
 não é considerado o efeito local de ordem na direção
considerada;
 É considerado o efeito local de ordem na direção
considerada;
Calcule a esbeltez limite para um pilar central, no qual o valor de 
E para para λe lx = 64, 01/λe ly = 36, 57
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
lx
λe = 3, 46 ⋅
350 + 10 + 10
20
= 64, 01
λe = 3, 46 ⋅
 Altura efetiva do pilar 
ly
λe = 3, 46 ⋅
350 + 10 + 10
35
= 36, 57
_black
λ1 =
25+12,5⋅
e1
h
αb
, com 35 ≤ λ1 ≤ 90
e1 = 0
λ ≤ λ1− 2
a
λ > λ1− 2
a
αb = 1, 0.
Mostrar solução
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Para um pilar central biapoiado na base e no topo, cuja dimensão é
 e , calcule o momento fletor mínimo.25cm × 50cm Nk = 400kN
A X – 2,10cm / Y – 2,55cm
B X – 2,25cm / Y – 3,00cm
C X – 3,00cm / Y – 4,10cm
D X – 3,20cm / Y – 4,90cm
E X – 3,60cm / Y – 5,20cm
Parabéns! A alternativa B está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, na qual,
sendo o menor lado do pilar maior que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite
último (ELU), na qual a combinação de ações é normal.
Para
, com dimensão do pilar, em cm, na
direção considerada.
Questão 2
Para um pilar central biapoiado na base e no topo, cuja dimensão é
 e . Calcule o momento fletor mínimo.
Nd = γn.γf.Nk
γn
19cm
γf
Nd = 1, 0.1, 4.400
Nd = 560kN
M1d,min = Nd(1, 5 + 0, 03h) h =
X − 560(1, 5 + 0, 03.25) = 1.260kN/cm; e1x,min =
1260
560
= 2, 25cm
Y − 560(1, 5 + 0, 03.50) = 1.680kN/cm; e1x,min =
1680
560
= 3, 00cm
20cm × 35cm Nk = 550kN
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, na qual,
sendo o menor lado do pilar maior que , o resultado obtido é 
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite
último (ELU), na qual a combinação de ações é normal.
Para
A X - 2,10cm / Y - 2,55cm
B X - 2,25cm / Y - 3,00cm
C X - 3,00cm / Y - 4,10cm
D X - 3,20cm / Y - 4,90cm
E X - 3,60cm / Y - 5,20cm
Nd = γn.γf.Nk
γn
19cm 1, 0.
γf
 com h = dimensão do pilar, em cm, na direção
considerada.
3 - Pilares laterais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar as ações sobre os pilares laterais.
Vamos começar!
Área de in�uência, pré-dimensionamento
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 550
Nd = 770kN
M1d,min = Nd(1, 5 + 0, 03h),
X − 770(1, 5 + 0, 03 ⋅ 20) = 1.617kN/cm; e1x,min =
1617
770 = 2, 10cm
Y − 770(1, 5 + 0, 03 ⋅ 35) = 1.964kN/cm; e1x,min =
1964
770 = 2, 55cm

e cálculo dos pilares laterais
Assista ao vídeo para conhecer os principais pontos que serão abordados neste
módulo.
Área de in�uência
Ao elaborarmos a planta de forma de uma edificação, devemos definir as
dimensões dos pilares antes de chegarmos aos resultados dos esforços
solicitantes atuantes na estrutura. Um método comum para determinar as
dimensões do pilar é a estimativa da carga vertical no pilar, por meio da sua área
de influência; nesse caso, busca-se estimar a dimensão da carga que incide na
laje dentro da área de influência do pilar. Para isso, é necessário utilizar um valor
representativo da carga total por metro quadrado de laje, o qual está diretamente
relacionado a todos os carregamentos, sendo eles permanentes ou móveis.
