Cap 13_Halliday

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Capítulo 13 
 
Gravitação 
 
Profa Alice Grimm 
Gravitação 
A gravitação explica a 
força que atua entre 
os corpos devida às 
suas massas. 
A força gravitacional 
entre corpos na Terra 
é insignificante, mas a 
força entre os corpos 
e a própria Terra é 
muito significativa, 
assim como a 
interação entre os 
corpos celestes 
(planetas, estrelas, 
galáxias). 
13.1. Introdução 
 
 
 Por que os corpos caem na vizinhança da Terra? 
 Por que grandes corpos celestes são aproximadamente esféricos? 
 Por que alguns satélites artificiais da Terra giram em torno dela em 
90 minutos, enquanto a Lua leva 27 dias? 
 Por que os satélites não cairiam e retornariam à Terra se não 
houvesse atrito sobre eles (se o espaço fosse realmente vazio)? 
 Por que existe a atmosfera e qual é uma das condições que um gás 
deve satisfazer para compô-la? 
13.2. Lei da Gravitação de Newton 
 
 
1665 – Isaac Newton Lei da Gravitação Universal: 
 
Duas partículas com massas m1 e m2 , separadas por distância r, sofrem 
força de atração mútua cujo módulo é: 
onde: m1 e m2 são as massas das partículas 1 e 2, 
 r é a distância entre elas, 
 G é a constante gravitacional universal de Newton, dada por: 
Em forma vetorial: 
(13-1) 
(13-2) 
13.2. Lei da Gravitação de Newton (cont.) 
• A força dada pela Lei da Gravitação de Newton é válida para partículas, mas pode ser 
usada com boa aproximação para objetos cujas dimensões são « r. 
• Para corpos extensos, usa-se o Princípio da Superposição. 
13.3. Gravitação Universal e o 
 Princípio da Superposição 
Princípio 
Princípio da Superposição: um efeito resultante é a soma (superposição) dos efeitos individuais 
a. Conjunto de partículas 
b. Corpo extenso (distribuição contínua de massa) 
Exemplo: Força gravitacional exercida por uma casca esférica sobre uma partícula. 
13.3. Gravitação Universal e o 
 Princípio da Superposição (cont.) 
Princípio 
Exemplo: Teorema da Casca (Newton) 
a. Partícula fora da casca esférica 
 
Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma 
partícula que se encontra fora da casca como se toda a 
massa da casca estivesse concentrada no seu centro. 
b. Partícula dentro da casca esférica 
 
Uma casca esférica uniforme de matéria exerce força 
gravitacional resultante nula sobre uma partícula que 
se encontra dentro dela. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_das_cascas_esf%C3%A9ricas 
Anel de massa 
Φ 
Φ 
F = 0 
Os elementos de volume no cálculo da integral da força gravitacional: 
Animação (.gif): os elementos de volume no cálculo da integral: 
13.3. Gravitação Universal e o 
 Princípio da Superposição (cont.) 
Princípio 
Consequência do Teorema da Casca: 
Força gravitacional exercida por distrib. de massa c/ simetria esférica 
(ρ é função apenas da distância ao centro da distribuição: ρ= ρ(r)) 
Uma distribuição de massa com simetria esférica atrai uma partícula que se encontra fora 
da distribuição como se toda a massa da distribuição estivesse concentrada no seu centro. 
Por que? 
Porque esta distribuição pode ser considerada como um conjunto de cascas esféricas 
concêntricas cada qual com densidade uniforme. 
Então: 
Simetria esférica Simetria esférica Sem simetria esférica 
M 
m 
r m1 m2 
m3 
m4 
m5 
13.4. Gravitação nas proximidades da 
 superfície da Terra 
O módulo da força gravitacional exercida pela Terra (M), considerada distribuição de massa 
com simetria esférica, sobre uma partícula (m) localizada fora da Terra, a uma distância r é: 
Pela 2ª lei de Newton: 
e, portanto: 
é a aceleração gravitacional produzida pela Terra de simetria esférica. 
Contudo, esta não é a aceleração de queda livre observada (g) de uma partícula sobre a 
Terra, ou seja: 
Por que? 
Variação de ag com a altitude 
A forma geométrica que melhor se ajusta sobre a 
Terra é um elipsóide de revolução, pois ela é 
levemente achatada nos polos. 
13.4. Gravitação nas proximidades da 
 superfície da Terra (cont.) 
1. A Terra não tem exatamente distribuição de massa com simetria esférica. 
Mesmo que pudéssemos considerar a Terra 
esférica, a sua densidade não varia apenas com 
a distância ao centro, mas varia de região para 
região, principalmente na crosta, por causa de 
diferentes tipos de solos, rochas, jazidas, 
distribuição de terra e água. 
Portanto, g varia de local para local, e isto é 
usado na pesquisa de jazidas. 
porque: 
2. A Terra não é exatamente esférica 
Requatorial = Rpolar + 21 km 
Pontos nos polos estão mais 
próximos do núcleo mais 
denso da Terra e, portanto, g 
é maior nos polos. 
13.4. Gravitação nas proximidades da 
 superfície da Terra (cont.) 
3. A Terra tem rotação. 
Vamos obter o efeito da rotação da Terra considerando-a 
com simetria esférica. Um objeto sobre a superfície gira com 
a Terra, numa trajetória circular em torno do eixo de rotação, 
sob ação de força centrípeta dirigida para o eixo. 
3.1. Caso de objeto sobre o equador: 
Da 2ª lei de Newton: 
 
