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1 – Impulso e Quantidade de Movimento . . . . . . . . . 1
2 – Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 – Colisão Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 – Gravitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 – Origem e Evolução do Universo . . . . . . . . . . . . . . 79
6 – Noções de Física Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7 – A Análise Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8 – Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9 – Noções de Hidrodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1 – Reflexão e Refração de Ondas . . . . . . . . . . 155
2 – Interferência de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . 171
3 – Fenômenos Ondulatórios . . . . . . . . . . . . . 183
4 – Acústica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Mecânica
Ondas
FÍSICA
ÍndiceCIÊNCIAS DA
NATUREZA E SUAS
TECNOLOGIAS
EDUARDO FIGUEIREDO
Coordenador e Professor 
do Curso e Colégio Objetivo
RICARDO HELOU DOCA
Professor do Curso e Colégio Objetivo
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LIVRO
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página I
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página II
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1. Preliminares
Quando aplicamos uma força a um corpo, o efeito
produzido depende de dois fatores:
• as características da força;
• o tempo de aplicação da força.
Para estudarmos o efeito da força, levando-se em
con si de ração o tempo de aplicação, foi criada a grandeza
veto rial de nome IMPULSO.
a) da força aplicada;
O IMPULSO DEPENDE {b) do tempo de aplicação.
2. Definição de impulso
A definição geral de impulso usa o conceito de “in -
tegral” e, portanto, foge ao nível deste curso.
Vamos definir impulso para o caso particular de uma
força constante (em módulo, direção e sentido).
Consideremos um ponto material sob a ação de uma
força constante 
→
F durante um intervalo de tempo �t.
Define-se impulso da força 
→
F como sendo a grande -
za vetorial 
→
I dada por:
Sendo o impulso uma grandeza de natureza vetorial,
além de ter uma intensidade ou módulo, deverá ter tam -
bém uma orientação, isto é, uma direção e um sentido.
Como o intervalo de tempo �t é um escalar positivo,
então a direção e o sentido do impulso são os mesmos da
força 
→
F.
Exemplificando
O impulso da força de gravidade (peso) é sempre
ver ti cal e dirigido para baixo.
Notas
a) Impulso não é uma grandeza instantânea, isto é,
não é definido para um dado instante e sim para um certo
intervalo de tempo �t.
b) Quando a força 
→
F é variável, definimos força
mé dia
→
Fm, em relação ao tempo, como sendo uma for -
ça constante, capaz de produzir o mesmo impulso da for-
ça variável 
→
F.
3. Unidade e 
dimensões do impulso
Da definição de impulso, resulta:
unidade [ I ] = unidade [ F ] . unidade [ �t ]
No Sistema Internacional (SI), temos:
→
I = 
→
F . �t
→
IFm
= 
→
IF = 
→
Fm �t
A bola recebe da cabeça do garoto um
impulso que vai variar a sua quantidade de
movimento.
Impulso e quantidade de movimento 
são grandezas vetoriais.
IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Mecânica
1
CAPÍTULO
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 13:13 Página 1
unidade [ F ] = newton (N)
unidade [ �t ] = segundo (s)
Portanto:
dim [ I ] = dim [ F ] . dim [ �t ]
Em relação às grandezas fundamentais: massa (M),
comprimento (L) e tempo (T), temos:
[ F ] = MLT–2 e [ �t ] = T
Portanto:
[ I ] = MLT–2 . T ⇒
4. Definição de 
“quantidade de movimento”
Consideremos uma partícula de massa m animada de
velocidade vetorial 
→
V.
Define-se quantidade de movimento 
→
Q da partí cula
como sendo o produto da sua massa m pela sua ve -
locidade vetorial 
→
V.
Notas importantes
a) Observe que quantidade de movimento é uma
gran deza instantânea, isto é, definida para um dado ins -
tan te, ao passo que o impulso é uma grandeza defi ni da
para um certo intervalo de tempo, isto é, entre dois
instantes.
b) A quantidade de movimento é também cha ma da
de “momentum” ou, ainda, “momento linear”.
c) a partir da definição 
→
Q = m .→v e lembrando que a
massa m é um escalar positivo, concluímos que a quan -
tida de de movimento terá a mesma orientação da veloci -
da de vetorial, isto é:
→
Q1 e 
→
Q2 são tangentes à trajetória e têm o mesmo sen -
tido do movimento.
d) Para um corpo extenso, a quantidade de mo vi -
mento é definida como o produto de sua massa pela ve -
loci da de vetorial de seu centro de massa (será definido
opor tunamente).
e) Para um sistema de n partículas, a quantidade de
mo vimento é definida como a soma vetorial das quanti -
da des de movimento das n partículas.
f) A quantidade de movimento 
→
Q, de uma partícula,
é constante em dois casos:
A partícula está em repouso
A partícula está em movimento retilíneo e uniforme
Note que, como 
→
Q é uma grandeza vetorial, para ser
constante deve ser constante em módulo (movimento
uni forme) e em orientação (trajetória retilínea).
g) Em particular, no movimento circular e unifor me,
a quantidade de movimento 
→
Q tem módulo constante
(por que o movimento é uniforme), porém varia em di re -
ção (porque a trajetória é curva) e, portanto, é uma gran -
deza física variável.
unidade [ I ] = N . s
[ I ] = MLT–1
→
Q = m
→
V
A quantidade de movimento é sempre tangente à
trajetória e tem sempre o mesmo sentido do mo -
vimento.
→
Qcorpo extenso = m 
→
VCM
→
Qsistema = m1
→
V1 + m2
→
V2 + … + mi
→
Vi
→
Q = constante = 
→
0
→
Q = constante ≠
→
0
2
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1. (UNISA) – A respeito da quantidade de movimento e da energia
ci nética de um corpo de massa constante, assinale a opção
correta:
a) Num movimento circular e uniforme, somente a quantidade
de movimento é constante.
b) Toda vez que a energia cinética de um móvel for constante,
sua quantidade de movimento também o será.
c) Dois corpos iguais que se cruzam a 80 km/h, cada um, têm a
mesma quantidade de movimento e energia cinética.
d) No movimento circular e uniforme, a quantidade de movi men -
to e a energia cinética são ambas constantes.
e) A quantidade de movimento de um móvel, de massa cons -
tante, será constante (não nula) para movimen tos retilíneos e
uniformes.
Resolução
a) Errada: A quantidade de movimento é grandeza vetorial e será
constante (em módulo, direção e sentido) se o movimento for
retilíneo e uniforme.
No movimento circular e uniforme, a quantidade de movi men -
to tem módulo constante, porém direção variável.
A energia cinética é grandeza escalar e será constante em
qualquer movimento uniforme, não importando a trajetória.
b) Errada: Nos movimentos uniformes não retilíneos, a energia
ciné tica é constante e a quantidade de movimento tem
direção variável.
c) Errada: As energias cinéticas serão iguais, porém as quanti da -
des de movimento serão opostas.
3
h) Sendo 
→
F a força resultante que age em uma par -
tícula de massa m, temos:
Portanto: a força resultante 
→
F é igual à taxa de va -
riação da quantidade de movimento com o tempo.
Foi com este enunciado que Isaac Newton formulou
a sua 2.a Lei de movimento.
5. Unidade e dimensões da
quantidade de movimento
Da definição de quantidade de movimento, resulta:
unidade [ Q ] = unidade [ m ] . unidade [ V ]
No Sistema Internacional (SI), temos:
unidade [ m ] = quilograma (kg)
unidade [ V ] = metro por segundo (m/s)
Portanto:
dim [ Q ] = dim [ m ] . dim [ V ]
Em relação às grandezas fundamentais: massa (M),
comprimento (L) e tempo (T), temos:
[ m ] = M e [ V ] = LT–1
Portanto:
Observe que , isto é, impulso e quan ti -
dade de movimento têm as mesmas dimensões físicas
(MLT–1) e, portanto, são medidas nas mesmas unidades,
o que equivale a dizer que:
6. Relação entre a energia
cinética e o módulo da
quantidade de movimento
Considere uma partícula de massa m, energia ciné ti -
ca Ec e quantidade de movimento de módulo Q.
Sendo V o módulo da velocidade da partícula, te -
mos:
mV2
Q = mV (1) e EC = –––––(2)2
Q
De (1) : V = –––
m
m Q 
Em (2) : EC = ––– �–––�
2
⇒
2 m
Em particular, se duas partículas, A e B, tiverem quan -
ti dades de movimento com o mesmo módulo (QA = QB),
então suas energias cinéticas serão inversamente propor -
cio nais às respectivas massas.
.
→
QA. = .
→
QB. = .
→
QC.
→
QA ≠ 
→
QB ≠ 
→
QC
�
→
V �
→
Q→
F = m →a = m –––– = ––––
�t �t
unidade [ Q ] = kg . m/s
[ Q ] = MLT–1
[ I ] = [ Q ]
N . s = kg . m/s
Q2
EC = ––––2m
ECB mAQA = QB ⇔ ––––– = ––––ECA mB
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d) Errada: A energia cinética é constante e a quantidade de movi -
mento é variável.
e) Correta.
2. Uma partícula se move em um plano de modo que suas coorde -
nadas cartesianas de posição variam com o tempo segundo as
funções ho rárias:
x = 1,5 t2 e y = 2,0 t2 em unidades do SI.
Sendo a massa da partícula de 2,0kg, pedem-se:
a) a trajetória da partícula;
b) a intensidade da quantidade de movimento da partícula em
função do tempo.
Resolução
a) Para obter a “equação da trajetória” y = f(x), devemos eli mi nar
a variável tempo nas relações x = f(t) e y = f(t).
x = 1,5 t2 (1) y = 2,0 t2 (2)
(2) y 2,0
Fazendo-se ––––, vem: –– = –––– ⇒
(1) x 1,5
Como a função y = f(x) é do 1.o grau, concluímos que a traje tó -
ria é retilínea.
b) Para obter a velocidade 
→
V, em um instante t, devemos cal cular
os componentes 
→
Vx e 
→
Vy segundo os eixos carte sia nos Ox e
Oy.
dx
x = 1,5 t2 ⇒ Vx = –––– = 3,0 t (SI)dt
dy
y = 2,0 t2 ⇒ Vy = –––– = 4,0 t (SI)dt
Aplicando-se o Teorema de Pitá go -
ras:
V2 = V
x
2 + V
y
2
V2 = (3,0 t)2 + (4,0 t)2
V2 = 9,0 t2 + 16 t2 = 25 t2
(SI)
A quantidade de movimento, em um instante t, terá módulo Q
dado por:
Q = m V
Q = 2,0 . 5,0t ⇒ (SI)
Respostas: a) retilínea
b) Q = 10,0t (SI)
3. Um móvel choca-se contra uma parede com velocidade em mó -
dulo igual a 2,0 m/s, e retorna com velocidade em módulo igual a
1,0 m/s. Sendo de 3,0 kg a massa do móvel, qual o módulo da
variação do “momentum” (quantidade de movimento linear) do
móvel, como resultado dessa colisão?
Resolução
Orientando-se a trajetória no sentido de afastamento da parede:
A variação de quantidade de movimento terá valor algébrico (�Q)
dado por:
�Q = Qf – Qi = mVf – mV0 = m(Vf – V0)
Fazendo-se a substituição numérica, vem:
�Q = 3,0 [1,0 – (–2,0)] kg . m/s
Logo: 
Resposta: 9,0 kg . m/s
4. Uma bola de futebol cai verticalmente, é cabe ceada por um joga -
dor e, imediatamente após o choque, tem velo cidade horizontal.
A bola tem massa m e antes e após o choque a velocidade escalar
é a mesma, V.
Qual o módulo da varia ção de quantidade de movimen to da bola
no choque?
Resolução
A quantidade de movimento sofreu variação em sua direção:
A variação �
→
Q, representada na figu -
ra, tem módulo dado pelo Teo rema
de Pitágoras.
|�
→
Q|2 = |
→
Qi|
2 + |
→
Qf|
2 = (mV)2 + (mV)2 = 2(mV)2
Logo: 
Resposta = ��2 m V
5. (ESCOLA NAVAL-RJ) – Um carrinho de massa igual a 4,0kg mo -
ve-se em uma trajetória retilínea. O módulo da sua quantidade de
movimento linear, ou momento linear, varia com o tempo de
acordo com o gráfico a seguir:
Qual o trabalho realizado pela força resultante sobre o carrinho,
en tre os instantes t1 = 4,0s e t2 = 8,0s?
y = 1,3x
V = 5,0t
Q = 10,0t
�Q = 9,0 kg . m/s
|�
→
Q | = ��2 m V
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8. (UFF-RJ) – Pular corda é uma atividade que complementa o con -
di cio namento físico de muitos atletas.Suponha que um boxeador
exerça no chão uma força média de intensidade 1,0 . 104 N, ao se
erguer pulando corda. Em cada pulo, ele fica em contato com o
chão por 2,0 . 10–2 s.
Na situação dada, o impulso que o chão exerce sobre o boxeador,
a cada pulo, tem módulo igual a:
a) 4,0 N.s b) 1,0 . 10 N.s c) 2,0 . 102 N.s
d) 4,0 . 103 N.s e) 5,0 . 105 N.s
9. (UFAM) – Um menino faz girar uma pedra presa a uma haste
rígida e de massa desprezível de ma neira que ela descreva um
movimento circular uniforme num plano vertical, num local onde
a ace leração da gravidade é constante. Sobre este movi mento,
considere as seguintes grandezas relacio na das com a pedra:
I) Quantidade de movimento.
II) Energia potencial gravitacional.
III) Energia cinética.
IV) Peso.
Entre estas grandezas, as que variam, enquanto a pe dra realiza
seu movimento, são:
a) Apenas I e IV. b) Apenas I e II c) Apenas II e III
d) Apenas III e IV e) Apenas I e III
10. (VUNESP) – No laboratório de testes de certa montadora de
automóveis, há uma pista retilínea e horizontal com um trecho
bastante liso. No início dessa pista, uma mola elástica de
constante k encontra-se comprimida de uma deformação x por
um carro de massa m, em repouso. O sistema é liberado e o
carro, após se soltar da mola, adquire uma energia cinética e uma
quantidade de movimento que podem ser expressas,
respectivamente, por
a) k x2/2 e k x m b) k x2/2 e x �����k m
c) k x2/2 e k �����x m d) k x2 e x �����k m
e) k x2 e k m ����x
11. (VUNESP) – Em um local em que a acelera ção da gravidade é
constante e tem módulo g, um carro de massa m parte do
repouso do ponto superior de uma rampa retilínea lisa, inclinada
5
Resolução
O trabalho � da força resultante 
→
F é calculado pelo teorema da
ener gia cinética:
Por outro lado, a energia cinética é dada, em função do módulo Q
da quantidade de movimento, pela relação:
Q
2
2 Q
1
2 1
Portanto: �F = –––– – –––– = –––– [ Q2
2 – Q
1
2 ]
2m 2m 2m
Do gráfico dado: t1 = 4,0s ⇒ Q1 = 20 kg . m/s
t2 = 8,0s ⇒ Q2 = 40 kg . m/s
1
Logo: �F = –––– [ (40)
2 – (20)2 ] (SI)
8,0
Resposta: 1,5 . 102 J
6. (UFF-RJ-MODELO ENEM) – Para construir barracos em uma re -
gião onde predominam matacões (pedras gigan tes), os invasores
do Jardim Paraná, loteamento clan destino na Serra da Cantareira,
pagam a pedreiros para explodirem as pedras com dinamite.
Algumas dessas pedras ficam instáveis. Suponha que uma pe dra
de 10 toneladas, inicialmente em repouso, deslize, sem rolar, de
uma altura de 72 metros e que, nesse processo, aproxima -
damente 90% da variação de sua energia potencial gravitacional
seja dissipada por atrito. www.conservation.org
 
Considerando-se a aceleração da gravidade com mó dulo igual a
10m/s2, a quantidade de movimento fi nal da pedra tem módulo,
em kg m/s, aproximada mente, igual a
a) 1,4 . 102 b) 1,2 . 105 c) 7,2 . 105
d) 3,6 . 106 e) 6,5 . 106
Resolução
1) Efinal = 0,1 Einicial
= 0,1 m g H
V2 = 0,2 g H = 0,2 . 10 . 72
V2 = 144 ⇒
2) Q = mV
Q = 10 . 103 . 12 (SI)
Resposta: B
7. (UEPA-MODELO ENEM) – Coletes à prova de bala dissipam parte
da energia cinética de uma bala e transmitem o restante para o
corpo da pessoa, porém exercendo força em uma área grande de
seu corpo, ao invés de concentrá-la apenas na área da seção
transversal da bala. Considere a situação em que uma pessoa,
usando o colete, recebe um tiro e a bala se fixa no colete. Analise
as alternativas abaixo:
I. A energia cinética dissipada pelo colete é convertida em
energia potencial, pois ela não pode deixar de ser uma forma
de energia mecânica pela lei da conservação de energia. 
II. A pessoa, usando o colete, receberá uma quantidade de
movimento igual à que receberia se não estivesse de colete e
a bala se alojasse em seu corpo. 
III. A eficiência da arma de fogo se deve ao fato de que a energia
adquirida pela bala é bem maior do que aquela gerada pela
queima da pólvora. 
IV. Se o colete rebatesse a bala de volta na direção em que veio,
a quantidade de movimento recebida pela pessoa seria maior
do que quando a bala se fixa ao colete. 
Estão corretas apenas: 
a) I e II b) II e III c) III e IV 
d) II e IV e) I, III e IV 
Resolução
I. FALSA. A energia cinética dissipada pelo colete é transfor ma -
da em energia térmica.
II. VERDADEIRA. A quantidade de movimento da bala é inte -
gralmente transferida para a pessoa, pois, com colete ou sem
colete, a bala para.
III. FALSA. Energia não pode ser criada, mas apenas transfor -
mada.
IV. VERDADEIRA. Quando a bala ricocheteia, a variaçãode sua
quanti dade de movimento é maior do que quando ela para.
Resposta: D
Q2
EC = ––––2m
�F = 1,5 . 10
2 J
m V2
–––––
2
V = 12m/s
Q = 1,2 . 105 kg . m/s
�F = �Ecin = Ecin2
– Ecin1
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de um ângulo � com a horizontal. O ponto em questão localiza-se
a uma altura h em relação à base da rampa. O carro está com o
motor desacoplado e despreza-se o efeito do ar. Não considere as
dimensões do carro. Ao passar pela base da rampa, o carro terá
uma quantidade de movimento, cujo módulo será dado por
a) m g h b) m g h sen �
c) m ������� 2 g h d) m �������������� 2 g h sen �
e) m ������������ 2 g h tg �
12. Considere um sistema físico formado por duas par tículas, A e B,
que se movem livremente em um plano horizontal sem atrito.
A partícula A tem massa 2M, quantidade de movi mento
→
Q e
energia cinética E.
A partícula B tem massa M e quantidade de movimento –
→
Q.
a) Qual a quantidade de movimento do sistema for mado por A e
B?
b) Qual a energia cinética do sistema formado por A e B?
13. (UFRJ) – Uma bo la de tênis de massa m colide con tra uma
parede fixa, conforme é mos trado na figura abaixo. A velo cidade
da bola ime diata mente an tes do cho que é perpendi cu lar à parede
e seu módulo vale V0. Imedia ta mente após o choque, a velo ci -
dade continua per pen dicular à parede e seu mó dulo passa a valer
(2/3)V0.
Calcule em função de m e V0:
a) o módulo da variação do momento linear da bola;
b) a variação da energia cinética da bola.
14. (UFPE) – Uma partícula, de massa M e velocidade de módulo v,
colide com a parede de um recipiente (ver figura). Após a reflexão,
a partícula mantém o mesmo módulo de sua velocidade e o
mesmo ângulo � com a direção normal à parede. Desprezando-se
todas as forças, com exceção da força entre a partícula e a
parede, pode-se afirmar que, devido à colisão, a variação da
quantidade de movimento da partícula tem módulo igual a:
a) zero b) Mv sen � c) Mv cos �
d) 2Mv sen � e) 2Mv cos �
15. (FUNDAÇÃO CESGRANRIO) – Em uma partida de futebol, a bola
é lançada na grande área e desviada por um jogador da defesa.
Nesse desvio, a bola passa a se mover per pen dicu lar men te à
direção da velo cidade com que a bola atingiu o jogador. Sa be-se
que as quan tidades de movimento ime dia ta mente an tes e ime -
 diatamente depois do desvio têm o mesmo mó du lo p.
a) Qual o módulo do vetor variação da quantidade de movi men to
da bola, durante o re fe rido desvio?
b) Sendo E a energia cinética da bola imediatamente an tes do
desvio, qual a variação da energia ci né ti ca da bola, ao ser des -
 viada?
16. (UELON-PR) – Um veículo de massa 500kg, percorrendo uma
estrada horizontal, entra numa curva com velocidade escalar de
50,4km/h e sai numa direção que forma ângulo de 60° com a
direção inicial e com a mesma velocidade escalar de 50,4km/h.
Em unidades do Sistema Internacional, a variação da quantidade
de movimento do veículo ao fazer a curva, em módulo, foi de
a) 7,0 . 104 b) 5,0 . 104 c) 3,0 . 104
d) 7,0 . 103 e) 3,0 . 103
17. (UNAMA) – O gráfico a seguir representa a variação do módulo
do momento linear de uma partícula, de 2,0kg de massa, em fun -
ção do tempo, em unidades do Sistema Internacional. O trabalho
rea lizado pela força resultante na partícula, nos 20 se gun dos de
movimento, é igual a:
a) 1,0 . 102J b) 2,0 . 102J c) 3,0 . 102J
d) 4,0 . 102J e) 5,0 . 102J
18. (MODELO ENEM) – As leis de Newton têm validade nos siste -
mas de refe rência denominados inerciais.
Quando um referencial A é considerado inercial, qual quer outro
referencial B, com velocidade vetorial constante em relação a A,
também é inercial.
Existem grandezas físicas que têm o mesmo valor quando
medidas por quaisquer observadores iner ciais. Tais grandezas são
chamadas de invariantes.
Na Mecânica Newtoniana são invariantes, por exem plo, a massa,
a aceleração e o tempo.
Outras grandezas físicas como, por exemplo, o des locamento e
a velocidade, têm valores diferentes quando medidas por
observadores inerciais distintos e, portanto, não são invariantes.
Com base no texto acima, verifique qual das opções a se guir con -
tém apenas grandezas invariantes.
a) Força e trabalho.
b) Força e quantidade de movimento.
c) Potência e energia ci nética.
d) Força e impulso.
e) Força e energia ci nética.
19. (UFTM-MG-MODELO ENEM) – Professores de Física costumam
“pegar no pé” de seus alunos quanto à necessidade da presença
das unidades físi cas em resultados numéricos. De fato, a unidade
pode identificar diretamente a grandeza física à qual determinado
valor está rela cionado. Há casos, no entanto, em que a mesma
unidade pode repre sentar grandezas físicas conceitualmente
distintas. Das unidades apre sentadas, aquela que sugere dupla
interpretação quanto ao entendimento da grandeza física
associada é
a) m/s, para velocidade angular e velocidade linear.
b) N/m2, para pressão e torque.
6
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7. Teorema do impulso (TI)
Demonstremos o teorema do impulso para o caso
par ticular de uma partícula em trajetória retilínea sob a
ação de uma força resultante 
→
F constante.
Sejam:
→
V1 = velocidade da partícula no instante t1
→
V2 = velocidade da partícula no instante t2
�t = t2 – t1 = intervalo de tempo em que a
força 
→
F atuou sobre a partícula.
De acordo com a 2.a Lei de Newton (PFD) aplicada à
partícula, para o intervalo de tempo �t, temos:
(
→
V2 – 
→
V1)→
F = m →a = m ––––––––
�t
Da qual: 
→
F �t = m
→
V2 – mV1
Ainda:
“O impulso total sobre uma partícula, corpo ex ten -
so ou sistema de partículas, para um dado inter -
valo de tempo, é igual à variação da quantidade de
movimento da partícula, corpo extenso ou sistema
de partículas, naquele intervalo de tempo.”
→
Itotal = �
→
Q
→
I = 
→
Q2 – 
→
Q1 = �
→
Q
7
c) J/K, para capacidade térmica e calor latente específico.
d) kg.m/s, para quantidade de movimento e impulso.
e) W, para potência e vetor indução magnética.
20. (UEM-PR-MODELO ENEM) – Se uma das rodas de um automó -
vel parado permanecesse apoiada sobre o pé de uma pessoa,
muito provavelmente o pé seria esmagado; entretanto, se o
mesmo automóvel passasse em alta velocidade sobre o pé da
pessoa, provavelmente não causaria dano.
Analisando essa afirmação, assinale a alternativa correta.
a) Em alta velocidade, provavelmente não causaria dano, pois o
carro tornar-se-ia mais leve.
b) Em alta velocidade, provavelmente não causaria dano, pois o
impulso exercido sobre o pé com o carro em movimento seria
muito menor do que com o carro parado.
c) Causaria dano ao pé com o carro parado, pois a variação da
quantidade de movimento seria muito maior do que com o
carro em movimento.
d) A afirmação está incorreta, pois sempre causaria danos e de
mesma proporção, pois a intensidade da força exercida pelo
carro nas duas situações é a mesma.
e) Causaria maior dano com o carro parado devido ao fato de o
atrito estático ser maior que o atrito cinético.
21. (PUCC-MODELO ENEM) – O macaco-prego ocorre em ambien -
tes tão variados quanto a Amazônia, o Cerrado, a Caatinga e a
Mata Atlântica. Esse animal usa pedras como martelo e troncos
de árvores como bigornas, numa referência à base sobre a qual se
malham metais.
(Adaptado de Pesquisas Fapesp. Maio 2007. n. 135, p. 48)
Um macaco usa uma pedra de 800g para quebrar um coquinho
apoiado numa rocha. Ao se chocar contra o alvo, a velocidade da
pedra tem módulo de 4,0m/s. Com unidades do Sistema
Internacional, no instante do choque a energia cinética e a
quantidade de movimento da pedra têm módulos,
respectivamente.
a) 6,4 e 6,4 b) 6,4 e 3,2 c) 3,2 e 3,2
d) 3,2 e 1,6 e) 1,6 e 1,6
22. (UFCG-MODELO ENEM) – A prima Biela experimentava lenta -
mente uma mudança de comportamento e passou a frequentar a
cozinha.
“Se abanque, sá Biela, disse Jovina depois de algum tempo.
Biela não se abancou, foi para junto do pilão, retirou a tábua que
cobria a gral. Pegou a mão do pilão, alisou-a carinhosamente com
as pontas dos dedos. Lisinha, de bom peso.No fundo do pilão um
punhado de milho quebrado. Deixou a mão do pilão cair pela
primeira vez. Depois outra, mais outra. Devagar ela ganhava um
mo vi mento seu muito antigo, o galeio: pilava ritmadamente a
canjica.”
DOURADO, Autran. Uma vida em segredo. 8.a ed. 
São Paulo: DIFEL, 1979, p.115.
Biela tinha uma predileção por ver gente trabalhar. Agora, ao se
exercitar essa predileção observando-a trabalhar, pode-se afirmar
que
a) a aprovação, por Biela, do peso da mão do pilão (“de bom
peso”) é insignificante, pois nem seu peso nem sua massa
têm qualquer relação com as forças impulsivas que deformam
o milho.
b) ignorando-se pequenas perdas, a quantidade de energia trans -
ferida aos grãos de milho é igual ao trabalho realizado por Biela
para erguer a mão do pilão até a altura de sua queda e para
conduzi-la até a gral.
c) a quantidade de energia transferida aos grãos de milho após
uma queda da mão do pilão é muito menor do que sua energia
potencial gravitacional ao ser abandonada por Biela.
d) a velocidade com que a mão do pilão atinge os grãos de milho
não depende da altura com que Biela a eleva.
e) supondo-se que Biela deixe a mão do pilão cair livremente de
uma altura (h), ela atingirá o milho com uma quantidade de
movimento de módulo (2mgh), em que (m) é a sua massa e (g)
é o módulo da aceleração da gravidade local.
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Notas
1) No caso de trajetória curva, 
→
Q2 e 
→
Q1 podem ter di -
reções diferentes; nesse caso, para aplicarmos o teorema
do impulso, e calcularmos o módulo do impulso, deve -
mos fazer conforme indicado a seguir.
Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo da figu -
ra, temos:
Para o caso particular de � = 90°, recaímos na aplica -
ção do Teorema de Pitágoras:
2) No caso de trajetória retilínea, 
→
Q2 e 
→
Q1 terão a
mes ma direção: nesse caso, na aplicação do teorema do
im pulso, basta fazer a diferença “escalar”:
Note, contudo, que como 
→
V2 e 
→
V1 podem ter sentidos
opostos, os valores de V2 e V1 devem ser relativos, isto
é, as velocidades escalares com os respectivos sinais.
3) Considere uma partícula descrevendo uma trajetó -
ria retilínea, com movimento acelerado, entre duas po -
sições, A e B.
A distância entre A e B vale d, o tempo gasto é �t e
a força resultante é constante e de intensidade F.
Verifique a semelhança entre o teorema da energia
cinética (TEC) e o teorema do impulso (TI) aplicados
para o movimento da partícula entre as posições A e B.
Usamos o TEC quando pretendemos relacionar força
com distância.
Usamos o TI quando pretendemos relacionar força
com tempo.
8. Propriedade gráfica
Consideremos uma partícula sob a ação de uma força→
F de direção constante.
O valor algébrico do impulso de 
→
F pode ser medido
pela área sob o gráfico que traduz a variação do va lor
algébrico da força 
→
F com o tempo.
[ I ]
0
t1 N= A1 ; [ I ]t1
t2 N= – A2
Observações
a) Observe que, quando F > 0, resulta I > 0 (área aci -
ma do eixo dos tempos) e, quando F < 0, resulta I < 0
(área abaixo do eixo dos tempos).
b) O impulso total é dado pela soma algébrica dos
im pulsos parciais.
c) A demonstração da propriedade gráfica é trivial
pa ra o caso de força constante:
.
→
I .2 = .
→
Q1 .
2 + .
→
Q2 .
2 – 2 .
→
Q1 . .
→
Q2 . cos �
.
→
I .2 = .
→
Q1 .
2 + .
→
Q2 .
2
I = Q2 – Q1 = m (V2 – V1)
TEC: �F = F . d = �Ecin
TI: IF = F . �t = �Q
[ I ]
0
t2 = A1 – A2
No diagrama do “valor algébrico da força apli ca -
da em função do tempo de aplicação”, a área sob
o diagrama representa o valor algébrico do im pul -
so entre os instantes considerados.
A 
N
= F1 (t2 – t1) = F1 �t = I1
8
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 8
23. (AFA) – Um avião está voando em linha reta com velocidade cons -
 tante de módulo 7,2 . 102km/h quando colide com uma ave de
massa 3,0kg que estava parada no ar.
A ave atingiu o vidro dianteiro (inquebrável) da cabina e ficou gru -
dada no vidro.
Se a colisão durou um intervalo de tempo de 1,0 . 10–3s, a força
que o vidro trocou com o pássaro, suposta constante, teve inten -
sidade de:
a) 6,0 . 105N b) 1,2 . 106N c) 2,2 . 106N
d) 4,3 . 106N e) 6,0 . 106N
Resolução
Para relacionar força com tempo, usamos o teorema do im pul so
aplicado em relação à ave:
→
Iave = �
→
Qave
→
F . �t = m
→
Vf – m
→
V0
Como a ave estava inicialmente parada, temos V0 = 0 e como o
pás saro ficou pregado no avião, temos:
Vf = 7,2 . 10
2km/h = 2,0 . 102m/s
Portanto: F . 1,0 . 10–3 = 3,0 . 2,0 . 102
Resposta: A
24. (ITA) – Uma metralhadora dispara 200 balas por minuto. Cada bala
tem massa de 28g e uma velocidade escalar de 60m/s. Neste
caso a metralhadora ficará sujeita a uma força média, resultante
dos tiros, de intensidade
a) 0,14N. b) 5,6N. c) 55N. d) 336N.
e) diferente dos valores citados.
Resolução
Aplicando-se o teorema do impulso para n balas disparadas em
um intervalo de tempo �t, temos:
→
Ibalas = �
→
Qbalas
→
Fm . �t = n m (
→
Vf – 
→
V0)
Como as balas partem do repouso (V0 = 0), temos:
Fm �t = n mVf
Fm . 60 = 200 . 28 . 10
–3 . 60
Resposta: B
25. Uma bola de futebol cai verticalmente, é cabeceada por um joga -
dor e, imediatamente após o choque, tem velocidade hori zontal.
A bola tem massa m = 0,50kg e antes e após o choque a velo ci -
 dade escalar é a mesma, V = 36km/h.
A colisão entre a bola e o jogador tem duração T = 3,5 . 10–2s.
Despreze o peso da bola durante a interação entre o jogador e a
bola.
A força média que o jogador aplicou sobre a bola tem intensidade
aproximadamente igual a:
a) 1,0 . 102N b) 2,0 . 102N c) 3,0 . 102N
d) 4,0 . 102N e) 5,0 . 102N
Resolução
Imediatamente antes da cabeçada, a bola tem uma quantidade de 
movimento 
→
Q1 com módulo mV.
Imediatamente após a cabeçada, a bola tem uma quantidade de 
movimento 
→
Q2 com o mesmo módulo de 
→
Q1 e numa direção
perpendicular à de Q1.
| �
→
Q |2 = | 
→
Q1 |
2 + | 
→
Q2 |
2
| �
→
Q |2 = (mV)2 + (mV)2 = 2(mV)2
| �
→
Q | = ��2 m V
| �
→
Q | = ��2 . 0,50 . 10 (SI)
Aplicando-se o teorema do impulso:
| 
→
Fm | �t = | �
→
Q |
| 
→
Fm | . 3,5 . 10
–2 = 7,0 ⇒
Resposta: B
F = 6,0 . 105N
Fm = 5,6N 
| �
→
Q | = 5,0 ��2 (SI) � 7,0 (SI)
→
Ibola = �
→
Qbola
| 
→
Fm | = 2,0 . 10
2N
9
d) A propriedade gráfica citada vale somente quan do
a força 
→
F tiver direção constante (o módulo e o sen ti do
podem ser variáveis); um caso simples em que a força
tem direção constante é o da força resultante em uma
partícula em trajetória retilínea: a direção da força é a
própria direção da reta trajetória.
e) Conceitua-se força média, em relação ao tempo,
como sendo uma força constante capaz de proporcionar
ao corpo o mesmo impulso que a força variável aplicada.
A força média, num dado intervalo de tempo, corresponde a uma força
constante que dá ao corpo o mesmo impulso que a força real. A área
retangular Fm �t é igual à área subentendida pela curva F = f (t).
