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Aula 01
Curso: Raciocínio Lógico p/ IBGE (Técnico em Informações Geográficas e Estatísticas)
Professor: Arthur Lima
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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AULA 01: ÁLGEBRA
SUMÁRIO PÁGINA
1. Teoria 01
2. Resolução de exercícios 39
3. Questões apresentadas na aula 85
4. Gabarito 99
Olá!
Nesta primeira aula trabalharemos tópicos de aritmética / matemática básica
para nos facilitar a introdução ao tema “Álgebra” do seu edital. Começaremos vendo
os conjuntos numéricos, bem como alguns outros tópicos que, embora não
explicitados no seu edital, são essenciais para a resolução da maioria das questões.
Tenha uma boa aula. Permaneço à disposição para dirimir quaisquer
dúvidas.
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos números
conhecidos. Vejamos em detalhes cada um deles.
1.1 NÚMEROS NATURAIS
Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de
“contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O
símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre
chaves:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22…}
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem
infinitos números naturais.
Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural
propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se
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o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero.
Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…}
Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais:
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o
sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”.
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o
antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”.
Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro
número desse conjunto.
c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são
números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números
consecutivos.
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido
por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par.
e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam
resto 1.
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que:
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18;
12 – 6 = 6.
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18;
13 – 5 = 8.
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.:
12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7.
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24.
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15.
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 =
6.
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1.2 NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos
(negativos). Isto é,
Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12...}
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem
todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de
números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou
ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre
N e Z:
Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números.
Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos:
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais.
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz
parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo.
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte.
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte.
1.3 NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma
da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser
escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos:
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é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4.
é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9,
ou a divisão de 15 por -9.
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo
número 1.
Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural
é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto
porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo
ser representado na forma (A dividido por 1, onde A é um número inteiro
qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e
Racionais, faz sentido para você:
O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma
, concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma , o
denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número
por zero é impossível (exceto
0
0
, cujo valor é indeterminado).
No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números:
a) Frações. Ex.: , , etc.
b) Números decimais. Ex.: 1,25
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Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número
definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na
forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como , ou mesmo
simplificá-lo para .
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o
algarismo 3 repete-se indefinidamente).
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também
podem ser escritas na forma . O número deste exemplo poderia ser escrito
na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração é
equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima
periódica: 1,352525252... ou .
Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a
dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou simplesmente 0,3 .
Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é igual a
1
3
. Existem métodos
que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até a fração que deu
origem a ela.
Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é
o caso em:0,333...
0,353535...
0,215215215...
Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da
repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo:
0,1333...
0,04353535...
0,327215215215...
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Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo
após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números
entre a vírgula e o início da repetição.
� Casos onde a repetição começa logo após a vírgula:
Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração que dá
origem a esta dízima. Ou seja,
X = 0,333...
Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta
dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número
da repetição:
10X = 10 x 0,333... = 3,333...
Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração:
10X – X = 3,333... – 0,333...
Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas casas
decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é:
9X = 3
3 1
9 3
X = =
Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é
1
3
X = .
Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima
0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa
separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da
dízima, temos:
X = 0,216216216...
Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula,
precisamos multiplicar X por 1000:
1000X = 216,216216216...
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Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz:
1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216...
999X = 216
216 24
999 111
X = =
Assim, a geratriz de 0,216 é a fração
24
111
.
� Casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição:
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Veja
que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da
repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz,
temos:
X = 1,327215215215...
Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os
termos que se repetem:
1000X = 1327,215215215...
E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira repetição
“215” para o lado esquerdo da vírgula:
1000000X = 1327215,215215215...
Assim, podemos efetuar a seguinte subtração:
1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215...
999000X = 1327215 – 1327
999000X = 1325888
1325888
999000
X =
Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Poderíamos
ainda simplificá-la, se quiséssemos.
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1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são:
adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas.
a) Adição:
A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a
adição de 15 e 6 é:
15 + 6 = 21
Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos
exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes
números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades):
728
+46
A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6
obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado
e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma:
1
728
+46
4
Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar
também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos
colocar este número no resultado:
728
+46
74
Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o
segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar
este 7 para o resultado, obtendo:
728
+46
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Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima
operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição.
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais possui a
propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 +
46 é igual a 46 + 728.
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, podemos
primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que
obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.:
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14.
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer
número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45.
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números
racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma dos números racionais
2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7).
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles,
o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4
unidades:
9 – 5 = 4
Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de
números racionais (veja que, por simplicidade, estamos usando números inteiros
nos exemplos, que não deixam de ser também racionais). Vamos efetuar a
operação 365 – 97:
365
- 97
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Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro,
alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da
casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 – 7.
Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando
este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam
a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado:
365
- 97
8
Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e
não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é
menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das centenas de
365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado:
365
- 97
68
Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3
na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação
anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o
resultado:
365
- 97
268
E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é
menor que 365, devemos:- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97;
- colocar o sinal negativo (-) no resultado.
Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da
operação de subtração.
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- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais NÃO
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado.
Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268.
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) –
C pode ser diferente de (C – B) – A
- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero
de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2.
- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui essa
propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro
número racional.
- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu oposto, com
sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc.
Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado
a A, resulta em zero:
A + (-A) = 0
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por
exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 +
15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como
efetuar uma multiplicação:
57
x 13
Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os
números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no
resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação:
2
57
x 13
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1
Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3)
pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este
valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 =
17. Assim, temos:
57
x 13
171
Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1)
pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este
número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo
das dezenas do segundo número (1). Veja:
57
x 13
171
7
A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número
(1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos:
57
x 13
171
57
Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo:
57
x 13
171
570
741
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57,
transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da
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multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo
das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante.
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números.
Você deve se lembrar que:
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25.
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Ex.: 5x(-5) = -25.
Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13),
deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter
741.
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação:
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é
igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15).
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C
é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x
3) x 2 = 24.
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao
multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 =
5.
- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a
multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 5 x 7 =
35, que é racional).
- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta
propriedade nos permite dizer que:
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)
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Exemplificando:
5x(3+7) = 5x(10) = 50
ou, usando a propriedade:
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes
de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos
dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5÷ = . Vamos relembrar como
efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18:
715 |18
Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de
divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18),
devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja
que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos:
715 |18
3
Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir
efetuar a subtração:
715 |18
-54 3
17
Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5):
715 |18
-54 3
175
Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado,
à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para
efetuarmos a subtração:
715 |18
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-54 39
175
-162
13
Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto,
encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13.
Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto.
Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo
quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é:
715 = 18 x 39 + 13
Como regra, podemos dizer que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas
da multiplicação:
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2),
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5.
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão:- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode
ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.
- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C
pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2.
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir
qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5.
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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- propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a divisão de
números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é
racional).
Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo sobre as
propriedades das operações com números racionais:
Elem.
Neutro
Comut. Assoc. Fecham.
Distributiva
Adição zero Sim Sim Sim
Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + +
Multiplicação 1 Sim Sim Sim
Sim:
( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + ×
Subtração zero Não Não
Sim
Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + −
Divisão 1 Não Não Sim
Não:
( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷
1.3.2 Operações com frações
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com
frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever
2
5 é equivalente a
escrever 2 5÷ . As frações estão constantemente presentes na resolução de
exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação
com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão.
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo
denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é,
simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais.
Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico.
Vamos entender isto com o exemplo abaixo:
1 3
6 8
+
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������
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������������� �������� ��!∀�
�
�
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���
��������������������������������������������������������
Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24).
Para trocar o denominador da fração
1
6
� para 24, é preciso multiplicar o
denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4,
para manter a fração. Portanto,
1 4
6 24
= ��
Já para trocar o denominador da fração
3
8
�para 24, é preciso multiplicar o
denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3,
para manter a fração. Portanto,
3 9
8 24
= ��
Agora sim podemos efetuar a soma:
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24
+
+ = + = =
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador
da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo:
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48
×
× = =
×
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja
isso em nosso exemplo:
1
1 3 1 8 86
3 6 8 6 3 18
8
= ÷ = × =
*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente podemos
substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como:
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente
1
1000
3
× !
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é
2
25
7
× �
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600)
presentes em um evento? Simplesmente
1
(700 600)
4
× + .
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������������� �������� ��!∀�
�
�
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���
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- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é
dada pela expressão
5
( )
9
X Y× − .
Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos
exercícios!
1.3.3 Operações com números decimais
Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não-
exata de dois números inteiros. São os números que possuem “casas após a
vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões,
motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los,
elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas
operações em detalhes.
a) Adição de números decimais:
A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum.
Isto é:
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo
abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a
esquerda.
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a
próxima adição (das casas logo à esquerda).
Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números
um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas
correspondentes em uma mesma vertical:
13,47
+ 2,9
Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da
casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro
número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por
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�
�
������������� �����������������������������������
���
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diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0.
Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da
direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 =
13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso,
temos:
13,47
+ 2,9
16,37
b) Subtração de números decimais:
Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a
vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir
devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos:
13,47
- 2,9
10,57
Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi
preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la”
em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 9, obtendo o resultado 5.
A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do
“3” já havia sido utilizada.
c) Multiplicação de números decimais:
Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas
observações:
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração,
isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro.
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas
decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a
vírgula.
Vejamos o nosso exemplo:
13,47
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�
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���
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x 2,9
12123
+ 26940
39,063
Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47
por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há
um 0 à direita porque o 2está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma
das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos
números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas
decimais no resultado, o que leva ao número 39,063.
d) Divisão de números decimais:
Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar
ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000,
10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só
efetuar a operação normalmente.
Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que
possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim,
devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas
decimais:
3,5 x 100 = 350
0,25 x 100 = 25
Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo
como resultado o número 14.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui,
efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida.
a) 2,25 + 1,7
b) 2,25 – 1,7
c) 2,25 x 1,7
d) 2,25 / 1,5
e) 0,898 + 1,12
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f) 0,898 – 1,12
g) 0,898 x 1,12
h) 0,898 / 0,01
Respostas:
a) 3,95
b) 0,55
c) 3,825
d) 1,5
e) 2,018
f) -0,222
g) 1,00576
h) 89,8
1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA
Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os números
racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para
ambos os lados:
É possível localizar a posição exata de um número racional na reta numérica,
ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número
3
4
, ou 0,75
(na forma decimal). Na reta numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e 1 em
quatro partes, e colocar o número
3
4
ao final da terceira delas:
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS
Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não
podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na
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forma (onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são
formados por uma seqüência infinita de algarismos.
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com
um número irracional:
(as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos)
Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na
trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma
dízima periódica, o que faz dele um número irracional:
Devo ainda fazer uma observação a respeito da representação desses
números na reta numérica:
- não é possível localizar precisamente um número irracional na reta numérica. Isto
porque esses números tem infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo
possível escrevê-los na forma
A
B
e usar o mesmo método que vimos para localizar
os números racionais.
1.5 NÚMEROS REAIS
O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais
e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que:
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no
dos Racionais, que está contido no dos Reais)
E, além disso,
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais)
Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora
temos:
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No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos
Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos
Números Irracionais e Reais.
1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas
para os racionais.
1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA
Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e
irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser posicionados
precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser localizados
exatamente (os irracionais).
1.6 TÓPICOS ADICIONAIS DE MATEMÁTICA BÁSICA
Apesar de não mencionados explicitamente, entendo que é preciso tratarmos
– ainda que rapidamente – sobre alguns aspectos de matemática básica que serão
essenciais na resolução de exercícios.
1.6.1 NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO
Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem
deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer
número, ele pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e não deixando resto
algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há
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um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto
novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele
mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os listados
abaixo:
{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...}
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os
demais são ímpares.
Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de
números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de
transformar um número qualquer em um produto de números primos é chamado de
fatoração.
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é
o menor número primo (muitos autores não consideram que o 1 seja um número
primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir
novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3.
Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo
número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para
chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3
em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize
este processo abaixo:
Número Fator primo
24 2
12 2
6 2
3 3
1 Logo, 24 = 23 x 3
Para praticar, vejamos a fatoração do número 450:
Número Fator primo
450 2
225 3
75 3
25 5
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5 5
1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52
Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é divisível
(ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que
conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo:
Número Fator primo
1001 7
143 11
13 13
1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13
A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo
Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir.
1.6.2MÚLTIPLOS E DIVISORES
Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a
pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado
número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois
números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível
por outro (critérios de divisibilidade).
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos
multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6,
9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por 1,
2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os
múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois.
Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12:
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc.
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc.
Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24,
48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste
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caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O cálculo do
MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante.
Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado pelos
seguintes passos:
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos;
2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos
dois números, de maior expoente.
Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo
12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3.
Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de
maior expoente (isto é, MMC = 23 x 3 = 24).
A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5,
e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45.
Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de questões,
imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar
festas em suas casas periodicamente. João costuma realizar festas de 9 em 9 dias,
enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve
festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos
coincidirão novamente?
Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias,
a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de
José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias
em que ambos darão festas devem ser um múltiplos de 9 e também de 15, isto é,
múltiplos comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos,
isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9,
15) = 45. Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45
dias.
Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata,
não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por
outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 25 5 5÷ = , portanto 25 é
divisível por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o
número 1765830275 é divisível por 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito
tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de
divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo:
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Principais critérios de divisibilidade
Divisor* Critério Exemplos
1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...
2
Números pares (isto é, terminados
em um algarismo par)
0, 2,4, 28, 490, 522 etc.
3
Números cuja soma dos algarismos
é divisível por 3
0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6),
27 (2+7=9), 51 (5+1=6), 915
(9+1+5=15) etc.
4
Se o número formado pelos 2
últimos dígitos for divisível por 4
0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc.
5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc.
6 Números divisíveis por 2 e por 3
0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15)
etc.
9
Números cuja soma dos algarismos
é divisível por 9
0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155
(7+1+5+5=18) etc.
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc.
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, motivo
pelo qual praticamente não são cobrados.
Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o
maior número pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto
é, sem deixar resto.
Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os
divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40:
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8.
Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40.
Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada número
(como fizemos acima), basta seguir 2 passos:
1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 25; 40 = 23×5)
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2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor
expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor expoente é 3.
Logo, MDC = 23 = 8);
Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o seguinte caso:
temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e
grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo
número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível?
Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30
pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem
deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30.
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos também
que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar
grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 10
gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5.
1.6.3 POTÊNCIAS
Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a fatoração,
mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação matemática. Observe
o exemplo abaixo:
35 5 5 5 125= × × =
(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes cinco”)
Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma
determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele mesmo, “n” vezes.
Outro exemplo, para não deixar dúvida:
42 2 2 2 2 16= × × × =
(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 vezes”)
Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base
(número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito básico, podemos
analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão
bastante o manuseio de equações que envolvam potências:
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1.
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�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� ��������������������������������������
��������������������������������������������������������
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer
que:
0
0
0
5 1
( 25) 1
0,3 1
=
− =
=
b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero.
Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado por ele
mesmo, “n” vezes. Ex.:
30 0 0 0 0= × × =
c) Multiplicação de potências de mesma base (X):
A questão aqui é como multiplicar 2 34 4× . Normalmente você faria assim:
× = × × × × =
2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024
Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas potências
têm a mesma base 4:
+
× = = =
2 3 2 3 54 4 4 4 1024
d) Divisão de potências de mesma base (X):
Como você faria a divisão
5
3
4
4
? Provavelmente seria assim:
5
3
4 4 4 4 4 4
4 4 16
4 4 4 4
× × × ×
= = × =
× ×
Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o numerador e
denominador da divisão tem a base 4. Veja:
5
5 3 2
3
4
4 4 16
4
−
= = =
Analogamente, observe que 33
1
4
4
−
= . Isto porque:
0
0 3 3
3 3
1 4
4 4
4 4
− −
= = =
O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o
denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da
potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 3 54 4− × . Temos duas formas:
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�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
� Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando
os expoentes:
3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16− − +× = = =
� Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34− para o denominador e,
a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base:
5
3 5 5 3 2
3
4
4 4 4 4 16
4
− −
× = = = =
e) Potência de potência:
A questão agora é resolver 2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 à
segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira
potência (ao cubo):
2 3 3(2 ) (4) 64= =
Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre
os dois expoentes:
2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64×= = =
f) Raiz de potência:
Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de
uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é
equivalente a elevá-lo a
1
2
, obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo a
1
3
, e assim
por diante.
Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderíamos fazer
simplesmente assim:
62 2 2 2 2 2 2 64 8= × × × × × = =
Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a
1
2
, podemos fazer:
( )
11
66 6 3222 2 2 2 8
×
= = = =
Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para
resolver este caso.
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�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
g) Potência de produto:
Se tivermos que resolver uma expressão como 2(2 3)× , podemos fazer de
algumas formas:
� 2 2(2 3) (6) 36× = =
� 2(2 3) (2 3) (2 3) 36× = × × × =
� 2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36× = × = × =
Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B× elevado à uma
potência “n” é igual ao produto das potências nA e nB .
h) Potência de base 10:
Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número natural “n”,
fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 1 seguido de “n”
zeros:
3
6
10 1000
10 1000000
=
=
Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar
as propriedades que vimos acima. Veja exemplos:
3
3
6
6
1 1
10 0,001
10 1000
1 1
10 0,000001
10 1000000
−
−
= = =
= = =
i) Potência de base negativa:
Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual
será o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ?
Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo.
Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, como 3 é ímpar, o
resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas:
3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8× × = × = −
Veja um exemplo com expoente par:
4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16× × × = × =
j) Fração elevada a um expoente:
Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e
denominador estão elevados àquele expoente. Veja:
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�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
3 3
3
2 2
3 3
� �
=� �
� �
Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas:
3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 8
3 3 3 3 3 3 3 3 27
× ×� �
= × × = = =� �
× ×� �
1.6.4 RAÍZES
Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à potenciação.
Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa que 3 elevado ao
quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o
símbolo n ou elevando o número em questão ao expoente
1
n
. Veja alguns
exemplos:
1
3 327 27 3= = , pois 33 27=
1
2 216 16 4= = , pois 24 16=
Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou
simplesmente .
As principais propriedades da radiciação são:
a) Qualquer raiz de zero é igual a zero:
Isto é, 0 0n = . Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta
em zero.
b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1:
Ou seja, 1 1n = . Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em
1.
c)
a
b a bx x=
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������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando,
6
3 6 234 4 4 16= = = .
d) Raiz “n” de produto é igual ao produto das raízes “n”:
Isto é, a raiz “n” de A x B é igual a raiz “n” de A x raiz “n” de B:
n n nA B A B× = ×
Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o mesmo
radical “n”. Ilustrando, temos que:
25 16 25 16 5 4 20× = × = × =
e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes:
A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B:
n
n
n
A A
B B
=
Veja esse exemplo:
25 25 5
16 416
= =
f) Raiz de raiz:
Por essa propriedade, temos que n m n mA A×= . Exemplificando:
3 3 2 62 2 2×= =
Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência:
1
1 1 11 1 333 62 3 62 22 2 2 2 2 2
� �
= = = =� �
� �
=
Vamos estudar um método para extrair a raiz de um número. Ele consiste em
2 passos:
1. Decomposição do número em fatores primos
2. Aplicação da propriedade
a
b a bx x=
A título de exemplo, vamos calcular 3 216 . Lembre-se que os números
primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11,
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�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos começar dividindo 216 pelo menor número primo
(2) e, quando não mais for possível, passamos para o número primo seguinte (3), e
assim sucessivamente. Teremos:
Número Fator primo
216 2
108 2
54 2
27 3 (pois não é mais possível usar o 2)
9 3
3 3
1 Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 23 x 33
Feito isso, podemosaplicar a propriedade da radiciação da seguinte forma:
1 1 1
3 33 3 3 3 1 13 3 3 3 3216 (2 3 ) (2 3 ) 2 3 2 3 6
× ×
= × = × = × = × =
Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de Potenciação e
revisar as propriedades que estudamos.
Vamos resolver mais um caso: 7056 . Decompondo 7056 em fatores
primos, temos:
Número Fator primo
7056 2
3528 2
1764 2
882 2
441 3
147 3
49 7
7 7
1 Logo, 4 2 27056 2 3 7= × ×
Portanto:
1 1 1
4 2 24 2 2 22 2 27056 2 3 7 2 3 7 2 3 7 84
× × ×
= × × = × × = × × =
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������
������
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������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
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Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem raiz exata.
Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz
quadrada de 32.
Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que:
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25
Assim,
532 2=
Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que 5 42 2 2= × :
5 4 432 2 2 2 2 2 4 2= = × = × = × ou, simplesmente, 4 2
Finalizando, é bom lembrar que no conjunto dos números reais não existe
raiz par de números negativos (ex.: não existe 2 16− ), mas existe raiz ímpar
( 33 27 3, pois ( 3) 27− = − − = − ).
1.6.5 EXPRESSÕES NÚMERICAS
Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo
com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um
exemplo:
{ }( 25 2) (9 3) 7 4� �+ × − − ÷ =
A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se
lembre das seguintes regras:
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre
colchetes, e a seguir o que está entre chaves.
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação
ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração.
Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas
operações que encontram-se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que
há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida:
[ ]{ }(5 2) (9 3) 7 4+ × − − ÷ =
A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo:
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������
������
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������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
[ ]{ }7 6 7 4× − ÷ =
Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes:
{ }42 7 4− ÷ =
Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves:
35 4÷ =
Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo:
35 4 8,75÷ =
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como
outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-
la no momento que você resolveria aquela operação de divisão.
1.6.6 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
As expressões algébricas são expressões matemáticas que possuem
variáveis, também chamadas de incógnitas, que normalmente são representadas
por letras. Estas variáveis representam, em realidade, números que não sabemos.
Para descobri-los, precisamos saber manipular a expressão (que normalmente é
composta por letras e números). Exemplos de expressões algébricas:
2
5
2 3 0
10 0
1 5
a b
x
y y
p
+ =
+ =
− + =
+ =
É fundamental saber “ler” estas expressões. Veja alguns exemplos:
- “a soma de dois números é igual a 5” � a + b = 5
- “o dobro de um número, adicionado de 3 unidades, é igual a zero” � 2x + 3 = 0
- “o quadrado de um número, subtraído deste mesmo número e adicionado de 10
unidades é igual a zero” � y2 – y + 10 = 0
A maioria das questões não fornecerá uma expressão algébrica como as que
vimos acima. Normalmente, o enunciado apresenta informações que permitirão que
você mesmo construa a(s) expressão(ões) algébrica(s) para resolver a questão.
As expressões algébricas são constituídas de um 1º termo (à esquerda), o
sinal de igualdade e o 2º termo (à direita). Veja:
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�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
2 3 5x x+ = +
É possível somar, subtrair, multiplicar ou dividir um dos termos da expressão
por qualquer número, desde que façamos a mesma coisa com o outro termo. Caso
contrário, não mais teremos uma igualdade. Exemplificando, podemos somar 1
unidade em cada membro da equação acima, obtendo o seguinte:
2 3 (1) 5 (1)
2 4 6
x x
x x
+ + = + +
+ = +
Note o que acontece se somamos -4 (isto é, subtraímos 4) nos dois membros
dessa última expressão:
2 4 ( 4) 6 4
2 6 4
x x
x x
+ + − = + + −
= + −
Você percebe que somar (-4) nos dois membros é equivalente a “passar” o 4,
que estava somando no primeiro termo (2x + 4) para o outro lado da igualdade,
porém invertendo o sinal? Em resumo: sempre que você quiser passar um número
ou variável que está somando ou subtraindo de um lado para o outro da igualdade,
basta trocar o seu sinal.
Agora, veja a seguinte expressão:
2( 2) 6x x+ = +
Note que no primeiro membro temos o número 2 multiplicando o termo (x+2).
Se dividirmos ambos os lados da igualdade por 2, teremos:
2( 2) 6
2 2
6
2
2
x x
x
x
+ +
=
+
+ =
Veja que o 2 que estava multiplicando o primeiro membro agora está
dividindo o segundo membro. Assim, sempre que um número ou variável estiver
multiplicando ou dividindo um dos termos da igualdade, ele pode passar para o
outro lado, bastando para isso inverter a operação.
Muito cuidado para não cometer o seguinte erro:
3 1 6
6
1
3
x x
x
x
+ = +
+
+ =
Neste caso acima, o número 3 estava multiplicando x e foi transferido para o
outro lado da igualdade, dividindo o segundo termo. Porém, o 3 não estava
multiplicando todo o primeiro termo, por isso não podia passar para o outro lado
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������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
dividindo o segundo termo. Neste caso, o correto seria passar, primeiramente, o
número 1 (que estava somando) para o outro lado (subtraindo). Feito isso, teríamos:
3 6 1x x= + −
Agora sim o 3 está multiplicando todo o primeiro termo da igualdade, e pode
passar para o outro lado dividindo:
6 1
3
x
x
+ −
=
Quando estamos diante de uma expressão algébrica e queremos descobrir o
valor de uma variável, basta passar todos os termos que contém a variável para um
lado da igualdade, e todos os que não a contém para o outro lado da igualdade.