Dica
Pode ser estimado para edificações com pequenas dimensões e com uma
utilização que não gere uma carga elevada em seus espaços, sejam elas
habitacionais ou comerciais, uma carga equivalente a 10kN/m². Deve ser
enfatizado que essa estimativa deve ser realizada apenas para um
dimensionamento inicial, como um ponto de partida.
Após o ponto de partida, deve ser realizado o dimensionamento final, utilizando a
área de influência. Para isso, é necessário seguir os seguintes passos:
 Primeiro passo
Dimensionar a espessura da laje. Essa espessura da laje é
definida pela NBR 6118:2014, de acordo com o vão da laje e
tili ã té d t i d li it A ti d l é
a sua utilização, até determinado limite. A partir dele, é
necessário calcular a espessura tendo como parâmetros o
tipo de aço utilizado e as características dos apoios dessa
laje para o seu lado de menor dimensão, como para o seu
lado de maior dimensão.
 Segundo passo
Definir as cargas em kN/m2, como na estimativa
apresentada anteriormente, mas com valores calculados
conforme as características da edificação. O primeiro valor
é retirado do peso próprio da laje, pois, com a obtenção da
espessura da laje, essa dimensão deve ser multiplicada pelo
peso específico do concreto armado, sendo este 25kN/m3.
 Terceiro passo
Calcular a carga proveniente do contrapiso, que usualmente
é preparado sob a laje com uma espessura de 3cm. Sendo
assim, a dimensão da espessura do contrapiso deve ser
multiplicada por 21kN/m³, que é o seu peso específico.
Quanto à composição do concreto armado, há variação da
sua carga em kN/m² devido à escolha do Fck e do CA, o que
interfere diretamente no valor alcançado de q Sck. Quanto
ao peso de revestimento, aconselha-se utilizar, também
como critério de majoração, um material com uma carga
elevada, e o granito, com a carga equivalente a 0,56kN/m²,
encaixa-se bem nesse critério.
 Quarto passo
Somar os valores e acrescentar a eles os valores
característicos nominais das cargas variáveis, segundo a
NBR 6120 2019 l ti difi d
A seguir, observe a imagem de um hospital, que segundo a NBR 6120:2019
possui carga uniformemente distribuída diferente para setores diferentes. Isso
também ocorre para diferentes edificações e por essa razão é importante
considerar essa observação antes da conclusão do cálculo.
Hospital.
Por fim, toda essa carga que incide sobre a laje deve ser decomposta para
indicaro “caminho” que ela faz até chegar aos pilares. Para isso, a área de
influência sobre a laje deve ser definida para indicar quanto da carga vai para as
vigas mais próximas, e, após essa etapa, a carga é distribuída para o pilar que
deverá ser calculado.
Pré-dimensionamento de pilares
Os pilares laterais estão nas extremidades das edificações, mas não estão
posicionados no canto, como apresentado a seguir.
NBR 6120:2019, relativo ao espaço edificado.
Pilar lateral.
Para um pré-dimensionamento simplificado da seção transversal de pilares
laterais, pode ser utilizada a seguinte equação:
Onde:
 é a Área da seção transversal do pilar em ;
 é a força normal de cálculo em kN;
 é a Resistência característica do concreto em .
Esse pré-dimensionamento pode ser utilizado apenas em edificações de
pequeno porte e quando utilizado aço CA-50.
Assim, tendo como exemplo um pilar lateral que possui o concreto fck
, sob o qual há uma carga equivalente a , o procedimento
é o seguinte:
Para o pré-dimensionamento:
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac cm
2
Nd
Ac kN/cm2
= 30MPa Nk 400kN
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 400 = 560kN
Cálculo dos pilares laterais
Para o cálculo dos pilares laterais, agora não mais admitindo um pré-
dimensionamento, outros fatores devem ser levantados e considerados. Nesse
sentido, será utilizado como ponto de partida o pré-dimensionamento feito
anteriormente.
Novamente, sob o pilar, há uma carga equivalente a , sendo o
coeficiente de majoração da carga igual a 1,4.