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26. Um objeto de massa 2,0kg repousa sobre uma superfície horizon -
tal.
No instante t0 = 0, aplica-se sobre o objeto uma força horizontal 
→
F, de direção constante, cuja intensidade inicial é de 10,0N e que
decresce linearmente com o tempo até atingir, após 5,0s, a
intensidade de 2,0N, que é justamente o valor necessário para
man ter, a partir daquele instante, o bloco em movimento retilíneo
e uniforme.
Adote g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar.
a) Construa o gráfico da intensidade de 
→
F em função do tempo.
b) Calcule o módulo do impulso de 
→
F, no intervalo de 0 a 5,0s.
c) Calcule o módulo do impulso da força de atrito, no intervalo de
0 a 5,0s.
d) Calcule o módulo da velocidade do objeto no instante 
t1 = 5,0s.
e) Calcule o trabalho da força resultante no objeto entre os
instantes 0 e 5,0s.
Resolução
a)
b)
(10,0 + 2,0)
IF = –––––––––––– . 5,0(N.s) ⇒2
c)
| 
→
Iat | = 2,0 . 5,0 (N.s) ⇒
d)
IF – | 
→
Iat | = mVf – mV0
30,0 – 10,0 = 2,0Vf ⇒
e)
mV
f
2 mV
0
2
�R = –––– – ––––2 2
2,0
�R = ––––(10,0)
2 (J) ⇒
2
Respostas: a) ver gráfico b) 30,0 N.s
c) 10,0 N.s d) 10,0m/s
e) 100J
27. (MODELO ENEM) – Para realizar testes que mostrem a vanta -
gem do uso do cinto de segurança, dois carros idênticos, A e B,
vão co lidir contra uma parede vertical rígida com velo cidades de
módulo V0 = 20m/s,
No carro A, utiliza-se um boneco com massa de 80kg e usando cinto
de segurança, que o faz parar em 2,0 . 10–1s.
No carro B, utiliza-se um boneco com massa de 80kg que não
está usando cinto de segurança e vai parar em um intervalo de
tempo de 2,0 . 10–3s ao colidir contra o volante.
Seja FA a intensidade da força média que fez o boneco A parar.
Seja FB a intensidade da força média que fez o boneco B parar.
Considere as proposições a seguir:
I. O módulo da variação da quantidade de movi mento dos dois
bo necos foi o mesmo, durante a freada, e vale 1,6 . 103kg . m/s.
II. O módulo do impulso recebido pelos dois bonecos foi o mes -
mo, durante a freada, e vale 1,6 . 103N.s.
III. FA = FB = 8,0 . 10
3N
IV. FA = 100FB = 8,0 . 10
5N
V. FB = 100FA = 8,0 . 10
5N
Estão corretas apenas:
a) I, II e V b) I, II e IV c) I e III
d) II e IV e) I e V
Resolução
1) Os dois bonecos têm a mesma variação de quantidade de
movimento: – m
→
V0, cujo módulo vale 
Q0 = 80 . 20 (SI) = 1,6 . 10
3kg . m/s
2) Os dois bonecos receberam o mesmo impulso:
→
I = �
→
Q = – m
→
V0, cujo módulo vale 1,6 . 10
3N.s
3) �
→
IA� = �
→
IB�
FA�tA = FB�tB
FA . 2,0 . 10
–1 = FB . 2,0 . 10
–3
FA = ⇒
�
→
IB � = FB �tB
1,6 . 103 = FB . 2,0 . 10
–3 ⇒
Resposta: A
28. (PUC-PR-MODELO ENEM) – Alguns automóveis têm o painel
frontal equipado com um dispositivo chamado air-bag, que
consiste, basicamente, num saco de plástico resistente que se
infla de modo au to mático e muito rapidamente, quando o
automóvel sofre uma de sa ce leração muito grande, como a que
ocorre no caso de uma colisão. Isso evita que o tronco do
motorista seja lançado diretamente contra o painel do auto móvel.
As proposições abaixo se referem ao efeito do air-bag sobre o
tronco do motorista, na eventualidade de uma colisão. 
Analise as proposições e indique a alternativa que contém todas
e apenas as proposições corretas: 
I. O air-bag reduz o impulso do painel sobre o tronco do
motorista, pois reduz a força do painel sobre ele. 
II. O impulso do painel sobre o tronco do motorista será o
mesmo, independentemente da presença ou não do air-bag. 
III. O air-bag reduz a quantidade de movimento transferida pelo
tron co do motorista ao painel. 
IV. O air-bag reduz a intensidade da força média do painel sobre o
tronco do motorista, pois reduz a desaceleração deste ao
aumentar o tempo durante o qual o tronco é desacelerado. 
V. O air-bag reduz a rapidez com que a quantidade de movimento
do tronco do motorista varia e, consequentemente, reduz a
intensi dade da força média do painel sobre ele. 
a) II, IV e V. b) I, III, IV e V. c) I, II e III. 
d) II, III e IV. e) III, IV e V. 
Resolução
I) FALSA. O impulso 
→
I é dado por:
TI: 
→
I = �
→
Q = m �
→
V = m (
→
0 –
→
V0) = – m 
→
V0
O impulso será o mesmo com ou sem cinto de segurança ou
air-bag.
II) VERDADEIRA.
III) FALSA. A função do air-bag é aumentar o tempo em que o
motorista é levado ao repouso e com isto reduzir a intensidade
da força média de impacto.
IV) VERDADEIRA.
V) VERDADEIRA.
→
I = 
→
Fm �t = �
→
Q ⇒
→
Fm = 
A rapidez com que a quantidade de movimento varia é a força
média.
Resposta: A
IF = área (Fxt)
IF = 30,0N.s
| 
→
Iat | = Fat . �t
| Iat | = 10,0N.s
TI: IR = �Q
Vf = 10,0m/s
TEC: �R = �Ecin
�R = 100J
FB––––
100 FB = 100FA
FB = 8,0 . 10
5N
�
→
Q
–––––
�t
10
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29. (UNESP) – Uma garota e um rapaz, de massas 50kg e 75kg,
respectivamente, encontram-se parados em pé sobre patins, um
em frente do outro, num assoalho plano e horizontal. Subita -
mente, a garota empurra o rapaz, aplicando sobre ele uma força
horizontal média de intensidade 60N durante 0,50s.
a) Qual é o módulo do impulso da força aplicada pela garota?
b) Desprezando-se quaisquer forças externas, quais são os
módulos das velocidades da garota (vg) e do rapaz (vr) de pois
da interação?
30. Um automóvel desloca-se em uma estrada reta e ho rizontal com
velocidade de módulo V0.
O motorista aciona os freios que travam as quatro rodas e o carro
derrapa, em trajetória retilínea, per correndo uma distância D, em
um intervalo de tempo T, até parar. Despreze o efeito do ar de
modo que a força de atrito seja a força resultante que freou o car -
ro. O coeficiente de atrito dinâmico entre os pneus e o chão vale
�.
A aceleração da gravidade tem módulo g. Determine
a) o valor de D em função de V0, � e g;
b) o valor de T em função de V0, � e g;
c) o que ocorre com os valores de D e T se V0 duplicar.
31. (UFLA-MG) – Em uma partida de tênis, a bola atin ge a raquete
com uma velocidade cuja componente ho rizontal tem módulo V e
a rebate aplicando-lhe uma força horizontal cuja intensidade média
corres ponde a 60 vezes a intensidade do peso da bola e que atua
durante um intervalo de tempo de 0,2s. Imedia ta mente após a
colisão com a raquete, a bola tem uma velocidade com
componente horizontal de mó dulo 3V e sentido oposto ao de
antes da colisão.
Adotando-se g = 10m/s2, o valor de V é
a) 8,0m/s b) 30m/s c) 36m/s
d) 60m/s e) 100m/s
32. (FUVEST-SP) – Postado na barreira, durante uma Co pa Mundial,
um jogador alemão é atingido na ca be ça pela bola chutada, pelo
jogador brasileiro, a uma ve locidade escalar estimada em
108km/h. A massa de uma bola de futebol é de, aproximada -
mente, 500 gra mas.
a) Qual o valor da energia cinética da bola ao atingir a cabeça do
alemão?
b) Estimado o tempo de contato da bola com a ca be ça do alemão
em 1,0 . 10–2s, qual seria a in ten sidade média da força de
impacto, se a bola re tor nasse na mesma direção, com
velocidade de mesmo módulo?
33. (UNICAMP) – As histórias de super-heróis estão sem pre repletas
de feitos incríveis. Um desses feitos é o salvamento, no último
segundo, da mocinha que cai de uma grande altura. Considere a
situação em que a de safortunada caia, a partir do repouso, de uma
altura de 81,0m e que nosso super-herói a intercepte a 1,0m an -
tes de ela chegar ao solo, demorando 0,05s para de tê-la, isto é,
pa ra anular sua velocidade vertical. Con sidere que a massa da mo -
ci nha é de 50kg, des pre ze a resistência do ar e adote g = 10m/s2.
a) Calcule a intensidade da força média aplicada pelo super-herói
sobre a mocinha para detê-la.
b) Uma aceleração de módulo 8 vezes maior que o mó dulo da
aceleração da gravidade (8g) é letal pa ra um ser humano.
Determine quantas vezes o mó du lo da aceleração à qual a
mocinha foi submetida é maior que o módulo da aceleração
letal.
34. Um corpo parte do repouso, em queda livre, de uma altura H
acima do solo (efeito do ar desprezível e aceleração da gravidade
constante).
No evento 1 a altura H foi dividida em três trechos: AB, BC e CD,
de mesma extensão d.
No evento 2 a altura H foi dividida em três trechos: AE, EF e FG,
de modo a serem percorridos cada um no mesmo intervalo de
tempo T.
Indiquemos por �E a variação de energia cinética e por �Q o
módulo da variação da quantidade de movimento do corpo em
questão em cada um dos trechos mencionados.
Assinale a opção que relaciona corretamente os valores de �E e
�Q nos diferentes trechos e em cada evento.
a) Evento 1: (�E)AB < (�E)BC < (�E)CD
Evento 2: (�Q)AE < (�Q)EF < (�Q)FG
b) Evento 1: (�E)AB = (�E)BC = (�E)CD
Evento 2: (�Q)AE = (�Q)EF = (�Q)FG
c) Evento 1: (�E)AB > (�E)BC > (�E)CD
Evento 2: (�Q)AE > (�Q)EF > (�Q)FG
d) Evento 1: (�E)AB = (�E)BC = (�E)CD
Evento 2: (�Q)AE < (�Q)EF < (�Q)FG
e) Evento 1: (�E)AB > (�E)BC > (�E)CD
Evento 2: (�Q)AE = (�Q)EF = (�Q)FG
35. (UFBA) – A modificação rápida do movimento do corpo é a
característica principal da maioria dos esportes e dos brinquedos
nos parques de diversão. Essa modifi cação do movimento é
responsável pela sensação de prazer causada por esses “jogos do
corpo”, a qualos bioquímicos associam à produção de adrenalina.
Em um parque de diversões, uma jovem de 40kg brinca em uma
cama elástica, representada na figura. Ela pula, a partir do
repouso, de uma altura h = 1,8m e, durante 0,5 segundo, a cama
freia o movimento da jovem até pará-la, empurrando-a,
posteriormente, para cima.
11
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Sabendo-se que, ao atingir a cama, a velocidade da jo vem é
vertical, calcule a intensidade da força elástica mé dia que a cama
exerce sobre ela até pará-la. Con sidere o módulo da aceleração da
gravi dade como sendo 10m/s2.
36. (UFSC) – O air-bag, equipamento utilizado em veí cu los para au -
men tar a segurança dos seus ocu pantes em uma colisão, é cons ti -
tuí do por um saco de material plás tico que se infla rapidamente quan -
do ocor re uma desa ce leração violenta do veículo, inter pondo-se
entre o moto ris ta, ou o passageiro, e a es tru tura do veículo. Consi -
de re mos, por exemplo, as co lisões frontais de dois veícu los iguais,
a uma mes ma velocidade, contra um mesmo obs tá culo rígido, um
com air-bag e outro sem air-bag, e com mo to ristas de mesma
massa. Os dois motoristas so fre rão, du rante a colisão, a mesma
variação de velocidade e a mes ma variação da quantidade de mo -
vimento. En tretanto, a colisão do motorista contra o air-bag tem
uma duração maior do que a colisão do motorista dire tamente
contra a estrutura do veículo. De forma sim ples, o air-bag aumen -
ta o tempo de colisão do mo torista do veículo, isto é, o in ter valo de
tempo trans corrido desde o instante imedia ta mente antes da
colisão até a sua completa imobilização. Em conse quên cia, a força
média exercida sobre o motoris ta no veículo com air-bag é muito
menor, durante a coli são. 
Considerando-se o texto acima, analise as proposições a seguir,
classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).
1. A colisão do motorista contra o air-bag tem uma du ração maior
do que a colisão do mo torista diretamente contra a estrutura do
veí culo.
2. A variação da quantidade de movimento do mo torista é igual à
variação da quantidade de movi mento do veículo.
3. O impulso exercido pela estrutura do veículo so bre o moto -
ris ta é igual à variação da quanti dade de movi mento do mo -
torista.
4. A variação da quantidade de movimento do mo torista do
veículo é a mesma, em uma colisão, com ou sem a proteção do
air-bag.
5. O impulso exercido sobre o motorista é o mes mo, em uma
colisão, com air-bag ou sem air-bag.
6. A grande vantagem do air-bag é aumentar o tempo de colisão
e, assim, diminuir a intensidade da força média atuante sobre o
motorista.
7. Tanto a variação da quantidade de movimento do mo to rista
como o impulso exercido para pará-lo são iguais, com ou sem
air-bag; por tanto, a intensidade da força média exercida sobre
ele é a mes ma, também.
A sequência correta de V e F é:
a) F – F – V – F – V – F – V b) V – V – F – V – F – V – F
c) F – V – F – V – F – V – F d) V – F – V – V – V – F – V
e) V – F – V – V – V – V – F
37. (UNIFESP) – Uma xícara vazia cai de cima da mesa de uma
cozinha e quebra-se ao chocar-se com o piso rígido. Se essa
mesma xícara caísse, da mesma altura, da mesa da sa la e, ao
atingir o piso, se cho casse com um tapete felpudo, ela não se
quebraria. 
a) Por que no choque com o piso rígido a xícara se quebra e no
choque com o piso fofo do tapete, não? 
b) Suponha que a xícara caia sobre o tapete e pare, sem que -
brar-se. Admita que a massa da xícara seja 0,10kg, que ela
atinja o solo com velocidade de módulo 2,0m/s e que o tem -
po de interação do choque seja de 0,50s. Qual a intensidade
da força média exercida pelo tapete sobre a xícara? Qual se -
ria a inten sidade dessa força, se o tempo de in teração fos se
0,010s? Adote g = 10,0m/s2.
38. (VUNESP) – Um móvel de massa 5,0kg, em trajetória retilínea,
des loca-se com velocidade escalar de 2,0m/s quando pas sa a
sofrer a ação de uma força resultante 
→
F, na mesma direção e
sentido de sua velocidade. O grá fico mostra a intensidade da
força 
→
F no decorrer do tempo. 
A velo cidade escalar do mó -
vel, em m/s, no instante 
t = 10,0s, é
a) 8,0 b) 10,0
c) 12,0 d) 16,0
e) 22,0
39. (UFSCAR-SP) – O air-bag tem provado salvar vidas. De acessório
opcio nal, é agora um dispositivo de segurança que deverá estar
presente em todos os automóveis.
Mas essa inovação tecnológica não é privilégio da huma nidade.
Há séculos, a natureza emprega os mesmos princípios mecânicos
em uma ave, o atobá, mais conhecido como mergulhão.
(Rodrigo Maia Nogueira, Google imagens.)
Em voo, após ter avistado um cardume, esta ave fecha suas asas
e se atira verticalmente em direção às águas, atingindo-as com
velocidades escalares próximas a 150 km/h. Assim como os
carros modernos, o atobá possui um pequeno air-bag natural.
Trata-se de uma bolsa em seu peito, que é inflada com ar
momentos antes do choque violento com a água.
(Animal Planet/documentários. Adaptado.)
a) O motorista do quadrinho certamente não está prote gido pelo
seu travesseiro. Em situações idênticas, considere um choque
sem bolsa de ar e outro com bolsa de ar. Como se comportam
qualitativamente o impulso e o tempo de interação em cada
um desses choques?
b) Suponha que, durante o choque do atobá contra a água, a força
de interação tenha intensidade variando com o tempo confor -
me o gráfico a seguir:
Determine qual seria o módulo do impulso sofrido pela ave e
a in ten sidade da força média no processo de entrada na água.
12
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 12
40. (UFPE-MODELO ENEM) – A aplicação da chamada “lei seca”
diminuiu significa tivamente o percentual de acidentes de trânsito
em todo o País. Tentando chamar a atenção dos seus alunos para
as consequên cias dos acidentes de trânsito, um professor de
Física solicitou que considerassem um automóvel de massa 
1000 kg e velo cidade com módulo igual a 54 km/h, colidindo com
uma parede rígida. Supondo-se que ele atinge o repouso em um
intervalo de tempo de 0,50 s, determine a intensidade da força
média que a parede exerce sobre o automóvel durante a colisão.
a) 1,0 . 104 N b) 2,0 . 104 N c) 3,0 . 104 N
d) 4,0 . 104 N e) 5,0 . 104 N
41. (MODELO ENEM) – Policiais do esquadrão antimotim usam balas
de borracha ao invés de balas comuns. Admita que as balas de
borracha e as balas co muns tenham mesma massa, mesma
velocidade de impacto e mesmo tempo de interação com a
pessoa atingida por elas. A diferença é que as balas comuns
aderem à pessoa e param e as balas de borracha não penetram
na pele, ricocheteando, isto é, após o impacto, a velocidade
inverte o sentido. Seja F1 a intensidade da força média que a bala
de borracha exerce na pele da pessoa ao ricochetear. Seja F2 a in -
ten si da de da força média que a bala comum exerce ao aderir à
pele da pessoa.
Assinale a opção correta.
a) F1 = F2.
b) F1 > F2 e por isso o impacto da bala de borracha dói mais que
o da bala comum.
c) F1 < F2 e por isso o impacto da bala de borracha dói menos
que o da bala comum.
d) F1 > F2, porém o impacto da bala de borracha dói menos que
o da bala comum.
e) F1 < F2 e o impacto da bala de borracha dói mais que o da bala
comum.
42. (UFRN-MODELO ENEM) – Visando a preservação do meio am -
biente de forma sustentável, a sociedade atual vem aumentando
consideravelmente a utilização da energia dos ventos, o que se
con segue com as turbinas eólicas. Nessa tecnologia, a primeira
transformação de energia acontece na interação das moléculas do
ar com as hélices dos cataventos, transformando a energia
cinética de translação das moléculas do ar em energia cinética de
rotação das hélices.
Nessa interação,
a) a variação da quantidade de movimento das moléculas do ar
gera uma força resultante que atua sobre as hélices.
b) a variação da energia cinética das moléculas do ar gera uma
força resultante que atua sobre as hélices.
c) a força resultante exercida pelas moléculas do ar anula a
velocidade das hélices.
d) a força resultante exercida pelas moléculas doar anula a
quantidade de movimento das hélices.
e) a força resultante aplicada pelas moléculas de ar anula a
energia cinética das hélices.
43. (UFRN-MODELO ENEM) – Na praia de Rio do Fogo, no Rio Gran -
de do Norte, está sendo im plan -
tada uma central de ener gia
eólica, como mostra a figura ao
la do. Essa central terá 62 ae -
rogeradores de 800 kW cada
um, to talizando uma capa cidade
ins talada de 49,6 MW.
Eduardo Maia/DN/14.2.06. Acesso
em 11/7/06
http://diariodenatal.dnonline.com.br
Energia eólica é a energia contida nas massas de ar em movi -
mento (vento). Considerada uma fonte renovável e inesgotável de
energia, empregam-se turbinas eólicas ou aerogeradores para que
energia do vento seja transferida para a hélice, e esta, ao girar o
eixo de um dínamo, produza energia elétrica.
Nesse caso, é correto afirmar que
a) o vento transfere quantidade de movimento linear para a héli -
ce e, nesse processo, o momento de inércia do vento é trans -
formado em energia cinética de rotação da hélice.
b) o vento transfere quantidade de movimento linear para a
hélice e, nesse processo, energia cinética de translação do
vento é transformada em energia cinética de rotação da hélice.
c) o vento transfere momento de inércia para a hélice e, nesse
processo, energia cinética de translação do vento é
transformada em energia cinética de rotação da hélice.
d) o vento transfere momento de inércia para a hélice e, nesse
processo, o momento de inércia do vento é transformado em
energia cinética de rotação da hélice.
e) o vento transfere quantidade de movimento para a hélice sem
transferir energia cinética.
44. (VUNESP-MODELO ENEM) – Quando uma pessoa dá um salto
e cai sobre seus pés, intuitivamente deixa seus joelhos ligeira -
mente flexionados. Em termos físicos, esta ação se justifica para
a) diminuir a energia transferida ao corpo da pessoa durante o
choque.
b) aumentar o tempo de interação entre a pessoa e o chão.
c) acrescentar energia potencial elástica ao valor da energia
mecânica.
d) fazer com que a interação ocorra durante um movimento
unifor me.
e) diminuir a força peso e consequentemente minimizar a
interação.
45. (VUNESP-MODELO ENEM) – Os estudos sobre as propriedades
dos materiais receberam grande atenção nas últimas décadas,
especialmente para o desenvolvimento de materiais adequados à
produção industrial, como a de ferramentas e a de veículos. Quan -
do se trata da proteção de passageiros de automóveis, em
colisões, faz-se necessário o uso de materiais
a) mais rígidos, para diminuir a força de impacto.
b) mais rígidos, para diminuir o tempo de interação.
c) mais flexíveis, para evitar uma deformação do chassi.
d) rapidamente deformáveis, para diminuir o tempo de interação.
e) crescentemente deformáveis, para aumentar o tempo de
interação.
46. (FGV-SP-MODELO ENEM) – Ao acender um isqueiro, uma pes -
soa faz com que seu dedão exerça uma força variável direcionada
a três ações distintas:
I. É preciso vencer a força de atrito estático entre o
rolete e a pedra a ele pressionada.
II. Superado o atrito estático, a força aplicada não mais
necessita ser de in tensidade tão elevada e,
portanto, pode ser reduzida. Ainda em contato com
o rolete, o dedão desce e começa a abaixar a
alavanca que libera o gás.
III. Uma vez livre do rolete e com a alavanca que libera
o gás comple tamente pressionada, a força é man -
tida constante durante o tempo que for necessário
se ter a chama acesa.
O gráfico mostra, hipoteticamente, a intensidade da for ça exer ci -
da por uma pessoa no ato de acender um isqueiro, para cada ação
descrita.
Nessas condições, o impulso da força exercida pelo dedão sobre
o rolete do isqueiro e sobre a alavanca que libera o gás até seu
completo abaixamento (fases I e II), tem intensidade, em N.s, de
a) 0,05 b) 0,10 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,25
13
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 13
9. Sistema isolado
Considere um sistema físico S sob ação das for ças 
ex ternas 
→
F1, 
→
F2, …, 
→
Fn.
Os sistemas isolados de maior importância em nos -
sos estudos estão ligados a fenômenos de colisão e ex -
plo são.
10. Teorema da conservação 
da quantidade de movimento
Consideremos um sistema isolado de forças exter -
nas, isto é, o impulso devido às forças externas é nulo.
As forças internas ao sistema são trocadas entre as
partes que compõem o sistema e devem obedecer à lei da
ação e reação, isto é, a existência de uma força interna
→
F1 implica a existência de outra força interna –
→
F1 e a
soma dos impulsos devidos a essas duas forças é nula.
Isto significa que o impulso total devido às forças in -
ter nas também é nulo.
Sendo o impulso total nulo, aplicando-se o teorema
do impulso, concluímos que:
→
Itotal = �
→
Q = 
→
Qf – 
→
Qi
Sendo 
→
Itotal = 
→
0 ⇒ �
→
Q = 
→
0
A conservação da quantidade de movimento total
nos sistemas isolados é uma das leis mais importantes da
Física.
É importante compreender que, se existirem forças
internas ao sistema, as quantidades de movimento das
par tes do sistema variam e apenas a quantidade de movi -
mento total (soma vetorial) é que permanece constante.
Exemplificando
Seja um sistema isolado constituído por três partí -
culas, A, B e C.
As partículas A e B interagem entre si com forças
→
FAB e 
→
FBA e a partícula C está livre de forças.
As forças 
→
FAB e 
→
FBA são trocadas entre as partes do
sistema e, portanto, são forças internas.
A quantidade de movimento total do sistema (
→
Qs) é
dada pela soma vetorial das quantidades de movimento
das três partículas (
→
QA, 
→
QB e 
→
QC):
Como a partícula A está sob a ação da força 
→
FBA, sua
quantidade de movimento 
→
QA varia.
Como a partícula B está sob a ação da força 
→
FAB, sua
quantidade de movimento 
→
QB varia.
Como a partícula C está livre de forças, sua quanti -
dade de movimento 
→
QC permanece constante.
Sendo
→
FBA = – 
→
FAB (ação e reação), temos 
→
IA = –
→
IB
e pelo teorema do impulso, resulta �
→
QA = –�
→
QB.
Isto significa que �
→
QS = �
→
QA + �
→
QB + �
→
QC = 
→
0, ou,
ainda: 
→
QS permanece constante.
11. Colisões entre duas partículas
Quando duas partículas, A e B, colidem, elas cons ti -
tuem um sistema isolado, pois as forças ligadas à colisão
são forças internas de ação e reação entre A e B.
Eventuais forças externas, como, por exemplo, força
de gravidade, força de atrito, força de resistência do ar
têm intensidades desprezíveis em comparação com as
forças internas ligadas à colisão.
Se a colisão não for elástica, embora haja conser va -
ção da quantidade de movimento total (sistema isolado),
haverá redução de energia mecânica porque há dissi -
pação de energia mecânica, que é transformada em tér -
mi ca, sonora e usada como trabalho nas deformações
permanentes.
O sistema S é dito isolado quando a resultante de
to das as forças externas for nula.
→
F1 + 
→
F2 + … + 
→
Fn = 
→
0
A quantidade de movimento total de um sistema
iso lado permanece constante.
→
Qf = 
→
Qi = constante
→
QS = 
→
QA + 
→
QB + 
→
QC
→
Qapós = 
→
Qantes
mA
→
V’A + mB
→
V’B = mA
→
VA + mB
→
VB
14
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 14
47. (ITA) – Todo caçador, ao atirar com um rifle, mantém a arma fir -
memente apertada contra o ombro, evitando assim o “coice”
dela. Considere que a massa do atirador é 95,0kg, a massa do rifle
é 5,00kg e a massa do projétil é 15,0g, o qual é disparado a uma
velocidade escalar de 3,00 x 104cm/s.
Nestas condições, a velocidade de recuo do rifle (Vr), quando se
segura muito frouxamente a arma, e a velocidade de recuo do
atirador (Va), quando ele mantém a arma firmemente apoiada no
ombro, terão módulos respectivamente iguais a
a) 0,90m/s; 4,7 x 10–2m/s b) 90,0m/s; 4,7m/s 
c) 90,0m/s; 4,5m/s d) 0,90m/s; 4,5 x 10–2m/s 
e) 0,10m/s; 1,5 x 10–2m/s 
Resolução
Devido à breve duração da explosão, proveniente do disparo da
arma, o impulso externo sobre o sistema é praticamente nulo,
per mitindo-nos aplicar o princípio da conservação da quantidade
de movimento.
I)O atirador segura muito frouxamente a arma.
→
Qf = 
→
Qi ⇒ mr
→
Vr + mp
→
Vp = 
→
0
Em módulo: mrVr = mpVp
5,00 . Vr = 15,0 . 10
–3 . 3,00 . 102 ⇒
II) O atirador mantém a arma firmemente apoiada no ombro.
→
Qf = 
→
Qi
(ma + mr) 
→
Va + mp
→
Vp = 
→
0
Em módulo: (ma + mr) Va = mpVp
100Va = 15,0 . 10
–3 . 3,00 . 102 ⇒
Resposta: D
48. (VEST-RIO) – Um estudante realiza a seguinte experiência:
I) Dois carrinhos de massas M1 = 0,1kg e M2 = 0,2kg são man -
tidos inicialmente em repouso sobre o tampo horizon tal de
uma mesa, tendo entre eles uma mola ideal com pri mida de
0,1m em relação ao seu tamanho quando rela xa da, conforme
mostra a figura:
II) Em seguida, o sistema é liberado e os carrinhos movem-se so -
bre a mesa praticamente sem nenhum atrito. Nesta si tuação,
o carrinho de massa M2 atinge uma velocidade es ca lar 
V2 = 2,0m/s.
Determine
a) a velocidade escalar do carrinho de massa M1, após ele ter-se
li berado da mola;
b) a energia potencial elástica armazenada inicialmente na mola;
c) a constante elástica da mola.
Resolução
a) Os dois carrinhos constituem um sistema físico isolado de
forças externas, pois as reações normais da mesa equilibram
os pesos dos blocos.
Portanto, haverá conservação da quantidade de movimento
total do sistema: →
Qf = 
→
Qi
Vr = 0,90m/s
Va = 4,5 . 10
–2m/s
15
12. Explosão de uma granada
Quando uma granada de massa M e velocidade 
→
V0
ex plode, as forças internas ligadas à explosão são muito
intensas e, no ato da explosão, as forças externas (como,
por exemplo, o peso) são desprezíveis e a granada é um
sistema isolado.
Se a granada explode em n fragmentos de massas m1,
m2, …, mn, cujas velocidades, imediatamente após a
explosão, são 
→
V1, 
→
V2, … 
→
Vn, temos:
Cumpre ressaltar que a granada só é um sistema iso -
lado no ato da explosão enquanto existem as intensas
for ças internas.
No caso de uma explosão, a energia mecânica total
do sistema aumenta, porque uma parte da energia poten -
cial química, armazenada no explosivo, é transfor mada
em energia cinética dos fragmentos.
Portanto, colisões inelásticas e explosões são exem -
plos de sistemas físicos isolados e não conservativos.
Um sistema pode ser isolado numa dada direção,
bastando que a força resultante externa não tenha
componente nessa direção. Nesse caso, a quantidade de
movimento se conserva som ente na direção considerada.
É o caso de uma partícula lançada no campo de gra -
vidade da Terra com velocidade inicial 
→
V0 não vertical.
Desprezando-se o efeito do ar, a única força externa
atuante na partícula, após o lançamento, é o seu peso 
→
P.
A partícula é isolada de forças horizontais e, por tan -
to, haverá conservação da componente horizontal de sua
quantidade de movimento.
→
Qimediatamente após = 
→
Qimediatamente antes
m1
→
V1 + m2
→
V2 + … + mn
→
Vn = M
→
V0
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M1
→
V1 + M2
→
V2 = 
→
0
M2M1
→
V1 = – M2
→
V2 ⇒
→
V1 = – –––– 
→
V2M1
– 0,2
V1 = –––––– . 2,0m/s ⇒0,1
b) As energias cinéticas adquiridas pelos carrinhos são dadas
por:
M
1
V
1
2 0,1 (–4,0)2
Ecin1
= –––––– = –––––––––– (J) = 0,8J
2 2
M
2
V
2
2 0,2 (2,0)2
Ecin2
= –––––– = –––––––––– (J) = 0,4J
2 2
Como não há atrito, o sistema de forças é conservativo e,
portanto, a energia elástica armazenada na mola foi integral -
mente transformada em energia cinética dos carrinhos:
c) Usando a expressão da energia elástica, obtemos a constante
elástica k:
k
1,2 = –– (0,1)2 ⇒
2
Respostas: a) – 4,0m/s
b) 1,2J
c) 2,4 . 102N/m
49. (ITA) – Um objeto, inicialmente em repouso, explode em duas
par tes, A e B, com massas M e 3M, respectivamente.
Num determinado instante t, após a explosão, a parte B está a
6,0m do local da explosão. Designando-se por x a distância entre
A e B, no instante t, e desprezando-se a influência de outros
corpos, calcule o valor de x.
Resolução
No ato da explosão, o sistema formado por A e B é isolado e há
conservação da quantidade de movimento total.
→
Qf = 
→
Qi ⇒
→
QA + 
→
QB = 
→
0 ⇒
→
QA = – 
→
QB
|
→
QA| = |
→
QB| ⇒ MVA = 3MVB ⇒
Se o corpo B percorreu 6,0m, o corpo A percorre uma distância
três vezes maior: 18,0m, e a distância entre eles será de 24,0m,
isto é, x = 24,0m.
50. Em um local onde o efeito do ar é desprezível e g = 10m/s2, uma
granada de massa 0,40kg é lançada para cima, a partir do solo ho -
rizontal, com velocidade 
→
V0 de módulo 20m/s inclinada de 37° em
relação ao plano horizontal.
No ponto mais alto de sua trajetória, a granada explode frag men -
tando-se em duas partes, A e B, de massas iguais.
Imediatamente após a explosão, o fragmento A inicia uma queda
vertical, a partir do repouso.
Sendo sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80, determine
a) o módulo da velocidade da granada imediatamente antes da
explosão;
b) o módulo da velocidade do fragmento B imediatamente após
a explosão;
c) a energia interna da granada transformada em energia
mecânica, com a explosão;
d) o intervalo de tempo desde o lançamento até a explosão da
granada;
e) as distâncias entre os pontos de impacto com o solo de A e B
e o ponto de lançamento.
Resolução
a) No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do projétil é hori -
zon tal:
Vx = V0 cos 37° = 20 . 0,80 (m/s)
b) No ato da explosão, a granada é um sistema isolado e há con -
ser vação da quantidade de movimento total.
Qimediatamente após = Qimediatamente antes
m
–– VB = m Vx ⇒ VB = 2 Vx2
c) A energia transformada em mecânica corresponde ao acrés -
cimo de energia cinética no ato da explosão:
mVx
2 0,40
Eci = –––––– = –––– . (16)
2 (J) ⇒
2 2
m 0,40
Ecf = –– VB
2 = –––– . (32)2 (J) ⇒
4 4
�Em = Ecf – Eci ⇒
d) O tempo de subida é calculado com base no movimento
vertical:
Vy = V0y + �yt
0 = 20 . 0,60 – 10ts ⇒
e) Analisando-se o movimento horizontal (MU), vem:
�x = Vxt
dA = 16 . 1,2(m) ⇒
dB = dA + VBtQ
dB = 19,2 + 32 . 1,2(m) ⇒
Respostas: a) 16m/s b) 32m/s
c) 51,2J d) 1,2s
e) 19,2m e 57,6m
V1 = – 4,0m/s
Ee = Ecin1
+ Ecin2
= 1,2J
k x2
Ee = ––––––2
k = 2,4 . 102N/m
VA = 3VB
Vx = 16m/s
VB = 32m/s
Eci
= 51,2J
Ecf
= 102,4J
�Em = 51,2J
ts = 1,2s
dA = 19,2m
dB = 57,6m
16
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 16
51. Uma cápsula espacial tem massa de 4,0kg e se move por inércia
com velocidade de módulo 4,0m/s, numa direção x.