Utilizando a equação3 3 7x x+ = + , vamos descobrir o valor de x. Inicialmente,
passamos para o lado esquerdo os termos que contém x, e para o lado direito os
que não contém, fazendo as trocas de sinal ou inversão de operação necessárias:
3 3 7
3 7 3
2 4
x x
x x
x
+ = +
− = −
=
A seguir, podemos isolar a variável x, passando para o outro lado da
igualdade o 2 que a multiplica:
2 4
4
2
2
x
x
x
=
=
=
Assim como vimos nas expressões numéricas, devemos resolver primeiro o
que está entre parênteses (), depois o que está entre colchetes [ ], e por fim o que
está entre chaves { }.
Da mesma forma, devemos resolver primeiro as operações de potenciação
ou radiciação, a seguir as de multiplicação ou divisão, e por fim as de soma ou
subtração. Preste atenção nesses aspectos ao estudar a resolução dos exercícios.49699682760
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – CONJUNTOS NUMÉRICOS) Marque certo (C) ou
errado (E) nas afirmações abaixo:
( ) Todo número racional é real, porém nem todo número real é racional
( ) Todo número natural é também inteiro, e todo número irracional não é inteiro
( ) -1520 é um número natural, inteiro, racional e real
( ) 72 é um número natural, inteiro, racional e real
( ) 4 é um número natural, inteiro, racional e real
( ) 6 é um número irracional e real
( ) 0,789789789... é um número irracional e real
( )
5
6
é um número racional, porém não é inteiro nem natural
( )
12
6
é um número natural e inteiro
( ) A multiplicação de dois números naturais resulta sempre em um número natural
( ) A subtração entre dois números naturais resulta sempre em um número natural
( ) O elemento neutro da multiplicação e divisão é o número 1, enquanto o da
adição e subtração é o 0
( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto à adição quanto à multiplicação
( ) A propriedade associativa está presente na adição e na multiplicação, porém
não é válida na subtração e na divisão
( ) A soma de um número racional com um número irracional tem como resultado
um número irracional
( ) É possível localizar o número 11 exatamente na reta numérica
( ) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto
( ) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor
( ) Todo número natural positivo tem um sucessor e um antecessor
( ) O conjunto dos números inteiros não negativos é equivalente ao conjunto dos
números naturais positivos
( ) Os números decimais, desde que representados com um número finito de casas
decimais, fazem parte do conjunto dos números racionais
( ) 53,2% é um número racional, porém não é um número inteiro
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( ) Sabendo que o número de Euler é e = 2,718281828459045235360287..., ele
deve ser um número real
( ) Nos conjuntos dos números inteiros e racionais, a adição e a subtração
possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo não ocorre no conjunto
dos números naturais
( ) A divisão de números inteiros sempre gera um número racional, porém não
necessariamente inteiro.
RESOLUÇÃO: Vamos examinar cada alternativa rapidamente. Se tiver dúvidas,
sugiro que você volte no tópico de teoria específico.
( ) Todo número racional é real, porém nem todo número real é racional
Certo. Q está contido em R, porém há números reais que não são racionais
(ex.: números irracionais).
( ) Todo número natural é também inteiro, e todo número irracional não é inteiro
Certo. Sobre a segunda parte, veja que todo número irracional possui infinitas
casas decimais, logo não pode ser inteiro.
( ) -1520 é um número natural, inteiro, racional e real
Errado. –1520 é negativo, logo não pode ser natural (porém é inteiro, racional
e real).
( ) 72 é um número natural, inteiro, racional e real
Certo.
( ) 4 é um número natural, inteiro, racional e real
Certo, pois 4 = 2, que é natural.
( ) 6 é um número irracional e real
Certo, pois 6 não é exata, sendo formada por infinitas casas decimais.
( ) 0,789789789... é um número irracional e real
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Errado, pois trata-se de uma dízima periódica, sendo portanto um número
racional.
( )
5
6
é um número racional, porém não é inteiro nem natural
Certo.
( )
12
6
é um número natural e inteiro
Certo, pois
12
6
= 2, que é natural e inteiro.
( ) A multiplicação de dois números naturais resulta sempre em um número natural
Certo. Essa é a propriedade do fechamento na multiplicação de números
naturais.
( ) A subtração entre dois números naturais resulta sempre em um número natural
Errado. Ex.: 5 – 7 = -2 (negativo, portanto não natural)
( ) O elemento neutro da multiplicação e divisão é o número 1, enquanto o da
adição e subtração é o 0
Certo.
( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto à adição quanto à multiplicação
Errado. Somente à multiplicação.
( ) A propriedade associativa está presente na adição e na multiplicação, porém
não é válida na subtração e na divisão
Certo.
( ) A soma de um número racional com um número irracional tem como resultado
um número irracional
Certo. Um número irracional tem uma quantidade infinita de casas decimais
(que não se repetem numa ordem definida). Ao somar com um número racional, o
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resultado terá também um número infinito de casas decimais, sendo impossível
escrevê-lo na forma
A
B
(pois não será uma dízima periódica). Veja um exemplo:
3
2
2
1,5 1,41421356...
2,91421356...
+ =
+ =
( ) É possível localizar o número 11 exatamente na reta numérica
Errado. Trata-se de um número irracional.
( ) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto
Certo. |A| = |-A|
( ) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor
Certo.
( ) Todo número natural positivo tem um sucessor e um antecessor
Certo. No conjunto dos números naturais, todos tem um sucessor, e apenas
o zero não tem antecessor. Entretanto, como o item mencionou apenas os números
naturais positivos, podemos excluir o caso do zero.
( ) O conjunto dos números inteiros não negativos é equivalente ao conjunto dos
números naturais positivos
Errado. A diferença é a presença ou não do zero. Veja:
- números inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}
- números naturais positivos = {1, 2, 3, 4, 5...}
( ) Os números decimais, desde que representados com um número finito de casas
decimais, fazem parte do conjunto dos números racionais
Certo. Veja no material teórico os 3 tipos de números racionais (fracionários,
decimais e dízimas periódicas).
( ) 53,2% é um número racional, porém não é um número inteiro
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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Certo. 53,2% escrito na forma decimal corresponde a 0,532. Portanto, possui
número finito de casas decimais, sendo racional, porém não inteiro.
( ) Sabendo que o número de Euler é e = 2,718281828459045235360287..., ele
deve ser um número real
Certo. Trata-se de um número irracional, que também pertence ao conjunto
dos números reais.
( ) Nos conjuntos dos números inteiros e racionais, a adição e a subtração
possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo não ocorre no conjunto
dos números naturais
Certo.
( ) A divisão de números inteiros sempre gera um número racional, porém não
necessariamente inteiro.
Certo, pois a própria definição dos números racionais diz que todos os
números na forma
A
B
, onde A e B sãointeiros, faz parte daquele conjunto.
Entretanto, a divisão
A
B
pode resultar em um número inteiro (ex.:
6
3
2
= ) ou não
(ex.:
5
2,5
2
= ).
01. FGV – CAERN – 2010) Analise as afirmativas a seguir:
I – 6 é maior do que
5
2
II – 0,555... é um número racional
III – Todo número inteiro tem um antecessor
Assinale:
a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas
b) Se somente a afirmativa II estiver correta
c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas
d) Se somente a afirmativa I estiver correta
e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas
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RESOLUÇÃO:
Vamos comentar cada alternativa:
I – 6 é maior do que
5
2
Vamos assumir que essa afirmativa é verdadeira e testá-la. Se
5
6
2
> ,
então, elevando os dois lados ao quadrado:
( )
2
2 5
6
2
� �
> � �
� �
25
6
4
>
6 4 25
24 25
× >
>
Veja que 24 > 25 é um absurdo. Portanto, só se pode concluir uma coisa:
5
6
2
< , ou seja, a alternativa I é falsa.
II – 0,555... é um número racional
0,555... ou 0,5 é uma dízima periódica. Como vimos, as dízimas periódicas
também são números racionais, pois podem ser escritos na forma
A
B
, onde A e B
são números inteiros. Essa alternativa está correta.
III – Todo número inteiro tem um antecessor
De fato, todo número inteiro tem um antecessor. Basta visualizar a reta
numérica, e veremos que para cada número inteiro n, existe um número inteiro n-1,
que é o seu antecessor:
Assim, essa alternativa também está correta.
Resposta: E.
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02. CEPERJ – PREFEITURA DE ITABORAÍ – 2011) Considere a expressão
15
5
x
x
+
+
, onde x > 0. O número máximo de valores inteiros de x que tornam a
expressão dada também um número inteiro é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESOLUÇÃO:
Chamemos de z um dos números inteiros dados pela expressão do
enunciado. Portanto, sabemos que:
15
5
x
z
x
+
=
+
Como queremos saber quantas possibilidades existem para x, vamos isolar
essa variável. Acompanhe a manipulação algébrica abaixo:
+ = +( 5) 15z x x
+ = +5 15zx z x
− = −15 5zx x z
− = −( 1) 15 5x z z
15 5
1
z
x
z
−
=
−
Sendo assim, vamos testar alguns valores de z, lembrando que z deve ser
um número inteiro, e x deve ser inteiro e positivo.
- Se z = 0,
15 5 0 15
15
0 1 1
x
− ×
= = = −
− −
. Como x não pode ser negativo, essa não é
uma possibilidade válida.
- Se z = 1,
10
0
x = . Entretanto a divisão de um número inteiro por zero é impossível
(exceto
0
0
, que é um valor indeterminado). Logo, x = 1 não nos serve.
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- Se z = 2, x = 5, o que é uma possibilidade válida.
- Se z = 3, x = 0, o que não vale, pois x deve ser maior que zero.
- Se z = 4 ou mais, veja que x será negativo, pois 15-5z será negativo e z-1 será
positivo.
Faltou testar valores negativos para z (lembre-se que apenas x precisa ser
>0). Entretanto, veja que se z for negativo, x será também negativo (o que não é
válido). Isso porque o numerador (15-5z) será um valor positivo, e divisor (z-1) será
negativo, o que resulta em um número negativo. Para ilustrar, vamos testar z = -2:
15 5 ( 2) 25
2 1 3
x
− × −
= =
− − −
Assim, temos apenas 1 possibilidade válida para x, que é 5.
Resposta: B.
03. CEPERJ – PREFEITURA DE BELFORD ROXO – 2011) Os números x e y são
tais que 10 30x≤ ≤ e 40 60y≤ ≤ . O maior valor possível da expressão
x
y
é:
a)
1
2
b)
3
4
c)
1
4
d)
2
3
e)
1
6
RESOLUÇÃO:
O maior valor possível para
x
y
é obtido quando o numerador (x) é o maior
valor possível e o denominador (y) é o menor valor possível. Como 10 30x≤ ≤ , o
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maior valor possível de x é 30. E, sendo 40 60y≤ ≤ , o menor valor possível para y
é 40. Logo, temos:
30 3
40 4
x
y
= =
Resposta: B.
04. CEPERJ – PREFEITURA SÃO GONÇALO – 2011) Em um determinado
concurso foram totalizados 1500 candidatos inscritos, entre homens e mulheres. No
dia da prova faltaram
4
9
das mulheres e estavam presentes
5
6
dos homens. E
verificou-se que o número de homens e mulheres presentes no dia da prova era o
mesmo. A porcentagem de mulheres inscritas nesse concurso foi de:
a) 30%
b) 40%
c) 45%
d) 50%
e) 60%
RESOLUÇÃO:
Veja que essa questão envolve a manipulação de números racionais, escritos
de duas formas: na forma fracionária,
a
b
, e na forma percentual. Para resolver,
vamos usar a letra m para representar o total de mulheres inscritas e h para
representar o total de homens inscritos no concurso. De início, sabemos que:
h + m = 1500
Faltaram
4
9
das mulheres. Se você se lembra da minha dica, a expressão
“das” pode ser substituída pelo símbolo de multiplicação, da seguinte forma:
4
9
das mulheres =
4
9
m
O número de mulheres presentes, portanto, foi:
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4 5
9 9
m m m− =
O número de homens presente, conforme o enunciado, foi de
5
6
h . E, se o
número de homens e mulheres presentes foi igual, temos:
5 5
9 6
m h=
Logo,
6 2
9 3
h m m= = . Substituindo h na expressão h+m=1500 por
2
3
m ,
temos:
2
1500
3
5
1500
3
3
1500 900
5
m m
m
m
+ =
=
= × =
Assim, as mulheres inscritas eram 900 em um total de 1500 candidatos.
Percentualmente, elas eram:
900 9 3
0,6 60%
1500 15 5
= = = =
Resposta: E.
05. FCC – TRT/4ª – 2011) Considere o número inteiro X1Y, em que X e Y
representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente.
Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um número:
a) Quadrado perfeito
b) Menor que 10
c) Primo
d) Divisível por 6
e) Múltiplo de 4
RESOLUÇÃO:
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Ora, se
31692
76
1X Y
= , então
31692
1
76
X Y= . Fazendo a divisão, temos:
417 1X Y=
Portanto, X = 4 e Y = 7. Assim, X+Y = 11, que é um número primo.
