ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO

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ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO 
Me. Claudio Ferreira de Carvalho 
GUIA DA 
DISCIPLINA 
 
 
1 Estatística Aplicada à Educação 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
1. CONCEITOS BÁSICOS PARA MANIPULAÇÕES NUMÉRICAS 
 
Objetivo 
Esta aula tem como objetivo apresentar alguns conceitos básicos de manipulação 
numérica que serão necessários para o desenvolvimento deste curso de probabilidade e 
estatística. 
1.1. Variações percentuais 
A título de introdução, vamos supor que você anotou nos últimos meses a evolução 
do preço de seu prato favorito na cantina que você gosta de ir de vez em quando. Estes 
valores estavam em guardanapos guardados em sua gaveta de gastos e agora você os 
passou para seu bloco de anotações. 
 
Apenas observando os dados você pode tentar tirar conclusões, mas veja que, nem 
todas estão corretas: 
 
• Está certo falar que aumentou R$ 6,00 em seis meses? 
Sim, esta conclusão está correta. 
• Está certo falar que o aumento foi de R$ 1,00 por mês? 
Não, esta conclusão, não está correta. 
 
Não podemos tirar conclusões precipitadas. Você não pode concluir que se 
aumentou R$ 6,00 em seis meses o aumento foi de R$ 1,00 por mês, mas pode concluir 
que o aumento médio foi de R$ 1,00 por mês. 
 
Se você estendeu este exemplo, começou a compreender algo sobre a “análise de 
números” que falei no slide anterior. 
 
Observando os dados mais atentamente, você pode tirar algumas conclusões, estas 
sim corretas: 
 
O aumento não foi uniforme; 
Entre janeiro e fevereiro e entre maio e junho o aumento foi de R$ 2,00; 
Entre abril e maio, não houve aumento. 
Um gráfico também pode ajudar a visualizar como foram os aumentos. 
 
 
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Observe algumas informações que podemos obter observando o gráfico: 
 
• Entre os meses de janeiro e junho houve 
um aumento; 
• Entre os meses de janeiro e fevereiro o 
aumento foi maior que entre os meses 
de março e abril; 
• O preço entre dois meses nunca 
diminuiu; 
 
Tente fazer outras observações, mesmo que pareçam simples, você verá que 
apoiado em um gráfico mais ideias podem surgir na cabeça. Estas observações, sem 
dúvida ajudarão você a entrar no mundo da “análise de dados”. 
1.2. Aumento Percentual 
Outro dado que pode nos ajudar a analisar valores é o “Aumento Percentual”, ele 
é sempre, a diferença entre o valor final e o valor inicial, dividida pelo valor inicial. 
Como o aumento é expresso em porcentagem o valor obtido deve ser multiplicado por 100. 
 
 
 
 
 
Veja os cálculos da tabela: 
 
O aumento percentual entre: 
Janeiro e fevereiro foi 8,0%; 
(
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 −𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
) x 100 
 
 
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Fevereiro e março foi 3,7%; 
Março e abril foi 3,6%; 
Abril e maio foi 0; 
Maio e junho foi 6,9% 
Faça uma pequena pausa e confira estes valores. 
 
 
 
Veja também, que é possível obter o “Aumento Percentual” entre dois valores 
quaisquer. 
Apenas para exercitar. Qual seria o aumento percentual nos 6 meses? 
Faça a conta.... 
Obteve 24%? 
Muito bom! 
 
 
Veja agora algumas observações que podemos fazer sobre o aumento percentual. 
 
Os mesmos aumentos em moeda, não resultam obrigatoriamente nos mesmos 
aumentos percentuais pois eles dependem não só da diferença entre o valor final e o valor 
inicial, mas também do denominador da equação chamado por alguns livros de “valor de 
base”. 
 
O aumento de R$ 1,00 resultou em 3,7% entre fevereiro e março, mas somente 3,6% 
entre março e abril. 
 
O aumento de R$ 2,00 resultou em 8,0% entre janeiro e fevereiro, mas somente 
6,9% entre maio e junho. 
 
Na verdade, você já sabia deste fato, mas talvez 
nunca tivesse reparado, mas pense bem, se você souber 
que o cafezinho vai aumentar 5% você ficará preocupado, 
pois ele passará de R$ 2,00 para R$ 2,10, mas quando 
você descobrir que seu plano de saúde que custa 
R$860,00 por mês vai aumentar os mesmos 5%, você ficará muito preocupado, pois ela 
passará para R$ 903,00. 
 
 
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Veja: O mesmo aumento percentual de 5% para o café equivale a R$0,10 e para seu 
plano de saúde equivale a R$43,00. Porque isso? 
 
Porque no café o aumento de 5% foi aplicado à R$2,00 e no plano de saúde foi 
aplicado à R$860,00. 
1.3. Estudo do aumento percentual 
No item anterior, calculamos quando foi o aumento percentual entre dois valores, 
mas é também comum que se deseje saber, como ficará um determinado valor, por 
exemplo o preço da gasolina, o preço de um alimento, se ele sofrer um aumento de um 
determinado percentual. 
 
Para elaborar estes cálculos, você deve multiplicar o valor conhecido por 
1 + x, onde x é o aumento esperado dividido por 100; 
 
 
 
Veja alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4. Estudo do desconto percentual 
Pode acontecer também, que um determinado produto, esteja com um “desconto 
percentual”. Neste caso, o valor final, que será o valor com desconto, é calculado 
multiplicando-se o valor inicial por 100 – desconto e dividindo o resultado por 100. 
 
 
 
 
 
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Veja alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5. Arredondamento 
Você conferiu os cálculos das telas anteriores? 
Se realmente conferiu, talvez tenha ficado com algumas dúvidas, ou deve ter 
pensado que alguns números foram modificados para melhorar os resultados. 
 
De antemão, quero deixar bem claro, que nada foi manipulado erradamente, 
apenas em alguns momentos os números foram arredondados para manter uniforme o 
número de casas decimais. 
 
