Matemática

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SUMÁRIO 
Conjuntos numéricos................................................................................................................03 
Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão..............................................................................06 
Critérios de Divisibilidade.........................................................................................................11 
MMC e MDC..............................................................................................................................16 
Sistema de medidas..................................................................................................................19 
Cálculo Algébrico......................................................................................................................22 
Funções do 1º e do 2º grau......................................................................................................26 
Equações do 1º e do 2º grau....................................................................................................34 
Triângulo Retângulo: Teorema de Pitágoras............................................................................43 
Teorema de Tales.....................................................................................................................47 
Geometria Plana......................................................................................................................50 
Noções de Geometria Espacial.................................................................................................54 
Matemática financeira............................................................................................................58 
Estatística................................................................................................................................68 
Razão e proporção..................................................................................................................71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados 
pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da matemática que estuda os 
conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos. 
Confira abaixo as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e subconjuntos. 
Conjunto dos Números Naturais (N) 
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar 
(incluindo o zero) e é infinito. 
Subconjuntos dos Números Naturais 
• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero. 
• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares. 
• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares. 
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos. 
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números naturais 
(N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z): 
Subconjuntos dos Números Inteiros 
• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, 
sem o zero. 
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N. 
• Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero. 
• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos. 
• Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero. 
Conjunto dos Números Racionais (Q) 
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos 
na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0. 
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...} 
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q. 
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais. Elas são números decimais que se 
repetem após a vírgula, por exemplo: 1,4444444444... Embora possua infinitas casas decimais, pode ser 
escrito como a fração 13/9. 
Subconjuntos dos Números Racionais 
https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/
https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/
 
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• Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero. 
• Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o 
zero. 
• Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o 
zero. 
• Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o 
zero. 
• Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero. 
Conjunto dos Números Irracionais (I) 
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma 
representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040... 
Conjunto dos Números Reais (R) 
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) 
e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R. 
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, 
se ele é irracional, não é racional. 
Subconjuntos dos Números Reais 
• R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos. 
• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos. 
• R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. 
• R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. 
• R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos. 
Intervalos Numéricos 
Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais que são chamados de intervalos. 
Sejam a e b números reais e a < b, temos os seguintes intervalos reais: 
Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b} 
 
Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b} 
 
Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b} 
https://www.todamateria.com.br/numeros-irracionais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-reais/
 
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Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b} 
 
Propriedades dos Conjuntos Numéricos 
 
Diagrama dos conjuntos numéricos 
Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas propriedades: 
• O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z). 
• O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q). 
• O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R). 
• Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos 
números reais (R). 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
1. (UFOP-MG) A respeito dos números a = 0,499999... e b = 0,5, é correto afirmar: 
a) b = a + 0,011111 
b) a = b 
c) a é irracional e b é racional 
d) a < b 
RESPOSTA 
Alternativa b: a = b 
 
 
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2. (UEL-PR) Observe os seguintes números: 
I. 2,212121... 
II. 3,212223... 
III. π/5 
IV. 3,1416 
V. √– 4 
Assinale a alternativa que identifica os números irracionais: 
a) I e II. 
b) I e IV. 
c) II e III. 
d) II e V. 
e) III e V. 
RESPOSTA 
Alternativa c: II e III. 
 
3. (Cefet-CE) É unitário o conjunto: 
a) {x ∈ Z│x < 1} 
b) {x ∈ Z│x2 > 0} 
c) {x ∈ R│x2 = 1} 
d) {x ∈ Q│x2 < 2} 
e) {x ∈ N│1 < 2x < 4} 
RESPOSTA 
Alternativa e: {x ∈ N│1 < 2x < 4} 
 
 
 
 
 
ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 
As operações matemáticas abrangem os cálculos que são utilizados para a resoluçãodas equações. 
Basicamente têm-se a adição, a subtração, a divisão e a multiplicação, que, apesar de abrangerem um 
raciocínio simples, são de suma importância para realização de qualquer cálculo matemático, como por 
exemplo, na tabuada. As escolas já apresentam esses conteúdos nas séries iniciais e à medida que os alunos 
vão avançando compreendem os conceitos mais complexos. 
 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/tabuada
 
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Adição 
 
Na adição existe o cálculo de adicionar números naturais a outros. Essa operação matemática também é 
conhecida popularmente como soma. O resultado final da adição é chamado de total ou soma e os números 
utilizados são as parcelas. O operador aritmético, ou seja, o sinal que indica o seu cálculo é o (+). Observe o 
exemplo: 
 
6 (parcela) + 2 (parcela) = 8 (soma ou total) 
 
As propriedades da adição são: 
 
 
- Elemento neutro: zero, ou seja, qualquer número somado a zero terá como resultado ele mesmo. Ex.: 6 + 
0 = 6. 
- Comutatividade: a ordem de duas parcelas não altera o resultado final. Ex.: 8 + 2 = 10 e 2 + 8 = 10. 
- Associatividade: a ordem de mais de duas parcelas também não altera o resultado, mas é necessário 
considerar a regra do uso dos parênteses, que significa que deve-se iniciar a adição a partir do que está 
dentro deles. Ex.: 8 + (2 + 1) = 11 e (8 + 2) + 1 = 11. 
- Números negativos e positivos: os números positivos e negativos podem ser somados, mas existem 
algumas regras que devem ser consideradas. Quando os números possuem sinais diferentes (negativos e 
positivos) o resultado acompanhará o sinal do número maior. Ex.: (-3) + 4 = 1. Já no caso de dois números 
negativos, o resultado também será negativo. Ex.: (-8) + (-7) = - 1. 
 
 
 
Representação da operação matemática de adição (Foto: Pixabay). 
 
 
Subtração 
 
 
A subtração abrange a redução de um número por outro. Os seus elementos são: minuendo, subtraendo e 
diferença ou resto. O (-) é o sinal utilizado na operação. Veja o exemplo: 
 
8 (minuendo) – 2 (subtraendo) = 6 (diferença ou resto) 
 
As propriedades da subtração são: 
 
 
- O resultado é alterado no caso de mudança na ordem de apresentação dos valores, e nesse caso 
a diferença terá o sinal trocado. Ex.: 8 - 2 = 6 é diferente de 2 - 8 = -6. 
- Não existe elemento neutro. 
 
 
Multiplicação 
 
A Multiplicação está intimamente relacionada à adição, pois pode-se dizer que ela é a soma de um número 
pela quantidade de vezes que deverá ser multiplicado. O símbolo mais conhecido é o (x), mas muitas pessoas 
 
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utilizam o (*) ou (.) para representar essa operação. Os nomes dados aos seus elementos 
são fatores e produtos. Vejamos um exemplo: 
 
4 (fator) x 4 (fator) = 16 (produto) 
 
Observe que o exemplo também poderia ser representado: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. 
 
As propriedades da Multiplicação são: 
 
 
- Comutatividade: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex.: 4 x 2 = 8 e 2 x 4 = 8. 
- Associatividade: quando tem mais de dois fatores não importa a sua ordem, pois o resultado será o mesmo. 
Ex.: (3 x 5) x 2 = 30 ou 3 x (5 x 2) = 30 
- Distributividade: quando temos que multiplicar e somar devemos iniciar o cálculo pela multiplicação, 
mesmo que a soma esteja dentro de parênteses. Ex.: 2 x (3 + 3) = (2 x 3) + (2 x 3) = 6 + 6 = 12. 
- Elemento neutro: número 1, sendo que qualquer número multiplicado por ele resultará nele mesmo. 
 
Divisão 
 
 
Nessa operação é possível dividir dois números em partes iguais. Essa operação tem os seguintes 
elementos: dividendo, divisor, quociente e resto. O sinal utilizado é (÷), mas podemos ver também os sinais 
(/) ou (:). Observe o exemplo: 
 
31 (dividendo) ÷ 2 (divisor) = 15 (quociente) 1 (resto) 
 
Ao dividir 31 por 2 não temos um resultado exato, sendo assim, temos o 15 como quociente e 1 de resto. 
 
As propriedades da divisão são as seguintes: 
 
 
- A ordem dos elementos altera o resultado final, pois não é comutativa. Ex.: 8 ÷ 2 = 4 é diferente de 2 ÷ 8 = 
0,25. 
- Não é associativa; na divisão os parênteses devem ser resolvidos primeiro. Ex.: (6 ÷ 3) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1 é 
diferente de 6 ÷ (3 ÷ 3) = 6 ÷ 1 = 6. 
- Elemento neutro: número 1, ou seja, o valor dividido por ele terá como resultado ele mesmo. 
- Números positivos e negativos: os sinais interferem no resultado final, sendo assim, quando forem iguais 
ele fica positivo, mas quando forem diferentes ele ficará negativo. Ex.: +10 ÷ +5 = +2; -10 ÷ -5 = +2; +10 ÷ -5 
= -2. 
 
 
Vale destacar que essas são as operações matemáticas mais básicas. Apesar disso, elas são utilizadas na 
realização de diversas outras operações, como, por exemplo, soma de frações e subtração de frações. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Exercício 1 — Adição e Subtração 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/soma-de-fracoes
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/subtracao-de-fracoes
 
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Na fazenda Morro Alto são produzidas laranjas. Assim que começou o período da colheita, uma 
grande produção já foi contabilizada. A tabela abaixo mostra a produção nos três primeiros dias. 
 
a) Qual a produção total nos três primeiros dias? 
b) De quanto foi a queda na produção entre o dia de maior e menor produção? 
 
RESULTADO: 
 
a) 
O total da produção nos três dias foi de 10 379 laranjas. 
b) 1 140 laranjas. 
O dia de maior produção foi terça-feira, com 4 127 laranjas e, o de menor produção foi quarta-
feira, com 2 987 laranjas. A diferença é o resultado da subtração entre estes valores. 
 
Portanto, da terça-feira para quarta-feira houve uma queda na produção de 1 140 laranjas. 
 
Exercício 2 - Multiplicação 
 
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Elisa está a procura de uma televisão para colocar em sua sala. Ela viu um anúncio de um modelo 
novo com as opções de pagamento à vista e a prazo. 
 
Quanto Elisa pagará a mais se optar pelo pagamento a prazo? 
 
RESPOSTA: 
Resposta: Pagará a mais R$ 306,00. 
Estratégia: subtrair o total a prazo do preço à vista. 
Total a prazo 
Para o pagamento a prazo devemos multiplicar as parcelas para conhecer o total. 
 
Diferença entre os dois valores 
 
Portanto, optando pelo sistema a prazo, Elisa pagará R$ 306,00 a mais do que se optasse pelo 
sistema à vista. 
 
