Manual de Física 10 e 11 classe

Prévia do material em texto

1
MANUAL DE FÍSICA 
PARA FORMAÇÃO
MÉDIA TÉCNICA
10.ª e 11.ª CLASSES
2
3
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
ÍNDICE
Prefácio 	 	............................................................................................................................ 	 7
	 1-	Conceitos	Introdutórios	............................................................................................ 	 8
	 	 1.1-	Introdução	........................................................................................................ 	 8
	 	 1.2	-	Grandezas	físicas	.......................................................................................... 	 8
	 	 1.3	–	Sistema	de	Unidades	.................................................................................. 	 20
	 	 1.4	-	Noções	Básicas	da	Trigonometria	......................................................... 	 21
Parte 1: Mecânica	............................................................................................................... 	 25
Unidade 1- Movimento de uma Partícula Material	.................................................	 26
	 1.1	-	Ponto	Material	.......................................................................................................... 	 26
	 	 1.1.1	-	Relatividade	do	movimento	................................................................. 	 27
	 1.2	-	Trajectória	.................................................................................................................. 	 27
	 1.3	-	Deslocamento	........................................................................................................... 	 28
	 	 1.3.1-	Origem	dos	Espaços	.................................................................................. 	 28
	 1.4	-	Velocidade	.................................................................................................................. 	 29
	 	 1.4.1	-	Velocidade	Média	...................................................................................... 	 29
	 	 1.4.2	-	Velocidade	Instantânea	.......................................................................... 	 33
	 1.5	-	Movimento	Rectilíneo	e	Uniforme	................................................................... 	 34
	 	 1.5.1-	Aceleração	..................................................................................................... 	 39
	 1.6-Movimento	rectilíneo	.............................................................................................. 	 42
	 	 1.6.1-	Movimento	rectilíneo	uniformemente	variado.............................	 42
	 	 1.6.2	-	Queda	de	um	Corpo	................................................................................. 	 51
	 	 1.6.3	-	Ascensão	de	um	Corpo	........................................................................... 	 53
	 1.7	-	Movimento	circular	................................................................................................ 	 56
	 	 1.7.1	-	Movimento	circular	uniforme	............................................................. 	 57
	 1.8	-	Movimento	circular	variado	............................................................................... 	 59
Unidade 2 - Interacções entre Corpos	............................................................................ 	 62
	 2.1-	Força	 	............................................................................................................................ 	 62
	 2.2	-	Leis	de	Newton......................................................................................................... 	 69
4
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
ÍNDICE
	 	 2.2.1	-	Lei	da	Inércia	.............................................................................................. 	 69
	 	 2.22	-	Lei	Fundamental	da	Dinâmica		............................................................ 	 71
	 	 2.2.3	-	Lei	da	Acção	e	Reacção	........................................................................... 	 73
	 2.3	-	Impulso	e	quantidade	de	movimento…………………………...........	.............	 75
	 	 2.3.1-	Impulso	de	uma	Força	............................................................................. 	 81
Unidade 3 - Trabalho e Energia	.......................................................................................... 	 84
	 3.1	-	Trabalho	de	uma	Força	Constante	................................................................... 	 84
	 3.2	-	Trabalho	de	uma	Força	Variável	....................................................................... 	 87
	 3.3	-	Potência	....................................................................................................................... 	 89
	 3.4	-	Energia	potencial	.................................................................................................... 	 91
	 	 3.4.1	-	Energia	Potencial	Elástica	..................................................................... 	 92
	 3.5	-	Energia	Cinética	-	Teorema	de	Trabalho	e	Energia	..................................	 96
	 3.6	-	Lei	de	Conservação	da	Energia	Mecânica	.....................................................	 98
Parte 2: Fenómenos Térmicos…………………………………………...	..................	 101
Unidade 1- Energia Térmica	................................................................................................ 	 102
	 1.1	Temperatura	................................................................................................................ 	 102
	 	 1.1.1	Escalas	Termométricas	............................................................................. 	 103
	 	 1.1.2	-Relações	entre	as	Escalas	Termométricas	......................................	 104
	 1.2	-	Dilatação	dos	Sólidos	............................................................................................. 	 107
	 	 1.2.1	-Dilatação	Linear	......................................................................................... 	 107
	 	 1.2.2	-	Dilatação	Superficial	................................................................................ 	 110
	 	 1.2.3	-Dilatação	Volumétrica	.............................................................................. 	 111
	 1.3	-	Transmissão	de	Calor	............................................................................................ 	 112
	 1.4	-	Capacidade	Calorífica	............................................................................................ 	 114
	 1.5	-	Equilíbrio	Térmico	.................................................................................................. 	 118
Unidade 2 - Equação de Estado de um Gás Perfeito	...............................................	 120
	 2.1	-	Leis	dos	Gases…………………………………………………….	................................	 120
5
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
ÍNDICE
	 2.2	-	Processo	Isotérmico:	Lei	de	Boyle	–	Mariotte	............................................	 124
	 2.3	-	Processo	Isobárico:	(Gay-Lussac)	.................................................................... 	 126
	 2.4	-	Processo	Isocórico	:		Lei	de	Jacques		Charles	..............................................	 129
	 2.5	-	Cálculo	Cinético	da	Pressão	................................................................................ 	 132
	 2.6	-	Interpretação	Cinética	da	Temperatura	........................................................ 	 133
	 2.7	-	Dilatação	dos	Gases	................................................................................................ 	 137
	 2.7.1	-	Energia	Interna	do	Gás	Perfeito	.................................................................... 	 137
	 2.7.2	-	Trabalho	Realizado	pelo	Gás	.......................................................................... 	 140
	 2.8	-	Experiência	de	Joule	.............................................................................................. 	 141
Unidade 3 - Termodinâmica	................................................................................................. 	 144
	 3.1	-	Primeira	Lei	da	Termodinâmica	.......................................................................144
	 	 3.1.1	-Transformação	Isotérmica	..................................................................... 	 144
	 	 3.1.2	-	Transformação	Isobárica	....................................................................... 	 145
	 	 3.1.3	-	Transformação	Isocórica	ou	Isométrica	.........................................	 146
	 	 3.1.4	-	Transformação	Adiabática	.................................................................... 	 146
	 	 3.1.5	-	Transformações	Cíclicas	........................................................................ 	 148
	 3.2	-	A	Segunda	Lei	da	Termodinâmica	................................................................... 	 151
	 	 3.2.1	-	Transformações	Reversíveis	................................................................ 	 152
	 	 3.2.2	-	Transformações	Irreversíveis	.............................................................. 	 152
	 3.3	-	Máquinas	Térmicas	................................................................................................ 	 154
	 	 3.3.1	-	Rendimento	de	uma	Máquina	Térmica	...........................................	 155
	 	 3.3.2	-	O	Ciclo	de	Carnot	....................................................................................... 	 156
	 3.4	-	A	Conservação	da	Energia	................................................................................... 	 158
	 3.5	-	A	Energia	Térmica:	Uma	Energia	“Degradada”	..........................................	 159
Parte 3: Electrostática e Corrente Eléctrica contínua	......................	 63
Unidade 1- Interacção Electrostática	.............................................................................. 	 164
	 1.1-	Conceito	de	Cargas	(Lei	da	Conservação	da	Carga)	..................................	 164
	 1.2	-Lei	de	Coulomb	-	Permitividade	Elétrica	do	Meio	.....................................	 166
6
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
ÍNDICE
	 1.3	-	Campo	Electrostático	............................................................................................ 	 168
	 1.4	-	Trabalho	do	Campo	Eléctrico	............................................................................ 	 172
	 1.5	-	Potencial	Eléctrico	.................................................................................................. 	 175
	 1.6	-	Capacidade	Eléctrica	............................................................................................. 	 175
	 	 1.6.1	-	Condensadores	(Capacitores)	............................................................. 	 178
	 	 1.6.2	-	Energia	do	condensador	carregado	..................................................	 178
	 	 1.6.3	-	Energia	do	condensador	carregado	..................................................	 179
Unidade 2 - Corrente Eléctrica Contínua	...................................................................... 	 182
	 2.1	-	Corrente	Eléctrica	................................................................................................... 	 182
	 	 2.1.1	-	Mecanismo	da	Condução	da	Corrente	Eléctrica	..........................	 183
	 2.2	-	Resistência	de	um	Condutor		Eléctrico		(Resistividade)	........................	 186
	 2.3	-	Lei	de	Ohm	para	Segmento	de	um	Circuito	.................................................	 189
	 2.4	-	Trabalho	e	Potência	Eléctrica	............................................................................ 	 192
	 2.5	-	Energia	dissipada	num	Condutor:	Efeito	Joule	..........................................	 193
	 2.6	-	Força	Electromotriz	(f.e.m.	eResistência	Interna)	....................................	 194
	 2.8	-	Leis	de	Kirchhoff	..................................................................................................... 	 204
Bibliografia	............................................................................................................................ 	 215
7
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Prefácio
No	quadro	da	Reforma	Educativa	na	República	de	Angola,	o	Ministério	da	Educação	através	
do	INIDE,	propôs	a	elaboração	de	manuais	didácticos	para	o	Subsistema	do	Ensino	Técnico	
Profissional	em	Angola	a	fim	de	colmatar	a	falta	de	meios	didácticos	de	ensino	para	corres-
ponder	às	exigências	e	objectivos	de	um	ensino	segundo	normas	universais.
É	assim	que	um	grupo	de	professores	angolanos	com	larga	experiência	no	ensino	de	Física,	juntou	
esforços	para	elaborar	o	presente	manual	que,	por	certo,	vai	contribuir	no	aperfeiçoamento	e	
melhoria	do	ensino	da	Física	e	regular	os	procedimentos	didácticos	de	acordo	com	os	objecti-
vos	superiormente	preconizados	pelo	Estado	Angolano	através	dos	programas	curriculares.
A	Física	é	uma	das	ciências	que	 junto	com	a	Química	e	a	Matemática,	constitui	o	núcleo	
e	suporte	 fundamental	para	que	os	 futuros	profissionais	nos	mais	diversos	domínios	da	
indústria	estabelecem	e	articulam	os	seus	conhecimentos	técnicos	científicos	com	a	prá-
tica	quotidiana.	Assim	a	Física	para	a	Formação	Técnica	Profissional	permite	que	os	alunos	
construam	os	fundamentos	dos	seus	conhecimentos	numa	base	sólida	para	a	descrição	dos	
factos	ou	fenómenos	naturais	bem	como	na	interpretação	das	mais	diversas	leis	que	regem	
a	 natureza,	 permitindo-lhes,	 deste	modo,	 actuarem	 com	 racionalismo	 e	 rigor	 científico	
na	busca	de	soluções	para	a	resolução	dos	mais	variados	problemas	do	nosso	quotidiano.
A	fechar	podemos	assegurar	que	este	manual	constituí	um	interactivo	dinâmico	na	aborda-
gem	temática	dos	conceitos	e	leis	o	que	confere	uma	larga	abertura	pragmática	e	específica	
na	formação	dos	futuros	profissionais	em	Angola.
8
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
1. Conceitos Introdutórios 
1.1. Introdução
A	inclusão	do	estudo	de	alguns	conceitos,	no	inicio	deste	manual,	tem	como	objectivo	criar	um	
suporte	matemático	e	algébrico	para	melhor	compreensão	e	interpretação	em	termos	dimen-
sionais	dos	fenómenos	físicos	bem	como	suas	leis.	Como	é	notório	sem	o	estudo	da	matemá-
tica	e	sua	vinculação	dialéctica	ao	estudo	dos	fenómenos	Físicos	seria	difícil	estabelecer	a	
relação	entre	a	lei	e	o	fenómeno,	em	termos	de	grandeza	e	dimensão.	Já	Galileu	reconhecera	
a	importância	de	que	se	reveste	a	matemática	no	contexto	do	estudo	dos	fenómenos	físicos,	
quando	considerou	a	matemática	como	linguagem	natural	da	Física.	Isto	só	por	si	vem	con-
ferir	maior	quota	a	importância	ao	estudo	prévio	de	algumas	funções	e	operações	matemá-
ticas	antes	de	se	estudar	concretamente	os	aspectos	algébricos	e	matemáticos	que	circuns-
crevem	tais	fenómenos	físicos	de	uma	forma	geral	e	em	particular	dos	fenómenos	mecânicos.	
Assim	estaremos	em	condições	de	criar	as	bases	conceptuais	para	o	estudo	quantitativo	do	
movimento	mecânico,	formulando	de	forma	elementar	as	bases	matemáticas	sustentadoras.
1.2. Grandezas Físicas
Grandeza física é toda propriedade ou característica de um fenómeno 
que é susceptível de ser medida e de se atribuir um valor numérico.
Exemplos:	Velocidade,	deslocamento,	força,	tempo,	massa,	etc...
Por	sua	vez	as	grandezas	físicas	são	classificam-se	em	dois	grupos	que	são:	grandezas	esca-
lares	e	vectoriais.
Grandezas Escalares 
São	aquelas	que	podem	ser	determinadas	somente	pelo	seu	valor	numérico	e	pela	sua	
unidade.
Exemplo:	A	massa,	o	espaço,	o	tempo,	etc.
9
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
		Grandezas Vectoriais
São	aquelas,	que	para	serem	determinadas	é	necessário	conhecer	a	direcção,	sentido,	
valor	numérico	e	unidade.
Exemplo:	deslocamento,	velocidade,	aceleração,	etc.
Define-se	um	vector,	como	um	segmento	de	recta	dirigido.
Característica	de	um	vector:
•		Origem;
•		Linha	de	acção;
•		Sentido;
•		Valor	numérico;
					
Normalmente,	os	vectores	são	representados	graficamente	por	um	segmento	de	recta	
terminada	numa	seta.
A B
Fig. 1 – Representação gráfica de um vector
Operações com Vectores
Como	já	anunciamos	previamente,	é	possível	somarmos	ou	subtrairmos	vectores.
Regra	 geral	 se	 os	 vectores	 estiveremaleatoriamente	 colocados	 o	 vector	 resultante	
obtém-se	seguindo	os	seguintes	passos:
Escolhe-se	um	ponto	arbitrário	no	espaço	ou	plano.
•	Faça	coincidir	a	origem	do	vector	com	o	ponto	escolhido.
•		Para	o	segundo	vector,	a	sua	origem	deve	coincidir	com	a	extremidade	do	pri-
meiro	vector.	
•		Finalmente	a	resultante	deve	ser	traçada	coincidindo	sua	origem	com	a	origem	
do	primeiro	e	sua	extremidade	com	a	do	segundo.
10
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
Intensidade: 
Direcção:	mesma	de			
  
x x x= +
1 2		e			
  
x x x= +
1 2 	
Sentido: mesmo	de			
  
x x x= +
1 2		e			
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
Intensidade: 
Direcção:	mesma	de			
  
x x x= +
1 2		e			
  
x x x= +
1 2 	
Sentido: mesmo	sentido	do	vector	de	maior	
intensidad	e	
x x x= −
1 2
Em	caso	de	vectores	ortonormados,	(formam	um	ângulo	entre	si),	o	módulo	do	vector	
resultante,	seu	módulo	obtém-se	aplicando	a	lei	dos	cossenos	ou	pelo	método	do	para-
lelogramo.
Se	o	ângulo	for	igual	a	90°	o	termo	2abcosα		se	anula,	e	assim	temos	a	regra	de	Pitágo-
ras.
•			Quando	dois	vectores	têm	a	mesma	direcção	e	o	mesmo	sentido	(α	=	0),	o	vector	
resultante	será:
•		Quando	dois	vectores	tiverem	a	mesma	direcção	e	os	sentidos	opostos	(α	=	180º),	
o	vector	resultante	será:
Soma de Dois Vectores
Dados	os	vectores			
  
x x x= +
1 2		e			
  
x x x= +
1 2 	.
O	vector	soma	de	dois	vectores	pode	ser	obtido	de	duas	maneiras.
	1ª			Transpõe-se	paralelamente	a	si	próprios	ambos	vectores	de	modo	que	as	suas	
origens	coincidam;	o	vector	resultante	da	soma	será	a	diagonal	do	paralelogramo	
que	se	obtém	com	base	nos	dois	vectores	iniciais	(regra	de	paralelogramo).
11
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
  
x x x= +
1 2
B 
A
 
  
x x x= +
1 2
O

x (vector	soma)
	2ª				Os	vectores	são	transpostos	a	si	próprios,	de	modo	que,	a	extremidade	de	um	seja	
a	origem	do	outro;	o	vector	resultante	da	soma	dos	dois,	será	o	traçado	entre	a	
origem	do	primeiro	e	a	extremidade	do	segundo.	(método	do	triangulo)
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
(vector	soma)
  
x x x= +
1 2
Fig. 2 – Soma de vectores – regra do paralelogramo 
Fig. 3 – Soma de vectores – regra do triângulo
Analiticamente,	o	vector	soma	é	dado	por:
Intensidade	(módulo)		
	
x x x x x= + +
1
2
2
2
1 2
2 cosα
	
Esta	expressão	é	obtida	pela	lei	dos	cossenos:
Para	o	triângulo	OAC	da	figura	2,	vale:
OC OA AC OA AC
2 2 2
2= + − . . .cosβ
12
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
OA x
AC OB x
OC x
=
= =
=
= °−
= −
1
2
180β α
β αcos cos
Mas:
OA x
AC OB x
OC x
=
= =
=
= °−
= −
1
2
180β α
β αcos cos
Substituindo-se	na Lei de Cossenos,	obtém-se	a	expressão	da	intensidade do vector 
soma	(resultante)
x x x x x= + +
1
2
2
2
1 2
2 cosα
Direcção: o	vector	resultante	tem	a	direcção	dada	pela	recta	OC.
Sentido:	o	vector	resultante	tem	o	sentido	de	O	para	C.
Para	o	caso	particular	de	dois	vectores	ortogonais	entre	si,	basta	aplicar	o teorema de 
Pitágoras:
Fig. 4 – Vectores ortogonais
x x x
x x x
2
1
2
2
2
1
2
2
2
= +
= +
x x x
x x x
2
1
2
2
2
1
2
2
2
= +
= +
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
13
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Exercícios de aplicação
P1 –		Determine	o	módulo	de	vector	soma	de	dois	vectores	que	formam	entre	si	um	ângulo	
30º	e	cujos	módulos	são	7m	e	4m.
Dado	cos30°	=	0,86
	 	 x1	=	7m
Dados x2	=	4m
	
⎧
⎨
⎩ 	 α	=	30°
Resolução
P2 –		Determine	a	intensidade	do	vector	soma	de	dois	vectores	perpendiculares	entre	si	e	
cujos	módulos	são	3m	e	4m.
	 	 x1	=	3m
Dados x2	=	4m
	
⎧
⎨
⎩ 	 α	=	90°
Resolução
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2

x x
x
x
x x x x= + +
= + + °
=
1
2
2
2
1 2
2 2
2
4 2 7 4 30
4
7
.cos
. . .cos
α
99 16 56 0 86
113 16
10 6
+ +
=
=
. ,
,
,
x
x m
Cálculo	do	módulo	de	x
x
x
x
x x x x= + +
= + + °
= +
1
2
2
2
1 2
2 2
2
3 4 2 3 4 90
9
cos
. . .cos
α
116 24 0
9 16
25
5
+
= +
=
=
.
x
x
x m
Cálculo	do	módulo	de	x
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
14
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Diferença entre dois Vectores
Dados	os	vectores		
	
  
x x x= +
1 2	
	e			
  
x x x= +
1 2 	.
O vector diferença	é	dado	por
  

x x x
x B A
= −
= −
2 1
0 0( ) ( )
  
x x x= +
1 2
O A
B
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
(vector	diferença)
Fig. 5 – Diferença de vectores
Analiticamente,	o	vector	diferença	é	dado	pela	lei dos cossenos	para	triângulo	OAB:
Intensidade:	 x x x x x= + −
1
2
2
2
1 2
2 cosα
	
Direcção:	da	recta	AB
Sentido:	de	A	para	B
Exercícios de aplicação
P1 –		Qual	o	módulo	do	vector	diferença	entre	dois	vectores	que	formam	um	ângulo	de	30º	
entre	si	e	cujos	módulos	são	3m	e	8m?
	 	 x1	=	3m
Dados x2	=	8m
	
⎧
⎨
⎩ 	 α	=	30°
15
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Resolução
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
30°
P2 –		Determine	o	módulo	do	vector	  x x
1 2
−
	dos	vectores	abaixo:
	 	 x1	=	5m
Dados x2	=	2m
	
⎧
⎨
⎩ 	 cos	135°	=	–0,7
Resolução
	 	 x1	=	3m
Dados x2	=	8m
	
⎧
⎨
⎩ 	 α	=	135°
x x x
x
x
x x= + −
= + − °
= +
1
2
2
2
1 2
2 2
2
3 8 2 3 8 30
9
cos
. . .cos
α
664 6 8 0 8 73 38 4
34 6
5 8
− = −
=
≅
. . , ,
,
,
x
x
x m
Cálculo	do	módulo		x
x x x x x
x
x
= + −
= + − °
=
1
2
2
2
1 2
2 2
2
5 2 2 5 2 135
2
cos
. . .cos
α
55 4 20 0 7
29 14
43 6 5
+ − −
= +
= =
.( , )
,
x
x m
Cálculo	do	módulo	de		x
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
135°
  
x x x= +
1 2
  
x x x= +
1 2
135°
16
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Fig. 6 – Projecção de um vector sobre um eixo
Produto de um número por um vector
O	produto	de	um	número	a	por	um	vector	
  
x x x= +
1 2
,	resultará	em	um	outro	vector	
  
x x x= +
1 2
,	dado	
por:
Intensidade:	
	
x2	=	a.	x1
Direcção:	a	mesma	de	
  
x x x= +
1 2
Sentido:	se		a	>	o	→ mesmo	de	
  
x x x= +
1 2
se		a	>	o	→ contrário	ao	de	
  
x x x= +
1 2
Exercício de aplicação
P1 –		Dado	o	vector	  x x x= +
1 2
	conforme	indica	a	figura,	obter	os	vectores		2
  
x x x= +
1 2
		e			–7
  
x x x= +
1 2
.																
  
x x x= +
1 2
x		=	1m
  
x x x= +
1 2
2
  
x x x= +
1 2
	
–7
  
x x x= +
1 2
|2
  
x x x= +
1 2
	|	=	2m |–7
  
x x x= +
1 2
	|	=	7m
Projecção de um vector sobre um plano
  
x x x= +
1 2
xx		
O x
P
P1
17
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Exercícios de aplicação
P1 –		Dado	o	vector	  x x x= +
1 2
	conforme	indica	a	figura,	obter	a	intensidade	da	sua	projecção	no	
eixo	horizontal	(x)
x	=	4m
Resolução
Dados:		x		=	4m
	Cos	60°	=	½
P2 –		Dados	os	vectores	 a ,		

b 	e	

c 	conforme	indicam	as	figuras,	obter	as	intensidades	de	suas	projecções	no	eixo	horizontal	x
Seja	um	vector	x	e	um	eixo.	A	projecção	de	x	sobre	o	eixo	x	é	feita	projectando	ortogo-
nalmente	as	suas	extremidades	sobre	o	eixo	considerado
A	sua	intensidade	é	dada	pelo	produto	do	seu	módulo	pelo	cosseno	do	ângulo	adjacente.
	 xx			=	x	cos	α
  
x x x= +
1 2
x60°
60°

x
x
  
x x x= +
1 2
x
x x m
x
= ° = =cos .60 4
1
2
2

a
30° 45°

b c
a	=	2m c	=	2mb m= 2
xxx
18
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Fig. 7 – Decomposição dum Vector sobre os eixos x e y
Resolução
30° 45°

a

a
x

b

bx

c
ax a
ax
ax m
= °
=
=
.cos
.
30
2
3
2
3
bx b
bx
bx m
= °
=
=
.cos
.
45
2
2
2
1
cx c
cxcx
= °
=
=
.cos
.
90
4 0
0
Decomposição dum Vector sobre dois Eixos Ortogonais
Dado	um	vector	
  
x x x= +
1 2	e	um	sistema	de	dois	eixos	ortogonais	x	e	y
x
P''
O
α
P
P'
  
x x x= +
1 2

x
x
  
x x x= +
1 2y
Projectando-se	ortogonalmente	as	extremidades	do	vector	
  
x x x= +
1 2
	nos	eixos	x	e	y	obtemos	
componentes	rectangulares	

x
x
	e	 yx .
Analiticamente	temos:	o	triângulo	OP´P	é	rectângulo,	portanto:
cos cosα α
α
= = =
= = =
OP
OP
x
x
x x
sen
PP
OP
x
x
x xs
x
x
y
y
eenα
cos cosα α
α
= = =
= = =
OP
OP
x
x
x x
sen
PP
OP
x
x
x xs
x
x
y
y
eenα
⇒
⇒
19
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Exercício de aplicação
P1 –		Determine	 o	módulo	 das	 componentes	 rectangulares	 do	 vector	  x x x= +
1 2
	 de	módulo	 10	
metros,	conforme	a	figura.																
  
x x x= +
1 230°
Resolução
Pelo	ponto	de	origem	do	vector	
  
x x x= +
1 2
,	consideremos	um	sistema	de	eixos	coordenados	x	
e	y,	como	mostra	a	figura.
xy
xx 
x 
y
30°
Projectando	o	vector	
  
x x x= +
1 2
	nos	eixos	x e	y,	temos:	
Componente	segundo	x 		 	 				Componente	segundo	y 
x x
x
x m
x
x
x
= °
=
=
cos
.
30
10
3
2
5 3
x Xsen
x
x m
y
y
y
= °
=
=
30
10
1
2
5
.
P2 –		Determine	 as	 componentes	 de	 um	 vector	  x x x= +
1 2
	 de	módulo	 4	metros,	 que	 forma	 um	
ângulo	de	30º	com	a	vertical.
Resolução
Projectando	o	vector	
  
x x x= +
1 2
	nos	eixos	x	e	y	temos:
Dados:		x		=	4m
	α=60°
20
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Componente	segundo	x 		 									Componente	segundo	y 
x x
x
x m
x
x
x
= °
=
=
cos
.
60
4
1
2
2
x xsen
x
x
x m x m
y
y
y
y y
= °
=
=
= =
60
4
3
2
2 3
2 1 7 3 4
.
. , ,
x
y
60°
  
x x x= +
1 2

x
x
  
x x x= +
1 2y
1.3. Sistema de Unidades 
Medir	uma	grandeza	física,	significa	compará-la	à	outra	grandeza	que	se	toma	como	uni-
dade.	A	grandeza	a	medir	e	a	unidade	devem	ser	uniformes,	isto	é,	grandezas	da	mesma	
espécie,	limitando-se	a	ser	diferentes	somente	pelo	valor	numérico.
A	unidade	de	uma	grandeza	 física,	 é	uma	grandeza	que	 tem	um	valor	numérico	 igual	 a	
um.	 As	 unidades	 dividem-se	 em	 dois	 tipos:	 fundamentais	 e	 derivadas.	 A	 dimensão	 das	
unidades	fundamentais	é	escolhida	independentemente	da	dimensão	das	outras	grande-
zas.	A	dimensão	das	grandezas	derivadas	define-se	segundo	uma	dependência	entre	esta	
grandeza	e	as	outras.	O	conjunto	das	unidades	 fundamentais	e	derivadas	que	se	encon-
tram	ligadas	entre	si,	através	de	determinadas	relações	denomina-se	sistema	de	unidades.	
1) Sistema métrico – gravitatório (M. Kp.S)
As	unidades	 fundamentais	 são	o	metro	 (unidade	de	comprimento),	o	quilgrama	–	 força	
(unidade	de	força)	e	o	segundo	(unidade	de	tempo).
Unidades derivadas
Unidade de superfície	–	a	sua	equação	de	definição	é;	S	=	C.L.	Fazendo	C	=		L	=	1m,	
conclui-se	a	unidade	de	superfície	é	o	metro	quadrado	(m2).
Unidade de volume	–	a	sua	equação	de	definição	é;	V	=	CLH,	fazendo	C=L=H=	1m,	
conclui-se	que	a	unidade	de	volume	é	o	metro	cúbico	(m3)
Unidade de velocidade	–	a	sua	equação	de	definição	é;		v s
t
= ,	fazendo	S	=	1m	e	t	=	1s,
conclui-se	que	a	unidade	da	velocidade	é	o	metro	por	segundo	(m/s).
21
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Fig. 8 – Circunferência trigonométrica
2) Sistema C. G. S
As	unidades	fundamentais	são	o	centímetro	(unidade	de	comprimento),	o	grama	(unidade	
de	massa)	e	o	segundo	(unidade	de	tempo).
Unidades	derivadas	–	obtêm-se	a	partir	das	equações	de	definição,	como	se	fez	para	o	sis-
tema	métrico	–	gravitatório.
Unidade de superfície	–	é	o	centímetro	quadrado	(cm2)
Unidade de volume	–	é	o	centímetro	cúbico	(cm3)
Unidade de velocidade –	é	o	centímetro	por	segundo	(cm/s)
O	 sistema	M.K.S	 integra-se	 amplamente	 no	 sistema	 internacional	 (SI),	 que	 adopta	mais	
quatro	unidades	fundamentais:	o	Ampère	(A)	–	unidade	de	intensidade	de	corrente	eléc-
trica;	o	Kelvin	(K)	–	unidade	de	temperatura	termodinâmica;	a	candela	(cd)	–	unidade	da	
intensidade	luminosa;	o	mole	(mol)	–	unidade	de	quantidade	de	substância.
1.4. Noções Básicas da Trigonometria 
 Circunferência trigonométrica
Da	figura	8	(circunferência	trigonométrica),	pode	-	se	deduzir	as	relações	fundamentais	da	
trigonometria.	seno, co-seno, tangente e co-tangente.
A	função	seno	vem	da	relação	entre	o	componente	coordenado	y	e	o	raio	R,	ou	seja	entre	o	
cateto	oposto	Ry	e	a	Hipotenusa	R,	ao	passo	que	a	função	co-seno	é	a	relação	entre	o	com-
ponente	coordenado	em	x	e	o	raio	ou	seja	cateto	adjacente	Rx	e	a	hipotenusa.
R	=	1
 
xx
y
y α
sen
y
R
y
x
R
x
tg
y
R
sen
g
x
y
α
α
α
α
α
α
= =
= =
= =
= =
cos
cos
cot
coosα
αsen
22
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
sen
y
R
x
R
tg
y
x
g
x
y
α
α
α
α
=
=
=
=
cos
cot
R
A
C
B
y
x
α
Relações	mais	utilizadas
sen
a b c bc CAB
c b a
sen
2 2
2 2 2
2
1
2
2 2
α α+ =
= + +
= +
cos
cos
(αα
π
α
α
π
α
+ =
+ = −
2
2
) cos
cos( ) sen
23
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Valores de seno, cosseno, tangente e co-tangente de alguns ângulos
0º 
(0 rad) 0
1
0
1 
0
-1 0
0
1 1 
0 ∞
∞
– ∞
30º
(π/6 rad)
45º 
(π/4 rad)
60º 
(π/3 rad)
90º 
(π/2 rad)
180º 
(π rad)
senoÂngulo cos tg cotg
1
2
1
2
3
2
3
2
1
3
2
2
2
2
1
3
3
3
24
25
Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
UNIDADE 2 – Interacções entre Corpos 
UNIDADE 3 – Trabalho e Energia 
P
A
R
T
E
 I
26
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
PARTE 1: MECÂNICA
Esta	primeira	parte	do	manual	trata	da	análise	dos	movimen-
tos,	as	variações	de	energia	e	as	forças	que	actuam	sobre	um	
corpo.	
Unidade 1
MoviMento de uMa Partícula Material 
O	objectivo	desta	unidade	é	de	descrever	as	formas	básicas	do	
movimento	mecânico	e	as	leis	que	a	regem.	
A	palavra	movimento	está	 ligada	à	vida	e	 tem	várias	 formas	
de	se	manifestar,	uma	dessas	formas	é	o	movimento	mecânico	
que	descreve	a	mudança	de	posição	dos	corpos	no	tempo.
A	cinemática	é	a	parte	da	Mecânica	que	se	ocupa	do	estudo	do	
movimento,	suas	formas	e	suas	leis	sem	ter	em	conta	as	causas	
que	os	originam.
1.1. Ponto Material
A	 Física	 recorre	 à	 uma	 linguagem	 própria	 para	 caracterizar	
alguns	corpos.	No	estudo	do	movimento	mecânico,	considera-se	
ponto material,	um	corpo	cujas	dimensões	podem	ser	despreza-
das,	no	estudo	de	um	determinado	fenómeno,	em	relação	a	um	
determinado	referencial.
Ponto	 material	 é	 um	 corpo	 que	 possui	 uma	 quantidade	 de	
massa,	mas	suas	dimensões	são	desprezáveis	quando	compa-
radas	às	distâncias	envolvidas	no	problema.
Exemplo:	
a)		O	movimento	de	translação	da	Terra	em	torno	do	sol,	
pode	 ser	 considerado	 como	movimento	de	um	ponto	
material,	 enquanto	 o	movimento	 de	 rotação	 da	 terra	
em	torno	do	seu	eixo	já	não.
27
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Fig. 1.1 – Vulola observando o movi-
mento do comboio
b)		Um	 autocarro	 numa	 viagem	 de	 Caxito	 a	 Maquela	 do	
Zombo,	em	comparação	à	estrada,	tem	seu	tamanho	des-
prezível,	então,	pode	ser	considerado	um	ponto	material;	
mas	quando	este	mesmo	autocarro	faz	manobras	em	um	
estacionamento	 seu	 tamanho	deixa	de	 ser	desprezível.
1.1.1. Relatividade do Movimento
O	movimento	de	um	corpo	 tem	sempre	um	significado	rela-
tivo.	Por	exemplo,	uma	pessoa	sentada	num	comboio	está	em	
repouso,	 relativamente	 ao	 sistema	 material	 que	 constitui	 o	
comboio,	mas	está	em	movimento	 relativamente	a	qualquer	
sistema	material	considerado	no	exterior	do	comboio	(estação	
do	caminho	de	ferro,	arvores	etc).	E	qualquer	destes	sistemas	
de	referência	está	em	repouso	relativamente	a	outros.
O	 conceito	 de	 movimento	 ou	 repouso	 é	 relativo	 sempre	 a	
determinados	corpos.
Diremos	 assim,	 que	 umponto	material	 está	 em	movimento	
relativamente	 a	 um	 referencial	 ou	 sistema	 de	 referência,	
quando	a	sua	posição	em	relação	a	este	referencial,	varia	no	
decorrer	do	tempo.	
1.2. Trajectória
Denomina-se	trajectória	ao	caminho	percorrido	por	um	móvel	
em	relação	a	um	referencial	adoptado.
Fig. 1.2 – Trajectória da esfera em movimento
y		m
x		km
28
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
A	trajectória	pode	ser:	
–	Rectilínea
–	Curvilínea
Imaginemos	 um	 helicóptero	 voando	 com	 uma	 velocidade	
constante.	Se,	num	determinado	 instante	ele	 largar	um	saco	
de	arroz,	este	cairá	segundo	uma	trajectória	vertical	em	rela-
ção	ao	piloto	do	helicóptero.	Mas,	para	um	observador	fixo	na	
Terra,	a	trajectória	do	saco	será	parabólica.
1.3. Deslocamento
1.3.1. Origem dos Espaços 
S3
S2
S1
P1
P2
P3
0 Origem	dos	
Espaços
Define-se	origem	dos	espaços	o	ponto	O	 (fixado	arbitrariamente)	
em	relação	ao	qual	são	medidos	os	espaços,	ou	seja:
–	no	ponto	P1	a	distância	do	móvel	à	origem	é	s1
–	no	ponto	P2	a	distância	do	móvel	à	origem	é	s2
–	no	ponto	P2	a	distância	do	móvel	à	origem	é	s2
29
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
0
P0
P1
P2
t	=	o	(origem	dos	tempos)
Seja	um	móvel	descrevendo	uma	 trajectória	qualquer	orien-
tada	ocupando	as	posições	P01,	P11,		P2	...	etc.
Pode-se	definir	também	a	origem	dos	tempos	como	sendo	o	
instante	em	que	começa	a	ser	contado	o	tempo	(t	=	0)	podendo	
ser	fixado	em	qualquer	posição	do	móvel.
Por	exemplo,	quando	o	móvel	na	posição	P0.
Espaço	Inicial	so
Define-se	como	espaço	inicial	(s0)	a	distância	do	móvel	à	ori-
gem	dos	espaços	no	início	da	contagem	dos	tempos	(t	=	0).
Se	um	móvel	se	movimenta	em	linha	recta,	a	sua	posição	muda	
em	cada	instante	e	no	final	do	movimento,	a	sua	posição	será	
diferente	da	posição	 inicial.	A	variação	de	posição	do	móvel	
neste	intervalo	de	tempo	é	designada	deslocamento.	
1.4. Velocidade
A	velocidade	é	a	relação	entre	a	variação	da	posição	no	espaço	
em	determinado	intervalo	de	tempo,	ou	seja.	É	uma	grandeza	
vectorial,	ou	seja	possui	direcção,	sentido	e	módulo.	
No	Sistema	 Internacional	 (S.I.),	 a	 unidade	da	 velocidade	 é	 o	
m/s.	Também	utiliza-se	o	km/h	como	unidade	da	velocidade.	
A	conversão	entre	o	km/h	e	o	m/s,	que	é	dada	pela	seguinte	
relação:
1
1
1000
3600
km
h
m
s
=
30
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
A	partir	desta	relação,	é	possível	extrair	o	seguinte	factor	de	
conversão:
m
s
km
h
. ,3 6 =
				
e		
	
km
h
m
s
÷ =3 6,
1.4.1. Velocidade Média
Seja	um	móvel	percorrendo	a	trajectória.
O
S1
S2
t1
t2
x2
x1
Seja	também:
�x x x=
2 1
–
		
variação	de	posição	[espaço	(caminho)	percor-
rido]
		�t t t= 2 1– 	
intervalo	de	tempo	na	variação	Δs.
Define-se	velocidade	escalar	média,	entre	os	instantes	t1	e	t2,	à	
grandeza	vm	dada	por:
																									 v x
t
x x
t tm
= =
−
−
�
�
2 1
2 1 	
	 (1.1)
A	velocidade	média,	 indica	o	deslocamento	que	em	média	o	
corpo	efectua	por	unidade	do	tempo.
A	velocidade	média	total	não	é	sempre	igual	a	média	aritmé-
tica	das	velocidades.	
Demonstremos	isso	algebricamente.
31
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Caso em que as distâncias são iguais, mas os tempos dife-
rentes
 																								 v s
tm
=
	
