Compilado AP2 - Métodos Determinísticos 1 - 2022 e 2023

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AP2 – Métodos Determińısticos I – 2019.2
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais:
I
1. Você está recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questões e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluções.
2. Confira se o Caderno de Questões corresponde à disciplina em que deverá realizar a prova.
Caso contrário verifique com o aplicador a solução cab́ıvel.
3. Após a conferência e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questões no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões,
preencha (pintando os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF,
o código da disciplina (indicado no cabeçalho da próxima folha) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. É expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexão à Internet durante a aplicação da prova. Qualquer irregularidade será reportada
pelo aplicador à Direção do Polo e à Coordenação para aplicação das sanções devidas.
8. Ao término da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questões e rascunhos.
Orientações para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das resoluções
das questões nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluções de forma clara, leǵıvel e organizada. Não se esqueça de numerá-las
de acordo com as questões.
3. As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção. Por-
tanto, quaisquer anotações feitas fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho, serão
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalização e a correção.
Orientação espećıfica:
I1. É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo comotambém qualquer material que sirva de consulta.
ATENÇÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
AP2 – Métodos Determińısticos I – 16/11/2019
Código da disciplina EAD 06075
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
• É expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para cálculo como também qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material considerado
para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste espaço,
mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
(Este texto é comum às questões 1 a 3 a seguir.)
Um representante comercial tem salário mensal fixo de R$5.000,00. Caso o valor total das vendas
feitas em um determinado mês exceda R$30.000,00, é acrescida ao salário uma comissão de 10% so-
bre o que exceder R$30.000,00. Vamos chamar de salário final o salário fixo acrescido da comissão,
se houver.
Chame de x o valor total, em reais, das vendas feitas em um certo mês e de s a função que representa
o salário final naquele mês, dependendo de x. Isto é, em um mês em que o representante venda x
reais, ele receberá s(x) como salário final.
Questão 1 (0.5 pt) Calcule o salário final do representante comercial quando ele vender R$20.000,00
e R$35.000. Em outras palavras, calcule s(20.000) e s(35.000).
Resposta: Caso ele venda R$20.000,00, não haverá comissão. Logo, o salário final será de
R$5.000,00. Assim, s(20.000) = 5.000.
Caso ele venda R$35.000,00, haverá excedente sobre R$30.000,00, logo, o salário final será dado por
s(35.000) = 5.000 + 10% · (35.000− 30.000) = 5.000 + 10100 · 5.000 = 5.000 + 500 = 5.500
Questão 2 (1.0 pt) Dê a expressão de s(x) quando x 6 30.000 e quando x > 30.000.
Métodos Determińısticos I AP2 3
Resposta: Caso ele venda x 6 30.000, não haverá comissão. Logo, o salário final será de
R$5.000,00. Assim,
s(s) = 5.000, para x 6 30.000.
Caso ele venda > 30.000, haverá excedente sobre R$30.000,00, logo, o salário final será dado por
s(x) = 5.000 + 10% · (x− 30.000) = 5.000 + 10100 · (x− 30.000) = 5.000 +
1
10 · (x− 30.000) =
= 5.000 + x10 − 3.000 =
x
10 + 2.000, para x > 30.000.
Questão 3 (1.0 pt) Esboce o gráfico da função s, tendo o valor x das vendas como eixo horizontal
e o valor s(x) como eixo vertical.
Resposta: Para 0 6 x 6 30.000, temos s(x) = 5.000, logo o gráfico da função será uma reta
horizontal para x 6 30.000.
Para x > 30.000, teremos s(x) = x10 + 2.000, cujo gráfico é uma reta, dada por y =
x
10 + 2.000.
Para obter dois pontos desta reta, vamos escolher dois valores de x. Para x = 30.000, temos
y = 30.00010 + 2.000 = 5.000. Para x = 40.000, temos y =
40.000
10 + 2.000 = 6.000.
