Física Básica - Impulso e quantidade de movimento

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t (s)
F (N)
A
 2
A
 3A
 1
Suplemento de reviSão • FÍSiCASuplemento de reviSão • FÍSiCA
6
TEMA
Impulso e quantidade de movimento
O impulso e a quantidade de movimento são duas grandezas vetoriais relacionadas pelo teorema 
do impulso. Essas grandezas são importantes para a análise das colisões entre corpos. Para 
sistemas de corpos isolados de forças externas, a quantidade de movimento se conserva.
Figura 1 
Impulso de uma força
O produto da força pelo intervalo de tempo constitui 
o impulso da força. Essa grandeza está associada ao 
princípio da conservação da quantidade de movimento.
Força constante
Considere uma força constante F atuando num ponto 
material durante o intervalo de tempo St. O impulso I 
dessa força constante nesse intervalo de tempo é a gran-
deza vetorial dada por:
tSI F=
Sendo uma grandeza vetorial, o impulso apresenta as 
seguintes características:
• Intensidade: tI F S=
• Direção: a mesma de F ( I é paralelo a F )
• Sentido: o mesmo de F (pois St é sempre positivo)
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de 
medida da intensidade do impulso é newton # segundo 
(N $ s).
Força de direção constante 
e intensidade variável
Se a força F tiver direção constante e intensidade 
variável em função do tempo, de acordo com o gráfico 
da figura 1, para determinar o impulso, devemos recorrer 
necessariamente ao cálculo de áreas.
A expressão anterior deixa claro que, para alterar a quan-
tidade de movimento de um corpo, é necessário aplicar uma 
força que interaja com ele durante certo intervalo de tempo.
Pelo teorema do impulso, podemos concluir que, no SI, 
a unidade do módulo de impulso (newton # segundo) e a 
do módulo de quantidade de movimento (quilograma # 
metro por segundo) são equivalentes.
Princípio da conservação da 
quantidade de movimento
Dizemos que um sistema de corpos é isolado de forças 
externas quando:
I N= A1 - A2 + A3
S=-=I Q Q Q
2 1R
O impulso da força resultante num intervalo de 
tempo é igual à variação da quantidade de movimento 
do corpo nesse mesmo intervalo de tempo.
Sendo uma grandeza vetorial, a quantidade de movi-
mento apresenta as seguintes características:
• Intensidade: m vQ = ou Q = mv
• Direção: a mesma de v (Q é paralela a v )
• Sentido: o mesmo de v (pois m é sempre positivo)
No SI, a unidade do módulo da quantidade de movimen-
to é quilograma # metro por segundo (kg $ m/s).
Quantidade de movimento 
de um sistema de corpos
A quantidade de movimento de um sistema de corpos, 
num certo referencial e num instante t, é a soma vetorial 
das quantidades de movimento de cada corpo nesse 
instante. Assim, sendo Q Q Q
1 2 3
, , , ..., Q
n
 as quantidades de 
movimento dos corpos, no instante t, a quantidade de 
movimento Q do sistema de corpos será:
1 3 n
...Q Q Q Q Q
2
= + + + +
Teorema do impulso
As grandezas impulso e quantidade de movimento estão 
relacionadas por meio do teorema do impulso:
Quantidade de movimento 
de um corpo
Considere um corpo de massa m com velocidade v num 
determinado referencial. A quantidade de movimento 
(ou momento linear) desse corpo é a grandeza vetorial 
dada por:
 mvQ =
5656
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B
A
Situação 1 Situação 2
B
A
vA vB vA vB
A
QB = mBvBQA = mAvA
eixo 
adotado
+
B
A
QB = mBvBQA = mAvA
eixo 
adotado
+
B
A
Situação 3 Situação 4
B
B
A
A vBvA
vBvA
tema 6 • Impulso e quantIdade de movImento
• não atuam forças externas, podendo, no entanto, haver 
forças internas entre os corpos;
• existem forças externas, mas sua resultante é nula;
• existem forças externas, mas tão pouco intensas 
(quando comparadas às forças internas) que podem 
ser desprezadas.