	 (1)
Espaço	total:				S	=	S1	+	S2	 	 (2)
Tempo	total:				t t t= +
1 2
; 	
	 t
s
v
t
s
v
t
s
v
s
v
s
v
s
v1
1
1
2
2
2
1
1
2
2 1 2
2 2
= = = + = +,t
s
v
t
s
v
t
s
v
s
v
s
v
s
v1
1
1
2
2
2
1
1
2
2 1 2
2 2
= = = + = +, ⇒ 	 (3)
Substituindo	(3)	em	(1),	obtém-se
	
					 	
v
s
s
v
s
v
m
=
+
2 2
1 2 	 	 (1.2)
	
v
v v
v vm
=
+
2
1 2
1 2
Caso em que os tempos são iguais, mas distâncias dife-
rentes.
							 v s
tm
=
	
	 	 (1)	
	
							
	
t t
t
1 2
2
= =
		
s v t
1 1 1
= .
		
s v t
2 2 2
= .
		
s s s= +
1 2
	
s
t
v v= +( )
2
1 2
	 	
(2)
	
32
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Substituindo	(2)	em	(1),	obtém-se
	
					 	
v
t
v v
tm
=
+( )
2
1 2
	 	
	
v
t v v
tm
=
+( )
1 2
2
	
	
v
v v
m
=
+
1 2
2
	 	
(1,3)
						
Exercícios de aplicação
P1 –	 Um	 automóvel	
percorre	 uma	 distân-
cia	 de	 200	 km,	 em	 1h	
e	 30min.	 Determine	 a	
velocidade	 média	 em	
km/h	e	em	m/s.
Dados
s	=	200	km
t	=	1h30	min	=	1,5h																																						
P2 –	 Um	 automóvel	
moveu-se	à	velocidade	
de	 40	 km/h	 durante	
a	 primeira	 metade	 do	
caminho	e	à	velocidade	
de	20	km/h	durante	 a	
segunda	metade.	Achar	
a	velocidade	média	do	
automóvel.
Dados
v1	=	40	km / h
v2	=	20	km / h		
s s
s
1 2
2
= =
									
																
Resolução
Resolução
v
s
t
v
km
h
v km h
m m m
= = =
200
1 5
133 3
,
, /v
s
t
v
km
h
v km h
m m m
= = =
200
1 5
133 3
,
, /v
s
t
v
km
h
v km h
m m m
= = =
200
1 5
133 3
,
, /⇒ ⇒
Para	se	obter	a	velocidade	média	em	m/s,	é	preciso	converter	
km	em	m	e	hora	em	segundo,	
v
m
s
v m s
m m
= =133 3
1000
3600
37 03, . , /v
m
s
v m s
m m
= =133 3
1000
3600
37 03, . , /⇒
Pela	fórmula	1.2,	temos
v
v v
v vm
=
+
2
1 2
1 2
v km h
m
=
+
=
2 40 20
40 20
26 66
. .
, /logo
33
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Exercícios propostos
P1 –	 Um	 automóvel	 moveu-se	 à	 velocidade	 de	 40	 km/h	
durante	 a	 primeira	metade	 do	 tempo	 e	 à	 velocidade	 de	 20	
km/h	durante	 a	 segunda	metade.	Achar	 a	 velocidade	média	
do	automóvel.
P2 –	Um	 automóvel	 percorre	 2
3 	
de	 um	percurso	 com	 velo-
cidade	de	60	km/h	e	o	restante	com	velocidade	de	90	km/h.	
Determine	a	velocidade	escalar	média	do	automóvel,	durante	
o	percurso.
P3 –	 Um	 móvel	 num	 troço	 inicial	 da	 estrada,	 desenvol-
veu	 uma	 velocidade	 de	 40	 km/h,	 durante	 2	 horas,	 no	 troço	
seguinte,	sua	velocidade	passou	para	70	km/h,	durante	1hora.
a)	Determine	a	distância	total	percorrida	pelo	móvel.	
b)		Determine	a	velocidade	média	do	móvel,	durante	o	per-
curso.	
R: 	v	=	30	km/h
R: 	67,5	km/h
	a)						R: 	s	=	150	km/h
b)						R: 		v	=	50	km/h
1.4.2. Velocidade Instantânea
Tomando	como	referência	o	caso	anterior	de	velocidade	média	
verificamos	que,	à	medida	que	se	diminui	o	intervalo	de	tempo	
entre	os	instantes	t1	e	t2	ou	seja,	Δt	tendo	para	zero,	a	veloci-
dade	média	tende	para	a	velocidade	instantânea.
Isto	é,	a	velocidade instantânea	é	o	 limite	para	o	qual	 tende	a	
velocidade	média,	quando	o	intervalo	de	tempo	Δt	tende	a	zero.
													 v v s
tt m t
= =
→ →
lim lim
� �
�
�0 0
	
	 (1.4)
34
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
1.5. Movimento Rectilíneo 
e Uniforme
Um	dos	movimentos	mais	simples	que	a	cinemática	estuda,	é	
o	movimento	rectilíneo	uniforme.	Esse	movimento	raramente	
aparece	na	vida	prática.	Entretanto,	o	seu	estudo	serve	de	base	
para	a	compreensão	de	movimentos	mais	complexos	como:
•			O	movimento	é	rectilíneo	porque	a	partícula	percorre	uma	
trajectória	em	linha	recta.
•			O	movimento	é	uniforme	porque	não	há	variação	da	velo-
cidade.
Movimento	rectilíneo	e	uniforme	é	um	movimento	em	que	a	
partícula	material	descreve	ou	efectua	deslocamentos/espa-
ços	iguais	em	intervalos	de	tempos	iguais.	
Para	determinar	o	deslocamento	duma	partícula	material	em	
movimento	rectilíneo	e	uniforme,	durante	um	certo	intervalo	
de	 tempo	Δ t precisamos	 saber	o	deslocamento	da	partícula	
durante	aquele	intervalo	de	tempo.	A	relação	entre	a	variação	
do	deslocamento	e	o	intervalo	de	tempo,	chama-se	velocidade.
	
v
s
t
=
�
�
	
	 (1.5)
Onde				Δ s = sf – s0								e									Δ t = tf – t0		
Em	que	
	 s	 –	posição	final
	 s0	–	posição	inicial	
	 t	 –	tempo	final
	 t0	–	tempo	inicial
Tendo	em	conta	que	no	 inicio	da	contagem	do	movimento	o	
instante	inicial	é	sempre	igual	a	zero	t0	=	0,	vem:
v
s
t
=
�
�
	
como				Δ s = s – s0								e									Δ t = t – t0							resulta:
 s = s0	 + vt				 (1.6)			
	
Fig. 1.3 – Movimento rectilíneoe uni-
forme
35
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Exercícios de aplicação
P1 –	 Um	 automóvel	
que	 se	 desloca	 com	
movimento	 uniforme,	
percorre	 80km	 em	
2horas.	Calcule:
a)		A	velocidade	do	auto-
móvel.
b)		A	 distância	 percor-
rida	pelo	automóvel,	
em	5horas.
Dados
s	=	80	km
t	=	2h																																						
Resolução
a)
b)
s =	v.t	⇒ s =	40km	/	h.5h ⇒ s =	200km
v
s
t
v
km
h
v km h= = =
80
2
40 /v
s
t
v
km
h
v km h= = =
80
2
40 /v
s
t
v
km
h
v km h= = =
80
2
40 /⇒ ⇒
Exercícios propostos
P1 –	Um	comboio	percorreu,	em	movimento	uniforme,	750	km	
durante	3	horas.	Calcule:
a)	A	velocidade	do	comboio.	
b)		A	distância	percorrida	pelo	comboio	em	0,5h.	
P2 –	 Um	 ponto	 material	 movimenta-se	 segundo	 a	 equação	
horária					s =	30	–	5t (s		em		m 	e		t		em		s)
a)	Sua	posição	inicial.	
b)		Sua	velocidade.	
c)		Sua	posição	no	instante	3	segundos.	
d)		O	deslocamento	no	fim	de	6	segundos.	
e)		O	instante	em	que	o	móvel	passa	pela	posição	20m.	
e)		Esquematize	o	movimento	num	eixo	orientado.		
a)						R: 	v =	250	km/h
b)						R: 	s	=	125	km
a)						R: 		s0	=	30	m	
b)						R: 		v =	–5m/s
c)						R: 		s3	=	15	m	
d)						R: 		s6	=	–30	m
e)						R: 		s20	=	2s	
36
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
P3 –	Um	móvel	desloca	-se	sobre	uma	recta	e	tem	suas	posições	
em	função	do	tempo	representadas	pela	equação
	s	=	3+	5t	(s		em	m)
Determine	a	velocidade	média	do	móvel	nos	intervalos	(0	a	6)	s	
e	(2	a	11)	s.
P4 –	Um	autocarro	move	com	movimento	uniforme	à	velocidade	
de	60	km/h.	Com	que	velocidade	deverá	seguir	outro	automóvel	
que	parte	15	minutos	depois,	para	alcançar	o	depois	de	210	km.
P5 –	Um	avião	passa	sobre	uma	cidade	com	a	velocidade	de	
400	km/h,	que	mantém	durante	o	resto	do	percurso.	Depois	de	
45	minutos	passa	um	outro	avião	 seguindo	a	mesma	rota	do	
primeiro	com	velocidade	de	600	km/h.	A	que	distância	da	refe-
rida	cidade	o	segundo	avião	ultrapassará	o	primeiro.
R:			vm = 5m/s
para os dois intervalos
Exercícios propostos
R: 		v =	65	km/h 
R: 		900	km	
Gráficos do movimento rectilíneo uniforme 
Para	o	movimento	descrito	neste	capítulo	podemos	traçar	os	
gráficos
• Deslocamento – tempo 
O	deslocamento	e	o	 tempo	são	grandezas	directamente	pro-
porcionais.	O	gráfico	é	uma	linha	recta	inclinada	em	relação	ao	
eixo	das	abcissas.
0
s
t
0
t
s
37
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
• Velocidade – tempo 
Sendo	a	velocidade	a	mesma	em	qualquer	instante,	podemos	
dizer	que	o	gráfico	da	velocidade	em	função	de	tempo	é	uma	
linha	recta.
O	valor	da	velocidade	mantém-se	constante.	O	gráfico	é	uma	
linha	paralela	ao	eixo	das	abcissas.
v
t
v
t
Movimento progressivo Movimento regressivo
Exercícios de aplicação
P1 –	Um		móvel	movi-
menta-se	 segundo	 a	
equação:
s =	4	+	3t	(SI)
Construa	o	gráfico	de
s	=	f (t)
Resolução
t	 s
0 4
1 7
s (m)
t (s)
7
4
0 1
38
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
P1 –	Um	 ponto	material	movimenta	 se	 em	 uma	 trajectória	
rectilínea	e	tem	suas	posições,	em	função	do	tempo	dadas	pelo	
gráfico.
P2 –	Dois	móveis	A	e	B	percorrem	uma	recta	com	MU	e	têm	suas	
posições,	em	função	do	tempo,	dadas	pelo	gráfico:
Exercícios propostos
a)	Construir	o	gráfico	v	=	f	(t)	de	todos	os	trechos;
b)		Interpretar	o	movimento;
c)	Qual	o	deslocamento	do	ponto	material	entre	26s	e	30s?
b)
R: O	ponto	material	par-
tindo	da	posição	6m,	
atinge	a	posição	56m	
em	 l0s	 (movimento	
progressivo)	 na	 qual	
pára	 durante	 8s.	 Em	
seguida	 retoma	 à	
origem	 (0	 m)	 em	 8s	
(movimento	 retró-
grado).	 Chegando	 à	
origem,	 parte	 nova-
mente	 com	 movi-
mento	progressivo.
c)						R: 		 4m	
a)						R: 			4s	
b)						R: 		13m
Determine:	
a)	O	Instante	do	encontro;		
b)	A	posição	no	instante	do	encontro.	
56
10 18 26 30
6
s (m)
t (s)4
s(m)
t(s)
B
2
5
-3
9
A
39
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
1.5.1. Aceleração
Afirmamos	sempre	que	um	automóvel	está	a	acelerar	quando	
o	valor	da	sua	velocidade	está	a	aumentar	com	o	decorrer	do	
tempo.
O	conceito	de	aceleração	em	Física	é,	porém,	mais	geral.	Assim,	
dizemos	que	um	móvel	está	a	acelerar	quando	a	 sua	veloci-
dade	varia,	com	o	decorrer	do	tempo.	Podemos	definir	a	ace-
leração	como	sendo	a	rapidez	com	que	varia	a	velocidade	no	
decorrer	do	tempo
Fig. 1.4 – Automóvel acelerando
1.5.1.1 Aceleração Média
Quando	uma	partícula	material	varia	a	sua	velocidade	de	v0	a	
v	durante	o	intervalo	de	tempo	t0	a	t,	a	aceleração	média	pode	
ser	 definida	 como	 sendo	 a	 relação	 entre	 a	 rapidez	 com	que	
varia	a	velocidade	e	o	tempo	em	que	ocorreu	essa	variação.
	
a
v
t
=
�
�
	
	 (1.7)
onde				Δ v = v – v0								e									Δ t = t – t0		
Unidade da aceleração
SI:	metro	por	segundo	ao	quadrado	(m/s2)
CGS:	centímetro	por	segundo	ao	quadrado	(cm/s2)
40
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Exercícios de aplicação
P1 –	 A	 velocidade	 de	
um	 automóvel	 varia	
de	5	m/s	para	15	m/s	
durante	 4	 segundos,	
determine	 a	 acelera-
ção	com	que	se	move	o	
automóvel.
Dados
v1	=	5m/s
v2	=	15m/s	
t	=	4s																																	
P3 –	 Um	 automóvel,	
partindo	 do	 repouso,	
desloca-se	 com	 uma	
aceleração	uniforme	de	
150	 cm/s2.	 Dentro	 de	
quanto	tempo	alcançará	
a	velocidade	de	15	m/s?
Dados
v1	=	0
t1	=	0
a	=	150cm/s2
v2	=	15cm/s2
t2	=	?
Resolução
Resolução
⇒a
v v
t
a
m s m s
s
= =
−
2 1
15 5
4
– / /
�
a
v v
t
a
m s m s
s
= =
−
2 1
15 5
4
– / /
�
a =	2,5m	/ s2
P2 –	Determinar	a	ace-
leração	 escalar	 média	
do	móvel	que	percorre	
a	trajectória.
O P1 P2
t	=0	
t1=2
v1=5	
t2=3
v2=10	
Temos:
Como			 v1	=	0					e					t1	=	0,					vem			
logo
a
v
t
v v
t tm
= =
−
−
=
−
−
= =
�
�
2 1
2 1
10 5
3 2
5
1
5
a
v v
t t
= 2 1
2 1
–
–
a
v
t
t
v
a
= =2
2
2
2a
v
t
t
v
a
= =2
2
2
2⇒
2 2
15
1 5
10t
m s
m s
s= =
/
, /
41
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Exercícios propostos
P1 –	A	velocidade	de	um	automóvel	que	se	desloca	com	acele-
ração	uniforme,	aumentou	de15m/s	para	25m/s,	durante	6,25	
segundos.	Determine	a	aceleração	com	que	se	deslocou	o	auto-
móvel,	durante	este	aumento	de	velocidade.
P2 –	Um	autocarro	move-se	com	a	velocidade	de	10m/s,	pára	
durante	4	 segundos	depois	de	começar	a	 travar.	Determine	a	
aceleração	com	que	o	autocarro	se	deslocou	durante	a	 trava-
gem.	
R: 		a =	1,6	m/s2
R: 		a =	2,5m/s2
1.5.1.2 Aceleração Instantânea
A	aceleração	média	nos	informa	de	modo	global	a	variação	da	
velocidade	da	partícula	e	não	nos	diz	como,	de	forma	efectiva,	
ocorre	essa	variação	em	todos	os	trechos	do	movimento.
Uma	informação	precisa	sobre	como	ocorre	a	variação	da	velo-
cidade	em	intervalos	de	tempo	pequenos,	só	pode	ser	obtida	
através	do	estudo	da	aceleração	instantânea.	
Dizemos	 que	 a	 aceleração	 no	 instante t	 é	 o	 limite	 para	 que	
tende	a	aceleração	média,	quando	o	intervalo	de	tempo	tende	
para	zero.
 
a a
A t o m
=
→
lim
�
No	caso	do	movimento	rectilíneo	(e	só	neste),	como	os	valores	
das	acelerações	médias	são	dadas	pela	equação	seguinte:
	


a
v
tm
=
�
�
	
	 (1.8)
			
42
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
1.6. Movimento Variado
O	movimento	mais	comum	no	nosso	dia	a	dia,	é	o	movimento	
variado.	Nesse	movimento,	a	partícula	material	descreve	inter-
valos	de	espaços	diferentes	em	intervalos	de	tempo	iguais.	
No	movimento	variado	o	módulo	da	velocidade	aumenta	uni-
formemente	com	o	decorrer	do	tempo.	O movimento é cha-
mado de acelerado	quando	o	módulo	da	velocidade	aumenta	
uniformemente	 com	o	decorrer	do	 tempo.	Assim,	o	 sinal	da	
velocidade	coincide	com	o	sinal	da	aceleração.
No	entanto,	o	movimento	variado	pode	ser	também	retardado.	
O	 movimento	 é	 retardado	 quando	 o	 módulo	 da	 velocidade	
diminui	uniformemente	com	o	decorrer	do	tempo.Nesse	caso,	
o	sinal	da	velocidade	não	coincide	com	o	sinal	da	aceleração.
1.6.1. Movimento Rectilíneo Uniformemente 
Variado 
Movimento	 rectilíneo	 uniformemente	 variado	 é	 aquele	 cuja	
trajectória	é	uma	linha	recta	e	sua	aceleração	é	constante.
at =	k
a
v
t
=
�
�
	
onde	 Δt	=	t	–	t0												sendo					t0	=	0,
	vem	 v	=	v0	+ a t	 	 	 	 	 (1.9)
43
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Função Horária do Espaço do Movimento 
Uniformemente Variado
Analisemos	 o	 gráfico	 da	 velocidade	 de	 um	móvel	 em	movi-
mento	uniformemente	variado
V
V
A
V0
t(s)
base
menor
base
maior
0
(m/s)
A	área	 (A)	na	 figura	 representa,	 numericamente,	 o	 caminho	
percorrido	pelo	móvel	durante	o	tempo t
A	=	Δ S 	 	 	 (1)
onde				Δ S 	 = 	 S – S 0
Δ S 	 = 	 S – S 0 	 	 		Espaço	inicial	do	móvel	(instante	zero)	
S	=	Espaço	do	móvel	no	instante	genérico t
Por	outro	lado,	a	área	da	figura	(trapézio)	corresponde	a:
A	=	{(base maior + base menor)/2}. Altura ⇒ A=
+v v
t
0
2
.
		
(2)
comparando	(1)	e	(2)	vem:
	
(3)�S
t
t
v v
=
+
0
.
44
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Mas		v	=	v0	+	a t,		substituindo	esse	valor	em	(3),	vem:
�S
v at v
t
v t at at
=
+ +
=
+ +
0 0 0
2
2
2
2
.
�S v t
at
= +
0
2
2
s s v t a t− = +
0 0
2
1
2
(função horária do espaço para o MUV)
s s v t at= + +
0 0
2
1
2
		 	 	
(1.10)
Equação de Torricelli
Existe	um	caso	particular	que	tem	servido	para	a	resolução	de	pro-
blemas	em	que	a	função	do	tempo	é	ignorada.	Trata-se	da	equa-
ção	de	Torricelli.	A	equação	de	Torricelli	relaciona	a	velocidade	
com	o	espaço	percorrido	por	um	móvel.	Ela	é	obtida	eliminando	o	
tempo	entre	as	equações	horária	e	das	velocidades	e	dos	espaços.
s s v t at= + +
0 0
2
1
2 		
	v	=	v0	+ a t	
Isolando	o	tempo		t 	na	equação	(1.9)	obtemos:
t
v v
a
=
− 0
Substituindo	em	(1.10)	vem:
s s v
v v
a
a
v v
a
s s
v v v
a
a
v
= +
−
+
−
− =
−
+
0 0
0 0 2
0
0 0
2 2
1
2
1
2
( )
−− +
− =
−
+
− +
2
2
2
0 0
2
2
0
0 0
2 2
0 0
2
v v v
a
s s
v v v
a
v v v
a
45
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Reduzindo	ao	mesmo	denominador	temos:
2
2
2 2 2
2
2
0 0 0
2
0 0
2
0
a s s
a
v v v v v v v v
a
a s s
( ) ( )
(
−
=
− + − +
− ))
( )
= − + − +
− = − +
=
2 2 2
2
0 0
2 2
0 0
2
0 0
2 2
2
v v v v v v v
a s s v v
v vv a s s
0
2
0
2+ −( )
Mas						s–s0	=	Δs
Logo						v2	=	v02	+	2aΔs (2.10)
																Equação	de	Torricelli	
Exercícios de aplicação
P1 –	 Um	motorista	 de	
um	 automóvel	 que	 se	
desloca	 a	 10m/s	 viu	 o	
sinal	vermelho	do	semá-
foro	e	 começou	a	 redu-
zir	 a	 velocidade,	 des-
locando-se	 com	 uma	
aceleração	de	5	m/s2.	
a)		Que	 distância	 per-
correu	 o	 automóvel	
durante	 os	 três	 pri-
meiros	segundos?
b)		Que	 distância	 per-
correu	 o	 automóvel	
até	imobilizar-se?
Dados
v0	=	10m / s
a	=	5m / s2		
a)	 s =	?		para	 t	=	3s								
b)		s =	?		para	 v	=	0																																																		
Resolução
a)
b)
Como	
s
v v
a
=
+2
0
2
2
v s s m= → =
−
−
→ =0
0 100
2 5
10
.( )
s v t at= +
0
2
1
2
s = × + −10 3
1
2
5 9.( ).
s s m= − → =30 22 5 7 5, ,
46
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Exercícios de aplicação
P2 –	 Um	 ponto	mate-
rial	em	movimento	ad-
quire	 velocidade	 que	
obedece	à	expressão	
v =	10-2t
						(t	em	s;	v	em	m/s)
Calcule:
a)		A	velocidade	inicial;
b)		A	aceleração;
c)		A	velocidade	no	ins-
tante	6s;
d)		O	 instante	 em	 que	 o	
ponto	material	muda	
de	sentido.																											
Resolução
A	equação	 v =	10–2t	 	é	do	1º	grau,	portanto	o	movimento	é	
uniformemente	variado,	logo	por	comparação:
v =	10	–	2t
v = v0+at
 a)		v0	=	10m/s
			b)			a	=	2m/s2
				c)		Quando		t =	6m/s
v	=	10	–	2t 
v	=	10	–	2.6
v	=	10	–	12
v	=	2m/s			(tem	sentido	contrário	ao	positivo	da	trajectória)
			d)			O	ponto	material	muda	de	sentido	quando		v	=	0
v	=	10	–	2t
0	=	10	–	2t → t =	5s
P1 –	Complete	a	tabela	
Exercícios propostos
Equação	do	
movimento
S	=	1	+	5t
S	=
S	=	2t2	+	t	+	1
Tipo	de	
movimentoS0(m) V0(m/s) a	(m/s
2) S	(t	=	2s)
3
2
2t
R:					1m;	5m/s;	0m/s2;	
11m;	MRU
0m;	0	m/s;	3	m/s2;	
6m;	MRUV
1m;	1m/s;	4	m/s2,	
11m;	MRU
47
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
P2 –	Um	 automóvel	 iniciou	 um	movimento	 uniformemente	
retardado	com	velocidade	de	12	m/s	e	percorreu	125	metros	
durante	80	segundos.	Calcular:
a)	A	aceleração	do	movimento;
b)	A	velocidade	depois	de	30	segundos.
a)						R: 			0,26	m/s2
b)						R: 		4,2	m/s
Exercícios propostos
P3 –	Um	móvel	parte	do	repouso	com	movimento	de	acele-
ração	constante	e	 igual	a	5m/s2.	Determine	a	velocidade	e	a	
distância	percorrida	pelo	móvel	no	fim	de	8	segundos.	 	R: 		40m/s	e	160m
Gráficos do movimento rectilíneo 
uniformemente variado
Sendo	 a	 equação	 horária	 do	 movimento	 uniformemente	
variado	do	2.º	grau,	o	diagrama	é	uma	parábola.	
s(m)
1000
500
t(s)
0 10 20 30 40
Fig. 1.5 – Gráfico do espaço
48
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Pode-se	apresentar	nas	seguintes	formas:
•		A	recta	tangente	à	parábola,	no	ponto	em	que	ela	corta	o	
eixo	dos	eixos	(t	=	0),	representa	geometricamente	a	velo-
cidade	inicial,	e	a	sua	inclinação	fornece	o	valor	de			com	o	
seu	sinal.
Exercícios de aplicação
P1 –	 A	 velocidade	 de	
um	 automóvel	 varia	
de	5	m/s	para	15	m/s	
durante	 4	 segundos,	
determine	 a	 acelera-
ção	com	que	se	move	o	
automóvel.
Dados
v1	=	5m/s
v2	=	15m/s	
t	=	4s																																	
Resolução
⇒a
v v
t
a
m s m s
s
= =
−
2 1
15 5
4
– / /
�
a
v v
t
a
m s m s
s
= =
−
2 1
15 5
4
– / /
�
a =	2,5m	/ s2
a a
0 0t t
Fig. 1.6 – a) Gráfico da velocidade b) Gráficos da aceleração
a) b)
v(m/s)
50
40
30
20
10
0 10 20 30 40
t(s)
49
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
P2 –	Dado	o	gráfico	da	velocidade	de	um	ponto	material	em	
função	 do	 tempo,	 que	 se	 desloca	
numa	trajectória	rectilínea.
P1 –	Gráfico	representa	a	variação	da	velocidade	de	uma	partí-
cula	que	se	move	rectilineamente.
a)	Qual	é	a	velocidade	inicial	e	final	da	partícula.	
b)	Qual	é	a	aceleração	da	partícula	no	instante	t	=	2	s.		
c)	Qual	é	a	aceleração	da	partícula	no	instante	t	=	3	s.	
d)	Como	se	chama	este	tipo	de	movimento
e)		Determine	o	deslocamento	da	partícula	entre	os	instan-
tes	t	=	0	s	e	t	=	4	s.		
f)		Se	no	instante	inicial,	a	partícula	se	encontrava	em	X	=	3	m.	
Qual	será	a	sua	posição	no	instante	t	=	4	s 
a)	R: v0	=	10	m/s;	v = 30 m/s
b)	R: 	5	m/s2
c)	R: 	5	m/s2
d)	R: 	MRUA
e)	R: 	80m
f)	R: 	83m
Exercícios propostos
 
 
 
 
 
 
 
v(m/s)
t(s)
35
30
25
20
15
10
5
0
0 0.5 1 2 31.5 2.5 3.5
v(s/m)
t(s)0 2 5
6
4
50
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
P3 –	 O	 gráfico	 abaixo	 representa	 a	 velocidade	 de	 um	 ponto	
material	em	função	do	tempo,	que	se	desloca	em	uma	trajectó-
ria	rectilínea.
Exercícios propostos
Calcule:
a)		As	velocidades	nos	instantes	1	s	e	5	s;			
b)		O	espaço	percorrido	no	intervalo	de	0s	a	6	s;		
c)	A	velocidade	média	no	intervalo	de	1	s	a	8	s;	
d)	Construa	o	diagrama	a	=	f(t).	
a)	R: 	4,5m/s		e		6m/s					
b)	R: 	33m			
c)	R: 	5,75m/s					
d)	R: 						
a)	R: 	5m/s	e	2m/s					
b)	R: 	19m			
c)	R: 	3,8	m/s					
d)	R: 						
Determine:
a)	As	velocidades	nos	instantes	1	s	e	4	s;				
b)	O	espaço	percorrido	no	intervalo	de	0s	a	5s;		
c)	A	velocidade	média	no	item	anterior;		
d)	Construa	o	diagrama	a	=	f(t).			
a(m/s2)
t(s)
5
2
1
-2
v(s/m)
t(s)
186420
3
6
a(m/s2)
t(s)18
-0,5
6
2
51
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
1.6.2. Queda de um Corpo
Queda	livre	é	o	movimento	que	consiste	na	queda	dos	corpos	
desprezando	a	resistência	do	ar.
A	aceleração	da	gravidade	é	considerada	constante	e	repre-
senta-se	 pela	 letra	 «g».	 Portanto	 oseu	 valor	 varia	 depen-
dendo	da	altitude	ou	da	latitude	em	que	se	realiza	a	medição.	
Tendo	em	conta	o	nível	do	mar	e	uma	latitude	de	45°	o	seu
valor	aproximado	será				g	=	9,80665	 m
s2
Para	esse	caso	teremos	as	seguintes	equações	de	movimento:
Equação da velocidade
v = v0	+ at
v = v0	+ gt 																																																				
Equação de Movimento
 	 
 
s s v t
a
t t= + +
0 0
2 2
2 
 
 
s s v t
g
t= + +
0 0
2
2
Equação de Torricelli
v2	= v20	+ 2aΔs
v2	= v20	+ 2gΔs 				
Fig. 1.5 – Malenga deixa cair (aban-
dona) um corpo
52
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Exercícios de aplicação
P1 –	Uma	pedra	foi	solta	
do	 terraço	de	 um	edifí-
cio	de	180	m	de	altura.	
Considerando	
									g	=	10	m/s2,	calcule:
a)		O	 tempo	 gasto	 pela	
pedra	para	chegar	ao	
chão.
b)		A	velocidade	da	pedra	
ao	chegar	ao	chão.
Dados
h	=	180m
g	=	10m / s2		
a)		t =	?	
b)		v =	?			
Resolução
a)
b)
⇒t t s= =36 6t t s= =36 6
t
m
m s
= =
2 180
10
360
10
2
.
/
Logo⇒h gt t h
g
= =
2
2
2
h
gt
t
h
g
= =
2
2
2
⇒ ⇒v gh v v m s= = = =2 2 10 180 3600 60. . /v gh v v m s= = = =2 2 10 180 3600 60. . /v gh v v m s= = = =2 2 10 180 3600 60. . /
Exercícios propostos
R: 		4s					
R: 		176	m		e		58,8	m/s					
R: 		52	m/s			
P1 –	Deixou-se	 cair	verticalmente	um	grave	do	 topo	de	uma	
torre	de	90	metros	de	altura.	Calcular	a	duração	da	queda.
P2 –	 Que	 espaço	 percorreria	 em	 6	 segundos,	 um	 objecto	
caindo	 livremente	 na	 vertical?	 Que	 velocidade	 teria	 ao	 fim	
desse	tempo?	
P3 –	Um	objecto	foi	lançado	verticalmente	de	cima	para	baixo,	
tendo	 gasto	 4	 segundos	 a	 percorrer	 uma	 distância	 de	 200	
metros.	Calcular	a	velocidade	inicial	com	que	foi	lançado.
53
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
1.6.3. Ascensão de um Corpo
Observa	 a	 figura	 acima.	 A	mesma	 representa	 o	 lançamento	
vertical	para	cima	de	uma	bola	por	um	jovem.	Desprezando	a	
resistência	do	ar	notamos	o	seguinte:
•		Ao	 subir	 a	 velocidade	 vai	 reduzindo	 até	 atingir	 a	 altura	
máxima.	
A	 velocidade	 escalar	 e	 a	 aceleração	 escalar	 devem	 ter	
sinais	opostos.
Este	movimento	de	ascensão	é	um	movimento	uniforme-
mente	 retardado	 e	 pode	 ser	 comparado	 ao	 movimento	
rectilíneo	 uniformemente	 variado	 estudado	 no	 capítulo	
anterior.	 Para	 este	movimento	 a	 aceleração	 é	 negativa	 e	
durante	 este	 movimento	 a	 velocidade	 aumenta	 9,8	 	 em	
cada	1	segundo.	
•		O	corpo	ao	atingir	a	altura	máxima,	a	sua	velocidade	é	igual	
a	zero.
Segundo	a	análise	do	gráfico	substituindo	o	espaço	pela	altura	
obtemos:
h h v t gt= + −
0 0
2
1
2
		
(1.11)
v	=	v0	–	gt (1.12)
Utilizando	 a	 equação	 de	 Torricelli	 e	 tendo	 em	 conta	 que	 a	
aceleração	é	negativa	vem:
v2	= v20	+ 2aΔh		
Lançamento vertical
Fonte: Livro Didático Público/SEED
54
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Como						v	=	0						vem						0	=	v0	–	2g	(hmax	–	h2)					
Se	a	velocidade	inicial	 for	V0	é	possível	determinar	a	altura	
máxima	(Hmáx).
hmax	=	
v
g
0
2
2
Trajectória orientada para cima,
portanto y = –g
Trajectória orientada para baixo,
portanto y = –g
y	=	+gy	=	–g
Propriedades do Lançamento Vertical 
(Tempo de Subida e de Descida)
A	altura	máxima	atingida	pelo	corpo	será:	hmax	=	
v
g
0
2
2
	
(1.13)
Tempo de subida:	é	o	tempo	gasto	pelo	corpo	desde	o	ponto	de	
partida	até	atingir	a	altura	máxima.	Sabendo	que	t0	=	0		e		v0	≠	0,	
no	ponto	mais	alto	da	trajectória	obtemos:	
v	=	v0	+	at
Como				v	=	0
t
v
gs
= 0
	
(1.14)
onde
t
v
gs
= 0 		e		é	o	tempo	de	descida,	o	que	significa	que	o	
tempo	de	subida	e	o	de	descida	que	o	corpo	
leva	a	percorrer	é	igual.	Isto	é	:			
ts = td
55
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Exercícios de aplicação
P1 –	 Uma	 pedra	 lan-
çada	verticalmente	para	
cima,	 alcança	 a	 altura	
de	30	m.	Quanto	tempo	
necessitará	 para	 alcan-
çar	essa	altura?
Dados
h	=	30m
t	=	?																																						
Resolução
⇒t
h
g
t t s= = = =
2 2 30
10
6 2 49
.
; ,t
h
g
t t s= = = =
2 2 30
10
6 2 49
.
; ,
P1 –	Com	que	velocidade	deve	ser	lançada	uma	pedra	verti-
calmente	de	baixo	para	cima	para	que	atinja	a	altura	de	70	m?	
Que	tempo	demora	a	subida?	
P2 –	Lançou-se	verticalmente	uma	bola	que	atingiu	10	metros	
de	altura.	Calcular:
a)	A	velocidade	inicial	com	que	a	bola	foi	lançada.
b)	O	tempo	que	a	bola	leva	a	regressar	ao	ponto	de	partida.
P3 –	Uma	pedra	foi	lançada	horizontalmente	do	topo	de	uma	
torre	de	30	m	de	altura,	com	uma	velocidade	de	20	m/s.	Cal-
cular:
a)	O	tempo	que	demorou	a	queda.		
b)	A	distancia	da	base	da	torre	ao	ponto	onde	caiu	a	pedra.	
c)	A	velocidade	total	com	que	a	pedra	atingiu	o	solo.	
					R: 37	m/s		e	2	,7	s
a)	R: 	14	m/s2
a)	R: 	2,5	s
b)	R: 	2,8	s
b)	R: 	49	m
b)	R: 	31	m/s
Exercícios propostos
56
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
1.7. Movimento Circular
Em	 Engenharia	 e	 na	 natureza	 em	 geral	 aparece	 com	muita	
frequência	movimentos,	cujas	trajectórias	são	curvilíneas.	As	
trajectórias	dos	planetas	e	satélites	artificiais	no	espaço	cós-
mico,	as	 trajectórias	das	peças	das	máquinas	e	mecanismos,	
são	curvilíneas.
Se	define	movimento	circular	como	aquele	cuja	 trajectória	é	
uma	 circunferência.	 Uma	 vez	 situado	 a	 origem	CO	 de	 ângu-
los	descrevemos	o	movimento	circular	mediante	as	seguintes	
grandezas.
Posição angular, θ
No	 instante	 t	 o	 móvel	 se	 encontra	 no	 ponto	 P.	 Sua	 posição	
angular	é	dada	pelo	ângulo	θ,	que	faz	o	ponto	P	com	o	centro	
da	circunferência	C	e	o	raio	CO.
O	ângulo	θ,	é	o	quociente	entre	o	comprimento	do	arco	s	e	o
raio	da	circunferência	r,
 
θ =
s
r
.	A	posição	angular	é	expressa	
em	radianos.
Velocidade angular, ω
P
O
sr
C
0
P
P’
O
t
t’
0’
C
0
57
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
No	instante	t' o	móvel	se	encontrará	na	posição	P'	dada	pelo	
ângulo	θ'.	O	móvel	deslocou-se	Δθ	=	θ'–θ	no	intervalo	de	tempo	
Δt=t'–t	compreendido	entre	t	e	t'.
Se	denomina	velocidade	angular	ao	quociente	entre	o	desloca-
mento	angular	e	o	intervalo	de	tempo.
																													 	
