MATEMÁTICA, FB VOLUME 5

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VOLUME
5
TURBO 6.0
PRÉ-UNIVERSITÁRIO
MANUAL DO 
PROFESSOR
MATEMÁTICA
SFB_PRE 6_VOL5_LP_L2_CAPA_MAT_2020.indd 1 05/06/20 13:41
PRÉ-UNIVERSITÁRIO
5
VOLUME
TURBO 6.0
• MATEMÁTICA 
MANUAL DO 
PROFESSOR
M LP PROVA PDFSFB_PRE 6_VOL5_LP_MAT_L2_FRONTIS_2020.indd 1 05/06/20 13:42
0800 17 2002 | www.moderna.com.br/SFB
P397p
CDD 373 
Pena, Marcelo
Pré-universitário: anual, volume 5: Matemática: manual do 
professor / Marcelo Pena, organizador. – Fortaleza: FB Editora, 2020. 
5 v. (várias paginações) : il.; 29 cm. – (Pré-universitário: anual; v. 5)
Manual do professor.
Obra em 6 volumes
1. Educação (Ensino Médio). 2. Enem. 3. Linguagens, Códigos 
e suas Tecnologias. 4. Matemática e suas Tecnologias. 5. Ciências 
Humanas e suas Tecnologias. 6. Ciências da Natureza e suas 
Tecnologias. I. Título: Anual, volume 5: Matemática: 
manual do professor.
EDITORA MODERNA
Diretoria-geral de educação: José Henrique del Castillo Melo
Diretoria de negócios: Francisco Ribamar Monteiro
Diretoria de operações editoriais: Ricardo Seballos
Gerência de design e produção gráfica: Everson Laurindo de Paula
Coordenação de conteúdo: Jones Brandão
Coordenação de produção: Rafael Mazzari
Design da capa: Mariza de Souza Porto, Patricia Malízia
Foto: Vinicius Bacarin/Shutterstock
Impressão:
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação: 
Bibliotecárias responsáveis: Raquel Hernandes Silva – CRB-3/950, 
Lianna Cláudia Barbosa Costa – CRB-1/391, Lúcia Mara Nogueira Braga – CRB-3/880
SISTEMA FARIAS BRITO DE ENSINO
Direção-geral: Tales de Sá Cavalcante, Hilda Sá Cavalcante Prisco, 
Dayse de Sá Cavalcante Tavares
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Direção técnica: Fernanda Denardin
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Direção de ensino: Marcelo Pena
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Supervisão pedagógica: Dawison Sampaio
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Projeto visual: Felipe Marques, Franklin Biovanni, 
Paulo Henrique dos Anjos, Raul Matos
Projeto gráfico, revisão e editoração: Gráfica FB
SFB_PRE 6_VOL5_LP_L2_MAT_CREDITOS_2020.indd 1 05/06/20 13:42
SUMÁRIO
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA I
AULA 21: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) – PARTE II .........................................................................................................................2
AULA 22: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) – PARTE III ........................................................................................................................7
AULA 23: PORCENTAGEM ................................................................................................................................................................12
AULA 24: LUCROS E JUROS SIMPLES .................................................................................................................................................16
AULA 25: LUCROS COMPOSTO .........................................................................................................................................................19
MATEMÁTICA II
AULA 21: FUNÇÃO LOGARÍTMICA (PARTE I) ........................................................................................................................................26
AULA 22: FUNÇÃO LOGARÍTMICA (PARTE II) .......................................................................................................................................28
AULA 23: FUNÇÃO LOGARÍTMICA (PARTE III) ......................................................................................................................................31
AULA 24: ANÁLISE DE GRÁFICOS E TABELAS .......................................................................................................................................34
AULA 25: EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO PARA O ENEM (PARTE I) ......................................................................................................40
MATEMÁTICA III
AULA 21: ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE – REVISANDO E APROFUNDANDO .................................................................................46
AULA 22: POLINÔMIOS – PARTE I ....................................................................................................................................................50
AULA 23: POLINÔMIOS – PARTE II ...................................................................................................................................................52
AULA 24: POLINÔMIOS – PARTE III ..................................................................................................................................................55
AULA 25: REVISÃO ENEM I – EXERCÍCIOS ..........................................................................................................................................58
MATEMÁTICA IV
AULA 21: CILINDRO CIRCULAR .........................................................................................................................................................62
AULA 22: CONE CIRCULAR ..............................................................................................................................................................67
AULA 23: TRONCO DE CONE CIRCULAR ..............................................................................................................................................71
AULA 24: SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO ...................................................................................................................................................75
AULA 25: ESFERA .........................................................................................................................................................................78
MATEMÁTICA V
AULA 21: CIRCUNFERÊNCIA II ..........................................................................................................................................................84
AULA 22: INEQUAÇÕES E LIMITAÇÕES DE ÁREAS ..................................................................................................................................88
AULA 23: PROBLEMAS RELACIONADOS À CIRCUNFERÊNCIA, RETAS E INEQUAÇÕES .........................................................................................94
AULA 24: LUGAR GEOMÉTRICO ........................................................................................................................................................98
AULA 25: APROFUNDANDO E REVISANDO PARA O ENEM (PARTE I) .........................................................................................................100
MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA I 
ÁLGEBRAÁLGEBRA
Vo
lu
m
e5
MATEMÁTICA I
ÁLGEBRA
Objetivo(s):
• Demonstrar conhecimento da linguagem matemática utilizada em uma progressão geométrica.
• Identificar uma progressão geométrica.
• Conhecer e saber aplicar as fórmulas matemáticas para o termo geral, soma e produtos de termos em P.G.
• Representar de modo especial P.G.s de 3, 4 e 5 termos para resolver problemas envolvendo produto de termos.
Conteúdo:
AULA 21: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) – PARTE II
Soma dos termos de uma P.G. finita ...........................................................................................................................................................................2
Soma dos termos de uma P.G. infinita convergente ...................................................................................................................................................3
Exercícios ..................................................................................................................................................................................................................4
AULA 22: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) – PARTE III
Produto dos termos equidistantes dos extremos de uma P.G. ....................................................................................................................................7Produtos dos n primeiros termos de uma P.G. (Pn) .....................................................................................................................................................7
Dízimas periódicas (complemento) ............................................................................................................................................................................9
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................10
AULA 23: PORCENTAGEM
Introdução ...............................................................................................................................................................................................................12
Porcentagem ............................................................................................................................................................................................................12
Porcentagem de um número em relação a outro .....................................................................................................................................................12
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................13
AULA 24: LUCROS E JUROS SIMPLES
Lucro ........................................................................................................................................................................................................................16
Juros simples ............................................................................................................................................................................................................17
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................17
AULA 25: LUCROS COMPOSTO
Introdução ...............................................................................................................................................................................................................19
Fórmula para o cálculo do montante com juro composto e taxa constante .............................................................................................................19
Equivalência de taxas...............................................................................................................................................................................................20
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................22
2
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
Aula 21: 
Progressão Geométrica 
(P.G.) – Parte II
Soma dos termos de uma P.G. fi nita
Considere a P.G. de razão q (a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
) cuja soma 
dos termos é S
n
 = a
1
 + a
2
 + a
3
 + ... + a
n
. Temos que:
 q . S
n
 = q . (a
1
 + a
2
 + a
3
 + ... + a
n
) ( I )
Aplicando a propriedade distributiva no segundo membro, 
obtemos:
 q . S
n
 = a
2
 + a
3
 + a
4
 + ... + a
n + 1
 ( II )
Subtraindo membro a membro a igualdade ( II ) da igualdade 
( I ), fi camos com:
S
n
 – q . S
n
 = (a
1
 + a
2
 + a
3
 + ... + a
n
) – (a
2
 + a
3
 + a
4
 + ... + a
n + 1
)
Fatorando o primeiro membro, eliminando os parênteses e 
efetuando os devidos cancelamentos, encontramos:
S
n
(1 – q) = a
1
 – a
n + 1
, ou seja, S
a a
q
n
n= −
−
+1 1
1
Podemos, agora, substituir a
n + 1
 = a
1
 · qn na fórmula anterior 
e obter:
S
a a q
q
n
n
= − ⋅
−
1 1
1
Sendo assim, obtemos:
S a
q
q
n
n
= ⋅ −
−





1
1
1
, na qual q ≠ 1.
Observação:
Caso q = 1, S a a an
n vezes
= + + +1 1 1…� ��� ��� , isto é, S n an = ⋅ 1
Exemplos:
1. Quantos termos da P.G. (2, – 6, 18, – 54, ...) devemos 
considerar a fi m de que a soma resulte 9842?
 Solução:
 Na P.G., temos:
 I. a
1
 = 2
 II. q
a
a
q= = − ⇒ = −2
1
6
2
3
 III. S a
q
q
n
n
n
= −
−





 = ⇒
⇒ ⋅ − −( )
− −( )








= ⇒
⇒ − −
1
1
1
9842
2
1 3
1 3
9842
1 33
9842 4
2
19683 3
3 3 9
9
( ) = ⋅ ⇒
⇒ − = −( ) ⇒
⇒ −( ) = −( ) ∴ =
n
n
n
n
Resposta: 9
C-1 H-2, 3
Aula
21
2. Seja S a soma dos n primeiros termos da P.G. (1, 3, 9, 27, ...).
A soma dos n primeiros termos da P.G. 1
1
3
1
9
, , ,...




 em 
função de S é:
A) 
3
2 1
S
S +
B) 2
1
 S
S −
C) 5 S D) 2 1
3
 
 
S
S
+
E) S
2
 Solução:
Na 1a P.G., temos:
I. a
1
 = 1
II. q
a
a
q= = ⇒ =2
1
3
1
3
III. S a
q
q
S
S S
n
n n
n n
= −
−





 ⇒ = ⋅
−
−




⇒
⇒ − = − ⇒ = +
1
1
1
1 1 3
1 3
2 1 3 3 1 2 
Já na 2a P.G., temos:
I. A
1
 = 1
II. Q
A
A
Q= = ⇒ =2
1
1
3
1
1
3
III. S A
Q
Q
S Sn
n
n
, , ,= ⋅ −
−





 ⇒ = ⋅
− 



−












⇒ =1
1
1
1
1 1
3
1
1
3
3nn
n
n
n
S S
S
S
S
S
S
−
⇒
⇒ = − ⋅ ⇒ = + −
+
⋅ ⇒ =
+
1
3
2
3
3 1
3
3
2
1 2 1
1 2
3
2
3
1 2
, , , 
 
 
 
Respossta : A
3. Uma sequência é defi nida como se segue:
a
a an n
1
1
3
2 1
=
= − ∈


 + onde n, N*
Apresente o termo geral an em função de n.
Solução:
Observe que a
n + 1
 = 2 a
n
 – 1 equivale a:
a an
n
n
n n
+
+ + += −
1
1 1 12
2
2
1
2
, isto é: 
a an
n
n
n n
+
+ += −
1
1 12 2
1
2
Dando valores a n nesta lei de recorrência, obtemos:
n
a a
n
a a
n
a a
n
= ⇒ = −
= ⇒ = −
= ⇒ = −
1
2 2
1
2
2
2 2
1
2
3
2 2
1
2
2
2
1
1 2
3
3
2
2 3
4
4
3
3 4
 
 
== − ⇒ = −−−k
a ak
k
k
k k
1
2 2
1
2
1
1
somando
Somando membro a membro essas (k – 1) igualdades:
a ak
k k
P G
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 2 3 4
= − + + + +



...
. .� ����� �����
3
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
a ak
k
k
k
k2
3
2
1
2 1
1
2
2
3
2
1
22
1
2
= −
− 



−












⇒ = −
−
 
1
1
2
 · · 11 
2
1
−



= − + ⇒ = + ⇒ = +
−
1
2
2
3
2
1
2
1
2 2
1
1
2
2 1
1k
k
k k
k
k k k
ka a a
·
Respostta : an
n= +2 1
Observação:
A resolução ficaria bem simples se você percebesse que 
a
n + 1
 = 2 a
n
 – 1 gera:
a
2
 = 2 a
1
 – 1 = 5 ⇒ a
2
 = 4 + 1 = 22 + 1
a
3
 = 2 a
2
 – 1 = 9 ⇒ a
3
 = 8 + 1 = 23 + 1
a
4 
= 2 a
3
 – 1 = 17 ⇒ a
4
 = 16 + 1 = 24 + 1
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
a
n
 = 2n + 1
Soma dos termos de uma P.G. 
infi nita convergente
Quando a razão q de uma P.G. infi nita é tal que –1 < q < 1, 
isto é, | q | < 1, dizemos que a P.G. é convergente. Isso signifi ca 
dizer que quando n tende a mais infi nito, an e q
n tendem a zero 
(convergem para zero).
Exemplo: na P.G. de razão q = 



1
2
1
1
2
1
4
1
8
, , , , ,... , temos:
• para n = 8 ⇒ a q8
7
8
8
1
1
2
1
128
1
2
1
256
= ⋅ 



= = 



= e 
 (próximos de zero)
• para n = 10 ⇒ a q10
9
10
10
1
1
2
1
512
1
2
1
1024
= ⋅ 



= = 



= e 
 (mais próximos ainda de zero)
Como a razão q = 1
2
 está entre –1 e 1, quanto maior é o valor 
numérico de n, mais próximos de zero estarão qn e an. Dizemos que 
quando n tende a mais infi nito, qn tende a zero.
Na prática, quando n tende a mais infi nito, substitui-se qn
por zero na fórmula S a
q
q
n
n
= ⋅ −
−





1
1
1
 e obtém-se: 
S a
q
S
a
q
∞ ∞= ⋅
−
−





 ⇒ = −1
11 0
1 1
Observação:
Dizemos que S
a
q
∞ = −
1
1
 é o limite da soma dos infi nitos 
termos da P.G. de razão q, onde | q | < 1 (P.G. infi nita convergente).
Exemplos:
1. Determinar a soma dos infi nitos termos da P.G. 1
1
21
4
, , ,�


 .
Solução:
Observando que a P.G. é convergente, | q | < 1, e 
considerando os termos da P.G. como sendo as medidas 
das áreas dos respectivos retângulos indicados nas figuras 
1 e 2 seguintes, temos:
1 1
2
1
4
1
8 11
6464
1
16
(Fig. 1) (Fig. 2)
Área da fi gura 2 = 
1
2
1
4
1
8
1
16
+ + + +� = Área da fi gura 1 = 1.
Daí,
1
1
2
1
4
1
8
1 1 2+ + + + = + =�
Outra solução:
Na P.G. 1
1
2
1
4
, , ,�



, temos:
I. a
1
 = 1
II. q
a
a
q= ⇒ =2
1
1
2
 (P.G. convergente)
Então, usando a fórmula:
S
a
q
S S∞ ∞ ∞= −
⇒ =
−
= ⇒ =1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
Resposta: 2
2. Considere a seguinte situação-problema:
Uma bola é lançada na vertical de encontro ao solo, de uma 
altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe até 80% da altura 
de que caiu. O comprimento total percorrido pela bola em sua 
trajetória, até tocar o solo pela quinta vez, pode ser obtido, 
observando que 80
80
100
4
5
% = = e que, saindo de uma altura 
h, a bola percorre:
descendo
(e bate no solo)
subindo
descendo
(e bate no solo)
subindo
descendo
(e bate no solo)
S h h h h h= + + ⋅ + 



⋅ + 



⋅ +4
5
4
5
4
5
4
5
2 2
...
Daí, somando os termos iguais, obtemos:
S h h h h= + ⋅ 



⋅ + ⋅ 



⋅ + ⋅ 



⋅ + ⋅ 



⋅2 4
5
2
4
5
2
4
5
2
4
5
1 2 3 4
hh +








...
Assim, até tocar o solo pela quinta vez, a bola percorrerá h, 
mais a soma dos quatro primeiros termos da P.G. isto é:
S h a
q
q
S h h= + ⋅ −
−





 ⇒ = + ⋅




⋅ ⋅
− 



−




1
4 1
4
1
1
2
4
5
1
4
5
1
4
5








.
4
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
Logo: S h= ⋅3577
625
.
Podemos também calcular o comprimento total percorrido pela 
bola em sua trajetória, até atingir o repouso. Para isso, é só observar 
q u e 2
4
5
2
4
5
2
4
5
2
4
5
1 2 3 4
⋅ 



⋅ + ⋅ 



⋅ + ⋅ 



⋅ + ⋅ 



⋅ +h h h h ....








é a soma dos infinitos termos de uma P.G. convergente 
− < = <



1
4
5
1q . Assim, até parar, a bola percorrerá a distância 
total S,tal que:
S h
a
q
S h
h
h
h
S h= +
−
⇒ = +
⋅
−
= + ⋅ ∴ =1
1
2
4
5
1
4
5
8
5
5
1
9
 
Resposta: 9 h
3. Se k a raiz da equação x
x x x
x
+ + + + + =−3 9 3
9
1
... ... . 
Então, k! será:
A) 24
B) 120
C) 720
D) 5040
E) 40320
Solução:
Temos a soma de infi nitos termos em P.G. de razão q = 1
3(P.G. convergente). Então: 
a
q
x
x x1
1
9
1
1
3
9
3
2
9 6
−
= ⇒
−
= ⇒ ⋅ = ⇒ =
Daí, k = 6 e k! = 6! = 720
Resposta: C
4. Calcule a soma S = + + +1
10
2
100
3
1000
...
Muito embora os termos da soma S não estejam em P.G. (nem 
em P.A.), podemos calcular essa soma com a mesma ideia 
utilizada para a soma dos n primeiros termos de uma P.G. 
(note que os denominadores estão em P.G.). Multiplicando 
S pela razão da P.G. 
1
10
1
100
1
1000
, , , ... ,




 formada com os 
denominadores, obtemos:
S
S
= + + +
⋅ = + + +






1
10
2
100
3
1000
1
10
1
100
2
1000
3
10000
...
...
Subtraindo membro a membro e associando as frações de 
mesmo denominador, resulta:
S
S− = + −



+ −



+
+ −
10
1
10
2
100
1
100
3
1000
2
1000
4
10000
3
10000




+ ⇒ = + + + ⇒
⇒ =
−
⇒ =
−
... ...
9
10
1
10
1
100
1
1000
9
10 1
9
10
1
10
1
1
S
S a
q
S
11
10
10
81
⇒ =S
Resposta:
10
81
Exercícios de Fixação
01. (IFSUL) Na última páscoa, a direção de um campus do IFSul 
solicitou que cada servidor doasse caixas de bombons para 
serem entregues a 16 000. alunos de baixa renda das escolas 
da região. Supondo-se que o primeiro servidor doou uma caixa; 
o segundo doou 2; o terceiro 4 , assim sucessivamente, até o 
décimo quinto servidor, é possível afi rmar que o total de caixas 
de bombons arrecadadas foi sufi ciente para doar exatamente 
A) uma para cada aluno. 
B) duas para cada aluno. 
C) uma para cada aluno e ainda sobraram 767 caixas de 
bombons. 
D) duas para cada aluno e ainda sobraram 767 caixas de 
bombons. 
02. (IFBA) Numa avaliação com 100 questões, a pontuação de 
cada questão foi atribuída de acordo com uma progressão 
geométrica de razão 2 da seguinte forma: a primeira questão 
valia 1 ponto, a segunda questão valia 2 pontos, a terceira 
questão valia 4, a quarta questão valia 8 pontos e assim por 
diante. A nota máxima que um aluno pode fi car é o somatório 
dos pontos de todas as questões. Uma pessoa, ao fazer 
esta avaliação, verifi cou que acertou todas as questões de 
numeração múltiplos de três maiores que 20 e menores que 
40 e também acertou as questões de numeração múltiplos de 
cinco maiores que 31 e menores que 51.
Que pontuação este estudante fez na prova?
A) 
2 2 1
2 1
34 20
5
( )−
−
B) 
2 2 1
2 1
20 21
3
⋅ −
−
( )
C) 
2 2 1
2
2 2 1
2
20 21
3
34 20
5
⋅ −
+
−( ) ( )
D) 
2 2 1
2 1
2 2 1
2 1
20 21
3
34 20
5
⋅ −
−
+
−
−
( ) ( )
E) 
2 2 1
2 1
2 2 1
2 1
20 21
3
34 20
5
⋅ −
−
−
−
−
( ) ( )
03. A Figura 1 apresenta uma sequência de fi guras de bonecos 
com corpo e pernas no formato retangular e cabeça circular. 
As dimensões do primeiro boneco são apresentadas na
Figura 2 (Na Figura 2, r é o raio do círculo). Sabe-se que cada 
uma das medidas do n− ésimo boneco é igual à metade da 
medida correspondente do (n )− −1 ésimo boneco.
Figura 1
1 2 3 4 n
Figura 2
y
x
x
r
y
3
y
3
5
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
Assim, se A1 é a área do primeiro boneco, então é 
correto afirmar que a soma das áreas dos 30 primeiros 
bonecos é 
A) 
A1
30
293
4 1
4
−



.
B) A1
30
29
4 1
4
−



.
C) 
A1
30
294
2 1
2
−



.
D) 
A1
30
292
4 1
4
−



.
E) A1
30
29
2 1
2
−



.
04. A figura a seguir representa parte do gráfico da função 
f x
x
( ) ,=
16
2
 fora de escala.
y
f(x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x...
A soma das áreas dos infinitos retângulos assinalados é 
igual a: 
A) 16 B) 8
C) 24 D) 32
E) 12
05. (UFSM-RS) No piso do hall de entrada de um shopping, foi 
desenhado um quadrado Q
1
 de 10 m de lado, no qual está 
inscrito um segundo quadrado Q
2
 obtido da união dos 
pontos médios dos lados do quadrado anterior, e assim 
sucessivamente, Q
3
, Q
4
, ..., formando uma sequência infi nita 
de quadrados, seguindo a fi gura. Dessa forma, a soma das 
áreas dos quadrados é de:
A) 25 m2
B) 25 2 m2
C) 200 m2
D) 50 2 m2
E) 100(2 + 2 ) m2
A B
D C
Exercícios Propostos
01. (UFU) A Secretaria de Saúde de um determinado Estado 
brasileiro necessita enviar 640 estojos de vacinas para N regiões 
distintas. Após avaliar as demandas de cada uma dessas regiões 
a serem atendidas, estabeleceu-se o seguinte esquema de 
envio: 
– para a região 1 serão enviados x estojos; 
– para a região 2 serão enviados x estojos;
– para a região 3 serão enviados 2x estojos;
– para a região 4 serão enviados 4x estojos.
e esse padrão se repete nas demais regiões, ou seja, serão 
enviados tantos estojos a uma região quanto for a soma dos 
que já foram enviados às regiões anteriores. O valor de x deve 
ser tal que N é o maior possível e exatamente todos os estojos 
sejam distribuídos. 
Nas condições apresentadas, é igual a N · x:
A) 35 B) 30 
C) 40 D) 45 
02. (IFPE) Dudu quer se tornar um youtuber famoso, mas, em seu 
primeiro vídeo, ele obteve apenas 5 inscritos em seu canal. 
Obstinado que é, Dudu pretende, a cada novo vídeo, dobrar 
a quantidade de novos inscritos em seu canal, em relação
aos inscritos no vídeo anterior. Se no primeiro mês ele postar 
10 vídeos e conseguir atingir a meta estabelecida, ao fi m deste 
mês, seu canal terá:
A) 1 024. inscritos. B) 5 120. inscritos. 
C) 5 115. inscritos. D) 1 023. inscritos. 
E) 310 inscritos.
03. (Enem) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo 
industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a 
produtividade. No primeiro ano de funcionamento,uma 
indústria fabricou 8.000 unidades de um determinado 
produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo 
novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se 
que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, 
garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P 
a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de 
funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que 
determina o número de unidades produzidas P em função 
de t, para t ≥ 1?
A) P(t) = 0,5 · t–1 + 8.000 B) P(t) = 50 · t–1 + 8.000
C) P(t) = 4.000 · t–1 + 8.000 D) P(t) = 8.000 · (0,5)t–1
E) P(t) = 8.000 · (1,5)t–1
04. (Udesc) O objetivo de um concurso era criar o ser vivo 
matemático mais curioso. O vencedor, batizado por seus 
criadores de Punctorum Grande, possuia as seguintes 
características: no seu nascimento ele era composto apenas 
por um ponto, e após 40 minutos duas hastes saíam deste 
ponto com um novo ponto. Após mais 40 minutos, outras duas 
hastes, com um novo ponto em cada, saíam de cada um dos 
pontos existentes e assim sucessivamente a cada 40 minutos.
O número de pontos que esse ser vivo tinha após cinco horas 
e vinte minutos do seu nascimento, era:
A) 6561 B) 255
C) 2187 D) 4347
E) 64
6
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
05. (UERJ) Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo 
retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm
de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada 
uma com volume igual a 0,5 cm3. Na primeira etapa, depositou-se 
uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim 
sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio 
entre as esferas é desprezível.
Considerando 210 ≅ 1000, o menor número de etapas 
necessárias para que o volume total de esferas seja maior do 
que o volume do recipiente é: 
A) 15 B) 16
C) 17 D) 18
06. (UnB – adaptada)
A
B
chave
1 2 3 4 5
Algumas nanoestruturas moleculares de carbono apresentam 
condutividade elétrica. A fi gura acima mostra um conjunto de 
cinco nanoestruturas esféricas, de dimensões diferentes, cujos 
raios satisfazem à relação r
n + 1
 = 2rn, em que rn corresponde ao 
raio da esfera indicada pelo número n, n = 1, 2, ..., 5. As esferas 
de 2 a 5 estão conectadas por nanofi os condutores elétricos 
e existe uma chave que, quando fechada, permite a conexão 
dessas esferas à esfera 1. Com a chave fechada, considere as 
cargas das esferas proporcionais aos respectivos raios e que 
inexiste carga nos fi os condutores.
Suponha que, em vez de 5, o sistema descrito tenha N 
esferas, que, antes do fechamento da chave, a esfera 1 tenha 
carga elétrica inicial igual a 1890 vezes da carga do elétron, 
e que, na situação de equilíbrio eletrostático obtido após o 
fechamento da chave, a carga elétrica da esfera 3 seja igual 
a 120 vezes a carga do elétron.
Nessas condições, a quantidade N de esferas é:
A) 6 B) 7
C) 8 D) 9
E) 10
07. (Ufes) O Governo Federal, ao efetuar a restituição de impostos, 
permite que os contribuintes consumam mais. O gasto de cada 
contribuinte torna-se receita para outros contribuintes, que, por 
sua vez, fazem novos gastos. Cada contribuinte poupa 10% 
de suas receitas, gastando todo o resto.
O valor global, em bilhões de reais, do consumo dos 
contribuintes a ser gerado por uma restituição de impostos 
de 40 bilhões de reais é:
A) 36 B) 40
C) 180 D) 360
E) 450
08. (IFSP) Observe a sequência de fi guras.
v Fig. 1
A
B
D
C
A M
P
M
PB
D
C
N Q QN
A
B
D
C
Fig. 2 Fig. 3
ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os pontos 
médios dos lados desse quadrado, obtém-se o quadrado 
MNPQ. Realizando esse procedimento indefi nidamente, a 
soma das áreas de todos os quadrados sombreados dessa 
sequência é igual a 64 2 2cm . A área do quadrado sombreado 
da décima fi gura dessa sequência, em centímetros quadrados, 
é igual a
A) 
2
16
 B) 
2
4
C) 2 D) 4 2
E) 8 2
09. (UFRJ-Adaptado) A região fractal F, construída a partir de um 
quadrado de lado 1 cm, é constituída por uma infi nidade de 
quadrados e construída em uma infi nidade de etapas. A cada 
nova etapa consideram-se os quadrados de menor lado ( L ) 
acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada 
um destes, três novos quadrados de lado 
L
3
. As três primeiras 
etapas de construção de F são apresentadas a seguir.
1 cm
Etapa 1
1 cm
Etapa 2
1 cm
Etapa 3
A área da região fractal F, em cm2, é igual a
A) 1,5 
B) 1,8
C) 2,0 
D) 2,2
E) 2,4
10. (UFSC – Adaptado) Em uma esfera E
1
 de raio R
1
 inscreve-se um 
cubo C
1
. Neste cubo inscreve-se uma esfera E
2
; nesta esfera 
inscreve-se um cubo C
2
 e assim sucessivamente. Os raios das 
esferas assim construídas formam uma progressão geométrica 
infi nita cujo primeiro termo é R
1
. O limite da soma dos termos 
desta progressão geométrica, em função de R
1
, é igual a
A) S
R
= +( )1
2
3 3 .
B) S
R
= −( )1
2
3 3 .
C) S
R
= +( )1
3
3 3 .
D) S
R
= −( )1
3
3 3 .
E) S
R
= +( )1
4
3 3 . R
n
R
n + 1
7
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
Fique de Olho
• (Uerj) O fractal chamado fl oco de neve de Koch é obtido 
a partir de um triângulo equilátero, dividindo-se seus lados 
em 3 partes iguais e construindo-se, sobre a parte do meio 
de cada um dos lados, um novo triângulo equilátero. 
Este processo de formação continua indefi nidamente até a 
obtenção de um fl oco de neve de Koch. Supondo que o lado 
do triângulo inicial meça 1 unidade de comprimento, a área do 
fl oco de neve de Koch formado será, em unidades quadradas, 
equivalente a:
A) 
3
5
( )
 B) 
3
4
( )
C) 2
3
5
( )
 D) 
3
2
( )
Solução:
A área do triângulo equilátero de lado L é A
L=
2 3
4
. Daí, temos:
• Área da fi gura 1: A A1
2
1
1 3
4
3
4
= ⇒ =
(Note: a fi g. 1 tem 3 lados de medida 1)
• Área da fi gura 2: A A2 2
3
4
3
1
3
3
4
3
4
3
3 4
= + ⋅




⋅
⇒ = +
⋅
Note: a fig. 2 tem 3 4 = 12 lados de medida ⋅



1
3
• Área da fi gura 3:
A A3
2
3 3
3
4
3
3 4
12
1
9
3
4
3
4
3
3 4
3
3
= +
⋅
+ ⋅




⋅
⇒ = +
⋅
+
Note: a fig. 3 tem 12 4 = 48 lados de medida ⋅



1
9
• Área da fi gura 4: A
A
3 3
2
3 3 5
3
4
3
3 4
3
3
48
1
27
3
4
3
4
3
3 4
3
3
4 3
3
= +
⋅
+ + ⋅




⋅
⇒
⇒ = +
⋅
+ +
Note: a fig. 4 tem 48 4 = 192 lados de medida ⋅



1
27
E assim, continuadamente, isto é:
Área do fl oco de neve de Koch = A =
3
4
+
3
3 4
+
3
3
+
4 3
3
+...
3 5
P.G. infinita de raz o q=
4
9
∞ ⋅
ã
� ���� �����









Daí, 
A A
A A
∞ ∞
∞ ∞
= + ⋅
−
⇒ = +
⋅
⋅ ⇒
⇒ = +
⋅
⋅ ⇒ =
3
4
3
3 4
1
4
9
3
4
3
3 4
9
5
3
4
3
3 4
9
5
2 3
5
Resposta: C
Aula 22: 
Progressão Geométrica 
(P.G.) – Parte III
Produto dos termos equidistantes dos 
extremos de uma P.G.
Em uma progressão geométrica, quando a soma dos 
índices de dois termos é igual à soma dos índices de outros dois 
termos, os produtos dos respectivos termos são iguais.
Em símbolos: P G
p k t s
a a a ap k t s
. .:
+ = +
⋅ = ⋅



Exemplo:
a
1
· a
11
 = a
2
 · a
10
 = a
3
 · a
9
 = a
4
 · a
8
 = a
6
 · a
6
 = ... = a
11
 · a
1
 = (a
1
)2 · q10
De fato, temos:
I. a a a q a q a qp k
p k k p⋅ = ⋅( ) ⋅ ⋅( ) = ( ) ⋅− − + −1 1 1 1 1 2 2
II. a a a q a q a qt s
t s t s⋅ = ⋅( ) ⋅ ⋅( ) = ( ) ⋅− − + −1 1 1 1 1 2 2
Assim, quando p + k = t + s, teremos a
p
 · a
k
 = a
t
 · a
s
, em 
que a
p
, a
k
, a
t
, a
s
 são termos de uma mesma progressão geométrica. 
Em particular, os extremos a
1
 e a
n
 de uma P.G. e dois outros termos 
dessa mesma P.G., a
p
 e a
k
, tais que p + k = 1 + n, dizemos que 
a
p
 e a
k
 são equidistantes dos extremos e temos que a
p
 · a
k
 = a
1
 · a
n
.
Produtos dos n primeiros termos de 
uma P.G. (Pn)
Em qualquer sequência fi nita, a soma dos índices de dois 
termos equidistantes dos extremos é sempre igual à soma dos 
índices dos extremos. Sendo assim, emuma progressão geométrica, 
o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao 
produto dos extremos. Com base nesse fato, fi ca fácil determinar 
o produto dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, 
conhecendo o produto de seus extremos. Veja:
Considere a P.G. de razão q (a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
). Como a ordem 
dos fatores não altera o produto, podemos escrever:
I. 
P a a a a a
P a a a a a
n n n
n n n n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅





−
− −
1 2 3 1
1 2 2 1
�
�
Multiplicando membro a membro essas duas igualdades e 
associando os fatores, temos:
P a a a a a a a a a an n n n n n( ) = ⋅( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅( )− − −2 1 2 1 3 2 1 2 1…
Observando que os fatores dentro dos parênteses são 
equidistantes dos extremos, ou seja, o produto deles é igual a (a
1
. a
n
), 
podemos escrever:
P a a a a a an n n n
n vezes
( ) = ⋅( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅( )2 1 1 1…� ������ ������
Daí, (P
n
)2 = (a
1
 · a
n
)n, em que P
n
 (produto dos n primeiros 
termos da P.G.) pode ser positivo ou negativo, dependendo dos 
termos e de n.
Caso não conheçamos o produto dos extremos, podemos 
calcular o produto dos n primeiros termos de uma P.G. de outra 
maneira. Veja a seguir:
P
n
 = a
1
 · a
2
 · a
3
 · ... · a
n
P
n
 = a
1
(a
1
 · q) · (a
1
 · q2) · ... · (a
1
 · qn – 1)
C-1 H-2, 3
Aula
22
8
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
Note que são n fatores iguais a a
1
 (um fora dos parênteses 
e n – 1 dentro). Multiplicando, então, as potências de mesma 
base, obtemos:
P
n
 = an
1
 · q1 + 2 + 3 + ... + (n –1)
No expoente da razão q, temos a soma de (n – 1) termos 
de uma P.A. Efetuando essa soma, fi camos com:
P a qn
n
n n
= ⋅
+ −[ ]⋅ −
1
1 1 1
2
( ) ( )
Daí, P a qn
n
n n
= ⋅
−
1
1
2
( )
.
Esta mesma fórmula matemática pode ser vista assim: 
P a qn
n n
= ⋅( )−1 12 , na qual a expressão a qn1 12⋅ − , quando n é ímpar, 
é o termo central dos termos multiplicados.
Exemplos:
1. Em uma P.G., o produto dos termos extremos é 106. Se essa 
P.G. apresenta 40 termos, todos positivos, quantos algarismos 
tem o produto desses termos?
A) 118 
B) 119
C) 120 
D) 121
E) 122
Solução:
Temos que:
I. (a
1
. a
40
) = (a
2
. a
39
) = (a
3
. a
38
) = ... = (a
40
. a
1
) = 106, pois são 
termos equidistantes dos extremos.
Então, sendo P
40
 = a
1
. a
2 
. a
3
. ... . a
40
 o produto procurado:
P
40
. P
40
 = (a
1
. a
40
) . (a
2
. a
39
) . (a
3
. a
38
) . ... . (a
40
. a
1
)
Daí:
P P
vezes
40
2 6 6 6
40
40
2
6 40 24010 10 10 10 10( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ( ) = ( ) =…� ��� ���
Como P
40
 > 0, obtemos: P
zeros
40
120
120
10 1000 0= = …��� ��
Outra Solução:
I. a
1
. a
40
 = 106
II. (P
40
)2 = (a
1
. a
40
)40 ⇒ P
40
 = (a
1
. a
40
)20, pois P
40
 > 0
Daí, P
zeros
40
6 20 120
120
10 10 10000 0= ( ) = = …� �� �� ⇒
⇒ P
40
 = tem 121 algarismos.
Resposta: D
2. Numa P.G. de razão inteira q > 1, sabe-se que a
1
a
n
 = 243, 
log
q 
a
n
 = 6 e log
q 
P
n
 = 20, onde an é o n-ésimo termo de 
P.G. e P
n
 é o produto dos n primeiros termos. Qual a soma 
dos n primeiros termos?
A) 
3 1
6
9 −
B) 
3 1
6
10 −
C) 
3 1
6
8 −
D) 
3 1
3
9 −
E) n.d.a.
Solução:
Temos:
I. log
q
 P
n
 = 20 ⇒ P
n
 = q20
II. log
q
 a
n
 = 6 ⇒ a
n
 = q6
III. a
n
 = a
1
. qn – 1 ⇒ q6 = a
1
. qn – 1 ⇒ a
1
 = q7 – n
IV. P a q q q q q q
n n
n
n
n n
n n
n n
n n
n n
= ⋅ ⇒ = ( ) ⋅ ⇒ = ⇒
− +
−( )
−
− − + −
1
1
2 20 7 2 20
7
2
2
2
2
2
7
nn n
n n
n
ou
n
2
2
2
20
13 40 0
8
5
−
= ⇒
⇒ − + − = ⇒
=
=




Então:
• Se n = 8:
 a
1
. a
n
 = 243 ⇒ q7 – 8 . q6 = 35 ⇒ q5 = 35 ⇒ q = 3 ∈ Z (ok)
• Se n = 5:
 a
1
. a
n
 = 243 ⇒ q7 – 5 . q6 = 35 ⇒ q8 = 35 ⇒ q = ± 358 ∉ Z 
(não convém).
Assim, S a
q
q
S
8 1
8
7 8
8 8
8
1
1
3 1 3
1 3
1
3
3 1
2
= ⋅ −
−





 = ⋅
−
−




= ⋅ −



⇒
⇒ =
−
33 1
6
8 −
Resposta: C
3. Sejam a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
 números reais posit ivos e
p
n
 = a
1
. a
2
. a
3
. ... . a
n
. Se p > 0 é uma constante real, tal que 
p
p
n
n n
n
=
+2
2
, então podemos af i rmar que a sequência 
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
, nessa ordem:
A) forma uma progressão geométrica de razão q = p e
a
p
n
n
=
2
2
.
B) forma uma progressão geométrica de razão q = p e
a
p
n
n
=
2
.
C) forma uma progressão geométrica de razão q = p2 e
a
p
n
n
=
2
.
D) forma uma progressão geométrica de razão q = p2 e
a
p
n
n
=
2
2
.
E) não forma uma progressão geométrica.
Solução:
I. a p
p
a
p
1 1
1 1
1 1
22
2 2
= = ⇒ =
−
II. a p a
p
ppn
n n
n
n
1 1
1
1
 a ...a a2 n n· · ,−
−
−
= ⇒ =� �� �� para n ≥ 2
Daí, a
p
p
a
p
n
n n
n
n n
n
n n
n n n
= ⇒ = ⋅
+
− + −
−
+ −
−
2
2
2
2
2
2
2 21 1
1
1
( ) ( ) n
 
2n
⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅
+ − − − −
−
a p
a p a
n
n n n n n
n
n
n
( ) ( ) )2 2 1
2 1 1
2
 2
 2 p
(n
2n
Logo, temos a sequência 
p p p2 4 6
2 2 2
, , ,... ,





 que é uma P.G. de 
razão q = p2.
Resposta: D
9
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
4. (UFC/2001) Sejam P
n
, P
2n
 e P
3n
 os produtos n, 2 n e 3 n primeiros 
termos, respectivamente, de uma progressão geométrica 
cujo primeiro termo a1 e cuja razão q são números reais 
não nulos. Então, o quociente 
P
P P
n
n n
3
2⋅
 depende:
A) apenas de n.
B) apenas de a1 e n.
C) apenas de q e n.
D) de q, a1 e n.
E) nem de q, nem de a1, nem de n.
Solução:
P
P P
n
n n
3
2⋅
= ⋅
⋅ ⋅ ⋅
−
a
a
n
n
1
3
1
1
2
 q
 q a q
= 
a
3 n(3 n-1)
2
n(n-1)
2
1
2n
2 n(2 n
1
3 n
)
 q
 q
9 n
n
2
2
⋅
⋅
=
−
−





+ −






2
3
2
1
3 2 2
4
2
2
2
9
2
2
2
n
n
n n n
n
a
q
−−





− −






= =
3
2
5
2
3
2
4
2 2
2
2
2
n n n
n
nq q
Então, 
P
P P
n
n n
3
2⋅
 depende apenas de q e n.
Resposta: C
Dízimas periódicas (complemento)
Podemos enxergar as dízimas periódicas como sendo a soma 
de termos de uma P.G. Veja os exemplos:
• 0,2222... = 0,2 + 0,02 + 0,002 + ...
= 
2 2
10
2
102 310
+ + + ...
= 2
1
10
1
102 3
 
1
10
⋅ + + +



...
= 2
1
10
2 
1
10
1
 
1
10
 
10
9
⋅
−
= ⋅ ⋅
∴ =0 222 2
9
, ...
• 1,251515151... = 1,2 + 0,051 + 0,00051 + 0,0000051 + ...
= 1,2 + 51 · 
1
10
1
10
1
103 5 7
+ + +



...
= 1,2 + 51 · 
1
10
1
1
10
3
2
−
= 1,2 + 51 · 
1
10 993
 
102⋅
= 1,2 + 
51
990
= 
12 1
10
51
990
1200 51 12
990
 (100
 99
⋅ −
⋅
+ = + −)
∴ = −1 25151 1251 12
9900
, ...
Exercício Resolvido
01. Sabendo que m
n
 é a fração irredutível equivalente ao número 
decimal 0,097222..., o valor de n – m é igual a:
A) 61 B) 62
C) 63 D) 64
E) 65
Solução:
m
n
m
n
m
n
= ⇒ = − ⇒
⇒ = = =
0 0972 22
00972 0097
9000
875 5
9000 5
175
1800
3
, ...
:
:
55
360
7
72
7
72
⇒ = ⇒ =={mn mn
Logo, n – m = 72 – 7 = 65
Resposta: E
COMPLEMENTO ESPECIAL
Em algumas sequências infi nitas, é possível dividir cada 
termo em duas partes e observar as primeiras partes formando uma 
P.A. e as segundas partes formando uma P.G. Chamaremos tais 
sequências de “P.A.G.” e iremos calcular a soma de seus infi nitos 
termos, quando as partes em P.G. tiverem razão entre –1 e 1 
(P.G. convergente).
Exemplo:
Sendo x > 1, calcule o limite da soma 1
2 3 4
2 3
+ + + +
x x x
...
Observe que os numeradores (1, 2, 3, 4, ...) estão em P.A. 
e os respectivos denominadores (1, x, x2, x3, ...) estão em P.G. de 
razão q = x. Para calcular essa soma S, multiplique apenas os termos 
em P.G. pela razão q = x, ou seja, multiplique S por 
1
x
, obtendo o 
produto
1
x
S⋅ . Veja:
S
x x x
= + + + +1 2 3 4
2 3
... ( I )
Multiplicando ambos os membros por 
1
x
, obtemos:
1 1 2 3 4
2 3 4x
S
x x x x
⋅ = + + + + ... ( II )
Subtraindo, membro a membro, a equação ( II ) da 
equação ( I ), fi camos com: 
S
x
S
x x x x x x x x
− ⋅ = + −



+ −



+ −



+ −

1
1
2 1 3 2 4 3 5 4
2 2 3 3 4 4

+ ...
(Procure associar as frações de mesmo denominador)
Efetuando as operações nos parênteses, temos:
S
x x x x x
1
1
1
1 1 1 1
2 3 4
−



= + + + + + ...
Observando que o segundo membro dessa última igualdade 
é uma P.G. convergente (razão q = 
1
x
 está entre –1 e 1, pois x > 1), 
encontramos:
S
x
x
S
x
S
x
x
S
x
x
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
2 2
−



=
−
⇒ =
−



⇒ =
−



⇒ =
−




2
10
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
Exercícios de Fixação
01. (UFRN) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é considerado um 
dos maiores matemáticos de todos os tempos. Aos 10 anos 
de idades, ele apresentou uma solução genial para somar 
os números inteiros de 1 a 100. A solução apresentada por 
Gauss foi 5050, obtida multiplicando-se 101 por 50, como 
sugere a fi gura a seguir.
101101
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 49 + 50 + 51 + 52 + ... + 97 + 98 + 99 + 100
101101
101101
101101
101101
Usando a ideia de Gauss como inspiração, responda quanto 
vale o produto:
1 × 2 × 4 × 8 × 16 × 32 × 64 × 128
A) 4129 B) 4128
C) 1294 D) 1284
02. Alguns números positivos foram inseridos entre 1/32 e 64. 
Sabe-se que na sequência obtida cada termo que foi inserido 
é a raiz quadrada do produto dos seus dois vizinhos, anterior 
e posterior. Se o produto de todos os termos da sequência é 
igual a 256, o número de termos inseridos foi:
A) 13 B) 14
C) 15 D) 16
E) 17
03. Considere uma progressão geométrica, em que o primeiro 
termo é a, a > 1, a razão q, q > 1, e o produto de seus termos 
é c. Se log
a
b = 4, log
q
b = 2 e log
c
b =0,01, o número de termos 
dessa progressão é igual a
A) 20 B) 16
C) 12 D) 8
E) 4
04. O número decimal periódico N = 121,434343... equivale a
A) 
12011
99
 B) 
12022
99
C) 
12033
99
 D) 
12044
99
E) 
12055
99
05. (Uerj) Considere a seguinte soma infi nita:
1
2
2
4
3
8
4
16




+ 



+ 



+ 



+ ...
No gráfi co I, a seguir, cada parcela desta soma é representada 
pela área de um retângulo, e a soma infi nita é determinada 
pela soma das áreas desses retângulos. No gráfi co II, embora 
a confi guração dos retângulos tenha sido alterada, as áreas 
se mantêm iguais.
1
1
1
1
1
1
11 11
A
1
I
(os gráficos estão representados fora de escala)
II
A
2
A
3
1
1
1
1
1
2
1
4
1
8
1
16
Com base nessas informações, podemos afi rmar que a soma 
infi nita tem o seguinte valor:
A) 
3
2
B) 2
C) 
5
2
D) 4
Exercícios Propostos
01. Digitando em uma calculadora um número y, depois a tecla yx , 
a seguir um número x e, fi nalmente, a tecla = , obtemos 
como resultado o número yx. Um estudante necessita calcular 
o produto de todas as potências de base 2 e expoente 
natural n, com 1 ≤ n ≤ 20, isto é, 21 · 22 · 23 · 24 · ... · 220. 
Qual das alternativas a seguir apresenta uma sequência de 
teclas que devem ser acionadas na calculadora para se obter 
esse resultado?
A) 6 0 =2 yx
B) 6 1 =2 yx
C) 2 1 0 =2 yx
D) 1 4 2 =2 yx
E) 1 8 3 =2 yx
02. Seja S = (a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
, ...) a sequência defi nida por a = 51
e a = an+1 n , para n ≥ 1. O produto dos infi nitos termos dessa 
sequência é igual a:
A) 1 
B) 10
C) 20
D) 25
E) 5
03. (Cesgranrio) Considere uma progressão geométrica de 
5 termos e razão positiva, onde a soma do primeiro com o 
terceiro termo é 9/2 e o produto de seus termos é 1024. 
O produto dos três termos iniciais dessa progressão é igual a:
A) 1/2 B) 1
C) 2 2 D) 4 2
E) 8 2
11
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
04. Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e 
razão igual a 2. Se o produto dos termos dessa progressão é 
239, então o número de termos é igual a:
A) 12 
B) 13
C) 14 
D) 15
E) 16
05. No produto P = 2
1
7 2 ... 2
3
7
(2n+1)
7⋅ ⋅ ⋅ , os denominadores dos 
expoentes são todos iguais a 7, e os numeradores são os 
números ímpares consecutivos de 1 até 2 n + 1. Qual o menor 
inteiro positivo n para o qual P é maior que 1024?
A) 7 B) 8
C) 9 D) 10
E) 11
06. Sendo S = 1 + 2x + 3x2 + … (0 < x < 1), pode-se afi rmar que:
A) S = 
1
(1 x)2−
 B) S = 
x
(1 x)2−
C) S = 
2
(2 x)2–
 D) S = 
1
(2 x)2–
E) S = 
x
x( )2 2−
07. Se n é um número inteiro positivo, o produto de todos os 
números positivos da forma 52
n
é
A) 5 
B) 25
C) 
1
5
D) 
1
25
08. O radical 121 121 121 1213333 ... equivale a:
A) 11 
B) 11 113
C) 121 
D) 11 1213
E) 121 1213
09. (Ibmec-RJ) Uma sequência de 5 (cinco) números inteiros é 
tal que:
• os extremos são iguais a 4;
• os três primeiros termos estão em progressão geométrica 
e os três últimos em progressão aritmética;
• a soma desses cinco números é igual a 26.
É correto afi rmar que a soma dos números em progressão 
geométrica é igual a:
A) –8 
B) –2
C) 8 
D) 12
E) 16
10. (Unesp – Adaptado) Para cada n natural, seja o número 
Kn
n vezes n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅ ( ) ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ( ) ⋅3 3 3 3 2 2 2 2... ...
� ���� ���� � ���� �����
.
Se n → +∞, para que valor se aproxima Kn ?
A) 64 B) 3 2−
C) 1 D)
3
2
E) 
6
3
Fique de Olho
• Calcule o valor da soma de n parcelas.
S = 1 + 11 + 111 + ... + 111 ... 1.
Solução:
Temos:
1 = 
9
9
10 1
9
= −
11 = 
99
9
10 1
9
2
= −
..................................
111 1
10 1
9
...
n
n
��� =
−
Daí, S = 
10
9
10
9
10
9
1
9
1
9
1
9
2
+ + +





 − + + +








... ...
n
n vezes
� ��� ���


S = 
10
9
1
10 1 9
 
10n
·
−
−





 −
n
S = 
10 10
81
9
81
10 9 10
81
1 1n nn
S
n+ +− − ⇒ = − −
Progressão Geométrica (PG) – Parte III
Seção Videoaula
Progressão Geométrica (PG) – Parte II
12
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
Aula 23: 
Porcentagem
Introdução
A expressão por cento, simbolizada por %, é muito comum 
em nosso cotidiano; basta abrir jornais, revistas, ligar o rádio, assistir 
a debates ou ligar a televisão. Muitas vezes, apenas números não nos 
dão informações signifi cativas. Entretanto, uma relação entre eles, 
traduzida em percentuais, permite-nos analisar e avaliar situações 
sobre as quais desejamos obter melhores informações.
Veja algumas notícias:
• A taxa de juros para empréstimos bancários está por volta de 
8,23%.
• O índice da bolsa de valores teve alta de 2,8%.
• A taxa de hoje para aplicações na caderneta de poupança é de 
0,51%.
Porcentagem
Chama-se porcentagem ou percentagem à porção de um 
dado valor, que se determina sabendo-se o quanto corresponde a 
cada 100.
p% = 
p
100
 (lê-se: p por cento)
Exemplo:
De um grupo de 100 jovens, 28 praticam natação. Isso 
signifi ca que 28% (lê-se “28 por cento”) dos jovens praticam 
natação.
Porcentagem de um número 
em relação a outro
A porcentagem de um número a em relação a outro b é 
dada pela razão 
a
b
.
A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão 
centesimal. São exemplos de razões centesimais:
51
100
 = 51% 
7
100
 = 7%
135
100
 = 135% 
27 9
100
,
 = 27,9%
Tais razões estão expressas em taxas porcentuais ou taxas 
percentuais.
Quando o denominador de uma fração não é 100, pode-se 
encontrar a taxa de porcentual que representa essa fração como 
no exemplo a seguir.
Escreva a taxa porcentual que corresponde a:
• 
1
4
 = 0,25 = 
25
100
 = 25%
• 
3
2
 = 1,5 = 
150
100
 = 150%
• 
3
8
 = 0,375 = 
37 5
100
,
 = 37,5%
C-1 H-3, 4
Aula
23
Assim:
• p% de c é 
P
100
 c⋅
• Após um aumento de p% sobre c, passamos a ter:
c
p p+ ⋅ = +



⋅
100
1
100
 c c
• Após um desconto de p% sobre c, passamos a ter:
c
p p− ⋅ = −



⋅
100
1
100
 c c
• Após n aumentos sucessivos de p% sobre c, passamos a ter:
1
100
+



⋅p
n
 c
Em geral, para obter um resultado p% maior que certo valor 
x, devemos multiplicar x por (1 + p%).
Veja:
x · (1 + p%) = x + p x%�
valor inicial
aumento
Já quando multiplicamos certo valor x por k, o aumento 
é (k – 1) · x.
Veja:
valor inicial
aumento
x · k = x · [1 + (k – 1)]
 = x + ( )k x− ⋅1 � ����
Note:
• x · 3,5 nos dá um aumento de (3, 5 – 1) = 2,5 = 
250
100
 = 250% 
sobre x.
Veja:
x · 3,5 = x · (1 + 2,5)
 = x + 2,5x
 
