lista GA plana 2023 2

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Geometria Anaĺıtica Plana - Lista de Exerćıcios
Prof. João Hélder
28-08-2023
Prezad@ alun@:
� A lista de exerćıcios a seguir foi elaborada em colaboração com outros professores e é parte integrante dos
cursos de Geometria Anaĺıtica (códigos GGM00042, GGM00125, GGM00127) da UFF.
� Não é esperado que você resolva todos os exerćıcios de uma vez, mas sim que use os mesmos para
acompanhar as aulas e testar (na prática) a sua compreensão dos conteúdos.
� Ao final existe uma lista com as respostas. Aviso que é posśıvel que a mesma contenha eqúıvocos. Se
você encontrar algum deles peço, por favor, que você se comunique diretamente comigo para eu corrigir.
Caso prefira pode escrever em joaohelder@id.uff.br.
1. Em um eixo, determinar as distâncias entre pontos com coordenadas
a) −5 e 6;
b) −8 e −12.
2. Sejam A e B pontos num eixo coordenado. Calcular as posśıveis coordenadas do ponto A sabendo que B
tem coordenada −5 e o comprimento do segmento AB é igual a 2.
3. O segmento de reta limitado pelos pontos A e B, de respectivas coordenadas −2 e 19, é dividido em três
partes iguais. Ache as coordenadas dos pontos de divisão.
4. Sejam xA < xB < xC as respectivas coordenadas dos pontos A, B e C situados sobre um eixo. Sabendo
que xA = 17, xC = 32 e d(A,B)/d(A,C) = 2/3, qual é o valor de xB?
5. Se A e B são pontos em um eixo, d(A,B) = 9 e A tem coordenada −2, determinar a coordenada de B.
6. Represente sobre um eixo o conjunto dos pontos X cujas coordenadas x satisfazem:
a) |x− 2| = 1;
b) |x− 1| ⩾ 1;
c) |5x+ 15| < 3;
d)
2x− 7
3x+ 1
⩽ 1.
7. Em um plano Π munido de um sistema de coordenadas, representar o conjunto dos pontos P cujas
coordenadas (x, y) satisfazem
a) xy ⩾ 0;
b) |x− 1| ⩾ 1;
c) | − 2y| < 4;
d)
x
y
⩽ 0.
8. Ache y de modo que os pontos A = (3, y), B = (0, 4) e C = (4, 6) sejam vértices de um triângulo retângulo
em A.
9. Qual é o ponto do eixo OX equidistante dos pontos A = (1,−3) e B = (3,−1)?
10. Dados A = (a, 0) e B = (0, a), com a ̸= 0, ache x de modo que o ponto C = (x, x) seja o terceiro vértice
do triângulo equilátero ABC.
11. Considere os pontos A = (2, 3) e B = (1, 4). Determine os pontos P ’s tais que d(P,A) = d(P,B) = 5.
12. Use coordenadas e congruências de triângulos para deduzir o seguinte fato: se P e Q são pontos de
coordenadas (xP , yP ) e (xQ, yQ) respectivamente, então as coordenadas (xM , yM ) do ponto médio M
entre P e Q podem ser calculadas através de xM =
xP+xQ
2 e yM =
yP+yQ
2 .
13. Um dos pontos extremos de um segmento de reta é o ponto (7, 8) e seu ponto médio é (4, 3). Ache o outro
extremo.
14. Um dos extremos de um segmento de reta de comprimento 5 é o ponto (3,−2). Se a abscissa do outro
extremo é 6, calcule suas posśıveis ordenadas.
15. Os pontos médios dos lados de um triângulo são (2, 5), (4, 2) e (1, 1). Encontre os três vértices do triângulo.
16. Num plano coordenado Π, o ćırculo CP,2 contém o ponto (0, 0) e possui centro sobre o eixo (OX). Desenhe
a situação. Quais são as possibilidades para o centro P? E as posśıveis equações?
17. Escrever a equação da circunferência de centro (−3,−5) e raio 7.
18. Uma circunferência tem um diâmetro cujos extremos são os pontos (2, 3) e (−4, 5). Determine sua equação.
19. Uma circunferência tem centro (7,−6) e passa por (2, 2). Determine sua equação.
20. Escrever a equação da circunferência de centro (2,−4) e que é tangente ao eixo OY .
21. a) Finja que você desconhece a fórmula de Bhaskara. Use o completamento de quadrados para resolver
a equação x2 − 6x− 16 = 0.
b) Mostre que a técnica de completamento de quadrados pode ser usada para deduzir a famosa
fórmula de Bhaskara, que dá uma fórmula para as ráızes de uma equação ax2 + bx+ c = 0, onde a, b e c
são números reais e a ̸= 0.
22. Use completamento de quadrados para descrever o conjunto dos pontos cujas coordenadas (x, y) são
solução da equação abaixo, em cada item:
a) x2 + y2 + 14x+ 4y + 45 = 0;
b) 4x2 + y2 + 8x− 4y + 16 = 0;
c) x2 + y2 + 10x− 2y + 26 = 0.
23. Determine condições sobre o raio r para que o ćırculo C(2,1),r não intersecte o ćırculo de equação
x2 + y2 − 10x− 6y + 30 = 0.
24. Determine condições sobre o raio r para que o ćırculo C(4,0),r não intersecte o ćırculo de equação
x2 + y2 − 6x+ 2y − 10 = 0.
25. Encontre os pontos médios das diagonais do quadrilátero ABCD cujos vértices são A = (0, 0), B = (0, 4),
C = (3, 5) e D = (3, 1). O quadrilátero ABCD é um paralelogramo?
26. Determine os vértices C e D do paralelogramo ABCD, sabendo que A = (1, 1), B = (3, 2) e as diagonais
AC e BD se cortam no ponto M = (4, 2).
27. Sejam P = (1, 0), Q = (2, 4) e R = (3, 3) pontos do plano. Determine os pontos S do plano de modo que
P , Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo.
28. O segmento AB, onde A = (−1, 0) e B = (3, 8), é dividido em quatro segmentos de comprimentos iguais.
Ache as coordenadas dos pontos de divisão.
