Compilado AP3 - Métodos Determinísticos 1 - 2022 e 2023

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Métodos Determińısticos I – 2/2022
Código da disciplina EAD06075
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
� Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
� Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula,
Polo e Data.
� Não é permitido o uso de calculadora.
� Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
� Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
Respostas.
� Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,
pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
� As Folhas de Respostas serão o único material con-
siderado para correção. Quaisquer anotações feitas
fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,
serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 3.
Uma pesquisa foi feita com usuários de três marcas, A, B e C, de um produto. Sabe-se que
(i) Todas as marcas têm pelo menos um usuário.
(ii) Todo usuário da marca B também é usuário da marca A.
(iii) Nenhum usuário da marca B é usuário da C.
(iv) Existem pessoas que usam apenas A, pessoas que usam apenas C, e que usam apenas A e C.
(v) O número de pessoas que usam as duas marcas A e C é 1/3 do número de usuários da marca C;
(vi) O número de usuários da marca B é o dobro do número de usuários da marca A, mas que não são usuários da
marca B;
(vii) O número de usuários apenas da marca A é igual ao número de usuários apenas da marca C.
Métodos Determińısticos I AP3 2
Questão 1 [1,0 pt] Represente, por meio de um Diagrama de Venn, as situações descritas nas informações (i) a (iv)
acima. Será entendido que cada região apresentada no diagrama contém pelo menos uma pessoa.
Solução: Sejam A, B e C os conjuntos de usuários das respectivas marcas. Como, por (i) todas as marcas têm pelo
menos um usuário, não há alguém que não use ao menos uma das três, portanto não há a necessidade de representar
um conjunto universo contendo A, B e C, pois este conjunto seria a própria união A ∪B ∪ C.
Por (ii), todo usuário da marca B também é usuário da marca A, logo B ⊂ A. Por (iii), nenhum usuário da marca B
é usuário da C, portanto B ∩ C = ∅. Por (iv,), existem pessoas que usam apenas A, pessoas que usam apenas C, e
que usam apenas A e C, portanto os conjuntos A − (B ∪ C), C − (A ∪ C) e (A ∩ C) − B não são vazios. Assim,
temos um diagrama como abaixo:
Questão 2 [1,0 pt]
Chame de x o número de pessoas que usam as duas marcas A e C e complete o Diagrama de Venn, preenchendo
cada região com uma quantidade de elementos em função de x.
Solução: Como pede o enunciado, vamos denotar por x o número de pessoas que usam A e C. Assim, temos
Por (v), o número de pessoas que usam as duas marcas A e C, dado por x, é 1/3 do número de usuários da marca
C. Assim, 3x pessoas usam a marca C, das quais 3x− x = 2x usam apenas a marca C.
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Métodos Determińısticos I AP3 3
A informação (vi) nos diz que o número de usuários da marca B é o dobro do número de usuários da marca A, mas
que não são usuários da marca B. Só que esta informação não é útil agora, já que não sabemos o número de usuários
de A que não usam B, pois, observando o diagrama, falta sabermos o número de usuários apenas de A. Assim, vamos
passar para a terceira informação.
Por (vii), o número de usuários apenas da marca A é igual ao número de usuários apenas da marca C, dado por 2x.
Assim, temos o diagrama:
Podemos voltar então à informação (vi). O número usuários da marca A que não são usuários da marca B é dado
então por 2x + x = 3x. o número de usuários de B será então o dobro deste número, ou seja, 6x. Temos então o
diagrama com as quantidades de todas as regiões:
Questão 3 [0,5 pt]
Se a pesquisa foi feita com 616 pessoas, quantas usam apenas a marca C?
Solução: Observando o diagrama da questão anterior, vemos que o número de participantes da pesquisa é dado por
6x + 2x + x + 2x, ou seja, 11x. Como são 616 pessoas, temos
11x = 616 ∴ x = 56.
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Métodos Determińısticos I AP3 4
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 4 E 5.
Lembre-se de que um aumento de a% em um valor representa uma multiplicação deste por 1 + a100 , i .e. o valor final
é o valor inicial multiplicado por 1 + a100 . Por exemplo, um aumento de 30% sobre R$ 120,00 transforma este valor
em
120, 00 ·
(
1 + 30100
)
= 120 · 130100 =
15600
100 = 156,00
Por outro lado, dois aumentos consecutivos de 30% transformariam este preço em
120, 00 ·
(
1 + 30100
)
︸ ︷︷ ︸
156,00
·
(
1 + 30100
)
︸ ︷︷ ︸
130
100
= 156, 00 · 130100 = 202,80.