A altura efetiva do pilar é igual a 3,00m.
Portanto, os seguintes passos devem ser seguidos:

Primeiro passo
É realizado o cálculo dos
esforços solicitantes.

Segundo passo
É realizado o pré-dimensionamento.
Ou seja, trata-se de um pilar com a dimensão 21cm x 21cm, como visto a seguir:
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 560
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 443cm2
Nk 400kN
(γf)
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 400 = 560kN

Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 560
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 443cm2
Pilar lateral de 21 x 21cm.
A partir do índice de esbeltez, é definido se o pilar é curto, semiesbelto ou
esbelto.
Trata-se, portanto, de um pilar semiesbelto, já que está entre 35 e 90.
Depois de se obter o índice de esbeltez, calcula-se o momento fletor mínimo,
respeitando os seguintes dados:
Aço = CA 50;
Fck = 30.
Segundo a NBR 6118:2004, o , ou seja,
 
, com h em cm, no qual o momento fletor
mínimo em cada direção é apresentado a seguir:
λe = 3, 46 ⋅
300
21
= 49, 4
λe = 3, 46 ⋅
300
21
= 49, 4
Fcd =
Fck
γc
Fcd =
30
1,4 = 21, 42MPaNd = 560kN
Mid,min = Nd(1, 5 + 0, 03h)
Com esse resultado, é possível calcular o índice de resistência por meio da força
normal adimensional.
Onde:
;
;
.
Deste, passa-se para a curvatura na direção x que está sujeita a momentos
fletores de 2ª ordem.
 Dir. x
M1d,min = 5120(1, 5 + 0, 03.21) = 1 ⋅ 192, 8kN . cm; e
 Dir. y
M1d,min = 560(1, 5 + 0, 03.21) = 1 ⋅ 192, 8kN ⋅ cm; e1
V =
Nd
Ac ⋅ fcd
Nd = 560kN
Ac = 21 × 21 = 441cm
2
Fcd = 21, 42MPa
V =
Nd
Ac ⋅ fcd
=
560
441.21, 42
= 0, 05
Com excentricidade máxima de 2ª ordem igual a:
Para se calcular o momento fletor de 2ª ordem, deve ser aplicado o método do
pilar-padrão com curvatura aproximada.
Dir. x.
Como o valor é maior que o encontrado no momento fletor mínimo, este valor
deve ser o utilizado.
Concluindo o cálculo do índice de resistência, chega-se finalmente ao resultado
de .
1
r
=
0, 005
h(v + 0, 50)
1
r
=
0, 005
21(0, 05 + 0, 50)
= 4, 330 × 10−4
e2x =
l2e
10
1
r
=
3002
10
4, 330 × 10−4 = 3, 89cm
Md,tot = αb ⋅ M1d,A + Nd
l2e
10
1
r
{ ,  e M1d,A ≥ M1d, mín 
M1d,A
M1d,mi ́n
Md, tot  = 1, 0 ⋅ 1.192, 8 + 560
3002
10
4, 330 × 10−4 = 3.374, 6 ≥ M1d,min = 1.192, 8kN/cm
Md,tot = 3.374, 61kN/cm
μ
μ =
Md,tot
hx ⋅ Ac ⋅ fcd
μ =
Md,tot
hx⋅ ⋅ Ac ⋅ fcd
=
3.374, 6
21 ⋅ 441 ⋅ 21, 42
= 0, 017
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Elabore o pré-dimensionamento de um pilar lateral com as seguintes
características:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Temos que:
Para o pré-dimensionamento:
Υf = 1, 4
Nk = 500kN
Fck = 30
A 277cm²
B 440cm²
C 553cm²
D 620cm²
E 700cm²
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 500 = 700kN
Questão 2
Elabore o pré-dimensionamento de um pilar lateral que possui as seguintes
características:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Para o pré-dimensionamento:
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 700
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 553cm2
Υf = 1, 4
Nk = 250kN
Fck = 30
A 277cm²
B 440cm²
C 553cm²
D 620cm²
E 700cm²
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 250 = 350kN
4 - Pilares de canto
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os pilares de canto.