Alternativa C.
Resposta: C.
06. FCC – TRT/22ª – 2010) Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por
9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, dezenas e
centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a:
a) 6480
b) 6686
c) 6840
d) 5584
e) 5960
RESOLUÇÃO:
Quero mostrar-lhes 3 formas de resolver essa questão, todas relativamente
simples. Recomendo entender as 3, pois pode ser que em outra questão parecida
seja possível usar apenas 1 dos métodos. Vamos começar entendendo a questão e
estruturando o problema.
Sabemosque N possui três dígitos, portanto vamos representá-lo como
sendo o número xyz, onde x, y e z são os dígitos que representam as centenas,
dezenas e unidades, respectivamente. Sabemos ainda que o número P termina com
364.
Assim, temos que
N*9 = P,
ou seja,
xyz * 9 = w364
(w representa o algarismo da casa dos milhares do número P)
Você reparou que eu assumi que P possui 4 dígitos? Fiz isso porque um
número de 3 dígitos multiplicado por 9 não pode dar um número maior que 4 dígitos.
Afinal, mesmo o maior número de 3 dígitos (999) multiplicado por 9 tem 4 digítos.
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Ah, e pode ser que a gente descubra que w é igual a zero, isto é, que P tem apenas
3 dígitos.
� Primeira forma de resolver:
Sabemos que N*9 = P, portanto podemos dizer que N = P/9. Se N é igual a P
dividido por 9, isso significa que P deve ser divisível por 9 (caso contrário N não
seria um número inteiro, ou seja, teria casas decimais).
Qual o critério de divisibilidade por 9? Um número é divisível por 9 se a soma
dos seus algarismos também é divisível por 9. A soma dos algarismos de P é w + 3
+ 6 + 4 = w + 13. Qual o único algarismo que, somado a 13, chega a um número
divisível por 9? Ora, w = 5, pois sabemos que 18 é divisível por 9, e 5 + 13 = 18.
Portanto, P = 5364. Basta dividir 5364/9 que chegaremos no valor de N, neste caso,
596. Logo, N + P = 5960.
� Segunda forma de resolver: (“solução braçal”)
Digamos que você entendeu que P deve ser divisível por 9, mas não se recordou
de critério de divisibilidade algum. Ora, não existem muitas opções para w (ele só
pode ir de 0 a 9). Logo, você pode substituir w por cada algarismo e tentar dividir P
por 9. Quando conseguir, terá encontrado P e N (ex.: ao substituir w por 5, verá que
5364/9 = 596, encontrando simultaneamente P = 5364 e N = 596).
���� Terceira forma de resolver:
Nesta resolução vamos detalhar cada passo da multiplicação de xyz*9=w364.
Você sabe que nós devemos começar multiplicando a casa das unidades de xyz por
9. Fazendo isso, vemos que z multiplicado por 9 resulta em um número terminado
em 4. Ou seja, só há uma possibilidade para z: ele deve ser o algarismo 6, pois
sabemos que 6 x 9 = 54. Nenhum outro algarismo, quando multiplicado por 9,
resulta em um número terminado em 4. Substituindo o valor de z na equação acima,
temos:
xy6 * 9 = w364
Vamos agora analisar o número y. Veja que y multiplicado por 9, e somado 5
(que vieram da multiplicação vista no parágrafo acima), resulta em um número
terminado em 6. Subtraindo os 5 que vieram da multiplicação anterior, temos um
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número terminado em 1. O único algarismo que, multiplicado por 9, resulta em um
número terminado em 1, é próprio 9 (9*9 = 81). Logo, y é 9. Até aqui, temos:
x96 * 9 = w364
Por fim, temos que o algarismo x multiplicado por 9 resulta em um número
com final tal que, somado com os 8 que vieram da multiplicação anterior, resulta em
um número terminado em 3. Portanto, x deve ser 5, pois 5*9 = 45, e 45 + 8 = 53:
596 * 9 = w364
Assim, vemos que w deve ser o algarismo 5, que veio da multiplicação
mostrada no parágrafo anterior. De fato, é verdade que:
596 * 9 = 5364
Assim, N é 596 e P é 5364, e a soma N+P = 5960
Resposta: E.
07. FCC – TRT/24ª – 2011) Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro
e positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se,
invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito central. Assim,
ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24.
Nessas condições, se q e r são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão
de N por 63, então:
a) q + r = 50.
b) r < 40.
c) q < 9.
d) r é múltiplo de 4.
e) q é um quadrado perfeito.
RESOLUÇÃO:
Se um número N, dividido por D, deixa quociente q e resto r, podemos dizer
que N = D*q + r. Ex: 7 dividido por 2 tem quociente 3 e resto 1. Logo, 7 = 2*3 + 1,
concorda?
Vamos chamar de M o número que foi utilizado por engano, isto é, o número
N com os dígitos extremos trocados. Sabemos que M dividido por 63 tem quociente
14 e resto 24. Logo,
M = 63*14 + 24
M = 882 + 24 = 906
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Se M = 906, N deve ser 609 (basta trocar os algarismos das extremidades).
Dividindo N por 63, temos:
609 63
42 9
Isto é, q = 9 e r = 42. Das respostas possíveis, vemos que apenas a letra E
está correta, pois sabemos que 9 é um quadrado perfeito (isto é, a raiz quadrada de
9 é um número inteiro, neste caso 3).
Resposta: E.
08. FCC – TRT/01ª – 2011) Se X é um número inteiro positivo tal que
1 1 1 1
2 3 7
E
x
= + + + seja um número inteiro, então:
a) Existem infinitas possibilidades distintas para x
b) X é múltiplo de 12
c) X é maior que 84
d) X tem oito divisores
e) E pode ser maior que 2
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, para somar as frações que compõem o número E, é preciso
escrevê-las com o mesmo denominador. A multiplicação dos denominadores
(2×3×7×x, ou 42×x) é sempre uma possibilidade de denominador comum.
Portanto, vamos utilizar esse denominador. Assim, teríamos:
21 14 6 42
42 42 42 42
21 14 6 42
42
41 42
42
x x x
E
x x x x
x x x
E
x
x
E
x
= + + +
+ + +
=
+
=
Feito isso, podemos manipular a equação acima para isolar a variável x:
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42 41 42
(42 41) 42
42
42 41
E x x
x E
x
E
× = +
− =
=
−
Lembra que tanto x quanto E devem ser números inteiros? Veja que se E for
igual a 1, x também será inteiro:
42 42
42
42 1 41 1
x = = =
× −
Veja ainda que se E for maior que 1, o denominador será maior que o
numerador (portanto não obteremos nenhum número inteiro). Por exemplo, se E =
2, temos:
42 42
42 2 41 43
x = =
× −
Ou seja, se E > 1, não é possível que x seja um número inteiro. Ainda, se
E=0, x também não será inteiro:
42 42
42 0 41 41
x = =
× − −
E também sabemos que E não pode ser menor que zero, pois o enunciado
disse que ele é inteiro positivo. Dessa forma, a única possibilidade é E = 1 e x = 42.
Como 42 tem 8 divisores (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42), a alternativa correta é a letra D.
Resposta: D.
09. FCC – TRT/1ª – 2011) Em uma campanha de doação de livros, x pessoas
receberam 4 livros, e y pessoas receberam 3 livros, sendo x e y números inteiros e
positivos. Se foram distribuídos 100 livros, então, as possibilidades diferentes para x
+ y são em número de:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
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e) 10
RESOLUÇÃO:
Como foram distribuídos 100 livros no total, temos que:
4 3 100x y+ =
Para facilitar a análise, podemos isolar uma das variáveis (por ex.: y) dessa
equação da seguinteforma:
4 3 100
3 100 4
100 4 25
4
3 3
x y
y x
x x
y
+ =
= −
− −
= = ×
Como y deve ser um número inteiro, isso significa que 25-x deve ser divisível
por 3. Como x e y devem ser números naturais (pois representam quantidades de
pessoas), podemos ir variando o valor de x de modo que 25-x seja divisível por 3
(ou seja, 25-x deve ser igual a 24, 21, 18, 15 etc.).
Por exemplo, para que 25-x seja igual a 24, x deve ser igual a 1. E,
substituindo x = 1 na expressão acima, y = 4 x 24/3 = 4x8 = 32. Veja os demais
casos na tabela abaixo:
25 – x x y x+y
24 1 32 33
21 4 28 32
18 7 24 31
15 10 20 30
12 13 16 29
9 16 12 28
6 19 8 27
3 22 4 26
0 25 0 26
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Veja, na coluna da direita da tabela acima, que temos 9 possibilidades para
x+y. Entretanto, devemos excluir a última (x = 25 e y = 0), pois o enunciado disse
que tanto x quanto y devem ser números inteiros positivos (e o zero não é
considerado um número natural positivo, lembra-se?).
Assim, ficam 8 possibilidades válidas.
Resposta: C.
10. FCC – TRT/1ª – 2011) Sejam x e y números naturais, e ∆ e � símbolos com os
seguintes significados:
- x ∆ y é igual ao maior número dentre x e y, com x y≠ ;
- x � y é igual ao menor número dentre x e y, com x y≠ ;
De acordo com essas regras, o valor da expressão [64 (78 64)] {92 [(43 21) 21]}∆ ∆ ∆� � �
é:
a) 92
b) 78
c) 64
d) 43
e) 21
RESOLUÇÃO:
Devemos lembrar aquela regra básica para resolução de equações
matemáticas: primeiro resolvemos o que está entre parênteses (), depois entre
colchetes [], e por fim o que está entre chaves {}. Assim, efetuando as operações ∆
e � como definidas no enunciado, veja os passos abaixo:
[64 (78 64)] {92 [(43 21) 21]}
[64 78] {92 [21 21]}
64 {92 21}
64 92
64
∆ ∆ ∆ =
∆ ∆ =
∆ =
=
� � �
� �
�
�
Resposta: C.
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11. FCC – TRT/22ª – 2010) Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam
um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês seguinte, indagados sobre
quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam:
Anabela: “6/11 do total das licitações receberam meu parecer”
Benivaldo: “A quantidade de licitações em que dei meu parecer corresponde a 3/5
do número de pareceres emitidos por Anabela”.
Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e
que a soma das quantidades que cada um emitiu era um número compreendido
entre 100 e 150, então:
a) X < 50
b) 50 < X < 100
c) 100 < X < 150
d) 150 < X < 200
e) X > 200
RESOLUÇÃO:
Sabemos que Anabela deu parecer em 6/11 do total de licitações (X), ou
seja, o número de licitações em que ela deu parecer é
6
X
11
. Já a quantidade de
licitações com parecer de Benivaldo é 3/5 do total de Anabela, ou seja,
3 6 18
X X
5 11 55
� �
× =� �
� �
.
Sabemos que tanto o número de licitações com parecer de Anabela quanto
de Benivaldo devem ser números inteiros. Isto é,
6
X
11
e
18
X
55
devem ser números
inteiros.
Somando os pareceres dados por Anabela e por Benivaldo, temos:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
6 18
X X
11 55
30 18
X+ X=
55 55
48
X
55
+ =
Sabemos que a soma dos pareceres dados por ambos deve ser um número
inteiro. E este número deve estar entre 100 e 150. Ou seja,
48
100 X<150
55
<
Repare que não há como simplificar a fração
48
55
, ou seja, 48 e 55 são primos
entre si (não possuem um divisor em comum, além do número 1). Assim, não
existem muitas opções de X que atendem a condição acima. X deve
necessariamente ser divisível por 55, pois 48 não o é. Logo, devemos testar para X
valores que sejam múltiplos de 55. Veja que, se X = 55, então
48 48
X 55 = 48
55 55
= ×
(inferior a 100). Já, caso X = 2×55 = 110, então
48
X 96
55
= (ainda inferior a 100).
Porém, se X = 3×55 = 165, então
48
X 144
55
= , que está dentro do intervalo
procurado. Veja que caso X seja maior (por ex., X = 210),
48
X
55
será maior que 150.
Portanto, como X = 165 é o total de licitações a serem analisadas, a letra D é
a correta.
Resposta: D.