Num certo instante, a cápsula explode em dois fragmentos com
massas 3,0kg e 1,0kg. O de massa 3,0kg sai com velocidade de
módulo 4,0m/s perpendicularmente à direção x.
Qual o módulo da velocidade do segundo fragmento?
Resolução
No ato da explosão, a cápsula é um sistema isolado e há conser -
va ção de quantidade de movimento total.
→
Qfinal = 
→
Qinicial ⇒
→
QA + 
→
QB = 
→
Q0
Aplicando-se o Teorema de Pitá -
goras ao triângulo indicado, vem:
|
→
QB|
2 = |
→
QA|
2 + |
→
Q0|
2
Porém:
|
→
QB| = 1,0 . VB (SI); |
→
QA| = 3,0kg . 4,0m/s;
|
→
Q0| = 4,0 kg . 4,0 m/s
V
B
2 = 144 + 256 = 400 ⇒
Resposta: 20,0m/s
52. (VUNESP) – Um bloco de madeira de massa M pode deslizar li -
vre mente e sem atrito dentro de um tubo cilíndrico. Uma bala de
massa m, movimentando-se com velocidade de módulo v0 ao
longo do eixo horizontal do cilindro, como mostra a figura, perde
36% de sua energia cinética ao atravessar o bloco.
Após ter sido atravessado pela bala, o bloco, que estava inicial -
men te em repouso, passa a se movimentar com velocidade de
módulo V.
mV0Mostre que V = –––––.
5M
(Despreze efeitos da força da gravidade sobre a trajetória da bala
e admita que, após a colisão, a bala se move ao longo do mesmo
eixo horizontal.)
Resolução
1) De acordo com o texto, a energia cinética final do projétil cor -
res ponde a 64% de sua energia cinética inicial:
mV
1
2 mV
0
2
––––– = 0,64 ––––– ⇒
2 2
2) No ato da colisão, projétil e bloco constituem um sistema físi -
co isolado de forças externas e, portanto, haverá conservação
da quantidade de movimento total do sistema:
→
Qapós = 
→
Qantes
M
→
V + m
→
V1 = m
→
V0
Como todas as velocidades têm a mesmadireção, temos:
MV + mV1 = mV0
MV + m 0,8V0 = mV0
MV = 0,2mV0
53. Um barco de massa M está em repouso nas águas tranquilas de
um lago. Despreza-se o atrito com as águas, de modo que o sis -
te ma possa ser considerado isolado de forças horizontais. No
interior e na extremidade do barco, temos uma pessoa de massa
m, inicialmente parada. A pessoa começa a se mover e vai até a
outra extremidade do barco, que tem comprimento L. Calcule o
des locamento do barco, em relação às águas, quando a pessoa
vai de uma extremidade à outra.
Resolução
A situação inicial de repouso indica que a quantidade de mo -
vimento inicial é nula.
Se o homem se levanta e anda para a direita no barco, este movi -
mentar-se-á em sentido contrário, de forma que a soma vetorial
das quantidades de movimento continue sendo zero.
VB = 20,0m/s
V1 = 0,8V0
0,2mV0 mV0
V = –––––––– = ––––––
M 5M
→
Qtotal = 
→
Qbarco + 
→
Qhomem = 
→
0
→
Qbarco = – 
→
Qhomem
17
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Considerando-se as quantidades de movimento em módulo:
Qbarco = Qhomem
Sendo M a massa do barco, V2 o módulo da velocidade do barco,
m a massa do homem e V1 o módulo da velocidade do homem,
temos:
Porém: e 
Da figura, temos: 
Da qual: e ainda:
Mx = mL – mx ⇒ x (M + m) = mL
e 
mL
Resposta: x = ––––––––
M + m
54. Um caixote de massa m, aberto em cima, desliza, sem atrito, em
um plano horizontal, com velocidade escalar constante V0. Uma
quan tidade de areia, de massa m (igual à do caixote) e animada de
velocidade vertical, cai dentro do caixote, ficando ali contida.
a) Qual a velocidade escalar final adquirida pelo caixote?
b) Em seguida, por um furo no fundo do caixote, a areia começa
a escoar, a partir do repouso, em relação ao caixote. Quando
toda a areia tiver escoado, qual a velocidade do caixote?
Resolução
a) Em virtude da inexistência de forças externas horizontais,
haverá conservação da quantidade de movimento horizontal
do sistema constituído pelo caixote e pela areia.
Qhf = Qhi
2m Vf = m V0 ⇒
Portanto, a velocidade escalar do caixote se reduziu à metade.
Cumpre salientar que areia e caixote trocam forças horizontais
internas entre si.
A força horizontal que o caixote aplica na areia vai comuni-
car-lhe a velocidade horizontal de módulo ; a reação a esta 
for ça horizontal que a areia exerce sobre o caixote vai reduzir 
o módulo de sua velocidade de V0 para .
b) Como a areia escoa, a partir do repouso em relação ao caixote,
não há troca de forças internas horizontais entre caixote e
areia e, portanto, a velocidade do caixote permanece cons -
tante e de módulo .
Observe que, como não existe atrito com o chão, a areia
escoada continua escorregando pelo chão, acompanhando o 
caixote, com velocidade de módulo , de modo que se con-
serve a quantidade de movimento horizontal do sistema cai -
xote-areia.
Respostas: a)
b)
55. Um canhão está fixo em um carrinho que está em repouso e pode
deslizar livremente, sem atrito, em um plano horizontal.
O cano do canhão forma com o plano horizontal um ângulo �
cons tante.
Um projétil de massa m é disparado pelo canhão e abandona o ca -
no com uma velocidade, relativa ao canhão, de módulo igual a V.
A massa total do canhão e do carrinho (excluído o projétil) é M.
Calcule
a) o módulo da velocidade de recuo do canhão;
b) a tangente do ângulo � que a velocidade de lançamento do
projétil, relativa ao solo, forma com o plano horizontal.
Resolução
a) 1) A componente horizontal da veloci -
dade do projétil, relativa ao canhão,
é dada por:
2) Como o canhão recua com velocidade de módulo VC, a velo -
cidade horizontal do projétil, em relação ao solo, é dada por:
Vh = Vx – VC ⇒
3) O sistema (projétil + canhão) é isolado de forças horizontais e,
portanto, haverá conservação da quantidade de movimento
horizontal do sistema.
→
Qhf = 
→
Qhi
→
Qhp + 
→
Qhc = 
→
0
→
Qhc = –
→
Qhp
|
→
Qhc| = |
→
Qhp|
MVC = m (V cos � – VC)
MVC = m V cos � – m VC
VC (M + m) = m V cos � ⇒
b) Em relação ao solo, a velocidade do projétil tem uma com po -
nente horizontal Vh = V cos � – VC.
mV cos �
Vh = V cos � – ––––––––––M + m
M V cos � + m V cos � – m V cos �
Vh = ––––––––––––––––––––––––––––––––––M + m
A componente vertical Vy, em relação
ao solo, tem o mes mo va lor que em re -
lação ao canhão, isto é, Vy = V sen �.
Portanto:
Vy
tg � = –––
Vh
MV2 = mV1
x
V2 = ––––�t
d
V1 = ––––�t
d = L – x
Mx m(L – x)
–––– = ––––––––
�t �t
mL
x = ––––––––
M + m
V0Vf = ––––2
V0–––
2
V0–––
2
V0–––
2
V0–––
2
V0–––
2
V0–––
2
Vx = V cos �
Vh = V cos � – VC
m V cos �
VC = ––––––––––M + m
M V cos �
Vh = –––––––––––M + m
18
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 18
M + m
tg � = V sen � . ––––––––– ⇒
M V cos �
m V cos �
Respostas: a) –––––––––
M + m
M + m
b) tg � = �–––––––� tg �
M
56. No esquema, temos um bloco A com o formato indicado, em
repouso, em um plano horizontal sem atrito. O trecho curvo cor -
 responde a de uma circunferência de raio R = 1,0m. Uma 
par tícula B é abandonada a partir do repouso na posição (1) in di -
cada.
A partícula B vai desligar-se do bloco A na posição in fe rior (2).
Sendo g = 10m/s2, m a massa de B e 4m a massa de A e des -
prezando-se os atri tos entre A e B, determine os mó dulos das
velocidades de A e B no ins tante em que a partícula B abandona
o bloco A.
Resolução
1) Como não existem atritos, o sistema (A + B) é conservativo e
a energia potencial perdida por (B) ao se deslocar de (1) para
(2) é igual à energia cinética que todo sistema (A + B) adquire.
Assim:
m V
B
2 4m V
A
2
mgR = ––––––– + ––––––– 
2 2
Da qual: (1)
2) Como não existem forças externas horizontais, o momentum
horizontal do sistema (A + B) permanecerá constante e igual a
zero e, portanto, A e B adquirem quantidades de movimento
horizontais de módulos iguais e sentidos opostos.
m |
→
VB| = 4m |
→
VA|
Da qual: (2)
Substituindo-se (2) em (1), vem:
16 V
A
2 + 4 V
A
2 = 2g R
20 V
A
2 = 2g R ⇒ |
→
VA| = 
E, ainda: |
→
VB| = 4 |
→
VA| = 4
Substituindo-se os valores numéricos de g e R, vem:
Respostas: |
→
VA| = 1,0m/s e |
→
VB| = 4,0m/s
57. (VUNESP-MODELO ENEM) – Uma astronauta de 60 kg pode mo -
ver-se fora de sua nave, fazendo uso de um minifoguete de 3,0 kg,
preso à sua cintura. Devido a um defeito nesse equipamento, ela
permanece parada a 120 metros da nave. Ocorre-lhe, então, lan çar
o foguete para conseguir alcançar a nave a tempo, pois de ve partir
em 2 minutos. Para que tenha sucesso, a menor velo ci da de
(relativa à nave) que deveria ser dada ao minifoguete seria de
a) 0,05 m/s b) 1,0 m/s c) 10 m/s 
d) 20 m/s e) 120 m/s 
Resolução
1) Velocidade do astronauta:
VA = = = 1,0m/s
2) Velocidade do foguete:
O sistema astronauta-foguete é isolado e, portanto, haverá
conservação da quantidade de movimento total do sistema.
→
Qfinal = 
→
Qinicial
→
QA + 
→
Qf = 
→
0
→
QA = –
→
Qf ⇒ �
→
QA� = �
→
Qf�
mAVA = mFVF
60 . 1,0 = 3,0VF
Resposta: D
58. (UFPR-MODELO ENEM) – Em um cruzamento mal sinalizado,
houve uma colisão de dois automóveis, que vinham inicialmente
de direções perpendiculares, em linha reta. Em módulo, a
velocidade do primeiro é exatamente o dobro da velocidade do
segundo, ou seja, V1 = 2V2. Ao fazer o boletim de ocorrência, o
policial responsável verificou que após a coli são os automóveis
ficaram presos nas ferragens (colisão perfei tamente inelástica) e
se deslocaram em uma direção de 45° em relação à direção inicial
de ambos. Considere que a massa do segundo automóvel é
exatamente o dobro da massa do primeiro, isto é, m2 = 2m1 e que
a perícia constatou que o módulo da velocidade dos automóveis
unidos, imediatamente após a colisão, foi de 40 km/h. Assinale a
alternativa que apresenta a velocidade correta, em módulo, do
automóvel 2, isto é, V2, imediatamente antes da colisão.
a) 15 ��2 km/h b) 30 ��2 km/h c) 60 ��2km/h
d) 15 km/h e) 30 km/h 
Resolução
1) Antes da colisão:
Q1 = m1V1 e Q2 = m2V2 = 2m1 . = m1V1
A quantidade de movimento do sistemaformado pelos dois
carros, antes da colisão, é a soma vetorial de 
→
Q1 e 
→
Q2.
Q0
2 = Q1
2 + Q2
2
M + m
tg � = �–––––––� tg �
M
1
–––
4
V
B
2 + 4 V
A
2 = 2gR
|
→
VB| = 4 |
→
VA|
gR���–––10
gR���–––10
|
→
VA| = 1,0m/s e |
→
VB| = 4,0m/s
�s
–––
�t
120m
–––––
120s
VF = 20m/s
V1––––
2
Q0 = ��2 m1V1 = ��2 m2V2
19
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 19
59. (UERJ) – Um certo nú cleo atômico N, ini cial men te em repouso,
sofre uma desin tegra ção radioativa, frag men tan do-se em três
partí cu las, cujos momentos linea res são:
→
P1, 
→
P2 e 
→
P3. 
A figura abaixo mostra os vetores que representam os momentos
lineares das partículas 1 e 2, (
→
P1 e
→
P2), ime diatamente após a
desintegração.
O vetor que melhor representa o momento linear da partícula 3
(
→
P3) é:
a) b) c) d)
60. (UNESP) – O decaimento beta ocorre quando um nêutron dá ori -
gem a um próton (carga +e), a um elétron (carga –e) e a uma
terceira partícula. Na figura, as setas mostram as direções iniciais
e os sentidos das velocidades do próton e do elétron ime -
diatamente depois do decaimento de um nêutron em repouso. A
figura omite a terceira partícula.
A partir destes dados, pode-se dizer que a orientação da
velocidade e a carga elétrica da terceira partícula são, respec tiva -
mente:
61. (UFLA-MG) – A figura abaixo mostra um plano inclinado de massa
M sobre um plano horizontal sem atrito. Abandona-se nesse plano
inclinado um bloco de massa m, que desliza sem atrito ao longo
desse, colidindo com um anteparo e parando.
Analisando-se o movimento do plano inclinado M, pode-se afirmar
que ele
a) se move, inicialmente, para a esquerda e depois retorna à sua
posição inicial.
b) se move, inicialmente, para a direita e depois retorna à sua
posição inicial.
c) se move para a esquerda e para.
d) permanece parado o tempo todo.
62. (UNIFESP) – No quadriculado da figura, estão representados, em
sequência, os vetores quantidade de movimento da partícula A
antes e depois de ela colidir elasticamente com a partícula B, que
se encon trava em repouso.
Sabe-se que a soma das energias cinéticas das partículas A e B
mante ve-se constante, antes e depois do choque, e que nenhuma
interação ocorreu com outros corpos. O vetor quantidade de
movimento da partícula B após o choque está mais bem represen -
tado por
63. (VUNESP) – Num parque de diversões original, há um brinquedo
que consta de dois carros, A e B, que podem deslizar livremente,
sem atrito considerável, sobre uma pista retilínea. O carro A pode
atingir uma mola de constante elástica K = 1,0 . 103 N/m e
deformá-la. Uma criança, de 30 kg de massa, sobe no carro A e
outra, de 40kg, no carro B. A partir de um estado de repouso, elas
20
2) No ato da colisão, os carros formam um sistema isolado e
have rá conservação da quantidade de movimento total:
Qf = Q0
(m1 + m2) Vf = ��2 m2V2
� + m2� Vf = ��2 m2V2
3 Vf = ��2 m2V2
V2 =
Como Vf = 40km/h, vem:
V2 = km/h
V2 = km/h = km/h
Resposta: B
m2––––
2
m2––––
2
3 Vf––––––
2��2
3 . 40
––––––
2��2
60
––––––
��2
60��2
––––––
2
V2 = 30 ��2 km/h
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 20
se empurram mutua mente e partem em sentidos opostos. Após
o contato, o carro B per corre, então, 4,0m em 1,0s. Cada carro
tem massa própria de 10kg.
A máxima deformação que a mola sofre quando interage com o
carro A vale
a) 10cm b) 71cm c) 1,0m d) 7,1m e) 10m
64. (UNIFESP) – Uma pequena esfera A, com massa de 90 g, en -
contra-se em repouso e em contato com a mola comprimida de
um dispositivo lançador, sobre uma mesa plana e horizontal.
Quando o gatilho é acionado, a mola se descomprime e a esfera
é atirada horizontalmente, com velocidade de módulo 2,0 m/s, em
direção frontal a uma outra esfera, B, com massa de 180 g, em
repouso sobre a mesma mesa. No momento da colisão, as esfe -
ras se conectam e passam a se deslocar juntas. O gráfico mostra
a intensidade da força elástica da mola em função de sua defor -
ma ção.
Considerando-se que as esferas não adquirem movimento de
rotação, que houve conservação da quantidade de movimento na
colisão e que não há atrito entre as esferas e a mesa, calcule 
a) a energia cinética da composição de esferas A e B após a
colisão;
b) quanto a mola estava comprimida no instante em que o gatilho
do dispositivo lançador foi acionado.
65. (UFJF-MG) – Duas pessoas encontram-se em repouso sobre
uma plataforma flutuante, uma em uma extremidade e a outra na
extremidade oposta. A plataforma está em repouso em águas
tranquilas de um lago. A pessoa que está na extremidade esquer -
da tem massa de 50 kg; a que está na extremidade direita, 80 kg
e a plataforma, 100 kg. As pessoas então se movem, cada uma
com velocidade de módulo 5,0m/s em relação ao lago, a de 50kg
para a direita e a de 80kg para a esquerda. Desconsiderando-se a
força de resistência viscosa entre a plataforma e a água, qual será
o módulo e orientação da velocidade adquirida pela plataforma em
relação ao lago?
a) zero b) 1,5 m/s para a direita.
c) 1,5 m/s para a esquerda. d) 5,0 m/s para a direita.
e) 5,0 m/s para a esquerda.
66. (Olimpíada Internacional de Ciências-Taiwan)– Um pro jé til de
massa mP = 10g com velocidade horizontal de módulo 500m/s
atravessa um bloco de massa mB = 1,0kg que se movia na
mesma di reção e sentido oposto com velocidade de módulo
1,0m/s, sobre uma superfície horizontal sem atrito.
Imediatamente após a colisão, o bloco inverte o sentido de seu
movi men to e passa a ter velocidade com módulo 2,0m/s.
A velocidade do projétil, imediatamente após sair do bloco, terá
mó dulo:
a) 100m/s b) 200m/s c) 300m/s
d) 400m/s e) 500m/s
67. (CEFET-CE) – Um projétil de massa m = 10g atinge, sem atraves -
sar, um bloco de madeira de massa M = 150g que se encontra em
repouso sobre uma superfície horizontal. Após a colisão, o siste -
ma bloco de madeira + projétil percorre uma distância de 200 cm
até parar. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a super -
fície vale 0,4. Determine o módulo da velocidade do projétil ao
atin gir o bloco de madeira.
Adote g = 10,0m/s2 e despreze o efeito do ar.
68. (UDESC) – A figura mostra dois corpos, de massas m1 = 5,0kg e
m2 = 10,0kg, em repouso, liga dos por um cordão ideal. Entre os
corpos, há uma mola com primida, mas que não está presa a
nenhum deles.
O cordão é cortado e, em consequência, o corpo 2 ad quire velo -
cidade de módulo 5,0m/s. Consi de ran do-se a mola ideal, e des -
prezando-se atritos, calcule
a) o módulo da velocidade adquirida pelo corpo 1;
b) a energia potencial elástica armazenada no sis te ma, imediata -
mente antes de o cordão ser cortado.
69. (UDESC) – Um veículo tipo X, cuja massa é de 1200kg, colide
com um veículo tipo Y, cuja massa é de 1300kg. A colisão
acontece em um ângulo reto, quando ambos atravessam um
cruzamento, durante uma tempestade de neve. As velocidades
dos veículos X e Y, ao entrarem nesse cruzamento, têm módulos
de 144km/h e 90km/h, respectivamente. Despreze a força de
atrito e admita que os veículos se mantenham unidos um ao
outro, logo após a colisão.
Assinale a alternativa que melhor representa a trajetória dos
veículos, depois da colisão, com base nas informações e na figura
acima.
a) A b) B c) C d) D e) E
70. (UNICAMP) – Maria está balançando-se em um pneu pendurado
em uma corda. Considere g=10 m/s2 e despreze o efeito do ar.
a) Se ela for empurrada e solta no ponto mais baixo, com uma
velocidade de módulo 6,0m/s, quanto ela irá subir?
b) Maria retornou ao ponto mais baixo, sem perda de energia me -
cânica, e João agarrou-se ao pneu, subindo agora as duas crian -
ças juntas. Qual a nova altura atingida? Considere que João
tem a massa igual à de Maria e despreze a massa do pneu.
21
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 21
71. (UFSC) – Uma tábua homogênea encontra-se em repouso sobre
um lago de águas calmas. Dois sapos estão parados nas
extremidades desta tábua, como é mostrado na figura. A massa do
sapo da esquerda (sapo 1) é maior do que a do sapo da direita(sapo
2). Em determinado momento, os sapos pulam e trocam de
posição. Suponha que o atrito da tábua com a água seja desprezível.
Considerando-se o sistema formado pelos dois sapos e a tábua, e
as margens do lago como referencial, é correto afirmar: 
01. a quantidade de movimento horizontal do sistema constituído
pelos dois sapos e a tábua se conserva.
02. a quantidade de movimento horizontal do sapo 1 é igual, em
módulo, à quantidade de movimento horizontal do sapo 2,
durante a troca de suas posições.
04. a tábua fica em repouso enquanto os sapos estão no ar.
08. a distância horizontal percorrida pelo sapo 1 é igual à per -
corrida pelo sapo 2.
16. após os sapos terem trocado de posição, a tábua ficará em re -
pouso.
Dê como resposta a soma dos números associados às pro po -
sições corretas.
72. (UFBA) – Um vagão de massa igual a 90kg, vazio e sem cober -
tura, está deslocando-se sobre trilhos retos e ho rizontais, sem
atrito, com velocidade
→
v. Começa a cho ver forte, e a água, cuja
densidade vale 1,0 . 103 kg/m3, caindo verticalmente, vai acumu -
lan do-se no in te rior do vagão. Determine, em 10–3 m3, o vo lume
de água arma zena da no vagão, quando a sua velo ci dade for
reduzida a 2/3 da inicial. Despreze o efeito do ar. 
a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) 75 
73. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Na superfície de um
lago de águas paradas, encontra-se em movimento um tronco, de
massa 400kg e comprimento 18,0m, com uma velocidade cons -
tante de módulo igual a 4,0m/s em relação às margens do lago.
Em um determinado instante, um homem de massa 80kg come -
ça a correr sobre ele, saindo de uma extremidade e dirigindo-se à
outra, com uma velocidade de módulo igual a 3,0m/s em relação
ao tronco e no mesmo sentido de seu movimento. Qual a
distância percorrida pelo tronco sobre a água, do instante que o
homem deixa uma de suas extremidades até alcançar a outra
extre mida de?
Considere desprezível a resistência produzida pela água ao
movimento do tronco.
74. Um projétil de massa M = 20,0kg é lançado, a partir do solo, com
velocidade inicial de módulo 100m/s, formando com o plano
horizontal um ângulo � = 60°. No ponto mais alto de sua trajetória,
o projétil explode em dois fragmentos, A e B, de massas iguais.
Imediatamente após a explosão, o fragmento A tem velocidade
nula. Despreze o efeito do ar.
Determine
a) o módulo da velocidade do fragmento B, imediatamente após
a explosão;
b) a energia liberada na explosão, que é transformada em energia
cinética dos fragmentos.
75. (FUVEST) – Uma granada de massa M = 8,0kg desloca-se ao
longo de uma linha reta com velocidade de módulo V0 = 2,0m/s,
livre da influência de forças externas. Num certo instante de
tempo, a granada explode, dividindo-se em dois fragmentos de
mesma massa. Devido à explosão, é liberada uma quantidade 
E = 16,0J de energia que é transformada em energia cinética dos
fragmentos. Sabe-se que nenhum dos dois fragmentos deixa a
linha do movimento original. As magnitudes das velocidades de
cada um dos fragmentos, medidas em m/s, são
a) 2,0 e 2,0 b) 2,0 e 4,0 c) 2,0 e ����2
d) 4,0 e 4,0 e) 4,0 e 0
76. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Por um canhão, dispa -
ra-se uma granada de 20kg que adquire velocidade de módulo
igual a 500m/s quando passa pelo ponto mais alto de sua
trajetória. Exa tamente nesse instante, a granada explode e se
divide em dois fragmentos de massas iguais. Com a explosão,
um dos fragmentos inicia um movimento vertical para baixo com
uma velocidade de módulo igual a 2400m/s. Ime dia tamente após
a explosão, o módulo da velocidade do outro fragmento, em m/s
vale:
a) 3400 b) 3200 c) 1800
d) 2400 e) 2600
77. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Um projétil é disparado
por um canhão e, no ponto mais alto de sua trajetória, a uma
distância horizontal de 100 m do canhão, explode, dividindo-se em
dois pedaços iguais. Um dos fragmentos é lançado horizontal -
mente para trás com velocidade de mesmo módulo que possuía
o projétil imediatamente antes de explodir. Considerando-se
desprezível a resistência do ar, a que distância entre si cairão no
solo os dois fragmentos? Admita que o projétil foi lançado a partir
do solo terrestre.
78. (ITA) – Numa brincadeira de aventura, um garoto de massa
M = 20,0kg lança-se por uma corda amarrada num galho de árvore
num ponto de altura L = 3,6m acima de um cão de massa 
m = 5,0kg que se pretende resgatar. A aceleração da gravidade
tem módulo g = 10,0m/s2 e o efeito do ar é desprezível. A massa
da corda é desprezível. A altura h da plataforma, acima da posição
do cão, vale 1,8m.
Determine
a) o módulo da velocidade do garoto imediatamente antes de
atin gir o cão;
b) o módulo da velocidade do sistema (garoto + cão) imediata -
mente após a colisão entre o garoto e o cão;
c) a intensidade da força que traciona a corda imediatamnte após
a colisão entre o garoto e o cão.
79. (UFRJ) – Dois pêndulos com fios ideais de mesmo compri mento
b estão suspensos em um mesmo ponto do teto. Nas extremi -
dades livres dos fios, estão presas duas bolinhas de massas 2m
e m e dimensões desprezíveis. Os fios estão esticados em um
mesmo plano vertical, separados e fazendo, ambos, um ângulo de
60° com a direção vertical, conforme indica a figura. 
22
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 22
Em um dado momento, as bolinhas são soltas, descem a partir do
repouso, e colidem no ponto mais baixo de suas trajetórias, onde
se grudam instantaneamente, formando um corpúsculo de massa
3m .
a) Calcule o módulo da velocidade do corpúsculo imediatamente
após a colisão em função de b e do módulo g da aceleração da
gravidade.
b) Calcule o ângulo � que o fio faz com a vertical no momento em
que o corpúsculo atinge sua altura máxima.
80. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Um projétil de massa 
m = 0,10kg é lançado a um ângulo de 37° com a horizontal e com
uma velocidade de módulo 500m/s. No ponto mais alto da
trajetória, ele explode em dois fragmentos iguais, A e B. Suponha
que o fragmento B, imediatamente após a explosão, cai
verticalmente a partir do repouso.
a) A que distância do ponto de lançamento cai o fragmento A,
supondo-se o solo horizontal?
b) Calcule a diferença entre a energia mecânica do sistema,
imedia tamente após e imediatamente antes da explosão.
Despreze o efeito do ar e adote g = 10,0m/s2
Dados: sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80
81. (UFSC) – Um pêndulo balístico é um aparato experimental que
permite determinar a velocidade de um projétil. Na figura I, estão
representados o projétil de massa m e velocidade inicial 
→
Vi, bem
como um bloco de massa M, inicialmente em repouso. Após o
impacto, o projétil se aloja no bloco e este se eleva a uma altura
máxima y, con forme representação na figura II.
Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01.O projétil, logo após se alojar no interior do bloco, perde toda
a sua energia cinética e toda a sua quantidade de
movimento.
02.O sistema formado pelo projétil mais o bloco atingirá uma
al tura máxima, à direita, a qual dependerá da velocidade inicial
do projétil.
04.Sendo perfeita men te ine lás tica a colisão característica deste
processo, haverá perda de energia cinética.
08.É impossível aplicar a lei de conservação da quantidade de mo -
vimento no ato da colisão.
16.Utilizando-se o princípio de conservação da energia mecânica,
após a colisão, pode-se calcular a altura máxima atingida pelo
bloco de massa M.
32.A energia cinética inicial é igual à metade da energia cinética
final para o processo dado.
64.O sistema formado pelo projétil mais o bloco atingirá uma
altura máxima, à direita, que dependerá das massas M e m.
Dê como resposta a soma dos números associados às pro -
posições corretas.
82. (FUVEST-TRANSFERÊNCIA) – Um bloco de massa m = 2,0kg,
que se desloca sobre uma mesa horizontal, sem atrito, com
velocidade v
→
1i = 3,0i
→
m/s, colide com outro bloco idêntico, que se
encontra inicialmente em repouso. Depois da colisão, o primeiro
bloco desloca-se em uma direção que forma um ângulo de 30°com a direção inicial e o outro desloca-se em uma direção que
forma um ângulo de 60° com a direção inicial, como na figura. As
magnitudes v1f e v2f das velocidades finais dos blocos, em m/s,
são, respectivamente:
a) e b) e 
c) 3 e d) 3 e 
e) 2 ���6 e ���2
Nota: 
→
i é o versor do eixo x
83. (SELETIVA NACIONAL DA INTERNATIONAL JUNIOR SCIENCE
OLYMPIAD) – Uma esferinha de massa m desliza livremente em
um plano horizontal com velocidade de módulo V0. Con si dere
uma rampa de massa 3m, em repouso, apoiada no plano
horizontal e com o perfil indicado na figura. A rampa não está fixa
no plano e pode mover-se livre mente.
Despreze o efeito do ar e todos os atritos. A acele ração da
gravidade é constante e tem módulo g. A esferinha vai subir a
rampa atingindo uma altura máxima h sem perder contato com a
rampa.
Quando a esferinha subir a rampa, esta vai mover-se horizontal -
mente.
Quando a esferinha atinge sua altura máxima h, ela e a rampa têm
a mesma velocidade de módulo V.
O valor de h é dado por:
a) h = b) h = c) h =
d) h = e) h =
84. Duas plataformas, A e B, cada uma com massa M = 2,0kg estão
em repouso sobre um plano horizontal. Uma partícula de massa 
m = 1,0kg é abandonada do repouso de uma altura H = 67,5cm e
desliza ao longo da plataforma A, em seguida percorre o plano
hori zontal e sobe na plataforma B até uma altura máxima h.
Despreze o efeito do ar e todos os atritos e adote g = 10,0 m/s2.
1
–––
2
3
–––
2
1
–––
2
���3
––––
2
���3
––––
2
3
–––
2
���3
––––
2
V0
2
––––
4g
V0
2
––––
6g
V0
2
––––
8g
V0
2
–––
g
3
––
4
3V0
2
––––
8g
23
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 23
Determine
a) os módulos das velocidades da plataforma A e da partícula
depois que a partícula se desliga da plataforma A;
b) os módulos das velocidades da partícula e da plataforma B
quando a partícula atingir a altura máxima h;
c) o valor de h.
85. Em um plano horizontal, sem atrito, uma plataforma com o perfil
indicado na figura está em repouso.
Uma pequena esfera de massa m chega à plataforma com velo -
cidade horizontal de módulo V0, percorre uma semicircunfe rência
de raio R, em contato com a plataforma, e sai com uma velocidade
horizontal de módulo (em relação ao solo).
Em virtude da interação com a esfera, a plataforma adquire uma
velocidade horizontal de módulo V.
A plataforma tem massa 2m, a aceleração da gravidade tem
módulo g e os atritos e a resistência do ar são desprezíveis.
Calcule o valor de V.
86. (UNESP-MODELO ENEM) – Um madeireiro tem a infeliz ideia de
praticar tiro ao alvo disparando seu revólver contra um tronco de
árvore caído no solo. Os projéteis alojam-se no tronco, que logo
fica novamente imóvel sobre o solo. Nessa situação,
considerando-se um dos disparos, pode-se afirmar que a
quantidade de movimento do sistema projétil-tronco
a) não se conserva, porque a energia cinética do projétil se
transforma em calor.
b) se conserva e a velocidade final do tronco é nula, pois a sua
massa é muito maior do que a massa do projétil.
c) não se conserva, porque a energia não se conserva, já que o
choque é inelástico.
d) se conserva, pois a massa total do sistema projétil-tronco não
foi alterada.
e) não se conserva, porque o sistema projétil-tronco não é
isolado.
87. (UNESP-MODELO ENEM) – Um carrinho de supermercado, com
massa total igual a 10 kg, está a uma velocidade 
→
V, quando colide
fron talmente com outro carrinho, de massa 50 kg, inicialmente
em repouso. Suponha que, imediatamente após a colisão, os dois
carrinhos fiquem encaixados um ao outro, des locando-se com
velocidade de módulo 0,50 m/s. Desprezando-se os atritos,
determine o módulo da velocidade 
→
V antes da colisão.
a) 1,0 m/s b) 1,5 m/s c) 2,0 m/s 
d) 2,5 m/s e) 3,0 m/s
88. (UEPA-MODELO ENEM) – Uma das importantes leis da Física é
a lei de conservação do momento linear (quantidade de movi -
mento). Para ilustrar esta lei, admita que um rapaz de massa igual
a 36kg pula num skate de massa igual a 4kg, que se en contrava
inicialmente parado. A velocidade com que o sistema rapaz-skate
começa a se movimentar é de quantos por cento da componente
horizontal da velocidade inicial do rapaz? 
a) 30% b) 60% c) 90% d) 120% e) 150% 
89. (UEGO-MODELO ENEM) – O “Circo do Faustão” é um reality
show do programa “Domingão do Faustão”, no qual os famosos
fa zem números e apresentações de circo. A modelo Gianne
Albertoni, ao lado do professor Wander Rabello, encarna uma
trapezista mascarada e vence o “Circo do Faustão”. O professor
e a modelo saem do ponto A a partir do repouso, suspensos em
um trapézio. Quando chegam ao ponto B, o professor, ao mesmo
tempo em que deixa o trapézio, empurra horizontalmente a
modelo e atinge o solo no ponto C, a uma distância r do ponto E,
enquanto Gianne Albertoni permanece no trapézio. A figura
abaixo ilustra a situação descrita.