Vamos começar!
Pilares de canto
Assista ao vídeo para conhecer os principais pontos que serão abordados neste
módulo.
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 350
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 277cm2

Situações de projeto
Conforme visto, o cálculo dos pilares pode ser realizado diretamente a partir dos
resultados obtidos da força normal e do momento fletor total que incide sob o
pilar, sem que haja um aprofundamento sobre as excentricidades de . No
cálculo relativo aos pilares laterais, observou-se o cálculo do momento fletor
mínimo, expresso pela seguinte equação:
Também foi apresentado o cálculo do momento fletor total, como apresentado a
seguir:
Tanto o cálculo do momento fletor mínimo como o cálculo do momento fletor
total tornam o projeto do pilar baseado nos momentos fletores, e não nas
excentricidades.
Deve-se observar que os cálculos realizados com base nos momentos fletores
ou na excentricidade chegam ao mesmo resultado, mas, quando as
excentricidades são consideradas, devem ser as seguintes:
Excentricidade de
1ª ordem
Excentricidade
mínima
, com
h em cm
Nd
Mid,min = Nd(1, 5 + 0, 03h)
Md, tot  = αb ⋅ M1d,A + Nd
l2e
10
1
r
{  e M1d,A ≥ M1d, min 
M1d,A
M1d, min 
e1,A =
M1d,A
Nd
e1,min = 1, 5 + 0, 03h
Excentricidade de
2ª ordem
Excentricidade de
1ª ordem na seção
intermediária C
Quanto ao pilar de canto, a solicitação de projeto é a flexão composta oblíqua, na
qual há excentricidade de 1ª ordem nas duas direções do pilar. Caso haja
excentricidades de 2ª ordem, estas devem, segundo a direção em que existir,
serem acrescidas às excentricidades de 1ª ordem. A imagem a seguir apresenta
um pilar de canto.
Pilar de canto.
A excentricidade possui relação direta com a estabilidade do pilar, pois os
esforços em uma estrutura são determinados a partir de seu equilíbrio. Nessa
análise, é considerada a configuração inicial do pilar, momento em que ele ainda
não apresenta deformação. Essa é a chamada de análise de 1ª ordem, mas
quando são identificados mais efeitos, torna-se necessário analisar o pilar em
desequilíbrio, ou seja, quando há uma não linearidade, pois já há alterações
físicas e geométricas, sendo esses seus efeitos de 2ª ordem.
Pilar de canto
e1,B =
M1d,B
Nd
e2 =
0,0005l2e
(v+0,5)h
e1,c ≥ {
0, 6e1,A + 0, 4e1,B
0, 4e1,A
O pilar de canto possui uma importante função de contraventamento por estar
em um local estratégico quanto à estrutura, sendo fundamental para a
estabilidade global da edificação.
O módulo de rigidez equivalente também pode ser estimado considerando um
modelo bidimensional, com critérios definidos para uma melhor análise dos
resultados. O método consiste na associação, utilizando o mesmo procedimento
para a determinação dos esforços solicitantes na edificação quando submetido
a ações horizontais.
Sobre a avaliação da estabilidade global das estruturas,
segundo a NBR 6118:2014, existem diferentes metodologias
para se realizar a análise estrutural; mas, referindo-se ao
concreto armado, deve-se estudar a relação entre a tensão e
a deformação, realizando o estudo sobre o seu
comportamento linear e não linear.
Essa avaliação estrutural possui a função de determinar o comportamento da
edificação quando submetida a ações externas, ou seja, busca-se obteras
informações quanto a tensões, deformações e deslocamentos. Deve-se observar
que, a cada etapa da avaliação, é estudado o comportamento da estrutura de
forma a se verificar, com a maior eficiência possível, se os limites quanto à
segurança da estrutura são atendidos.
