Aula 2

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Integrais imediatas
• Na seção anterior aprendemos que a Integral
de Riemann nos fornece um valor aproximado
do cálculo da área através da divisão dessa
área em retângulos e que quanto maior o
número de retângulos melhor será essanúmero de retângulos melhor será essa
aproximação.
• Dessa forma formalizou-se o conceito de
integração, com o estudo das antiderivadas e
do teorema fundamental.
Integrais INDEFINIDAS
• Dada uma função f com uma primitiva F,
chamamos a família de primitivas da função f
de integral INDEFINIDA e denotamos por:
• onde C é uma constante qualquer, e os limites
de integração não foram especificados.
  CxFdxxf )()(
Integral DEFINIDA
• Quando temos uma integral DEFINIDA, com
limites de integração dados, então não há
necessidade de adicionar uma constante, pois
obteremos o valor exato no final do cálculo.obteremos o valor exato no final do cálculo.
• No caso da integral definida, teremos:
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a

Integrais imediatas
• Temos as seguintes regras para resolver as
integrais das mais diversas funções:
• Integral de uma variável elevada a uma constante 
real n (n≠-1)
xn 1
– Ex:
 

C
n
x
dxx
n
n
1
1
 dxx3  dx
Integrais imediatas
– Integral de uma constante:
– Ex:
  Cxaadx .
 dx4
– Integral de uma variável com uma constante:
– Ex:
 dx4
 dxx²4
 

C
x
x
aaxdx
n
1
.
1
Integrais imediatas
• Exceção: monômio com n=–1:
    Cxdxxdxx ln
1 1 x
Integral de funções trigonométricas
• Integral de funções trigonométricas comuns:
  Cdxxsen cos)(
  Csendxx)cos(
Exemplificando
Integral de uma constante elevada a 
uma variável
• Integral de uma constante elevada a uma variável:
• caso particular importante:
  Ca
a
dxa
x
x
)ln(
• caso particular importante:
– Uma vez que ln(e)=1
• Lembre-se, “e” é o número de Euler, ou número
neperiano: e=2,718... Trata-se de um número
irracional.
  Cedxe xx
Integral de um logaritmo neperiano
• Integral de um logaritmo neperiano (base e).
  Cxxxxdx lnln
Regras funções trigonométricas
• Regras para as funções trigonométricas seno e 
cosseno em um caso um pouco mais geral:
  Cnxndxnxsen )cos(
1
)(




Cnxsen
n
dxnx
Cnx
n
dxnxsen
)(
1
)cos(
)cos()(
Exemplificando
Funções logarítmicas e exponenciais
• Funções logarítmicas e exponenciais
  Cendxe
nxnx 1
• E
n
Cxnxxdxnx  )ln(.)ln(
Exemplificando
Regras importantes da operação 
integração
• Multiplicar uma função por uma constante e
depois integrar resulta no mesmo que integrar
a função e depois multiplicar o resultado final
pela constante. Ou seja:pela constante. Ou seja:
• Onde “a” é um número real qualquer
  dxxfadxxfa )(.)(.
Regras importantes da operação 
integração
• A integral de uma soma de funções é igual à
soma das integrais das funções. Portanto,
   dxxgdxxfdxxgxf )()())()((   dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
Regras importantes da operação 
integração
• Podemos calcular as integrais relevantes
termo a termo e somar todos os resultados no
final.
• Seja um ponto c tal que a ≤ c ≤ b , então• Seja um ponto c tal que a ≤ c ≤ b , então
 
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Exemplificando
Exercícios
xxxf 3²)( 
Exercícios
• Uma empresa de produtos eletrônicos
está no mercado há 10 anos e o
proprietário resolveu fazer uma
análise da taxa de variação dos lucros
da empresa (lucro/tempo).
• Com os dados, foi feito um gráfico,
observando-se que a função tem oobservando-se que a função tem o
comportamento mostrado na Figura,
bem modelado pela função L'(t) =
−0,3t2 + 5t + 2 , sendo a abscissa o
período em anos desde sua fundação
e a ordenada a taxa de variação dos
lucros em milhões de reais por ano.
• Sendo assim, o que podemos concluir
sobre os lucros obtidos pela empresa?
Exercícios
Exercícios
Exercícios