25
10
250
100
250= = %
 Para majorar o valor do picolé que custa R$ 1,80 em 40%, 
devemos multiplicar seu valor atual por (1 + 40%) = 1,4.
Veja:
 1,80 · 1,4 = 1,80 · (1 + 0,4)
 = 1,80 + 0,4 · 1,80
valor atual
aumento = 
4
10
40
100
40= = %
Exemplos:
1. Por quanto eu devo multiplicar certo valor x para que 
aumente 32%?
Solução:
Sendo n o número procurado, devemos ter:
n · x = x + 
32
100
 x⋅ ⇒ n · x = x(1 + 0,32) ⇒ n = 1,32
Resposta: 1,32
13
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
2. Ao multiplicar certo valor por 2,4, qual o aumento percentual 
que estamos aplicando a este valor?
Solução:
Sendo x o valor, devemos ter:
aumento = = =
14
10
140
100
140%
x · 2,4 = x · (1 + 1,4)
 = x + 1,4x
Resposta: 140%
3. (Enem) O consumo total de energia nas residências 
brasileiras envolve diversas fontes, como eletricidade, gás 
de cozinha, lenha etc. O gráfico mostra a evolução do 
consumo de energia elétrica residencial, comparada com 
o consumo total de energia residencial, de 1970 a 1995.
*tep = toneladas equivalentes de petróleo
 valores calculados através dos dados obtidos de: 
 http:/infoener.iee.usp.br.1999
energia total
energia elétrica
C
on
su
m
o 
de
 E
ne
rg
ia
 (x
10
6 t
ep
)
1970 1975 1980 1985 1990 1995
50
40
30
20
10
0
Verifi ca-se que a participação percentual da energia elétrica 
no total de energia gasto nas residências brasileiras cresceu 
entre 1970 e 1995, passando, aproximadamente, de:
A) 25% para 35% B) 40% para 80%
C) 10% para 40% D) 10% para 60%
E) 20% para 60%
Solução:
Em 1970, o consumo de energia elétrica era cerca de 2,5 · 106 tep, 
de um total aproximado de 25 ·106 tep, isto é, 
2 5 10
25 10
6
6
, ⋅
⋅
tep
tep
 = 
1
10
 = 
10
100
 = 10%. Já em 1995, o percentual era cerca de 
20 10
32 10
5
8
0 625
62 5
100
62 5
6
6
⋅
⋅
= = = = tep
 tep
,
,
, %.
Logo, aproximadamente, o consumo de energia elétrica 
passou de 10% para 60%.
Resposta: D
4. (Enem) A distribuição média, por tipo de equipamento, 
do consumo de energia elétrica nas residências no Brasil é 
apresentada no gráfi co.
Chuveiro
25%
Geladeira
30%
Lâmpadas
incandescentes
20%
Lâmpadas
incandescentes
20%
TV
10%
Máquina 
de lavar
5%
Outros 
5%
Ferro
elétrico
5%
Como medida de economia, em uma residência com 
4 moradores, o consumo mensal médio de energia elétrica 
foi reduzido para 300 kWh. Se essa residência obedece à 
distribuição dada no gráfi co, e se nela há um único chuveiro 
de 5000 W, pode-se concluir que o banho diário de cada 
morador passou a ter uma duração média, em minutos, de:
A) 2,5 B) 5,0 
C) 7,5 D) 10,0
E) 12,0
Solução:
I. Consumo do chuveiro = 
25
100
 · 300 = 75 kWh
II. Potência = 
Energia
Tempo
⇒ 5000 W = 
75000 Wh
Tempo
⇒
Tempo = 15 h por mês ou 
15
30
h
dias = 0,5 h por dia
III. Como são quatro moradores, a duração média do banho 
diário será: 
0 5
4
30
4
7 5
, min
, min
h = =
Exercícios de Fixação
01. (Enem) Quanto tempo você fi ca conectado à Internet? Para 
responder a essa pergunta foi criado um miniaplicativo 
de computador que roda na área de trabalho, para gerar 
automaticamente um gráfico de setores, mapeando o 
tempo que uma pessoa acessa cinco sites visitados. Em um 
computador, foi observado que houve um aumento signifi cativo 
do tempo de acesso da sexta-feira para o sábado, nos cinco 
sites mais acessados. A seguir, temos os dados do miniaplicativo 
para esses dias.
Tempo de acesso na sexta-feira (minuto) Tempo de acesso na sábado (minuto)
Site W
38
Site W
57
Site X
12
Site X
21
Site Y
30 Site Y
51
Site Z
10
Site Z
11
Site U
40
Site U
56
Tempo de acesso na sexta-feira (minuto) Tempo de acesso na sábado (minuto)
Site W
38
Site W
57
Site X
12
Site X
21
Site Y
30 Site Y
51
Site Z
10
Site Z
11
Site U
40
Site U
56
Analisando os gráficos do computador, a maior taxa de 
aumento no tempo de acesso, da sexta-feira para o sábado, 
foi no site
A) X B) Y
C) Z D) W
E) U
14
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
02. (Uerj) 
MÉDIA DE DESEMPREGADOS POR ANO
7,1 milhões
2012 2013 2014 2015 2016 ano
7 milhões
8,6 milhões
11,8 milhões
6,7 milhões
m
éd
ia
 a
nu
al
A partir do gráfi co, o aumento da média anual de desempregados 
de 2014 para 2016 está mais próximo do seguinte percentual: 
A) 68% B) 76%
C) 80% D) 84%
03. Em um período em que os preços subiram 82%, os salários de 
certa categoria aumentaram apenas 30%. Para que os salários 
recuperem o poder de compra, eles devem ser aumentados em:
A) 40% B) 46%
C) 52% D) 58%
E) 64%
04. Uma fruta in natura possui 80% de sua massa composta de 
água e, se for desidratada, a água se reduz a 10% da massa 
após esse processo. Qual é a massa (em gramas) dessa fruta 
in natura que corresponderia a uma porção de 100 g dessa 
mesma fruta em sua forma desidratada? 
A) 900 g B) 890 g
C) 800 g D) 450 g
E) 170 g
05. (PUC–SP) Chama-se renda per capita de um país a razão 
entre seu produto interno bruto (PIB) e sua população 
economicamente ativa. Considerando que, no período de 1996 
a 2010, a renda per capita de certo país aumentou em 36%, 
enquanto o seu PIB aumentou em 56,4%. É correto afi rmar 
que, neste mesmo período, o acréscimo percentual da sua 
população economicamente ativa foi de
A) 11,5% B) 15%
C) 16,5% D) 17%
E) 18,5% 
Exercícios Propostos
01. (UFPR) O gráfi co a seguir representa a velocidade de um veículo 
durante um passeio de três horas, iniciado às 13h00.
13h00
Ve
lo
ci
da
de
(K
m
/h
)
35
40
45
50
55
60
65
14h00
tempo
15h00 16h00
De acordo com o gráfi co, o percentual de tempo nesse 
passeio em que o veículo esteve a uma velocidade igual ou 
superior a 50 quilômetros por hora foi de: 
A) 20% B) 25%
C) 30% D) 45%
E) 50%
02. (Unicamp) Os preços que aparecem no cardápio de um 
restaurante já incluem um acréscimo de 10% referente ao total 
de impostos. Na conta, o valor a ser pago contém o acréscimo 
de 10% relativo aos serviços (gorjeta). Se o valor total da conta 
for p reais, o cliente estará desembolsando pelo custo original 
da refeição, em reais, a quantia de 
A) p 1 20, .
B) p 1 21, .
C) p 0 80, .
D) p 0 81, .
03. (Vunesp) A massa de gordura de uma pessoa corresponde a 
30% de sua massa total. Essa pessoa, pesando 110 kg, fez um 
regime e perdeu 40% de sua gordura, mantendo os demais 
índices inalterados. Ao fi nal do regime, essa pessoa pesava:
A) 97 kg 
B) 96,8 kg
C) 96,6 kg 
D) 96,4 kg
E) 96,2 kg
04. (IFSP) O gráfico a seguir apresenta dados referentes aos 
funcionários de uma empresa.
Têm curso
técnico
70
60
50
40
30
20
10
0
Não têm curso
técnico
homens
mulheres
Analisando o gráfi co, pode-se afi rmar que:
A) 40% dos homens cursaram uma escola técnica.
B) 57% das mulheres não cursaram uma escola técnica.
C) 75% do total dos funcionários cursaram uma escola técnica.
D) 43% das mulheres cursaram uma escola técnica.
E) 50% do total de funcionários são homens.
05. (Unesp) Em um dia de aula, faltaram 3 alunas e 2 alunos porque 
os cinco estavam gripados. Dos alunos e alunas que foram à 
aula, 2 meninos e 1 menina também estavam gripados. Dentre 
os meninos presentes à aula, a porcentagem dos que estavam 
gripados era 8% e, dentre as meninas, a porcentagem das 
que estavam gripadas era 5%. Nos dias em que a turma está 
completa, a porcentagem de meninos nessa turma é de 
A) 52%.
B) 50%.
C) 54%.
D) 56%.
E) 46%.
15
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
06. (Enem)
A mensagem digitada no celular, enquanto você dirige, 
tira a sua atenção e, por isso, deve ser evitada. Pesquisas 
mostram que um motorista que dirige um carro a uma 
velocidade constante percorre “às cegas” (isto é, sem ter visão 
da pista) uma distância proporcional ao tempo gasto ao olhar 
para o celular durante uma digitação da mensagem. Considere 
que isso de fato aconteça.Suponha que dois motoristas (X e Y) 
dirigem com a mesma velocidade constante e digitam a mesma 
mensagem em seus celulares. Suponha, ainda, que o tempo 
gasto pelo motorista X olhando para seu celular enquanto digita 
mensagem corresponde a 25% do tempo gasto pelo motorista 
Y para executar a mesma tarefa.
Disponível em: <http://g1.globo.com>. Acesso em: 21 jul. 2012. Adaptado.
A razão entre as distâncias percorridas às cegas por X e Y, nessa 
ordem, é igual a
A) 
5
4
 B) 
1
4
C) 
4
3
 D) 
4
1
E) 
3
4
07. (Enem) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento 
lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de 
R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago 
em dois investimentos: poupança e CDB (certifi cado de depósito 
bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
Rendimento 
mensal (%)
IR (Imposto de renda)
POUPANÇA 0,560 ISENTO
CDB 0,876 4% (sobre o ganho)
Para o jovem investidor, ao fi nal de um mês, a aplicação mais 
vantajosa é 
A) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
B) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
C) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
D) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
E) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
08. (IFSP) Uma empresa fez uma pesquisa para saber a opinião de 
seus clientes sobre o setor de atendimento ao cliente. Parte 
desses dados estão apresentados na tabela a seguir.
Avaliação Entrevistados Porcentagem (%)
Excelente 30
Ótimo 20
Muito Bom 40
Bom 20
Ruim 10
Analisando os dados, pode-se deduzir que o total de clientes 
entrevistados é de:
A) 300 B) 250
C) 200 D) 150
E) 100
09. (UFPR) Em uma pesquisa com 500 pessoas, 50% dos homens 
entrevistados responderam “sim” a uma determinada 
pergunta, enquanto 60% das mulheres responderam “sim” 
à mesma pergunta. Sabendo que, na entrevista, houve 280 
respostas “sim” a essa pergunta, quantas mulheres a mais que 
homens foram entrevistadas? 
A) 40 
B) 70
C) 100 
D) 120
10. (UFG) Considere a gasolina comum, usada no abastecimento 
dos veículos automotores, contendo 25% de álcool e 75% de 
gasolina pura. Para encher um tanque vazio, com capacidade 
de 45 litros, quantos litros de álcool e de gasolina comum 
devem ser colocados, de modo a obter-se uma mistura 
homogênea composta de 50% de gasolina pura e de 50% 
de álcool?
Fique de Olho
• Se o raio de uma esfera aumentar de 10%, de quanto 
aumentarão:
a) a sua área?
b) o seu volume?
Sabendo que a área da superfície esférica é dada por S = 4 πR2 e 
o volume da esfera é V = 
4
3
3πR , onde R é o raio da esfera, temos:
a) 
S R
S R
R R R
1 1
2
2 2
2
2 1 1
4
4
10
100
11
=
=
= + =







π
π
 R1· ,
Daí, S
2
 = 4 π · (1,1 R
1
)2 ⇒ S
2
 = 1,21 · S
1
⇒ S
2
 = S S
aumento
1 1
21
21
100
+
=
�
·
%
b) 
V R
V R
R R
1 1
3
2 2
3
2 1
4
3
4
3
11
=
=
=








π
π
,
Daí, V
2
 = 
4
3
π · (1,1 R
1
)3 ⇒ V
2
 = 1,331 · V
1
⇒ 
⇒ V
2
 = V V
aumento
1 10 331
33 1
100
33 1
+
= =
,
, , %
�
Resposta:
a) 21% b) 33,1%
Seção Videoaula
Porcentagem e suas Aplicações
16
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
Aula 24: 
Lucros e Juros Simples
Lucro
Chamamos de lucro (L) em uma transação comercial de 
compra e venda a diferença entre o preço de venda (V) e o preço 
de custo (C). Assim, podemos escrever: 
• Lucro = preço de venda – preço de custo, isto é:
L = V – C
Observação:
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de 
prejuízo.
• Preço de venda = Preço de custo + Lucro, isto é:
V = C + L
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem em 
relação ao preço de custo ou em relação ao preço de venda das 
seguintes maneiras:
Percentual de lucro sobre o custo = 
LUCRO
PREÇO DE CUSTO
Percentual de lucro sobre a venda = 
LUCRO
PREÇO DE VENDA
Exemplos:
1. João comprou uma bicicleta por R$ 180,00 e a vendeu por 
R$ 216,00. Nesse caso, temos:
A) Lucro (L) de João na transação:
L = V – C → L = 216 – 180 → L = 36 reais. 
B) A porcentagem de lucro sobre o preço de custo:
L
C
 = 
LUCRO
PREÇO DE CUSTO
 = 
36
180
0 2= , → L
C
 = 
20
100
 = 20%. 
C) A porcentagem de lucro sobre o preço de venda.
L
V
 = 
LUCRO
PREÇO DE VENDA
 = 
36
116
≅ 0,310 → L
V
≅
31
100
 = 31%
2. Sabe-se que o preço de venda (V) é igual ao preço de custo (C), 
mais o lucro (L). Sendo assim, um lucro de 20% sobre o preço 
de venda corresponde a um lucro de quanto sobre o preço de custo?
Solução:
I. L L V= ⋅ ⇒ =
20
100
0 2 V ,
II. V = C + L ⇒ V = C + 0,2 V ⇒ C = 0,8 V
III. 
25
100
Lucro
Custo
V
V
L
C
L L= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅0 2
0 8
1
4
1
4
25
,
,
%
 
 
C C
Resposta: 25%
C-1 H-3, 4
Aula
24
3. Um comerciante quer fazer uma promoção dando um desconto 
de 15% sobre o preço de tabela em todo o seu estoque. 
Qual o fator que esse comerciante deve utilizar para 
multiplicar o preço de tabela?
Solução:
Sendo x o preço de tabela, o da promoção será:
x – 15% · x = x (1 – 0,15)
= x · 0,85
Note:
O preço da promoção será 0,85 = 85% do preço de tabela.
Resposta: 0,85
4. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é 
R$100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço 
de custo deste bem. O valor do preço de custo é:
A) R$ 25,00
B) R$ 70,50
C) R$ 75,00
D) R$ 80,00
E) R$ 125,00
Solução:
I. Lucro = ganho = 25% · C = 0,25 C
II. V = 100
III. V = C + L → 100 = C + 0,25 C → 1,25 C = 100 → C = 80
Resposta: D
5. (Cesgranrio) Em um período em que os preços subiram 82%, 
os salários de certa categoria aumentaram apenas 30%. Para 
que os salários recuperem o poder de compra, eles devem ser 
aumentados em:
A) 40%
B) 46%
C) 52%
D) 58%
E) 64%
Solução:
I. Supondo os preços inicialmente iguais a 100 unidades 
monetárias, eles passaram a ser 100 + 
82
100
 · 100 = 182 
unidades monetárias.
II. Supondo o salário inicialmente igual a 100 unidades 
monetárias, ele passou a ser 100 + 
30
100
 · 100 = 130 unidades 
monetárias.
III. O poder de compra inicial será:
Salário inicial
Preço inicial
= =100
100
1
(O salário inicial é sufi ciente para adquirir as compras uma vez)
IV. O poder de compra passou a ser:
Salário inicial
Preço final
= 130
182
Daí, sendo x % o aumento procurado, devemos ter:
130
100
130
182
+ x ·
 = 1 → 1,3 x + 130 = 182 → x = 40
Logo, o novo salário deve ser aumentado em 40%.
Resposta: A
17
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
Juros simples
Suponhamos que uma pessoa deseje comprar uma geladeira 
e não disponha de dinheiro sufi ciente para pagamento à vista. 
Nessas condições, ela pode efetuar a compra a prazo ou tentar um 
empréstimo em um banco. Em qualquer um dos casos, a pessoa 
geralmente paga uma quantia – além do preço da geladeira – 
a título de juros. O valor desses juros é justifi cado pelo prazo obtido 
para o pagamento ou pelo “aluguel” do dinheiro emprestado.
Suponhamos agora que sobre uma quantia devam ser 
calculados juros simples, a uma taxa fi xa por período, durante certo 
número de períodos.
Isso signifi ca que os juros correspondentes a cada um dos 
períodos serão sempre calculados sobre a quantia inicial, e só serão 
incorporados a ela ao fi nal do último período.
Dizemos, portanto, que nesse regime há pagamento de 
juros constantes por períodos iguais.
Cálculo dos juros simples
Juro é a remuneração financeira recebida como 
compensação pelo empréstimo de um capital durante certo tempo.
Quando o regime é de juros simples, o cálculo dos juros é 
feito sempre sobre o capital inicial.
Sendo assim, para um capital inicial C
o
, emprestado à 
taxa i, todos os aumentos da dívida serão: iguais a i · C, não 
importando a época do aumento. Lembre-se: taxa i significa 
a porcentagem de aumento.
Exemplo:
José emprestou C
o
 = 1000 reais a Marcos à taxa de 4% ao mês 
(i = 4% ao mês), em regime de juros simples. Assim, todo 
mês a dívida de Marcos para com José irá aumentar sempre 
4
100
40⋅ =1000 reais, não importando o mês. 
Sendo C
n
 o total dadívida de Marcos, após n aumentos (n meses), 
temos que:
C
o
 = 1000
C
1
 = 1000 + 40 = 1040
C
2
 = 1040 + 40 = 1080
C
3
 = 1080 + 40 = 1120
..............................................
aumento constante
aumento de número n
Total atual da dívida (Montante atual)
Montante após o próximo aumento
C
n
 = C
n – 1
 + 40�
Em geral, para um capital inicial C
o
 aplicado à taxa i, em 
regime de juros simples, temos:
próximo aumento
montante atual
próximo montante
constante
C
n + 1
 = C
n
 + i o C⋅�
Assim, a sequência de montantes (C
o
, C
1
, C
2
, C
3
, ..., C
n
, ...) 
é uma P.A. de razão R = i · C
o
, pois cada termo é o anterior, mais 
uma constante.
Daí, usando a fórmula do termo geral da P.A., obtemos:
C
n
 = C
o
 + (n – o) · R ⇒ C C nn = + ⋅ ⋅0 i Co
Onde:
• Cn é o montante (total da dívida) após n aumentos.
• Co é o capital inicial.
• n é o número de aumentos.
• i é a taxa de juros (porcentagem de aumento).
Observação:
i · C
o
 são os juros pagos em 1 aumento; J = n · i · C
o
 são 
os juros pagos em n aumentos. Portanto:
Montante = Capital inicial + Juros
Exemplos:
1. Ao aplicar um capital de R$ 1.000,00 durante 3 meses, à taxa 
de 2% ao mês a juros simples, temos:
Capital
N mero
 inicial: C
 de aumentos: n = 3 (3 meses
o = 1000
ú ,, 3 aumentos)
Taxa (porcentagem de aumento): i = 2% ao m sê




Daí:
• Cada aumento será de i · C
o
 = 
2
100
 1000⋅ = 20 reais.
• Os juros pagos em 3 meses serão n · i · C
o
 = 3 · 20 = 60 reais.
• O montante da aplicação após 3 meses será:
 C
3
 = C
o
 + n · i · C
o
⇒ C
3
 = 1000 + 60 ⇒ C
3
 = 1060 reais.
2. Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de 
R$ 2.400,00, comprometendo-se a pagar a dívida em 15 meses, 
à taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Assim, temos:
C
n
o =
= =
2400
15
3
5 (Note: a cada 3 meses, 1 aumento. 
Em 15 mesees, 5 aumentos)
i ao trimestre=






 6%
C
n
 = C
o
 + n · i · C
o
⇒ C
5
 = 2400 + 5
1
 
6
100
 2400
 aumento
5 aumentos
⋅ ⋅
� ��� ���
� ���� ����
⇒
C
5
 = 2.400 + 720
∴ C
5
 = 3120 reais
Ao fi nal dos 15 meses, o comerciante pagará um montante 
de R$ 3.120,00, sendo R$ 720,00 de juros.
Exercícios de Fixação
01. (FGV) Um lucro de 30% sobre o preço de venda de uma 
mercadoria representa que porcentagem sobre o preço de 
custo da mesma mercadoria? 
A) 30%
B) 15%
C) 42,86%
D) 7,5%
E) 21,42%
18
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
02. (UEG) Um comerciante vende um produto a R$ , .25 00 Ele tem 
um gasto mensal total de R$ . , .6 000 00 A quantidade de 
produtos que ele deve vender por mês para ter um lucro mensal 
de 20% é 
A) 48 B) 240
C) 56 D) 288
E) 200
03. (EPCAR) Uma revendedora de automóveis usados apresenta 
um modelo e o anuncia por x reais. Para atrair clientes,
a revendedora oferece duas formas de pagamento:
Forma de 
pagamento
Valor
À vista 10% de desconto sobre o preço anunciado
Cartão de 
crédito
Com acréscimo de 20% sobre o preço 
anunciado, sendo o total dividido em
10 parcelas iguais
Um cliente comprou um automóvel e optou pelo pagamento 
no cartão de crédito em 10 parcelas iguais de R$ . , .3 240 00
Considerando as informações anteriores, é correto afi rmar que 
A) o valor x anunciado pela revendedora é menor que 
R$ . , .25 000 00
B) se esse cliente tivesse optado pelo pagamento à vista, então 
ele gastaria mais de R$ . ,24 500 00 com essa compra. 
C) a opção que esse comprador fez usando o cartão de crédito 
representou um acréscimo de 30% sobre o valor que seria 
pago à vista. 
D) se o cliente tivesse pago à vista, ao invés de utilizar o cartão 
de crédito, então teria economizado mais de R$ . , .8 000 00
04. O preço de um aparelho de TV, quando comprado à vista, 
é de R$ 1.500,00. A loja fi nancia o pagamento em três 
prestações mensais de R$ 575,00, sendo a primeira paga 
um mês após a compra. Quais os juros simples mensais 
embutidos no fi nanciamento:
A) 3,0% B) 3,5%
C) 4,0% D) 4,5%
E) 5,0%
05. (UEPG – Adaptado) Marcelo tinha um capital de R$ 5000,00. 
Parte desse capital ele aplicou no banco A, por um ano, à taxa 
de juros simples de 2% ao mês, obtendo R$ 360,00 de juros. 
O restante aplicou no banco B, também pelo período de 
1 ano, à taxa de juros simples de 20% ao ano. Com base nesses 
dados, qual foi o montante referente às duas aplicações?
Exercícios Propostos
01. (FGV) Um supermercado fez a seguinte oferta para a compra 
de determinada marca de suco de laranja em caixa de 1 litro:
R$ 3,60
Compre
6 e lhe
damos
2 a mais
Re
pr
od
uç
ão
/F
G
V
Expresse, em porcentagem, o desconto obtido por unidade 
em relação ao preço original, para quem comprar 8 sucos de 
laranja.
02. (Uespi) O dono de uma loja de departamentos aumentou o 
preço de um artigo em d%. Decorrido certo período, observou 
que não foi vendida nenhuma unidade desse artigo. Decidiu, 
então, anunciar um desconto, de tal modo que o preço passasse 
a ser r% inferior ao preço de antes do aumento. O desconto 
anunciado foi de:
A) 
100
100
( )
%
d r
d
+
+
 B) 
100
100
( )
%
d r
r
+
+
C) 
100 100
100
( )
%
+
+
r
d
 D) 
100 100
100
( )
%
+
+
d
r
E) 
100
100
( )
%
d r
d r
+
+ +
03. (ESPM) Um fazendeiro vendeu dois touros pelo mesmo preço. 
Num deles obteve um lucro de 50% sobre o preço de venda 
e no outro um prejuízo de 50% sobre o preço de compra. 
No total, em relação ao preço de custo, esse fazendeiro obteve:
A) lucro de 5% B) prejuízo de 5%
C) lucro de 10% D) prejuízo de 10%
E) prejuízo de 20%
04. (PUC-MG) Pensando em aumentar seus lucros, um lojista 
aumentou os preços de seus produtos em 25%. Como, a partir 
desse aumento, as vendas diminuíram, o comerciante decidiu 
reduzir os novos preços praticados em 25%. Com base nessas 
informações, é correto afi rmar que, após essa redução, as 
mercadorias dessa loja passaram a:
A) ter o preço original. B) ser 5% mais caras.
C) ser 10% mais caras. D) ser mais baratas.
05. (FGV) Um aparelho de TV é vendido por R$ 1000,00 em 
pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o primeiro como 
entrada e o segundo um mês após a compra. Se o pagamento 
for feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de 
R$ 1000,00. A taxa mensal de juros simples do fi nanciamento 
é aproximadamente igual a:
A) 8,7% B) 7,7%
C) 6,7% D) 5,7%
E) 4,7%
06. (UFMG) No período de um ano, certa aplicação fi nanceira 
obteve um rendimento de 26%. No mesmo período, porém, 
ocorreu uma infl ação de 20%.
Então, é correto afi rmar que o rendimento efetivo da referida 
aplicação foi de:
A) 3% B) 5%
C) 5,2% D) 6%
07. (Enem PPL – Adaptado) Um torrefador comprou uma saca de 
60 kg de café especial cru (antes de torrar) por R$ , .400 00
Devido à perda de umidade durante o processo de torrefação, 
são perdidos 10 kg de café por saca.
O torrefador irá vender o café torrado em embalagens de um 
quilograma e tem por objetivo obter um lucro de 200%, em 
relação ao valor pago por ele, por unidade vendida.
Que preço de venda, por unidade, este torrefador deverá 
estabelecer para atingir o seu objetivo? 
A) R$ ,32 00 
B) R$ ,24 00
C) R$ ,20 00 
D) R$ ,16 00
E) R$ ,8 00
19
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
08. (Uece) Um comerciante deseja vender uma mercadoria que 
custou R$ 960,00, com um lucro líquido de 20% sobre o custo. 
Se este comerciante paga 10% de imposto sobre o preço de 
venda, a mercadoria deve ser vendida por
A) R$ 1410,00 
B) R$ 1340,00
C) R$ 1300,00 
D) R$ 1280,00
09. (FGV – Adaptado) Alberto tomou um empréstimo de 
R$ 20000,00 à taxa de juro simples de 10% ao ano. Algum 
tempo depois, considerando que o valor dos juros era muito 
alto, obteve um outro empréstimo de R$ 30000,00, à taxa 
de juro simples de 8% ao ano. Liquidou a dívida do primeiro 
empréstimo, pagando também os juros e ainda restou algum 
dinheiro. Dezoito meses depois da data do primeiro empréstimo 
liquidou o débito, inclusive juros, do segundo empréstimo. 
Sabe-se que Alberto pagou R$ 3500,00 de juros totais nos 
dois empréstimos.Nessas condições, o prazo do segundo 
empréstimo foi de 
A) 12 meses. B) 13 meses.
C) 14 meses. D) 15 meses.
E) 16 meses.
10. (PUC-RJ) Um curso de inglês e um curso de francês tiveram 
seus preços aumentados em 20% e 10% respectivamente. 
Dagoberto faz os dois cursos, e o custo total para Dagoberto 
subiu em 16%.
Qual era a razão entre os preços dos cursos de inglês e francês, 
respectivamente, antes do aumento? 
A) 2 3
B) 3 4
C) 4 5
D) 5 4
E) 3 2
Fique de Olho
No início de janeiro, o preço do litro de leite sofreu um 
aumento de 20%, e no início de fevereiro o aumento foi de 10%.
Qual foi o percentual de aumento acumulado nesses dois 
meses?
Solução:
Sendo x o preço do litro de leite antes do primeiro aumento, 
temos:
PREÇO ANTES DO 
PRIMEIRO AUMENTO 
(EM R$)
PREÇO PRATICADO 
EM JANEIRO 
(EM R$)
PREÇO PRATICADO 
EM FEVEREIRO 
(EM R$)
x 1,2 x 1,1 · 1,2 · x
Assim, o preço em fevereiro era 1,32 x reais; portanto, 
a taxa percentual do reajuste é:
1 32 0 32
032 32
, ,
%
x x
x
x
x
− = = =
Note que essa taxa pode ser calculada, também, por:
1,1 · 1,2 – 1 = 0,32 = 32%
Aula 25: 
Lucros Composto
Introdução
O tipo de juro mais usado nas transações fi nanceiras é o 
juro composto. Para entender esse tipo de juro, observemos o 
exemplo seguinte.
Aplicando R$ 100.000,00 durante 3 meses à taxa de juro 
de 10% ao mês, qual o juro composto produzido?
Calculemos:
MÊS CAPITAL JURO MONTANTE
1o R$ 100.000,00 R$ 10.000,00 R$ 110.000,00
2o R$ 110.000,00 R$ 11.000,00 R$ 121.000,00
3o R$ 121.000,00 R$ 12.100,00 R$ 133.100,00
Portanto, o juro composto produzido foi de R$ 33.100,00. 
Note que, em cada mês, a partir do segundo, a taxa de juro incide 
sobre o montante acumulado no mês anterior. Por isso, esse tipo 
de rendimento é chamado de juro composto.
Veja a seguinte aplicação prática de juro composto.
Daqui a 30 anos (360 meses), quando se aposentará, João 
Victor pretende resgatar um montante de 1 milhão de reais de sua 
conta poupança. Para isso, ele depositará, mensalmente, a partir 
de hoje, uma mesma quantia (x), cujos rendimentos médios estão 
estimados em 1% ao mês. Querendo determinar essa quantia (x) 
a ser depositada mensalmente, João Victor chegou à seguinte 
equação, cujo primeiro membro é uma soma de termos em 
progressão geométrica:
x + x · (1,01)1 = x · (1,01)2 + ... + x · (1,01)360 = 1000000.
Nessa equação, x · (1,01)360 é o montante gerado pelo 
primeiro depósito e x, o gerado pelo último. Adicionando os termos 
em P.G., João Victor chegou na equação equivalente:
x ⋅ ⋅ −
−











 =1
1 1 01
1 1 01
1000000
361( , )
,
na qual, utilizando-se a aproximação (1,01)361 ≅ 36, o valor 
aproximado de x é 285,70 reais.
Você entende porque o montante gerado por cada parcela 
(x) depositada, após n meses, é dado por x · (1,01)n?
Senão, leia atentamente a seguinte teoria, relativa a juro 
composto.
Fórmula para o cálculo do montante 
com juro composto e taxa constante
Quando os juros são compostos, cada aumento é 
calculado sobre o respectivo montante. Assim, um capital C
o
, 
aplicado à taxa i, gera, após n aumentos, um montante C
n
, tal que:
C
n + 1
 = C
n
 + i Cn⋅
�
próximo aumento
montante atual
próximo montante
C-1 H-3, 4
Aula
25
20
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
Daí,
C
n + 1
= C
n
 · ( )1+ i�
constante = (1 + i)
Concluímos, pois, que a sequência de montantes 
(C
o
, C
1
, C
2
, C
3
, ..., C
n
, ...) é uma P.G. de razão q = (1 + i), pois cada 
termo é o anterior, vezes uma constante.
Usando a fórmula do termo geral da P.G., obtemos:
C
n
 = C
o
 · qn – o ⇒ C
n
 = C
o
 · (1 + i)n
Onde:
• Cn é o montante após n aumentos.
• i é a taxa de juros (porcentagem de aumento).
• Co é o capital inicial.
• n é o número de aumentos.
Exercícios Resolvidos
01. Calcule o capital, que aplicado à taxa composta de 4% ao 
mês, dará origem a um montante de R$ 4.650,00, no fi m de 
08 meses. Para isso, use (1,04)4 = 1,17.
Solução:
Temos:
C
C
i
n meses
8
0
4650
4
8 8
=
=
=
=





?
%
( aumentos)
ao mês
Substituindo esses dados na fórmula do montante 
C
n
 = C
0
 · (1 + i)n, obtemos:
C
8
 = C
0
 · (1 + i)8 → 4650 = C
0
 · (1 + 0,08)8 → C
0
 = 
4650
1 04
4
2
,( )


→
→ C
0
 = 
4650
117
2
,[ ]
→ C
0
 = 
4650
1 3689,
 = 3396,88
Resposta: O capital procurado é de R$ 3.396,88.
02. Calcule o juro composto gerado por um capital inicial de 
R$ 4.000,00 aplicado durante 1,5 ano à taxa de 8% ao mês. 
Dado: (1,08)18 ≈ 3,99.
Solução:
Temos:
J
C R
i ao m s
n
o
=
=
=
= ⋅ =
?
$ . ,
%
,
4 000 00
8
15 18
ê
 12 (18 meses, 18 aumenttos)





Então, aplicando a fórmula do montante:
C
n
 = C
o
⋅ (1 + i)n
C
18
 = 4000 (1 + 0,08)18
C
18
 = 4000 (1,08)18
C
18
 = 4000 ⋅ 3,99
C
18
 = 15960
Equivalência de taxas
Considere a seguinte situação-problema:
Se um certo capital cresce 2% ao mês, quanto crescerá em 
1 ano (12 meses)?
Use 1,0212 = 1,268.
Solução:
Temos que C
n
 = C
o
 · (1 + i)n, onde:
i
n
=
=
=
2
12
% ao m s
 (12 meses, 12 aumentos)
C montante ap s n
ê
ó n aaumentos




Sendo, então, I a taxa de crescimento em 12 meses (1 ano), 
para um capital Co devemos ter:
C
o
 + I · C
o
 = C
o
 (1 + 2%)12
C
o
 (1 + I) = C
o
 (1,02)12
1 + I = (1,02)12
1 + I ≅ 1,268
I ≅ 0,268 = 
26 8
100
,
∴ I ≅ 26,8%
Outros exemplos:
1. A ariranha (mamífero encontrado em regiões pouco 
desbravadas da Amazônia e do Brasil Central) e o 
mico-leão-dourado são espécies em extinção no Brasil. 
Com o objetivo de preservar essas espécies, foram reunidas em 
uma reserva fl orestal 60 ariranhas e 40 micos-leões-dourados. 
Constatou-se, após alguns anos, que o crescimento da 
população de ariranhas foi de 5% ao ano e que a população 
de micos cresceu à taxa de 10% ao ano. Em quanto tempo, 
após a reunião desses animais na reserva, o número de micos 
deve chegar ao dobro do número de ariranhas?
Dados: log 3 = 0,477; log 1,047 = 0,019.
A) 17 B) 19
C) 21 D) 23
E) 25
Solução:
Sendo t o número de anos passados, temos:
População de ariranhas ⇒ A
t
 = 60(1 + 5%)t
População de micos ⇒ M
t
 = 40(1 + 10%)t
Queremos que:
M
t
 = 2 ⋅ A
t
⇒ 40 ⋅ (1 + 0,1)t = 120(1 + 0,05)t ⇒ 40 ⋅ (1,1)t = 120 · (1,05)t
(1,1)t = 3 · (1,05)t ⇒
110
1 05
3
,
,




= ⇒
t
 (1,047)t ≈ 3 ⇒ log(1,047)t ≈ log 3.
Assim, t · log(1,047) ≈ log 3 ⇒ t ·0,019 ≈ 0,477 ⇒ t ≈ 25
Resposta: E
2. Mostre que se I é a taxa de crescimento de uma grandeza 
relativamente ao período de tempo T = nt, e i é a taxa de 
crescimento relativamente ao período t, então, 1 + I = (1 + i)n.
Demonstração:
Seja M
o
 o valor inicial de uma grandeza. Após um período de 
tempo T, o valor da grandeza passa a ser igual a M
o
⋅ (1 + I). 
Por outro lado, esse valor corresponde ao valor assumido por 
M
o
 após n aumentos sucessivos à taxa i no período t, isto 
é, esse valor também é igual a M
o 
⋅ (1 + i)n. Assim, M
o
⋅ (1 + i) = 
M
o
⋅ (1 + i)n. Daí: 1 1+ = +I i n( ) , c.q.d.
21
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
3. A população de um certo país cresce 5% a cada década. 
Se hoje a população desse país é igual a P
o
, qual a população 
desse país daqui a n décadas?
Solução:
Após cada década, a população passa a ser (1 + 5%) = 1,05 
da população da década anterior. Assim, temos a P.G.:
(P
o
; P
o
⋅ 1,05; P
o
⋅ (1,05)2; ...; P
o
⋅ (1,05)n ...), onde P
n
 = P
o
 · (1,05)n
↑
hoje
indica a população daqui a n décadas.
Resposta: P
o
⋅ (1,05)n
4. O valor de um carro decresce 20% ao ano. Se hoje seu valor 
é R$ 28.000,00, qual será seu valor daqui a 3 anos? Qual foi 
a taxa de desvalorização nesse período?
Solução:
A cada ano que passa, o valor do carro passa a ser (1 – 20%) = 
0,8 do que valia. Assim, se V
o
 = 28000 é o valor do carro hoje, 
em n anos o seu valor será V
n
 = V
o
⋅ (0,8)n. Daí:
I. V
o
 = 28000 ⋅
8
10
28000
10
3
3




= ⋅ 83 = 28 ⋅ (512) ⇒ V
3
 = 14336
II. Sendo I a taxa de desvalorização no período:
V
o
⋅ (1 – I) = V
o⋅ (1 – i)3 ⇒ 1 – I = (0,8)3 ⇒ 1 – 0,512 = I ⇒
⇒ I = 0,488 = 
48 8
100
,
 = 48,8%
Respostas: daqui a 3 anos seu valor será R$ 14.336,00, 
sofrendo uma desvalorização de 48,8%.
5. Um garrafão contém p litros de vinho. Retira-se um litro de 
vinho do garrafão e acrescenta-se um litro de água, obtendo-se 
uma mistura homogênea; retira-se, a seguir, um litro da mistura 
e acrescenta-se um litro de água e, assim, por diante. Qual a 
quantidade de vinho que restará no garrafão após n dessas 
operações:
Solução:
Seja Rk a quantidade de vinho que restou no barril após a 
k-ésima operação. Temos:
I. fração de vinho no barril = 
“ ”parte favor vel
todo
R
p
k á = ;
II. parte de vinho que sairá no litro retirado na próxima 
operação = 
R
p
k de 1 litro = 
R
p
k litro;
III. quantidade de vinho que restará no barril após a próxima 
operação = 
constante (razão da P.G.)
R
k + 1
 = R
k
 – 
R
p
k = R
k
⋅ 1
1−


P��� ��
Como R
1
 = (p – 1) litros, as quantidades de vinho que 
restaram no barril formarão uma P.G. cuja lei de recorrência é:
R p
R R
p
p
para kk k
1
1
1
1
1
= −
= ⋅ −





 ≥




+ ,
razão da P.G. = q = 
p
p
− 1
Assim:
R
n
 = R
1
⋅ qn – 1 ⇒ R
n
 = (p – 1) ⋅
p
p
n
−





−
1
1
 ⇒ R
n
 = 
( )p
p
n
n
−
−
1
1
Fórmula para o cálculo do montante 
com juro composto e taxa variável
C
n
 = C
0
⋅ (1 + i
1
) ⋅ (1 + i
2
) ⋅ (1 + i
3
) ... (1 + i
n
)
Exemplos:
1. José aplicou R$ 1.000,00 na caderneta de poupança durante 
3 anos. No primeiro ano, o rendimento foi de 15%; no segundo, 
de 14%; e no terceiro, de 20%. Qual foi o montante acumulado 
no fi nal da aplicação?
Então:
Utilizamos a fórmula:
C
n
 = C
o
⋅ (1 + i
1
) ⋅ (1 + i
2
) ⋅ (1 + i
3
)
C
n 
= 1000 (1 + 0,15) ⋅ (1 + 0,14) ⋅ (1 + 0,20)
C
n
 = 1000 (1,15) ⋅ (1,14) ⋅ (1,20)
C
n
 = 1000 (1,5732)
C
n
 = 1573,20
2. Comprei um lote de ações que se valorizou 6% no primeiro 
mês, 4% no segundo e 7% no terceiro. Qual foi o porcentual 
de valores nos 3 meses?
Solução:
Aplicando a fórmula do montante:
C
n
 = C
o
⋅ (1 + i
1
) ⋅ (1 + i
2
) ⋅ (1 + i
3
) , temos:
C
n
 = C
o
⋅ (1 + 0,06) ⋅ (1 + 0,04) ⋅ (1 + 0,07)
C
n
 = C
o
⋅ (1,06) ⋅ (1,04) ⋅ (1,07)
C
n
 = C
o
⋅ (1,179568)
O juro J é a diferença entre o montante e o capital, ou seja:
J = C
n
 – C
o
∴ J = 1,179568 C – C
∴ J = 0,179568 C
A taxa de valorização nos 3 meses é o quociente 
J
Co
,
portanto, essa taxa é dada por:
i = 
J
Co
 = 0 179568, C
Co
 = 0,179568 = 17,9568%
Logo, a taxa foi de 17,95% ao mês.
3. Dois aumentos sucessivos de 20% correspondem a um único 
aumento de quantos por cento?
Solução:
Sendo x o valor inicial, devemos ter:
x · (1 + 20%) · (1 + 20%) = x · 1,2 · 1,2
= x · 1,44
= x · (1 + 0,44)
= x + 0 44, x��� ��
valor inicial aumento = 
44
10
44= %
Resposta: 44%
22
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
Exercícios de Fixação
01. (UFV) O grama do ouro sofreu aumentos sucessivos de 2% 
e 3%. Isto corresponde a um só aumento de:
A) 5,00% B) 5,02%
C) 5,04% D) 5,06%
E) 5,08%
02. (UEG) Se o capital de R$ ,600 00 for aplicado à taxa de 
30% . .,a a ao fi nal do quinto ano o montante será igual a 
A) R$ . ,2 227 75
B) R$ . ,2 200 00
C) R$ . ,1 200 00
D) R$ . ,1 100 00
E) R$ ,900 00
03. (Enem) Um empréstimo foi feito à taxa mensa de 
i%, usando juros composto, em oito parcelas fi xas 
e iguais a P.
O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente 
a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das 
parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar 
a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação 
do empréstimo é
A) P
i i
1
1
1
100
1
1
100
2
+
+
+
+









( ) ( )
B) P
i i
1
1
1
100
1
1
2
100
+
+
+
+









( ) ( )
C) P
i i
1
1
1
100
1
1
100
2 2
+
+
+
+









( ) ( )
D) P
i i i
1
1
1
100
1
1
2
100
1
1
3
100
+
+
+
+
+
+









( ) ( ) ( )
E) P
i i i
1
1
1
100
1
1
100
1
1
100
2 3
+
+
+
+
+
+









( ) ( ) ( )
04. (UFRS) Para pagar uma dívida de x reais no seu cartão de crédito, 
uma pessoa, após um mês, passará a fazer pagamentos mensais 
de 20% sobre o saldo devedor. Antes de cada pagamento, 
serão lançados juros de 10% sobre o saldo devedor. Efetuados 
12 pagamentos, a dívida, em reais, será:
A) zero 
B) 
x
12
C) (0,88)12.x
D) (0,92)12.x
E) (1,1)12.x
05. (Insper) Mateus aplicou o capital C0 à taxa de juros compostos 
de 1% em regime de capitalização mensal. Ao fi nal do 12º 
mês, o montante total de capital na aplicação era igual a C12.
Se Mateus pretende resgatar seu dinheiro apenas ao fi nal do 
18º mês da aplicação, nessa ocasião ele resgatará um valor, 
descrito em função de C0 e C12, igual a 
A) C C C0 0 123⋅ ⋅ B) C C0 12⋅ 
C)
C
C
C C12
0
0 12⋅ ⋅ D) C C C0 0 12⋅ ⋅
E) 
C
C
C
C
12
0
12
0
⋅
Exercícios Propostos
01. (Enem) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro 
mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo 
mês, recuperou 20% do que havia pedido.
Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de 
R$ 3.800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa 
pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de:
A) R$ 4.222,22 B) R$ 4.523,80
C) R$ 5.000,00 D) R$ 13.300,00
E) R$ 17.100,00
02. (UPE-SSA) Um químico está tentando produzir um detergente 
econômico, utilizando sabão concentrado líquido e água. Ele 
tem 12 litros de sabão concentrado líquido, e retira 4 litros desse 
volume e os substitui por água. Em seguida, retira 4 litros da 
mistura obtida e os substitui por água novamente. Efetuando 
essa operação por 6 vezes consecutivas, quantos litros de sabão 
concentrado líquido, aproximadamente, sobraram na mistura? 
A) 1 B) 2 
C) 3 D) 4 
E) 5 
03. (FGV – Adaptado) Uma TV de plasma, cujo valor à vista é 
R$ 4.000,00, pode ser comprada a prazo, num plano 
de pagamento de duas parcelas e a primeira, no valor 
de R$ 2.124,00, vence somente 90 dias após a compra. 
O fi nanciamento foi realizado à taxa de juro composto de 10% 
ao mês, e a segunda parcela terá vencimento em 120 dias.
Nessas condições, o valor da segunda parcela será de:
A) R$ 3.520,00 B) R$ 3.500,00
C) R$ 3.480,00 D) R$ 3.460,00
E) R$ 3.440,00
04. (Vunesp) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de 
reais. Para isso, faço uma aplicação fi nanceira, que rende 1% 
de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas 
bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos 
com aplicações mensais fi xas e ininterruptas nesse investimento, 
o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar 
mensalmente é:
Dado: 1,01361 ≈ 36
A) 290,00 B) 286,00
C) 282,00 D) 278,00
E) 274,00
23
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática I
Anual – Volume 5
05. (Uerj) Um feirante vende ovos brancos e vermelhos. Em janeiro 
de um determinado ano, do total de vendas realizadas, 50% 
foram de ovos brancos e os outros 50% de ovos vermelhos. Nos 
meses seguintes, o feirante constatou que, a cada mês, as vendas 
de ovos brancos reduziram-se 10% e as de ovos vermelhos 
aumentaram 20%, sempre em relação ao mês anterior.
Ao final do mês de março desse mesmo ano, o percentual 
de vendas de ovos vermelhos, em relação ao número total 
de ovos vendidos em março, foi igual a: 
A) 64% 
B) 68%
C) 72% 
D) 75%
06. (FGV) Uma mercadoria é vendida com entrada de R$ 500,00 
mais 2 parcelas fi xas mensais de R$ 576,00. Sabendo-se que 
as parcelas embutem uma taxa de juros compostos de 20% 
ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual a
A) 1380,00 
B) 1390,00
C) 1420,00 
D) 1440,00
E) 1460,00
07. (Fuvest) Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida 
por R$ . ,1 500 00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de 
R$ , .500 00 O dinheiro que Maria reservou para essa compra 
não é sufi ciente para pagar à vista, mas descobriu que o banco 
oferece uma aplicação fi nanceira que rende1% ao mês. Após 
fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira 
parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá 
pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem 
tirar um centavo sequer.
Quanto Maria reservou para essa compra, em reais? 
A) 1 450 20. , .
B) 1 480 20. ,
C) 1 485 20. ,
D) 1 495 20. ,
E) 1 490 20. ,
08. (FGV) Um capital de R$10.000,00, aplicado a juro composto 
de 1,5% ao mês, será resgatado ao fi nal de 1 ano e 8 meses 
no montante, em reais, aproximadamente igual a
Dado:
x x10
0,8500 0,197
0,9850 0,860
0,9985 0,985
1,0015 1,015
1,0150 1,160
1,1500 4,045
A) R$ 11.605,00 
B) R$ 12.986,00 
C) R$ 13.456,00 
D) R$ 13.895,00 
E) R$ 14.216,00 
09. (IBMEC) Uma mercadoria sofreu um aumento de (2x)%, 
sendo x um número positivo. Algum tempo depois, em uma 
promoção, ela foi vendida com desconto de x%. Se o total pago 
pelo cliente, nessa ocasião, foi igual ao preço da mercadoria 
praticado antes do aumento, o valor de x é aproximadamente:
A) 33,3 B) 41,4
C) 50,0 D) 66,7
E) 100,0
10. (Uepa) Diversas pesquisas apontam o desenvolvimento de 
brasileiros. O incentivo ao consumismo, mediado pelas diversas 
mídias, associado às facilidades de crédito consignado e ao uso 
desenfreado de cartões são alguns dos fatores responsáveis por 
essa perspectiva de endividamento.
Jornal O Globo, de 4 de setembro de 2011 – texto adaptado.
Suponha que um cartão de crédito cobre juros de 12% ao 
mês sobre o saldo devedor e que um usuário com difi culdades 
fi nanceiras suspende o pagamento do seu cartão com um 
saldo devedor de R$ 660,00. Se a referida dívida não for paga, 
o tempo necessário para que o valor do saldo devedor seja 
triplicado sobre regime de juros compostos, será de:
Dados: log3 = 0,47; log 1,12 = 0,05.
A) nove meses e nove dias. 
B) nove meses e dez dias.
C) nove meses e onze dias. 
D) nove meses e doze dias.
E) nove meses e treze dias.
Fique de Olho
• Mariana tem duas opções para a compra de uma bicicleta 
em certa loja:
I. À vista, pagando R$ 180,00;
II. Em três prestações mensais iguais de R$ 80,00, sendo a 
primeira com pagamento no ato da compra.
Fazendo a opção pela compra a prazo, qual a taxa mensal de 
juros embutidos na compra? 
Dado: 96 = 9,8
Solução:
Como dos 180 reais, 80 foram pagos à vista (no ato da compra), 
devemos considerar apenas os 100 reais restantes, pagos 
em duas prestações iguais de 80 reais cada uma, em 1 e 2 
meses, respectivamente.
Sendo i a taxa mensal de juros, vejamos o valor do dinheiro 
daqui a 2 meses.
100 valor
valor
valor
meses
meses
(2ª prestação)
(3ª prestação)
meses
0
0
0
1
1
1
2
2
2
a
80
80
b
24
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática I
Anual – Volume 5
Para o dono da loja, daqui a 2 meses, os 100 reais fi nanciados 
valeriam a = 100 · (1 + i)2, e as prestações a receber valerão 
b = 80 · (1 + i) e 80. Daí:
100 · (1 + i)2 = 80 (1 + i) + 80 ⇒
5 (1 + i)2 – 4(1 + i) – 4 = 0 ⇒
⇒ (1 + i) = 
4 96
10
1
4 9 8
10
± ⇒ + = ±i ,
⇒ + = ⇒ = =+ = −{1 1 38 0 38 381 0 58i ii , , %, (não convém)
Resposta: 38%
Seção Videoaula
Juros
Bibliografi a
DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto & aplicação. vol. 1. 
4. ed. São Paulo: Ática, 2007.
IEZZI, Gelson – Fundamentos de matemática elementar. 
vol. 4. 7. ed. São Paulo: Atual, 2004.
LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio. vol. 2. Coleção 
do Professor de Matemática. Rio de Janeiro, 1998.
MORGADO, Augusto Cesar. Progressões e matemática fi nanceira. 
Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Wagner Ltda, 
1993.
NETO, Aref Antar. Noções de matemática. vol. 2. 1. ed. São Paulo: 
Moderna, 1979.
SERRÃO, Alberto. Exercícios e Problemas de Álgebra. vol. 1. Parte 
A. 4. ed. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1970.
Anotações
1
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
Aula 21: 
Progressão Geométrica (P.G.) – Parte II
• Objetivo(s):
– Somar termos em progressão geométrica.
– Calcular o limite da soma dos termos de uma progressão infinita convergente.
– Resolver situações-problema envolvendo soma de termos em progressão geométrica.
• Metodologia:
 1º Passo:
 Comece somando termos em progressão geométrica, sem utilizar a fórmula. Por exemplo, calcule a soma seguinte com 100 termos:
S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 298 + 299
 A ideia central para esse cálculo é a obtenção de outra soma com praticamente os mesmos termos, multiplicando os dois membros 
da igualdade pela razão q = 2 da P.G, obtendo:
2S = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 299 + 2100
 Para “se livrar” dos termos repetidos, subtraia a primeira da segunda igualdade. Fazendo isso, você os cancela e obtém:
2S – S = 299 – 1
S = 299 – 1
2º Passo:
 Generalize, trabalhando com S
n
 = a
1
 + a
2
 + a
3
 + ... + a
n – 1
 + a
n
 e multiplicando os dois membros pela razão q da PG, obtendo 
q · S
n
 = a
2
 + a
3
 + a
4
 + ... + a
n
 + a
n + 1
. Subtraindo uma de outra, obtém-se:
S
n
 – q · S
n 
= a
1
 – a
n + 1
Como a
n + 1
 = a
1
 · q
n
, substituindo, ficamos com:
S
n
(1 – q) = a
1
 – a
1
 · qn
S a
q
q
ou S a
q
qn
n
n
n
=
−
−





