Gravitacao 3 ITA 2024

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Prof. Mário Sérgio
Lista Gravitação 
2024
Resolvendo em sala 
Problema 01 
Considere dois corpos, que podem ser tratados como pontos materiais, com massas e 
separados por uma distância e isoladas no espaço. Abandonando-se os corpos a partir do 
repouso, determine: 
a) O tempo necessário para que se choquem, considerando . 
b) o tempo necessário para que se choquem, no caso em que a razão tem um valor 
finito. 
Problema 02 
Partículas de massa , estão em repouso nos cantos de um n-gon regular, conforme 
ilustrado na figura (n = 6). 
 
Quanto tempo se passa antes que os corpos colidam se n = 2 e 3? 
Problema 03 
Qual o tempo necessário para o planeta percorrer a arco BAD da trajetória elíptica abaixo? 
Deixe sua resposta em função da constante de gravitação , da excentricidade , do 
semieixo maior e da massa do sol . 
 
M m
d
M ≫ m
M /m
m
t
G e
a M
Problema 04 
Um foguete é lançado e retorna para um planeta esférico de raio R de tal forma que seu 
vetor velocidade no retorno é paralelo ao seu vetor de lançamento. A separação angular no 
centro do planeta entre os pontos de lançamento e chegada é . Quanto tempo dura o voo do 
foguete, se o período de um satélite que voe ao redor do planeta logo acima da sua 
superfície é ? Qual é a distância máxima do foguete acima da superfície do planeta? 
Avalie se sua análise também se aplica ao caso limitante de → 0. Despreze os efeitos de 
rotação. 
Problema 05 
Duas estrelas de massas m e 2m respectivamente, separadas por uma distância d e bastante 
afastadas de qualquer outra massa considerável, executam movimentos circulares em torno 
do centro de massa comum. Nestas condições, calcule o tempo para uma revolução 
completa e a velocidade da massa 2m. 
Problema 06 
Dois asteroides de massa M e raio R, cada, estão no espaço. Em um instante a velocidade de 
um vale e a do outro vale . O vetor posição do 2 em relação ao 1, nesse instante, vale 
. Determine a condição para que eles colidam. Considere a constante de gravitação 
universal. 
Problema 07 
Um satélite orbita no plano equatorial ao redor da Terra em uma altitude igual ao raio dela. 
Um dispositivo pode detectar a sombra gerada por esse satélite na superfície da Terra. 
Determine a velocidade ''escalar'' média da sombra em relação ao centro (fixo) da Terra. 
Considere a velocidade de escape da superfície da Terra como sendo 
Problema 08 
Uma pequena lua de raio e massa está orbitando ao redor de um planeta de massa em 
uma órbita circular de raio , a lua sempre aponta a mesma face para o planeta. 
Se um pequeno objeto, na superfície da lua (mais próxima do planeta) tem peso nulo, 
determine o raio da órbita. 
θ
T0
θ
⃗v1 ⃗v2
⃗r21 G
ve
r m M
R (R > > r)
Problema 09 
Determine a energia total (de um satélite de massa girando ao redor de um planeta de 
massa ), no caso de movimento elíptico, relacionando ao semieixo maior da elipse 
descrita. . 
Problema 10 
Um buraco é feito da superfície da Terra até seu centro. Ignorando a rotação da Terra e 
resistência do ar e modelo da Terra como uma esfera de densidade uniforme, determine a 
velocidade de escape para uma partícula lançada do centro da Terra expressando sua 
resposta em função de g e R. 
Problema 11 
Um planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol. A elipse tem semieixo maior a e 
semieixo menor b. Determine o raio de curvatura quando o planeta passa por um dos eixos 
menores e maiores. 
Problema 12 
Lembrando que o sol está localizado num dos focos da elipse, 
 