ω
θ
=
�
�t 	
(1.15)
A	 velocidade	 angular	 expressa-se	 em	 radianos	 por	 segundo	
(rad/s).
Velocidade linear, v
A	velocidade	linear,	é	calculada	como	a	relação	entre	o	compri-
mento	do	arco	s	e	o	respectivo	intervalo	de	tempo.
																													 	
v
s
t
=
	
(1.16)
A	velocidade	linear	é	expressa	em	metros	por	segundos	(ms–1).
Substituindo	na	fórmula	2.17	o	comprimento	do	arco,	obtém-se:
																													 	
v
r
t
v r= =
θ
ω, ⇒	v
r
t
v r= =
θ
ω,
	
(1.17)
1.7.1. Movimento circular uniforme
Neste	tipo	de	movimento,	o	módulo	da	velocidade	é	constante,	
mas	a	direcção	varia	constantemente.
s	=	s0	+	vt
sendo
s0	a	posição	da	partícula	no	instante	t	=	0s 	
Dividindo	ambos	os	membros	da	expressão	anterior	pelo	raio	
da	trajectória,	obtém-se:
	 ϕ = ϕ
0
 + ωt (1.18)
sendo	ϕ
0
	o	ângulo	ao	centro	no	instante		t =	0s	.
Esta	expressão	é	válida	para		s	<	2	π r.
v
v
v
v
Fig. 1.7 – Velocidade variável em 
direcção
58
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Período e Frequência
No	movimento	circular	uniforme,	o	corpo	ao	se	deslocar	per-
corre	a	trajectória	repetidas	vezes,	por	isso	é	que	este	movi-
mento	também	é	considerado	de	periódico.
O	tempo	que	o	corpo	leva	a	dar	uma	volta	completa	chama-se	
período	(T).
O	número	de	vezes	que	o	corpo	efectua	por	unidade	de	tempo	
chama-se	Frequência	(ƒ)
f
n
t
=
�
,				(1.19)			onde	n	é	o	número	de	voltas	que	o	corpo	dá	e	
Δt,	o	tempo	gasto	para	se	dar	aquelas	voltas.
Unidade da Frequência
No	Sistema	Internacional	a	Frequência	mede-se	pelo	inverso	
do	segundo	o	que	equivale	a	um	Hz	(Hertz)
Convém	recordar	que	sendo	ro	raio	da	trajectória	e	T	o	perí-
odo	do	movimento	(tempo	que	a	partícula	demora	a	descrever	
uma	volta	completa),	podemos	escrever
	
v
r
T
r f= =
2 2π π
	
e		como	a	frequência	do	movimento	é
	
f
T
Hz hertz=
1
( ) ( )
	
podemos	ainda	escrever
w =	2π f (1.20)
Aceleração Centrípeta (Normal)
A	 aceleração	 do	 movimento	 circular	 uniforme	 é	 centrípeta,	
isto	é,	perpendicular	a	velocidade	do	movimento,	ao	longo	do	
raio	em	direcção	ao	centro	da	circunferência	(trajectória).
	 	
a
v
rc
=
2
	
(1.21)
A	aceleração	centrípeta	pode	ser	igualmente	expressa	através	
da	velocidade	angular.	Sabemos	que v =	ωr,	substituindo	v	na	
fórmula	anterior,	obtemos:
 ac =	ω2 r (1.22)
Fig. 1.8 – Aceleração centrípeta
ac
ac
ac
ac
R
59
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
1.8. Movimento Circular Variado
Aceleração angular, α
Se	denomina	aceleração	angular	ao	quociente	entre	a	varia-
ção	de	velocidade	angular	e	o	intervalo	de	tempo	gasto	para	
efectuar	esta	variação.	A	aceleração	angular,	que	é	responsá-
vel	pela	variação	da	velocidade	angular,	é	definida	pela	razão	
entre	a	variação	da	velocidade	angular,	e	o	intervalo	de	tempo	
gasto	para	efectuar	esta	variação.
α
ω
=
�
�t
Onde			Δω	=	ω –	ω0						e				Δt	=	t –	t0
			
	 	
α
ω ω
=
−
0
0
t t– 	
(1.23)
1.8.1. Movimento Circular Uniformemente 
Variado
Um	movimento	 circular	 uniformemente	 acelerado	 é	 aquele	
cuja	aceleração	α	é	constante.	
As	 equações	do	movimento	 circular	uniformemente	 variado	
por	 analogia	 têm	 a	mesma	 formulação	 que	 as	 equações	 do	
movimento	rectilíneo	uniformemente	variado.
α	=	constante
ω	=	ω0	+	at
θ θ ω= + +
0 0
2
1
2
t at
	 	
(1.24)
Podemos	 afirmar,	 que	 o	 módulo	 da	 aceleração	 centrípeta	
depende	da	velocidade	angular	do	corpo	e	do	raio	da	trajec-
tória.
60
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
Exercícios de aplicação
P1 –	 Uma	 partícula	
efectua	1200	rpm	numa	
circunferência	de	0,5	m	
de	raio.	Determine:
a)		A	 velocidade	 angular	
da	partícula.
b)		A	 velocidade	 linear	
da	partícula.
Dados
f rpm
s
Hz= =1200
1200
60
20
r	=	0,5m
a)		ω =	?	
b)		v =	?			
Resolução
a)
ω =	2π f → ω	=	2π.20
ω =	40rad / s
b)
v =	ωr → v	=	40π.0,5
v =	20π m / s
Exercícios propostos
P1 –	Um	disco	tem	3,2	m	de	diâmetro	e	gira	com	velocidade	
constante,	efectuando	120	voltas	por	minuto.	Calcular:	
a)	A	velocidade	angular	do	disco.
b)	A	velocidade	linear	dos	pontos	da	periferia.
P2 –	Uma	partícula	 tem	movimento	 circular	uniforme	 com	
velocidade	de	3	m/s.	o	raio	da	trajectória	é	de	1,2	m.	Calcular:	
a)	A	velocidade	angular.
b)	A	aceleração	centrípeta.
P3 –	Que	velocidade	deve	 imprimir-se	a	uma	partícula	que	
se	move	sobre	uma	 trajectória	circular	de	25	cm	de	diâme-
tro,	tenha	uma	aceleração	centrípeta	de	0,5	m/s2?	Qual	será	a	
velocidade	angular	da	partícula?
a)	R: 	12,56	rad/s				
a)	R: 	2,5	rad/s
b)	R: 	20	m/s
b)	R: 	7	m/s2
					R: 	0,25	m/s	e	2	rad/s
61
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material 
P4 –	Duas	polias	de	raios	r1	=	0,05	m	e	r2	=	0,1	cm,	respectiva-
mente,	estão	ligadas	por	uma	correia.	O	período	de	rotação	da	
polia	de	menor	raio	é	igual	a	0,5	s.	A	que	velocidade	se	desloca	
a	correia?	Qual	é	o	período	de	rotação	da	segunda	polia.
P5 –	Uma	partícula	realiza	um	movimento	circular	uniforme	
de	raio	5	m,	completando	uma	volta	em	cada	5	s.	Calcule	a	fre-
quência	e	a	velocidade	angular	do	movimento. R: 0,2	Hz	e	1,256	rad/s
R: 0,6	m/s	e	1s
Exercícios propostos
62
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
Unidade 1i
interacções entre corPos 
Na	unidade	anterior	estudamos	o	movimento	dos	corpos	mas,	
não	nos	debruçamos	sobre	as	causas	que	originam	este	movi-
mento.	Nessa	unidade	vamos	estudar	o	movimento	dos	corpos	
bem	como	as	suas	causas.	
2.1. Força
A	palavra	força	é	conhecida	por	nós	desde	a	tenra	idade.	Ao	falar-
mos	da	força	interpretamos	de	formas	diferentes	independente-
mente	dos	efeitos	apresentados.
Um	corpo	pode	pôr-se	em	movimento	ou	variar	a	sua	velocidade	
caso	o	empurrarmos.	
No	exemplo	citado	o	corpo	põe-se	em	movimento,	muda	de	direc-
ção	ou	pára	sob	a	acção	de	outro	corpo.
A	 força	é	a	expressão	vectorial	e	completa	da	 interacção	entre	
dois	corpos	físicos
Classificação das Forças
As	forças	podem	classificar-se	em:
1.		Forças	de	contacto	quando	as	superfícies	dos	corpos	intera-
gem.	Exemplo.
• Força de atrito, 
• Força elástica, 
• Força de tensão
2.	Forças	de	campo	quando	ocorrem	à	distância.	Exemplos
• Força nuclear (forte ou fraca),
• Força electromagnética, 
• Força gravitacional. 																																																																					
Fig. 2.1 – Kibato chutando uma bola
63
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
Fig. 2.2 – Bió equilibrando o seu peso
Fig. 2.2 – Equilíbrio dinâmico 
Fig. 2.4 – Efeito de uma força 
Equilíbrio de uma Partícula
Habitualmente	distinguimos	dois	tipos	de	equilíbrio:	Estático	
e	dinâmico.
Equilíbrio estático:	
observa-se	quando	a	velocidade	de	um	corpo	é	nula,	o	que	
significa	que	o	corpo	está	em	repouso	em	relação	a	um	
certo	referencial.
v	=	0					equilíbrio	estático
Equilíbrio dinâmico:
observa-se	quando	o	corpo	tem	velocidade	constante	no	
decorrer	do	tempo.	O	que	significa	que	a	velocidade	não	é	
nula	mas	sim	o	corpo	vai	animado	de	movimento	rectilí-
neo	e	uniforme	(MRU).	
V	=	constante	≠	0	,	equilíbrio	dinâmico	
Efeito de uma Força
Tal	como	já	vimos	não	observamos	a	força	mas	conhecemos	os	
seus	efeitos.
Uma	força	quando	produz	apenas	deformação	estamos	em	pre-
sença	do	efeito	estático	da	força,	pois	não	se	observa	movimento.
No	caso	da	força	produzir	apenas	uma	aceleração	podemos	afir-
mar	que	estamos	em	presença	do	efeito	dinâmico.	Por	exemplo	
quando	 empurramos	 um	móvel	 variamos	 a	 sua	 velocidade	 e	
consequentemente	aplicamos	uma	força	sobre	ele.	Deixando	de	
aplicar	a	força	automaticamente	cessa	a	aceleração.
Assim	a	força	é	a	causa	e	a	aceleração	é	o	efeito.		
A	 força,	 é	 uma	 grandeza	 vectorial,	 pois	 para	 ser	 definida,	 é	
necessário	ter	em	conta	a	direcção,	sentido	e	intensidade	ou	
valor	numérico.	Tem	como	unidade	o	Newton,	no	SI,	e	repre-
senta-se	pela	letra	N.
Na	técnica	e	na	vida	quotidiana	empregam-se	outras	unidades	
de	força,	o	Kilograma-força kgf.	e	o	Dine.	Onde	1kgf		=	9,8	N	
e	1	dine	=	10.–5	N.
64
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
A	figura	ao	lado	representa	um	dinamómetro	que	é	o	instru-
mento	utilizado	para	medir	a	 intensidade	de	uma	força	pela	
deformação	que	produz	num	corpo	elástico.
Este	instrumento	consiste	numa	mola	helicoidal	de	aço	envol-
vida	por	um	protector.	Na	extremidade	 livre	da	mola	há	um	
ponteiro	que	se	desloca	ao	longo	de	uma	escala.
A	medida	de	uma	força	é	feita	por	comparação	da	deformação	
por	essa	força	com	a	de	forças	padrões.
Força Resultante
Constatamos	 geralmente	 que	 sobre	 um	 corpo	 não	 actua	 só	
uma	força,	mas	várias.
Observa	a	figura,	a	mesma	representa	forças	actu-
ando	simultaneamente	sobre	o	mesmo	corpo.
As	 forças	 têm	 direcções	 diferentes,	 mas	 a	 acção	
resultante	é	apenas	efeito	para	um	único	fim.	Este	
fenómeno	 ocorre	 como	 se	 o	 corpo	 tivesse	 uma	
única	força.
A	 soma	de	 forças	que	acabam	por	produzir	um	efeito	único	
denomina-se	força	resultante	ou	simplesmente	resultante.
	 FR	=	F1	±	F2	±	.	.	.	±	Fn (2.1)
Logo,	a	força	resultante	provoca	a	um	corpo	uma	acção	igual	
a	 provocada	por	 várias	 forças	 que	 actuam	 simultaneamente	
sobre	ele.
Fig. 2.5 – Equilíbrio dinâmico 
Fig. 2.6 – Força resultante 
F'1
Escala
7kgf
F'2
65
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
Exercícios de aplicação
P1 –	 Considere	 um	
corpo	de	massa	2kg	ini-
cialmente	 em	 repouso	
sobre	o	qual	actua	hori-
zontal	de	5N.	
a)		Represente	 todas	 as	
forças	 que	 actuam	
sobre	o	corpo.
b)		Calcule	 a	 aceleração	
adquirida	pelo	corpo.
c)		Determine	a	sua	velo-
cidade	ao	fimde	3s.
d)		Calcule	 a	 força	 que	
seria	necessária	para	
que	 atingisse	 a	 velo-
cidade	 de	 12ms–1	 ao	
fim	de	4s.
Dados
m	=	2kg
F	=	5N
Resolução
a)
c)
d)
RN
P
Fa F
b) F ma a F
m
a
N
kg
= → = → =.
5
2
a =		2,5m	/	s2
F	=	5N v	=	?					t = 3s m =	2kg a =		2,5m	/	s2
F	=	m.a M.R.U.V.					v	=	v0	+	a.t
Se		 v0	=	0
Logo		v	=	a.t	→ v	=	2,5m/s2.3s	→	v =	7,5m/s
v	=	12m /	s 			t =	4s
v at a
v
t
a
m s
s
= → = → =.
/12
4
a =	3m / s
F = m.a
F = 2kg.3m / s2
F = 6N
66
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
Exercícios propostos
R: 		F	=30N				
R: 		FR	=	1040N					
R: 		FR	=	400N					
P1 –	Sobre	um	corpo	actuam	forças	dirigidas	sob	o	ângulo	de	
90°	uma	relativa	a	outra.	Uma	força	é	igual	a	40N.	Qual	o	valor	
da	outra	força	se	a	resultante	é	de	50N.
P2 –	Achar	a	resultante	de	duas	forças	de	600N	cada	uma	apli-
cadas	a	um	corpo	que	formam	um	ângulo	de	60°	entre	si.
P3 –	 Determinar	 a	 resultante	 de	 três	 forças	 de	 200N	 cada	
uma	se	a	primeira	e	a	segunda	formam	um	ângulo	de	30º	e	a	
segunda	e	a	terceira	formam	um	ângulo	de	60°.
 Força de Atrito
Uma	das	manifestações	das	interacções	mecânicas	é	a	força	de	
atrito.
A	 força	de	atrito	aparece	sempre	que	houver	contacto	entre	
os	corpos,	e	está	sempre	orientada	ao	longo	da	superfície	de	
contacto,	e	opõe-se	ao	movimento	corpo.
A	força	de	atrito	depende	da	natureza	das	superfícies	que	se	
encontram	em	contacto	e	das	forças	que	se	exercem	sobre	as	
superfícies	onde	surge	o	atrito	(força	normal	à	superfície).
 Fat	=	μN	 (2.2)
Onde		
Fat	=	força	de	atrito
μ	=		coeficiente	de	atrito	(depende	da	natureza	das	super-
fícies	em	contacto)
N	=	força	normal	à	superfície
67
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
A	natureza	da	superfície	em	contacto	é	que	definem	o	valor	
máximo	ou	mínimo	do	atrito.	Assim	sendo	o	atrito	pode	ser	
estático	ou	dinâmico.
Logo	para	um	valor	máximo	de	atrito	o	seu	coeficiente	deno-
mina-se	 estático	 e	 para	 o	 valor	mínimo	 o	 coeficiente	 deno-
mina-se	cinético.
Existe	 porém	 uma	 força	máxima	 de	 atrito	 de	 repouso,	 mas	
quando	a	força	paralela	à	superfície	se	torna	maior	que	a	força	
de	atrito,	o	corpo	adquire	uma	certa	aceleração.
Se	numa	superfície	de	um	corpo	em	repouso	actuar	uma	força	
orientada	paralelamente	à	superfície	de	contacto	dos	corpos,	
então,	 o	 corpo	 só	 começará	 a	mover	 quando	 a	 força	 atingir	
um	determinado	valor.	O	valor	desta	força	determina	o	valor	
máximo	da	força	de	atrito	estático.
A	força	de	atrito	estático	é	a	que	nos	impede	de	mover	objecto	
pesados.
Fig. 2.7 – Corpo em movimento no 
plano inclinado
θ
m2
m1
Exercícios de aplicação
P1 –	 Um	 corpo	 é	 lan-
çado	 horizontalmente	
sobre	 um	 plano	 hori-
zontal	 com	 velocidade	
de	 10ms–1	 e	 para	 após	
percorrer	 50m.	 Deter-
mine	 o	 coeficiente	 de	
atrito	 relativo	às	 super-
fícies	em	contacto?
Dados
v0	=	10m / s
s	=	50m
μ =	?							
v =	?																																	
Resolução
s
v v
a
=
2
0
2
2
–
como		v	=	0,		então a
v
s
= − 0
2
2
a a a m s= − → = − → =
100
2 50
100
100
1
2
.
– /
Fa =	μN,		N	=	m.g	→ Fa = μ.m.g
Fa =	F	→ –μ.m.g =	ma.a
=
−
→ = → =
a
g
m s
m s
– /
– /
,
1
10
0 1
2
2
=
−
→ = → =
a
g
m s
m s
– /
– /
,
1
10
0 1
2
2
=
−
→ = → =
a
g
m s
m s
– /
– /
,
1
10
0 1
2
2
μ μ μ
68
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
Exercícios de aplicação
P2 –	Um	ponto	material	
de	massa	igual	a	2kg	esta	
apoiado	 numa	 superfí-
cie	 horizontal	 perfeita-
mente	 liso,	 em	 repouso	
uma	 força	 constante	 de	
intensidade	6N,	paralelo	
ao	 apoio	 actua	 durante	
10s,	após	as	quais	deixa	
de	existir,	determine:
a)		A	 aceleração	nos	10s	
iniciais.
b)		A	 velocidade	 ao	 fim	
de	10s.
Dados
m	=	2kg
F	=	6N
t =	10s
a)		a =	?										b)		v =	?			
P3 –	Um	bloco	de	massa	
10kg	movimenta-se	numa	
mesa	horizontal	sob	acção	
de	 uma	 força	 horizontal	
de	intensidade	30N,	o	coe-
ficiente	de	atrito	dinâmico	
entre	o	bloco	e	a	mesa	é	
de	0,20,	sendo	g=10m.s–2.
Determine	 a	 aceleração	
do	bloco.
Dados
m	=	10kg
F	=	30N
μ =	10s	
g	=	10m/s2	
Resolução
Resolução
a)
b)
F ma a
F
m
= → =.
v at v m s s
v m s
= → =
=
. / .
/
3 10
30
2
a
N
kg
a m s= → =
6
2
3
2
/
F =	ma,			Fa = μ.N,			N =	P, P =	m.g
F –μP	=	m.a → a =
F mg
m
−μ
a a m s=
−
→ =
30 0 2 10 10
10
1
2
, . .
/
69
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
P1 –	Dois	blocos,	de	massa	mA	=	19kg	e	mB	=	8kg,	estão	em	
repouso,	encostados	ao	outro	e	apoiados	sobre	uma	superfície	
plana	horizontal	cujo	coeficiente	de	atrito	cinético	entre	eles	e	
a	superfície	é	μc	=	0,50.	Num	determinado	instante,	aplica-se,	
ao	bloco	A,	uma	força	de	módulo	FA	=	189N.	Iniciado	o	movi-
mento,	calcule	o	módulo	da	força	exercida	pelo	bloco	A	Sobre	
o	B.	(considere	g	=	10m.s–2).
P2 –	Um	camião	de	frutas	desloca-se	em	movimento	rectilí-
neo	numa	estrada	horizontal,	com	velocidade	uniforme	igual	a	
20	m/s.	O	camião	transporta,	na	carroçaria,	uma	caixa	de	man-
gas	de	Lândana	de	massa	total	30	kg.	Ao	ver	um	sinal	de	trânsito	
a	100m,	o	motorista	começa	a	travar	uniformemente,	de	modo	a	
parar	junto	dele.	(coeficiente	de	atrito	cinético	μc	=	0,10).
a)		Faça	 um	 esquema	das	 forças	 que	 actuam	 sobre	 a	 caixa	
durante	a	travagem.
Calcule	o	módulo	da	componente	da	força	que	o	chão	da	carro-
çaria	exerce	sobre	a	caixa	durante	a	travagem. R: 	F	=60N
R: 	F	=56N
Exercícios propostos
2.2. Leis de Newton
2.2.1. Lei da Inércia 
Antigamente	 os	 sábios	 sustentavam	 que	 o	 estado	 natural	
dos	corpos	era	o	repouso.	Para	que	saíssem	desse	estado	era	
necessária	a	acção	de	uma	força	e,	quando	essa	força	deixava	
de	agir	o	movimento	terminava	e	os	corpos	voltavam	imedia-
tamente	ao	seu	estado	natural,	o	repouso.	Com	a	introdução	
de	método	experimental	de	Galileu	o	princípio	de	inércia	hoje	
se	pode	definir	da	seguinte	forma:
Todo corpo continua no estado de repouso ou de movi-
mento numa linha recta com velocidade escalar constante 
70
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
a menos que seja obrigado a alterar esse estado pela 
acção de uma força resultante externa.	Assim,	 se	 a	 força	
resultante	sobre	um	corpo	for	nula,	ele	estará	em	repouso	ou	
em	movimento	rectilíneo	e	uniforme.
A tendência de um corpo manter seu estado de repouso 
ou de movimento rectilíneo com velocidade constante 
é chamada inércia. Por esse motivo, a primeira lei de 
Newton também é conhecida como princípio da inér-
cia.	A	massa	do	um	corpo	é	a	medida	da	sua	inércia.	Assim,	
quanto	maior	for	a	massa	de	um	corpo,	maior	é	a	sua	inércia.
A	tendência	de	um	corpo	manter	seu	estado	de	repouso	ou	de	
movimento	rectilíneo	com	velocidade	constante	é	chamada	
inércia.	Por	esse	motivo,	a	primeira	lei	de	Newton	também	é	
conhecida	como	princípio	da	inércia.	A	massa	do	um	corpo	é	
a	medida	da	sua	inércia.	Assim,	quanto	maior	for	a	massa	de	
um	corpo,	maior	é	a	sua	inércia.	Os	referenciais	para	os	quais	
vale	o	princípio	da	 inércia	 são	 chamados	 referenciais	 iner-
ciais.	A	aplicação,	num	ponto	material,	de	uma	 força	ou	de	
um	sistema	de	forças	cuja	soma	vectorial	não	é	nula	produz	
nele	uma	variação	de	velocidade.	
Exercícios de aplicação
P1 –	Conforme	recolha	
de	 informações	 o	 uso	
do	 cinto	 de	 segurança	
é	obrigatório	para	pre-
venir	lesões	graves	nos	
motoristas	 e	 passagei-
ros	 no	 caso	 de	 aciden-
tes.	 Explique	 a	 que	 lei	
da	Física	está	isso	rela-
cionado.
Resolução
•		No	caso	de	acidente,	os	ocupantes	dum	carro	que	estive-
rem	sem	cinto	de	segurança	são	atirados	para	frente.
•		A	 possibilidade	 de	 sair	 ileso	 dum	 acidente	 sem	 uso	 do	
cinto	é	de	um	por	mil.
•		O	uso	do	cinto	de	segurança	reduz	de	60%	a	80%	as	mor-
tes	em	choques	frontais.
71
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
P1 –	No	espectáculo	de	circo	o	palhaço	se	coloca	diante	duma	
mesa	com	uma	toalha.	Sobre	a	toalha	se	coloca	pratos	e	talhe-
res.	 O	 palhaço	 puxa	 a	 toalha	 rapidamente	 damesa,	mas	 os	
pratos	e	 talheres	permanecem	sobre	ela.	Que	 lei	de	Newton	
explica	este	fenómeno?
P2 –	Porquê	o	cavaleiro	é	atirado	para	frente	quando	o	cavalo	
pára,	negando-se	a	saltar	o	obstáculo?
Exercícios propostos
2.2.2. Lei Fundamental da Dinâmica
A	Lei	da	Inércia	(1ª	Lei	de	Newton)	como	já	vimos	estabelece	
o	que	ocorre	com	a	um	corpo	na	ausência	das	forças	aplicadas	
sobre	ele	ou	quando	a	resultante	aplicada	sobre	ele	é	nula.
A	 origem	 das	 forças	 que	 actuam	 sobre	 os	 corpos	 pode	 ter	
natureza	gravitacional,	electromagnética,	nuclear,	etc.	
As	forças	causam	a	aceleração	dos	corpos.	A	experiência	mos-
tra	que	as	forças	aplicadas	sobre	um	corpo	é	a	causa	da	sua	
aceleração.
Quanto	maior	for	a	força	F	aplicada	sobre	um	corpo	de	massa	
m,	tanto	maior	será	a	sua	aceleração	a.
Para	 corpos	 de	 massas	 diferentes,	 ao	 aplicarmos	 a	 mesma	
força,	a	aceleração	será	maior	no	corpo	com	menor	massa	e	
menor	no	corpo	com	menor	massa.
A	relação	quantitativa	entre	a	 força,	a	aceleração	e	a	massa	
mencionada	acima	pode	ser	expressa	da	seguinte	forma:
F	~	a	,		para			m	=	constante.
A	 2ª	 Lei	 da	 Newton	 é	 conhecida	 por	 Lei fundamental da 
Dinâmica	e	enunciada	da	seguinte	maneira:
A	resultante	das	forças	que	actuam	sobre	um	corpo	é	directa-
mente	proporcional	à	aceleração	que	esse	corpo	adquire.	
Fig. 2.8 – Força F aplicada sobre um 
corpo
72
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
												 Fr	=	M.a (2.3)
No	SI	a	unidade	da	força	é	obtida	dessa	equação	e	recebe	o	
nome	de	Newton.
1Newton	=	1kgms–2
Exercícios de aplicação
P1 –	Um	ponto	material	
de	 massa	 200	 kg	 des-
loca-se	 com	uma	 acele-
ração	constante	durante	
10	 s	 percorrendo	 uma	
distancia	 de	 500	 m.	
Determine	 a	 força	 nela	
aplicada.
Dados
m	=	200kg
t	=	10s		
s	=	500m
F	=	?
P2 –	 Um	 comboio	 de	
20.000kg	percorre	50m	
em	 M.R.U.V,	 a	 força	
aplicada	 a	 locomotiva	
é	de	7,2kN.	Determine	
a	sua	velocidade.
Dados
m	=	20.000kg
s	=	50m
F	=	7,2kN
v	=	?
Resolução
Resolução
s a
t
a
s
t
a m s
F ma F kg m s
F
= → = → =
= → =
2
2
2
2
2
2
10
200 10
/
. . /
== 2000N
F ma a
F
m
a
kN
kg
a m s
s a
= → =
= → =
=
.
,
.
, . /
–
7 2
20 000
3 6 10
1 2
tt
t
s
a
v at v m s s
v m s
2
1 2
2
2
3 6 10 17
6 12
→ =
= → =
=
, . / .
, /
–
73
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
P1 –	Um	bloco	é	lançado	sobre	um	plano	horizontal	com	velo-
cidade	de	30m/s,	percorre	100	m	até	parar.	Calcule	o	 coefi-
ciente	de	atrito	dinâmico.
P2 –	Um	corpo	cai	livremente	de	altura	de	80	m.	Qual	é	que	
seu	deslocamento	durante	o	último	segundo	da	queda?	
P3 –	Um	corpo	é	lançado	verticalmente	para	cima	com	a	velo-
cidade	de	30	m/s.
a)		A	que	altura	a	sua	velocidade	será	três	vezes	inferior	do	
que	a	inicial?
b)		Quanto	tempo	passará	até	esse	momento?	
P4 –	Dois	corpos	de	massas	0,3kg	e	0,2	kg,	ligados	entre	si	por	
um	fio	inextensível	de	massa	desprezível,	são	suspensos	por	
uma	roldana	fixa.
a)		Com	que	aceleração	se	movem	os	corpos?	
b)		Qual	é	a	tensão	no	fio	durante	o	movimento?	
P5 –	Uma	grua	eleva	uma	carga	de	massa	1t.	Qual	é	a	tensão	
no	cabo	no	inicio	do	levantamento	se	a	carga	se	moveu	com	
aceleração	de	25m/s2?			
Exercícios propostos
					R: 	µ	=	0,45
					R: 	s	=	35m
a)	R: h	=	30m
a)	R: a =	2m/s2
b)	R: t	=	2s
b)	R:		FT	=	2,4N
					R: 	FT =	35kN
2.2.3. Lei da Acção e Reacção 
A	experiência	quotidiana	nos	mostra	vários	exemplos	onde	se	
manifesta	a	acção	e	reacção.
Quando	 se	mantém	um	corpo	 sobre	uma	mesa,	 este	 exerce	
sobre	a	mesa	uma	acção	que	é	 representada	pelo	seu	peso,	
por	outro	lado,	por	parte	da	mesa	há	uma	reacção	que	é	repre-
sentada	pela	oposição	à	deslocação	do	corpo.
Quando	 puxamos	 uma	mola,	 sentimos	 nas	 mãos	 a	 reacção	
desta.	 Se	 a	mola	partir-se,	 o	 repentino	desaparecimento	da	
reacção	pode	desequilibrar-nos.
74
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
Quando	 se	 dispara	 uma	 arma	 de	 fogo,	 a	 força	 propulsora	
(acção)	do	projéctil	provoca	uma	reacção	oposta	que	origina	
o	recuo	da	arma.
Todos	estes	exemplos	permitem-nos	formular	o	principio	de	
acção	e	reacção	segundo	a	qual:
A qualquer acção opõe-se sempre uma reacção com a 
mesma direcção e intensidade, mas sentidos opostos.
Geralmente	a	acção	e	a	reacção	têm	pontos	de	aplicação	dife-
rentes.
p-1
M M
Fig. 2.9 – Acção e reacção
Exercícios de aplicação
P1 –	 Uma	 caixa	 de	
massa	 50kg	 é	 erguida	
verticalmente	para	 cima	
com	aceleração	de	1m/s2	
dentro	de	um	prédio.
Considere	g=10m
a)		Faça	 a	 configuração	
das	forças	que	actuam	
sobre	 a	 caixa	 e	 cal-
cule	a	sua	intensidade	
durante	 a	 sua	 eleva-
ção.
b)		Qual	a	intensidade	da	
força	 exercida	 pela	
caixa	sobre	o	piso	do	
elevador.
Dados
m	=	50kg
a	=	1m/s2
g	=	=	10m/s2
Resolução
P m g P N
F ma mg F kg m s N
F
r r
r
= → =
= + → = +
=
.
. . /
500
50 1 500
2
5550N
75
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
P1 –	Consideremos	um	corpo	de	massa	igual	a	6kg	em	repouso	
sobre	um	plano	horizontal	liso.	Aplica-se	uma	força	horizontal	
F	=	30N	sobre	o	corpo.	Admitindo-se	g	=	10m/s2,	determine	os	
módulos	da.
a)		Aceleração	do	corpo.
b)		Reacção	normal	do	plano	de	apoio.
P2 –	Tunga	Muanza	escolhe	um	corpo	de	massa	igual	a	2kg	
inicialmente	colocado	em	repouso	sobre	um	plano	horizontal	
perfeitamente	liso.	Sobre	o	corpo	passa	a	actuar	uma	força	F	
de	intensidade	16	N	aplicada	obliquamente	60°	ao	plano	hori-
zontal.	(Dados	g	=	10m/s2		e	ângulo	60°).
Determine:	os	módulos	da
a)		Aceleração	do	corpo.
b)		Reacção	normal	do	plano	de	apoio.
Exercícios propostos
a)	R: 	a	=	5m/s2
a)	R: a	=	4m/s2
b)	R: FNA=	60N
b)	R: FNA=	6,40N
2.3. Impulso e Quantidade 
de Movimento
É	sabido	que	as	leis	de	Newton	permitem	resolver	problemas	
sobre	o	movimento	dos	corpos.	Em	muitos	casos	é	difícil	cal-
cular	as	forças	que	actuam	sobre	os	corpos.	Por	exemplo,	na	
colisão	 entre	 dois	 corpos,	 sabe-se	 que	 eles	 interactuam-se	
pela	força	de	elasticidade,	mas	a	determinação	desta	força	por	
vezes	é	difícil.	No	caso	simples	da	colisão	entre	duas	esferas,	
a	deformação	de	cada	uma	delas	torna-se	difícil	definir,	por-
quanto	não	se	sabe	os	valores	das	grandezas	presentes	na	lei	
de	Hooke	(F	=		k	x)	nomeadamente	a	deformação	x	e	a	cons-
tante	de	rigidez	k.		
Para	 isso	 recorre-se	 à	 formulações	 simples	 da	 lei	 de	 movi-
mento	de	Newton	para	resolução	de	problemas	da	Mecânica.
76
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
Impulso de uma força
Partindo	da	lei	de	movimento,
																		 	 F	=	m.a	 (1)
A	aceleração	caracteriza	a	rapidez	com	que	varia	a	velocidade,	
ou	seja,
		 a
v v
t
=
–
0 	 (2)
Substituindo	o	vector	a	em	(1)	vem:
	 F m
v v
t
=
–
0 	 (3)
Decompondo	a	fórmula	(3)	obtemos:
	 F.t	=	m(v–v0)	 (2.4)
Se	 considerarmos	uma	 força	 constante	F	 agindo	num	ponto	
material	 durante	 um	 intervalo	 de	 tempo	=	 t	 –	 t0,	 teremos	 o	
impulso	como	sendo
	 I	=	F.	Δt	 (2.5)
O	vector	 impulso	 tem	a	mesma	direcção	e	o	mesmo	sentido	
da	força,	e	sua	intensidade	é	determinada	pela	expressão	(5),	
sendo	F	a	intensidade	da	força	e	Δt,	o	intervalo	de	tempo	em	
que	esta	força	actua.
No	Sistema	Internacional	a	unidade	do	Impulso	é	(N	.	s)
A	intensidade	do	Impulso	é	tanto	maior	quanto	maior	for	a	inten-
sidade	da	força	F	e	quanto	maior	for	o	intervalo	de	tempo	Δt.
Num	gráfico	F	=	f(t),	o	Impulso	da	força	F	corresponde	nume-
ricamente	à	área	varrida	pela	figura	geométrica.
A
F
0 t0 t1 t
A=	F(t0–t1)	=	F.	Δt
A = I
77
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
A	propriedade	anterior	é	válida	mesmo	que	a	força,	mantendo	
a	mesma	direcção,	varie	com	o	tempo.
Observando	 a	 fórmula	 (2.4),	 podemos	 deduzir	 o	 membro	
direito	como	sendo	a	expressão	que	representa	a	quantidade	
de	movimento	(ou	momento	linear)	pois,		envolve	a	massa	e	a	
variação	da	velocidade	do	corpo.
p	=	m.(v–v0)
Sendo		Δv	=	v	–	v0,	onde		v e		v0		representam	a	velocidade	final	
e	inicialdo	corpo	respectivamente.
Então					 p	=	m.Δv	 	(2.6)
A	quantidade	de	movimento	é	uma	grandeza	vectorial	com	a	
mesma	direcção	e	o	mesmo	sentido	do	vector	velocidade.
Se	um	sistema	de	pontos	materiais	de	massas	m1,	m2,	…,	mn,	
que	em	determinado	instante	apresentam	velocidades	respec-
tivas,	v1,	v2,	…,	vn,	então	a	quantidade	de	movimento	do	sistema	
representa	–	se	da	seguinte	maneira:
	 		p	=	m1v1	+	m2v2	+	...	+	mnvn	
 p	=	p1 +	p2 +	...	+	pn		
(2.7)
No	Sistema	Internacional	(SI),	a	unidade	de	medida	da	quan-
tidade	de	movimento	é	o	quilograma	x	metro	por	segundo:	
kg . m . s – 1.
Fig. 2.10 – Atleta efectuando um salto
78
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
Exercícios de aplicação
P1 –	 A	 massa	 de	 um	
caminhão	 é	 5000	 kg	 e	
descreve	 uma	 trajec-
tória	 rectilínea	 e	 hori-
zontal	 com	 velocidade	
de	25	m	/	s.	Determine	
a	 quantidade	 de	movi-
mento:
a)		Do	caminhão;
b)		Do	caminhão	com	uma	
carga	de	3000	kg	de	
massa.
Dados
m	=	5000kg
v	=	25m/s
a)		p=	?	do	camião
b)		v =		?		do	camião
+	carga														
Resolução
a)	o	módulo	da	quantidade	de	movimento	é:
p =	m.v
p =	5000kg.25m/s
p	=	125000kg.m/s
b)		
p =	p1	+	p2
p =	m1	v1	+	m2	v2
v1	=	v2	→ p =	(m1	+	m2).v
p =	(5000	+	3000).25
p =	200000kg.m/s
Relação entre quantidade de movimento e impulso 
(teorema do impulso)
A	 quantidade	 de	movimento	 e	 o	 impulso	 de	 uma	 força	 são	
grandezas	 físicas	que	se	relacionam.	No	caso	de	um	 jogador	
que	aplica	uma	força	F,	durante	o	intervalo	de	tempo	Δt,	sobre	
a	bola	de	massa	m	que	se	movimenta	com	a	velocidade	inicial	
v0,	a	acção	da	força	causa	na	bola	uma	aceleração	a,	alterando	
a	velocidade	para	v1.	Assim	podemos	dizer	que	a	 força	F	 foi	
a	responsável	pela	alteração	da	quantidade	de	movimento	da	
bola	de	p0	=	m	v0	para	p1	=	m	v1.
Daqui	 conclui-se	 que	 a	 acção	 da	 resultante	 das	 forças	 que	
agem	num	ponto	material,	durante	um	intervalo	de	tempo	Δt,	
79
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
b)	5	segundos	depois	teremos:
p2 =	m.v2	
p2 =	0,4kg.7m/s
p2 =	2,8kg.m/s
c)		Considerando	que	os	vectores	p1	e	p2	têm	a	mesma	direcção	
e	o	mesmo	sentido,	então																																																			
I =	p1 +	p2	→	I =	2	+	2,8	→	I =	4,8N.s
d)		sendo
imprime	nele	 um	 impulso	 I,	 que	 corresponde	 à	 variação	 da	
quantidade	de	movimento	nesse	intervalo	de	tempo.
 p	=	p1	–	p0				ou				I	=	Δp (2.8)
Essa	expressão,	conhecida	pelo	teorema	do	impulso,	é	válida	para	
referenciais	inerciais	e	é	válida	também	quer	para	o	movimento	
rectilíneo	uniformemente	variado,	como	para	outros	movimen-
tos	em	qualquer	trajectória.
Exercícios de aplicação
P1 –	 A	 massa	 de	 um	
corpo	 que	 se	 desloca	
em	 movimento	 rectilí-
neo	 cuja	 resultante	 das	
forças	se	mantêm	cons-
tante	é	0,4	kg.	Se	a	velo-
cidade	inicial	for	5	m	/	s,		
e	 passados	 5	 segundos	
essa	 velocidade	 sobe	
para	7	m	/	s,	determine:
a)		A	quantidade	de	movi-
mento	inicial	do	corpo;
b)		A	quantidade	de	movi-
mento	do	corpo	passa-
dos	5	segundos;
c)		O	 impulso	 da	 força	
resultante	 que	 sofre	 o	
corpos;
d)		A	intensidade	da	força	
resultante	 agente	 no	
corpo.
Dados
m	=	0,4kg 
v1	=	5m / s
t	=	5s		
v2	=	7m / s																												
Resolução
a)		
p =	m.v1	
p1 =	0,4kg.5m/s
p1 =	2kg.m/s
I F t F
I
t
F
N s
s
F N
= → =
= → =
.
, .
,
�
�
4 8
5
0 96
80
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
Conservação da quantidade de movimento
Existem	várias	situações,	em	que	o	conceito	de	quantidade	
de	movimento	é	fundamental	para	o	entendimento	dos	fenó-
menos	físicos	envolvidos.	Estudemos	o	conceito	de	quanti-
dade	de	movimento	no	caso	de	interacções	de	curta	duração	
entre	corpos	em	que	a	resultante	de	forças	externas	é	nula	
como	acontece	nas	colisões	e	explosões.
Quando	 duas	 esferas	 colidem,	 ocorre,	 durante	 a	 colisão,	
uma	troca	de	forças	num	intervalo	de	tempo	muito	pequeno.	
A	 acção	 dessas	 forças	 causa	 variações	 das	 quantidades	 de	
movimento	 de	 mesma	 intensidade	 e	 de	 sentidos	 opostos,	
mantendo-se	constante	a	quantidade	de	movimento	do	sis-
tema.
Se	ocorrer	variação	de	quantidade	de	movimento,	tal	 facto	
dever-se-á	à	forças	externas	ao	sistema	(peso,	atrito	ou	nor-
mal).
Assim,	um	sistema	isolado	é	aquele	cujas	forças	externas	são	
nulas	ou	possuem	intensidade	muito	menor	quando	compa-
radas	às	forças	internas	ou	ainda	se	a	resultante	das	forças	
externas	for	nula.
A	quantidade	de	movimento	total	de	um	sistema	se	conserva	
se	a	resultante	das	forças	externas	que	agem	no	sistema	for	
nula.	 Este	 enunciado	 corresponde	 à	 lei	 da	 conservação	 da	
quantidade	de	movimento.
81
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
Exercícios de aplicação
P1 –	 Um	 comboio	 de	
massa	10000kg	atingiu	
a	 quantidade	 de	movi-
mento	 2,0.105kg	 ms–1	
ao	fim	de	2,0s,	partindo	
do	repouso.
a)		Qual	foi	a	força	resul-
tante	 média	 que	 o	
acelerou?
b)		Qual	foi	o	valor	da	ace-
leração	média?
Dados
m	=	10000kg
p	=	2,105kg.m/s
t	=	2s
a)		Fm=	?	
b)		am=	?														
Resolução
a)	
b)	
F
p
t
F
kgms
s
F N
m m
m
= → =
=
�
�
2 10
2
1 10
5 1
5
.
.
–
a
F
m
a
N
kg
a m s
m
m
m
m
= → =
=
1 10
1 10
10
5
4
2
.
.
/
2.3.1. Impulso de uma Força
Da	 2ª	 Lei	 vimos	 que	 a	 força	 F	 aplicada	 sobre	 um	 corpo	 de	
massa	m	imprime-lhe	uma	aceleração a.
Da	expressão			F	=	ma teremos,	para	a v
t
=
�
�
	