 
 
ou 
(7,27 
R = 6,37 ×106 m 
Qual a velocidade de rotação 
da Terra para que corpos no 
equador tenham peso nulo ? 
Ou o dobro do peso? 
13.4. Gravitação nas proximidades da 
 superfície da Terra (cont.) 
3. A Terra tem rotação (cont.) 
3.2. Caso de objeto em posição qualquer sobre a Terra: 
ou 
Portanto: 
 
- Para objeto no equador: 
 
- Para objeto nos polos: 
 
- O efeito combinado da rotação e do achatamento da Terra é: 
g 
13.5. Gravitação no interior da Terra 
Segundo o Teorema da Casca, uma casca esférica uniforme exerce força gravitacional 
sobre uma partícula externa como se toda sua massa estivesse concentrada no seu 
centro, mas não exerce força sobre partícula interna a ela . 
 
Se a partícula (m) está dentro da Terra, a distância r do centro, 
e a Terra tem densidade uniforme: 
Vetorialmente: 
Portanto, a força tem módulo aumentando linearmente com 
r, (distância ao centro), e tem mesma direção e sentido 
contrário ao vetor deslocamento da posição de equilíbrio. 
M 
Se a Terra não tem 
densidade uniforme: 
PREM 
(Preliminary Reference Earth Model) 
Se a partícula está fora da Terra, a distância r do centro, 
e a Terra tem distribuição de simetria esférica: 
Lei de Hooke 
ag 
13.6. Energia potencial gravitacional 
Energia potencial (U): energia de configuração de um sistema em relação a uma 
configuração de referência. Só pode ser associada às forças conservativas atuando no 
sistema. 
 
Definição de variação de energia potencial (ΔU): 
onde Wif é o trabalho realizado pela força conservativa que atua no sistema (aqui a força gravitacional). 
ou: 
onde Wif é o trabalho realizado por força de agente externo contra a força conservativa do sistema. 
M 
 
 
 
r1 
r2 
M 
m 
13.6. Energia potencial gravitacional (cont.) 
Energia potencial gravitacional de sistema com mais de duas partículas 
Energia potencial e força 
Deduzimos a função da energia potencial U(r) a partir da integração da força . Podemos 
obter a força a partir da energia potencial? 
Sim, através da operação inversa, a diferenciação: 
13.6. Energia potencial gravitacional (cont.) 
Velocidade de escape 
É a velocidade mínima de um objeto necessária para que escape da atração gravitacional de 
outro, atingindo o repouso no infinito. 
 
Exemplo: Seja um corpo de massa m arremessado da Terra com velocidade de escape v. 
Kf = Uf = 0. Então, da Conservação da Energia Mecânica: 
Para a Terra: 
M= 5,98×1024 kg 
R= 6,37×106 m 
Obtem-se: v=11,2 km/s 
Velocidade de escape Velocidade de escape 
Dica para economizar combustível em lançamento de foguetes aproveitando a rotação da Terra... 
(no equador, movimento circular junto com a Terra tem v = 463,3 m/s = 1668 km/h) 
Satélites e Planetas 
13.7. Planetas e satélites: leis de Kepler 
 As leis de Kepler são empíricas, obtidas de observações do nosso sistema solar, 
com M»m, de modo queo centro de massa do sistema planeta-Sol está no Sol. 
1ª Lei de Kepler: LEI DAS ÓRBITAS (M»m) 
13.7. Planetas e satélites: leis de Kepler (cont.) 
Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, 
com o Sol ocupando um dos focos da elipse. 
(Mais exatamente, tanto M como m se movem em 
órbitas elípticas em torno do centro de massa do 
sistema (que é o foco), mas como M»m, este está 
dentro do Sol.) 
 