Despreze a resistência do ar, as dimensões dos corpos e a massa
do trapézio. Para se calcular a altura máxima que a modelo Gianne
Albertoni atinge, é correto utilizar a seguinte sequência de conhe -
cimentos de Física:
a) Conservação da energia mecânica, conservação da quantidade
de movimento (momento linear), lei da gravitação universal e,
novamente, conservação da quantidade de movimento.
b) Movimento harmônico simples, conservação da energia
mecânica, lançamento horizontal e, novamente, conservação
da energia mecânica.
c) Conservação da energia mecânica, conservação da quantidade
de movimento (momento linear), lançamento horizontal e,
novamente, conservação da energia mecânica.
d) Segunda Lei de Kepler, conservação da energia mecânica,
lançamento horizontal e, novamente, conservação da energia
mecânica.
90. (INEP-MODELO ENEM) – O Bungee Jump é um esporte radical
no qual uma pessoa pula de uma altura muito grande, presa a um
elástico. Para que o praticante não corra risco, um dos fatores
importantes é que o elástico preso a ele possa ser esticado com
facilidade, adquirindo um comprimento relativamente grande.
Indique qual alternativa explica este fato do ponto de vista físico:
a) O elástico deve ter uma constante elástica nula para conseguir
segurar a pessoa.
b) O tipo de elástico a ser utilizado neste esporte deve permitir
que a pessoa caia livremente.
c) O elástico faz aumentar o tempo da variação da quantidade de
movimento da pessoa e diminuir a força aplicada na pessoa.
d) Com o elástico, a pessoa não tem variação da quantidade de
movimento, pois sua velocidade é constante durante a queda.
e) Com o elástico, a pessoa sofre um impulso menor para ser
levada ao estado de repouso.
V0–––
2
24
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 24
8) C 9) B 10) B 11) C 12) a) 
→
0
b) 3E
13) a)
14) E
b)
15) a) ��2 p 16) D 17) C 18) D
b) zero
19) D 20) B 21) B 22) B
29) a) 30N . s
b) |Vg | = 0,60m/s e |Vr | = 0,40m/s
30) a)
b)
c) Quando V0 duplica, T também duplica e D quadruplica.
31) B 32) a) 225J
b) 3,0kN
33) a)
1) Cálculo do módulo da velocidade da mocinha no ponto
B (1,0m do solo):
VB
2 = VA
2 + 2 � �s (MUV)
VB
2 = 0 + 2 . 10 . 80,0
VB
2 = 1600 ⇒
2) Aplicando-se o teorema do impulso:
� I
→
R� = � �Q
→
�
(Fm – P) �t = m VB
(Fm – 500) 0,05 = 50 . 40,0
Fm – 500 = 40,0 . 10
3
Fm = 40,0 . 10
3 + 0,5 . 103 (N)
b) Aplicando-se a 2.a Lei de Newton:
Fm – P = m . a
40,5 . 103 – 0,5 . 103 = 50 . a
40,0 . 103 = 50 . a
a(letal) = 8g = 80m/s
2
= ⇒
Respostas: a) 40,5kN
b) 10 vezes maior.
34) B 35) 880N 36) E
37) a) Porque o tempo de interação entre a xícara e o piso é
maior quan do o piso é fofo.
b) 1,4N e 21,0N
38) C
39) a) O impulso recebido pela pessoa corresponde à va ria ção
da sua quantidade de movimento até o re pouso e é o
mesmo com ou sem bolsa de ar.
Com a bolsa de ar, o tempo de interação aumenta e com
isso a força média de impacto recebida pela pessoa di -
minui.
A redução da força com o aumento do tempo de interação
é a função básica da bolsa de ar.
b) 1) I = área (F x t)
I = (N. s)
2) I = Fm . �t
60 = Fm . 0,03
VB = 40,0m/s
Fm = 40,5 . 10
3 N = 40,5kNa = 8,0 . 102m/s2
a
––––– = 10
aletal
8,0 . 102
––––––––––
80
a
––––––
aletal
5
�Q = ––– m V0
3
–5
�Ecin = –––– m V0
2
18
V0
2
D = ––––––
2�g
V0
T = ––––
�g
→
I = �
→
Q = – m
→
V0
0,03 . 4000
––––––––––
2
I = 60N. s
Fm = 2,0 . 10
3N = 2,0kN
25
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 25
40) C 41) B 42) A 43) B 44) B
45) E 46) E 59) D 60) D 61) C
62) B 63) C 64) a) 6,0 . 10–2J
b) 3,0 . 10–2m ou 3,0cm
65) B 66) B 67) 64,0m/s
68) a) 10,0m/s 69) D 70) a) 1,8m
b) 375J b) 0,45m
71) 17 72) C 73) 21,0m
74) a) 100m/s 75) E 76) E
b) 2,5 . 104J ou 25kJ
77) 400m 78) a) 6,0m/s
b) 4,8m/s
c) 410N
79) a) 1) Cálculo da velocidade de cada bolinha no instante da
colisão:
(ref. em C)
= m g ⇒
2) Conservação da quantidade de movimento no ato da
colisão:
Qapós = Qantes
3mV1 = 2mV + m (–V)
3V1 = V ⇒ V1 = ⇒
b)
1) (ref. em C)
3m g h = V1
2
h = = ⇒
2) L = L cos � + h
b = b cos � + 
1 = cos � + 
cos � = ⇒
Respostas: a) b) � = arc cos 	 
80)
a) 1) Componentes de V0:
V0y = V0 sen 37° = 500 . 0,60 (m/s) = 300m/s
V0x = V0 cos 37° = 500 . 0,80 (m/s) = 400m/s
2) Cálculo do tempo de subida:
Vy = V0y + �y t
0 = 300 – 10,0 t1 ⇒
3) Cálculo de d:
�sx = V0x t1
d = 400 . 30,0 (m) ⇒
4) No ato da explosão:
Qf = Q0 ⇒ VA = mV0x ⇒ VA = 2 V0x = 800m/s
Se a granada não explodisse, ela percorreria na sua queda
uma distância d; como o fragmento A tem velocidade
horizontal que é o dobro da velocidade da granada, ele
percorrerá uma distância 2d e atingirá o solo a uma dis -
tância D do ponto de lançamento dada por:
D = 3d ⇒
b) Ei = = (400)
2 (J) = 8,0 . 103 J
Ef = = (800)
2 (J) = 16,0 . 103 J
Respostas: a) 36,0km
b) 8,0kJ
81) 86 82) D
t1 = 30,0s
d = 12,0km
m
–––
2
D = 36,0km
0,10
_____
2
mV0 x
2
______
2
0,10
_____
4
m �–––�VA2
2_________
2
17
–––
18
�����gb
––––
3
17 
cos � = ––––
18
1
1 – –––
18
1
–––
18
b
–––
18
b
h = –––
18
gb/9
–––––
2g
V1
2
––––
2g
3m
––––
2
ED = EC
�����gb
V1 = ––––3
V
–––
3
EC = EA
V = �����gb
b
–––
2
mV2
––––
2
�E = 8,0 . 103J = 8,0kJ
26
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 26
83) 1) Conservação da quantidade de movimento do sistema, na
direção hori zontal:
Qhf
= Qhi
4 mV = m V0 ⇒
2) Conservação da energia mecânica:
Ef = Ei
mgh + = 
g h + 2 = 
16 gh + 2 V0
2
= 8 V0
2
16 gh = 6 V0
2
h = 
Resposta: D
84) a) 1) A partícula e a plataforma A estão isoladas de forças
horizontais e portanto:
Qh
f
= Qhi
MV
→
A + mV
→
P = 0
→
MV
→
A = – mV
→
P ⇒ MVA = mVP 
2,0VA = 1,0VP ⇒
2) Conservação da energia mecânica:
mgH = + 
1,0 . 10,0 . 0,675 = (2VA)
2 + VA
2
6,75 = 3VA
2 ⇒
b) Conservação da quantidade de movimento horizontal:
Qh
f
= Qhi
(M + m) VB = m VP
3,0VB = 1,0 . 3,0 ⇒
c) Conservação da energia mecânica:
= VB
2 + mgh
= + 1,0 . 10,0h
4,5 = 1,5 + 10,0h ⇒
Respostas: a) 1,5m/s e 3,0m/s
b) 1,0m/s
c) 0,30m
85) 1) O sistema esfera-plataforma é isolado de forças horizon -
tais:
Qhf
= Qhi
2mV – = mV0
2V = ⇒
2) O sistema é conservativo e a energia potencial perdida
pela esfera corresponde ao acréscimo de energia cinética:
mg 2 R = + � �
2
–
2gR = V2 + – = V2 –
2gR = – = ⇒ V0
2 = 
V0 = = V
(Resposta)
86) E 87) E 88) C 89) C 90) C
2 mV2
––––––
2
m
–––
2
V0–––
2
mV0
2
––––––
2
V0
2
–––
8
V0
2
–––
2
3V0
2
––––
8
9V0
2
––––
16
3V0
2
––––
8
3V0
2
––––
16
32 g R
–––––––
3
4 �� ������ 2gR
––––––––
�� ��3
4
––
3
V = ������� 6gR
mV0
––––
2
3V0
V = –––––
4
3V0
––––
2
6 V0
2
–––––
16g
3V0
2
h = ––––––
8g
VP = 2VA
MVA
2
______
2
mVP
2
______
2
2,0
____
2
1,0
____
2
VA = 1,5m/s 
VP = 3,0m/s
VB = 1,0 m/s
(M + m)
_______
2
mVP
2
______
2
3,0
____
2
1,0 . 9,0
_______
2
h = 0,30m
V0
2
––––
2
V0
2
––––
16
m V0
2
––––––
2
4m V2
––––––
2
V0
V = ––––
4
27
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 27
1. Conceito
Seja um sistema físico S de massa total M e sub me -
tido a um conjunto de forças externas 
→
F1, 
→
F2, …, 
→
Fn.
Se, num dado problema, o sistema S é tomado como
um ponto material, devemos considerar toda a massa M
e todas as forças externas concentradas num ponto geo -
mé trico, que é denominado centro de massa do sistema.
Observações
a) Se o sistema apresentar uma distribuição unifor me
de massas, então o centro de massa coincidirá com o
centro geométrico.
Exemplos
1) O centro de massa de uma esfera homogênea
coin cide com o seu centro geométrico.
2) O centro de massa de um anel homogêneo é o seu
centro geométrico. Neste caso, não existe massa
na posi ção do centro de massa.
3) O centro de massa de um corpo homogêneo com
formato triangular e de espessura desprezível está
no ba ricentro do triângulo.
b) Se o sistema estiver sob a ação da gravidade e se
o vetor aceleração da gravidade 
→
g for o mesmo em todos
os pontos do sistema S, então o centro de gravidade
coin ci dirá com o centro de massa.
c) O centro de gravidade corresponde ao ponto de
aplicação da força de gravidade.
d) Segundo Arquimedes, o centro de gravidade de
um corpo sólido pode ser definido como o ponto pelo
qual ele deve ser suspenso para permanecer em equi -
líbrio indiferente.
e) A determinação do centro de gravidade pode ser
feita experimentalmente, usando-se um fio fino que é
pre so a um ponto fixo do corpo. Quando houver equi -
líbrio, o centro de gravidade estará na mesma vertical do
ponto de suspensão.
Repetindo-se a experiência de modo que o corpo fique
em uma posição diferente, relativa à Terra, obtemos outra
vertical contendo o centro de gravi dade.
A intersecção das retas, que contém o centro de
gravi dade, permite a sua localização.
O fio contém o centro de gravidade da barra em forma de L.
Em outra posição da barra em forma de L, o outro fio também contém o centro
de gravidade.
28
A trajetória do centro de massa (CM) só depende da
velocidade inicial e da resultante das forças externas.
CENTRO DE MASSA
Mecânica
2
CAPÍTULO
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 28
f) Considere uma montanha, suposta homogênea,
com secção retangular e de grandes dimensões.
Neste caso, a aceleração da gravidade na base da
montanha é maior do que no topo da montanha, isto é, a
metade inferior é mais pesada do que a metade superior,
e o centro de gravidade CG ficará abaixo do centro de
massa CM (que está localizado no centro geométrico, a 
uma altura ).
2. Posição do centro de massa de
um sistema de pontos materiais
Consideremos um conjunto de n pontos materiais.
Representemos por mi a massa do ponto material e
por xi, yi, zi as coordenadas cartesianas que definem sua
posição.
A posição do centro de massa (CM) do sistema será
definida pelas coordenadas cartesianas xC, yC e zC, ob ti -
das por meio de uma média ponderada entre as coor de -
na das dos pontos materiais, tomando-se como pesos, na
mé dia ponderada, as respectivas massas dos pontos ma -
te riais.
Nota: Insistimos no fato de que o centro de massa é um
ponto geométrico, e não um ponto material.
3. Cálculo da velocidade 
do centro de massa de um
sistema de pontos materiais
A velocidade do centro de massa (CM) também pode
ser obtida por meio de uma média ponderada.
Sendo 
→
V1, 
→
V2, …, 
→
Vi as velocidades dos pontos ma -
te riais num dado instante, a velocidade do centro de mas-
sa
→
VCM, no instante considerado, será dada por:
Observando-se que o produto mi
→
Vi representa a
quan tidade de movimento do ponto material, tem-se:
→
Qsistema→VCM = –––––––––Msistema
Em particular, se o sistema for isolado de forças ex -
ter nas, teremos:
4. Cálculo da aceleração 
do centro de massa de um
sistema de pontos materiais
A aceleração do centro de massa CM também
pode ser obtida por meio de uma média ponderada.
Sendo →a1, 
→a2, …, 
→ai as acelerações dos pontos
materiais num dado instante t, a aceleração do centro de
massa 
→
aCM, no instante considerado, será dada por:
Observando-se que o produto mi
→ai representa a força
resultante no ponto material (2.a Lei de Newton), tem-se:
H
–––2
m1x1 + m2x2 + … + mnxnxC = –––––––––––––––––––––––m1 + m2 + … + mn
m1y1 + m2y2 + … + mnynyC = ––––––––––––––––––––––––m1 + m2 + … + mn
m1z1 + m2z2 + … + mnznzC = ––––––––––––––––––––––––m1 + m2 + … + mn
m1
→
V1 + m2
→
V2 + … mi
→
Vi→VCM = –––––––––––––––––––––––m1 + m2 + … + mi
→
Qsistema = Msistema
→
VCM
→
Qsistema = constante
a)
→
Qsistema = 
→
0 ⇒ CM em repouso
b)
→
Qsistema ≠ 
→
0 ⇒ CM em MRU 
m1
→a1 + m2
→a2 + … + mi
→ai→aCM = ––––––––––––––––––––––––m1 + m2 + … + mi
29
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 29
1. Considere um conjunto de três pontos materiais definidos por
m(x;y), em que m representa a massa em kg e x e y as coorde -
nadas cartesianas em metros.
P1 � 2 (0; –1); P2 � 1 (1; 0); P3 � 2 (2; 6)
O centro de massa do sistema é dado, no gráfico, pelo ponto:
Resolução
m1x1 + m2x2 + m3x3xCM = –––––––––––––—————m1 + m2 + m3
2.0 + 1.1 + 2.2
xCM = —–––––––––——— (m)2 + 1 + 2
m1y1 + m2y2 + m3y3yCM = —–––––––––––––————m1 + m2 + m3
2(–1) + 1.0 + 2.6
yCM = ––––––––––———— (m)2 + 1 + 2
Resposta: A
2. Determine as coordenadas do centro de gravidade da placa ho mo -
gênea, de espessura uniforme, indicada na figura a seguir.
xCM = 1m
yCM = 2m
30
→
Rexterna→aCM = –––––––Msistema
Esta expressão traduz o chamado teorema do centro
de massa, cujo enunciado apresentamos a seguir.
5. Trajetória do centro de massa
A trajetória do centro de massa depende da velo cida -
de inicial e da aceleração do centro de massa.
Como a aceleração do centro de massa é imposta
pela resultante das forças externas (teorema do centro de
massa), concluímos que as forças internas ao sistema não
podem alterar a trajetória do centro de massa.
Exemplos
1) Considere um atleta saltando do trampolim de
uma piscina. Desprezando-se o efeito do ar, após se
desligar do trampolim, o atleta fica sob ação exclusiva da
força de gravidade, que determina para o seu centro de
massa uma trajetória parabólica. Se o atleta realizar uma
série de pi ruetas e acrobacias, estas não alteram a trajetória
do seu centro de massa nem o ponto de encontro do CM
com a água, pois as forças que as produziram são forças
muscu lares internas ao atleta.
2) Considere uma granada lançada obliquamente da
Terra. Desprezando-se o efeito do ar, a força resultante
externa na granada é o seu peso, determinando para o seu
centro de massa uma trajetória parabólica. Se a granada
explodir em seu trajeto, enquanto nenhum dos frag men -
tos atingir o chão, o centro de massa dos fragmentos con -
tinua descrevendo a mesma trajetória parabólica descrita
pelo centro de massa da granada antes da explosão. Isso
se justifica, lembrando-se de que as forças ligadas à
explo são são forças internas que não podem modificar a
trajetória do centro de massa.
Tal trajetória somente se altera quando os frag men tos
começam a chegar ao solo, pois, nessas condições, a
força resultante externa se altera, passando a ser o peso
total dos fragmentos que ainda não atingiram o solo.
→
Rexterna = Msistema
→aCM
Teorema do Centro de Massa
Para obtermos a aceleração do centro de massa de
um sistema, devemos imaginar toda a massa do
sistema concentrada no seu centro de massa e aí
aplicada a resultante das forças externas que
atuam no sistema.
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 30
Resolução
Imaginemos a chapa subdividida em duas secções retangulares,
A e B.
As áreas dos retângulos A e B serão:
AA = 2,0 . 10,0(cm
2) = 20,0cm2
AB = 8,0 . 4,0(cm
2) = 32,0cm2
Sendo � a densidade e e a espessura da chapa, temos:
m = � vol = � . A . e
Sendo � e e constantes, a massa da chapa será proporcional à
respectiva área:
m = k . A, em que, k = � . e
Portanto: mA = k . AA = 20,0k
mB = k . AB = 32,0k
O centro de massa do retângulo A tem coordenadas xA = 1,0cm
e yA = 5,0cm.
O centro de massa do retângulo B tem coordenadas xB = 6,0cm
e yB = 2,0cm.
O centro de massa do sistema A + B terá coordenadas xCM e yCM
dadas por:
mAxA + mBxB k . 20,0 . 1,0 + k . 32,0 . 6,0xCM = ——–––––––—- = –––––––––––––——–––––——- (cm)mA + mB 20,0 k + 32,0 k
mAyA + mByB k . 20,0 . 5,0 + k . 32,0 . 2,0yCM = —––––––––——- = ——––––––––––––––—––––—- (cm)mA + mB 20,0 k + 32,0 k
Resposta: CM � (4,1; 3,2) cm
3. Duas partículas, A e B, estão inicialmente em repouso, separadas
por 1,0m de distância.
A massa de A é mA = 0,20kg e a de B é mB = 0,30kg.
A e B atraem-se mutuamente com forças constantes de inten -
sidade F = 6,0 . 10–2N. Nenhuma força externa atua no sistema.
a) Descreva o que ocorre com o centro de massa do sistema.
b) A que distância da posição original de A as partículas colidem?
c) Calcule o módulo da velocidade relativa entre as partículas no
instante da colisão.
Resolução
a) Como o sistema é isolado (resultante externa nula) e as par -
tículas estão em repouso, o centro de massa do sistema per -
manecerá em repouso.
b) As partículas colidem na posição do centro de massa. A coor -
denada do centro de massa é dada pela média ponderada
entre as coordenadas das partículas, e os pesos, na média
pon derada, são as respectivas massas.
Tomando-se o ponto A como origem das coordenadas, tem-se:
xA = 0; xCM = ?; xB = 1,0m
0,20 . 0 + 0,30 . 1,0
xCM = ———–––––––––––—- (m) 0,20 + 0,30
c) Usando-se a 2.a Lei de Newton:
1) F = mAaA ⇒ 6,0 . 10
–2 = 0,20aA
2) F = mBaB ⇒ 6,0 . 10
-2 = 0,30aB
3) Os módulos das velocidades serão dados por:
V
A
2 = 2. 0,30 . 0,60 ⇒
V
B
2 = 2. 0,20 . 0,40 ⇒
4) Como A e B se movem em sentidos opostos, a velocidade
relativa tem módulo dado por:
Vrel = | VA | + | VB | ⇒
Respostas: a) CM em repouso
b) 0,60m 
c) 1,00m/s
4. Uma bola A, movendo-se com velocidade de módulo 10,0m/s,
aproxima-se de uma bola B parada e de massa duas vezes maior
que a de A.
Qual o módulo da velocidade do centro de massa do sistema das
duas bolas?
Resolução
A velocidade do CM do sistema das duas bolas, A e B, será dada
pela expressão:
→
Qsistema = (mA + mB) 
→
VCM
Como, inicialmente, a bola B estava parada, a quantidade de mo -
vimento total do sistema será igual à quantidade de movimento
inicial da esfera A.
mA
→
VA = (mA + mB)
→
VCM
mA . 10,0m/s = 3mA |
→
VCM| 
Resposta: |
→
VCM| = 3,3m/s
xCM � 4,1cm
yCM � 3,2cm
mAxA + mBxB
xCM = –––––––––––––––
mA + mB
xCM = 0,60m
aA = 0,30m/s
2
aB = 0,20m/s
2
V2 = V
2
0 + 2��s
| VA | = 0,60m/s
| VB | = 0,40m/s
Vrel = 1,00m/s
| 
→
VCM | = 3,3m/s
31
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 09/08/12 10:42 Página 31
5. Considere duas esferas idênticas,
unidas por uma mola elástica de mas sa
desprezível, em equilíbrio em posi ção
vertical. O sistema es tá preso por um
fio a um suporte horizontal.
Num dado instante, o fio arrebenta-se e
o sistema entra em queda livre.
Despreza-se o efeito do ar. A acele ra ção
local da gravidade tem intensidade g.
a) Qual a aceleração do centro de mas -
sa do sistema formado pe las duas
esferas durante a queda?
b) Em um instante t0, durante a que da, 
a esfera B tem acelera ção .
Qual a aceleração da esfera A no referido instante t0?
Resolução
a) Como as esferas estão caindo sob ação exclusiva da gra vi -
dade, a resultante externa é o peso total do sistema e a ace -
leração do centro de massa será igual à aceleração da gra -
vidade.
b) A aceleração do CM é dada pela média ponderada entre as
ace lerações de A e B, tomando-se como pesos, na média pon -
derada, as respectivas massas das esferas:
mA
→
aA + mB
→
aB→aCM = —––––––––—–—mA + mB
Sendo mA = mB = m, tem-se:
→
aA + 
→
aB→aCM = —––––—2
→
g
Sendo 
→
aCM = 
→
g e 
→
aB = ––– , vem:2
→
aA + 
→
g/2→
g = —–––––—
2
2
→
g = 
→
aA + 
→
g/2 ⇒
Respostas: a)
→
g
b) 1,5
→
g
6. (UNESP-MODELO ENEM) – A figura mostra, em perfil, um trator
florestal “derrubador- amontoador” de massa 13t; x é a abscissa de
seu centro de gravidade (CG). A distância entre seus eixos,
traseiro e dianteiro, é DE = 2,5 m.
(J.S.S. de Lima et al. In www.scielo.br/pdf/rarv/v28n6/23984.pdf)
Admita que 55% do peso total do trator está distribuído sobre os
pon tos de contato dos pneus dianteiros com osolo (2) e o
restante sobre os pontos de contato dos pneus traseiros com o
solo (1). Determine a abscissa x do centro de gravidade desse
trator, em relação ao ponto 1.
Adote g = 10 m/s2 e dê a resposta com dois algarismos signifi -
cativos.
Resolução
x = 
x =
x = 
Resposta: 1,4m
7. (UNIFESP-MODELO ENEM) – A massa da Terra é aproxima -
damente oitenta vezes a massa da Lua e a distância entre os
centros de massa desses astros é aproximadamente sessenta
vezes o raio da Terra. A respeito do sistema Terra-Lua, pode-se
afirmar que
a) a Lua gira em torno da Terra com órbita elíptica e em um dos
focos dessa órbita está o centro de massa da Terra.
b) a Lua gira em torno da Terra com órbita circular e o centro de
massa da Terra está no centro dessa órbita.
c) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro
de massa do sistema Terra-Lua, localizado no interior da Terra.
d) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro
de massa do sistema Terra-Lua, localizado no meio da
distância entre os centros de massa da Terra e da Lua.
e) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro
de massa do sistema Terra-Lua, localizado no interior da Lua.
Resolução
A posição do centro de massa do sistema Terra-Lua é cal culada
como se segue:
xCM =
Tomando-se como origem de coordenadas o centro da Terra, vem:
xCM =
xCM = R = R
Como xCM < R, o centro de massa do sistema Terra-Lua é um
ponto interno à Terra.
Resposta: C
→
g
–––
2
→
aCM = 
→
g
→
aA = 1,5
→
g
m1 x1 + m2 x2–––––––––––––
m1 + m2
P1 x1 + P2 x2–––––––––––––
P1 + P2
0,45 P . 0 + 0,55 P . 2,5
––––––––––––––––––––––
P
x � 1,4m
mT xT + mL xL
––––––––––––––
mT + mL
80m . 0 + m . 60R
––––––––––––––––
81m
60
––––
81
20
––––
27
32
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 32
8. Considere uma barra de comprimento L tal que metade da barra
tem densidade linear �1 e a outra metade, densidade linear �2.
A área da secção da barra é constante.
A distância do ponto A ao centro de massa da barra vale:
a) L b)
c) d)
e)
9. (UFPB) – Considere uma barra homogênea com massa igual a
5,0kg e 2,0m de comprimento. Nas extremidades da barra, são
colocados dois pesos de formato circular, de massas 3,0kg e
2,0kg, respectivamente, conforme a figura.
Nessas circunstâncias, qual a distância, em centímetros, entre o
centro de massa do sistema barra + pesos e o centro da barra?
10. (UNIMONTES-MG) – Na figura abaixo, representamos um sis te -
ma formado por dois corpos de massas m1 = 4,0kg e m2 = 6,0kg. 
As coordenadas do centro de massa do sistema, XCM e YCM, são,
respectivamente,
a) 2,0m e 1,5m. b) 2,2m e 1,2m. c) 3,0m e 2,2m.
d) 2,5m e 3,0m. e) 2,2m e 1,5m.
11. Uma bomba está a uma altitude H = 125m acima do solo hori -
zontal, com velocidade horizontal de módulo V0 = 200m/s, quando
explo de em dois fragmentos, A e B, de mesma massa e que
atingem o solo simultaneamente.
Despreze o efeito do ar e considere g = 10m/s2.
Os fragmentos A e B atingem o solo nas posições A0 e B0
indicadas na figura.
O valor de D é:
a) 1000m b) 1200m c) 1600m
d) 1800m e) 2000m
12. Um disco homogêneo de raio R tem espessura desprezível e seu
centro de massa tem coordenadas xCM = 0 e yCM = R, conforme
mostra a figura 1.
Retira-se do disco de raio R um disco menor de raio , cujo 
centro C tem coordenadas x = 0 e y = (fig. 2).
O centro de massa do disco, com a cavidade referente ao disco
menor retirado (figura sombreada no gráfico) terá coordenada y1
dada por:
a) b) R c) R d) R e) R
13. (UECE) – O corpo A, de massa 2,0kg, move-se com velo cidade
constante de módulo 4,0m/s, com direção ao longo do eixo x, no
sentido positivo desse eixo. O corpo B, de massa 6,0kg, move-se
com velocidade constante de módulo 3,0m/s, com direção ao
longo do eixo y, no sentido negativo desse eixo. O módulo da
velocidade do centro de massa do sistema composto pelos dois
corpos, A e B, em m/s, é aproximadamente
a) 2,5 b) 5,5 c) 10,5 d) 15,5 e) 16,5
14. (UFPE) – Em um dado instante, duas partículas de massas iguais
são lançadas a partir da origem do sistema de coordenadas. A
partícula 1 é lançada obliquamente, com velocidade de módulo 
V0 = 20 m/s, segundo um ângulo de 60° com a horizontal (eixo x).
A partícula 2 é lançada horizontalmente (na direção do eixo x),
sobre uma superfície sem atrito, com velocidade de módulo 
V2 = 10m/s. 
L
–––
2
�1 + 3�2�–––––––––��1 + �2
�1 + 3�2�–––––––––��1 + �2
L
–––
4
�1 + �2�–––––––––��2 – �1
L
–––
4
�1 + 3�2�–––––––––��1 + �2
L
–––
4
�1 + 2�2�–––––––––��1 + �2
R
––––
2
3R
––––
2
6
–––
7
5
–––
6
4
–––
5
3
–––
4
R
–––
2
33
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 33
Determine o módulo da velocidade do centro de massa do
sistema das duas partículas, no instante em que a partícula 1
atinge o ponto mais alto de sua trajetória.
15. Dois objetos, A e B, estão em repouso sobre uma superfície plana
e sem atrito.
Os objetos não estão conectados e nem se tocando. Uma força
horizontal constante 
→
F é aplicada ao objeto A, que adquire uma
ace leração de módulo a. Verifique qual a proposição correta:
a) O conceito de centro de massa não pode ser aplicado porque
a força atua apenas em um dos objetos.
b) O centro de massa do sistema formado pelos dois objetos vai-
se mover com uma aceleração de módulo a.
c) O centro de massa do sistema formado pelos dois objetos vai-
se mover com uma aceleração de módulo menor que a.
d) O centro de massa do sistema formado pelos dois objetos vai-
se mover com uma aceleração de módulo maior que a.
e) O centro de massa dos sistema formado pelos dois objetos vai
permanecer em repouso.
16. (UFMS) – Um pêndulo rígido, na forma de haltere, com duas es -
feras de tamanhos diferentes (veja figura), está oscilando preso a
um eixo horizontal de massa desprezível fixo perpendi cular mente
em uma parede vertical. Em um dado instante, quando o pêndulo
passa pela posição vertical, o eixo solta-se da parede, e o pêndulo
despenca em queda livre. Considere como sistema físico apenas
o haltere e despreze a resistência do ar. Com relação ao momento
em que o pêndulo despenca, antes de atingir o solo, e com
fundamentos nos conceitos da Mecânica, assinale a(s) propo -
sição(ões) correta(s).
01) O pêndulo continua oscilando com o mesmo período que ti -
nha antes.
02) O centro de massa do haltere cai verticalmente em relação ao
solo.
04)O centro de massa do haltere cai verticalmente com relação
ao solo, descrevendo movimento de rotação com velocidade
angular constante em relação ao centro de massa da esfera
maior.
08) O centro de massa do haltere cai verticalmente com relação
ao solo, enquanto o haltere descreve movimento de rotação
em torno do centro de massa do sistema.
16) O centro de massa do haltere cai oscilando com relação ao
solo.
Dê como resposta a soma dos números associados às proposi -
ções corretas.
17. Considere três esferas, A, B e C, de massas respectivamente
iguais a M, 2M e 7M. As esferas A e B estão em queda livre
vertical com aceleração de módulo 10,0m/s2, e a esfera C está em
repouso no solo.
A aceleração do centro de massa do sistema terá módulo igual a:
a) 1,0m/s2 b) 3,0m/s2 c) 5,0m/s2
d) 8,0m/s2 e) 10,0m/s2
18. Dois objetos de massas diferentes estão conectados por uma
mo la comprimida e travada.
O novo objeto assim formado é lançado verticalmente para cima
e, ao atingir o ponto mais alto de sua trajetória (velocidade nula),
a mola se destrava e um dos objetos é lançado verticalmente para
cima, permanecendo a mola conectada ao outro objeto. Des -
preza-se o efeito do ar.
Logo após a liberação da mola, o centro de massa do sistema
estará
a) movendo-se verticalmente para cima com movimento acele -
rado.
b) movendo-se verticalmente para baixo com movimento ace le -
rado.
c) movendo-se verticalmente para cima com movimento retar -
dado.
d) movendo-se verticalmente para baixo com movimento retar -
dado.
e) com aceleração nula.
19. (MODELO ENEM) – Sete gansos idênticos estão voando juntos
para o sul com veloci dade constante 
→
V relativaao solo terrestre.
Um caçador atira e um deles morre, cai e fica parado no solo. Os
outros mantém sua velocidade constante 
→
V.
O centro de massa dos sete gansos
a) continua movendo-se para o sul com a mesma velocidade 
→
V,
porém atrás dos gansos que estão voando.
b) continua movendo-se para o sul com velocidade
→
V.
c) continua movendo-se para o sul com velocidade
→
V.
d) para com a morte do ganso.
e) passa a mover-se numa direção diferente da original.
20. (UFJF-MG-MODELO ENEM) – Um casal de patinadores está so -
bre uma plata forma horizontal estreita que pode oscilar em torno
do eixo que passa pelo ponto E (veja a figura). A massa dele é de
70 kg e a dela é de 62kg. A massa da plataforma é desprezível,
comparada com as massas de cada patinador. Eles estão
inicialmente parados e de mãos dadas no centro da plataforma e
o conjunto casal-plata forma está em equilíbrio sobre o eixo E da
plataforma. 
Eles se empurram mutuamente e se afastam um do outro,
deslizando com atrito desprezível sobre a plataforma. Então se
observa que
6
–––
7
1
–––
7
34
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 34
a) a plataforma se inclina para baixo, para o lado em que o homem
se desloca.
b) a plataforma se inclina para baixo, para o lado em que a mulher
se desloca.
c) a plataforma se inclina para baixo, para o lado daquele que tiver
maior velocidade.
d) a plataforma se inclina para baixo, para o lado daquele que tiver
menor velocidade.
e) a plataforma continua em equilíbrio durante o movimento dos
patinadores.
21. (UFOP-MG-MODELO ENEM) – Um soldado lança uma granada
que explode ainda no ar. Desprezando-se os efeitos de resistência
do ar, podemos dizer que a trajetória da granada antes de explodir
e a trajetória do centro de massa do sistema formado pelos
estilhaços da granada após a explosão e antes de chegarem ao
solo são, respectivamente:
a) uma parábola e uma reta vertical.
b) um arco de circunferência e uma reta vertical.
c) uma mesma parábola em ambos os casos.
d) uma parábola e uma hipérbole.
e) duas parábolas distintas.
22. (UEL-PR-MODELO ENEM) – Uma das armas utilizadas pelas for -
ças especiais dos Estados Unidos da América e da Inglaterra con -
tra as bases do Talibã são os mísseis Tomahawk. Esses mísseis
podem ser lançados de na vios ou aviões. Dirigidos por satélite,
viajam a 880km/h, podendo alcançar alvos situados a 1600km.
Suponha que um desses mísseis seja lançado do porta-aviões
USS Carl Vinson, situado no Golfo Pér sico, em direção a uma base
Talibã situada em Shidand, e descreva uma trajetória parabólica.