F m
v
t
=
�
� 	
(2.9)
ou	 F∆t	=	m∆v	 (2.10)
outra	forma	da	expressão	da	2ª	lei
82
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
O	 produto	 da	 força	 pelo	 intervalo	 de	 tempo	 expressa	 uma	
nova	grandeza	física,	chamada	Impulso	da	força	sobre	o	corpo.	
Caracteriza	a	força	aplicada	sobre	um	corpo	durante	um	deter-
minado	intervalo	de	tempo.
		 I	=	F∆t	 (2.11)
	 (Impulso da força)
O Impulso de uma força resultante, F, é devido à sua apli-
cação a um corpo durante um intervalo de tempo, é igual à 
variação da quantidade de movimento desse corpo (m∆v) 
ocorrida nesse intervalo de tempo.
No	SI,	a	unidade	do	Impulso	da	força	é	obtida	pelo	produto	da	
unidade	de	 força	N	pela	unidade	de	 tempo	s,	 isto	é	Newton.	
segundo		(N.s).
N.s	=	(kg.ms–2).s		=	kgms–1
Exercícios de aplicação
P1 –	 Uma	 força	 F	 de	
intensidade	20N,	direc-
ção	 vertical	 e	 sentido	
ascendente	 é	 aplicada	
num	 ponto	 material	
durante	 10s.	 Deter-
mine	 a	 intensidade,	 a	
direcção	e	o	sentido	do	
impulso	dessa	força.
Dados
F	=	20kg
t	=	10s
I	=	?
Resolução
I =	F.t
I =	F.t
I =	20.10
I =	200N.s
83
PARTE I – Mecânica
UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos
P1 –	Uma	bola	de	massa	4kg	é	 chutada	 contra	uma	parede	
com	velocidade	15m	Sabendo	que	 esta	 retorna	 com	mesma	
velocidade,	qual	o	impulso	aplicado	pela	parede	a	bola.
P2 –	Uma	arma	de	massa	6kg	dispara	uma	bala	de	massa	200g	
com	a	velocidade	de	300m.	Determine	a	velocidade	de	recuo	
da	arma
Exercícios propostos
					R:			p	=	–120N.s
					R: v =	–10m/s
84
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
Unidade 1i1
trabalho e energia 
3.1. Trabalho de uma Força Constante
A	característica	do	movimento	mecânico	assenta	(consiste)	no	
conceito	de	trabalho mecânico ou trabalho de uma força.
Na	linguagem	comum	a	palavra	trabalho	usa-se	para	exprimir	
qualquer	actividade	exercida	por	um	indivíduo.
Em	Física	o	conceito	de	trabalho	tem	outro	significado	como	
veremos	nos	seguintes	exemplos:
Fig. 3.1 – Malenga levantando um objecto (a, b, c, d, e) 
Fig. 3.2 – Um avião a descolar 
a)
d)
b)
e)
c)
Um	menino	levanta	um	objecto.
Um	avião	a	levantar	voo;
Estes	exemplos	mostram	que	o	trabalho	mecânico	se	realiza	
quando	 há	 deslocamento	 de	 um	 corpo	 sob	 a	 acção	 de	 uma	
força.
85
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
Fig. 3.3 – Malenga empurrando uma 
caixinha 
Se	uma	força	aplicada	a	um	corpo	não	produzir	nele	nenhum	
deslocamento,	diz-se	que	o	trabalho	dessa	forçaé	nulo.
Trabalho mecânico (W) é o trabalho realizado por 
uma força quando produz um deslocamento no corpo.
1	Joule	é	o	trabalho	realizado	por	uma	força	de	
1	newton	que	actua	na	mesma	direcção	e	sen-
tido	de	um	deslocamento	de	l	metro
Consideremos	as	seguintes	situações:
1ª Situação:		A	força	e	o	deslocamento	têm	a	mesma	direcção
O	trabalho	da	força	F	no	deslocamento	(s)	de	AB	é	dado	
pela	expressão:
	 W =	F.s 	(3.1)															
Esse	trabalho	corresponde	à	energia	transferida	ao	corpo	
pela	força	nele	aplicada	supondo	ideal	o	sistema,	ou	seja,	
sem	perdas	de	energia.
Quando	a	força	tiver	a	mesma	direcção	e	o	mesmo	sentido	
do	 deslocamento,	 o	 trabalho	 dessa	 força	 denomina-se	
trabalho motor (W> 0).	Se,	pelo	contrário	tiver	a	mesma	
direcção	mas	sentido	oposto	ao	do	deslocamento,	então	
denomina-se	trabalho	resistente	(W < 0).
No	Sistema	Internacional	o	trabalho	mede-se	em	Nm
1 Nm = 1 J
No	Sistema	CGS	o	trabalho	mede-se	em	Dina.	Centímetro
1	dine.cm	=	1	Erg
1	J	=	105	dine.102	cm
1	J	=	107	dine.cm
1	J	=	107	erg
86
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
No	Sistema	Técnico	o	trabalho	mede-se	em	Cavalo	-	Vapor	
(CV)	e	Horse	–	Power	(HP)
O	Cavalo	Vapor	corresponde	à	potência	necessária	para	
erguer	a	de	m	um	corpo	de	massa	75	kg	em	1	segundo	
num	local	onde	g	=	9,8		m/s2
1	CV	=	735	W
1	HP	=		746	W
2ª Situação:		A	força	e	o	deslocamento	não	têm	a	mesma	direcção	
(formam	um	ângulo	entre	SI)
O	trabalho	da	força	F	no	deslocamento	(s)	de	AB	é	dado	
pela	expressão:
	 WAB =	F.s cos α 	(3.2)															
O	trabalho	é	uma	grandeza	escalar.	Por	isso	pode	ser	posi-
tivo	(0°	≤	α	<	90°)	ou	negativo	(90°	<	α	≤	180°).	Quando	
a	 força	for	perpendicular	à	direcção	do	deslocamento,	o	
trabalho	da	força	F	é	nulo,	pois	cos 90°	=	0.
Fig. 3.4 – Ritinha puxando um car-
rinho amarrado a uma corda 
Exercício de aplicação
P1 –	 Tunga	 Muanza	
eleva	um	corpo	de	massa	
20kg	a	uma	altura	de	3m	
durante	 10s.	 Qual	 será	
o	valor	da	força	que	ele	
deve	exercer	para	que	o	
corpo	 suba	 com	 veloci-
dade	constante	sabendo	
que	a	aceleração	da	gra-
vidade	é	de	10ms–2.	Que	
trabalho	se	realiza?
Dados
m	=	20kg
s	=	3m
t	=	10s
F=	? W	=	?
Resolução
F =	m.g → F =	20kg.10m.s–2
F =	200N
W =	F.s.cosα
W =	200N.3m.cos00
W =	600J
87
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
P1 –	 Que	 grandezas	 caracterizam	 o	 trabalho	 mecânico?	
Define-as.
P2 –	Um	corpo	de	massa	6kg	é	lançado	horizontalmente	com	
a	velocidade	de	20m/s	sobre	uma	superfície	plana	horizontal.	
(Considere	g	=	10m/s2	e	sem	atrito).
a)		Calcule	o	trabalho	realizado	pela	força	até	o	corpo	atingir	
o	repouso.
b)		Determine	 o	 trabalho	 realizado	 pela	 força	 peso	 e	 pela	
reacção	normal	do	apoio	durante	todo	o	percurso.
Exercícios propostos
a)	R: 		W	=	1200J
b)	R: Wp	=	WN	=	0
3.2. Trabalho de uma Força Variável
Suponhamos	 um	 corpo	 de	 massa	 m	 que	 se	 desloca	 de	 um	
ponto	A	(nível	alto)	para	um	ponto	B	(nível	baixo),	seguindo	
uma	trajectória	qualquer.
Sendo	P	o	peso	do	corpo	e	s	o	seu	deslocamento	entre	os	pon-
tos	A	e	B,	o	trabalho	realizado	pela	força	peso	tem	a	seguinte	
expressão:
WAB	=	P.s	cos	α
WAB	=	P.h
WAB	=	m.g.h (3.3)
Independentemente	do	caminho	a	percorrer,	o	trabalho	da	força	
peso	não	depende	da	trajectória	entre	os	pontos	de	partida	e	de	
chegada.	Por	isso	a	força	peso	é	uma	força	conservativa.
Se,	pelo	contrário	o	deslocamento	se	efectuar	do	ponto	B	para	
o	ponto	B,	ou	seja,	durante	a	subida,	o	trabalho	da	força	peso	
é	negativo
WAB	=	P.h			
WAB	=	m.g.h														
Fig. 3.5 – Corpo deslocando de 
baixo para cima 
88
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
Exercício de aplicação
P1 –	 Calcula	 o	 traba-
lho	 realizado	 por	 uma	
pedra	 que	 possuí	 uma	
massa	 de	 2kg	 quando	
a	mesma	e	atirada	para	
cima	 atingindo	 uma	
altura	de	8	metros,	cuja	
aceleração	e	de		10m.s–2.
Dados
W	=	?
m	=	2kg
h	=	8m
g	=	10m.s
Resolução
W =	m.g.h
W =	2kg.10m.s–2.8m
W =	160J
Exercícios propostos
P1 –	Um	bloco	 com	4kg,	 inicialmente	 em	repouso,	 é	puxado	
por	Panzo	António	com	uma	força	constante	ao	longo	de	uma	
distância	de	15m,	sobre	uma	superfície	plana,	lisa	e	horizontal,	
durante	2s.	Qual	o	trabalho	realizado	por	essa	força.
P2 –	Uma	gota	de	chuva	de	massa	igual	a	0,1g	cai	no	ar	com	
velocidade	constante	de	1m/s,	percorrendo	assim	uma	distân-
cia	de	100m.	A	aceleração	da	gravidade	no	local	é	10m/s–2.
a)		Qual	 o	 trabalho	 realizado	 pela	 força	 peso	 durante	 a	
queda?	
b)		Qual	o	trabalho	executado	pelas	forças	de	resistência	do	
ar	nessa	queda?	
					R: 		W	=	2J
a)	R: 		W	=	0,10J
b)	R: W	=	–	0,10J
89
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
3.3. Potência
Vimos	que	as	forças	realizam	um	trabalho	sobre	os	corpos.	As	
máquinas	 são	 engenhos	 concebidos	 para	 realizar	 diferentes	
tipos	de	trabalho.	Qualquer	máquina	realiza	um	determinado	
volume	de	trabalho	num	determinado	tempo.	
A	potência	é	a	rapidez	com	que	é	realizado	o	trabalho.	Quanto	
menor	 for	o	tempo	para	realizar	o	mesmo	trabalho,	maior	a	
potência	desenvolvida	e	vice-versa.
A	potência	P	de	uma	máquina	é	igual	à	razão	entre	o	trabalho	
W	realizado	e	o	intervalo	de	tempo	t	durante	o	qual	ele	foi	rea-
lizado.
P
W
t
= 	,			para
			
W F s P
F s
t
= → =. .
Sendo
v
s
t
P F v= → = . 		 (3.4)
onde
F	é	a	força	e	v	a	velocidade.
No	sistema	SI	a	unidade	de	potência	é	Watt	(W)
1W	=	1J/1s
Em	 engenharia	 emprega-se	 frequentemente	 uma	 unidade	
equivalente	 à	 1000W	 designado	 Quilowatt	 (KW)	 ou	 1.000.	
000	W,	Megawatt	(MW).
Outras	unidades	diferentes	do	SI	são:
–		Horse	–	Power	(HP),	1HP	=	746	W	(Inglaterra)
–		Cheval	–	vapeur	(Cv),	1Cv	=	735	W	(França)
90
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
Exercício de aplicação
P1 –	Costuma-se	medir	
a	potência	de	um	carro	
pela	velocidade	máxima	
que	ele	é	capaz	de	atin-
gir	 em	 10s	 de	 movi-
mento,	em	linha	recta,	a	
partir	do	repouso.	Para	
um	 certo	 carro,	 essa	
velocidade	 máxima	 é	
108km/h.	 Nessa	 situa-
ção:
a)		Qual	o	valor	dessa	velo-
cidade	 máxima,	 em	
metros	por	segundo?
b)		Calcule	 a	 aceleração	
média	 do	 carro	 nesse	
trecho,	em	metros	por	
segundo	ao			quadrado.
c)		Sabendo-se	que	a	massa	
do	 carro	 é	 1000kg,	
aproximadamente,	 cal-
cule	a	potência	 	média	
(em	 watt	 s)	 que	 ele	
desenvolve	 nesse	 tre-
cho,	desprezando-se	os	
atritos.
d)		Qual	 a	 potência	 do	
carro	no	instante	10s?
Dados
t	=	10s
v	=	108km/h
a)		v	=	?
b)		am	=	?
c)		m	=	1000kg,		Pm =	?
d)		P	=	?
Resolução
a)
v =	108km/h =	108/3,6	=	30m/s
d)
P =	F.v → P	=	3000.30	=	9.104Watts
c)
Pm =	?				Força	média	que	o	carro	desenvolve
Fm	=	m.a	→ Fm	=	1000.3	=	3000N
Deslocamento	nesse	trecho		v2	=	v20	=	+	2as
302	=	02	+	2.3.s	=	150m
Trabalho	da	força	F
W =	F.d	→	W	=	3000.150
W	=	4.5.105N
Potência	média		
P
W
t
P Watts
m m
= → = =
4 5 10
10
4 5 10
5
4
, .
, .
b)
a
v
t
a m s
m m
= → = =
30
10
3
2
/
91
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
P1 –	A	propaganda	de	 um	automóvel	 diz	 que	 ele	 consegue	
atingir	 a	 velocidade	 de	 108km/h	 numa	 recta	 horizontal	 de	
150m,	partindo	do	repouso.	Sendo	1200kg	a	massa	de	auto-
móvel,	determine	a	potência	que	ele	desenvolve.
P2 –	 Uma	 máquina	 realiza	 um	 trabalho	 de	 2400J	 em	 15s.	
Determine	a	potência	média	desta	máquina.
P3 –	 Um	 guindaste	 foi	 projectado	 para	 suspender	 vertical-
mente	um	fardo	de	massa	igual	a	3.103	kg,	à	altura	de	10m,	no	
intervalo	de	tempo	de	30s.	A	aceleração	da	gravidade	no	local	
é	9,8m/s2.	Calcule	a	potência	d	média	deve	desenvolver.
Exercícios propostos
					R:			P	=	54kW
					R:			P	=	160	W
					R:			P	=	9,8.103	W	
3.4. Energia potencial
Chama-se	energia	potencial	a	que	depende	da	posição	mútua	
dos	 corpos	 ou	 das	 posições	 relativas	 de	 um	mesmo	 corpo.	
A	 energia	 potencial	 é	 uma	 forma	 de	 existência	 da	 energia	
mecânica	 quando	 está	 armazenada,	 podendo	 a	 qualquer	
momento	manifestar-se,	 transformando-seem	outra	 forma	
de	energia.	Por	exemplo,	sob	a	forma	de	movimento.	A	ener-
gia	hidráulica	e	a	nuclear	é	exemplos	de	existência	de	energia	
potencial	 visto	que	 são	 energias	que	 estão	 em	potência	 ou	
armazenadas.
A	energia	potencial	só	depende	das	posições	inicial	e	final.	Por	
esse	motivo	é	associada	ao	trabalho	das	forças	conservativas.
OBS:		conservativa	quer	dizer	que	durante	o	movimento	de	um	
corpo	sujeito	a	esse	tipo	de	força	não	há	perca	de	energia	
completa.
92
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
Tipos de energia potencial
Energia potencial gravitacional:	é	a	energia	que	os	siste-
mas	 possuem	perto	 da	 superfície	 da	 terra.	 	 Representa-se	
mediante	a	seguinte	fórmula:
	 	Ep	=	m.g.h.	 	(3.5)
onde:	m,	é	a	massa	do	corpo;	g,	aceleração	gravitacional	e	h,	
a	altura.
g	=	cte				e	tem	o	valor	de	9,8	ms–2
Para	grandes	distâncias	muito	longe	da	superfície	da	terra,	
ex:	satélites	artificiais	ou	naturais,	…	etc.	a	energia	gravitató-
ria	representa-se	mediante	a	seguinte	fórmula:
															
E G
M m
Rg
= − 1 2
.
	
(3.6)
	
onde	G	é	a	constante	universal	gravitacional,	M1	a	massa	da	
terra,	m2,	massa	do	 corpo	ou	 satélite,	 	 R	 distância	 tomada	
desde	o	centro	da	terra	até	o	corpo,		relativo	ao	referencial,	
neste	caso		tomado	da	terra.
3.4.1. Energia Potencial Elástica
É	a	energia	de	uma	mola	que	possui	elasticidade	ou	corda	que	
está	esticada.
A	mola	é	um	corpo	que	apresenta	comportamento	ideal	para	
se	estudar	esse	 tipo	de	energia.	Pois	 toda	a	energia	que	ela	
recebe	 para	 se	 deformar	 realmente	 armazena,	 assim	 que	 a	
energia	potencial	acumulada	nessa	mola	representa-se	pela	
seguinte	fórmula:
															
E
kx
elas
=
2
2 	
(3.7)
	
Onde	 x	 representa	 a	 deformação	 (contracção	 ou	distensão)	
sofrida	pela	mola	e	k	é	a	constante	elástica	que	mede	o	grau	
de	dificuldade	para	o	corpo	se	deformar;	depende	do	material	
de	fabrico	da	mola.
93
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
Pela	equação	da	energia	potencial	elástica,	podemos	notar	que	
quanto	maior	for	a	deformação	e	quanto	maior	for	a	dificul-
dade	para	o	corpo	se	deformar	(k),	maior	será	a	quantidade	de	
energia	potencial	elástica	que	essa	mola	armazenará.
A	 energia	 em	 todos	 esses	 casos	 esta	 sendo	 utilizada	 para	
deformar	um	corpo.
Assim	como	nos	exemplos	citados,	sempre	que	um	corpo	for	
deformado	e	mantém	a	capacidade	de	diminuir	essa	deforma-
ção	voltando	ou	não	a	forma	original,	dizemos	que	esse	corpo	
armazenou	 um	 tipo	 de	 energia	 chamada	 energia	 potencial	
elástica.
Exemplos	de	ocorrências
Fig. 3.6 – a) Mola distendida; b) Mulher puxando uma corda de arco e flecha 
a) b)
A	designação	potenial	é	devida	ao	facto	de	o	corpo	ser	esti-
cado	ou	comprimido	poder	adquirir	movimento	espontâneo	
após	 ser	 libertado.	A	denominação	 elástica	 vem	do	 facto	de	
a	 capacidade	de	deformar	 e	 voltar	 a	 forma	 inicial,	 chamada	
elasticidade.	Tal	como	já	fizemos	referência	no	tema	anterior	a	
energia	potencial	gravitacional	é	também	uma	energia	arma-
zenada,	e,	associa-se	a	um	corpo	devido	a	sua	posição	em	rela-
ção	a	outros	corpos	ou	mesmo	em	relação	a	terra.
94
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
	Uma	bola	a	ser	abandonada	de	uma	altura	H	a	partir	do	ponto	
A	 até	 ao	 ponto	 B	 que	 pode	 ser	 considerado	 como	 a	 Terra.	
Á	medida	que	a	bola	cai	a	energia	potencial	vai	diminuindo	e	
aumenta	a	energia	cinética,	assim	como	a	sua	velocidade.
Quando	uma	mola	elástica	é	esticada	ou	comprimida,	a	força	
necessária	para	o	efeito	aumenta	à	medida	que	a	mola	aumenta	
ou	diminui	de	comprimento.	
Segundo	a	Lei	de	Hook	cujo	gráfico	se	apresenta,	o	trabalho	da	
força	F	aplicada	na	mola	e	produz	nela	uma	deformação	x,	pode	
ser	calculado	em	função	da	área	do	triângulo	destacado	na	figura.
A	=	W	=	(base.altura)	/	2	=	(x.k.x)/2
	
W
kx
=
2
2 	
(3.8)
Fig. 3.7 – Mola em distensão
F(x)
Xx
kx
0
Fig. 3.8 – Lei de Hook
95
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
Exercício de aplicação
P1 –	Qual	será	a	energia	
potencial	elástica	arma-
zenada	 numa	 mola	 de	
constante	elásti	ca
K	 =	 250N.m–1	 quando	
estica	20cm?
Dados
Eelas	=	?
k	=	250	N.m–1	
x	=	20cm =	0,2m	
Resolução
E
kx
E
elas elas
= → =
2
2
250 0 04
2
. ,
E J
elas
=5
Se	a	mola	for	distendida	(aumento	de	comprimento)	ou	compri-
mida	(redução	de	comprimento)	o	trabalho	da	força	elástica	de	
restituição	será	positivo.	
Tal	como	a	força	peso,	a	força	elástica	é	também	uma	força	con-
servativa.	
P1 –	Uma	bala	de	revolver	é	disparada	verticalmente	para	cima	
e	atinge	altura	máxima	de	4000m	acima	do	ponto	de	disparo.	
Considere	g	=	10m/s2	e	despreze	a	resistência	do	ar,	determine	
a	velocidade	com	que	a	bala	saiu	do	cano	do	revolver.
P2 –	A	massa	do	martelo	de	um	bate-estacas	é	200kg	e	ele	cai	
de	2m	de	altura	sobre	a	estaca.	Suponha	o	sistema	conserva-
tivo	e	adopte	g	=	10m/s2.
a)		Qual	a	energia	potencial	inicial	do	martelo,	em	relação	à	
estaca?	
b)		Qual	a	velocidade	do	martelo	no	instante	do	impacto?	
Exercício proposto
					R: 		V	=	–282	m/s
a)	R: 		Ep	=	4000J
b)	R:			v	=		m/s			 
96
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
3.5. Energia Cinética 
– Teorema de Trabalho e Energia
A	velocidade	de	um	ponto	material	varia	por	acção	da	força	
aplicada.	O	trabalho	da	força	aplicada	está	relacionado	com	a	
variação	da	velocidade	do	ponto	material.
Esta	 relação	 expressa-se	 mediante	 a	 energia	 cinética	 do	
ponto	material.
Para	 determinar	 a	 energia	 cinética	 de	
um	 ponto	 material	 calculemos	 o	 pri-
meiro	 trabalho	 realizado	 para	 variar	 a	
velocidade	do	ponto	material	de	massa	
m	 desde	 v1	 até	 v2.	 Para	 isso	 apliquemos	
ao	ponto	material	uma	 força	constante	
paralela	 ao	 vector	 velocidade	 v1,	 força	
que	em	certo	intervalo	de	tempo,	varia	a	
velocidade	desde	v1	até	v2.	Neste	inter-
valo	 de	 tempo,	 o	 ponto	 material	 per-
corre	uma	distância	s,	e	a	força	realiza	o	
trabalho.
 w =	F.s (3.9)
O	espaço	percorrido	pelo	ponto	material	é	dado	por
	
s
v v
a
=
−
2
2
1
2
2 	
(3.10)
A	força	dada	por
	 F	=	m.a (3.11)
Substituindo	as	 equações	 (3.10)	 e	 (3.11)	na	 equação	 (3.9),	
obtemos
	
W ma
v v
a
=
−
2
2
1
2
2
Donde
	
W
mv mv
= −2
2
1
2
2 2 	
(3.12)
Fig. 3.9 – Meninos observando a corrente da água do rio Kuanza
97
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
Assim	 temos	 o	 trabalho	 da	 força	 que	 é	 igual	 a	 variação	 da	
grandeza	mv
2
2
,	que	se	denomina	energia	cinética.	Designando	
energia	cinética	por	Ec:	
	
E
mv
c
=
2
2 	
(3.13)
A	energia	cinética	é	 função	do	movimento.	Em	Física	ener-
gia	 cinética	 de	 um	 ponto	material	 define-se	 como	 sendo	 a	
metade	do	produto	da	massa	pelo	quadrado	da	velocidade.
A	energia	cinética	de	um	sistema	é	igual	ao	somatório	das	ener-
gias	cinéticas	de	todas	as	partículas	constituintes	do	sistema.
	
E mv
c
= ∑
1
2
2
	
(3.14)
Exercícios de aplicação
P1 –	Uma	bala	de	uma	
espingarda,	 de	 massa	
20g,	 tem	 a	 velocidade	
200m/s	 quando	 atinge	
uma	parede	e	nela	pe-
netra	25cm,	até	parar.
a)		Qual	 a	 energia	 ciné-
tica	da	bala	ao	atingir	
a	parede?
b)		Qual	a	intensidade	da	
força	de	resistência	da	
parede	 sobre	 a	 bala,	
supondo-a	constante?
Dados
m	=	20g	=	2.10–2kg
Ec	=	400J
s	=	25cm	=	2,5.10–1m
a)		Ec	=	?											b)		F=	?														
Resolução
a)	
b)	
E
mv
E v m s
E J
C C
C
= → = =
=
. . .
/
–2 2
2
2 10 40000
2
200
400
W =	Ecf –	Eci	→ F.s	=	Ecf –	Eci	
F.2,5.10–1 =	0	–	400
F =	1600N
98
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
Exercícios propostos
P1 –	Raquel		puxa	uma	caixa	de	massa	de	10kg	ao	longo	de	8m	
de	uma	superfície	horizontal	onde	o	atrito	é	desprezável.
A	força	exercida	pela	Raquel	é	horizontal,	tem	intensidade	de	
1200N	e	a	caixa		inicialmente	estava	em	repouso.
a)		Determine	o	trabalho	realizado	pela	Raquel?	
b)		Calcule	 a	 energia	 cinética	 final	 da	 caixa.	 Compare	 esse	
valor	com	o	trabalho	realizadopela	Raquel?	
P2 –	Um	carro	percorre	uma	curva	plana,	horizontal	e	circular,	
de	raio	igual	1km,	com	a	energia	cinética	constante	igual	a	2.105J.
a)		Calcule	a	força	resultante	actuando	sobre	o	carro?	
b)		Qual	o	trabalho	da	força	resultante	sobre	o	carro	ao	per-
correr	¼		de	circunferência?	
a)	R: 	W	=	9600J;
	o	 trabalho	 reali-
zado	causará	uma	
variação	de	veloci-
dade	da	caixa
b)	R: 	W	=	9600J;
W	≠	Ecf
pois	Ecf	=	0
a)	R: 		F	=	400N
b)	R: W	=	0J
3.6. Lei de Conservação 
da Energia Mecânica 
Energia	mecânica	é	a	soma	da	energia	cinética	com	a	energia	
potencial	que	uma	partícula	tem	num	dado	instante.
Exemplo:
uma	bola	solta	do	alto,	durante	a	descida	vai	perdendo	ener-
gia	potencial	e	vai	ganhando	energia	cinética.	A	soma	destas	
energias	em	cada	 instante	é	constante	e	denominamos	de	
energia	mecânica.
Num sistema conservativo, a energia mecânica total perma-
nece constante, qualquer que seja a transformação do sistema.
99
PARTE I – Mecânica
UNIDADE III – Trabalho e Energia
P1 –	 Uma	 mola	 de	 constante	 elástica	 3200N/m	 mostra-se	
comprimida	 de	 0,2m	 contra	 o	 chão.	 Sobre	 ela,	 repousa	 um	
bloco	de	massa	M	=	2kg.	A	mola	é	solta	e	arremessa	o	bloco	
verticalmente.	Qual	é	o	módulo	da	velocidade	do	bloco	quando	
este	atingir	uma	altura	de	2,4m?	Com	relação	à	posição	inicial,	
despreze	todas	as	forças	dissipativas	e	considere	g	=	10	m/s2.
Exercício proposto
					R:			v	=	4	m/s
Exercício de aplicação
P1 –	 O	 recorde	 olím-
pico	 de	 salto	 com	 vara	
é	aproximadamente	6m	
de	altura.	Considerando	
que	o	atleta	tenha	conse-
guido	 transformar	 toda	
a	 sua	 energia	 cinética	
da	 corrida	 de	 impulso	
para	o	salto	em	energia	
potencial	 gravitacional	
ao	transpor	o	obstáculo,	
calcule	a	sua	velocidade	
imediatamente	 antes	 de	
fincar	 a	 vara	 no	 solo	
para	iniciar	o	salto?
Dados
g	=	10m /	s2
h	=	6m 
Ec	=	Ep	
v	=	?
Resolução
mv
mgh
v gh
v
v m s
2
2
2
2 10 6
11
=
=
=
=
. .
/
100
101
Fenómenos
Térmicos
UNIDADE 1 – Energia Térmica 
UNIDADE 2 – Equação de Estado de um Gás Perfeito
UNIDADE 3 – Termodinâmica
P
A
R
T
E
 I
I
102
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1 – Energia Térmica
PARTE 1I: FENÓMENOS TÉRMICOS 
Unidade 1
EnErgia Térmica 
Fig. 1.1 – Águas termais do Chilesso (Andulo)
Encontramo-nos, a todo instante da vida, em contacto com 
outros corpos que nos dão a sensação de quente ou frio. Estas 
sensações nos transmitem as primeiras noções da energia 
térmica. 
1.1. Temperatura
Sempre que falamos de temperatura de um corpo, fazemos 
referência ao nível de vibração das suas moléculas.
A temperatura, porém, pode ser medida de várias maneiras. 
Obtêm-se essas temperaturas de maneira indirecta, por com-
paração. Tal processo só é possível porque certas grandezas 
103
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE 1 – Energia Térmica
das substâncias, a exemplo do comprimento de uma barra, o 
volume de um gás ou o brilho da luz emitida por um sólido 
muito quente, variarem com a temperatura. Medida a variação 
sofrida por uma das grandezas, podemos avaliar a tempera-
tura de um corpo. 
É com base na variação dessas grandezas que são construídos 
os termómetros, dispositivos capazes de medir a temperatura 
dos corpos.
Para que possam indicar a variação de temperatura dos diferen-
tes corpos, é preciso que os termómetros sejam graduados. E essa 
graduação é feita de acordo com várias escalas termométricas.
1.1.1. Escalas Termométricas
Para o efeito é necessário estabelecer os seus pontos fixos, 
atribuir aos mesmos e dividir em partes iguais o intervalo 
entre eles, seguindo o seguinte:
Escolhemos determinados fenómenos físicos, que podem ser 
repetidos em condições idênticas quantas vezes forem neces-
sárias. São exemplos de pontos fixos:
• (PG) Ponto de Gelo → corresponde à temperatura do 
gelo que se transforma em água quando submetida à 
pressão de uma atmosfera.
• (Pv) Ponto de Vapor → corresponde à temperatura da 
água fervente que se transforma em vapor quando sub-
metida à pressão de uma atmosfera.
Depois dessa operação atribuir-se-lhes valores numéricos e, a 
seguir, divide-se o intervalo entre eles em partes iguais.
As diferentes escalas dependem dos valores atribuídos a esses 
pontos e as divisões feitas entre eles.
Dentre as escalas conhecidas, as mais utilizadas são:
• Celsius [°C]
• Fahrenheit [F]
• Kelvin [K]
104
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Analisando cada escala que segue
Escala Célsius
Esta escala foi estabelecida pelo físico sueco Anders Celcius. 
Ele atribuiu o valor zero ao ponto correspondente à tempe-
ratura do gelo e o valor 100 ao ponto de vapor. Divide-se esse 
intervalo em 100 partes iguais. Cada uma dessas partes cor-
responde à variação de um grau Celsius.
Escala Fahrenheit
Esta escala foi elaborada pelo físico alemão Daniel Fahrenheit, 
e é muito usada nos países da língua inglesa.
De acordo com esta escala Fahrenheit, o ponto de gelo cor-
responde ao número 32 e o ponto de vapor ao número 212. 
O intervalo entre esses números está dividido em 180 partes 
iguais (212-32). Cada uma dessas partes corresponde à varia-
ção de um grau Fahrenheit.
Escala Kelvin
A escala Kelvin foi criada pelo físico inglês Lord Kelvin e é muito 
usada em pesquisas científicas. Esta escala é conhecida também 
por Escala Absoluta ou termodinâmica. O seu ponto de gelo cor-
responde ao número 273 e o seu ponto de vapor ao número 373.
1.1.2. Relações entre as Escalas Termométricas
Para percebermos melhor as relações existentes entre as 
várias escalas vamos considerar a seguinte situação:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
°C
32
212
°F
Fig. 1.2 – Termómetro com escala 
Celsius 
Fig. 1.3 – Termómetro com escala 
Fahrenheit
Fig. 1.4 – Comparação entre escalas termométricas
Pv (ponto de vapor) 100 212 373
C – 0 F–32 K–273
273320
KFC
X
100 100180
PG (ponto de gelo)
(temperatura
em
cada escala)
105
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Sendo a temperatura igual, o mercúrio sofrerá a mesma dilata-
ção em todos os termómetros ainda que cada um esteja a mar-
car um valor diferente, devido a cada termómetro associar um 
valor correspondente, na sua escala. Os segmentos que corres-
pondem à varia de temperatura (PV – PG) são iguais para todos 
termómetros e os que correspondem à dilatação do mercúrio, 
a partir do ponto de gelo (X – PG), também são iguais. Pode-
mos, desta feita estabelecer as seguintes relações:
 X P
P P
C F KG
V G
−
−
= =
−
=
−
100
32
180
273 16
100
, (1.1)
Desde que conheçamos PG e PV podemos, consequentemente, 
estabelecer correspondência entre quaisquer escalas.
Exercícios de aplicação
P1 – A temperatura 
de um doente regista 
no termómetro 40°C. 
Determine o valor dessa 
temperatura nas escalas 
Fahrenheit e Kelvin. 
Resolução
Para resolver esse problema, 
basta aplicar as fórmulas 1.1 
relacionando a escala Fahre-
nheit com Celsius:
Relacionando a escala Kelvin 
com a Celsius:
Resposta: nas escalas Fahrenheit e Kelvin, a temperatura do 
doente será respectivamente igual a: 104° e 313K.
F C
F
C
F
F
−
=
− =
= +
=
32
180 100
32
100
180
180 40
100
32
10
.
.
44°F
K C
K
C
K C
K
−
=
− =
− =
= +
273 16
100 100
273
100
100
273
40 2
,
.
773 16
313
,
K K=
106
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Exercícios propostos
R: T = 293°K 
R: t = 540 
R: t = 113°F e t = 318°K 
P1 – Assinale com F ou V as seguintes afirmações:
a) Temperatura e o grau de agitação térmica das moléculas 
de um corpos.
b) Dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um ter-
ceiro, logo eles estão em equilíbrio entre si.
c) Um dos pontos fixos da escala termodinâmica e o ponto de 
gelo que deve ser obtido sob pressão de 2 Atm na escala 
Célsius corresponde 0 C̊ na escala Fahrenheit corresponde 
a 32 °F e na escala Kelvin a 27.
d) Quanto maior for a massa de um corpo tanto maior será 
suatemperatura.
e) O zero absoluto (0° K = – 273 °C) é o estado de agitação que 
encontramos os corpos.
P2 – Três corpos em contacto entre si estão em equilíbrio tér-
mico. Nessa situação podemos afirmar:
a) Os três corpos apresentam-se no mesmo estado físico.
b) A temperatura dos três corpos é a mesma.
c) O calor contido em cada um deles é o mesmo.
d) O corpo de maior massa tem mais calor que os outros dois.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
P3 – Converta 68 °F para a escala Kelvin.
P4 – Uma massa de gás varia a sua temperatura entre 300 °K 
para 600°K. Quanto será essa variação na escala Fahrenheit?
P5 – Que valores são lidos nos termómetros Fahrenheit e Kelvin 
se o termómetro Célsius lê 45 °C?
107
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE 1 – Energia Térmica
1.2. Dilatação dos Sólidos
1.2.1. Dilatação Linear
A maior parte dos sólidos dilata-se quando aquecida. Suponha 
que uma barra de determinado material tenha comprimento 
L0 à temperatura inicial e que, quando a temperatura cresce, 
ΔT, o comprimento aumentará de ΔL. A experiência mostra 
que se ΔT não for muito grande, ΔL será directamente propor-
cional a ΔT. Certamente, ΔL também será proporcional a L0. Se 
duas barras do mesmo material sofrerem a mesma variação 
de temperatura, mas uma for o dobro da outra, então, a varia-
ção do comprimento desta também será o dobro da outra. 
Introduzindo uma constante de proporcionalidade α (que é 
diferente para materiais diferentes), pode se resumir nesta 
relação. 
 ΔL = α L0 ΔT ou L = L0 (1 + α ΔT) (1.2)
A constante α que caracteriza as propriedades da expansão 
térmica de um dado material, é chamada coeficiente de dila-
tação linear.
Para materiais que não têm direcções preferenciais, cada 
dimensão varia de acordo com Equação 5.2. Assim, L pode 
representar a espessura da barra, a aresta lateral de uma 
tira comprida ou o diâmetro de um furo no material. Existem 
alguns casos excepcionais. A madeira, por exemplo, expande-
se de modo diferente no sentido das fibras e no sentido trans-
versal e elas; monocristais de alguns materiais podem ter 
diferentes propriedades ao longo de eixos cristalinos dife-
rentes. Deve-se enfatizar que a proporcionalidade directa 
expressa em 5.2 não é exacta, mas aproximadamente correcta 
para variações de temperatura suficientemente pequenas. 
Para qualquer temperatura, pode-se definir um coeficiente 
de dilatação térmica pela seguinte equação:
 