Grande parte das construções apresentam um comportamento linear elástico
sob o efeito de carregamentos. As edificações com muitos pavimentos são
exceções, pois apresentam um comportamento não linear e, antes de
alcançarem o seu estado limite, apresentam uma resposta não linear
significante. Devido à complexidade da estrutura e aos esforços solicitantes
ocasionados pela configuração complexa, essas estruturas possuem um
comportamento não linear na relação entre a tensão e a deformação, pois a
deformação não é proporcional à tensão que é aplicada. Por isso, torna-se
essencial considerar esta não linearidade no cálculo estrutural, como realizado
no decorrer desse estudo.
Realizar esta analise não linear torna a construção, quanto aos seus aspectos
estruturais, mais eficiente e próxima das intenções de projeto. Ou seja, a
avaliação da estabilidade global das estruturas, que estuda o comportamento
estrutural total perante o limite último de instabilidade, considera a não
linearidade física e geométrica do material da estrutura, pois a perda de
estabilidade está diretamente ligada às deformações sofridas. Entenda a
diferença entre elas a seguir:
Não linearidade física
Ocorre quando o
comportamento do material
não é elástico linear. Ela
pode ocorrer também nas
relações momento-rotação
de conexões semirrígidas
ou flexíveis, ou também por
meio de flambagem,
plastificação ou fissuração
na estrutura.
Não linearidade geométrica
Ocorre quando há valores
altos de deslocamentos,
que podem trazer como
consequência o surgimento
de efeitos de 2ª ordem,
devido à presença do
esforço normal.
Cálculo dos pilares de canto
Para o cálculo dos pilares de canto, alguns fatores devem ser levantados e
considerados. Para tal, será utilizado como ponto de partida o pré-
dimensionamento para pilares de canto.
Nesse caso, há sob o pilar uma carga equivalente a , sendo o
coeficiente de majoração da carga igual a 1,4.
A altura efetiva do pilar é igual a 3,00m.
Portanto, os seguintes passos devem ser seguidos:

Primeiro passo
É realizado o cálculo dos
esforços solicitantes.

Segundo passo
É realizado o pré-dimensionamento.

Nk 300kN
(γf)

Ou seja, trata-se de um pilar com a dimensão 19cm x 19cm:
Pilar lateral de 19cm x 19cm.
A partir do índice de esbeltez, define-se se o pilar é curto, semiesbelto ou
esbelto.
É um pilar semiesbelto, já que ele está entre 35 e 90. A partir do resultado do
índice de esbeltez, é calculado o momento fletor mínimo, respeitando os
seguintes dados:
Aço = CA 50;
Fck = 30.
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 300 = 420kN
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5.420
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 332cm2
λe = 3, 46 ⋅
300
19
= 54, 6
λe = 3, 46 ⋅
300
19
= 54, 6
Segundo a NBR 6118:2004, o Fcd , ou seja,
 
, com h em cm, no qual o momento fletor
mínimo em cada direção é apresentado a seguir:
Com esse resultado, é possível calcular o índice de resistência por meio da força
normal adimensional.
Onde:
Fcd 
=
Fck
γc
Fcd =
30
1,4 = 21, 42MPaNd = 420kN
Mid,min = Nd(1, 5 + 0, 03h)
 Dir. x
M1d,min = 420(1, 5 + 0, 03.19) = 869, 4kN/cm; e1x,mi
 Dir. y
M1d,min = 420(1, 5 + 0, 03.19) = 869, 4kN/cm; e1x,mi
V =
Nd
Ac ⋅ fcd
Nd = 420kN
AC = 19 × 19 = 361cm
2
= 21, 42MPa
V =
Nd
Ac ⋅ fcd
=
420
361 ⋅ 21, 42
= 0, 05
Deste, passa-se para a curvatura na direção x que está sujeita a momentos
fletores de 2ª ordem.