29. SeA = (a1, b1), B = (a2, b2) e C = (a3, b3) são os vértices de um triângulo, mostre queG = (
a1+a2+a3
3 ,
b1+b2+b3
3 )
é o baricentro (ponto de corte das medianas) do triângulo.
30. Dados os vértices A = (2, 1) e B = (1, 0) do triângulo ABC e o seu baricentro G = (2/3, 0), calcule o
vértice C.
31. Recorde o que foi discutido nas aulas (discuta com os seus colegas, se for preciso) e certifique-se de entender
a diferença entre os conceitos de segmento orientado e vetor.
32. Dê uma interpretação geométrica para a diferença u⃗ − v⃗ entre vetores u⃗ e v⃗ que seja similar àquela que
falamos nas aulas para a soma u⃗+ v⃗ em termos de diagonais de um paralelogramo.
33. Na figura, os hexágonos são regulares. Em cada caso determine um representante do vetor soma dos
vetores destacados.
34. Reveja a definição de multiplicação de vetor por escalar que falamos nas aulas para discutir a veracidade
da afirmação seguinte: dois vetores não nulos u⃗ e v⃗ são paralelos quando (e somente quando) existir um
número real λ ̸= 0 tal que u⃗ = λv⃗.
35. Se u⃗ é um vetor não nulo hipotético, descreva (usando as operações elementares) um método para obter
um vetor v⃗ de norma 1 tal que u⃗ e v⃗ sejam paralelos de mesmo sentido. Faça o mesmo, agora para obter
um vetor w⃗ de norma 5 tal que u⃗ e w⃗ sejam paralelos de sentidos opostos.
36. Desenhar na figura um segmento orientado de ponto inicial O que represente o vetor x⃗ = −2u⃗− v⃗ + 54 w⃗.
37. Representamos abaixo um hexágono regular ABCDEF . Determinar o ponto X sabendo que
−−→
CX =
−3w⃗ + 2v⃗ + 32 u⃗.
38. Verifique se
−−→
AB =
−−→
CD, onde:
(a) A = (1, 1), B = (2, 0), C = (−1,−1), D = (0,−2).
(b) A = (1, 1), B = (2, 0), C = (1,−1), D = (0, 0).
(c) A = (−2,−1), B = ( 12 , 1), C = (−
1
2 , 1), D = (2, 3).
39. Se −→u = (5, 8), −→v = (−1, 2) e A = (3, 2), calcule:
(a) o ponto B tal que
−−→
AB = −→u .
(b) o ponto C tal que −→u +
−→
AC = −→v .
(c) o ponto D tal que
−−→
AD = 12
−→u −−→v .
40. Calcule o ângulo θ entre os vetores −→u e −→v nos casos abaixo:
(a) −→u = (1, 0) e −→v = (0, 1)
(b) −→u = (1, 1) e −→v =
√
3, 0)
(c) −→u = (1, 3), −→v = (4, 12)
41. Seja θ o ângulo entre os vetores −→u = (k, 1) e −→v = (1, 2). Calcule o valor de k para o qual cos θ = 1√
5
.
42. Dados os vetores −→u = (2, k) e −→v = (3,−2), calcule k para que os vetores −→u e −→v :
(a) sejam paralelos.
(b) sejam perpendiculares.
(c) formem um ângulo de π/3 radianos.
43. Se −→a = −2−→u + k−→v e
−→
b = 5−→u − 3−→v , ache k sabendo que −→u e −→v são ortogonais e unitários e que
⟨−→a ,
−→
b ⟩ = 6.
44. Mostre que ⟨−→u−→v ⟩ = 14 (∥
−→u +−→v ∥2 − ∥−→u −−→v ∥2) e conclua que −→u e −→v são perpendiculares se e somente
se ∥−→u +−→v ∥ = ∥−→u −−→v ∥.
45. Dados dois vetores −→u e −→v , prove que os vetores −→u +−→v e −→u −−→v são ortogonais se e só se ||−→u || = ||−→v ||.
46. Determine o conjunto de vetores no plano cuja projeção sobre o vetor −→v = (3, 1) seja o próprio −→v .
47. Um dos vértices do quadrado OABC é a origem e o outroé o ponto A = (2, 3). Quais são as coordenadas
dos pontos B e C?
48. Considere um quadrado ABCD cujos lados tem medida 2 e M é o ponto médio do lado BC. Determine
o cosseno de ângulo B̂DM .
49. Calcule a área do triângulo ABC se A = (−3,−1), B = (0, 4) e C = (6, 1).
50. Calcule o valor de m para que um paralelogramo ABDC, em que A = (2,−1), B = (4, 2), C = (m,m),
tenha área igual a 12.
51. Prove que se A, B e C são os vértices de um triângulo e G é o seu baricentro (ponto de corte das medianas),
então
área(ABC) = 3 área(ABG).
52. Uma fazenda tem o formato de um quadrilárero que em um dado sistema de eixos cartesianos possui
vértices A = (0, 0), B = (1, 4), C = (5, 1) e D = (4, 5). Calcule a área da fazenda.
53. Determinar as coordenadas do vetor 12
−−→
AB nos seguintes casos
a) A = (−3, 4) e B = (3,−7);
b) A = (−1,−1) e B = (3, 11).
54. Dado que A = (11, 6), B = (7,−1) C = (4, 4) e D = (−12, 5), determinar as coordenadas de 2
−→
AC +
3
4
−−→
DC − 4
−−→
BA. Qual a norma do vetor?
55. Os vetores de coordenadas (1, 2) e (2, 4) são paralelos. Você pode ver isso fazendo um desenho ou obser-
vando que os dois são múltiplos escalares (de fato, v⃗ = 2u⃗). Também, o determinante da matriz 2 × 2
formada pelas coordenadas desses vetores, isto é,
(
1 2
2 4
)
, é igual a zero.
Na verdade esses dois fatos estão relacionados: estabeleça (e explique!) um critério para o paralelismo de
dois vetores u⃗ e v⃗ de coordenadas (a, b) e (c, d) usando o determinante da matriz
(
a b
c d
)
.
56. Calcule (o cosseno d)o ângulo entre os vetores u⃗ e v⃗ cujas coordenadas estão indicadas abaixo, em cada
caso:
a) (1, 2) e (2, 4);
b) (2, 0) e (6,−6);
c) (4, 3) e (6, 2);
d) (3, 2) e (2,−3).