Exercício 3 — Fração 
Em uma gincana de férias, 75 crianças se inscreveram para participar das atividades de recreação. 
De modo a organizarem os jogos e atividades, eles verificaram a faixa etária dos inscritos e 
constataram que 2/5 das crianças têm mais de doze anos. Quantos participantes tem menos que 
12 anos? 
 
RESPOSTA: 
 
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Resposta: 45 crianças. 
Se 2/5 das crianças têm mais de 12 anos, 3/5 têm menos de 12 anos, pois 
 
Para calcular quanto é 3/5 de 75, fazemos 
 
Desta forma, 45 crianças têm menos de 12 anos. 
 
 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
Os critérios de divisibilidade nos ajudam a saber antecipadamente quando um número natural é divisível 
por um outro. 
Ser divisível significa que quando dividimos esses números, o resultado será um número natural e o resto 
será igual a zero. 
Vamos apresentar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. 
Divisibilidade por 2 
Todo número cujo algarismo da unidade é par será divisível por 2, ou seja, os números terminados por 0, 2, 
4, 6 e 8. 
Exemplo 
O número 438 é divisível por 2, pois termina em 8, que é um número par. 
Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismo é um número divisível por 3. 
Exemplo 
Verifique se os números 65283 e 91277 são divisíveis por 3. 
Solução 
Somando os algarismos dos números indicados, temos: 
 
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6 + 5 + 2 + 8 + 3 = 24 
9 + 1 + 2 + 7 + 7 = 26 
Como 24 é um número divisível por 3 (8 . 3 = 24), então 65283 é divisível por 3. Já o número 26, não é 
divisível por 3, portanto, 91277 também não é divisível por 3. 
Divisibilidade por 4 
Para um número ser divisível por 4 é necessário que seus dois últimos algarismos sejam 00 ou divisíveis por 
4. 
Exemplo 
Qual das opções abaixo apresenta umnúmeros que não é divisível por 4? 
a) 35748 
b) 20500 
c) 97235 
d) 70832 
Solução 
Para responder a questão, vamos verificar os dois últimos algarismos de cada opção: 
a) Divisibilidade por 5 
48 é divisível por 4 (12 . 4 = 48). 
b) 00 é divisível por 4. 
c) 35 não é divisível por 4, pois não existe nenhum número natural que multiplicado por 4 seja igual a 35. 
d) 32 é divisível por 4 ( 8 . 4 = 32) 
Portanto, a resposta é a letra c. O número 97235 não é divisível por 4.S 
Um número será divisível por 5 quando o algarismo da unidade for igual a 0 ou 5. 
Exemplo 
Comprei um pacote com 378 canetas e quero guardá-las em 5 caixas, de forma que em cada caixa tenha o 
mesmo número de canetas e que não sobre nenhuma caneta. Isso será possível? 
Solução 
O algarismo da unidade do número 378 é diferente de 0 e 5, logo não será possível dividir as canetas em 5 
partes iguais sem sobrar resto. 
Divisibilidade por 6 
Para um número ser divisível por 6 é necessário que seja ao mesmo tempo divisível por 2 e por 3. 
 
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Exemplo 
Verifique se o número 43722 é divisível por 6. 
Solução 
O algarismo da unidade do número é par, logo ele é divisível por 2. Temos ainda que verificar se também é 
divisível por 3, para isso vamos somar todos os algarismos: 
4 + 3 + 7 + 2 + 2 = 18 
Como o número é divisível por 2 e por 3, também será divisível por 6. 
Divisibilidade por 7 
Para saber se um número é divisível por 7 siga os seguintes passos: 
• Separe o algarismo da unidade do número 
• Multiplique esse algarismo por 2 
• Subtraia o valor encontrado do restante do número 
• Verifique se o resultado é divisível por 7. Se não souber se o número encontrado é divisível por 7, repita 
todo o procedimento com o último número encontrado. 
Exemplo 
Verifique se o número 3625 é divisível por 7. 
Solução 
Primeiro, vamos separar o algarismo da unidade, que é 5 e multiplicá-lo por 2. O resultado encontrado é 
10. O número sem a unidade é 362, subtraindo 10, temos: 362 - 10 = 352. 
Contudo, não sabemos se esse número é divisível por 7, então faremos novamente o processo, conforme 
indicado abaixo: 
35 - 2.2 = 35 - 4 = 31 
Como 31 não é divisível por 7, o número 3625 também não é divisível por 7. 
Divisibilidade por 8 
Um número será divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formem um número divisível por 8. 
Esse critério é mais útil para números com muitos algarismos. 
Exemplo 
O resto da divisão do número 389 823 129 432 por 8 é igual a zero? 
Solução 
 
14 
 
Se o número for divisível por 8 o resto da divisão será igual a zero, então vamos verificar se é divisível. 
O número formado pelos seus 3 últimos algarismos é 432 e este número é divisível por 8, pois 54 . 8 = 432. 
Portanto, o resto da divisão do número por 8, será igual a zero. 
Divisibilidade por 9 
O critério de divisibilidade por 9 é muito parecido com o critério do 3. Para ser divisível por 9 é necessário 
que a soma dos algarismos que formam o número seja divisível por 9. 
Exemplo 
Verifique se o número 426 513 é divisível por 9. 
Solução 
Para verificar, basta somar os algarismos do número, ou seja: 
4 + 2 + 6 + 5 + 1 + 3 = 21 
Como 21 não é divisível por 9, então o número 426 513 também não será. 
Divisibilidade por 10 
Todo número que o algarismo da unidade é igual a zero é divisível por 10. 
Exemplo 
O resultado da expressão 76 + 2 . 7 é um número divisível por 10? 
Solução 
Resolvendo a expressão: 
76 + 2 . 7 = 76 + 14 = 90 
90 é divisível por 10, pois termina com 0. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
1) Dentre os números apresentados abaixo, o único que não é divisível por 7 é: 
a) 546 
b) 133 
c) 267 
d) 875 
 
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RESPOSTA 
Usando o critério para o 7, temos: 
a) 54 - 6 . 2 = 54 - 12 = 42 (divisível por 7) 
b) 13 - 3 . 2 = 13 - 6 = 7 (divisível por 7) 
c) 26 - 7 . 2 = 26 - 14 = 12 (não é divisível por 7) 
d) 87 - 5 . 2 = 87 - 10 = 77 (divisível por 7) 
Alternativa: c) 267 
 
2) Analise as seguintes afirmações: 
I - O número 3 744 é divisível por 3 e por 4. 
II - O resultado da multiplicação de 762 por 5 é um número divisível por 10. 
III - Todo número par é divisível por 6. 
Assinale a alternativa correta 
a) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
b) As alternativas I e III são falsas. 
c) Todas as afirmações são falsas. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Apenas as alternativas I e II são verdadeiras. 
RESPOSTA 
Analisando cada afirmação: 
I - O número é divisível por 3: 3 + 7 + 4 + 4 = 18 e também é divisível por 4: 44 = 11 . 4. Afirmação 
verdadeira. 
II - Multiplicando 762 por 5 encontramos 3810 que é um número divisível por 10, pois acaba com 0. 
Afirmação verdadeira. 
III - Por exemplo o número 16 é par e não é divisível por 6, logo nem todo número par é divisível por 6. 
Portanto, essa afirmação é falsa. 
Alternativa: e) Apenas as alternativas I e II são verdadeiras. 
 
3) Para que o número 3814b seja divisível por 4 e por 8 é necessário que b seja igual a: 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
RESPOSTA 
 
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Vamos substituir os valores indicados e usar os critérios de divisibilidade para encontrar o algarismo que 
torna o número divisível por 4 e por 8. 
Substituindo por zero, os dois últimos algarismos formarão o número 40 que é divisível por 4, mas o 
número 140 não é divisível por 8. 
Por 2, teremos 42 que não é divisível por 4 e 142 e também não é por 8. Já quando substituímos por 4, 
temos 44 que é divisível por 4 e 144 e também é divisível por 8. 
Também não será 6, pois 46 não é divisível por 4 e 146 e nem por 8. Finalmente, substituindo por 8, temos 
que o 48 é divisível por 4, mas o 148 não é por 8. 
Alternativa: c) 4 
 
 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM 
O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C) e o máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) podem ser 
calculados simultaneamente através da decomposição em fatores primos. 
Por meio da fatoração, o MMC de dois ou mais números é determinado pela multiplicação dos fatores. Já o 
MDC é obtido pela multiplicação dos números que os dividem ao mesmo tempo. 
1º passo: fatoração dos números 
A fatoração consiste na representação em números primos, chamados fatores. Por exemplo, 2 x 2 é a 
forma fatorada de 4. 
A forma fatorada de um número é obtida seguindo a sequência: 
• Inicia-se com a divisão pelo menor número primo possível; 
• O quociente da divisão anterior também é dividido pelo menor número primo possível; 
• Repete-se a divisão até que o resultado seja o número 1. 
Exemplo: fatoração do número 40. 
 
 
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Portanto, a forma fatorada do número 40 é 2 x 2 x 2 x 5, que é o mesmo que 23 x 5. 
2º passo: cálculo do MMC 
A decomposição de dois números simultaneamente terá como resultado a forma fatorada do mínimo 
múltiplo comum entre eles. 
Exemplo: fatoração dos números 40 e 60. 
 
A multiplicação dos fatores primos 2 x 2 x 2 x 3 x 5 tem como forma fatorada 23 x 3 x 5. 
Portanto, o MMC de 40 e 60 é: 23 x 3 x 5 = 120. 
Vale lembrar que as divisões sempre serão feitas pelo menor número primo possível, mesmo que esse 
número divida apenas um dos componentes. 
Saiba mais sobre o Mínimo Múltiplo Comum. 
3º passo: cálculo do MDC 
O máximo divisor comum é encontrado quando multiplicamos os fatores que dividem simultaneamente os 
números fatorados. 
Na fatoração de 40 e 60, podemos perceber que o número 2 foi capaz de dividir duas vezes o quociente da 
divisão e o número 5 uma vez. 
 
Portanto, o MDC de 40 e 60 é: 22 x 5 = 20. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Exercício 1 
Determine simultaneamente o MMC e o MDC entre 10, 20 e 30. 
RESPOSTA 
Resposta correta: MMC = 60 e MDC = 10. 
1º passo: decomposição em fatores primos. 
Efetue a divisão pelos menores números primos possíveis. 
 
https://www.todamateria.com.br/mmc-minimo-multiplo-comum/
 
18 
 
2º passo: cálculo do MMC. 
Multiplique os fatores encontrados anteriormente. 
MMC: 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5 = 60 
3º passo: cálculo do MDC. 
Multiplique os fatores que dividem os númerosao mesmo tempo. 
 