Se o sistema de corpos é isolado de forças externas, a 
resultante dessas forças é nula ( RF = 0) e também é nulo 
seu impulso ( IR = 0). Assim, podemos enunciar o princípio 
de conservação da quantidade de movimento:
A quantidade de movimento de um sistema de 
corpos isolado de forças externas é constante.
Q Q
2 1
=
A quantidade de movimento pode permanecer constante, 
ainda que a energia mecânica não permaneça. Em outras 
palavras, os princípios de conservação da energia mecânica 
e da quantidade de movimento são independentes.
Choques unidimensionais
Numa colisão mecânica, supondo que a massa dos 
corpos não se altere, ocorrem duas etapas: deformação e 
restituição. Na deformação, a energia cinética dos corpos 
anterior ao choque se transforma em energia potencial 
elástica, energia sonora (ruído) e energia térmica (calor). 
Na restituição, toda ou parte da energia transformada re-
torna na forma de energia cinética. Os choques passam en-
tão a ser classificados de acordo com o reaproveitamento 
da energia cinética após o choque, como veremos a seguir.
Vamos analisar cuidadosamente todas as possibilidades 
de sentido de velocidades vetoriais entre duas esferas que 
colidem na mesma direção.
• Se os sentidos dos movimentos dos corpos são opostos 
(figura 2), o módulo da velocidade relativa correspon-
de à soma dos módulos das velocidades de cada um dos 
corpos. 
Para as situações 1 e 2, temos:
Figura 2
vrel. = vA + vB
• Se os sentidos dos movimentos coincidem (figura 3), o 
módulo da velocidade relativa será a diferença entre 
os módulos das velocidades de cada um dos corpos.
Supondo vA 2 vB , a velocidade relativa nas situações 
3 e 4 será:
Figura 3
vrel. = vA - vB
A quantidade de movimento Q de um sistema de corpos, 
A e B, com quantidades de movimento Q
A
 e Q
B
, respecti-
vamente, é dada por: 
+
A
Q Q Q
B
=
Quando os vetores têm mesma direção, a igualdade veto-
rial transforma-se numa igualdade escalar, adotando-se um 
eixo e projetando-se os vetores.
Assim, temos os exemplos:
• Observe a figura 4 abaixo.
Em relação ao eixo adotado:
Q = QA - QB
Em relação ao eixo adotado:
Q = QA + QB
Figura 4
• Observe a figura 5 abaixo.
Figura 5
Q = mAvA - mBvB
Q = mAvA + mBvB
Coeficiente de restituição
Para medir a variação da energia cinética que even-
tualmente ocorre numa colisão, é comum recorrer a 
uma grandeza adimensional chamada coeficiente de 
restituição (e), que corresponde à razão entre a velo-
cidade relativa de afastamento dos corpos depois da 
colisão e a velocidade relativa de aproximação desses 
corpos antes da colisão:
e v
v
.rel
rel.
= depois
antes
5757
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Suplemento de reviSão • FÍSiCA
A partir da análise do coeficiente de restituição, pode-
mos classificar os principais tipos de choque associados 
aos respectivos coeficientes de restituição, energia e 
quantidade de movimento:
• Se e = 1, a energia cinética se conserva, e o choque 
é dito perfeitamente elástico.
• Se e = 0, não ocorre restituição, e os corpos perma-
necem unidos após o choque. Esse choque, no qual 
ocorre a maior perda de energia cinética, é conhecido 
como perfeitamente inelástico.
• Se 0 1 e 1 1, a restituição da energia cinética é parcial, 
e o choque é denominado parcialmente elástico.
Há ainda os choques superelásticos, nos quais e 2 1 
e há ganho de energia, evidentemente à custa de outra 
forma de energia. Ocorrem frequentemente choques 
superelásticos nas reações nucleares: um próton atinge 
um núcleo de lítio, formando duas partículas que saem 
com energia cinética maior que a do próton incidente 
no núcleo. 
Na resolução de exercícios de choques, é comum 
estabelecer uma equação com a conservação da 
quantidade de movimento e outra com o coeficiente 
de restituição, em lugar da conservação ou dissipação de 
energia.