Questão 4 [1,0pt] Dois aumentos consecutivos de 10% sobre um valor de R$60,00 resultam em que valor?
Solução: Dois aumentos de 10% sobre R$60,00 resultarão em
60,00 ·
(
1 + 10100
)
·
(
1 + 10100
)
= 60 · 100 + 10100 ·
100 + 10
100 = 60 ·
110
100 ·
110
100 = 60 ·
11
10 ·
11
10 =
6 · 121
10 = 72,60
Assim, dois aumentos consecutivos de 10% sobre um valor de R$60,00 resultam em R$72,60.
Questão 5 [1,5pt] Dois aumentos consecutivos de 10% sobre um valor resultaram em valor final de R$181,50. Qual
era o valor inicial?
Solução: Seja P o valor inicial. Após dois aumentos sucessivos de 10%, teremos
P ·
(
1 + 10100
)
·
(
1 + 10100
)
= P · 110100 ·
110
100 = P ·
11
10 ·
11
10 =
121 P
100 .
Como o preço se tornou 181,50 após os dois aumentos, temos
121 P
100 = 181,50 ∴ P =
181,5 · 100
121 =
18150
121 =
1650
11 = 150.
Assim, preço inicial era de R$150,00.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 6 A 8.
Um fazendeiro irá cercar um pasto em formato retangular, aproveitando uma cerca já existente, conforme mostra a
figura, e, para isso, dispõe de 60 metros de cerca. Naturalmente, ele terá que distribuir estes 60 metros de cerca entre
três lados do pasto; um deles de medida em metros que chamaremos de x, e outros dois de mesma medida, como
também pode ser visto na figura.
Questão 6 [1,0 pt] Dê a expressão da área A, em m2, do pasto a ser cercado em função de x e esboce o
gráfico de A.
Solução: Como a cerca deve possuir 60 metros, e como x já são utilizadas para a parte que é paralela à cerca já
existente, restam 60− x para serem divididas entre os outros dois lados que serão constrúıdos. Assim, temos
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Métodos Determińısticos I AP3 5
Com isso, a área do pasto será dada por
A(x) = x · 60− x2 = x
(
30− x2
)
= −x
2
2 + 30x
.
Questão 7 [1,0 pt] Para que valores de x a área do pasto a ser cercado é maior ou igual a 250m2?
Solução: Temos
A(x) > 250⇔ −x
2
2 + 30x > 250⇔ −
x2
2 + 30x− 250 > 0⇔ −x
2 + 60x− 500 > 0.
As soluções de −x2 + 60x− 500 = 0 são
x =
−60±
√
602 − 4(−1)(−500)
2(−1) =
−60±
√
3600− 2000
−2 =
−60±
√
1600
−2 =
−60± 40
−2 ,
ou seja,
x = −60 + 40
−2 =
−20
−2 = 10 ou x =
−60− 40
−2 =
−100
−2 = 50.
Com isso, podemos fatorar
−x2 + 60x− 500 = −(x− 10)(x− 5),
e temos então o quadro de sinais abaixo:
10 50
(x− 10) − 0 + + +
(x− 50) − − − 0 +
−1 − − − − −
−(x− 10)(x− 50) − 0 + 0 −
Logo, −x2 + 60x− 500 > 0 se, e só se, 10 6 x 6 50.
Com isso, a área cercada é maior ou igual a 250m2 quando 10 6 x 6 50.
Questão 8 [1,0 pt] Qual é a área máxima do pasto a ser cercado? Qual o valor de x que determina esta área máxima?
Solução: A área máxima corresponde ao valor máximo que A(x) = −x
2
2 + 30x,que é dado por
Amax = −
∆
4a = −
302 − 4 ·
(
− 12
)
· 0
4 ·
(
− 12
) = −900
−2 = 450.
Esta área máxima acontece quando
x = − b2a = −
30
2 ·
(
− 12
) = − 30
−1 = 30.
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Métodos Determińısticos I AP3 6
Questão 9 [2,0 pt] Esboce o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem simultaneamente:
1 < x 6 4
|y − 2| 6 3
x− y = 0
Solução: A primeira desigualdade nos dá a região abaixo:
A segunda desigualdade pode ser reescrita como
|y − 2| 6 3⇔ −3 6 y − 2 6 3⇔ −3 + 2 6 y − 2 + 2 6 3 + 2⇔ −1 6 y 6 5.
Assim, temos a região abaixo:
A igualdade x− y = 0 pode ser reescrita como y = x e representa a reta do esboço abaixo:
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Métodos Determińısticos I AP3 7
Esboçando junto os três objetos das condições acima, temos
A interseção será dada então pelo esboço abaixo:
Observe que o ponto (1, 1) não pertence à interseção, e o ponto (4, 4) pertence.