MDC: 2 x 5 = 10 
 
Exercício 2 
Determine simultaneamente o MMC e o MDC entre15, 25 e 45. 
RESPOSTA 
Resposta correta: MMC = 225 e MDC = 5. 
1º passo: decomposição em fatores primos. 
Efetue a divisão pelos menores números primos possíveis. 
 
2º passo: cálculo do MMC. 
Multiplique os fatores encontrados anteriormente. 
MMC: 3 x 3 x 5 x 5 = 32 x 52 = 225 
3º passo: cálculo do MDC 
Multiplique os fatores que dividem os números ao mesmo tempo. 
 
MDC: 5 
 
 
 
 
 
19 
 
SISTEMA DE MEDIDAS 
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais como 
comprimento, capacidade, massa, tempo e volume. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de cada grandeza. Baseado no 
sistema métrico decimal, o SI surgiu da necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas 
na maior parte dos países. 
Medidas de Comprimento 
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a polegada e o pé. 
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o 
comprimento da distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 
1/299.792.458 de um segundo. 
Os múltiplos e submúltiplos do metro são: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), 
decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
Medidas de Capacidade 
A unidade de medida de capacidade mais utilizada é o litro (l). São ainda usadas o galão, o barril, o 
quarto, entre outras. 
Os múltiplos e submúltiplos do litro são: quilolitro (kl), hectolitro (hl), decalitro (dal), decilitro (dl), 
centilitro (cl), mililitro (ml). 
Medidas de Massa 
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de 
platina e irídio é usado como o padrão universal do quilograma. 
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), 
decigrama (dg), centigrama (cg) e miligrama (mg). 
São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a tonelada. Sendo 1 tonelada 
equivalente a 1000 kg. 
Medidas de Volume 
No SI a unidade de volume é o metro cúbico (m3). Os múltiplos e submúltiplos do m3 são: 
quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), decâmetro cúbico (dam3), decímetro cúbico 
(dm3), centímetro cúbico (cm3) e milímetro cúbico (mm3). 
 
20 
 
Podemos transformar uma medida de capacidade em volume, pois os líquidos assumem a forma 
do recipiente que os contém. Para isso usamos a seguinte relação: 
1 l = 1 dm3 
Tabela de conversão de Medidas 
O mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas. 
Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as unidades de medidas bases das 
grandezas que queremos converter, por exemplo: 
• Capacidade: litro (l) 
• Comprimento: metro (m) 
• Massa: grama (g) 
• Volume: metro cúbico (m3) 
Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Os prefixos deci, 
centi e mili correspondem respectivamente à décima, centésima e milésima parte da unidade 
fundamental. 
Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo correspondem 
respectivamente a dez, cem e mil vezes a unidade fundamental. 
Múltiplos 
Medida 
Base 
Submúltiplos 
quilo (k) hecto (h) deca (da) deci (d) centi (c) mili (m) 
quilolitro (kl) hectolitro (hl) 
decalitro 
(dal) 
litro (l) decilitro (dl) centilitro (cl) 
mililitro 
(ml) 
quilômetro 
(km) 
hectômetro 
(hm) 
decâmetro 
(dam) 
metro 
(m) 
decímetro 
(dm) 
centímetro 
(cm) 
milímetro 
(ml) 
quilograma 
(kg) 
hectograma 
(hg) 
decagrama 
(dag) 
grama 
(g) 
decigrama 
(dg) 
centigrama 
(cg) 
miligrama 
(mg) 
quilômetro 
cúbico (km3) 
hectômetro 
cúbico (hm3) 
decâmetro 
cúbico 
(dam3) 
metro 
cúbico 
(m3) 
decímetro 
cúbico 
(dm3) 
centímetro 
cúbico (cm3) 
milímetro 
cúbico 
(mm3) 
Exemplos 
1) Quantos mililitros correspondem 35 litros? 
Para fazer a transformação pedida, vamos escrever o número na tabela das medidas de 
capacidade. Lembrando que a medida pode ser escrita como 35,0 litros . A virgula e o algarismo 
que está antes dela devem ficar na casa da unidade de medida dada, que neste caso é o litro. 
 
21 
 
kl hl dal l dl cl ml 
 3 5, 0 
Depois completamos as demais caixas com zeros até chegar na unidade pedida. A vírgula ficará 
sempre atrás do algarismos que estiver na caixa da unidade pedida, que neste caso é o ml. 
kl hl dal l dl cl ml 
 3 5 0 0 0, 
Assim 35 litros correspondem a 35000 ml. 
2) Transforme 700 gramas em quilogramas. 
Lembrando que podemos escrever 700,0 g. Colocamos a vírgula e o 0 antes dela na unidade dada, 
neste caso g e os demais algarismos nas casas anteriores 
kg hg dag g dg cg mg 
 7 0 0, 0 
Depois completamos com zeros até chegar na casa da unidade pedida, que neste caso é o 
quilograma. A vírgula passa então para atrás do algarismo que está na casa do quilograma. 
kg hg dag g dg cg mg 
0, 7 0 0 
Então 700 g corresponde a 0,7 kg. 
3) Quantos metros cúbicos possui um paralelepípedo de 4500 centímetros cúbicos ? 
Nas transformações de volume (m3), iremos proceder da mesma maneira dos exemplos anteriores. 
Contudo, devemos colocar 3 algarismos em cada casa. 
Escrevemos a medida como 4500,0 cm3. 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 4 500, 0 
Agora completamos com 3 algarismos cada casa até chegar a unidade pedida. 
Encontramos que 4500 cm3 correspondem a 0,0045 m3. 
E o Tempo? 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 000, 004 500 
 
22 
 
A unidade de medida base do tempo no SI é o segundo (s). Atualmente o segundo é definido 
como o tempo de duração de 9.192.631.770 vibrações da radiação emitida pela transição 
eletrônica entre os níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133. 
Os múltiplos do segundo são o minuto, a hora e o dia. Essas medidas não são decimais, por isso 
usa-se as seguintes relações: 
1 minuto (min) = 60 segundos (s) 
1 hora = 3 600 segundos (s) 
60 minutos (min) = 1 hora (h) 
24 horas (h) = 1 dia (d) 
Os submúltiplos do segundo são: 
Décimo de segundo = 0,1 s ou 1/10 s 
Centésimo de segundo = 0,01 s ou 1/100 s 
Milésimo de segundo = 0,001 s ou 1/1000 s 
 
 
 
CÁLCULO ALGÉBRICO 
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações. 
As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações. 
As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um valor 
desconhecido. 
Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos 
valores atribuídos as letras. 
Exemplos 
a) x + 5 
b) b2 – 4ac 
 
Cálculo de uma Expressão Algébrica 
O valor de uma expressão algébrica depende do valor que será atribuído às letras. 
 
23 
 
Para calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores das letras e efetuar as 
operações indicadas. Lembrando que entre o coeficiente e a letras, a operação é de multiplicação. 
Exemplo 
O perímetro de um retângulo é calculado usando a fórmula: 
P = 2b + 2h 
Substituindo as letras com os valores indicados, encontre o perímetro dos seguintes retângulos 
 
Para saber mais sobre perímetro leia também Perímetro de figuras planas. 
Simplificação de Expressões Algébricas 
Podemos escrever as expressões algébricas de forma mais simples somando seus termos semelhantes 
(mesma parte literal). 
Para simplificar iremos somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e repetir a parte literal. 
Exemplos 
a) 3xy + 7xy4 - 6x3y + 2xy - 10xy4 = (3xy + 2xy) + (7xy4 - 10xy4) - 6x3y = 5xy - 3xy4 - 6x3y 
b) ab - 3cd + 2ab - ab + 3cd + 5ab = (ab + 2ab - ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) = 7ab 
Fatoração de Expressões Algébricas 
https://www.todamateria.com.br/perimetros-de-figuras-planas/
 
24 
 
Fatorar significa escrever uma expressão como produto de termos. 
Transformar uma expressão algébrica em uma multiplicaçãode termos, frequentemente nos permite 
simplificar a expressão. 
Para fatorar uma expressão algébrica podemos usar os seguintes casos: 
Fator comum em evidência: ax + bx = x . (a + b) 
Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b) 
Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
Diferença de dois quadrados: (a + b) . (a – b) = a2 – b2 
Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
Cubo Perfeito (Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 
Para saber mais sobre fatoração, leia também: 
Monômios 
Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o coeficiente e as letras (parte 
literal), ela é chamada de monômio. 
Exemplos 
a) 3ab 
b) 10xy2z3 
c) bh (quando não aparece nenhum número no coeficiente, seu valor é igual a 1) 
Os monômios semelhantes são os que apresentam a mesma parte literal (mesmas letras com mesmos 
expoentes). 
Os monômios 4xy e 30xy são semelhantes. Já os monômios 4xy e 30x2y3 não são semelhantes, pois as 
letras correspondentes não possuem o mesmo expoente. 
Polinômios 
Quando uma expressão algébrica possui somas e subtrações de monômios não semelhantes é chamada de 
polinômio. 
Exemplos 
a) 2xy + 3 x2y - xy3 
b) a + b 
c) 3abc + ab + ac + 5 bc 
 
25 
 
Operações Algébricas 
Soma e subtração 
A soma ou a subtração algébrica é feita somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos termos 
semelhantes e repetindo a parte literal. 
Exemplo 
a) Somar (2x2 + 3xy + y2) com (7x2 - 5xy - y2) 
(2x2 + 3xy + y2) + (7x2 - 5xy - y2) = (2 + 7) x2 + (3 - 5) xy + (1 - 1) y2 = 9x2 - 2xy 
b) Subtrair (5ab - 3bc + a2) de (ab + 9bc - a3) 
É importante observar que o sinal de menos na frente dos parênteses inverte todos os sinais de dentro dos 
parênteses. 
(5ab - 3bc + a2) - (ab + 9bc - a3) = 5ab - 3bc + a2 - ab - 9bc + a3 = 
(5 - 1) ab + (- 3 - 9)bc + a2 + a3 = 4ab -12bc + a2 + a3 
Multiplicação 
A multiplicação algébrica é feita multiplicando-se termo a termo. 
Para multiplicar a parte literal, usamos a propriedade da potenciação para multiplicação de mesma base: 
"repete-se a base e soma-se os expoentes". 
Exemplo 
Multiplicar (3x2 + 4xy) com (2x + 3) 
(3x2 + 4xy) . (2x + 3) = 3x2 . 2x + 3x2 . 3 + 4xy . 2x + 4xy . 3 = 6x3 + 9x2 + 8x2y + 12xy 
Divisão de um polinômio por um monômio 
A divisão de um polinômio por um monômio é feita dividindo os coeficientes do polinômio pelo coeficiente 
do monômio. Na parte literal, usa-se a propriedade da divisão de potência de mesma base (repete-se a 
base e subtrai os expoentes). 
Exemplo 
 