 
demonstre as relações abaixo: 
 e 
m
M a
mentre a energia potencial e a cinética fornecidas para tal situação. 
Problema 24 
Uma nave espacial se move em uma órbita circular. Com o objetivo de entrar em órbita de 
aterrissagem, uma velocidade adicional é comunicada a nave por um curto intervalo de 
tempo. Considere dois procedimentos possíveis: 
1. a velocidade adicional é comunicada em sentido oposto a velocidade orbital 
2. a velocidade orbital é comunicada verticalmente para baixo, apontando para o centro da 
Terra. 
Considerando a altura da órbita h bem menor que o raio R da terra, determine qual dos dois 
procedimentos tem mais vantagem energética. . 
Problema 25 
Devido o atrito com as camadas mais altas da atmosfera, a energia mecânica de um satélite 
da terra diminuiu 2% depois de muitas voltas. Nesse caso a órbita do satélite continuou 
sendo circular. Como mudou os parâmetros da órbita: raio, velocidade e período do satélite? 
Problema 26 
Uma nave espacial está orbitando a Terra em uma órbita circular a uma altura igual ao raio 
da Terra (R = 6400 km) da superfície da Terra. Um astronauta está em uma caminhada 
espacial fora da espaçonave. Ele está a uma distância de l = 200 m da nave e está conectado 
a ele com um cabo simples que pode sustentar uma tensão máxima de 10 N. Suponha que o 
centro da Terra, a nave espacial e o astronauta estejam alinhados. A massa de astronauta, 
juntamente com todos os seus acessórios é de 100 kg. Estime a tensão no cabo. Aceleração 
devido à gravidade na superfície da Terra = 9,8 m/s2. 
Δv
(1 + x)n ≈ 1 + n x
Problema 27 
Imagine um túnel suave ao longo da terra não giratória a uma distância R/2 do centro. R é o 
raio da terra. Um projétil é disparado ao longo do túnel a partir do centro do túnel a uma 
velocidade [g é aceleração devido à gravidade na superfície da Terra]. Calcule a 
distância máxima do projétil do centro da Terra durante o curso do movimento. 
Problema 28 
Um satélite está orbitando ao redor da Terra em uma órbita circular. Sua velocidade orbital é 
. Um foguete a bordo é disparado do satélite que transmite um impulso ao satélite 
direcionado radialmente para longe do centro da Terra. A duração da queima do motor é 
insignificante, de modo que pode ser considerada instantânea. Devido a este impulso, uma 
variação de velocidade é transmitida ao satélite. Encontre o valor mínimo da relação 
 para a qual o satélite escapará do campo gravitacional da Terra. 
Problema 29 
Um pequeno asteroide está se aproximando de um planeta de massa M e raio R de uma 
grande distância. Inicialmente, sua velocidade (u) é tangente à superfície do planeta. Ele cai 
na superfície fazendo um ângulo de 30 ° com a vertical. Calcule u. 
 
Problema 30 
Um túnel é cavado ao longo da Terra a uma distância [R = raio da terra] do seu centro. 
Um pequeno bloco é liberado no túnel da superfície da Terra. O bloco para ao chegar no 
v = gR
V0
ΔV
ΔV
V0
R
2
centro do túnel. Suponha que o coeficiente de atrito entre o bloco e a parede do túnel 
permaneça constante. 
Seja: 
 
 
 
 
a) Calcule o trabalho realizado pelo atrito no bloco. 
b) Calcule . 
Agora, considere que o corpo para no centro do túnel quando está voltando pela primeira 
vez. Determine: 
c) calcule o tempo total de movimento 
d) calcule o novo 
e) encontre a distância máxima do ponto inicial. 
M = massa da Terra
m = massa do corpo
G = constante de gravitação universal .
μ
μ
Problemas 
Problema 1.1 
A aceleração da gravidade na superfície do planeta X é , onde é a aceleração da 
gravidade na superfície da terra. A densidade média do planeta X é da densidade média 
da terra. Se a velocidade de escape na superfície da terra é de , qual a velocidade de 
escape na superfície do planeta X, ? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
Problema 1.2 
Sabe-se que por causa da rotação do planeta a aceleração da gravidade aparente no equador 
é menor que nos polos. A que altura h sobre a superfície do planeta, no polo, a força 
gravitacional será igual a força aparente no equador? Suponha que terra tenha raio R, 
período T e densidade . 
Problema 1.3 
Se o sistema solar fosse reduzido proporcionalmente de tal modo que a distância média 
entre o sol e a terra fosse de 1 metro, quanto tempo duraria um ano? Considere que as 
densidades da terra e sol permaneceram as mesmas. 
 