Suponha também que esse míssil possua um sensor com o qual
se pode explodi-lo no ar, de modo que ele se frag mente em
pedacinhos pequenos, para evitar, por exemplo, que atinja
indevidamente a população civil. No caso de haver uma explo são
como essa, no ar, e com respeito ao movimento do centro de
massa dos fragmentos após a explosão, considere as se guintes
afirmativas, desprezando-se o efeito do ar:
I. O centro de massa dos fragmentos continua des crevendo
uma trajetória parabólica, porque a ex plosão representa
somente o efeito das forças internas.
II. A energia mecânica não é conservada, pois ela sofre um
aumento, devido à conversão da ener gia química armazenada
em energia mecânica; mas a resultante das forças externas e
o movi mento do centro de massa não se alteram.
III. O centro de massa dos fragmentos não continua mais
descrevendo uma trajetória parabólica, pois a explosão fará
com que os fragmentos si gam trajetórias próprias.
Aponte a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente a afirmativa II é verdadeira.
c) Somente a afirmativa III é verdadeira.
d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
35
8) C
9) O centro de gravidade está localizado a 10cm do centro da
barra e mais perto do peso maior.
10) B 11) C
12) Para o disco completo, temos yCM = R 
Para o disco retirado, temos y2 =
A massa do disco completo vale M
A massa vai ser proporcional à área:
m2 = k π 
2
= k . 
M = k πR2 ⇒ m2 = e m1 = M
yCM = 
R = 
R = y1 + R
y1 = R – R
y1 = R
Resposta: D
13) A 14) 10m/s 15) C 16) 10 17) B
18) B 19) B 20) E 21) C 22) D
3R
––––
2
R�–––�
2
πR2
––––
4
M
––––
4
3
––––
4
m1y1 + m2y2––––––––––––––
m1 + m2
3/4M . y1 + M/4 . 3R/2–––––––––––––––––––––––
M
3
––––
4
3
––––
8
3
––––
4
3
––––
8
3
––––
4
5
––––
8
5
y1 = –––– R6
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 35
36
1. Preliminares
Abordaremos, em nosso estudo, as colisões unidi -
men sionais, isto é, colisões em que as velocidades dos
cor pos que colidem são dirigidas segundo uma única di -
reção, antes e após a colisão.
2. Fases da colisão
A fase de deformação começa quando os corpos en -
tram em contato e passam a se deformar mutuamente.
Nesta fase, a velocidade relativa entre os corpos vai
gra dativamente diminuindo e a energia cinética do sis te -
ma pode transformar-se em várias modalidades de ener -
gia:
• Energia potencial elástica, que fica armazenada
no sistema e ainda pode ser retransformada em cinética.
Esta energia corresponde ao trabalho desenvolvido nas
deformações elásticas.
• Trabalho nas deformações plásticas ou perma nen -
tes.
• Energia térmica, ligada ao aquecimento dos cor pos.
• Energia sonora ou acústica, ligada ao “barulho”
pro duzido por ocasião do impacto.
A fase de deformação termina quando os corpos que
estão colidindo tiverem a mesma velocidade, isto é,
quan do a velocidade relativa se anular. Em tais con di -
ções, a energia cinética do sistema terá o seu mínimo va -
lor (podendo ser zero ou não) durante todo o trans cor rer
do choque e a energia potencial elástica será má xima.
Na fase de restituição, desaparecem as deformações
elás ticas e a energia potencial elástica armazenada é re -
trans formada em energia cinética, podendo haver mais
produção de energia térmica e acústica. A fase de res ti -
tuição somente termina quando os corpos se separam.
A fase de deformação sempre existe, porém a fase de
restituição pode não existir.
3. Coeficiente de restituição
Consideremos dois corpos, A e B, que vão realizar
uma colisão unidimensional.
Sejam: 
Vap – módulo da velocidade relativa de aproximação
entre A e B antes da colisão.
Vaf – módulo da velocidade relativa de afastamento
entre A e B depois da colisão.
Define-se coeficiente de restituição como um nú -
me ro e dado por:
Observações
1) e é um adimensional que pode variar entre 0 e 1 e
pode ser expresso em porcentagem.
2) Quando os corpos caminham no mesmo sentido, o
módulo da velocidade relativa é a diferença dos módulos
de suas velocidades.
Vafe = ––––
Vap
0 	 e 	 1
Em uma colisão unidimensional e elástica
entre esferas de massas iguais, haverá troca de
velocidades entre as esferas.
No caso do dispositivo, com as hipóteses descritas,
apenas a última bolinha vai movimentar-se,
permanecendo as demais em repouso.
COLISÃO 
MECÂNICA
Mecânica
3
CAPÍTULO
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 36
3) Quando os corpos caminham em sentidos con trá -
rios, o módulo da velocidade relativa é a soma dos
módulos de suas velocidades.
4) Exemplos
4. Quantidade de movimento
Durante o breve intervalo de tempo em que se dá a
co lisão mecânica, as forças internas, de ação e reação,
entre os corpos que colidem são muito intensas, de modo
que eventuais forças externas ao sistema constituído
pelos corpos em colisão se tornam desprezíveis. Não ha -
vendo, pois, interferência relevante de forças externas,
consideramos o sistema dos dois corpos como isolado e,
portanto, enunciamos:
Cumpre salientar que, no ato da colisão, em virtude
da presença de forças internas de ação e reação, as quan -
tidades de movimento de cada um dos corpos variam e
apenas a quantidade de movimento total (soma vetorial
das duas) permanece constante:
5. Colisão elástica (ou
perfeitamente elástica)
O coeficiente de restituição vale 1 (e = 1). Isto sig -
nifica que Vaf = Vape, portanto, a energia cinética final
do sistema será igual à energia cinética inicial, isto é, te -
mos um sistema de forças conservativo. 
Na fase de deformação, a energia cinética do sistema
transforma-se apenas em energia potencial elástica (só há
deformações elásticas), não havendo produção de ener -
gia térmica nem sonora nem deformações permanen tes.
Na fase de restituição, toda a energia potencial elás -
tica armazenada é retransformada em energia cinética.
Cumpre ressaltar que, durante a colisão, a energia
ci nética do sistema varia e o que permanece constante é
a energia mecânica total, que é a soma da energia ciné -
tica com a energia potencial elástica.
A colisão perfeitamente elástica é uma colisão ideal
que só é citada em modelos teóricos como o de um gás
perfeito.
Quando a colisão não é elástica (0 	 e < 1), ela é
chamada de inelástica ou anelástica. 
6. Colisão parcialmente elástica
(ou parcialmente inelástica)
O coeficiente de restituição está compreendido no
intervalo aberto entre 0 e 1:
Durante a deformação mútua entre os corpos que co -
lidem, a energia cinética inicial é transformada parcial -
mente em energia potencial elástica por meio de defor -
ma ções elásticas; outra parte da energia cinética inicial é
transformada em energia térmica, provo cando aque -
Em qualquer tipo de colisão mecânica (sistema
iso lado), há conservação da quantidade de mo -
vimento total do sistema constituído pelos dois
cor pos que colidem.
→
Qtotal = 
→
QA + 
→
QB
↓ ↓ ↓
constante varia varia
→
Qapós = 
→
Qdurante = 
→
Qantes
mA
→
V’A + mB
→
V’B = mA
→
VA + mB
→
VB
0 < e < 1
37
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cimento dos corpos em colisão; outra parte é utili zada
como trabalho em deformações permanentes, e ain da
outra parcela em energia sonora, correspondente ao
barulho por ocasião do impacto.
A perda de energia mecânica nos revela que o sis -
tema de forças ligado a uma colisão parcialmente elástica
é dissipativo.
Na fase de restituição, desaparecem as deformações
elásticas e a energia potencial elástica armazenada é res -
tituída para a forma de energia cinética, podendo haver
mais produção de energia térmica e energia sonora.
Do exposto, podemos concluir que:
Observemos que, nesta colisão parcialmente elástica,
existem as duas fases da colisão: deformação e restitui -
ção, porém com dissipação de energia mecânica e com
separação dos corpos após a colisão.
A quantidade de energia mecânica dissipada depende
do valor do coeficiente de restituição e:
7. Colisão 
perfeitamente inelástica 
(ou perfeitamente anelástica)
O coeficiente de restituição é nulo (e = 0).
Isto significa que a velocidade de afastamento é nula,
isto é, os corpos não se separam, permanecendo juntos
após a colisão.
Na fase de deformação, a energia cinética transfor -
ma-se, total ou parcialmente, exclusivamente em ener gia
térmica, energia acústica e trabalho de defor ma ção
permanente.
Isto significa que não há armazenamento de energia
potencial elástica, advindo daí o nome de perfeitamente
ine lástico (ou anelástico).
Notas
Se a quantidade de movimento total do sistema for -
mado pelos corpos que colidem for nula, após a co li são
perfeitamente inelástica os corpos ficam em re pou so, o
que significa que toda a energia cinética do sis tema foi
dissipada.
Se a quantidade de movimento total do sistema for -
mado pelos corpos que colidem não for nula, após a co -
lisão perfeitamente inelástica os corpos estarão gru -
dados e em movimento.
O fato de não haver armazenamento de energia po -
tencial elástica significa que:
Na colisão perfeitamente inelástica, há transformação de energia mecânica
em outras modalidades de energia.
8. Esquematização 
dos tipos de colisão
Na colisão mecânica parcialmente elástica, a ener -
gia cinética final do sistema é menor do que a ener -
gia cinética inicial.
e próximo de 1 ⇔ pouca dissipação
e próximo de 0 ⇔ muita dissipação
colisão perfeitamente No final, corpos→
Qtotal = 
→
0 ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
inelástica em repouso
colisão perfeitamente No final, corpos→
Qtotal ≠ 
→
0 ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ grudados em
inelástica movimento 
Na colisão perfeitamente inelástica não existe a fase
de restituição.
38
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1. Duas partículas, A e B, realizam uma colisão unidimensional em
um plano horizontal sem atrito, constituindo um sistema isolado.
Re presentamos as velocidades escalares das partículas, em fun -
ção do tempo, a partir do instante t0 em que começa a colisão.
Pergunta-se:
a) Qual o valor do coeficiente de restituição e qual o tipo de coli -
são?
b) Qual a relação entre as massas de A e B?
Resolução
a) O coeficiente de restituição e é dado por:
Do gráfico dado, obtém-se:
V’B = 5,0m/s: V’A = – 5,0m/s
VA = 10,0m/s e VB = –10,0m/s
Portanto:
5,0 – (–5,0) 10,0
e = ———–——— = –—— ⇒
10,0 – (–10,0) 20,0
Como 0 < e < 1, a colisão é parcialmente elástica.
b) Usando-se a conservação da quantidade de movimento total
do sistema formado por A e B, tem-se:
→
Qapós = 
→
Qantes
mA
→
V’A + mB
→
V’B = mA
→
VA + mB
→
VB
Como a colisão é unidimensional, tem-se:
mAV’A + mBV’B = mAVA + mBVB
mA(–5,0) + mB5,0 = mA10,0 + mB(–10,0)
15,0mB = 15,0mA ⇒
Respostas: a) e = 0,50: colisão parcialmente elástica
mBb) –––– = 1
mA
2. Uma partícula A de massa m1, movendo-se num plano horizontal
sem atrito, colide unidimensionalmente com outra partícula, B, de
massa m2, inicialmente em repouso nesse plano. A colisão é
elástica e as velocidades da partícula A, antes e depois do cho que,
valem, respectivamente, 4,0m/s e 2,0m/s, sempre no mes mo
sentido.
O módulo V’2, da velocidade da partícula de massa m2, após a
coli são, e a razão m1/m2 entre as massas das duas partículas são
da dos por:
m1 m1a) V
2
’ = 6,0m/s e —— = 3 b) V
2
’ = 6,0m/s e —— = 1
m2 m2
m1 m1c) V
2
’ = 4,0m/s e —— = 1 d) V
2
’ = 4,0m/s e —— = 3
m2 m2
m1e) V
2
’ = 5,0m/s e —— = 2
m2
Resolução
1) Sendo a colisão elástica, tem-se:
V’2 – V’1 = V1 – V2
V’2 – 2,0 = 4,0 ⇒
2) Usando-se a conservação da quantidade de movimento total,
do sistema isolado formado por A e B, obtém-se:
→
Qapós = 
→
Qantes
m1
→
V’1 + m2
→
V’2 = m1
→
V1 + m2
→
V2
Sendo a colisão unidimensional, tem-se:
m1V’1 + m2V’2 = m1V1 + m2V2
m1 . 2,0 + m2 . 6,0 = m1 . 4,0
6,0m2 = 2,0m1 ⇒
Resposta: A
3. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um vagão A, de massa 10t, move-
se com velocidade escalar igual a 0,40m/s sobre trilhos
horizontais sem atrito até colidir com um outro vagão, B, de
massa 20t, inicialmente em repouso. Após a colisão, o vagão A
fica parado. A energia cinética final do vagão B vale:
a) 100J b) 200J c) 400J d) 800J e) 1600J
Resolução
Vaf V
’
B – V
’
A
e = –––– = ––––––––
Vap VA – VB
e = 0,50
mB = mA
e = 1 ⇔ Vaf = Vap
V’2 = 6,0m/s
m1–––– = 3
m2
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6. (VUNESP) – Em experimentos com colisões entre feixes de
prótons, verifica-se que muitas dessas colisões são elásticas.
Nesses casos, após a colisão,
a) os prótons passam a andar juntos, com velocidades iguais.
b) o momento linear de cada próton não varia, só o total varia.
c) conserva-se o momento linear, e há perda de energia cinética.
d) não há variação nas velocidades, como se não houvesse
interação.
e) a energia cinética total final permanece a mesma de antes.
7. (VUNESP) – A figura representa a fotografia estroboscópica de
uma bola rolando no chão plano, vista por cima.
Como as posições foram registradas iluminando-se a bola em
intervalos de tempo iguais, pode-se concluir que
a) o movimento é uniformemente variado.
b) a bola se move da direita para a esquerda.
c) houve conservação da energia mecânica.
d) o choque da bola com a parede foi elástico.
e) o atrito com o chão é menor do lado direito.
8. Um elétron colide com um átomo e após a colisão o átomo fica
excitado, atingindo um estado de energia potencial interna maior. 
Esta colisão deve ser considerada como
a) perfeitamente elástica.
b) perfeitamente inelástica.c) inelástica, porém não perfeitamente inelástica.
d) uma colisão em que não há conservação da quanti dade de
movimento total do sistema átomo-elétron.
e) uma colisão em que não há conservação da energia total do
sistema átomo-elétron.
9. (UFPR) – A figura a seguir representa, esquemati ca mente, os
gráfi cos da velocidade escalar versus tem po em uma colisão
unidimen sional de dois carrinhos, A e B. 
40
No ato da colisão, o sistema é isolado e, portanto, haverá conser -
vação da quantidade de movimento total do sistema:
Qfinal = Qinicial
mBV’B = mAVA
20 . V’B = 10 . 0,40 ⇒
A energia cinética final do vagão B é dada por:
mB(V’B)
2 20 . 103
E’cinB
= ——––— = —–—–— (0,20)2(J)
2 2
Resposta: C
4. (UNESP) – Um corpo em movimento colide com outro de igual
mas sa, inicialmente em repouso.
Mostre que, se a colisão for completamente inelástica, a energia
cinética do sistema (constituído pelos dois corpos) após a colisão
é a metade da energia cinética antes da colisão.
Resolução
Usando-se a conservação da quantidade de movimento total,
tem-se:
Qfinal = Qinicial
2mVf = mV0 ⇒
Comparando-se as energias cinéticas:
mV
0
2
Antes da colisão: E0 = ——— (1)2
2m V
0Após a colisão: Ef = —— V
2 = m (——)
2
2 f 2
mV
0
2
Ef = ——— (2)4
De (1) e (2), obtemos:
5. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um caminhão, parado em um
semáforo, teve sua traseira atingida por um carro. Logo após o
choque, ambos foram lançados juntos para frente (colisão
perfeitamente inelástica), com uma velocidade de módulo
estimado em 5 m/s (18 km/h), na mesma direção em que o carro
vinha. Sabendo-se que a massa do caminhão era cerca de três
vezes a massa do carro, foi possível concluir que o carro, no mo -
mento da colisão, trafegava a uma velocidade escalar aproximada
de
a) 72 km/h b) 60 km/h c) 54 km/h
d) 36 km/h e) 18 km/h
Resolução
No ato da colisão, o carro e o caminhão formam um sistema
isolado e haverá conservação da quantidade de movimento total.
Qapós = Qantes
(M + m) Vf = mV0
(3m + m) 18 = m . V0
V0 = 4,0 . 18 (km/h)
Resposta: A
V’B = 0,20m/s
E’cinB
= 4,0 .102J
V0Vf = ––––2
E0Ef = ––––2
V0 = 72km/h
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Supondo-se que não existam forças externas e que a massa do
carri nho A seja 0,20kg, pedem-se:
a) o coeficiente de restituição nesta colisão;
b) a massa do carrinho B.
10. Dois carrinhos, A e B, realizam uma colisão unidimensional. O
gráfico a seguir representa as velocidades escalares de A e B
antes, durante e após a colisão.
Analise as proposições que se seguem:
1) A colisão é elástica.
2) A razão entre as massas de A e B (mA/mB) vale 0,6.
3) No instante t = 2,0 . 10–2s, as velocidades de A e B são iguais
e valem 0,5m/s.
4) No instante t = 2,0 . 10–2s, a energia cinética do sistema
formado pelos dois carrinhos é mínima.
Estão corretas:
a) apenas (1) e (2) b) apenas (3) e (4)
c) apenas (2), (3) e (4) d) apenas (1) e (3)
e) (1), (2), (3) e (4)
11. (UFPB-PB) – O gráfico mostra a variação das ve lo cidades esca -
lares com o tempo de dois blocos que colidem unidimen sional -
mente, em unidades arbitrá rias.
Nesse contexto, é correto afirmar:
a) A colisão é perfeitamente elástica.
b) A colisão é perfeitamente inelástica.
c) Os blocos movimentam-se sempre no mesmo sentido.
d) A relação entre as massas é mB = 3mA.
e) A relação entre as massas é mB = mA.
12. (VUNESP) – Considere uma colisão frontal unidimensional entre
um átomo de hidrogênio (H) que se move com velocidade de mó -
dulo V e uma molécula de hidrogênio (H2), em repouso. Sabe-se
que após a colisão a molécula adquire velocidade de módulo V/3.
Sendo E1 e E2 as energias cinéticas do sistema antes e depois da
colisão, respectivamente, a relação E2/E1 vale
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) 3/4 
13. (UFRN) – Para demonstrar a aplicação das leis de conservação de
energia e da quantidade de movimento, um professor realizou o
experimento ilustrado nas figuras 1 e 2, abaixo.
Inicialmente, ele fez colidir um carrinho de massa igual a 1,0kg,
com velocidade de módulo 2,0m/s, com um outro de igual massa,
porém em repouso, conforme ilustrado na figura 1. No segundo
carrinho, existia uma cera adesiva de massa desprezível. Após a
colisão, os dois carrinhos se mantiveram unidos, deslocando-se
com velocidade de módulo igual a 1,0m/s, conforme ilustrado na
figura 2.
Considerando-se que o módulo da quantidade de movimento e a
energia cinética iniciais do sistema eram, respectivamente, 
2,0 kg.m/s e 2,0J, pode-se afirmar que, após a colisão,
a) nem a quantidade de movimento do sistema nem sua energia
cinética foram conservadas.
b) tanto a quantidade de movimento do sistema quanto sua
energia cinética foram conservadas.
c) a quantidade de movimento do sistema foi conservada, porém
a sua energia cinética não foi conservada.
d) a quantidade de movimento do sistema não foi conservada,
porém a sua energia cinética foi conservada.
14. Uma flecha de massa 0,20 kg e com velocidade de módulo
10,0m/s atinge uma maçã de massa 0,30 kg que estava em cima
da cabeça de uma garota.
A flecha fica incrustada na maçã e, imediatamente após a colisão,
o sistema flecha-maçã adquire uma velocidade com módulo V.
Seja E a energia mecânica dissipada na colisão entre a flecha e a
maçã. Despreze forças externas no ato da colisão.
Os valores de V e E são dados por:
a) V = 10,0m/s E = 6,0J b) V = 4,0m/s E = 4,0J
c) V = 6,0m/s E = 4,0J d) V = 4,0m/s E = 6,0J
e) V = 4,0m/s E = 10,0J
15. (UFRJ) – Em um parque de diversões, dois carri nhos elétricos
idênticos, de massas iguais a 150kg, colidem frontalmente. As
velocidades dos car rinhos imediatamente antes do choque têm
mó dulos 5,0m/s e 3,0m/s e sentidos opostos.
Calcule a máxima perda de energia cinética possível do sistema,
durante a colisão.
41
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16. (UFF-RJ) – Dois carrinhos podem deslizar sem atrito sobre um
trilho de ar horizontal. A colisão entre eles foi registrada, utilizan -
do sensores de movimento, e as respectivas velocidades, durante
o processo, estão ilustradas no gráfico. O carrinho de massa m2
estava inicialmente em repouso. 
Assinale a opção que identifica corretamente as relações entre as
mas sas m1 e m2 dos dois carrinhos e entre as energias cinéticas
totais do sistema antes (Ec
a) e depois (Ec
d) da colisão. 
a) m2 = 2m1/3; Ec
d = Ec
a / 2 b) m2 = m1/2; Ec
d = 2Ec
a / 3
c) m2 = m1; Ec
d = Ec
a d) m2 = m1/3; Ec
d = Ec
a / 3
e) m2 = 2m1; Ec
d = Ec
a / 3
17. (UFMG) – Em julho de 1994, um grande cometa deno minado
Shoemaker-Levi 9 atingiu Júpiter, em uma colisão frontal e perfei -
tamente inelástica.
De uma nave no espaço, em repouso em relação ao planeta,
observou-se que a velocidade do cometa tinha módulo de 
6,0 . 104m/s antes da colisão.
Considere que a massa do cometa é 3,0 . 1014kg e que a massa
de Júpi ter é 1,8 . 1027kg.
Com base nessas informações, calcule
a) o módulo da velocidade, em relação à nave, com que Júpiter
se deslocou no espaço, após a colisão;
b) a energia mecânica total dissipada na colisão do cometa com
Júpiter.
18. (UFU-MG) – Um bloco de massa m1 = 2,0 kg é solto do alto de
um trilho no ponto A a partir do repouso. Desliza ao longo do
trilho, suposto sem atrito, e se choca com outro bloco de massa
m2 = 1,0 kg que inicialmente está em repouso no ponto B, a
uma altura do solo h2 = 5,0 m, na extremidade horizontal direita
do trilho.
Ocorre uma colisão perfeitamente inelástica; os blocos se grudam
e se deslocam juntos até o ponto C, distante 4,0 m (na horizontal)
de B.
Considerando-se a aceleração gravitacional com módulo 
g = 10,0 m/s2 e desprezando-se o efeito do ar, determine
a) o módulo da velocidade dos blocos imediatamente após a
colisão;
b) o módulo da velocidade com a qual o bloco de massa m1
chega para colidir com o bloco de massa m2;
c) a variação da energia mecânica do sistema durante a colisão;
d) a altura do ponto A (h1) para que os blocos cheguem ao ponto
C.
19. (UECE-MODELO ENEM) – Um grupo de alunos, no laboratório de
Física, afirma que observaramuma colisão perfeitamente elástica
entre duas esferas metálicas bem polidas, em uma superfície
horizontal, que resultou nas duas esferas terminarem em repou -
so. Nenhuma força externa horizontal estava agindo nas esferas
no instante da colisão. Sobre o fato, assinale o correto.
a) As velocidades escalares iniciais das duas esferas eram iguais
e suas massas eram idênticas.
b) As velocidades escalares iniciais das duas esferas eram
diferentes e suas massas eram, também, diferentes.
c) As velocidades escalares iniciais das duas esferas eram iguais,
mas suas massas não necessariamente eram idênticas.
d) A colisão não pode ter ocorrido como afirmado pelo grupo.
e) As esferas têm massas diferentes.
20. (UEPA-MODELO ENEM) – A experiência pioneira de Rutherford,
que observou colisões de partículas alfa com núcleos de ouro,
serviu de base para a elaboração de seu modelo do átomo.
Considere que nesta colisão, a qual é elástica, a partícula alfa tinha
uma velocidade alta, e o núcleo de ouro, que tem uma massa
muito maior, estava inicialmente em repouso. Analise as
seguintes afirmativas sobre esta colisão:
I. Se a partícula foi rebatida pelo núcleo com velocidade de mó -
dulo igual ao inicial, ela perde sua energia cinética, ficando
apenas com energia potencial.
II. A energia mecânica total é constante durante as colisões
descritas.
III. A energia cinética adquirida pelo núcleo de ouro é igual à que
foi perdida pela partícula durante a colisão.
De acordo com as afirmativas acima, a alternativa correta é:
a) I, apenas b) III, apenas c) I e II, apenas
d) II e III, apenas e) I, II e III
21. (UNESP-MODELO ENEM) – Suponha que, em uma partida de
futebol americano os dois jogadores que aparecem em primeiro
plano na figura sofram uma colisão perfeitamente inelástica
frontal, com velocidades de mesmo módulo e direção em relação
ao solo.
Nesse caso, desprezando-se o efeito do atrito de seus pés com o
solo, pode-se concluir que,
a) em caso de massas iguais, os jogadores ficarão parados no
ponto da colisão.
b) independentemente do valor de suas massas, os dois
jogadores ficarão parados no ponto de colisão.
c) como o jogador da direita tem maior massa, eles irão deslocar-
se para a direita.
d) não importa quais as massas dos jogadores, ambos irão recuar
após a colisão.
e) em função de suas massas, o jogador que tiver a maior massa
recuará.
42
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9. Colisão elástica unidimensional
entre corpos de massas iguais
Demonstremos que os corpos trocam de velocidades
com a colisão, isto é, V’
B
= VA e V’A = VB.
(1) Usando-se a conservação da quantidade de mo -
vi mento total:
mV’
A
+ mV’
B
= mVA + mVB
V’
A
+ V’
B
= VA + VB (1)
(2) Usando-se a condição de colisão elástica: 
V’
B
– V’
A
= VA – VB (2)
Fazendo-se (1) + (2):
2V’
B
= 2VA ⇒
Em (1) ⇒
t1 = início da colisão
t2 = fim da deformação
t3 = fim da colisão
Na colisão elástica e frontal entre esferas de massas iguais, há troca de velo -
ci dades.
Nos esquemas, a colisão é suposta elástica e todas as esferas têm massas iguais.
Com a chegada de uma esfera na esquerda, apenas uma esfera se move para
a direita, permanecendo as demais em repouso.
Com a chegada de duas esferas na esquerda, apenas duas esferas se movem
para a direita, permanecendo as demais em repouso.
Qfinal = Qinicial
Vafastamento = Vaproximação
V’B = VA
V’A = VB
Em uma colisão unidimensional, elástica, entre
cor pos de massas iguais, há troca de velocidades
entre os cor pos.
43
22. (MODELO ENEM) – Considere um planeta com velocidade orbital de módulo
10,0 km/s. Uma nave espacial vai usar a atração gravitacional do planeta como
um estilingue gravitacional para aumentar sua velocidade. A nave se aproxima
do planeta com velocidade de módulo V0 = 12,0 km/s e, após a interação
gravitacional retorna com velocidade de módulo V.
Considerando-se a interação como uma colisão elástica, o valor de V é:
a) 12,0 km/s b) 22,0 km/s
c) 30,0 km/s d) 32,0 km/s
e) 40,0 km/s
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10. Colisão de uma partícula
contra um anteparo rígido 
em posição horizontal
Uma partícula de massa m, abandonada do repouso,
de uma altura H, acima do anteparo horizontal, cai livre -
mente (não se considera o efeito do ar) e, após a colisão,
atinge uma altura máxima h.
Calculemos o coeficiente de restituição nesta coli -
são, em função de h e H.
Usando-se a conservação da energia mecânica
du rante a queda livre e antes da colisão, temos, assumin -
do o anteparo como referência (Epot = 0):
mV
B
2
EB = EA ⇒ –––––– = m g H2
Usando-se a conservação da energia mecânica
du ran te a su bida, após a colisão, temos:
m(V’
B
)2
E’
B
= EC ⇒ –––––––– = m g h2
Usando-se a definição de coeficiente de resti tui -
ção na colisão entre a partícula e o anteparo, temos:
Vaf V’B ����2 g he = ––––– = ––––– = ––––––––
Vap VB ����2 g H
a) Se a colisão for parcialmente elástica, temos:
0 < h < H
b) Se a colisão for perfeitamente elástica, temos:
h = H
c) Se a colisão for perfeitamente inelástica, temos:
h = 0
A altura máxima atingida após n colisões sucessivas
é dada por:
1.a colisão: h1 = e
2H
2.a colisão: h2 = e
2h1 = e
4H
3.a colisão: h3 = e
2h2 = e
6H
.
.
.
enésima colisão: 
11. Pêndulo balístico
O pêndulo balístico é constituído por um bloco de
massa M, suspenso por uma haste de peso desprezível e
podendo girar livremente, sem atrito, em torno de um
ponto fixo O.
O pêndulo balístico é usado para medir o módulo V1
da velocidade de impacto de um projétil, de massa m e
que vai encravar-se no bloco.
Chamemos de 
→
V2 a velocidade do bloco, contendo
em seu interior o projétil, imediatamente após o impacto.
Usando-se a conservação da quantidade de movimento
to tal do sistema, imediatamente antes e imediatamente
após a colisão, podemos relacionar V1 e V2:
→
Qdepois = 
→
Qantes
(M + m) 
→
V2 = m
→
V1
mV1Da qual: V2 = –––––––– (1)M + m
Desprezando-se a resistência do ar, após a colisão, a
ener gia mecânica do sistema bloco + projétil permanece
constante e, durante a subida do bloco, a energia cinética
vai-se transformar integralmente em energia potencial de
gravidade.
VB = ���� 2 g H
V’B = ���� 2 g h
h
e = ��–––H
hn = e
2nH
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Chamando de h a elevação máxima do centro de
massa do sistema, temos:
(M + m)
–––––––– V2
2
= (M + m) g h
2
A igualdade anterior traduz a transformação integral
da energia cinética, imediatamente após a colisão, em
energia potencial de gravidade.
Segue-se que: V2 = ����2 g h (2)
Comparando-se (1) e (2), obtém-se:
mV1––––––– = ����2 g h 
M + m
Portanto:
Se quisermos obter uma relação entre a energia ci né -
ti ca imediatamente após a colisão e a energia cinética ime -
diatamente antes da colisão, procedemos como se se gue:
(M + m) M + m
Ecin2
= ––––––––– V
2
2 = ––––––– . 2 g h (I)
2 2
m m M + m 
Ecin1
= ––– V
1
2 = ––– �–––––––�
2
. 2gh (II)
2 2 m
(I) Ecin2 M + m m Fazendo-se –––– : ––––– = ––––––– �–––––––�
2
(II) Ecin1
m M + m
12. Colisão oblíqua
No caso de colisão oblíqua, isto é, colisão em duas
di mensões, a conservação da quantidade de movimento
deve ser feita por meio de composição vetorial.
A título de exemplo, consideremos o estudo de uma
co lisão oblíqua, perfeitamente elástica, entre duas par tí -
cu las de massas iguais, estando uma delas inicialmente
parada.
Demonstremos que, após a colisão, as partículas se
movem em direções perpendiculares (� = 90°).
Usando-se a conservação da quantidade de mo -
vi mento, no ato da colisão, tem-se:
�����������.→QA’ .2 + . →QB’ .2 + 2. →QA’ . .→QB’ . cos � = . →Qi.
(mV
A
’ )2 + (mV
B
’ )2 + 2mV
A
’ mV
B
’ cos � = (mVA)
2
V
A
’2 + V
B
’2 + 2 V
A
’ V
B
’ cos � = V
A
2 (1)
Usando-se a conservação da energia mecânica,
no ato da colisão, obtém-se:
mV
A
’2 mV
B
’2 mV
A
2
–––––– + –––––– = ––––––
2 2 2
V
A
’2 + V
B
’2 = V
A
2 (2)
Comparando-se (1) e (2), resulta:
2V
A
’ V
B
’ cos � = 0
ComoV
A
’ e V
B
’ são diferentes de zero, temos:
cos � = 0 e 
M + m
V1 = ––––––– ����2 g h m
Ecin2 m–––––– = ––––––––
Ecin1
M + m
Ecinf
= Ecini
� = 90°
45
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23. (FEI) – Uma esfera A, percorrendo um plano horizontal liso com
velocidade escalar V, choca-se com outra esfera idêntica, B, que
se encontra inicialmente em repouso sobre esse plano. O choque
é unidimensional, e, após a ocorrência dele, as esferas têm velo -
cidades escalares VA e VB, respectivamente.
Obter os valores de VA e VB em função do valor do coeficiente de
restituição e e de V.
Resolução
(1) Usando-se a conservação da quantidade de movimento total:
mVA + mVB = mV
(1)
(2) Usando-se a definição de coeficiente de restituição:
Vaf = e Vap
(2)
Fazendo-se (1) + (2):
2VB = V (1 + e) ⇒
Substituindo-se em (1):
V (1 + e)
VA + ———— = V2
V(1 + e) (1 + e)
VA = V – ———— = V [1 – ————]2 2
Para e = 1 (colisão elástica), a velocidade escalar de B é máxima
e a de A é mínima:
V (1 + e ) V ( 1 + 1 )
VBmáx = ————— = ————— = V2 2
V (1 – e)
VAmín = ————— = 02
Para e = 0 (colisão perfeitamente inelástica), a velocidade escalar
de B é mínima e a de A é máxima.
V
VAmáx = VBmín = —2
Portanto, para qualquer valor de e, temos:
V(1 – e) V(1 + e)
Respostas: VA = ––––––––– e VB = ––––––––2 2
24. Duas partículas, A e B, realizam uma colisão unidimensional e per -
fei tamente elástica.
Antes da colisão, a partícula A tem velocidade de módulo V0 e B
está em repouso.
Sendo M e m as massas de A e B, respectivamente, responda
aos quesitos que se seguem.
a) Calcule as velocidades escalares de A e B após a colisão.
b) Discuta o sentido do movimento de A após a colisão.
c) Discuta a limitação da velocidade adquirida por B após a
colisão.