Para saber mais, leia também: 
https://www.todamateria.com.br/potenciacao/
 
26 
 
Exercícios 
1) Sendo a = 4 e b = - 6, encontre o valor numérico das seguintes expressões algébricas: 
a) 3a + 5b 
b) a2 - b 
c) 10ab + 5a2 - 3b 
a) 3.4 + 5.(-6) = 12 - 30 = - 18 
b) 42 - (-6) = 16 + 6 = 22 
c) 10.4. (-6) + 5.(4)2 - 3.(-6) = - 240 +80 + 18 = - 240 + 98 = - 142 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax + b, 
sendo a e b números reais. As funções f(x) = x + 5, g(x) = 3√3x - 8 e h(x) = 1/2 x são exemplos de funções 
afim. 
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou 
taxa de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante. 
Gráfico de uma Função do 1º grau 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para 
construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função. 
Exemplo 
Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3. 
Solução 
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na equação e 
calcular o valor correspondente para a f (x). 
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses 
valores na função, temos: 
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1 
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1 
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3 
 
27 
 
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5 
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7 
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo: 
 
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta bastam 
dois pontos. 
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da 
função corta o eixo Ox e Oy respectivamente. 
Coeficiente Linear e Angular 
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado de coeficiente 
angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 
O termo constante b é chamado de coeficiente linear e representa o ponto onde a reta corta o eixo Oy. 
Pois sendo x = 0, temos: 
y = a.0 + b ⇒ y = b 
Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será chamada de 
constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox. 
Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4: 
https://www.todamateria.com.br/calculo-do-coeficiente-angular/
https://www.todamateria.com.br/calculo-do-coeficiente-angular/
 
28 
 
 
Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O gráfico da função f (x) = x 
(função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0). 
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois ângulos 
iguais, conforme indicado na imagem abaixo: 
 
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é chamada de função 
linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares. 
O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0). 
Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x: 
 
Função Crescente e Decrescente 
https://www.todamateria.com.br/funcao-linear/
https://www.todamateria.com.br/funcao-linear/
 
29 
 
Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será 
também cada vez maior. 
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) 
será cada vez menor. 
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu coeficiente 
angular. 
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao contrário, 
se a for negativo, a função será decrescente. 
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é 
decrescente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo: 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Exercício 1 
Em uma determinada cidade, a tarifa cobrada pelos taxistas corresponde a uma parcela fixa chamada de 
bandeirada e uma parcela referente aos quilômetros rodados. Sabendo que uma pessoa pretende fazer 
uma viagem de 7 km em que o preço da bandeirada é igual a R$ 4,50 e o custo por quilômetro rodado é 
igual a R$ 2,75, determine: 
a) uma fórmula que expresse o valor da tarifa cobrada em função dos quilômetros rodados para essa 
cidade. 
b) quanto irá pagar a pessoa referida no enunciado. 
RESPOSTA 
a) De acordo com os dados, temos que b = 4,5, pois a bandeirada não depende da quantidade de 
quilômetros percorridos. 
Cada quilômetro rodado deverá ser multiplicado por 2,75. Sendo assim, esse valor será igual a taxa de 
variação, ou seja, a = 2,75. 
Considerando p (x) o preço da tarifa, podemos escrever a seguinte fórmula para expressar esse valor: 
p (x) = 2,75 x + 4,5 
 
30 
 
b) Agora que já definimos a função, para calcular o valor da tarifa basta substituir 7 km no lugar do x. 
p (7) = 2,75 . 7 + 4,5 = 19,25 + 4,5 = 23,75 
Portanto, a pessoa deverá pagar R$ 23,75 por uma viagem de 7 km. 
 
Exercício 2 
O dono de uma loja de moda praiateve uma despesa de R$ 950,00 na compra de um novo modelo de 
biquíni. Ele pretende vender cada peça deste biquíni por R$ 50,00. A partir de quantas peças vendidas ele 
passará a ter lucro? 
RESPOSTA 
Considerando x a quantidade de peças vendidas, o lucro do comerciante será dado pela seguinte função: 
f (x) = 50.x - 950 
Ao calcularmos f (x) = 0, iremos descobrir a quantidade de peças necessárias para que o comerciante não 
tenha nem lucro, nem prejuízo. 
50.x - 950 = 0 
50.x = 950 
x = 950 / 50 
x = 19 
Assim, se vender acima de 19 peças terá lucro, se vender menos que 19 peças terá prejuízo. 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
 
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela 
seguinte expressão: 
f(x) = ax2 + bx + c 
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
Exemplo: 
f(x) = 2x2 + 3x + 5, 
 
31 
 
sendo, 
a = 2 
b = 3 
c = 5 
Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da variável. 
Como resolver uma função quadrática? 
Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função quadrática: 
Exemplo 
Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax2 + bx + c, sendo: 
f (-1) = 8 
f (0) = 4 
f (2) = 2 
Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos: 
f (-1) = 8 
a (-1)2 + b (–1) + c = 8 
a - b + c = 8 (equação I) 
f (0) = 4 
a . 02 + b . 0 + c = 4 
c = 4 (equação II) 
f (2) = 2 
a . 22 + b . 2 + c = 2 
4a + 2b + c = 2 (equação III) 
Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4. 
Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas 
(a e b): 
(Equação I) 
a - b + 4 = 8 
a - b = 4 
a = b + 4 
Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b: 
(Equação III) 
 
32 
 
4a + 2b + 4 = 2 
4a + 2b = - 2 
4 (b + 4) + 2b = - 2 
4b + 16 + 2b = - 2 
6b = - 18 
b = - 3 
Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo: 
(Equação I) 
a - b + c = 8 
a - (- 3) + 4 = 8 
a = - 3 + 4 
a = 1 
Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são: 
a = 1 
b = - 3 
c = 4 
Raízes da Função 
As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da 
função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau: 
f(x) = ax2 +bx + c = 0 
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos mais utilizados é 
aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja: 
 
 
Exemplo 
Encontre os zeros da função f(x) = x2 – 5x + 6. 
Solução: 
Sendo 
a = 1 
b = – 5 
c = 6 
Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos: 
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
 
33 
 
 
Portanto, as raízes são 2 e 3. 
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela 
expressão: Δ = b2 – 4. ac, o qual é chamado de discriminante. 
Assim, 
• Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2); 
• Se Δ , a função não terá uma raiz real; 
• Se Δ = 0, a função terá duas raízes reais e iguais (x1 = x2). 
Gráfico da função quadrática 
O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. Diferente das funções do 
1º grau, onde conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas funções quadráticas são necessários 
conhecer vários pontos. 
A curva de uma função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em no máximo dois pontos 
dependendo do valor do discriminante (Δ). Assim, temos: 
• Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos; 
• Se Δ 
• Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto. 
Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola, que é o valor máximo ou mínimo da função. 
Este ponto é encontrado usando-se a seguinte fórmula: 
 
O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola estiver voltada para baixo 
e o valor mínimo quando estiver para cima. 
É possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do coeficiente a. Se o 
coeficiente for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se for negativo ficará para baixo, ou seja: 
 
Assim, para fazer o esboço do gráfico de uma função do 2º grau, podemos analisar o valor do a, calcular os 
zeros da função, seu vértice e também o ponto em que a curva corta o eixo y, ou seja, quando x = 0. 
https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
https://www.todamateria.com.br/vertice-da-parabola/
 
34 
 
A partir dos pares ordenados dados (x, y), podemos construir a parábola num plano cartesiano, por meio 
da ligação entre os pontos encontrados. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇAO RESOLVIDOS 
1. (Vunesp-SP) Todos os possíveis valores de m que satisfazem a desigualdade 2x2 – 20x – 2m > 0, para 
todo x pertencente ao conjunto dos reais, são dados por: 
a) m > 10 
b) m > 25 
c) m > 30 
d) m e) m 
RESPOSTA 
Alternativa b) m > 25 
 
2. (UE-CE) O gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx é uma parábola cujo vértice é o ponto (1, – 2). O 
número de elementos do conjunto x = {(– 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} que pertencem ao gráfico dessa 
função é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
RESPOSTA 
Alternativa b) 2 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
As equações de primeiro grau são sentenças matemáticas que estabelecem relações de igualdade entre 
termos conhecidos e desconhecidos, representadas sob a forma: 
ax+b = 0 
Donde a e b são números reais, sendo a um valor diferente de zero (a ≠ 0) e x representa o valor 
desconhecido. 
O valor desconhecido é chamado de incógnita que significa "termo a determinar". As equações do 1º grau 
podem apresentar uma ou mais incógnitas. 
https://www.todamateria.com.br/plano-cartesiano/
 
35 
 
As incógnitas são expressas por uma letra qualquer, sendo que as mais utilizadas são x, y, z. Nas equações 
do primeiro grau, o expoente das incógnitas é sempre igual a 1. 
As igualdades 2.x = 4, 9x + 3 y = 2 e 5 = 20a + b são exemplos de equações do 1º grau. Já as equações 
3x2+5x-3 =0, x3+5y= 9 não são deste tipo. 
O lado esquerdo de uma igualdade é chamado de 1º membro da equação e o lado direito é chamado de 2º 
membro. 
Como resolver uma equação de primeiro grau? 
O objetivo de resolver uma equação de primeiro grau é descobrir o valor desconhecido, ou seja, encontrar 
o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. 
Para isso, deve-se isolar os elementos desconhecidos em um dos lados do sinal de igual e os valores 
constantes do outro lado. 
Contudo, é importante observar que a mudança de posição desses elementos deve ser feita de forma que 
a igualdade continue sendo verdadeira. 
Quando um termo da equação mudar de lado do sinal de igual, devemos inverter a operação. Assim, se 
tiver multiplicando, passará dividindo, se tiver somando, passará subtraindo e vice-versa. 
Exemplo 
Qual o valor da incógnita x que torna a igualdade 8x - 3 = 5 verdadeira? 
Solução 
Para resolver a equação, devemos isolar o x. Para isso, vamos primeiro passar o 3 para o outro lado do sinal 
de igual. Como ele está subtraindo, passará somando. Assim: 
8x = 5 + 3 
8x = 8 
Agora podemos passar o 8, que está multiplicando o x, para o outro lado dividindo: 
x = 8/8 
x = 1 
Outra regra básica para o desenvolvimento das equações de primeiro grau determina o seguinte: 
Se a parte da variável ou a incógnita da equação for negativa, devemos multiplicar todos os membros da 
equação por –1. Por exemplo: 
– 9x = – 90 . (-1) 
9x = 90 
x = 10 
 
 
36 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Exercício 1 
Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã Natália. Em determinado momento da vida, Natália possuía o triplo 
da idade de Ana. Calcule a idade das duas nesse momento. 
Solução 
Para resolver esse tipo de problema, utiliza-se uma incógnita para estabelecer a relação de igualdade. 
Assim, denominemos a idadede Ana como o elemento x. Como Natália tem oito anos a mais que Ana, sua 
idade será igual a x+8. 
Por conseguinte, a idade de Ana vezes 3 será igual à idade de Natália: 3x = x + 8 
Estabelecida essas relações, ao passar o x para o outro lado da igualdade, tem-se: 
3x - x = 8 
2x = 8 
x = 8/2 
x = 4 
Portanto, como x é a idade de Ana, naquele momento ela terá 4 anos. Enquanto isso, Natália terá 12 anos, 
o triplo da idade de Ana (8 anos a mais). 
 