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AP3 – Métodos Determińısticos I – 1/2023
Código da disciplina EAD06075
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula,
Polo e Data.
• Não é permitido o uso de calculadora.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
Respostas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,
pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
• As Folhas de Respostas serão o único material con-
siderado para correção. Quaisquer anotações feitas
fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,
serão ignoradas.
(Este texto é comum às questões 1 a 4 a seguir.)
Os clientes da empresa de telecomunicações podem contratar planos com TV a cabo, internet e streaming de TV
por internet. Cada cliente pode contratar o plano com TV a cabo, com internet ou com ambos. Apenas os clientes
que contratam o plano de internet mas não contratam TV a cabo podem contratar streaming de TV por internet.
Sabe-se que:
i. 4/5 dos clientes que poderiam contratar streaming de TV por internet, de acordo com a regra acima, realmente
contrataram.
ii. Metade dos clientes que contratam plano de internet contratam streaming de TV por internet.
iii. O número de clientes que contratam TV a cabo é o dobro do número de clientes que não contratam.
iv. Todo cliente contrata pelo menos um dos planos.
v. A empresa possui um total de 90.000 clientes.
Questão 1 (0.5 pt) Represente a situação por meio de uma diagrama de Venn, chamando de I o conjunto dos
clientes que contratam plano de internet, de C o conjunto dos clientes que contratam TV a cabo e de S o conjunto
dos clientes que contratam streaming de TV por internet.
Métodos Determińısticos I AP3 2
Solução: Todo cliente contrata pelo menos um dos planos. Além disso, só pode contratar streaming de TV por
internet o cliente que também contratou plano de internet, mas não contratou TV a cabo. Portanto S ⊂ I − C.
Assim, a situação pode ser descrita pelo diagrama abaixo:
Note que não representamos um conjunto-universo U exterior aos conjuntos I e C, uma vez que não há cliente que
não esteja em algum destes conjuntos.
Questão 2 (1.0 pt) Chame de x o número de clientes que contratam streaming de TV por internet. Escreva, em
função de x, o número de clientes que poderiam ter contratado streaming de TV por internet mas não o fizeram.
Solução: Chamando de x o número de clientes que contrataram streaming de TV por internet, temos, pela afirmação
i que x é 4/5 do número total t de clientes que poderiam ter contratado streaming de TV por internet, que é o número
de elementos do conjunto I − C. Assim,
x = 45 t,
logo, t = 54 x. Lembramos que este é o total de clientes que poderiam ter contratado streaming de TV por internet.
Logo, o número de clientes que poderiam, mas não fizeram, isto é, o número de elementos do conjunto ((I−C)−S),
é dado por
t− x = 54x− x =
5x− 4x
4 =
x
4 .
Representando no diagrama:
Questão 3 (1.0 pt) Escreva, em função de x, o número de clientes que contratam simultaneamente plano de TV a
cabo e de internet.
Solução: Vamos chamar de i o número total de clientes que contrataram plano de internet. Assim, pela afirmação
ii, temos que
x = i2 ∴ i = 2x.
Assim, o número de clientes que contrataram tanto internet quanto TV a cabo é
i− x− x4 = 2x− x−
x
4 =
8x− 4x− x
4 =
3x
4 .
Representando no diagrama:
Questão 4 (1.0 pt) Quantos clientes contratam streaming de TV por internet?
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Métodos Determińısticos I AP3 3
Solução: Observando o diagrama anterior, vemos que o número de clientes que não contrataram TV a cabo é dado
por
x + x4 =
4x + x
4 =
5x
4 .
Chame de y o número de clientes que contrataram apenas TV a cabo. Assim, o número de clientes que contrataram
TV a cabo é dado por y + 3x4 . Pela afirmação iii, temos
y + 3x4 = 2 ·
5x
4 ∴ y +
3x
4 =
10x
4 ∴ y =
10x
4 −
3x
4 ∴ y =
7x
4 .
Representando no diagrama:
Pela afirmação v, temos
x + x4 +
3x
4 +
7x
4 = 90.000 ∴
4x + x + 3x + 7x
4 = 90.000 ∴
15x
4 = 90.000 ∴
∴
x
4 = 6.000 ∴ x = 24.000.
(Este texto é comum às questões 5 a 6 a seguir.)
Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 200 reais. Ao vender o produto, o comerciante deverá
recolher, como impostos, o equivalente a 40% do valor agregado, isto é, da diferença V − C entre o preço de venda
V e o de compra C.