 =
−
−





1 1
1
1
1
1
 É conveniente trabalhar com o denominador positivo. Daí, use 
S a
q
qn
n
=
−
−





1
1
1
 para q menor que q e a outra forma para q maior que 1.
3º Passo:
 Usando a fórmula demonstrada, comente os exercícios de fixação 01, 02, 03 e 04 (veja resoluções).
4º Passo:
 Apresente uma progressão geométrica infinita convergente (razão entre –1 e 1), por exemplo, 1
1
2
1
22
, , ,...





 e, usando a fórmula 
s
q
qn
n
=
−
−






1
1
, mostre que o valor numérico do termo qn, quando n aumenta indefinidamente, se aproxima de zero, tende a zero. 
Suponha qn = 0 (qn tende a zero), para n “infinitamente grande”, obtendo: s
a
q∞
=
−
1
1
.
5º Passo:
Comente o exercício de fixação 05 (veja resoluções).
6º Passo:
 Sugira uma leitura criteriosa da teoria e dos exercícios resolvidos da aula, contidos no livro texto.
C-1 H-2, 3
Aula
21
2
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 O total de caixas doadas é a soma de 15 termos em progressão geométrica de primeiro termo a
1
 = 1 e razão q = 2, ou seja:
S a
q
q
15 1
15 15
151
1
1
1 2
2 1
2 1 32767= ⋅
−
−




= ⋅
−
−




= − = caixas de bombons doadas.
Note: 215 =210⋅25 = 1024 ⋅ 32 = 32768
Dividindo as 32767 caixas para os 16000 alunos, obtemos quociente 2 e resto 767, ou seja, cada aluno receberá duas caixas e 
sobrarão 767 caixas.
 Resposta: D
02. Comentário:
 Primeiramente, note que as pontuações das questões 1, 2, 3,..., 100 são, respectivamente, 1 = 20, 2 = 21, 4 = 22,..., 299 (uma 
progressão geométrica de razão 2).
Como as questões que ele acertou foram 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39 e 35, 40, 45 e 50, suas pontuações formam as seguintes 
progressões geométricas:
220, 223, 226,..., 238, são 7 termos em PG de razão q = 23 = 8
e
234, 239, 244, 249, são 4 termos em PG de razão Q = 25 = 32
Logo, a soma dessas pontuações (soma das duas progressões geométricas) é igual a:
2
8 1
8 1
2
32 1
32 1
2 2 1
2 1
220
7
34
4 20 21
3
34
⋅
−
−




+ ⋅
−
−




=
⋅ −
−
+
( ) (22 1
2 1
20
5
−
−
)
 Resposta: D
03. Comentário:
 Sendo Cn um comprimento na figura n, o seu comprimento correspondente na figura seguinte será C Cn n+ = ⋅1
1
2
, ou seja, os 
comprimentos formam uma PG de razão q
C
C
n
n
= =+1
1
2
. Como as figuras formadas são semelhantes, a razão entre as áreas dessas 
respectivas figuras é igual a 
A
A
qn
n
+ = = 



=1 2
2
1
2
1
4
, ou seja, as áreas das figuras formam uma PG de razão Q =
1
4
. Logo, a soma 
das áreas dos 30 primeiros bonecos será:
S A A A30 1 2 30= + + +... 
S A
Q
Q
A30 1
30
1
30
1
1
1
1
4
1
1
4
= ⋅
−
−




= ⋅
− 



−












 
S A A30 1
30
1
30
30
1
1
4
4 1
4
4 1
4
4
3= ⋅
−
−










= ⋅
−



⋅
S
A
30
1
30
293
4 1
4
= ⋅
−



 Resposta: A
3
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
04. Comentário:
 Todos os retângulos têm as bases congruentes e de medida igual a 1 e as respectivas alturas são f(1), f(2), f(3),... Assim, a soma das 
áreas dos infinitos retângulos será:
S f f f S f f f S∞ ∞ ∞= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⇒ = + + + ⇒ = + +1 1 1 2 1 3 1 2 3
16
2
16
4
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )… …
66
8
8 4 2
8
1
1
2
16
+ ⇒
⇒ = + + + ⇒ =
−
⇒ =∞ ∞ ∞
...
.S S S…
 
 Resposta: A
05. Comentário:
 Sendo A
n
 e A
n+1
 as respectivas áreas de dois quadrados consecutivos, representados a seguir, temos que:
A
n
U
U
U
U
U
U
U
U
A
n+1
A
A
U
U
A An
n
n n
+
+= ⇔ = ⋅
1
1
4
8
1
2 
Assim, as áreas formam uma progressão geométrica de razão q = 
1
2
 e primeiro termo A
1
 = 102 = 100 m2. Portanto, a soma 
procurada será:
S
A
q
m∞ = −
=
−
=1 2
1
100
1
1
2
200 
 Resposta: C
Aula 22: 
Progressão Geométrica (P.G.) – Parte III
• Objetivo(s):
– Calcular o produto de n termos em progressão geométrica.
– Obter a fração geratriz de uma dízima periódica através da soma de termos de uma P.G. infinita convergente.
• Metodologia:
 1º Passo:
 Apresente exemplo de progressão geométrica finita e mostre, nessa progressão, que o produto de termos equidistantes dos 
extremos é igual ao produto dos extremos. Aproveite esse fato e mostre a fórmula (P
n
)2 = (a
1
 · a
n
)n. Veja demonstração na 
teoria da aula, no livro texto.
2º Passo:
Comente os exercícios de fixação 01 e 02 (veja resoluções).
C-1 H-2, 3
Aula
22
4
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
3º Passo:
 Demonstre a fórmula P a q ou P a qn
n
n n
n
n n
n
= ⋅ = ⋅






−( ) −( )
1
1
2
1
1
2 (veja demonstração na teoria da aula, no livro texto). Destaque que 
a q
n
1
1
2⋅
−( )
 é o termo central da PG, quando n é ímpar.
4º Passo:
Comente o exercício de fixação 03 (veja resolução).
5º Passo:
 Comente o exercício de fixação 04 usando soma de infinitos termos em PG convergente (veja resolução). Sobrando tempo, 
comente-o também usando a regra prática.
 6º Passo:
 Aprofunde o tema soma em PG, calculando “a soma em PAG” do exercício de fixação 05. Veja resolução e complemento 
especial na teoria dessa aula, no livro texto).
7º Passo:
 Sugira uma leitura criteriosa da teoria e dos exercícios resolvidos da aula, contidos no livro texto.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Considerando
P
P
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅{
= ⋅
1 2 4 8 16 32 64 128
128 64 32 16 8 4 2 1
12
, temos:
P 1128 2 64 4 32 8 32 128 1
128 128 1282
8
( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅( )
= ⋅ ⋅ ⋅
...
...P
 vezes
� ���� ����
P
P
2 8
8
128
128
= ( )
= ±
Como P é positivo, temos P = 1284
Resposta: D
02. Comentário:
 Inserindo k termos entre 1/32 e 64, obtemos a sequência 
1
32
64,..............,
k termos
� �� ��




 de (k + 2) termos, na qual o primeiro termo é 
a
1
 = 1/32, o último termo é a
n
 = a
k + 2
 = 64, e um termo intermediário a
p
 qualquer é tal que: 
a a a a a a
a
a
a
a
p p p p p p
p
p
p
p
= ( ) ⋅ ( ) → ( ) = ( ) ⋅ ( ) → = =− + − +
−
+
1 1
2
1 1
1
1
 razão da PG (a sequência é uma PG). Daí, o produto de seus termos será:
5
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
P a an n
n
k
k
k
( ) = ⋅( )
( ) = ⋅


( ) = ( )
=
+
+
+
2
1
2
2
8 2 2
16 2
256
1
32
64
2 2
2 2
16 == +
=
k
k
2
14
 Resposta: B
03. Comentário:
 Considerando a definição de logaritmo, temos:
I. log
a
b = 4 → a4 = b → a = b1/4
II. log
q
b = 2 → q2 = b → q = b1/2
III. log
c
b =0,01 → c0,01 = b → (c0,01)100 = b100 → c = b100
O produto dos termos da PG de n termos pode ser dado por:
P a qn
n
n n
= ⋅
−
1
1
2
( )
 
Fazendo as devidas substituições, obtemos:
c a qn
n n
= ⋅
−( )1
2 → b b bn
n n
100 1 4 1 2
1
2= ⋅
−
( ) ( )/ /
( )
 → b b
n n n
100 4
1
4=
+ −( )
Como b ≠ 0, b ≠ 1 e b ≠-1 (logaritmos existem e são diferentes de zero), ficamos com:
100
4
1
4
= +
−n n n( )
 → 400 = n + n2 – n → n = ± 20
Assim, o número de termos será n = 20 (não pode ser negativo).
Resposta: A
04. Comentário:
 N = 121 + 0,43 + 0,0043 + 0,000043 +...
N 121 
43 
 
43
 
43
 = + + + +

10 10 102 4 6
...
N 121 
43 
= +
−
10
1
1
10
2
2
N 121 = +
43
99
N =
+11979 43
99
N =
12022
99
Resposta: B
6
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
05. Comentário:
 Solução 1 (utilizando as figuras)
Soma das áreas dos retângulos da fig. 1 = Soma das áreas dos retângulos da fig. 2.
1
2
1
1
4
2
1
8
3
1
16
4 1 1
1
2
1
1
4
1
1
8
1
1
2
2
4
3
8
4
1
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
+ + +
... ...
66
1
1
2
1
4
1
8
1
2
2
4
3
8
4
16
1
1
1
2
1
2
2
4
3
8
4
16
+ = + + + +
+ + + + =
−
→ + + + +
... ....
... .... = 2
Solução 2 (sem utilizar as figuras)
Multiplicando os membros da igualdade S = 



+ 



+ 



+ 



+
1
2
2
4
3
8
4
16
1
2
... , por temos:
1
2
1
4
2
8
3
16
4
32
⋅ = 



+ 



+ 



+ 



+S ...
Daí, subtraindo membro a membro essas duas igualdades, obtemos:
(Associe as frações de mesmo denominador)
S S− ⋅ = + −



+ −



+ −



+ −

1
2
1
2
2
4
1
4
3
8
2
8
4
16
3
16
5
32
4
32


+
−
= + 



+ 



+ 



+ 



+
...
...
2
2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
S S
SS S
S
2
1
2
1
1
2
2
1 2=
−
⇒ = ⇒ =
Resposta: B
Aula 23: 
Porcentagem
• Objetivo(s): 
– Calcular a porcentagem de um número em relação a outro.
– Resolver situações-problema envolvendo porcentagem.
• Metodologia:
 1º Passo:
 Associe porcentagem a frações de denominador 100 e mostre por qual fator devemos multiplicar determinado valor para que ele 
aumente ou diminua certa porcentagem. Veja teoria dessa aula no livro texto:
x
p
⋅ +




1 100
 aumenta o valor x em p%.
e
x
p
⋅ −




1 100
 diminui o valor x em p%.
C-1 H-3, 4
Aula
23
7
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
Esclareça que 1
100
100
100= = %
2º Passo:
Comente os exercícios de fixação 01 e 05 (veja resoluções).
3º Passo:
 Sugira uma leitura criteriosa da teoria e dos exercícios resolvidos da aula, contidos no livro texto.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Temos as seguintes taxas de aumento?
I. Site X: 
21 12
12
9
12
3
4
0 75 75
−
= = = =, % ( )maior
II. Site Y: 
51 30
30
21
30
3
10
0 30 30
−
= = = =, %
III. Site Z: 
11 10
10
1
10
0 10 10
−
= = =, %
IV. Site W: 
57 38
38
19
38
1
2
0 50 50
−
= = = =, %
V. Site U: 
56 40
40
16
40
2
5
0 40 40
−
= = = =, %
Resposta: A
02. Comentário:
Aumento
Valor inicial
=
−
= =
11 8 6 7
6 7
0 76 76
, ,
,
, %
 
Logo, o aumento (valor final menos valor inicial) é igual a 76% do valor inicial.
Resposta: B
03. Comentário:
I. Supondo os preços inicialmente iguais a 100 unidades monetárias, eles passaram a ser 100
82
100
100 182+ ⋅ = unidades monetárias.
II. Supondo o salário inicialmente igual a 100 unidades monetárias, ele passou a ser 100
30
100
100 130+ ⋅ = unidades monetárias.
Daí, para recuperar o poder de compra, sendo x% o aumento procurado, devemos ter:
130 130 182 130 1
100
182
1
100
182
130
 + ⋅ = ⇒( ) ⋅ +


=
+ = ⇒
x
x
x x
%
1100
1 4 1 40= − → =, x
Logo, o novo salário deve ser aumentado em 40%.
Resposta: A
8
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
04. Comentário:
 A quantidade de água na fruta desidratada é igual a 
10
100
100 10⋅ = gramas, enquanto a quantidade de massa diferente de água é 
de 100 – 10 = 90 gramas. Então, como há perda somente de água no processo, sendo M a massa total da fruta innatura, devemos 
ter:
Quantidade da massa da fruta diferente de água = (100% - 80%)M = 90 ⇒ =0 2 90, M ⇒ ⇒ = ⇒ =2 900 450M M g
Resposta: D 
05. Comentário:
 Sendo r
PIB
p
e R
PIB
P
= =2006 2010 , devemos ter:
r
R
PIB
p
P
PIB
r
r
PIB
p
P
PIB
= ⋅ →
⋅ +
= ⋅2006
2010
2006
2006100 36 100( % %) .( %++
→
= → = ⋅ → = ⋅ → =
56 4
156 4
136
156 4
136
115 100
, %)
, %
%
,
,
P
p
P p P p P %% % + ⋅( )15 p
Logo, houve um aumento de 15% na população.
Resposta: B
Aula 24: 
Lucros e Juros Simples
• Objetivo(s): 
– Calcular o lucro absoluto e/ou relativo (percentual) em transações financeiras.
– Calcular os juros simples em aplicações financeiras.
– Resolver situações-problema envolvendo lucro e/ou juros simples.
• Metodologia:
 1º Passo:
 Apresentar a relação L = V – C e mostrar como se calcula o percentual de lucro, em relação a C ou em relação a V. Veja teoria dessa 
aula no livro texto.
2º Passo:
Comente os exercícios de fixação 01, 02 e 03 (veja resoluções).
3º Passo:
 Mostre a fórmula do montante em regime de juros simples, C
n
 = C
0
 + n.i.C
0
. Veja teoria dessa aula no livro texto. Destaque 
que, em regime de juros simples, não há cálculo de juros sobre juros, todos os aumentos são dados sobre o capital inicial C
0
. 
Esclareça que n.i.C
0
 representa os juros do período.
4º Passo:
Comente os exercícios de fixação 04 e 05 (veja resoluções).
5º passo:
 Sugira uma leitura criteriosa da teoria e dos exercícios resolvidos da aula, contidos no livro texto. 
C-1 H-3, 4
Aula
24
9
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Sendo C e V os respectivos preços de custo e de venda, temos:
I. Lucro: L = 
30
100
⋅ V → L = 0,3V
II. V = C + L → V = C + 0,3V → C = 0,7V
 Daí:
Lucro
Custo
V
V
= = ≅ = =
0 3
0 7
3
7
0 428
42 8
100
42 8
,
,
,
,
, %
 Assim, Lucro = 42,8% · (custo), aproximadamente.
 Resposta: C
02. Comentário:
 Temos um custo C = 6 000 reais e o lucro L = 
20
100
6000 1200⋅ = . Daí, sendo n a quantidade de produto vendidos, devemos ter:
Valor arrecadado com as vendas = C + L
 25⋅n = 6000 + 1200
 
n = =
7200
25
288
 
Resposta: D 
03. Comentário:
 Sendo x o preço anunciado, o cliente pagou:
( % %) ,100 20 10 3240 1 2 32400
324000
12
27000+ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = =x x x
 
Analisando as alternativas:
A) Falso, pois x = 27000. 
B) Falso, pois (100% - 10%)x = 0 9 27000 0 9 24300, ,x = ⋅ = é menor que 24500.
C) Falso, pois à vista ele pagaria 32400 24300 8100− = a mais, o que corresponde a 
8100
24300
0 333 33 3≅ =, , % do valor pago a 
prazo.
D) Verdadeiro, pois ele teria economizado 32400 24300 8100− = reais (mais de 8000 reais).
 Resposta: D
04. Comentário:
 C
3
 = C
0
 + 3 ⋅ i% ⋅ C
0
3 ⋅ (575) = 1500 + 3 ⋅ i% ⋅ (1500)
1725 – 1500 = 4500 ⋅ i% → 225 = 4500 ⋅ i% → i% = 0,05 → i% = 5%
Resposta: E
05. Comentário:
I. No banco A (i = 2% ao mês): j = n ⋅ i ⋅ C → 360 = 12 ⋅ (0,02) ⋅ C ⇔ C = R$ 1.500,00
II. No Banco B (i = 20% ao ano): J = n ⋅ i ⋅ C → J = 1 ⋅ (5000 – 1500) ⋅ 0,2 = R$ 700,00
III. Total acumulado: 5000 + 360 + 700 = R$ 6.060,00
Resposta: R$ 6.060,00
10
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
Aula 25: 
Lucros Compostos
• Objetivo(s):
– Calcular os juros compostos em aplicações financeiras.
– Resolver situações-problema envolvendo juros compostos.
• Metodologia:
 1º Passo:
 Inicie mostrando o cálculo do montante em regime de juros compostos com taxa variável (Veja teoria dessa aula no livro texto). 
Em seguida, comente os exercícios de fixação 01 e 02 (veja resolução).
2º passo:
 Mostre a fórmula do montante em regime de juros compostos com taxa fixa, C
n
 = C
0
 · (1 + i)n. Veja teoria dessa aula no livro texto. 
Destaque que, em regime de juros compostos, não há uma fórmula específica para o cálculo dos juros, os juros são obtidos calculando 
o montante e retirando-se desse montante o capital inicial (C
0
). Esclareça que, no regime de juros compostos, os aumentos ou 
descontos são calculados sobre o montante.
3º passo:
Comente os exercícios de fixação 03, 04 e 05.
4º passo:
 Sugira uma leitura criteriosa da teoria e dos exercícios resolvidos da aula, contidos no livro texto.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Sendo C
0
 o valor inicial, após os dois aumentos sucessivos o novo valor será:
C
2
 = C
0
 · (1 + 2%) · (1 + 3%) ⇒ C
2
 = 1,02 · 1,03 · C
0
 ⇒ C
2
 = 1,0506 · C
0
 ⇒ C
2
 = (1 + 0,0506) · C
0
 ⇒
C
2
 = C
0
 + 0,0506 · C
0
Logo, o percentual de aumento foi de 0,0506 = 5,06%
Resposta: D 
02. Comentário:
 O capital inicial C
0
 = 600 reais sofrerá 5 aumentos sucessivos de i = 30% = 0,3. Daí, o montante será:
C C i C5 0
5
5
5
1 600 1 3 600 3 71293 2 227 75= + ⇒ = ⋅( ) = ⋅ =( ) , ( , ) . ,
Portanto, o montante será igual a R$ . , .2 227 75 
Resposta: A 
03. Comentário:
 Sejam a, b e c os respectivos valores da 6ª, 7ª e 8ª parcelas, no momento de pagar a sexta parcela. Sabemos que cada uma dessas 
parcelas, sendo paga no referido mês, vale P. Assim, temos:
I. a = P
II. P = b · (1 + i)1 ⇒ b
P
i
=
+( )1
III. P = c · (1 + i)2 ⇒ c
P
i
=
+( )1 2
C-1 H-3, 4
Aula
25
11
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
Logo, a expressão do valor total pago é:
a b c P
P
i
P
i
a b c P
i i
+ + = +
+
+
+
+ + = +
+
+
+




( %) ( %)
( %) ( %)
1 1
1
1
1
1
1
2
2
 Resposta: A
04. Comentário:
 Sendo S
0
 = x reais a dívida inicial e S
n
 o saldo devedor após n pagamentos, o próximo saldo devedor será:
S
n + 1
 = S
n
 ⋅ (1 + 10%) ⋅ (1 – 20%)
S
n + 1
 = (1,1) ⋅ (0,8).S
n
S
n + 1
 = 0,88 ⋅ S
n
Assim, a sequência de saldos devedores (S
0
, S
1
, S
2
, ..., S
n
, ...) é uma P.G. de razão q = 0,88. Daí:
S
n
 = S
0 
⋅
 
qn – 0
S
n
 = x ⋅ (0,88)n
Portanto, S
12
 = x ⋅ (0,88)12.
Resposta: C
05. Comentário:
 Temos que:
I. C
12
 = C
0
⋅(1 + 0,01)12 ⇒ C C12 0 6 21 01= ⋅ [( , ) ] ⇒ =( , )1 01 6 12
0
C
C
II. C C18 12
18 121 0 01= ⋅ + −( , ) ⇒ C C C C
C
C
18 12
6
18 12
12
0
1 01= ⋅ ⇒ = ⋅( , )
Logo, C C
C
C
C
C
C
C
C C18 12
12
0
0
0
12
0
12 0= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . 
Resposta: C
12
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA I
Anual – Volume 5
Gabaritos
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Aula 21: Progressão Geométrica (P.G. – Parte II)
01 02 03 04 05
D D A A C
Aula 22: Progressão Geométrica (P.G. – Parte III)
01 02 03 04 05
D B A B B
Aula 23: Porcentagem
01 02 03 04 05
A B A D B
Aula 24: Lucros e Juros Simples
01 02 03 04 05
C D D E *
* 05: R$ 6.060,00
Aula 25: Lucros Compostos
01 02 03 04 05
D A A C C
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Aula 21: Progressão Geométrica (P.G. – Parte II)
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
C C E * B A D A A A
Aula 22: Progressão Geométrica (P.G. – Parte III)
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
C E C B B A A A D C
Aula 23: Porcentagem
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
E B B E C B D C C *
* 10: 30 litros de gasolina comum e 15 de álcool.
Aula 24: Lucros e Juros Simples
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
* A E D A B B D D E
* 01: 25%
Aula 25: Lucros Compostos
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
C A A B A A C C C D
MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA II
FUNÇÕES (EXPONENCIAL E 
LOGARÍTMICA)
FUNÇÕES (EXPONENCIAL E 
LOGARÍTMICA)
Vo
lu
m
e5
MATEMÁTICA II
FUNÇÕES (EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA)
Objetivo(s):
• Formar embasamento para o conceito do logaritmo.
• Saber o conceito algébrico de logaritmo, mostrando a logaritmação como operação inversa da potenciação.
• Conhecer as propriedades operatórias dos logaritmos.
• Efetuar uma mudança na base de um sistema de logaritmos para outro.
• Distinguir característica e mantissa de um logaritmo.
• Conhecer e saber utilizar tábuas de logaritmos decimais com aplicação ao cálculo numérico.
• Resolver equações e inequações exponenciais com e sem auxílio de logaritmos.
• Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas,realizando previsão 
de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
Conteúdo:
AULA 21: FUNÇÃO LOGARÍTMICA (PARTE I)
Definição .................................................................................................................................................................................................................26
Condições de existência ..........................................................................................................................................................................................26
Consequências da definição ....................................................................................................................................................................................26
Exercícios ...............................................................................................................................................................................................................26
AULA 22: FUNÇÃO LOGARÍTMICA (PARTE II)
Propriedades operatórias ........................................................................................................................................................................................28
Exercícios ...............................................................................................................................................................................................................28
AULA 23: FUNÇÃO LOGARÍTMICA (PARTE III)
Função logarítmica .................................................................................................................................................................................................31
Gráficos ...................................................................................................................................................................................................................31
Exercícios ...............................................................................................................................................................................................................31
AULA 24: ANÁLISE DE GRÁFICOS E TABELAS
Exercícios ...............................................................................................................................................................................................................34
AULA 25: EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO PARA O ENEM (PARTE I)
Exercícios ...............................................................................................................................................................................................................40
26
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática II
Anual – Volume 5
Aula 21: 
Função Logarítmica (Parte I)
O conceito de logaritmo foi introduzido 
pelo matemático escocês John Napier 
(1550-1617).
W
ik
im
ed
ia
 F
ou
nd
at
io
n 
Nas aulas anteriores, apresentamos equações e inequações 
exponenciais cujas soluções não apresentavam grandes difi culdades. 
Vamos rever o assunto por meio de alguns exemplos.
Observe as equações a seguir:
I. 27x = 729
II. 256x = 4
III. 3x = –9
IV. 5x = 0
V. 0x = 4
VI. 1x = 7
VII. (–2)x = x
VIII. 3x = 7
Possuem solução no universo real: I, II e VIII.
Defi nição
b é o logaritmando
a é a base
x é o logaritmo de b na base a
log
a
b = x ⇔ ax = b, onde
obtém-se
elevando-se



Condições de existência
b > 0
1 ≠ a > 0
Consequências da defi nição
1) log
a
 1 = 0 2) log
a
 a = 1
3) log
a
 aα = α 4) aloga b = b
5) b = c ⇔ log
a
 b = log
a
 c
Observações:
I. b também é conhecido como antilogaritmo, podendo ser 
indicado pela igualdade:
b = antilog
a
 x;
II. Logaritmo neperiano (ou natural) é aquele que possui como 
base uma constante denominada número de Euler (ou de 
Neper) (e ≅ 2, 718...);
III. Logaritmo decimal é aquele de base 10.
C-5 H-19, 20
H-23
H-21, 22Aula
21
Exercícios de Fixação
01. (EsPCEx) O logaritmo de um número natural n, n > 1, coincidirá 
com o próprio n se a base for:
A) nn
B) 
1
n
C) n2
D) n
E) nn
02. A soma S = + −log log log8 2 22 8 8 corresponde a
A) 
19
6
 B) 
17
6
C) 
15
6
 D) 
13
6
E) 
11
6
03. Acrescentando-se 48 unidades a um número, seu logaritmo 
na base 5 aumenta em 2 unidades. Esse número é
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 12
04. Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 
740 °C. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40 °C. 
Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de 
acordo com a função 
T T T TAR
t
AR(t) = −( ) ⋅ +
−
0
1210
sendo t o tempo em minutos, T
0
 a temperatura inicial e T
AR
 a 
temperatura do ar. Com essa função, concluímos que o tempo 
requerido para que a temperatura no centro atinja 140 °C é 
dado pela seguinte expressão, com o log na base 10:
A) 12[log(7) – 1] minutos
B) 12[1 – log(7)] minutos
C) 12log(7) minutos
D) [1 – log(7)]/12 minutos
05. A fi m de medir a magnitude de um terremoto, os sismólogos 
Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a 
escala Richter, em 1935. Nessa escala, o maior terremoto já 
registrado foi o grande terremoto do Chile, em 1960, atingindo 
a magnitude de 9,5, seguido do ocorrido na Indonésia, em 
2004, que atingiu a magnitude de 9,3. Na escala Richter, 
a magnitude M é dada por M = log A − log A
0
, onde log 
denota logaritmo decimal, A é a amplitude máxima medida 
pelo sismógrafo e A
0
 é uma amplitude de referência padrão. 
Sabe-se também que a energia E, em ergs (1 erg = 10−7 Joules), 
liberada em um terremoto está relacionada à sua magnitude 
M por meio da expressão log E = 11,8 + 1,5M.
27
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática II
Anual – Volume 5
Sabendo que no litoral do Brasil, em 1955, foi registrado 
um terremoto de magnitude 6,3 na escala Richter, a energia 
liberada pelo terremoto ocorrido na Indonésia foi quantas vezes 
a energia liberada pelo terremoto ocorrido no Brasil? 
A) 50000 50
B) 10000 10
C) 50000 10
D) 5000 10
E) 1000 10
Exercícios Propostos
01. (Uece) Se K = log
5 6 35+( ), então 5k + 5–k é igual a
A) 6
B) 8
C) 12
D) 16
02. (Enem) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala 
Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando 
um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro 
terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan 
(sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares 
de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter 
pode ser calculada por M
E
E
= 



2
3 0
log , sendo E a energia, 
em kWh, liberada pelo terremoto e E
0
 uma constante real 
positiva. Considere que E
1
 e E
2
 representam as energias liberadas 
nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.
Disponível em: <www.terra.com.br>. 
Acesso em: 15 ago. 2013. Adaptado.
Qual a relação entre E
1
 e E
2
?
A) E
1
 = E
2
 + 2
B) E
1
 = 102 · E
2
C) E
1
 = 103 · E
2
D) E E1
9
7
210= ⋅
E) E E1 2
9
7
= ⋅
03. (Unifor) Se16
1
0 125
x =
,
, o valor de log4
3
x
é:
A) –1
B) − 1
2
C) 1
2
D) 1
E) 2
04. Se x = log
3
2, então 9 812 2x
x
+ é:
A) 12
B) 18
C) 20
D) 36
E) 48
05. Sobre a equação ( ) log ,x x xx+ ⋅ ⋅ + − =−3 2 1 0
2 9 2 é correto 
afi rmar que
A) ela não possui raízes reais.
B) sua única raiz real é –3.
C) duas de suas raízes reais são 3 e –3.
D) suas únicas raízes reais são –3, 0 e 1.
E) ela possui cinco raízes reais distintas.
06. Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a 
tecla A é digitada, o número que está no visor é substituído pelo 
logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, 
o número do visor é multiplicado por 5.
Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, 
e obteve no visor o número 10.
 Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o 
seguinte número:
A) 20 B) 30
C) 40 D) 50
E) 60
07. Suponha que o nível sonoro n e a intensidade l de um som 
estejam relacionados pela equação logarítmica: n = 120 + 10 ⋅ 
log l, em que n é medido em decibéis, e l, emwatts por metro 
quadrado. O nível de ruído percebido pelo ouvido humano está 
entre 0 e 140 decibéis (dB). Exemplos típicos de ruídos:
Tipo de ruído Ruído (dB)
Quarto à noite 20 a 30
Biblioteca 30 a 40
Sala de estar 40 a 50
Conversação 50 a 70
Tráfego 70 a 80
Dentro do ônibus 80 a 90
Dentro do metrô 90 a 100
A 1 m da buzina de um carro 100 a 130
No limiar da dor 130 a 140
Se uma pessoa é incomodada por um ruído que chega a seus 
ouvidos com uma intensidade de 0,01 w/m2, podemos concluir 
corretamente que esse ruído é comparável à(ao)
A) quarto à noite. 
B) biblioteca.
C) tráfego. 
D) dentro do ônibus.
E) dentro do metrô.
08. Se a é a base do sistema de logaritmo no qual o logaritmo de 
3 é igual a − 1
7
, o valor de ab, onde 7b = –3, equivale a:
A) 
1
27
 B) 
1
3
C) 3 D) 9
E) 27
09. O valor de 4 22
3
2
51log log+ + é
A) 16 B) 17
C) 18 D) 19
E) 20
28
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática II
Anual – Volume 5
10. Sejam as funções reais dadas por f(x) = 22x + 1 e g(x) = 3x + 1. 
Se b ∈ R tal que f g1
2
2





 = (b) e p = log3b. Então, sobre p é 
correto afi rmar que
A) é negativo e menor que 1. 
B) é positivo e menor que 1.
C) não está defi nido. 
D) é positivo e maior que 1.
Fique de Olho
• QUESTÃO RESOLVIDA:
Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, resolva a equação: 
9x – 7 · 3x + 10 = 0
 Resolução:
 Preparando a equação, temos: 32x – 7 · 3x + 10 = 0
 Fazendo 3x = y, temos: y2 – 7y + 10 = 0 → raízes y
y
=
={ 52
 Logo: ou
 3x = 5 3x = 2
 log 3x = log 5 log 3x = log 2
x
x
= =
−
=
−
≅
log
log
log log
log
,
,
,
5
3
10 2
3
1 0 30
0 48
1 458
x
x
= =
≅
log
log
,
,
,
2
3
0 30
0 48
0 625
Resposta: S = {0,625; 1,458}
Aula 22: 
Função Logarítmica (Parte II)
Propriedades operatórias
1) log
a
 (b · c) = log
a
 b + log
a
 c produto
2) loga
b
c
 = log
a
 b – log
a
 c = log
a
 b + colog
a
 c quociente
3) log log
b b
a aβ α
α
β
= potências
4) log
c
 b · log
a
 c = log
a
 b cancelamento
5) log
c
 b = 
log
log
a
a
b
c
 mudança de base
6) log
a
 b = 
1
logb a
inversão
C-5 H-19, 20
H-23
H-21, 22Aula
22
Exercícios de Fixação
01. (U.F.O.P.-MG) Se a, b, c ∈ r+* e log x = a
b
c+ −log log , 
2
 então 
o valor de x é:
A) 
10a b
c
⋅
 B) 
a b
c
10 ⋅
 
C) 
10a b
c
⋅
 D) 
a b
c
⋅
 
E) 
ab
c
2
02. (Enem) Com o avanço em ciência da computação, estamos 
próximos do momento em que o número de transistores no 
processador de um computador pessoal será da mesma ordem 
de grandeza que o número de neurônios em um cérebro 
humano, que é da ordem de 100 bilhões. Uma das grandezas 
determinantes para o desempenho de um processador é a 
densidade de transistores, que é o número de transistores por 
centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um 
processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 
0,25 cm2 de área. Desde então, o número de transistores por 
centímetro quadrado que se pode colocar em um processador 
dobra a cada dois anos (Lei de Moore).
Disponível em: <www.pocket-Int.com/>. 
Acesso em: 1 dez. 2017. Adaptado.
Considere 0,30 como aproximação para log
10
2.
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 
bilhões de transistores?
A) 1999
B) 2002
C) 2022
D) 2026
E) 2146
03. (Enem) Um contrato de empréstimo prevê que
quando uma parcela é paga de forma antecipada 
conceder-se-á uma redução de juros de acordo 
com o período de antecipação. Nesse caso, paga-
se o valor presente, que é o valor, naquele 
momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data 
futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com 
taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V 
determinado pela fórmula.
V = P · (1 + i)n
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fi xas 
mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros 1,32% ao mês, 
junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma 
outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do 
valor da parcela. Utilize 0,2877 como aproximação para In 4
3




e 0,0131 como aproximação para In (1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto a 
30a é a
A) 56ª B) 55ª
C) 52ª D) 51ª
E) 45ª
29
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática II
Anual – Volume 5
04. Se log
ab
 a = 4, então logab
a
b
3
 vale:
A) 
19
6
 B) 
17
6
C) 
15
6
 D) 
13
6
E) 
11
6
05. Um capital de R$ 5.000,00 cresce em uma aplicação fi nanceira 
de modo que seu montante daqui a t anos será M = 5.000 · e0,2t.
Ao término do primeiro ano, o capital inicial terá crescido:
Use a tabela a seguir.
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
ex 1 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487
A) 22,14% 
B) 34,99%
C) 49,18% 
D) 64,87%
Exercícios Propostos
01. Um comerciante desconta uma nota promissória no valor de 
R$ 1 000,00, com vencimento para 60 dias, em um banco cuja 
taxa de desconto simples é de 12% ao mês. A taxa mensal 
de juros [compostos] que o comerciante está pagando nessa 
transação é:
A) 11% ao mês.
B) 12% ao mês.
C) 14,71% ao mês.
D) 16,21% ao mês.
E) 24,07% ao mês.
02. Em certo país, as leis de trânsito consideram que o limite de 
álcool no sangue permitido para dirigir com segurança (LP) é 
0,6 grama de álcool por litro de sangue. A melhor forma de 
curar uma bebedeira é esperar o tempo passar, pois à medida 
que o tempo passa, o estado de embriaguez tende a diminuir.
Um modelo matemático que serve para estimar o tempo 
de desaceleração do nível de álcool no sangue é dado por
t
LP
NA
= 



log ,,0 5 em que t é o tempo, em horas, e NA, o nível 
de álcool no sangue, em grama/litro. Usando log 2 = 0,3 e 
considerando que, depois de tomar 7 latas de cerveja , o nível 
de álcool no sangue de uma pessoa tenha atingido 1,5 grama/
litro, é correto afi rmar que, segundo a Lei de Trânsito daquele 
país, ela só poderá dirigir com segurança após ter passado, no 
mínimo,
A) 1h.
B) 1 h 20 min.
C) 1 h 48 min.
D) 1 h 34 min.
E) 48 min.
03. Uma pessoa investiu uma importância V
0
 em uma aplicação 
fi nanceira que rende 28% ao ano.
Suponha que essa pessoa não mexa nesse investimento e, 
usando a aproximação log
10
 2 = 0,3, o tempo necessário, em 
anos, para que o valor acumulado V(n) seja igual a oito vezes 
o capital inicial V
0
 corresponde a:
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
04. (Enem) Para realizar a viagem dos sonhos, uma
pessoa precisava fazer um empréstimo no valor 
de R$ 5.000,00. Para pagar as prestações, dispõe 
de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse 
valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em 
função do número de prestações (n) segundo a fórmula
P
n
n
=
× ×
−
5 000 1 013 0 013
1 013 1
. , ,
( , )
Se necessário, util ize 0,005 como aproximação para
log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como 
aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas 
cujos valores não comprometem o limite defi nido pela pessoa é
A) 12 
B) 14
C) 15 
D) 16
E) 17
05. Adotando-se log 2 = a e log 3 = b, o valor de log
1,5
 135 é 
igual a
A) 
3ab
b a−
B) 
2 1
2
b a
b a
− +
−
C) 
3b a
b a
−
−
D) 3b a
b a
+
−
E) 3 1b a
b a
− +
−
06. Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente 
é o tempo necessário para que o valor dessa grandeza 
se reduza à metade. Uma substância radioativa decresce 
exponencialmente de modo que sua quantidade, daqui a 
t anos, é Q(t) = A ⋅ (0,975)t.
Adotando os valores �n 2 = 0,693 e �n 0,975 = – 0,025, o valor 
da meia-vida dessa substância é, aproximadamente,
A) 25,5 anos.
B) 26,6 anos.
C) 27,7 anos.
D) 28,8 anos.
E) 29,9 anos.
30
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática II
Anual – Volume 5
07. Estima-se que o PIB de uma ilha, daqui a x anos, seja 
y
1
 = 60 000 ⋅ e0,05x unidades monetárias, em que:
x = 0 é o ano de 2014,
x = 1 é o ano de 2015 e assim por diante.
 Estima-se também que o número de habitantes da ilha, daqui 
a x anos, seja y
2
 = 10000 e0,04x.
Daqui a quantos anos o PIB per capita (ou PIB por pessoa) será 
aproximadamente 50%superior ao de 2014?
A) 31 
B) 26
C) 36 
D) 41
E) 46
Utilize a tabela:
x 0,5 1 2 3 4 5
lnx – 0,69 0 0,69 1,10 1,39 1,61
08. (Enem) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 
3000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. 
Use 0,477 como aproximação para log
10
(3) e 1,041 como 
aproximação para log
10
(11). O tempo decorrido, em hora, até 
que a liga atinja 30 °C é mais próximo de
A) 22
B) 50
C) 100
D) 200
E) 400
09. O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão 
pH = –log[H+], em que [H+] indica a concentração, em mol/L, 
de íons de hidrogênio na solução, e log, o logaritmo na base 10. 
Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador 
verifi cou que, nela, a concentração de íons de hidrogênio era 
[H+] = 5,4 · 10–8 mol/L.
Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores 
aproximados de 0,30, para log 2, e de 0,48, para log 3.
 Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa 
solução foi
A) 7,26
B) 7,32
C) 7,58
D) 7,74
10. Precisamos de um nome para o novo replicador, um substantivo 
que comunique a ideia de unidade de transmissão cultural. 
“Mimeme” vem do grego “aquilo que é replicado“, mas eu 
quero um monossílabo que se pareça com gene. Eu espero que 
meus amigos clássicos me perdoem por abreviar mimeme para 
meme. Se uma ideia se alastra, é dita que se propaga sozinha.
DAWKINS, R. O gene egoísta. Trad. Geraldo H. M. Florsheim.
Belo Horizonte: Itatiaia, 2001. p. 214. Adaptado.
Diversos segmentos têm utilizado serviços de marketing para 
criação e difusão de memes de seu interesse. Um partido 
político com P
0
 = 20 fi liados encomendou um anúncio que 
se tornou um meme em uma rede social, sendo que 5% dos
K = 2 · 109 usuários ativos visualizaram o anúncio no instante 
t = 1. Sejam e > 1, r > 0 constantes e suponha que a função 
P(t) dada por P
K P e
K P
r t
t
(t)
(e )r
= ⋅ ⋅
+ −
⋅
⋅
0
0 1
 representa a quantidade de 
usuários da rede social que visualizaram o meme no instante t.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da 
constante r para essa rede social.
A) loge
10 1
19
8 −



 B) loge
10 1
19
9 −



C) loge
10 1
20
9 −



 D) 
10 1
19
8 −
E) 10 1
20
9 −
Fique de Olho
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Seja log 5 = m; log 2 = p e N = 125
1562 5
25
3
,
.
O valor de log
5
 N, em função de m e p, é:
A) 
70 6
5
m p
m
+
B) 75 6
15
m p
m
−
C) 75 6
5
m p
p
−
D) 70 6
15
m p
m
+
E) 
70 6
15
m p
p
+
 Resolução:
N
N
N
N
N
= ⋅
=
⋅
=
= ⋅
=
−
5
3125
2 2
5 5
2
5
2
5 2
70
15
3
5
3
9 5
65
3
70
6
15
70
15
6
15
log log55
6
15
2
70 6
15
5
70 6
15
5 5
−
=
−
= =
−
⇒
log
log
,
log
log
log
log
N
m p
Logo
N
N
m p
m
N ==
−70 6
15
m p
m
Resposta correta: B
31
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática II
Anual – Volume 5
Aula 23: 
Função Logarítmica (Parte III)
Função logarítmica
Defi nição
Chama-se função logarítmica de base a, com a > 0 e a ≠ 1 
à correspondência.
g: r r+ →
→
*
logx xa
A função logarítmica é a inversa da função exponencial, isto é:
f: r r→
→ =
+
*
y x ay
f : − += →
→ =
1 g
x y xa
r r*
log
Gráfi cos
I. Função logarítmica de base a, com a > 1
y
y = log
a
 x
(a > 1)
1
1 a x
• Domínio R+
* . Contradomínio R.
• Contínua em todo o domínio.
• A função é estritamente crescente em R e, portanto, injetiva.
• A função tem um único zero em x = 1. O gráfi co g não intercepta 
o eixo das ordenadas.
• x = 0 é a única assíntota ao gráfi co de g.
II. Função logarítmica de base a, com 0 < a < 1
(0 < a < 1)
y
xa
1
1
y = log
a
 x
• Domínio R+
* ; Contradomínio R.
• Contínua em todo o domínio.
• A função é estritamente decrescente em R e, portanto, injetiva.
• O gráfi co de g intercepta o eixo das abscissas no ponto (1, 0) e 
não intercepta o eixo das ordenadas.
• x = 0 é a única assíntota ao gráfi co de g.
C-5 H-19, 20
C-6 H-24
H-23Aula
23
Exercícios de Fixação
01. Uma ferrovia cruza o latifúndio do Sr. Herculano, cuja forma é 
a do retângulo ABCD, conforme mostra o mapa simplifi cado, 
no qual o sistema cartesiano tem o quilômetro como unidade.
y
x
A B
D C
y = log
2
 x
O trecho em que a linha férrea percorrerá suas terras é curvilíneo 
e pode ser representado pela função logarítmica y = log
2 
x.
 O vértice A possui abscissa 
1
4
 e B, 8.
A área, em km2, do latifúndio, corresponde a:
A) 38,95
B) 38,75
C) 38,5
D) 38,25
E) 38
02. (Uece – Adaptada) Seja R+ o conjunto dos números reais 
positivos e f : R → R+ a função defi nida por f(x) = 2x. Essa função 
é invertível. Se f–1 : R+ → R é sua inversa, então, o valor de 
f–1(16) – f–1(2) – f–1(1) é
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
03. (Unifor – Adaptada) O mais amplo domínio real da função f 
defi nida por f x(x) log= − −1 3 é
A) ] , ]0
1
3
B) [ , [
1
3
+ ∞
C) [ , [− + ∞1
3
D) ] , ]− ∞ 1
3
E) ] , ]− ∞ −1
3
32
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática II
Anual – Volume 5
04. A equação log
10
x = x2 – 2x
A) não tem solução.
B) tem somente uma solução.
C) tem duas soluções positivas.
D) tem duas soluções cujo produto é negativo.
E) tem duas soluções cujo produto é nulo.
05. Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 
8% com juros capitalizados anualmente. Considerando que não 
foram feitas novas aplicações ou retiradas, o número inteiro 
mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja 
maior que o dobro do capital inicial é
(Se necessário, use: log 2 = 0,301 e log 108 = 2,034.)
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Exercícios Propostos
01. O domínio da função f(x) = log
(x – 1)
 (x2 – 7x + 12) corresponde a
A) Dom
f
 = {x ∈ R | 2 < x < 3 ou x > 4}
B) Dom
f
 = {x ∈ R | 1 < x < 2 ou x > 3}
C) Dom
f
 = {x ∈ R | x > 1}
D) Dom
f
 = {x ∈ R | 1 < x < 2 ou 2 < x < 3 ou x > 4}
E) Dom
f
 = {x ∈ R | 1 < x < 3 ou 3 < x < 4 ou x > 5}
02. Observe a imagem a seguir, que representa o gráfi co de uma 
função logarítmica.
 
y
x
– 1
– 2
0
0 11 22 33 44 55 66 77 88
1
2
3
4
Sabendo-se que a lei da função é f(x) = log
a
 (x – k), tem-se que 
a + k é igual a
A) 4 
B) 3
C) 2 
D) 1
03. (Enem) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros 
das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas 
bordas superiores fossem representadas pela curva de equação 
y = log (x), conforme a fi gura. 
h
x(m)
n
0
1
y(m)
y = log(x)
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre 
divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela 
ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro 
determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em 
função da medida n de sua base, em metros.
A) log log
n n n n+ +