Esboçando então o gráfico, temos
Questão 4 (2.0 pt) Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano R2 que satisfazem simul-
taneamente as condições
|x− 8| 6 3,
|y − 10| 6 1,
x + y = 15.
Resposta: Temos que
|x− 8| 6 3⇔ −3 6 x− 8 6 3⇔ 5 6 x 6 11,
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Métodos Determińısticos I AP2 4
assim, a primeira condição representa a “faixa”do R2 formada pelos pontos cuja coordenada x esteja
entre 5 e 11, incluindo estes valores. Esboçando esta região, temos
Da mesma forma,
|y − 10| 6 1⇔ −1 6 y − 10 6 1⇔ 9 6 y 6 11,
assim, a segunda condição representa a “faixa”do R2 formada pelos pontos cuja coordenada y esteja
entre 9 e 11, incluindo estes valores. Esboçando esta região, temos
A condição x + y = 15 representa a reta que passa pelos pontos (0, 15) e (15, 0), esboçada abaixo.
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Métodos Determińısticos I AP2 5
Esboçando as três regiões simultaneamente, temos
Note que, na reta, para x = 5 temos 5 + y = 15, logo y = 10 e, para y = 9, temos x + 9 = 15, logo
x = 6.
O conjunto dos pontos que satisfazem as três condições simultaneamente será dado então pela
interseção das duas faixas com a reta, isto é, por
Questão 5 (1.5 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma união finita de intervalos, os
números reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
(
x− 23
)2
+ 119 > 2
(
x− 13
)
(x + 2)− 20x3 .
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Métodos Determińısticos I AP2 6
Resposta: Temos
(
x− 23
)2
+ 119 > 2
(
x− 13
)
(x + 2)− 20x3 ⇔ x
2 − 4x3 +
4
9 +
11
9 > 2
(
x2 − x3 + 2x−
2
3
)
− 20x3
⇔ x2 − 4x3 +
15
9 > 2
(
x2 − x3 +
6x
3 −
2
3
)
− 20x3
⇔ x2 − 4x3 +
15
9 > 2
(
x2 + 5x3 −
2
3
)
− 20x3
⇔ x2 − 4x3 +
15
9 > 2x
2 + 10x3 −
4
3 −
20x
3
⇔ x2 − 4x3 +
15
9 > 2x
2 − 10x3 −
4
3
⇔ x2 − 4x3 +
15
9 − 2x
2 + 10x3 +
4
3 > 0
⇔ −x2 + 6x3 +
15
9 +
12
9 > 0
⇔ −x2 + 2x + 279 > 0
⇔ −x2 + 2x + 3 > 0
As ráızes de −x2 + 2x + 3, são as ráızes de x2 − 2x− 3, que são −1 e 3, portanto
−x2 + 2x + 3 = −(x + 1)(x− 3),
logo, voltando à inequação, temos
−x2 + 2x + 3 > 0⇔ −(x + 1)(x− 3) > 0⇔ (x + 1)(x− 3) < 0.
Estudando o quadro de sinais,temos
(−∞,−1) −1 (−1, 3) 3 (3, +∞)
x + 1 − 0 + + +
x− 3 − − − 0 +
(x + 1)(x− 3) + 0 − 0 +
Assim,
−x2 + 2x + 3 > 0⇔ x2 − 2x− 3 < 0⇔ x ∈ (−1, 3).
(Este texto é comum às questões 6 a 9 e a seguir.)
Considere que as funções de demanda e de oferta de um determinado produto são dadas, respecti-
vamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 2 P − 4,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em
milhões de unidades.
Questão 6 (1.0 pt) Qual é o preço máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo
mesmo)? E qual é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)?
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Métodos Determińısticos I AP2 7
Resposta: Preço máximo:
D(P ) = 0⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0⇔ P =
−4±
√
42 − 4(−1)(5)
2 · (−1) =
−4±
√
36
−2 =
−4± 6
−2 ⇔
⇔ P = 5 ou P = −1.