Resolução
a) Para obter as incógnitas V
A
’ e V
B
’ , precisamos construir duas
equações:
(1) Pela conservação da quantidade de movimento do sis te -
ma, temos:
MV
A
’ + mV
B
’ = MV0 + m . 0
(1)
(2) Sendo a colisão perfeitamente elástica, o coeficiente de
res tituição vale 1 e as velocidades de aproximação e de
afastamento serão iguais:
(2)
Resolvamos o sistema de equações (1) e (2):
De (2): V
B
’ = V
A
’ + V0
Em (1): MV
A
’ + m(V
A
’ + V0) = MV0
Portanto: MV
A
’ + mV
A
’ + mV0 = MV0
V
A
’ (M + m) = V0(M – m)
Substituindo-se o valor de V
A
’ em (2), obteremos V
B
’ :
M – m
V
B
’ – (—––——) V0 = V0M + m
M – m
V
B
’ = V0 (1 + ————)M + m
M + m + M – m
V
B
’ = V0 (————————)M + m
VA + VB = V
VB – VA = e V
V (1 + e)
VB = –––––––––2
V (1 – e)
VA = –––––––––2
V
0 	 VA 	 —2
V
— 	 VB 	 V2
Qf = Qi
MV
A
’ + mV
B
’ = MV0
Vaf = Vap
V
B
’ – V
A
’ = V0
M – m
V
A
’ = (–––––––––) V0M + m
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b) Retomemos o valor de V
A
’ :
M – m
V
A
’ = (—––——) V0M + m
(1) Se M > m, resulta V
A
’ > 0, o que significa que, após a co -
lisão, A continua caminhando para frente, isto é, no mes -
mo sentido de movimento de antes da colisão.
(2) Se M < m, resulta V
A
’ < 0, o que significa que, após a co -
lisão, A caminha para trás, isto é, inverte o sentido de mo -
vi mento de antes da colisão.
(3) Se M = m, resulta V
A
’ = 0, o que significa que, após a co -
lisão, A permanece em repouso.
c) Retomemos V
B
’ :
2M
V
B
’ = ———— . V0M + m
Podemos escrever:
V
B
’ M
——— = ————
2V0 M + m
Como M < M + m, resulta 
Portanto, a velocidade de B, após a colisão, terá módulo neces -
sariamente menor do que o dobro do módulo da velocidade inicial
V0 de A.
25. Duas partículas, A e B, realizam uma colisão unidimensional e
perfeitamente elástica.
As partículas têm massas respectivamente iguais a mA = 1,0kg e
mB = 3,0kg e suas velocidades têm módulos e sentidos indicados
na figura.
A colisão se processa num plano horizontal e inexistem atritos. 
Obter as velocidades escalares após a colisão.
Resolução
Sejam V
A
’ e V
B
’ as velocidades escalares após a colisão.
Admitamos, para montagem de equações, que os movimentos
de A e B, após a colisão, tenham o mesmo sentido da orientação
da trajetória, isto é, ambos os movimentos supostos progres si -
vos.
Como existem no problema duas incógnitas, V
A
’ e V
B
’ , é neces sá -
rio estabelecermos duas equações.
A equação (1) resultará da conservação da quantidade de movi -
men to do sistema, propriedade que vale para qualquer tipo de co -
lisão.
A equação (2) resultará do fato de a colisão ser perfeitamente
elás tica, o que significa que o coeficiente de restituição vale 1.
(1)
mAVA’ + mBVB’ = mAVA + mBVB
1,0V
A
’ + 3,0V
B
’ = 1,0 . 10,0 + 3,0 . 5,0
1,0V
A
’ + 3,0V
B
’ = 25,0 (1)
(2)
V
B
’ – V
A
’ = VA – VB
V
B
’ – V
A
’ = 5,0 (2)
Fazendo-se (1) + (2), obtém-se:
4,0V
B
’ = 30,0 ⇒
Em (2), tem-se:
7,5 – V
A
’ = 5,0 ⇒
Respostas: V
A
’ = 2,5m/s e V
B
’ = 7,5m/s
26. Considere um pêndulo constituído por um fio ideal de compri men -
to L, fixo em O, e tendo em sua outra extremidade uma es fe rinha
de massa m.
Inicialmente o pêndulo está em repouso, na posição vertical.
Um segundo pêndulo, idêntico ao primeiro, é fixo em um ponto
O’, vizinho de O, e abandonado da posição horizontal.
Desprezando-se o efeito do ar e sendo a colisão perfeitamente
ine lástica, a altura máxima atingida pelas bolinhas, após a colisão,
medida a partir da posição mais baixa, é igual a:
L L L L
a) L b) — c) — d) — e) —
2 3 4 8
Resolução
1) Usando-se a conservação da energia mecânica para a esfera
do 2.o pêndulo, durante a descida de A para B, tem-se:
mV
B
2
——— = mgL ⇒
2
2) Na colisão perfeitamente inelástica entre as esferas pen du -
lares, haverá conservação da quantidade de movimento total:
2M
V
B
’ = –––––––– V0M + m
V
B
’ < 2V0
Qfinal = Qinicial
Vafastamento = Vaproximação
V
B
’ = 7,5m/s
V
A
’ = 2,5m/s
EB = EA
VB = ����2 g L
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2mV
B
’ = mVB
3) Após a colisão, durante a subida das bolinhas grudadas, a
ener gia mecânica se conserva:
2m
2mgh = —— (V
B
’ )2
2
1 ���2 g L
gh = — (—––——)22 2
1 2gL
gh = — ——— ⇒
2 4
Resposta: D
27. (AFA-MODELO ENEM) – Num circo, um homem-bala, de mas sa
60kg, é disparado por um canhão com velo cidade de módulo
25m/s, sob um ângulo de 37° com a horizontal. Sua parceira, cuja
massa é 40kg, está numa plataforma localizada no topo da
trajetória. Ao passar pela plataforma, o homem-bala e a parceira
se reúnem e vão cair numa rede de segurança, na mes ma altura
que o canhão. Veja a figura abaixo.
Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se sen 37° = 0,6,
cos 37° = 0,8 e g = 10m/s2, pode-se afir mar que o alcance A atingido
pelo homem é
a) 60m b) 36m c) 48m d) 24m e) 12m
Resolução
1) Cálculo do tempo de subida:
Vy = V0y + �y t (MUV)
0 = 25 . 0,6 – 10 ts
2) Distância horizontal percorrida durante a subida:
D1 = V0x . ts
D1 = 25 . 0,8 . 1,5 (m) ⇒
3) No ato da colisão, há conservação da quantidade de movi -
mento do sistema:
Qapós = Qantes
(M + m) V1 = M V0x
(60 + 40) V1 = 60 . 20
4) Distância horizontal percorrida na queda:
�sx = V1 t (MU)
D2 = 12 . 1,5 (m)
5) Cálculo do alcance:
A = D1 + D2 = 30m + 18m
Resposta: C
28. (UNESP-MODELO ENEM) – Em um jogo de bilhar, o jogador de seja
colocar a bola preta numa caçapa de canto da me sa. Conforme
indica a figura, o jogador joga a bola bran ca em direção à preta, de
modo que a bola preta so fra uma deflexão de 30° em relação a essa
direção, para atingir a caçapa.
Considerando-se que as duas bolas possuem tama nhos e massas
iguais, que o atrito é desprezível e que a colisão entre as bolas é
elástica, o ângulo de de fle xão, �, sofrido pela bola branca é
a) 30° b) 45° c) 55° d) 60° e) 75° 
Resolução
1) Sendo a colisão elástica, temos:
+ = 
(1)
2) No ato da colisão, o sistema é isolado e haverá con servação da
quantidade de movimento total.
V
B
���2gL
V
B
’ = –––– = ––––––––
2 2 
EC = EB
L
h = –––
4
Qapós = Qantes
ts = 1,5s
D1 = 30m
V1 = 12m/s
D2 = 18m
A = 48m
mV0
2
––––––
2
mV2
2
––––––
2
mV1
2
––––––
2
V
1
2 + V
2
2 = V
0
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29. (UFF-RJ) – Considere duas esferas idênticas, E1 e E2. A esfera E1
desliza sobre uma calha horizontal, praticamente sem atrito, com
velocidade V. Em dado instante, choca-se elasticamente com a
esfera E2, que se encontra em repouso no ponto X, conforme
ilustra a figura. A colisão é unidimensional.
Com respeito ao movimento das esferas, imedia tamente após o
choque, pode-se afirmar:
a) As duas esferas se movimentarão para a direita, ambas com
velocidade V/2.
b) A esfera E1 ficará em repouso e a esfera E2 se moverá com
velocidade V para a direita.
c) As duas esferas se movimentarão em sentidos contrários,
ambas com velocidades de módulo V/2.
d) As duas esferas se movimentarão para a direita, ambas com
velocidade V.
e) A esfera E1 se movimentará para a esquerda com velocidade
de módulo V e a esfera E2 permane cerá em repouso.
30. (VUNESP-FMJ) – A figura representa a vista de cima, em dois
instantes diferentes, de duas esferas, A e B, de massas iguais,
pre sas a duas hastes rígidas de massas desprezíveis, apoiadas
numa superfície plana, horizontal e perfeitamente lisa. As hastes
têm com primentos 0,6m e são presas num pino fixo no ponto O,
podendo girar livres de qualquer resistência. A partir do instante 
t = 0, A é colocada para girar no sentido anti-horário com
velocidade angular constante �A, e colide de forma perfeitamente
elástica com B, que estava parada na posição indicada na figura I.
Devido à colisão, B sai do repouso e três segundos depois da
partida de A, a situação é a representada na figura II, com B se
movendo com velocidade de módulo constante VB.
Sabendo-se que até o instante t = 3,0s houve apenas uma colisão
entre A e B, desprezando-se o intervalo de tempo de contato
entre as esferas durante o choque e adotando-se π = 3, determine
a) a velocidade angular �A, em rad/s, com que se movia a esfera
A antes de colidir com B;
b) a velocidade escalar VB, em m/s, da esfera B, na situação da
figura II.
31. (UNICAMP-SP) – Uma esferazinha A de massa m está presa a
um pino 0 por um fio leve e inextensí vel e tangencia um plano
horizontal liso. Uma segunda esferazinha, B, de mesma massa
m e deslocando-se com velocidade escalar V0 = 1,0 m/s, vai cho -
car-se unidimensionalmente com a primeira em repouso. Admita
que todas as possíveis colisões neste even to são perfeitamente
elásticas e unidimensionais.
a) Quantas colisões haverá entre as duas esferazi nhas?
b) Quais serão as velocidades escalares das esfera zinhas ao final
deste evento?
32. (FUVEST) – Em uma canaleta circu lar, plana e horizontal, podem
deslizar duas pe que nas bolas, A e B, com massas MA = 3 MB, que
são lan çadas uma contra a outra, com igual velo ci dade 
→
V0, a partir
das posições indica das. Após o primeiro choque entre elas (em 1),
que não é elástico, as duas passam a mo vimentar-se no sentido
horário, sendo que a bola B mantém o módulo de sua velocidade 
→
V0.
Pode-se concluir que o próximo choque entre elas ocorrerá nas
vizinhanças da posição
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
49
Q2final = Q
2
1 + Q
2
2 + 2Q1 Q2 cos � = Q0
2
m2V1
2 + m2V 22 + 2mV1 m V2 cos � = m
2V0
2
(2)
Substituindo-se (1) em (2), vem:
V0
2 + 2V1 V2 cos � = V0
2
2V1 V2 cos � = 0
Como V1V2 ≠ 0, vem cos � = 0 e � = 90°
Sendo � = � + 30°, vem:
90° = � + 30°
 
Resposta: D
V
1
2 + V
2
2 + 2V1 V2 cos � = V0
2
� = 60°
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 09/08/12 10:42 Página 49
33. Num trilho reto, horizontal e fixo no laboratório, um car rinho de
massa m1, movendo-se com uma ve lo ci dade de módulo igual a
4,0m/s, colide frontal e elas ticamente com outro carrinho, de
massa m2, que se movia com uma velocidade de módulo igual a
2,0m/s na mesma direção, mas em sentido contrário ao do
primeiro.
Após o choque, o carrinho de massa m1 fica parado no trilho.
Sendo desprezíveis os atritos e a re sis tên cia do ar, a relação
m1/m2 entre as massas dos dois carrinhos é a seguinte:
a) m1/m2 = 0,25 b) m1/m2 = 0,50
c) m1/m2 = 1,0 d) m1/m2 = 2,0
e) m1/m2 = 4,0
34. Considere duas partículas, A e B, que realizam uma colisão unidi -
mensional e perfeitamente elástica. A massa de B é o dobro da
massa de A e antes da colisão as partículas se movem em
sentidos opostos e com os módulos de velocidade indicados na
figu ra.
As velocidades escalares de A e B, após a colisão, são respec -
tivamente iguais a:
a) – 2,0m/s e 1,0m/s; b) – 1,0m/s e 2,0m/s;
c) – 2,0m/s e 2,0m/s; d) – 1,0m/s e 1,0m/s;
e) 1,0m/s e 1,0m/s.
35. (PUCCAMP-SP) – Sobre o eixo x, ocorre uma co li são unidimen -
sional e elástica entre os corpos A e B, de massas mA = 4,0kg e
mB = 2,0kg. O corpo A movia-se para a direita a 2,0m/s, enquanto
B movia-se para a esquerda a 10,0m/s. Imediatamente após a coli -
são,
a) B se moverá para a direita, a 12,0m/s.
b) B se moverá para a esquerda, a 8,0m/s.
c) A e B se moverão juntos, a 2,0m/s.
d) A se moverá para a esquerda, a 6,0m/s.
e) A se moverá para a esquerda, a 12,0m/s.
36. (ESCOLA NAVAL) – Uma partícula A, de massa mA, colide com
uma partícula B, de massa mB, inicialmente em repouso. Sabe-se
que
1) a colisão é unidimensional;
2) o coeficiente de restituição, na colisão, vale 0,80;
3) mB = 2mA;
4) a velocidade escalar da partícula A, imediatamente antes da
colisão, é 10,0m/s. 
Calcule as velocidades escalares de A e B imedia tamente após a
colisão.
37. (UNICAMP-SP) – A Física de Partículas nasceu com a descoberta
do elétron, em 1897. Em seguida, foram descobertos o próton, o
nêutron e várias outras partículas, entre elas o píon, em 1947,
com a participação do brasileiro César Lattes. 
Num experimento similar ao que levou à descoberta do nêutron,
em 1932, um nêutron de massa m desconhecida e velocidade 
de módulo V0 = 4,0 . 10
7m/s colide frontalmente com um átomo
de nitrogênio de massa M = 14 u (unidade de massa atômica) que
se encontra em repouso. Após a colisão, o nêutron retorna com
velocidade de módulo V’ e o átomo de nitrogênio adquire uma
velocidade de módulo V = 5,0 . 106m/s. Em consequência da
conservação da energia cinética, a veloci dade de afastamento das
partículas é igual à velocidade de aproximação. Qual é a massa m,
em unidades de massa atômica, encontrada para o nêutron no
experimento? 
38. (UNESP) – Em recente investigação, verificou-se que uma peque -
na gota de água possui propriedades elásticas, como se fosse
uma partícula sólida. Em uma experiência, abandona-se uma gota
de uma altura h0, com uma pequena velocidade horizontal. Sua
trajetória é apresen tada na figura.
Na interação com o solo, a gota não se desmancha e o coeficiente
de restituição, definido como f, é dado pela razão entre as
componentes verticais das velocidades de saída e de chegada da
gota em uma colisão com o solo. Calcule a altura h atingida pela
gota após a sua terceira colisão com o solo, em termos de h0 e do
coeficiente f. Considere que a componente horizontal da
velocidade permaneça constante e não interfira no resultado.
39.O dispositivo a seguir é chamado de pêndulo balís tico. O fio é ideal
e a esfera pendular tem massa de 2,0kg. Um projétil de massa
2,0 .10–2kg, animado de velocidade de módulo V0, realiza uma
colisão per fei ta mente inelástica com a esfera pendular que es tava
inicialmente em repouso. Após a colisão, o sis te ma esfera-projétil
se eleva de 20cm. Não se con sidera o efeito do ar e adota-se 
g = 10m/s2.
Calcule
a) o módulo da velocidade do sistema esfera-pro jétil, imedia -
tamente após a colisão;
b) o valor de V0. 
NOTA: Dar as respostas com dois algarismos significativos.
40. (VUNESP) – Durante uma experiência de Física, um grupo de
alunos dispunha de um conjunto de 4 esferas idênticas,
penduradas por fios muito leves, idênticos, pendentes de um teto
comum. No relatório, foram apresentados desenhos que
reproduziam as condições inicial e final observadas. A condição
inicial é representada pela seguinte figura:
Desconhecendo-se o material do qual as esferas são constituídas,
a condição final poderia ser representada por
50
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a15408/08/12 11:30 Página 50
Está correto o contido em
a) I e IV, apenas. b) II e III, apenas. c) III, apenas.
d) III e IV, apenas. e) I, II, III e IV.
41. Duas esferas idênticas, A e B, realizam uma colisão oblíqua em
um plano horizontal sem atrito.
Antes da colisão, a esfera A tinha velocidade com módulo V0 e a
esfera B estava em repouso. Após a colisão, as esferas A e B têm
velocidades VA
→
e VB
→
perpendicu lares entre si.
Não considere rotação das esferas.
a) Demonstre que a colisão é elástica.
b) Obtenha os módulos de VA
→
e VB
→
em função de V0.
42. Na figura, representamos uma esferinha de massa m = 1,0kg,
assimilável a um ponto material, que se move livremente em um
plano horizontal com velo cidade constante de módulo V0 = 4,0m/s.
Sobre o plano horizontal, temos um bloco com forma de uma
plataforma, com o perfil indicado na figura, de massa M = 4,0kg,
que está inicialmente em re pou so e pode-se mover livremente ao
longo do plano.
A esferinha sobe ao longo da plataforma (que entra em movi -
mento), onde atinge uma altura máxima h (menor que H) e, em
seguida, desce a plataforma e dela se desliga.
Determine
a) o módulo V da velocidade da plataforma, no ins tante em que
a esferinha atinge sua altura máxima;
b) o valor de h;
c) os módulos da velocidade da esferinha e da plataforma após
o desligamento entre elas.
43. (FUVEST-SP) – Considere uma bolinha, de pequeno raio,
abandonada de uma certa altura, no instante t = 0, a partir do
repouso, acima de uma pesada placa metálica horizontal. A
bolinha atinge a placa, pela primeira vez, com velocidade de
módulo V = 10 m/s, perde parte de sua energia cinética, volta a
subir verticalmente e sofre sucessivos choques com a placa. O
módulo da velocidade logo após cada choque vale 80% do
módulo da velocidade imediatamente antes do choque
(coeficiente de restituição = 0,80). A aceleração da gravidade no
local tem módulo g = 10m/s2. Suponha que o movi mento ocorra
no vácuo.
a) Determine o módulo V3 da velocidade da bolinha logo após o
terceiro choque.
b) Construa, na figura da folha de respostas, o gráfico da
velocidade escalar da bolinha em função do tempo, desde o
instante t = 0, em que ela é abandonada, até o terceiro choque
com a placa.
Considere positivas as velocidades com sentido para cima e
negativas, as para baixo.
c) Analisando atentamente o gráfico construído, estime o
instante T, a partir do qual a bolinha pode ser considerada em
repouso sobre a placa.
44. (FUVEST-SP) – Duas pequenas esferas iguais, A e B, de mesma
massa, estão em repouso em uma superfície horizontal, como
representado no esquema abaixo. Num instante t = 0, a esfera A
é lançada, com velocidade de módulo V0 = 2,0m/s, contra a
esfera B, fazendo com que B suba a rampa à frente, atingindo sua
altura máxima, H, em t = 2,0s. Ao descer, a esfera B volta a colidir
com A, que bate na parede e, em seguida, colide novamente com
B. Assim, as duas esferas passam a fazer um movimento de vai
e vem, que se repete.
a) Determine o instante tA, em s, no qual ocorre a primeira colisão
entre A e B.
b) Represente, no gráfico da página de respostas, a velocidade
escalar da esfera B em função do tempo, de forma a incluir na
represen tação um período completo de seu movimento.
c) Determine o período T, em s, de um ciclo do movimento das
esferas. 
NOTE E ANOTE
1) O módulo da aceleração da gravidade vale g = 10m/s2.
2) O efeito do ar e todos os atritos são des prezíveis.
3) A interação entre a esfera e a plataforma comporta-se
como uma colisão perfei tamente elástica.
NOTE E ADOTE:
Os choques são elásticos. Tanto o atrito entre as esferas e o
chão quanto os efeitos de rotação devem ser desconsi -
derados.
Considere positivas as velocidades para a direita e negativas
as velocidades para a esquerda.
51
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 51
45. (FUVEST) – Para testar a elasticidade de uma
bola de basquete, ela é solta, a partir de uma
altura H0, em um equipamento no qual seu
movimento é monitorado por um sensor. Esse
equipamento registra a altura do centro de
massa da bola, a cada instante, acompa -
nhando seus sucessivos choques com o chão. 
A partir da análise dos registros, é possível,
então, esti mar a elasticidade da bola,
caracterizada pelo coeficiente de restituição
CR. O gráfico apresenta os registros de
alturas, em função do tempo, para uma bola 
de massa M = 0,60 kg, quando ela é solta e inicia o movimento
com seu centro de massa a uma altura H0 = 1,6 m, chocando-se
sucessivas vezes com o chão. 
A partir dessas informações: 
a) Represente, no Gráfico I da folha de respostas, a energia
potencial da bola, EP, em joules, em função do tempo,
indicando os valores na escala. 
b) Represente, no Gráfico II da folha de respostas, a energia
mecâ nica total da bola, ET, em joules, em função do tempo,
indicando os valores na escala. 
c) Estime o coeficiente de restituição CR dessa bola, utilizando a
definição apresentada abaixo. 
46. (UNESP-MODELO ENEM) – Em um dia muito chuvoso, em que
o atrito entre os pneus de dois carros de massas iguais e a
estrada é muito baixo, ocorre uma colisão traseira. Sabendo-se
que um dos carros (carro 2) estava parado no momento da
colisão, a qual, nas condições do problema, pode ser tomada
como perfeitamente elástica, qual das des crições corresponderia
à melhor representação do que ocorre após o choque entre os
dois carros?
a) O carro 1 fica parado, e o carro 2 segue com a velocidade
original do carro 1.
b) O carro 1 volta com a mesma velocidade em módulo e o carro
2 continua parado.
c) O carro 2 segue com o dobro da velocidade original do carro 1,
mas a soma das duas velocidades continua sendo igual à
original do carro 1.
d) Os dois carros seguem em sentidos opostos com metade da
velocidade original em módulo do carro 1.
e) Os dois carros seguem juntos no mesmo sentido com metade
da velocidade original do carro 1.
47. (FUVEST-MODELO ENEM) – Uma caminhonete A, parada em uma
rua plana, foi atingida por um carro B, com massa mB = mA/2, que
vinha com velocidade →vB. Como os veículos ficaram amassados,
pode-se concluir que o choque não foi totalmente elástico. Consta
no boletim de ocorrência que, no momento da batida, o carro B pa -
rou, enquanto a caminhonete A adquiriu uma velocidade →vA = 
→vB/2,
na mesma direção de →vB. 
Considere es tas afirmações de algumas pessoas que comenta -
ram a situa ção:
I. A descrição do choque não está correta, pois é in compatível
com a lei da conser vação da quanti dade de movimento.
II. A energia mecânica dissipada na defor mação dos veículos foi 
igual a .
III. A quantidade de movimento dissipada no choque foi igual a 
.
Está correto apenas o que se afirma em
a) I b) II c) III d) I e III e) II e III
O coeficiente de restituição, CR = VR/VI, é a razão entre o
módulo da velocidade com que a bola é rebatida pelo chão
(VR) e o módulo da velocidade com que atinge o chão (VI),
em cada choque. Esse coeficiente é aproximadamente
constante nas várias colisões. 
NOTE E ADOTE:
Desconsidere a deformação da bola e a resistência do ar. 
mAVA
2
––––––
2
mBVB––––––
2
52
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página 52
48. (UEPB-MODELO ENEM) – Em um cruzamento da cidade de
Cam pina Grande, durante uma manhã de muita chu va, um
automóvel compacto com massa de 1600kg se desloca de oeste
para o leste, com uma velocidade de módulo 30 m/s, e colide com
uma “pickup” (ca mio nete) com massa de 2400kg que se
deslocava do sul para o norte, avan çan do o sinal vermelho, com
uma velocidade de módu lo 15m/s, conforme a fi gura abaixo. 
Felizmente, todas as pessoas, nesses veículos, usavam cintos de
segurança e ninguém se feriu. Porém, os dois veículos se
engavetaram e passaram a se deslocar, após a colisão, como um
único corpo, na direção nordeste. Desprezando-se o atrito entre
os veículos e a estrada, o módulo da velocidade dos carros unidos
após a coli são, em m/s, vale:
a) 18 b) 16 c) 22 d) 20 e) 15
49. (UFRN-MODELO ENEM) – A figura a seguir mostra dois pe -
quenos veículos, 1 e 2, de mesma massa, que estão prestes a
colidir no ponto P, que é o ponto central do cruzamento de duas
ruas perpendiculares entre si. Toda região em torno do
cruzamento é plana e ho rizontal. Imediatamente antes da colisão,
as velo ci dades dos veículos têm as direções representadas na
figura, tendo o veículo 2 uma velocidade que é 1,5 vez maior que
a do veículo 1. Após a colisão, os veículos vão deslizar juntos pela
pista molhada, praticamente sem atrito.
Com base nessas informações, pode-se afirmar que o setor ao
longo do qual os veículos vão deslizar juntos é o:
a) Setor I b) Setor II
c) Setor III d) Setor IV
50. (UNESP-MODELO ENEM) – Em países com poucos recursos
hídricos ou combus tíveis fósseis, a construção de usinas
nucleares pode ser uma alternativa para produção de energia. A
energia nuclear é obtida pela fissão de núcleos como o de urânio
e, dessa fissão, além de calor, são produ zidos nêutrons, que por
sua vez serão responsáveis pela fissão de outros núcleos de
urânio. Dessa reação em cadeia é extraída a energia nuclear. No
entanto, para uma fissão controlada, é necessário diminuir a
energia dos nêutrons que tiverem energias cinéticas al tas. Para
isso, elementos moderadores são introdu zidos para que os
nêutrons, em interações com esses núcleos, tenham sua energia
diminuída. A escolha do material moderador depende de quanta
energia os nêutrons devem perder. Considere uma colisão elás -
tica frontal entre um nêutron e um átomo moderador, que possua
massa quatro vezes maior que a do nêu tron e esteja inicialmente
em repouso. Calcule a razão entre as energias cinéticas final e
inicial do nêu tron.
a) b) c) d) e)
18
––––
25
12
––––
25
9
––––
25
6
––––
25
3
––––
25
53
6) E 7) B 8) C 9) a) 0,60
b) 0,20kg
10) E 11) E 12) B 13) C
14) D 15) 2,4kJ 16) E
17) a) No ato da colisão, o sistema cometa-Júpiter é isolado e
haverá conser vação da quantidade de movimento total do
sistema:
Qapós = Qantes
(MJ + Mc) Vf = McV0
Mc << MJ ⇒ 1,8 . 10
27 Vf = 3,0 . 10
14 . 6,0 . 104
b) Ei = = . 36,0 . 10
8 (J) = 54 . 1022J
Ef = Vf
2 = . 1,0 . 10–16 (J) 
Ef = 0,9 . 10
11J = 9,0 . 1010J
Em = Ei – Ef ⇒
Respostas: a) 1,0 . 10–8m/s b) 5,4 . 1023J
Vf = 1,0 . 10
–8m/s
3,0 . 1014
–––––––––
2
Mc V0
2
––––––
2
Ei = 5,4 . 10
23J
1,8 . 1027
–––––––––
2
(MJ + Mc)
–––––––––
2
Em � 5,4 . 10
23J
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 53
18) a) 1) Cálculo do tempo entre B e C:
�Sy = V0y t + t
2 (MUV)
5,0 = 0 + T2
T2 = 1,0 ⇒
2) Cálculo da velocidade dos blocos: 
VB = = ⇒
b) Na colisão entre os blocos, o sistema é isolado e há
conservação da quantidade de movimento total:
Qapós = Qantes
(m1 + m2) VB = m1V1
3,0 . 4,0 = 2,0 V1
c) Ecinapós
= = . 16,0 (J) = 24,0J
Ecinantes
= = . 36,0 (J) = 36,0J
d) Conservação da energia mecânica entre A e B:
(ref. em B)
= m1 g (h1 – h2) 
h1 – h2 = 
h1 = h2 + 
h1 = 5,0 + (m)
Respostas: a) 4,0m/s b) 6,0m/s
c) –12,0J d) 6,8m
19) D 20) D 21) A 22) D 29) B
30) a) 1,5 31) a) duas colisões
b) 0,90m/s b) V’f(B) = –V0
Vf(A) = 0
32) B 33) D 34) A 35) D
36) V’A = –2,0m/s e V’B = 6,0m/s
37) 0,93u 38) h = f 6 h0 39) a) 2,0m/s
b) 2,0 . 102m/s
40) D
41) a) O sistema é isolado e, portanto, haverá conservação da
quantidade de movimento total.
Q
f
2 = Q
A
2 + Q
B
2 = Q
i
2
m2 V
A
2 + m2 V
B
2 = m2 V
0
2
Dividindo-se por : 
+ =
Esta expressão revela que a energia cinética final é igual à
inicial, o que demonstra ser a colisão elástica.
b) 1) Conservação da quantidade de movimento na direção
x:
m VA cos 37° + m VB cos 53° = m V0
VA . + VB . = V0
4 VA + 3 VB = 5 V0 (1)
2) Conservação da quantidade de movimento na direção
y:
m VA cos 53° = m VB cos 37°
VA . = VB . 
3 VA = 4 VB
(2)
(2) em (1): 4 . VB + 3 VB = 5 V0
16 VB + 9 VB = 15 V0
25 VB = 15 V0 ⇒
VA = . V0 ⇒
Respostas: a) Demonstração
b) ;
42) a) No instante em que a esferinha atinge a altura máxima,
ela para em relação à plataforma, isto é, esferinha e pla -
taforma têm velocidades iguais.
Como não há atrito nem resistência do ar, o sistema
esferinha-plataforma é isolado de forças horizontais e
haverá conservação da quantidade de movimento na
direção horizontal:
Qfinal = Qinicial
10,0
––––
2
T = 1,0s
�x
––––
�t
4,0m
–––––
1,0s
VB = 4,0m/s
V1 = 6,0m/s
(m1 + m2) V
2
B
–––––––––––––
2
3,0
––––
2
m1 V
2
1
–––––––
2
2,0
––––
2
�Emec = Ecinapós
– Ecinantes
= –12,0J
EB = EA
m1 V
2
1
–––––––
2
V2
1
––––
2g
V2
1
––––
2g
36,0
–––––
20,0
h1 = 6,8m
m
–––
2
mVA
2
––––––
2
mVB
2
––––––
2
mV0
2
––––––
2
4
–––
5
3
–––
5
3
–––
5
4
–––
5
4
VA = ––– VB
3
4
–––
3
3
VB = ––– V0
5
4
–––
3
3
–––
5
4
VA = ––– V0
5
4
VA = ––– V0
5
3
VB = ––– V0
5
�y
–––
2
rad
––––
s
54
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 54
(M + m) V = mV0
5,0V = 1,0 . 4,0 ⇒
b) O sistema é conservativo e, portanto:
= m g h + V2
(4,0)2 = 1,0 . 10 . h + (0,80)2
8,0 = 10h + 1,6 ⇒
c) Indiquemos por V1 e V2 as velocidades escalares da
esferinha e da plataforma após o desligamento.
Como a interação é equivalente a uma colisão elástica,
vem:
1) Qapós = Qantes
mV1 + MV2 = mV0
1,0V1 + 4,0V2 = 1,0 . 4,0
V1 + 4,0V2 = 4,0 (1)
2) Vaf = Vap (e = 1)
V2 – V1 = V0
V2 – V1 = 4,0 (2)
Fazendo-se (1) + (2), vem:
5,0V2 = 8,0 ⇒
Em (2): 1,6 – V1 = 4,0
⇒
O sinal (–) significa que, após a interação, a esferinha
desloca-se para a esquerda.
Respostas: a) 0,80m/s ou 8,0 . 10–1m/s
b) 0,64m ou 6,4 . 10–1m
c) 1,6m/s e 2,4 m/s
43) a) 1.a colisão: |V1| = 0,8 |V| = 0,8 . 10m/s = 8,0m/s
2.a colisão: |V2| = 0,8 |V1| = 0,8 . 8,0m/s = 6,4m/s
3.a colisão: |V3| = 0,8 |V2| = 0,8 . 6,4m/s
b) 1) Para construirmos o gráfico V = f(t), calcu lemos, ini cial -
mente, o tempo t1 em que ocorre a 1.
a co lisão:
V = V0 + � t ⇒ –10 = 0 – 10 t1 ⇒
2) Na elaboração do gráfico, observemos que os seg -
mentos de reta que representam V = f(t) são todos
paralelos porque entre as colisões a aceleração é
sempre igual à da gravidade (a declividade da reta
mede a aceleração).
c) Os pontos que correspondem à velocidade imedia ta -
mente antes de cada colisão estão alinhados e, portanto,
a partir do gráfico, unindo esses pontos, obte mos o
instante T em que a velocidade se anula.
44) a) Como não há atrito, o movimento até a 1.a colisão é unifor -
me:
V0 = ⇒ 2,0 = ⇒
b) Como a colisão entre A e B é elástica e unidimensional e
as esferas têm massas iguais, haverá troca de velocidades
na colisão.
A esfera B também gastará �t2 = 0,8s para chegar ao início
da rampa.
A subida da rampa levará um tempo �t3 dado por:
�t = �t1 + �t2 + �t3
2,0 = 0,8 + 0,8 + �t3 ⇒
Sendo o movimento na rampa uniformemente variado, o
tempo de subida na rampa será igual ao tempo de descida
(0,4s) e, pela conser vação da energia mecânica, a
velocidade escalar da esfera B, ao voltar ao plano
horizontal, será negativa (inversão no sentido do
movimento), porém com o mesmo módulo, 2,0m/s.
O tempo gasto para percorrer 1,6m volta a ser de 0,8s; na
2.a colisão, haverá nova troca de velocidades entre B e A e,
novamente, mais 0,8s para percorrer 1,6m até atingir o
anteparo. Na colisão elástica com o anteparo, a bola
inverte o sentido de sua velocidade e o ciclo se reinicia.