57. a) Para qualquer que seja u⃗ com coordenadas hipotéticas (a, b), mostre que os vetores de coordenadas
(b,−a) e (−b, a) são ortogonais a u⃗ e possuem o mesmo módulo de u⃗;
b) Obtenha coordenadas de um vetor ortogonal a u⃗mas com módulo o triplo (respectivamente metade)
de ||u⃗||.
58. Na configuração abaixo, marque o ponto especificado em cada item:
a) O − v⃗;
b) P + u⃗;
c) P + w⃗ + u⃗;
d) Q+ 2w⃗.
59. Suponha que A e B são dois pontos distintos e, para um número real hipotético λ, considere o ponto Xλ
definido por
Xλ = A+ λ
−−→
AB.
Diga o subconjunto de R onde λ deve variar para que os pontos Xλ correspondentes percorram:
a) o segmento AB;
b) a semi-reta de origem A que contém B;
c) a semi-reta de origem B que contém A;
d) toda a reta por A e B;
e) o segmento CB que tem A como ponto médio.
60. Se A = (2, 2) e u⃗ é o vetor de coordenadas (3,−4), calcule as coordenadas dos pontos Xλ = A+ λu⃗ para
os valores λ = 6, −2, 7 e 4.
61. Discutir se os pontos A = (9, 6) e B = (18, 5) pertencem ou não à reta r de equações paramétricas
r :
{
x = 2 + 8t
y = 3 + t.
62. Quais entre os vetores de coordenadas (a, b) listados não servem como vetor diretor da reta r que passa
pelos pontos A = (2, 3) e B = (4,−9)?
(a, b) = (1,−6), (−1,−6), ( 16 ,−1), (4,−2).
Escolha dois distintos entre aqueles vetores v⃗ de coordenadas listadas que servem como vetores diretores
para r e exiba o valor do parâmetro t usado para expressar o ponto P = ( 196 ,−4) ∈ r como A+ tv⃗.
63. As seguintes retas do plano estão dadas em formato paramétrico. Determine uma equação cartesiana para
cada uma delas e indique o coeficiente angular, as coordenadas de um vetor diretor e de um vetor normal.
a)
{
x = −3 + πt
y = 4t.
b)
{
x = 3
y = 1− λ.
c)
{
x = 2s
y = log(7)s.
d)
{
x = 3 + 5t
y = 11.
Descreva, em palavras, um resumo do método utilizado para resolver o exerćıcio.
64. As equações cartesianas abaixo descrevem retas no plano. Dê equações paramétricas para cada uma delas
indicando as coordenadas de um vetor diretor e de um vetor normal.
a) 2x− 3y = 4;
b) 7x− 1 = 0;
c) 4x− y = 21;
d) 2x+ 2y − 1 = 0.
Descreva, em palavras, um resumo do método utilizado para resolver o exerćıcio.
65. Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta r, fazendo um esboço da mesma nos casos em
que:
(a) r passa pelos pontos (2, 1) e (3, 4).
(b) r é perpendicular ao vetor (1, 3) e passa pelo ponto (1, 0).
(c) r é paralela ao vetor (1, 3) e passa pelo ponto (1,−1).
66. Determine a equação cartesiana da reta s em cada caso:
(a) s passa pelo ponto (1, 3) e é paralela à reta
{
x = 2t
y = 1− 2t , t ∈ R.
(b) s é perpendicular à reta y = 3x+ 1 e passa pelo ponto (−3, 1).
(c) s passa pelo ponto (1, 3) e é perpendicular àreta
{
x = 2t
y = 1− 2t , t ∈ R.
67. Determine as equações paramétricas da reta s em cada caso:
(a) s passa pelo ponto (1, 2) e é perpendicular à reta 2x− 5y = 2.
(b) s é paralela à reta 2x+ 5y = 1 e passa pelo ponto (1, 2).
68. Encontre a interseção das retas abaixos:
(a) r : 2x+ 6y = −6 e s : {(t+ 2, 1− 3t); t ∈ R}.
(b) r : {(3t+ 2, 2t− 4); t ∈ R} e s : {(−t− 5, 1 + 2t); t ∈ R}.
69. Dadas as retas r1 = {(3t+1,−2t+2), t ∈ R}; r2 = {(−6t− 2, 4t+4), t ∈ R} e r3 = {(−3t+2, 2t), t ∈ R},
diga quais retas coincidem.
70. Determine a e b de modo que
{
x = at+ 1
y = t+ b
, t ∈ R, seja uma equação paramétrica da reta y = 2x+ 3.
71. Considere os pontos A = (5, 0), B = (3, 4) e a reta r : x + 4y = 5. Determine C ∈ r de modo que AB e
AC sejam lados de um triângulo de área 7.
72. Determine, com um único parâmetro e dando seu domı́nio de variação, uma equação que descreva a
famı́lia de todas as retas r que têm a seguinte propriedade: o triângulo formado pela reta r e pelos eixos
coordenados tem área 2 e está situado no primeiro quadrante.
73. a) A distância d(r, s) entre duas retas r e s no plano é o menor de todos os valores d(Pr, Ps) onde
Pr ∈ r e Ps ∈ s. Conclua que se r e s não são paralelas, então d(r, s) = 0;
b) r : ax+ by + c = 0 e s : a′x+ b′y + c′ = 0 com ab′ − a′b ̸= 0 então d(r, s) = 0.
c) Duas retas paralelas admitem equações cartesianas com os mesmos coeficientes a, b.
74. Com a definição acima o estudante E se propôs a calcular a distância entre as retas de equações cartesianas
r : y = 1 e s : y = 2 e, ao fazer um desenho, concluiu (corretamente), que d(r, s) = 1. Similarmente, E
procedeu e calculou a distância entre as retas r′ : x = −3 e s′ : x = 2 obtendo que d(r′, s′) = 5. Ele então
entendeu que se r : ax + by + c = 0 e s : ax + by + c′ = 0 então d(r, s) = |c − c′|. Dê um exemplo que
mostre que ele está equivocado.