Como P > 0, temos, como preço máximo, P = 5, isto é, R$5,00.
Preço ḿınimo:
Q(P ) = 0⇔ 2P − 4 = 0⇔ 2P = 4⇔ P = 2.
Temos então, como preço ḿınimo, R$2,00
Questão 7 (1.0 pt) A partir de uma análise da função quadrática D, que representa a demanda,
determine a demanda máxima do produto e o preço para o qual ela ocorre.
Resposta: Sabemos que a demanda deste produto é dada por D(P ) = −P 2+4P +5. Considerando
os coeficientes a = −1, b = 4 e c = 5, a demanda máxima é dada por
Dmax = −
∆
4a = −
b2 − 4ac
4a = −
16− 4(−1)(5)
4(−1) = −
36
−4 = 9.
Ou seja, a demanda máxima é de 9 milhões de unidades. Esta demanda máxima ocorre para
P = − b2a = −
4
2(−1) = 2,
isto é, para o preço de R$2,00.
Questão 8 (1.0 pt) Qual é o preço de equiĺıbrio para este produto? Considere
√
10 ≈ 3.16.
Resposta: O preço de equiĺıbrio P é tal que
D(P ) = Q(P )⇔ −P 2 + 4P + 5 = 2 P − 4⇔ −P 2 + 2P + 9 = 0⇔ P 2 − 2P − 9 = 0⇔
⇔ P =
2±
√
22 − 4(1)(−9)
2 · 1 =
2±
√
4 + 36
2 =
2±
√
40
2 =
2± 2
√
10
2 = 1±
√
10⇔
⇔ P ≈ 1− 3.16 = −2.16 ou P ≈ 1 + 3.16 = 4.16.
Como P não pode ser negativo, o preço de equiĺıbrio será de R$4,16.
Questão 9 (1.0 pt) Esboce em um mesmo plano cartesiano as curvas de demanda e de oferta
deste produto, identificando cada uma delas. Destaque os pontos onde a oferta ou a demanda são
iguais a zero, os pontos de equiĺıbrio e o ponto de demanda máxima.
Resposta: A função demanda, de expressão D(P ) = −P 2 + 4P + 5, é uma função quadrática cujo
gráfico tem concavidade para baixo. Suas ráızes já foram calculadas na questão 6, e são −1 e 5.
Seu máximo, calculado na questão 7, é 9, obtido quando P = 2.
A função oferta, de expressão Q(P ) = 2P − 4 tem como gráfico uma reta. Sabemos, pela questão
6, que Q(2) = 0. Para obtermos outro ponto do gráfico desta função, vamos substituir o preço de
equiĺıbrio:
Q(4.16) = 2 · 4.16− 4 = 4.32.
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Métodos Determińısticos I AP2 8
Assim, podemos traçar os gráficos das duas funções, definidos para 2 6 P 6 5 (preços ḿınimo e
máximo), e que se encontram no ponto de equiĺıbrio (4.16, 4.32).
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RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Resoluções feitas nesta folha não serão corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Métodos Determińısticos I – 2/2022
Código da disciplina EAD06075
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
� Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
� Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula,
Polo e Data.
� Não é permitido o uso de calculadora.
� Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
� Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
Respostas.
� Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,
pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
� As Folhas de Respostas serão o único material con-
siderado para correção. Quaisquer anotações feitas
fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,
serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 3.
Um vendedor de equipamentos eletrônicos tem salário mensal fixo de R$4.000,00. Caso o valor total das vendas
feitas em um determinado mês exceda R$30.000,00, é acrescida ao salário uma comissão de 15% sobre o que exceder
R$30.000,00. Vamos chamar de salário final o salário fixo acrescido da comissão, se houver.
Chame de x o valor total, em reais, das vendas feitas em um certo mês e de s a função que representa o salário final
naquele mês, dependendo de x. Isto é, em um mês em que o representante venda x reais, ele receberá s(x) como
salário final.