Com excentricidade máxima de 2ª ordem igual a:
Para se calcular o momento fletor de 2ª ordem, deve ser aplicado o método do
pilar-padrão com curvatura aproximada.
Dir. x.
Como o valor é maior que o encontrado no momento fletor mínimo, esse valor
deve ser o utilizado.
Concluindo o cálculo do índice de resistência, chega-se finalmente ao resultado
de .
1
r
=
0, 005
h(v + 0, 50)
1
r
=
0, 005
19(0, 05 + 0, 50)
= 4, 780 × 10−4
e2x =
l2e
10
1
r
=
3002
10
4, 780 × 10−4 = 4, 30cm
Md, tot  = αb ⋅ M1d,A + Nd
l2e
10
1
r
{ , e M1d,A ≥ M1d,mi ́n
M1d,A
M1d,min
Md,tot = 1, 0.869, 4 + 420
3002
10
4, 780 × 10−4 = 2.678 ≥ M1d,min = 869, 4kN/cm
Md,tot = 2.678kN/cm
μ
Mão na massa
Questão 1
Qual é a importante função do pilar de canto?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
A importância do pilar de canto
μ =
Md,tot
hx ⋅ Ac ⋅ fcd
μ =
Md,tot
hx ⋅ Ac ⋅ fcd
=
2.678
19 ⋅ 361.21, 42
= 0, 018

A Atuar como contraventamento.
B Suportar laje.
C Suportar as vigas.
D Conectar as fundações.
E Conectar as vigas.
Questão 2
Calcule os esforços solicitantes sob um pilar de canto, cuja dimensão é
 e 
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, sendo o
menor lado do pilar maior que , o resultado obtido é 
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite
último (ELU), na qual a combinação de ações é normal.
Para
20cm × 30cm Nk = 200kN
A 280kN
B 300kN
C 450kN
D 500kN
E 680kN
Nd = γn ⋅ γf ⋅ Nk
γn
19cm 1, 0.
γf
Questão 3
Calcule os esforços solicitantes sob um pilar central biapoiado na base e no
topo, cuja dimensão é e .
Parabéns! A alternativa B está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, sendo o
menor lado do pilar maior que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite
último (ELU), na qual a combinação de ações é normal.
Para
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 200
Nd = 280kN
50cm × 50cm Nk = 400kN
A 500kN
B 560kN
C 700kN
D 810kN
E 880kN
Nd = γn ⋅ γf ⋅ Nk
γn
19cm
γf
Questão 4
Calcule os esforços solicitantes sob um Pilar central biapoiado na base e no
topo, cuja dimensão é e .
Parabéns! A alternativa E está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, sendo o
menor lado do pilar maior que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite
último (ELU), na qual a combinação de ações é normal.
Para
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 400
Nd = 560kN
30cm × 45cm Nk = 900kN
A 530kN
B 740kN
C 790kN
D 1.000kN
E 1.260kN
Nd = γn ⋅ γf ⋅ Nk
γn
19cm
γf
Questão 5
Elabore o pré-dimensionamento de um pilar de canto com as seguintes
características:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Temos que:
Para o pré-dimensionamento:
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 900
Nd = 1.260kN
Υf = 1, 4
Nk = 400kN
Fck = 30
A 278cm²
B 443cm²
C 563cm²
D 680cm²
E 720cm²
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 400 = 560kN
Questão 6
Elabore o pré-dimensionamento de um pilar de canto com as seguintes
características:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos que:
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 560
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 443cm2
Υf = 1, 4
Nk = 250kN
Fck = 30
A 277cm²
B 448cm²
C 567cm²
D 691cm²
E 733cm²
Nd = Υf ⋅ Nk
Nd = 1, 4 ⋅ 250 = 350kN
Para o pré-dimensionamento:
Teoria na prática
Calcule o momento fletor mínimo de um pilar de canto de , cujo
 é igual a .