75. Ajude o estudante E a deduzir uma fórmula válida para d(r, s) como no exerćıcio acima.
76. Considere as retas
r :
{
x = 3t+ 1
y = −2t+ 2 , t ∈ R. r1 : 2x−5y = 3. r2 :
{
x = −6t− 2
y = 4t+ 4
, t ∈ R. r3 :
{
x = −3t+ 2
y = 2t
, t ∈ R.
Determine a posição relativa entre a reta r e cada uma das retas r1, r2 e r3, calculando, quando for o
caso, a intersecção, o ângulo e a distância entre as retas.
77. Determine as posśıveis posições relativas das retas 2y = ax+ b e y = 2x+ a dependendo dos valores dos
parâmetros a, b ∈ R.
78. Determinar equações das retas r e r′ que distam 3 unidades de s : 2x+ y − 1 = 0.
79. Determine equações cartesianas das retas perpendiculares à reta r : x+ y = −8 que distem
√
2 do ponto
(3, 4).
80. Considere a curva C : x2 + y2 + 2x − 4y = 0. Achar equações paramétricas das retas ℓ e m que são,
simultaneamente, tangentes a C e perpendiculares a r : −2x+ y = 10.
81. Considere os pontos A = (4, 1), B = (11, 0) e C = (9,−14). Pede-se:
a) Quanto mede o ângulo ÂBC?
b) Determinar uma equação da reta r que contém a bissetriz do ângulo ÂBC;
82. Considere os pontos A = (0, 0), B = (−1, 3) e C = (5, 5). Pede-se:
a) Quanto mede o ângulo ÂBC?
b) Determinar uma equação da reta r que contém a bissetriz do ângulo ÂBC;
c) Se D = r ∩ {eixoOX}, calcular a área do triângulo BCD.
83. Encontre a equação do ćırculo C que passa pelos pontos A = (2, 0), B = (2, 2) e C = (−2,−2) e exibir seu
centro e raio. Calcular a área do quadrilátero formado pela interseção de C com os eixos coordenados.
84. Mostre que o ponto P= (3,−2) é equidistante das retas r : x− 3y − 3 = 0 e s :
{
x = 9t
y = −1− 13t , t ∈ R.
85. A distância da reta 4x− 3y + 1 = 0 ao ponto P = (3, α) é 4. Calcule o valor de α.
86. Considere os pontos A = (a1, b1) e B = (a2, b2) distintos. Mostre que o conjunto S = {P ∈ R2; d(P,A) =
d(P,B)} é a reta perpendicular ao vetor
−−→
AB que passa pelo ponto médio do segmento AB. Essa reta é
chamada mediatriz do segmento AB.
87. Determine a mediatriz do segmento AB, onde A = (−1, 3) e B = (3, 5) e as equações dos ćırculos de raio
igual a
√
10 que passam pelos pontos A e B.
88. Qual é a equação do ćırculo que passa por A = (1, 2), B = (3, 4) e tem o centro sobre o eixo OY ?
89. A tangente, no ponto P , ao ćırculo de centro em O e raio 3 é paralela à reta y = −2x + 1. Quais são as
coordenadas de P? E se o raio do ćırculo fosse 5?
90. Determine a equação do ćırculo circunscrito ao triângulo ABC, onde A = (2, 4), B = (3, 1) e C = (5, 3).
91. Determine a equação do ćırculo que passa pelos pontos A = (2, 3) e B = (4, 1) e é tangente à reta paralela
ao vetor −→u = (3,−2) no ponto B.
92. Encontre as retas que passam pelo ponto P = (2, 7) e tangenciam o ćırculo de centro C = (3, 0) e raio
r = 3.
93. Considere o sistema não linear {
y = 2x+ 1
(x− 2)2 + (y − 1)2 = r,
onde r ∈ R. Faça uma análise do número de soluções desse sistema em função do parâmetro r.
94. Considere as retas r = {(−t+3, 2t− 5); t ∈ R} e s : 3x− y = 4. Determine o raio, o centro e a equação do
ćırculo C tal que r é tangente a C no ponto A = (1,−1) e s
⋂
C consiste de dois pontos que formam uma
corda de comprimento
√
10 totalmente contida no semiplano x ≥ 1 (sug: verifique que A ∈ s).
95. Determine o lugar geométrico dos pontos cuja distância à reta 4x− 3y+12 = 0 é duas vezes sua distância
ao eixo OX.
96. Encontre as retas r1 e r2 paralelas à reta r = {(2t+ 1,−t+ 2); t ∈ R} que distam 2
√
5 dessa reta.
97. Determine o conjunto dos pontos equidistantes das retas r1 : x + 3y = 3 e r2 : x + 3y = 1. Encontre
também a equação do ćırculo tangente às retas r1 e r2, cujo centro pertence à reta s : x+ 2y = 1.
98. Os pontos A = (2, 5) e B = (14, 1) são simétricos em relação à uma reta. Determine a equação desta reta.
99. Determine a equação da reflexão da reta r : y = 4x− 3 em relação à reta s : y = 2x+ 1.
100. Os pontos A = (10, 0) e B = (−5, y) pertencem a uma elipse de focos F1 = (−8, 0) e F2 = (8, 0). Calcule
o peŕımetro do triângulo BF1F2.
101. Sejam R = (0,−5) e S = (0, 3). Considere a elipse E = {P ∈ R2; d(P,R) + d(P, S) = 10}. Determine a
equação e os principais elementos da elipse.
102. Uma elipse tem centro ( 112 ,−
1
2 ), um foco em (4,−2) e um vértice não focal em (4, 1). Determine os eixos
(focal e não focal) e os demais elementos (exceto a equação).
103. Uma elipse E tem centro O = (0, 0) e contém os pontos A = (3, 2) e B = (1, 4). Sabe-se também que
E tem os dois focos sobre um dos eixos coordenados. Determinar qual é o eixo focal e, a partir dáı, sua
equação reduzida e focos.
104. Em cada caso obtenha uma equação reduzida da elipse E :
a) O centro é O e tem focos em OX; a distância entre os vértices focais é 10 e a distância focal é 6.
b) Os focos são F1 = (−4, 0) e F2 = (4, 0) e o eixo maior mede 10.
c) Os focos são F1 = (0,−2) e F2 = (0, 2) e o eixo menor mede 4.
d) O centro é O, os eixos estão contidos nos eixos coordenados e a coroa fundamental é determinada
por x2 + y2 = 3 e x2 + y2 = 5.
e) O centro é O, um foco é (0,−
√
40) e (
√
5, 143 ) ∈ E ;
f) O centro é (4,−1), um foco é (1,−1) e passa por (8, 0).