O que são casas decimais? 
São os números apresentados depois da vírgula. 
Por exemplo o número 3,57 possui duas casas após a vírgula, portanto duas casas 
decimais. 
 
E o que é arredondamento? 
Para entender o que é arredondamento lembre-se do cálculo (29-28).100/28 
(variação de seu prato preferido, apresentado entre os meses de março e abril). O resultado 
desta conta foi 3,571428... (e o número continua...). 
 
Como para todos os demais cálculos de aumentos percentuais, estávamos utilizando 
somente uma casa após a vírgula (uma casa decimal), quando mostrei o resultado da 
conta, mantive o mesmo critério e apresentei este número somente com uma casa após a 
vírgula 3,6. 
 
 
 
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Por que 3,6 e não 3,5? Porque o valor apresentado foi arredondado antes de ser 
apresentado. 
 
Para arredondar, foi utilizado a seguinte regra, que é mostrada aos valores: 6,1287 
≈ 6,13 e 6,1247 ≈ 6,12. 
 
a) Determinar com quantas casas decimais deseja-se apresentar o número (Vamos 
fazer dois exemplos onde os números fornecidos devem ser apresentados com duas 
casas decimais). 
b) Observar o primeiro número a partir do qual se deseja desprezar. 
c) Se o número a ser desprezado for maior ou igual a 5 (8 é maior que 5), ao último 
número que fica é aumentado uma unidade (2 passa para 3). O valor 6,1287 passa 
a ser apresentado como 6,13. 
d) Se o número a ser desprezado for igual ou menor que 5 (4 é menor que 5), o último 
número que fica não é alterado (mantido o valor 2). O valor 6,1247 passa a ser 
apresentado como 6,12. 
1.6. Ordem de grandeza 
Imagine que houve um desvio de dinheiro e o valor foi de R$ 1.500.000.000,00. 
Olhando somente para o número, fica difícil imaginar o valor, mas se você ler o número 
como 1 Bilhão e meio de reais, já fica mais fácil visualizar a quantia. Por outro lado, se 
alguém lhe falar que o tamanho de uma molécula de DNA é 0,0024 m você talvez tenha 
dificuldades de assimilar, mas se falarem que é 2,4 mm provavelmente seja mais fácil de 
imaginar otamanho da molécula. 
 
Na verdade, os números após o 1 do valor monetário mostrado, assim como os zeros 
antes do 2 do tamanho da molécula de DNA dão ao número o que se convenciona chamar 
de “Ordem de grandeza” e os valores 1,5 (no caso do valor monetário) ou 2,4 (no caso do 
tamanho do DNA) são os valores. 
 
Para facilitar a escrita e a leitura de números grandes ou pequenos, muitas vezes 
utiliza-se o que se convencionou chamar prefixos. 
 
 
 
 
 
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A tabela da tela a seguir, apresenta alguns prefixos: 
 
Veja alguns detalhes desta tabela: 
• Quilo (k = 103), que equivale a mil, é um prefixo muito utilizado no nosso dia a 
dia: Quilograma (1000 gramas), Quilometro (1000 m). 
• Mega (M = 106), que equivale a Milhão, também é muito utilizado: Moeda (R$ 
1 milhão de reais), Velocidade de conexão internet (10 Mbps - Megabits por 
segundo) 
 
Palavras como microcomputador, microprocessador de alimentos são modos 
figurativos para indicar coisas pequenas, como pequenos computadores 
(microcomputador), microprocessador de alimentos (aparelhos que cortam alimentos em 
tamanhos muito pequenos). 
 
 
 
 
 
 
 
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2. NOÇÕES DE ESTATÍSTICA - COLETA DE DADOS – VARIÁVEIS 
2.1. Estatística 
Sem dúvida, existem diversas definições para Estatística. Uma das que melhor se 
enquadra aos objetivos de nosso curso é a seguinte: 
 
Estatística é uma metodologia de análise de números dando a eles 
significados. 
 
Com a estatística, você dará sentido a conjuntos de dados. Muitas vezes você 
observa diversos valores, mas não consegue estabelecer uma relação entre eles ou até, 
sem uma análise mais detalhada, pode julgar erroneamente a variação destes valores. 
 
2.2. Estatística Descritiva x Indutiva 
Estatística descritiva é empregada para caracterizar a amostra evidenciando as 
principais características e propriedades. 
 
Estatística indutiva, também chamada de inferencial, são métodos e técnicas 
utilizados para estudar uma população baseando-se em amostras destas populações. 
 
Resumindo, podemos dizer que a estatística descritiva descreve dados e a indutiva 
toma decisões a partir de estudos em amostras. 
2.3. Dados 
São informações obtidas a partir de medições de grandezas, resultados de 
pesquisas, respostas a questionários ou contagens em geral. 
 
2.4. População estatística 
São todos os elementos que possuem as características que desejamos estudar. 
 
2.5. Amostra 
É um subconjunto finito de uma população, em outras palavras, uma parte da 
população, escolhida através de uma técnica de amostragem. 
 
 
9 Estatística Aplicada à Educação 
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2.6. Amostra significativa 
Uma amostra significativa, deve representar em escala reduzida, todas as 
características qualitativas e quantitativas do universo que se pretende reproduzir. 
 
2.7. Amostragem 
Técnica utilizada para recolher amostras que garantem, tanto quanto possível, o 
acaso na escolha. 
 
Para que uma amostragem seja correta, cada elemento da população deve ter a 
chance de ser escolhido, e com isto, a amostra assume o caráter de representatividade, de 
maneira que as conclusões sobre a amostra possam realmente representar a população. 
 
 
População são todos os elementos, amostra são elementos da população, mas 
para que a amostra seja significativa estes elementos precisam ter as 
características da população e amostragem são técnicas que garantem que a 
amostra seja significativa, ou seja represente a população. 
 