Questão 1 [1,0 pt] Calcule o salário final do vendedor de equipamentos eletrônicos quando ele vender R$25.000,00
e R$40.000. Em outras palavras, calcule s(25.000) e s(40.000).
Solução:
Caso ele venda R$25.000,00, não haverá comissão. Logo, o salário final será de R$4.000,00. Assim, s(25.000) = 4.000.
Caso ele venda R$40.000,00, haverá excedente sobre R$30.000,00, logo, o salário final será dado por
s(40.000) = 4.000 + 15% · (40.000− 30.000) = 4.000 + 15100 · 10.000 = 4.000 + 1.500 = 5.500
Métodos Determińısticos I AP2 2
Questão 2 [1,0 pt]
Dê a expressão de s(x) quando x 6 30.000 e quando x > 30.000.
Solução:
Caso ele venda x 6 30.000, não haverá comissão. Logo, o salário final será de R$4.000,00. Assim,
s(x) = 4.000, para x 6 30.000.
Caso ele venda > 30.000, haverá excedente sobre R$30.000,00, logo, o salário final será dado por
s(x) = 4.000 + 15% · (x− 30.000) = 4.000 + 15100 · (x− 30.000) = 4.000 +
15
100 · (x− 30.000) =
= 4.000 + 15x100 − 4.500 =
15x
100 − 500, para x > 30.000.
Questão 3 [1,5 pt]
Esboce o gráfico da função s, tendo o valor x das vendas como eixo horizontal e o valor s(x) como eixo vertical, ou
seja, use s no lugar do usual y?.
Solução:
Para 0 6 x 6 30.000, temos s(x) = 4.000, logo o gráfico da função será uma reta horizontal para x 6 30.000.
Para x > 30.000, teremos s(x) = 15x100 − 500, cujo gráfico é uma reta, dada por y =
15x
100 − 500. Para obter dois
pontos desta reta, vamos escolher dois valores de x. Para x = 30.000, temos y = 450.000100 − 500 = 4.000. Para
x = 40.000, temos y = 600.000100 − 500 = 5.500.
Esboçando então o gráfico, temos
Questão 4 [1,5pt] Represente, como intervalo ou união de intervalos, o conjunto dos números reais que satisfazem
simultaneamente às duas inequações a seguir:
|4x + 1| 6 5 e |−8x + 3| − 5 < 1.
Solução: Primeiro, vamos encontrar em separado o conjunto solução de cada uma das inequações. Em seguida,
determinamos o conjunto solução, S, dos números reais que satisfazem simultaneamente às duas inequações, fazendo
a interseção do conjunto solução de cada uma das inequações.
Para resolver |4x + 1| 6 5, vamos utilizar o resultado: |y| ≤ a ⇔ −a ≤ y ≤ a. Neste caso, tomando y = 4x + 1 e
a = 5, segue que
|4x + 1| 6 5
m
−5 6 4x + 1 6 5
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Métodos Determińısticos I AP2 3
m
−6 6 4x 6 4
m
−64 6 x 6 1
Logo, o conjunto solução desta inequação é o conjunto S1, dado por
S1 =
{
x ∈ R | − 64 6 x 6 1
}
=
[
−64 , 1
]
.
Agora, vamos resolver a segunda inequação.
Observe que | − 8x + 3| − 5 < 1 ⇔ |− 8x + 3| < 6. Para resolver esta inequação, vamos utilizar o resultado: |y| < a
⇔ −a < y < a. Neste caso, tomando y = −8x + 3 e a = 6, segue que
| − 8x + 3| < 6
m
−6 < −8x + 3 < 6
m
−9 < −8x < 3
m
9
8 > x > −
3
8
m
−38 < x <
9
8
Logo, o conjunto soluçãoo desta inequação é o conjunto S2, dado porS2 =
{
x ∈ R | − 38 < x <
9
8
}
=
(
−38 ,
9
8
)
.