α =
1
L
l
T�
.
 
(1.3)
108
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Neste caso, observa-se que (α), para um dado material, varia 
ligeiramente em função de transferência inicial e com a varia-
ção de temperatura. É, entrançando, boa, podendo-se igno-
rar estas variações. Valores médios de para vários materiais 
estão listados na tabela (1-1):
Li
Ti
Tf
Lf
Figura 1
L
L=Lf-Li
Barra de metal
Barra de metal
Material α (°C)
Alumínio
Latão
Cobre
Vidro
Aço
Invar
Quartzo (fundido)
2,4×10–5
2,0×10–5
1,7×10–5
0,4-0,9×10–5
1,2×10–5
0,09×10–5
0,04×10–5
Tabela (1-1) – Coeficiente de Dilatação Linear
Fig. 1.5 – Barra metálica em dilatação
109
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Exercícios de aplicação
P1 – Uma barra de aço 
de 20.000 mm está sub-
metida a uma tempera-
tura de 0 °C. Determine 
o comprimento dessa 
barra quando for aque-
cida a 100 °C.
Dados
l0 = 20000mm
t0 = 00C
Δt = 1000C
α = 12.10–6/ 0C
P2 – Uma chapa de 
cobre de forma rectan-
gular com as dimensões 
de 0,5m x 2m e encon-
tra-se submetida a tem-
peratura de 20 °C. Qual 
é o aumento da área 
sofrido por essa chapa 
quando a sua tempe-
ratura atingir 100 °C? 
(α = 17.10–6 °C–1).
Dados
S0 = 1m2
t0 = 200C
t = 1000C
α = 17.10–6 0C–1
Resolução
Resolução
Δl = αl0 Δt
Δl = 12.10–6/ 0C.20000mm.100 °C
Δl = 24mm
l = l0 + Δl
l = 20000mm + 24mm
l = 20024mm
ΔS= βS0 Δt
AS = 2.17.10–6 0C–1.1m2.(100 – 20) °C
ΔS = 34.10–6 .80m2 → ΔS = 2,72.10–3 m2
110
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Exercícios propostos
P1 – O gráfico representa a variação do comprimento de uma 
barra homogénea. Qual é o valor do coeficiente de dilatação 
linear do material?
P2 – Uma barra de cobre de 2 m de comprimento à temperatura 
de 24 oC tem coeficiente de dilatação linear 1,7 x 10–5 oC–1. Em 
que temperatura a barra terá 1 mm a menos de comprimento?
P3 – Uma placa metálica aquece-se de 0 oC a 50 oC e sua área 
altera-se em 1000 cm2 para 1000,8 cm2. Calcule o coeficiente 
linear médio da placa.
R: α = 5 x 10–5 oC–1 
R: t = –5,4 oC
R: α = 8.10–6 oC–1 
X
2,02
 2
0 200 t(°C)
1.2.2. Dilatação Superficial 
A dilatação superficial de um corpo é aquela em que predo-
mina a variação em duas dimensões e calculada através da 
seguinte equação:
ΔS= β.S0.Δt dilatação superficial
S = S0 + βS0 Δt
S = S0 (1 + βΔt) (1.4)
Superfície total após dilatação
Sabendo β = 2α coeficiente de dilatação superficial em relação 
a linear
Logo S = S0 (1 + 2α.Δt) (1.5)
111
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE 1 – Energia Térmica
R: A = 2,4.10–5m2
Isto explica a razão pela qual a sua superfície é composta de dois 
lados ou linhas (comprimento vezes comprimento).
No entanto, nalguns corpos, nenhuma das suas dimensões pode 
ser descurada, pois a sua dilatação altera não apenas o seu com-
primento ou a sua superfície, mas também o seu volume. É o caso, 
por exemplo, de um cubo, de um paralelepípedo ou de uma esfera. 
Nestes casos, temos que considerar as três dimensões, pois o 
corpo sofre uma dilatação volumétrica.
P1 – Uma chapa quadrada de ferro tem 3 m de lado a 20 °C. 
Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do ferro e 12 x 
10–6 °C–1 , Calcule a área dessa chapa num local cuja a tempe-
ratura é de 95 F?
Exercício proposto
1.2.3. Dilatação Volumétrica 
O aumento de temperatura normalmente causa um aumento 
no volume tanto dos sólidos como dos líquidos. A experiência 
mostra que, se a variação de temperatura Δt não for dema-
siado, o aumento de volume ΔV será aproximadamente pro-
porcional á variação de temperatura. Ela também será pro-
porcional ao volume inicial V0. Como na dilatação linear
A relação pode ser expressa assim:
 ΔV = γ.V0. Δt (1.6)
A constante, γ que caracteriza as propriedades de dilatação 
volumétrica de um dado material, é chamada coeficiente de 
dilatação volumétrica. 
Assim como coeficiente de dilatação volumétrica γ varia ligei-
ramente. Para muitas substâncias γ decresce quando a tem-
peratura diminui, aproximando de zero. É interessante notar 
que, quanto maior for o ponto de fusão de um metal, menor 
será o seu coeficiente de dilatação volumétrica.
112
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Exercícios propostos
P1 – Um recipiente de ferro tem um coeficiente de dilatação 
linear de 12 . 10–6 °C–1. Se estiver a 0 °C totalmente cheio de um 
liquido cujo volume e de 120 cm3. Ao ser aquecido o conjunto a 
200 °C extravasam 12 cm3 de liquido. Determine o coeficiente 
de dilatação real do líquido? 
P2 – Um recipiente de vidro tem capacidade C de 91000 cm3 
a 0 oC e contem a essa temperatura 90000 cm3 de mercúrio.
A que temperatura o recipiente estará completamente cheio de 
mercúrio? 
P3 – O volume de um bloco metálico sofre um aumento de 0,4% 
quando sua temperatura varia de 200 oC. Qual e o coeficiente de 
dilatação linear desse metal? 
P4 – Um recipiente de cobre tem a capacidade de 2500 cm3 
a 0 oC. Calcule sua capacidade a 100 oC. Dados coeficiente de 
dilatação linear do cobre e de 17.10–6 oC–1. 
P5 – Um tanque de aço de forma cilíndrica tem um volume
de 50 m3 a temperatura de oC, calcule o seu volume a 100 oC, 
α = 12 . 10–6 oC–1. 
P6 – Um recipiente de cobre com capacidade de 3000 cm3
a 0 oC tem coeficiente de dilatação superficial de 34 . 10–6 oC–1. 
Calcule a capacidade do recipiente a 80 oC? 
R: γ = 5,36 .10–4 oC–1
R: α = 6,7 .10–6 oC–1
R: V = 2512,75 cm3
R: V = 50,18 m3
R:3012,24 cm3
1.3. Transmissão de Calor
No estudo precedente sobre a temperatura, discutiu-se o 
conceito de temperatura em relação ao equilíbrio térmico. 
Quando dois corpos que não estão inicialmente em equilíbrio 
térmico são colocados em contactos ou são separados por 
uma parede diatérmica, suas temperaturas variam até que 
eles atinjam o equilíbrio térmico, pode-se, agora, examinar a 
113
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE 1 – Energia Térmica
natureza da interacção que ocorre entre os corpos durante a 
sua aproximação ao equilíbrio térmico. Uma discussão quan-
titativa leva ao conceito de calor, objecto no presente estudo. 
Suponha que dois sistemas, A e B, sejam postos em contacto; 
a temperatura de A é mais alta que a de B.
Quando o equilíbrio térmico é alcançado, verifica-se que a 
temperatura de A diminui e de B aumentou.
Foi, assim, natural para primeiros investigadores nesse 
campo, supor que A perdeu alguma coisa e que “essa alguma 
coisa” flui para Benquisto e se processam variações de tempe-
ratura. É comum fazer-se referência a um fluxo, transmissão 
ou referência de calor de A para B.
Pensou-se, inicialmente, que o processo de transferência de 
calor fosse de um fluxo de um fluido invisível e sem peso, cha-
mado calórico, mas o trabalho de Court Rumford (1753-1814) 
e de Sir James Prescott Joule (1818-1889) estabeleceu decisi-
vamente que o fluxo de calor é uma transferência de energia.
Chama-se fluxo de calor o processo de transferência de 
energia que ocorre exclusivamente em virtude de dife-
renças de temperaturas. Assim, se a chama quente de um 
bico de busen estiver em contacto com um sistema formado 
de água e vapor de água, a água é convertida em vapor a tem-
peraturas e pressões altas. Sob essas condições, o vapor é 
capaz de realizar mais trabalho que antes (atingindo a lâmina 
de uma turbina, por exemplo).
Certamente, a transferência de energia também pode ocorrer 
sem fluxo de calor. Num compressor de ar, um pistão móvel 
pressiona uma massa de ar, realizando trabalho sobre esta, 
á medida que comprime a volumes menores. Neste estado, 
comprimido, o gás é capaz de realizar mais trabalho do que 
antes e, consequentemente, ganhar energia.
Finalmente, num compressor de ar, este e o pistão encontram-
se em temperaturas diferentes, podendo ocorrer um fluxo de 
calor entre o pistão e o ar. Este é um exemplo de processo 
que envolve dois tipos de transferência de energia simultane-
amente: fluxo de calor e realização de trabalho.
114
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1 – Energia Térmica
1.4. Capacidade Calorífica
Suponha que uma pequena quantidade de calor Q, seja trans-
ferida entre um sistema e sua vizinha. Se o sistema sofrer uma 
mudança de temperatura ΔT, a capacidade calorífica especi-
fica, ou calor específico, c, do sistema, é definida como:
 
C
Q
t
=
�
� 
(1.7)
Ou seja, o calor Q, necessário para aumentar de ΔT a tempera-
tura da massa m do material é 
O calor específico da água será aproximadamente
 4,19 J• g –1 (°C) –1, 4190 J • kg –1 (°C) –1,
 1 cal •g –1 •(°C)–1, ou 1 BTU •1b –1 •(°F) –1.
Uma unidade de massa frequentemente usada, por conveni-
ência, é a molécula-grama, ou mais precisamente, o mol, defi-
nida como o número de gramas igual a massa molecular. Para 
calcular o número de moles, n, divide-se a massa em gramas 
pelo peso molecular; assim, n = m0M. obtém-se:
 
M
Q
n tC
=
�
� 
(1.8)
O produto Mc é chamado capacidade calorífica molar. Por 
definição,
 
C M
Q
n t
Q nC T
c
= =
=
�
�
� � 
A capacidade calorífica molar de água é aproximadamente
75,3 J • mol –1 • (°C) –1 ou 18 cal • mol –1 • (°C) –1 
Se o calor específico de um material for constante numa faixa 
de temperatura de T1 a T2, então, a quantidade total de calor 
115
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE 1 – Energia Térmica
que deve ser fornecida a um corpo de massa m para variar sua 
temperatura será
 Q = m.c.(T2–T1) (1.9)
Se T2 for maior que T1, Q será negativo, indicando transferên-
cia de calor para fora do corpo em vez de para dentro dele.
A tabela apresenta valores representativos de calor específico 
de algumas substâncias.
Tabela (5-1) – Calores Específicos e Capacidades Caloríficas Molares Médias de Metais
Metal
Específico
J•g –1 • (ºC) –1
M,
g • mol–1
Molar C = Mc
J•mol–1 (ºC)
Intervalo de 
Temperatura,ºC
Berílio
Alumínio
Ferro
Cobre
Prata
Mercúrio
Chumbo
 1,97
 0,91
 0,47
 0,39
 0,234
 0,138
 0,130
 9,01
 27,0
 55,9
 63,5
 108
 201
 207
17,7
24,6
26,3
24,8
25,3
27,7
26,9
20-100
17-100
18-100
15-100
15-100
 0-100
20-100
Figura 1.6 mostra que a variação de calor específico da água 
com a temperatura. Pode-se observar que quantidade de 
calor necessária para 14,5º C para 15,5º C a temperatura de 
1 g de água é, 
 1 Cal a 15 °C = 4,186 J
Caloria principal
 Caloria IT
 Caloria 15°
 Caloria
 termoquímica
4,22
4,21
4,20
4,19
4,18
4,17
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t , º C
Ca
lo
r e
sp
ec
ífi
co
da
 á
gu
a,
 J 
• g
–1
 . 
(C
°)
–1
Fig. 1.6 – Calor específico da água em função da temperatura
116
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Exercícios de aplicação
P1 – O calor especifico 
de uma substancia e de 
0,5 cal/g °C. Se a tempe-
ratura de 4 g dessa subs-
tancia se eleva 10 °C, 
qual será a Quantidade 
de calor absorvida?
Dados
c = 0,5cal / g . °C 
m = 4g 
Δt = 10 °C
P2 – Calcule a quanti-
dade de emergia neces-
sária para elevar a tem-
peratura de um material 
cujo calor especifico e 
de 0,412 cal/g C de 40 C 
para 100 C, sabendo que 
sua massa e de 5 Kg?
Dados
c = 0,412cal / g . °C 
m = 5000g 
Δt = 60 °C
Resolução
Resolução
O calor específico ou a capacidade calorífica molar de uma 
substância não são as únicas propriedades físicas cuja deter-
minação experimental requer a medida de uma quantidade de 
calor. Condutividade térmica, calores de fusão, vaporização, 
combustão, solução, e reacção, são exemplos de outras dessas 
propriedades, chamadas propriedades térmica da matéria. 
O campo da física e da físico-química que lida com medidas de 
propriedades térmicas é chamado de calorimetria.
Q = c.m.Δt
Q = 0,5.4.10
Q = 20cal
Q = c.m.Δt
Q = 0,412.5000.60
Q = 123,6kcal
117
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Exercícios de aplicação
P3 – Um bloco de 
cobre c = 0,094 cal/g oC 
de 1,2 kg e colocado 
num forno ate atingir 
o equilíbrio térmico. 
Nessa situação o bloco 
recebe 12972 cal. Qual 
a variação de tempera-
tura sofrida pelo bloco?
Dados
c = 0,094cal / g . °C 
m = 1,2kg
Q = 1297cal
Resolução
Q c m t
t
Q
c m
t
t C
=
= → =
= °
. .
. , .
,
�
� �
�
1297
0 094 1200
11 5
Exercícios propostos
P1 – Veja a tabela com cinco elementos e suas respectivas mas-
sas e calores específicos.
Diga qual deles tem maior capacidade térmica? 
P2 – Uma placa de cobre de 2cm de espessura e 1m2 de área 
possui faces com temperaturas de 100 oC e 20 oC. Calcule a 
quantidade de calor que atravessa a placa em uma hora. (Dados 
Kcu = 9,2.10–2 kcal/s.m. oC). 
Metal C (cal/g°C) M(g)
Alumínio
Chumbo
Cobre
Prata
Ferro
0,217
0,031
0,093
0,056
0,113
100
500
300
400
200
R: Cobre
R: Q = 132,5.104 kcal
118
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Exercícios propostos
P3 – O calor específico do ferro e igual a 0,110 cal/g C. Deter-
mine a temperatura final de uma massa de 400 g de ferro a tem-
peratura de 20 C após ter cedido 600 calorias? 
P4 – Um corpo de 250 g de massa a temperatura inicial de 
10 C e aquecido durante 5 minutos por uma fonte de potencia 
constante que lhe fornece 700 cal/ min. Ao final desse tempo a 
temperatura do corpo e de 80 C. Qual e o valor do calor espe-
cifico da substancia do corpo? 
R: t = 6,36 oC
R: c = 0,2 cal/g oC
1.5. Equilíbrio Térmico
Trocas de Calor 
Chamamos de calorímetro um tipo de recipiente que termica-
mente isoladoentre as trocas e o seu conteúdo e o meio exterior.
Num sistema de vários corpos, termicamente isolados do meio 
externo, a soma das quantidades de calor por eles trocados é 
igual a zero.
Qcedido + Qrecebido = 0
Para um sistema de n corpos
 Q1 + Q2 + ... + Qn = 0 (1.10)
Essa equação também é conhecida por equação de equilíbrio 
térmico.
Fig. 1.7 – Cafeteira com água em 
ebulição
119
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE 1 – Energia Térmica
Exercícios de aplicação
P1 – Determine a capa-
cidade térmica de um 
calorímetro contendo 
200g de água a 15°C 
que, tendo recebido 
mais 90g de água fer-
vendo, tem a tempera-
tura final de equilíbrio 
térmico igual a 36°C.
Note: A temperatura da 
H2O fervendo é de 100°C 
e as temperaturas inicial 
e final do calorímetro 
são iguais às da água 
contida nele.
Dados
C = ?
mágua = 200g
t1 = 150C
máguaferver = 90g
t2 = 360C
Resolução
Exercícios propostos
P1 – Uma vasilha adiabática contém 100g de água a 20°C. Mis-
turando 250g de ferro a 80°C a temperatura atinge 33°C. Deter-
mine o calor específico do ferro. (Cágua = 1cal/g°C).
P2 – Uma dona de casa mistura, numa garrafa térmica, 100 ml de 
água a 25°C com 200ml de água a 40°C. A temperatura final dessa 
mistura logo após atingir o equilíbrio térmico, é, em graus célsius, de 
a) 29 b) 32 c) 35 d) 38
R: Cfe = 0,11cal/g°C
Como
Para o calorímetro temos 
Qcal = C.Δt
Logo observando a equação térmica temos
Qcal + Qfria + Qquente = 0
(36 – 15).C + 200.1.(36 – 15) + 90.1 (36 – 100) = 0
21.C + 4200 – 5760 = 0
C = 74.3cal / °C
C
Q
t
=
�
120
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Unidade 1i
Equação dE EsTado dE um gás PErfEiTo 
2.1. Leis dos Gases
Para o estudo do comportamento dos gases adoptou-se o modelo 
do gás perfeito ou ideal que deve obedecer as seguintes caracte-
rísticas:
• Suas partículas ou moléculas movem-se caoticamente ou 
desordenadamente segundo as leis da mecânica clássica;
• Suas partículas não interagem entre si ou seja seus cho-
ques são desprezáveis.
• Os choques contra as paredes de recipientes que os contêm 
são perfeitamente elásticos;
• Suas moléculas têm dimensões próprias e desprezáveis.
As grandezas macroscópicas que caracterizam o estado de um gás 
são denominadas parâmetros termodinâmicos do gás. Os parâ-
metros termodinâmicos mais importantes do gás são o volume, a 
pressão e a temperatura. 
A relação existente entre os valores, dos vários parâmetros ter-
modinâmicos no inicio e no final do processo constitui a chamada 
lei dos gases. A lei dos gases que estabelece a relação entre os três 
parâmetros fundamentais do gás chama-se lei geral dos gases 
perfeitos.
Na prática, durante um processo termodinâmico há sempre 
variação de pelo menos dois parâmetros.
Lei geral dos gases perfeitos 
A lei geral dos gases perfeitos estabelece a relação entre os três 
parâmetros fundamentais do gás.
 
PV
T
=
 
constante (2.1)
121
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Os valores de P, V e T correspondem a um único estado do gás, 
a lei geral dos gases perfeitos pode ser enunciada da seguinte 
forma: para uma massa constante de gás, a razão entre o 
produto da pressão pelo volume e a temperatura do gás 
permanece constante.
Equação de Mendeleev – Clapeyron (ou equação de estado 
do gás perfeito)
 
 
PV
m
M
RT=
 
(2.2)
m: massa do gás
M: massa molar do gás
R: constante universal dos gases [R = 8,31 J/(mol.K)] 
A constante universal dos gases R, deriva da equação dos gases 
perfeitos:
 
R
pV
nT
=
E definida para o valor
 
R
joule
mol K
= 8 31,
.
Partindo do exemplo, 1 mol de qualquer gás (n= 1mol), à tem-
peratura de 0°C (ou seja, T = 273K) e à pressão p = 1atm, ele 
ocupa um volume V = 22,4 litros. Assim
R
atmlitro
mol K
= 0 082,
.
.
Dependendo da unidade de p, V, T, que frequentemente, para p 
é expresso em Nm–2 e V, em m3. Nestas condições
R
N m
m mol k
R
j
mol k
R kN
=
=
=
8 31
8 31
3
2
,
.
. .
,
.
122
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
R, representa fisicamente a energia devida a uma mole de um 
gás. 
Os processos termodinâmicos do gás, em que a massa do gás 
e um dos parâmetros permanecem constante, denominam-se 
isoprocessos.
Já que os parâmetros termodinâmicos que determinam o 
estado de um gás são três, teremos três processos distintos.
Exercícios de aplicação
P1 – Determine a pres-
são que sofre 6 mole 
de um gás perfeito 
que ocupa 25,4 l de 
volume a 27°C. É dada 
a constante universal 
dos gases perfeitos 
R = 0,082 atm. l /mol.K.
Dados
n = 6mols
V = 25,4l 
T = 27 °C = 300K
R = 0,082atm.l/mol.K
P2 – Determine o 
volume molar de um gás 
perfeito sob condições 
normais de pressão 
e temperatura. É dado 
R = 0,082 atml/mol.K.
Dados
P = 1atm
T = 273K 
n = 1mol
Resolução
Resolução
PV nRT
P
nRT
V
P
P atm
=
= → =
=
6 0 082 300
25 4
5 8
. , .
,
,
pV nRT
V
nRT
p
V
V l
=
= → =
=
1 0 82 273
1
22 4
. , .
,
123
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Exercícios de aplicação
P3 – 60 gramas de gás 
oxigénio, ocupa um 
volume de 8 litros à 
temperatura de 25°C. 
Qual é a pressão no 
interior do recipiente 
(1 mol de O2 = 32 g e R 
= 0,082 atm. l /K.mol).
Dados
m = 60g
V = 8l 
T = 273 + 25 = 298K
R = 0,082atm.l/K.mol
M = 32g/mol
P4 – A massa de um 
certo gás ocupa o volume 
de 30 litros sob pressão 
de 5 atm e a 27°C. Sendo 
R = 0,082 atm. l /mol.K, 
determine:
a) O número de mols do 
gás;
b) A massa do gás, sendo 
M = 20 g?
Dados
V = 30l 
p = 5atm 
R = 0,082atm.l/K.mol
T = 273 + 27 = 300K
Resolução
Resolução
pV nRT
n
pV
RT
n n mol
=
=
= → =
5 30
0 082 300
6
.
, .
pV nRT n
m
M
p
mRT
MV
p
p at
= =
= → =
=
60 0 082 298
32 8
5 8
. , .
.
, mm
M g mol n
m
M
m nM
m m g
= = → =
= → =
20
6 20 120
/ .
.
a)
b)
124
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Exercícios propostos
P1 – O Mauro Barros incumbiu a sua filha de encher uns 
bidões para fazer gelo. A filha, no entanto, pôs 100g de água, 
inicialmente a 20o C, num dos bidões e o colocou no congela-
dor, regulado para manter a temperatura, no interior, a –19oC, 
sempre que a porta estiver fechada. No entanto, a porta ficou 
tanto tempo aberta que a temperatura do ar dentro do conge-
lador chegou a –3o C.
Sabendo que a pressão atmosférica local é 1atm, o calor espe-
cífico de água 1 calg–1.oC, o calor latente de solidificação da 
água 80calg–1, e considerando que o ar no interior do congela-
dor é um gás ideal, determine:
a) A quantidade de calor que a água do bidão deve perder 
para que se converta totalmente em gelo a 0oC?
b) A pressão no interior do congelador imediatamente após 
a filha ter fechado a porta.
R: t = 6,36 oC
b) R: p = 0,94atm
a) R: Q = 10kcal
2.2. Processo Isotérmico: 
Lei de Boyle – Mariotte
Se a temperatura, T, de uma dada massa gasosa, for mantida 
constante, o volume, V, deste gás será inversamente proporcional 
à pressão, p, exercida sobre ele, ou seja, o produto da pressão pelo 
volume de um gás é constante.
 pv = cte (2.3)
Lei de Boyle-Marriote
Sendo
T = constante
ΔT = 0
Sofrendo o gás uma transformação que passa de um estado 
para outro, então
p1V1 = p2V2 = Constante
125
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Apresentando o gráfico pV
O gráfico descreve a relação entre a pressão e o volume. Quer 
dizer que existe uma relação inversamente proporcional entre si.
Em virtude de estar descrevendo uma transformação isotér-
mica esta curva é também denominada isotérmica do gás.
P
p2
p1
v1 v2
B
v(l)
Exercícios de aplicação
P1 – Um gás perfeito 
ocupa 24 litros de vo-
lume a pressão de 3 
atmosferas. Que volume 
ocupará esse gás se hou-
ver um aumento isotér-
mico de 6 atmosfera de 
pressão?
Dados
V1 = 24l 
p1 = 3atm
p2 = 6atm
Resoluçãop V p V
V
p V
p
V
V l
1 1 2 2
2
1 1
2
2
2
3 24
6
12
=
= → =
=
. .
126
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Exercícios propostos
P1 – A SONANGOL construiu um reservatório para abastecer 
o município de Cazenga contendo 10kg de gás sob pressão de 
10.106 Nm–2. Retirou-se, no entanto, uma quantidade m de 
gás do reservatório, mantendo-se a temperatura constante. 
Sabendo-se que a pressão caiu para 2,5.106 Nm–2, determine a 
quantidade m de gás que se retirou do reservatório.
P2 – Existindo 5 moles de um gás ideal a uma temperatura 
constante de 27oC e ocupando um volume de 16,4 litros. Qual 
é a pressão exercida por essa quantidade de gás? (dados 
R = 0,082 atm.l/K.mol9. 
R: m = 7,5kg
R: p = 7,5atm
2.3. Processo Isobárico: 
Gay-Lussac
Se tomarmos um dado volume de gás a uma certa temperatura 
inicial e o aquecermos sob pressão constante até uma outra 
temperatura final, a dilatação observada será a mesma, qual-
quer que seja o gás usado na experiência, isto é, o valor do coefi-
ciente de dilatação volumétrica é o mesmo para todos os gases.
Uma transformação, em que o volume do gás varia com a 
temperatura, enquanto a pressão é mantida constante (isobá-
rica → isos = igual; baros = pressão), 
 
V
T
= constante (Lei de Gay-Lussac) (2.4)
Sendo
p = constante
Δp = 0
Sofrendo o gás uma transformação que passa de um estado 
para outro, então verifica-se 
 
V
T
V
T
1
1
2
2
= = constante 
127
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Fig. 2.1 – Gráfico da pressão em função da temperatura
Fig. 2.2 – Gráfico do volume em função da temperatura
Apresentando o gráfico pV
Enquanto o gráfico V-T de que se estabelecem acções funcio-
nais, sob pressão constante, o volume de um gás é directa-
mente proporcional à sua temperatura absoluta, ou seja
Quanto à influência da temperatura na densidade, já que o 
volume duma certa massa de gás, à pressão constante, varia 
com a temperatura, é claro que a densidade do gás ( ρ = m
V
) 
terá valores diferentes para diferentes valores da tempera-
tura. Baseando-se nas conclusões a que chegámos a respeito 
da transformação isobárica, podemos deduzir que, para uma 
certa massa m do gás, teremos:
• Duplicando T → V duplica ⇒ ρ fica dividido por 2
• Triplicando T → V triplica ⇒ ρ fica dividido por 3 
• Quadruplicando T → V quadruplic ⇒ ρ fica dividido por 4
 
 
 
 
 
P
P = constT1
V1
V2
V
T2 > T1
T2
V
T 
128
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Conclusão
 
ρ~
1
T
Isto é, sendo mantida constante a pressão de uma dada massa 
gasosa, sua densidade varia em proporção com a temperatura 
absoluta.
Exercícios de aplicação
P1 – Um gás perfeito 
ocupa 40 litros de vo-
lume a temperatura de 
67 °C e sob pressão de 4 
atmosferas:
a) Que volume ocupará 
esse gás se houver um 
aumento isobárico de 
6 atmosfera de pres-
são à temperatura de 
420°C?
Dados
V1 = 40l 
p1 = 4atm 
T1 = 67°C 
Resolução
p V
T
p V
T
V
p V T
p T
V
1 1
1
2 2
2
2
1 1 2
2 1
2
4 40 420
. . . .
.
. .
= → =
=
66 67
167
2
.
→ =V l
a)
para p2 = 6atm T2 = 420° C
Exercício proposto
P1 – A BP – Angola estabeleceu um sistema gasoso que se 
encontra, inicialmente, a 40oC e a uma pressão de 8,4.104 Nm–2. 
Fornecendo-se uma quantidade de calor de 4.103 cal para esse 
sistema e mantendo-se à pressão constante o seu volume 
varia de 0,2m3. De acordo com a primeira lei da Termodinâ-
mica, determine a variação de temperatura sofrida pelo gás. 
(dados: 1 cal = 4,2 J). 
R: ∆T = 0
129
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
2.4. Processo Isocórico: 
Lei de Jacques Charles
Se o volume é mantido constante, a transformação é chamada 
isocórica ou isovolumétrica, cuja expressão matemática é:
 
P
T
const= .
 