12. FCC – TRT/9ª – 2010) Para estabelecer uma relação entre os números de
funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de
um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres,
respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número
compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que:
a) h+m = 158
b) h-m = 68
c) 70 < h < 100
d) 50 < m < 70
e) m.h < 4000
RESOLUÇÃO:
Devemos começar simplificando a expressão dada. Acompanhe os passos
abaixo:
1
3
1
3
1
3
3
1 1 1
3 3 3
1 1 3
3 3 3 1
9 1 8 8
3 3
1 1 1
3 3 3
3 24 3 21
3
8 8 8
8 8 63 8 55
3 1 3
21 21 21 21
h
m
h
m
h
m
h
m
= −
−
−
= − = − = −
− − − ×
−
= − = − = −
−
−
−
= − × = − = =
Como
55
21
h
m
= , podemos escrever que
55
21
h m= . E como o exercício diz que
o total de participantes está entre 100 e 200 pessoas, temos que:
100 200
55
100 200
21
76
100 200
21
h m
m m
m
< + <
< + <
< <
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
Veja que não é possível simplificar a fração 76/21. Assim, para que
76
21
m
seja um número inteiro, m deve ser um múltiplo de 21 (ex.: 21, 42, 63 etc.). Veja que
se m = 21, então
76
76
21
m = (abaixo de 100). Já se m = 2x21 = 42, então
76
152
21
m =
(que está entre 100 e 200). Observe que se m = 63,
76
21
m será maior que 200.
Portanto, m = 42 e h = 152 – 42 = 110.
Assim, h – m = 68, sendo B a alternativa correta.
Resposta: B.
13. CEPERJ – SEEDUC – 2009) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio
tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais
quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos
tinha inicialmente era de:
a) 12 reais
b) 15 reais
c) 18 reais
d) 20 reais
e) 24 reais
RESOLUÇÃO:
Seja C a quantidade de dinheiro que Carlos possuía no início, e M a
quantidade que Márcio possuía. Vejamos os passos do enunciado:
1. Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui
Portanto, Carlos dá M reais a Márcio. Carlos fica, portanto, com C – M reais,
e Márcio fica com M+M = 2M reais
2. Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui
Assim, Márcio dá a Carlos C – M reais, que é a quantidade que Carlos
possuía neste momento. Carlos fica com (C – M) + (C – M) = 2 (C – M), e
Márcio fica com 2M – (C – M) = 3M – C reais.
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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��������������������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
3. Ambos terminam com 16 reais
Ou seja,
2 (C – M) = 16, isto é, C – M = 8
e
3M – C = 16
Da última equação, podemos dizer que C = 3M – 16. Substituindo C na
primeira equação, temos:
C – M = 8
(3M – 16) – M = 8
2M – 16 = 8
M = 12
Se M = 12 e C – M = 8, então C = M + 8 = 12 + 8 = 20. Portanto, Carlos
possuía 20 reais inicialmente.
Resposta: D.
14. FCC – Banco do Brasil – 2011) Qual das expressões seguintes NÃO é
equivalente a 0,0000000625?
a) 6
5
10
16
−
×
b) 7
5
10
8
−
×
c) 8
25
10
4
−
×
d) 9
125
10
2
−
×
e) 10625 10−×
RESOLUÇÃO:
Veja que para passar o número 625 para o outro lado da vírgula é preciso
mudar a posição da vírgula em 10 vezes. Portanto,
-10
10
625
0,0000000625 625 10
10
= = ×
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
Com isto já vemos que a letra E está correta. Observe ainda que:
-10 -9 -9125625 10 62,5 10 10
2
× = × = ×
Aqui já vemos que a alternativa D também está correta. Veja também que:
-10 8 -825625 10 6,25 10 10
4
−
× = × = ×
Logo, a alternativa C também está correta. Veja também que:
-10 7 -75625 10 0,625 10 10
8
−
× = × = ×
A alternativa B também está correta. Resta apenas a alternativa A, que é o
gabarito. De fato, veja que:
6 65 10 0,3125 10
16
− −
× = ×
Resposta: A
15. FCC – Banco do Brasil – 2011) O valor da expressão
2 3
B A
A B
A B
−
+
, para A = 2 e
B = −1, é um número compreendido entre
(A) −2 e 1.
(B) 1 e 4.
(C) 4 e 7.
(D) 7 e 9.
(E) 9 e 10.
RESOLUÇÃO:
Substituindo A por 2 e B por -1 na expressão, temos:
2 3
B A
A B
A B
−
=
+
�
2 3
1 2
2 ( 1)
2 ( 1)−
− −
=
+ −
�
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
4 ( 1)
1
1
2
− −
=
+
�
5 2 10
5 3,333...
3 3 3
2
= × = =
Resposta: B
16. FCC – Banco do Brasil – 2011) O esquema abaixo apresenta a subtração de
dois números inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram
substituídos por letras.
Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que
(A) A < B < C < D
(B) B < A < D < C
(C) B < D < A < C
(D) D < A < C < B
(E) D < A < B < C
RESOLUÇÃO:
Começando pela direita, veja que B – 3 = 8. Logo, B seria 11. Como B é
apenas um algarismo, então B = 1, e é necessário pegar uma unidade da cada das
dezenas (onde está o 5) para formar o 11 desta subtração.
Portanto, no lugar do 5 sobram apenas 4 (pois 1 já foi utilizado na primeira
subtração). Subtraindo 4 – D temos o resultado 1. Logo, D = 3.
Veja que com a subtração de C temos o resultado 2. Assim, só nos resta
imaginar que C = 9, de modo que temos 11 – 9 = 2.
Repare que já tiramos uma unidade de A, para utilizar na subtração anterior.
Portanto, A – 1 – 2 = 4, de modo que A = 7.
Deste modo, temos A = 7, B = 1, C = 9, D = 3. Logo, B < D < A < C.
Resposta: C
17. FCC – Banco do Brasil – 2011) Suponha que 60 funcionários do Banco do
Brasil − 60% dos quais lotados em certa Agência de Florianópolis e, os demais, em
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
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������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
determinada Agência de Chapecó − serão divididos em grupos, a fim de participar
de um curso sobre Desenvolvimento Pessoal. Considerando que todos os grupos
deverão conter a mesma quantidade de funcionários e que todos os funcionários de
cada grupo deverão pertencer à mesma Agência, então a menor quantidade de
grupos que poderão ser formados é um número
(A) menor que 4.
(B) primo.
(C) divisível por 3.
(D) par.
(E) maior que 8.
RESOLUÇÃO:
Veja que 60% de 60 é igual a 60% x 60 = 0,6 x 60 = 36 funcionários.
Portanto, temos 36 funcionários de Florianópolis e 24 (60 – 36) de Chapecó. Se
queremos dividir os funcionários de cada agência em grupos de mesmo tamanho,
precisamos de um divisor comum entre 36 e 24. E se esses grupos devem ser a
menor quantidade possível, eles devem ter o máximo de pessoas possível. Ou seja,
precisamos do máximo divisor comum entre 36 e 24.
Decompondo cada um desses números em fatores primos, temos:
24 = 23 x 3
36 = 22 x 32
O MDC (24,36) é formado pelos fatores comuns de menor expoente, ou seja:
MDC (24, 36) = 22 x 3 = 12
Portanto, devemos formar grupos de 12 pessoas. Assim, os 24 funcionários
de Chapecó serão divididos em 2 grupos, e os 36 de Florianópolis em 3 grupos,
totalizando 5 grupos.
Como 5 é um número primo, temos a alternativa B.
Resposta: B
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
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18. FCC – Banco do Brasil – 2011) Gertrudes e Rubem − funcionários de uma
Agência do Banco do Brasil − receberam, cada um, uma mesma quantidade de
folhetos para a divulgação de serviços e produtos oferecidos pelo Banco. Sabendo
que, se Gertrudes repassar a terça parte de seu total de folhetos para Rubem, então
ele terá que distribuir 64 folhetos a mais do que ela. É correto concluir que o total de
folhetos que cada um recebeu inicialmente é um número compreendido entre
(A) 10 e 25.
(B) 25 e 50.
(C) 50 e 75.
(D) 75 e 100.
(E) 100 e 125.
RESOLUÇÃO:
Imagine que Gertrudes e Rubem receberam inicialmente F folhetos cada um.
Se Gertrudes repassar F/3 folhetos para Rubem (terça parte do seu total), cada um
terá que distribuir as seguintes quantidades:
Rubem: F + F/3 = 4F/3
Gertrudes: F – F/3 = 2F/3
Com isso, o enunciado diz que o número de folhetos de Rubem é 64
unidades maior que o de Gertrudes. Portanto:
4 2
64
3 3
2
64
3
64 3 / 2 96
F F
F
F
− =
=
= × =
Assim, o total de folhetos que cada um recebeu inicialmente é um número
entre 75 e 100.
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
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Resposta: D
19. FCC – TRF/2ª – 2012) Considere as seguintes afirmações:
Relativamente a essas afirmações, é certo que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) apenas I e II são verdadeiras.
(C) apenas II e III são verdadeiras.
(D) apenas uma é verdadeira.
(E) I, II e III são falsas.
RESOLUÇÃO:
Vamos trabalhar com a expressão
1 1
2 1
4 4 4
16,8
4 4
x x x
x x
− +
− −
+ +
=
+
:
1 1
2 1
4 4 4
4 4
x x x
x x
− +
− −
+ +
=
+
�
1
2 1
4 4 4 4 4
4 4 4 4
x x x
x x
−
− −
× + + ×
=
× + ×
1
2 1
4 1 4
4 4
−
− −
+ +
=
+
�
1
1 4
4
1 1
16 4
+ +
=
+
�
1 4 16
4 4 4
1 4
16 16
+ +
=
+
�
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
21
4
5
16
= �
21 16
4 5
× = �
21 4
1 5
× = �
16,8
Vejamos agora a expressão
1
3
11
8 0, 4444... : 30
135
� �
+ =� �
� �
. Devemos começar
encontrando afração geratriz da dízima 0,4444... Chamando esta fração de X,
temos:
X = 0,4444...
10X = 4,444...
Logo,
10X – X = 4,444... – 0,4444...
9X = 4
X = 4/9
Assim,
1
3
11
8 0, 4444... :
135
� �
+ =� �
� �
�
1
3 3
4 11
(2 ) :
9 135
� �
+ =� �
� �
�
4 11
2 :
9 135
� �
+ =� �
� �
�
18 4 11
:
9 9 135
� �
+ =� �
� �
�
22 11
:
9 135
� �
=� �
� �
�
22 135
9 11
� �
× =� �
� �
�
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
2 135
9 1
� �
× =� �
� �
�
270
9
= �
30
Quanto à expressão III, temos:
( ) ( )4 46 2 5 6 2 5+ × − = �
( ) ( )44 6 2 5 6 2 5+ × − = �
( )
2
24 6 6 ( 2 5) (2 5) 6 2 5+ × − + × − = �
( )
2
24 6 2 5− = �
4 36 20− = �
4 16 = �
4 42 = �
2
Portanto, apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
Resposta: B
20. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao consultar o livro de registro de entrada e saída de
pessoas às dependências de uma empresa, um funcionário observou que: 5/8 do
total das pessoas que lá estiveram ao longo de certa semana eram do sexo
masculino e que, destas, 2/7 tinham menos de 35 anos de idade. Com base nessas
informações, pode-se concluir corretamente que o total de pessoas que visitaram tal
empresa naquela semana NÃO poderia ser igual a
(A) 56.
(B) 112.
(C) 144.
(D) 168.
(E) 280.
RESOLUÇÃO:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
Seja P o número de pessoas que visitaram a empresa. Como 5/8 eram do
sexo masculino, então é preciso que
5
8
P seja um número inteiro. E como 2/7 tinham
menos de 35 anos de idade, então é preciso também que
2
7
P �seja inteiro.
Assim, é preciso que o número de pessoas seja divisível por 8 e por 7. O
MMC(8,7) é 56. Também são múltiplos comuns de 8 e 7 os múltiplos de 56, ou seja:
112, 168, 224, 280 etc.
Repare que apenas o número 144 (letra C) não é múltiplo de 56.
Resposta: C
21. CEPERJ – FAETEC – 2010) Considere a igualdade 12 9 88 9 12 2 3x y× × = × . O
valor de x + y é:
a) 64
b) 66
c) 70
d) 74
e) 78
RESOLUÇÃO:
Para poder comparar as potências de um lado e de outro da igualdade, é
preciso deixá-las na mesma base. Veja que 38 2= , 29 3= e 212 4 3 2 3= × = × .
Assim, podemos substituí-los na equação do enunciado e aplicar as propriedades
da potenciação que estudamos:
12 9 8
3 12 2 9 2 8
3 12 2 9 2 8 8
36 18 2 8 8
36 18 8 16
36 16 26
52 26
8 9 12 2 3
(2 ) (3 ) (2 3) 2 3
2 3 (2 ) (3) 2 3
2 3 2 3 2 3
2 3 2 2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
× ×
×
+
+
× × = ×
× × × = ×
× × × = ×
× × × = ×
× × = ×
× = ×
× = ×
Portanto, x = 52 e y = 26, e x + y = 78.
Resposta: E.