 −
− +





2 24
2
4
2
B) log log1
2
1
2
+



− −



n n
C) log log1
2
1
2
+



+ −



n n
D) log
n n+ +





2 4
2
E) 2
4
2
2
log
n n+ +





04. Os alunos do curso de Meio Ambiente do campus Cabo de 
Santo Agostinho observaram que o número de fl ores em uma 
árvore X segue o modelo matemático F(h) = 16 – log
2
(3h + 1), 
onde F(h) é a quantidade de fl ores após h horas de observação. 
Após quanto tempo de observação essa árvore estará com 
apenas 10 fl ores?
A) 6 horas. B) 25 horas.
C) 20 horas. D) 21 horas.
E) 64 horas.
05. O gráfi co abaixo representa a duração máxima do esforço 
muscular contínuo (em minutos) em função da intensidade 
do esforço exercido (como porcentagem do esforço máximo), 
conforme estudos de biomecânica e ergonomia.
intensidade (%) 100 x
y
500
0
duração (min)
33
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática II
Anual – Volume 5
A equação que melhor descreve essa função é:
A) y
x
= 



log
100
B) y
x= 



log
100
C) y
x= −



log
100
D) y
x
= −



log
100
E) y = log(x + 100)
06. No deserto de Mohave (EUA), engenheiros americanos estão 
fazendo testes em um “carro-foguete” cujo consumo de 
combustível é dado pela função C(t) = 3log2(2t−1) , em que C é o 
consumo em decilitros (dL) e t é o tempo em segundos (s).Se o 
carro terá que percorrer 1125 m a uma velocidade média de 
250 m/s, quantos litros ele consumirá para percorrer tal distância?
A) 2,6 L 
B) 2,7 L
C) 2,8 L 
D) 2,9 L
E) 3,0 L
07. (Unioeste-PR) Uma colônia A de bactérias cresce segundo a 
função A(t) = 2 · (4t), e uma colônia B cresce segundo a função 
B(t) = 32 · (2t), sendo t o tempo em hora. De acordo com 
essas funções, imediatamente após o instante t’, o número de 
bactérias da colônia A é maior que o número de bactérias da 
colônia B. Pode-se afi rmar que
A) t’ é um número ímpar.
B) t’ é divisível por 3.
C) o dobro de t’ é maior que 7.
D) t’ é maior que 15.
E) t’ é múltiplo de 5.
08. Considere as funções f e g dadas por f(x) = log(x), para todo x 
real positivo, e g
x
x
(x) ,=
+1
para todo x natural diferente de 0. 
O valor de x que torna verdadeira a igualdade
f(x) = f(g(1)) + f(g(2)) + f(g(3)) + ... + f(g(98)) + f(g(99)) é
A) 10–3
B) 10–4
C) 10–2
D) 10–5
E) 10–1
09. A intensidade D de um terremoto, medida na escala Richter, 
é um número dado pela fórmula empírica D
E
E
= ⋅2
3 0
log ,
na qual E é a energia liberada no terremoto, em kilowatt-hora, 
e E
0
 = 7 × 10–3 kWh.
A mínima energia liberada em um terremoto de intensidade 
igual ou superior a 8 na escala Richter corresponde a:
A) 7.000.000.000 kWh
B) 700.000 kWh
C) 70.000 kWh
D) 7.000 kWh
E) 700 kWh
10. A pressão p do vapor-d’água no interior de uma panela de 
pressão, em Newtons por centímetro quadrado (N/cm2), varia 
em função da temperatura t, em grau Celsius (°C), de acordo 
com a função f(t) = 7 · (1,04)t – 90, quando t varia de 90 °C à 
130 °C, conforme mostra o gráfi co:
P
f
33,61
15,33
7,00
13090 k
t
Conhecendo os valores log219 = 2,34 e log104 = 2,02, 
concluímos que, quando a pressão interna do vapor-d’água é 
15,33 N/cm2, a temperatura no interior da panela é igual a
A) 110 °C
B) 109 °C
C) 108 °C
D) 107 °C
E) 106 °C
Fique de Olho
QUESTÃO RESOLVIDA DA UFC
• Seja S o conjunto-solução da inequação:
log log log (x )
1
3
3 9 8 0x + −( ) ≥ .
Se Z representa o conjunto dos números inteiros, então o 
conjunto Z ∩ S possui exatamente
A) 2 elementos.
B) 3 elementos.
C) 1 elemento.
D) 4 elementos.
E) 5 elementos.
Resolução:
I. Condições de existência (CE):
1) x x> ⇒ >0 0
2) x – 8 > 0 ⇒ x > 8
34
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática II
Anual – Volume 5
3)
I
log log (x ) log log
log log
3 9 3 3
3 3
8 0
1
2
8 0
8 1
x x x
x x
+ −( ) > ⇒ + −( ) > ⇒
⋅ −( ) > ⇒ xx x
x
x x
(x ) (x )
x
− > ⇒ − > ⇒
⇒ − − > ⇒
<
−
>
+
8 1 8 1
8 1 0
8 68
2
8 68
2
2
 ou 
CE
Final
 = 1 ∩ 2 ∩ 3 , logo x >
+8 68
2
II. Solução da desigualdade:
II
log log log (x )
log log (x )
log log (x
1
3
3 9
3 9
3 3
8 0
8 1
1
2
x
x
x
+ −( ) ≥ ⇒
+ − ≤ ⇒
+ − 88 3
8 3 8 9
8 9 0 1 9
3
3 3
2
) log
log log (x )
x
≤ ⇒
⋅ −( ) ≤ ⇒ − ≤
⇒ − − ≤ ⇒ − ≤ ≤
x x x
x x
III. Solução fi nal (S):
8 + 68
2
8 – 68
2
9
9
–1
I
II
IIs = I
S x x= ∈
+
< ≤






r /
8 68
2
9
 Assim, S ∩ Z = {9} ⇒ Letra C
 Logaritmo - Parte II
Função Logarítmica
Seção Videoaula
Logaritmo - Parte I
Aula 24: 
Análise de Gráfi cos e Tabelas
Exercícios de Fixação
01. (Enem) Uma empresa registrou seu desempenho 
em determinado ano por meio do gráfi co, com 
dados mensais do total de vendas e despesas.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Total vendas Despesas
O lucro mensal é obtido pela subtração entre o total de vendas 
e despesas, nesta ordem.
Quais os três meses do ano em que foram registrados os maiores 
lucros?
A) Julho, setembro e dezembro.
B) Julho, setembro e novembro.
C) Abril, setembro e novembro.
D) Janeiro, setembro e dezembro.
E) Janeiro, abril e junho.
02. (Enem) De acordo com um relatório recente da
Agência Internacional de Energia (AIE), o mercado 
de veículos elétricos atingiu um novo marco em 
2016, quando foram vendidos mais de 750 mil 
automóveis da categoria. Com isso, o total de 
carros elétricos vendidos no mundo alcançou a marca de 
2 milhões de unidades desde que os primeiros modelos começaram 
a ser comercializados em 2011. No Brasil, a expansão das 
vendas também se verifi ca. A marca A, por exemplo, expandiu 
suas vendas no ano de 2016, superando em 360 unidades as 
vendas de 2015, conforme representado no gráfi co.
2014
2015
2016
Ano
Nº de carros
Disponível em:<www.tecmundo.com.br>. Acesso em: 5 dez. 2017.
C-6 H-24, 25
H-26Aula
24
35
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática II
Anual – Volume 5
A média anual do número de carros vendidos pela marca A, 
nos anos representados no gráfi co, foi de
A) 192. 
B) 240.
C) 252. 
D) 320.
E) 420.
03. (Enem) Os guindastes são fundamentais em
canteiros de obras, no manejo de materiais 
pesados como vigas de aço. A fi gura ilustra uma 
sequência de estágios em que um guindaste iça 
uma viga de aço que se encontra inicialmente no 
solo.
M
Viga
Cabo
de aço
O
Estágio 1
M
O
Estágio 2
M
O
Estágio 3
M
Viga
Cabo
de aço
O
Estágio 1
M
O
Estágio 2
M
O
Estágio 3
M
Viga
Cabo
de aço
O
Estágio 1
M
O
Estágio 2
M
O
Estágio 3
Na fi gura acima, o ponto O representa a projeção ortogonal do 
cabo de aço sobre o plano do chão e este se mantém na vertical 
durante todo o movimento de içamento da viga, que se inicia 
no tempo t = 0 (estágio 1) e fi naliza no tempo t
f
 (estágio 3). 
Uma das extremidades da viga é içada verticalmente a 
partir do ponto O, enquanto que a outra extremidade 
desliza sobre o solo em direção ao ponto O. Considere 
que o cabo de aço utilizado pelo guindaste para içar a viga 
fique sempre na posição vertical. Na figura, o ponto M 
representa o ponto médio do segmento que representa a viga.
O gráfi co que descreve a distância do ponto M ao ponto O, 
em função do tempo, entre t = 0 e t
f
, é
Tempo
Distância
0 t
f
0 Tempotf
Tempo
Distância
0 tf
Distância
Tempo
Distância
0 tf
A)
C)
B)
Tempo
Distância
0 tf
D)
E)
Tempo
Distância
0 t
f
0 Tempotf
Tempo
Distância
0 tf
Distância
Tempo
Distância
0 tf
A)
C)
B)
Tempo
Distância
0 tf
D)
E)
Tempo
Distância
0 t
f
0 Tempotf
Tempo
Distância
0 tf
Distância
Tempo
Distância
0 tf
A)
C)
B)
Tempo
Distância
0 tf
D)
E)
Tempo
Distância
0 t
f
0 Tempotf
Tempo
Distância
0 tf
Distância
Tempo
Distância
0 tf
A)
C)
B)
Tempo
Distância
0 tf
D)
E)
Tempo
Distância
0 t
f
0 Tempotf
Tempo
Distância
0 tf
Distância
Tempo
Distância
0 tf
A)
C)
B)
Tempo
Distância
0 tf
D)
E)
04. (Enem) Para que o pouso de um avião seja 
autorizado em um aeroporto, a aeronave deve 
satisfazer, necessariamente, as seguintes 
condições de segurança:
I. a envergadura da aeronave (maior distância entre as pontas 
das asas do avião) deve ser, no máximo, igual à medida da 
largura da pista;
II. o comprimento da aeronave deve ser inferior a 60 m;
III. a carga máxima (soma das massas da aeronave e sua carga) 
não pode exceder 110 t.
Suponha que a maior pista desse aeroporto tenha 0,045 km 
de largura, e que os modelos de aviões utilizados pelas 
empresas aéreas, que utilizam esse aeroporto, sejam dados 
pela tabela.
Modelo
Dimensões 
(comprimento x 
envergadura)
Carga máxima
A 44,57 m x 34,10 m 110 000 kg
B 44,00 m x 34,00 m 95 000 kg
C 44,50 m x 39,50 m 121 000 kg
D 61,50 m x 34,33 m 79 010 kg
E 44,00 m x 34,00 m 120 000 kg
Os únicos aviões aptos a pousar nesse aeroporto, de acordo 
com as regras de segurança, são os de modelos
A) A e C.
B) A e B.
C) B e D.
D) B e E.
E) C e E.
36
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática II
Anual – Volume 5
05. (FCM Santa Casa-SP) O Nível de Pressão Sonora (NPS) é uma 
medida que determina o grau de potência de uma onda 
sonora, sendo o decibel (dB) sua unidade de medida mais usual. 
O infográfi co a seguir traz dados do NPS de alguns sons.
(em decibéis)
Motor
de avião
140 dB
100 dB
90 dB 93 dB
80 dB
50 dB
*85 dB
60 dB
30 dB
Britadeira e
serra elétrica
Trânsito
em avenidas
Ronco alto
Ronco mais alto
já registrado
Roncomoderado
Causa incômodo em
outros ambientes
(Suécia, 1993)
Já causa incômodo
Conversa
normal
Biblioteca
* É recomendável usar proteção
para níveis superiores a 85 decibéis.
Blá! Blá!
Festa
pode superar
115 dB
Nelson Rico / Arte R7
Re
pr
od
uç
ão
/F
C
M
 S
an
ta
 C
as
a
Disponível em: <http://noticias.r7.com>. Adaptada.
O NPS, em dB, de um som emitido está realcionado à sua 
Intensidade Sonora (I), em W/m2, pela seguinte lei:
NPS = 120 + 10 · log I
Desse modo, a razão entre a intensidade sonora do ronco mais 
alto já registrado e a do ronco moderado, nessa ordem, é um 
valor entre
A) 10 e 100. 
B) 1 e 10.
C) 100 e 1.000. 
D) 10.000 e 100.000.
E) 1.000 e 10.000.
Exercícios Propostos
01. (Enem) Um investidor inicia um dia com x ações de uma 
empresa. No decorrer desse dia, ele efetua apenas dois tipos 
de operações, comprar ou vender ações. Para realizar essas 
operações, ele segue estes critérios:
I. Vende metade das ações que possui, assim que seu valor 
fi car acima do valor ideal (V
i
);
II. Compra a mesma quantidade de ações que possui, assim 
que seu valor fi car abaixo do valor mínimo (V
m
);
III. Vende todas as ações que possui, quando seu valor fi car 
acima do valor ótimo (V
o
).
O gráfi co apresenta o período de operações e a variação do 
valor de cada ação, em reais, no decorrer daquele dia e a 
indicação dos valores ideal, mínimo e ótimo.
Valor da ação (R$)
Vo
Vi
Vm
10 11 12 13 Tempo (hora)14 15 16 17
Quantas operações o investidor fez naquele dia?
A) 3 
B) 4
C) 5 
D) 6
E) 7
02. (Enem) Em um exame, foi feito o monitoramento dos níveis 
de duas substâncias presentes (A e B) na corrente sanguínea 
de uma pessoa, durante um período de 24 h, conforme o 
resultado apresentado na fi gura. Um nutricionista, no intuito 
de prescrever uma dieta para essa pessoa, analisou os níveis 
dessas substâncias, determinando que, para uma dieta semanal 
efi caz, deverá ser estabelecido um parâmetro cujo valor será 
dado pelo número de vezes em que os níveis de A e de B forem 
iguais, porém, maiores que o nível mínimo da substância A 
durante o período de duração da dieta.
Substância A
Substância B
N
ív
el
0 24
Tempo (h)
Considere que o padrão apresentado no resultado do exame, 
no período analisado, se repita para os dias subsequentes.
 O valor do parâmetro estabelecido pelo nutricionista, para uma 
dieta semanal, será igual a
A) 28
B) 21
C) 2
D) 7
E) 14
37
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática II
Anual – Volume 5
03. (Enem) De acordo com a Lei Universal da Gravitação, proposta 
por Isaac Newton, a intensidade da força gravitacional F que a 
Terra exerce sobre um satélite em órbita circular é proporcional 
à massa m do satélite e inversamente proporcional ao quadrado 
do raio r da órbita, ou seja,
F
km
r
=
2
No plano cartesiano, três satélites, A, B e C, estão representados, 
cada um, por um ponto (m ; r) cujas coordenadas são, 
respectivamente, a massa do satélite e o raio da sua órbita em 
torno da Terra.
C
BA
0 Massa (m)
Raio (r)
Com base nas posições relativas dos pontos no gráfico 
anterior, deseja-se comparar as intensidades F
A
, F
B
 e F
C
 da força 
gravitacional que a Terra exerce sobre os satélites A, B e C, 
respectivamente.
As intensidades F
A
, F
B
 e F
C
, expressas no gráfi co, satisfazem a 
relação
A) F
C
 = F
A
 < F
B
B) F
A
 = F
B
 < F
C
C) F
A
 < F
B
 < F
C
D) F
A
 < F
C
 < F
B
E) F
C
 < F
A
 < F
B
04. (Enem) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, 
A e B, estão sendo construídos para serem lançados.
O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o 
objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar 
sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis 
descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá 
descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfi co 
mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do 
tempo, nas simulações realizadas.
20
16
A
ltu
ra
 (m
)
Tempo (s)
A
B
10987654321
12
8
4
0
–4
–8
–12
Com base nas simulações anteriores, observou-se que a 
trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo 
fosse alcançado.
Para alcançar o objetivo, o coefi ciente angular da reta que 
representa a trajetória de B deverá
A) diminuir em 2 unidades.
B) diminuir em 4 unidades.
C) aumentar em 2 unidades.
D) aumentar em 4 unidades.
E) aumentar em 8 unidades.
05. (Enem) Após realizar uma pesquisa de mercado, uma operadora 
de telefonia celular ofereceu aos clientes que utilizavam até 500 
ligações ao mês o seguinte plano: um valor fi xo de R$ 12,00 
para os clientes que fazem até 100 ligações ao mês. Caso 
o cliente faça mais de 100 ligações, será cobrado um valor 
adicional de R$ 0,10 por ligação, a partir da 101a até a 300a; 
e caso realize entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor 
fi xo mensal de R$ 32,00.
Com base nos elementos apresentados, o gráfi co que melhor 
representa a relação entre o valor mensal pago nesse plano e 
o número de ligações feitas é
A)
0
3
6
9
12
15
18
21
50 100 150 200 250 300 350 400
24
27
30
33
Va
lo
r 
m
en
sa
l p
ag
o 
po
r
pl
an
o 
em
 r
ea
is
Número de
ligações
B)
0
3
50 100 150 200 250 300 350 400
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
Va
lo
r 
m
en
sa
l p
ag
o 
po
r
pl
an
o 
em
 r
ea
is
Número de
ligações
C)
0
3
50 100 150 200 250 300 350 400
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
Va
lo
r 
m
en
sa
l p
ag
o 
po
r
pl
an
o 
em
 r
ea
is
Número de
ligações
38
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática II
Anual – Volume 5
D)
E)
0
3
50 100 150 200 250 300 350 400
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
Va
lo
r 
m
en
sa
l p
ag
o 
po
r
pl
an
o 
em
 r
ea
is
Número de
ligações
0
3
50 100 150 200 250 300 350 400
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
Va
lo
r 
m
en
sa
l p
ag
o 
po
r
pl
an
o 
em
 r
ea
is
Número de
ligações
06. (Enem) A diretoria de uma empresa de alimentos resolve 
apresentar para seus acionistas uma proposta de novo produto. 
Nessa reunião, foram apresentadas as notas médias dadas 
por um grupo de consumidores que experimentaram o novo 
produto e dois produtos similares concorrentes (A e B).
Forma Textura Cor Sabor Odor
Proposto
Nota média9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
A B
Tamanho
A característica que dá a maior vantagem relativa ao produto 
proposto e que pode ser usada pela diretoria para incentivar a 
sua produção é a
A) textura.
B) cor.
C) tamanho.
D) sabor.
E) odor.
07. O gráfi co, publicado na edição de 30/07/2008 da revista Veja, 
mostra as taxas de fecundidade no Brasil e na sua população 
urbana e rural, nos anos de 1996 e 2006.
1996
Brasil Urbano Rural
2,5
1,8 1,8 2
3,5
2,3
2006
Taxa de fecundidade
(média de filhos por mulher)
 
1996
Brasil Urbano Rural
2,5
1,8 1,8 2
3,5
2,3
2006
Taxa de fecundidade
(média de filhos por mulher)
Com base nos dados do gráfi co anterior, que fração das 
mulheres vivia na zona rural do Brasil em 1996?
A) 1/3
B) 1/4
C) 1/5
D) 1/6
E) 1/8
08. (Enem) Um dos grandes desafi os do Brasil é o 
gerenciamento dos seus recursos naturais, 
sobretudo os recursos hídricos. Existe uma 
demanda crescente por água e o risco de 
racionamento não pode ser descartado. O nível 
de água de um reservatório foi monitorado por um período, 
sendo o resultado mostrado no gráfi co. Suponha que essa 
tendência linear observada no monitoramento se prolongue 
pelos próximos meses.
Nível do reservatório
Po
rc
en
ta
ge
m
 c
om
 r
el
aç
ão
à 
ca
pa
ci
da
de
 m
áx
im
a
Mês
1 2 3 4 5 6
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, 
para que o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade?
A) 2 meses e meio.
B) 3 meses e meio.
C) 1 mês e meio.
D) 4 meses.
E) 1 mês.
39
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática II
Anual – Volume 5
09. (Enem) Dois reservatórios A e B são alimentados por bombas 
distintas por um período de 20 horas. A quantidade deágua 
contida em cada reservatório nesse período pode ser visualizada 
na fi gura a seguir.
Quantidade de água armazenada
Volume (L)
Tempo (h)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 16 1718 19 20
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
80.000
90.000180.000
170.000
160.000
150.000
140.000
130.000
120.000
110.000
100.000
90.000
80.000
70.000
60.000
50.000
40.000
30.000
20.000
10.000
0
Re
se
rv
at
ór
io
 A
Re
se
rv
at
ór
io
 B
Reservatório A
Reservatório B
O número de horas em que os dois reservatórios contêm a 
mesma quantidade de água é
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
10. (Enem) O cultivo de uma fl or rara só é viável se do mês do 
plantio para o mês subsequente o clima da região possuir as 
seguintes peculiaridades:
• a variação do nível de chuvas (pluviosidade), nesses meses, 
não for superior a 50 mm;
• a temperatura mínima, nesses meses, for superior a 15 °C;
• ocorrer, nesse período, um leve aumento não superior a 
5 °C na temperatura máxima.
Um fl oricultor, pretendendo investir no plantio dessa fl or em 
sua região, fez uma consulta a um meteorologista que lhe 
apresentou o gráfi co com as condições previstas para os 12 
meses seguintes nessa região.
0
M
ai
o
Pluviosidade Temperatura máxima Temperatura mínima
Ju
nh
o
Ju
lh
o
A
go
st
o
Se
te
m
br
o
O
ut
ub
ro
N
ov
em
br
o
D
ez
em
br
o
Ja
ne
iro
Fe
ve
re
iro
M
ar
ço
A
br
il
M
ai
o
50
100
Pl
uv
io
si
da
de
 (m
m
)
150
200
250
2012 2013
35
30
25
20
15
10
Te
m
pe
ra
tu
ra
 (°
C
)
5
0
Com base nas informações do gráfi co, o fl oricultor verifi cou que 
poderia plantar essa fl or rara. O mês escolhido para o plantio 
foi
A) janeiro.
B) fevereiro.
C) agosto.
D) novembro.
E) dezembro.
Fique de Olho
• (Uepa) A quantidade x de nicotina no sangue diminui com o 
tempo t, de acordo com a função x = x
0
ekt/2. Se a quantidade 
inicial x
0
 se reduz à metade em 2 horas, em 5 horas existirá no 
sangue
A) 17,4% de x
0
B) 17,7% de x
0
C) 20,0% de x
0
D) 20,3% de x
0
E) 20,6% de x
0
Considerar 2 = 1,41
 Solução:
x x e
kt
= ⋅0 2 1
 Para t = 2, temos que x
0
 se reduz à metade. Logo:
x
x e
k
0
0
2
2
2
= ⋅
⋅
 ⇒ 
1
2
= ek
log loge e
ke
1
2
= ⇒ loge k
1
2
= 2
 2 em 1:
Para t = 5, temos:
x x e
e
= ⋅





 ⋅
0
1
2
5
2
log
x x e
e
= ⋅
⋅
0
5
2
1
2
log
x x e
e
= ⋅






0
1
2
5
2log
x x= ⋅0
1
4 2
x x= ⋅ ⋅
⋅
0
1
4 2
2
2
x x= ⋅0
2
8
x x≅ ⋅0
1 41
8
,
x ≅ x
0
 · 0,176 
x ≅ 17,6% · x
0
x x= ⋅ 




0
5
21
2
x x= ⋅0 5
1
2
x x≅ ⋅0
17 6
100
,
 Resposta: B
40
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática II
Anual – Volume 5
Aula 25: 
Exercícios de Aprofundamento 
para o Enem (Parte I)
Exercícios de Fixação
01. Um capital de R$ 10.000,00, aplicado a juro composto de 
1,5% ao mês, será resgatado ao fi nal de 1 ano e 8 meses no 
montante, em reais, aproximadamente igual a:
 Dado:
x x10
0,8500 0,197
0,9850 0,860
0,9985 0,985
1,0015 1,015
1,0150 1,160
1,1500 4,045
A) 11 605,00 B) 12 986,00
C) 13 456,00 D) 13 895,00
E) 14 216,00
02. (Enem) Durante uma festa de colégio, um grupo
de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos 
faltaram à festa e não participaram da rifa. 
Entre os que compareceram, alguns compraram 
três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos 
compraram apenas um. O total de alunos que comprou um 
único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, 
e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total 
de alunos do colégio. Quantos alunos compraram somente um 
bilhete?
A) 34 
B) 42
C) 47 
D) 48
E) 79
03. (Enem) Uma empresa de comunicação tem a tarefa
de elaborar um material publicitário de um 
estaleiro para divulgar um novo navio, equipado 
com guindaste de 15 m de altura e uma esteira 
de 90 m de comprimento. No desenho desse 
navio, a representação do guindaste deve ter sua altura entre 
0,5 cm e 1 cm, enquanto a esteira deve apresentar comprimento 
superior a 4 cm. Todo o desenho deverá ser feito em uma 
escala 1 : X. Os valores possíveis para X são, apenas,
A) X > 1 500.
B) X < 3 000.
C) 1 500 < X < 2 250.
D) 1 500 < X < 3 000.
E) 2 250 < X < 3 000. 
C-18 H-19, 20
C-6 H-24, 25
H-21
H-26
Aula
25
04. Pesquisadores estabeleceram uma relação entre
a área de um ferimento no corpo e o tempo 
decorrido do instante em que ocorreu o ferimento 
até a sua cicatrização. Essa relação obedece à 
equação A = K e–0,09t, sendo A a área em cm2, 
t o tempo em dias e K uma constante característica de cada 
ferimento.
O gráfi co mostra o tempo de cicatrização de um determinado
ferimento cuja área inicial era de 120 cm2.
5 10 15 20 25 30 35
120
0
área (cm2)
tempo
(dias)
Considere:
x �n x
0,17 –1,77
0,0033 –5,70
0,0082 –4,80
Sabendo que um ferimento é considerado totalmente 
cicatrizado para área menor ou igual a 0,4 cm2, então, o menor 
número de dias para que esse ferimento fi que totalmente 
cicatrizado é
A) 60
B) 64
C) 68
D) 72
E) 76 
05. Cientistas brasileiros verifi caram que uma determinada colônia 
de bactérias triplica a cada meia hora. Uma amostra de 10.000 
bactérias por mililitro foi colocada em um tubo de ensaio e, 
após um tempo x, verifi cou-se que o total era de 2,43 · 106 
bactérias por mililitro. Qual é o valor de x?
A) duas horas.
B) duas horas e 30 minutos.
C) três horas e 30 minutos.
D) 48 horas.
E) 264 horas.
41
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática II
Anual – Volume 5
Exercícios Propostos
01. (Enem) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) 
é reduzida por um sistema a partir do instante de seu 
desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão 
T(t) = – 
t2
4
 + 400, com t em minutos. Por motivos de segurança, 
a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno 
atinge a temperatura de 39 ºC. Qual o tempo mínimo de 
espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta 
possa ser aberta?
A) 19,0 B) 19,8
C) 20,0 D) 38,0
E) 39,0
02. (Unitau) Sob a ação de um determinado medicamento, um 
pesquisador anotou a quantidade de elementos E, expressos em 
milhares, em função do tempo t, expresso em horas, e esboçou 
o gráfi co abaixo:
E(t)
t (horas)
2,50
1,25
0 1 2
Admitindo que a função que representa o gráfico possa 
ser expressa por E(t) = a ⋅ 4bt, com a e b constantes reais, 
log 2 = 0,30, log 5 = 0,70, então o tempo necessário para que 
se obtenha 800 elementos é dado, aproximadamente, por
A) 2h20 B) 2h40
C) 3h20 D) 3h40
E) 3h50 
03. O gráfi co a seguir representa a quantidade diária de pessoas 
(q) atendidas em um hospital público com os sintomas de um 
novo tipo de gripe, a gripe X, em função do tempo (t), em 
meses, desde que se iniciou um programa de vacinação para 
este tipo de gripe na cidade do hospital.
(número de atendidos por dia)
t (meses)
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Das funções a seguir, aquela que melhor representa a relação
proposta no gráfi co é
A) q(t) = 1000 2⋅
− 1
3
t
 
B) q(t) = 500 2⋅ −3t
C) q(t) = 1000 2⋅
1
3
t
D) q(t) = 500 ⋅ log ( )2 3t
E) q(t) = 1000 ⋅ 



log2
1
3
t
04. Em um lugarejo residem 290 pessoas. Um estudo verifi cou 
que 60% delas havia contraído chikungunya ou dengue. 
Observou-se também que 40% das pessoas que contraíram 
chikungunya também contraíram dengue, e que 30% dos 
indivíduos que contraíram dengue também contraíram 
chikungunya. 
Qual o percentual aproximado de pessoas do lugarejo que 
contraiu chikungunya?
A) 27 
B) 29
C) 31 
D) 33
E) 35
05. Em uma concessionária de automóvel, o gerente, ao analisar 
o perfi l de 43 clientes, percebeu que todos eles pretendem 
comprar algum veículo movido a diesel, ou com tração 
nas quatro rodas, ou equipados com câmbio automático. 
Ele verifi cou que 29 clientes pretendem adquirir veículo de 
tração nas quatro rodas, 32 pretendem adquirir veículo movido 
a diesel ou equipado com câmbio automático. Quantos clientes 
pretendem adquirir carroa diesel ou equipado com câmbio 
automático, mas que possua tração nas quatro rodas?
A) 23
B) 18
C) 12
D) 11
E) 3
06. (Enem) Nos últimos anos, o aumento da população, aliado 
ao crescente consumo de água, tem gerado inúmeras 
preocupações, incluindo o uso desta na produção de alimentos. 
O gráfi co mostra a quantidade de litros de água necessária para 
a produção de 1 kg de alguns alimentos.
18000
17000
16000
15000
14000
13000
12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Ar
ro
z
Le
gu
m
es
Ba
na
na
Ó
le
o 
de
 
so
ja
Ca
rn
e 
de
 b
oi
Alimentos (1 kg)
Li
tr
o
s 
d
e 
ág
u
a
Ca
rn
e 
de
 
po
rc
o
M
ilh
o
Tr
ig
o
42
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática II
Anual – Volume 5
Com base no gráfi co, para a produção de 100 kg de milho, 
100 kg de trigo, 100 kg de arroz, 100 kg de carne de porco e 
600 kg de carne de boi, a quantidade média necessária de água, 
por quilograma de alimento produzido, é, aproximadamente, 
igual a
A) 415 litros por quilograma.
B) 11 200 litros por quilograma.
C) 27 000 litros por quilograma.
D) 2 240 000 litros por quilograma.
E) 2 700 000 litros por quilograma.
07. (Enem) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica 
modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da 
Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. 
A seta na fi gura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal 
da capela. A fi gura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, 
com medidas hipotéticas para simplifi car os cálculos.
Figura 1
H metros
4 metros 3 metros
5 metros
Figura 2Figura 2
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na fi gura 2?
A) 
16
3
B) 
31
5
C) 
25
4
D) 
25
3
E) 
75
2
08. (Enem) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja 
amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições 
teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. 
O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo 
alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, 
já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas, e a 
altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que 
determinam esses índices são:
IMC =
massa (kg)
[altura (m)]
RIP =
altura (cm)
massa (kg)2 3
e
ARAÚJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: 
um questionamento científi co baseado em evidências.
Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, nº 1, 2002. Adaptado.
Se uma menina com 64 kg de massa apresenta IMC igual a 
25 kg/m2, então, ela possui RIP igual a
A) 0,4 cm/kg1/3
B) 2,5 cm/kg1/3
C) 8 cm/kg1/3
D) 20 cm/kg1/3
E) 40 cm/kg1/3
09. A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco 
sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola 
com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. 
O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir 
do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante 
do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. 
A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, 
é atingida no instante em que a distância percorrida por P, 
a partir do instante do lançamento, é de 10 m.
 
P
Terreno
Penhasco
 Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi 
lançado?
A) 60 B) 90
C) 120 D) 150
E) 180
10. (Enem) Uma loja vende automóveis em N parcelas iguais sem 
juros. No momento de contratar o fi nanciamento, caso o cliente 
queira aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas, o valor 
de cada uma das parcelas diminui R$ 200,00, ou se ele quiser 
diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma 
das parcelas sobe R$ 232,00. Considere ainda que, nas três 
possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o mesmo, 
todas são sem juros e não é dado desconto em nenhuma das 
situações. Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas 
a serem pagas de acordo com a proposta inicial da loja?
A) 20 B) 24
C) 29 D) 40
E) 58 
43
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática II
Anual – Volume 5
Fique de Olho
QUESTÃO RESOLVIDA – UFC (2007)
A massa crua com que é fabricado um certo tipo de pão 
é composta de 40% de água. Para obtermos um pão assado de 
35 gramas, é necessária uma massa inicial de 47 gramas. 
Qual o valor aproximado do percentual de água evaporada durante 
o tempo de preparo desse pão, sabendo que a água é a única 
substância perdida durante esse período?
Resolução:
De acordo com o enunciado, temos:
I. quantidade inicial de água = ⋅ = ⋅40
100
47
4 47
10
g g
II. quantidade de água evaporada = (47 – 35)g = 12 g
III. quantidade de evaporada
 inicial de 
água
quantidade água
g
=
12
44 47
10
12 10
4 47
30
47⋅
= ⋅
⋅
=
g
≅ = =0 638 63 8
100
63 8,
,
, %
Resposta: aproximadamente 63,8%.
Bibliografi a
ANTAR, Aref. et al. Coleção Noções de Matemática. v. 1 e 2.
Coletânea de questões de diversos vestibulares de todo o Brasil, 
incluindo Enem.
DANTE, Luiz Roberto. Coleção Matemática Contexto & Aplicações. 
v. 1, 2 e 3. Ática.
DOLCE, Oswaldo; IEZZI, Gelson; DEGENSZAIN, David. et al. Coleção 
Fundamentos da Matemática Elementar. v. 1, 2, 3 e 11. Atual.
MACHADO, Antônio dos Santos. Coleção Matemática Temas e 
Metas. v. 1 e 2. Atual.
MERGADO, César Augusto; LIMA, Elon Lages. et al. Coleção. 
A matemática do Ensino Médio. v. 1.
Anotações
44
MateMática e suas tecnologias Matemática II
Anual – Volume 5
Anotações
1
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
Função Logarítmica (Parte I)
• Objetivo(s):
 Definir logaritmos.
• Metodologia:
 Conceituar a igualdade logarítmica a partir da igualdade exponencial. Apresentar as condições de existência dos logaritmos, bem 
como defini-los, mostrando suas consequências imediatas.
 Resolver os exercícios de fixação.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 log
x n = n → x
n = n → x nn n n( ) = ( ) →
1 1
 x= nn 
 Resposta: E
02. Comentário:
 i log82
1
2 3
1
28 2 2 2
1
6
= → = → = → =x xx x
i
i
log
log
2
8 2 3
2
8 2 3 2
3
2
2 8 2 2 6
2 8 2 2 2 2
= → ( ) = → = → =
= → ( ) = → = → = →
y y
z z
y y
z z z
== 3
Logo:
S x y z
S
S S
= + −
= + −
= + − → =
1
6
6 3
1
6
36
6
18
6
19
6
 Resposta: A
03. Comentário:
 Seja N o número em questão. Assim, pelo enunciado, pode-se escrever:
log log5 5
2
2
48 2
5 48 5
48 5 5
48 25
N X e N x
N N
N
N N
x x
x
= +( ) = +
⇓ ⇓
= + =
⇓
+ = ⋅
⇓
+ = ⋅
+
⇓⇓
=
⇓
=
48 24
2
N
N
 Resposta: B
C-5 H-19, 20
H-23
H-21, 22Aula
21
2
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
04. Comentário:
 T t
T t
De T t temos
t
t
( ) ( )
( )
( ) ,
= − ⋅ +
= ⋅ +
=
−
−
740 40 10 40
700 10 40
140
12
12
:
7700 10 40 140
7 10 100
10 7
10 7
12
7
12
12
12 1
12
⋅ + =
⋅ =
=
=
=
−
−
− −
t
t
t
t
t
00
log( )) log( )∴ = ⋅t 12 7
 
 Resposta: C
05. Comentário:
 Sejam E
I
 e E
B
 as energias liberadas nos terremotos da Indonésia e do Brasil, respectivamente. Então, de acordo com o anunciado, 
tem-se:
logE
I
 = 11,8 + 1,5 ⋅ 9,3 ⇒ logE
I
 = 25,75 ⇒ E
I
 = 1025,75 (I)
logE
B
 = 11,8 + 1,5 ⋅ 6,3 ⇒ logE
B
 = 21,25 ⇒ E
B
 = 1021,25 (II)
Dividindo-se (I) por (II), obtém-se:
E
E
E
E
E
E
E
E
I
B
25,75
21,25
I
B
25,75 21,25 I
B
4,5 I
B
4= ⇒ = ⇒ = ⇒ =−10
10
10 10 10 ⋅⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅( )10 10 000 10 10 000 100,5 I
B
I B
E
E
E E. .
 Resposta: B
3
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
Função Logarítmica (Parte II)
• Objetivo(s):
 Apresentar as propriedades operatórias dos logaritmos.
• Metodologia:
 Ao mostrar as propriedades operatórias, escolher algumas para demonstrar a partir da definição de logaritmos apresentada na aula 
anterior. Em seguida, resolver as questões de fixação, aplicando as propriedades necessárias para tal.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 log x a
log
log
a
log
log
log
l
10 10
2
1
2
2
10
10 10
10
10
= + − =
= = ⋅
+ −
 
 b
 b
c
c a
b
oog
logb
10
1
210 10 10 10
1
2
c
a a a
c
b
c
b
c
=
= ⋅ = ⋅ = ⋅
 Resposta:A
02. Comentário:
 Como a quantidade de transistores T dobra a cada ano, tem-se (para t em anos):
T
t
(t) T= ⋅0 22
 Em que T(t) representa o número de transistores em função do tempo t
e
.
T
o
 é a quantidade inicial de transistores por cm2.
Assim,
T
transistores
cm
Logo T
o
t
= =
= ⋅ ⋅
100000
0 25
400000
4 10 2
2
5 2
,
, (t)
Para atingir os 100 bilhões (1011)
10 4 10 2 10 2
2 6
2
2 0 3
11 5 2 6 2
2
10
6 2
2
= ⋅ ⋅ → =
= → = +



⋅ ( )
+
+
t t
t
Log Log
t
, →→ = + → =
+ =
20
2
2 36
1986 36 2022
t
t anos
 Resposta: C
C-5 H-19, 20
H-23
H-21, 22Aula
22
4
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
03. Comentário:
 Note que 25% de 820 é 205. Por isso, após o 30° mês, se desejamos passar n meses para obter tal desconto, então:
V P e
V
P
i i
i
n= = − = = +( ) = =( )
⇒ =
820 820 205 615 1 1 32 0 0132
820
615
1 01
; , % ,
, 332
4
3
1 0132
4
3
1 0132
4
3
( ) ⇒ = ( ) ⇒ 


= ( ) ⇒
⇒ 



=
n n n
n
, ln ln ,
ln ln 11 0132 0 2877 0 0131
0 2877
0 0131
21 96, , ,
,
,
, ...( ) ⇒ = ( ) ⇒ = =n n
 Logo, após o 30° mês, teremos 22 meses. Daí, a primeira parcela a ser antecipada com 30° é a 30 + 22 = 52°.
 Resposta: C
04. Comentário:
log
a
b
log a log b log a log b E
E log a lo
ab ab ab ab ab
ab
3
3
1
3
1
2
1
3
1
2
= − = − =
= − gg b
log ab log a log b
log b log b
ab
ab ab ab
ab ab
 1
mas ( ) = +
= + ⇒ =1 4 −−3
Assim, em 1 , tem-se:
= ⋅ − − = + = + =1
3
4
1
2
3
4
3
3
2
8
6
9
6
17
6
( )
 Resposta: B
05. Comentário:
 Ao término do 1º ano, tem-se:
M = 5000 · e 0,2 · 1 → M = 5000 · e0,2 →
 M = 5000 · 1,2214 → M = 5000 (1 + 0,2214)
→ M = 5000 + 5000 ·
22 14
100
,
crescimento 
de 22,14%
 Resposta: A
5
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
Função Logarítmica (Parte III)
• Objetivo(s):
 Apresentar a função logarítmica. Resolver inequações logarítmicas.
• Metodologia:
 Esboce os gráficos das funções logarítmicas crescente e decrescente. Apresente a função logarítmica com inversa da 
função exponencial. Caracterize seu domínio, contradomínio e imagem. Mostrar os tipos de inequações logarítmicas. 
Resolver os exercícios de fixação.
Exercícios de Fixação
01. Comentário: 
y (km)
3
8
A B
CD
d
1
d
2
–2
x (km)
y = log
2 
x
1
4
Note que abscissa do ponto A é igual à do ponto D.
Ponto D (
1
4
, y
D
) ⇒ y
D
 = log
2
1
4
 ⇒ y
D
 = log
2
 2–2 ⇒ y
D
 = –2
Ponto B (8, y
B
) ⇒ y
B
 = log
2
8 ⇒ y
B
 = log
2
 23 ⇒ y
B
 = 3
Logo: d
1
 = 3 – (–2) = 5 km
 d
2
 = 8 – 
1
4
 = 7,75 km
Assim: área = 5.375 = 38,75 km2
 Resposta: B
02. Comentário:
 Temos que:
 y = 2x ⇔ log2
y = log2
2x ⇔ x = log2
y
 Inversa: y = log2
x ⇒ f–1(x) = log2x
 Assim sendo,
C-5 H-19, 20
C-6 H-24
H-23Aula
23
6
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
 f–1(16) = log2
16 = 4
 f–1(2) = log2
2 = 1
 f–1(1) = log2
1 = 0
 Logo:
 Expressão = 4 – 1 – 0 = 3
 Resposta: A 
03. Comentário:
 f x(x) log= − −1 3
CE 1: X > 0
CE 2: –1 –log
3 
x > 0 → –1 > log x → log
3 
x < –1 → x < 3–1 → x < 
1
3
Assim:
(1)
(2)
(1) ∩ (2)
0
0
C E 2
C E 1
1
3
1
3
Logo: Damf =




0
1
3
,
 Resposta: A
04. Comentário:
 log10 x = x
2 – 2x
f(x) g(x)
Construindo-se os gráficos de f(x) e g(x), obtém-se:
y
xO
X
p
P
Q
1 2
g(x)
f(x)
X
Q
As abscissas dos pontos P e Q (Xp e X
Q
) representam as soluções da equação.
 Resposta: C
7
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
05. Comentário:
 
 montante
Capital acumulado
      
 maior que o dobro do capital inicial
Logo: M > 2c
c i c
i
i
i
t
t
t
t
t
( )
( )
log( ) log
t log( ) log
log
log(
1 2
1 2
1 2
1 2
2
+ >
+ >
+ >
⋅ + >
>
11 0 08
2
1 08
+
>
, )
log
log( , )
t
Mas: log , log
log log , ,
1 08
108
100
108 100 2 034 2 0 034
=
− = − =
Assim:
t t t
t
> ⇒ > ⇒ >
⇒ =
0 301
0 034
301
34
8 8
9
,
,
,
min
 
 
 Resposta: C
8
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
Aulas ?? a ??: 
Análise de Gráficos e Tabelas
• Objetivo(s):
 Apresentar as variadas questões deste vasto tema.
• Metodologia:
 Como as questões são diversificadas, envolvendo peculiaridades diferenciadas, não existe uma teoria única para esta aula. Sugere-se 
lançar a teoria que se julgue oportuna a cada questão. Após resolver os exercícios de fixação, procurar, se o tempo permitir, tecer 
comentários sobre algumas questões propostas.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Os meses em que houve lucro foram:
Março, julho, setembro, outubro, novembro e dezembro.
O lucro de cada mês será:
MARÇO = 3 – 2 = 1
JULHO = 6 – 4 = 2
SETEMBRO = 7 – 3 = 4
OUTUBRO = 5 – 4 = 1
NOVEMBRO = 8 – 7 = 1
DEZEMBRO = 5 – 2 = 3
 Portanto, os três meses em que foram registrados os maiores lucros foram: julho, setembro e dezembro.
 Resposta: A
02. Comentário:
 Considera-se que o aumento de 2015 para 2016 é 360. Observa-se no gráfico que esse aumento é representdo por 3 carros. Assim, 
cada carrinho valerá
360
3
120= .
Assim, teremos em:
2014 : 120 carros
2015 : 2 · 120 = 240 carros
2016 : 5 · 120 = 600 carros
Logo, a média será x =
+ +
=
120 240 600
3
320 
 Resposta: D
C-6 H-24, 25
H-26Aula
24
9
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
03. Comentário:
 Como M é o ponto médio da viga, temos:
Estágio 1:
M
�
2
�
2
O�
 Como a projeção ortogonal de 0 se mantém em posição fixa, a movimentação da barra, como descrita no enunciado da questão, 
torna a distância de M a 0 fixa, pelo teorema da medida relativa à hipotenusa:
Estágio 2:
2
�
2
�
45°
O
M
 Como a distância não se altera, o gráfico do item A ilustra tal situação.
Estágio 3:
2
�
2
�
M
O
 Resposta: A
04. Comentário:
I. Envergadura ≤ largura da pista
II. Comprimento < 60 m
III. Carga máxima ≤ 110 ton
 Obs.: Largura da pista = 0,045 km = 45 m
Modelo A = satisfaz todas as regras.
Modelo B = satisfaz todas as regras.
Modelo C = não satisfaz a regra 3.
Modelo D = não satisfaz a regra 2.
Modelo E = não satisfaz a regra 3.
Logo os aviões aptos a pousar são os modelos A e B.
 Resposta: B
10
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
05. Comentário:
 NPS = 120 + 10 log I
Considerando:
I
1
 ⇒ Intensidade do ronco mais alto
I
2
 ⇒ Intensidade do ronco mais moderado
NPS
1
 ⇒ Nível de pressão sonora associado a I
2
.
 
NPS
2
 ⇒ Nível de pressão sonora associado a I
2
.
 
Tem-se:
NPS I
NPS I
I I
1 1
2 2
1 2
120 10 93
120 10 50
10
= + =
= + = −




−(
log
log
log log )) = ⇒
⇒ = ⇒ =
< <
<
43
4 3 10
10 10 10
10
1
2
1
2
4 3
4 4 3 5
4 1
log ,
:
:
,
,
I
I
I
I
mas
Logo
I
I22
5
1
2
10
10 000 100 000
<
< <
I
I
 Resposta: D
11
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
Exercícios de Aprofundamento Para o Enem (Parte I)
• Objetivo(s):
 Rever os principais assuntos vistos ao longo do ano, por meio da resolução de exercícios.
• Metodologia:
 Ao resolver os Exercícios de Fixação, repassar com os alunos os principais tópicos teóricos que serão úteis às resoluções dos mesmos.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 M = C (1 + i)t
t a m m m m
C
i
M
= = + =
=
=




= ⋅ +
1 8 12 8 20
10000
15
10000 1
15
10
 
am, %
,
00
10000 1 0 015
10000 1 015
10000 1 01
20
20
20




= ⋅ +( )
= ⋅ ( )
= ⋅
M
M
M
,
,
, 55
10000 1160
10000 1 3
10 2
2
( )
= ⋅ ( )
= ⋅
↓ ( )
,
,
tabela
M
M
� �� ��
4456
13456 00M = ,
 Resposta: C
02. Comentário:
 80 alunos faltaram
 x compraram: 3 bilhetes
 45 compraram: 2 bilhetes
 y compraram: 1 bilhete
Montando o sistema, temos:
y x y
x y x y
= + +( )
+ + = + + + +




0 2 3 90
3 90 33 45 80, ( I )
( II )
De (I), tem-se: y = 0,6x + 18 + 0,2 y
0,8 y = 0,6x + 18
8y = 6x + 180 · (10)
De (II), tem-se: 2x = 33 +125 – 90
2x = 33 + 35
2x = 68 ∴
x = 34
Assim:
8y = 6 · 34 +180
8y = 204 +180
C-5 H-19, 20
C-6 H-24, 25
H-21
H-26
Aula
25
12
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
8y = 384
y = 384
8
y = 48
Queremos a quantidade de alunos que compraram somente um bilhete.
 Resposta: D
03. Comentário:
 SendoE
x
= 1 a escala, segundo o enunciado, temos:
I. Para o guindaste:
 
0 5
15
1
15
0 5
1500
1 1
1500
3000 1500
, ,cm
m
E
cm
m
cm
cm x
cm
cm
x< < ⇒ < < ⇒ > >
II. Para a esteira:
 