V2 = 1,6m/s
V1 = – 2,4m/s |V1| = 2,4m/s
|V3| = 5,12m/s
t1 = 1,0s
T = 9,0s
�s
–––
�t
1,6
–––
tA
tA = 0,8s
�t3 = 0,4s
mV0
2
––––––
2
(M + m)
–––––––
2
1,0
––––
2
5,0
––––
2
h = 0,64m
V = 0,80m/s
55
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 55
c) O período T do ciclo corresponde ao tempo desde a
partida de A no instante t = 0 até o retorno de A ao
anteparo no instante t = 4,0s, portanto:
45) a) A energia potencial gravitacional Ep é dada por:
Ep = m g h
Ep = 0,60 . 10 . h
(SI)
O gráfico da Ep em função de h terá o mesmo formato do
gráfico da altura em função do tempo, com os valores
numéricos multiplicados por 6,0.
b) 1) Antes da 1.a colisão, a energia mecânica total é cons -
tante e é dada por:
E0 = mg H0
2) Entre a 1.a e a 2.a colisão,a energia mecânica é cons -
tante e é dada por:
E1 = mg H1
Analogamente: E2 = 0,6J
c) A velocidade de chegada ao chão na 1.a colisão é dada por:
V2 = V0
2 + 2 � �s
VI
2 = 2 g H0 ⇒
A velocidade após a colisão tem módulo VR dado por:
V2 = V0
2 + 2 � �s
0 = VR
2 + 2 (– g) H1
O coeficiente de restituição é dado por:
CR = = 
CR = = = ����0,25
Respostas: a) ver gráfico
b) ver gráfico
c) 0,50
46) A 47) B 48) E 49) B 50) C
E0 = 9,6J
E1 = 2,4J
V1 = �����2gH0
VR = �����2gH1
VR
––––
VI
�����2gH1
–––––––––
�����2gH0
H1
––––
H0
0,4
––––
1,6
CR = 0,50
T = 4,0s
Ep = 6,0h
56
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 56
1. Noções históricas
Cláudio Ptolomeu, que viveu no século II d.C., foi o
criador de um sistema planetário geocêntrico, isto é,
considerando a Terra como o centro do Universo.
O sistema proposto por Ptolomeu era relativamente
confuso, pois cada planeta desenvolvia uma órbita cir -
cular em torno de um centro C e esse centro C descrevia
uma órbita circular em torno da Terra.
Em 1543, aproveitando a invenção da imprensa, Co -
pérnico publicou uma obra chamada De Revolutionibus
Orbitum Coelestium, que criava uma nova concepção do
Universo com o Sol como seu centro, isto é, um sistema
heliocêntrico.
Basicamente, o sistema proposto por Copérnico ad -
mitia o Sol como o centro do Universo e os pla netas,
inclusive a Terra, girariam em órbitas simples em torno
do Sol.
O sistema de Copérnico incluía também uma
grande es fera imóvel na qual estavam localizadas as
estrelas fixas.
Tycho Brahe, astrônomo dos mais conceituados, foi
autor de um sistema geocêntrico, em que o Sol girava
em torno da Terra e os planetas em torno do Sol.
2. As Leis de Kepler (1571-1630)
Johannes Kepler foi aluno e assistente de Tycho Brahe
e, combatendo a ideia de Copérnico de que as órbitas
planetárias eram circulares, conseguiu determinar não
somente a forma exata das órbitas planetárias, mas também
as outras leis que gover nam os movimentos dos pla netas.
a) O que é uma elipse?
A elipse é uma curva que corresponde ao lugar
geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a
dois pontos fixos do plano têm soma constante.
57
O módulo g da aceleração da gravidade
varia com a altitude h. À medida que h aumenta, g
diminui. Para um satélite artificial em órbita
circular a uma altitude h, o valor de g corresponde
ao módulo da aceleração centrípeta do satélite.
GRAVITAÇÃO
Mecânica
4
CAPÍTULO
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 57
Os pontos fixos são chamados de focos da elipse.
Para qualquer ponto P da elipse, temos:
A distância entre os pontos A e A’ (ver figura) é a
medida do eixo maior da elipse.
Sendo a a medida do semieixo maior e f a medida da
semidistância focal, define-se excentricidade da elip se
como o número e dado por:
Quando e = 0, a elipse “degenera” em uma circun -
ferência (os pontos F1 e F2 coincidem com 0).
Quanto maior o valor de e, mais alongada é a elipse.
Quando e = 1, a elipse “degenera” em um segmento
de reta.
b) Enunciado da 1.a Lei de Kepler
As órbitas descritas pelos planetas em torno do
Sol são elipses com o Sol localizado em um dos focos.
A tabela a seguir mostra que apenas Mercúrio e Plu -
tão (atualmente classificado como planeta-anão) des cre -
vem elipses alongadas (maior excen tri ci dade); os demais
planetas descrevem elipses muito pró ximas de circun -
ferências (excentricidade muito peque na).
Cumpre ressaltar que teoricamente a órbita de um
planeta em torno de uma estrela pode ser circular, apenas
a órbita elíptica é muito mais provável.
a) Raio vetor de um planeta
Para estudar o movimento de um planeta em torno do
Sol, tomamos um vetor com origem no centro de mas sa
do Sol e extremidade no centro de massa do pla neta. Tal
vetor é chamado de raio vetor ou vetor posição do
planeta.
A 2.a Lei de Kepler vai-se referir à área “varrida” pelo
raio vetor de um planeta durante um certo intervalo de
tempo.
Admitamos que, quando o planeta se deslocou de A
para B (ver figura), em um intervalo de tempo �t1, o seu
raio vetor varreu uma área A1 e, quando o planeta se
deslocou de C para D, em um intervalo de tempo �t2, o
seu raio vetor varreu uma área A2.
b) Enunciados da 2.a Lei de Kepler
1.o Enunciado:
O raio vetor que liga o centro de um planeta ao
centro do Sol varre áreas iguais em intervalos de
tempo iguais.
Isto significa que:
2.o Enunciado:
A área varrida pelo raio vetor de um planeta é
proporcional ao intervalo de tempo gasto.
Isto significa que:
k = constante de proporcionalidade que é denomi -
nada velocidade areolar do planeta.
3.o Enunciado:
A velocidade areolar (razão entre a área varrida
pelo raio vetor e o intervalo de tempo gasto) de cada
planeta é constante.
Nota: a velocidade areolar varia de um planeta para o
outro, aumentando com a distância média do planeta ao
Sol, isto é, mínima para Mercúrio e máxima para Netuno
(seria máxima para Plutão, que perdeu o satus de planeta).
c) Consequência da 2.a Lei de Kepler
Do fato de a velocidade areolar de um planeta ser
cons tante resulta ser variável a velocidade de translação
(razão entre distância percorrida e intervalo de tempo
gasto).
d1 + d2 = K (constante)
f
e = ––––
a
0 < e < 1
Planeta Excentricidade
Mercúrio 0,206
Vênus 0,007
Terra 0,017
Marte 0,093
Júpiter 0,048
Saturno 0,056
Urano 0,047
Netuno 0,009
Plutão (planeta-anão) 0,250
�t1 = �t2 ↔ A1 = A2
A = k � t
58
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 58
De fato, a igualdade das áreas A1 e A2 (ver figura
anterior) faz que a medida do arco AB seja maior que a
do arco CD e, como o intervalo de tempo é o mesmo,
concluímos que a velocidade de translação em AB é
maior do que em CD.
A1 = A2 → med(AB) > med(CD) →
Isto significa que, à medida que o planeta vai apro -
ximando-se do Sol, em sua órbita elíptica, a sua velo -
cidade de translação vai aumentando. Isto se torna evi -
dente se observarmos que, com a aproximação do Sol, o
raio vetor vai diminuindo e, para varrer a mesma área, o
planeta deve-se mover mais rapidamente. 
A velocidade de translação será máxima no ponto
mais próximo do Sol, chamado periélio, e será mínima
no ponto mais afastado do Sol, chamado afélio.
Verifica-se, portanto, que o movimento de translação
do planeta não é uniforme, sendo sucessivamente
acelerado (do afélio para o periélio) e retardado (do
periélio para o afélio).
d) Velocidade escalar média de translação
A velocidade média de translação de um planeta é
função decrescente da distância média do planeta ao Sol.
O planeta mais veloz é Mercúrio (para os gregos, era
o deus mensageiro: o carteiro do Olimpo), com velo ci -
dade escalar média de 50km/s, e o mais lento é o plane -
ta-anão Plutão, com velocidade escalar média de
5,0km/s. A velocidade escalar média da Terra tem valor
aproximado de 30km/s.
Assumindo as órbitas como circulares, a velocidade
escalar média tem valor inversamente proporcional à raiz
qua drada do raio de órbita:
Por exemplo, o raio de órbita de Plutão é aproxi -
madamente 100 vezes maior que o de Mercúrio e, por -
tanto, a velocidade escalar média de Plutão tem valor um
décimo da de Mercúrio.
a) Raio médio de uma órbita elíptica
Seja dmáx a distância máxima do planeta ao Sol e
dmín a distância mínima do planeta ao Sol.
Define-se raio médio da órbita elíptica como a média
aritmética entre as distâncias do periélio e do afélio até o
Sol:
Observe que, como dmín + dmáx é a medida do eixo
maior da elipse (AA’), o raio médio coincide com o
semieixo maior da elipse.
b) Período de translação ou ano de um planeta
Define-se período de translação (ou período de
revolução ou ano) de um planeta como o intervalo de
tempo (T) para o planeta dar uma volta completa em
torno do Sol.
c) Enunciado da 3.a Lei de Kepler
Para todos os planetas do sistema solar, é
constante a razão entre o cubo do raio médio da
órbita e o quadrado do período de translação.
Para dois planetas, A e B, temos:
Demonstra-se que a constante de proporcionalidade
da 3.a Lei de Kepleré dada por:
, em que
G = constante de gravitação universal
M = massa do Sol
vAB > vCD
O movimento de translação somente seria uni -
forme se a órbita do planeta fosse circular.
K
vm = ––––
��R
vMRp = 100RM ↔ vp = ––––10
dmín + dmáxR = ––––––––––––
2
Raio médio (R) = semieixo maior (a)
dmín + dmáxR = a = ––––––––––––
2
R3
––– = constante
T2
RA
3 RB
3 RA TA–––– = –––– ou �––––�
3
= �––––�
2
TA
2 TB
2 RB TB
R3 GM
––– = ––––
T2 4π2
59
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 59
Notas
Nota 1: a rigor, a expressão da 3.a Lei de Kepler é:
= ,
em que m é a massa do planeta. Porém, como 
M >> m, desprezamos m em comparação com M e che -
gamos à equação apresentada.
Nota 2: a 3.a Lei de Kepler mostra que, quanto mais
próximo do Sol (menor R), menor é o período de trans -
lação do planeta. À medida que nos afastamos do Sol, a
velocidade escalar média do planeta vai diminuindo e a
extensão de sua órbita vai aumentando, o que implica um
período de translação crescente.
Define-se unidade astronômica (ua) como a dis tân -
cia média da Terra ao Sol (1ua = 1,5 . 1011m).
A tabela a seguir representa a variação do período
com a distância média ao Sol medida em ua.
Nota 3: a velocidade areolar, a velocidade escalar
média de translação e o período de translação são
funções de órbi ta, isto é, só dependem da massa do Sol e
do raio médio da órbita, porém não dependem das carac -
terísticas do planeta ou corpo celeste que está gravitando.
Isto significa que, se um cometa gravitar em torno do
Sol, na mesma órbita da Terra, ele vai ter a mesma ve lo ci -
da de areolar da Terra, a mesma velocidade escalar média
de trans lação (30km/s) e o mesmo período de translação
(1 ano).
Nota 4: as três Leis de Kepler não valem apenas para
planetas do nosso sistema solar; elas valem para corpos
que gravitam em torno de uma grande massa central:
planetas em torno de qualquer estrela, satélites naturais
ou artificiais em torno de um planeta, corpos celestes em
torno da Lua etc.
Nota 5: em se tratando de satélites da Terra, é im -
portante salientar que
a) a órbita pode ser circular ou elíptica;
b) o ponto mais próximo da Terra é chamado de
perigeu e o mais afastado é chamado de apogeu;
c) a velocidade areolar, a velocidade escalar média
de trans lação e o período de translação só dependem da
massa da Terra e do raio médio da órbita; não dependem
da massa ou de outras características do satélite; 
d) a velocidade escalar média de translação da Lua é da
or dem de 1,0km/s, de um satélite estacionário é da ordem de
3,0km/s e de um satélite rasante, 8,0km/s (sem efei to do ar).
Nota 6: em 24/08/2006 na reunião da IAU (União
Astronô mica Internacional), os 2500 cientistas e
astrônomos presentes decidiram que Plutão não é mais
um “planeta do sistema solar”, sendo rebaixado para uma
nova cate goria de corpos celestes: os denominados
“planetas-anões”.
Outros corpos celestes que farão companhia a Plu -
tão:
1) CERES, que era considerado um asteroide, com
ór bita elíptica entre Marte e Júpiter, com raio médio de
4,14 . 108 km (2,8 unidades astronômicas), período de
trans lação de 1680 dias (4,6 anos) e diâmetro de 930 km.
2) Corpo celeste 2003 UB 313 (nome atual, ÉRIS),
descoberto em julho de 2005 por uma equipe de pesqui -
sadores norte-americanos, com órbita elíptica, muito além
de Plutão, com raio médio da ordem de 1,02 . 1010km (68
uni dades astronômicas), período de translação de 561
anos e diâmetro de 3000 km.
Os astrônomos postularam que, para ser classificado
como um planeta do sistema solar, um corpo celeste deve
respeitar três condições:
1) gravitar em torno do Sol;
2) ter massa suficiente para assumir a forma geomé -
trica de uma esfera;
3) ser o corpo celeste dominante, como fonte de cam -
 po gravitacional, em suas vizinhanças, traduzido co mo
“limpar gravitacionalmente a vizinhança de sua ór bita.”
Plutão satisfaz as duas primeiras condições, porém
foi rebaixado a planeta-anão porque não respeitou a
terceira condição. De fato: sua órbita se aproxima da de
Netuno, que é o dominante em suas vizinhanças, pois a
massa de Netuno é cerca de 8600 vezes maior que a de
Plutão.
Planeta
Raio médio 
da órbita (ua)
Período em 
anos terrestres 
Mercúrio 0,39 0,24
Vênus 0,72 0,61
Terra 1,0 1,0
Marte 1,5 1,9
Júpiter 5,2 12
Saturno 9,5 29
Urano 19 84
Netuno 30 165
G(M + m)
–––––––––
4π2
R3
––––
T2
60
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1. Considerando a órbita da Terra em torno do Sol como circular
e de raio R = 1,5 . 1011m e o ano terrestre igual a 3,1. 107s,
cal cule
a) a intensidade da velocidade de translação da Terra em seu
movimento orbital;
b) a velocidade areolar da Terra (adote π = 3,1).
Resolução
a) Sendo a órbita circular, o movimento de translação é uniforme
e a velocidade orbital é dada por:
v = = ⇒ v = (m/s)
b) A velocidade areolar é constante e é dada por:
vA = = ⇒ v = (m
2/s)
Respostas: a) 30km/s b) 2,25 . 1015m2/s 
2. Nicolau Copérnico afirmou que os planetas descreviam, em torno
do Sol, órbitas circulares com movimentos uniformes.
Galileu afirmou que o movimento orbital de um planeta, em torno
do Sol, era mantido por inércia.
Quais os erros nas duas afirmativas dessas eminentes perso na -
gens e quais os cientistas que as corrigiram?
Resolução
1) As órbitas dos planetas, de acordo com a 1.a Lei de Kepler, são
elípticas (não circulares) e o movimento orbital é variado (não
uniforme). A velocidade orbital é uma função decrescente da
distância do planeta ao Sol, isto é, quando a distância aumen -
ta, a velocidade diminui.
2) De acordo com Newton, o movimento orbital do planeta é man -
tido pela força gravitacional aplicada pelo Sol (não por inércia).
3. (MODELO ENEM) – O cometa de Halley atingiu, em 1986, sua
posi ção mais próxima do Sol (periélio) e, em 2023, atingirá sua
posição mais afastada do Sol (afélio).
Assinale a opção correta:
a) Entre 1986 e 2023, o cometa terá movimento uniforme.
b) Entre 1986 e 2023, a força gravitacional que o Sol aplica no
cometa será centrípeta.
c) Ao atingir o afélio, em 2023, a energia potencial gravi tacional
do sistema Sol–cometa será máxima.
d) A energia potencial gravitacional do sistema Sol–cometa foi
máxima em 1986.
e) Em 2041, a energia potencial do sistema Sol–cometa será
máxima.
Resolução
A velocidade orbital do cometa é função decrescente de sua
distância ao Sol.
Assim, no afélio, a velocidade orbital é mínima e, portanto, a ener -
gia cinética do cometa também será mínima. Como a for ça gravi -
tacional que mantém o cometa em órbita é conser vativa, a ener -
gia mecânica do sistema Sol–cometa é a mesma em todos os
pon tos da órbita.
Como no afélio a energia cinética é mínima, a energia potencial do
sistema Sol–cometa será máxima.
Resposta: C
4. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Um satélite da Terra move-se
numa órbita circular, cujo raio é 4 vezes maior que o raio da órbita
circular de outro satélite terrestre. Qual a relação T1/T2, en tre os
períodos do primeiro e do segundo satélite?
a) 1/4 b) 4 c) 8 d) 64
�s
–––
�t
2πR
––––
T
2 . 3,1 . (1,5) . 1011
–––––––––––––––––
3,1 . 107
v = 3,0 . 104m/s = 30km/s
A
––
�t
πR2
––––
T
3,1 . (1,5)2 . 1022
––––––––––––––––
3,1 . 107
vA= 2,25 . 10
15m2/s
61
PLUTÃO NÃO É MAIS PLANETA
O sistema solar tem agora 8 e não mais 9 planetas. Plutão, que nos últimos 76 anos foi considerado um
astro da mesma categoria de Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno, foi rebaixado.
Por decisão da União Astronômica Internacional, ele passa a ser um planeta-anão, como Ceres e Éris.
(O Estado de S. Paulo, 25/08/2006)
SISTEMA SOLAR: O SOBE-E-DESCE NO COSMO
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 61
7. (UNESP) – Analise o movimento de um planeta em diversos
pontos de sua trajetória em torno do Sol, conforme aparece na
figura.
Considerando-se os trechos entre os
pontos A e B e entre os pontos C e D,
pode-se afirmar que,
a) entre A e B, a área varridapela linha
que liga o planeta ao Sol é maior do
que aquela entre C e D.
b) caso as áreas sombreadas sejam
iguais, o planeta move-se com maior
velocidade escalar no trecho entre A
e B.
c) caso as áreas sombreadas sejam iguais,
o planeta move-se com maior velo -
cidade escalar no trecho entre C e D.
d) caso as áreas sombreadas sejam iguais,
o planeta move-se com a mes ma
velocidade escalar nos dois trechos.
e) caso as áreas sombreadas sejam iguais, o tempo leva do para
o planeta ir de A até B é maior que entre C e D.
8. Considere um cometa em órbita elíptica em torno do Sol.
S1 = área varrida pelo raio vetor do cometa entre as posições A e
B.
S2 = área varrida pelo raio vetor do cometa entre as posições C e
D.
62
e) não podemos calcular a razão T1/T2 , por insuficiência de da -
dos.
Resolução
Aplicando-se a 3.a Lei de Kepler, para o movimento de satélites
em tor no da Terra, temos:
Sendo R1 = 4R2, vem:
= 
T
1
2 = 64T
2
2
⇒ T
1
= 8T
2
⇒
Resposta: C
5. Considere a órbita da Lua, em torno da Terra, como circular, de
raio igual a 60R (R é o raio terrestre) e de período igual a 27 dias.
Identifique para um satélite estacionário da Terra:
a) o plano de órbita.
b) a forma da órbita.
c) o período de translação.
d) o raio de órbita em função de R.
Resolução
a) A órbita está contida no plano equatorial da Terra.
b) A órbita é circular para que o movimento de translação em
torno do centro de massa da Terra seja uniforme.
c) O período de translação do satélite estacionário é igual ao
período de rotação da Terra: 24h.
d) Aplicando-se a 3.a Lei de Kepler:
= 
Como TS = 1d, TL = 3
3d, RL = 60R, vem:
= ⇒ RS = = ⇒
6. (UFCG-PB-MODELO ENEM) – Recentemente, confirmou-se a
exis tên cia do exoplaneta HD74156d pertencente ao Sistema
HD74156 na constelação de Hydra. Exoplanetas são corpos em
órbita de estrelas fora do sistema solar e com órbitas
permanentes. Trata-se do primeiro planeta teorica mente previsto
desde a descoberta de Netuno em 1840. Veja o quadro que
apresenta algumas características das órbitas para três dos
exoplanetas do sistema, incluindo o HD74156d:
Com base nas informações, pode-se afirmar que
a) dos três planetas, o c é o que tem uma órbita cuja forma mais
se aproxima de uma circunferência.
b) o valor de X, no quadro, é, certamente, menor que 0,29 ua.
c) como o semieixo maior da órbita do planeta d é 3,4 vezes o
semieixo maior da órbita do planeta b, o va lor de W, no quadro,
é 3,4 vezes 1,1 x 105 dia2/(ua)3.
d) o valor 1,1 x 105 dia2/(ua)3 é próximo do valor para o sistema
solar.
e) o valor de X, no quadro, é comparável com o semieixo maior
da órbita da Terra em torno do Sol.
Resolução
a) FALSA. Quanto menor for a excentricidade, mais a órbita se
aproxima de uma circunferência (planeta d).
b) FALSA. Como o período é maior, o semieixo maior também
será maior, isto é, X > 1,0.
c) FALSA. O valor de W é constante, isto é, 1,1 . 105
d) VERDADEIRA. Para o sistema solar, temos:
= 
= 133225 d2/(ua)3
b) FALSA. Porque o ano do planeta é quase 7 vezes o ano terres -
tre.
Resposta: D
R
1
3 R
2
3
–––– = ––––
T
1
2 T
2
2
64R
2
3
––––––
T
1
2
R
2
3
––––
T
2
2
T1––– = 8
T2
R
L
3
––––––
T
L
2
R
S
3
––––
T
S
2
(60R)3
––––––
36
R
S
3
––––
1
60R
––––
9
20R
––––
3 RS � 6,7R
Planeta 
Período de
Revolução 
(T) (em dias
terrestres) 
Semieixo maior
da Órbita (a)
(em Unidades
Astronômicas, 
ua) 
Excentri -
cidade da
órbita 
T2/a3
[dia2/(ua)3] 
HD74156b 52 0,29 0,64 1,1 x 105
HD74156c 2476 X 0,43 1,1 x 105
HD74156d 337 1,0 0,25 W 
T2
–––
a3
(365 d)2
–––––––
(ua)3
T2
–––
a3
T2 (dia)2
––– = 1,3.105 –––––
a3 (ua)3
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Sabe-se que a medida do arco AB é a metade da medida do arco
CD e que a área S2 é quatro vezes maior que a área S1 (ver figura).
A velocidade escalar média do planeta vale V1 entre A e B e vale
V2 entre C e D.
A relação entre V1 e V2 é:
a) V1 = 4V2 b) V1 = 2V2 c) V1 = V2
d) V1 = e) V1 =
9. (UNIP-SP) – O cometa de Halley descreve, em torno do Sol, a
órbita elíptica representada na figura.
Assinale a opção correta.
a) A velocidade areolar do cometa é máxima no ponto A.
b) O movimento do cometa é uniforme.
c) A velocidade de translação do cometa é constante.
d) A velocidade areolar do cometa é constante e a velocidade de
translação é variável.
e) O movimento do cometa é mantido por inércia.
10. (UNICAMP-SP) – A figura abaixo representa exagera damente a
trajetória de um planeta em torno do Sol. O sentido do percurso é
indicado pela seta. O ponto P indica a maior aproximação do
planeta ao Sol, o ponto A marca o maior afastamento. Os pontos
V, I e o Sol são colineares, bem como os pontos P, A e o Sol.
a) Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxima?
Em que ponto essa velocidade é mí nima? Justifique sua
resposta.
b) Segundo Kepler, a linha que liga o planeta ao Sol percorre
áreas iguais em tempos iguais. Coloque em ordem crescente
os tempos necessários para realizar os seguintes percursos:
VPI, PIA, IAV, AVP.
11. (UNESP) – Grande parte dos satélites de co municação estão
localizados em órbitas circulares que estão no mesmo plano do
Equa dor terrestre. Ge ralmente esses satélites são geoestacio -
nários, isto é, possuem período orbital igual ao período de rotação
da Terra, 24 horas. Considerando-se que a órbita de um satélite
geoestacionário possui raio de 42 000 km, um satélite em órbita
circular no plano do equador terrestre, com raio de 10 500 km,
tem período orbital de
a) 3 horas. b) 4 horas. c) 5 horas.
d) 6 horas. e) 8 horas.
12. O asteroide Ceres, que em 24/08/2006 foi elevado à categoria de
planeta-anão, tem órbita elíptica em torno do Sol com raio médio
da ordem de 2,76 ua, em que ua é a unidade astronômica que cor -
responde à distância média da Terra ao Sol (1,5 . 1011m).
A partir da 3.a Lei de Kepler, podemos avaliar o período de trans -
lação de Ceres em torno do Sol como sendo um valor mais pró -
ximo de:
a) 365 dias b) 730 dias c) 1460 dias
d) 1680 dias e) 2920 dias
Dado: ���21 � 4,6
13. (UNESP) – O período de revolução T e o raio médio r da órbita de
um planeta que gira ao redor de uma estrela de massa m
satisfazem a relação (m T2)/r3 = 4π2/G, em que G é a cons tante de
gravitação universal. Considere dois planetas e suas respectivas
estrelas. O primeiro, o pla neta G581c, recentemente descoberto,
que gira em torno da estrela Gliese581 e o nosso, a Terra, girando
ao redor do Sol. Considere o período de revolução da Terra 27
vezes o de G581c e o raio da órbita da Terra 18 vezes o raio da ór -
bita daquele planeta. Determine qual seria a massa da es trela
Gliese581 em unidades da massa M do Sol.
14. Considere as órbitas de Plutão e Mercúrio circulares e admita que
o raio de órbita de Plutão é 100 vezes maior que o de Mercúrio.
Determine
a) a razão entre os períodos de translação de Plutão e de
Mercúrio: TP / TM;
b) a razão entre os módulos das velocidades de translação de
Plutão e de Mercúrio: VP / VM;
c) a razão entre as velocidades areolares de Plutão e de
Mercúrio: VAP / VAM.
15. (UNICAMP-SP) – Em agosto de 2006, Plutão foi reclas si ficado
pe la União Astronômica Internacional, passando a ser consi de -
rado um planeta-anão. A terceira Lei de Kepler diz que T2 = K a3,
em que T é o tempo para um planeta com pletar uma volta em
torno do Sol, e a é a média entre a maior e a menor distância do
planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é aT = 1,5 x 10
11 m,
enquanto para Plutão ap = 60 x 10
11 m. A constante K é a mesma
para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da
luz no vácuo tem módulo igual a 3,0 . 108 m/s. Dado: �����10 � 3,1.
a) Considerando-se as distâncias médias, quanto tem po leva a
luz do Sol para atingir a Terra? E para atingir Plutão?
b) Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em
torno do Sol? 
16. (UNICAMP-SP) – A terceira Lei de Kepler diz que “o quadrado do
período de revolução de um planeta (tempo para dar uma volta em
torno do Sol) dividido pelo cuboda distância média do planeta ao
Sol é uma constante”. A distância média da Terra ao Sol é
equivalente a 1 ua (unidade astronômica).
a) Entre Marte e Júpiter existe um cinturão de as teroides (vide
figura). Os asteroides são corpos sólidos que teriam sido origi -
nados do resíduo de matéria existente por ocasião da formação
do sistema solar. Se no lugar do cinturão de asteroides essa
matéria se tivesse aglutinado formando um planeta, quanto
duraria o ano deste planeta (tempo para dar uma volta em torno
do Sol)?
b) De acordo com a terceira Lei de Kepler, o ano de Mer cúrio é
mais longo ou mais curto que o ano terrestre?
Dado: ��5 � 2,2
V2––––
2
V2––––
4
63
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17. (UFRJ) – A tabela a seguir ilustra uma das leis do movimento dos
planetas: a razão entre o cubo da distância média D de um planeta
ao Sol e o quadrado do seu período de revolução T em torno do
Sol é constante. O período é medido em anos e a distância em
unidades astronômicas (ua). A unidade astronô mi ca é igual à
distância média entre o Sol e a Terra. Suponha que o Sol esteja no
centro comum das órbi tas circu lares dos planetas.
Um astrônomo amador supõe ter descoberto um novo planeta no
sistema solar e o batiza como planeta X. O período estimado do
planeta X é de 125 anos. Cal cule
a) a distância do planeta X ao Sol, em ua;
b) a razão entre o módulo da velocidade orbital do pla neta X e o
módulo da velocidade orbital da Terra.
18. (UFJF-MG) – O ano de 2009 foi o Ano Internacional da Astrono -
mia, em homenagem aos 400 anos da primeira utilização de um
telescópio para observações astronômicas, feitas por Galileu Ga -
lilei. Entre suas principais descobertas, estão o relevo na Lua e a
exis tên cia de satélites no planeta Júpiter. Galileu observou Júpiter
durante vários dias em janeiro de 1610, e notou que quatro
objetos celestes acom panhavam o planeta orbitando em torno
dele. Sabe-se, hoje, que esses objetos são satélites do planeta. A
tabela abaixo indica o raio da órbita dos satélites e o tempo que
eles demoram para dar uma volta com pleta em torno de Júpiter.
Para resolver esse problema, você preci sa rá da terceira Lei de
Kepler, que afirma que o quadrado do período de revolução é
proporcional ao cubo do raio médio da órbita. A constante de 
proporcionalidade pode ser escrita como , em 
que M é a massa de Júpiter em quilogramas. A relação linear
entre o quadrado do período dos satélites e o cubo de suas dis -
tâncias médias a Júpiter é representada no gráfico a seguir.
a) A partir das informações do texto e do gráfico, calcule o valor
aproximado da massa de Júpiter.
b) A partir das informações do gráfico e da tabela, calcule o valor
aproximado do período de revolução de Ganimedes.
19. (UFCG-PB-MODELO ENEM) – A figura mostra um selo que ho -
me nageia Johannes Kepler. Observe-a com atenção, saben do-se
que as áreas sombreadas foram percorridas no mesmo inter valo
de tempo.
www.th.physik.uni-frankfurt.de
A partir da figura que mostra o planeta em várias posições ao
longo de sua órbita em torno do Sol, pode-se afirmar, segundo
Kepler, que
a) as áreas sombreadas são tais que uma é o dobro da outra.
b) ao percorrer a área sombreada mais próxima do afélio, a velo -
ci dade da Terra passa pelos maiores valores durante o ano.
c) a área sombreada próxima ao periélio é a região em que a Ter -
ra desenvolve os menores valores de sua velocidade duran te
o ano.
d) a razão entre as áreas sombreadas é igual a 1.
e) a órbita mostrada é uma elipse com o Sol ocupando o seu
centro.
20. (MEC-MODELO ENEM) – A figura mostra as órbitas de quatro
satélites artificiais da Terra, três elipses, descritas pelos satélites
S1, S2 e S3, nas quais a Terra ocupa um dos focos e uma
circunferência, descrita por S4, em que a Terra está no centro.
A superposição dessas órbitas resulta na figura abaixo.
Sabendo-se que o satélite S4 tem um período de 4,0 horas, pode-se
afirmar que o período, em horas, de
a) S1 é 1,0 b) S2 é 1,0 c) S3 é 1,5
d) S3 é 2,0 e) S1 é 4,0
21. (FUVEST-MODELO ENEM) – Satélites utilizados para tele co -
municações são colocados em órbitas geoesta cionárias ao redor
da Terra, ou seja, de tal forma que permaneçam sempre acima de
um mesmo ponto da superfície da Terra. Considere algumas
condições que poderiam corres pon der a esses satélites:
I. ter o mesmo período, de cerca de 24 horas.
II. ter aproximadamente a mesma massa.
III. estar aproximadamente à mesma altitude.
IV. manter-se num plano que contenha o círculo do Equador
terrestre.
O conjunto de todas as condições a que satélites em órbita
geoesta cionária devem necessariamente obe de cer corresponde a
a) I e III b) I, II e III c) I, III e IV
d) II e III e) II e IV
PLANETA MERCÚRIO VÊNUS TERRA MARTE JÚPITER SATURNO
T2 0,058 0,378 1,00 3,5 141 868
D3 0,058 0,378 1,00 3,5 141 868
8 . 1010
–––––––
M
kg . dias2
––––––––
km3
Note que os números da abscissa do gráfico encontram-se
multiplicados pelo fator 1018.
Satélite Raio da órbita (km) Período (dias)
Io 421,6 . 103 1,77
Europa 670 . 103 3,55
Ganimedes 1000 . 103 ?
Calisto 1883 . 103 16,69
64
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3. Lei da Gravitação 
Universal de Newton (1642-1727)
Apoiado nos estudos de Copérnico (1473-1543), Ga -
lileu (1564-1642) e Kepler (1571-1630), Isaac Newton
apresentou a lei da gravitação universal.
Entre dois corpos quaisquer, pelo simples fato de
terem massa, existe uma força de atração denominada
força gravitacional.
A medida da força gravitacional é traduzida na
apresen tação da lei:
A constante de proporcionalidade G é denominada
constante de gravitação universal ou Constante de Gauss
e seu valor, obtido por Cavendish, é:
G é uma constante universal que não depende dos
cor pos que se atraem, da distância ou do meio interposto
entre os corpos.
Observe que a força gravitacional varia com a dis -
tância da mesma forma que a força eletrostática, porém
existem diferenças marcantes:
(1) a força eletrostática pode ser de atração ou de re -
pulsão, porém a força gravitacional é sempre de atra ção;
(2) a força eletrostática depende do meio interposto
en tre os corpos; a força gravitacional não depende do
meio.
4. Campo de gravidade da Terra
A Terra cria em torno de si um campo de forças gra -
vi tacionais.
A intensidade desse campo é medida pela aceleração
da gravidade cujo valor depende da massa da Terra e da
posição do ponto considerado.
Nas proximidades da Terra, o campo de forças é
razoavelmente uniforme e sua intensidade vale 9,8m/s2.
À medida que nos afastamos muito da Terra, o cam -
po de gravidade vai enfraquecendo.
Para um ponto material de massa m colocado em um
ponto A, a uma altitude h, temos:
PA = FG
mgA = ⇒
Para h = 0, temos: 
Portanto, a gravidade na superfície de um planeta só
depende da massa do planeta (diretamente proporcional
à massa) e do raio do planeta (inversamente proporcional
ao quadrado do raio).