Para encontrar o conjunto S, dos números reais que satisfazem ao mesmo tempo às duas inequações, temos que
determinar o conjunto dos números que estão ao mesmo tempo nos dois intervalos encontrados, isto é, a interseção
destes intervalos.
Conclusão:
S = S1 ∩ S2 = [−6/4, 1] ∩ (−3/8, 9/8) = (−3/8, 1]
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Métodos Determińısticos I AP2 4
Questão 5 [1,5pt] Resolva o sistema {
x2 + 3y2 = 32
−3x2 + y2 = −6.
Solução: Multiplicando a segunda equação por −3, temos{
x2 + 3y2 = 32
9x2 − 3y2 = 18.
Somando as equações, obtemos
10x2 = 50,
logo x2 = 5.
Com isso, substituindo x2 = 5 na primeira equação, temos
5 + 3y2 = 32 ∴ 3y2 = 27 ∴ y2 = 9.
Como x2 = 5 e y2 = 9, temos x = ±
√
5 e y = ±
√
9 = ±3. Assim, as soluções do sistema podem ser os pontos
(−
√
5,−3), (−
√
5, 3), (
√
5,−3), (
√
5, 3).
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 6 A 8.
Considere que as funções de demanda e de oferta de um determinado produto são dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 12 e Q(P ) = 7P3 −
14
3 ,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em milhões de unidades.
Observação: Para ajudar nas contas, segue uma pequena taboada:
22 = 4 82 = 64 142 = 196 202 = 400 262 = 676
32 = 9 92 = 81 152 = 225 212 = 441 272 = 729
42 = 16 102 = 100 162 = 256 222 = 484 282 = 784
52 = 25 112 = 121 172 = 289 232 = 529 292 = 841
62 = 36 122 = 144 182 = 324 242 = 576 302 = 900
72 = 49 132 = 169 192 = 361 252 = 625 312 = 961
Questão 6 [1,0 pt] Quais são os preços máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo mesmo)? E
qual é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)?
Solução: Encontramos o preço máximo do produto, valor acima do qual não há demanda pelo mesmo, verificando
quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que
D(P ) = 0 ⇔ −P 2 + 4P + 12 = 0
⇔ P 2 − 4P − 12 = 0
⇔ P = −2 ou P = 6.
Como preço é um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com o valor
positivo de P , que é P = 6. Assim, o preço máximo do produto é R$6,00.
Encontramos o preço ḿınimo do produto, valor abaixo do qual não há oferta do mesmo, verificando quando temos a
oferta igual a zero. Neste caso, temos que
Q(P ) = 0 ⇔ 7P3 −
14
3 = 0
⇔ 7P3 =
14
3
⇔ P = 147 = 2.
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Métodos Determińısticos I AP2 5
Assim, o preço ḿınimo do produto, valor abaixo do qual não há oferta para ele, é R$2,00.
Questão 7 [1,0 pt] Qual é o preço de equiĺıbrio para este produto? Quais são os valores da demanda e da oferta
referentes a este preço?
Solução:
Para encontrar o preço de equiĺıbrio, vamos igualar as funções demanda, D, e oferta, Q.
D(P ) = Q(P ) ⇔ −P 2 + 4P + 12 = 7P3 −
14
3
⇔ −3P 2 + 12P + 36 = 7P − 14
⇔ −3P 2 + 5P + 50 = 0
⇔ 3P 2 − 5P − 50 = 0
⇔ P =
−(−5)±
√
(−5)2 − 4 · 3 · (−50)
2 · 3
⇔ P = 5±
√
625
6 =
5± 25
6
⇔ P = 5 ou P = −103 .
Como preço é um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com o valor
positivo de P , que é P = 5. Assim, o preço de equiĺıbrio é de R$ 5,00.