NO VESTIBULAR
 1 (UFRGS-RS) Um veículo de massa 500 kg, percorrendo 
uma estrada horizontal, entra numa curva com velo-
cidade de 50 km/h e sai numa direção que forma um 
ângulo de 60w com a direção inicial e com a mesma 
velocidade de 50 km/h. Em unidades do Sistema In-
ternacional, a variação da quantidade de movimento 
do veículo, ao fazer a curva, em módulo, foi de, apro-
ximadamente:
a) 7,0 $ 104
b) 5,0 $ 104
c)3,0 $ 104
d) 7,0 $ 103
e) 3,0 $ 103
 2 (UBC-SP) A força que age em um corpo variou segundo 
o gráfico dado.
30
0 10
F (N)
t (s)
O impulso que a força imprimiu ao corpo foi de:
a) 150 N $ s
b) 300 N $ s
c) 40 N $ s
d) 20 N $ s
 3 (Mackenzie-SP) Uma bola de bilhar de 100 g, com ve-
locidade de 8 m/s, atinge a lateral da mesa, sofrendo 
um choque perfeitamente elástico, conforme mostra a 
figura. No choque, a bola permanece em contato com 
a lateral da mesa durante 0,08 s.
30° 30°
A intensidade da força que a bola aplica nessa lateral 
é de:
a) 20 N
b) 18 N
c) 16 N
d) 15 N
e) 10 N
 4 (UEL-PR) A quantidade de movimento de um ponto 
material se mantém constante num dado intervalo 
de tempo. Com relação à intensidade da resultante 
das forças que agem sobre esse corpo, pode-se afir-
mar que:
a) é constante não nula.
b) é nula.
c) aumenta linearmente com o tempo.
d) diminui linearmente com o tempo.
e) é não nula e tem o mesmo sentido do movimento.
 5 (UFC-CE) Na superfície de um lago congelado (considere 
nulo o atrito), um menino de 40 kg empurra um homem 
de 80 kg. Se este adquirir a velocidade de 0,25 m/s, o 
menino:
a) escorregará, em sentido contrário, com velocidade 
igual em módulo.
b) ficará parado.
c) deslizará, em sentido oposto, com velocidade 
de 0,50 m/s.
d) deslizará, para trás, com velocidade de 2 m/s.
 6 (UFG-GO) Um automóvel e um ônibus trafegam em 
sentidos opostos com a mesma velocidade. O moto-
rista do automóvel faz uma manobra muito rápida 
para se desviar de um buraco e colide frontalmente 
com o ônibus. Considere que a colisão é perfeitamente 
inelástica e que a massa do ônibus é nove vezes maior 
que a do automóvel. Assim, a porcentagem da energia 
perdida na colisão é de:
a) 20%
b) 36%
c) 64%
d) 80%
e) 100%
58
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tema 6 • Impulso e quantIdade de movImento 59
Considere a figura:
y
Antes da curva
x
y
Depois da curva
x
Q0
Qy Q
Qx
60°
Como 50 km/h equivalem a aproximadamente 14 m/s, 
quantidade de movimento do veículo antes da curva era: 
Q0 = mv = 500 $ 14 ` Q0 = 7.000 kg $ m/s
Após a curva:
• na direção x:
Qx = mvx ] Qx = mv $ cos 60w ]
] Qx = 500 $ 14 $ 
1
2 ` Qx = 7.000 $ 2
1 kg $ m/s
• na direção y:
Qy = mvy ] Qy = mv $ sen 60w
Qy = 500 $ 14 $ 2
3
 ` Qy = 7.000 $ 2
3
 kg $ m/s
Agora: Q2 = Qx
2 + Qy
2 = $.7 000 2
1 2c m + $.7 000 2
3 2e o ] 
] Q2 = 49.000 4
1
4
3+c m ` Q = 7.000 kg $ m/s
Da relação vetorial Q Q QS 0= - temos 
o esquema:
Como Q = Q0 e o ângulo entre Q e 
Q0 é de 60w, o triângulo da figura é 
equilátero. Logo: 
SQ = 7.000 kg $ m/s.
Alternativa d.
– Q0
SQQ
60°
Ex
er
cí
ci
o 
1
O impulso (I) da força em questão é numericamente 
igual à área sob o gráfico.