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Para um pilar de canto, cuja dimensão é e .
Calcule o momento fletor mínimo.
Ac =
1, 5Nd
0, 5fck + 0, 4
Ac =
1, 5 ⋅ 350
0, 5 ⋅ 3, 0 + 0, 4
= 277cm2
_black
30cm × 50cm
Nd 1200kN
Mostrar solução
30cm × 50cm Nk = 300kN
A X - 2,10cm / Y - 2,55cm
B X - 2,40cm / Y - 3,00cm
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, sendo o
menor lado do pilar maior que , o resultado obtido é 
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite
último (ELU), na qual a combinação de ações é normal.
Para
, com h dimensão do pilar, em cm,na
direção considerada.
Questão 2
Para um pilar de canto, cuja dimensão é e .
Calcule o momento fletor mínimo.
C X - 2,70cm / Y - 3,30cm
D X - 3,20cm / Y - 4,90cm
E X - 3,60cm / Y - 5,20cm
Nd = γn ⋅ γf ⋅ Nk
γn
19cm 1, 0.
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4 ⋅ 300
Nd = 420kN
M1d,min = Nd(1, 5 + 0, 03h) =
X − 420(1, 5 + 0, 03 ⋅ 30) = 1.008kN/cm; e1x,min =
1008
420
= 2, 40cm
Y − 420(1, 5 + 0, 03 ⋅ 50) = 1.260kN/cm; e1x,min =
1260
420
= 3, 00cm
40cm × 60cm Nk = 450kN
Parabéns! A alternativa C está correta.
Temos que:
Para , utilize a tabela de coeficiente de majoração da força normal, na qual
pelo menor lado do pilar ser maior que , o resultado obtido é 1,0.
Para , utilize a tabela coeficiente de ponderação das ações no estado limite
último (ELU), na qual a combinação de ações é normal.
Para
, com dimensão do pilar, em cm, na
direção considerada.
A X - 2,10cm / Y - 2,55m
B X - 2,25cm / Y - 3,00m
C X - 2,70cm / Y - 3,30 cm
D X - 3,20cm / Y - 4,90cm
E X - 3,60cm / Y - 5,20cm
Nd = γn ⋅ γf⋅Nk
γn
19cm
γf
Nd = 1, 0 ⋅ 1, 4.450
Nd = 630kN
M1d,min = Nd(1, 5 + 0, 03h) h =
X − 630(1, 5 + 0, 03 ⋅ 40) = 1.701kN/cm; e1x,min =
1701
630
= 2, 70cm
Y − 630(1, 5 + 0, 03 ⋅ 60) = 2.079kN/cm; e1x,min =
2079
630
= 3, 30cm
Considerações �nais
Neste conteúdo, você aprendeu sobre os pilares em edifícios, observando a
importância fundamental desses elementos nas construções. Estudou também
os tipos de pilares, sendo eles centrais, laterais e os de canto.
Para entender com mais profundidade a importância prática ao projetar pilares
de concreto, vimos as indicações da NBR 6118 e as consequentes implicações
destas nos cálculos de diferentes tipos de pilares.
Nas imagens fornecidas como exemplos, foi possível observar a aplicação
prática dos pilares, bem como os possíveis problemas de edificações dessas
estruturas. Dessa forma, você pode ter atenção ao identificar alguma falha visual
a fim de resolvê-la de forma apropriada.
Podcast
Agora, o especialista encerra o tema falando sobre os principais tópicos
abordados.
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Aprenda softwares BIM, como o REVIT, para elaborar os seus projetos,
alcançando maior detalhe quanto aos elementos projetados e compatibilizando
a estrutura com a arquitetura e as instalações. Nos módulos, os desenhos que
apresentam os pilares no edifício, foram elaborados por esse software; você
pode utilizá-lo para praticar.
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de
estruturas de concreto — procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: Cargas para o
cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 2019.
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