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
�����������
������
������
�������������������������������
������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
22. CEPERJ – RIO PREVIDÊNCIA – 2010) A soma dos algarimos de 1010 3− é:
a) 88
b) 89
c) 91
d) 95
e) 97
RESOLUÇÃO:
Lembrando da propriedade de potências de base 10, sabemos que 1010 é o
número formado pelo algarismo 1 seguido de 10 algarismos zero, isto é:
1010 10000000000=
Assim, é fácil efetuar a subtração:
1010 3
10000000000 3 9999999997
−
− =
Somando os algarismos de 9999999997 temos:
9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 9 9 7 88+ + + + + + + + + = × + =
RESPOSTA: A.
23. FCC – TRT/4ª – 2011) Considere que Asdrúbal tem um automóvel que, em
média, percorre 14 quilômetros de estrada com 1 litro de gasolina. Certo dia, após
ter percorrido 245 quilômetros de uma rodovia, Asdrúbal observou que o ponteiro do
marcador da gasolina, que anteriormente indicava a ocupação de
5
8
da capacidade
do tanque, passara a indicar uma ocupação de
1
3
. Nessas condições, é correto
afirmar que a capacidade do tanque de gasolina desse automóvel, em litros, é:
a) 50
b) 52
c) 55
d) 60
e) 65
RESOLUÇÃO:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������
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������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
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Chamemos de C a capacidade do tanque. O ponteiro estava na posição
5
8
de C, ou seja,
5
8
C× . Em outras palavras, o tanque possuía a quantidade de
combustível equivalente a
5
8
C× . Ao final do percurso, o ponteiro indicava a
posição
1
3
de C (
1
3
C× ), indicando uma quantidade de combustível de
1
3
C× .
Portanto, o gasto de combustível é a subtração da quantidade inicial menos a
quantidade final:
5 1 (15 8) 7
8 3 24 24
Gasto C C C C
−
= × − × = × = ×
Por outro lado, sabemos que o carro percorre 14km com 1 litro, e que
percorreu 245km. Podemos descobrir o total de combustível gasto com uma regra
de três simples:
14km 1 litro
245km Gasto
14 245 1
17,5
Gasto
Gasto
× = ×
=
Como 17,5Gasto = e, também,
7
24
Gasto C= × , então:
7
17,5
24
24
17,5 60
7
C
C
= ×
= × =
Logo, a capacidade total do tanque é de 60 litros.
Resposta: D.
24. FCC – TRT/15ª – 2009) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-
se que:
2
5
deveriam ser analisados e
4
7
referiam-se ao atendimento ao público
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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�
�
������������� �����������������������������������
���
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interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes
nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre
a) 10 e 50
b) 60 e 100
c) 110 e 160
d) 150 e 170
e) 180 e 220
RESOLUÇÃO:
Observe que se o total de projetos for um número divisível por 5 e por 7 ao
mesmo tempo, será possível calcular
2
5
e
4
7
dos projetos, isto é, eles serão
números inteiros. Quais números são divisíveis por 5 e 7 ao mesmo tempo? Os
múltiplos comuns entre 5 e 7. O mínimo múltiplo comum entre eles é 35.
Portanto, se o número de projetos for múltiplo de 35, será um número divisível
por 5 e 7. As outras possibilidades para o número de projetos são os demais
múltiplos comuns entre 5 e 7. Você pode encontrá-los simplesmente buscando
os múltiplos de 35, que é o MMC (5,7). Portanto:
Nº de projetos = 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245...
Dado que em todos os intervalos existe um múltiplo comum entre 5 e 7,
exceto naquele entre 150 e 170 (letra D), somente nesse intervalo é que o
número de projetos NUNCA poderia estar.
Resposta: D
25. FGV – PREF. CAMPINAS – 2008) Pedro pensou em um número natural N e
fez as seguintes operações sucessivas: somou 5, dividiu o resultado por 2, subtraiu
7, dividiu o resultado por 3, somou 9 e, finalmente, dividiu por 4. Se o resultado final
dessas operações foi 10, a soma dos algarismos do número N é:
(A) 13.
(B) 14.
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
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(C) 15.
(D) 16.
(E) 17.
RESOLUÇÃO:
Vamos seguir os passos que Pedro executou com o número N:
- somou 5:
N + 5
- dividiu o resultado por 2:
5
2
N +
- subtraiu 7:
5
7
2
N +
−
- dividiu o resultado por 3:
1 5
7
3 2
N +� �
× −� �
� �
- somou 9:
1 5
7 93 2
N +� �
× − +� �
� �
- dividiu por 4:
1 1 5
7 9
4 3 2
N� �+� �
× × − +� �� �
� �
- o resultado final dessas operações foi 10:
1 1 5
7 9 10
4 3 2
N� �+� �
× × − + =� �� �
� �
Resolvendo esta expressão algébrica, temos:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������������� �������� ��!∀�
�
�
������������� �����������������������������������
���
��������������������������������������������������������
1 5
7 9 4 10
3 2
1 5
7 9 40
3 2
1 5
7 31
3 2
5
7 93
2
5
100
2
5 200
195
N
N
N
N
N
N
N
� �+� �
× − + = ×� �� �
� �
+� �
× − + =� �
� �
+� �
× − =� �
� �
+
− =
+
=
+ =
=
A soma dos algarismos de N é 1 + 9 + 5 = 15.
Resposta: C
26. CEPERJ – SEE/RJ – 2010) Na igualdade
7 5
7 5
a b
+
= +
−
, o valor de 2a b− é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 7
RESOLUÇÃO:
Você deve ter percebido que nós precisamos “dar um jeito” de retirar as
raízes do denominador de
7 5
7 5
+
−
, para chegarmos a um resultado na forma
a b+ .
Repare que, dados dois números x e y, então podemos dizer que:
2 2( ) ( )x y x y x y+ × − = −
Veja que o nosso denominador é na forma (x – y), isto é, 7 5− . Podemos
multiplicar esse denominador por (x + y), isto é, por 7 5+ , mas para isso
devemos multiplicar o numerador pelo mesmo número. Veja abaixo:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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������������� �������� ��!∀�
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�
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���
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7 5 ( 7 5) ( 7 5)
7 5 ( 7 5) ( 7 5)
+ + +
= ×
− − +
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação no numerador e no
denominador, teremos:
( 7 5) ( 7 5)
( 7 5) ( 7 5)
7 7 7 5 5 7 5 5
7 7 7 5 5 7 5 5
+ +
× =
− +
× + × + × + ×
× + × − × − ×
Veja que, no denominador, os termos 7 5× e 5 7− × se cancelam. Além
disso, veja que 27 7 7 7 7 7× = × = = e, da mesma forma, 5 5 5× = . Veja que
com isso retiramos as raízes do denominador:
7 2 5 7 5
7 5
12 2 35
2
6 35
+ × × +
=
−
+ ×
=
+
Portanto,
7 5
6 35
7 5
a b
+
= + = +
−
Com isso, podemos afirmar que a = 6 e b = 35. Logo, 2 36 35 1a b− = − = .
Resposta: A.
27. FGV – CODEBA – 2010 – Adaptada) Sejam a, b e c números inteiros
diferentes de zero e
a b c
k
a b c
= + + . O conjunto de todos os possíveis valores de k
é:
(A) {-3, -1, 0, 1, 3}
(B) {-3, -1, 1, 3}
(C) {3 }.
(D) naturais diferentes de zero.
(E) reais deferentes de zero.
RESOLUÇÃO:
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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�
�
������������� �����������������������������������
���
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Lembrando que o módulo de um número |a| é igual ao valor absoluto deste
número, isto é, tem valor positivo, vemos que
a
a
só pode assumir 2 valores:
�
a
a
= 1, se a for maior que zero. Ex.:
5 5
1
5 5
= =
�
a
a
= -1, se a for menor que zero. Ex.:
5 5
1
5 5
−
= = −
− −
Portanto, tanto
a
a
como
b
b
como
c
c
podem assumir o valor 1 ou -1. Se os
três forem 1, temos:
k = 1 + 1 + 1 = 3
Se os três forem -1, temos:
k = -1 + (-1) + (-1) = -3
Já se dois forem iguais a 1 e apenas um for igual a -1, temos k = 1. E se dois
forem iguais a -1 e apenas 1 for igual a 1, temos k = -1.
Portanto, os valores possíveis para k são { -3, -1, 1, 3}.
Resposta: B
28. FCC – BANESE – 2012) O departamento de informática de um banco dividiu as
agências de um município em grupos de três, de modo que cada técnico ficasse
responsável por dar suporte às agências de um desses grupos. Nessa divisão,
porém, sobrou uma agência, tendo um dos técnicos de ficar responsável por quatro
agências. Já o setor de apoio ao crédito, que dividiu as mesmas agências em
grupos de cinco para designar um assessor que atendesse as agências de cada
grupo, não teve esse problema: não sobraram agências na divisão. Dentre os
números abaixo, o único que pode representar o total de agências desse município
é
(A) 15.
(B) 19.
(C) 20.
(D) 24.
(E) 25.
RESOLUÇÃO:
O número de agências deve ser tal que:
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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�
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- seja múltiplo de 5 (pois não deixa resto ao ser dividido por 5);
- dividido por 3, tenha resto 1.
Os múltiplos de 5 encerram em 0 ou 5. Portanto, podemos eliminar as
alternativas B e D. Analisando as demais alternativas, veja que 15 é divisível por 3
(não deixa resto), e 20 dividido por 3 deixa resto 2. Já 25 dividido por 3 deixa resto
1, sendo este o nosso gabarito.
Resposta: E
29. FCC – ISS/SP – 2012) Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais
representam o mesmo dígito e o resultado é um número de 5 algarismos.
A soma (S + O + M + A + R) é igual a:
a) 33
b) 31
c) 29
d) 27
e) 25
RESOLUÇÃO:
Vamos resolver esta questão de duas maneiras.
� RESOLUÇÃO 1:
O número SOMAR é divisível por 9, afinal ele resulta da multiplicação de
RAMOS por 9. A soma dos algarismos de um número divisível por 9 também deve
ser divisível por 9. Ex.: 175 x 9 = 1575, cuja soma dos algarismos é 1+5+7+5 = 18
(que é divisível por 9).
Isto é, S+O+M+A+R deve resultar em um número divisível por 9. Dentre as
opções de resposta, a única alternativa que apresenta um múltiplo de 9 é a letra D.
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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���
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� RESOLUÇÃO 2:
O enunciado diz que SOMAR é um número com 5 algarismos. Logo, o S não
pode ser igual a zero.
Analisando a partir da esquerda, temos que a multiplicação de R por 9 não
pode levar número adicional para a próxima casa. Assim, R deve ser igual a 0 ou 1.
Como o S não pode ser zero, então R = 1. Já o S será igual a 1 x 9 = 9. Como a
multiplicação de R por 9 não poder levar nenhum número para a próxima casa, o A
também precisa ser igual a 0 ou 1.
Analisando agora a partir da direita, como S = 9, então a primeira
multiplicação é 9 x 9 = 81, deixando o 1 no lugar do R (como já vimos, R = 1) e
levando 8 unidades para a próxima multiplicação.
Vamos testar agora as duas possibilidades para o A. Se A = 1, a
multiplicação de O por 9, adicionada de 8 unidades, deveria gerar um número
terminado em 1, o que exigiria que O = 7. Isto levaria mais 7 unidades para a
multiplicação Mx9, de modo que fica impossível obter M no resultado.
Já se A = 0, então O = 8, de modo que 8x9 + 8 = 80, levando 8 unidades para
a multiplicação Mx9. Se M = 9, teremos 9x9 + 8 = 89, deixando 9 no resultado e
levando 8 unidades para a multiplicação de A por 9. Como A = 0, então O = 8, como
já havíamos dito.
Deste modo temos S = 9, O = 8, M = 9, A = 0 e R = 1, totalizando 27.
Resposta: D
30. FCC – BANESE – 2012) A abertura da Copa do Mundo de 2014 está prevista
para ocorrer na cidade de São Paulo, no dia 12 de junho daquele ano. 785 dias
depois, em 5 de agosto de 2016, uma sexta-feira, deve ocorrer a abertura das
Olimpíadas do Rio de Janeiro. Com esses dados, é possível concluir que a abertura
da Copa de 2014 ocorrerá em
(A) uma quarta-feira.
(B) uma quinta-feira.
(C) uma sexta-feira.
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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�
�
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(D) um sábado.
(E) um domingo.
RESOLUÇÃO:
Observe que 785 dias separam os 2 eventos. Como cada semana tem 7 dias,
podemos dividir 785 por 7 para sabermos quantas semanas existem entre as duas
datas.
Efetuando esta divisão, temos resultado (quociente) igual a 112 e resto igual
a 1. Portanto, entre as duas datas temos 112 semanas completas e mais 1 dia. Se
tivéssemos exatas 112 semanas, poderíamos afirmar que o dia 12 de junho de 2014
(abertura da Copa) seria uma sexta-feira, pois o dia 5 de agosto de 2016 é este.