2.8. Coleta de dados 
São maneiras escolhidas para adquirir informações, que pode ser feita através de 
registros como nascimentos; casamentos; etc., ou através de questionários coletados pelo 
pesquisador. 
 
2.9. Crítica de dados 
São considerações sobre os dados que devem ser feitas para evitar erros grosseiros 
 
2.10. Variáveis 
É o conjunto de resultado de um possível fenômeno. Como exemplo podemos citar 
o Fenômeno sexo, que possui dois resultados possíveis, masculino ou feminino. 
 
 
 
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2.11. Variáveis qualitativas 
São informações não numéricas, normalmente atributos classificados em categorias: 
Exemplos: Tipos sanguíneos (A, B, AB ou O) 
 Cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos, etc.) 
2.11.1. Variáveis qualitativas nominais 
Quando os valores são classificados em categorias ou classes, não ordenadas. Caso 
se deseje em uma pesquisa rotular homes e mulheres, podemos colocar o “Rotulo 1” para 
homens e o “Rótulo 2” para mulheres ou vice-versa. 
 
Observe que as duas tabelas abaixo estão corretas: 
2.11.1. Variáveis qualitativas ordinais 
Quando os valores são ordenados, tais como notas, idades. 
 
Como exemplo observe que nota 10 é superior a nota 9, que por sua vez é superior 
a nota 8, e assim sucessivamente. Em um outro exemplo, podemos citar que alunos com 
15 anos são mais velos que os com 14 anos que por sua vez são mais velhos que os com 
13 anos e assim sucessivamente. 
 
2.12. Variáveis quantitativas 
São informações que assumem valores numéricos, obtidas a partir de medições ou 
constatações. 
 
2.12.1. Variáveis quantitativas contínuas 
Podem assumir valores entre dois limites, podem ser números inteiros, mas isto não 
é obrigatório. 
Exemplos: Pesos, estaturas, renda, distância, comprimento, etc. 
 
2.12.2. Variáveis quantitativas discretas 
Só podem assumir valores pertencentes a um conjunto específico. 
Exemplos: Alunos em uma sala, filhos de uma família, bolsas em um estoque, etc. 
 
 
 
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3. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
3.1. Organização de dados 
 
3.1.1. Dados Brutos 
Quando você obtém dados, eles normalmente não veem organizados, estão 
misturados, não apresentam uma ordem ou sequência, motivo pelo qual fica muito difícil a 
visualização assim como tirar conclusões. Estes dados são classificados como dados 
brutos. 
 
Se estes dados forem coletados em tabelas, estas são chamadas de tabelas 
primitivas. 
 
3.1.2. Rol 
Para que você possa analisar os dados eles precisam ser ordenados, esta 
ordenação irá gerar uma tabela que recebe o nome de Rol. 
 
3.2. Classes e Amplitude de Classes 
Para analisar dados vamos utilizar a técnica de Distribuição de Frequência, que 
consiste em organizar dados de maneira que eles possam ser agrupados em intervalos 
chamados de Classe. 
 
3.2.1. Número de Classe 
Para determinar o número de classes em uma distribuição utiliza-se a equação: 
𝑖 = √𝑛
2
 
Onde: 𝑖 é o número de classes em um Rol 
 𝑛 é a quantidade de dados da amostra 
3.2.2. Amplitude do intervalo de classe 
É obtido pela equação: 
ℎ = 
𝐿𝑚á𝑥 − 𝐿𝑚𝑖𝑛
𝑖
 
 
 
 
12 Estatística Aplicada à Educação 
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Onde: ℎ é a amplitude do intervalo de classe 
𝐿𝑚á𝑥é o maior valor do Rol 
𝐿𝑚𝑖𝑛 é o menor valor do Rol 
𝑖 é o intervalo de classe 
3.2.3. Frequência de classe 
É o número de ocorrência de cada valor em um intervalo de classe. É representada 
por Fi 
3.2.4. Ponto médio da classe 
É a média entre o valor máximo e o valor mínimo de um intervalo de classe 
𝑥𝑖 = 
𝐿𝑖 + 𝐿𝑠
2
 
Onde: 𝑥𝑖 é o ponto médio da classe 
𝐿𝑖 é o limite inferior da classe 
𝐿𝑠 é o limite superior da classe 
3.2.5. Frequência acumulada 
É o total acumulado, na verdade a soma de todas as classes anteriores até a classe 
atual. 
 
3.2.6. Frequência relativa 
É o quociente entre a frequência absoluta da classe em estudo e a soma das 
frequências acumuladas: 
𝐹𝑟 = 
𝐹𝑖
∑ 𝐹𝑖
 
 
Onde: 𝐹𝑟 é a frequência acumulada 
𝐹𝑖 é a frequência da classe em estudo 
∑ 𝐹𝑖é a somatória de todas as frequências 
3.2.7. Frequência relativa acumulada 
É a soma da frequência relativa da classe em estudo com as frequências 
acumuladas das classes anteriores. 
 
Esta frequência pode também ser representada em percentagem, bastando para isto 
multiplicar o valor por 100. 
 