E
cm
m x
cm
cm
x> ⇒ > ⇒ <4
90
1 4
9000
2250
Logo, para satisfazer as duas condições, devemos ter: 1500 < x < 2250.
Veja:
3000
2250
2250
1500
1500
(I) ∩ (II)
(II)
(I)
 Resposta: C
04. Comentário:
(–1)
A = K e
A 
⋅  → = ⋅ →
→ = → =
− − ⋅=
9
100
9 0
1000 120
120 1 120
t
t k e
k k
Assim
. .
:
== 120 e 
e
e
e
⋅ ≤ ⇒
⇒ ⋅ ≤ ⇒
⇒ ≤ ⇒
⇒
−
−
−
−
9
100
9
100
9
100
9
0 4
120
4
10
1
300
30 1
t
t
t
,
tt
t
t
t
100
9
100
0 0033
0 0033
9
100
5 70
9 570
≤ ⇒
⇒ ≤ ⇒
⇒ − ≤ − ⇒
⇒ − ≤ −
−
,
ln ln ,
,
 e 
⇒⇒
⇒ ≥ ⇒
⇒ ≥
⇒ =
9 570
63 33
64
t
t
t
, ...
min
 Resposta: B
13
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA II
Anual – Volume 5
05. Comentário:
 Segundo o enunciado, tem-se, para t em minutos:
10 000 3 2 43 10 10 000 3 243 10 3 3
30
5 15030 6 30 4 30 5· , ·
t t t t
t= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = mmin. t h min.⇒ = 2 30
 Resposta: B
Gabaritos
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Aula 21: Função Logarítmica (Parte I)
01 02 03 04 05
E A B C B
Aula 22: Função Logarítmica (Parte II)
01 02 03 04 05
A C C B A
Aula 23: Função Logarítmica (Parte III)
01 02 03 04 05
B A A C C
Aula 24: Análise de Gráficos e Tabelas
01 02 03 04 05
A D A B D
Aula 25: Exercícios de Aprofundamento para o Enem (Parte I)
01 02 03 04 05
C D C B B
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Aula 21: Função Logarítmica (Parte I)
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
C C A C E A E E D C
Aula 22: Função Logarítmica (Parte II)
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
C B C D E C D D A A
Aula 23: Função Logarítmica (Parte III)
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D B E D A B C C A D
Aula 24: Análise de Gráficos e Tabelas
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
B E E C B D D A A A
Aula 25: Exercícios de Aprofundamento para o Enem (Parte I)
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D B A C B B D E D B
14
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática ii
Anual – Volume 5
Anotações
MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA III
POLINÔMIOSPOLINÔMIOS
Vo
lu
m
e5
MATEMÁTICA III
POLINÔMIOS
Objetivo(s):
• Identificar o grau de um polinômio de uma variável e definir suas raízes.
• Identificar polinômios idênticos.
• Aplicar o método dos coeficientes na identidade de polinômios.
• Conhecer e saber aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini na divisão de um polinômio P(x) por “x a”.
• Fatorar um polinômio, conhecendo as suas raízes.
• Conhecer e saber aplicar a propriedade de que a divisão de um polinômio P(x) por x – a tem como resto P(a) 
(Teorema do Resto).
• Conhecer o enunciado do Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) e aplicar suas consequências, especificamente, 
a relação entre o grau e o número de raízes de um polinômio.
• Conhecer o conceito de raízes e zeros de um polinômio P(x).
• Conhecer o conceito de equações polinomiais.
• Identificar o número de raízes complexas de uma equação polinomial.
• Saber a relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica (ou polinomial).
• Conhecer a utilização das raízes racionais de uma equação algébrica.
• Conhecer a utilização das raízes conjugadas de uma equação polinomial.
• Resolver uma equação algébrica utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Conteúdo:
AULA 21: ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE – REVISANDO E APROFUNDANDO
Exercícios ............................................................................................................................................................................................................... 46
AULA 22: POLINÔMIOS – PARTE I
Polinômio com uma variável ................................................................................................................................................................................... 50
Exercícios ............................................................................................................................................................................................................... 50
AULA 23: POLINÔMIOS – PARTE II
Algoritmo de Briot-Ruffini ....................................................................................................................................................................................... 52
Teorema de D’Alembert .......................................................................................................................................................................................... 52
Teorema da decomposição ...................................................................................................................................................................................... 52
Exercícios ............................................................................................................................................................................................................... 53
AULA 24: POLINÔMIOS – PARTE III
Equação polinomial ................................................................................................................................................................................................ 55
Grau de uma equação algébrica ............................................................................................................................................................................. 55
Teorema da decomposição ...................................................................................................................................................................................... 55
Multiplicidade de uma raiz...................................................................................................................................................................................... 55
Relações de Girard .................................................................................................................................................................................................. 55
Teorema das raízes racionais .................................................................................................................................................................................. 55
Teorema das raízes complexas ................................................................................................................................................................................ 55
Exercícios ............................................................................................................................................................................................................... 55
AULA 25: REVISÃO ENEM I – EXERCÍCIOS
Exercícios ............................................................................................................................................................................................................... 58
46
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática III
Anual – Volume 5
Aula 21: 
Análise Combinatória e 
Probabilidade – Revisando e 
Aprofundando
Exercícios de Fixação
01. Um experimento foi conduzido com o objetivo de avaliar o 
poder germinativo de duas culturas de cebola, conforme a 
tabela.
Germinação de sementes de duas 
culturas de cebola
Culturas
Germinação
TOTAL
Germinaram
Não 
Germinaram
A
B
392
381
8
19
400
400
TOTAL 773 27 800
BUSSAB, W. O; MORETIN, L. G. Estatística para as ciênciasagrárias e biológicas. Adaptado.
Desejando-se fazer uma avaliação do poder germinativo de 
uma das culturas de cebola, uma amostra foi retirada ao acaso. 
Sabendo-se que a amostra escolhida germinou, a probabilidade 
de essa amostra pertencer à Cultura A é de
A) 
8
27
B) 
19
27
C) 
381
773
D) 
392
773
E) 
392
800
02. O salto ornamental é um esporte em que cada competidor 
realiza seis saltos. A nota em cada salto é calculada pela soma 
das notas dos juízes, multiplicada pela nota de partida (o grau 
de difi culdade de cada salto). Fica em primeiro lugar o atleta 
que obtiver a maior soma das seis notas recebidas.
O atleta 10 irá realizar o último salto da fi nal. Ele observa no 
Quadro 1, antes de executar o salto, o recorte do quadro parcial 
de notas com a sua classifi cação e a dos três primeiros lugares 
até aquele momento.
Quadro 1
Classifi cação Atleta 6º salto Total
1º 3 135,0 829,0
2º 4 140,0 825,2
3º 8 140,4 824,2
6º 10 687,5
C-1 H-3
C-7 H-28Aula
21
Ele precisa decidir com seu treinador qual salto deverá realizar. 
Os dados dos possíveis tipos de salto estão no Quadro 2.
Quadro 2
Tipo de 
salto
Nota de 
partida
Estimativa da 
soma das notas 
dos juízes
Probabilidade 
de obter a 
nota
T1 2,2 57 89,76%
T2 2,4 58 93,74%
T3 2,6 55 91,88%
T4 2,8 50 95,38%
T5 3,0 53 87,34%
O atleta optará pelo salto com a maior probabilidade de obter a 
nota estimada, de maneira que lhe permita alcançar o primeiro 
lugar.
Considerando essas condições, o salto que o atleta deverá 
escolher é o de tipo 
A) T1 B) T2
C) T3 D) T4 
E) T5
03. Admita que certa cidade brasileira tenha 8 canais de TV aberta, 
todos com transmissões diárias. Se uma pessoa pretende assistir 
três dos oito canais em um mesmo dia, ela pode fazer isso de 
x maneiras diferentes sem levar em consideração a ordem em 
que assiste os canais, e pode fazer de y maneiras diferentes 
levando em consideração a ordem em que assiste os canais. 
Sendo assim, y – x é igual a 
A) 112 B) 280
C) 224 D) 56
E) 140
04. A prova fi nal de Geografi a de uma escola é composta de 
10 itens com alternativas do tipo “verdadeiro ou falso”. 
De quantas maneiras diferentes um estudante poderá responder 
esta prova, de forma que ele só assinale apenas uma alternativa 
em cada questão?
A) 20 B) 64
C) 256 D) 512
E) 1024
05. O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual 
vários fabricantes expõem seus modelos mais recentes de 
veículos, mostrando, principalmente, suas inovações em design 
e tecnologia.
Disponível em: <http://g1.globo.com>. Acesso em: 4 fev. 2015. Adaptado.
Uma montadora pretende participar desse evento com dois 
estandes, um na entrada e outro na região central do salão, 
expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma 
caminhonete.
Para compor os estandes, foram disponibilizados pela 
montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e 
seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos 
aqueles que serão expostos. A posição dos carros dentro de 
cada estande é irrelevante.
Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras 
diferentes que os estandes podem ser compostos é
A) A4
1 0
 B) C4
1 0
C) C2
4
 × C2
6
 × 2 × 2 D) A2
4
 × A2
6
 × 2 × 2
E) C2
4
 × C2
6
47
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática III
Anual – Volume 5
Exercícios Propostos
01. Um projeto para incentivar a reciclagem de lixo de um 
condomínio conta com a participação de um grupo de 
moradores, entre crianças, adolescentes e adultos, conforme 
dados do quatro.
Participantes Número de pessoas
Crianças x
Adolescentes 5
Adultos 10
Uma pessoa desse grupo foi escolhida aleatoriamente para falar 
do projeto. Sabe-se que a probabilidade de a pessoa escolhida 
ser uma criança é igual a dois terços.
 Diante disso, o número de crianças que participa desse projeto é
A) 6 B) 9
C) 10 D) 30
E) 45
02. Um laboratório está desenvolvendo um teste rápido 
para detectar a presença de determinado vírus na saliva. 
Para conhecer a acurácia do teste é necessário avaliá-lo em 
indivíduos sabidamente doentes e nos sadios. A acurácia de 
um teste é dada pela capacidade de reconhecer os verdadeiros 
positivos (presença de vírus) e os verdadeiros negativos 
(ausência de vírus). A probabilidade de o teste reconhecer os 
verdadeiros negativos é denominada especifi cidade, defi nida 
pela probabilidade de o teste resultar negativo, dado que 
o indivíduo é sadio. O laboratório realizou um estudo com 
150 indivíduos e os resultados estão no quadro.
Resultado do 
teste da saliva
Doentes Sadios Total
Positivo 57 10 67
Negativo 3 80 83
Total 60 90 150
Considerando os resultados apresentados no quadro, a 
especifi cidade do teste da saliva tem valor igual a
A) 0,11
B) 0,15
C) 0,60
D) 0,89
E) 0,96
03. (Enem) Para estimular o raciocínio de sua fi lha, um pai fez o 
seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três 
lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente 
os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um 
segmento tenham cores diferentes.
A
D C
B
De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai 
pediu?
A) 6 B) 12
C) 18 D) 24
E) 72
04. Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto 
(ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de 
papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira 
um deles ao acaso.
A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio 
nome é
A) 
1
4
 B) 
7
24
C) 
1
3
 D) 
3
8
E) 
5
12
05. (Fuvest) Em um experimento probabilístico, Joana retirará 
aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis 
e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se
6 bolas azuis na caixa. 
Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a
probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 
1
3
 ?
A) 2 B) 4
C) 6 D) 8
E) 10
06. (EPCar) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 
9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B contém 8 rosas, 
sendo que exatamente 6 não tem espinhos.
Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-se em B. 
Em seguida, retira-se uma rosa de B. 
A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é:
A) 
8
81
 B) 
15
81
C) 
18
81
 D) 
23
81
07. A fi gura a seguir mostra um esquema que representa uma 
balança equilibrada com bolinhas e tijolinhos.
O numeral 53.432.655 foi representado em oito placas, cada 
uma contendo um algarismo, conforme a fi gura a seguir:
5 3 4 3 2 6 5 5
 Escolhe-se ao acaso uma das oito placas. Qual a probabilidade 
de que a placa escolhida contenha o algarismo que representa 
o número de bolinhas necessárias para equilibrar, em um 
esquema similar ao da fi gura, um tijolinho?
A) 12,5% B) 25%
C) 37,5% D) 50%
E) 64%
48
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática III
Anual – Volume 5
08. Dispõe-se de um mapa. Dispõe-se também de um dado com 3 faces vermelhas e 3 faces azuis. Considerando as regras:
I. partindo do quadro 1, pode-se caminhar, no sentido indicado pelas setas, para os demais quadros, a cada lançamento do dado;
II. lançando-se o dado, se sair face azul, segue-se pela seta da direita até o quadro seguinte;
III. lançando-se o dado, se sair face vermelha, segue-se pela seta da esquerda até o quadro seguinte.
1
54 6
131211 14 15
2 3
87 9 10
Determine a probabilidade de chegar ao quadro 13 partindo do 1.
A) 
1
5
 B) 
1
2
C) 
2
3
 D) 
3
4
E) 
3
8
09. (Unesp) Um dado convencional e uma moeda, ambos não viciados, serão lançados simultaneamente. Uma das faces da moeda está 
marcada com o número 3, e a outra com o número 6. A probabilidade de que a média aritmética entre o número obtido da face 
do dado e o da face da moeda esteja entre 2 e 4 é igual a:
A) 
1
3
 B) 
2
3
C) 
1
2
 D) 
3
4
E) 
1
4
10. Um casal, ambos com 30 anos de idade, pretende fazer um plano de previdência privada. A seguradora pesquisada, para defi nir o 
valor do recolhimento mensal, estima a probabilidade de que pelo menos um deles esteja vivo daqui a 50 anos, tomando por base 
dados da população,que indicam que 20% dos homens e 30% das mulheres de hoje alcançarão a idade de 80 anos
Qual é essa probabilidade?
A) 50%
B) 44%
C) 38%
D) 25%
E) 6%
Fique de Olho
• (Fuvest)
Re
pr
od
uç
ão
/F
uv
es
t
João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedro regulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um 
dodecaedro e um icosaedro. As faces são numeradas de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para 
cada um deles, a probabilidade de qualquer uma das faces fi car em contato com a mesa, após o repouso do dado, é a mesma.
Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João o lança e verifi ca o número da face que fi cou em contato 
com a mesa.
49
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática III
Anual – Volume 5
A) Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 12?
B) Qual é a probabilidade de que esse número seja menor do que 5?
Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da soma dos números das 
duas faces que fi caram em contato com a mesa, após o repouso dos dados.
C) Qual é a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30?
Poliedros regulares
Tetraedro 4 faces
Cubo 6 faces
Octaedro 8 faces
Dodecaedro 12 faces
Icosaedro 20 faces
Solução:
A) Para o número lançado ser maior que 12, Maria só tem uma possibilidade de sorteio: o icosaedro, que apresenta 8 faces numeradas 
com valores maiores que 12 (faces 13 até 20).
Assim, a probabilidade do número lançado ser maior que 12 é:
P x( ) %> = ⋅ = =12
1
5
8
20
8
100
8
B) Para o número lançado ser menor que 5, Maria poderia sortear qualquer um dos 5 dados. Assim, a probabilidade do número 
lançado ser menor que 5 é:
Tetraedro P x
Cubo P x
Octaedro
⇒ < = ⋅ =
⇒ < = ⋅ = =
( )
( )
5
1
5
4
4
1
5
5
1
5
4
6
4
30
2
15
⇒⇒ < = ⋅ = =
⇒ < = ⋅ = =
P x
Dodecaedro P x
( )
( )
5
1
5
4
8
4
40
1
10
5
1
5
4
12
4
60
1
15
Icosaaedro ⇒ < = ⋅ = =
⇒ < = + + =
+ +
P x
P xt
( )
( )
5
1
5
4
20
4
100
1
25
5
3
15
3
10
1
25
30 45 6
1550
81
150
54= = %
C) Para a soma dos dois números ser maior que 30, João deverá sortear, obrigatoriamente, um dos 2 pares ordenados (dodecaedro, 
icosaedro) ou (icosaedro, dodecaedro), de um total de 5 · 4 pares. Além disso, as possíveis somas maiores que 30 seriam: 
12 + 19 = 19 + 12 = 31; 12 + 20 = 20 + 12 = 32 e 11 + 20 = 20 + 11 = 31. Logo, 6 pares ordenados de um total de 
12 · 20 + 20 · 12.
Portanto, temos as probabilidades:
Escolha certa dos dados
Soma favorável das faces
( )E P1 1
2
5 4
1
10
⇒ =
⋅
=
(( )
( )
E P2 2
6
2 12 20
1
80
⇒ =
⋅ ⋅
=
P E E( ) % , %1 2
1
10
1
80
1
800
1
800
100 12 5∩ = ⋅ = = ⋅ =
50
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática III
Anual – Volume 5
Aula 22: 
Polinômios – Parte I
Polinômio com uma variável
Defi nição
Dados um número natural n e os números complexos 
a
n
,a
n–1
,..., a
1
, a
0
, chama-se função polinomial de grau n ou polinômio 
de grau n na variável x à função:
p x a x a a x a x a x ai
i
n
n
n
n
n
i
n
( ) ... ,= ⋅ = + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ≠− −
=
∑ 0 1 1 1 1
0
0
,
defi nida ∀ ∈x C , em que:
• x é a variável, com x ∈ C.
• n é o grau de p(x), se a
n
≠ 0
• a
0
, a
1
 · x1,..., a
n – 1
 · xn – 1, a
n
 · xn, são os termos do polinômio
• a
0
, a
1
, ..., a
n – 1
, a
n
, são os coefi cientes do polinômio
• a
n
: coefi ciente principal ou dominante
• a
0
: termo independente
Exemplo:
Seja p(x) = 2x3 + x + 9, tem-se:
• Grau de p(x) = 3
• Coefi ciente dominante = 2
• Coefi ciente do termo quadrático = 0
• Coefi ciente do termo linear = 1
• Termo independente = 9
Valor numérico de um polinômio
O valor numérico de um polinômio p(x) para x = α é igual 
ao valor obtido quando se substitui x por α e efetua-se todas as 
operações presentes.
Exemplo:
Seja p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, com a ≠ 0, tem-se:
 p(2) = a · 23 + b · 22 + c · 2 + d = 8a + 4b + 2c + d
 p(3) = a · 33 + b · 32 + c · 3 + d = 27a + 9b + 3c + d
Valores numéricos notáveis
Seja p(x) = a
0
 + a
1
 · x1 +...+ a
n – 1
 · xn – 1 + a
n
 · xn, a
n
≠ 0, tem-se:
• p(0) = a
0
 + a
1
 · 01 +...+ a
n – 1
 · 0n – 1 + a
n
 · 0n → p(0) = a
0
Logo, p(0) representa o termo independente de p(x).
• p(1) = a
0
 + a
1
 · 11 +...+ a
n – 1
 · 1n – 1 + a
n
 · 1n →
→ p(1) = a
0
 + a
1
 +... + a
n
Logo, p(1) representa a soma dos coefi cientes de p(x).
• α é raiz ou zero do polinômio p(x) se, e somente se, p(α) = 0.
Polinômio identicamente nulo
Um polinômio p(x) é nulo ou identicamente nulo, quando 
tem valor numérico igual a zero para todo valor da variável x.
p(x) 0 ⇔ p(α) = 0, α∈ C
C-5 H-21
Aula
22
Identidade de polinômios
Dois polinômios p
1
(x) e p
2
(x) na variável x são idênticos, 
quando assumem valores numéricos iguais x ∈ C.
p
1
(x) p
2
 (x) ⇔ p
1
(α) = p
2
(α), α ∈ C
Divisão de polinômios
Sejam p(x) e d(x) dois polinômios quaisquer, com d(x) não nulo.
Dividir p(x) por d(x) equivale a obter um único par de polinômios 
q(x) e r(x) que verifi cam as sentenças a seguir:
p(x) d(x)
r(x) q(x)
• p(x) = q(x) · d(x) + r(x)
• grau [r(x)] < grau [d(x)] ou r(x) 0
Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio p(x) por ax + b, com 
a ≠ 0, é numericamente igual ao valor de p(α), em que α = − b
a
(raiz do polinômio divisor).
Exercícios de Fixação
01. Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 
16 cm. Após remover um quadrado de lado x cm de cada um 
dos cantos da folha, forma feitas 4 dobras para construir uma 
caixa (sem tampa) em forma de paralelepípedo reto-retângulo 
com altura x cm. As linhas tracejadas na fi gura indicam onde 
as dobras foram feitas.
20
x
x
16
Então, a expressão que relaciona o volume da caixa em função 
de x é
A) 4x3 – 16x + 320x
B) 4x3 – 16x2 + 320x
C) 4x3 – 72x2 + 320
D) 4x3 – 72x2 – 320x
E) 4x3 – 72x2 + 320x
51
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática III
Anual – Volume 5
02. Três lâmpadas com resistências R
1
, R
2
 e R
3
 são ligadas num 
circuito em paralelo. Sabe-se que a resistência total R do 
circuito é 
R R R
R R R R R R
1 2 3
1 2 1 3 2 3+ +
. Suponha que cada uma dessas 
lâmpadas teve sua resistência alterada para R
1
 + x
1
 + R
2
 + 
x e R
3
 + x. Assim, a resistência total é função de x. Sendo 
R
(x)
 = 
a x a x a x a
b x b x b
3
3
2
2
1 0
2
2
1 0
+ + +
+ +
a expressão da resistência total de 
x, é possível afi rmar:
I. a
3
 = b
2
II. a
1
 = b
0
III. a b2 1
1
2
=
Está(ão) correta(s)
A) apenas I.
B) apenas I e II.
C) apenas III.
D) apenas II e III.
E) I, II e III.
03. Perdeu-se parte da informação que constava em uma solução 
de um problema, pois o papel foi rasgado e faz-se necessário 
encontrar três dos números perdidos que chamaremos de 
A, B e C na equação abaixo.
Ax
x x
B
x
Cx x C
x x x
−
+ +
+
−
= − −
+ + −
2
3 2 1
9
2 5 32
2
3 2
O valor de A + B + C é
A) – 3 B) – 2
C) 4 D) 5
E) 7
04. É possível demonstrar que o polinômio P x
x x( ) = + +
2 2 2
2
 é 
uma boa aproximação da função f(x) = ex para valores de x 
próximos de zero. Usando essa informação, o valor aproximado 
de e10 é
A) 1,105
B) 1,061
C) 0,781
D) 0,610
E) 0,553
05. No plano cartesiano ortogonal, a reta r de equação geral 
ax + by + c = 0, com a > 0, tem inclinação de 
π
4
 radianos e 
passa pelo ponto T, que pertence à bissetriz dos quadrantes 
pares, com abscissa –1.
O polinômio P(x) = x3 + px2 + qx + s, de coefi cientes reais, 
intercepta o eixo das ordenadas em 6, satisfaz a condição 
P(–1) = 8 e P(x) = 0 tem a soma das raízes numericamente igual 
à soma de a, b, c.
Nessas condições, a razão entre a maior e a menor raiz de 
P(x) = 0 é um número
A) decimal exato negativo. B) decimal exato positivo.
C) dízima períodica negativa. D) dízima períodica positiva.
D) inteiro positivo.
Exercícios Propostos
01. As fi guras indicam uma sequência de empilhamentos de cubos 
de 1 cm3. Da primeira pilha em diante, os volumes das pilhas, 
em cm3, são iguais a 1, 5, 14, 30, 55,e assim sucessivamente.
1 1 + 4 1 + 4 + 9 1 + 4 + 9 + 16
...
Sabe-se que a soma 1 + 22 + 32 + 42 + 52 + ...+ x2 é um 
polinômio do terceiro grau, dado por P(x) = mx3 + nx2 + px, 
com m, n e p racionais. Portanto, P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) = 14, 
P(4) = 30 e assim por diante. Nas condições dadas, m é igual a
A) 
1
2
B) 
5
6
C) 
2
3
D) 
1
6
E) 
1
3
02. O custo C de um produto em função da quantidade x fabricada 
desse produto é dado pelo polinômio C(x). Dividindo-se C(x) 
por x – 19, o resto será igual a 99, ao passo que a divisão de 
C(x) por x – 99 deixa resto 19. Se cálculos econômicos exigirem 
que se faça a divisão de C(x) pelo polinômio (x – 19) · (x – 99), 
o resto dessa divisão será o polinômio
A) 20 – x 
B) 118 – x
C) 80 – x 
D) 20 + x
E) 80 + x
03. Quando x2 + mx + 2 é dividido por x – 1 o quociente é q
1
(x) e o 
resto é R
1
. Quando x2 + mx + 2 é dividido por x + 1 o quociente 
é q
2
(x) e o resto é R
2
. Se R
1
 = R
2
, então m é igual a:
A) –1 
B) 0
C) 1 
D) 2
E) 3
04. Se x2 – x – 1 é um dos fatores da fatoração de mx3 + nx2 + 1, 
com m e n inteiros, então, n + m é igual a:
A) –2 
B) –1
C) 0 
D) 1
E) 2
52
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática III
Anual – Volume 5
05. O polinômio ax3 + bx2 + cx + d é o quociente da divisão exata 
de x5 – x4 – 34x3 + 34x2 + 225x – 225 por x2 – 4x + 3.
Determine | a + b + c + d |.
A) 98 B) 97
C) 96 D) 95
E) 94
06. (Mackenzie-SP) Dividindo-se P(x) = x2 + bx + c por x – 1 e por 
x + 2, obtém-se o mesmo resto 3. Então, a soma das raízes de 
P(x) – 3 é:
A) –3 B) –2
C) –1 D) 1
E) 3
07. Na divisão do polinômio P(x) = 4x3 + mx2 – 3x + 4 por x – 2 o 
resto é 18. Nessas condições, o valor de m é
A) – 6 B) 3
C) – 3 D) 6
E) – 5
08. O maior valor inteiro de x, para o qual a fração 
5 1
2
4x x
x
+ −
+
representa um número inteiro, é:
A) 79 B) 77
C) 75 D) 11
E) 7
09. Seja p(x) um polinômio de grau três tal que p(0) = 6, p(1) = 1, 
p(2) = 4 e p(3) = 9. É correto afi rmar que p(4) é igual a:
A) 0 B) 16
C) 10 D) 14
E) 8
10. Sejam F(x) = x3 + ax + b e G(x) = 2x2 + 2x – 6 dois polinômios 
na variável real x, com a e b números reais. Qual o valor de 
(a + b) para que a divisão 
F x
G x
( )
( )
 seja exata?
A) – 2 B) – 1
C) 0 D) 1
E) 2
Fique de Olho
Mostre que o produto de quatro números inteiros positivos e 
consecutivos, mais 1 é quadrado perfeito e, depois, calcule o 
valor numérico de 96 97 98 99 1⋅ ⋅ ⋅ + .
 Resolução:
• ( ) x (x )(x ) (x )
( )( )
x ax b
x x x x a x b
− ⋅ ⋅ + + + ≡ + + ⇔
+ − + ≡ + +
1 1 2 1
2 1 1
2 2
2 2 4 2 2 2 ++ + +
+ − − + ≡ + + + + +
2 2 2
2 2 1 2 2 2
3 2
4 3 2 4 3 2 2 2
ax bx abx
x x x x x ax a b x abx b( )
Daí, 2 2
2 2
2 1
1
1
12
2
a
ab
a b
b
a
b
=
= −
+ = −
=






⇒ =
= −{
Logo, x x x x x x−( ) ⋅ ⋅ +( ) ⋅ +( ) + ≡ + −( )1 1 2 1 12 2 é quadrado 
perfeito.
• Usando a identidade acima tem-se:
96 97 98 99 1 97 97 1 95052⋅ ⋅ ⋅ + = + − = .
Aula 23: 
Polinômios – Parte II
Algoritmo de Briot-Ruffi ni
Às vezes, necessitamos encontrar, além do resto da divisão 
de um polinômio p(x) por x – α, o quociente q(x). Nesse caso, 
recorremos ao dispositivo de Briot-Ruffi ni.
Vamos visualizá-lo da seguinte maneira:
Raiz de x – α Coefi cientes de p(x) Temos independente de p(x)
Coefi cientes do quociente Resto
Veja a seguir, a sequência de passos para se obter 
q(x) e r(x), por meio desse dispositivo, quando dividimos 
p(x) = x4 – 2x3 + 3x + 4 por x – 2.
Visualização inicial
2 1 – 2 0 3 4
1
Depois, efetuamos as seguintes operações:
43
103
0
0 0
–212
início
1
+
+
+
+
×
×
×
×
Nesse esquema, temos:
2 1 – 2 0 3 4
1 0 0 3 10
Coefi cientes de Q(x) Resto
Assim, obtemos o quociente q(x) = x3 + 3 e o resto r(x) = 10.
Teorema de D’Alembert
Um polinômio p(x) é divisível pelo polinômio ax + b se, e 
somente se, p(α) = 0, em que α = − b
a
 (raiz do polinômio divisor).
Teorema da decomposição
Seja p(x) um polinômio de grau n, n 1, dado por:
P(x) = a
n
xn + a
n – 1
xn – 1 + ... + a
1
x + a
0
(a
n
≠ 0).
Então, p(x) pode ser decomposto em n fatores do 1o grau 
sob a forma:
P(x) = a
n
 · (x – r
1
) · (x – r
2
) · ... · (x – r
n
)
em que r
1
, r
2
, ..., r
n
 são raízes de p(x) e a
n
 é o coefi ciente 
dominante de p(x).
C-5 H-21
Aula
23
53
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática III
Anual – Volume 5
Exercícios de Fixação
01. No século XVI, divertidos duelos intelectuais entre professores 
das academias contribuíram para o avanço da Matemática. 
Motivado por um desses duelos, o matemático italiano Niccólo 
Fontana (Tartaglia) (1500 – 1557) encontrou uma fórmula para 
resolver equações polinomiais de terceiro grau. No entanto, 
os outros matemáticos da época não tinham acesso a tal 
descoberta, tendo que encontrar formas alternativas para 
resolver aqueles problemas. Uma dessas formas alternativas 
é a fatoração, que facilita a observação das raízes (soluções), 
pois transforma a adição dos termos da equação em uma 
multiplicação igualada a zero. Veja o exemplo. 
x³ + 6x² + 5x – 12 = 0 ⇔ (x – 1) · (x + 3) · (x + 4) = 0
Analisando o exemplo dado, é correto afi rmar que essa equação 
A) possui três raízes naturais distintas.
B) possui três raízes inteiras distintas.
C) possui duas raízes naturais distintas e uma raiz irracional.
D) possui duas raízes irracionais distintas e uma raiz inteira.
E) não possui raízes reais.
02. A fi gura, feita fora de escala, representa a planta de uma sala 
de aula, que conta com uma área para armários dos alunos 
(parte hachurada).
20 mX
X
X
Área da sala, incluindo os armários = 131 m2
(excluindo o hall de entrada)
hall de
entrada
A sala está sendo projetada de modo que o teto fi que a uma 
distância de x metros do chão e, para que haja uma ventilação 
adequada, o volume total da sala mais o hall de entrada, 
descontando-se o espaço dos armários (que vão até o teto), 
deve ser de 280 m3. O menor valor de x que atende a todas 
essas condições é
A) 5 B) 6
C) 7 D) 8
E) 9
03. A maior das raízes da equação 4x3 – 12x2 + 3x + 5 = 0, que 
estão em progressão aritmética, equivale à medida, expressa 
em centímetros, da aresta da base de um recipiente destinado 
a acondicionar remédio na forma líquida, e que apresenta o 
formato de um prisma regular reto, de base hexagonal, com 
altura de 16 cm. Desejando colocar 200 ml nesse recipiente, 
inicialmente vazio, é correto afi rmar que esse volume líquido: 
(Se necessário, adotar 3 1 7= , ).
A) ocupará entre 75% e 80% da capacidade total do recipiente.
B) ocupará entre 65% e 70% da capacidade total do recipiente.
C) ocupará, aproximadamente, 
1
2
 da capacidade total do 
recipiente.
D) ocupará, aproximadamente, 
1
3
 da capacidade total do 
recipiente.
E) ocupará, aproximadamente, 
1
4
 da capacidade total do 
recipiente.
04. A culinária está em alta nos programas televisivos. Em um 
desses programas, os participantes foram desafiados a 
elaborar um prato no qual fossem utilizados, entre outros, os 
ingredientes A, B e C, cujas quantidades em kg, 
numericamente, não excedessem às raízes do polinômio 
P(x) = 8x³ – 14x² + 7x – 1. Sabendo-se que os participantes 
receberam 
1
4
kg do ingrediente A, pode-se afi rmar que as 
quantidades máximas que podem ser utilizadas dos ingredientes 
B e C diferem em:
A) 200 g B) 275 g
C) 350 g D) 425 g
E) 500 g
05. Numa autoestrada verifi cou-se que a velocidade média do 
tráfego, V, entre meio-dia e seis horas da tarde, pode ser 
expressa pela seguinte função:
V(t) = at3 + bt2 + ct + 40
Nesta função, V é medida em quilômetros por hora, t é o 
número de horas transcorridas após o meio-dia e a, b e c são 
constantes a serem determinadas. Verifi cou-se, ainda, que à 
1 hora, às 5 horas e às 6 horas da tarde, as velocidades médias 
eram, respectivamente, 81 km/h, 65 km/h e 76 km/h.
O número de vezes, em um determinado dia, em que a 
velocidade média do tráfego atinge 92 km/h, entre meio-dia e 
seis horas da tarde, é exatamente igual a:
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
Exercícios Propostos
01. Uma caixa na forma de um paralelepípedoreto retângulo 
cuja altura mede (x + 4) cm tem volume, em cm3, dado por 
V(x) = x3 + 12x2 + 44x + 48. 
Sabendo-se que x é uma constante real positiva, é correto 
afi rmar que as dimensões da caixa, em cm, formam uma
A) progressão aritmética de razão 3.
B) progressão aritmética de razão 2.
C) progressão geométrica de razão 2.
D) progressão geométrica de razão 3.
E) sequência que não é progressão.
02. Considere a matriz 
1
1 2 3 4
1 3 4 5
2 2 1 1
2 3x x x
−
−












, x ∈ R. Se o polinômio 
p(x) é dado por p(x) = detA, então o produto das raízes de p(x) é 
A) 
1
2
 B) 
1
3
C) 
1
5
 D) 
1
7
E) 
1
11
54
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática III
Anual – Volume 5
03. O polinômio p(x), na variável real x, é obtido por meio da 
multiplicação sucessiva de termos de tipo (x– i)i para i = 1, 
2,..., k. Desse modo, p(x) = (x – 1)(x – 2)2...(x – k)k, sendo k um 
número natural constante.
Se o grau de p(x) é igual a 210, logo k é um número
A) primo 
B) divisível por 5.
C) múltiplo de 7. 
D) ímpar
E) divisível por 12.
04. O resto da divisão do polinômio 
P(x) = (cos + x · sen )7 – cos7 – x · sen 7
por x2 + 1 é:
A) –2 B) –1
C) 0 D) 1
E) 2
05. Se P(x) é um polinômio de grau 5, tal que P (1) = P (2) = P (3) = 
P (4) = P (5) = –3 e P (–1) = –723, o valor de P (0) é:
A) –123 
B) –121
C) –119 
D) –117
06. O polinômio P(x) = x3 – 3x2 – 6x + 8 é fatorado e escrito na forma 
P(x) = (x – a) · (x – b) · (x – c). Determine o valor de a2 · b2 · c2.
A) 81 
B) 64
C) 49 
D) 36
E) 25
07. Seja P(x) = xn + a
1
 xn–1 + ... + a
n–1
 x + a
n
 um polinômio de grau 
n, cujos coefi cientes 1, a
1
, a
2
, ..., a
n
, formam uma progressão 
geométrica de razão igual a 
1
2
. Determine o grau de P(x), 
sabendo-se que o resto da divisão de P(x) por x – 1 é igual a 
255
128
.
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
08. Encontre o maior valor inteiro de x para o qual a fração 
2 3 1
2
4 2x x
x
− −
+
 representa um inteiro.
A) 19 
B) 18
C) 17 
D) 16
E) 15
09. Considere a equação polinomial a seguir:
2x3 – 15x2 + 34x – 24 = 0
Sabe-se que cada uma das raízes dessa equação corresponde 
a uma das medidas, em cm, do comprimento, da largura e da 
altura de um paralelepípedo retângulo.
De acordo com as informações, qual é a medida, em centímetros 
quadrados, da área total do paralelepípedo retângulo.
A) 12 B) 15
C) 17 D) 24
E) 34
10. As fi guras a seguir representam as formas e as dimensões, em 
decímetros, de duas embalagens: um cubo com aresta x e um 
paralelepípedo retângulo com arestas x, x e 5.
x x
x
5
A diferença entre as capacidades de armazenamento dessas 
embalagens, em dm3, é expressa por x3 – 5x2 = 36.
Nas condições dadas, o valor real de x, em dm, deve ser
A) 8 B) 7
C) 6 D) 5
E) 4
Fique de Olho
(ITA) Determine o polinômio P de 3º grau que apresenta uma 
raiz nula e satisfaz a condição P(x – 1) = P(x) + (2x)2 para 
todo x real. Com o auxílio deste, podemos calcular a soma
22 + 42 + ... + (2n)2, onde n é um número natural, que é 
igual a:
A) 
4
3
2
2
3
3 2n n n− − B) 
4
3
2
2
3
3 2n n n+ +
C) 
4
3
2
2
3
3 2n n n− + D) 4n3 + 2n2 + n
E) n3 + n2 + 2n
Solução:
Seja P(x) = ax3 + bx2 + cx + d o polinômio do enunciado temos:
i) P(0) = d = 0
ii) P(0) = P(1) + (2 · 1)2 ⇒ 0 = a + b + c + 4 ⇒ a + b + c = – 4
iii) P(– 1) = P(0) + (2 · 0)2 ⇒ – a + b – c = 0
iv) a b c
a b c
b e a c
+ + = −
− + − ={ ⇒ = − + = −40 2 2
v) P(1) = P(2) + (2 · 2)2 ⇒ a – 2 + c = 8a – 2 · 4 + 2c + 16 ⇒
⇒ 7a + c = – 10
vi) 
7 10
2
4
3
2
3
a c
a c
a e c
+ = −
+ = −{ ⇒ = − = −
Daí, P(x) = − − −
4
3
2
2
3
3 2x x x
vii) Dando valores a x na igualdade P(x – 1) = P(x) + (2x)2:
x P P
x P P
x P P
= ⇒ = + ⋅
= ⇒ = + ⋅
= ⇒ = + ⋅
1 0 1 2 1
2 1 2 2 2
3 2 3 2 3
2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ))2
– – – – – – – – – – – – –
x n P n P n= ⇒ − = + ⋅( ) (n) ( )1 2 2
Somando membro a membro, obtemos:
P(0) = P(n) + [22 + 42 + 62 + ... + (2n)2]
Logo, 22 + 42 + 62 + ... + (2n)2 = – P(n)
22 + 42 + 62 + ... + (2n)2 = 
4
3
2
2
3
3 2n n n+ +
55
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática III
Anual – Volume 5
Aula 24: 
Polinômios – Parte III
Equação polinomial
Equação algébrica ou polinomial é toda equação do tipo:
a
n
xn + a
n–1
xn–1 + a
n–2
xn–2 + ... + a
2
x2 + a
1
x + a
0
 = 0
,
 sendo −
≠


n
n n 1 0
a 0
a , a ,...,e a
x a variável (em C)
os coeficientes da equação (em C)
Exemplos:
1. A equação 3x4 – 5x2 + 7 = 0 tem coefi cientes 3, 0, – 5, 0 e 7.
2. A equação 5x3 – 4x2 + 3x – 1 = 0 tem coefi cientes 5, – 4, 3 e – 1.
Grau de uma equação algébrica
O grau de uma equação P(x) = 0 é o mesmo do 
polinômio P(x).
Exemplos:
1. A equação x4 + 2x2 + 3x = 0 é do quarto grau.
2. A equação (x2 – 3)(x + 1) = 0 é do terceiro grau.
Teorema da decomposição
Todo polinômio P(x), de grau n, pode ser decomposto no 
produto:
P x a x r x r x rn n( ) = ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ ⋅ −( )1 2 ...
 ,
 Sendo: ( )
n
1 2 3 n
a o coeficiente do termo de maior grau
r ,r ,r ,...e r as raízes do polinômio P x



Consequência: Toda equação de grau n, n 1, admite exatamente 
n raízes complexas.
Multiplicidade de uma raiz
De modo geral, o número complexo r é uma raiz de 
multiplicidade m (m ∈ N, m 1) da equação p(x) = 0 se a forma 
fatorada de p(x) é:
p x x r x r x r q x
m vezes
( ) = −( ) ⋅ −( ) ⋅ ⋅ −( ) ⋅ ( )...� ����� �����
Isto é:
P x x r q x com q r
m( ) = −( ) ⋅ ( ) ( ) ≠, 0
Observe que:
• p(x) é divisível por (x – r)m.
• A condição q(r) ≠ 0 signifi ca que r não é raiz de q(x).
Desse modo, a multiplicidade da raiz r na equação p(x) = 0 é 
exatamente igual a m.
C-5 H-21
Aula
24
Relações de Girard
De modo geral, dada a equação de variável x e raízes 
x
1
, x
2
, x
3
, ..., x
n
 do tipo a
0
xn + a
1
xn – 1 + a
2
xn – 2 + ... + a
n – 1
x 1 + a
n 
= 0, 
valem as relações (relações de Girard):
s
a
a
s
a
a
s
a
a
s
a
a
s
a
a
n
n
1
1
0
2
2
0
3
3
0
4
4
0
n
0
1
=
−
=
+
=
−
=
+
=
−( ) ⋅
Onde:
• S
1
 é a soma das raízes: S
1
 = x
1
 + x
2
 + ... + x
n
• S
2
 é a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas:
 S
2
 = x
1
x
2
 + x
1
x
3
 + ... + x
n – 1 · 
x
n
• S
3
 é a soma dos produtos das raízes tomadas três a três:
 S
3
 = x
1
x
2
x
3
 + x
1
x
2
x
4
 + ... + x
n – 2 · 
x
n – 1 · 
x
n
• S
n
 é o produto das raízes:
 S
n
 = x
1
 · x
2
 · x
3
 · ... · x
n
.
Teorema das raízes racionais
Se 
p
q
 é uma raiz racional irredutível, de um polinômio de 
coefi cientes inteiros, então p é divisor do termo independente e 
q é divisor do coefi ciente dominante.
Teorema das raízes complexas
Se um número complexo z = a + bi (b ≠ 0) é raiz de 
um polinômio p(x) de coefi cientes reais, então seu conjugado 
z = a – bi também é raiz de p(x).
Exercícios de Fixação
01. Na implementação de um sintetizador em software, 
relacionam-se os coefi cientes de um polinômio com os controles 
deslizantes numa interface gráfi ca. Portanto, polinômios estão 
ligados à geração de notas musicais.
A soma das raízes da equação polinomial x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 é
A) –6 B) 0
C) 3 D) 6
E) 11
02. Para embalar pastéis folheados, são utilizadas folhas 
retangulares de papel celofane cujas dimensões são as raízes 
reais positivas do polinômio P(x) = x3 – 12x2 + 20x + 96. 
Sabendo que uma das raízes é –2, o produto de duas raízes 
poderá ser:
A) 12 B) 16
C) 96 D) – 48
E) – 16
56
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática III
Anual – Volume 5
03. Para avaliar as vendas em 2013, o setor de planejamento 
de uma empresa u t i l i zou a função po l i nomia l 
N(t) = t3 – 21t2 + 126t + 304 em que N representa o número 
de tablets vendidos no mês t, com t = 1 correspondendo a 
janeiro, t = 2 correspondendo a fevereiro e assim por diante. 
De acordo com os dados, o número de tablets vendidos foi 
igual a 480, nos meses de
A) fevereiro, julho e novembro.
B) fevereiro, agosto e novembro.
C) fevereiro, agosto e dezembro.
D) março, agosto e dezembro.
E) março, setembro e dezembro.
04. A função f t t t t( ) = − + −
1
4
4 17203 2 representa o lucro de uma 
empresa de produtos eletrônicos (em milhões de reais), no 
tempo t (em anos). Se t
1
, t
2
 e t
3
 com t
1
 < t
2
 < t
3
, correspondem 
aos anos em que o lucro da empresa é zero, então t
3
 – t
2
 – t
1
é igual a
A) 1 B) 2
C) 4 D) 6
E) 10
05. Admita a possibilidade de contar objetos de duas maneiras, 
uma na base x e outra na base (x + 3). Ao empregar essas 
duas maneiras para contar um determinado grupo de objetos, 
obtemos: (2343)
x
 = (534)
x+3
Assim sendo, o valor natural de x é igual a
A) 5 B) 6
C) 7 D) 8
E) 9
Exercícios Propostos
01. João gosta de brincar com números e fazer operações com 
eles. Em determinado momento, ele pensou em três números 
naturais e, em relação a esses números, observou o seguinte:
• a soma desses números é 7;
• o produto deles é 8;
• a soma das três parcelas resultantes dos produtos desses 
números tomados dois a dois é 14.
Assim, os três números pensados por João são raízes da equação
A) x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0. 
B) x3 + 7x2 – 14x + 8 = 0.
C) x3 – 7x2 – 14x – 8 = 0. 
D) x3 + 7x2 – 14x – 8 = 0.
E) x3 + 7x2 + 14x + 8 = 0.
02. Uma loja de produtos de beleza construiu sua vitrine em acrílico, 
com as dimensões representadas na fi gura.
x + a
x + c
x + b
A equação matemática do volume desse paralelepípedo, 
defi nido quando x > 4, sendo conhecidos a, b e c, é dada pelo 
polinômio P(x) = x3 – 7x2 + 14x – 8. 
Sabendo-se que a soma de duas das raízes do polinômio é igual 
a 5, pode-se afi rmar, a respeito das raízes, que
A) nenhuma é real.
B) são todas iguais e não nulas.
C) somente uma delas é nula.
D) constituem uma progressão aritmética.
E) constituem uma progressão geométrica.
03. O período do dia em que o tráfego das grandes cidades se 
congestiona devido ao grande número de veículos que se 
deslocam na mesma direção é considerado como um período 
de pique ou hora do rush. O departamento de trânsito de 
Belém descreve a velocidade média do tráfego, no entorno do 
Entroncamento, no período rush (das 16h às 20h) em um dia 
útil da semana, por meio da função v(t) = αt3 + t2 – 10t + 15, 
sendo que v é a velocidade em km/h, t é o número de horas 
transcorridas após o início do período do rush, sendo α e 
constantes reais adequadas.
PAIVA, Manoel. Matemática Paiva. 2. ed. 
São Paulo; Ed. Moderna, 2013. Adaptado.
 Considerando α = –1, é verdadeiro afi rmar que o valor da 
constante para que a velocidade do tráfego, exatamente na 
metade do período do rush, seja a média aritmética entre os 
valores da velocidade do início e do fi m desse período, é
A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
E) 6
04. Ao realizar uma experiência que consistia em medir o valor 
de y para certos valores de x, um engenheiro obteve os valores 
apresentados na tabela abaixo:
i xi yi
1 –1 1
2 0 –1
3 1 0
4 2 1
Ele decidiu modelar essas grandezas por um polinômio de 
terceiro grau da forma p(x) = ax3 + bx2 + cx + d; para isso, 
determinou o único desses polinômios que passa pelos pontos 
da tabela (ou seja, tal que p(x
i
) = y
i
, para i = 1, 2, 3 e 4). Para 
testar seu modelo, mediu o valor de y correspondente a x =
1
2
,
tendo obtido o valor y = −
1
2
.
A diferença entre o valor medido e o valor previsto pelo modelo 
para x =
1
2
 é
A) −
1
16
 B) 0
C) 
1
16
 D) 
2
16
E) 
3
16
05. Seja r um número racional não nulo. Se k e 2 são raízes 
irracionais da equação x3 + rx2 – 2x – 2r = 0, determine o valor k4.
A) 1 B) 2
C) 4 D) 8
E) 16
57
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática III
Anual – Volume 5
06. (Uece) As medidas das arestas de um paralelepípedo reto, em 
metros, são as raízes da equação x3 – 5x2 + 8x + t = 0, onde t é 
um número real. A medida da diagonal deste paralelepípedo é:
A) 6 m B) 8 m
C) 3 m D) 5 m
07. As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular 
são as raízes da equação polinomial x3 – 14x2 + 64x – 96 = 0. 
Denominando-se r, s e t essas medidas, se for construído um 
novo bloco retangular, com arestas medindo (r – 1), (s – 1) e 
(t – 1), ou seja, cada aresta medindo 1 cm a menos que a do 
bloco anterior, a medida do volume desse novo bloco será
A) 36 cm3 B) 45 cm3
C) 54 cm3 D) 60 cm3
E) 80 cm3
08. Sabendo-se que as raízes do polinômio P(x) = x3 – 18x2 + 8x + 
384 estão em Progressão Aritmética, determinar a maior delas.
A) 12 B) 14
C) 16 D) 17
E) 18
09. Um das criações na Matemática que revolucionou o conceito de 
número foi a dos números complexos. O matemático italiano 
Rafael Bombelli (1526-1572) foi o primeiro a escrever as regras 
de adição e multiplicação para esses números, o que facilitou o 
estudo das raízes de um polinômio. Esse fato veio a contribuir 
para a resolução de problemas como o que segue.
Os pontos do plano complexo que são raízes de um polinômio 
de grau 4 com coefi cientes reais são unidos por segmentos de 
reta paralelos aos eixos coordenados. Se duas dessas raízes são 
2 + 3i e –1 + 3i, então a fi gura obtida será um
A) triângulo. B) quadrado.
C) retângulo. D) trapézio.
E) losango.
10. A utilização de computadores como ferramentas auxiliares na 
produção de conhecimento escolar tem sido uma realidade 
em muitas escolas brasileiras. O GeoGebra é um software
educacional utilizado no ensino de Matemática (geometria 
dinâmica). Na ilustração abaixo, se tem-se representação dos 
gráfi cos de duas funções reais a valores reais, defi nidas por
g(x) = x2 – x + 2 e f(x) = x + 5
f(x) = x+5
8
7
6
5
4
3
2
1
g(x) = x2 - x + 2
Construção dos gráfi cos das funções no GeoGebra
Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fi chaTecnicaAula.
html?aula-53900>.
Nestas condições, a soma das ordenadas dos pontos de 
interseção dos gráfi cos que representam as duas funções 
polinomiais acima ilustradas é:
A) 2 B) 5
C) 7 D) 11
E) 12
Fique de Olho
• Considere N o menor inteiro positivo maior que 200 que é, ao 
mesmo tempo, a soma de 5, de 6 e de 7 inteiros consecutivos.
A soma dos algarismos de N é igual a:
A) 3 B) 5
C) 6 D) 7
E) 9
 Solução:
Sendo x, y e w números inteiros, devemos ter:
I) N = (x – 2) + (x – 1) + x + (x + 1) + (x + 2) ⇒ N = 5x
II) N = (y – 2) + (y – 1) + y + (y + 1) + (y + 2) + (y + 3) ⇒
⇒ N = 6y + 3 ⇒ N = 3 · (2y + 1)
III) N = (w - 3) + (w – 2) + (w – 1) + w + (w + 1) + (w + 2) + (w + 3) ⇒
⇒ N = 7w
Observando que 3 e (2y + 1) são ímpares, N = 3 · (2y + 1) é 
ímpar e múltiplo comum de 5, 3 e 7, ou seja, N é múltiplo de 
MMC(5, 3, 7) = 105.
Logo, o menor valor ímpar para N, maior que 200, será:
N = 105 · 3 = 315, cuja soma dos algarismos é igual a 9.
 Resposta: E
Polinômios – Parte II
Polinômios – Parte III
Equações Polinomiais – Parte II
Equações Polinomiais – Parte I
Relações de Girard
Seção Videoaula
Polinômios - Parte I
58
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática III
Anual – Volume 5
Aula 25: 
Revisão Enem I – Exercícios
Exercícios de Fixação
01. Utilizando-se um hemograma e outros exames laboratoriais 
complementares, detectou-se intoxicação por um composto 
orgânico, cuja forma geométrica é aquela do polígono regular 
descrito pelas raízes complexas do polinômio
p(z) = (z2 + z + 1) (z4 – z3 + z – 1)
Considerando-se o exposto, conclui-se que o composto 
detectado é o
A) pireno. B) naftaleno.
C) fenantreno. D) benzeno.
E) antraceno.
02. Um Bruxelas, Tales conheceu o monumento Atomium, feito 
em aço revestido de alumínio, com a forma de uma molécula 
cristalizada de ferro, ampliada 165 bilhões de vezes. Essa 
escultura é formada por esferas de 18 metros de diâmetro, 
unidas por 20 tubos, com comprimentos de 18 a 23 metros.
A quantidade de esferas que compõem a escultura é igual ao 
valor de um dos zeros da função f(x) = x3 – 6x2 – 27x. Então, o 
número de esferas da escultura é
A) 18 B) 9
C) 6 D) 3
E) 2
03. Técnicos do órgão de trânsito recomendaram velocidade 
máxima de 80 km/h no trecho de uma rodovia onde ocorrem 
muitos acidentes. Para saber se os motoristas estavam 
cumprindo as recomendações, foi instalado um radar móvel no 
local. O aparelho registrou os seguintes resultados percentuais 
relativos às velocidades dos veículosao longo de trinta dias, 
conforme o gráfi co abaixo:
35
ve
íc
ul
os
 (%
)
30
25
20
15
10
50
velocidade (km/h)
60 70 80 90 100
5
0
Determine a média de velocidade, em km/h, dos veículos que 
trafegaram no local nesse período.
A) 72,5 km/h B) 74,5 km/h
C) 77,5 km/h D) 79,5 km/h
E) 81,5 km/h
C-5 H-21
Aula
25
04. Leonardo fez uma pesquisa sobre o preço da jarra de suco de 
laranja em algumas lanchonetes da região e obteve os seguintes 
valores:
Lanchonete Preço
A R$ 10,75
B R$ 6,00
C R$ 9,50
D R$ 11,00
E R$ 5,25
F R$ 7,00
G R$ 10,50
H R$ 8,00
Leonardo decidiu acrescentar duas lanchonetes em sua 
pesquisa. Ao considerar todos os 10 estabelecimentos, a média 
de preços passou a ser de R$ 8,45. Sabendo que essas duas 
novas lanchonetes cobram o mesmo preço pela jarra de suco, 
calcule esse valor.
A) R$ 8,05
B) R$ 8,10
C) R$ 8,15
D) R$ 8,20
E) R$ 8,25
05. O gráfi co de barras abaixo mostra a distribuição das notas de 
uma turma de alunos em uma prova de matemática. A nota é 
sempre um número inteiro de 0 a 10.
no de
alunos
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
notas
Assim, por exemplo, 2 alunos tiraram zero, e 1 aluno tirou dez. 
Qual é a mediana das notas dos alunos desta turma?
A) 4 
B) 5
C) 6 
D) 7
E) 8
59
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática III
Anual – Volume 5
Exercícios Propostos
01. 
5
–2 –1
y
x
–1
–0
1
2
3
4
–2
–3
0 1 2 3
O gráfi co apresentado mostra os valores de uma quantidade 
y correspondentes a certos valores de outra quantidade x.
Se a relação entre as coordenadas x e y dos pontos representados 
no gráfi co for descrita pela expressão y(x) = ax3 + bx2 + cx + d, 
então o valor de 
a c
b d
+
+
 será
A) −
1
4
B) −
1
7
C) 
1
7
D) 
1
4
E) 
4
7
02. Com a explosão dos smartphones, cerca de 10% dos brasileiros 
já são viciados digitais a ponto de não fi carem sem o aparelho 
e não pensarem em outra coisa. M é uma dessas pessoas que, 
ávida por novidades, está sempre de olho nos novos modelos 
lançados, sendo o tempo médio t, em anos, que ela leva 
para fazer a troca do aparelho em uso por um modelo mais 
avançado, pode ser estimado pela soma das raízes do polinômio 
P(x) = 2x4 + mx3 – 7x2 + 12x + n, em que m e n são constantes reais.
Sabendo-se que P(x) é divisível por Q(x) = x2 – 3x + 2, pode-se 
afi rmar que t é igual a
A) 1 ano. B) 1 ano e 3 meses.
C) 1 ano e 6 meses. D) 1 ano e 9 meses.
E) 2 anos.
03. Considere o conjunto de números naturais {1, 2, ..., 15}. 
Formando grupos de três números distintos desse conjunto, o 
número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é
A) 168 
B) 196
C) 224 
D) 227
E) 231
04. Daniela tem 5 pulseiras diferentes e as utiliza necessariamente 
colocando-as uma após a outra. Ela pode usar todas as pulseiras 
em apenas um braço ou distribuí-las entre os braços direito e 
esquerdo. Daniela considera como um arranjo diferente tanto 
o braço em que as pulseiras são colocadas quanto a ordem 
como elas são distribuídas. As fi guras mostram três arranjos 
diferentes que Daniela pode fazer.
O número de arranjos diferentes que Daniela pode fazer usando 
todas essas pulseiras é:
A) 240
B) 360
C) 480
D) 600
E) 720
05. A média aritmética das notas de cinco provas de estatística 
é 6,4. Retirando-se a prova com a menor nota, a nova 
média aritmética sobe para 7,0. Agora, retirando-se a prova 
com a maior nota, a nova média aritmética das três provas 
remanescentes abaixa para 6,5. Se a moda das notas das cinco 
provas é 6,0, então, necessariamente, a nota de uma das cinco 
provas é
A) 6,8 B) 7,2
C) 7,4 D) 7,5
E) 8,0
06. Se somarmos todos os números obtidos, permutando-se os 
algarismos em 1234, o resultado obtido é igual a
A) 54320
B) 55990
C) 59660
D) 66660
E) 69960
07. A turma de espanhol de uma escola é composta por 20 
estudantes. Serão formados grupos de três estudantes para 
uma apresentação cultural. De quantas maneiras se podem 
formar esses grupos, sabendo-se que dois dos estudantes não 
podem pertencer a um mesmo grupo?
A) 6 840
b) 6 732
c) 4 896
d) 1 836
E) 1 122
08. Os professores X e Y receberam ajuda fi nanceira para levarem 
três alunos de cada um deles a um encontro científico. 
Na relação de possíveis integrantes desse grupo, foram 
selecionados, dos alunos de X, 4 homens e 3 mulheres e, dos 
alunos de Y, 3 homens e 4 mulheres.
Sabendo-se que os professores não têm alunos em comum, 
pode-se afi rmar que o número máximo de formas distintas de 
se compor um grupo com 3 estudantes homens e 3 estudantes 
mulheres, para ir ao encontro, é
A) 144 
B) 161
C) 324 
D) 468
E) 485
60
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática III
Anual – Volume 5
09. Um jogo consiste em um prisma triangular reto com uma 
lâmpada em cada vértice e um quadro de interruptores para 
acender essas lâmpadas. Sabendo que quaisquer três lâmpadas 
podem ser acesas por um único interruptor e que cada 
interruptor acende precisamente três lâmpadas, o número de 
interruptores que existem no quadro é
A) 4 B) 20
C) 24 D) 120
E) 720
10. Em uma competição de vôlei de praia participaram n duplas. 
Ao fi nal, todos os adversários se cumprimentaram uma única 
vez com apertos de mãos. Sabendo-se que foram contados 
180 apertos de mãos, podemos concluir que n é igual a:
A) 8 B) 9
C) 10 D) 11
E) 12
Fique de Olho
• Dois números reais de 0 a 4, e que podem ser iguais, serão 
sorteados ao acaso. Denotando-se esses números por x e y, a 
probabilidade de que eles sejam tais que x2 + y2 1 é igual a
A) 
1
20
 B) 
π
64
C) 
π
20
 D) 
π
16
E) 
π
8
 Solução:
Grafi camente, temos:
4
y
x
4
1
10
Prob. (desejada) = 
Área (evento)
Área (amostral)
=
⋅
⋅
=
1
4
1
4 4 64
2π π
Resposta: B
Bibliografi a
HANSON, Earl D. Diversidade Animal. Edgard Blücher/Edusp, 1973.
JUNQUEIRA, Luis C. e Carneiro, J. Histologia Básica. Guanabara,
Anotações
1
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA III
Anual – Volume 5
Aula 21: 
Análise Combinatória e Probabilidade – Revisando e Aprofundando
• Objetivo(s):
 Revisar, fixar e aprofundar os conceitos utilizados em análise combinatória e probabilidade.
• Metodologia:
 Selecionar e comentar algumas das questões de fixação e/ou propostos que abordem os mais variados conceitos utilizados dentro 
do tema, mas também dar oportunidade de escolha das questões por parte da turma.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Como a amostra escolhida germinou, temos:
#(amostral) = 392 + 381
Portanto, a probabilidade da amostra escolhida pertencer à cultura A é dada por:
Prob. =
+
=
392
392 381
392
773
Resposta: D
02. Comentário:
 Como o atleta optará pelo salto que o aproxima de seu objetivo, temos:
• Probabilidade mais alta → Salto (T
4
) → não supera o 1º lugar.
 Possível pontuação final = 2,8 · 50 + 687,5 = 827,5 < 829
• Segunda probabilidade mais alta → Salto (T
2
) → não supera o 1º lugar.
 Possível pontuação final = 2,4 · 58 + 687,5 = 826,7 < 829
• Terceira probabilidade mais alta → Salto (T
3
) → supera o 1º lugar.
 Possível pontuação final = 2,6 · 55 + 687,5 = 830,5 > 829
Resposta: C
03. Comentário:
 Observe que:
• Escolha sem ordem → = = =x C8 3
8
5 3
56,
!
! !
• Escolha com ordem → = = =y A8 3
8
5
336,
!
!
Logo, y – x = 280
Resposta: B
04. Comentário:
 Sendo os itens com duas alternativas, pelo P.F.C., obtemos:
#(Maneiras de responder) = 2 × 2 × 2 × ... × 2 = 210 = 1024
10 questões
Resposta: E
C-1 H-3
C-7 H-28Aula
21
2
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA III
Anual – Volume 5
05. Comentário:
 Diante do exposto, temos:
Carros compactos: F
1
, F
2
, F
3
, F
4
Caminhonetes: T
1
, T
2
, T
3
, T
4
, T
5
, T
6
Estande (Entrada) → C
4,1
 × C
6,1
 = 4 × 6
Estande (Central) → C
3,1
 × C
5,1
 = 3 × 5
Pelo P.F.C., obtemos:
#(Maneiras) = 4 × 6 × 3 × 5 = 6 5
2
4 3
2
2 2 2 26 2 4 2
×


 ⋅
×


 × × = × × ×C C, ,
Resposta: C
Aula 22: 
Polinômios – Parte I
• Objetivo(s):
 Conceituar um polinômio de grau qualquer, determinar polinômios a partir de informações sobre o seu graue seus coeficientes.
• Metodologia:
 Iniciar a aula apresentando questões que usem os conceitos apresentados, mostrando todos os elementos de um polinômio, tentando 
criar um paralelo com as funções polinomiais do 1º e 2º grau.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 No problema em questão, tem-se:
20 - 2x
x
16 - 2x
V(x) = Volume = (20 – 2x) · (16 – 2x) · x
Efetuando as contas, concluímos:
V(x) = 4x3 – 72x2 + 320x
Resposta: E
02. Comentário:
 De acordo com o exposto, devemos ter:
R x
R x R x R x
R x R x R x R x R x
( ) =
+( ) ⋅ +( ) ⋅ +( )
+( ) ⋅ +( ) + +( ) ⋅ +( ) + +(
1 2 3
1 2 1 3 2 )) ⋅ +( )R x3
Daí, R
x R R R x R R R R R R x R R R
x R R R
r =
+ + +( ) + + +( ) +
+ + +( )
3
1 2 3
2
1 2 1 3 2 3 1 2 3
2
1 2 33 2 xx R R R R R R+ + +1 2 1 3 2 3
Comparando com R
a x a x a x a
b x b x b
x( ) =
+ + +
+ +
3
3
2
2
1 0
2
2
1 0
, encontramos:
 a b e a b1 0 2 1
1
2
= =
Resposta: D
C-5 H-21
-
Aula
22
3
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA III
Anual – Volume 5
03. Comentário:
 No problema em questão, tem-se:
Ax
x x
B
x
Cx x C
x x x
−
+ +
+
−
= − −
+ + −
2
3 2 1
9
2 5 32
2
3 2
Daí,
(Ax – 2) (2x – 1) + B (x2 + x + 3) Cx2 – 9x – C
(2A + B)x2 + (B – A – 4)x + 2 + 3B Cx2 – 9x – C
Com isso, obtemos o sistema:
2A + B = C
B – A – 4 = – 9
2 + 3B = – C
 ⇒ A = 3, B = – 2 e C = 4
Logo, A + B + C = 5
Resposta: D
04. Comentário:
 Nestas condições, temos: 
e
x xx ≅
+ +2 2 2
2
, para x tendendo a zero.
Assim,
e e
1
10 10
2
1
10
2
1
10
2
2
1105= ≅