Logo: $ $I b h2 2
10 30= = ` I = 150 N $ s
De acordo com o gráfico, a projeção F da força sobre 
o corpo é sempre positiva. Logo, o valor do impulso 
também será positivo. Portanto: I = 150 N $ s.
Alternativa a.
Ex
er
cí
ci
o 
2
Para determinar a intensidade F da força, usamos o 
teorema do impulso:
IF = QS ] F St = QS ] F = t
Q
S
S
Segundo o enunciado: St = 0,08 s. Falta determinar 
SQ. Como o choque é perfeitamente elástico, podemos 
escrever:
Q Qinicial final= = mv = 0,1 kg $ 8 m/s = 0,8 kg $ m/s
Agora: Q Q QS final inicial= - . Vetorialmente:
Como Q Qfinal inicial= e o ângulo 
entre Qfinal e Qinicial- é 
de 60w, o triângulo da figura é 
equilátero.
Logo: QS = 0,8 kg $ m/s
Assim: ,
,
F t
Q
0 08
0 8
S
S
= = ` F = 10 N.
Alternativa e.
SQ
Qinicial
Qfinal
60°
–
Ex
er
cí
ci
o 
3
De teorema do impulso, temos: IFR = QS ; sendo 
SQ = 0, obtemos
FR $ St = 0. Como St ! 0, devemos ter: FR = 0
Alternativa b.E
xe
rc
íc
io
 4
Considere a seguinte sequência de figuras com respeito 
à interação entre o homem (H) e o menino (M):
vH0
 = vM0
 = 0
vM
 = ? vH
 = 0,25 m/s
(+)
Antes da interação
M H
(+)
Durante a interação
Depois da interação
M H
FFe
(+)
M H
vH0
 = vM0
 = 0
vM
 = ? vH
 = 0,25 m/s
(+)
Antes da interação
M H
(+)
Durante a interação
Depois da interação
M H
FFe
(+)
M H
vH0
 = vM0
 = 0
vM
 = ? vH
 = 0,25 m/s
(+)
Antes da interação
M H
(+)
Durante a interação
Depois da interação
M H
FFe
(+)
M H
Ex
er
cí
ci
o 
5
Admitindo que o sistema (homem + menino) seja 
mecanicamente isolado, podemos escrever:
Qdepois = Qantes ] mMvM + mHvH = 0
40 $ vM + 80 $ 0,25 = 0 ] 40vM = -20 ` vM = - 0,5 m/s
Portanto, o menino se deslocará em sentido oposto ao 
do homem com velocidade de 0,5 m/s.
Alternativa c.
Sendo v o módulo da velocidade do ônibus e do automóvel 
antes do choque e 'v a velocidade do conjunto após o 
choque (choque perfeitamente inelástico) e considerando 
o eixo orientado no sentido do movimento do automóvel, 
aplicando o teorema da conservação da quantidade de 
movimento, temos:
Q Q mv mv m m v v
v9 9 10
8] e ] eantes depois= - = + = -` j
Da definição de energia cinética, obtemos:
E mv mv mv2 2
9
2
102 2 2
c = + =antes
E
m m v mv
2
9
2
10e e
c
2
2
=
+
=
depois
` j
Portanto:
E
E v
v
10
8
100
64e
c
c
2
2 2
= = - =
depois
antes c m
Logo, a energia perdida foi de 36%.
Alternativa b.
Ex
er
cí
ci
o 
6
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Suplemento de reviSão • FÍSiCA
 7 (UFBA) Um bloco A, com 2 kg de massa, deslocando-
-se sem atrito sobre uma superfície horizontal plana, 
com velocidade de módulo igual a v, atinge, em colisão 
frontal, um bloco B, com 3 kg de massa, inicialmente 
em repouso. Após a colisão, A e B deslocam-se uni-
dos, com velocidade igual a 6 m/s. Admita agora que 
a colisão ocorra, nas mesmas condições da colisão 
anterior, entre o bloco A e uma mola ideal. A mola tem 
constante elástica igual a 5 $ 105 N/m e foi colocada 
no lugar de B, com uma das extremidades fixa.
Determine a deformação máxima da mola, em uni-
dades do SI e em notação científica.
 8 (UFPB) Uma bola de massa 500 g e velocidade 72 km/h 
choca-se frontal e elasticamente com uma parede. 