 
13 Estatística Aplicada à Educação 
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3.3. Exemplo 01 
Vamos supor que você, como professor precisa formar uma opinião sobre as notas 
obtidas por seus alunos em uma prova. Os valores obtidos são fornecidos na tabela 
primitiva abaixo: 
30 5 80 8 2 23 50 44 9 95 
20 15 86 5 23 44 57 49 23 83 
72 44 92 63 27 25 92 83 86 77 
89 50 9 97 95 29 77 7 5 7 
98 57 10 49 46 47 68 25 9 9 
 
Para analisar os dados em primeiro lugar você deverá criar uma Rol, colocando as 
notas em ordem crescente. Com isto obterá a tabela a seguir: 
2 7 9 23 29 46 50 72 83 92 
5 8 10 23 30 47 57 77 86 95 
5 9 15 25 44 49 57 77 86 95 
5 9 20 25 44 49 63 80 89 97 
7 9 23 27 44 50 68 83 92 98 
 
Como existem muitos valores, você irá tratar esta variável como uma variável 
contínua que varia de 2 a 98. 
O número de classes será: 
𝑖 = √𝑛
2
 
𝑖 = √50
2
 
𝑖 = 7,07 
𝑖 ≅ 7 
 
 
 
 
14 Estatística Aplicada à Educação 
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O intervalo de classe será: 
ℎ = 
𝐿𝑚á𝑥 − 𝐿𝑚𝑖𝑛
𝑖
 
ℎ = 
98 − 2
7
 
ℎ = 13,71 
ℎ ≅ 14 
A tabela de distribuição de frequências ficará conforme a seguir 
 
3.4. Exemplo 02 
De posse da tabela do exemplo anterior responda as seguintes questões: 
Nota: Lembre-se que sempre se deve escolher os resultados observando o ponto 
médio da classe xi. 
a) Quantos alunos obtiveram nota acima de 50 no questionário? 
b) Quantos alunos obtiveram nota abaixo de 60 no questionário? 
c) Qual a percentagem de alunos que obtiveram nota abaixo de 20 no questionário? 
d) Qual a percentagem de alunos que obtiveram nota acima de 50 no questionário. 
 
Solução: 
a) Quantos alunos obtiveram nota acima de 50 no questionário? 
O ponto médio de classe mais próximo e 50 é 51 referente à classe 4 então obtiveram 
notas acima, os pertencentes às classes, 4, 5, 6 e 7. 
 
11 + 2 + 6 + 9 = 28 alunos. 
 
 
 
15 Estatística Aplicada à Educação 
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b) Quantos alunos obtiveram nota abaixo de 60 no questionário? 
Como é abaixo vamos considerar somente até a classe inferior que é a classe 4, 
então: 
13 + 8 + 1 + 11 = 33 alunos. 
 
c) Qual a percentagem de alunos que obtiveram nota abaixo de 20 no questionário? 
Como é abaixo vamos utilizar o mesmo critério do item anterior, somente os valores 
abaixo, então seriam 13 alunos, mas o percentual é 26%. 
 
d) Qual a percentagem de alunos que obtiveram nota acima de 50 no questionário. 
Como á acima vamos utilizar o critério de incluir a classe com ponto médio próximo 
à 50, então: 
 
22% + 4% + 12% + 18% = 56% 
 
 
 
16 Estatística Aplicada à Educação 
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4. GRÁFICO ESTATÍSTICO 
 
Objetivo 
Esta aula apresenta os principais gráficos utilizados não só em estatística como no 
dia a dia tanto de escolas, como de empresas. Aprender a ler, construir e utilizar gráficos 
como uma forma de interpretação de dados, é de fundamental importância para todos os 
ramos de atividade. 
 
Nesta aula, você verá que dependendo do que se quer visualizar e de como os dados 
foram obtidos, existem diferentes tipos de gráficos e a utilização do gráfico correto é uma 
das mais importantes decisões que devem ser tomadas pelo elaborador de um material. 
4.1. O que é um gráfico estatístico 
É uma forma de apresentar dados estatísticos, que tem dentre os seus objetivos 
visualizações alternativas para pesquisadores e para o público em geral. 
 
Muitas vezes, a utilização de gráficos apresenta-se como uma excelente alternativa 
a tabelas, ou mesmo à simples visualização de dados, por este motivo, sempre que 
possível, deve-se prever a construção de gráficos alternativamente à tabela tanto em 
relatórios como em arquivo de dados. 
4.2. Algumas regras gerais 
4.2.1. Normas IBGE 
Segundo a nova revisão das normas IBGE, tabelas e gráficos devem ser formatados 
conforme o texto “Normas Editoriais e de Formatação de Trabalhos”, que podem ser 
obtidas em http://www.ibge.gov.br/confest_e_confege/normas.htm (acessado em 
23/08/2016), transcrito abaixo. 
 
Tabelas e Gráficos devem ser inseridos no texto como figura e com a seguinte 
formatação: 
Centralizados na página; 
A fonte de letra na tabela deve ser no mínimo de tamanho 10 pt e no máximo de 12 
pt; divida a tabela em duas ou mais, se não couber na página; 
Para títulos, utilize o estilo: Tabela # seguida do título da tabela/gráfico (centralizado 
e negrito); 
A fonte dos dados deve ser indicada, alinhando o texto descritivo com a margem 
esquerda da Tabela/Gráfico; 
Procure evitar grades laterais nas células das tabelas. 
 
http://www.ibge.gov.br/confest_e_confege/normas.htm
 
 
17 Estatística Aplicada à Educação 
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No exemplo mostrado neste link o título está acima. Esta é uma modificação com 
relação à Vídeo aula da Aula 04, portanto, o título, tanto do gráfico como da tabela devem 
ser acima. 
 
4.3. Normas ABNT 
Estas normas também indicam que o título deve estar acima enquanto a fonte e 
outras citações devem ficar abaixo. 
 
4.4. Tipos de gráficos mais comuns 
Muitos tipos de gráficos podem ser utilizados para 
representar os mais diversos conjuntos de dados e principalmente, 
com o advento de softwares como o Microsoft Excel, a diversidade 
destes gráficos é imensa. Neste item serão apresentados os 
principais e mais utilizado, portanto, os que devem ser escolhidos 
na grande maioria das utilizações. Entretanto, o mais importante 
das explicações a seguir está no fato de utilizar o gráfico correto 
para representar o fenômeno que pretendemos apresentar, portanto, veja atentamente 
como escolher o gráfico em cada condição de maneira que seu leitor possa aproveitar da 
melhor maneira possível o gráfico que foi fruto de seu trabalho. 
 
 Os gráficos que serão apresentados são: 
• Gráfico de linhas. 
 