Exercício 2 
Resolva as equações abaixo: 
a) x - 3 = 9 
x = 9 + 3 
x = 12 
b) 4x - 9 = 1 - 2x 
4x + 2x = 1 + 9 
6x = 10 
x = 10/6 
c) x + 5 = 20 - 4x 
x + 4x = 20 - 5 
5x = 15 
x = 15/5 
x = 3 
d) 9x - 4x + 10 = 7x - 30 
9x - 4x - 7x = - 10 - 30 
- 2x = - 40 (-1) multiplica-se todos os termos por -1 
 
37 
 
2x = 40 
x = 40/2 
x = 20 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior 
grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada por: 
 
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as letras a, b e c são 
chamadas coeficientes da equação. 
Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem que ser diferente de zero, pois do contrário passa a 
ser uma equação do 1º grau. 
 
Resolver uma equação de segundo grau, significa determinar os valores reais de x, que tornam a equação 
verdadeira. Esses valores são denominados raízes da equação. 
Uma equação do segundo grau possui no máximo duas raízes reais. 
Equações do 2º Grau Completas e Incompletas 
As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os coeficientes, ou seja a, b e c são 
diferentes de zero (a, b, c ≠ 0). 
 
Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os coeficientes são diferentes de zero (a = 5, 
b = 2 e c = 2). 
Uma equação do segundo grau é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. 
Exemplo 1 — equações do 2° grau incompletas 
• 
• 
 
38 
 
• 
Exemplo 2 
Determine os valores de x que tornam a equação 4x2 - 16 = 0 verdadeira. 
Solução: 
A equação dada é uma equação incompleta do 2º grau, com b = 0. Para equações deste tipo, podemos 
resolver, isolando o x. Assim: 
 
Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 2, pois esses dois números elevados ao quadrado resultam em 
4. 
Assim, as raízes da equação 4x2 - 16 = 0 são x = - 2 e x = 2 
Exemplo 3 
Encontre o valor do x para que a área do retângulo abaixo seja igual a 2. 
 
Solução: 
A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura. Assim, devemos multiplicar os 
valores dados e igualar a 2. 
(x - 2) . (x - 1) = 2 
Agora vamos multiplicar todos os termos: 
x . x - 1 . x - 2 . x - 2 . (- 1) = 2 
x2 - 1x - 2x + 2 = 2 
x2 - 3x + 2 - 2 = 0 
x2 - 3x = 0 
Após resolver as multiplicações e simplificações, encontramos uma equação incompleta do segundo grau, 
com c = 0. 
Esse tipo de equação pode ser resolvida através da fatoração, pois o x se repete em ambos os termos. 
Assim, iremos colocá-lo em evidência. 
https://www.todamateria.com.br/fatoracao/
 
39 
 
x . (x - 3) = 0 
Para o produto ser igual a zero, ou x = 0 ou (x - 3) = 0. Contudo, substituindo x por zero, as medidas dos 
lados ficam negativas, portanto, esse valor não será resposta da questão. 
Então, temos que o único resultado possível é (x - 3) = 0. Resolvendo essa equação: 
x - 3 = 0 
x = 3 
Desta forma, o valor do x para que a área do retângulo seja igual a 2 é x = 3. 
Fórmula de Bhaskara 
Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a Fórmula de Bhaskara para encontrar as 
raízes da equação. 
A fórmula é apresentada abaixo: 
 
Fórmula do Delta 
Na fórmula de Bhaskara, aparece a letra grega Δ (delta), chamada discriminante da equação, pois 
conforme o seu valor é possível saber qual o número de raízes (soluções) que a equação terá. 
Para determinar o delta usamos a seguinte fórmula: 
 
Passo a Passo 
Para resolver uma equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, devemos seguir os seguintes passos: 
1º Passo: Identificar os coeficientes a, b e c. 
Nem sempre os termos da equação aparecem na mesma ordem, portanto, é importante saber identificar 
os coeficientes, independente da sequência em que estão. 
O coeficiente a é o número que está junto ao x2, o b é o número que acompanha o x e o c é o termo 
independente, ou seja, o número que aparece sem o x. 
2º Passo: Calcular o delta. 
Para calcular as raízes é necessário conhecer o valor do delta. Para isso, substituímos as letras na fórmula 
pelos valores dos coeficientes. 
Podemos, a partir do valor do delta, saber previamente o número de raízes que terá a equação do 2º grau. 
Ou seja, se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas. 
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
 
40 
 
Se ao contrário, delta for menor que zero (Δ < 0), a equação não apresentará raízes reais e se for igual a 
zero (Δ = 0), a equação apresentará somente uma raiz. 
3º Passo: Calcular as raízes. 
Se o valor encontrado para delta for negativo, não precisa fazer mais nenhum cálculo e a resposta será que 
a equação não possui raízes reais. 
Caso o valor do delta seja igual ou maior que zero, devemos substituir todas as letras pelos seus valores na 
fórmula de Bhaskara e calcular as raízes. 
Exemplo 4 
Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 
Solução: 
Para resolver, primeiro devemos identificar os coeficientes, assim temos: 
 
a = 2 
b = - 3 
c = - 5 
Agora, podemos encontrar o valor do delta. Devemos tomar cuidado com as regras de sinais e lembrar que 
primeiro devemos resolver a potenciação e a multiplicação e depois a soma e a subtração. 
Δ = (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49 
Como o valor encontrado é positivo, encontraremos dois valores distintos para as raízes. Assim, devemos 
resolver a fórmula de Bhaskara duas vezes. Temos então: 
 
 
Assim, as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 são x = 5/2 e x = - 1. 
Sistema de Equações do 2º Grau 
Quando queremos encontrar valores de duas incógnitas diferentes que satisfaçam simultaneamente duas 
equações, temos um sistema de equações. 
As equações que formam o sistema podem ser do 1º grau e do 2º grau. Para resolver esse tipo de sistema 
podemos usar o método da substituição e o método da adição. 
Exemplo 5 
Resolva o sistema abaixo: 
 
Solução: 
https://www.todamateria.com.br/sistemas-de-equacoes/
 
41 
 
Para resolver o sistema, podemos utilizar o método da adição. Neste método, somamos os termos 
semelhantes da 1ª equação com os da 2ª equação. Assim, reduzimos o sistema para uma só equação. 
 
Podemos ainda simplificar todos os termos da equação por 3 e o resultado será a equação x2 - 2x - 3 = 0. 
Resolvendo a equação, temos: 
Δ = 4 - 4 . 1 . (- 3) = 4 + 12 = 16 
 
 
Depois de encontrar os valores do x, não podemos esquecer que temos ainda de encontrar os valores de y 
que tornam o sistema verdadeiro. 
Para isso, basta substituir os valores encontrados para o x, em uma das equações. 
y1 - 6. 3 = 4 
y1 = 4 + 18 
y1 = 22 
y2 - 6 . (-1) = 4 
y2 + 6 = 4 
y2 = - 2 
Portanto, os valores que satisfazem ao sistema proposto são (3, 22) e (- 1, - 2) 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Questão 1 
Resolva a equação de segundo grau completa, utilizando a Fórmula de Bhaskara: 
2x2 + 7x + 5 = 0 
RESPOSTA 
É importante observar cada coeficiente da equação, portanto: 
a = 2 
b = 7 
c = 5 
Através da fórmula do discriminante da equação, devemos encontrar o valor de Δ. 
Isso para depois encontrar as raízes da equação por meio da fórmula geral ou a fórmula de Bhaskara: 
 
 
42 
 
Δ = 72 – 4 . 2 . 5 
Δ = 49 - 40 
Δ = 9 
Observe que se o valor de Δ é maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas. 
Assim, após encontrar o Δ, vamos substituí-lo na fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
Logo, os valores das duas raízes reais é: x1 = - 1 e x2 = - 5/2 
 
Questão 2 
Resolva as equações incompletas dosegundo grau: 
a) 5x2 – x = 0 
RESPOSTA 
Primeiramente, busca-se os coeficientes da equação: 
a= 5 
b= - 1 
c= 0 
Trata-se de uma equação incompleta onde c = 0. 
Para calculá-la podemos usar a fatoração, que neste caso é colocar o x em evidência. 
5x2 – x = 0 
x. (5x-1) = 0 
Neste situação, o produto será igual a zero quando x = 0 ou quando 5x -1 = 0. Então vamos calcular o valor 
do x: 
 
 
Portanto, as raízes da equação são x1 = 0 e x2 = 1/5. 
 
 
 
 
 
43 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica 
é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto. 
O enunciado desse teorema é: 
"A soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa." 
Fórmula do teorema de Pitágoras 
Segundo o enunciado do Teorema de Pitágoras, a fórmula é representada da seguinte maneira: 
a2 = b2 + c2 
Sendo, 
a: hipotenusa 
b: cateto 
c: cateto 
 
A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e o lado oposto ao ângulo reto. Os outros dois 
lados são os catetos. O ângulo formado por esses dois lados tem medida igual a 90º (ângulo reto). 
Identificamos ainda os catetos, de acordo com um ângulo de referência. Ou seja, o cateto poderá ser 
chamado de cateto adjacente ou cateto oposto. 
Quando o cateto está junto ao ângulo de referência, é chamado de adjacente, por outro lado, se está 
contrário a este ângulo, é chamado de oposto. 
 
44 
 
 
Veja a seguir três exemplos de aplicações do teorema de Pitágoras para as relações métricas de um 
triângulo retângulo. 
Exemplo 1: calcular a medida da hipotenusa 
Se um triângulo retângulo apresenta 3 cm e 4 cm como medidas dos catetos, qual a hipotenusa desse 
triângulo? 
 