Questão 5 (1.0 pt) Dê o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja de 350 reais.
Solução: Com o valor de 350 reais para venda, o imposto será dado por
I = 40% · (V − C) = 40100(350− 200) =
2
5 · 150 = 60.
Logo, o imposto será de 40 reais.
Questão 6 (1.5 pt) Escreva a expressão do imposto I e do lucro L (dado por L = V − C − I), em função apenas
de V . Depois, dê o valor de V para o qual o comerciante obterá um lucro de 72 reais na venda.
Solução: O imposto é de 40% da diferença V − C, logo é dado por
I = 40% · (V − C) = 25(V − C) =
2
5(V − 200) =
2V
5 − 80.
O lucro do vendedor será dado por
L = V − C − I = V − 200−
(
2V
5 − 80
)
= V − 200− 2V5 + 80 = V −
2V
5 − 120 =
3V
5 − 120.
Vamos descobrir então o valor de V para que tenhamos L = 72:
L = 72⇔ 3V5 − 120 = 72⇔
3V
5 = 192⇔ 3V = 960⇔ V = 320.
O preço de venda deverá ser de 320 reais.
(Este texto é comum às questões 7 a 10 e a seguir.)
Considere que as funções de demanda e de oferta de um determinado produto são dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 2 P − 4,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em milhões de unidades.
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Métodos Determińısticos I AP3 4
Questão 7 (1.0 pt) Qual é o preço máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo mesmo)? E qual
é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)?
Solução: Preço máximo:
D(P ) = 0⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0⇔ P =
−4±
√
42 − 4(−1)(5)
2 · (−1) =
−4±
√
36
−2 =
−4± 6
−2 ⇔
⇔ P = 5 ou P = −1.
Como P > 0, temos, como preço máximo, P = 5, isto é, R$5,00.
Preço ḿınimo:
Q(P ) = 0⇔ 2P − 4 = 0⇔ 2P = 4⇔ P = 2.
Temos então, como preço ḿınimo, R$2,00
Questão 8 (1.0 pt) A partir de uma análise da função quadrática D, que representa a demanda, determine a
demanda máximado produto e o preço para o qual ela ocorre.
Solução: Sabemos que a demanda deste produto é dada por D(P ) = −P 2 + 4P + 5. Considerando os coeficientes
a = −1, b = 4 e c = 5, a demanda máxima é dada por
Dmax = −
∆
4a = −
b2 − 4ac
4a = −
16− 4(−1)(5)
4(−1) = −
36
−4 = 9.
Ou seja, a demanda máxima é de 9 milhões de unidades. Esta demanda máxima ocorre para
P = − b2a = −
4
2(−1) = 2,
isto é, para o preço de R$2,00.
Questão 9 (1.0 pt) Qual é o preço de equiĺıbrio para este produto? Considere
√
10 = 3.16.
Solução: O preço de equiĺıbrio P é tal que
D(P ) = Q(P )⇔ −P 2 + 4P + 5 = 2 P − 4⇔ −P 2 + 2P + 9 = 0⇔ P 2 − 2P − 9 = 0⇔
⇔ P =
2±
√
22 − 4(1)(−9)
2 · 1 =
2±
√
4 + 36
2 =
2±
√
40
2 =
2± 2
√
10
2 = 1±
√
10⇔
⇔ P ≈ 1− 3.16 = −2.16 ou P ≈ 1 + 3.16 = 4.16.
Como P não pode ser negativo, o preço de equiĺıbrio será de R$4,16.
Questão 10 (1.0 pt) Esboce em um mesmo plano cartesiano as curvas de demanda e de oferta deste produto,
identificando cada uma delas. Destaque os pontos onde a oferta ou a demanda são iguais a zero, os pontos de
equiĺıbrio e o ponto de demanda máxima.
Solução: A função demanda, de expressão D(P ) = −P 2 + 4P + 5, é uma função quadrática cujo gráfico tem
concavidade para baixo. Suas ráızes já foram calculadas na questão 7, e são −1 e 5. Seu máximo, calculado na
questão 8, é 9, obtido quando P = 2.
A função oferta, de expressão Q(P ) = 2P − 4 tem como gráfico uma reta. Sabemos, pela questão 7, que Q(2) = 0.
Para obtermos outro ponto do gráfico desta função, vamos substituir o preço de equiĺıbrio:
Q(4.16) = 2 · 4.16− 4 = 4.32.
Assim, podemos traçar os gráficos das duas funções, definidos para 2 6 P 6 5 (preços ḿınimo e máximo), e que se
encontram no ponto de equiĺıbrio (4.16, 4.32).
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