 
 
 
 
• Gráfico de colunas. 
 
 
 
 
 
 
18 Estatística Aplicada à Educação 
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• Gráfico de barras. 
 
 
 
 
 
• Gráfico de setores. 
 
 
 
 
 
• Histograma 
 
 
 
 
 
4.5. Gráfico de linha ou em curva 
São compostos de dois eixos, um eixo vertical (convencionalmente nomeado de y), 
também chamado de eixo dos valores e um eixo horizontal (convencionalmente nomeado 
de x), também chamado de eixo das categorias. 
 
 
Em aplicativos como o Excel, o eixo das categorias apresenta sempre um 
incremento constante, portanto, gráficos que cujos valores do eixo x não sofrem 
sempre o mesmo incremento, não devem ser construídos no Excel utilizando a 
opção de “Gráficos de linha”. Não será assunto deste curso, mas, caso se deseje 
construir gráficos cujos valores do eixo x não tem um acréscimo uniforme, tais 
como gráficos de equações matemáticas, deve utilizar no Excel os “Gráficos de 
dispersão”. 
 
 
 
19 Estatística Aplicada à Educação 
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Os gráficos de linha, são normalmente utilizados para apresentar valores que variam 
a longo do tempo, tais como dias da semana, meses do ano, anos, etc. Podem ser utilizados 
também para apresentar variações de valores entre estágios subsequentes como 
representados nas figuras a seguir: 
4.5.1. Exemplo 
Representar em um gráfico de linhas as estaturas de alunos em uma sala de aula, 
com distribuição de frequências conforme tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lançando os valores de Fi no eixo y e os valores do ponto médio das classes no eixo 
x, teremos a gráfico abaixo.20 Estatística Aplicada à Educação 
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4.6. Gráfico de colunas 
São montados com eixos da mesma maneira que explicados nos gráficos de linha 
do item anterior. A diferença está somente na construção do conteúdo, que ao invés de ser 
uma linha contínua ligando os pontos, são colunas traçadas verticalmente desde o eixo x 
até os valores máximos determinados. 
 
Sua utilização também é semelhante ao dos gráficos de linha, portanto muito 
propícios para representar variações ao longo do tempo ou variações de valores entre 
estágios subsequentes, como representados a seguir. 
 
4.6.1. Exemplo 
Representar em um gráfico de colunas a frequência de alunos em um curso de 
acordo com os dias da semana: 
 
 
21 Estatística Aplicada à Educação 
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Lançando os valores de Fi no eixo y e os dias da semana no eixo x, teremos a gráfico 
abaixo. 
4.7. Gráfico de barras 
São compostos de dois eixos, um eixo horizontal (convencionalmente nomeado de 
x), também chamado de eixo dos valores e um eixo vertical (convencionalmente nomeado 
de y), também chamado de eixo das categorias. 
 
Observe que, as construções dos gráficos de barras são semelhantes às dos gráficos 
de colunas, entretanto os eixos x e y tem funções invertidas, ou seja, no gráfico de barras 
o eixo que recebe os valores é o eixo x e o eixo que recebe as categorias é o eixo y. Então, 
este tipo de gráfico deve receber no eixo y propriedades de elementos, enquanto que os 
valores destas propriedades serão lançados no eixo x. 
 
 
 
22 Estatística Aplicada à Educação 
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É importante que este tipo de gráfico não seja utilizado para representar variações 
ao longo do tempo. 
 
Em aplicativos como o Excel, o eixo das categorias apresenta sempre um 
incremento constante, portanto, gráficos que cujos valores do eixo y não sofrem 
sempre o mesmo incremento, não devem ser construídos no Excel utilizando a 
opção de “Gráficos de barras”. 
 
 
Os dois exemplos a seguir são gráficos que mostram times de futebol ou graus de 
instruções no eixo y, enquanto que seus valores estão no eixo x. 
4.7.1. Exemplo 
Representar em um gráfico de barras a distribuição de frequências da escolaridade 
de funcionários de uma instituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lançando os valores de Fi no eixo x e os graus de instrução no eixo y, teremos a 
gráfico abaixo. 
 
 
23 Estatística Aplicada à Educação 
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4.8. Gráfico de setores 
São utilizados para representar partes de um todo, ou seja, quando você tem um 
todo, por exemplo uma população e sabe que parte dela é formada por crianças, outra parte 
por jovens, outra por adultos e uma última por pessoas da terceira idade você pode utilizar 
um gráfico de setores para mostrar qual a parcela de cada uma destas categorias no total 
da população. 
 
Devido ao seu aspecto, muitos chamam estes gráficos de setores de gráficos de 
pizza. 
 
Os dois exemplos a seguir são excelentes para representar gráficos de setores. 
4.8.1. Exemplo 
 O mesmo exemplo anterior, no caso graus de instruções de uma instituição 
pode muito vem ser representado por um gráfico de setores, conforme mostrado neste 
exemplo. 
 
 
 
24 Estatística Aplicada à Educação 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.9. Histograma 
Um histograma, tem o mesmo formato e modo de construção que um gráfico de 
colunas, a única diferença é que as colunas ficam justapostas. 
 
Diferentemente dos gráficos anteriormente citados, que são gráficos utilizados para 
representar diversos tipos de dados, inclusive dados estatísticos, os histogramas são 
utilizados para representar dados estatísticos. Existem diversos tipos de histograma, tais 
como “histogramas de frequências”, “histogramas de frequências acumuladas” entre outros. 
Nestes tipos de gráficos os valores do eixo horizontal (eixo x), são os pontos médios das 
classes. 
 
O gráfico abaixo representa um histograma de frequências de alturas de pessoas. 
 