A demanda e a oferta correspondentes a este preço é de D(P ) = Q(P ) = 7 · 53 −
14
3 = 7, isto é, 7 milhões de
unidades.
Questão 8 [1,5 pt] Esboce em um mesmo gráfico as curvas de demanda e de oferta deste produto, destacando os
pontos onde a oferta ou a demanda são iguais a zero, os pontos de equiĺıbrio e o ponto de demanda máxima.
Solução: Já vimos, na Questão 6, que Q(2) = 0. Portanto, o ponto (2, 0) é um ponto do gráfico da função oferta.
Vimos também, na Questão 7, que D(5) = Q(5) = 7. Repare que o ponto de equiĺıbrio será então (5, 7). Ou seja, o
ponto (5, 7) é um ponto do gráfico da função demanda e também é um ponto do gráfico da função oferta.
O gráfico da função oferta Q é uma reta, pois ela é uma função de polinomial 1o grau. E, como já conhecemos dois
de seus pontos (2, 0) e (5, 7), podemos esboçar a reta.
O gráfico da função demanda D é uma parábola. Já conhecemos as duas ráızes −2 e 6. O vértice (xv, yv) desta
parábola representa o ponto de demanda máxima, e suas coordenadas são dadas por
xv = −
b
2a = −
4
2 · (−1) = 2
yv = −
∆
4a = −
42 − 4 · (−1) · 12
4 · (−1) = −
64
−4 = 16.
Assim, o vértice é o ponto (2, 16).
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Esboçando as funções, temos
Mas já vimos que os preços para os quais há demanda e oferta satisfazem 2 6 P 6 6, assim, podemos esboçar o
gráfico das funções apenas para estes valores de P , como abaixo:
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AP2 – Métodos Determińısticos I – 1/2023
Código da disciplina EAD06075
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Polo: Data:
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respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
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• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula,
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• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
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ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
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• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,
pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
• As Folhas de Respostas serão o único material con-
siderado para correção. Quaisquer anotações feitas
fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,
serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 1 E 2.
A companhia de distribuição de águas Tormentas do Rio cobra de seus usuários, no plano padrão de fornecimento, 10
reais por mês por metro cúbico de água consumido em um mês. Porém, independentemente do consumo, é cobrado
no ḿınimo o equivalente a 15 metros cúbicos.
Além do plano padrão de fornecimento, um outro modelo alternativo de cobrança que foi estudado era o valor fixo
de 100 reais mais o valor de 5 reais por metro cúbico consumido.
Questão 1 [1,0 pt] Em um mesmo esboço, construa:
• o gráfico da função P que dá o valor P (v), em reais, a ser pago pelo consumo de v metros cúbicos em um
mês no plano padrão de fornecimento;
• o gráfico da função A que dá o valor A(v), em reais, que seria cobrado pelo consumo de v metros cúbicos,
com v > 0, caso tivesse sido adotado o modelo alternativo.
Métodos Determińısticos I AP2 2
Construa os gráficos representando v no eixo horizontal, com v > 0, e P (v) e A(v) no eixo vertical.
Solução: A função P : [0, +∞)→ R pode ser definida por
P (v) =
{
150, se v < 15
10v, se v > 15
Note que o custo é dado por 10 · 15 = 150 para v < 15.
A função A : [0, +∞)→ R pode ser definida por
A(v) = 100 + 5v.
O gráfico de P é um segmento de reta horizontal com y = 150 para 0 6 v < 15 e, a partir dáı, uma semirreta, com
y = P (15) = 150 quando v = 15 e y = P (20) = 10 · 20 = 200 quando v = 20 (o valor v = 20 foi escolhido ape-
nas para termos outro ponto e esboçarmos o gráfico; poderia ter sido escolhido qualquer outro valor de v maior que 15).
