AD2_GAI_2022_1_Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anaĺıtica I
2a Avaliação a Distância - Gabarito
1o Semestre de 2022
Código da disciplina: Matemática, Engenharia de Produção e Engenharia Mete-
reológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Questão 1 [3,0 pontos] Considere a reta l que passa pelo ponto P = (0,−1) e é paralela ao vetor
~u = (1, 1). Seja ABC um triângulo com A = (0, 1) e com B e C sobre a reta l. Se Proj~u
−→
AB = 6~u,
responda as seguintes questões:
(a) [0,5 ponto] Determine as equações paramétricas da reta l.
(b) [1,0 ponto] Determine as coordenadas do vértice B.
(b) [1,5 ponto] Determine as coordenadas do vértice C sabendo que a área do triângulo é 1.
Resolução:
(a) Como a reta l contém ao ponto P = (0,−1) e é paralela ao vetor ~u = (1, 1), então as equações
paramétricas da reta l são dadas por: l :
{
x = t
y = −1 + t ,∀t ∈ R.
(b) Como B ∈ l, então B = (t,−1 + t) para algum valor de t ∈ R.
Logo, podemos escrever o vetor
−→
AB = (t,−2 + t) e substituindo na projeção temos:
Proj~u
−→
AB = 6~u
〈
−→
AB, ~u〉~u
||~u||2
= 6~u
〈(t,−2 + t), (1, 1)〉~u
12 + 12 = 6~u
(t− 2 + t)~u
2 = 6~u
(2t− 2)~u
2 = 6~u,
então,
2t− 2
2 = 6⇐⇒ 2t− 2 = 12
t = 7.
Assim, B = (7, 6).
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(c) Como o ponto C ∈ l, então C = (t,−1 + t) para algum t ∈ R. Além disso a área do triângulo
ABC pode ser determinada pelos vetores
−→
AB e
−→
AC. Assim temos
−→
AB = (7, 5)
−→
AC = (t,−2 + t).
Logo,
Área(∆ABC) =
|det(−→AB,−→AC)|
2
1 = |7(−2 + t)− 5t|2
2 = | − 14 + 2t|
⇐⇒ 2 = −14 + 2t ou 2 = −(−14 + 2t)
⇐⇒ 8 = t ou 6 = t.
Dessa forma, encontramos as coordenadas dos pontos C que satisfazem as condições do pro-
blema.
Quando t = 8, então C = (8, 7), e se t = 6, então C = (6, 5).
Questão 2 [4,0 pontos] Seja H uma hipérbole com reta focal paralela ao eixo OX, um vértice
focal no ponto A = (8, 2) e uma asśıntota r1 : 3x + 4y = 8.
(a) [1,5 ponto] Determine as coordenadas do centro e a equação da outra reta asśıntota da
hipérbole H.
(b) [1,5 ponto] Determine a equação da hipérbole e ache as corrdenadas dos focos e dos outros
vértices.
(C) [1,0 ponto] Faça um esboço da hipérbole indicando o centro, os vértices focais, os vértices
não focais, os focos e as asśıntotas.
Resolução:
(a) Chamemos lf a reta focal da hipérbole a qual é paralela ao eixo OX.
Como o vértice A = (8, 2) ∈ lf , então lf : y = 2.
Temos também que o centro C = r1 ∩ lf . Ou seja as coordenadas do ponto C satisfazem as
equações
{
y = 2
3x + 4y = 8 . Logo, C = (0, 2).
A equação da hipérbole com reta focal paralela ao eixo OX é da forma:
x2
a2
− (y − 2)
2
b2
= 1
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a qual tem por asśıntotas as retas: l1 : (y − 2) =
b
a
x e l2 : (y − 2) = −
b
a
x
Como a reta r1 : 3x+4y = 8 pode ser escrita da forma r1 : y−2 = −
3
4x, então temos
b
a
= 34 .
Logo, a outra asśıntota terá por equação: r2 : (y − 2) =
3
4x que pode ser também escrita na
forma r2 : 3x− 4y = −8.
(b) Como a = d(A, C), então a = 8.
Substituindo em:
b
a
= 34 , temos b = 6.
E, c2 = a2 + b2 ⇐⇒ c2 = 64 + 36 ⇐⇒ c2 = 100 ⇐⇒ c = 10.
Assim,
• Vértices focais: A1 = (−8, 2), A2 = (8, 2)
• Vértices não focais: B1 = (0,−4), B2 = (0, 8)
• focos: F1 = (−10, 2), F2 = (10, 2)
• A equação da hipérbole é:
x2
64 −
(y − 2)2
36 = 1
(c) Temos o seguinte gráfico
Questão 3 [3,0 pontos] Considere a equação: 25x2 + 16y2 + 50x− 80y + 25 = 0 que representa
uma elipse.
(a) [1,0 pontos] Determine a equação canônica da elipse, o centro, os vértices focais e os vértices
não focais.
(b) [1,0 ponto] Se P = (a, b) onde a > 0 é um dos vértices da elipse. Determine a equação da
parábola de vértice P e foco no centro da Elipse e encontre a equação da sua reta diretriz.
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(c) [1,0 ponto] Faça um esboço da parábola, indicando o vértice, o foco, a reta focal e a reta
diretriz.
Resolução:
(a) Completando quadrados na equação da elipse temos:
25(x2 + 2x + 1) + 16(y2 − 5y + 254 ) = 25 + 100− 25
25(x + 1)2 + 16(y − 52)
2 = 100
(x + 1)2
4 +
(y − 52)
2
25
4
= 1
(y − 52)
2
25
4
+ (x + 1)
2
4 = 1
A qual se trata de uma elipse com reta focal paralela ao eixo OY, x = −1, onde a = 52 , b = 2
e sabendo que c2 = a2 − b2, obtemos c2 = 254 − 4 =
9
4 ⇐⇒ c =
3
2 .
Assim temos os seguintes elementos da elipse:
• Centro: C = (−1, 52)
• Vértices focais: A1 = (−1, 0) e A2 = (−1, 5)
• Vértices não focais: B1 = (−3,
5
2) e B2 = (1,
5
2)
(b) Como P = (a, b) é um dos vértices da elipse satisfazendo a > 0, então P = B2 = (1,
5
2). Logo,
a parábola tem por vértice V = (1, 52) e foco F = (−1,
5
2).
Temos assim, que a reta focal da parábola é paralela ao eixo OX e tem por equação lf : y =
5
2 ,
p = d(F, V ) = 2 e a equação da parábola é:
(y − 52)
2 = −8(x− 1).
Onde a reta diretriz tem por equação: ld : x = 3.
(c) Temos os seguintes elementos da parábola:
• Vertice: V = (1, 52)
• Foco: F = (−1, 52)
• Reta focal: lf : y =
5
2
• Reta diretriz : ld : x = 3
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