 +



 +
= ,
Resposta: A
05. Comentário:
 De acordo com o enunciado, temos:
• inclinação de r = 45°
• T ∈ b
2,4
 → T = (–1, 1) ∈ r: ax + by + c = 0
Assim,
Reta r constante→ = →
−
+
= ° =
∆
∆
y
x
y
x
tg
1
1
45 1
Encontramos:
r: x – y + 2 = 0 → a + b + c = 2.
Por outro lado, temos:
• P(0) = 6 → s = 6
• Soma das raízes = –p = 2 → p = –2
• P(–1) = 8 → –1 –2 – q + 6 = 8 → q = –5
Assim, P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6.
Já que, a soma dos coeficientes de P(x) é zero, naturalmente, 1 é raiz de P(x).
Dividindo P(x) por x – 1, obtemos:
P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 = (x – 1)·(x2 – x – 6)
É fácil verificar que as raízes de x2 – x – 6, são: 3 e –2
Segue que
Maior raiz de P(x) = 3
Menor raiz de P(x) = –2
Logo, a razão desejada é dada por:
Raz oã =
−
= −
3
2
1 5,
Resposta: A
4
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA III
Anual – Volume 5
Aula 23: 
Polinômios – Parte II
• Objetivo(s):
 Compreender e utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para efetuar divisão de P(x) por ax + b. Apresentar e enunciar o teorema do 
resto.
• Metodologia:
 Inicie a aula resolvendo o exercício de fixação 01 usando a divisão convencional e, depois, apresente o dispositivo de Briot-Ruffini 
como um método prático para dividir polinômios por binômios da forma x ± b. Resolva também o exercício de fixação 1 pelo 
dispositivo. Selecione e comente outros exercícios para completar e fixar a teoria da aula.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Aplicando a Lei do Anulamento do produto, temos::
x – 1 = 0 → x = 1
ou
x + 3 = 0 → x = – 3
ou
x + 4 = 0 → x = – 4
 Raízes inteiras: 1, –3 e – 4
Resposta: B
02. Comentário:
 Nestas condições, temos:
(x · x + 131 – 20 · x) · x = 280
(x2 – 20x + 131) · x = 280
x3 – 20x2 + 131x – 280 = 0
Por inspeção, 5 é raiz.
Briot-Ruffini
5 1 –20 131 –280
1 –15 56 0
x2 – 15x + 56 = 0 → x = 7 ou 8
Logo, x = 5 é a menor raiz.
Resposta: A
03. Comentário:
 Nestas condições,temos: 
Raízes: (x – r, x, x + r) P.A, em que r > 0.
Aplicando as relações de Girard, obtemos:
x r x x r
x r x x r
x x
r r
− + + + =
−( ) ⋅ ⋅ +( ) = −




→
= → =
−( ) ⋅ ⋅ +( ) = −
3
5
4
3 3 1
1 1 1
5
44
3
2
→ =




r
Assim, as raízes são dadas por:
Ra zes x r Maior raizí → − +( ) = −

 → =,x,x r , ,
1
2
1
5
2
5
2
C-5 H-21
Aula
23
5
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA III
Anual – Volume 5
Como a maior raiz corresponde à medida da aresta da base, em cm, de um prisma hexagonal regular de altura 16 cm, temos:
Volume cm mlPrisma( ) = ⋅



 ⋅









 ⋅ = ≅6
5
2
3
4
16 150 3 255
2
3
Portanto, em termos percentuais, 200 ml corresponde a:
P% , %= ≅
200
255
78 4
Resposta: A
04. Comentário:
 Devemos encontrar primeiro as raízes da equação dada.
8x3 – 14x2 + 7x – 1 = 0
Como a soma dos coeficientes é zero, então
x = 1 (raiz)
Briot-Ruffini
1 8 –14 7 –1
8 –6 1 0
Podemos escrever:
8x3 – 14x2 + 7x – 1 = (x – 1) · (8x2 – 6x + 1) → Raízes: 1
1
4
1
2
, e
Assim,
A kg g= =1
4
250 ; B = 1 kg = 1000 g; C kg g= =1
2
500
Logo:
Diferença (B, C) = 500 g
Resposta: E
05. Comentário:
 Nestas condições, temos:
v(1) = 81 → a + b + c + 40 = 81
v(5) = 65 → 125a + 25b + 5c + 40 = 65
v(6) = 76 → 216a + 36b + 6c + 40 = 76
Simplificando, tem-se:
a + b + c = 41
25a + 5b + c = 5
36a + 6b + c = 6
a = 2
b= – 21
c = 60
→
Com isso,
v(t) = 2t3 – 21t2 + 60t + 40
Devemos ter:
v(t) = 92 → 2t3 – 21t2 + 60t – 52 = 0
Resolvendo, encontramos:
mesmo instante→
t = 2
ou
t = 2
ou
t = 13
2
 = 6,5 (não serve)
Logo, a velocidade 92 km/h é a atingida para um único t antes das 6 horas da tarde.
Resposta: A
6
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA III
Anual – Volume 5
Aula 24: 
Polinômios – Parte III
• Objetivo(s):
 Compreender e aplicar os teoremas relativos à divisão de um polinômio P(x) por (x – a) e por (x – a) (x – b), conhecer o teorema 
fundamental da Álgebra e suas aplicações.
• Metodologia:
 Iniciar a aula apresentando um polinômio P(x) na forma P(x) = (ax + b) · Q(x) + R e destaque o fato de que para x = – b/a 
(raiz de ax + b) o resto R é igual a P(– b/a). Mostre também outro polinômio na forma P(x) = (ax + b) · Q(x) e destaque o fato de P(x) 
ser divisível por (ax + b), uma vez que (ax + b) é seu fator. Mostre que P(– b/a) = 0, nesse caso.
 Selecione e comente exercícios de fixação e/ou proposto que cubra toda a teoria dessa aula.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 No problema em questão, tem-se:
x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0
Raízes: x
1
, x
2
, x
3
Por Girard, concluímos:
x x x1 2 3
6
1
6+ + = − −
( )
=
Resposta: D
02. Comentário:
 No problema em questão, tem-se:
x3 – 12x2 + 20x + 96 = 0
Sendo – 2 raiz, por Briot-Ruffini, tem-se:
– 2 1 –12 20 96
1 –14 48 0
Daí,
x2 – 14x + 48 = 0 → Raízes: 6, 8
Logo, podemos ter os produtos a seguir:
x
1
x
2
 = – 12 ou x
1
x
3
 = – 16 ou x
2
x
3
 = 48
Resposta: E
03. Comentário:
 Devemos ter:
t3 – 21t2 + 126t + 304 = 480
t3 – 21t2 + 126t – 176 = 0
Por inspeção, t = 2 é raiz.
Briot-Ruffini
2 1 – 21 126 –176
1 – 19 88 0
Daí, 
t2 – 19t + 88 = 0 → t = 8 ou t = 11
Portanto, temos a correspondência a seguir.
t = 2 (Fevereiro); t = 8 (agosto) e t = 11 (novembro)
Resposta: B
C-5 H-20
H-21Aula
24
7
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA III
Anual – Volume 5
04. Comentário:
 Devemos ter:
1
4
4 17 20 03 2t t t− + − =
t3 – 16t2 + 68t – 80 = 0
Por inspeção, t = 2 é raiz.
Briot-Ruffini
2 1 –16 68 –80
1 –14 40 0
Daí, 
t2 – 14t + 40 = 0 → t = 4 ou t = 10
Logo:
(t
1
, t
2
, t
3
) = (2, 4, 10) t
3
 – t
2
 – t
1
 = 4
Resposta: C
05. Comentário:
 Diante do exposto, temos:
(2343)
x
 = (534)
x + 3
2x3 + 3x2 + 4x + 3 = 5(x + 3)2 + 3 (x + 3) + 4
Simplificando, achamos:
2x3 – 2x2 – 29x – 55 = 0
Por inspeção, x = 5 é raiz
Briot-Ruffini
5 2 –2 –29 –55
2 8 11 0
Daí, 
2x2 + 8x + 11 = 0 → x R
Logo, x = 5
Resposta: A
Aula 25: 
Revisão Enem I – Exercícios
• Objetivo(s):
 A partir de resoluções de problemas que envolvam conhecimentos algébricos, matemáticos e geométricos, fundamentar teorias 
estudadas ao longo do ano.
• Metodologia:
 Nesta aula, deve-se priorizar a resolução dos Exercícios de Fixação, podendo o professor fazer uma rápida fundamentação teórica.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Nestas condições, temos:
p(z) = (z2 + z + 1) · (z4 – z3 + z – 1)
p(z) = (z2 + z +1) · [z3 · (z – 1) + (z – 1)]
p(z) = (z2 + z + 1) · [(z – 1) · (z3 + 1)]
p(z) = (z3 – 1) · (z3 + 1)
C-5 H-21
Aula
25
8
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA III
Anual – Volume 5
Daí, 
p(z) = z6 – 1
Como as raízes de p(z) são os vértices de um hexágono de raio unitário, então o composto detectado é o benzeno.
Resposta: D
02. Comentário:
 Temos que:
p(x) = x3 – 6x2 – 27x
Para determinarmos as raízes de p(x), basta fazer:
p(x) = 0 → x3 – 6x2 – 27x = 0
Assim,
x · (x2 – 6x – 27) = 0
x · (x – 9) · (x + 3) = 0
Como o número de esferas é raiz de p(x), então x = 9.
Resposta: B
03. Comentário:
 No problema em questão, tem-se:
Vm =
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅5 50 15 60 20 70 30 80 20 90 10 100
100
Logo:
V
m
 = 77,5 km/h (velocidade média)
Resposta: C
04. Comentário:
 No problema em questão, tem-se:
x: Preço da jarra nas duas novas lanchonetes.
Assim,
8 45
10 75 6 9 5 11 5 25 7 10 5 8
10
,
, , , ,= + + + + + + + + +x x
Resolvendo, obtemos:
x = 8,25
Resposta: E
05. Comentário:
 Fazendo o rol da notas, obtemos:
0 0 1 2 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,� ����� ����� ,,10� ����� �����
Termo central = mediana = 6
Resposta: C
9
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA III
Anual – Volume 5
Gabaritos
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Aula 21: Análise Combinatória 
e Probabilidade – Revisando e Aprofundando
01 02 03 04 05
D C B E C
Aula 22: Polinômios – Parte I
01 02 03 04 05
E D D A A
Aula 23: Polinômios – Parte II
01 02 03 04 05
B A A E A
Aula 24: Polinômios – Parte III
01 02 03 04 05
D E B C A
Aula 25: Revisão Enem I – Exercícios
01 02 03 04 05
D B C E C
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Aula 21: Análise Combinatória 
e Probabilidade – Revisando e Aprofundando
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D D C D B D B E A B
Aula 22: Polinômios – Parte I
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
E B B B C C C C C B
Aula 23: Polinômios – Parte II
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
B D B C A B C C E C
Aula 24: Polinômios – Parte III
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
A E E E C C B C C E
Aula 25: Revisão Enem I – Exercícios
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
B C C E D D E E B C
10
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática iii
Anual – Volume 5
Anotações
MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA IV
GEOMETRIA ESPACIALGEOMETRIA ESPACIAL
Vo
lu
m
e5
MATEMÁTICA IV
GEOMETRIA ESPACIAL
Objetivo(s):
• Perceber, descobrir e registrar o universo das formas geométricas planas e espaciais, dominando algumas construções 
geométricas e apreendendo os instrumentos de aferição.
• Consolidar, aprofundar e legitimar conhecimentos de geometria espacial.
Conteúdo:
AULA 21: CILINDRO CIRCULAR
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 62
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 63
AULA 22: CONE CIRCULAR
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 67
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 68
AULA 23: TRONCO DE CONE CIRCULAR
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 71
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 71
AULA 24: SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 75
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 75
AULA 25: ESFERA
Introdução ............................................................................................................................................................................................................... 78
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................ 79
62
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
Aula 21: 
Cilindro Circular
Introdução
É o sólido geométrico limitado por uma superfície lateral 
cilíndrica fechada e por duas superfícies planas circulares (bases B
1
e B
2
) contidas em planos paralelos (α
1
 e α
2
).
e: eixo
g: geratriz
α
1
B
1
B
2
r
α
2
h
Elementos do cilindro circular
• B1 – base circular superior.
• B2 – base circular inferior.
• h – altura do cilindro = dist(α
1
 e α
2
)
• r – raio das bases do cilindro.
• e (eixo) – reta que passa pelos centros das bases.
• g (geratriz) – segmento com extremidades nas circunferências 
das bases e paralelos ao eixo (e).
Classifi cação dos cilindros circulares
• Cilindro reto: as geratrizes são perpendiculares às bases.
r
r
g = h → cilindro reto
• Cilindro oblíquo: as geratrizes não são perpendiculares às 
bases.
h < g → cilindro oblíquog
• Cilindro equilátero: é o cilindro reto cuja altura é igual ao 
diâmetro da base.
h = 2 r → cilindro equilátero
2r
C-2 H-6, 7
H-8, 9Aula
21
Área da superfície lateral e total do cilindro reto
h
2r
2πr
h
lateral
lateral planificada
Área da superfície lateral do cilindro reto = 2 rh
A
L
 = 2 rh
Área da superfície total do cilindro reto = 2 rh + r2 + r2
A
T
 = 2 rh + 2 r2 = 2 r(h + r)
Volume do cilindro
O Princípio de Cavalieri assegura que os sólidos a seguir são 
equivalentes, isto é, têm o mesmo volume.
h
r
h
S: área da base S: área da base
Volume (cilindro) = Volume (prisma)
SS SS
h
r
h
S: área da base S: área da base
Volume (cilindro) = Volume (prisma)
SS SS
Volume (cilindro) = Volume (prisma)
Como o volume do prisma é o produto da área da base (S) 
pela altura (h), segue-se que o volume do cilindro é dado por:
Volume (cilindro) = (área da base) × (altura) = r2 · h
63
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatematica IV
Anual – Volume 5
Exercícios de Fixação
01. Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa 
retangular de papel transparente, na qual está desenhada em 
negrito uma diagonal que forma 30º com a borda inferior. 
O raio da base do cilindro mede 
6
π
cm, e ao enrolar a faixa 
obtém-se uma linha em formato de hélice, como na fi gura.
30º
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é
A) 36 3 B) 24 3
C) 4 3 D) 36
E) 72
02. Um artesão confecciona vasos cilíndricos de dois tamanhos 
diferentes, decorados com faixas de papel colorido coladas 
nas superfícies, como mostram as fi guras a seguir. O preço 
de venda de cada vaso é proporcional à quantidade de papel 
utilizado para confeccionar a faixa decorativa.
Considerando-se que os vasos sejam semelhantes, se o raio da 
base do vaso maior for igual a 4 vezes o raio da base do vaso 
menor, então o preço que o artesão deverá cobrar pelo vaso 
maior é igual a
A) 4 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da 
faixa foi multiplicada por 4.
B) 8 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área da 
faixafoi multiplicada por 8.
C) 12 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área 
da faixa foi multiplicada por 12.
D) 16 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área 
da faixa foi multiplicada por 16.
E) 64 vezes o valor cobrado pelo vaso menor, porque a área 
da faixa foi multiplicada por 64.
03. Os menores lados de uma folha de papel retangular de 20 cm 
por 27 cm foram unidos com uma fi ta adesiva retangular de 
20 cm por 5 cm, formando um cilindro circular reto vazado. 
Na união, as partes da fi ta adesiva em contato com a folha 
correspondem a dois retângulos de 20 cm por 0,5 cm, conforme 
indica a fi gura a seguir.
27 cm
20 cm
5 cm
0,5 cm 0,5 cm
20 cm
Desprezando-se as espessuras da folha e da fi ta e adotando 
 = 3,1, o volume desse cilindro é igual a:
A) 1550 cm3. B) 2540 cm3.
C) 1652 cm3. D) 4805 cm3.
E) 1922 cm3.
04. O designer de uma empresa precisa criar uma embalagem que 
atenda a dois requisitos:
– Caber, em seu interior, uma fi na haste retilínea de 10 cm de 
comprimento;
– Ter o menor espaço interno possível.
 Entre os modelos apresentados a seguir, apenas um atende aos 
requisitos necessários. Assinale a alternativa correspondente a 
ele.
 Obs.: as medidas estão dadas em centímetros. Para os cálculos, 
use = 3,14.
A) B) 
7
6
5
 
3,53,5
77
C) D) 
8
4
4
 
44
66
E) 
33
88
64
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
05. Barris de carvalho costumam ser usados para dar sabor a muitos 
tipos de vinho. Considere um desses barris, representado na 
ilustração a seguir.
h
B A
x
y
C
z
D
h
2
St
ep
an
 B
or
m
ot
ov
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
• diâmetro maior AB y=
• diâmetro menor CD z=
• distância AC x=
• altura = h
 Um dos métodos usados para calcular o volume aproximado 
V desses barris, em litros, consiste em medir com uma vareta a 
distância interna x, em metros, do furo A, na metade da altura do 
barril, ao ponto C da base, situado no lado oposto. Em seguida, 
aplica-se a fórmula V = 605 ⋅ x3 litros.
 Admita um barril com as seguintes medidas: y = 0,7 m; 
z = 0,5 m; h = 1,6 m.
O volume aproximado, em litros, de vinho que pode ser 
armazenado nesse barril é igual a
A) 550 litros 
B) 585 litros
C) 595 litros 
D) 605 litros
E) 615 litros
Exercícios Propostos
01. (USF)
A Ressonância Magnética (RM) é um exame diagnóstico 
que retrata imagens em alta defi nição dos órgãos do corpo 
humano. O equipamento utilizado apresenta um tubo 
horizontal de magneto, com o formato cilíndrico.
Com o avanço da tecnologia e primando pelo conforto 
do paciente, os tubos internos dos equipamentos de RM foram 
fi cando maiores. Atualmente, é possível encontrar máquinas 
com abertura (diâmetro) de 72 cm, possibilitando, assim, 
que pacientes obesos ou claustrofóbicos possam realizar o 
exame com maior comodidade. Antigamente essas máquinas 
possuíam somente 60 cm de abertura.
Re
pr
od
uç
ão
/U
SF
 2
01
9/
1
Disponível em: <https://saúde.abril.com.br/medicina/
ressonância-magnetica-o-que-e-e-para-que-serve/>. 
Acesso em: 20 set. 2018.
Comparando as máquinas atuais e as antigas, e considerando 
que não houve alteração no comprimento dos equipamentos, 
o aumento do volume no interior do tubo de magneto é de 
aproximadamente
A) 17%
B) 20%
C) 31%
D) 44%
E) 70%
02. Um cilindro circular reto, branco, possui 20 cm de diâmetro 
da base e 80 cm de altura. Sobre a lateral desse cilindro, 
foi pintada uma faixa marrom de largura uniforme igual a 
3,14 cm. A faixa completou duas revoluções ao redor do 
cilindro, como mostra a fi gura.
figura fora de escala
 Nas condições descritas, a faixa marrom ocupou, da área lateral 
do cilindro, aproximadamente,
 Considere: = 3,14.
A) 6%
B) 25%
C) 0,5%
D) 2,5%
E) 10%
03. Em um parque aquático existe uma piscina infantil na forma 
de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume 
igual a 12 m3, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se 
construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, 
também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará 
no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o 
centro do fundo da piscina, conforme a fi gura. O raio da ilha 
de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, 
o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, 
65
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatematica IV
Anual – Volume 5
no mínimo, 4 m3.
ilha de lazer
piscina
O R
r
Considere 3 como valor aproximado para .
 Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de 
lazer r, em metros, estará mais próximo de:
A) 1,6 
B) 1,7
C) 2,0 
D) 3,0
E) 3,8
04. Numa experiência em sala de aula, são utilizados dois cilindros 
graduados com capacidades de um litro. Sabe-se que cada 
cilindro tem a altura igual ao dobro do diâmetro de sua base. 
Um dos cilindros está vazio e se encontra sobre a mesa, 
enquanto o outro, que está cheio de um líquido, será inclinado 
suavemente de modo que o líquido seja derramado dentro do 
primeiro. Veja ilustração na fi gura a seguir.
α
Se o líquido que foi derramado dentro do cilindro que está sobre 
a mesa marca 250 m� em sua graduação, podemos concluir 
que a maior inclinação α ocorrida no outro cilindro é de:
A) 60º
B) 30º
C) 35º
D) 45º
05. Um cilindro com eixo horizontal de 15 m de comprimento e 
diâmetro interno de 8 m contém álcool. A superfície livre do 
álcool determina um retângulo de área 90 m². Qual o desnível 
entre essa superfície e a geratriz de apoio do cilindro?
A) 6 m 
B) 7m
C) 4 7−( )m
D) 4 7+( )m
E) 4 7 4 7−( ) +( )m ou m
06. Dois vasilhames A e B, representados a seguir, possuem a 
mesma capacidade e foram cheios por duas torneiras que 
mantiveram a mesma vazão de água no mesmo intervalo de 
tempo.
h
A B
 Identifi que qual dos gráfi cos melhor representa o momento 
em que os dois vasilhames estavam sendo cheios e atingiram 
a altura h. 
A) 
A
B
tempo
altura
B) 
altura
tempo
B A
C)
A
B
tempo
altura
D) 
A
B
tempo
altura
E) 
A
B
tempo
altura
66
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
07. Sr. Ptolomeu construirá em sua chácara um jardim de formato 
circular com 16 m de diâmetro. Contornando o jardim, haverá 
uma calçada, medindo 1 m de largura por 0,1 m de altura, 
conforme fi gura a seguir.
16 m
Use: π = 3,14
1 m1 m
0,1 m
Supondo que o preço médio do m3 da calçada a ser construída 
é de 100 reais, conclui-se que a despesa do Sr. Ptolomeu com 
a construção da calçada será, aproximadamente, de:
A) 685,30 reais 
B) 653, 80 reais
C) 583,30 reais 
D) 533,80 reais
E) 835,30 reais
08. Uma faixa metálica, de menor comprimento possível, está 
enrolada em torno de dois cilindros retos de raios das bases 
medindo 90 cm e 30 cm, como ilustrado na Figura 1, esboçada 
a seguir. Considerando a ilustração feita na Figura 2, qual o 
comprimento da faixa em negrito?
Figura 1 Figura 2
A) 20 7 6 3( )cmπ +
B) 21 6 6 3( )cmπ +
C) 22 5 6 3( )cmπ +
D) 23 4 6 3( )cmπ +
E) 24 3 6 3( )cmπ +
09. A base metálica de um dos tanques de armazenamento de látex 
de uma fábrica de preservativos cedeu, provocando um acidente 
ambiental. Nesse acidente, vazaram 12 mil litros de látex.
Considerando a aproximação = 3, e que 1000 litros 
correspondem a 1 m3, se utilizássemos vasilhames na forma de 
um cilindro circular reto com 0,4 m de raio e 1 m de altura, a 
quantidade de látex derramado daria para encher exatamente 
quantos vasilhames?
A) 12
B) 20
C) 22
D) 25
E) 30
10. Dado um cilindro de revolução de raio r e altura h, sabe-se que 
a média harmônica entre o raio r e a altura é 4 e que sua área 
total é 2 . O raio r deve satisfazer a relação:
A) r³ – r + 2 = 0 
B) r³ – 4r² + 5r – 2 = 0
C) r³ – r² – r + 1 = 0 
D) r³ – 3r – 2 = 0
Fique de Olho
• A embalagem mostrada na fi gura a seguir contém iogurte na 
parte de baixo e cereais na parte de cima.
h
H
A parte de baixo é um cilindro circular reto de raio R e 
altura H, e a de cima é um tronco de cone circular reto de raio 
maior R, raio menor 
R
2
 e altura h. Sabendo que o volume da partereservada ao iogurte é o quádruplo do volume do compartimento 
dos cereais, determine a razão 
H
h
.
A) 
8
3
B) 
7
3
C) 
9
4
D) 
5
2
E) 
11
4
Solução
h
R
h
h
H
R/2R/2
1) Da fi gura, o volume destinado ao iogurte é · R2H.
2) Da fi gura, temos ainda que o volume do tronco de cone 
destinado aos cereais é V
T
 = 
1
3
2
1
3 2
7
12
2
2 2
π π πR h R h R h⋅ − 



⋅ =
Assim, do enunciado, temos:
π π⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ∴ =R H R h H h H
h
2
2
4
7
12
7
3
7
3
67
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatematica IV
Anual – Volume 5
Volume de um Cilindro Circular
Seção Videoaula
Cilindro Circular
Aula 22: 
Cone Circular
Introdução
É o sólido geométrico limitado por uma superfície lateral 
cônica fechada e por uma superfície plana circular (base B) contida 
em um plano (α).
V e: eixo
B r
g: geratriz h
α
Elementos do cone circular
• B – base circular.
• h – altura do cone = dist(V, pl(α)).
• r – raio da base do cone.
• g (geratriz) – segmento com uma extremidade em V e a outra 
na circunferência da base.
• e (eixo) – reta que passa por V e pelo centro da base.
Classifi cação dos cones circulares
• Cone reto: o eixo (e) é perpendicular ao plano da base.
e
V
O
h
r
VO = h → cone reto
C-2 H-6, 7
H-8, 9Aula
22
• Cone oblíquo: o eixo (e) não é perpendicular ao plano da 
base.
e
V
O
r
h < VO = cone oblíquo
• Cone equilátero: é o cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro 
da base.
g
V
O
h
rr
g = 2r → cone equilátero
Área da superfície lateral e total do cone reto
g
g g
lateral planificada 2πrαV
h
r
Área da superfície lateral do cone reto = rg
A
L
 = rg
Área da superfície total do cone reto = rg + r2
A
T
 = rg + r2 = r(g + r)
Ângulo central (α) do setor associado à lateral do coneα
π
α= =
2 r
g
α
π
=
2 r
g
, em radianos
68
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
Volume do cone
O Princípio de Cavalieri assegura que os sólidos a seguir são 
equivalentes, isto é, têm o mesmo volume.
S: área da base S: área da base
S S
h h
r
Volume (cone) = Volume (pirâmide)
Como o volume da pirâmide é 
1
3
 do produto da área da 
base (S) pela altura (h), segue-se que o volume do cone é dado por:
Volume (cone) =
1
3
(área da base) × (altura) =
1
3
· r2 · h
Exercícios de Fixação
01. Uma companhia de abastecimento de água gerencia o 
fornecimento de água de uma represa, cujo formato é de 
um cone circular reto. Após 112 dias de estiagem, aliados 
ao abastecimento normal de água aos usuários, o nível de 
água dessa represa baixou de 6,0 m para 3,6 m. Sabe-se que, 
devido à quantidade excessiva de Iodo no fundo da represa, 
o fornecimento de água é interrompido se o nível baixar para 
1,8 m.
 A seguir, é apresentada uma ilustração da situação
6 m (nível da capacidade máxima)
3,6 m (nível após período de estiagem)
1,8 m (nível mínimo para a captação)
Como medida preventiva, a companhia de abastecimento 
decidiu reduzir o fornecimento para um terço do normal. Nessas 
condições, o abastecimento será interrompido se o período de 
estiagem se estender por mais
A) 252 dias B) 81 dias
C) 28 dias D) 27 dias
E) 84 dias
02. Em uma emergência, um enfermeiro precisa de 32 cm3 de água 
para diluir um medicamento. O único recipiente disponível é 
uma taça em formato de um cone circular invertido, com 6 cm 
de diâmetro na boca e 12 cm de altura.
6 cm
h
12 cm
 Usando π ≅ 3, se preciso, para obter o volume desejado, ele 
deve encher a taça até uma altura h, medida, em cm, a partir 
do vértice do cone, que está no intervalo.
A) 4 h < 5,5 B) 5,5 h < 7
C) 7 h < 8,5 D) 8,5 h < 10
E) 10 h < 11,5
03. Um cone circular reto, de vértice V e raio da base igual a 6 cm, 
encontra-se apoiado em uma superfície plana e horizontal sobre 
uma geratriz. O cone gira sob seu eixo de revolução que passa 
por V, deslocando-se sobre a superfície plana horizontal, sem 
escorregar, conforme mostra a fi gura.
eixo de revolução
V
6 cm
 O cone retorna à posição inicial após o círculo da sua base ter 
efetuado duas voltas completas de giro. Considerando que o 
volume de um cone é calculado pela fórmula 
πr h2
3
, o volume 
do cone da fi gura, em cm3, é igual a: 
A) 72 3 π B) 48 3 π
C) 36 3 π D) 18 3 π
E) 12 3 π
04. Um recipiente cônico utilizado em experiências de química 
deve ter duas marcas horizontais circulares, uma situada a 
1 centímetro do vértice do cone, marcando um certo volume v, 
e outra marcando o dobro deste volume, situada a H 
centímetros do vértice, conforme fi gura.
1 cm1 cm
H cmH cm
marca 2
marca 1
 Nestas condições, a distância H, em centímetro, é igual a:
A) 23 B) 3
C) 
4
3
 D) 
3
2
E) 
5
4
05. Em uma caixa, há sólidos geométricos, todos de mesma altura; 
cubos, cilindros, pirâmides quadrangulares regulares e cones. 
Sabe-se que as arestas da base dos cubos e das pirâmides têm 
a mesma medida; que o raio da base dos cones e dos cilindros 
tem a mesma medida. Somando o volume de 2 cubos e de 2 
cilindros, obtêm-se 180 cm3. A soma dos volumes de 3 cubos e 1 
cone resulta em 110 cm3, e a soma dos volumes de 2 cilindros e 
3 pirâmides resulta em 150 cm3.
69
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatematica IV
Anual – Volume 5
 O valor da soma dos volumes, em cm3, de um cubo, um cilindro, 
dois cones e duas pirâmides é
A) 150. 
B) 160. 
C) 190. 
D) 210.
E) 240.
Exercícios Propostos
01. Um engenheiro desenvolveu uma ampulheta com diferentes 
alturas em seus compartimentos, conforme apresentado no 
esquema seguinte.
10 cm
H2 = 16 cm
H1 = 14 cm
10 cm
Figura fora da escala
Considere que o espaço interno dos dois compartimentos da 
ampulheta, onde a areia é armazenada e cujas medidas foram 
apresentadas no esquema, possui formato de um cone reto.
Se o cone menor for completamente cheio de areia, em um 
determinado tempo após virar a ampulheta, toda a areia será 
transferida para o cone maior. Nesse cone, ao assentar, a areia 
não ocupará todo o espaço interno, formando um tronco de 
cone, conforme ilustrado a seguir.
ANTES DEPOIS
Figura fora de escala
h
A razão entre a altura h do tronco de cone de areia e a altura 
H
2
 do cone maior é igual a
A) 
3
4
3 B) 
7
8
3
C) 
1
2
 D) 
1
8
E) 7
8
02. Uma lata de suco com o formato de um cilindro circular reto 
com 12 cm de altura e 3 cm de raio da base está completamente 
cheia, conforme mostra a figura 1.Parte desse suco será 
colocada em uma taça na forma de um cone circular reto com 
9 cm de altura e raio da boca igual a 4 cm, conforme mostra 
a fi gura 2.
FIGURA 1
fora de escala
FIGURA 2
4 cm
3 cm
12 cm
9 cm
Após encher completamente a taça, o suco restante dentro da 
lata terá uma altura aproximada de
A) 6,0 cm B) 6,6 cm
C) 6,8 cm D) 6,4 cm
E) 6,2 cm
03. A areia contida em um cone fechado, de altura 18 cm, ocupa 
7
8
 da capacidade do cone.
18
h
Voltando-se o vértice do cone para cima, conforme indica a 
fi gura, a altura h do tronco de cone ocupado pela areia, em 
centímetros, é:
A) 7 B) 8
C) 9 D) 10
E) 11
04. Com uma chapa de um certo material na forma de um setor 
circular de ângulo central igual a 
π
4
 radianos e raio igual a 
5 dm, constrói-se um cone circular de volume V. Diminuindo-se 
em 20% o valor do raio e mantendo-se o mesmo ângulo 
central, a capacidade do novo cone diminui
A) entre 49% e 50%. B) entre 48% e 49%.
C) entre 50% e 51%. D) entre 51% e 52%.
E) entre 52% e 53%.
05. Considere um cone circular reto cujo raio da base é r = 2 2 cm
e geratriz g = 4 2 cm. Se A e B são pontos diametralmente 
opostos situados sobre a circunferência da base deste cone, 
determine, em cm, o comprimento do menor caminho, traçado 
sobre a superfície lateral do cone, ligando A ao B.
A) 5 cm B) 6 cm
C) 7 cm D) 8 cm
E) 9 cm
70
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
06. Corta-se de uma circunferência de raio 4 cm, um setor circular 
de ângulo 
π
2
rad (ver desenho ilustrativo), onde o ponto C é 
o centro da circunferência. Um cone circular reto é construído 
a partir desse setor circular ao se juntaros raios CA e CB.
C
BA
desenho ilustrativo – fora de escala
 O volume desse cone, em cm3, é igual a:
A) 
3
3
π B) 
3
5
π
C) 
15
3
π D) 
15
5
π
E) 
5
5
π
07. A fi gura a seguir representa um recipiente cônico com solução 
aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido 
tem 12 cm de altura.
12 cm
H
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial 
com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução 
aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.
 Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a:
A) 16 B) 18
C) 20 D) 22
E) 24
08. Um copo de papel, em forma de cone circular reto, tem em 
seu interior 200 mL de chá-mate, ocupando 
2
3
 de sua altura, 
conforme mostra a fi gura a seguir.
2
3
h
h
A capacidade desse copo, em mililitros, é:
A) 600 B) 625
C) 650 D) 675
E) 700
09. Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir 
vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera 
de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular 
de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto 
de base circular de raio x e altura h.
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente 
cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto 
afi rmar que a razão x/h é igual a:
A) 
3
6
 B) 
3
3
C) 
2 3
3
 D) 3
E) 4 3
3
10. Calculou-se o volume de um cone reto de geratriz 1 e área 
lateral k. O maior valor inteiro que k pode assumir é:
A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
E) 6
Fique de Olho
VOLUME DE UM TRONCO DE PRISMA TRIANGULAR
São dados:
• a área de uma secção reta = S;
• as medidas a, b e c das arestas laterais.
1º) Tronco de prisma triangular com uma base perpendicular às 
arestas laterais. Essa base é secção reta e tem área S.
a
b c
c – a h1h1
B
1
pirâmide
prisma
hh
b – a
�
�
�
��
� ���
S
a
S
a
S
Com a decomposição indicada na fi gura, temos:
Volume do tronco = Volume do prisma + Volume da 
pirâmide, ou seja:
V S a B h= ⋅ + ⋅1
3
1 1
Sendo:
B
1
 = Área do trapézio = c a b a h
−( ) + −( )
2
, temos:
V S a
c a b a
h h= ⋅ + ⋅
−( ) + −( )
⋅ ⋅
1
3 2
1
e considerando que S
h h
=
⋅ 1
2
 vem:
71
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatematica IV
Anual – Volume 5
V S a b c a
h h
S a b c a S S
a b c
= ⋅ + + −( ) ⋅ = ⋅ + + −( ) ⋅ = + +


1
3
2
2
1
3
2
3
1
Logo:
V S
a b c= + +


3
Cone Circular
Seção Videoaula
Área Lateral e Área Total de um Cone 
Circular Reto
Aula 23: 
Tronco de Cone Circular
Introdução
É o sólido geométrico compreendido entre a base do cone do 
vértice V e uma secção transversal (superfície plana paralela à base).
R
r
secção transversal
V
base do cone
Elementos do tronco de cone de bases paralelas
r
h
2
g
2
R
• ht – altura do tronco
• gt – geratriz do tronco
• r – raio da base menor
• R – raio da base maior
Área da superfície lateral e total do tronco de cone
C-2 H-6, 7
H-8, 9Aula
23
g – g
t
h – h
t
h
t
r
R
lateral do tronco
2πr
2πRg – g
t
g
t
gh
• A área da superfície lateral do tronco de cone é determinada 
subtraindo-se da área lateral do cone maior a área lateral do 
cone menor.
A tronco Rg r g g R r gL t t( ) ( ) ( )= − − = +π π π
• Área da superfície total do tronco de cone = (R + r)g
t
 + R2 + r2
A R r g R rT t= + + +π π π( ) 2 2
Volume do tronco de cone
O Princípio de Cavalieri assegura que os sólidos a seguir são 
equivalentes, isto é, tem o mesmo volume.
S
2
h
2
S
2
S
1
S
1
S
1 
e 
 
S
2: 
áreas das bases
 
S
1 
e 
 
S
2: 
áreas das bases
 
h
2
Volume (tronco de cone) = Volume (tronco de pirâmide)
Como o volume do tronco de uma pirâmide é dado por 
V h B b B bT T= ⋅ ⋅ + + ⋅
1
3
( ), onde B área da base maior) e b (área da 
base menor), segue-se que o volume do tronco de cone é dado por: 
Volume tronco de cone h R r RrT( ) ( )= ⋅ ⋅ + +
1
3
2 2π
Exercícios de Fixação
01. (Unitau) Para fazer a assepsia em um ferimento, serão despejados 
em um recipiente o conteúdo de 5 copos cujo formato é um 
tronco de cone, conforme ilustrado a seguir, contendo, cada um 
deles, 80% da capacidade total com antisséptico.
ig
nt
fi e
ld
st
ud
io
s/
12
3R
F/
Ea
sy
pi
x
72
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
O recipiente que receberá o antisséptico tem o formato de 
um cilindro circular reto, com raio da base medindo 10 cm. 
Considerando que as dimensões do copo são: diâmetro da boca 
6 cm, diâmetro da base 3 cm, altura 8 cm, e adotando π = 3, o 
nível atingido no recipiente será de
A) 1,68 cm 
B) 2,85 cm
C) 3,25 cm 
D) 4,85 cm
E) 5,60 cm
02. Considere dois medicamentos, M1 e M2, que são produzidos no 
estado líquido. M1 é acondicionado em embalagens no formato 
de cilindro circular reto, com diâmetro da base medindo 8 cm 
e ocupando 100% da capacidade. M2 é acondicionado em 
embalagens no formato de tronco de cone, com raio maior igual 
a 6 cm, raio menor igual a 3 cm e altura de 4 cm, ocupando 
também 100% da capacidade da embalagem.
Sabendo-se que o volume ocupado por M1 equivale ao 
quádruplo do volume ocupado por M2, e adotando π = 3, 
pode-se afi rmar corretamente que a altura do cilindro que 
contém M1 é
A) 20 cm 
B) 21 cm
C) 22 cm 
D) 23 cm
E) 24 cm
03. (Insper) No fi lme “Enrolados”, os estúdios Disney recriaram 
a torre onde vivia a famosa personagem dos contos de fadas 
Rapunzel (Figura 1). Nesta recriação, podemos aproximar o 
sólido onde se apoiava a sua morada por um cilindro circular 
reto conectado a um tronco de cone, com as dimensões 
indicadas na Figura 2, feita fora de escala.
Re
pr
od
uç
ão
/In
sp
er
 2
01
6
Figura 1
Disponível em: <http://g1.globo.com/pop-arte/noticia/2010/08/
disney-divulgaposter-de-rapunzel.html>. 
Acesso em: 16 out. 2015.
12 m
4 m
30 m
6 m
A
B
C
Figura 2
 Para que o príncipe subisse até a torre, Rapunzel lançava suas 
longas tranças para baixo. Nesta operação, suponha que uma 
das extremidades da trança fi casse no ponto A e a outra no 
ponto C, onde se encontrava o rapaz.
 Considerando que a trança fi casse esticada e perfeitamente 
sobreposta a linha poligonal formada pelos segmento 
AB e BC, destacada em linha grossa na Figura 2, o comprimento 
da trança da Rapunzel, em metros, é igual a:
A) 35
B) 38
C) 40
D) 42
E) 45
04. Para construir um funil a partir de um disco de alumínio de 
centro O e raio R = 16 cm, retira-se do disco um setor circular 
de ângulo central = 225º.
 Em seguida, remove-se um outro setor circular, de raio r = 1 cm. 
Para fi nalizar, soldam-se as bordas AC e BD. O processo de 
construção do funil está representado nas fi guras seguintes.
O
O
A
B
θ O
C
D
A
B
R = 16 cm
 A medida da altura do funil é:
A) 2 39 cm
B) 
15 39
8
cm
C) 
55
8
cm
D) 2 55 cm
E) 
15 55
8
cm
73
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatematica IV
Anual – Volume 5
05. Uma fábrica de embalagens resolveu produzir um copo no 
formato de tronco de cone circular reto, com diâmetros superior 
e inferior de 6 cm e 4 cm, respectivamente. A parte central do 
fundo do copo é côncava, em formato de semiesfera, com 
1,5 cm de raio, como indica a fi gura a seguir.
1,5 cm1,5 cm
Considerando-se o exposto, calcule a altura aproximada desse 
copo para que ele tenha capacidade de 157 mL.
Dado: = 3,14
A) 7,25 cm B) 7,85 cm
C) 8,15 cm D) 8,25 cm
E) 9,45 cm
Exercícios Propostos
01. Um reservatório foi construído em forma de tronco de cone 
circular regular com as dimensões indicadas na fi gura a seguir. 
Uma empresa de manutenção realizará a pintura das paredes 
externas com uma tinta de alta impermeabilidade, com uma 
composição específi ca para pinturas de cisternas e caixas d’água. 
A tinta escolhida pela empresa responsável por essa pintura tem 
um rendimento de 36 m2 por lata.
 Considere: π = 3 e a pintura da área total da superfície da fi gura.
10 m
4 m
4 m
Assinale, nas alternativas a seguir, o número de latas de tinta 
que devem ser adquiridas para tal serviço.
A) 3 B) 4
C) 5 D) 6
E) 7
02. Um reservatório em forma de cilindro com raio de 1 metro e 
altura de 2 metros precisa ser preenchidocom a água de uma 
cisterna. Usando-se um balde em forma de tronco de cone 
circular reto com raios de 40 centímetros e 20 centímetros, e 
altura de 30 centímetros, essa tarefa será realizada com
A) 71 baldes B) 72 baldes
C) 73 baldes D) 74 baldes
E) 76 baldes
03. A imagem a seguir, mostra uma taça e um copo. A forma da taça 
é, aproximadamente, de um cilindro de altura e raio medindo 
R e de um tronco de cone de altura R e raios das bases R e r.
A forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone 
de altura 3R e raios das bases medindo R e 2r.
Determine o raio aproximado da base do copo, em função de R,
para que a capacidade da taça seja 
2
3
 da capacidade do copo.
Considere: 65 8≅
RR
R
RR
rr
R
RR
3R
2r
A) 
6
7
R
 B) 
5
7
R
C) 
4
7
R
 D) 
3
7
R
E) 
2
7
R
04. Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone circular 
reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm 
e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede
30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo. 
Calcule a área da região a ser demarcada sobre o tecido que 
revestirá o abajur. 
A) 1125 cm2
B) 1120 cm2
C) 1115 cm2
D) 1110 cm2
E) 1105 cm2
05. Um cone circular reto de geratriz medindo 12 cm e raio da 
base medindo 4 cm foi seccionado por um plano paralelo à 
sua base, gerando um tronco de cone, como mostra a Figura 1. 
A Figura 2 mostra a planifi cação da superfície lateral S desse 
tronco de cone, obtido após a secção.
V
Figura 1 Figura 2
120º
S
6 cm
12 cm
V
74
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
 Calcule o volume do tronco de cone indicado na Figura 1.
A) 
98 2
3
3π cm B) 
101 2
3
3π cm
C) 
112 2
3
3π cm D) 116 2
3
3π cm
E) 
121 2
3
3π cm
06. A fi gura a seguir representa um balde de gelo no formato de 
tronco de cone de altura 20 cm e de raios das bases iguais a 
7 cm e 10 cm.
Se
rg
iy
 K
uz
m
in
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
 Use 3,14 como valor aproximado para .
A capacidade, em litros, do balde de gelo é aproximadamente 
igual a:
A) 5,4 B) 5,2
C) 5,0 D) 4,8
E) 4,6
07. A fi gura a seguir apresenta a secção transversal de um brilhante.
2 mm
1 mm
0,6 mm
1,8 mm
eixo de simetria
Como é muito difícil calcular o volume exato da pedra lapidada, 
podemos aproximá-la pela soma do volume de um tronco de cone 
(parte superior) com o de um cone (parte inferior). Determine, 
nesse caso, o volume aproximado do brilhante, em mm3.
A) 1,8 B) 2,8 
C) 3,8 D) 4,8 
E) 5,8 
08. O proprietário de uma fazenda quer construir um silo com 
capacidade para 770 m³, para armazenamento de grãos.
O engenheiro encarregado do projeto mostrou-lhe o esquema 
do silo, composto de um cilindro acoplado a um tronco de 
cone, como mostra a fi gura seguinte. Se, em seus cálculos, 
o engenheiro considerou π =
22
7
, então a altura H do silo, 
em metros, é:
2 m
H
8 m
45o
A) 15 B) 16
C) 17 D) 18
E) 19
09. Nas empresas, em geral, são utilizados dois tipos de copos 
plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones 
circulares retos:
– copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases 
iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;
– copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases 
iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos 
descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários 
canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual 
a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. 
Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para 
beber água.
 Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos 
raios das bases são, respectivamente, iguais a R e r e a altura é h, 
é dado pela expressão:
V
h
tronco de cone = + +
π
3
2 2(R r Rr)
 O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja, no 
mínimo, igual a:
A) 2,664 cm B) 7,412 cm
C) 12,160 cm D) 14,824 cm
E) 19,840 cm
10. A Figura 1 indica a jarra de um espremedor de frutas, e a Figura 2 
sua vista superior (sem a alça).
12 cm
Figura 2Figura 1
3 cm
3 cm
3 cm
Sabe-se que a jarra é cilíndrica, com parte central na forma de 
um tronco de cone, e que as três circunferências indicadas na 
vista superior são concêntricas.
Qual é o volume máximo de suco, em cm3, que a jarra pode 
conter?
A) 719
B) 720
C) 721 
D) 722
E) 723
75
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatematica IV
Anual – Volume 5
.
Fique de Olho
A ORIGEM DO GRAU
Sabemos que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso 
mede 180º. Mas por que motivo os valores são 90 e 180?
No ano de 4000 a.C., os egípcios e árabes tentavam elaborar 
um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol levava 360 dias 
para completar a órbita de uma volta em torno da Terra. Assim, a 
cada dia o Sol percorria um pouquinho dessa órbita, ou seja, um 
arco de circunferência de sua órbita. Esse ângulo passou a ser uma 
unidade e foi chamado de grau.
Então, para os antigos egípcios e árabes, o grau era a medida 
do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Porém, 
hoje sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas manteve-se 
a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede 
um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
Só Matemática.
Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c46.html>
Seção Videoaula
Tronco de Cone Circular de Bases 
Paralelas
Aula 24: 
Sólidos de Revolução
Introdução
Superfície de revolução é a superfície gerada por uma linha 
girando ao redor do eixo (e).
e
P
Q
e
P
Q
N
M
O segmento PQ gera a superfície 
lateral de um cilindro.
A poligonal MNPQ gera a superfície 
total de um cilindro.
C-2 H-6, 7
H-8, 9Aula
24
e
P
Q
e
P
Q M
O segmento PQ gera a superfície 
lateral de um cone.
A poligonal MPQ gera a superfície 
total de um cilindro.
Por outro lado, sólidos de revolução, são sólidos obtidos a 
partir da rotação de uma superfície plana em torno de um eixo (e).
Os mais conhecidos sólidos de revolução são: o cilindro,
o cone e a esfera.
Exercícios de Fixação
01. (Enem) A fi gura mostra um anticlepsidra, que é um sólido 
geométrico obtido ao se retirar dois cones opostos pelos vértices 
de um cilindro equilátero, cujas bases coincidem com as bases 
desse cilindro. A anticlepsidra pode ser considerada, também, 
como o sólido resultante da rotação de uma fi gura plana em 
torno de um eixo.
Disponível em: <www.klickeducacao.com.br>. 
Acesso em: 12 dez. 2012. Adaptado.
A fi gura plana cuja rotação em torno do eixo indicado gera 
uma anticlepsidra como a da fi gura acima é
a) b)
c) d)
e)
A) B)
C) D)
E) 
76
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
02. Na fi gura a seguir, a equação da circunferência é x 2 + y2 = 3 e 
a reta suporte do segmento MN tem coefi ciente angular igual 
a 3 .
Desenho ilustrativo fora de escala
M
N
P
y
x
O
O volume do sólido gerado pela rotação do trapézio MNPO em 
relação ao eixo y é
A) 
3
8
π
B) 21
8
π
C) 
9 3
8
π
D) 
24 3
8
π
E) 
63 3
8
π
03. No trapézio ABCD da fi gura a seguir, os ângulos internos em A 
e B são retos, e o ângulo interno em D é tal que sua tangente 
vale 
5
6
. Se AD = 2 · AB, o volume do sólido obtido ao se girar 
o trapézio em torno da reta que passa por B e C é dado por:
D
A
2 a C
Ba
A) 
3
4
3



πa B) 
5
8
3



πa
C) 
6
5
3



πa D) 
20
13
3



πa
E) 
8
5
3



πa
04. O trapézio 0ABC da fi gura a seguir gira completamente em 
torno do eixo 0x.
A
B (2, 2)
C (3, 0)
x
y
0
 Calcule o inteiro mais próximo do volume do sólido obtido.
A) 27 B) 28
C) 29 D) 30
E) 31
05. Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360º do 
triângulo ABC em torno da reta que passa por C e é paralela 
ao lado AB. Sabe-se que este triângulo é isósceles, com 
AC = BC = R m= 2 , AB = 2R m (sendo R uma constante real 
não nula), e que o volume do sólido obtido é V m= 4 3 3π .
 A medida de R, em metros,é igual a:
A) 36 B) 33
C) 93 D) 3
E) 35
Exercícios Propostos
01. Assim como na relação entre o perfi l de um corte de um torno 
e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação 
de fi guras planas em torno de um eixo. Girando-se as fi guras 
a seguir em torno da haste indicada, obtêm-se os sólidos de 
revolução que estão na coluna da direita. A correspondência 
correta entre as fi guras planas e os sólidos de revolução 
obtidos é:
1 A
E
D
C
B
5
4
3
2
A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E 
B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A
C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C 
D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C
E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A
77
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatematica IV
Anual – Volume 5
02. Um aluno gira um retângulo em torno do eixo que contém um 
de seus lados e calcula o volume V do sólido obtido. Depois, ele 
traça a diagonal do retângulo e o separa em dois triângulos, 
como mostra a fi gura.
eixo de
rotação
eixo de
rotação
eixo de
rotação
eixo de
rotação
 Ao girar cada um dos triângulos, em torno do mesmo eixo de 
rotação, os volumes dos sólidos obtidos são:
A) 
1
3
2
3
V V e B) 
1
4
3
4
V V e 
C) 
1
5
4
5
V V e D) 
1
6
5
6
V V e 
E) 
1
3
3
5
V V e 
03. Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e 
dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como 
na fi gura a seguir.
x
y
O volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada 
em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos é:
A) 
πy x y2 3 2
6
−( )
 B) 
πy y x2 2 3
6
−( )
C) 
πy x y2 3 2
12
−( )
 D) 
πx y x2 3 2
6
−( )
E) 
πx x y2 3 2
6
−( )
04. Ao girarmos o gráfi co da função f x
x x
x x x
( ) =
∈[ ]
− ∈




; ,
; ( , ]
0 1
2 1 22
 em 
torno do eixo das abscissas (eixo dos x), obtemos uma superfície 
de revolução cujo volume é:
A) 
π
3
B) 
π
2
C) 
D) 2
E) 3
05. Um dos vértices do triângulo ABC exibido na fi gura a seguir 
coincide com o centro de duas circunferências concêntricas 
que possuem raios iguais a 4 cm e 14 cm, respectivamente. 
Unindo os pontos de interseção do triângulo ABC com estas 
circunferências, obtém-se o trapézio BCDE, cuja altura é igual 
a 8 centímetros. A reta r é a mediatriz das bases BC e DE desse 
trapézio.
r
B C
E D
A
Se o trapézio BCDE for rotacionado em torno da reta r, então 
a fi gura resultante será um(a):
A) tronco de cone circular reto cujo volume é igual a 2144
3
3π cm
B) cone circular reto cujo volume é igual a 6432
25
3π cm
C) pirâmide cujo volume é igual a 2144
3
3cm
D) tronco de cone circular reto cujo volume é igual a 6432
25
3π cm
E) cone circular reto cujo volume é igual a 2144
3
3π cm
06. Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa 
de uma fi gura plana em torno de um eixo. Por exemplo, 
rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa 
por um de seus lados, obtemos um cilindro circular reto, como 
mostra a fi gura.
Considere o sólido gerado pela rotação completa do triângulo 
acutângulo ABC, de área S, em torno de um eixo que passa 
pelo lado BC, que tem comprimento �.
S
A
C
B
�
 O volume desse sólido é igual a:
A) 
4
3
2πS
�
 B) 
2
3
2πS
�
C) 
4
3
πS�
 D) 
2
3
πS�
E) 
πS�
3
78
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
07. No plano cartesiano de origem O, a reta de equação 
5x + 3y - 15 = 0 intercepta os eixos coordenados nos pontos 
A e B. O volume do sólido gerado pela rotação completa 
do triângulo OAB em torno do eixo das ordenadas é 
aproximadamente igual a
 Considere: = 3,14.
A) 35 B) 38
C) 40 D) 43
E) 47
08. Na fi gura, o triângulo tem catetos a e b. Se V
a
 e V
b
 são 
os volumes dos sólidos gerados pelas rotações de 360º 
do triângulo em torno de a e b, respectivamente, e 
V
B
 = 2V
A
, então tg α é:
α
b
a
A) 1
2
 B) 2
2
C) 2 D) 2
E) 4
09. Nesta fi gura, está representada a região T, do plano cartesiano, 
limitada pelo eixo y e pelas retas y = x + 1 e y = 3x:
y
x
Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em torno do 
eixo y. Então, é correto afi rmar que o volume de S é:
A) 
π
24
 B) 
π
12
C) 
π
8
 D) 
π
4
E) 
π
3
10. As medidas dos catetos de um triângulo são (sen x) cm e
(cos x) cm. Um estudante calculou o volume do sólido gerado 
pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa, e obteve 
como resultado cm³. Considerando este resultado como certo, 
podemos afi rmar que:
A) x =
π
6
 B) x =
π
3
C) x =
π
4
 D) x =
π
5
E) n.d.a.
Fique de Olho
Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma 
taça de milkshake com as dimensões mostradas no desenho.
10 cm
20 cm
A) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles 
beberam todo o milkshake, determine o volume, em mL, 
ingerido pelo casal. Adote = 3.
B) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, 
quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido?
 Solução:
A) O vo lume de mi lkshake inger ido pe lo casa l é 
equivalente ao volume de um cone circular reto com 
1
2
dm de raio da base e 2 dm de altura, ou seja:
V dm dm litro mL= ⋅ ⋅ 




 ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =
1
3
1
2
2
1
3
3
1
4
2
1
2
500
2
3 3π .
B) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, 
terá, então, bebido 1
1
2
3
− 



 do volume total, ou seja:
1
1
8
7
8
0 875 87 5− = = =, , % do volume total.
 Respostas: A) 500 mL B) 87,5%
Aula 25: 
Esfera
Introdução
Esfera é o sólido geométrico gerado pela rotação completa 
de um semicírculo em torno do seu diâmetro.
R
R
R
360º
R
x
C-2 H-6, 7
H-8, 9Aula
25
79
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatematica IV
Anual – Volume 5
Volume da esfera
Enchendo o recipiente cônico duas vezes com líquido e 
despejando em seguida no recipiente semiesférico, concluímos 
empiricamente que o volume da esfera é dado por:
2R 2R
R R
1
2
· volume (esfera) = 2 · volume (cone) → volume (esfera) = 4 · volume (cone) 
V V
R R
R( ) ( )esfera cone= ⋅ = ⋅
⋅
=4 4
3
4
3
2
3π π
Área da superfície esférica
B
i
Decompondo a esfera em pirâmides hexagonais cujo vértice 
é o centro da esfera e cuja base é um pedaço muito pequeno (quase 
plano) da superfície esférica, podemos concluir que:
Vi
i=
∞
∑
1
(volumes das pirâmides) = volume da esfera
Então: 
B R B R B R B R
Rn1 2 3 3
3 3 3 3
4
3
⋅
+
⋅
+
⋅
+ +
⋅
=... ,π onde B
i
 são as áreas 
das bases das pirâmides.
R B B B B
Rn
erf cie esf rica3
4
3
1 2 3 3+ + + +








=
...
sup í é
� ���� ���� π
Logo:
Bi
i
=
=
∞
∑
1
área da superfície esférica = 4 R2
Exercícios de Fixação
01. Um recipiente, no formato de um cilindro circular reto de 
raio de base r cm, possui um líquido solvente em seu interior. 
A altura h desse solvente presente no recipiente é igual a 
16
3
cm,
conforme ilustra a Figura 1.
h
Figura 1
(ilustrativa sem escalas)
Figura 1
(ilustrativa sem escalas)
Figura 2
(ilustrativa sem escalas)
 Quando uma peça maciça, no formato de uma esfera de raio 
igual a 3 cm, é mergulhada nesse recipiente até encostar no 
fundo, observa-se que o solvente cobre exatamente a esfera, 
conforme ilustra a Figura 2.
 Segundo as condições apresentadas, o raio r, em cm, é igual a:
A) 4 3 B) 2 7
C) 5 2 D) 3 6
E) 5 6
02. A fi gura a seguir representa dois vasilhames cilíndricos abertos 
na parte superior, o maior com raio da base R e o menor com 
raio da base r e altura 7
3
r . O cilindro maior possui um tubo 
de escoamento acoplado e está cheio de líquido exatamente 
até o orifício do tubo de escoamento sem que se perca nada. 
O cilindro menor possui em seu interior um cone sólido cuja 
altura é a medida do diâmetro de sua base, encaixando-se 
perfeitamente à base do cilindro.
Em um experimento, ao imergimos completamente uma esfera 
de raio r dentro do cilindro com líquido, certa quantidade de 
líquido escoará para o vasilhame menor pelo tubo.
80
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
Sobre o resultado do experimento, é possível afi rmar que
A) o líquido transbordará.
B) o cilindro menor fi cará cheio até a borda.
C) o cone fi cará totalmentecoberto pelo líquido.
D) um pedaço do cone de altura r/3 fi cará acima do líquido.
03. (FMABC) O balão intragástrico (BIG), utilizado no controle da 
obesidade, consiste em uma prótese de silicone no formato 
de uma esfera preenchida completamente com solução 
fi siológica, podendo variar sua capacidade entre 400 e 700 mL. 
Dependendo das necessidades do paciente, este balão pode 
ocupar de 20% a 70% da capacidade total do estômago.
Re
pr
od
uç
ão
/F
M
A
BC
 2
01
7
Suponha que um paciente, cuja capacidade do estômago seja 
de 2 litros, precise reduzir essa capacidade em 25%.
Desprezando a espessura da parede do balão, pode-se afi rmar 
que o raio R, em cm, desse balão é igual a
 Considere: = 3.
A) 3 B) 4
C) 5 D) 6
E) 7
04. A angioplastia é um procedimento médico caracterizado 
pela inserção de um cateter em uma veia ou artéria com o 
enchimento de um pequeno balão esférico localizado na 
ponta desse cateter. Considerando que, num procedimento de 
angioplastia, o raio inicial do balão seja desprezível e aumente 
a uma taxa constante de 0,5 mm/s até que o volume seja igual 
a 500 mm3, então o tempo, em segundos, que o balão leva 
para atingir esse volume é:
A) 10 B) 10 53
π
C) 10 23
π
D) 10 π3
E) 10 33
π
05. Observe a fi gura da representação dos pontos M e N sobre a 
superfície da Terra.
Meridiano 15° Oeste
M N
Meridiano 15° Leste
Paralelo 60° Norte
Linha do Equador
 Considerando a Terra uma esfera de raio 6.400 km e adotando-se 
 = 3, para ir do ponto M ao ponto N, pela superfície da Terra e 
no sentido indicado pelas setas vermelhas, a distância percorrida 
sobre o paralelo 60º Norte será igual a
A) 2.100 km 
B) 1.600 km
C) 2.700 km 
D) 1.800 km
E) 1.200 km.
Exercícios Propostos
01. Um cone circular reto de 6 3 cm de altura e diâmetro da base 
igual a 12 cm está cheio d’água. Coloca-se no cone uma esfera 
sólida até que esta fi que perfeitamente ajustada. Observa-se 
que exatamente a metade da esfera fi cou fora do cone. Se V é 
o volume, em cm3, da quantidade de água que fi cou no cone 
após a colocação da esfera, determine o valor de 
V
π 3
.
A) 10 
B) 12
C) 14 
D) 16
E) 18
02. No desenho a seguir, em cada um dos vértices do cubo está 
centrada uma esfera cuja medida do diâmetro é igual à medida 
da aresta do cubo.
A razão entre o volume da porção do cubo ocupado pelas 
esferas e o volume do cubo é:
A) 
π
6
 B) 
π
5
C) 
π
4
 D) 
π
3
E) 
π
2
03. Duas esferas que se tangenciam estão em repouso sobre um 
plano horizontal. Os volumes das esferas são respectivamente 
2304 m3 e 36 m3. A distância, em metros, entre os pontos 
de contato das esferas com o plano é igual a
A) 9
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
81
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatematica IV
Anual – Volume 5
04. (Enem/2010) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do 
planeta, os diâmetros delas seriam:
1385 km
Toda água do planeta 
1,39 bilhões de km3
406 km
Água doce do planeta 
35,03 milhões de km3
272 km
Água doce subterrânea 
10,53 milhões de km3
58 km
Água doce superficial 
104,59 mil km3
Guia do Estudante: Atualidades e Vestibulares + ENEM.
São Paulo: Abril, 2009.
Adaptado.
A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce 
superfi cial e o volume da esfera que corresponde à água doce 
do planeta é:
A) 
1
343
 B) 
1
49
C) 
1
7
 D) 
29
136
E) 
136
203
05. Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A fi gura 
seguinte representa uma seção plana que inclui o satélite, o 
centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse 
arco, o sinal do satélite pode ser captado.
A B
C
Terra
640
0 k
m
64
00
 k
m
d
Satélite
θ
Suponha que o ponto C da fi gura seja tal que cos ( ) = 
3
4
. 
Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.
Obs.: considere a terra esférica e de raio 6400 km.
A) 6400 3 B) 5400 3
C) 6400 2 D) 5400 2
E) 3200 3
• Utilize as informações a seguir para as questões 06 e 07.
Considere uma esfera de raio medindo R cm e um plano que 
a tangencia.
Pode-se associar a ela um outro sólido, obtido da seguinte 
maneira.
• Constrói-se um cilindro equilátero de raio R cm com uma 
das bases contida no plano. 
• Retira-se desse cilindro dois cones circulares, sendo que 
a base de cada um deles coincide com uma das bases 
do cilindro e os vértices coincidem em V, no centro desse 
cilindro. 
O sólido que resta após a retirada dos cones é chamado de 
anticlepsidra e tem o mesmo volume da esfera. Ambos os 
sólidos estão representados na fi gura a seguir. 
2R V
R
06. Apesar de terem o mesmo volume, a esfera e a anticlepsidra 
associada não têm a mesma área superfi cial. 
 A razão entre a área da superfície esférica e a área da superfície 
da anticlepsidra é:
A) 2 2 1−( )
B) 2
C) 2 2
D) 2 2
E) 2 1
07. Uma anticlepsidra tem volume igual a cm3. O raio da esfera 
associada tem medida:
A) 12
4
3
cm
B) 
6
2
3
cm
C) 
4
3
3 cm
D) 
3
2
cm
E) 3
4
cm
08. Uma fábrica de sucos estima que necessita de 27 laranjas 
de 8 cm de diâmetro cada, para produzir um litro de suco 
concentrado. Para efeito dessa estimativa, a empresa assume 
que as laranjas são esferas. Contudo, devido às entressafras, 
as únicas laranjas disponíveis no mercado apresentam diâmetro 
de 6 cm. Nessas condições, o número mínimo de laranjas 
necessárias para a produção de um litro de suco concentrado 
será igual a:
A) 48 
B) 54
C) 64 
D) 70
E) 72
82
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática IV
Anual – Volume 5
09. Ao se rotacionar a região delimitada pelo arco R e pelo 
segmento BC e DE em torno do eixo y, obtém-se um sólido cujo 
volume mede:
(Considere as medidas indicadas em cm e o arco como sendo 
um quarto de uma circunferência)
A) 9
4
3π cm B) 
17
4
3π cm
C) 
23
3
3π cm D) 64
3
3π cm
E) 
54
5
3π cm
10. Calcule, em cm3, o volume de um dado fabricado a partir de 
um cubo de aresta igual a 4 cm, levando em conta que os 
buracos representativos dos números, presentes em suas faces, 
são semiesferas de raio igual a 
1
73 π
 cm.
A) 58 B) 60
C) 62 D) 64
E) 66
Fique de Olho
ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
r
r + x
x
V r x r V r x r
V r x rx x
V
P P
P
P
= + − ⇒ = + −
= + +
4
3
4
3
4
3
4
3
3 3
3 3 3 3
2 2 3
π π π
π
( ) [( ) ]
[ ]
xx
r rx x= + +4
3
3 32 2π( )
Então, para x tendendo a zero, vem:
A = 
4
3
[3r2 + 3r ⋅ 0 + 02] ⇒ A r= 4 2π
Seção Videoaula
Esfera
Volume da Esfera
Inscrição e Circunscrição de uma Esfera
Bibliografi a
DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações. Ensino 
Médio. Ática.
DEGENSZAJN, David; outros. Matemática – Volume único.
4ª edição. Atual.
IEZZI, Gelson; Fundamentos de Matemática Elementar – Geometria 
Espacial. Vol. 10. Atual.
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática Temas e Metas – Áreas 
e Volumes. Vol. 4 – 2º Grau. Atual.
NETO, Aref Antar. Noções de Matemática, v. 6. 1. ed. São Paulo: 
Moderna, 1979.
GIOVANNI, J.R., Bonjorno, J.R. Matemática. São Paulo: FTD, 2002. 
v. único.
Questões de diversos vestibulares do país.
Anotações
1
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
Aulas ?? a ??: 
Cilindro Circular
• Objetivo(s):
– Reconhecer, classificar e identificar as principais propriedades do cilindro, além de dominar as ferramentas relacionadas com 
o cálculo de suas medidas lineares, superficiais e volumétricas, visando desenvolver habilidades que permitam aos nossos 
alunos resolverem situações-problema com eficiência.
• Metodologia:
 Nesta aula, a partir de exemplificações, podemos começar explicitando a forte presença de superfícies ou corpos sólidos relacionados 
com a forma cilíndrica, no mundo em que vivemos, e sua analogia com os prismas.
 Priorizar, na discussão, ideias relacionadas com:
• a definição de cilindro.
• o reconhecimento de seus elementos.
• a classificação dos cilindros.
• a sua planificação.
• o cálculo da área lateral, total e volume.
• Finalmente, a resolução dos exercícios de fixação da referida aula, por parte do professor, se encarregará de firmar a teoria 
discutida.
Exercícios de Fixação01. Comentário:
 Sabe-se que o raio da base do cilindro reto é dado por:
r =
6
π
 Veja que as 6 linhas correspondem a 6 voltas. Como uma volta mede 2 r, então seis voltas medirá 12 r.
 Assim sendo,
12 12
6
72π π
π
r = ⋅ =
 Portanto, temos a ilustração a seguir:
30º
72
h
tg
h
h cm30
72
3
3
24 3º = = ⇒ =
 Resposta: B
C-2 H-6, 7
H-8, 9Aula
21
2
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
02. Comentário:
 Devido à semelhança entre os vasos, temos:
h
r
4r
4h
I) O preço é proporcional à área da decoração.
II) A razão entre as áreas das faixas decorativas, naturalmente, é 16, já que a razão entre as linhas correspondentes dos vasos é 4.
Portanto, o preço cobrado pelo vaso maior é 16 vezes o preço do menor.
 Resposta: D
03. Comentário:
 Diante do exposto, tem-se:
r
20 cm
 Daí,
2 27 4
31
2
π
π
r r= + → =
 Logo:
V r cmci = ⋅ =




⋅ ≅π π
π
2
2
320
31
2
20 1550
 Resposta: A
04. Comentário:
• Na figura do item (A), temos:
 diagonal = 5 6 7 110 102 2 2+ + = > cm (ok)
 Volume = 5 · 6 · 7 = 210 cm3 (menor)
• Na figura do item (B), temos:
 diagonal = 7 7 98 102 2+ = < cm ( )n o conv mã é
• Na figura do item (C), temos:
 diagonal = 8 4 4 96 102 2 2+ + = < cm ( )n oconv mã é
• Na figura do item(D), temos:
 diagonal = 6 8 100 102 2+ = = cm (ok)
 volume = · 42 · 6 ≅ 301,4 cm3
• Na figura do item (E), temos:
 diagonal = 6 8 100 102 2+ = = cm (ok)
 volume = · 32 · 8 ≅ 226,08 cm3
 Resposta: A
3
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
05. Comentário:
 De acordo com as informações do problema, temos:
y
x
z
h—2
h—2
y – z
———
2
y + z
———
2
h B
C
A
B
C
A
x
D
 Aplicando Pitágoras, obtemos: x
y z h2
2 2
2 2
=
+



+ 



 Dados:
 y = 0,7 m = 7 dm
 z = 0,5 m = 5 dm
 h = 1,6 m = 16 dm
 Assim,
 
x
y z h
x x dm m2
2 2
2 2 2
2 2
6 8 10 1=
+



+ 



→ = + → = =( ) ( )
 Logo, o volume do barril é dado por:
 V = 605 ⋅ x3 → V = 605 ⋅ 13 → V = 605 litros
 Resposta: D
Aulas ?? a ??: 
Cone Circular
• Objetivo(s):
– Reconhecer, classificar e identificar as principais propriedades do cone, além de dominar as ferramentas relacionadas com 
o cálculo de suas medidas lineares, superficiais e volumétricas, visando desenvolver habilidades que permitam aos nossos 
alunos resolverem situações-problema com eficiência.
• Metodologia:
 Nesta aula, podemos inicialmente buscar uma familiarização com a forma cônica, a partir de imagens e objetos presentes no mundo 
em que vivemos. Em seguida, a partir de sua semelhança com a forma piramidal, apresentar as principais características e resultados 
relacionados.
 Priorizar, na discussão, ideias relacionadas com:
• a definição de cone.
• o reconhecimento de seus elementos.
• a classificação dos cones.
• a sua planificação.
• o cálculo da área lateral, total e volume.
 Posteriormente, a resolução dos exercícios de fixação da referida aula, por parte do professor, se encarregará de firmar a teoria 
discutida.
C-2 H-6, 7
H-8, 9Aula
22
4
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Do enunciado, temos a figura a seguir.
C
B
1,8
3,6
6
A
 Semelhança →
+
= 



= → =
A
A B
B A
1 8
3 6
1
8
7
3
,
,
 Semelhança →
+ +
= 



= → =
A
A B C
C
A1 8
6
27
1000
784
27
3
,
 Aplicando uma regra de três composta, podemos obter o tempo limite
 
Tempo Volume Vaz o
dias
A
v
t dias A v
↓ ↓ ↑ã
112
784
27
3
7
 Segue que
 
t A
A
v
v
t dias
112
7
784
27
3
81= ⋅ → =
 Resposta: B
02. Comentário:
 No problema em questão, tem-se:
 Cálculo do volume total 
 
V V cm=
⋅ ⋅
→ =
π 3 12
3
108
2
3
 Fazendo semelhança entre os sólidos, obtemos:
 
h h
h cm
12
32
108
8
27 12
2
3
8
3




= = → = → =
 Resposta: C
3 cm
12 cm
h cm
5
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
03. Comentário:
 No problema em questão, tem-se:
2 2 2 6 12π πg = ⋅ → =( ) g (geratriz)
 Assim,
h
12
6
12 6 6 32 2 2= + → =h h cm
Logo, o volume procurado é dado por:
V cm=
⋅ ⋅
=
π
π
6 6 3
3
72 3
2
3
 Resposta: A
04. Comentário:
 No problema em questão, tem-se:
V
V 1
H
Semelhança (sólidos)
2
1
2 2
3
3V
V
H
H cm= 



= → =
 Resposta: A
05. Comentário:
 Do enunciado, temos:
h
h
h
volume = 3 V
h
r
volume = 3 W
h h
h
volume = V
h
r
volume = W
 Observando que:
2(cubos) + 2(cilindros) = 180 → 6 V + 6 W = 180 → V + W = 30.
Logo, concluímos que:
1 · (cubo) + 1 · (cilindro) + 2(cones) + 2 (pirâmides) = 3 V + 3 W + 2 W + 2 V = 5(V + W) = 150 cm3 
 Resposta: A
6
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
Aulas ?? a ??: 
Tronco de Cone Circular
• Objetivo(s):
– Reconhecer, classificar e identificar as principais propriedades do tronco de cone, além de dominar as ferramentas relacionadas 
com o cálculo de suas medidas lineares, superficiais e volumétricas, visando desenvolver habilidades que permitam aos nossos 
alunos resolverem situações-problema com eficácia.
• Metodologia:
 Nesta aula, é importante começar mostrando que o tronco de cone é um sólido geométrico obtido a partir de uma secção transversal 
feita em um cone, ressaltando a sua presença no mundo em que vivemos, e sua similaridade com o tronco de pirâmide.
 Priorizar, na discussão, ideias relacionadas com:
• a definição de tronco de cone.
• o reconhecimento de seus elementos.
• a sua planificação.
• o cálculo da área lateral, total e volume.
• Finalmente, a resolução dos exercícios de fixação da referida aula, por parte do professor, se encarregará de firmar a teoria discutida.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 De acordo com os dados apresentados, temos:
3 cm
8 cm
10 cm
COPO
RECIPIENTE
h
3
2
cm
 Volume do Copo = Volume do Tronco
 
V cmT = ⋅ + +




=
8
3
9
9
4
9
2
42 3π
π π
π
 Volume do Líquido Transferido
 
V V V cmL quido copo copoí = ⋅




⋅





 = ⋅ =5
80
100
4 168 3π
 Assim, devemos ter:
 π π⋅ ⋅ = → =10 168 1 68
2 h h cm,
 Resposta: A
C-2 H-6, 7
H-8, 9Aula
23
7
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
02. Comentário:
 As figuras a seguir, ilustram o que foi dito no enunciado.
4 cm 3 cm
H
4 cm
6 cm
 Condição do problema:
 Volume (M
1
) = 4 ⋅ Volume (M
2
)
 Daí,
 
π π π π
π π π
⋅ ⋅ = ⋅ + +( )
⋅ ⋅ = ⋅ ( ) = ⋅
4 4
4
3
36 9 18
16 4
4
3
63 16 21
2 H
H
 Logo, H = 21 cm.
 Resposta: B
03. Comentário:
 Nestas condições, temos:
5
4 4 4
5
3 3 3
3 3
3
3030
B
A
C
6
 
 Logo, o tamanho da trança de Rapunzel será dado por:
AB + BC = 5 + 30 = 35 m
 Resposta: A
8
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
04. Comentário:
 Diante do exposto, temos:
I. 
 
1515
1135º
2 R
2 r
1
 
2
3
4
16 6
2
3
4
1
3
8
π π
π π
R R
r r
= ⋅ → =
= ⋅ → =





II. 
 
15
R
r
r
h h
R – r
 
 Resposta: E
05. Comentário:
 Diante do exposto, temos:
V V
h
(tronco) (semiesfera)
( )
− =
+ + − ⋅ 



=
157
3
4 9 6
1
2
4
3
3
2
15
3
π π π π 77
76 27 1884
8 25
π π⋅ − =
≅
h
h cm, .
1,51,5
22
hh
33
 Resposta: D
15
15 55
8
2 2 2= + − ⇒ =h h cm(R r)
9
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
Aulas ?? a ??: 
Sólidos de Revolução
• Objetivo(s):
– Conhecer as superfícies e sólidos de revolução, além de dominar as ferramentas relacionadas com o cálculo de medidas lineares, 
superficiais e volumétricas, visando desenvolver habilidades que permitam aos nossos alunos resolverem situações-problema com 
eficácia.
• Metodologia:
 Nesta aula, é aconselhável começar discutindo o processo de formação de uma linha a partir do movimento de um ponto, a geração 
de uma superfície a partir da rotação de uma linha, a obtenção de um sólido a partir darotação de uma superfície plana, em torno 
de um eixo de rotação.
 Priorizar, na discussão, ideias relacionadas com:
• a definição de superfícies e sólidos de revolução.
• características de determinadas superfícies de revolução.
• características de determinados sólidos de revolução.
• o cálculo da área lateral, total e volume desses sólidos.
• Posteriormente, a resolução dos exercícios de fixação da referida aula, por parte do professor, se encarregará de firmar a teoria 
discutida.
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 A partir da secção meridiana da anticlepsidra, identificamos a figura plana geradora no item (B).
 Resposta: B
02. Comentário:
 Do enunciado, temos que:
60º
60º 60º
x
y
0
3
—
2
3 3
3
3
—
2
C-2 H-6, 7
H-8, 9Aula
24
10
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
 Observe que: x2 + y2 = 3 → circunferência de raio 3
 Fazendo a rotação do trapézio destacado em torno do eixo y, concluímos:
3
2
3
2
3
 
V
h
B b B btronco
t= ⋅ + + ⋅( )
3
 
 Daí,
 
Vtronco = ⋅ + +




=
3
2
3
3
3
4
3
2
21
8
π
π π π
 Resposta: B
03. Comentário:
 Fazendo a rotação dos trapézios, obtemos:
a
a
h
α
2a
tg
a
h
h
a
α = = → =
5
6
6
5
 Com isso, o volume solicitado é dado por:
V a a
a a a
= ⋅ − ⋅ =π
π π2
2 3
2
3
6
5
8
5
 Resposta: E
11
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
04. Comentário:
 Após a rotação do trapézio em torno do eixo x, obtemos:
3 x20
2
y
 Dessa forma, concluímos que:
V u v= ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅
= ≅π
π π
2 2
2 1
3
28
3
292
2
. .
 Resposta: C
05. Comentário:
 Do enunciado, temos a figura a seguir.
2R
B
A
R
R
R
R
C
R
2
R
2
 Daí, 
4 3 2 2
3
3 3 3
2
2
3
π π
π
= ⋅ −
⋅



= → =
( )
.
R R
R R
R R m
 Resposta: D
Aulas ?? a ??: 
Esfera
• Objetivo(s):
– Compreender a definição, reconhecer e identificar as principais propriedades da esfera, além de dominar as ferramentas envolvidas 
com o cálculo de medidas lineares, superficiais e volumétricas, objetivando desenvolver habilidades que permitam aos nossos 
alunos resolverem situações-problema com eficiência.
• Metodologia:
 Nesta aula, é importante começar observando que a esfera é um sólido de revolução, obtido a partir do giro completo de um 
semicírculo em torno de um eixo que contém o seu diâmetro, além de ressaltar a sua enorme presença no mundo em que vivemos.
 Priorizar, na discussão, ideias relacionadas com:
• a definição de esfera.
• os seus elementos.
• a validação da medida da superfície esférica.
• a validação da medida do espaço esférico.
• Em seguida, a resolução dos exercícios de fixação da referida aula, por parte do professor, se encarregará de firmar a teoria 
discutida.
C-2 H-6, 7
H-8, 9Aula
25
12
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
Exercícios de Fixação
01. Comentário:
 Conforme o enunciado, temos:
16
h =
3
r
V
r
6
4
3
3
16
3
6
36
16
3
6
54
3 2 2
2
2
2
π π π
π π π
⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅
+ =
=
Esfera V
r r
r
r
r
��� �� ��� ��
→→ =r 3 6
 Resposta: D
02. Comentário:
 De acordo com o exposto, temos:
r r
3
7r
3
r
r
2r
I) V r
r r
cilindro = ⋅ =π
π2
37
3
7
3
II) V
r r r
cone =
⋅
=
π π2 32
3
2
3
De (I) e (II) →Espa o livre
r
cilindro
ç =
5
3
3π
( )
Com a colocação da esfera no cilindro maior, teremos um volume deslocado para o cilindro menor igual a 4
3
3πr .
 Segue que o espaço livre final corresponde a 
πr3
3
, que é igual ao volume destacado na figura. Portanto, o cone ficará totalmente 
coberto pelo líquido.
 Resposta: C
13
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
03. Comentário:
 De acordo com o enunciado, devemos ter:
 
4
3
25
100
23πR = ⋅ ( )�
 Daí, R R dm3
1
8
1
2
= → =
 Logo, R = 5 cm
 Resposta: C
04. Comentário:
 Como o raio inicial é desprezível, após um certo tempo t, devemos ter:
4
3
500
1500
4
5
33 3 3π
π π
r r r mm= → = → = ⋅ .
 Para encontrar o tempo necessário para atingir 500 mm3, basta fazer uma regra de três (direta)
0 5 1
5
3
5
3
0 5
10
3
3
3
3
,
,
.
mm s
t
t s
π
π
π








⇔ = =
 Resposta: E
05. Comentário:
 Para facilitar o entendimento, veja a figura a seguir:
M N
r
rr
30°
60°
R
cos 60º = 
r
R
r km= → =
1
2
3200
Daí,
m r km(MN) .� = ⋅ =
1
12
2 1600π
 Resposta: B
14
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA IV
Anual – Volume 5
Gabaritos
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Aula 21: Cilindro Circular 
01 02 03 04 05
B D A A D
Aula 22: Cone Circular 
01 02 03 04 05
B C A A A
Aula 23: Tronco de Cone Circular
01 02 03 04 05
A B A E D
Aula 24: Sólidos de Revolução
01 02 03 04 05
B B E C D
Aula 25: Esfera
01 02 03 04 05
D C C E B
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Aula 21: Cilindro Circular 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D A A D E C D A D A
Aula 22: Cone Circular 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
C B C B D C B D E B
Aula 23: Tronco de Cone Circular
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D B B A C E C C C B
Aula 24: Sólidos de Revolução
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D A C C D A E D B E
Aula 25: Esfera
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
E A C A C D B C D C
MATEMÁTICA
E SUAS
TECNOLOGIAS
MATEMÁTICA V
GEOMETRIA ANALÍTICA,
APROFUNDAMENTO E REVISÃO 
PARA O ENEM
GEOMETRIA ANALÍTICA,
APROFUNDAMENTO E REVISÃO 
PARA O ENEM
Vo
lu
m
e5
MATEMÁTICA V
GEOMETRIA ANALÍTICA, APROFUNDAMENTO E 
REVISÃO PARA O ENEM
Objetivo(s):
• Identificar e reconhecer todos os casos de posição relativa entre circunferência, juntamente com retas e pontos.
• Identificar, interpretar e aplicar as inequações tanto do ponto de vista da geometria analítica como das funções. 
• Representar graficamente uma inequação.
• Resolver situações-problema que envolvam circunferências, retas e inequações.
• Fazer com que o aluno identifique o lugar geométrico representado pelo conjunto de infinitos pontos que possuem uma 
determinada propriedade.
• Obter a equação de um lugar geométrico qualquer a partir de uma determinada propriedade.
• Reconhecer um lugar geométrico através de sua equação, explicitando sempre a propriedade que o define.
• Fazer com que o aluno desenvolva habilidade de resolver problemas diversos de trigonometria e geometria analítica, revendo 
conceitos importantes dados ao longo do ano letivo.
• Desenvolver e aprimorar os conhecimentos adquiridos por meio de exercícios diversos..
Conteúdo:
AULA 21: CIRCUNFERÊNCIA II
Posições relativas entre um ponto P e uma circunferência .......................................................................................................................................84
Posições relativas entre uma reta s e uma circunferência ........................................................................................................................................84
Posições relativas entre duas circunferências ...........................................................................................................................................................84
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................85
AULA 22: INEQUAÇÕES E LIMITAÇÕES DE ÁREAS
Inequações no plano ................................................................................................................................................................................................88
Sinal do número E = x2 + y2 + Ax + By + C..............................................................................................................................................................89
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................90
AULA 23: PROBLEMAS RELACIONADOSÀ CIRCUNFERÊNCIA, RETAS E INEQUAÇÕES
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................94
AULA 24: LUGAR GEOMÉTRICO
Definição ..................................................................................................................................................................................................................98
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................98
AULAS 25: APROFUNDANDO E REVISANDO PARA O ENEM (PARTE I)
Exercícios ..............................................................................................................................................................................................................100
84
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática V
Anual – Volume 5
Aula 21: 
Circunferência II
Nas situações seguintes, considere as circunferências retas 
e pontos destacados coplanares.
Posições relativas entre um ponto 
P e uma circunferência
• Se dist(P, C) = r, então P pertence à circunferência.
P
C
r
• Se dist(P, C) > r, então P exterior à circunferência.
P
C
r
• Se dist(P, C) < r, então P é interior à circunferência.
P
C
r
Posições relativas entre uma reta 
s e uma circunferência
• Se dist(C, s) = r, então s é uma reta tangente.
C
s
• Se dist(C, s) > r, então s é uma reta externa.
s
C
C-5 H-19, 20
21, 22, 23Aula
21
• Se dist(C, s) < r, então s é uma reta secante.
s
C
Posições relativas entre 
duas circunferências
Circunferências externas
r
1
r
2
d: distância entre os centros
d > r
1
 + r
2
Circunferências tangentes externamente
r
1
r
2
d: distância entre os centros
d = r
1
 + r
2
Circunferências secantes
r
1
r
2
d: distância entre os centros
|r
1
 – r
2
| < d < r
1
 + r
2
Circunferências tangentes internamente
r
1
r
2
d: distância entre os centros
d = |r
1
 – r
2
|
85
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática V
Anual – Volume 5
Circunferência interna não concêntrica
r
1
r
2
d: distância entre os centros
0 < d < |r
1
 – r
2
|
Circunferências concêntricas
r
1
r
2
d: distância entre os centros
d = 0
Exercícios de Fixação
01. Uma expedição arqueológica encontrou um pedaço de um 
prato de cerâmica antigo, supostamente circular. Para estimar 
o tamanho do prato, os arqueólogos desenharam o pedaço 
de cerâmica encontrado, em tamanho real, em um plano 
cartesiano de origem 0(0, 0). A circunferência do prato passa 
pela origem do plano cartesiano e pelos pontos A(–4, 2) e B(6, 4),
como mostra a fi gura.
14
y 2 cm
2 cm
12
10
8
6
4
2
O
0−2
-2
−4−6−8 2 4 6 8 x
A
B
As coordenadas do ponto em que estaria localizado o centro 
do prato cerâmico circular nesse sistema de eixos cartesianos 
ortogonais são:
A) 
5
7
40
7
,



 B) 
3
7
41
7
,




C) 4
7
43
7
,




 D) 6
7
42
7
,




E) 
2
7
44
7
,




02. Um tratorista estaciona seu trator rolo compressor de modo a 
fi car encostado em uma parede. Sabendo-se que o rolo possui 
raio igual a 70 cm e considerando os eixos coordenados como 
mostrados na fi gura, tem-se que a equação da circunferência 
que compreende o rolo compressor é:
10
80
y(cm)
x(cm)
A) x2 + y2 + 160x + 160y + 6400 = 0
B) x2 + y2 + 160x – 160y + 6400 = 0
C) x2 + y2 – 160x + 140y + 6400 = 0
D) x2 + y2 – 140x + 140y + 6400 = 0
E) x2 + y2 + 160x – 140y + 6400 = 0
03. Num show de patinação no gelo, o casal que se apresenta 
está inicialmente sobre o ponto A indicado na fi gura. Ambos 
partem de A ao mesmo tempo, o rapaz sobre a reta de equação
y = 1 + 0,5x e a moça sobre a reta de equação y = 1 + 2x,
os dois no sentido dos valores positivos de x e y. Com 
velocidade maior, o rapaz se desloca sobre a reta até chegar 
no ponto de tangência de sua trajetória com a circunferência 
de equação (x – 5)2 + (y – 6)2 = 5. A partir daí, ele passa a 
patinar sobre o perímetro desta circunferência, a caminho 
do ponto em que sua nova trajetória tangencia a reta sobre 
a qual patina a sua parceira, onde ambos se encontram 
novamente.
y
7
6
5
4
3
2
1
7654321−1
−1
A
x
•
86
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática V
Anual – Volume 5
Neste plano cartesiano, a distância que foi percorrida pela moça 
nesta performance foi:
A
B
C
D
E
)
)
)
)
)
2 3
2 5
3 5
2 6
3 6
04. (Uece) Se as equações das circunferências M e P, no sistema 
de coordenadas cartesianas usual, são respectivamente
x2 + y2 – 6x – 10y + 18 = 0 e x2 + y2 – 12x – 8y + 36 = 0, pode-se 
afi rmar corretamente que:
A) M e P são concêntricas.
B) M e P são tangentes.
C) M e P possuem raios com medidas diferentes.
D) M e P possuem exatamente dois pontos na interseção.
05. Em uma cidade existem duas praças, em forma de círculos, 
cujas equações referentes às suas circunferências são: 
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 1 e (x + 2)2 + (y – 1)2 = 1. Considerando-se 
um sistema cartesiano de eixos cuja unidade é o quilômetro, a 
menor distância em linha reta entre as praças é:
A) 2 Km
B) 5 Km
C) 10 Km
D) 10 2+( ) Km
E) 10 2−( ) Km
Exercícios Propostos
01. No sistema cartesiano ortogonal x0y, considere a reta r 
cujo coefi ciente angular é numericamente igual ao raio da 
circunferência x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0.
Se a reta r passa pelo ponto A = (–3, 5), então sua equação é 
dada por:
A) y = 3x + 14
B) y = 4x + 17
C) y = – 2x – 1
D) y = 2x + 11
E) y = – 3x – 4
02. Uma arruela, que é um disco fi no com furo circular interno, tem 
suas dimensões projetadas sobre um sistema de coordenadas 
cartesianas. A equação da circunferência externa é obtida e 
tem a forma x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0. 
2,5 cm
A distância entre a circunferência interna e externa é de 2,5 cm. 
O furo interno que está no meio da arruela tem área igual a
A) 
5
9
2π cm B) 
9
4
2π cm
C) 
25
4
2π cm D) 
27
4
2π cm
E) 
36
25
2π cm
03. Determine os valores de m para que a reta de equação
mx – y + 2 = 0 seja tangente à circunferência de equação 
x2 + y2 = 2.
A) m = 3 ou m = –2
B) m = 3 ou m = 2
C) m = 2 ou m = 3
D) m = 1 ou m = –1
E) m = 2 ou m = – 2
04. Por muito tempo, o toca-disco (Figura 1) foi utilizado para 
tocar os chamados LPs, discos de 36 rpm, que normalmente 
continham 12 faixas gravadas. Seu princípio baseava-se em 
um prato movido por uma roldana encostada em sua parte 
lateral interna inferior, como mostra a Figura 2; para cada 
5 giros completos da roldana, o prato completa uma volta.
y
x0
C
ris
ti 
K
er
ek
es
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
Figura 1 Figura 2
Tomando-se o sistema de coordenadas cartesianas xOy, a 
circunferência do prato tem por equação: x2 + y2 = 225. 
Com estas informações, pode-se afi rmar que a circunferência 
da roldana tem equação dada por
A) x2 + y2 + 24y + 135 = 0. 
B) x2 + y2 – 24y – 135 = 0.
C) x2 + y2 + 24y – 135 = 0. 
D) x2 + y2 – 24y + 135 = 0.
E) x2 + y2 – 24x + 135 = 0.
05. Seja y a circunferência de equação x2 + y2 = 4. Se r e s são duas 
retas que se interceptam no ponto P = (1, 3) e são tangentes 
a , então o cosseno do ângulo entre r e s é igual a
A) 
1
5
B) 7
7
C) 1
2
D) 2
2
E) 7
2
87
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática V
Anual – Volume 5
06. Para a transmissão do Mundial de Futebol de 2014 no Brasil, 
foram utilizadas câmeras que fi cam suspensas por cabos de aço 
acima do campo de futebol, podendo, dessa forma, oferecer 
maior qualidade na transmissão. Suponha que uma dessas 
câmeras se desloque por um plano paralelo ao solo, orientada 
por meio de coordenadas cartesianas.
A fi gura a seguir representa o campo em escala reduzida, 
sendo que cada unidade de medida da fi gura representa 10 m 
no tamanho real.
y
x
C
B
8
87
6
10 126
4
4
2
3
A
Pode-se afi rmar que:
A) A equação da circunferência que delimita o círculo central 
docampo na fi gura é x2 + y2 – 12x – 8y + 52 = 0.
B) Se a câmera se desloca em linha reta de um ponto, 
representado na figura por A(4, 2), até outro ponto, 
representado na fi gura por C(10, 6), então a equação 
da reta que corresponde a essa trajetória na figura é 
2x – 3y + 2 = 0.
C) Na fi gura, o ponto B(8, 3) está a uma distância de 
5
13
unidades da reta que passa pelos pontos a A(4, 2) e C(10, 6).
D) Os pontos (7, 4), (4, 2) e (10, 6) não são colineares.
E) No tamanho real, a área do círculo central do campo de 
futebol é igual a 10 m2.
07. Os valores de a para os quais as circunferências de equações
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 1 e (x – a)2 + (y + 2)2 =16 são tangentes 
exteriormente: 
A) –2 e 8 B) 2 e 8 
C) –8 e 2 D) 0 e 6 
E) –6 e 0
08. Considere as equações das circunferências
C
1
: x2 – 2x + y2 – 2y = 0
C
2
: x2 – 4x + y2 – 4y = 0,
cujos gráfi cos estão representados a seguir:
y
x
C
1
C
2
0
A área da região hachurada é:
A) 3 unidades de área.
B) unidades de área.
C) 5 unidades de área.
D) 6 unidades de área.
E) 
 π 
2
 unidades de área. 
09. Uma luminária projeta sua luz sobre uma cartolina quadriculada, 
na qual está representado o plano cartesiano. O espaço da 
cartolina que a luz consegue alcançar forma um círculo limitado 
pela circunferência de equação x2 + y2 – 10x – 12y + 45 = 0. 
Um ponto do plano que fi ca fora da área iluminada possui 
coordenadas
A) P(3, 9)
B) Q(8, 8)
C) M(2, 3)
D) N(6, 3)
E) T(3, 4)
10. (Uerj) A fi gura a seguir representa a superfície plana de uma 
mesa retangular BFGH na qual estão apoiados os seguintes 
instrumentos para desenho geométrico, ambos de espessuras 
desprezíveis:
– um transferidor com a forma de um semicírculo de centro 
O e diâmetro AB;
– um esquadro CDE, com a forma de um triângulo retângulo 
isósceles.
H
A
O
B E D
C
G
F
C
Considere as informações a seguir:
ED está contido em BF; 
OA está contido em BH;
AB = 10 cm;
BD = 13 cm.
Calcule a medida, em centímetros, do menor segmento que 
liga a borda do transferidor à borda do esquadro.
A) 4 · 21/2 – 5
B) 2 · 21/2 – 5
C) 5 · 21/2 – 5
D) 7 · 21/2 – 5
E) 9 · 21/2 – 5
88
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática V
Anual – Volume 5
Fique de Olho
• (Unicamp) Considere a circunferência de equação cartesiana 
x2 + y2 = x – y. Qual das equações a seguir representa 
uma reta que divide essa circunferência em duas partes 
iguais?
A) x + y = –1.
B) x – y = – 1.
C) x – y = 1.
D) x + y = 1.
SOLUÇÃO:
Temos que:
x2 + y2 = x – y ⇔ (x2 – x) + (y2 + y) = 0 ⇔
x y
x y
−



+ +



= 



+ 



⇔
⇔ −



+
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2
2
++



=
1
2
2
4
2
Logo, a equação dada representa uma circunferência de 
centro no ponto C
1
2
1
2
,
−



 e raio R = =
2
4
2
2
.
Assim, uma reta dividirá essa circunferência em duas partes 
iguais se, e somente se, tal reta passar pelo seu centro 
C
1
2
1
2
, .
−



 Analisando as alternativas, temos:
A) Falsa.
1
2
1
2
1 0 1+
−



= − ⇒ = −
B) Falsa. 
1
2
1
2
1 1 1−
−



= − ⇒ = −
C) Verdadeira. 
1
2
1
2
1 1 1−
−



= ⇒ =
D) Falsa. 
1
2
1
2
1 0 1+
−



= ⇒ =
Portanto, a reta x – y = 1 passa pelo centro C
1
2
1
2
, .
−



Resposta: C
Aula 22: 
Inequações e 
Limitações de Áreas
Inequações no plano
A reta (r) ax + by + c = 0 divide o plano em dois semiplanos, 
tais que para os pontos P(x
P
, y
P
), de um deles, temos ax
P
 + by
P
 + c 0 
e para os pontos do outro, temos ax
P
 + by
P
 + c 0. A igualdade 
ax
P
 + by
P
 + c = 0 somente se verifi ca para os pontos de r.
Caso a reta r não passe na origem, temos dois casos a 
considerar.
I. Se para O (0, 0), temos E = a(0) + b(0) + c < 0:
E = ax + by + c < 0
E = ax + by + c = 0
xO
y
r
E = ax + by + c > 0
II. Se para O (0, 0), temos E = a(0) + b(0) + c > 0:
E = ax + by + c > 0
E = ax + by + c = 0
x
y
r
E = ax + by + c < 0
O
Observação:
Caso a reta r passe na origem, substitua a origem por um ponto 
A r e proceda de modo análogo.
Exercícios Resolvidos
01. Localize no plano seguinte os pontos P(x, y) do plano, tais que:
A) fi cam alinhados com A(2, 4) e B(–2, 12);
B) satisfazem à inequação 2x + y – 8 > 0.
SOLUÇÃO:
A) Os pontos fi cam sobre a reta r de equação 2x + y – 8 = 0.
12
y
4
–2 0 2
B
A
x
2x + y – 8 = 0
C-2 H-6, 7
C-5 H-19, 20
H-8, 9
21, 22, 23
Aula
22
89
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática V
Anual – Volume 5
B) Para x = 0 e y = 0, coordenadas do ponto O que fi ca abaixo 
da reta r, E = 2x + y – 8 > 0 não é satisfeita. Logo, os pontos 
que satisfazem 2x + y – 8 > 0 fi cam acima da reta r.
2x + y – 8 = 0
0
2x + y – 8 > 0
y
8
x
02. Qual é o gráfi co de | x + y | 2?
SOLUÇÃO:
Devemos ter ao mesmo tempo:
x y
x y
+ ≤
+ ≥ −{ 2 2
I. x + y 2
x + y ≥ 2
x + y = 2
2
2
y
x + y ≤ 2
O
Note:
O (0, 0) ⇒ 0 + 0 2 (verdade)
II. x + y 2
x + y = – 2
x
–2
–2
y
O
Note:
O (0, 0) ⇒ 0 + 0 –2 (verdade)
Logo, o gráfi co é:
2
2
–2
–2
y
xO
Sinal do número 
E = x2 + y2 + Ax + By + C
Seja x2 + y2 + Ax + By + C = 0 a equação de uma 
circunferência. Então, essa circunferência dividirá o plano cartesiano 
em três regiões distintas:
• Região dos pontos que ficam sobre a circunferência. 
Nesse caso, temos E = x2
0
 + y2
0
 + Ax
0
 + By
0
 + C = 0 para qualquer 
ponto P (x
o
, y
o
) sobre a circunferência.
y
xO
• Região dos pontos que fi cam no interior da circunferência. 
Nesse caso, temos E = x2
0
 + y2
0
 + Ax
0
 + By
0
 + C< 0 para qualquer 
ponto P (x
o
, y
o
) do interior da circunferência. Em particular, para 
o centro O’ (a, b) tem-se E = a2 + b2 + Aa + Bb + C < 0.
xaO
b
y
E = x2 + y2 + Ax + By + C < 0
(Interior da circunferência)
• Região dos pontos que fi cam no exterior da circunferência. 
Nesse caso, temos E = x2
0
 + y2
0
 + Ax
0
 + By
0
 + C > 0, para todo 
ponto P (x
o
, y
o
) do exterior da circunferência.
x
y
x2 + y2 + Ax + By + C > 0
(Exterior da circunferência)
90
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática V
Anual – Volume 5
Exercício Resolvido
01. Sejam R
1
 a região dos pontos (x, y) do plano cartesiano 
usual, tais que 
x y
y
+ ≤
≥{ 00 e R2, a dos pontos (x, y), tais que 
(x – 1)2 + y2 9. Calcule a área da região R
1
∩ R
2
.
SOLUÇÃO:
I. Localizando a reta x + y – 1 = 0 no plano cartesiano usual 
e verifi cando que E = x + y – 1, para o ponto O (0, 0) 
(que fi ca abaixo da reta), nos dá E = 0 + 0 – 1 = –1 < 0, a 
região R
1
 é:
1
1 x
y
x + y – 1 = 00
{ + − ≤>1 x y 1 0R : y 0
II. Localizando a circunferência de centro no ponto C (1, 0) 
e raio igual a 3, (x – 1)2 + y2 = 32, no plano cartesiano 
usual e verifi cando que E = (x – 1)2 + y2, para o ponto 
C (1, 0) (que fi ca no interior da circunferência), nos dá 
E = (1 – 1)2 + 02 = 0 < 32, a região R
2
 é:
R
2 
: (x – 1)2 + y2 ≤ 9
4–2 x
y
C
10
Então, a região R
1
∩ R
2
 será:
4
y = –x + 1
r
31
θ
1
α
Onde se tem:
• m
r
 = tg = –1 ⇒ 0 = 135º ⇒ α = 45º
• Área de (R
1
∩ R
2
) = 
α
360º
 de · raio2 = 
45
360
3
9
8
2· ·π
π
= ua
Resposta: 
9
8
π
ua
Exercícios de Fixação
01. João e Maria brincam de um jogo no qual, para vencer, é 
necessário que se escolha uma das quatro áreas apresentadas 
no plano cartesiano a seguir, e que corresponda à solução do 
sistema 
y x
y x
≥
≤ −{ . Sabe-se que João sagrou-se vencedor, uma 
vez que escolheu a área correta.
1
2
3
y = xy = xy = −xy = −x
xx
4
00
y
Dessa forma, conclui-se que João optou pela área:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
02. O dono de uma empreiteira gosta de matemática e verifi cou que 
seu próximo empreendimento ocupará uma gleba delimitada 
de acordo com o sistema de inequações:
E
y x
y x
x
y
=
+ ≤
+ ≥
≥
≥







3 3
1
1
0
0
Utilizando-se de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja 
unidade de comprimento é 100 m, ele pôde calcular a área da 
gleba em hectares, que corresponde a:
A) 2,5
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 4,5
03. Um garoto, ao fazer um trabalhopara a escola no qual precisava 
desenhar um círculo, utilizou uma moeda comemorativa 
da Copa do Mundo que ocorreu no Brasil em 2014. Ele a 
posicionou no 3o quadrante de um sistema de coordenadas 
cartesianas cuja unidade é o milímetro. As distâncias do 
centro da moeda aos eixos estão mostradas na fi gura a seguir. 
Sabendo-se que o diâmetro da moeda é 40 mm, a inequação 
que representa o círculo construído é: 
91
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática V
Anual – Volume 5
y (mm)
x (mm)
0
3030
5555
A) x2 + y2 + 110x + 60y + 2325 0
B) x2 + y2 – 110x – 60y + 2325 0
C) x2 + y2 + 110x + 60y + 3525 0
D) x2 + y2 – 110x – 60y + 3525 0
E) x2 + y2 + 110x + 60y – 400 0
04. Um designer de cosméticos, ao definir a área da secção 
meridiana da extremidade de um novo batom, encontrou o 
seguinte sistema de inequações:
y
x
y
y
x
≥
≤
≥ +