 
b) 
c) 
d) 100 anos 
e) 
6
11
g g 
2/3
11 km /s
 km /s
ρ
a) 1 ano
1000 anos
10−100anos
10−1000anos
Problema 1.4 
Qual a relação aproximada entre altura H de uma montanha e a profundidade h de uma mina 
se o período das oscilações de um pêndulo simples no pico da montanha e no fundo da mina 
for igual? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Problema 1.5 
Determine a profundidade em relação à superfície terrestre em que deve se encontrar um 
corpo para que o valor da aceleração da gravidade local seja igual à aceleração da gravidade 
quando o corpo se encontra a uma altura R da superfície terrestre. Considere a Terra uma 
esfera homogênea de raio R e despreze os efeitos de rotação. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Problema 1.6 
Determine a velocidade angular de rotação da Terra em torno de seu eixo, para que o peso 
de uma pessoa no equador seja igual à do seu peso nos polos. Considere que a 
aceleração da gravidade nos polos terrestre é igual a e que o raio da Terra é . 
Problema 1.7 
h = 2H
h = H
3h = H
2h = H
H = 3H
R /3
3R /4
2R /3
R /2
4R /5
ω
3/5
g R
Um planeta esférico homogêneo gira em torno de seu eixo. A velocidade de um ponto no 
equador do planeta é . Devido a rotação do planeta em torno de seu eixo a aceleração da 
gravidade no equador do planeta é igual a ½ da aceleração da gravidade nos polos. A 
velocidade de escape da partícula ( ) nos polos do planeta em termos de v é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
Problema 1.8 
Considere a Terra uma esfera homogênea e que a aceleração da gravidade nos polos seja de 
9,8 m/s2. O número pelo qual seria preciso multiplicar a velocidade de rotação da Terra de 
modo que o peso de uma pessoa no equador ficasse nulo é: 
a) 4π 
b) 2π 
c) 3 
d) 10 
e) 17 
Problema 1.9 
Uma casca esférica tem raio interno r, raio externo R e massa M uniformemente distribuída. 
Uma massa puntiforme m está localizada no interior dessa casca a uma distância d do seu 
centro ( rdo satélite seja conservada, que R seja o raio 
da Terra e g a aceleração da gravidade na superfície da mesma, podemos afirmar que o 
módulo da velocidade de lançamento é: 
a) b) c) 
d) e) 
Problema 1.14 
Um planeta de massa m e raio r gravita ao redor de uma estrela de massa M em uma órbita 
circular de raio R e período T. Um pêndulo simples de comprimento L apresenta, sobre a 
superfície do planeta, um período de oscilação t. Dado que a constante de gravitação 
universal é G e que a aceleração da gravidade, na superfície do planeta, é g, as massas da 
estrela e do planeta são, respectivamente: 
 
 
 
 
 