 
25 Estatística Aplicada à Educação 
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4.9.1. Exemplo 
Representar em um histograma as estaturas de alunos em uma sala de aula com 
distribuição de frequências conforme a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colocando no eixo x (eixo horizontal) os pontos médios das classes de estatura e no 
eixo y (eixo vertical) a frequência de alunos com cada uma das faixas de altura teremos o 
gráfico da figura a seguir, que é o mesmo representado anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 Estatística Aplicada à Educação 
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5. EXEMPLO COMPLETO COM VARIÁVEL CONTÍNUA 
 
Em uma aula de educação física, o professor registrou a velocidade média de 40 
alunos em uma corrida na quadra. Os valores em km/h foram os seguintes: 
a) Elabore a tabela de distribuição de frequências. 
b) Construa um gráfico de colunas. 
c) Construa um histograma. 
 
 
5.1. Solução 
O primeiro passo é construir ordenar os valores das velocidades, construindo a hol, 
conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Para a construção da tabela de distribuição de frequências deve ser calculado o 
número de classes e o intervalo de classes 
5.1.1. Número de classes: 
 
 
 
 
 
27 Estatística Aplicada à Educação 
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5.1.2. Intervalo de classe: 
 
 
 
 
 
Calcular todos os pontos mínimos e máximos das classes. 
 
Classe Limite mínimo Limite máximo 
1 Primeiro valor = 10 10 + 4 = 14 
2 Valor máximo da classe anterior = 14 14 + 4 = 18 
3 Valor máximo da classe anterior = 18 18 + 4 = 22 
4 Valor máximo da classe anterior = 22 22 + 4 = 26 
5 Valor máximo da classe anterior = 26 26 + 4 = 30 
6 Valor máximo da classe anterior = 30 30 + 4 = 34 
 
Observar a frequência que as alturas aparecem em cada uma das classes e montar 
a tabela de “Distribuição de frequências”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 Estatística Aplicada à Educação 
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Calcular o ponto médio de todas as classes: 
Primeira classe: 
 
 
 
 
 
 
Demais classes: 
 
Classe Ponto médio (xi) 
2 = (14 +18)/2 = 16 
3 = (18 + 22)/2 = 20 
4 = (22 + 26)/2 = 24 
5 = (26 + 30)/2 = 28 
6 = (30 + 34)/2 = 32 
 
Calcular a frequência acumulada: 
Primeira classe: 
 
 
 
Segunda classe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 Estatística Aplicada à Educação 
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Demais classes: 
 
Classe Frequência acumulada (Fa) 
3 = 10 + 13 = 23 
4 = 5 + 23 = 28 
5 = 5 + 28 = 33 
6 = 7 + 33 = 40 
 
Calcular a frequência relativa: 
Primeira classe: 
 
 
 
 
 
 
Demais classes: 
Classe Frequência relativa (Fr) 
2 = 7/40 = 0,175 
3 = 10/40 = 0,250 
4 = 5/40 = 0,125 
5 = 5/40 = 0,125 
6 = 7/40 = 0,175 
 
 
Calcular a frequência relativa acumulada: 
 
Primeira classe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 Estatística Aplicada à Educação 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Segunda classe: 
 
 
 
 
 
Demais classes: 
 
Classe 
 
Frequência relativa 
acumulada (Fra) 
3 = 0,250 + 0,325 = 0,575 
4 = 0,125 + 0,575 = 0,700 
5 = 0,125 + 0,700 = 0,825 
6 = 0,175 + 0,825 = 1,000 
 
 
Calcular a frequência relativa acumulada percentual: 
 
Primeira classe: 
 
 
 
 
 
 
Demais classes: 
Classe Frequência Relativa 
acumulada percentual 
(Fra%) 
2 = 100.0,175 = 17,5 
3 = 100.0,250 = 25,0 
4 = 100.0,125 = 12,5 
5 = 100.0,125 = 12,5 
6 = 100.0,175 = 17,5 
 
 
 
31 Estatística Aplicada à Educação 
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Construção do gráfico de colunas 
Colocar no eixo vertical (eixo y) os valores das frequências (Fi) e no eixo horizontal 
(eixo x), os valores dos pontos médios das classes 
 
O gráfico ficará conforme a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construção do histograma de frequência 
É o mesmo gráfico do item anterior, porém com as colunas encostadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 Estatística Aplicada à Educação 
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6. EXEMPLO COMPLETO COM VARIÁVEL DISCRETA 
 
Ao final do período letivo em uma escola foram levantados os dados a seguir sobre 
a performance dos alunos: 
a) Elabore a tabela de distribuição de frequências com a frequência de cada conjunto 
de alunos. 
b) Construa um gráfico de barras. 
c) Construa um gráfico de setores 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1. Solução 
Como a variável é discreta o número de classes é a própria quantidade de eventos, 
no caso 5, portanto, não existe intervalo de classe e não existe necessidade de ordenar os 
dados para criar a Rol. 
6.1.1. Tabela de distribuição de frequências: 
A tabela de distribuição de frequências é a própria tabela fornecida, conforme a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 Estatística Aplicada à Educação 
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6.1.2. Construção do gráfico de barras 
Colocar no eixo horizontal (eixo x) os valores das frequências (Fi) e no eixo vertical 
(eixo y), os eventos a serem estudadas. 
 
O gráfico ficará conforme a seguir: 
6.1.3. Construção do gráfico de setores 
Basta seccionar um círculo com setores proporcionais à quantidade de alunos em 
cada uma das condições, montando um gráfico conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
34 Estatística Aplicada à Educação 
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7. MÉDIA ARITMÉTICA E DESVIO 
 
Objetivo 
Nesta aula será apresentada a média aritmética e o desvio de valores em relação à 
média. Média aritmética é a primeira medida de tendência central que será apresentada. 
 
7.1. Definição de Média Aritmética 
É o quociente da divisão entre a soma dos valores das variáreis de uma distribuição, 
pelo número de variáveis que compõe esta distribuição. A média aritmética é considerada 
uma medida de tendência central, visto que, focaliza valores centrais entre conjuntos de 
valores. 
 