Entretanto, como temos mais 1 dia entre as duas datas, isto significa que a abertura
da Copa ocorrerá um dia da semana antes, ou seja, em uma quinta-feira.
Resposta: B
31. FCC – TCE/AP – 2012) Um número inteiro será chamado de tricíclico se, e
somente se, for formado por uma sequência de dois ou mais dígitos aparecendo
exatamente três vezes. Por exemplo, os números 858 585, 107 107 107 e 292 129
212 921 são tricíclicos. O menor número positivo que deve ser somado a 198 891
para que se obtenha como resultado um número tricíclico é
(A) 1 109.
(B) 3 129.
(C) 6 972.
(D) 13 230.
(E) 23 331.
RESOLUÇÃO:
O número 198 891 possui 6 dígitos. Precisamos que 2 dígitos apareçam
exatamente 3 vezes. Vejamos o que acontece ao adicionarmos 1109 (alternativa A):
198891 + 1109 = 200000 � não temos um número tricíclico
Agora vejamos o que acontece ao adicionarmos 3129 (alternativa B):
198891 + 3129 = 202020 � temos dois dígitos (2 e 0) aparecendo 3 vezes cada
um, ou seja, obtivemos um número tricíclico. Esta é a resposta.
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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Resposta: B
32. FCC – SPPREV – 2012) As garrafas PET são grandes poluentes do meio
ambiente. Pensando nisso, algumas empresas buscam maneiras de reaproveitar o
material, tornando-o matéria-prima de outros produtos. É o caso de algumas
tecelagens que produzem camisetas e sacolas com tecidos feitos da reciclagem de
garrafas PET. A malha produzida é feita com uma mistura de algodão reciclado de
tecidos que seriam jogados fora e a fibra da PET. Para cada camiseta são utilizadas
cerca de 2,5 garrafas de mesmo tamanho. Considerando que a empresa produz
camisetas de um mesmo tipo e tamanho e já utilizou 2 milhões de garrafas iguais à
citada anteriormente, com esse total produziu, aproximadamente,
(A) 80 000 camisetas.
(B) 800 000 camisetas.
(C) 50 000 camisetas.
(D) 500 000 camisetas.
(E) 5 000 000 camisetas.
RESOLUÇÃO:
Basta dividirmos o total utilizado (2 milhões de garrafas) pelo número de
garrafas necessário para fazer uma camisa (2,5 garrafas). Isto é:
Total de garrafas
garrafas por camisa
Camisas = �
2.000.000
2,5
Camisas = �
20.000.000
25
Camisas = �
800.000Camisas =
Resposta: B
33. FCC – SPPREV – 2012) Um fornecedor vende lápis em diferentes embalagens,
conforme mostra a tabela:
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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Nessas condições, é correto afirmar que a economia na compra de uma caixa tipo
(A) III em relação à compra de três caixas tipo I é de R$ 150,00.
(B) V em relação à compra de seis caixas tipo I é de R$ 450,00.
(C) IV em relação à compra de quatro caixas tipo I é de R$ 250,00.
(D) V em relação à compra de duas caixas tipo III é de R$ 200,00.
(E) IV em relação à compra de duas caixas tipo II é de R$ 160,00.
RESOLUÇÃO:
Multiplicando a quantidade de lápis pelo preço unitário do lápis em cada
caixa, obtemos o preço total da caixa. Vejamos:
Caixa I = 400 x 0,75 = 300
Caixa II = 800 x 0,70 = 560
Caixa III = 1200 x 0,65 = 780
Caixa IV = 1600 x 0,60 = 960
Caixa V = 2400 x 0,55 = 1320
Com isso em mãos, vamos fazer as comparações do enunciado:
(A) III em relação à compra de três caixas tipo I é de R$ 150,00.
A caixa III custa 780 reais, e três caixas I custam 3x300 = 900 reais. Assim, a
economia é de 900 – 780 = 120 reais, e não 150. ERRADO.
(B) V em relação à compra de seis caixas tipo I é de R$ 450,00.
A caixa V custa 1320 reais, e seis caixas I custam 6x300 = 1800 reais. Assim,
a economia é de 1800 – 1320 = 480 reais, e não 450. ERRADO.
(C) IV em relação à compra de quatro caixas tipo I é de R$ 250,00.
A caixa IV custa 960 reais, e quatro caixas I custam 4x300 = 1200 reais.
Assim, a economia é de 1200 – 960 = 240 reais, e não 250. ERRADO.
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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(D) V em relação à compra de duas caixas tipo III é de R$ 200,00.
A caixa V custa 1320 reais, e duas caixas III custam 2x780 = 1560 reais.
Assim, a economia é de 1560 – 1320 = 240 reais, e não 200. ERRADO.
(E) IV em relação à compra de duas caixas tipo II é de R$ 160,00.
A caixa IV custa 960 reais, e duas caixas II custam 2x560 = 1120 reais.
Assim, a economia é de 1120 – 960 = 160 reais, como dito nesta alternativa.
CORRETO.
Resposta: E
34. FCC – SPPREV – 2012) Dona Arminda é mãe de 4 filhos. Cada um de seus
filhos teve 3 filhos. Cada um de seus netos teve 2 filhos. Considerando que todos
estão vivos, o número de descendentes que dona Arminda possui é
(A) 9.
(B) 16.
(C) 24.
(D) 36.
(E) 40.
RESOLUÇÃO:
Cada um de seus 4 filhos de Dona Arminda teve 3 filhos, de modo que ela
possui 4 x 3 = 12 netos. Cada um dos 12 netos teve 2 filhos, de modo que ela teve 9
x 2 = 24 bisnetos.
Portanto, Dona Arminda tem 4 filhos, 12 netos e 24 bisnetos, totalizando 40
descendentes.
Resposta: E
35. FCC – SPPREV – 2012) Pensei em um número e dele
− subtraí 3 unidades;
− multipliquei o resultado por 5;
− somei 9 unidades;
− obtive 24 como resultado.
É correto afirmar que o quadrado desse número é
(A) 1.
(B) 4.
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067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira
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(C) 16.
(D) 25.
(E) 36.
RESOLUÇÃO:
Seja N o número pensado. Façamos as operações:
− subtraí 3 unidades:
Com isso, temos N – 3.
− multipliquei o resultado por 5;
Até aqui temos 5 x (N – 3).
− somei 9 unidades;
Chegamos a 5 x (N – 3) + 9.
− obtive 24 como resultado.
Portanto,
24 = 5 x (N – 3) + 9
24 – 9 = 5N – 15
30 = 5N
N = 6
Logo, o quadrado deste número é 62 = 36.
Resposta: E
36. FCC – MPE/PE – 2012) Para realizar uma determinada tarefa, uma empresa
contrata quatro funcionários e aluga um equipamento cujo valor do aluguel é
determinado por lotes de tempo de sua utilização. Não há possibilidade de se pagar
fração de lotes. Por exemplo: se o equipamento for utilizado durante 3 lotes e um
terço de lote será cobrado o equivalente a 4 lotes de tempo de utilização. Sendo
assim, os funcionários resolveram trabalhar em turnos contínuos, um indivíduo
imediatamente após o outro. O primeiro funcionário trabalhou o equivalente a quatro
terços de um lote; o segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o
primeiro havia trabalhado; o terceiro funcionário ficou em ação três meios do tempo
que o segundo havia ficado e o quarto funcionário terminou a tarefa gastando a
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandimde Oliveira
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terça parte do tempo que o terceiro havia gasto. A empresa contratante do serviço
destinou a quantia de R$ 19.500,00 para pagamento dos funcionários que
realizassem a tarefa. O pagamento foi feito proporcionalmente ao tempo despendido
em serviço pelos quatro funcionários individualmente.
O número de lotes que serão cobrados pelo uso desse equipamento é:
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
RESOLUÇÃO:
Seja L o símbolo de um lote. Segundo o enunciado, o primeiro funcionário
trabalhou o equivalente a quatro terços de um lote, isto é,
4
3
L .
O segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o primeiro havia
trabalhado, ou seja,
3 4
4 3
L L× = �
O terceiro funcionário ficou em ação três meios do tempo que o segundo
havia ficado:�
3
2
L× �
O quarto funcionário terminou a tarefa gastando a terça parte do tempo que o
terceiro havia gasto:
1 3 1
3 2 2
L L× = �
Somando os gastos de cada funcionário, temos:
4 3 1
3 2 2
8 6 9 3
6
26 13
4,333
6 3
L L L L
L
L L L
+ + + =
+ + +
=
= =
Como não é possível pagar por uma fração de lote, será preciso pagar por 5
lotes.
Resposta: B
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37. FCC – Banco do Brasil – 2011) Se x e y são números inteiros tais que x é par e
y é ímpar, considere as seguintes afirmações:
I. x + y é ímpar.
II. x − 2y é ímpar.
III. (3x) . (5y) é impar.
É correto afirmar que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) I, II e III são falsas.
(C) apenas I é verdadeira.
(D) apenas I e II são verdadeiras.
(E) apenas II e III são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
Se x é par e y é ímpar:
I. x + y é ímpar � verdade, pois ao somar um número par com outro ímpar temos
um resultado ímpar. Ex.: 4 + 3 = 7.
II. x − 2y é ímpar � falso. Imagine que x = 6 e y = 1. Logo, x – 2y = 4, que é par.
III. (3x) . (5y) é impar � falso. Como x é par, 3x também é par. E como y é ímpar, 5y
também é ímpar (basta você usar exemplos para x e y e verá que isto é verdade).
Multiplicando um número par (3x) por um número ímpar (5y) temos um resultado
par. Imaginando x = 2 e y = 3, temos (3.2).(5.3) = 6.15 = 90, que é par.
Resposta: C
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Pessoal, por hoje é só!!
Vemo-nos na aula 02.
Abraço,
Arthur Lima
arthurlima@estrategiaconcursos.com.br
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3. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA
01. FGV – CAERN – 2010) Analise as afirmativas a seguir:
I – 6 é maior do que
5
2
II – 0,555... é um número racional
III – Todo número inteiro tem um antecessor
Assinale:
a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas
b) Se somente a afirmativa II estiver correta
c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas
d) Se somente a afirmativa I estiver correta
e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas
02. CEPERJ – PREFEITURA DE ITABORAÍ – 2011) Considere a expressão
15
5
x
x
+
+
, onde x > 0. O número máximo de valores inteiros de x que tornam a
expressão dada também um número inteiro é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
03. CEPERJ – PREFEITURA DE BELFORD ROXO – 2011) Os números x e y são
tais que 10 30x≤ ≤ e 40 60y≤ ≤ . O maior valor possível da expressão
x
y
é:
a)
1
2
b)
3
4
c)
1
4
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d)
2
3
e)
1
6
04. CEPERJ – PREFEITURA SÃO GONÇALO – 2011) Em um determinado
concurso foram totalizados 1500 candidatos inscritos, entre homens e mulheres. No
dia da prova faltaram
4
9
das mulheres e estavam presentes
5
6
dos homens. E
verificou-se que o número de homens e mulheres presentes no dia da prova era o
mesmo. A porcentagem de mulheres inscritas nesse concurso foi de:
a) 30%
b) 40%
c) 45%
d) 50%
e) 60%
05. FCC – TRT/4ª – Técnico – 2011) Considere o número inteiro X1Y, em que X e
Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente.
Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y é um número:
a) Quadrado perfeito
b) Menor que 10
c) Primo
d) Divisível por 6
e) Múltiplo de 4
06. FCC – TRT/22ª – 2010) Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por
9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, dezenas e
centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a:
a) 6480
b) 6686
c) 6840
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d) 5584
e) 5960
07. FCC – TRT/24ª – 2011) Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro
e positivo N, de três algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se,
invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito central. Assim,
ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24.
Nessas condições, se q e r são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão
de N por 63, então:
a) q + r = 50.
b) r < 40.
c) q < 9.
d) r é múltiplo de 4.
e) q é um quadrado perfeito.