(2.5)
Sendo, V = const.
Sofrendo o gás uma transformação que passa de um estado 
para outro, então verifica-se
P
T
P
T
1
1
2
2
= = constante
Apresentando o gráfico pV
p
B
A
p2
p1 
T1 T2 T 
Gráfico P – T
Analisando o comportamento do gás a volume constante 
Amedeo Avogadro estabeleceu, com base em duas amostras, 
o seguinte enunciado:
Volumes iguais, de gases diferentes, à mesma temperatura e 
pressão contêm o mesmo número de moléculas.
Segundo Avogadro, estas duas amostras gasosas, ocupando 
volumes iguais, sob a mesma pressão e temperatura, têm o 
mesmo número de moléculas. Conhecida a lei de Avogadro 
pode se determinar o número de moléculas existentes numa 
dada massa do gás. Por exemplo, tomemos 1 mol de vários 
130
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
gases diferentes (2g de H2, 32g de O2, 28g de N2, etc.). Dos nos-
sos conhecimentos de Química, sabemos que o número de 
moléculas, em cada uma dessas amostras é o mesmo.
Este número é denominado número de Avogadro e é represen-
tado por N4.
O cientista Jean-Baptiste Perin, no início do século 20, reali-
zou uma série de experiências, procurando determinar o valor 
de N4 , concluindo que este valor estaria compreendido entre 
6,5.1023 e 7,2.1023 moléculas em cada mol. Posteriormente 
medidas mais precisas mostraram que o valor NA é mais pró-
ximo de 6,02.1023 moléculas/mol.
Quanto à densidade ρ e à massa molecular M, tomando duas 
massas gasosas, ocupando ambas o mesmo volume, a mesma 
pressão e temperatura pela Lei de Avogadro conclui-se que 
ρ ∼ M.
Isto é, a densidade de um gás directamente proporcional à sua 
massa molecular.
Considerando que ρ ~ pM
T
Sendo m a massa da amostra gasosa, sabendo que ρ = m
V
Logo m
V
pM
T
~
 
ou pV m
M
T~
 
( pV m
M
T~
 
)pV m
M
T~
 
O quociente pV m
M
T~
 
, entre a massa do gás e sua massa molecular,
fornece-nos o número de moles, n, da amostra. Introduzindo 
na relação anterior, a constante de proporcionalidade, a desig-
narmos por R, obteremos a equação a seguir:
pV = R
 
( pV m
M
T~
 
)pV m
M
T~
pV = nRT
A pressão, p, o volume V e a temperatura absoluta T, duma dada 
massa, contendo n mole do gás, estão relacionadas pela equação
pV = nRT
denominada equação de estado de um gás ideal ou perfeito.
131
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
A presente equação pode tomar a forma pV
T
nR=
Para uma dada massa de gás (n = constante), como R também 
é constante, concluímos que
 
pV
T
=
 
constante (2.6)
Assim se a massa gasosa passar de um estado para outro 
estado, podemos relacionar estes dois estados pela seguinte 
equação:
PV
T
PV
T
1 1
1
2 2
2
=
A equação é para o gás perfeito, podendo ser aplicada, com 
boa aproximação, a uma gás qualquer desde que a sua tem-
peratura não seja muito baixa e sua pressão não seja muito 
elevada.
Exercícios propostos
P1 – O senhor Rufino Quissonde calibrou os pneus do seu 
carro à temperatura de 27oC. Depois de rodear bastante, ao 
medir novamente a pressão, encontrou um resultado de 20% 
superior ao valor da calibragem inicial. Supondo invariável o 
volume das câmaras, determine a temperatura que o ar com-
primido deve ter atingido.
P2 – Um vaso, hermeticamente fechado, contém 10 litros de 
um gás perfeito a 30o C suportando uma pressão de 2 atm.
A temperatura do gás é elevada até atingir 60o C
a) Calcule a pressão final do gás.
b) Esboce o gráfico pressão x temperatura da transformação 
mencionada.
R: t = 87oC
a) R: p = 2,2 atm
132
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
2.5. Cálculo Cinético da Pressão
A pressão que um gás exerce sobre as paredes do recipiente 
que o contém é devido às incessantes e contínuas colisões das 
moléculas do gás contra as paredes do recipiente. Usando a 
faculdade das leis da mecânica para as colisões das molécu-
las contra as paredes do recipiente, os físicos obtiveram uma 
expressão matemática, relacionando a pressão exercida por 
um gás com as seguintesgrandezas:
N → número total das moléculas no recipiente
V → volume do recipiente
mo → massa de cada molécula
p
N
V
v
om=
1
3
2 → média dos quadrados da velocidade das moléculas.
 
p
N
V
v
om=
1
3
2
 (p NV vom= 13 2) p NV vom= 13 2 (2.7)
Significa que
• p ∼ N → à quanto maior for o número total de moléculas, 
maior será o número de colisões contra as paredes 
e, portanto, maior será a pressão exercida pelo gás.
• p
V
~
1
 
→ à quanto maior for o volume do recipiente, maior 
será a distância que a molécula terá que percorrer 
para colidir contra as paredes e, consequentemente, 
menor será o número de colisões, isto é, menor será 
a pressão exercida pelo gás.
• p ∼ mO → à quanto maior for a massa de uma molécula, maior 
será a sua quantidade de movimento e, assim, 
maior será a força que ela exerce ao colidir contra 
a parede do recipiente.
• p ∼ v–2 → à quanto maior for v–2, mais rapidamente as molé-
culas estarão em movimento. Nestas condições, 
maior será a força que cada molécula exercerá ao 
colidir contra a parede e, além disso, maior será o 
número de colisões.
133
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
2.6. Interpretação Cinética 
da Temperatura
A temperatura absoluta T, de um gás está relacionada com a 
energia cinética média de suas moléculas.
A expressão:
 
p
N
V
v
om=
1
3
2
 (p NV vom= 13 2) p NV vom= 13 2
Pode ser escrita 
p vNmo=
1
3
2
Comparando-a com a equação de estado de um gás ideal, 
p.V = nRT
Obtemos
 
p
N
V
v
om=
1
3
2
 (p NV vom= 13 2) p NV vom= 13 2 = nRT
Sendo NA (número de Avogadro) o número de moléculas que 
existe em 1 mol e sendo n o número de moles que corresponde 
a N moléculas, e N = nNA
Levando este valor de N à igualdade anterior, virá
1
3
2nNmv nRT=
 
 ou 
 
mv
R
N
T
A
2
3=
 (mv
R
N
T
A
2
3= ) mv RN T
A
2
3=
Dividindo os dois membros desta igualdade por 2, teremos
1
2
3
2
2mv
R
N
T
A
=
 (
1
2
3
2
2mv
R
N
T
A
= ) 12 322mv RN TA=
134
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Nesta equação representa o termo do lado esquerdo a energia
cinética média das moléculas (Ec ), enquanto 
R
N
A
 do segundo
membro é constante, sabendo que tanto R quanto NA são 
constantes. Este quociente é muito importante, é represen-
tado por k e denominado constante de Boltzmann, em home-
nagem a Ludwig Boltzmann, físico austríaco do século XIX. 
Então
k
R
N
k
k J K
A
=
=
=
−
− −
8 31
6 02 10
1 38 10
23
23 1
,
, .
, . .
Chegando-se assim à seguinte expressão
E
R
N
TC
A
=
3
2
(E RN TC
A
=
3
2
) E
R
N
TC
A
=
3
2
E kTC =
3
2 
(2,7)
Logo, Ec = f (T)
135
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
P1 – Uma pessoa afirma 
que colocou 3,5 moles de 
um gás (comparando-se 
com gás ideal) num reci-
piente de volume igual 
a 8 litros e que, após o 
estado de equilíbrio, a 
temperatura do gás era 
de 27°C e sua pressão 
5 atm:
a) Poderiam estar cor-
rectas as medidas 
feitas por esta pes-
soa?
b) Se, após uma veri-
ficação, constatou-
se que os valores 
de p, V e T estavam 
correctos, qual o 
número real de 
moles do gás coloca-
dos no recipiente?
Dados
n = 3,5 moles
R = 0,082atm.litro
/mol.K 
V = 8 litros
Exercícios de aplicação
Resolução
a)
b)
Sabemos que um gás ideal, num certo estado, obedece à 
equação pV = nRT. Com os dados fornecidos
T 0 27 + 273 = 300K
p = 5atm
5 8 3 5 0 082 300atm litros mol
atmlitro
mol K
. , . ,
.
.
.≠ KK
atmlitro atmlitro40 0 861 40. , .≠
Como pV não é igual a nRT, concluímos que as medidas 
realizadas pela pessoa não podem estar correctas, isto 
é, não é possível, a qualquer gás (ideal), apresentar-se 
num estado com aqueles valores de p, V, n, T.
Da equação de estado obtemos
n
pV
RT
n
pV
RT
atm litros mol K
atmlit
=
= =
5 8
0 082
. . .
, . rros K
n moles
.
,
300
1 6=
Logo, no recipiente havia 1,6 moles do gás e não 3,5 
moles como a pessoa havia afirmado. Observe que usa-
mos o valor R = 0,082 atm.litro/mol.K, uma vez que o 
valor de p foi fornecido em atmosferas e de V em litros.
136
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Exercícios de aplicação
Resolução
a)
b)
c)
Sabemos que
E kT
k J K
T C K
E
C
C
=
=
= ° + =
=
− −
3
2
1 30 10
27 273 300
23 1
.
, . .
33
2
1 38 10 300
6 2 10
23
21
. , . .
, .
−
−=
J
K
K
E JC
A expressão E kTC =
3
2
. nos mostra que a energia ciné-
tica média das moléculas só depende da temperatura, 
não dependendo da natureza do gás. Como o O2 e o H2 
estão à mesma temperatura, o valor de Ec é o mesmo 
para os dois gases.
Como devemos ter
E mv
v
E
m
v
v
C
C
=
=
=
=
−
−
1
2
2
2 6 2 10
3 3 10
1 9 1
2
21
27
. , .
, .
, . 00
3m s/
P2 – Um recipiente 
contém H2 a 27°C.
a) Qual é a energia 
cinética média de 
suas moléculas?
b) Qual seria a Ec para 
as moléculas de O2 à 
mesma temperatura 
da questão anterior?
c) Sabendo que a massa 
de uma molécula 
de H2 é 3,3.10–23kg, 
qual deve ser a sua 
velocidade para que 
ela tenha uma ener-
gia cinética igual ao 
valor médio calcu-
lado no ponto 2.1?
Dados
R = 0,082atm.litro
/mol.K 
n = 3,5 moles
137
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Exercício proposto
P1 – Uma botija de gás contém 32g de CO2, a uma temperatura 
de 127°C. Determine:
a) A massa molecular do CO2.
b) O número de moles.
c) A velocidade de suas moléculas.
d) A energia cinética do gás.
a) R: 44g.mol–1
b) R: n = 8
c) R: v = 476m.s–1
d) R: Ec = 39840J
2.7. Dilatação dos Gases
Conforme procedimento adoptados ao estudo da dilatação dos 
sólidos e líquidos consideramos a temperatura como parâ-
metro fundamental para alteração das suas dimensões. Quer 
dizer, alterando a temperatura, provocamos a mudança nas 
dimensões da substância em estado sólido ou líquido. Isto sig-
nifica a relegar a pressão a uma função secundária, partindo 
do pressuposto de não ter valores elevadíssimos.
Analisando este aspecto, do comportamento de um gás, verifi-
camos que as variações de pressão podem provocar variações 
apreciáveis no seu volume e na sua temperatura. Estudando 
experimentalmente o comportamento de uma dada massa de 
gás, os físicos verificaram que seria possível expressar este com-
portamento através de relações matemáticas simples entre a 
sua pressão, p, seu volume, V, e sua temperatura, T. Uma vez que 
sejam conhecidos os valores dessas grandezas (massa, pressão, 
volume e temperatura), a situação em que o gás se encontra fica 
definida ou, noutras palavras, fica definido o seu estado.
Provocando-se uma variação numa dessas grandezas, verifica-se 
que as outras também se modificam e estes novos valores carac-
terizam uma transformação ao passar de um estado para outro.
2.7.1. Energia Interna do Gás Perfeito
O gás perfeito define-se, como sendo o gás onde as forças de 
atracção entre as moléculas são totalmente inexistentes, e as 
moléculas podem ser consideradas como pontos materiais 
sem estrutura interna. Isto significa que as moléculas do gás 
138
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
perfeito não possuem energia potencial. Deste modo, a ener-
gia interna do gás perfeito é igual à soma das energias cinéti-
cas média das moléculas que constituem o gás.
Como os pontos materiais não possuem movimento de rota-
ção, para os gases monoatómicos, as moléculas efectuam 
somente movimentos de translação.
Deste modo a energia interna de um gás perfeito monoató-
mico é dada por: 
 
U
m
M
RT=
3
2 
(2.7)
Onde
m: massa do gás perfeito
M: massa molar do gás
R: constante universal dos gases
T: temperatura
Para o gás perfeito biatómico U
m
M
RT=
5
2
 (2.8) 
Para um gás poliatómico U
m
M
RT= 3 (2.9)Exercícios de aplicação
P1 – Numa transfor-
mação de um mol de 
gás ideal monoatómico 
a volume constante, 
enquanto a temperatura 
se eleva de 27oC a 50oC, 
qual será a variação de 
energia interna do gás 
em calorias?
Dados
1cal = 4,2l 
R
J
mol K
=
8 31,
.
T1 = 27 + 273 = 300K
T2 = 50 + 273 = 323K
Resolução
Cálculo da variação de energia
�
�
�
U nR T T
U
U J
= −
= −
=
3
2
3
2
1 8 31 323 300
286
2 1
( )
. . , .( )
139
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
P2 – Uma transforma-
ção, conforme o grá-
fico em baixo, na qual 
100 moles do gás ideal 
monoatómico rece-
bem do meio exterior 
uma q de calor igual 
a 1,80.106J. (Dados
R = 8,31J/mol.K).
Determine:
a) O trabalho realizado 
pelo gás;
b) A variação de energia 
interna do gás; A tem-
peratura do gás no 
estado 1. 
Dados
R
J
mol K
=
8 31,
.
n = 100moles
Q = 1,8.106J
P
p2
p1
v1 v2
B
v(l)
Exercícios de aplicação
Resolução
W
W J
= +
=
( ). .
( – )
, .
3 6 10
2 1
2
4 5 10
5
5
a)
sendo Q J
Q W U U Q W
U
=
= + → = −
= −
1 8 10
1 8 10 4 5
6
6
, .
, . , .
� �
� 110 13 5 105 5→ =�U J, .
b) 
140
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Exercícios propostos
P1 – Na figura presente o gráfico p x V de um gás, partindo do 
ponto A para o ponto B, e depois um processo isovolumétrico, 
atingindo o ponto C, que situa sobre a mesma isoterma que A 
calcule:
a) O trabalho realizado pelo gás ao final do processo ABC.
b) Calor recebido pelo gás ao final do processo ABC.
P2 – Um gás ideal monoatómico é comprimido adiabatica-
mente, sofrendo uma variação de temperatura de 600k. Admi-
tindo que n = 3 moles, CV = 3cal/mol.K, R = 2cal/mol.K e 1 cal 
= 4,2 J, determine:
a) A quantidade de calor trocada nessa transformação.
b) A variação da energia interna do gás em Joules.
a) R: W = 8.105 J
a) R: Q = 0J
b) R: W = 8.105 J
b) R: 22680J
p(atm)
6
3
2 4
A B
C TB
VB
TA=200k
2.7.2. Trabalho Realizado pelo Gás
Um gás comprimido ao dilatar-se pode realizar trabalho.
Consideremos o gás contido num cilindro munido de um 
êmbolo móvel. O êmbolo permanecerá em repouso enquanto 
a pressão do ar (pressão atmosférica) for igual a pressão no 
interior do cilindro. Suponhamos que a pressão do ar e do gás 
tomam o valor p, a temperatura do gás o valor T.
Aquecendo lentamente o gás no interior do cilindro, até uma 
temperatura T2, o gás dilatar-se-á, segundo um processo
141
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
2.8. Experiência de Joule
A energia interna de um corpo pode variar também com a rea-
lização de trabalho mecânico, isto é, disso se pode obter ener-
gia calorífica.
Exemplo: observa-se um aquecimento em pregos quando são 
martelados.
isobárico, e o êmbolo deslocar-se-á da posição inicial para a 
final por um valor Δl, logo o gás realizará trabalho. A força res-
ponsável por este trabalho é igual a p.S donde S é a superfície 
da secção transversal do cilindro.
Conforme os conhecimentos da mecânica o trabalho reali-
zado por uma força é dado por;
W = FΔl
Mas F = p.S logo W = pSΔl
Como S.Δl é igual à variação do volume do gás durante o aque-
cimento isobárico de T1 a T2, obtemos
W = p(V2 – V1)
V0
V
t
S S
Fig. 2.3 – Gás comprimido
Exercícios propostos
P1 – Um balão vazio tem volume desprezável e cheio pode 
atingir 4.10–3 m3. Qual o trabalho realizaria o ar contra a atmos-
fera para encher este balão, à temperatura ambiente.
P2 – Num cilindro, o vapor entra sob pressão constante de 
50Nm–2, empurrando o pistão, cuja área é de 100cm2 , num 
percurso de 50cm. Qual o trabalho realizado pelo vapor nesse 
percurso.
R: W = 400J
R: W = 2500J
142
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Como com a realização de trabalho mecânico se pode obter 
energia a calorífica; levanta-se a seguinte questão: o trabalho 
mecânico realizado e a quantidade de calor produzida são 
proporcionais? James Joule, na tentativa de encontrar res-
posta para esta questão, realizou uma série de experiências 
ao longo das quais obteve uma resposta afirmativa.
Na experiência de Joule é determinado o equivalente mecâ-
nico do calor expresso na relação entre a unidade de energia 
joule e a unidade de calor caloria.
Um recipiente isolado termicamente, contendo uma certa 
quantidade de água, com um termómetro para medir sua 
temperatura, um eixo com umas paletas que é colocada em 
movimento pela acção de um peso, conforme ilustrado na 
figura demonstra que o peso, que se move com velocidade 
praticamente constante, perde energia potencial. Como con-
sequência, a água é agitada pelas paletas e aquecida devido 
a fricção. 
Se o bloco de massa M desce uma altura h, a energia potencial 
diminui em Mgh.
Com esta experiência Joule conseguiu demonstrar que a 
quantidade de calor libertada por atrito é directamente pro-
porcional ao trabalho mecânico realizado. 
Joule deduziu que a diminuição de energia potencial pro-
porciona o aumento de temperatura da água. A constante 
de proporcionalidade (o calor específico de água) é igual a 
4.186 J/(g °C). Portanto, 4.186 J de energia mecânica elevam 
a temperatura de 1g de água em 1° C. 
Entretanto, na prática, é até hoje usada uma outra unidade 
de calor, muito antiga (da época do calórico), denominada 1 
caloria = 1cal. Por definição, 1 cal é a quantidade de calor 
que deve ser transferida a 1 grama de água para que sua 
temperatura se eleva a 1°C. Joule, no entanto, estabeleceu, 
nas suas experiências a relação entre estas duas unidades, 
encontrando
1 cal = 4,18 j
143
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito
Seja M a massa do bloco que pende e h seu deslocamento ver-
tical
• m a massa de água do calorímetro
• T0 a temperatura inicial da água e T a temperatura final
• g = 9.8 m/s2 a aceleração da gravidade 
A conversão de energia mecânica em calor é expressa pela 
seguinte equação:
Em = Q ou Mgh = mc(T-T0)
Logo o calor específico da água é expresso em 
J
kg K.
C
Mgh
m T T
=
( – )
0
144
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE III – Termodinâmica
Unidade 1i1
TErmodinâmica
3.1. Primeira Lei da Termodinâmica
Analisando a transformação isobárica de uma certa massa 
gasosa, a energia térmica ∆Q, fornecida pelo meio exterior 
através do aquecimento, teve dupla finalidade:
a) Aumentar a energia interna do sistema através de um 
aumento da energia cinética média, e, consequente-
mente, da temperatura;
b) Realizar um trabalho sobre o meio exterior, deslo-
cando o êmbolo E numa distância d.
Esta transformação é regida pela Primeira Lei da Termodinâ-
mica, que na realidade é a Lei da Conservação da Energia. Esta 
lei diz-nos:
A quantidade de Energia Térmica (∆Q) trocada entre o 
sistema e o meio é igual a soma da variação de sua ener-
gia interna (∆U) com o trabalho realizado no sistema (W).
Matematicamente, a expressão da primeira lei é a seguinte:
 ∆Q = ∆U + W (3.1)
Para melhor fixação desta lei, vamos analisá-la nas transfor-
mações de gases ideais.
3.1.1. Transformação Isotérmica
Nesta transformação, a temperatura se mantém constante. 
Como a variação de Energia Interna depende directamente da 
variação da temperatura se ∆T = 0 teremos ∆U = 0.
Assim, a expressão da primeira lei adquire a seguinte fórmula:
∆Q = ∆U + W
∆Q = 0 + W
∆Q = W
145
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE III – Termodinâmica
Essa forma nos permite que:
Numa transformação isotérmica a energia térmica é 
totalmente utilizada na realização do trabalho.
Exercício proposto
Exercício proposto
P1 – Um gás mantido a temperatura constante, tem pressão 
inicial p e volume inicial V. Determine o acréscimo percentual 
da pressão quando o volume é reduzido de 20%.
P1 – Um cilindro de paredes rígidas e êmbolo móvel sem 
atrito, contém um certo gás no seu interior. Quando a tempe-
ratura é 27°C, o volumeocupado pelo gás é 5 litros. Qual deve 
ser a temperatura para que o volume do gás seja de 8 litros, 
mantendo a pressão constante.
R: p´ = 1,25p logo a 
pressão aumenta 
25%.
3.1.2. Transformação Isobárica
Neste caso há uma variação de temperatura e uma variação de 
volume. A variação de temperatura produz uma variação de 
energia interna ΔU; a variação do volume produz um trabalho.
Assim, a Primeira Lei pode ser escrita da seguinte forma:
∆Q = ∆U + W
Analisando a expressão acima, podemos concluir que:
Numa transformação isobárica, a quantidade de calor trocada 
entre o meio e o sistema é sempre maior que o trabalho realizado.
R: T = 480K
146
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE III – Termodinâmica
3.1.3. Energia Potencial Elástica
Neste caso, o volume permanece constante; ocorre apenas 
variação de temperatura e pressão. Assim sendo, e se não hou-
ver variação de volume, não haverá trabalho realizado (W = 0). 
Pela Primeira Lei da Termodinâmica, temos então:
∆Q = ∆U + W
∆Q = ∆U + 0
∆Q = ∆U
A partir disso, podemos concluir que: Numa transformação 
isométrica, a variação da energia interna do sistema, é igual à 
quantidade de calor que o sistema troca com o meio exterior.
3.1.4. Transformação Adiabática
Uma transformação é Adiabática quando o sistema não troca 
calor com o meio exterior. Experimentalmente, pode-se rea-
lizar uma transformação Adiabática isolando o sistema ter-
micamente do meio exterior ou efectuando a transformação 
Exercícios de aplicação
P1 – Um gás contido a 
volume constante, tem 
pressão inicial e tempe-
ratura inicial T = 27o C. 
Determine, na escala 
Célsius, a temperatura 
em que esse gás exer-
cerá o dobro da pressão.
Dados
T = 27°C = 300K
TC = ? 
P = 2p 
Resolução
O gás evolui do estado (p, V, 300) para estado (2p, V, T1). 
Como a transformação é isométrica, temos
p
T
p
T
p p
T
T K
T T K
C C
= → = → =
= − → =
1 1
1
300
2
600
600 273 327
147
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE III – Termodinâmica
Exercícios de aplicação
P1 – Num processo 
adiabático, não exis-
tem trocas de calor 
entre o sistema termo-
dinâmico e sua vizi-
nhança, ou seja: Q = 0. 
Considerando como 
sistema termodinâ-
mico um gás ideal, con-
tido num recipiente de 
paredes termicamente 
isoladas, perguntamos 
o que acontece com 
a temperatura do gás 
ideal, quando sofre 
uma compressão adia-
bática.
Resolução
Uma transformação adiabática temos o trabalho conver-
tido em energia e vice-versa. Pela primeira Lei da Termo-
dinâmica: 
W = – ∆U
Quando há uma compressão V < V1 e W < 0 
Logo, pela expressão anterior, concluímos que ∆U > 0, e, 
consequentemente, ∆T > 0.
Ou seja, nesse processo, a temperatura aumenta.
rapidamente. Como a transmissão de calor é lenta, qualquer 
transformação realizada com rapidez pode ser considerada 
Adiabática.
Se a transformação é Adiabática, portanto ΔQ = 0. Então, pela 
Primeira Lei da Termodinâmica, temos:
∆Q = ∆U + W
0 = ∆U + W
W = – ∆U
Ora, podemos afirmar: Numa transformação Adiabática, todo 
o trabalho realizado corresponde à variação da energia interna 
do sistema, uma vez que não há troca de energia com o meio 
exterior.
148
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE III – Termodinâmica
Exercício proposto
P1 – Um gás ideal monoatómico é comprimido adiabati-
camente sofrendo uma variação ode temperatura de 600K. 
Sabendo que n = 3 moles, cv = 3cal/mol.K, R = 2 cal/mol.K e 
1cal = 4,2J, determine:
a) A quantidade de calor trocada nessa transformação.
b) A variação de energia interna do gás, em joules.
c) O trabalho realizado sobre o gás. 
a) R: Q = 0
b) R: ∆U = 22680J
c) R: W = – 22680J
3.1.5. Transformações Cíclicas
No estudo que fizemos até agora, analisamos transformações 
de massas gasosas isotérmicas, isobáricas, isométricas e adia-
báticas. Continuando o estudo dessas transformações, vamos 
analisar agora as transformações cíclicas.
Chamamos de transformação cíclicas, ou simplesmente ciclo, 
ao conjunto de transformações por que passa certa massa 
gasosa, no qual a situação final do gás é exactamente igual à 
situação inicial.
No gráfico fig. 3.1 acima apresentamos um ciclo, constituído 
por uma transformação isométrica, (AB), uma isobárica (BC), 
outra isométrica (CD) e outra isobárica (DA). Vamos analisar 
cuidadosamente cada transformação:
a) Como a temperatura inicial é igual à final, podemos afir-
mar que num ciclo não há variação da energia interna 
do sistema. Entre A e B e entre C e D, o trabalho reali-
zado é nulo (transformação isométrica).
b) O trabalho realizado na expansão BC (fig. 3.2 a) é maior 
que o trabalho realizado na compressão DA (fig. 3.2 b). 
A diferença entre esses trabalhos corresponde à área 
interna, mostrada na (fig. 3.2 c).
P
P2
P1
V1 V2 V
B
A
C
D
Fig. 3.1 – Transformação cíclica
149
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE III – Termodinâmica
Fig. 3.2 – Expansão e compressão
Fig. 3.3 – Transformação cíclica, operando em sentido contrário
P
B C
P2
P1
WBC
V1 V2
V
A
P
B
A
C
P2
P1
V1 V2
V
D
WDA
A
P
B CP2
P1
WBC WBC
V1 V2
V
D
a) b) c)
Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica ao ciclo, temos:
∆U = 0 e W > 0
Assim
∆Q = ∆U + W
∆Q = W
Esse resultado diz-nos que, durante um ciclo, a energia tro-
cada em forma de calor entre o meio exterior e o sistema é 
igual ao trabalho realizado na transformação. Como o trabalho 
é positivo, conclui-se que o sistema perdeu energia. Em outras 
palavras, o sistema recebeu calor e forneceu trabalho. Houve, 
portanto, transformação de calor em trabalho.
Consideramos agora uma transformação cíclica, operando em 
sentido contrário à que acabamos de ver isto é, sofrendo a 
transformação no sentido anti-horário:
P
B C
P2
P1
WBC
V1 V2
V
A
P
B
A
C
P2
P1
V1 V2
V
D
WDA
A
P
B CP2
P1
WBC WBC
V1 V2
V
D
150
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE III – Termodinâmica
Esse resultado mostra-nos que o sistema (gás) recebeu ener-
gia do meio, embora a sua energia interna não tenha sofrido 
variação. Em outras palavras, houve conversão de trabalho em 
calor.
Vamos agora resumir as ideias sobre uma transformação 
cíclica:
a) Sempre que ocorrer uma transformação em ciclo, não 
haverá variação de energia interna do sistema, pois a 
temperatura final é igual à inicial.
b) Num gráfico pressão x volume, sempre que um ciclo 
for percorrido no sentido horário, haverá um trabalho 
positivo do sistema, isto é, o sistema (gás) fornece tra-
balho ao meio exterior. Como exemplo desse tipo de 
ciclo, podemos mencionar as transformações realiza-
das pelas máquinas térmicas.
c) Sempre que a transformação se verificar no sentido 
anti-horário, haverá trabalho negativo, isto é, o meio 
exterior estará a realizar trabalho sobre o sistema. 
O sistema receberá energia e haverá transformação de 
trabalho em calor. Tal transformação ocorre, por exem-
plo, num refrigerador.
W > 0
V1 V2
V
P
W < 0
V1 V2
V
P
Fig. 3.4 – Gráfico P – V de um ciclo 
percorrido no sentido horário 
Fig. 3.5 – Gráfico P – V de um ciclo 
percorrido no sentido anti-horário 
Exercícios de aplicação
P1 – Uma amostra de 
gás perfeito sofre uma 
expansão de 2.10–3m3 
à pressão constante 
de 1,2.105N/m2. Qual o 
trabalho realizado pelo 
gás nessa transforma-
ção?
Dados
∆V = 2.10–3 m3
p = 1,2.105 N / m2
Resolução
W = p. ∆V
W = 1,2.105 .2.10–3 → W = 240J
151
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE III – Termodinâmica
Exercício proposto
P1 – Um gás perfeito descreve o ciclo ABCDA, como indica a 
figura.
Determine o trabalho que o sistema troca com o meio nas 
transformações:
a) AB.
b) BC.
c) CD.
d) DA.
e) ABCDA.
a) R: WAB= 6J
b) R: WBC = 0
c) R: WCD = – 2J
d) R: WDA = 0J
e) R: WABCDA= 4J
P
P2
P1
V1 V2 V
D
CB
A
3.2. A Segunda Lei 
da Termodinâmica
No capítulo anterior analisamos a relação entre trabalho e 
calor. Contudo, em nenhum momento determinamos em que 
condições as transformações de trabalho em calor e as trans-formações de calor em trabalho são possíveis.
A segunda Lei da Termodinâmica vem completar a Primeira, 
determinando em que condições as transformações entre sis-
temas podem ser realizadas.
Entretanto, antes de enunciarmos a Segunda Lei, vamos anali-
sar, através de algumas situações reais, os conceitos de trans-
formações reversíveis e irreversíveis.
152
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE III – Termodinâmica
3.2.1. Transformações Reversíveis
Imaginemos um corpo que cai de uma certa altura sobre uma 
“cama elástica”. Imaginemos também que possamos desprezar 
todos os atritos. Neste caso, ao atingir a cama elástica, o corpo 
é impulsionado de volta, atingindo, praticamente, a posição 
inicial. Nesse processo de queda e volta, não houve variação 
da energia mecânica do sistema. A queda é, então, uma trans-
formação reversível, pois há grande possibilidade de ocorrer 
o movimento inverso, isto é, a volta do corpo às condições ini-
ciais.
Se analisou cuidadosamente a situação exposta, deve ter 
observado que trabalhamos em condições ideais. Na realidade 
não existem transformações reversíveis, pois o atrito quase 
sempre está presente durante as transformações.
3.2.2. Transformações Irreversíveis
Vamos analisar agora outra transformação. Um bloco de massa 
usada por pedreiros é lançado do alto da rampa. Enquanto a 
massa cai, a sua energia potencial vai se transformando em 
energia cinética. Porém, a energia mecânica do sistema man-
tém-se constante.
Quando a massa atinge o solo, a sua energia mecânica trans-
forma-se noutra forma de energia, a energia interna. É por isso 
que a temperatura do corpo e a do chão aumentam. É possível 
fazer com que a energia térmica gerada no impacto da massa 
com o chão se reúna novamente e faça a massa subir até a 
posição inicial? Não. Pois o caso contrário não ocorrerá. Neste 
caso, dizemos que a queda é uma transformação irreversí-
vel.
Da mesma forma, quando você toma o seu café pela manhã, o 
leite e o café estão, inicialmente, separados. Deitando o café no 
leite, eles se misturam: ocorre uma transformação. Nesse caso 
também não ocorrerá uma transformação inversa, ou seja, do 
café separar-se espontaneamente do leite. Essa transformação 
é irreversível.
Fig. 3.6 – Transformação reversível 
Fig. 3.7 – Transformação irreversível 
153
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE III – Termodinâmica
Quando soltamos uma bola de ténis de uma certa altura, a bola 
bate no chão e salta diversas vezes; a cada salto a bola atinge 
uma altura menor, até parar. Isso significa que a sua energia 
mecânica se transforma em calor. É altamente improvável que 
a energia térmica se reuna para fazer com que a bola realize a 
transformação inversa.
Além desses três exemplos, pode lembrar-se de outros seme-
lhantes, onde se observa a transformação de energia mecânica 
em calor e nos quais não ocorre transformações irreversíveis. 
Observe que a transformação inversa não ocorre experimen-
talmente, mas teoricamente ela é possível.
O calor passa espontaneamente de um corpo de maior tempe-
ratura para um corpo de menor temperatura.
A Segunda Lei da Termodinâmica refere-se exactamente a 
este tipo de transformação. De acordo com essa lei, as trans-
formações naturais, espontâneas, realizam-se de acordo com 
um sentido preferencial. Assim, para um corpo que se encon-
tra no alto de uma rampa, o sentido preferencial, natural, é o 
da descida da rampa. Assim, uma vez solto, o corpo descerá 
até o ponto mais baixo. Para faze-lo subir seria necessário um 
agente externo, pois o corpo não subiria espontaneamente.
Da mesma forma que examinamos essas transformações, você 
poderá examinar outras transformações semelhantes. No 
entanto, a conclusão é uma só:
As transformações espontâneas são irreversíveis.
Observando o sentido da transferência espontânea da energia 
térmica de um sistema para outro, Rudolf Clausius enunciou a 
Segunda Lei da Termodinâmica:
O calor passa espontaneamente de um corpo de maior tempe-
ratura para um corpo de menor temperatura.
Veja que nesse enunciado fica evidente o sentido preferencial do 
processo, o qual é determinado pela diferença de temperatura.
Nós sabemos pelas nossas próprias vivências que é relati-
vamente fácil transformar energia mecânica ou eléctrica em 
calor: atirar as mãos, esfregar dois corpos, entortar um arame, 
transformação não-espontânea
transformação espontânea
Fig. 3.8 – Transformação espontânea 
e não espontânea 
154
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE III – Termodinâmica
acender uma lâmpada e1éctrica, etc. O inverso, isto é, trans-
formar o calor em trabalho, muito difícil pois são necessá-
rias condições especiais. Essa dificuldade levou Sadi Carnot a 
enunciar de outra forma a Segunda Lei da Termodinâmica:
Só é possível transformar calor em trabalho quando dis-
pomos de duas fontes com temperaturas diferentes.
Esse enunciado, que parece evidente, pode ser comprovado 
quando estudarmos as máquinas térmicas.
3.3. Máquinas Térmicas
Uma máquina térmica é um sistema que, recebendo energia 
como calor, é capaz de realizar trabalho.
Consideramos a expansão isotérmica de um gás contido num 
cilindro munido de um êmbolo móvel (fig. 3.9): o gás recebe 
energia como calor e realiza trabalho ao empurrar o êmbolo. 
Se a sua energia interna não variar (ΔU = 0), toda a energia que 
vai recebendo como calor é convertida em trabalho:
ΔU = 0 ⇔W + Q = 0 ⇔ W = –Q
Mas, para que isto continuasse a acontecer, o cilindro deveria 
ter um comprimento infinito, o que não é possível. Se quere-
mos uma produção contínua de trabalho, temos de fazer voltar 
o gás ao estado inicial? Fazendo-o ceder alguma energia como 
calor a outro sistema à temperatura mais baixa: o gás contrai-
se e a pressão atmosférica obriga o êmbolo a voltar à posição 
inicial. Diz-se que o gás realizou um ciclo. Neste caso, a ener-
gia interna do gás no estado final é igual à energia interna no 
estado inicial.
Isto significa que, se o gás receber a energia Q1, como tem de 
ceder a energia Q2, apenas a diferença Q1– |Q2| se converte em 
trabalho:
ΔU = 0 ⇔W + Q1+ Q2
Fig. 3.9 – Gás contido num cilindro 
munido de um êmbolo 
Fig. 3.10 – Sistema de refrigeração
155
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE III – Termodinâmica
Fig. 3.11 – Sistema termodinâmico
Fig. 3.12 – Máquina térmica
Atendendo à convenção de sinais, W < 0, Q1 > 0 e Q2 < 0
 |W| = |Q1| – |Q2| (3.2)
É, portanto, impossível converter completamente calor em 
trabalho.
Ao sistema termodinâmico que, uma máquina térmica, sofre 
transformações, chama-se agente de transformaçãos.
3.3.1. Rendimento de uma Máquina Térmica
Sabemos que é impossível mover um conjunto de pás ligadas 
a um eixo, através de uma corrente de água entre dois reser-
vatórios, se ambos estiverem no mesmo nível (a menos que 
se usem processos externos de compressão num dos reserva-
tórios). Para que haja realização de trabalho, é preciso que os 
dois reservatórios se encontrem em níveis diferentes. Desse 
modo, a água correrá do reservatório de nível mais alto para o 
mais baixo, movendo as pás e realizando o trabalho.
Em Termodinâmica, acontece algo semelhante. A experiência 
de muitos anos mostrou que uma máquina térmica, como um 
motor de explosão ou um motor a vapor, só transforma calor 
em trabalho, operando em ciclos nas seguintes condições:
a) A máquina térmica opera entre duas fontes térmicas de 
diferentes temperaturas, uma quente e a outra fria. A 
máquina retira calor da fonte quente (Q1), transforma 
parte desse calor em trabalho (W) e rejeita a outra 
parte (Q2) para a fonte fria.
Q1 Q2
W
térmica
fonte friafonte quente
156
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE III – Termodinâmica
b) Esta máquina opera em ciclos. Como pode verificar, a 
quantidade de calor Q1 é sempre maior que a quanti-
dade Q2. Assim, podemos definir uma nova grandeza: o 
rendimento de uma máquina.
η =
trabalho realizado pela máquina
quantidade de caalor retirado da fonte quente
 
η =
W
Q1 
(3.3)
SendoW = Q1 – Q2, pela Lei da Conservação da Energia, temos
 
η =
−Q Q
Q
1 2
1 
(3.4)
Ou ainda
η
η
= −
= −
Q
Q
Q
Q
Q
Q
1
1
2
1
2
1
1
3.3.2. O Ciclo de Carnot
Estudando as máquinas térmicas, Carnot descobriu um ciclo 
de quatro transformações reversíveis duas isotérmicas e duas 
adiabáticas que proporcionam o máximo rendimento térmico 
para uma máquina. O esquema abaixo apresenta o Ciclo de 
Carnot. T1 a temperatura da fonte quente e T2 a da fonte fria. 
P
V
A
B
D
C
T2
T1
Fig. 3.13 – Ciclo de Carnot
157
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE III – Termodinâmica
Analisemos cada uma das transformações do ciclo:
AB – Nessa transformação, o gás sofre uma expansão, rece-
bendo calor da fonte Q1 e realizando trabalho; sua tem-
peratura, porém, mantém se constante.
BC – Nessa transformação, o gás sofre uma expansão adiabá-
tica; sua temperatura diminui, mas não ocorre troca de 
calor com o meio exterior.
CD – Nessa transformação, o gás sofre uma compressão, a 
temperatura constante. O meio exterior realiza trabalho 
sobre o gás, sem que haja variação de temperatura. O gás 
rejeita calor (Q2) para o meio exterior; este calor não se 
transforma em trabalho.
DA – Ocorre uma compressão adiabática, completando se o ciclo.
Com relação ao Ciclo de Carnot, é importante que você saiba 
o seguinte:
a) Uma máquina que opera dentro do Ciclo de Carnot tem 
o máximo rendimento. Ou seja, nenhuma máquina tér-
mica operando em ciclos pode ter rendimento superior 
ao de uma máquina de Carnot.
b) O rendimento de uma máquina de Carnot depende das 
temperaturas das fontes quente e fria. Carnot demons-
trou que a quantidade de calor que é retirada da fonte 
quente (Q1) e a que é rejeitada para a fonte fria (Q2) são 
proporcionais às temperaturas absolutas das fontes. 
ou seja 
 