A média aritmética é obtida pela equação: 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 A média aritmética é a medida de posição que possui maior estabilidade, deve 
ser utilizada quando houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior. 
 
 
 
7.1.1. Exemplo 
Sabemos que as idades de 7 alunos que no momento estão brincando no pátio são: 
10, 14, 13, 15, 18 e 12 anos. Qual a idade média destes alunos? 
 
 
�̅� = 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
 
�̅� = 
∑ 𝑥
𝑖
𝑛
 
 
 
35 Estatística Aplicada à Educação 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
7.2. Desvio em relação à média 
É a diferença entre cada um dos elementos de um conjunto e o valor da média. 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 Como todos os desvios referem-se à média, a soma dos desvios será sempre nula. 
Conferir se a soma dos desvios resulta em zero, é um modo fácil de confirmar se 
os cálculos estão corretos. 
 
 
 
7.2.1. Exemplo 
Calcular o desvio de cada uma das idades dos alunos do exemplo anterior: 10, 14, 
13, 15, 16, 18 e 12 anos. 
 
 
�̅� = 
10+14+13+15+16+18+12
7
 
�̅� = 
98
7
 �̅� = 14 
𝑑𝑛 = 𝑥𝑖 − �̅� 
 
 
36 Estatística Aplicada à Educação 
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Confirmando a soma dos desvios deve ser igual à zero: 
 
 
 
 
 
7.3. Média aritmética de dados agrupados 
Quando os dados são agrupados, as frequências de classe são indicadores de 
intensidade, ou seja, elas indicam a quantidade de vezes que cada um dos valores da 
distribuição acontece, portanto, elas funcionam como fatores de ponderação, então, a 
média aritmética é obtida pela equação: 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se os dados estiverem agrupados em intervalos de classe, para somatória dos 
valores, utiliza-se a somatória dos pontos médios das classes. 
 
 
 
7.3.1. Exemplo de dados agrupados sem intervalo de classe 
Um professor construiu a tabela abaixo com a distribuição de frequência dos meninos 
em grupos de alunos para um trabalho. Qual a média de meninos por grupo? 
∑ di
7
1 = (-4)+0+(-1)+1+2+4+(-2) 
∑ 𝑑𝑖
7
1 = 0 
 
 
37 Estatística Aplicada à Educação 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3.2. Exemplo de dados agrupados com intervalo de classe 
O professor de Educação física mediu a estatura de seus alunos e montou a tabela 
abaixo. Qual a estatura média dos alunos desta classe? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que foi utilizado para xi o ponto médio de cada intervalo de classe dos 
valores das alturas dos alunos. 
 
 
Observando a tabela temos: 
Observando a tabela temos 
A resposta é 2 meninos por grupo 
 
 
38 Estatística Aplicada à Educação 
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8. MODA E MEDIANA 
 
Objetivo 
Nesta aula serão apresentadas mais duas medidas de tendência central que auxiliam 
na interpretação de dados estatísticos. 
8.1. Definição de Moda 
Moda é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Se 
tomarmos como exemplo notas de uma prova ou de uma disciplina, a moda será a nota 
obtida pela maioria dos alunos. 
 
Podem existir grupos de valores nos quais nenhum valor aparece mais de uma vez, 
então, podemos afirmar que esta série de valores é amodal, assim como, podem existir 
grupos com mais de um valor sendo repetido o mesmo número de vezes, estas distribuições 
são chamadas de bimodais (duas modas), trimodais (3 modas) e assim por diante. 
8.1.1. Exemplo 
Em um jogo de basquete, o professor de educação física anotou o número de cestas 
que cada aluno acertou em três turmas. Quais as modas de acertos dos alunos em cada 
uma das turmas. 
 
Turma A: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 15. 
Turma B: 3, 5, 8, 10, 12, 13, 15. 
Turma C: 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. 
 
Respostas: 
Turma A: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 15 => Moda da Turma A: 10. 
Turma B: 3, 5, 8, 10, 12, 13, 15. => Turma B não tem moda é amodal. 
Turma C: 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. => Turma C é Bimodal: 4 e 7. 
8.1.2. Moda de dados agrupados 
Quando os dados estão agrupados a moda, corresponde ao valor de maior 
frequência. Caos os dados estejam agrupados com intervalo de classe, a moda será o 
ponto médio da classe de maior frequência. 
 
 
39 Estatística Aplicada à Educação 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
8.1.3. Exemplo: moda com dados agrupados sem intervalo de classe 
Utilizando o mesmo exemplo do professor que construiu uma tabela com a 
distribuição de frequência dos meninos em grupos de alunos para um trabalho. Qual a moda 
de meninos por grupo? 
 
Solução: 
Conforme definição, a moda é o valor da classe de 
maior frequência. Como a maior frequência é 12, a moda será 
3. 
 
8.1.4. Exemplo: moda com dados agrupados com intervalo de classe 
No mesmo exemplo anterior, no qual o professor de educação física montou a tabela 
com a estatura média dos alunos de sua classe, calcular a moda. 
 
Solução: 
Conforme definição, a moda será o ponto médio da 
classe com maior frequência. Como a classe com maior 
frequência é a classe 3 (frequência 11), podemos afirmar 
que a moda será o ponto central da classe 3 que é: 
 
 
 
 
 
 
8.2. Mediana 
Em um conjunto de valores ordenados, a mediana é o valor situado de tal forma que 
os subconjuntos antes e depois do valor da mediana são iguais. Caso a quantidade de 
valores do conjunto seja um número ímpar, a moda será a média entre os dois valores 
centrais. 
8.2.1. Exemplo com número ímpar de valores 
Determine a mediana do seguinteconjunto de valores: 2, 5, 6, 9,10,13,15,16,18. 
 
 
40 Estatística Aplicada à Educação 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Solução: Como existem 9 valores, portanto um número ímpar de valores, basta 
separar 4 valores de cada lado e a mediana será o valor central. 
 