a= semi-eixo maior 
e= excentricidade (0 ≤ e < 1); para a Terra: 0,0167 
e=0⇾ circunferência 
Φ 
1ª Lei de Kepler - Informação Complementar 
Afélio Perihélio 
Usando a Lei da Gravitação com a 2a lei de Newton, 
com a força proporcional ao inverso do quadrado da 
distância obtém-se uma equação que permite determinar 
a trajetória de qualquer satélite (ou planeta do sistema 
solar), com massa m, em torno de um corpo de massa 
M. A solução da trajetória é uma seção cônica. Há quatro 
seções cônicas, todas dadas pela equação: 
As variáveis r e θ estão marcadas na trajetória elíptica 
ao lado. 
As constantes e e ⍺, são determinadas pela energia total 
e momento angular do sistema. Estes valores 
determinam qual das seções cônicas é a trajetória do 
satélite: 
-elipse ou circunferência, para energia do sistema 
negativa (órbitas ligadas), 
-parábola para energia nula e hipérbole para energia 
maior do que zero (órbitas não-ligadas: m passa M 
apenas uma vez). 
dA/dt=k decorre da conservação do momento angular L para torque nulo. 
2ª Lei de Kepler: LEI DAS ÁREAS 
13.7. Planetas e satélites: leis de Kepler (cont.) 
A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas 
iguais em intervalos de tempo iguais, 
Consequência: os planetas se deslocam mais rapidamente perto do Sol. 
3ª Lei de Kepler: LEI DOS PERÍODOS 
13.7. Planetas e satélites: leis de Kepler (cont.) 
O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semi-
eixo maior de sua órbita. 
3ª Lei de Kepler 
13.8. Satélites: órbitas e energia 
Para satélite em órbita elíptica em torno da Terra, tanto a velocidade (que determina a 
energia cinética K), como a distância ao centro da Terra (que determina a energia 
potencial U), variam periodicamente. Contudo, a energia mecânica E é constante (como 
a massa do satélite é muito menor que a massa da Terra, atribuímos U e E do sistema 
satélite + Terra apenas ao satélite). 
 
Consideremos órbita circular: 
 
 
 
13.8. Satélites: órbitas e energia (cont.) 
 
 
 
Comparando as energias, vemos que: 
Todas estas órbitas tem a mesma 
energia E. Por que??? 
13.8. Satélites: órbitas e energia (cont.) 
Exemplo 
13.9. Einstein e a gravitação 
Princípio da Equivalência 
Gravitação e aceleração são equivalentes. 
Nas duas situações, os efeitos observados 
dentro da cabine são os mesmos. 
Problemas Resolvidos 
Como todas as forças 
apontam na mesma direção: 
Exemplo: 
Se considerássemos a barra 
como uma partícula 
concentrada no seu CM, a 
força seria: 
F= 3,0×10-11 N 
Problemas Resolvidos (10ª edição) 
 
 
 
ou 
O caso extremo, para o qual deve ser calculada a 
massa mínima da estrela, é para o peso da partícula 
igual a zero (g=0) e no equador da estrela, onde a 
força centrípeta necessária é maior. Como: 
donde 
Problemas Resolvidos (10ª edição) 
 
PREM - Preliminary 
Reference Earth Model) 
Problemas Resolvidos (10ª edição) 
 
Problemas Resolvidos (10ª edição) 
 
Continua no próximo slide 
Problemas Resolvidos (10ª edição) 
 
Continuação do slide anterior 
Problemas Resolvidos (10ª edição) 
 
Se a esfera de chumbo (M) não tivesse sido escavada, o módulo da força que ela 
exerceria sobre m seria: Parte desta força é devida à esfera escavada (Mc). 
Portanto, calculamos a força que seria exercida sobre m pela esfera removida (Mc) e 
subtraímos da força exercida pela esfera maior não escavada (M). Temos: 
e a força exercida por Mc sobre m é: 
Então a força exercida pela esfera escavada (M- Mc) é: 
Problemas Resolvidos (10ª edição) 
 
Temos: 
Da lei de Kepler dos períodos: 
Sabemos também que 
De modo que