Portanto, os lados do triângulo retângulo são 3 cm, 4 cm e 5 cm. 
Exemplo 2: calcular a medida de um dos catetos 
Determine a medida de um cateto que faz parte de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é 20 cm e o 
outro cateto mede 16 cm. 
 
Portanto, as medidas dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm. 
Exemplo 3: comprovar se um triângulo é retângulo 
Um triângulo apresenta os lados com medidas 5 cm, 12 cm e 13 cm. Como saber se é um triângulo 
retângulo? 
Para provar que um triângulo retângulo é verdadeiro as medidas dos seus lados devem obedecer ao 
Teorema de Pitágoras. 
 
Como as medidas dadas satisfazem o teorema de Pitágoras, ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual a 
soma do quadrado dos catetos, então podemos dizer que o triângulo é retângulo. 
Triângulo Pitagórico 
 
45 
 
Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o triângulo é 
chamado de triângulo pitagórico. 
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para 
verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2. 
O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o 
cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3. 
 
Observe que a área dos quadrados desenhados em cada lado do triângulo relacionam-se tal como o 
teorema de Pitágoras: a área do quadrado no lado maior corresponde à soma das áreas dos outros dois 
quadrados. 
É interessante notar que, os múltiplos desses números também formam um terno pitagórico. Por exemplo, 
se multiplicarmos por 3 o trio 3, 4 e 5, obtemos os números 9, 12 e 15 que também formam um terno 
pitagórico. 
Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade de outros ternos. Como exemplo, podemos citar: 
• 5, 12 e 13 
• 7, 24, 25 
• 20, 21 e 29 
• 12, 35 e 37 
Quem foi Pitágoras? 
Segundo a história Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego que fundou 
a Escola Pitagórica, localizada no sul da Itália. Também chamada de Sociedade Pitagórica, incluía estudos 
de Matemática, Astronomia e Música. 
Embora as relações métricas do triângulo retângulo já fossem conhecidas pelos babilônicos, que viveram 
muito antes de Pitágoras, acredita-se que a primeira demonstração que esse teorema se aplicava a 
qualquer triângulo retângulo tenha sido feita por Pitágoras. 
O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos, importantes e utilizados na matemática. Ele 
é imprescindível na resolução de problemas da geometria analítica, geometria plana, geometria espacial e 
trigonometria. 
Além do teorema, outras importantes contribuições da Sociedade Pitagórica para a Matemática foram: 
https://www.todamateria.com.br/triangulo-retangulo/
https://www.todamateria.com.br/pitagoras/
 
46 
 
• Descoberta dos números irracionais; 
• Propriedades dos números inteiros; 
• MMC e MDC. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Questão 1 
(PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a 
hipotenusa do triângulo? 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
RESPOSTA 
Alternativa correta: b) 4. 
Pela informação do enunciado, sabemos que a2 + b2 + c2 = 32. Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras 
temos que a2 = b2 + c2 . 
Substituindo o valor de b2+c2 por a2 na primeira expressão, encontramos: 
a2 + a2 =32 ⇒ 2 . a2 = 32 ⇒ a2 = 32/2 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = √16 
a= 4 
 
Questão 2 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento 
total do corrimão é igual a: 
a) 1,9m 
b) 2,1m 
c) 2,0m 
d) 1,8m 
e) 2,2m 
 
47 
 
RESPOSTA 
Alternativa correta: b) 2,1m. 
O comprimento total do corrimão será igual a soma dos dois trechos de comprimento igual a 30 cm com o 
trecho que não conhecemos a medida. 
Observamos pela figura, que o trecho desconhecido representa a hipotenusa de um triângulo retângulo, 
cuja medida de um dos cateto é igual a 90 cm. 
Para encontrar a medida do outro cateto, devemos somar o comprimento dos 5 degraus. Sendo assim, 
temos que b = 5 . 24 = 120 cm. 
Para calcular a hipotenusa, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para esse triângulo. 
a2 = 902 + 1202 ⇒ a2 = 8100 + 14 400 ⇒ a2 = 22 500 ⇒ a = √22 500 = 150 cm 
Note que poderíamos ter usado a ideia dos ternos pitagóricos para calcular a hipotenusa, visto que os 
catetos (90 e 120) são múltiplos do terno 3, 4 e 5 (multiplicando todos os termos por 30). 
Desta forma, a medida total do corrimão será: 
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m 
 
 
 
TEOREMA DE TALES 
O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na Geometria e expressa pelo enunciado: 
"A intersecção de um feixe de retas paralelas por duas retas transversais forma segmentos proporcionais." 
 
Fórmula do teorema de Tales 
Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo: 
 
48 
 
 
Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na 
reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: D, E e F. Logo, de acordo com o Teorema de Tales: 
 
Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF. 
Exemplo: determine a medida de x indicada na imagem. 
 
Aplicando o teorema de Tales, temos: 
 
Teorema de Tales nos triângulos 
O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo 
em que se aplica o teorema: 
 
De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao 
triângulo AED. É representado da seguinte forma: 
Δ ABC ~ Δ AED 
Exemplo: determine a medida x indicada na imagem. 
https://www.todamateria.com.br/retas-paralelas/
https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos/
 
49 
 
 
Aplicando o teorema de Tales, temos: 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
Questão 1 
 
RESPOSTA 
Resposta correta: x = 6,66 
 
 
Questão 2 
 
RESPOSTA 
 
50 
 
Resposta correta: x = 1,5 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
Cálculo de Áreas 
Conhecer sobre área é conhecer sobre o espaço que podemos preencher em regiões poligonais 
convexas – qualquer segmento de reta com extremidades na região só terá pontos pertencentes 
a esta. 
 
O cálculo de áreas tem muita aplicabilidadeem diferentes momentos, seja em atividades 
puramente cognitivas, ou até mesmo trabalhistas. Um exemplo de profissional que faz uso dessa 
ferramenta para tornar possível o desempenho do seu trabalho é o pedreiro. É através do 
conhecimento de área que é possível estimar a quantidade de cerâmica necessária para 
pavimentar um determinado cômodo de uma casa, por exemplo. 
O quadrado 
O quadrado é uma figura geométrica plana regular em que todos os seus lados e ângulos são 
iguais. Veja um exemplo de quadrado na figura a seguir: 
 
Para calcular a área de um quadrado basta que se multipliquem dois dos seus lados l entre si. 
 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/07/poligono-convexo.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/07/quadrado.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/07/area-quadrado.jpg
 
51 
 
Exemplo 1 
Para pavimentar a sala de sua casa D. Carmem comprou 26 m2 de piso. Sabendo 
que a sala tem o formato quadrangular e que um dos lados mede 5 m, diga se o piso comprado 
por D. Carmem será suficiente para pavimentar a sua sala. 
• A sala tem o formato quadrangular; 
• O seu lado mede 5 m; 
• A área do quadrado é A = l 2. 
Com base nos dados acima temos: 
 
Conclui-se então que o piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar sua sala e 
ainda sobrará 1 m2. 
Lembrete: a unidade de medida de área mais utilizada é o metro quadrado (m2), porém em 
alguns casos usa-se o km2, cm2, etc. 
O retângulo 
O retângulo é uma figura geométrica plana cujos lados opostos são paralelos e iguais e todos os 
ângulos medem 90º. Confiram o retângulo abaixo: 
 
 
Para calcular a área do retângulo, basta que se multipliquem seu comprimento c pela largura l. 
 
Exemplo 2 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/quadrado-5m.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/ex1.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/retangulo.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/area-retangulo.jpg
 
52 
 
Num campeonato de futebol a equipe organizadora do evento está providenciando o gramado 
que será plantado em toda área do campo. Para comprar as gramas, a equipe precisa saber a 
área do campo, pois a grama é vendida por metro quadrado. Sabendo que o campo tem 115 m 
de comprimento por 75 m de largura e ainda que o campo tem o formato retangular, ajude a 
equipe a solucionar o problema, diga quantos metros quadrados de área tem o campo de 
futebol? 
 
O triângulo 
O triângulo é uma figura geométrica plana formada por três lados e três ângulos. A soma dos 
seus ângulos internos é igual 180º. 
 
Para calcular a área do triângulo multiplica-se a base b pela altura h e divide o resultado por 2 
(metade da área do retângulo). 
 
 
Exemplo 3 
Encontre a área de um triângulo cuja base mede 8,2 cm e a altura 3,6 cm. 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/ex2.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/triangulo.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/area-triangulo.jpg
 
53 
 
 
O trapézio 
O trapézio é uma figura plana com um par de lados paralelos (bases) e um par de lados 
concorrentes. 
 
Para calcular a área do trapézio adiciona-se a base maior c à base menor a, ao resultado da soma 
multiplica-se a altura, e por fim, divide-se o resultado final por 2. 
 
Exemplo 4 
Um fazendeiro quer saber a área de um lote de terra que acabara de comprar. O lote tem o 
formato de um trapézio. Sabendo que a frente mede 1020 m, o fundo, 815 m e a distância da 
frente ao fundo é de 510 m. Determine a área do lote. 
https://www.infoescola.com/geometria-plana/trapezio/
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/ex3.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/trapezio.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/area-trapezio.jpg
 
54 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras no espaço, 
ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões. 
De modo geral, a Geometria Espacial pode ser definida como o estudo da geometria no espaço. 
Assim, tal qual a Geometria Plana, ela está pautada nos conceitos basilares e intuitivos que chamamos 
“conceitos primitivos” os quais possuem origem na Grécia Antiga e na Mesopotâmia (cerca de 1000 anos 
a.C.). 
Pitágoras e Platão associavam o estudo da Geometria Espacial ao estudo da Metafísica e da religião; 
contudo, foi Euclides a se consagrar com sua obra “Elementos”, onde sintetizou os conhecimentos acerca 
do tema até os seus dias. 
Entretanto, os estudos de Geometria Espacial permaneceram estanques até o fim da Idade Média, quando 
Leonardo Fibonacci (1170-1240) escreve a “Practica Geometriae”. 
Séculos depois, Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria” (stereo: volume/metria: medida) o 
cálculo de volume, em 1615. 
Para saber mais leia: 
• Formas Geométricas 
• Geometria Plana 
• Distância entre dois pontos 
Características da Geometria Espacial 
https://www.todamateria.com.br/formas-geometricas/
https://www.todamateria.com.br/geometria-plana/
https://www.todamateria.com.br/distancia-entre-dois-pontos/
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/08/trapezio-ex.jpg
 