Q
Q
T
T
2
1
2
1
= como 
 
η =1 2
1
– ,
Q
Q
então
 
η =1 2
1
–
T
T 
(3.5)
c) Na expressão
 
η =1 2
1
–
T
T
, quanto menor for a temperatura
T2 (fonte fria), maior será o rendimento, pois menor
se torna a razão 
 
T
T
2
1
. Assim, quando a temperatura T2
atingisse zero K (zero absoluto), teríamos um rendi-
mento 100%. No entanto, isso é impossível, pois con-
traria a Segunda Lei da Termodinâmica.
158
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE III – Termodinâmica
Exercícios de aplicação
Resolução
a) Q1 = W + Q2 → W = Q1 – Q2
W = 600J – 300J → W = 300J
c) Cálculo do trabalho durante 8 ciclos
1 300
8
____________
____________ x
x = 2400J
Cálculo da potência
P
W
t
P
J
s
P Watts
= → =
=
�
2400
1
2400
P1 – Um motor eléc-
trico efectua 8 ciclos 
por segundo. Em cada 
ciclo, ele retira 600J 
de uma fonte quente e 
cede 300J a uma fonte 
fria. Determine:
a) O trabalho realizado 
pelo motor em cada 
ciclo.
b) O Rendimento de 
cada ciclo.
c) A potência máxima 
do motor.
Dados
Número de ciclos = 8
Δt = 1s 
Q1 = 600J 
Q2 = 300J 
a) W = ? 
b) W = ? 
c) η = ? 
b)
η η
η
= → =
= =
W
Q
J
J
1
300
600
0 5 50, %
3.4. A Conservação da Energia 
Algumas ideias relativas à energia nos acompanharam cons-
tantemente nestes estudos de Física, tanto em mecânica como 
em Electricidade e em Termonologia. Neste tema faremos, 
então, uma síntese de todos os assuntos que estudamos a res-
peito da energia e de suas leis.
159
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE III – Termodinâmica
A Primeira Lei da Termodinâmica refere-se à conservação da 
energia em todos os tipos de transformação. Esse princípio é 
sintetizado na equação:
ΔQ = AU + W
A Segunda Lei da Termodinâmica completa a primeira, pois 
indica-nos que as transformações ocorrem de acordo com um 
sentido preferencial. Assim, embora a Primeira Lei afirme que 
a quantidade de energia que passa de um corpo para outro é 
constante, não levando em conta o sentido da transferência, 
a Segunda Lei afirma que o calor passa espontaneamente de 
um corpo de maior temperatura para outro de menor tem-
peratura. Dessa forma, embora não contrarie a Primeira Lei, 
é impossível a transformação inversa, isto é, é impossível o 
calor passar de um corpo de menor temperatura para outro 
de maior temperatura.
3.5. A Energia Térmica: 
Uma Energia “Degradada”
Durante os estudos da Física, observamos que é muito 
comum ocorrer a transformação da energia mecânica ou 
eléctrica em energia térmica, mas raramente ocorre o 
inverso, ou seja, raramente o calor se transforma em outra 
forma de energia.
Vejamos alguns exemplos:
Um automóvel andando a uma velocidade de 80 km/h tem 
uma grande energia cinética. Quando o carro é travado e pára, 
sua energia cinética se reduz a zero. Sabemos pelo Principio 
da conservação da Energia que a energia cinética do carro não 
pode se perder. Onde estará ela? Será que essa energia pode 
ser utilizada para realizar trabalho? É evidente que não pois 
a energia cinética se transformou em energia térmica e, dessa 
forma, não, podemos utilizá-la para realizar trabalho. Dizemos, 
então, que a energia cinética que se apresentava “organizada” 
160
PARTE II – Fenómenos Térmicos 
UNIDADE III – Termodinâmica
e disponível para o trabalho se “degradou”, isto é, se transfor-
mou numa forma de energia não disponível para a realização 
de trabalho: a energia térmica.
O mesmo ocorre quando você dispõe de um tanque de água 
a 100 ≠C e outro a 0 °C. Devido à diferença de temperatura, a 
energia "organizada", isto é concentrada na água quente, pode 
ser utilizada, ao passar para o tanque frio, para a realização de 
um trabalho numa máquina térmica que opere entre duas fon-
tes de temperaturas, diferentes. No entanto, se misturarmos 
as duas quantidades de água, embora a quantidade de energia 
continue a mesma, a disponibilidade desta energia para a rea-
lização de trabalho deixa de existir.
Analisando esses exemplos, podemos introduzir aqui, embora 
muito superficialmente, a noção de entropia. Esta grandeza 
depende apenas do estado inicial e do estado final de um sis-
tema. A variação dessa grandeza entre estes estados é que irá 
determinar o sentido em que um processo natural evolui. Essa 
grandeza foi introduzida em 1865 pelo físico Alemão Rudolf 
Clausius e chama-se entropia, palavra que em grego significa 
«capacidade de se modificar internamente». Esta grandeza 
que se representa pela letra S, foi definida de tal forma que a 
sua variação, ΔS, é:
• ΔS = 0 em processos reversíveis; nestes, a entropia do 
sistem a e sua vizinhança mantém-se;
• ΔS > 0 em processos irreversíveis; nestes, a entropia do 
sistema e sua vizinhança aumenta;
• S < 0 é impossível; a entropia de um sistema e sua vizi-
nhança nunca pode diminuir.
A entropia está associada à existência de uma tendência 
espontânea para que todas as transformações se realizem 
no sentido de um aumento “desordem” do sistema. Assim, 
um pedaço de gelo tem uma estrutura organizada. Deixando 
o gelo em condições normais de temperatura e pressão, sua 
tendência é derreter-se, isto é, assumir uma estrutura mais 
161
PARTE II – Fenómenos Térmicos
UNIDADE III – Termodinâmica
desorganizada, a forma líquida. Quando a água for deixada em 
condições normais, a sua tendência espontânea é passar para 
o estado gasoso, ou seja, evaporar. Esse estado caracteriza-se 
por uma maior desordem molecular.
Resumindo, podemos dizer que:
Esses processos espontâneos de transformação são irreversí-
veis, pois, embora a energia se mantenha constante, ela é cada 
vez menos disponível.
Existe uma tendência espontânea para que todas as 
transformações se realizem no sentido de um aumento 
da entropia.
162
163
Electrostática e
Corrente Eléctrica
Contínua
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
UNIDADE 2 – Corrente Eléctrica Contínua
P
A
R
T
E
 I
II
164
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
PARTE I1I: 
ELECTROSTÁTICA E CORRENTE 
ELÉCTRICA CONTÍNUA
Unidade 1
Interacção electrostátIca
A electrostática baseia-se em dois princípios fundamentais, a 
saber:
– Princípio daatracção e repulsão.
– Princípio da conservação das cargas eléctricas. 
1.1. Conceito de Cargas 
(Lei da Conservação da Carga)
Todos os corpos são formados de átomos. Cada átomo é cons-
tituído por um grande número de partículas elementares, das 
quais as principais são os electrões, os protões e os neutrões. 
Embora hoje existam modelos mais complexos para explicar 
como essas partículas distribuem-se no átomo, ficaremos, 
para simplificar, com o modelo planetário proposto pelo 
Rutherford. Segundo esse modelo, os protões e os neutrões 
estão fortemente coesos numa região central chamada núcleo, 
enquanto os electrões giram ao redor do núcleo (como os pla-
netas ao redor do sol), constituindo a electrosfera.
A Electrostática é a parte da física que estuda as 
propriedades e a acção mútua (interacção) das 
cargas eléctricas em repouso, em relação a um 
sistema inercial de referência.
elétron
práton
neutron
Fig. 1.1 – Modelo de atómico de
Rutherford 
165
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
Por meio de experiências constata-se que os protões se repe-
lem, o mesmo acontece com os electrões. Para explicar essas 
ocorrências, estabeleceu-se que protões e electrões possuem 
uma propriedade física à qual se deu o nome de Carga eléc-
trica.
As características e propriedades da carga eléctrica:
– Existem dois tipos de carga eléctrica, positiva e negativa.
– Cargas eléctricas do mesmo tipo repelem-se, de tipos 
diferentes atraem-se.
– Em todo átomo, o número de electrões é igual ao número 
de protões, ou seja, todo átomo é electricamente neutro.
A carga eléctrica (q) se conserva, isto é, a carga eléctrica total 
de um sistema electricamente isolado é constante (afirma-
ção conhecida também como Princípio da Conservação da 
Carga Eléctrica) e é quantizada, isto é, qualquer carga pelo 
seu módulo é um múltiplo da carga eléctrica elementar – a 
carga e do electrão (q = ne).
A carga eléctrica q é uma grandeza física que determina a 
intensidade das interacções electromagnéticas.
A grandeza carga eléctrica ou quantidade de electricidade é 
representada por q.
A carga eléctrica do protão é igual em módulo à carga eléctrica do 
electrão, constituindo a menor quantidade de carga encontrada 
na natureza, cujo valor determinado experimentalmente é:
e = 1,6.10–19C
No SI, a carga q tem como unidade o coulomb (símbolo: C)
O coulomb é uma unidade de carga muito grande – a carga eléc-
trica de uma nuvem de tempestade, por exemplo, tem apenas 
algumas centenas de coulombs. Por essa razão, quase sempre 
nos referimos a submúltiplos do coulomb, como o microcou-
lomb, µC (10–6C), o nanocoulomb nC (10–9 C), e o picocoulomb, 
pC (10–12C). 
166
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
1.2. Lei de Coulomb – Permitividade 
Elétrica do Meio 
Por volta de 1775, algumas evidências experimentais con-
venceram o físico-químico inglês Priestley de que a interac-
ção eléctrica deveria ser descrita por uma lei semelhante à da 
interacção gravitacional – a atracção ou repulsão entre cargas 
eléctricas deveria ser também directamente proporcional ao 
produto das cargas eléctricas, grandeza equivalente à massa 
na interacção gravitacional, e inversamente proporcional à 
distância. Dez anos depois, em 1785, o físico Charles Augustin 
de Coulomb comprovou experimentalmente a previsão teó-
rica de Priestley, num resultado que conhecido como Lei de 
Coulomb:
A intensidade das forças de interacção (F) entre dois 
corpos pontuais imóveis de cargas eléctricas q
1
 e q
2
 é 
directamente proporcional ao produto dos módulos des-
sas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância (r) entre eles.
Matematicamente, a Lei de Coulomb é expressa na forma:
 
F k
q q
r
= 1 2
2
 
(1.1)
Onde q1 e q2 são as cargas; r é a distância entre as cargas; e 
k é o coeficiente de proporcionalidade que é numericamente 
igual à força de interacção das cargas unitárias que se locali-
zam a uma distância igual à unidade de comprimento. O valor 
de k para o vácuo (vazio) torna-se: 
k
N m
C0
9
2
2
9 10= .
.
167
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
A constante de proporcionalidade, k, é designada constante 
de Coulomb ou constante electrostática e o seu valor 
depende do meio onde se dá a interacção; não é uma cons-
tante universal como acontece com a constante de gravitação 
G (constante de gravitação universal).
Por exemplo, verifica-se experimentalmente que duas cargas 
pontuais de 1C, colocadas à distância de 1m, dentro de água 
(pura), se repelem com uma força eléctrica de intensidade X 
vezes inferior àquela com que as mesmas cargas se repelem 
no vácuo. Portanto, a constante de Coulomb para a água é 80 
vezes menor do que a constante de Coulomb para o vácuo, k0.
Cada meio é, então, caracterizado pela sua permitividade, ε, 
sendo:
k =
1
4πε
A permitividade eléctrica do meio, ε, traduz a interferência 
do meio nas interacções electrostáticas e é constante para cada 
meio. Quanto maior é a permitividade eléctrica de um meio, 
menor o valor de k e, consequentemente, menor é a intensi-
dade da força eléctrica entre as duas cargas eléctricas.
No vácuo, a permitividade eléctrica, ε0, é mínima, sendo o 
seu valor:
ε
0
2
2
1 2
8 854188 10= . . –
–
C
N m
A permitividade eléctrica do ar (PTN) é praticamente igual ao 
vácuo, embora ligeiramente superior.
εr = 1,0005 ε0
É habitual comparar-se a permitividade eléctrica de um 
meio,ε, com a permitividade eléctrica do vácuo, ε0, através da 
permitividade relativa, εr, que se define pelo quociente:
 ε ε
εr
=
0
168
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
1.3. Campo Electrostático
O campo electrostático é o meio material que permite a inte-
racção electrostática. É representado por E e é uma grandeza 
vectorial cuja direcção e sentido é a da força.
Por definição E F
q
=
0
 (1.2)
Onde F é a força electrostática, 
qo é a carga de prova
No SI a unidade do campo electrostático é o N/C
Exercícios de aplicação
P1 – Calcule a intensi-
dade de força coulom-
biana entre duas cargas 
eléctricas iguais a 1C, 
situadas no vácuo e a 
1m de distância. A cons-
tante electrostática é 
k0 = 9.109 N.m2/C2?
Dados
q1 = q2 = IC
r = 1m
k
N m
C
= 9 109
2
2
.
.
P2 – Um corpo inicial-
mente neutro é electri-
zado com carga Q = 32 µC. 
Qual o número de elec-
trões retirados do corpo?
Dados
Q = 32mC 
m = ?
Resolução
Resolução
Pela lei de Coulomb
F k
q q
r
F
F N
=
=
=
1 2
2
9
2
9
9 10
1 1
1
9 10
.
.
Q n e
n
Q
e
n
n
=
= → =
=
.
.
,
.
–
–
32 10
1 610
2 10
6
19
14
169
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
Linhas de Força
O conceito de linhas de força tem como finalidade representar 
o cmpo electrostático através de diagramas.
As linhas de forças são traçadas de tal modo que, em cada 
ponto, o vector 

E seja tangente a elas, é possível determinar a 
direcção e o sentido do campo num ponto, quando se conhe-
cem as linhas de força que passam por este ponto.
As linhas de força são traçadas mais próximas uma das outras 
nas regiões onde o campo eléctrico é mais intenso, e obser-
vando a operação entre estas linhas, é possível obter infor-
mações sobre o módulo do vector campo electrostático. Em 
cada ponto do espaço onde existe carga tem um vector 

E , cujo 
módulo diminui à medida que nos afastamos da carga.
 As linhas de força dos campos que acabamos de estudar 
apresentam uma configuração própria e simples. Outras 
Exercícios propostos
P1 – Num ponto M do espaço é colocada uma carga q = 2.10 –6 C 
e fica sujeita a uma força eléctrica F = 10 N, para o norte. Neste 
caso, calcule a intensidade e o sentido do campo eléctrico.
P2 – Sobre uma carga de 4 C, localizada em um ponto P, actuauma força de 8 N. Se trocarmos a carga de 4 C por uma outra de 
5 C, qual será a intensidade da força sobre essa carga quando no 
ponto P?
P3 – Um partícula cuja carga eléctrica é q = 3.10–8 C, posta no 
ponto P que se encontra a 3 m de uma carga Q, no vácuo, sofre 
a acção de uma força de módulo F = 1,5.10–2 N.
a) Qual será o módulo do campo eléctrico em P?
b) Admitindo-se que esse campo eléctrico se deve exclusiva-
mente a Q, qual o valor de Q?
R: E = 5.106 N/C,
para o norte
b) R: Q = 5.10–4C ou 
Q = - 5.10–4C
a) R: E = 5.105 N/C
R: F = 10 N
170
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
distribuições de cargas criam campos cujas linhas de força 
podem representar formas como as representadas nas figuras 
1.2 (a) e (b).
Fig. 1.2 – Linhas de força do campo eléctrico
Fig. 1.3 – Configurações das linhas de força do campo eléctrico
Fig. 1.4 – Linhas de força do campo 
eléctrico
(a)
E3
E2
E1
(b)
l i n h a s d e f o r ç a
Consideremos o caso de linhas de forças do campo uni-
forme duas placas, paralelas, separadas por uma distância 
pequena em relação às dimensões de placas.
Se colocarmos uma carga de prova positiva Q2, num ponto P1 
situado entre as placas, esta carga ficará sujeita à acção de 
uma força 

F , devido ao campo eléctrico criado pelas placas no 
espaço entre elas. Deslocando-se a carga Q2 para outro ponto 
qualquer entre as placas verifica-se que irá actuar sobre Q2 
uma força 

F do mesmo módulo, mesma direcção e mesmo 
sentido que aquela que actuava quando Q2 se encontrava em 
171
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
Fig. 1.5 – Campo eléctrico uniforme
Fig. 1.6 – Campo eléctrico criado 
por uma carga pontual
P1. Concluímos que o campo eléctrico existente entre as placas 
tem, em qualquer ponto, o mesmo módulo, a mesma direcção e 
o mesmo sentido. Um campo como este é denominado uniforme.
Campo Eléctrico Criado por Carga Pontual
Consideremos uma carga pontual Q1, no ar, e um ponto situado 
a uma distância R desta carga, fig. 1.6.
Se colocarmos uma carga de prova Q2 neste ponto P, ela fica 
sujeita a uma força eléctrica 

F, cujo módulo poderá ser calculado
pela lei de Coulomb, isto é, F k
Q Q
r
=
0
1 2
2
sendo 
 
E
F
Q
=
2 
, 
obtém-se 
 
E k
Q
r
=
0
1
2
 
 (1.3)
Portanto, esta expressão permite-nos calcular a intensidade 
do campo num certo ponto, quando conhecemos o valor da 
carga pontual que criou este campo e a distância do ponto 
para esta carga.
Analisando as expressões do campo de uma carga pontual, 
podemos tirar as seguintes conclusões:
• A carga não aparece nessa expressão porque a inten-
sidade de campo eléctrico num ponto não depende da 
carga de prova.
• A intensidade E, num dado ponto, é directamente propor-
cional à carga que cria o campo. Vide o, gráfico da fig.1.7.
Quer dizer que fazendo variar o valor de Q1, a intensidade do 
campo no ponto P, referido na fig.1.7, variará de tal modo que 
o gráfico E×Q terá o aspecto apresentado na fig.1.8;
• A expressão do campo eléctrico mostra-nos também, 
que o campo eléctrico de uma carga pontual Q1,o seu 
valor torna-se tanto menor quanto maior for a distância
r, entre o ponto e a carga Q1; poisE r
~
1
2
E
E k
Q
r
=
0
1
2
Q1
r P E+
Fig. 1.7 – Dependência da carga e 
campo eléctrico
E
QE~
Qa
172
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
A intensidade do campo é inversamente proporcional 
ao quadrado da distância r. Daí resulta o gráfico, fig. 1.8.
1.4. Trabalho do Campo Eléctrico
Quando um campo eléctrico realiza um trabalho WAB sobre 
uma carga de prova positiva Q, que se desloca de um ponto 
A para um ponto B, a diferença de potencial VAB entre estes 
pontos é obtida dividindo-se o trabalho realizado pelo valor 
da carga que foi deslocada, isto é:
 
 
V
W
AB
AB
Q
= (1.4)
 WAB = F.d ou WAB = QEd (1.5)
A d.d.p. entre as placas comportar-se-á, conforme a fig. 1.9, 
isto é:
 
V
W
Q
QEd
Q
V Ed
AB
AB
AB
= =
=
 (1.6)
A d.d.p. acima calculada, é de grande utilidade porque permite- 
-nos também calcular o valor do campo eléctrico, assim:
E
V
d
=
�
Quando a força eléctrica, não é constante, o cálculo do traba-
lho só pode ser feito usando-se métodos matemáticos. Assim:
 
 
V k
Q
r
= 0
 (1.7)
Valor de potencial obtido de uma referência dum ponto afas-
tado da carga Q ou valor de potencial em relação a um ponto 
no infinito.
Fig. 1.9 – Campo eléctrico uniforme 
no interior de duas placas
Fig. 1.8 – Dependência campo eléc-
trico distância
E
r
E~
1
r
b
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-+
E
d
A
+ Q
B
-+
173
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
P1 – Suponha que, na 
figura abaixo, uma carga 
positiva Q = 2.10–7C se 
desloca de A para B e que 
o trabalho realizado pela 
força eléctrica, sobre ela, 
fosse WAB = 5.10–3J.
a) Qual é a diferença de 
potencial VAB entre A 
e B?
b) Se uma carga positiva 
Q = 9.10–6C for aban-
donada no ponto A 
da mesma figura, qual 
será o trabalho que a 
força eléctrica reali-
zará sobre essa carga 
ao deslocá-la de A 
para B?
Dados
WAB = 5.10–3J
Q = 2.10–7C
a) VAB = ?
b) WAB = ?
Exercícios de aplicação
Resolução
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-+
E
d
A
+ Q
B
a)
b)
A d.d.p. entre A e B é dada por
V
W
AB
AB
Q
J
C
= =
−
−
5 10
2 10
3
7
.
.
Da expressão
V
W
Q
W QV
AB
AB
AB AB
=
= .
Como a d.d.p. já foi determinada, temos
W C
J
C
W J
AB
AB
=
=
6 10 2 5 10
15 10
6 4
2
. , .
.
–
174
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
P1 – Uma carga pontual Q estabelece, no ponto A, o campo 
eléctrico 

E , como mostra a figura.
a) Sendo d a distância entre A e B, a voltagem entre esses 
pontos poderia ser calculada por VAB = Ed? Explique?
b) A expressão V
W
QAB
AB=
 
poderia ser usada para calcular
 essa diferença de potencial? 
P2 – a) Calcule, em V/mm, a inclinação do gráfico obtido no 
exercício anterior.
b) Expresse, em V/mm e em N/C, a intensidade do campo 
entre as placas.
Exercícios de aplicação
ResoluçãoP1 – Suponha que na 
figura abaixo o valor 
da carga Q1 seja 2μC. 
Suponha, ainda, que as 
distâncias da carga Q1 
aos pontos A e B sejam 
rA = 20 cm e rB = 60 cm.
Calcular a d.d.p. (VAB).
Dados
Q1 = 2mC = 2.10–6C
rA = 20cm = 2.10–1m
rB = 60cm = 6.10–1m
Q
A q
B
F
V
r
V
V V
V
A
A
A
A
B
k
Q
k
= → =
=
=
1
1
9 10
2 10
2 10
9
6
1
4
9 10
.
.
.
–
–
.
QQ
r
V
V V
B
B
B
→ =
=
9 10
2 10
6 10
9
6
1
4
3 10
.
.
.
–
–
.
A d.d.p. entre A e B será:
V V V
V V V
V V
AB A B
AB
AB
= −
=
=
9 10 3 10
6 10
4 4
4
. – .
.
Exercícios propostos
BAQ E
d
175
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
1.5. Potencial Eléctrico 
Conhecemos já uma grandeza que por depender unicamente 
da localização do ponto (grandeza posicional) caracteriza 
o campo electrostático – o vector campo eléctrico. Este se 
associa a cada ponto uma grandeza vectorial à força por uni-
dade de carga colocada no ponto. De modo idêntico iremos 
associar a cada ponto do campo uma grandeza escalar que só 
depende da posição da carga.
A energia potencial de um sistema campo – carga não pode 
caracterizar esta grandeza escalar, uma vez que depende da 
carga colocada no ponto. No entanto, se considerarmos a ener-
gia potencial por unidade de carga, obteremos uma grandeza 
posicional escalar, que já permite caracterizar o campo nesse 
ponto. A essa grandeza chamaremos potencial eléctrico.
Esta grandeza designa-se por V e poderemos escrever:
 V
E
Q
p= (1.8)
sendo Ep a energia potencial eléctrica.
Unidade SI de V
 V
E
P
J
C
volt
p
= = =
1
1
1
[ ]
[ ]
[ ]
Desta expressão resulta a unidadeS.I. do potencial eléctrico – 
volt (joule por Coulomb).
Como a energia potencial eléctrica é:
 E k
Q Q
rp
= 1 2 (1.9)
e o potencial eléctrico num ponto à distância r da carga fonte 
de campo Q1 será:
V
k
Q Q
r
Q
=
1 2
2
176
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
logo:
 V k
Q
r
= 1 (1-10)
Sendo o trabalho realizado pelas forças do campo ao deslocar 
a carga Q2 entre dois pontos igual à variação de energia poten-
cial dos sistema temos W A→B = ΔEp
logo W A→B = EpA– EpB (1-11)
A Assim dividindo esta expressão por Q (carga criadora de 
campo) obtemos o trabalho realizado por unidade de carga
W
Q
E
Q
E
Q
A B pA pB→ = −
logo 
W
Q
V V VA B
A B
→ = − = �
em que VA – VB = ΔV é a diferença de potencial eléctrico entre 
os pontos A e B.
Utilizando estas expressões podemos definir diferença de 
potencial entre dois pontos e potencial num ponto.
A diferença de potencial eléctrico entre dois 
pontos do campo é o trabalho realizado pelas 
forças do campo no transporte da carga unitária 
de um ponto para o outro.
177
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
Exercícios propostos
P1 – Qual o trabalho necessário para levar uma carga de 
500.10–12 C de um ponto situado a 20 m de uma carga de 1.000 µC 
a um ponto a 2m dela?
Considere as cargas no vácuo (kO = 9.109 N.m2 / C2).
P2 – Determine o trabalho das forças de campo eléctrico de uma 
carga puntiforme Q = 5µC para transportar outra carga punti-
forme q = 2.10–2 µC de um ponto A a outro ponto B, distantes 1 m 
e 2 m da carga Q, respectivamente. (Dado kO = 9.109 N.m2 / C2). 
P3 – Uma objecto de pequenas dimensões, com uma carga 
eléctrica Q, cria um potencial igual a 1000 V, nume ponto A, a 
uma distância de 0,1 m. Determine o valor.
a) Do campo eléctrico no ponto A.
b) Do potencial e do campo eléctrico em um ponto B, que 
dista 0,2 m do objecto.
b) R: V = 500 V; 
E = 2,5.103N/C
a) R: E = 104N/C
R: W = –2.10–3J
R: W = 4,5.10–4J
1.6. Capacidade eléctrica
Consideremos dois condutores, inicialmente neutros, quando 
são carregados, um deles adquire a carga +|q| e o outro –|q|. 
Entre os condutores surge um campo eléctrico e cria-se 
uma diferença de potencial (tensão). A medida que a tensão 
aumenta, o campo eléctrico entre os condutores intensifica-se.
A grandeza física que caracteriza a capacidade de dois condu-
tores acumular carga eléctrica, denomina-se Capacidade eléc-
trica (c), e é medida pelo quociente da carga (q) de um dos 
condutores pela diferença de potencial (U) entre os condutores
 C q
U
= (1.12)
178
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de capa-
cidade eléctrica é o farad (F). O farad é uma unidade de medida 
considerada muito grande para circuitos práticos, por isso, são 
utilizados valores de capacidade expressos em microfarads 
(μF), nanofarads (nF) ou picofarads (pF).
1.6.1. Condensadores (Capacitores)
Capacitor, (condensador), é um componente que armazena 
energia num campo eléctrico, acumulando um desequilíbrio 
interno de carga eléctrica.
Os formatos típicos consistem em dois eléctrodos ou placas que 
armazenam cargas opostas. Estas duas placas são condutoras 
e são separadas por um isolante ou por um dieléctrico. A carga 
é armazenada na superfície das placas, no limite com o dieléc-
trico. Devido ao facto de cada placa armazenar cargas iguais, 
porém opostas, a carga total no dispositivo é sempre zero.
Quando uma diferença de potencial U = E.d é aplicada às pla-
cas do condensador simples, surge um campo eléctrico entre 
elas. Este campo eléctrico é produzido pela acumulação de 
uma carga nas placas.
Segundo a forma das superfícies condutoras, os condensado-
res podem ser de placas paralelas, condensadores cilíndricos 
ou condensadores esféricos.
1.6.2. Energia do condensador carregado
Para carregar um condensador, é necessário realizar traba-
lho na separação das cargas positivas das negativas. A energia 
armazenada num condensador é igual ao trabalho feito para 
carregá-lo, e é dada pela seguinte fórmula: 
 W
qU
=
2 (1.13)
Substituindo na fórmula (1.13) a carga ou a diferença de 
potencial pela fórmula (1.12) da capacidade do condensador, 
tem-se:
 
W
qU q
C
CU
= = =
2 2 2
2 2
 
(1.14)
179
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
1.6.3. Energia do condensador carregado
Num circuito de condensadores montados em paralelo todos 
estão sujeitos à mesma diferença de potencial (tensão). Para 
calcular a sua capacidade total:
 C1 = C1+ C2+ ... + Cn (1.15)
A carga para os capacitores em série é a mesma, porém cada 
capacitor terá uma queda de tensão (diferença de potencial 
entre seus terminais) diferente. A soma das diferenças de 
potencial (tensão) é igual a diferença de potencial total. Para 
calcular a capacidade total: 
 
1 1 1 1
1 2t nC C C C
= + + +...
 
(1.16)
Na associação mista de capacitores, tem-se capacitores asso-
ciados em série e em paralelo. Nesse caso, o capacitor equi-
valente deve ser obtido, resolvendo-se o circuito em partes, 
conforme a sua configuração. Por isso, calcule, antes associa-
ção de capacitores em série para após efectuar o cálculo dos 
capacitores em paralelo ou vice-versa.
Fig. 1.10 – Capacitores associados 
em paralelo
Fig. 1.11 – Capacitores associados 
em série
C1 C2 Cn
C1 C2 Cn
Exercícios de aplicação
P1 – Um condensador 
ligado aos terminais 
de uma pilha de 1,5 V 
adquire carga de 3 μC. 
Determine a sua capa-
cidade.
Dados
U = 1,5V
q = 2 μC
c = ?
Resolução
c
q
U
c
C
V
c F
= → =
=
3
1 5
2
µ
µ
,
180
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
P2 – Um condensador, 
ligado aos terminais de 
uma bateria de 12 v, 
armazena carga de 50 
nC. Determine.
a) A capacidade do 
condensador;
b) A energia armaze-
nada.
Dados
U = 12V
q = 50nC = 5.10–8C
a) C = ?
b) W = ?
P3 – Dois condensa-
dores C1 = 20μF e C2 = 
60μF estão associados 
em série. Aplicou-se 
aos terminais da asso-
ciação uma ddp igual a 
6 V. Determine.
a) A capacidade total;
b) A carga total;
c) A ddp em cada con-
densador.
Dados
C1 = 20mF
C2 = 60mF
U = 6V
a) Ct = ?
b) q1 = ? 
c) U1 = ? U2 = ?
Exercícios de aplicação
Resolução
Resolução
a)
a)
c)
b)
b)
C
q
U
C
nC
V
c nF
= → =
=
50
12
4 2,
1 1 1 1 1
20
1
60
1 4
60
15
1 2
C C C C C
C F
t t t
t
= + → = + → =
= µ
U
q
C
U
C
F
U V
U
q
C
U
C
t
t
1
1
1 1
2
1
2
90
20
4 5
90
6
= → = → =
= → =
µ
µ
µ
,
00
1 5
2µF
U V→ = ,
q C U q F V q C
t t t t
= → = → =. .15 6 90µ µ
W
qU
W
C V
W J
= → =
=
2
5 10 12
2
3 10
8
7
. .
.
–
–
181
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1 – Interacção Electrostática
P4 – Dois condensa-
dores C1 = 20μF e C2 = 
60μF estão associados 
em paralelo. Aplicou-se 
aos terminais da asso-
ciação uma ddp igual a 
6 V. Determine.
a) A capacidade total;
b) A carga acumulada em 
cada condensador;
c) A carga total.
Dados
C1 = 20mF
C2 = 60mF
U = 6V
a) C1 = ?
b) q1 = ? q2 = ? 
c) qt = ? 
Exercícios de aplicação
Resolução
a)
b)
c)
C C C C F F C F
t t t
= + → = + → =
1 2
20 60 80µ µ µ
q C U q F V q C
q C U q F
1 1 1 1
2 2 2
20 6 120
60
= → = → =
= → =
. .
. .
µ µ
µ 66 360
2
V q C→ = µ
q q q q C C q C
t t t
= + → = + → =
1 2
120 360 480µ µ µ
Exercícios propostos
P1 – Um condensador ligado a uma bateria de 12V adquire 
carga de 4 nC. Qual a carga acumulada pelo mesmo condensa-
dor quando ligado a uma bateria de 24V? 
P2 – Dois condensadores C1 = 3μF e C2 = 6μF estão associados 
em série. Aplicando-se uma ddp aos seus terminais, o conden-
sador C1 acumula uma carga igual a 12 μC. Determine:
a) A carga acumulada por C2.
b) A ddp em cada condensador.
c) A capacidade total.P3 – Dois condensadores C1 = 10000pF e C2 = 1500pF estão 
associados em paralelo. Qual é a carga acumulada pelo segundo 
condensador, sabendo que a carga do primeiro é igual a 6μC? 
a) R: q2 = 12μC
b) R: U1 = 4V e U2 = 2V
c) R: Ct = 2μF
R: q = 8 nC
R: q2 = 3.10–7C
182
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Unidade 1i
corrente eléctrIca contínua 
Fig. 2.1 – Linha de transportação de energia eléctrica
2.1. Corrente Eléctrica
A corrente eléctrica é o movimento ordenado de cargas eléc-
tricas.
Protões (p) e electrões (e) apresentam uma propriedade não 
manifestada pelos neutrões, denominada carga eléctrica.
Convencionou-se que os protões apresentam carga eléctrica 
positiva (+) e os electrões carga eléctrica negativa (–).
Quando em presença dos seguintes casos, 
Fig. 2.2 – Principio de atracão e de repulsão
P P
E E
P E
Repulsão
Atracção
183
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
• Um átomo electricamente neutro apresenta um número 
de protões igual ao número de electrões e não manifesta 
propriedades eléctricas.
• Se o átomo perder um ou mais electrões de sua electros-
fera, o número de protões no núcleo passa a predominar, 
o átomo passa a manifestar propriedades eléctricas, tor-
nando-se ião positivo.
• Se o átomo receber electrões na sua electrosfera, ele pas-
sará a manifestar comportamento eléctrico oposto ao 
anterior, tornando num ião negativo.
A carga eléctrica do protão é igual em módulo à carga eléctrica 
do electrão, constituindo a menor quantidade de carga encon-
trada na natureza. O seu valor é denominado carga eléctrica 
elementar e representada por e, de valor experimentalmente 
determinado:
e = 1,6.10–19C
2.1.1. Mecanismo da Condução
da Corrente Eléctrica
Chama-se condutor eléctrico a todo o meio que 
permite a movimentação de cargas no seu inte-
rior. Se essa movimentação relativa não ocorrer, o 
meio constituirá um isolador eléctrico.
Condutores eléctricos mais comuns:
a) Metais
Esses possuem grandes quantidades de electrões 
livres, constituindo a denominada nuvem electró-
nica, com ligação fraca com o núcleo e com uma 
certa liberdade que lhes confere condutibilidade.
Nos condutores metálicos
Tomemos para estudos dois condutores nas con-
dições que se apresentam nas fig.2.3 a) e 2.3 b). Fig. 2.3 a), b) – Linhas de força do campo eléctrico criado 
VA< VB
A
A B
B
Condu-
tores
Campo eléctricio criado por dois condutores, A e B, quando isolados
a)
b)
A BC
G
VA< VB
184
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
A fig. 2.3a mostra o que se passa com as linhas de campo 
quando se colocam dois condutores isolados, enquanto na 
fig. 2.3 b) ocorre a deformação do campo eléctrico e quando 
se ligam os dois condutores por um fio condutor C: as linhas 
de campo eléctrico concentram-se quase todas no interior e à 
superfície do fio.
O campo eléctrico torna-se particularmente intenso no fio 
condutor, e praticamente inexistente fora desse fio.
Os electrões de condução passam a sofrer os efeitos da actua-
ção de forças eléctricas F, e são opostamente orientadas para o 
sentido do campo eléctrico, pois:
 F Q E eE
�� �� ��
= = −. (2.1) 
onde Q= e = módulo da carga de electrão e E = campo eléctrico
Os electrões de condução são arrastados lentamente para o 
sentido oposto ao do campo eléctrico 