Determinar:
a) A intensidade da variação da quantidade de 
movimento.
b) A intensidade do impulso da força aplicada pela 
parede sobre a bola durante a colisão.
 9 (UFF-RJ) Dois carrinhos idênticos, ambos de massa 
m, são colocados em repouso num plano horizontal, 
comprimindo uma mola, conforme mostra a figura. 
A mola é mantida comprimida por uma linha fina, 
de massa desprezível, amarrada aos dois carrinhos, 
mas a mola não está presa a eles. Rompe-se a linha 
e os dois carrinhos movem-se em sentidos opostos e 
sobem as rampas ilustradas na figura, até atingirem 
uma altura máxima h0. Numa segunda experiência, 
uma massa desconhecida x é adicionada ao carrinho 
A. Os dois carrinhos são recolocados nas mesmas 
posições, comprimindo a mesma mola de forma 
idêntica à situação anterior. Entretanto, nessa 
segunda experiência, após o rompimento da linha, 
apenas a altura máxima hB atingida pelo carrinho 
B é medida.
Considere que a aceleração da gravidade é g e que 
a massa da mola e o atrito entre os carrinhos e 
a superfície onde eles se deslocam são, ambos, 
desprezíveis.
h0
A
1a experiência
B
h0
A
2a experiência
B
hBx
h0
A
1a experiência
B
h0
A
2a experiência
B
hBx
a) Determine a energia potencial elástica inicial-
mente armazenada na mola em termos de m, g 
e h0.
b) Na 2a experiência, os carrinhos A e B atingem ve-
locidades, respectivamente, VA e VB imediatamente 
após a mola alcançar sua posição relaxada. Deter-
mine a razão V
V
B
A em função de m e x.
c) Determine o valor da massa desconhecida x em 
termos de m, hB e h0.
60
Vamos determinar a velocidade inicial v do bloco A, 
admitindo que o sistema seja isolado. Para tanto, 
considere a figura:
mA
 = 2 kg
vA
 = v vA + B
 = 6 m/svB
 = 0
mB
 = 3 kg
(+)
A B
(+)
A B
Antes da colisão Depois da colisão
Pela conservação da quantidade de movimento, 
temos:
Qantes = Qdepois ] mAv = vA + B(mA + mB) ]
] 2v = 6(2 + 3) ` v = 15 m/s
Portanto, a energia cinética associada ao corpo A antes 
da colisão é:
$E
vE2 2
2 15]A
2 2
c c= =
m
 ` Ec = 225 J
No choque com a mola, para que haja deformação 
máxima, toda energia cinética do corpo A deve ser 
convertida em energia potencial elástica. Portanto, 
pela conservação de energia, temos:
E E kx225 2] ]
2
pc = =elást.
$
$x
5 10
2 225] 2 5= ` x = 3 $ 10
-2 m
Ex
er
cí
ci
o 
7
Para o choque, considere as figuras:
v0
 = 72 km/h = 20 m/s
m = 0,5 kg
F
(+) (+)(+)
v0
 = 72 km/h = 20 m/s
m = 0,5 kg
F
(+) (+)(+)
a) Como o choque é frontal e elástico, a velocidade 
da bola após o choque é de -20 m/s. Logo:
 QS = Q Qdepois antes- = mv mv0- ]
 ] QS = $, ( ) ,0 5 20 0 5 20- -
 ` QS = 20 kg $ m/s
b) Pelo teorema do impulso, temos:
 IF = QS ` IF = 20 N $ s
Ex
er
cí
ci
o 
8
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tema 6 • Impulso e quantIdade de movImento 61
a) A energia potencial elástica, inicialmente armazenada 
na mola, se transforma na energia potencial 
gravitacional dos carrinhos ao atingirem a altura h0:
E E E mgh mgh
E mgh2
P P P
P
0 0
0
.elást
elást.
= + = +
=
A B
b) Vamos considerar o 2o experimento. A quantidade de 
movimento inicial do sistema é nula ( )Q 0antes = . 