55 
 
A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e ocupam lugar no espaço. 
Por sua vez, esses objetos são conhecidos como "sólidos geométricos" ou "figuras geométricas espaciais". 
Conheça melhor alguns deles: 
• prisma 
• cubo 
• paralelepípedo 
• pirâmide 
• cone 
• cilindro 
• esfera 
Dessa forma, a geometria espacial é capaz de determinar, por meio de cálculos matemáticos, o volume 
destes mesmos objetos, ou seja, o espaço ocupado por eles. 
Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é determinado por 
alguns conceitos básicos, a saber: 
• Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma vez que todos sejam, em última análise, 
formados por inúmeros pontos. Por sua vez, os pontos são infinitos e não possuem dimensão mensurável 
(adimensional). Portanto, sua única propriedade garantida é sua localização. 
• Reta: composta por pontos, é infinita nos dois lados e determina a distância mais curta entre dois pontos 
determinados. 
• Linha: possui algumas semelhanças com a reta, pois é igualmente infinita para cada lado, contudo, têm a 
propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma. 
• Plano: é outra estrutura infinita que se estende em todas as direções. 
Figuras Geométricas Espaciais 
Segue abaixo algumas das figuras geométricas espaciais mais conhecidas: 
Cubo 
 
O cubo é um hexaedro regular composto de 6 faces quadrangulares, 12 arestas e 8 vértices sendo: 
Área lateral: 4a2 
Área total: 6a2 
Volume: a.a.a = a3 
Dodecaedro 
https://www.todamateria.com.br/prisma/
https://www.todamateria.com.br/cubo/
https://www.todamateria.com.br/paralelepipedo/
https://www.todamateria.com.br/piramide/
https://www.todamateria.com.br/cone/
https://www.todamateria.com.br/cilindro/
https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/
 
56 
 
 
O Dodecaedro é um poliedro regular composto de 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices sendo: 
Área Total: 3√25+10√5a2 
Volume: 1/4 (15+7√5) a3 
Tetraedro 
 
O Tetraedro é um poliedro regular composto de 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices sendo: 
Área total: 4a2√3/4 
Volume: 1/3 Ab.h 
Octaedro 
 
O Octaedro é um poliedro regular de 8 faces formada por triângulos equiláteros, 12 arestas e 6 vértices 
sendo: 
Área total: 2a2√3 
Volume: 1/3 a3√2 
Icosaedro 
 
57 
 
 
O Icosaedro é um poliedro convexo composto de 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 vértices sendo: 
Área total: 5√3a2 
Volume: 5/12 (3+√5) a3 
Prisma 
 
O Prisma é um poliedro composto de duas faces paralelas que formam a base, que por sua vez, podem ser 
triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal. 
Além das faces o prima é composto de altura, lados, vértices e arestasunidos por paralelogramos. De 
acordo com sua inclinação, os prismas podem ser retos, aqueles em que a aresta e a base fazem um ângulo 
de 90º ou os oblíquos compostos de ângulos diferentes de 90º. 
Área da Face: a.h 
Área Lateral: 6.a.h 
Área da base: 3.a3√3/2 
Volume: Ab.h 
Onde: 
Ab: Área da base 
h: altura 
Pirâmide 
 
 
58 
 
A pirâmide é um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular, 
paralelogramo), um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares. 
Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. Quanto à sua inclinação podem ser 
classificadas em retas (ângulo de 90º) ou oblíquas (ângulos diferentes de 90º). 
Área total: Al + Ab 
Volume: 1/3 Ab.h 
Onde: 
Al: Área lateral 
Ab: Área da base 
h: altura 
Curiosidades 
• A palavra "geometria" vem do grego e corresponde a união dos termos "geo" de terra e "metria" de 
medida, que significa "medir terra." 
• Os cálculos mais comuns em Geometria espacial são para determinar o comprimentos de curvas, áreas de 
superfícies e volumes de regiões sólidas. 
• Outras figuras geométricas espaciais: cilindro, cone, esfera. 
• Os "Sólidos Platônicos" são poliedros convexos conhecidos desde a antiguidade clássica. Os cinco "sólidos 
platônicos" são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro. 
 
 
 
 
PORCENTAGEM 
A porcentagem representa uma razão cujo denominador é 100, ou seja,. 
O termo por cento é abreviado usando o símbolo %, que significa dividir por 100 e, por isso, essa 
razão também é chamada de razão centesimal ou percentual. 
Saber calcular porcentagem é importante para resolver problemas matemáticos, principalmente na 
matemática financeira para calcular descontos, juros, lucro, e assim por diante. 
Como calcular porcentagem de um valor? 
Para saber o percentual de um valor basta multiplicar a razão centesimal correspondente à 
porcentagem pela quantidade total. 
 
59 
 
Exemplo: para descobrir quanto é 20% de 200, realizamos a seguinte operação: 
 
Generalizando, podemos criar uma fórmula para conta de porcentagem: 
 
Se preferir, você pode fazer o cálculo de porcentagem da seguinte forma: 
1º passo: multiplicar o percentual pelo valor. 
 
2º passo: dividir o resultado anterior por 100. 
 
Exercício: Em uma determinada fruta cuja massa é 60 g, o teor de água é 45% e o resto é polpa. 
Calcule: quantos gramas há de polpa de fruta? 
1º passo: multiplicar o teor de água pela massa de fruta. 
 
2º passo: dividir o resultado anterior por 100. 
 
A fruta tem 27 g de água. 
3º passo: calcular a massa de polpa. 
 
A polpa de fruta tem massa de 33 g 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
JUROS SIMPLES 
Juros simples é um acréscimo calculado sobre o valor inicial de uma aplicação financeira ou de uma 
compra feita a crédito, por exemplo. 
O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de capital. A esse valor é aplicada 
uma correção, chamada de taxa de juros, que é expressa em porcentagem. 
Os juros são calculados considerando o período de tempo em que o capital ficou aplicado ou emprestado. 
Exemplo 
Um cliente de uma loja pretende comprar uma televisão, que custa 1000 reais à vista, em 5 parcelas iguais. 
Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de 6% ao mês nas compras a prazo, qual o valor de cada 
parcela e o valor total que o cliente irá pagar? 
Quando compramos algo parcelado, os juros determinam o valor final que iremos pagar. Assim, se 
compramos uma televisão a prazo iremos pagar um valor corrigido pela taxa cobrada. 
Ao parcelamos esse valor em cinco meses, se não houvesse juros, pagaríamos 200 reais por mês (1000 
divididos por 5). Mas foi acrescido 6 % a esse valor, então temos: 
 
 
Desta forma, teremos um acréscimo de R$ 12 ao mês, ou seja, cada prestação será de R$ 212,00. Isso 
significa que, no final, pagaremos R$ 60,00 a mais do valor inicial. 
Logo, o valor total da televisão a prazo é de R$1060,00. 
Fórmula: como calcular o juros simples? 
A fórmula para calcular os juros simples é expressa por: 
J = C . i . t 
Onde, 
J: juros 
C: capital 
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para 
isso, basta dividir o valor dado por 100. 
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo. 
Podemos ainda calcular o montante, que é o valor total recebido ou devido, ao final do período de tempo. 
Esse valor é a soma dos juros com valor inicial (capital). 
Sua fórmula será: 
 
61 
 
M = C + J → M = C + C . i . t 
Da equação acima, temos, portanto, a expressão: 
M = C . (1 + i . t) 
Exemplo 1 
Quanto rendeu a quantia de R$ 1200,00, aplicado a juros simples, com a taxa de 2% ao mês, no final de 1 
ano e 3 meses? 
Sendo: 
C = 1200 
i = 2% ao mês = 0,02 
t = 1 ano e 3 meses = 15 meses (tem que transformar em meses para ficar na mesma unidade de tempo da 
taxa de juros. 
J = C . i . t = 1200 . 0,02 . 15 = 360 
Assim, o rendimento no final do período será de R$ 360,00. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
 
Exercício 1 
Lúcia emprestou 500 reais para sua amiga Márcia mediante uma taxa de 4% ao mês, que por sua vez, se 
comprometeu em pagar a dívida num período de 3 meses. Calcule o valor que Márcia no final pagará para 
a Lúcia. 
Ver Resposta 
Primeiro temos que transformar a taxa de juros para número decimal, dividindo o valor dado por 100. 
Depois vamos calcular o valor da taxa de juros sobre o capital (principal) durante o período de 1 mês: 
Logo: 
J = 0,04. 500 = 20 
Portanto, o valor dos juros em 1 mês será de R$20,00. 
Se a Márcia ficou de pagar sua dívida em 3 meses, basta calcular o valor dos juros referente a 1 mês pelo 
período, ou seja R$ 20,00 . 3 meses = R$ 60,00. No total, ela pagará um valor de R$ 560,00. 
 
Outra maneira de calcular o valor total que Márcia pagará a amiga é aplicando a fórmula do montante 
(soma dos juros ao valor principal): 
 
62 
 
Logo, 
M = C . (1 + i . t) 
M = 500 . (1 + 0,04 . 3) 
M = 500 . 1,12 
M = R$ 560,00 
 
Exercício 2 
(Enem-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro 
em um aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois 
investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas 
no quadro: 
 Rendimento Mensal (%) IR (imposto de renda) 
Poupança 0,560 isento 
CDB 0,876 4% (sobre o ganho) 
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é: 
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. 
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56. 
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38. 
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. 
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87. 
Ver Resposta 
Resposta correta: d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. 
Para sabermos qual das alternativas é mais vantajosa para o jovem investidor, devemos calcular o 
rendimento que ele terá em ambos os casos: 
Poupança: 
Aplicação: R$ 500,00 
Rendimento Mensal (%): 0,56 
Isento de Imposto de Renda 
Logo, 
Primeiro dividir a taxa por 100, para transformar em número decimal, depois aplicar ao capital: 
0,0056 * 500 = 2,8 
Portanto, o ganho na poupança será de 2,8 + 500 = R$502,80 
CDB (certificado de depósito bancário) 
Aplicação: R$500 
 
63 
 
Rendimento Mensal (%): 0,876 
Imposto de Renda: 4% sobre o ganho 
Logo, 
Transformando a taxa para para decimal encontramos 0,00876, aplicando ao capital: 
0,00876 * 500= 4,38 
Portanto, o ganho no CDB será de 4,38 + 500 = R$504,38 
No entanto, não devemos esquecer de aplicar a taxa do imposto de renda (IR) sobre o valor encontrado: 
4% de 4,38 
0,04 * 4,38= 0,1752 
Para encontrarmos o valor final, subtraímos esse valor no ganho acima: 
4,38 - 0,1752 = 4,2048 
Portanto, o saldo final do CDB será de R$504,2048 que é aproximadamente R$ 504,21 
Alternativa d: o CDB,pois totalizará um montante de R$ 504,21 
 