2
4
5
2
2
Após representá-lo num plano cartesiano, o designer encontrou:
A) 
1-1 0
1
2
4
3
5
y
-2-3-4-5 2 3 4 5
x
B) 
y
0
1
2
3
4
5
6
-2-4-6 2 4 6 x
C) 
1-1 0
1
2
3
4
5
y
-2-3-4-5 2 3 4 5
x
D) 
1-1 0
1
2
4
3
5
y
-2-3-4-5 2 3 4 5
x
05. Resolvendo-se a inequação 
x y
x y
− +
+ −
≥
2
2
0 no plano cartesiano, 
obtém-se a fi gura aproximada:
A) y
x0
B) y
x0
C) y
x0
D) y
x0
E) y
x0
92
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática V
Anual – Volume 5
Exercícios Propostos
01. As desigualdades y 4, x 1 e y + 2x 0 defi nem uma região 
de área:
A) indefi nida
B) 1
C) 7
D) 9
E) 13
02. Observe a imagem a seguir.
O estrado utilizado pela orquestra tem uma base em forma de 
arco, correspondente à região limitada pelas circunferências 
de equações x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2, com a > b e pelas retas 
defi nidas por y = x e y = – x. A área R desta região é dada 
pela fórmula:
A) R
a b
=
−( )π 2 2
4
 B) R
b a
=
−( )π 2 2
4
C) R
a b
=
−( )π 2
4
 D) R
a b
=
−( )π 2 2
2
E) R
b a
=
−( )π 2 2
2
03. (Unesp) Um grupo de estudantes fará uma excursão e alugará 
ônibus para transportá-lo. A transportadora dispõe de ônibus 
em dois tamanhos, pequeno e grande. O pequeno tem 
capacidade para 24 pessoas, ao custo total de R$ 500,00. 
O grande tem capacidade para 40 pessoas, ao custo total de 
R$ 800,00. Sabe-se que pelo menos 120 estudantes participarão 
da excursão e que o grupo não quer gastar mais do que 
R$ 4.000,00 com o aluguel dos ônibus.
Sendo x o número de ônibus pequenos e y o número de ônibus 
grandes que serão alugados, o par ordenado (x, y) terá que 
pertencer, necessariamente, ao conjunto solução do sistema 
de inequações
A) 
24 40 120
500 800 4000
x y
x y
+ ≥
+ ≤{
B) 
24 40 4000
500 800 120
x y
x y
+ ≤
+ ≥{
C) 
24 40 120
500 800 4000
x y
x y
+ ≥
+ ≥{
D) 
24 40 4000
500 800 120
x y
x y
+ ≤
+ ≤{
E) 
24 40 120
500 800 4000
x y
x y
+ ≤
+ ≤{
04. Seja R a região do plano cartesiano ortogonal cujos pontos 
satisfazem o seguinte sistema:
0 40
0 60
80
60
≤ ≤
≤ ≤
+ ≤
+ ≥





x
y
x y
x y
A área da superfície de R, em unidades de superfície, é
A) 300 2
B) 400
C) 400 2
D) 600
E) 600 2
05. Construídas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, 
as inequações x2 + y2 < 4 e y < x + 1 delimitam uma região no 
plano. O número de pontos que estão no interior dessa região 
e possuem coordenadas inteiras é
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
06. Para o processo seletivo de uma empresa, foram aplicadas 
duas provas para selecionar os candidatos que iriam fazer 
dinâmicas de grupo. As pontuações de cada pessoa nessas duas 
provas, indicadas por x e y. deveriam atender a certos critérios 
para que essa pessoa fosse convocada para a fase seguinte. 
Considerando escalas de resultados de 0 a 100 para ambas as 
provas, dois diretores propuseram critérios diferentes para essa 
seleção:
Diretor A: aprovar quem tiver as duas pontuações maiores 
ou iguais a 50.
Diretor B: aprovar aqueles cuja soma das pontuações for 
estritamente maior do que 150.
A fi gura cuja área sombreada cobre apenas os pontos que 
representam as combinações de pontuações daqueles que 
seriam aprovados pelo critério do diretor A, mas não do
diretor B, é:
A)a) y
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x
93
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática V
Anual – Volume 5
B)b) y
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x
C)c) y
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x
D)d) y
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x
E)e) y
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x
07. A solução do sistema representa a planta baixa de uma estrada 
em determinado sistema de coordenadas cartesianas onde a 
unidade é o metro.
y x
y x
≥ − +
≤ − +{ 515
A largura dessa estrada corresponde a:
A B
C D
E
) )
) )
)
5 2 5 3
6 2 6 3
7 2
08. (Uece) No referencial cartesiano ortogonal usual, a medida 
da superfície do quadrilátero convexo cujos vértices são 
as interseções de cada uma das retas x + y – 1 = 0 e 
x + y + 1 = 0 com a circunferência x2 + y2 = 25, calculada com 
base na unidade de comprimento (u.c.) adotada no referencial 
cartesiano considerado, é:
A) 16(u.c.)2 B) 14(u.c.)2
C) 18(u.c.)2 D) 20(u.c.)2
09. A parte sombreada do gráfi co representa o conjunto de pontos 
cujas coordenadas (x, y) satisfazem simultaneamente a três das 
inequações a seguir. Quais?
I. 6x + y 6
II. x + 3y 6
III. 3x + 2y 12 
IV. 2x + 3y 12
V. x + 6y 6
VI. 3x + y 6
A) I, II e III
B) I, IV e V
C) II, IV e V
D) III, V e VI
E) IV, V e VI
10. (Enem-PPL) Uma famíl ia deseja real izar um jantar 
comemorativo de um casamento e dispõe para isso de um 
salão de festas de um clube, no qual a área disponível para 
acomodação das mesas é de 500 m2. As 100 mesas existentes 
no salão encontram-se normalmente agrupadas duas a 
duas, comportando 6 cadeiras. A área de cada mesa é de 
1 m2 e o espaço necessário em torno deste agrupamento, 
para acomodação das cadeiras e para circulação, é de 6 m2. 
As mesas podem ser dispostas de maneira isolada, 
comportando 4 pessoas cada. Nessa situação, o espaço 
necessário para acomodação das cadeiras e para circulação,é 
de 4 m2. O número de convidados previsto para o evento é 
de 400 pessoas. Para poder acomodar todos os convidados 
sentados, com as mesas existentes e dentro da área 
disponível para acomodação das mesas e cadeiras, como 
deverão ser organizadas as mesas?
A) Todas deverão ser separadas.
B) Todas mantidas no agrupamento original de duas mesas.
C) Um terço das mesas separadas e dois terços agrupadas duas 
a duas.
D) Um quarto das mesas separadas e o restante em 
agrupamentos de duas a duas.
E) Sessenta por cento das mesas separadas e quarenta por 
cento agrupadas duas a duas.
Fique de Olho
• Um programa computacional é capaz de escolher, 
aleatoriamente, uma solução (x, y), em que x e y são reais não 
negativos, para a inequação x + y 20. Qual a probabilidade 
de a solução escolhida ser tal que x 12 e y 5?
SOLUÇÃO:
I. O nosso universo (U) de soluções possíveis são os pares 
ordenados que satisfazem o sistema:
U
x
y
x y
=
≥
≥
+ ≤




0
0
20
ou seja, a região sombreada seguinte, cuja área A
1
 é igual a:
6
5
4
3
2
1 2 3 4 5 6 x
1
y
94
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática V
Anual – Volume 5
y
20
20
0
A
1
 =
20 20
2
= 200 ua
x
x + y = 20
II. O nosso evento (E) são os pares ordenados que satisfazem 
o sistema (E U):
x
y
x y
x
y
≥
≥
+ ≤
≥
≤







0
0
20
12
5
ou seja, o trapézio sombreado seguinte, cuja área, A
2
 é 
igual a:
y
20
8
5
(12, 8)
(15, 5)
y = 5
x12 15 20
x = 12 x + y = 20
A A ua2 2
8 3 5
2
55
2
= +
( ) ⋅ ⇒ =
Logo, probabilidade = 
A
A
2
1
55
2
200
55
400
11
80
= = =
Resposta:
11
80
Aula 23: 
Problemas Relacionados à 
Circunferência, Retas e 
Inequações
Lembre-se:
Equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio r.
( ) ( )x a y b r− + − =2 2 2
Equação geral da circunferência:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
C-5 H-19, 20
21, 22, 23Aula
23
Devemos ter:
• A = B
• C =0
• Coordenadas do centro C(a, b) 
a
D
A
b
E
A
= −
= −






2
2
• Raio r
D E AF
A
=
+ −2 2 4
2
Onde: D E AF2 2 4 0+ − >
Exercícios de Fixação
01. “A Vela Futurista”, esse foi o tema proposto pela prefeitura 
de uma cidade praiana, para a abertura de um concurso de 
esculturas. A fi nalidade é homenagear os bravos pescadores 
da região, erguendo um monumento que represente a vela 
estilizada de uma jangada. O vencedor terá sua escultura 
construída no centro de uma praça localizada à beira mar, 
próxima à colônia dos pescadores, além de premiação em 
dinheiro.
Somente após a divulgação do resultado, o artista vencedor 
revelou o seu segredo guardado a sete chaves:
“Solicitei a um amigo matemático que desenvolvesse o projeto 
de uma vela de jangada futurista”.
O amigo atendeu prontamente ao pedido do artista escultor 
e, após alguns cálculos, defi niu a tal vela como a solução do 
sistema de inequações a seguir:
0 3
4 12
3
2 4
≤ ≤
− + ≤ ≤ +




x
x
y x
Ao calcular a área da vela defi nida no plano cartesiano, o 
matemático encontrou:
A) 12 ua
B) 12,5 ua
C) 14 ua
D) 14,5 ua
E) 15 ua
02. Um designer desenvolve a logomarca de uma empresa que é 
representada pela região delimitada pelas inequações x + y 1
e x2 + y2 4, representadas em um mesmo sistema de 
coordenadas cartesianas.
Assinale a alternativa que contém o gráfico que melhor 
representa a tal logomarca.
95
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática V
Anual – Volume 5
A) y
x
4
3
2
1
1-3 -2 -1 2 30
–3
–2
–1
B) y
x
4
3
2
1
1-3 -2 -1 2 30
–3
–2
–1
C) y
x
4
3
2
1
1-3 -2 -1 2 30
–3
–2
–1
D) y
x
4
3
2
1
1-3 -2 -1 2 30
–3
–2
–1
E) y
x
4
3
2
1
1-3 -2 -1 2 30
–3
–2
–1
03. (Imed – Adaptada) Atualmente, por questão de proteção, 
certas edifi cações como presídios, instalações militares ou 
governamentais, casas de entretenimento e residências 
têm necessidade de bloquear o sinal de telefones celulares. 
Tal expediente causava transtornos até algum tempo atrás, pois 
exigia que fossem desativadas as torres de retransmissão de 
sinal, o que deixava um bocado de gente sem comunicação. 
Atualmente, isso pode ser feito de modo mais pontual, 
com a utilização de aparelhos capazes de restringir o raio 
de bloqueio a distâncias mais curtas. Em uma determinada 
região, desejava-se instalar um desses aparelhos em certa 
construção. No entanto, havia um trecho de estrada passando 
próximo a essa construção. Um mapa da região foi plotado 
num plano cartesiano, no qual a estrada corresponde a uma 
reta de equação x + y = 5 e a região em torno da edifi cação 
a partir da qual se estabeleceu o bloqueio corresponde a uma 
circunferência de equação (x – 5)2 + (y – 3)2 = 9. O centro da 
circunferência correspondendo à localização dessa edifi cação. 
Sabendo que cada unidade de distância no plano cartesiano 
corresponde a 10 Km, a menor distância da estrada até a 
edifi cação é, em Km, aproximadamente igual a:
Considere 2 1 41≅ , .
A) 17 B) 18
C) 19 D) 20
E) 21
04. A função f x
x
( ) = 


2
2
 e a circunferência de centro C e equação 
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 se intersectam nos pontos P e O, sendo O
a origem do sistema cartesiano, conforme mostra o gráfi co.
f(x)
P
C
s
y
Fora de escala
xO
A equação da reta s, tangente à circunferência no ponto P, 
pode ser dada por
A) y = –x B) y = –x + 8
C) y = –x + 2 D) y
x
= −
2
05. (Unifor-Medicina) Na fi gura seguinte temos a imagem de uma 
bicicleta para adulto aro 26, em que o número 26 é o diâmetro 
em polegadas da roda (aro + pneu), que convertendo para 
centímetros é aproximadamente 66 cm.
x (cm)
y (cm)
96
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática V
Anual – Volume 5
Assim, usando uma escala em centímetros e posicionando a 
bicicleta num sistema de coordenadas como mostrado na fi gura 
acima, aonde os eixos tangenciam a roda dianteira, podemos 
afi rmar que a equação dessa roda é:
A) x2 + y2 – 33x – 33y = 1089
B) x2 + y2 – 66x – 66y = 1089
C) x2 + y2 – 66x – 66y = – 1089
D) x2 + y2 + 33x + 33y = 1089
E) x2 + y2 + 66x + 66y = –1089
Exercícios Propostos
01. (Uece) Para valores reais de k, as equações (k – 4)x + 5y – 5k = 0 
representam no plano cartesiano uma família de retas que 
passam pelo ponto fi xo P(m, n). O valor de m + n é:
A) 9
B) 11
C) 13
D) 14
02. A fi gura mostra a planta baixa de uma praça circular que 
circunscreve um jardim triangular, cujos vértices possuem 
as coordenadas A(0,12), B(0,0) e C(5,0) que utilizam um 
determinado sistema de coordenadas cartesianas cuja unidade 
de comprimento é o decâmetro. Inscrita ao jardim, existe um 
espelho d’àgua também no formato circular.
A
B C
A distância entre os centros dos dois círculos em decâmetros 
corresponde a:
A) 
61
2
 B) 
62
2
C) 
63
2
 D) 
64
2
E) 
65
2
03. (Enem-PPL) Considere que os quarteirões de um bairro tenham 
sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o 
cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. 
Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e 
todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida 
de seu lado é a unidade do sistema.
A seguir há uma representação dessa situação, em que os 
pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais 
desse bairro.
1 quarteirão:
D
B
A
C
y
x
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante 
área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre 
num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação:
x2 + y2 – 2x – 4y – 31 0
A fi m de avaliar qualidade do sinal, e proporcionar uma futura 
melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção 
para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de 
cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os 
outros não:
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são 
apenas:
A) A e C
B) B e C
C) B e D
D) A, B e C
E) B, C e D
04. (AFA) Considere no plano cartesiano os pontos A(2, 0) e 
B(6, –4) que são simétricos em relação à reta r. Se essa reta r 
determina na circunferência x2 + y2 – 12x – 4y + 32 = 0 uma 
corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence 
ao intervalo
A) [4, 5[ B) [3, 4[
C) [2, 3[ D) [1, 2[
05. O círculo ao lado simboliza uma y
O
4
− 6 x
•
•
lagoa, sendo este, representado no 
sistema de coordenadas cartesianas, 
em que os eixos x e y são avenidas 
que contêm pontes que passam 
por sobre esta lagoa. Num mapa 
cartográfi co, podemos afi rmar que 
O é o ponto de encontro das 
avenidas e que também representa 
a origem de um sistema cartesiano ortogonal. Sendo assim, 
podemos afi rmar que a equação da circunferência que 
representa a lagoa é: 
A) x2 + (y + 2)2 = 10
B) (x + 3)2 + y2 = 10
C) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 13
D) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 13
E) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 13
06. (Uece) Uma circunferência, cujo centro está localizado no 
semi-eixo positivo dos x, é tangente à reta x + y = 1 e ao 
eixo dos y. A equação desta circunferência é
A) x2 2
2
2 1
0+ −
+
=y
x
 B) x2 2
2 1
0+ −
+
=y
x
97
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática V
Anual – Volume 5
C) x2 2
2
2 1
0+ −
−
=y
x
 D) x2 2
2 1
0+ −
−
=y
x
07. (Enem) A fi gura mostra uma criança brincando em um balanço 
no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo 
do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não 
sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não 
chegue a alcançar a posição horizontal.
Topo do 
suporte
Chão do parque
2 m
etro
s
Na fi gura anterior, considere o plano cartesiano que contém 
a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está 
localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo 
ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para 
cima.
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é 
a parte do gráfi co da função:
A) f x x( ) = − −2 2 B) f x x( ) = −2 2
C) f(x) = x2 – 2 D) f x x( ) = − −4 2
E) f x x( ) = −4 2
08. A circunferência passa pelos pontos A(–1, –1), B(1, 5) e
C(3, 1). A reta r: x + 3y – 6 = 0 e a circunferência são secantes.A área do triângulo cujos vértices são a origem do sistema de 
coordenadas cartesianas, e os pontos de intersecção entre a 
reta r e a circunferência , tem medida igual a:
A) 6 unidades de área.
B) 12 unidades de área.
C) 4 unidades de área.
D) 10 unidades de área.
09. (Uece) No sistema usual de coordenadas cartesianas, a equação 
da circunferência inscrita no quadrado representado pela 
equação | x | + | y | = 1 é:
A) 2x2 + 2y2 + 1 = 0
B) x2 + y2 – 1 = 0
C) 2x2 + 2y2 – 1 = 0
D) x2 + y2 – 2 = 0
10. (UPF) Na fi gura, estão representados, num referencial xy:
– uma circunferência cuja equação cartesiana é dada por 
(x – 1)2 + (y – 1)2 = 20
– a reta t, tangente à circunferência no ponto de coordenadas 
(– 3, 3)
– o ângulo α, cujo lado origem é o semieixo positivo x e o 
lado extremidade é a reta t.
y
P(–3,3)
x
t
0
O valor da tan α é:
A) 1
2
 B) − 1
2
C) – 2 D) 2
E) 1
Fique de Olho
• (Uece) Os pontos P = (p, 0) e Q = (0, q), com 0 < q < p, 
são as extremidades de um diâmetro da circunferência 
x2 + y2 – 8x – 6y = 0. A equação da mediatriz do segmento 
PQ é
A) 3y + 4x + 25 = 0 B) 3y + 4x – 25 = 0
C) 3y – 4x + 7 = 0 D) –3y + 4x + 7 = 0
Solução:
Temos que:
I. x2 + y2 – 8x – 6y = 0 → equação cartesiana da circunferência;
II. P(p, 0) e Q(0, q) → extremidades de um diâmetro da 
circunferência 0 < q < p.
Como P e Q pertencem à circunferência, temos:
• p2 + 02 – 8p – 6 · 0 ⇔ p2 – 8p = 0 ⇔
 P(P – 8) = 0 ⇔ p = 0 ou P = 8
• 02 + q2 – 8 · 0 – 6q = 0 ⇔ q2 – 6q = 0 ⇔
 q(q – 6) = 0 ⇔ q = 0 ou q = 6
Assim, um diâmetro da circunferência tem extremos P(8, 0) e 
Q(0, 6).
A reta que passa pelos pontos P e Q tem coefi ciente angular 
mPQ =
−
−
= −6 0
0 8
3
4
O ponto médio do segmento PQ tem coordenadas (4, 3).
A equação cartesiana da mediatriz passa pelo ponto médio de 
PQ e tem coefi ciente angular 
4
3
, pois é perpendicular a PQ.
Assim, y x y x− = −( ) ⇔ − = − ⇔3
4
3
4 3 9 4 16
3y – 4x + 7 = 0
Resposta: C
98
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática V
Anual – Volume 5
Aula 24: 
Lugar Geométrico
Defi nição
Denomina-se lugar geométrico o conjunto de todos os 
pontos que possuem uma determinada propriedade.
Exemplos:
I. Consideremos, no plano, um ponto fi xo O e um ponto P situado 
a uma distância r de O.
O ponto P possui uma propriedade: está situado à 
distância r do ponto fi xo O.
O conjunto de todos os pontos do plano que possuem 
essa mesma propriedade é um lugar geométrico, denominado 
circunferência;
II. A mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico dos pontos 
do plano equidistantes dos extremos do segmento.
Exercícios de Fixação
01. O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que têm 
como característica abscissa igual a ordenada coincide com a 
representação da função f defi nida por 
A) f(x) = 1
B) f(x) = x
C) f(x) = x2
D) f(x) = x3
E) f(x) = x5
02. Uma bicicleta desloca-se por uma rua plana e retilínea, indo de 
uma casa A para uma casa B, ambas na mesma rua. O lugar 
geométrico descrito pelo centro da roda, quando a mesma rola, 
sem deslizar, sobre o asfalto, corresponde a
A) uma reta paralela à superfície da rua e que passa pelo ponto 
mais alto da roda.
B) uma reta paralela à superfície da rua e que passa pelo centro 
da roda.
C) um segmento de reta paralelo à superfície da rua e que 
passa pelo centro da roda.
D) uma reta coincidente à superfície da estrada.
E) uma semirreta coincidente à superfície da estrada.
03. Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a 
uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um 
quartel decidiram se posicionar de modo que a distância 
de um bombeiro ao toco A, de temperatura mais elevada, 
fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B,
de temperatura menos elevada.
Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois 
bombeiros poderiam ter entre eles é
A) 30
B) 40
C) 45
D) 60
E) 68
C-2 H-8, 9
C-4 H-17
C-3 H-14Aula
24
04. A parábola y = x2 – tx + 2 tem vértice no ponto (x
t
, y
t
). O lugar 
geométrico dos vértice da parábola, quando t varia no conjunto 
dos números reais, é:
A) uma elipse.
B) uma parábola.
C) um ramo de uma hipérbole.
D) uma reta.
D) duas retas concorrentes.
E) duas retas paralelas.
05. O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que 
satisfazem simultaneamente as inequações |x + 2| 1 e 
|y – 3| 1 é a região hachurada do gráfi co
A) 
y
4
2
0 x–1–3
B)
y
4
2
3 x10
C)
y
3 x10
D)
y
–3 –1 1
0
–2
–4
3
x
E)
y
–3 –1
4
2
0 x
99
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática V
Anual – Volume 5
Exercícios Propostos
01. Os pontos do plano cartesiano, cujas coordenadas (x, y) 
satisfazem a equação |x + 2y| = 1, constituem
A) um quadrado. 
B) um par de retas paralelas.
C) um par de retas perpendiculares.
D) um feixe de infi nitas retas paralelas.
E) um segmento de reta.
02. O número total de pares (x, y) que satisfazem a equação 
(x2 + y2 – 1)2 + (xy)2 = 0 é:
A) infi nito B) 0
C) 1 D) 2
E) 4
03. O lugar geométrico dos pontos P = (x, y), do plano cartesiano, 
cujas coordenadas são soluções do sistema x
xy x
2
2 2
9 0
0
− =
+ ≥


( )
 é
A) o plano todo.
B) uma circunferência.
C) uma reta.
D) um par de retas.
E) um par de semirretas.
04. A curva dada pelas equações 
x sent
y sent t
=
= − +


 1 2cos
, t real é
A) uma semicircunferência.
B) uma circunferência.
C) uma parábola.
D) um arco de parábola com 0 x 1.
E) um arco de parábola com –1 x 1.
05. Dadas as retas (r): 2x – 3y + α = 0 e (s): 3x + y – 2α = 0 em 
que α é uma variável real. Qual o lugar geométrico de todas 
as intersecções de r com s?
A) É uma reta que passa apenas pelos quadrantes pares.
B) E uma reta que passa pela origem e possui declive 
7
5
.
C) É uma reta que não passa pela origem e possui declive 
7
2
.
D) É uma reta que passa apenas pelos quadrantes ímpares.
E) É uma reta que passa pela origem e possui declive 
7
3
.
06. O conjunto dos pontos (x, y), tais que 2x2 – xy + x – y2 – y =0, 
tem como representação gráfi ca
A) duas retas paralelas.
B) duas retas concorrentes e não perpendiculares.
C) duas retas concorrentes e perpendiculares.
D) uma circunferência.
07. O lugar geométrico formado pelo ponto médio de um 
segmento AB , com comprimento fi xado, cujos extremos se 
deslocam livremente sobre os eixos coordenados, é:
A) um arco de circunferência.
B) uma circunferência.
C) uma parábola.
D) um arco de elipse.
E) uma elipse.
08. O lugar geométrico dos pontos em R2 equidistantes às retas 
de equações 4x + 3y – 2 = 0 e 12x – 16y + 5 = 0 é
A) 4x + 28y + 13 = 0
B) 8x – 7y – 13 = 0
C) 28x – 4y – 3 = 0
D) 56x2 + 388xy – 184x – 56y2 – 16y + 19 = 0
E) 112x2 + 768xy – 376x – 112y2 – 32y + 39 = 0
09. O lugar geométrico dos pontos equidistantes da reta y = 0 e 
da circunferência x2 + (y – 2)2 = 1 é:
A) uma reta.
B) uma semirreta.
C) uma circunferência.
D) um arco de circunferência.
E) uma parábola.
10. O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem 
t2 – t – 6 = 0, em que t = |x – y|, consiste em
A) uma reta.
B) duas retas.
C) quatro retas.
D) um segmento de reta.
E) dois segmentos de reta.
Fique de Olho
• O conjugado, z, do número complexo z = x + iy, com x
e y números reais, é defi nido por z = x – iy. Identifi cando 
o número complexo z = x + iy com o ponto (x, y) no
plano cartesiano, podemos afi rmar corretamente que o 
conjunto dos números complexos z que satisfazem a relação 
zz + z + z = 0 estão sobre
A) uma reta.
B) uma circunferência.
C) uma parábola.
D) uma elipse.
Solução:
z · z + z + z = 0
Substituindo, temos:
(Equação da circunferência)
x iy x iy x iy x iy
x iy x x x y x
x
+( ) −( ) + + + − = ⇒
⇒ − ( ) + + = ⇒⇒ + + = ⇒
⇒ +
0
0 2 0
2
2 2 2 2
2 xx y x y+ + = ⇒ +( ) + =1 1 1 12 2 2� �� ��
Elementos: 
Raio
Centro
=
= −( )




1
1 0,
Resposta: B
100
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática V
Anual – Volume 5
Aulas 25: 
Aprofundando e Revisando 
para o Enem (Parte I)
Exercícios de Fixação
01. (Enem) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma 
faixa retangular de papel transparente,na qual está desenhada 
em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. 
O raio da base do cilindro mede 
6
π
cm, e ao enrolar a faixa 
obtém-se uma linha em formato de hélice, como na fi gura.
30º
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é:
A) 36 3 B) 24 3
C) 4 3 D) 36
E) 72
02. O modelo predador-presa foi proposto de forma independente 
por Alfred J. Lotka, em 1925, e Vito Volterra, em 1926. 
Esse modelo descreve a interação entre duas espécies, sendo 
que uma delas dispõe de alimentos para sobreviver (presa) e 
a outra se alimenta da primeira (predador). Considere que o 
gráfi co representa uma interação predador-presa, relacionando 
a população do predador com a população da sua presa ao 
longo dos anos.
60
50
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40
Tempo (ano)
Po
pu
la
çã
o
50 60 70 80
Presa Predador
Disponível em: <www.eventosufrpe.com.br>. 
Acesso em: 22 mar. 2012. Adaptado.
C-1 H-1, 2, 3, 4
C-3 H-13, 14
C-2 H-8, 9
C-4 H-17
Aula
25
De acordo com o gráfi co, nos primeiros quarenta anos, quantas 
vezes a população do predador se igualou à da presa?
A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
E) 6
03. (Enem) Para criar um logotipo, um profi ssional da área de design 
gráfi co deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do 
plano na forma de um triângulo, exatamente como mostra a 
Imagem.
50−5−10−15
5
10
15
−5
−10
−15
10 15
x
y
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfi ca, 
será necessário escrever algebricamente o conjunlo que 
representa os pontos desse gráfi co.
Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x; y) ∈ × ,
tais que
A) 0 x y 10 B ) 0 y x 10
C) 0 x 10, 0 y 10 D) 0 x + y 10
E) 0 x + y 20
04. Um projeto de atividades extraclasse de uma escola reuniu as 
disciplinas Filosofi a, defi nindo o tema (Promoção da Felicidade), 
Português, estabelecendo o slogan (Seja mais feliz: sorria 
sempre) e Matemática. O símbolo da campanha, que foi 
defi nido através de um concurso junto ao alunado, previa sua 
construção com a utilização apenas de gráfi cos de funções e 
fi guras planas. A fi gura apresenta o símbolo vencedor, que foi 
concebido com três circunferências (uma representado o rosto 
e duas representando os olhos) e partes de duas parábolas 
defi nindo a boca, aberta em um longo sorriso.
5
2
–2
–4
–5
–5 –3 –2 20 3 5
101
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASMatemática V
Anual – Volume 5
As expressões matemáticas utilizadas para desenhar o rosto, o 
olho direito e o lábio superior, foram, respectivamente, 
A) x2 + y2 = 5; (x – 2)2 + (y + 2)2 = 1 e y = (4/9)x2 – 4.
B) x2 + y2 = 5; (x + 2)2 + (y – 2)2 = 1 e y = (4/9)x2 – 4.
C) x2 + y2 = 25; (x + 2)2 + (y – 2)2 = 1 e y = (4/9)x2 – 4.
D) x2 + y2 = 25; (x – 2)2 + (y + 2)2 = 1 e y = (2/9)x2 – 2.
E) x2 + y2 = 25; (x + 2)2 + (y – 2)2 = 1 e y = (2/9)x2 – 2.
05. Um engenheiro necessita fazer as medições de um terreno na 
forma triangular. Um dos lados mede 4 decâmetros, o outro,
5 decâmetros, conforme ilustrado na planta baixa da 
propriedade.
5 dam
4 dam
60o
?
c
B A
O perímetro do terreno em metros corresponde a:
A) 131 – 20 3 B) 500 3
C) 90 + 20 21 D) 100 21
E) 90 + 10 21
Exercícios Propostos
01. Davi, um surfi sta experiente e apaixonado por matemática, 
após vários dias observando o mar onde surfava, percebeu que 
a altura f(x) das ondas, em metros, variava segundo a função 
f x x( ) , , cos ,= + 



2 5 1 2
2
9
π
 em que x é a hora do dia, 0 x 24.
Com base nessa função, Davi concluiu corretamente que a 
altura máxima atingida pelas ondas era de k metros, e que 
essas ondas ocorriam de p em p horas.
Os respectivos valores de k e p são:
A) 1,3 e 12 B) 2,5 e 9
C) 3,7 e 12 D) 3,7 e 9
E) 3,7 e 6
02. (Fuvest)
y
x
Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfi co da 
função f(x) = sen(x) e que a linha contínua represente o gráfi co 
da função g(x) = αsen( x), segue que
A) 0 < α < 1e 0 < < 1.
B) α > 1 e 0 < < 1.
C) α = 1 e > 1.
D) 0 < α < 1 e > 1.
E) 0 < α < 1 e = 1.
03. (Enem) Um cientista, em seus estudos para modelar a 
pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo 
P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas 
e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere 
que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo 
entre duas sucessivas pressões máximas.
Ao analisar um caso específi co, o cientista obteve os dados:
Pressão mínima 78
Pressão máxima 120
Número de batimentos cardíacos por minuto 90
 A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso 
específi co foi
A) P(t) = 99 + 21cos(3 t)
B) P(t) = 78 + 42cos(3 t)
C) P(t) = 99 + 21cos(2 t)
D) P(t) = 99 + 21cos(t)
E) P(t) = 78 + 42cos(t)
04. (Enem) Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela 
os empregados fi cam expostos a riscos de acidentes. Essa região 
está representada pela porção de cor cinza (quadrilátero de 
área S) na fi gura.
S
y
9
3
0 4 8 x
Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização 
da área isolada, cartazes informativos serão afi xados por toda 
a fábrica. Para confeccioná-los, um programador utilizará um 
software que permite desenhar essa região a partir de um 
conjunto de desigualdades algébricas.
 As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, 
para o desenho da região de isolamento, são
A) 3y – x 0; 2y – x 0; y 8; x 9
B) 3y – x 0; 2y – x 0; y 9; x 8
C) 3y – x 0; 2y – x 0; y 9; x 8
D) 4y – 9x 0; 8y – 3x 0; y 8; x 9
E) 4y – 9x 0; 8y – 3x 0; y 9; x 8
102
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática V
Anual – Volume 5
05. Uma pista de corrida que tem seu início em I e término em F, 
tem a forma do gráfi co da função y sen x= ⋅



2 4
π
Sabendo-se que houve um acidente no ponto A e que o posto 
de atendimento médico se encontra no ponto B, desprezando-se 
a largura da pista, a medida do segmento AB é um número D 
que satisfaz:
y
I
P
Q
B
A
M F
x
2
–2
A) 1 < D < 2
B) 2 < D < 3
C) 3 < D < 4
D) 4 < D < 5
E) 5 < D < 6
06. Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, 
a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato 
no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30º, conforme mostra 
fi gura a seguir.
A B P
h
R
45º30º
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde 
vê a coruja, agora sob um ângulo de 45º com o chão e 
a uma distância BR de medida 6 2 metros. Com base 
nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e 
desprezando-se a espessura do poste, pode-se afi rmar então 
que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um 
número entre:
A) 3 e 4
B) 4 e 5
C) 5 e 6
D) 6 e 7
E) 7 e 8
07. Para a retirada de um tumor cutâneo, optou-se por uma 
cirurgia de ressecção em formato de triângulo. Suponha que 
a delimitação da ressecção se deu a partir do triângulo ABC 
representado na fi gura a seguir, o qual resulta da intersecção 
da circunferência de equação
: x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 com a reta s: x + 2y – 3 = 0
A
C
B
A medida da área deste triângulo é
A) 10 u.a. B) 15 u.a.
C) 18 u.a. D) 22 u.a.
E) 25 u.a.
08. (Uece) Uma pessoa, com 1,7 m de altura, está em um 
plano horizontal e caminha na direção perpendicular a um 
prédio cuja base está situada neste mesmo plano. Em certo 
instante, essa pessoa visualiza o ponto mais alto do prédio 
sob um ângulo de 30 graus. Ao caminhar mais 3 m, visualiza 
o ponto mais alto do prédio, agora sob um ângulo de
45 graus. Nestas condições, a medida da altura do prédio, 
em metro, é aproximadamente:
A) 5,6
B) 6,6
C) 7,6
D) 8,6
09. (Enem) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um 
lago formando um ângulo x com a superfície, conforme indica 
a fi gura.
Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade 
luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada 
aproximadamente por f(x) = k · sen(x) sendo k uma constante, 
e supondo-se que x está entre 0º e 90º.
x
Quando x = 30º, intensidade luminosa se reduz a qual 
percentual de seu valor máximo?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
103
MATEMÁTICA E SUASTECNOLOGIASMatemática V
Anual – Volume 5
10. (Unicamp) Considere que o quadrado ABCD, representado 
na fi gura a seguir, tem lados de comprimento de 1 cm, e que 
C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a 
distância entre os pontos D e E será igual a:
D
A B
C
E
A) 3 cm
B) 2 cm
C) 5 cm
D) 6 cm
Bibliografi a
DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Conceito e Aplicações. 
São Paulo: Ática, 2000.
FAIRES, J. Douglas. First Steps for Math Olympians – The 
Mathematical Association of America, 2006.
IEZZI, G. et. al. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: 
Atual, 1993.
KINDLE, Joseph H. Geometria Analítica – Coleção Shaum – Ao livro 
técnico S. A. Rio de Janeiro, 1965.
LIMA, E. L. et. al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: 
Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1998.
LIMA, Elon Lages et. al. A Matemática do Ensino Médio. Coleção 
do professor de Matemática. Rio de Janeiro: 1998.
LITVINENKO, V.; MORDKOVICH, A. Solving Problems in Algebra and 
Trigonometry. Moscou: Mir, 1987.
MACHADO, Antônio dos Santos. Temas e Metas. São Paulo: Atual, 1986.
NETO, Aref Antar – Noções de Matemática. 1ª Ed. São Paulo: 
Moderna, 1979.
Questões do Enem, Fuvest, Unicamp, Escolas Militares, entre outros.
Anotações
104
MateMática e suas tecnoloGias Matemática V
Anual – Volume 5
Anotações
1
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume V
Aula 21: 
Circunferência II
• Objetivo(s):
– Identificar e reconhecer todos os casos de posição relativa entre circunferências, juntamente com retas e pontos.
• Metodologia:
– Exemplificar com circunferências externas, secantes e tangentes.
– Proceder de forma análoga para circunferências e retas para resolução imediata dos exercícios de fixação.
Exercícios de Fixação
01. Supondo (a, b) as coordenadas do centro C, tem-se que as distâncias dos pontos dados ao centro do prato são iguais, assim:
d d a b a b a b aC O C A, , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (= ⇒ − + − = − − + − ⇒ − + − = − −0 0 4 2 0 0 42 2 2 2 2 2 )) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ,
2 2
2 2 2 2 2
2
0 0 6 4 0 0
+ −
= ⇒ − + − = − + − ⇒ − + −
b
d d a b a b aC O C B bb a b) ( ) ( )
2 2 26 4= − + −
Desenvolvendo e simplifi cando, encontramos:
4 2 10
3 2 13
3
7
41
7
3
7
41
7
a b
a b
a
b
C
− = −
+ ={ ⇒ =
=





⇒ 



, .
Resposta: B
02. De acordo com a fi gura, tem-se:
10
C
80
–80
70
y(cm)
x(cm)
C(–80, 70), R = 70, logo:
(x – (– 80))2 + (y – 70)2 = 702
(x + 80)2 + (y – 70)2 = 702
x2 + 160x + 6400 + y2 – 140y + 4900 = 4900
x2 + y2 + 160 x – 140y + 6400 = 0
Resposta: E
03. Considere:
1) Ponto A(0, 1), representa a posição da qual ambos os atletas partem juntos.
2) Segmento AP, representa a trajetória retilínea percorrida pelo rapaz.
3) A circunferência de centro C(5, 6), representa a trajetória circular descrita pelo rapaz.
4) Segmento AQ, representa a trajetória retilínea percorrida pela moça.
C-5 H-19, 20
21, 22, 23Aula
21
2
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume 5
moça
y
7
6
5
4
3
2
1
1-1
-1
2 3 4 5 6 7
x
rapaz
Q
C
Assim:
CP CQ raio
dCA
= =
= − + − =
5
6 1 5 0 502 2
( )
( ) ( )
Pitágoras no triângulo ACQ:
( ) ( ) ( )50 5 3 52 2 2= + → =AQ AQ
Resposta: C
04. Temos:
I. Equação M: x2 + y2 – 6x – 10y + 18 = 0 (geral)
x x y y
x y reduzida
2 2
2 2 2
6 9 10 25 16
3 5 4
− + + − + =
− + − =
� �� �� � ��� ���
( ) ( ) ( )
CCentro e raio r= = =( , )3 5 4 1
II. Equação P: x2 + y2 – 12x – 8y + 36 = 0 (geral)
x x y y
x y reduzi
2 2
2 2 2
12 36 8 36 16
6 4 4
− + + − + =
− + − =
� ��� ��� � ��� ���
( ) ( ) ( dda
Centro e raio r
)
( , )= = =6 4 4 2
III. Distância entre os centros:
( ) ( ) .6 3 4 5 102 2− + − = = d
Como r r d r r1 2 1 2− < < + , então as circunferências são secantes, isto é, possuem dois pontos comuns.
Resposta: D
05. De acordo com o enunciado, tem-se:
Praça 1: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1 ⇒ C
1
(1, 2); R
1
 = 1
Praça 2: (x + 2)2 + (y – 1)2 = 1 ⇒ C
2
(–2, 1); R
2
 = 1
d = +( ) + −( ) =1 2 2 1 102 2
íd R R Kmm n = − − = −( )10 10 21 2
Resposta: E
3
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume V
Aula 22: 
Inequações e Limitações de Áreas
• Objetivo(s):
– Identificar, interpretar e aplicar as inequações tanto do ponto de vista da geometria analítica como das funções.
Representar grafi camente uma inequação, fazendo inclusive, em alguns casos, o cálculo de áreas.
• Metodologia:
– Representar grafi camente as inequações, associando-as ao estudo dos sinais de uma função do primeiro grau. Como procedimento 
análogo, exemplifi car com interseção de retas, retas e parábolas etc., no intuito de realizar o cálculo de áreas.
Exercícios de Fixação
01. Resolvendo-se o sistema 
y x
y x
≥
≤ −{
Tem-se: 
y x y x y x y x≥ → − ≥ ≤ − → + ≤0 0
y=x
x1
2
0
(1,2)
y y=-x
x
-1
-1
0
(-1,-1)
y
Para x = 1, temos y = 2 Para x = –1, temos y = –1
Logo: Logo:
2 – 1 0 (Ok!) –1 – 1 0 (Ok!)
Assim:
y x
y x
≥
≤ −{
 
y
x0
3
João escolheu a área 3.
Resposta: C
02. Tem-se:
•
•
•
•
y x y x
y x
y x
x
y
3 3
1
3 3
1 3
1
0
0
+ ≤ → + ≤ → ≤ −
≥ −
≥
≥







C-2 H-6, 7
C-5 H-19, 20
H-8, 9
21, 22, 23
Aula
22
4
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume 5
Assim, define-se a área sombreada no plano cartesiano:
3
1
0
1 3 x
y
Calculando-se tal área:
A A A m A ha=
⋅
−
⋅
⇒ = ⇒ = ⇒ =
300 300
2
100 100
2
80000
2
40000 42
Resposta: D
03. Observando-se a posição da moeda no plano cartesiano, tem-se:
C(–55, –30) e R = 20, assim:
(x –(–55))2 + (y – (– 30))2 202
(x + 55)2 + (y + 30)2 400
x2 + 110x + 3025 + y2 + 60y + 900 400
x2 + y2 + 110x + 60y + 3525 0
Resposta: C
04. Observe a opção A:
B(-2,1)
C(0,3)
A(4,4)
1-1 0
1
2
4
5
y
r
t
-2-3-4-5 2 3 4 5
x
Verifica-se que os pontos A(4, 4) e B(–2, 1) são os pontos de intersecção entre a parábola e a reta r. Conferindo:
y
x
A ok
y
x
A ok
y
x
B
= =
= + = +
= − = −( )
2 2
2
4
4 4 4
4
4
2
2 4 4 4
4
2
2
4
2 1 1 2
( , ) !
( , ) !
( , )
22
4
2
2 2 1 1
2
2
2
ok
y
x
B ok
!
( , ) != + − = − +
5
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume V
Escolhendo-se um ponto aleatório (por exemplo C(0, 3)) não pertencente à parábola e nem as retas r e t, tem-se:
y
x
C ok
y
x
C ok
y C
≥ ≥ → ≥
≥ + ≥ + → ≥
≤
2 2
4
0 3 3
0
4
3 0
2
2 0 3 3
0
2
2 3 2
5 0 3 3
( , ) !
( , ) !
( , ) ≤≤ 5 ok!
Desse modo, conclui-se que a região sombreada corresponde à solução do sistema de inequações apresentado.
Resposta: A
05. Para termos 
x y
x y
− +
+ −
≥
2
2
0 é necessário:
1
2 0
2 0
2
2 0
2 0
º ) º )
x y
e
x y
ou
x y
e
x y
− + ≥
+ − >




− + ≤
+ − <




Assim, considerando
(r): x – y + 2 = 0 e (s): x + y – 2 = 0
Tem-se:
-2
2
0
y y
z
s
z
r_
x x
_
_
_
+
+
+
+
Logo:
y
x–2 2
2
Resposta: B
6
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume 5
Aula 23: 
Problemas Relacionados à Circunferência, Retas e Inequações
• Objetivo(s):
– Resolver situações-problema que envolvam circunferências, retas e inequações.
• Metodologia:
– Enaltecer em sala de aula a importância do conhecimento de retas, circunferências e inequações nas resoluções de 
situações-problema em que existe a mesclagem dos assuntos.
Exercícios de Fixação
01. 
0 3
4 12
3
2 4
0 3
4 12
3
2 4
≤ ≤
− + ≤ ≤ +




⇒
≤ ≤
≥ − +
≤ +





x
x
y x
x
y
x
y x
 E, após representar o conjunto solução do sistema de inequações por ele elaborado em um plano cartesiano, o matemático deparou-
se com o seguinte desenho:
x = 3
–2
3
P(3,10)
Q 4
y = 2x + 4
y = ________
y
A
R x
1010
33
–4x + 12
3
Desse modo, calculando-se a área da vela futurista, tem-se: A ua=
⋅ =3 10
2
15 . .
Resposta: E
02. Área correspondente a x + y 1: Área correspondente a x2 + y2 4
x + y 1 ⇒ y –x + 1
0
1
y = -x + 11 x
-2
-2
2
2
yy
x
x2 + y = 4
A intersecção das duas regiões:
C-5 H-19, 20
21, 22, 23Aula
23
7
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume V
2 x
-2
-2
2
y
10
1
Portanto, a solução do sistema 
x y
x y
+ ≥
+ ≤



1
42 2
 corresponde a:
2 x
2
y
10
1
Resposta: E
03. Observe o gráfico onde estão representadas a reta s, de equação x + y = 5, e a circunferência , de equação (x – 5)2 + (y – 3)2 = 9.
1010
ss
88
66
44
22
–4–4 –2–2 00 22 44 66 88 1010 1212 1414
–2–2
–4–4
λ
Calculando a distância entre s e o centro de :
Circunferência ⇒ Centro = C(5, 3)
reta ⇒ x + y – 5 = 0
d d dr B r B r B, , ,, , ,=
⋅ + ⋅ −
+
= ⋅ = ⋅ ≈ ⇒ ≈ ⋅ ⇒ ≈1 5 1 3 5
1 1
3
2
2
2
3 2
2
2 12 2 12 10 21 2
2 2
KKm
Resposta: E
8
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume 5
04. Seja o sistema com a equações da parábola e da circunferência:
y
x
x y
=
− + − =





2
2 2
4
2 2 8( ) ( )
Resolvendo:
( ) ( ) , .x y x x y y mas y
x
− + − = ⇒ − + − = =2 2 8 4 4 0
4
2 2 2 2
2
Assim, substituindo obtém-se:
x x x x
x y
ou
x y
4 364 0 64 0
0 0
4 4
− = ⇒ ⋅ − = ⇒
= ⇒ =
= ⇒ =




( )
Logo, o ponto P será P(4, 4).
Coeficiente angular da reta PC mPC
� ��
: =
−
−
= =
4 2
4 2
2
2
1
Mas a reta s é perpendicular à que contém o segmento PC, assim: m
s
 = –1.
Portanto, temos para equação da reta s:
y x y x− = − ⋅ − ⇒ = − +4 1 4 8( )
Resposta: B
05. Ilustração da roda dianteira no plano cartesiano:
C (33,33)
y
0
66 cm
�
�
�
�
�
R = 33
(x – 33)2 + (y – 33)2 = 332
x2 – 66x + 1089 + y2 – 66y + 1089 = 1089 
x2 + y2 – 66x – 66y = – 1089
Resposta: C
9
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume V
Aulas ?? a ??: 
Lugar Geométrico
• Objetivo(s):
– Fazer com que o aluno identifi que o lugar geométrico representado pelo conjunto de infi nitos pontos que possuem uma 
determinada propriedade.
– Obter a equação de um lugar geométrico qualquer a partir de uma determinada propriedade.
– Reconhecer um lugar geométrico através de sua equação, explicitando sempre a propriedade que o defi ne.
• Metodologia:
Apresentar as equações dos principais lugares geométricos (reta, circunferência, elipse, hipérbole e parábola) e diferenciá-las através 
do seu formato, para seu devido reconhecimento.
 Apresentar um exemplo dos principais lugares geométricos, enaltecendo suas propriedades.
Exercícios de Fixação
01. Para que a abscissa (x) seja Igual á ordenada (y), deve-se ter y = x, que representa a lei da Função Identidade (ver gráfi co).
x
y
0
y = x
Resposta: B
02. Observe a fi gura:
A B
0
Nota-se que o centro da roda corresponde ao lugar geométrico que corresponde a uma semirreta de comprimento AB paralela à 
superfície da rua e que passa pelo centro da roda. 
Resposta: C
03. Sejam A(0,0) e B(30,0) os respectivos focos de incêndios. Sendo P(x, y) a posição de um bombeiro, devemos ter:
PA PB
x y x y
x y x x
= × ⇒
−( ) + −( ) = ⋅ −( ) + −( ) ⇒
⇒ + = ⋅ − +
2
0 0 2 30 0
4 60 900
2 2 2 2
2 2 2 ++  ⇒ + − + = ⇒
⇒ + − + = ⇒ −( ) + =
y x y x
x y x x y
2 2 2
2 2 2 2
3 3 240 3600 0
80 1200 0 40 4400
Logo, um bombeiro deve fi car sobre a circunferência de centro C(40, 0) e raio R = =400 20. Portanto, dois bombeiros estarão à 
maior distância possível um do outro quando estiverem diametralmente opostos. Daí, a maior distância é 2R = 40 metros.
Resposta: B
C-2 H-8, 9
C-4 H-17
C-3 H-14Aula
24
10
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume 5
04. y = x2 – tx + 2 t varia nos reais.
x
b
a
t x
t
t x
y
a
t y
t
t
t
= − = − −( )
⋅
⇒ = ⇒ =
= − = − −( ) − ⋅ ⋅
⋅
⇒ = − −
2 2 1 2
2
4
4 1 2
4 1
8
4
2 2∆
 
1
2
Substituindo 1 em 2 :
y x y
x
y x y x
= − ( ) − → = − −
= − −( ) ⇒ = − +
2 8
4
4 8
4
4 2
4
2
2 2
2
2 Par bolaá
A figura formada está esboçada a seguir.
y = – x2+2
0
y
x
2
Resposta: B
05. De acordo com as propriedades sobre módulo, podemos escrever:
a) |x + 2| 1 ⇔ –1 x + 2 1 ⇔ –3 x –1
b) |y – 3| 1 ⇔ –1 y – 3 1 ⇔ 2 y 4
 Assim, observando-se os intervalos aos quais devem estar inseridos os valores de x e y, tem-se que a única alternativa correta 
corresponde à opção A.
Resposta: A
11
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume V
Aulas ?? a ??: 
Aprofundando e Revisando para o Enem (Parte I)
• Objetivo(s):
Desenvolver e aprimorar os conhecimentos adquiridos através de exercícios diversos.
• Metodologia:
 Na resolução de cada exercício, destacar habilidade, competência e objeto do conhecimento para familiarização interpretativa e 
otimização de resolução.
Exercícios de Fixação
01. 
30°
A B
C C
A B
De acordo com a figura, observa-se que a diagonal AC dá 6 voltas em torno do cilindro, e isso corresponde ao fato de que o 
segmento AB tem comprimento igual a 6 vezes o perímetro do círculo da base do cilindro, cujo raio é 
6
π
. Assim:
AB r= ⋅ = ⋅ =6 2 12
6
72π π
π
.
Portanto, temos a ilustração a seguir:
30°
72
h
tg
h
h cm30
72
3
3
24 3° = = ⇒ =
Resposta: B
02. Devem ser observados os pontos de intersecção entre os gráficos apenas nos quarenta primeiros anos. Eles representam os momentos 
em que as populações são iguais. Desse modo, houve 4 pontos de interseção.
Resposta: C
C-1 H-1,2,3,4
C-3 H-13,14
C-2 H-8,9
C-4 H-17
Aula
25
12
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume 5
03. Verificando o gráfico:
50-5-10-15
5
10
15
-5
-10
-15
10 15
x
y
Percebemos que os valores de x são iguais aos valores de y, logo x = y; onde o valor máximo e mínimo para x e y são 10 e zero, 
respectivamente. Logo, temos que: 0 10≤ ≤ ≤y x
Resposta: B
04. 
Rosto ⇒ Circunferência de raio 5 e centro na origem. Assim:
 (x – 0)2 + (y – 0)2 = 52 ⇒ x2 + y2 = 25
Olho direito ⇒ Circunferência de raio 1 e centro no ponto (– 2, 2). Logo:
 (x + 2)2 + (y – 2)2 = 12 ⇒ (x + 2)2 + (y – 2)2 = 1
Lábio superior ⇒ Parábola com raízes (3, 0) e (–3, 0) e vértice (0, – 2). Portanto:
 y – y
v
 = a(x – x
v
)2 ⇒ y + 2 = a(x – 0)2
 
(3, 0)
 0 + 2 = a(3)2 ⇒ a =
2
9
 Assim: y x y x+ = → = −2
2
9
2
9
22 2
Resposta: E
05. 
60°
40 m
x50 m
 
L s
x
. :
x cos
cosseno
2 2 2
2
50 40 2 50 40 60
2500 1600 2 50 40
1
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
22
4100 2000
2100
10 21
2
2




= −
=
=
x
x
x
Assim, tem-se:
2 50 40
2 10 21 90
p x
p
= + +
= +
Resposta: E
13
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS – MATEMÁTICA V
Anual – Volume V
RCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Aula 21: Circunferência II
01 02 03 04 05
B E C D E
Aula 22: Inequações e Limitações de Áreas
01 02 03 04 05
C D C A B
Aula 23: Problemas Relacionados à Circunferência, 
Retas e Inequações
01 02 03 04 05
E E E B C
Aula 24: Lugar Geométrico
01 02 03 04 05
B C B B A
Aula 25: Aprofundando e Revisando para o Enem (Parte I)
01 02 03 04 05
B C B E E
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Aula 21: Circunferência II
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D C D A A C D D C A
Aula 22: Inequações e Limitações de Áreas
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D A A D B D A B A A
Aula 23: Problemas Relacionados à Circunferência, 
Retas e Inequações
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
A E D A D A D A C D
Aula 24: Lugar Geométrico
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
B E D E B B B E E B
Aula 25: Aprofundando e Revisando para o Enem (Parte I)
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D A A E E B A A B C
Gabaritos
14
Manual do Professor
MateMática e suas tecnologias – MateMática V
Anual – Volume 5
Anotações
 
 
Para quem quer aprender com quem já sabe
A coleção Pré-Universitário é resultado da parceria que uniu talen-
tos da Organização Educacional Farias Brito e da Editora Moderna.
São livros que levam a todo o país uma proposta consistente e 
inovadora no segmento do Pré-Universitário, baseada no compro-
misso com a educação de qualidade.
As atividades, elaboradas por experientes educadores, estimulam oestudante a conhecer o mundo e a experimentá-lo nas quatro áreas 
do conhecimento, identificando e entendendo as habilidades e com-
petências das Linguagens, da Matemática, das Ciências Humanas e 
da Natureza e suas respectivas Tecnologias, por meio da resolução 
de diversas situações-problema.
Nada melhor do que se preparar para o Enem e os vestibulares com 
o suporte dos professores do Farias Brito, a organização que lidera 
os índices de aprovação nos exames mais difíceis do país, como ITA, 
IME, Olimpíadas e Enem.
A coleção Pré-Universitário representa bem o que faz do Farias 
Brito e da Editora Moderna referências nacionais na educação bra-
sileira – parceiros que sabem o que é necessário para sua aprovação, 
além da determinação.
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