105. Esboce a elipse de equação 16x2 + 25y2 − 112x− 100y = −196 indicando seus elementos.
106. Esboce a elipse de equação 49x2 + 24y2 + 294x+ 72y = −201 indicando seus elementos.
107. Esboce a elipse de equação 4x2 + y2 − 24x− 6y + 41 = 0 indicando seus elementos.
108. Esboce a elipse de equação x2 + 4y2 − 4x+ 8y + 4 = 0 indicando seus elementos.
109. O ponto (3,−1) é um vértice de uma elipse cujos focos se acham sobre a reta y+6 = 0. Achar a equação
da elipse, conhecendo-se sua excentricidade e =
√
2
2 .
110. Determine os pontos da elipse x
2
100 +
y2
36 = 1 cuja distância ao foco que se acha sobre o semi-eixo OX
positivo seja 14.
111. Determine a equação da famı́lia de elipse com centro (2, 3), reta focal paralela ao eixo OX e excentricidade
1
2 .
112. Uma hipérbole é dita equilátera se o seu retângulo fundamental é um quadrado. Calcule a excentricidade
de uma hipérbole equilátera qualquer.
113. Obtenha a equação reduzida, os elementos principais e esboce as cônicas abaixo:
a) 9x2 − y2 − 36x− 2y + 44 = 0
b) x2 − 2y2 − 4x− 4y − 1 = 0
c) 3x2 − 12y2 − 2x− 4y − 9 = 0
114. Uma elipse E tem centro O = (0, 0) e contém os pontos A = (3, 2) e B = (1, 4). Sabe-se também que
E tem os dois focos sobre um dos eixos coordenados. Determinar qual é o eixo focal e, a partir dáı, sua
equação reduzida e focos.
115. Em cada caso obtenha uma equação reduzida da hipérbole H e equações para as asśıntotas:
a) Os focos são F1 = (−
√
13, 0) e F2 = (
√
13, 0) e a distância entre os vértices é 6;
b) Um foco é F1 = (0,−
√
11), o centro é O = (0, 0) e a distância entre os vértices virtuais é
√
28;
c) Os pontos (1, 2), (−1,−2) e (1,−2) são vértices do retângulo fundamental de H;
d) A distância focal é
√
20 e os focos pertencem ao eixo OY , sendo que uma das asśıntotas tem
equação y + 3x = 0.
116. Seja C a cônica de excentricidade e = 53 , reta focal l : x = 2 e reta não focal l
′ : y = 1 tal que d(F,C) = 10,
onde C é o centro e F é um dos focos de C. Encontre a equação de C e seus principais elementos. Faça
também um esboço de C.
117. Seja H uma hipérbole com reta focal paralela ao eixo−OY , um dos vértices no ponto A = (2, 0) e um dos
vértices imaginários no ponto B = (1, 2). Determine a reta focal, a reta não-focal, os focos, as asśıntotas,
o outro vértice, o outro vértice imaginário, o centro e a equação da hipérbole H.
118. O centro da hipérbole H é O = (0, 0), o eixo focal é um dos eixos coordenados e uma asśıntota é a reta
de equação 2x = 5y. Se (4, 6) ∈ H, determine a equação reduzida.
119. Sejam R = (0,−k + 4) e S = (0, k), onde k ∈ R. Considere o conjunto
Hk = {P ∈ R2; | d(P,R)− d(P, S) |= 8}.
(a) Para que valores de k ∈ R, o conjunto Hk é uma hipérbole?
(b) Determine a equação e os principais elementos de H7
120. Uma hipérbole H tem eixo focal paralelo ao eixo OY , um foco no ponto F1 = (4,−9) e uma asśıntota
na reta de equação 4y − 3x = −8. Obtenha uma equação reduzida de H e esboce, indicando todos os
elementos.
121. Considere a reta r : x+ y = 3 e seja Hi i = 1, 2, a hipérbole equilátera de foco no ponto A = (−1, 1) cujo
centro pertence à reta r.
(a) Encontre a equação de H1 e seus principais elementos, supondo que sua reta foca é paralela ao eixo
OX.
(b) Determine a equação de H2 e seus principais elementos, sabendo que sua reta focal é paralela ao eixo
OY .
(c) Faça um esboço das hipérboles H1 e H2 num mesmo sistemas de eixos ortogonais.
122. Seja C um cônica com centro C = (2, 4), um vértice no ponto V = (4, 4) e excentricidade e =
√
3
2 .
(a) Determine a equação de C e seus principais elementos, supondo que sua reta focal é paralela ao eixo
OX.
(b) Encontre a equação de C e seus principais elementos, sabendo que sua reta focal é paralela ao eixo
OY .
123. Obtenha a equação reduzida e esboce as parábolas sabendo que:
a) foco (2, 0) e diretriz x+ 2 = 0;
b) vértice (0, 0), simétrica com relação ao eixo OY e passando por (2,−3);
c) vértice (0, 0), eixo focal y = 0 e passando por (4, 5);
d) foco (3,−1) e diretriz 2x− 1 = 0;
e) eixo focal paralelo a y = 0 e passa por P = (−2, 4), Q = (−3, 2) e R = (−11,−2).
124. Determinar vértice, foco, e equações cartesianas para a reta diretriz e o eixo focal das parábolas abaixo:
a) x2 = −12y;
b) y2 − x = 0;
c) x2 − 2x−20y − 39 = 0;
d) y2 − 16x+ 2y + 49 = 0;
e) y = 4x− x2;
f) 6y = x2 − 8x+ 14.
125. Considere a parábola P de foco F = (3, 2) e reta diretriz L : −x− y + 2 = 0. Determine seu vértice V e
seu eixo focal ℓ. P intersecta algum dos eixos coordenados? Qual deles?
126. Considere a parábola P de foco F = (4,−5) e reta diretriz L : −4x+ y + 4 = 0. Determine seu vértice V
e seu eixo focal ℓ. P intersecta algum dos eixos coordenados? Qual deles?