 
A mediana será 10. 
 
 
8.2.3. Exemplo com número par de valores 
Determine a mediana do seguinte conjunto de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 19. 
Solução: Como existem 8 valores, portanto um número par de valores, basta separar 
3 valores de cada lado e a mediana será a média dos dois valores centrais. 
 
A mediana será a média entre 10 e 12, 
portanto: 
 
 
 
8.2.4. Mediana de dados agrupados sem intervalo de classe 
Quando os dados são agrupados sem intervalo de classe, o cálculo é feito da 
seguinte maneira: 
a) Calcula-se a frequência acumulada da distribuição: = ∑ 𝑓𝑖 
b) Divide-se o número total de elementos da distribuição por 2: = 
∑ 𝑓𝑖
2
 
c) Procura-se a menor frequência acumulada que supera o valor obtido anteriormente. 
d) A mediana será o valor desta classe: 
8.2.5. Exemplo: mediana com dados agrupados sem intervalo de classe 
Utilizando o mesmo exemplo do professor que construiu uma tabela com a 
distribuição de frequência dos meninos em grupos de alunos para um trabalho. Qual a 
mediana de meninos por grupo? 
 
 
41 Estatística Aplicada à Educação 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
Solução: 
Incluir na tabela a coluna de frequência acumulada. 
Dividir o número total de elementos por 2 
 
 
 
 
Procurar o menor valor de frequência 
acumulada que supera 17, que é o valor 18. 
 
A mediana será o valor da classe de frequência 
acumulada 18 que é 2. 
 
 
 
8.2.6. Mediana de dados agrupados com intervalo de classe 
Quando os dados são agrupados com intervalo de classe, o cálculo é feito de 
maneira semelhante ao do item anterior, porém, o valor da mediana é obtido através de 
uma equação e não por simples observação de valor. O procedimento é o seguinte: 
a) Calcula-se a frequência acumulada da distribuição: = ∑ 𝑓𝑖 
b) Divide-se o número total de elementos da distribuição por 2: = 
∑ 𝑓𝑖
2
 
c) Procura-se a menor frequência acumulada que supera o valor obtido anteriormente. 
d) Calcular a mediana pela equação: 
 
 
 
 
 
42 Estatística Aplicada à Educação 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
8.2.7. Exemplo: mediana com dados agrupados com intervalo de classe 
No mesmo exemplo anterior, no qual o professor de educação física montou a tabela 
com a estatura média dos alunos de sua classe, calcular a mediana. 
 
 Solução: 
Incluir na tabela a coluna de frequência acumulada. 
Dividir o número total de elementos por 2 
 
 
 
 
 
 
Procurar o menor valor de frequência acumulada 
que supera 20, que é o valor 24 
Calcular a mediana utilizando a equação: 
 
 
 
 
 
 
43 Estatística Aplicada à Educação 
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Onde: 
Li = Limite inferior da classe mediana =158 
 
Fi = Frequência da classe mediana =11 
Fa(ant) = Frequência acumulada anterior à 
mediana =13 
h= Intervalo de classe da classe mediana = 4 
 
 
 
 
 
 
Somatória de Fi dividido por 2 (já calculado) = 
20 
 
 
44 Estatística Aplicada à Educação 
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9. EXEMPLOS ADICIONAIS 
 
9.1. Exemplo com dados não agrupados 
As notas da prova de ciências são fornecidas na tabela abaixo. Determine: 
 
a) A nota média. b) A nota mais comum (moda). c) A mediana das notas. 
 
 
 
 
Solução: 
Ordenando os valores teremos: 
 
 
Observando a frequência de cada uma das notas temos: 
Nota 3: f = 2 
Nota 4: f = 2 
Nota 5: f = 3 
Nota 6: f = 5 
Nota 7: f = 3 
Nota 8: f = 7 
Nota 9: f = 6 
Nota 10: f = 2 
 
Média: Com a frequência de cada valor, para calcular a média: 
 
 
Moda: É a nota que aconteceu mais vezes, aquela que tem maior frequência: 
𝑴𝒐𝒅𝒂 = 𝟖 (7 alunos obtiveram 8) 
 
Mediana: Como o número de notas (30) é par a mediana será a média dos dois 
valores centrais: 
 
7 6 5 4 8 9 5 8 8 8 
8 10 3 6 9 8 7 9 9 9 
10 3 6 5 8 7 6 9 4 6 
3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 
10 10 
 
 
45 Estatística Aplicada à Educação 
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9.2. Exemplo com dados agrupados 
Para obter mais informações sobre seus alunos e poder participar uma reunião sobre 
assiduidade em suas aulas em uma determinada classe de sua escola. 
 
Você preparou a tabela abaixo. Baseado nesta tabela, calcule: 
 
a) A média de faltas. b) A moda das faltas. c) A mediana das faltas. 
 
Solução 
Incluir na tabela a coluna com os produtos Xi.fi e a coluna 
de frequências acumuladas. 
 
 
 
 
Média: A média das faltas é obtida 
pela equação: 
 
 
 
 
 
 
Moda: É o valor de classe (número de faltas) correspondente ao valor de maior 
frequência. O valor maior valor de frequência, Fi é 8, portanto, a moda será 4; 
 
Mediana: Para obter a mediana devemos primeiro dividir a soma de Fi por 2 
 
 
 
 
 
 
O menor valor de Fa que supera 15 é 19, portanto, a mediana das faltas é 3. 
 
 
46 Estatística Aplicada à Educação 
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Observe que em sua reunião, você poderá falar que embora a média de faltas da 
classe seja 2,3, um número relativamente baixo, a moda (o mais comum) foi de 4 faltas, ou 
seja, muitos alunos estão com 4 faltas, isto se dá porque alguns alunos são muito assíduos 
e, ou não faltaram ou tiveram apenas 1 ou duas faltas, mas o número de alunos com 4 
faltas é o que talvez prejudique o rendimento da turma.