Por outro lado, o gráfico de A é uma semirreta com y = A(0) = 100 + 5 · 0 = 100 quando v = 0, e A(15) =
100 + 5 · 15 = 175 quando v = 175. Escolhemos v = 15 para podermos comparar com o valor de P e dar mais
significado ao esboço.
Esboçando os gráficos, temos:
Repare que A(0) = 100 < 150 = P (0) e que A(15) = 175 > 150 = P (15), com isso, os gráficos das duas funçõesse cortam em algum ponto com 0 < v < 15. Para v > 15, o gráfico de A e P são semirretas, sendo o de P mais
inclinado. Por isso, os gráficos se cortarão também em algum v > 15.
Questão 2 [1,0 pt] Determine os valores de v para os quais P (v) = A(v) e, a partir dáı, determine para que volumes
de consumo mensal v o modelo alternativo de cobrança representaria um valor maior a ser pago pelo usuário?
Solução: Como visto na Questão 1, há um v entre 0 e 15 tal que P (v) = A(v). Para v < 15, P (v) = 150, assim
P (v) = A(v)⇔ 150 = 100 + 5v ⇔ 50 = 5v ⇔ v = 10.
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Métodos Determińısticos I AP2 3
Também vimos que há um valor de v > 15 tal que P (v) = A(v). Para v > 15, P (v) = 10v, logo
P (v) = A(v)⇔ 10v = 100 + 5v ⇔ 5v = 100⇔ v = 20.
Assim, os gráficos de P e A se cortam quando v = 10 e quando v = 20. Podemos observar no gráfico, então, que
A(v) > P (v) se, e somente se 10 < v < 20.
Questão 3 [2,0 pt] Represente, como intervalo ou união de intervalos, o conjunto dos números reais que satisfazem
simultaneamente às duas inequações a seguir:
|4x + 1| < 13,
|x− 1|+ 1 > 2.
Solução: Temos
|4x + 1| < 13 ⇔ −13 < 4x + 1 < 13
⇔ −13 < 4x + 1 e 4x + 1 < 13
⇔ −14 < 4x e 4x < 12
⇔ x > −144 e x <
12
4
⇔ x > −72 e x < 3
Temos ainda
|x− 1|+ 1 > 2 ⇔ |x− 1| > 1
⇔ x− 1 > 1 ou x− 1 6 −1
⇔ x > 2 ou x 6 0
Abaixo, representamos o conjunto solução de cada inequação e, em verde, a interseção destas soluções.
Assim, as duas inequações são simultaneamente satisfeitas para x ∈
(
−72 , 0
]
∪ [2, 3).
Questão 4 [1,5 pt] Escreva um sistema formado por uma equação e uma inequação, ambas com variáveis x e y,
que represente o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que estão na circunferência de centro (1, 2) e raio 5,
e que tenham coordenada horizontal maior ou igual a 4.
Solução: Os pontos (x, y) do plano cartesiano que estão na circunferência de centro (1, 2) e raio 5 são aqueles que
satisfazem a equação
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 52.
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Não há necessidade de simplificarmos esta equação, mas podeŕıamos escrever
x2 − 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 25,
ou ainda
x2 + y2 − 2x− 4y = 20.
Os pontos com coordenada horizontal maior ou igual a 4 são os que satisfazem
x > 4.
Assim, o sistema é dado por {
x2 − 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 25
x > 4
ou, com a equação da circunferência na forma original,{
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 52
x > 4
Questão 5 [1,0 pt] Esboce, no plano cartesiano, o conjunto descrito na questão anterior, com o máximo de deta-
lhes posśıvel. Não deixe de dar as coordenadas dos pontos que são os extremos do segmento de circunferência que
representa o conjunto.