127. Classifique, em função do parâmetro λ ∈ R, as cônicas:
(a) Cλ : (λ− 1)(λ− 2)(x− λ)2 + λy2 = λ+ 1.
(b) Cλ : (λ− 1)x2 + (2− λ)y2 + 2(λ− 1)x+ 2λ(2− λ)y = λ3 − λ2 + λ+ 2
(c) Cλ : x2 + (λ− 2)y2 + 2λx+ 2(λ− 2)y + 3λ− 3 = 0.
(d) Cλ : λx2 + (λ+ 1)y2 + 2(λ− 1)y = 0.
Nos casos não degenerados, determine a reta focal da cônica.
RESPOSTAS:
1. a) 11;
b) 4.
do ponto A sabendo que B tem coordenada −5 e o comprimento do segmento AB é igual a 2.
2. -3, -7.
3. 5, 12.
4. 27.
5. Duas possibilidades. −11 ou 7.
6. As coordenadas...
a) x = 3 ou x = 1;
b) x ∈ (−∞, 0] ∪ [2,+∞);
c) x ∈ (− 185 ,−
12
5 );
d) x ∈ (−∞,−8] ∪ (− 13 ,+∞).
7. a) primeiro e terceiro quadrantes, incluindo os eixos coordenados;
b) todo o plano com a faixa vertical de abscissas x ∈ (0, 2) deletada;
c) apenas a faixa horizontal dos pontos com ordenadas y ∈ (−2, 2);
d) segundo e quarto quadrantes incluindo o eixo vertical, com a origem deletada.
8. 3 ou 7.
9. (0, 0)
10. a±
√
3|a|
2 .
11. (5, 7) ou (−2, 0).
12.
13. (1,−2).
14. 2 ou -6.
15. A = (5, 6), B = (−1, 4), C = (3,−2).
16. (2, 0) e (−2, 0). Logo (x− 2)2 + y2 = 4 e (x+ 2)2 + y2 = 4, respectivamente.
17. (x+ 3)2 + (y + 5)2 = 49
18. (x+ 1)2 + (y − 4)2 = 10
19. (x− 7)2 + (y + 6)2 = 89
20. (x− 2)2 + (y + 4)2 = 4
21.
22. a) C(−7,−2),2√2;
b) ∅;
c) ponto (−5, 1).
23. r ∈ (0,−2 +
√
13) ∪ (2 +
√
13,+∞).
24. r ∈ (0,−
√
2 +
√
20) ∪ (
√
2 +
√
20,+∞).
25. ( 32 ,
5
2 ). O quadrilátero ABCD é um paralelogramo.
26. C = (7, 3), D = (5, 2).
27. (4, 7) ou (2,−1) ou (0, 1).
28. (0, 2), (1, 4), (2, 6).
29.
30. C = (−1,−1).
31.
32.
33.
34. a afirmção é verdadeira
35. basta tomar v⃗ = 1||u⃗|| u⃗; na sequência, basta tomar w⃗ =
−5
||u⃗|| u⃗.
36.
37. X = B
38. (a) Sim.
(b) Não.
(c) Sim.
39. (a) B = (8, 10).
(b) C = (−3,−4).
(c) D = (6 12 , 4).
40. (a) 90◦.
(b) 45◦.
(c) 0◦.
41. k = − 34 .
42. (a) k = − 43 .
(b) k = 3.
(c) k = 48+2
√
507
3 .
43. k = − 163 .
44.
45.
46. {w⃗ = (x, y) | 3x+ y = 10}.
47. B = (−1, 5), C = (−3, 2) ou B = (5, 1), C = (3,−2).
48. 310
√
10.
49. 392 .
50. m = −4 ou m = 20.
51.
52. 16.
53. a) (3,− 112 )
b) (2, 6)
54. (−18,− 1314 );
√
17485
4 .
55.
56. a) 1 (ângulo zero graus)
b)
√
2
2 (ângulo 45 graus)
c) 3√
10
d) 0 (90 graus)
57. a) ...
b) uma resposta posśıvel (mas não a única) é (3b,−3a) (respectivamente (− b2 ,
a
2 )).
58. Supondo escolhidas coordenadas “como sempre” e O = (0, 0):
a) (0, 1);
b) (2, 0);
c) (0,−1);
d) (−3, 0).
59. a) [0, 1];
b) [0,+∞);
c) (−∞, 1];
d) R;
e) [−1, 1].
60. (20,−22), (−4, 10), (23,−26), (14,−14), respectivamente.
61. A não e B sim.
62. O segundo e o quarto par de coordenadas não servem. Para a segunda parte, se v⃗ tem coordenadas (1,−6)
então t = 76 e se v⃗ tem coordenadas (
1
6 ,−1) então t = 7.
63. há muitas maneiras de dar a resposta...
64. há muitas maneiras de dar a resposta...
65. (a) Equações paramétricas:
r :
{
x = 2 + t
y = 1 + 3t
, t ∈ R.
A equação cartesiana: r: −3x+ y = −5.
(a) Equações paramétricas:
r :
{
x = 1− 3t
y = t
, t ∈ R.
A equação cartesiana: r: x+ 3y = 1.
(a) Equações paramétricas:
r :
{
x = 1 + t
y = −1 + 3t , t ∈ R.
A equação cartesiana: r: −3x+ y = −4.
66. (a) s: x+ y = 4.
(b) s: x+ 3y = 0.
(c) s: x− y = −2.
67. (a) s :
{
x = 1 + 2t
y = 2− 5t , t ∈ R.
(b) s :
{
x = 1− 5t
y = 2 + 2t
, t ∈ R.
68. (a) (3,−2).
(b) (− 118 ,−
25
4 ).
69. As retas r1 e r2 coincidem.
70. a = 12 e b = 5.
71. C = (1, 1) ou C = (9,−1).
72. y = − 4a2x+
4
a , onde a > 0.
73. Para a parte c): os vetores normais são paralelos (pense sobre posições relativas de retas).
74. invente
75. usar a fórmula da distância ponto-reta pode ajudar...
76. r e r1 são concorrentes, a intersecção entre as retas: (
49
16 ,
5
8 ), e o ângulo entre as retas: arccos(
11
√
377
377 ).
r e r2 são coincidentes.
r e r3 são paralelas, a distância entre as retas:
4
√
13
13 .