Depois de a mola alcançar a posição relaxada, a 
quantidade de movimento do sistema é a soma 
das quantidades de movimento dos carrinhos A e B: 
A Bm x v mvQdepois= + +`c j m 
Pela conservação da quantidade de movimento, 
resulta:
A B A Bm x v mv m x v mvQ Q 0] ]antes depois= = + + + = -` `j j
Em módulo, temos: 
BA B
Am x v v
v
m x
m+ +m ]= =v` j
c) A energia potencial elástica do sistema no 
2o experimento transforma-se na energia cinética dos 
carrinhos A e B. A energia cinética de B se transforma em 
energia potencial gravitacional na posição de altura hB.
A BE
m x v mv
2 2P
2 2
=
+
+
elást.
` j
 y
Sendo: B;E mgh
mv
mgh2 2P B0
2
.
= =
elást
 e 
=B ;v gh v m x
m2 B A
2 = + $ vB, temos em y:
$mgh m x m x
m2 20
2
= + +b l $ 2ghB + mgB
h m x
m2 0 = + $ hB + hB ] 2h0 = hB $ m x
m x2
+
+ ]
] 2h0m + 2h0x = 2hBm + hBx ]
] 2m(h0 - hB) = x(hB - 2 $ h0) ]
] x
h h
m h h
x
h
h
m h h
2
2
2
]
B
B
B
B
0
0
0
0
=
-
-
=
-
-
`
`
e
`
j
j
o
j
Ex
er
cí
ci
o 
9
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Suplemento de reviSão • FÍSiCA
 10 (UFSC) Uma esfera maciça cuja massa é 2,0 kg desloca-
-se, com velocidade 10 m/s, no interior de uma canale-
ta que permite apenas o movimento unidimensional. 
Ela colide com uma outra esfera, de massa 1 kg, que 
se movimenta em sentido contrário com o dobro da 
velocidade. Determine o módulo da velocidade de 
cada uma das esferas após a colisão, sabendo que o 
coeficiente de restituição da colisão é 0,5.
 11 (Unifei-MG) Uma partícula e um próton movem-se 
numa mesma direção e em sentidos opostos, de modo 
que se aproximam uma da outra com velocidades que, 
enquanto a distância d que as separa é ainda muito 
grande, são iguais em módulo a v = 1,0 $ 102 m/s. 
Considere que a massa e a carga da partícula são 
iguais ao dobro dos valores correspondentes ao 
próton. Quais os valores finais das velocidades da 
partícula e do próton, supondo que houve uma colisão 
elástica entre elas?
 12 (UFBA) Uma esfera rígida de massa m1 = 0,5 kg, presa 
por um fio de comprimento L = 45,0 cm e massa des-
prezível, é suspensa em uma posição tal que, como 
mostra a figura, o fio suporte faz um ângulo de 90° 
com a direção vertical. Em um dado momento, a es-
fera é solta, indo se chocar com outra esfera de massa 
m2 = 0,5 kg, posicionada em repouso no solo.
m2
L
m1
Considerando o diâmetro das esferas desprezível e o 
choque entre elas perfeitamente elástico, determine 
a velocidade das esferas após o choque, supondo 
todas as forças dissipativas desprezíveis, o módulo 
da aceleração da gravidade local igual a 10 m/s2 e o 
coeficiente de restituição 
-
e v v
v ve e
1 2
2 1= - , em que ve1 e 
ve2 são as velocidades finais das esferas e v1 e v2 as 
velocidades iniciais. 
 13 (Ufes) Um bloco A é lançado em um plano horizontal 
com velocidade de módulo vA = 4,0 m/s. O bloco A 
tem massa mA = 2,0 kg e colide frontalmente com 
uma esfera B de massa mB = 5,0 kg. Inicialmente, a 
esfera encontra-se em repouso e suspensa por um 
fio ideal de comprimento L, fixo em O, como mostra 
a figura abaixo. Após a colisão, a esfera atinge uma 
altura máxima de hB = 0,20 m. Os atritos do bloco A e 
da esfera B com a superfície são desprezíveis.
A
O
B
vA hB
Com essas informações:
a) determine o módulo da velocidade da esfera B, 
imediatamente após a colisão;
b) determine o módulo e o sentido da velocidade do 
corpo A, após a colisão;
c) determine a diferença entre a energia cinética do 
sistema, antes e após a colisão;
d) responda se a colisão foi ou não perfeitamente 
elástica. Justifique a sua resposta.