 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
Os Juros Compostos são calculados levando em conta a atualização do capital, ou seja, o juro incide não 
apenas no valor inicial, mas também sobre os juros acumulados (juros sobre juros). 
Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização acumulada”, é muito utilizado nas transações 
comerciais e financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou investimentos). 
Exemplo 
Uma aplicação de R$10.000, no regime de juros compostos, é feita por 3 meses a juros de 10% ao mês. 
Qual o valor que será resgatado ao final do período? 
Mês Juros Valor 
1 10% de 10000 = 1000 10000 + 1000 = 11000 
2 10% de 11000 = 1100 11000 + 1100 = 12100 
3 10% de 12100 = 1210 12100 + 1210 = 13310 
 
64 
 
Note que o juro é calculado usando o valor já corrigido do mês anterior. Assim, ao final do período será 
resgatado o valor de R$13.310,00. 
Para compreendermos melhor, é necessário conhecer alguns conceitos utilizados em matemática 
financeira. São eles: 
• Capital: valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento. 
• Juros: valor obtido quando aplicamos a taxa sobre o capital. 
• Taxa de Juros: expressa em porcentagem (%) no período aplicado, que pode ser dia, mês, bimestre, 
trimestre ou ano. 
• Montante: o capital acrescido dos juros, ou seja, Montante = Capital + Juros. 
Fórmula: Como Calcular os Juros Compostos? 
Para calcular os juros compostos, utiliza-se a expressão: 
M = C (1+i)t 
Onde, 
M: montante 
C: capital 
i: taxa fixa 
t: período de tempo 
Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir 
o valor dado por 100. Além disso, a taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo. 
Se pretendemos calcular somente os juros, aplicamos a seguinte fórmula: 
J = M - C 
Exemplos 
Para entender melhor o cálculo, vejamos abaixo exemplos sobre a aplicação dos juros compostos. 
1) Se um capital de R$500 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos sob uma taxa mensal 
fixa que produz um montante de R$800, qual será o valor da taxa mensal de juros? 
Sendo: 
C = 500 
M = 800 
t = 4 
Aplicando na fórmula, temos: 
https://www.todamateria.com.br/matematica-financeira-conceitos-formulas/
https://www.todamateria.com.br/matematica-financeira-conceitos-formulas/
 
65 
 
 
Uma vez que a taxa de juros é apresentada na forma de porcentagem, devemos multiplicar o valor 
encontrado por 100. Assim, o valor da taxa mensal de juros será de 12,5 % ao mês. 
2) Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a 
quantia de R$5.000,00, à taxa de 1% ao mês? 
Sendo: 
C = 5000 
i = 1% ao mês (0,01) 
t = 1 semestre = 6 meses 
Substituindo, temos: 
M = 5000 (1 + 0,01)6 
M = 5000 (1,01)6 
M = 5000 . 1,061520150601 
M = 5307,60 
Para encontrar o valor dos juros devemos diminuir do montante o valor do capital, assim: 
J = 5307,60 - 5000 = 307,60 
O juro recebido será de R$ 307,60. 
3) Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$20 000,00 gere o montante de R$ 21 648,64, quando 
aplicado à taxa de 2% ao mês, no sistema de juros compostos? 
Sendo: 
C = 20000 
M = 21648,64 
i = 2% ao mês (0,02) 
Substituindo: 
 
66 
 
 
O tempo deverá ser de 4 meses. 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
1. Anita resolve aplicar R$300 num investimento que rende 2% ao mês no regime de juros compostos. 
Nesse caso, calcule o valor que ela terá de investimento ao final de três meses. 
RESPOSTA 
Ao aplicar a fórmula dos juros compostos teremos: 
Mn= C (1+i)t 
M3 = 300.(1+0,02)3 
M3 = 300.1,023 
M3 = 300.1,061208 
M3 = 318,3624 
Lembre-se que no sistema de juros compostos o valor de rendimento será aplicado ao montante acrescido 
por cada mês. Sendo assim: 
1°mês: 300+0,02.300 = R$306 
2°mês: 306+0,02.306 = R$312,12 
3° mês: 312,12+0,02.312,12 = R$318,36 
Ao final do terceiro mês Anita terá aproximadamente R$318,36. 
 
2. 
Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que sejam apresentadas três 
possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme 
descritas: 
Investimento A: 3% ao mês 
Investimento B: 36% ao ano 
Investimento C: 18% ao semestre 
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece 
algumas aproximações para a análise das rentabilidades: 
 
67 
 
n 1,03n 
3 1,093 
6 1,194 
9 1,305 
12 1,426 
Para escolher o investimento com maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá: 
A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. 
B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%. 
C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos 
investimentos B e C. 
D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do 
investimento A e de 18% do investimento C. 
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao 
ano dos investimentos A e B. 
RESPOSTA 
Para encontrar a melhor forma de investimento, devemos calcular cada um dos investimentos no período 
de uma ano (12 meses): 
Investimento A: 3% ao mês 
1 ano = 12 meses 
Rendimento de 12 meses = (1 + 0,03)12 − 1 = 1,0312 − 1 = 1,426 – 1 = 0,426 (aproximação fornecida na 
tabela) 
Logo, o investimento de 12 meses (1 ano) será de 42,6%. 
Investimento B: 36% ao ano 
Nesse caso, já está dada a resposta, ou seja, o investimento no período de 12 meses (1 ano) será de 36%. 
Investimento C: 18% ao semestre 
1 ano = 2 semestres 
Rendimento nos 2 semestres = (1 + 0,18)2 − 1 = 1,182 − 1 = 1,3924 – 1 = 0,3924 
Ou seja, o investimento no período de 12 meses (1 ano) será de 39,24% 
Logo, ao analisarmos os valores obtidos concluímos que a pessoa deverá: “escolher o investimento A, pois a 
sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C”. 
Alternativa C: escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades 
anuais dos investimentos B e C. 
 
 
68 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
A Média Aritmética de um conjunto de dados é obtida somando todos os valores e dividindo o valor 
encontrado pelo número de dados desse conjunto. 
É muito utilizada em estatística como uma medida de tendência central. 
Pode ser simples, onde todos os valores possuem a mesma importância, ou ponderada, quando considera 
pesos diferentes aos dados. 
Média Aritmética Simples 
Esse tipo de média funciona de forma mais adequada quando os valores são relativamente uniformes. 
Por ser sensível aos dados, nem sempre fornece os resultados mais adequados. 
Isso porque todos os dados possuem a mesma importância (peso). 
Fórmula 
 
Onde, 
Ms: média aritmética simples 
x1, x2, x3,...,xn: valores dos dados 
n: número de dados 
Exemplo: 
Sabendo que as notas de um aluno foram: 8,2; 7,8; 10,0; 9,5; 6,7, qual a média que ele obteve no curso? 
 
Média Aritmética Ponderada 
 
69 
 
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo seu peso. 
Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma dos pesos. 
Fórmula 
 
Onde, 
Mp: Média aritmética ponderada 
p1, p2,..., pn: pesos 
x1, x2,...,xn: valores dos dados 
Exemplo: 
Considerando as notas e os respectivos pesos de cada uma delas, indique qual a média que o aluno obteve 
no curso. 
Disciplina Nota Peso 
Biologia 8,2 3 
Filosofia 10,0 2 
Física 9,5 4 
Geografia 7,8 2 
História 10,0 2 
Língua Portuguesa 9,5 3 
Matemática 6,7 4 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO RESOLVIDOS 
1- Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da 
receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior 
média anual. 
As empresas que este investidor escolhe comprar são:70 
 
a) Balas W e Pizzaria Y. 
b) Chocolates X e Tecelagem Z. 
c) Pizzaria Y e Alfinetes V. 
d) Pizzaria Y e Chocolates X. 
e) Tecelagem Z e Alfinetes V. 
RESPOSTA 
Média de Alfinetes V = (200 + 220 + 240) / 3 = 220 
Média de Balas W = (200 + 230 + 200) / 3 = 210 
Média de Chocolates X = (250 + 210 + 215) / 3 = 225 
Média de Pizzaria Y = (230 + 230 + 230) / 3 = 230 
Média de P Tecelagem Z = (160 + 210 + 245) / 3 = 205 
As duas empresas que apresentam as maiores médias da receita bruta anual são Pizzaria Y e Chocolates X, 
com 230 e 225 respectivamente. 
Alternativa d: Pizzaria Y e Chocolates X. 
 
2. Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. 
De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre as notas 
das provas finais de química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são 
sempre números inteiros. 
Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua avaliação 
for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas. 
O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais. 
Candidato Química Física 
I 20 23 
II x 25 
III 21 18 
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição é: 
a) 18 
b) 19 
c) 22 
d) 25 
e) 26 
RESPOSTA 
Candidato I 
Média Ponderada (MP) = (20 * 4 + 23 * 6) / 10 
MP = (80 + 138) / 10 
MP = 22 
 
71 
 
Candidato III 
Média Ponderada (MP) = (21 * 4 + 18 * 6) / 10 
MP = (84 + 108) / 10 
MP = 19 
Candidato II 
Média Ponderada (MP) = (x * 4 + 25 * 6) / 10 > 22 
MP = (x * 4 + 25 * 6) / 10 = 22 
4x + 150 = 220 
4x = 70 
x = 70 / 4 
X = 17,5 
Assim, como as notas são sempre números inteiros, a menor nota que o candidato II deverá obter na prova 
final de química para vencer a competição é 18. 
Alternativa a: 18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAZÃO E PROPRÇÃO 
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois 
números. 
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o 
mesmo resultado. 
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas são 
proporcionais quando formam uma proporção. 
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e proporção. 
Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre os ingredientes. 
Atenção! 
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas. 
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
 
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Exemplos 
A partir das grandezas A e B temos: 
Razão: ou A : B, onde b≠0 
Proporção: , onde todos os coeficientes são ≠0 
Exemplo 1 
Qual a razão entre 40 e 20? 
 
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo. 
 
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de razão 
centesimal. 
 
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), enquanto o 
de baixo é chamado de consequente (B). 
 
Exemplo 2 
Qual o valor de x na proporção abaixo? 
 
https://www.todamateria.com.br/fracoes/
https://www.todamateria.com.br/porcentagem/
 
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3 . 12 = x 
x = 36 
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de “quarta 
proporcional”. 
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos primeiros 
termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D). 
Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo da proporção para 
encontrar o valor procurado. 
Veja também: Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 
Propriedades da Proporção 
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo: 
 
Logo: 
A·D = B·C 
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada. 
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo: 
é equivalente 
Logo, 
D. A = C . B 
 
 
 
 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
https://www.todamateria.com.br/grandezas-proporcionais-grandezas-diretamente-inversamente-proporcionais/