08. FCC – TRT/01ª – 2011) Se X é um número inteiro positivo tal que
1 1 1 1
2 3 7
E
x
= + + + seja um número inteiro, então:
a) Existem infinitas possibilidades distintas para x
b) X é múltiplo de 12
c) X é maior que 84
d) X tem oito divisores
e) E pode ser maior que 2
09. FCC – TRT/1ª – 2011) Em uma campanha de doação de livros, x pessoas
receberam 4 livros, e y pessoas receberam 3 livros, sendo x e y números inteiros e
positivos. Se foram distribuídos 100 livros, então, as possibilidades diferentes para x
+ y são em número de:
a) 6
b) 7
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c) 8
d) 9
e) 10
10. FCC – TRT/1ª – 2011) Sejam x e y números naturais, e ∆ e � símbolos com os
seguintes significados:
- x ∆ y é igual ao maior número dentre x e y, com x y≠ ;
- x � y é igual ao menor número dentre x e y, com x y≠ ;
De acordo com essas regras, o valor da expressão [64 (78 64)] {92 [(43 21) 21]}∆ ∆ ∆� � �
é:
a) 92
b) 78
c) 64
d) 43
e) 21
11. FCC – TRT/22ª – 2010) Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam
um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês seguinte, indagados sobre
quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam:
Anabela: “6/11 do total das licitações receberam meu parecer”
Benivaldo: “A quantidade de licitações em que dei meu parecer corresponde a 3/5
do número de pareceres emitidos por Anabela”.
Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e
que a soma das quantidades que cada um emitiu era um número compreendido
entre 100 e 150, então:
a) X < 50
b) 50 < X < 100
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c) 100 < X < 150
d) 150 < X < 200
e) X > 200
12. FCC – TRT/9ª – 2010) Para estabelecer uma relação entre os números de
funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de
um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão:
em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres,
respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número
compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que:
a) h+m = 158
b) h-m = 68
c) 70 < h < 100
d) 50 < m < 70
e) m.h < 4000
13. CEPERJ – SEEDUC – 2009) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio
tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais
quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos
tinha inicialmente era de:
a) 12 reais
b) 15 reais
c) 18 reais
d) 20 reais
e) 24 reais
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14. FCC – Banco do Brasil – 2011) Qual das expressões seguintes NÃO é
equivalente a 0,0000000625?
a) 6
5
10
16
−
×
b) 7
5
10
8
−
×
c) 8
25
10
4
−
×
d) 9
125
10
2
−
×
e) 10625 10−×
15. FCC – Banco do Brasil – 2011) O valor da expressão
2 3
B A
A B
A B
−
+
, para A = 2 e
B = −1, é um número compreendido entre
(A) −2 e 1.
(B) 1 e 4.
(C) 4 e 7.
(D) 7 e 9.
(E) 9 e 10.
16. FCC – Banco do Brasil – 2011) O esquema abaixo apresenta a subtração de
dois números inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram
substituídos por letras.
Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que
(A) A < B < C < D
(B) B < A < D < C
(C) B < D < A < C
(D) D < A < C < B
(E) D < A < B < C
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17. FCC – Banco do Brasil – 2011) Suponha que 60 funcionários do Banco do
Brasil − 60% dos quais lotados em certa Agência de Florianópolis e, os demais, em
determinada Agência de Chapecó − serão divididos em grupos, a fim de participar
de um curso sobre Desenvolvimento Pessoal. Considerando que todos os grupos
deverão conter a mesma quantidade de funcionários e que todos os funcionários de
cada grupo deverão pertencer à mesma Agência, então a menor quantidade de
grupos que poderão ser formados é um número
(A) menor que 4.
(B) primo.
(C) divisível por 3.
(D) par.
(E) maior que 8.
18. FCC – Banco do Brasil – 2011) Gertrudes e Rubem − funcionários de uma
Agência do Banco do Brasil − receberam, cada um, uma mesma quantidade de
folhetos para a divulgação de serviços e produtos oferecidos pelo Banco. Sabendo
que, se Gertrudes repassar a terça parte de seu total de folhetos para Rubem, então
ele terá que distribuir 64 folhetos a mais do que ela. É correto concluir que o total de
folhetos que cada um recebeu inicialmente é um número compreendido entre
(A) 10 e 25.
(B) 25 e 50.
(C) 50 e 75.
(D) 75 e 100.
(E) 100 e 125.
19. FCC – TRF/2ª – 2012) Considere as seguintes afirmações:
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Relativamente a essas afirmações, é certo que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) apenas I e II são verdadeiras.
(C) apenas II e III são verdadeiras.
(D) apenas uma é verdadeira.
(E) I, II e III são falsas.
20. FCC – TRF/2ª – 2012) Ao consultar o livro de registro de entrada e saída de
pessoas às dependências de uma empresa, um funcionário observou que: 5/8 do
total das pessoas que lá estiveram ao longo de certa semana eram do sexo
masculino e que, destas, 2/7 tinham menos de 35 anos de idade. Com base nessas
informações, pode-se concluir corretamente que o total de pessoas que visitaram tal
empresa naquela semana NÃO poderia ser igual a
(A) 56.
(B) 112.
(C) 144.
(D) 168.
(E) 280.
21. CEPERJ – FAETEC – 2010) Considere a igualdade 12 9 88 9 12 2 3x y× × = × . O
valor de x + y é:
a) 64
b) 66
c) 70
d) 74
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e) 78
22. CEPERJ – RIO PREVIDÊNCIA – 2010) A soma dos algarimos de 1010 3− é:
a) 88
b) 89
c) 91
d) 95
e) 97
23. FCC – TRT/4ª – 2011) Considere que Asdrúbal tem um automóvel que, em
média, percorre 14 quilômetros de estrada com 1 litro de gasolina. Certo dia, após
ter percorrido 245 quilômetros de uma rodovia, Asdrúbal observou que o ponteiro do
marcador da gasolina, que anteriormente indicava a ocupação de
5
8
da capacidade
do tanque, passara a indicar uma ocupação de
1
3
. Nessas condições, é correto
afirmar que a capacidade do tanque de gasolina desse automóvel, em litros, é:
a) 50
b) 52
c) 55
d) 60
e) 65
24. FCC – TRT/15ª – 2009) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-
se que:
2
5
deveriam ser analisados e
4
7
referiam-se ao atendimento ao público
interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes
nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre
a) 10 e 50
b) 60 e 100
c) 110 e 160
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d) 150 e 170
e) 180 e 220
25. FGV – PREF. CAMPINAS – 2008) Pedro pensou em um número natural N e
fez as seguintes operações sucessivas: somou 5, dividiu o resultado por 2, subtraiu
7, dividiu o resultado por 3, somou 9 e, finalmente, dividiu por 4. Se o resultado final
dessas operações foi 10, a soma dos algarismos do número N é:
(A) 13.
(B) 14.
(C) 15.
(D) 16.
(E) 17.
26. CEPERJ – SEE/RJ – 2010) Na igualdade
7 5
7 5
a b
+
= +
−
, o valor de 2a b− é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 7
27. FGV – CODEBA – 2010 – Adaptada) Sejam a, b e c números inteiros
diferentes de zero e
a b c
k
a b c
= + + � . O conjunto de todos os possíveis valores de
k é:
(A) {-3, -1, 0, 1, 3}
(B) {-3, -1, 1, 3}
(C) {3 }.
(D) naturais diferentes de zero.
(E) reais deferentes de zero.
28. FCC – BANESE – 2012) O departamento de informática de um banco dividiu as
agências de um município em grupos de três, de modo que cada técnico ficasse
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responsável por dar suporte às agências de um desses grupos. Nessa divisão,
porém, sobrou uma agência, tendo um dos técnicos de ficar responsável por quatro
agências. Já o setor de apoio ao crédito, que dividiu as mesmas agências em
grupos de cinco para designar um assessor que atendesse as agênciasde cada
grupo, não teve esse problema: não sobraram agências na divisão. Dentre os
números abaixo, o único que pode representar o total de agências desse município
é
(A) 15.
(B) 19.
(C) 20.
(D) 24.
(E) 25.
29. FCC – ISS/SP – 2012) Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais
representam o mesmo dígito e o resultado é um número de 5 algarismos.
A soma (S + O + M + A + R) é igual a:
a) 33
b) 31
c) 29
d) 27
e) 25
30. FCC – BANESE – 2012) A abertura da Copa do Mundo de 2014 está prevista
para ocorrer na cidade de São Paulo, no dia 12 de junho daquele ano. 785 dias
depois, em 5 de agosto de 2016, uma sexta-feira, deve ocorrer a abertura das
Olimpíadas do Rio de Janeiro. Com esses dados, é possível concluir que a abertura
da Copa de 2014 ocorrerá em
(A) uma quarta-feira.
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(B) uma quinta-feira.
(C) uma sexta-feira.
(D) um sábado.
(E) um domingo.
31. FCC – TCE/AP – 2012) Um número inteiro será chamado de tricíclico se, e
somente se, for formado por uma sequência de dois ou mais dígitos aparecendo
exatamente três vezes. Por exemplo, os números 858 585, 107 107 107 e 292 129
212 921 são tricíclicos. O menor número positivo que deve ser somado a 198 891
para que se obtenha como resultado um número tricíclico é
(A) 1 109.
(B) 3 129.
(C) 6 972.
(D) 13 230.
(E) 23 331.
32. FCC – SPPREV – 2012) As garrafas PET são grandes poluentes do meio
ambiente. Pensando nisso, algumas empresas buscam maneiras de reaproveitar o
material, tornando-o matéria-prima de outros produtos. É o caso de algumas
tecelagens que produzem camisetas e sacolas com tecidos feitos da reciclagem de
garrafas PET. A malha produzida é feita com uma mistura de algodão reciclado de
tecidos que seriam jogados fora e a fibra da PET. Para cada camiseta são utilizadas
cerca de 2,5 garrafas de mesmo tamanho. Considerando que a empresa produz
camisetas de um mesmo tipo e tamanho e já utilizou 2 milhões de garrafas iguais à
citada anteriormente, com esse total produziu, aproximadamente,
(A) 80 000 camisetas.
(B) 800 000 camisetas.
(C) 50 000 camisetas.
(D) 500 000 camisetas.
(E) 5 000 000 camisetas.
33. FCC – SPPREV – 2012) Um fornecedor vende lápis em diferentes embalagens,
conforme mostra a tabela:
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Nessas condições, é correto afirmar que a economia na compra de uma caixa tipo
(A) III em relação à compra de três caixas tipo I é de R$ 150,00.
(B) V em relação à compra de seis caixas tipo I é de R$ 450,00.
(C) IV em relação à compra de quatro caixas tipo I é de R$ 250,00.
(D) V em relação à compra de duas caixas tipo III é de R$ 200,00.
(E) IV em relação à compra de duas caixas tipo II é de R$ 160,00.
34. FCC – SPPREV – 2012) Dona Arminda é mãe de 4 filhos. Cada um de seus
filhos teve 3 filhos. Cada um de seus netos teve 2 filhos. Considerando que todos
estão vivos, o número de descendentes que dona Arminda possui é
(A) 9.
(B) 16.
(C) 24.
(D) 36.
(E) 40.
35. FCC – SPPREV – 2012) Pensei em um número e dele
− subtraí 3 unidades;
− multipliquei o resultado por 5;
− somei 9 unidades;
− obtive 24 como resultado.
É correto afirmar que o quadrado desse número é
(A) 1.
(B) 4.
(C) 16.
(D) 25.
(E) 36.
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36. FCC – MPE/PE – 2012) Para realizar uma determinada tarefa, uma empresa
contrata quatro funcionários e aluga um equipamento cujo valor do aluguel é
determinado por lotes de tempo de sua utilização. Não há possibilidade de se pagar
fração de lotes. Por exemplo: se o equipamento for utilizado durante 3 lotes e um
terço de lote será cobrado o equivalente a 4 lotes de tempo de utilização. Sendo
assim, os funcionários resolveram trabalhar em turnos contínuos, um indivíduo
imediatamente após o outro. O primeiro funcionário trabalhou o equivalente a quatro
terços de um lote; o segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o
primeiro havia trabalhado; o terceiro funcionário ficou em ação três meios do tempo
que o segundo havia ficado e o quarto funcionário terminou a tarefa gastando a
terça parte do tempo que o terceiro havia gasto. A empresa contratante do serviço
destinou a quantia de R$ 19.500,00 para pagamento dos funcionários que
realizassem a tarefa. O pagamento foi feito proporcionalmente ao tempo despendido
em serviço pelos quatro funcionários individualmente.
O número de lotes que serão cobrados pelo uso desse equipamento é:
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
37. FCC – Banco do Brasil – 2011) Se x e y são números inteiros tais que x é par e
y é ímpar, considere as seguintes afirmações:
I. x + y é ímpar.
II. x − 2y é ímpar.
III. (3x) . (5y) é impar.
É correto afirmar que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) I, II e III são falsas.
(C) apenas I é verdadeira.
(D) apenas I e II são verdadeiras.
(E) apenas II e III são verdadeiras.
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4. GABARITO
01 E 02 B 03 B 04 E 05 C 06 E 07 E
08 D 09 C 10 C 11 D 12 B 13 D 14 A
15 B 16 C 17 B 18 D 19 B 20 C 21 E
22 A 23 D 24 D 25 C 26 A 27 B 28 E
29 D 30 B 31 B 32 B 33 E 34 E 35 E
36 B 37 C
49699682760
067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira