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Prof. MSc. Brasílio Brito
UNIDADE III
Dinâmica dos Sistemas
 O princípio básico dos sistemas de balanceamento é medir os esforços nos mancais e a 
partir dessas informações determinar as massas corretoras e suas coordenadas. No arranjo 
ilustrado, os planos corretores estão indicados e alojarão as massas corretoras.
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 A figura ilustra rotor de um motor elétrico, com massa de 38 kg, que gira em torno de eixo 
fixo apoiado nos mancais A e B, com frequência de rotação . O sistema de eixos 
(x, y, z) está ligado ao rotor. O rotor se encontra sob o efeito das reações dos mancais A e B: 
. Na correção do desbalanceamento, serão utilizadas as massas 
m1 e m2 alojadas nos planos de correção indicados, a distância R = 0,22 m do eixo 
geométrico de rotação, descrevendo trajetórias de raios R. Determinar as massas corretoras 
e suas coordenadas.
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 A figura ilustra rotor de um motor elétrico, com massa de 38 kg, que gira em torno de eixo 
fixo apoiado nos mancais A e B, com frequência de rotação . O sistema de eixos 
(x, y, z) está ligado ao rotor. O rotor se encontra sob o efeito das reações dos mancais A e B: 
. Na correção do desbalanceamento, serão utilizadas as massas 
m1 e m2 alojadas nos planos de correção indicados, a distância R = 0,22 m do eixo 
geométrico de rotação, descrevendo trajetórias de raios R. Determinar as massas corretoras 
e suas coordenadas.
As massas corretoras:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 A figura ilustra rotor de um motor elétrico, com massa de 38 kg, que gira em torno de eixo 
fixo apoiado nos mancais A e B, com frequência de rotação . O sistema de eixos 
(x, y, z) está ligado ao rotor. O rotor se encontra sob o efeito das reações dos mancais A e B: 
. Na correção do desbalanceamento, serão utilizadas as massas 
m1 e m2 alojadas nos planos de correção indicados, a distância R = 0,22 m do eixo 
geométrico de rotação, descrevendo trajetórias de raios R. Determinar as massas corretoras 
e suas coordenadas.
As massas corretoras:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 A figura ilustra rotor de um motor elétrico, com massa de 38 kg, que gira em torno de eixo 
fixo apoiado nos mancais A e B, com frequência de rotação . O sistema de eixos 
(x, y, z) está ligado ao rotor. O rotor se encontra sob o efeito das reações dos mancais A e B: 
. Na correção do desbalanceamento, serão utilizadas as massas 
m1 e m2 alojadas nos planos de correção indicados, a distância R = 0,22 m do eixo 
geométrico de rotação, descrevendo trajetórias de raios R. Determinar as massas corretoras 
e suas coordenadas.
As massas corretoras:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 A figura ilustra rotor de um motor elétrico, com massa de 38 kg, que gira em torno de eixo 
fixo apoiado nos mancais A e B, com frequência de rotação . O sistema de eixos 
(x, y, z) está ligado ao rotor. O rotor se encontra sob o efeito das reações dos mancais A e B: 
. Na correção do desbalanceamento, serão utilizadas as massas 
m1 e m2 alojadas nos planos de correção indicados, a distância R = 0,22 m do eixo 
geométrico de rotação, descrevendo trajetórias de raios R. Determinar as massas corretoras 
e suas coordenadas.
As massas corretoras:
O raio das trajetórias (R = 0,22):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 A figura ilustra rotor de um motor elétrico, com massa de 38 kg, que gira em torno de eixo 
fixo apoiado nos mancais A e B, com frequência de rotação . O sistema de eixos 
(x, y, z) está ligado ao rotor. O rotor se encontra sob o efeito das reações dos mancais A e B: 
. Na correção do desbalanceamento, serão utilizadas as massas 
m1 e m2 alojadas nos planos de correção indicados, a distância R = 0,22 m do eixo 
geométrico de rotação, descrevendo trajetórias de raios R. Determinar as massas corretoras 
e suas coordenadas.
As massas corretoras:
O raio das trajetórias (R = 0,22):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 A figura ilustra rotor de um motor elétrico, com massa de 38 kg, que gira em torno de eixo 
fixo apoiado nos mancais A e B, com frequência de rotação . O sistema de eixos 
(x, y, z) está ligado ao rotor. O rotor se encontra sob o efeito das reações dos mancais A e B: 
. Na correção do desbalanceamento, serão utilizadas as massas 
m1 e m2 alojadas nos planos de correção indicados, a distância R = 0,22 m do eixo 
geométrico de rotação, descrevendo trajetórias de raios R. Determinar as massas corretoras 
e suas coordenadas.
As massas corretoras:
O raio das trajetórias (R = 0,22):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
A velocidade angular do rotor:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
A velocidade angular do rotor:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
A velocidade angular do rotor:
r: rotação =
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
A velocidade angular do rotor:
p: por ou divisão
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
A velocidade angular do rotor:
m: minuto = 60s
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
A velocidade angular do rotor:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
A velocidade angular do rotor:
 Confirmando ... pela regra da mão direita, a velocidade angular do rotor tem a direção e o 
sentido do eixo de rotação (z).
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
O TMA:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
O TMA: ... O momento resultante:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
O TMA: ... O momento resultante:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
O TMA: ... O momento resultante:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
O TMA: ... O momento resultante:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
O TMA: ... O momento resultante:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Equacionando o Sistema Não Balanceado (SNB):
O TCM:
O TMA: ... O momento resultante:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
O momento Angular do Sistema Não Balanceado (SNB):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
O momento Angular do Sistema Não Balanceado (SNB):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
O momento Angular do Sistema Não Balanceado (SNB):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
O momento Angular do Sistema Não Balanceado (SNB):
derivando o Momento Angular:
Balanceamentode sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
O momento Angular do Sistema Não Balanceado (SNB):
derivando o Momento Angular:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
O momento Angular do Sistema Não Balanceado (SNB):
derivando o Momento Angular:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Impondo o TMA ao Sistema Não Balanceado (SNB):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Impondo o TMA ao Sistema Não Balanceado (SNB):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Impondo o TMA ao Sistema Não Balanceado (SNB):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Impondo o TMA ao Sistema Não Balanceado (SNB):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Impondo o TMA ao Sistema Não Balanceado (SNB):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Compilando os dados:
Impondo o TMA ao Sistema Não Balanceado (SNB):
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
 Condições do balanceamento:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
 Condições do balanceamento:
Condição 01: O CM-Centro de Massa do sistema balanceado deve pertencer ao eixo 
(geométrico) de rotação, ou seja, o eixo “z”. As massas envolvidas: do sistema desbalanceado 
(m = 38 kg) e as massas corretoras (m1 e m2). O “novo” centro de massa do sistema 
balanceado (SB) deve pertencer ao eixo “z”. Da definição de CM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
 Condições do balanceamento:
Condição 01: O CM-Centro de Massa do sistema balanceado deve pertencer ao eixo 
(geométrico) de rotação, ou seja, o eixo “z”. As massas envolvidas: do sistema desbalanceado 
(m = 38 kg) e as massas corretoras (m1 e m2). O “novo” centro de massa do sistema 
balanceado (SB) deve pertencer ao eixo “z”. Da definição de CM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
 Condições do balanceamento:
Condição 01: O CM-Centro de Massa do sistema balanceado deve pertencer ao eixo 