Problema 1.15 
2
1
2
g.R.3
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 2
1
3
g.R.2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 2
1
2
g.R.1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
[ ]2
1
R.g.2 [ ]2
1
R.g.3
No interior da Estação Espacial Internacional, que está em órbita em torno da Terra a uma 
altura correspondente a aproximadamente 5% do raio da Terra, o valor da aceleração da 
gravidade é 
a) aproximadamente zero. 
b) aproximadamente 10% do valor na superfície da Terra. 
c) aproximadamente 90% do valor na superfície da Terra. 
d) duas vezes o valor na superfície da Terra. 
e) igual ao valor na superfície da Terra. 
Problema 1.16 
Três satélites orbitam ao redor da Terra: o satélite S1 em uma órbita elíptica com o semieixo 
maior a1 e o semieixo menor b1; o satélite S2 em outra órbita elíptica com semieixo maior a2 
e semieixo menor b2; e o satélite S3 em uma órbita circular com raio r. 
Considerando que r = a1 = b2, a1 ≠‚ b1 e a2 ≠ b2, é correto afirmar que 
a) os períodos de revolução dos três satélites são iguais. 
b) os períodos de revolução dos três satélites são diferentes. 
c) S1 e S3 têm períodos de revolução idênticos, maiores do que o de S2. 
d) S1 e S3 têm períodos de revolução idênticos, menores do que o de S2. 
e) S2 e S3 têm períodos de revolução idênticos, maiores do que o de S1. 
Problemas 
Problema 2.1 
Em uma esfera E de raio 2R e densidade foram feitos dois buracos de raios R e 
preenchidos com duas esferas A e B, de densidades e , respectivamente, como na figura. 
Determine a aceleração da gravidade no ponto P, distante 4R do centro da esfera maior, e 
sobre a linha que une os centros das 3 esferas 
 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
Problema 2.2 
Determine o raio que deve ter um planeta cuja superfície tem uma temperatura T e cuja 
densidade é , para que sua atmosfera contenha um gás (ideal) de massa molecular M. 
Monoatômico. ( = constante dos gases e G constante de gravitação universal). 
Problema 2.3 
Quatro estrelas de mesma massa m ocupam os vértices de um quadrado de lado d, bastantes 
afastadas de qualquer outra massa, executando movimentos circulares em torno do centro de 
massa comum. Nestas condições, determine, em função da constante de gravitação G: 
a) a distância de qualquer estrela ao centro de massa comum; 
b) o período de revolução das estrelas; 
c) a velocidade linear de cada estrela; 
d) a energia potencial do sistema; 
e) a quantidade mínima de energia para separar completamente as quatro estrelas. 
Problema 2.4 
4ρ
9ρ ρ
a)  
28
15
πGρR
14
45
πGρR
112
45
πGρR
14
15
πGρR
28
45
πGρR
 r
ρ
R 
Considere um sistema binário hipotético denominado sistema Centauro, formado por duas 
estrelas α e β, de massas respectivamente 2M e M, que orbitam em torno do centro de massa 
comum do sistema, mantidas pela força gravitacional entre elas. Sendo G a constante da 
gravitação universal e D a distância entre os centros das estrelas, determine o período de 
rotação desse sistema binário. 
 
Problema 2.5 
Duas estrelas binárias de massas m e 2m, respectivamente, separadas por uma distância d e 
bastante afastadas de qualquer outra massa considerável, executam movimentos circulares 
em torno do centro de massa comum. Nessas condições, a mínima energia necessária para 
separar completamente as duas estrelas, em função da constante da gravitação universal G, 
será dada por: 
a)–G.m2 / d 
b) +G.m2 / d 
c) +2G.m2 / d 
d) –2.G.m2 / d 
e) –3G.m2 / d 
Problema 2.6 
Três partículas de mesma massa m e raio R estão inicialmente em repouso nos vértices de 
um triângulo equilátero de lado d. Determine a velocidade das partículas imediatamente 
antes das colisões entre elas considerando-se apenas a interação gravitacional entre as 
partículas 
Problema 2.7 
Uma partícula de massa m é abandonada de uma altura ( ) imediatamente acima de 
um túnel que passa pelo centro da Terra. Considerando a Terra como uma esfera de 
constituição homogênea e desprezando os efeitos de rotação, determine o valor da 
velocidade da partícula ao passar pelo centro da Terra em função de , e . 
Problema 2.8 
Qual a profundidade da cratera que devemos fazer num planeta de raio R para que, lançando 
um projétil do fundo da mesma com a velocidade de escape do planeta, sua altura máxima 
alcançada seja igual a 3R? 
Problema 2.9 
Duas partículas de massas m e M estão inicialmente em repouso a uma distância infinita 
uma da outra. Mostre que, em cada instante, a sua velocidade de aproximação relativa, 
devido à atração gravitacional, é: 
 
onde d é a separação entre elas em cada instante. 
Problema 2.10 
Um satélite é lançado da superfície de um planeta sem atmosfera de raio R, de modo a 
entrar em órbita elíptica, com distâncias do apogeu à superfície do planeta de 5R e do 
perigeu à superfície do planeta de 2R. Determine a velocidade de lançamento, sabendo que 
g é a aceleração da gravidade na superfície do planeta. 
h hde raio R, de densidade volumétrica constante ρ, tem em seu 
interior uma cavidade vazia de diâmetro R. Uma massa puntiforme m foi posicionada no 
interior da cavidade a uma distância d