E .
Em síntese
• Num condutor metálico, a corrente eléctrica estacioná-
ria consiste no arrastamento lento de electrões no sen-
tido oposto ao do campo eléctrico estabelecido no con-
dutor, quer à superfície quer no interior do condutor, 
com a velocidade da ordem de mm/s.
• Os electrões deslocam-se quer à superfície quer no inte-
rior dos fios condutores, onde o campo eléctrico não só 
não é nulo como até é particularmente intenso. A velo-
cidade com que, na ligação do circuito, se estabelece e 
propaga o campo eléctrico é da ordem de 200.000 km/s.
b) Electrolíticos
Nos condutores electrolíticos
Num condutor electrolítico há dois fluxos de carga eléctrica 
de sentidos opostos; as cargas positivas, transportadas pelos 
catiões, fluem no sentido do campo eléctrico; as cargas nega-
tivas, transportadas pelos aniões, fluem no sentido oposto ao 
do campo eléctrico.
185
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Fig. 2.4 – Corrente nos electrólitos
+
+
+
+
++
+
+
+
+ -
- -
-
-
- --
-
CuSO4 (aquoso) A (+)C (-)
G
A = ânodo
C = cátodo } Eléctrodos
O sulfato de cobre é um exemplo de condutor electrolítico de 
uma substância química, cuja solução aquosa é boa condutora 
da corrente eléctrica, a que se chama condutor electrolítico.
Os catiões e os aniões movem-se caótica e desordenadamente, 
na ausência da corrente eléctrica. Quando se fecha o circuito e 
passa corrente eléctrica, esses iões orientam-se. É assim que 
surgem dois fluxos, conforme referido atrás..
c) Gasosos
Nos condutores gasosos
Nas descargas eléctricas através dos gases, os portadores de 
carga são os iões positivos, resultantes da ionização ou do 
arranque de um metal por emissão fotoelectrónica ou termoe-
lectrónica, quando ocorrem.
No entanto, o papel dos electrões é mais importante do que o 
dos iões.
Considerando as forças eléctricas de igual intensidade a actuar 
nuns e noutros, tem-se F m a F m a
e e e ião
= ⋅ = ⋅− − − ( )e
sendo m m
e ião−
〈〈 logo 
v v
e ião−
〈〈
186
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Significando assim a importância ou o factor decisivo no que 
respeita a intensidade de corrente.
Quanto ao sentido de arrastamento de electrões cumpre-se 
seguir o conceito:
• Ao sentido em que são arrastados os electrões chama-se 
sentido real ou sentido electrónico da corrente (no caso 
dos condutores electrolíticos e gasosos, embora os dois 
sentidos sejam opostos na migração dos portadores de 
carga).
• Ao sentido oposto ao sentido electrónico ou seja do 
pólo positivo para o pólo negativo no circuito exterior 
ao gerador chama-se sentido convencional (conforme 
o físico francês Ampère e outros fundadores da teoria 
electromagnética).
2.2. Resistência de um Condutor 
Eléctrico (Resistividade)
A resistência de um condutor (metálico, electrolítico ou 
gasoso) é uma grandeza macroscópica que traduz a oposição 
deste condutor ao movimento dos portadores de carga.
Consideremos condutores feitos do mesmo material, mas que 
diferem pelos comprimentos e pelas áreas das secções trans-
versais.
É possível estabelecer uma lei, segundo a qual a resistência 
eléctrica R. de fios condutores de dado material é directa-
mente proporcional ao comprimento  do fio e inversamente 
proporcional à área A de secção transversal do fio:
 R
A
= ρ
 (2.3)
A constante de proporcionalidade ρ é denominada resistivi-
dade eléctrica do material de que é feito o fio.
A
M
G
I
I
II
I
I
R
S. C S. R
Fig. 2.5 – Sentidos real e convencio-
nal da corrente eléctrica
187
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
No Sistema Internacional de unidades (SI), a unidade de resis-
tividade é o ohm × metro (Ω . m), Assim, da equação anterior, 
obtemos:
 
� 
ρ[ ] = R[ ] ⋅ A[ ]
[ ] = Ω
m2[ ]
m[ ] = Ω⋅m 
 
Observemos que se tivermos um fio de comprimento  = 1m 
e secção transversal de área A = 1m2 a resistividade ρ será 
numericamente igual à resistência eléctrica. Por isso, pode-
mos dizer que a resistividade mede numericamente a resis-
tência eléctrica por unidade de comprimento e por unidade de 
área de secção transversal.
Outras unidades, não pertencentes ao SI, também costumam 
ser usadas. As mais comuns são:
� 
(
Ω× mm2
m
), Ω× cm( )⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
Quanto melhor condutor for o material do fio, tanto menor 
será a sua resistividade. Por isso, osmetais são, de um modo 
geral, as substâncias com menores resistividades.
A resistividade de um material depende da temperatura, 
aumentando quando se aquece o condutor, na maior parte 
dos casos. Assim, quando a temperatura de um fio condu-
tor aumenta, geralmente sua resistência aumenta em vista 
ao aumento da resistividade da substância que o constitui. 
A variação da resistência por dilatação térmica do fio pode ser 
desconsiderada.
Experimentalmente, é possível verificar que a resistividade 
de um dado material varia com a temperatura obedecendo à 
equação:
	 ρ = ρ0 (1 + a	Δt θ) (2.4)
ρ		 = resistividade da substância final
ρ0 = resistividade inicial da substância
Δt = variação da temperatura
a = coeficiente de dilatação da substância
188
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Como os efeitos da dilatação não desprezáveis, a equação 
anterior pode ser estendida para os valores da resistência de 
um fio condutor desse material. Assim:
Realmente, sendo ρ ρ
0
0= =
R A RA
 
e , vem
RA R A
t
 
= +( )0 1 α θ�
logo R R t= +( )
0
1 α θ� (2.5)
R0 = Resistência do fio na temperatura inicial, t0
R = Resistência do fio na temperatura final, t
Para os metais puros, verifica-se que a resistividade aumenta 
com o aumento da temperatura. Esses materiais apresentam 
coeficiente de temperatura a positivo.
Há materiais, como grafite, em que a resistividade diminui 
quando a temperatura aumenta, tendo pois coeficiente de 
temperatura a negativo.
Fisicamente, explica-se o aumento da resistividade e da resis-
tência eléctrica dos metais com a temperatura pelo aumento da 
agitação térmica dos átomos que constituem o metal, acarre-
tando um aumento no número de choques entre as cargas em 
movimento e as outras partículas constituintes do fio condutor. 
Na grafite, o aumento da agitação existe, mas é compensado ou 
superado pelo aumento da quantidade de electrões - livres, o 
que acarreta uma diminuição na resistividade e na resistência 
eléctrica.
Em certas ligas metálicas, como a constantana, a manganina 
e o nicromo, esses dois efeitos praticamente se equilibram e 
como resultado a resistividade do material não varia com a 
temperatura: seu coeficiente de temperatura é praticamente 
nulo. Tais materiais, por possuírem tais característica, costu-
mam ser usados como padrões de resistência.
189
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Quadro 1 – Valores da resistividade e coeficiente de temperatura 
de algumas substâncias a 20ºC
Material
Prata
Cobre
Alumínio
Ferro
Platina
Chumbo
Tungsténio
Mercúrio
Constantana
Manganina
Nicromo
Grafite
 0,0159
 0,0170
 0,0270
 0,0970
 0,0980
 0,02100
 0,0550
 0,9500
 0,49
 0,48
 1,12
 0,4 a 0,7
0,0040
0,0040
0,0036
0,0050
0,0039
0,0042
0,0048
0,0009
Menor que 10–5
Menor que 10–5
0,00017
-2.10–4 a –8.10–4
[ρ] = [Ω	mm2]											m [a] = [0C–1]											
A tabela acima fornece, para algumas substâncias, valores da 
resistividade a 20°C e o respectivo coeficiente de temperatura.
2.3. Lei de Ohm para Segmento 
de um Circuito
Para resistência pura, a d.d.p., U e a intensidade da corrente i 
são directamente proporcionais:
U = Ri
R é uma constante de proporcionalidade, e uma característica 
do resistor denominada resistência eléctrica.
Unidade no SI de Resistência
� 
R[ ] = U[ ]
i[ ] =
1volt
1ampére
= 1ohm
1Ω = 1V
1A
(SI)
190
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
U
i
θ
Fig. 2.6 – Característica corrente – 
tensão do resistor Óhmico
Todo resistor que obedece a lei de Ohm é denominado resistor 
óhmico, apresentando as características ilustradas no gráfico 
da fig. 2.6.
Nesse gráfico, a tangente do ângulo θ de inclinação da recta 
mede numericamente a resistência eléctrica do condutor:
tg
Cateto oposto
Cateto adjacente
U
i
tg R
θ
θ
= =
=
Nas resistências óhmicas, alterando-se a d.d.p., modifica-se
a intensidade de corrente, mas a resistência eléctrica
 
R
U
i
=
permanece constante.
Resistências há em que, alterando-se a d.d.p., em suas extremi-
dades, altera-se a intensidade de corrente, mas as suas gran-
dezas não variam proporcionalmente. Tais resistências não 
obedecem à lei de Ohm, sendo denominados resistências não-
óhmicas, tal como ilustra o gráfico da fig. 2.7. 
Se chamarmos de resistência eléctrica dos resistores não-óhmi-
cos a razão entre a d.d.p., e a intensidade de corrente, observa-
remos que essa resistência eléctrica não se mantém constante, 
isto é, seu valor depende da d.d.p. aplicada.
Assim
R
U
i
R
U
i
1
1
1
2
2
2
=
=
Com R1 ≠ R2
Fig. 2.7 – Característica da resistên-
cia não - Óhmica
U
U2
U1
i1 i2 i0
191
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Exercícios propostos
P1 – O cobre tem uma resistividade a 20°C de 1,7.10–8Ω.m. Cal-
cule a resistência de um fio de cobre de 1 m de comprimento e 
0,2 cm2 de área de secção transversal nessa temperatura. 
P2 – Aplicando uma ddp de 12 V em um resistor ôhmico, ele é 
percorrido por uma corrente de 3 A. Determine a resistência do 
resistor e a corrente quando a ele se aplicar uma ddp de 10V.
P3 – Um chuveiro possui uma resistência 10Ω. Qual será a 
corrente, quando ligado a 220V? 
R: 8,5.10–4Ω
R: R = 4Ω; i = 2,5A
R: i = 22A 
P1 – Uma resistência 
óhmica é percorrido 
por uma corrente eléc-
trica de intensidade 
5A, quando submetida 
a uma d.d.p. de 100V. 
Determine.
a) A resistência eléc-
trica da resistência;
b) A intensidade de cor-
rente que percorre a 
resistência quando 
é submetida a uma 
d.d.p. de 250V.
Dados
i = 5A
U = 100V
a) U = ?
b) I = ? U = 250V
Exercícios de aplicação
Resolução
a)
Pela lei de Ohm, U = R.i
R
U
i
R
V
A
= → =
100
5
R = 20Ω
b)
i
U
R
i
V
= → =
250
20Ω
i = 12,5A
192
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
2.4. Trabalho e Potência Eléctrica
Durante o deslocamento da carga q no interior do condutor 
o campo eléctrico realiza um trabalho sobre a carga, que se 
designa por trabalho da corrente eléctrica.
Se durante o intervalo de tempo ∆t a carga q atravessar a secção 
do condutor, a força eléctrica que age em q será F = qE. Assim o 
campo eléctrico realiza o trabalho W = Fs, sendo s o módulo do 
deslocamento da referida carga.
Para F = qE, teremos W = qEs
Sendo a energia eléctrica U = Es , uma vez que a intensidade da
corrente I q
t
= , este trabalho é igual a W = IUt.
Assim o trabalho da corrente eléctrica num circuito é igual 
ao produto da intensidade da corrente I pela tensão U e pelo 
intervalo de tempo ∆t, durante o qual o trabalho foi realizado.
Se a tensão for expressa através da intensidade da corrente, 
ou a intensidade da corrente através da tensão com base na 
Fig. 2.8 – Gerador eléctrico
193
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
lei de Ohm para um sector do circuito, teremos três fórmulas 
equivalentes para o trabalho da corrente:
W = IUt (2.6)
W = I2 Rt
W
U t
R
=
2
Cada fórmula é adaptada para cada de ligação de condutores 
(série ou paralelo).
Qualquer aparelho eléctrico consome uma certa quantidade 
de energia por unidade de tempo. Deste modo a par do traba-
lho da corrente, importa conhecer a potência correspondente 
a cada aparelho eléctrico.
A potência da corrente é igual ao quociente do trabalho da cor-
rente realizado durante um determinado intervalo de tempo.
P
W
t
IU= =
Substituindo as fórmulas equivalentes do trabalho, obtemos:
P = IU (2.7)
P = I2 R
P
U
R
=
2
2.5. Energia Dissipada num Condutor: 
Efeito Joule
Sempre que passa corrente num circuito há desenvolvimento 
de calor. Este calor é devido ao choque dos electrões livres con-
tra os átomos do condutor no seu movimento. Os átomos em 
virtude disso entramem movimento, o qual gera calor. Deste 
modo os electrões perdem uma parte da sua energia, a qual se 
converteu em calor.
194
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
O fenómeno do desenvolvimento de calor num condutor pela 
passagem da corrente eléctrica chama-se efeito joule.
Efeito Joule (lei de Joule) é uma lei física que expressa a rela-
ção entre o calor gerado e a corrente eléctrica que percorre um 
condutor em determinado tempo. O nome é devido a James 
Prescott Joule (1818-1889) que estudou o fenómeno em 1840.
 Q = I2. R.t (2.8)
onde:
• Q é o calor gerado por uma corrente constante percor-
rendo uma determinada resistência eléctrica por deter-
minado tempo.
• I é a corrente eléctrica que percorre o condutor com 
determinada resistência R.
• R é a resistência eléctrica do condutor.
• t é a duração ou espaço de tempo em que a corrente 
eléctrica percorreu ao condutor.
Aplicações do efeito Joule – Há casos em que o efeito Joule 
resulta em pura perda. É o que acontece no transporte de 
energia eléctrica a longa distância, visto que neste caso o 
desenvolvimento de calor nos cabos não é aproveitado. Mas 
as aplicações práticas importantes do efeito Joule são várias 
– lâmpadas eléctricas de incandescência, aparelhos de aqueci-
mento, ferros de engomar, ferros de soldar, etc.
2.6. Força Electromotriz 
(f.e.m. e Resistência Interna)
O gerador eléctrico é um dispositivo que fornece energia as 
cargas elementares para que essas se mantenham em circula-
ção. Quer dizer que o gerador eléctrico mantém a d.d.p. entre 
os pontos do circuito, para que a corrente eléctrica circule. 
Assim define-se:
Gerador eléctrico como o dispositivo que converte ener-
gia eléctrica noutras formas de energia.
195
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
O gerador pode ser ideal ou real:
Ideal: Quando não apresenta resistência eléctrica interna, 
(r = 0); quer dizer que não há dissipação de ener-
gia no interior do circuito, transferindo-se integral-
mente toda a energia eléctrica gerada às cargas, 
A B
R
ε
i
i
+ –
Fig. 2.9 – Gerador em série com uma resistência 
Fig. 2.10 – Circuito gerador – resistor
A d.d.p. nos seus terminais (A e B) corresponde à 
sua força electromotriz (f.e.m.).
 Real: Quando, percorrido por corrente eléctrica, vai man-
tendo entre os seus terminais uma d.d.p. (U) menor 
que essa força electromotriz (f.e.m.) ε, ocorrendo 
assim uma queda (dissipação) de potencial (ri) 
dentro do próprio gerador.
Nos terminais do gerador a d.d.p. corresponde a taxa de eleva-
ção de potencial que realmente ocorreu:
 U = ε – ri (2.9)
Equação característica do gerador eléctrico.
Desta equação, conclui-se que a d.d.p., nos terminais do gera-
dor real só é igual à força electromotriz ε, quando é nula a 
intensidade da corrente (i = 0). E isso só ocorre se o gerador 
não estiver ligado a nenhum circuito, e é por isso, que essa 
d.d.p. é chamada também tensão em aberto do gerador.
Circuito gerador-resistor. Lei de Pouillet
O cálculo da d.d.p., nos terminais do resistor é feito pela lei de 
Ohm, e conforme figura ao lado, temos:
U = Ri
ε r
i
i
R
196
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
No entanto, nos pólos do gerador, a d.d.p. é dada por:
U = ε– ri
Igualando as duas equações resultantes, obtém-se:
 
 
Ri r i
Ri ri
i R r
i
R r
=
= +
= +( )
=
+
ε
ε
ε
ε
– .
 
 (2.10)
Essa equação, que nos dá a intensidade de corrente que per-
corre um circuito simples do tipo gerador-resistor, e que tra-
duz matematicamente a Lei de Pouillet.
Contudo, no circuito externo, em vez de um único resistor, pode-
mos ter uma associação de resistores, representando, nesse caso, 
R, a resistência eléctrica do resistor equivalente à associação.
P1 – Um gerador eléc-
trico possui f.e.m. 30 V 
e resistência interna 2Ω. 
Determine:
a) A tensão nos seus 
terminais, quando 
atravessado por uma 
corrente eléctrica de 
intensidade 5A;
b) A intensidade da cor-
rente eléctrica que é 
atravessada quando 
a tensão nos seus ter-
minais é de 12V.
Dados
ε = 30V
r = 2Ω
i = 5A
Exercícios de aplicação
Resolução
a)
b)
U ri U V= − → = −ε 30 2 5 20A U V→ =Ω.
U V
U ri
i
U
r
i
V V
i A
=
= −
=
−
→ =
−
=
12
30 12
2
9
ε
ε
Ω
197
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Exercícios de aplicação
Resolução P2 – A curva caracte-
rística de um gerador é 
apresentada na figura 
abaixo. Determine a 
f.e.m., a resistência in-
terna e a intensidade 
da corrente de curto- 
-circuito do gerador.
P3 – No circuito esque-
matizado na figura abaixo 
tem-se um resistor ligado 
aos terminais de um gera-
dor. Determine:
a) A intensidade da cor-
rente que atravessa o 
circuito;
b) A d.d.p. no resistor
U[V]
24
0 4
θ
i[A]
Do gráfico concluímos que ε = 24V
O coeficiente linear da recta é ICC = 4A
abcissa do ponto onde a recta intercepta o eixo dos i;
A resistência interna é unicamente igual à tangente do 
ângulo, θ:
tg
Cateto oposto
Catetoadjacente
t
V
A
θ
θ
=
= =
24
4
6
r = 6,0Ω
i
ε = 25V
r = 2Ω
r = 3Ω
ii
i
Dados
ε = 25V
r = 2Ω
R = 3Ω
Resolução
a)
i
R r
i
V
=
+
→ =
+
ε 25
3 2Ω Ω
i = 5A
b)
U = R.i
U = 3Ω.5A
U = 15V
198
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
P1 – Determine a f.e.m. e a resistência interna do gerador 
equivalente à seguinte associação.
P2 – Determine a f.e.m. e a resistência interna equivalente a 
seguinte associação do gerador: 
Exercícios propostos
3,0Ω 3,0Ω 3,0Ω
12V 12V 12V
A
B
A B6,0V 12V 12V1,0Ω 1,0Ω 2,0Ω
Potência de um gerador
Designando por potência de um gerador a energia a transfor-
mar, de uma forma não eléctrica, por unidade de tempo, rela-
cionando-a com a f.e.m., essa potência gasta é o que se chama, 
vulgarmente, por potência de um gerador.
Considerando que a energia transformada em forma eléctrica, 
por um gerador, é:
Ee = εg it
Vem
 
P
E
t
E it
t
E i
P i
g
e g
g
g g
= = =
= ε
 
(2.11)
A potência fornecida pelo gerador à linha ou potência útil.
199
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Tendo-se
E U it
P P
E
t
U it
t
P P U i
u g
linha u
U g
linha u g
=
= = =
= =
Unidade SI da P
� 
P[ ] = ΔW[ ]
Δt[ ] = ε[ ] i[ ]
P[ ] = 1J
1s
= 1V[ ] 1 A[ ] = 1Watt = 1W
	
  
Associação de geradores em série
Os geradores associados em série são percorridos pela mesma
corrente eléctrica Q = i.t → =i Q
t
.
y
U1 U2
U
i
x 1 2 n
rn
r2r1
i ε ε ε
Fig. 2.11 – Geradores associados em série 
Fig. 2.12 – Gerador equivalente da associação em série
O gerador equivalente é per-
corrido por corrente da mesma 
intensidade que a associação e 
mantém entre os seus pólos a 
mesma d.d.p. que na associação, 
fig. 42.1 
 
rssε yx
U
200
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Nesse exemplo, o pólo positivo do primeiro e negativo do 
último são os pólos da associação.
É propriedade fundamental da associação em série:
A intensidade de corrente é a mesma em todos os geradores.
Sendo n geradores de f.e.m. ε1, ε2... εn e resistência internas r1, 
r2 ... rn associados em série, a d.d.p. nos geradores associados é:
U = U1 + U2... + Un
Com a equação característica para os valores da d.d.p. 
εs– rs.i = (ε1– r1) + (ε2– r2) + ... + (εn– rn)
Gerador equivalente
εs– rs.i = (ε1– r1) + ... + (r1+ r2 + ... + rn).i
εs = ε1 + ε2 + ... + εn
Portanto, a associação em série de geradores produz um 
aumento n a f.e.m. e na resistência interna.
No caso de n geradores iguais, com força electromotriz ε e 
resistência interna r, temos:
εs = nε
Rs = nr
Associação de geradores em paralelo
Neste tipo de associação, todos os pólos positivos dos gerado-
res sãoligados entre si.
Os geradores associados em paralelo mantêm em conjunto 
uma d.d.p. 
i
n
i
n
i
n
i
n
r
r
r
yx
 
ε
ε
ε
Fig. 2.13 – Geradores associados em paralelo
201
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
O gerador equivalente, percorrido por corrente de intensidade 
igual à da associação, mantém a mesma d.d.p., :
 
Fig. 2.14 – Gerador equivalente da associação em paralelo
εp rp yx
U
Sendo (i) a intensidade da corrente que atravessa a associação,
em cada um dos geradores a intensidade de corrente é 
 
i
n 
.
Os geradores associados mantêm, em conjunto, uma d.d.p., 
entre os terminais da associação.
Para o gerador equivalente vem:
U = εp – rpi
Para cada gerador associado vem:
U r
i
n
= −ε
Igualando as duas expressões, obtemos:
ε ε
p p
r i r
i
n
− = −
Fazendo a identidade entre os termos do primeiro e do segundo 
membro, vem:
ε ε
p
p
r
r
n
=
=
Concluindo que a associação de geradores ligados em paralelo a 
f.e.m. se mantém, havendo diminuição na resistência interna.
202
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
P1 – A f.e.m. de um dado 
motor é 12V acoplado 
a uma roda R. Sabendo 
que a intensidade da cor-
rente eléctrica que o ali-
menta é 0,01A, que ener-
gia mecânica fornece à 
roda R durante 10s de 
funcionamento?
Dados
ε = 12V i = 0,01A
t = 10s
P2 – Ligando-se um 
resistor a uma tensão de 
110V, uma secção recta 
é atravessada pela carga 
de 2,7 C em 10s. Qual é a 
intensidade da corrente 
que atravessa esse resis-
tor quando se liga a uma 
tensão de 40,7V?
Dados
U = 110V Q = 2,7C
t = 10s
P3 – Determine a força 
electromotriz e a resis-
tência interna do gerador 
equivalente à seguinte 
associação de pilhas: 10 
pilhas iguais, cada uma 
de força electromotriz 
ε = 1,5V e resistência r = 
0,10Ω, ligadas em série.
Dados
n = 10 r = 0,1Ω
ε = 1,5V
Exercícios de aplicação
Resolução
Resolução
Resolução
ε ε εε ε
ε ε
= → = =
= → =
E
Q
E Q i t
E V A s E Wa
. . .
. , . ,12 0 01 10 1 2 ttt
i
Q
t
i
C
s
i A
= → =
=
2 7
10
0 27
,
,
Se U V
R V
i
U
R
i
V
i A
=
=
= → = → =
40 7
407
40 7
407
0 1
,
,
,
Ω
εs = n.ε→ εs= 10.1,5V
εs = 15V
rs = n.r→ rs = 10.0,1Ω
rs = 1Ω
203
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
P4 – Determine a 
força electromotriz e a 
resistência interna do 
gerador equivalente à 
associação de 10 pilhas 
iguais, cada uma de 
força electromotriz ε 
= 1,5V e resistência 
interna r = 0,10Ω, liga-
das em paralelo.
Exercícios de aplicação
Resolução
A força electromotriz εp do gerador equivalente à associa-
ção é dada por εp = ε
portanto εp = ε = 1,5V
A resistência interna rp do gerador equivalente à associa-
ção vale:
r
r
np
=
Sendo r = 0,10Ω, n = 10 logo; 
 
r
p
=
0 10
10
,
Ω→rp = 0,01Ω
Exercícios propostos
P1 – Considere o circuito esquematizado na figura. Deter-
mine:
a) A intensidade de cor-
rente através do gera-
dor;
b) A leitura do amperíme-
tro A, suposto ideal.
P2 – Determine a força electromotriz e a resistência interna 
do gerador equivalente à associação de 10 pilhas iguais, cada 
uma de força electromotriz E = 1,5 V e resistência interna 
r = 0,10Ω, ligadas em paralelo.
P3 – Para o circuito esquematizado, determine:
a) A intensidade de cor-
rente através dos gera-
dor;
b) A intensidade de cor-
rente através dos resi-
tores de 6,0 e 8,0 Ω .
2,0Ω
1,0Ω
6,0Ω
6,0Ω12Ω
12V
6,0V
A
1,5Ω
3,0Ω
3,0Ω 20V
20V
3,0Ω
6,0Ω 8,0Ω
204
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
2.8. Leis de Kirchhoff
Vimos que os circuitos eléctricos simples, com único percurso 
para a corrente eléctrica, do tipo gerador - resistor ou gera-
dor – resistor – receptor é facilmente resolvido passando pela 
aplicação da lei de Pouillet: 
 
i
R r r
=
−
+ +
ε ε '
'
Porém se o circuito for mais complexo, incluindo vários per-
cursos fechados, a resolução torna-se mais complicada, sendo 
útil, nesses casos, a aplicação de certas regras especiais conhe-
cidas como Leis de Kirchhoff.
Antes, porém, da sua abordagem teremos em conta algumas 
convenções para a determinação da polaridade e d.d.p. dos 
elementos de um circuito.
Polaridade e d.d.p. dos elementos de circuito
Gerador e receptor ideal
O gerador eléctrico é um dispositivo que fornece energia às 
cargas eléctricas elementares para que essas se mantenham a 
circular. Isto quer dizer que o gerador eléctrico mantém a d.d.p. 
entre os pontos do circuito, para que a corrente eléctrica circule. 
A energia eléctrica fornecida às cargas, o gerador obtém-na a 
partir de outras formas de energia, enquanto o receptor e qual-
quer dispositivo eléctrico que, ao ser atravessado pela corrente 
eléctrica, transforma a energia eléctrica noutra forma de ener-
gia, que não seja exclusivamente a térmica. É evidente que, em 
qualquer receptor, há também a conversão de energia eléctrica 
em energia térmica, por efeito Joule, razão pela qual dizemos 
que o receptor tem resistência interna (r). No receptor ocorrem 
duas quedas de potencial no sentido da corrente. Para indi-
car a ocorrência dessa queda, representamos o receptor com 
dois pólos, um positivo, de maior potencial, e outro negativo, 
de potencial mais baixo, circulando a corrente do pólo positivo 
para o pólo negativo, figura 2.15.
+
 
A B
Fig. 2.15 – Gerador
205
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
 
A: pólo positivo → potencial menor.
B: pólo negativo → potencial eléctrico maior.
Assim
VB – VA = +ε
VA – VB = –ε
Havendo, por isso, de adoptar um sentido de percurso (α), 
estabelecendo a seguinte regra:
A d.d.p. pode ser: +ε ou –ε, valendo o sinal da entrada no sen-
tido do percurso (α) adoptado.
+A
ε
a
B +
ε
a
B
 
 
a) b)
Fig. 2.16 – Geradores com respectivos sinais de entrada, a) positivo b) negativo 
a) α entra pelo pólo positivo: VB – VA = +ε
b) α entra pelo pólo negativo: VA – VB = –ε
Resistores
Para os resistores, a polaridade é dada pelo sentido da corrente.
A corrente eléctrica tem o sentido do pólo positivo para o pólo 
negativo.
A d.d.p. pode ser + Ri ou – Ri, valendo, também o sinal de entrada 
no sentido do percurso (α) adoptado.
Fig. 2.17 – Resistor com respectivos 
pólos
+
A B
R
i
206
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Fig. 2.18 – Resistores com respectivos sinais de entrada, a) positivo b) negativo
+
A B
R
i
a
+
A B
R
i
a
α entra pelo pólo positivo
V A – VB = + R.i
α entra pelo pólo negativo
V B – VA = – R.i
Cálculo da d.d.p. num trecho do circuito
Para o cálculo da d.d.p. entre os extremos deste trecho de cir-
cuito, devemos proceder da seguinte maneira:
• Marcar as polaridades de todos os elementos.
• Adoptar um sentido de percurso (α). 
Adoptando de A para B, obtemos VA – VB e de B para A obtemos 
VB – VA.
i
+ + +
A BRr1 ε1
a
ε2
Fig. 2.19 – Trecho de um circuito
A d.d.p. total entre os extremos do circuito é igual à soma algé-
brica das d.d.p. em todos elementos. Para cada d.d.p. vale o sinal 
de entrada no sentido do circuito adoptado. Assim, conforme a 
figura 2.15, temos;
V V r i R i r i
B A
− = − + + +
1 1 2 2
. . .ε ε
207
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
P1 – Para o trecho de circuito abaixo, calcule 
a d.d.p entre os pontos A e B.
Dados
r1=2Ω,			r2=1Ω,			r3=1,5Ω,			R=3Ω,
ε1=5V,			ε2=10V,			ε3=20V
Exercícios de aplicação
Resolução
Marcamos as polaridades em sentido de 
percurso α (de A para B).
Temos
Logo:
Então:
VA – VB = 25V
A r1=2Ω r2=1Ω R=3Ω
I = 4A
ε1=5V ε2=10V ε3=20V
r3=1,5Ω B
A r1 r2 R
I 
ε1 ε2 ε3r3 B
+ – 
+ – + – + – 
+ – + – + – 
a
V V r i r i R i r i
A B
− = + + + + + −1 1 2 2 3 3
. . . .ε ε ε
VB – VA = 2Ω.4A + 5V + 1Ω.4A + 10V + 3Ω.4A + 1,5Ω.4A – 20V
208
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Exercícios de aplicação
P2 – Considere o trecho do circuito 
representado a seguir e determine:
a) i3;
b) VA – VC ;
a) VD – VC 
Dados
r1=2Ω,			r2=3Ω,			R=8Ω,
ε1=20V,			ε2=10V,			i1=5A, 			i2=2A, 
A
r1=2Ω r2=3ΩB
D
R=8Ωi1= 5A i2= 2Ai3
ε1=20V ε2=10V C
Resolução
a)
b) O percurso α adoptado tem sentido de A 
para B e para C:
c) O percurso β tem o sentido de D para B e 
para C.
i i i
i A A
i A
3 1 2
3
3
5 2
7
= +
= +
=
A
r1 r2
a
B
D
R=8Ωi1 i2
β
i3
ε1 ε2 C
 
+ – – + 
– + + – 
Logo:
VA – VC = r1. i1 – ε1 + ε2 – r2. i2 
VA – VC = 2Ω.5A – 20V + 10V – 3Ω.2A
VA – VC = – 6V
Logo:
VD – VC = R. i3 + ε2 – R2. i2 
VD – VC = 8Ω.7A + 10V – 3Ω.2A
VD – VC = – 52V
209
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Exercícios propostos
P1 – No trecho de circuito representado ao lado qual a d.d.p. 
entre os pontos A e B?
P2 – No trecho de circuito ao lado esquematizado, calcule:
a) A d.d.p. entre os pontos A e B;
b) A intensidade de corrente i3.
c) A d.d.p. entre os pontos B e D.
5,0Ω
3,0Ω
3,0Ω
20V
B
10V
A
i = 2,0A
Primeira Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós
Num circuito eléctrico, chama-se nó ou nodo um ponto comum 
a três ou mais condutores.
Lei dos nós ou nodos:
A soma algébrico das intensidades de corrente que ocorrem 
num modo é nula, considerando-se positivas as que se aproxi-
mam e negativas as que se afastam do modo.
A
i2
i1 i3ε1
ε2
C
D
B
E
Fig. 2.20 – Circuito ramificado
210
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Existem dois nós (nodos): B e E
Nestes nós a corrente eléctrica se distribui assim: no nó B, 
Sendo 
i1 = i2+ i3
assim
 i1 – (i2+ i3) = 0
i1 se aproxima e uma vez, que o valor algébrico de soma de i2 
com i3 corresponda ao valor i2, i3 estes afastam-se.
Segunda Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas
Numa malha qualquer a soma algébrica das f.e.m. é igual à soma 
algébrica das quedas de tensão nos vários ramos que consti-
tuem a malha.
Note bem:
Num circuito eléctrico chama-se ramo todo o trecho do circuito 
que vai de nó a nó. Assim, analisando-se da figura anterior, 
temos três ramos:
1. BE
2. BCDE
3. BAFE
A cada ramo corresponde uma intensidade de corrente eléc-
trica.
211
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
P1 – Utilizando a segunda lei de Kirchhoff, 
determine a intensidade de corrente no 
circuito esquematizado na figura abaixo. A 
seguir calcule a d.d.p entre os pontos A e B.
Exercícios de aplicação
Resolução
Para aplicação da segunda lei de Kirchhoff 
devemos: adoptar um sentido para a cor-
rente eléctrica; adoptar um sentido de per-
curso; e marcar as polaridades. Para o cir-
cuito em questão. Temos:
Afastando-se de A e percorrendo-se a malha (trajectória) no sentido horário, temos:
ε1 + r1 . i+ R1 i – ε3 + r3 . i + r2 i – ε2 = 0
 
 
i = 2,5A
Se i resultante for negativo significa que o sentido da corrente é contrário ao sentido adoptado.
Para o cálculo da d.d.p. entre os pontos A e B, vamos percorrer o trecho de circuito indicado 
na figura a seguir:
 
 
 r1=2Ω
 r3=3Ω
 r1=2Ω
R1=3Ω
ε1=25V
ε2=25V
ε3=30V
 
 
 r1
 r3
 r2
R1
i
i
i
ε1
a
ε3
ε2
+ – + – 
+
–
–
+
r1 + R1 + r3 + r2
i (r1 + R1 + r3 + r2 ) = ε2 + ε3 – ε1 → 
ε2 + ε3 – ε1
2Ω + 3Ω + 3Ω + 2Ω 10Ω
i = (20V + 30V) 25V = 25V
VA – VB = ε1 + r1. i + R1 i – ε3 
VA – VB = + 25Ω + 2Ω.2,5A + 3Ω.2,5A – 30V
VA – VB = 7,5V
i = 2,5 A
R1
B
A
i
a
ε3
ε1 r1
+
–
–
+
+ – + – 
212
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Exercícios propostos
P1 – Utilizando a segunda lei de Kirchhoff para o circuito 
gerador-receptor esquematizado, prove que:
i
E E
R r r
=
−
+ + 
(Lei de Pouillet)
P2 – Utilizando a segunda Lei de Kirchhoff, determine a inten-
sidade de corrente no circuito. A seguir, calcule a d.d.p. entre 
os pontos A e B.
P3 – No circuito da figura E1 = 24V, E2 = 12V e R = 6,0Ω. Deter-
mine as intensidades de corrente em todos os ramos do cir-
cuito.
i
i
i
E
R
r
E'
r'
i
3,0Ω
2,0Ω 2,0Ω
13V
8,0V
6,0V 7,0V
A
1,0Ω
1,0Ω
E1
E2
R
R
R
213
PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua 
UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua
Exercícios propostos
P4 – Para o circuito da figura em baixo determine as intensi-
dade de corrente em todos os ramos.
4,0Ω 4,0Ω
2,0Ω2,0Ω 3,0Ω
60V 60V
214
215
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
 1. Física, História e cotidiano, de José Roberto Bonjorno, Regina Azenha 
Bonjorno
 2. Valter bonjorno, Clinton Marcico Ramos, 9º ano de escolaridade, FTD 
(EDITORA)
 M. Margarida R. D. Rodrigues Fernando Morão Lopes Dias, Porto Editora
 3 Física, Ciências Físico – químicas, 10º Ano Maria Teresa Marques de Sá, 
Texto Editora, Portugal
 4. Manual de física, 9ª classe Angola
 5. Maria da Graça Breganha Jesus Joaquim Baptista Eu e a Física 9º ano 
Noémia Maciel, Ana Miranda, Porto Editora
 6. I. K. Kikóine, A. K. Kikóine, Física 2, Editora Mir Moscovo 1996
 7. José A. Teixeira, Curso de física, Tomo I – 6º Ano, Porto Editora
 8. Física Mecânica volume 1 segundo grau / Avelino Alves Filho, Edson 
Ferreira de Oliveira e José Luís de Campos Robortella, Editora: Ática, 
1984-1985
 9. Física Clássica, volumes I, II, III, IV e V / Caio Sérgio Calçada e José Luís 
Sampaio, Editora: Atual, 1985
10. Física Aula por Aula, volume I / Cláudio Xavier e Benigno Barreto, Edi-
tora: FTD, 2008
11. Física: história e cotidiano volume único / José Roberto Bonjorno…, 
Editora: FTD, 2005
12. Física volume único / António Máximo e Beatriz Alvarenga, Editora: 
Scipione, 1997
14. Física Fundamental Novo: Volume único, 2º Grau José Roberto Bon-
jorno et al. São Paulo: FTD, 1999
BIBLIOGRAFIA
216
15. Física Aula por Aula, Vol. 1, 1ª edição Cláudio Xavier da Silva Benigno 
Barreto. São Paulo: FTD, 2008
16. OS fundamentos da Física, Vol. 3, 7ª edição revista e ampliada Francisco 
Ramalho Ju, Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo António de Toledo Soares 
São Paulo: Moderna, 1999
17. Manual de Física 9ª Classe, Maurício José Barros, Luanda: Livraria Men-
sagem, 2003
18. Manual de Física 10ª Classe, Maurício José Barros, Luanda: Livraria 
Mensagem, 2003
19. Guias – Cursos pró encuentros- Foc IV, Ernesto de la Torre García, Fran-
cisco Hernández, Habana: Editorial de libros para la educación, 1981
20. Física: História e cotidiano: mecânica 1, José Roberto Bonjorno et al. 
São Paulo: FTD, 2003
MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA
BIBLIOGRAFIA
	livro1
	livro2
	livro3