77. � Quando a ̸= 4 e b ∈ R, as duas retas são concorrentes.
� Quando a = 4 e b ̸= 8, as duas retas são paralelas.
� Quando a = 4 e b = 8, as duas retas são coincidentes.
78. 2x+ y = 1± 3
√
5.
79. −x+ y = −1 e −x+ y = 3.
80. −x+ y = −1 e −x+ y = 3.
81. x+ 2y = 2 e x+ 2y = 8.
a) 90 graus;
b) 3x− 4y = 33;
82. a) 90 graus;
b) x+ 2y = 5;
c) 15 unidades de área.
83. (x+ 1)2 + (y − 1)2 = 10. A área é 18 u.a.
84.
85. α = − 73 ou α = 11.
86.
87. A mediatriz do segmento AB é 2x+ y = 6. E as equações dos ćıculos:
x2 + (y − 6)2 = 10 ou (x− 2)2 + (y − 2)2 = 10.
88. x2 + (y − 5)2 = 10.
89. P = ( 6
√
5
5 ,
3
√
5
5 ) ou (−
6
√
5
5 ,−
3
√
5
5 ). E se o raio do ćırculo fosse 5, P = (2
√
5,
√
5) ou (−2
√
5,−
√
5).
90. (x− 134 )
2 + (y − 114 )
2 = 258 .
91. (x− 8)2 + (y − 7)2 = 52.
92. y − 7 = 7+3
√
41
8 (x− 2) ou y − 7 =
7−3
√
41
8 (x− 2).
93. r > 165 , duas soluções; r =
16
5 , uma solução; r <
16
5 , sem solução.
94. O centro (3, 0), o raio
√
5 e a equação do ćırculo: (x− 3)2 + y2 = 5.
95. Duas retas: 4x− 13y + 12 = 0 ou 4x+ 7y + 12 = 0.
96. x+ 2y = 15 ou x+ 2y = −5.
97. x+ 3y = 2. (x+ 1)2 + (y − 1)2 = 110 .
98. 3x− y = 21.
99. −16x+ 13y = 33.
100. 36
101. x
2
9 +
(y+1)2
25 = 1. Centro: (0,−1). Focos: (0,−5) e (0, 3). Os vértices na reta focal: (0,−6) e (0, 4). Os
vértices na reta não focal: (−3,−1) e (3,−1). A reta focal: x = 0. A reta não focal: y = −1. E a
excentricidade: e = 45 .
102. foco em (7, 1), eixo não focal −x+ y + 6 = 0 e eixo focal x+ y − 5 = 0 (...)
103. O eixo focal é vertical. A equação é
x2
35
3
+
y2
35
2
= 1.
Focos (0,±
√
35√
6
).
104. a) x
2
25 +
y2
16 = 1.
b) x
2
25 +
y2
9 = 1.
c) x
2
4 +
y2
8 = 1.
d) Há duas possibilidades; x
2
5 +
y2
3 = 1 e
x2
3 +
y2
5 = 1.
e) x
2
9 +
y2
49 = 1.
f) (x−4)
2
18 +
(y+1)2
9 = 1.
105. os focos são (2, 2) e (5, 2) e o centro é ( 72 , 2) (...)
106. os focos são (−3, 1) e (−3,−4) e o centro é (−3,− 32 ) (...)
107. (x− 3)2 + (y−3)
2
4 = 1, uma elipse com reta focal paralela ao eixo OY . Centro: (3, 3). Focos: (3, 3±
√
3).
Os vértices na reta focal: (3, 5) e (3, 1). Os vértices na reta não focal: (2, 3) e (4, 3). A reta focal: x = 3.
A reta não focal: y = 3. E a excentricidade: e =
√
3
2 .
108. (x−2)
2
4 +(y+1)
2 = 1, uma elipse com reta focal paralela ao eixo OX. Centro: (2,−1). Focos: (2±
√
3,−1).
Os vértices na reta focal: (4,−1) e (0,−1). Os vértices na reta não focal: (2, 0) e (2,−2). A reta focal:
y = −1. A reta não focal: x = 2. E a excentricidade: e =
√
3
2 .
109. (x−3)
2
50 +
(y+6)2
25 = 1.
110. (−5,±3
√
3).
111. (x−2)
2
4k +
(y−3)2
3k = 1, k > 0.
112.
√
2
113. a) 1 = (y+1)
2
9 −
(x−2)2
1
b) 1 = (x−2)
2
3 −
(y+1)2
3/2
c) 1 =
(x− 13 )
2
3 −
(y− 16 )
2
3/4
114. O eixo focal é vertical. A equação é
x2
35
3
+
y2
35
2
= 1.
Focos (0,±
√
35√
6
).
115. a) x
2
9 −
y2
4 = 1; as asśıntotas y = ±
2
3x
b) y
2
4 −
x2
7 = 1; as asśıntotas y = ±
2√
7
x
c) Duas possibilidades: uma delas é x
2
1 −
y2
4 = 1 e a outra é
y2
4 −
x2
1 = 1. Em qualquer caso as
asśıntotas são y = ±2x;
d) y
2
9
2
− x
2
1
2
= 1; as asśıntotas y = ±3x
116. (y−1)
2
36 −
(x−2)2
64 = 1. Centro: (2, 1). Focos: (2, 11) e (2,−9). Os vértices na reta focal: (2, 7) e (2,−5).
Os vértices imaginários: (10, 1) e (−6, 1). A reta focal: x = 2. A reta não focal: y = 1. Asśıntotas:
y−1
6 = ±
x−2
8 .
117. H : (y−2)
2
4 −(x−2)
2 = 1. A reta focal: x = 2. A reta não focal y = 2. Os focos: (2, 2±
√
5). As asśıntotas:
y−2
2 = ±(x− 2). O outro vértice: (2, 4). O outro vértice imaginário: (3, 2). O centro (2, 2).
118. y
2
836
25− x
2
209 = 1.
119. (a) k > 6 ou k < −2.
(b) (y−2)
2
16 −
x2
9 = 1. Centro: (0, 2). Focos: (0, 7) e (0,−3). Os vértices na reta focal: (0, 6) e (0,−2).