(geométrico) de rotação, ou seja, o eixo “z”. As massas envolvidas: do sistema desbalanceado 
(m = 38 kg) e as massas corretoras (m1 e m2). O “novo” centro de massa do sistema 
balanceado (SB) deve pertencer ao eixo “z”. Da definição de CM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
 Condições do balanceamento:
Condição 01: O CM-Centro de Massa do sistema balanceado deve pertencer ao eixo 
(geométrico) de rotação, ou seja, o eixo “z”. As massas envolvidas: do sistema desbalanceado 
(m = 38 kg) e as massas corretoras (m1 e m2). O “novo” centro de massa do sistema 
balanceado (SB) deve pertencer ao eixo “z”. Da definição de CM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
 Condições do balanceamento:
Condição 01: O CM-Centro de Massa do sistema balanceado deve pertencer ao eixo 
(geométrico) de rotação, ou seja, o eixo “z”. As massas envolvidas: do sistema desbalanceado 
(m = 38 kg) e as massas corretoras (m1 e m2). O “novo” centro de massa do sistema 
balanceado (SB) deve pertencer ao eixo “z”. Da definição de CM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
 Condições do balanceamento:
Condição 01: O CM-Centro de Massa do sistema balanceado deve pertencer ao eixo 
(geométrico) de rotação, ou seja, o eixo “z”. As massas envolvidas: do sistema desbalanceado 
(m = 38 kg) e as massas corretoras (m1 e m2). O “novo” centro de massa do sistema 
balanceado (SB) deve pertencer ao eixo “z”. Da definição de CM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
 Condições do balanceamento:
Condição 01: O CM-Centro de Massa do sistema balanceado deve pertencer ao eixo 
(geométrico) de rotação, ou seja, o eixo “z”. As massas envolvidas: do sistema desbalanceado 
(m = 38 kg) e as massas corretoras (m1 e m2). O “novo” centro de massa do sistema 
balanceado (SB) deve pertencer ao eixo “z”. Da definição de CM:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
Condição 02: Os produtos de inércia do sistema balanceado (SB), que envolvem o eixo de 
rotação (z), devem ser nulos. A soma dos produtos de inércia de m1 e m2 com os produtos de 
inércia do sistema não balanceado deverá ser NULA. Produtos de inércia:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
Condição 02: Os produtos de inércia do sistema balanceado (SB), que envolvem o eixo de 
rotação (z), devem ser nulos. A soma dos produtos de inércia de m1 e m2 com os produtos de 
inércia do sistema não balanceado deverá ser NULA. Produtos de inércia:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
Condição 02: Os produtos de inércia do sistema balanceado (SB), que envolvem o eixo de 
rotação (z), devem ser nulos. A soma dos produtos de inércia de m1 e m2 com os produtos de 
inércia do sistema não balanceado deverá ser NULA. Produtos de inércia:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
Condição 02: Os produtos de inércia do sistema balanceado (SB), que envolvem o eixo de 
rotação (z), devem ser nulos. A soma dos produtos de inércia de m1 e m2 com os produtos de 
inércia do sistema não balanceado deverá ser NULA. Produtos de inércia:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
Condição 02: Os produtos de inércia do sistema balanceado (SB), que envolvem o eixo de 
rotação (z), devem ser nulos. A soma dos produtos de inércia de m1 e m2 com os produtos de 
inércia do sistema não balanceado deverá ser NULA. Produtos de inércia:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
Condição 02: Os produtos de inércia do sistema balanceado (SB), que envolvem o eixo de 
rotação (z), devem ser nulos. A soma dos produtos de inércia de m1 e m2 com os produtos de 
inércia do sistema não balanceado deverá ser NULA. Produtos de inércia:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 Compilando os dados:
Condição 02: Os produtos de inércia do sistema balanceado (SB), que envolvem o eixo de 
rotação (z), devem ser nulos. A soma dos produtos de inércia de m1 e m2 com os produtos de 
inércia do sistema não balanceado deverá ser NULA. Produtos de inércia:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 ****** note-se que o problema está resolvido: são 6 incógnitas e 6 equações ....
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Um misturador rotativo tem eixo horizontal mantido por dois mancais fixos A e B e o sistema de 
eixos (x, y, z) é ligado a ele. Duas massas puntiformes m1 = m2 = 0,2 kg são presas ao eixo por 
duas hastes verticais. O conjunto gira com frequência f = 3000 rpm. O produto de inércia Ixy, 
expresso em kg.m2, é, aproximadamente:
a) 0,25.
b) 0,50.
c) -0,05.
d) 0,05.
e) 0,02.