62
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tema 6 • Impulso e quantIdade de movImento 63
a) Energia potencial da esfera na altura máxima:
 EPgrav. = mghB = 5 $ 10 $ 0,2 ` EPgrav. = 10 J
 Pela conservação de energia da esfera, temos:
 
$
E E
v
2
5
] B
2
c p= grav. = 10 ` vB = 2 m/s
b) Conservação da quantidade de movimento:
 Qantes = Qdepois ] 2 $ 4 = 2 $ veA + 5 $ 2 ` veA = -1 m/s
 O sinal negativo indica o sentido para a esquerda.
c) $E 2
2 42
c =antes ` E 16 Jc =antes
 $ $E 2
2 1
2
5 22 2
c = +depois ` E 11 Jc =depois
 Portanto, SE = 5 J.
d) A colisão não foi perfeitamente elástica, pois o sistema 
não conservou a energia mecânica inicial de 16 J.
Ex
er
cí
ci
o 
13
O enunciado sugere as seguintes figuras:
mA
 = 2 kg
vA0 = 10 m/s
Durante a colisãoAntes da colisão
Após a colisãovB0 = –20 m/s
mB
 = 1 kg
(+)
A B
(+)
A B
(+)
A B
mA
 = 2 kg
vA0 = 10 m/s
Durante a colisãoAntes da colisão
Após a colisãovB0 = –20 m/s
mB
 = 1 kg
(+)
A B
(+)
A B
(+)
A B
mA
 = 2 kg
vA0 = 10 m/s
Durante a colisãoAntes da colisão
Após a colisãovB0 = –20 m/s
mB
 = 1 kg
(+)
A B
(+)
A B
(+)
A B
mA
 = 2 kg
vA0 = 10 m/s
Durante a colisãoAntes da colisão
Após a colisãovB0 = –20 m/s
mB
 = 1 kg
(+)
A B
(+)
A B
(+)
A B
Dado que 0 1 e 1 1, trata-se de um choque parcialmente 
elástico. Com base na definição, temos:
20),e v v
v v v v
0 5 10]A B
A B A B
0 0
= -
-
= - -
-
( ] vA - vB = 15 y
Aplicando agora a conservação da quantidade 
de movimento do sistema, temos:
Qantes = Qdepois ] vmA A0 + vmB B0 = mAvA + mBvB ]
] 2 $ 10 + 1(-20) = 2vA + vB ] 2vA + vB = 0 ]
] vB = -2vA 
Substituindo  em y, vem:
vA - (-2vA) = 15 ` vA = 5 m/s
Substituindo vA = 5 m/s em , resulta:
vB = -10 m/s ] vB = 10 m/s
Ex
er
cí
ci
o 
10
Do teorema da conservação da quantidade de 
movimento, temos:
Q Q mv mv mv mv
v v v
2 2
2
] ]
]
1 2
1 2
antes depois final final
final final
= - = +
= +
Como a colisão é elástica:
( )e v v
v v
v
v v
v v v1 2 2] ]
2 1 2 1
2 1
final final final final
final final= - -
-
=
-
= -
Resolvendo o sistema de equações, obtemos:
v v3
5
2final = e v v3
1
1final = - 
Portanto: 33 m/sv1final = - e $,v 1 7 10 m/s2
2
final =
Ex
er
cí
ci
o 
11
São dados: m1 = m2 = m = 0,5 kg; L = 45 cm = 0,45 m; 
g = 10 m/s2.
Vamos calcular a velocidade v1 da esfera de massa m1 
imediatamente antes do choque, pela conservação da 
energia mecânica.
$ $ `, ,
E E
E E E E
mgL
mv
v gL
v v
0 0 2 2
2 10 0 45 3 0 m/s
1
2
1
1 1
mec mec
p c p c
=
+ = +
+ = =
= =
depoisantes
antes antes depoisdepois
Sendo o choque frontal e perfeitamente elástico entre 
corpos de massas iguais, ocorre troca de velocidades. Isto é: 
= ,3 0 m/s=v0 e== vv ve e1 2 2 1
Ex
er
cí
ci
o 
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