Os vértices imaginários: (3, 2) e (−3, 2). A reta focal: x = 0. A reta não focal: y = 2. Asśıntotas:
y−2
4 = ±
x
3 . E a excentricidade: e =
5
4 .
120. 1 = (y−1)
2
62 −
(x−4)2
82 (...)
121. (a) H1 = (x−2)
2
( 92 )
− (y−1)
2
9
2
= 1. Centro: (2, 1). Focos: (5, 1) e (−1, 1). Os vértices na reta focal:
(2± 3
√
2
2 , 1). Os vértices na reta não focal: (2, 1±
3
√
2
2 ). A reta focal: y = 1. A reta não focal: x = 2.
Asśıntotas: x− 2 = ±(y − 1). E a excentricidade: e =
√
2.
(b) H1 = (y−4)
2
( 92 )
− (x+1)
2
9
2
= 1. Centro: (−1, 4). Focos: (−1, 7) e (−1, 1). Os vértices na reta focal:
(−1, 4± 3
√
2
2 ). Os vértices na reta não focal: (−1±
3
√
2
2 , 4). A reta focal: x = −1. A reta não focal:
y = 4. Asśıntotas: y − 4 = ±(x+ 1). E a excentricidade: e =
√
2.
(c) (...)
122. (a) (x−2)
2
4 + (y − 4)
2 = 1. A cônica é uma elipse. Centro: (2, 4). Focos: (2±
√
3, 4). Os vértices na reta
focal: (0, 4) e (4, 4). Os vértices na reta não focal: (2, 3) e (2, 5). A reta focal: y = 4. A reta não
focal: x = 2. E a excentricidade: e =
√
3
2 .
(b) (y−4)
2
16 +
(x−2)2
4 = 1. A cônica é uma elipse. Centro: (2, 4). Focos: (2, 4± 2
√
3). Os vértices na reta
focal: (2, 0) e (2, 8). Os vértices na reta não focal: (0, 4) e (4, 4). A reta focal: x = 2. A reta não
focal: y = 4. E a excentricidade: e =
√
3
2 .
123. a) y2 = 8x
b) 3x2 + 4y = 0
c) 4y2 − 25x = 0
d) (y + 1)2 = 5(x− 74 )
e) x = − 14y
2 + 2y − 6
124. a) V = (0, 0), F = (0,−3), y = 3 e x = 0
b) V = (0, 0), F = ( 14 , 0), x = −
1
4 e y = 0
c) V = (1,−2), F = (1, 3), y = −7 e x = 1
d) V = (3,−1), F = (7,−1), x = −1 e y = −1
e) V = (2, 4), F = (2, 154 ), 4y = 17 e x = 2
f) V = (4,− 13 ), F = (4,
7
6 ), 6y = −11 e x = 4.
125. ℓ : −x+ y + 1 = 0, V = ( 94 ,
5
4 ). Não intersecta os eixos.
126. ℓ : x+ 4y + 16 = 0, V = (2,− 92 ). Intersecta o eixo OX em dois pontos distintos.
127. (a)

Quando λ > 2 +
√
2, a cônica é uma elipse, a reta focal: x = λ.
Quando λ = 2 +
√
2, é um ćırculo, com centro (2 +
√
2, 0), e raio
√
3+
√
2
2+
√
2
.
Quando 2 < λ < 2 +
√
2, a cônica é uma elipse, a reta focal: y = 0,
Quando 1 < λ < 2, a cônica é uma hipérbole, a reta focal: x = λ,
Quando 2−
√
2 < λ < 1, a cônica é uma elipse, a reta focal: y = 0,
Quando λ = 2−
√
2, é um ćırculo, com centro (2−
√
2, 0), e raio
√
3−
√
2
2−
√
2
.
Quando 0 < λ < 2−
√
2, a cônica é uma elipse, a reta focal: x = λ,
Quando −1 < λ < 0, a cônica é uma hipérbole, a reta focal: y = 0,
Quando λ < −1, a cônica é uma hipérbole, a reta focal: x = λ,
Cônicas degeneradas:

Quando λ = −1,
√
6(x+ 1) = ±y, duas retas concorrentes.
Quando λ = 0,
√
2x = ±1, duas retas paralelas.
Quando λ = 1, y = ±
√
2, duas retas paralelas.
Quando λ = 2,
√
2y = ±
√
3, duas retas paralelas.
(b)

Quando λ ∈ (−∞,−1) ∪ (−1, 1), a cônica é uma hipérbole, a reta focal: x = −1.
Quando λ ∈ (1, 32 ), a cônica é uma elipse, a reta focal: y = −λ.
Quando λ = 32 , um ćırculo de centro (−1,−
3
2 ), e raio
5
√
2
2 .
Quando λ ∈ ( 32 , 2) a cônica é uma elipse, a reta focal: x = −1,
Quando λ ∈ (2,∞), a cônica é uma hipérbole, a reta focal: y = −λ.
Cônicas degeneradas:
 Quando λ = −1,
√
2(x+ 1) = ±
√
3(y − 1), duas retas concorrentes.
Quando λ = 1, y + 1 = ±2, duas retas paralelas.
Quando λ = 2, x+ 1 = ±3, duas retas paralelas.
(c)

Quando λ > 3, a cônica é uma elipse, a reta focal: y = −1.
Quando λ = 3, um ćırculo de centro (−3,−1) e raio 2.
Quando 2 < λ < 3, a cônica é uma elipse, a reta focal: x = −λ,
Quando λ < 2 e λ ̸= 1, a cônica é uma hipérbole, a reta focal: y = −1.
Cônicas degeneradas:
{
Quando λ = 1, x+ 1 = ±(y + 1), duas retas concorrentes.
Quando λ = 2, x+ 2 = ±1, duas retas paralelas.
(d)

Quando λ < −1, a cônica é uma elipse, a reta focal: x = 0.
Quando λ = −1, a cônica é uma parábola, a reta focal x = 0.
Quando −1 < λ < 0, a cônica é uma hipérbole, a reta focal: x = 0.
Quando λ > 0 e λ ̸= 1, a cônica é uma elipse, a reta focal: y = −λ−1λ+1 .
Cônicas degeneradas:
{
Quando λ = 0, y = 2 e y = 0, duas retas paralelas.
Quando λ = 1, (0, 0), um ponto.