Solução: Esboçando a circunferência em azul e o conjunto x > 4 em vermelho, temos
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Métodos Determińısticos I AP2 5
O conjunto dos pontos que estão simultaneamente em ambos é o segmento de circunferência representado abaixo:
Os extremos deste segmento de circunferência são os pontos da circunferência de equação (x− 1)2 + (y − 2)2 = 52
que estão sobre a reta x = 4, ou seja, que satisfazem o sistema{
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 52
x = 4
Substituindo x = 4 na primeira equação, temos
(4− 1)2 + (y − 2)2 = 25⇔ 9 + (y − 2)2 = 25⇔ (y − 2)2 = 16⇔ y2 − 4y + 4 = 16⇔ y2 − 4y − 12 = 0,
que tem como soluções
y =
4±
√
(−4)2 − 4 · 1 · (−12)
2 =
4±
√
64
2 =
4± 8
2 ,
ou seja, y = 122 = 6 ou y =
−4
2 = −2.
Assim, os extremos do segmento de circunferência são os pontos (4, 6) e (4,−2).
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USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 6 A 9.
Considere que as funções de demanda e de oferta de um determinado produto são dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 3P + 4 e Q(P ) = 83P − 4,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em milhões de unidades.
Questão 6 [1,0 pt] Quais são os preços máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo mesmo)? E
qual é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)?
Solução: O preço máximo P do produto ocorre quando não há demanda, isto é D(P ) = 0. Assim, temos
D(P ) = 0⇔ −P 2 + 3P + 4 = 0⇔ P =
−3±
√
32 − 4 · (−1) · 4
2(−1) ⇔ P =
−3±
√
25
−2 ⇔
⇔ P = −3± 5
−2 ⇔ P =
−8
−2 = 4 ou P =
2
−2 = −1.
Como não podemos ter preço negativo, o preço máximo é dado por P = 4 reais.
O preço ḿınimo P ocorre quando não há oferta, isto é, Q(P ) = 0. Assim, temos
Q(P ) = 0⇔ 83P − 4 = 0⇔
8
3P = 4⇔ x = 4 ·
3
8 ⇔ P =
3
2 .
Portanto, o preço ḿınimo é de 1,50 real.
Questão 7 [1,0 pt] A partir de uma análise da função quadrática D, que representa a demanda, determine a demanda
máxima do produto e o preço para o qual ela ocorre.
Solução: A demanda máxima é dada por
DM = −
∆
4a = −
32 − 4 · (−1) · 4
4 · (−1) = −
9 + 16
−4 =
25
4 = 6,25.
Assim, a demanda máxima é de 6,25 milhões de unidades.
O preço para o qual a demanda máxima ocorre é dado por
P = − b2a = −
3
2 · (−1) =
3
2 = 1,5,
ou seja, 1,50 real.
Questão 8 [0,5 pt] Explique por que 3 reais é preço de equiĺıbrio deste produto.
Solução: Temos D(3) = −32 + 3 · 3 + 4 = 4 e Q(3) = 83 · 3− 4 = 4. Assim, D(3) = Q(4), mostrando que 3 reais é
preço de equiĺıbrio do produto.
Questão 9 [1,0 pt] Esboce em um mesmo plano cartesiano as curvas de demanda e de oferta deste produto, identi-
ficando cada uma delas. Destaque os pontos onde a oferta ou a demanda são iguais a zero, os pontos de equiĺıbrio e
o ponto de demanda máxima.
Solução: Com o que já descobrimos nas questões anteriores, podemos esboçar a parábola de concavidade para baixo
que contém o gráfico da função demanda D. Seu vértice é o ponto (1.5, 6.25) e D(4) = 0 é uma das ráızes.
Para esboçar a reta que contém o gráfico da função oferta Q, precisamos conhecer dois de seus pontos. Sabemos que
Q(1.5) = 0. Temos ainda que Q(3) = 83 · 3− 4 = 8− 4 = 4. Assim, o ponto (3, 4) está no gráfico de Q.
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Métodos Determińısticos I AP2 7
Na realidade, como o preço de equiĺıbrio é 3 reais, o ponto (3, 4) será o ponto de interseção entre os gráficos de D e
Q.
Temos então o esboço abaixo:
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