Interatividade
Um misturador rotativo tem eixo horizontal mantido por dois mancais fixos A e B e o sistema de 
eixos (x, y, z) é ligado a ele. Duas massas puntiformes m1 = m2 = 0,2 kg são presas ao eixo por 
duas hastes verticais. O conjunto gira com frequência f = 3000 rpm. O produto de inércia Ixy, 
expresso em kg.m2, é, aproximadamente:
a) 0,25.
b) 0,50.
c) -0,05.
d) 0,05.
e) 0,02.
Resposta
Um misturador rotativo tem eixo horizontal mantido por dois mancais fixos A e B e o sistema de 
eixos (x, y, z) é ligado a ele. Duas massas puntiformes m1 = m2 = 0,2 kg são presas ao eixo por 
duas hastes verticais. O conjunto gira com frequência f = 3000 rpm. O produto de inércia Ixy, 
expresso em kg.m2, é, aproximadamente:
a) 0,25.
b) 0,50.
c) -0,05.
d) 0,05.
e) 0,02.
Resposta
 As equações:
 ****** retomando as 6 equações com 6 incógnitas ....
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo[3] em [6]:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; 
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ;
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
 Substituindo y2 em [2]:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
 Substituindo y2 em [2]:
 Adotando e
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
 Substituindo y2 em [2]:
 Adotando e 
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
 Substituindo y2 em [2]:
 Adotando e , substituindo em [3]:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
 Substituindo y2 em [2]:
 Adotando e , substituindo em [3]:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
 Substituindo y2 em [2]:
 Adotando e , substituindo em [3]: => 
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
 Substituindo y2 em [2]:
 Adotando e , substituindo em [3]: => 
 Substituindo x2 e x1 em [6]:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
 Substituindo y2 em [2]:
 Adotando e , substituindo em [3]: => 
 Substituindo x2 e x1 em [6]: ; :
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
 Substituindo y2 em [2]:
 Adotando e , substituindo em [3]: => 
 Substituindo x2 e x1 em [6]: ; : 
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
 As equações:
 Substituindo [3] em [6]:
 Substituindo [4] em [5]: : ; em [4]: ; em [1]:
 Substituindo y2 em [2]:
 Adotando e , substituindo em [3]: => 
 Substituindo x2 e x1 em [6]: ; : 
As respostas:
massa m1:
massa m2:
Balanceamento de sólidos – reações dos mancais
Um misturador rotativo tem eixo horizontal mantido por dois mancais fixos A e B e o sistema de 
eixos (x, y, z) é ligado a ele. Duas massas puntiformes m1 = m2 = 0,2 kg são presas ao eixo por 
duas hastes verticais. O conjunto gira com frequência f = 3000 rpm. A velocidade angular , 
expressa em rad/s, é, aproximadamente:
a) 3000.
b) 60.
c) 25.
d) 2800.
e) 314,2.
Interatividade
Um misturador rotativo tem eixo horizontal mantido por dois mancais fixos A e B e o sistema de 
eixos (x, y, z) é ligado a ele. Duas massas puntiformes m1 = m2 = 0,2 kg são presas ao eixo por 
duas hastes verticais. O conjunto gira com frequência f = 3000 rpm. A velocidade angular , 
expressa em rad/s, é, aproximadamente:
a) 3000.
b) 60.
c) 25.
d) 2800.
e) 314,2.
Resposta
Um misturador rotativo tem eixo horizontal mantido por dois mancais fixos A e B e o sistema de 
eixos (x, y, z) é ligado a ele. Duas massas puntiformes m1 = m2 = 0,2 kg são presas ao eixo por 
duas hastes verticais. O conjunto gira com frequência f = 3000 rpm. A velocidade angular , 
expressa em rad/s, é, aproximadamente:
a) 3000.
b) 60.
c) 25.
d) 2800.
e) 314,2.
Resposta
 Todas as figuras utilizadas assim como os esquemas gráficos são de autoria do autor, Prof. 
MSc. Brasílio Camargo de Brito Filho.
 BEER, F. P. Mecânica vetorial para engenheiros. 1962.
 NORTON, Robert L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. AMGH Editora, 2010.
 SANTOS, Ilmar Ferreira. Dinâmica de sistemas mecânicos. Makron Books, 2001.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!