Supondo ser a Terra esférica e homogênea, devido a
razões de simetria, o campo de gravidade em um ponto
interno a uma distância r do centro (C) da Terra é devido
apenas à massa contida na esfera de centro C e raio r.
Assim, em um ponto Pi interno à Terra e a uma dis -
tância r de seu centro, temos:
gi = (1)
Sendo � a densidade da Terra, vem:
� = ⇒ Mi = π �r
3 (2) 
Substituindo 2 em 1, resulta:
gi = . π�r
3
gi = r ⇒
“A força gravitacional entre dois pontos materiais
tem intensidade diretamente proporcional ao
produto de suas massas e inversamente pro por -
cional ao quadrado da distância que os separa.”
G M m
F = –––––––
d2
G = 6,7 . 10–11 unidades do S.I.
G M
gA = –––––––(R + h)2
G M m
–––––––
(R + h)2
G M
g0 = –––––R2
G Mi––––––
r2
4
––
3
Mi–––––––
4
–– πr3
3
4
––
3
G
–––
r2
gi = Kr
4––3
πGμ
K
65
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A gravidade nos pontos internos à Terra é pro -
porcional à distância ao centro da Terra.
Para o centro da Terra, temos r = 0 e gi = 0; para o pon -
to da superfície, temos r = Re g0 = πG�R � 9,8m/s
2.
Assim, do centro para a superfície, o campo gra -
vitacional aumenta de intensidade, variando propor -
cionalmente com a distância ao centro da Terra; é nulo no
centro e máximo na superfície (9,8m/s2).
Construindo um gráfico cartesiano representativo da
intensidade do campo gravitacional (g) com a distância
ao centro da Terra (r), temos:
Consideremos um ponto material de massa m locali -
zado em um ponto A de latitude � (ângulo entre o vetor 
posição CA
→
e o vetor fixo CO
→
na linha do Equador).
Acompanhando a rotação da Terra, o ponto material
vai descrever movimento circular e uniforme em torno
do ponto C’ com raio C’A = r.
A força centrípeta Fcp necessária para manter este
movimento tem in tensidade dada por:
, em que:
 = velocidade angu lar de rotação da Ter ra.
A força gravitacional que a Terra aplica no ponto
material tem intensidade constante FG dada por:
Esta força gravitacional pode ser imaginada com
duas componentes:
(1) Força centrípeta associada ao movimento circu lar
uniforme do ponto material.
(2) Peso do ponto material no ponto A.
Como r varia com a latitude, concluímos que Fcp e
PA variam com a latitude, pois FG tem intensidade cons -
tante (supondo a Terra esférica).
Nos polos (� = 90°), temos:
No Equador (� = 0°), temos:
A variação do peso com a latitude significa variação
da aceleração da gravidade com a latitude.
5. Energia no campo gravitacional
Consideremos um campo de forças atrativas, tal que
a intensidade (F) da força de campo é inversamente pro -
porcional ao quadrado da distância (r) entre os corpos
que se atraem, isto é: F = , em que K é uma constan -
te característica dos corpos em questão.
Considerando-se nula a energia potencial do campo
quando a distância d entre os corpos tende para infinito
(Epot∞ = 0), pode-se demonstrar, com auxílio de cálculo
in tegral, que a energia potencial, associada ao campo de
forças, será dada por:
Fcp = m 
2r
Mm
FG = G ––––R2
FG
→
= Fcp
→
+ PA
→
r = 0 ⇒ Fcpmín
= m
2r = 0
GMmPpolos = Pmáx = –––––R2
r = R ⇒ Fcpmáx
= m
2R
GMmPEq = Pmín = ––––– – m
2R
R2
4
––
3
K
––
r2
66
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O fato de a energia potencial ser negativa quer dizer
apenas que:
Em outras palavras, poderíamos dizer que, para
trans portar os corpos que se atraem para o infinito, onde
a energia de campo é zero, é preciso que um agente
externo ao campo forneça energia aos corpos.
Assim, se a energia potencial de campo for de – 50J,
um agente externo ao campo deve fornecer aos corpos
50J de energia para transportá-los ao infinito.
É simples compreender que esta energia vai ser usa da
para vencer a força de atração que existe entre os cor pos.
De acordo com a Lei da Gravitação Universal de New -
 ton, o campo gravitacional entre dois corpos quais quer de 
massas M e m é do tipo mencionado, pois F = 
(força atrativa) e, portanto, a energia potencial gravita cio -
nal será dada por:
Considere um corpo de massa m, animado de ve lo ci -
da de escalar v, a uma distância r do centro de massa da
Terra.
Seja M a massa da Terra e G a constante de gravi ta -
ção universal.
A energia mecânica do corpo (Em) será dada por:
6. Estudo de um 
satélite em órbita
Um satélite de um planeta, de acordo com as Leis de
Kepler, pode estar em órbita elíptica ou circular e o seu
movimento é mantido pela força de atração gravitacional
aplicada pela Terra.
Na órbita elíptica, a velocidade linear de translação é
variável e o movimento não é uniforme.
Estudemos, apenas, um satélite em órbita circular e,
portanto, com movimento uniforme.
Seja M a massa do planeta, r o raio da ór bita e G a
cons tante de gravitação universal.
A força gravita cio nal que o planeta apli ca sobre o
saté lite fará o papel de re sul tante cen trí peta:
Fgrav = Fcp ⇒ = 
Assim: 
Observemos que, sendo G uma constante universal,
a velocidade de translação tem módulo dependente
apenas da massa do planeta e do raio de sua órbita.
Para o mesmo planeta, quanto mais próximo for o
satélite, maior sua velocidade de translação.
Em relação ao sistema solar, Mercúrio é o planeta
que apresenta maior velocidade escalar média de
translação (mais veloz dos planetas) e Plutão é o que
apresenta menor velocidade escalar média de translação
(mais lento dos planetas).
Sendo v = = , vem:
T = = 2 π r . ���
ou ainda:
Portanto, observemos que também o período de um
sa télite só depende da massa do planeta e do raio de sua
órbita.
a) Energia cinética
Sendo v = ���e m a massa do satélite, temos:
G M m
––––––
r2
G M m
Epot = – –––––––r
– G M m m v2
Em = ––––––––– + –––––r 2
G M m
–––––––
r2
m v2
–––––––r
GM
v = ���––––r 
�s
––
�t
2 π r
––––
T
2 π r
––––
v
r
––––
GM
Em todos os pontos do campo, a energia potencial
é menor do que no infinito.
K
Epot = – –––r
r3
T = 2π ���––––GM
GM––––
r
67
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Ecin = =
. ⇒
b) Energia potencial
A energia potencial gravitacional será dada por:
Comparando as expressões das energias cinética e
potencial, notamos que:
c) Energia mecânica
A energia mecânica (Em) é a soma das energias
cinética e potencial:
Em = Ecin + Epot = Ecin + (– 2 Ecin)
A imponderabilidade, isto é, a sensação de ausência
de peso (os corpos flutuam dentro da nave em órbita),
não significa que inexista força gravitacional, mas
apenas que esta está sendo utilizada como resultante
centrípeta capaz de manter o corpo em órbita. Não há
troca de forças de compressão entre um astronauta e o
chão da sua nave, de modo semelhante ao que ocorre
quando, na Terra, um elevador está em queda livre e o
passageiro não comprime o piso do elevador.
É usual dizer-se que um corpo em órbita não tem pe so,
o que significa afirmar que um objeto no interior do sa té lite
e o próprio sa télite “caem”, em relação ao pla ne ta, com a
mesma acele ra ção ao longo de suas ór bitas, ace le ração esta
imposta pela atra ção gra vitacional do pla ne ta.
Não se considerando perdas de energia por atrito
com o ar e desprezando a influência de outros corpos ce -
lestes que não o planeta em questão, o satélite é mantido
em órbita exclusivamente pela força gravitacional apli -
cada pelo planeta, não havendo, pois, necessidade de
nenhum tipo de combustível.
O combustível é usado apenas para colocá-lo na
órbita desejada ou para alterar sua órbita.
Um satélite é dito “estacionário” quando ocupa sem -
pre a mesma posição em relação a um referencial ligado
à superfície do planeta.
Para que um satélite seja estacionário, ele deve
satisfazer as condições seguintes:
a) Plano de órbita: a órbita deve estar contida no
plano equatorial do planeta.
b) Trajetória: a órbita deve ser circular.
c) Período de translação: igual ao período de rota -
ção do planeta.
Em se tratando de um satélite estacionário da Terra,
o período de translação deverá ser de 24h e o raio de sua
órbita, calculado por meio da 3ª Lei de Kepler, corres -
ponde a, aproximadamente, 6,7 raios terrestres.
O satélite estacionário tem aplicação em tele comuni -
cações.
Para um satélite rasante (junto à superfície terrestre),
desprezando o efeito do ar, temos:
FG = Fcp
mg0 = ⇒
Sendo:
g0 = aceleração da gravidade nas proximidades da
Terra = 10m/s2
R = raio da Terra = 6,4 . 106m
v0 = �������10 . 6,4 . 106 m/s
A velocidade do satélite rasante corresponde à velo -
cidade de lançamento horizontal de um corpo para trans -
formá-lo em um satélite da Terra e é chamada de velo -
cidade cósmica primeira.
7. Fuga do campo 
gravitacional da Terra
A energia mecânica de um corpo, no campo gravi -
tacional da Terra, é a soma de duas parcelas:
a energia cinética , que é sempre não negativa, e 
a energia potencial – , que é sempre não positiva.
A respeito do valor da energia mecânica do corpo, te -
mos três possibilidades:
a) Em > 0: isto significa que o corpo tem energia me -
câ nica suficiente para se libertar do campo gravitacional
da Terra e ainda lhe sobra energia para prosseguir viagem.
m v
0
2–––––
R v0 = �����g0 . R
m km
v0 = 8,0 . 10
3 –– = 8,0 –––s s
G M m
Em = – Ecin = – –––––––2r
Epot = – 2 Ecin
G M m
Epot = – –––––––r
G M m
Ecin = –––––––2r
GM
––––
r
m
––
2
m v2
––––
2
mv2
–––––
2
GMm
–––––
r
68
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A energia cinética do corpo, fora do campo
gravitacional da Terra (Epot = 0), será igual à sua energia
mecânica.
b) Em = 0: isto significa que a energia do corpo é ape -
nas suficiente para escapar do campo gravitacional da
Terra.
c) Em < 0: isto significa que o corpo não tem energia
suficiente para se libertar do campo gravitacional da
Terra; nesse caso, ou retorna à superfície terrestre ou
entra em órbita em torno da Terra.
Dizemos, então, que existe uma energia que mantém
o corpo preso, ligado à Terra, impedindo-o de escapar ao
seu campo gravitacional.
Tal energia é chamada “energia de ligação” entre o
corpo e a Terra e constitui uma espécie de barreira gra -
vitacional criada pela Terra.
A energia de ligação é numericamente igual à energia
mecânica do corpo com o sinal trocado, isto é:
Para um corpo parado, na superfície da Terra, te -
mos: r = R e v = 0
Portanto:
(1)
Sendo g0 = , vem: GM = g0R
2 (2)
Substituindo (2) em (1), resulta:
Elig = ⇒
Denomina-se energia de escape a quantidade de
ener gia mecânica mínima a ser fornecida a um corpo pa ra
que consiga “escapar” do campo gravitacional da Ter ra.
Em particular, para que um corpo parado na su per -
fície da Terra consiga escapar de seu campo gra vita -
cional, ele deve receber uma energia cinética maior ou
igual à sua energia de ligação com a Terra.
Assim: ou 
� mg0R ⇒ v � ����2g0R
A velocidade escalar mínima de lançamento, para
escapar ao campo gravitacional da Terra, será a velo ci -
dade de escape (ve) dada por:
Adotando g0 = 10m/s
2 e R = 6400km = 6,4 . 106m,
temos:
ve = �������� 2 . 10 . 6,4 . 106 m/s = 8,0 ��2 . 103m/s
ve = 8,0 ��2km/s � 8,0 . 1,4km/s = 11,2km/s
Portanto, a velocidade de escape do planeta Terra,
isto é, a mínima velocidade com que devemos lançar um
corpo para que não mais retorne à Terra, a partir de sua
superfície, é de, aproximadamente, 11,2km/s.
Em nosso cálculo, não levamos em consideração a ro -
ta ção da Terra, nem a considerável influência do ar, tra tan -
do-se, pois, de um cálculo apenas teórico. Na práti ca, um
cor po lançado com tal velocidade entraria em incan des cên -
cia, em virtude do trabalho da força de resis tência do ar.
A velocidade de escape é característica de cada pla -
neta, dependendo apenas de sua massa e raio, na suposi ção
de não se considerar os efeitos de rotação do planeta.
A velocidade de escape é denominada velocidade cós -
mica segunda.
Assim, se lançarmos um corpo horizontalmente, de um
ponto bem próximo à superfície terrestre, não levan do em
conta a rotação da Terra nem a resistência do ar, teremos:
1.a) Para velocidades de lançamento inferiores a
8,0km/s, o projétil terá trajetória parabólica, retornando à
superfície terrestre.
2.a) Para velocidade de lançamento de módulo apro -
xi madamente igual a 8,0km/s, o projétil assume uma
órbita circular com período aproximado de 84 minutos.
3.a) Para velocidades superiores a 8,0km/s e infe -
riores a 11,2km/s (velocidade de escape), o projétil assu -
me uma órbita elíptica.
4.a) Para velocidade de módulo aproximadamente
igual a 11,2km/s, o projétil assume trajetória parabólica,
não mais retornando à Terra.
5.a) Para velocidades superiores a 11,2km/s, o pro jé til
assume trajetória hiperbólica, não mais retornando à Ter ra.
Nas três primeiras hipóteses, o projétil tem energia
me cânica negativa e se mantém ligado à Terra; na 4.a hi -
pótese, a energia mecânica é nula e na 5.a hipó tese, a
ener gia mecânica é positiva e o projétil não mais retor na
à Terra.
g0 R
2 . m
––––––––
R Elig = mg0R
Ecin � Eligação Eescape = Eligação
mv2
–––––
2
ve = ����2g0R
G M m m v2
Elig = – Em = –––––– – ––––r 2
G M m
Elig = –––––– R 
GM
–––––
R2
69
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22. (UFLA-MG-MODELO ENEM) – Foram observados no sistema 
�-Cen tauro dois planetas: um com massa M e outro com massa 
4 M. Na linha que une os dois planetas, há um ponto P onde os
campos gravitacionais gerados por M e 4 M se anulam.
Considerando-se d1 a distância do centro do planeta M ao ponto P
e d2 a distância do centro do planeta 4 M ao ponto P, pode-se
afirmar que a razão d1/d2 vale
a) 1/4 b) 1/2 c) 2 d) 4 e) 8
Resolução
Uma partícula de massa m colocada em P ficará em equilíbrio e,
portanto:
F1 = F2
= 
= 
Resposta: B
23. (PUC-SP-MODELO ENEM) – Garfield, com a finalidade de dimi -
nuir seu peso, poderia ir para quais planetas? 
Considere a tabela a seguir e gTerra = 9,8m/s
2, MT = Massa da
Terra e RT = Raio da Terra: 
a) Marte, Urano e Saturno b) Vênus, Urano e Netuno
c) Marte, Vênus e Saturno d) Mercúrio, Vênus e Marte
e) Mercúrio, Vênus e Júpiter
Resolução
A gravidade na superfície de um planeta esférico de massa M e
raio R tem módulo g dado por:
G = constante de gravitação universal
Portanto, a gravidade é proporcional à razão .
Mercúrio: � 0,38 ⇒ gM < gT
Vênus: � 0,90 ⇒ gV < gT
Marte: � 0,39 ⇒ gM < gT
Júpiter: � 2,5 ⇒ gJ > gT
Saturno: � 1,1 ⇒ gS > gT
Urano: = 0,90 ⇒ gU < gT
Netuno: � 1,1 ⇒ gN > gT
Resposta: D
24. (FCMPA-RS) – A densidade média do planeta Terra é de 
5,0 . 103 kg/m3. Qual é a densidade de um planeta que tenha o
mesmo diâmetro da Terra, com aceleração da gravidade
superficial com módulo igual a um quinto (1/5) do módulo da
aceleração da gravidade de nosso planeta?
a) 0,25 g/cm3 b) 0,50 g/cm3 c) 0,75 g/cm3
d) 1,0 g/cm3 e) 5,0 g/cm3
Resolução
1) P = FG
mg =
(1)
2) � = =
(2)
(2) em (1): g = . πR3 . �
G M m
––––––
d1
2
G 4 M m
––––––––––
d2
2
d1
2
–––
d2
2
1
–––
4
d1 1
–––– = –––
d2 2
GM
g = ––––
R2
M
––––
R2
0,055 MT–––––––––
(0,38RT)
2
MT––––
RT
2
0,81 MT–––––––––
(0,95RT)
2
MT––––
RT
2
0,11 MT–––––––––
(0,53RT)
2
MT––––
RT
2
316,5 MT–––––––––
(11,2RT)
2
MT––––
RT
2
94,8 MT–––––––––
(9,4RT)
2
MT––––
RT
2
14,4 MT–––––––––
(4,0RT)
2
MT––––
RT
2
17,1 MT–––––––––
(3,9RT)
2
MT––––
RT
2
GMm
–––––
R2
GM
g = –––––
R2
M
–––––––––
4
–– π R3
3
M
–––––
Vol
Planetas Massa Raio
Mercúrio 0,055MT 0,38RT
Vênus 0,81MT 0,95RT
Marte 0,11MT 0,53RT
Júpiter 316,5MT 11,2RT
Saturno 94,8MT 9,4RT
Urano 14,4MT 4,0RT
Netuno 17,1MT 3,9RT
4
M = ––– π R3 . �
3
4
–––
3
G
–––
R2
4
g = ––– π G�R
3
70
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RX = RT e gX = gT ⇒ �X = 
Resposta: D
25. (UEL-PR) – Um corpo de massa m, com uma energia ciné tica
desprezível em relação à sua energia potencial, está situado a uma
distância r do centro da Terra, que possui raio R, massa M e 
g = GM/R2.
Suponha que esse corpo caia em direção à Terra.
Desprezando-se os efeitos de rotação da Terra e o atrito da
atmosfera, assinale a alternativa que contém a relação que
permite calcular o módulo da velocidade v do corpo no instante
em que ele colide com a Terra.
a) V2 = 2gR2 � – � b) V2 = 2gR2 � + �
c) V2 = 2gR2 � . � d) V2 = 2g2R � – �
e) V2 = 2gR2 � – � 
Resolução
Ponto A: EpotA
= –
Ponto B: EpotB
= – ; EcinB
= 
EB = EA (sistema conservativo)
– = –
= GM � – � ⇒ V2 = 2GM � – �
GM = gR2 ⇒
Resposta: E
26. (UNIP-SP-MODELO ENEM) – A ilustração a seguir representa
astronautas flutuan do no interior de uma nave que está em órbita
circular em torno do centro da Terra, sob ação exclusiva da força
gravitacional aplicada pela Terra.
Considere as proposições que se seguem:
I. Os astronautas flutuam porque a nave e todo o seu conteúdo
estão em queda livre.
II. A “gravidade zero” no interior da nave é explicada por estar a
nave fora do campo gravitacional criado pela Terra.
III. A força gravitacional que a Terra aplica no sistema formado
pela nave e pelo seu conteúdo faz o papel de resultante
centrípeta.
Responda mediante o código:
a) Apenas I está correta. b) Apenas II está correta.c) Apenas III está correta. d) Apenas I e II estão corretas.
e) Apenas I e III estão corretas.
Resolução
I. Correta. Um corpo está em queda livre quando está sob ação
exclusiva da força gravitacional. Todo corpo em órbita (circular
ou elíptica) está em uma eterna queda livre.
II. Falsa.
III. Correta. O movimento da nave é circular uniforme e a força
resultante é centrípeta.
Resposta: E
27. (UNESP) – Um satélite com massa m gira em torno da Terra com
velocidade escalar constante, em uma órbita circular de raio R, em
relação ao centro da Terra. Represente a massa da Terra por M e
a constante gravitacional por G. Utili zando-se dos con cei tos de
forças centrípeta e gravita cional, calcule, em função de m, M, R e
G,
a) a velocidade escalar do satélite;
b) a constante K que aparece na terceira Lei de Ke pler, T2 = KR3,
em que T é o período do movimento.
Resolução
a) Sendo a órbita circular, o movimento orbital é uniforme e a
força gravitacional que a Terra aplica no satélite faz o papel de
resultante centrípeta:
FG = Fcp
= 
b) A velocidade escalar V também é dada por:
V = = 
Portanto: = ���
=
G M m
––––––
r
G M m
––––––
R
m V2
––––––
2
m V2
––––––
2
G M m
–––––––
R
G M m
––––––
r
V2
–––
2
1
–––
R
1
–––
r
1
–––
R
1
–––
r
1 1
V2 = 2 g R2 � ––– – –––�
R r
1
––
R
1
––
r
1
––
R
1
––
r
1
––
R
1
––
r
1
––
r
1
––
R
1
––
R
1
––
r
1
–––
5
�T–––
5
�X = 1,0 . 10
3 kg/m3 = 1,0 g/cm3
G M m
––––––––
R2
mV2
––––––
R
G M
V = ���––––––R
�s
––––
�t
2πR
–––––
T
G M
––––
R
2πR
––––
T
G M
––––
R
4π2R2
–––––––
T2
71
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29. (UNESP) – A força gravitacional entre um satélite e a Terra tem
intensidade igual a F. Se a massa desse satélite fosse quadru pli -
cada e a dis tância entre o satélite e o centro da Terra duplicasse,
a inten si dade da força gravitacional seria
a) F/4 b) F/2 c) 3F/4 d) F e) 2F
30. (FUVEST) – No sistema solar, o planeta Sa turno tem massa cerca
de 100 vezes maior do que a da Terra e descreve uma órbita, em
torno do Sol, a uma distância média 10 ve zes maior do que a dis -
tân cia média da Terra ao Sol (valores aproximados). A razão FSat/FT
entre a intensidade da força gravita cional com que o Sol atrai
Saturno e a intensidade da força gra vitacional com que o Sol atrai a
Terra é de aproxima damente:
a) 1000 b) 10 c) 1 d) 0,1 e) 0,001
31. (FUVEST) – A razão entre as massas de um planeta e de seu
satélite é 81. Um foguete está a uma dis tân cia R do centro do
planeta e a uma distância r do centro do saté lite. Qual deve ser
o valor da razão para que as duas forças de atração sobre o 
foguete se equili brem?
32. (UEPB) – Duas partículas de massas iguais a m estão localizadas
em vértices opostos de um quadrado de lado d. Duas outras
partículas, com massas iguais a m��2, estão localizadas nos ou -
tros dois vértices desse quadrado. Nessa situação, o módulo da
força gravitacional resultante que age sobre uma das partículas de
maior massa é dado por: 
a) (1 + 2 ��2) b) 3 c)
d) 2 ��2 e)
33. (VUNESP-FMJ-SP) – O planeta Urano, descoberto em 1781,
apresenta como peculiaridade o fato de seu eixo de rotação ser
praticamente paralelo ao plano de sua órbita, ou seja, é um
planeta “deitado”. O raio de Urano é 4 vezes maior do que o raio
da Terra, e sua massa é aproximadamente 16 vezes maior que a
da Terra. Sendo gU e gT as intensidades dos campos
gravitacionais criados por Urano e pela Terra em suas respectivas
superfícies, pode-se afirmar que:
a) gU = (1/4) gT b) gU = (1/2) gT c) gU = gT
d) gU = 2 gT e) gU = 4 gT
34. (UNIFESP) – Estima-se que o planeta Urano possua massa 14,4
vezes maior que a da Terra e que o módulo da sua aceleração
gravitacional na linha do equador seja 0,9g, em que g é o módulo
da aceleração gravitacional na linha do Equador da Terra. Sendo
RU e RT os raios nas linhas do equador de Urano e da Terra,
respectivamente, e desprezando-se os efeitos da rotação dos
planetas, RU/RT vale
a) 1,25 b) 2,5 c) 4 d) 9 e) 16 
35. (FUVEST-SP) – Recentemente, Plutão foi “rebaixado”, perdendo
sua clas sificação como planeta. Para avaliar os efeitos da gravidade
em Plutão, considere suas características físicas, comparadas com
as da Terra, que estão apre sen tadas, com valores aproximados, no
quadro a seguir.
a) Determine o peso, na superfície de Plutão (PP), de um corpo que
na superfície da Terra pesa 40 N (PT = 40 N).
b) Estime a altura máxima H, em metros, que uma bola, lançada
verticalmente com velocidade de módulo V0, atingiria em
Plutão. Na Terra, essa mesma bola, lançada com a mesma
velocidade, atinge uma altura hT = 1,5 m.
R
–––
r
Gm2
–––––
d2
Gm2
–––––
d2
Gm2
–––––
d2
Gm2
–––––
d2
Gm2
–––––
d2
3
––
2
Massa da Terra (MT) = 500 x Massa de Plutão (MP)
Raio da Terra (RT) = 5 x Raio de Plutão (RP)
72
T2 = . R3
Sendo T2 = K R3, vem:
Respostas: a) 
b) K = 
28 (UFT) – Quantas horas deveria ter, aproximadamente, o período
de rotação da Terra em torno de seu eixo para que uma balança
localizada sobre a linha do equador indicasse zero para o peso de
uma pessoa de 70 kg?
Dados: Raio da Terra = 6,4 . 106m
g = 10m/s2
π = 3
a) 1h e 20 min b) 37h e 12 min c) 48 h 
d) 24 h e) 6 h e 37 min
Resolução
A balança indicará zero quando a aceleração da gravidade (de mó -
dulo g = 10m/s2) for igual à aceleração centrípeta da pessoa para
acompanhar o movimento de rotação da Terra.
g = acp = 
2 R
2 = ⇒ 
 = =
T = 2π 
T = 6 (s)
T = 6 ����� 64 . 104 (s)
T = 6 . 8 . 102s = 4800s
T = 1h + 1200s
Resposta: A
4π2
––––
GM
4π2
K = ––––––
GM
G M
V = ���––––––R
4π2
––––
GM
g
––––
R
g
––––
R
2π
––––
T
R
––––
g
6,4 . 106
––––––––
10
T = 1h + 20min
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36. (UNESP) – Desde maio de 2008, o IBAMA recebe imagens do
ALOS (satélite de observação avançada da Terra) para monitorar o
desmatamento na Floresta Amazônica. O ALOS é um satélite
japonês que descreve uma órbita circular a aproximadamente 
700 km de altitude. São dados o raio e a massa da Terra, 
rT = 6 400 km e M = 6,0 . 10
24 kg, respectivamente, e a constante
gra vitacional, G = 6,7 . 10−11 N . m2/kg2.
Determine o módulo da aceleração da gravidade terres tre, em
m/s2, na altitude em que esse satélite se encontra.
37. (PUCC-SP) – O módulo da aceleração da gra vidade varia em
função da altitude. Para que o mó dulo da aceleração da gravidade
reduza-se à quarta parte de seu valor na superfície da Terra, é
preciso elevar-se a uma altura da superfície, medida em função do
raio terrestre, igual a:
a) b) c) 1 d) e) 2
38. (ITA) – Numa dada balança, a leitura é baseada na deformação de
uma mola quando um objeto é colocado sobre sua plataforma.
Considerando-se a Terra como uma esfera homogênea, assinale a
opção que indica uma posição da balança sobre a superfície
terrestre onde o objeto terá a maior leitura.
a) Latitude de 45°.
b) Latitude de 60°.
c) Latitude de 90°.
d) Em qualquer ponto do Equador.
e) A leitura independe da localização da balança já que a massa
do objeto é invariável.
39. (UNESP) – Em abril de 2007, foi anunciada a descoberta de
G581c, um novo planeta fora de nosso sistema solar e que tem
al gumas semelhanças com a Terra. Entre as várias carac terísticas
anun ciadas, está o seu raio, 1,5 vez maior que o da Terra. Consi -
derando-se que a massa específica desse planeta seja uniforme e
igual à da Terra, utilize a lei da gravitação universal de Newton para
calcular o módulo da acele ração da gravidade na superfície de
G581c, em termos do módulo da aceleração da gravidade g, na
superfície da Terra. 
40. (UFPE) – À medida que se aproxima da superfície de um planeta,
uma sonda espacial envia dados para a Terra. A tabela abaixo
indica os valores medidos para o módulo da aceleração da
gravidade desse planeta como função da distância h da sonda à
sua superfície.
O raio do planeta vale:
a) 0,7 . 106m b) 1,4 . 106m c) 3,4 . 106m
d) 4,8 . 106m e) 6,4 . 106m
41. A força gravitacional da Lua sobre a Terra causa o efeito das ma -
rés. A figura (forade escala) que melhor representa esse efeito
está no item:
42. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Dois satélites artificiais
orbitam em torno dos centros da Terra e da Lua, em trajetórias
circulares de mes mo raio R. Considere a massa da Terra 81 vezes
a da Lua.
a) Qual a razão entre os módulos das velocidades or bitais dos
dois satélites?
b) Qual a razão entre seus períodos de translação?
43. (UFBA) – Um planeta X, que tem, em relação à Terra, massa oito
vezes maior e raio duas vezes maior, gira em torno do seu próprio
eixo, com velocidade angular tal, que todo corpo localizado sobre
seu equador tem peso aparente nulo. Se esse fato ocorresse na
Terra, o dia terrestre duraria apenas T0 = 1h e 24 min. Nessas
condições, determine o período de rotação do planeta X, em múl -
tiplos de T0.
44. (UECE) – A Lua descreve um círculo de raio r em torno da Terra
em 28 dias terrestres. Sendo G a constante da gravitação
universal e m e M as massas da Lua e da Terra, respecti vamen -
te, a intensidade da variação da quantidade de movimento linear
da Lua em 14 dias é:
a) b)
c) d)
45. (VUNESP) – Um satélite, de massa m, circula em órbita estável a
uma distância d do centro de um planeta de massa M. 
Considerando-se a constante de gravitação universal G, a energia
cinética des se satélite pode ser dada por
NOTE E ADOTE:
GMm
F = ––––––– ; Peso = mg; gT = 10m/s
2
R2
Despreze o efeito da amotsfera e não considere os efeitos de
rotação da Terra e de Plutão.
1
––
4
g(m/s2) h(km)
0,6 4,8 . 103
2,4 0,7 . 103
1
––
2
3
––
2
GMm
––––––
r2
2GMm2
–––––––
r
4GMm
––––––
r
4GMm2
–––––––
r
73
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a) GMm/2d2 b) GMm/d2 c) GMm/4d
d) GMm/2d e) GMm/d 
46. Considere um planeta esférico de densidade constante � isento
de atmosfera. 
Seja G a constante de gravitação universal e T o período de
translação de um satélite rasante ao planeta.
O valor de T é dado por:
a) T = 2π b) T = c) T = 
d) T = e) T = 
47. Uma estrela dupla é constituída por duas estrelas, de mesma
massa M e cujos centros de massa estão a uma distância R,
gravitando em torno do centro de massa do conjunto, em órbitas
circulares.
Sendo G a constante de gravitação universal, deter mine o período
T de translação das estrelas.
48. Um sistema de três es tre las é constituído por duas estrelas de
mesma massa m que gi ram em torno de uma es tre la central de
massa M, na mesma órbita cir cular de raio r.
As duas estrelas de mes ma massa estão sem pre ali nha das com
o centro da órbita.
Sendo G a constante de gravitação universal, o módulo da
velocidade de translação das es trelas de massa m, em função de
G, M, m e r, é dado por:
a) V = b) V =
c) V = d) V =
e) V =
49. (FUVEST) – Um satélite artificial, em órbita circular em torno da
Terra, mantém um período que depende de sua altura em relação
à superfície da Terra. Determine
a) o período T0 do satélite, em minutos, quando sua ór bita está
muito próxima da superfície (Ou seja, está a uma distância do
centro da Terra pratica mente igual ao raio da Terra.);
b) o período T4 do satélite, em minutos, quando sua órbita está a
uma distância do centro da Terra apro ximadamente igual a
quatro vezes o raio da Terra.
50. Seja M a massa da Terra, m a massa de um satélite que está em
órbita circular de raio r e G a constante de gravitação universal.
Sabe-se que a energia potencial gravitacional Ep entre a Terra e o
satélite é dada por:
A razão entre Ep e a energia cinética do satélite Ec é dada por:
Ep Epa) ––––– = – 2 b) –––– = – 1
EC EC
Ep m Ep Mc) ––––– = –––– d) –––– = –––
EC M EC m 
Epe) ––––– = 1
EC
51. Considere um satélite da Terra em órbita circular de raio r. A Terra
tem massa M, o satélite tem massa m e a constante de
gravitação universal vale G.
O raio da Terra vale R e os efeitos de sua rotação e da presença
da atmosfera devem ser desprezados.
Determine
a) o módulo da velocidade orbital do satélite em fun ção de G, M
e r;
b) o módulo g0 da aceleração da gravidade na su perfície terrestre
em função de G, M e R;
c) a energia mecânica total do satélite em função de G, M, m e
r;
Considere nula a energia potencial gravitacional no infinito.
d) a velocidade de escape de um corpo, a partir da superfície
terrestre, em função de R e do módulo da aceleração da
gravidade na superfície terrestre indicado por g0.
NOTE E ADOTE:
A intensidade da força de atração gravitacional sobre um corpo
de massa m é F= GmMT/r
2, em que r é a distância entre o corpo
e o centro da Terra, G é a constante gravitacional e MT é a
massa da Terra.
Na superfície da Terra, F = mg, em que g = GMT / RT
2; 
g = 10m/s2 e RT = 6,4 x 10
6m.
(Para resolver esta questão, não é necessário conhe cer nem G
nem MT).
Considere π ≈ 3 e despreze o efeito do ar.
GMm
Ep = – ––––––––
r
3π
––––––
���G�
1___
G�
2π___
G�
3π___
G�
π___
G�
G m
–– �M + –––�
r 4
G
–– (M + m)
r
G m
–– �M + –––�
r 2
G M
–– �––– + m�
r 4
G M + m
–– �–––––––�
r 4
NOTE E ANOTE
1) A força gravitacional entre dois corpos de massas M
e m, com centros de massa se parados por uma
distância d, tem intensidade F dada por:
Mm
F = G ––––
d2
2) Para um referencial no infinito, a energia potencial
gravitacional Ep entre dois cor pos de massas M e m,
com cen tros de mas sa separados por uma distân cia
d, vale:
– G M m
Ep = –––––––––
d
3) Velocidade de escape é a menor velo ci dade de lança -
mento de um corpo, a par tir da su perfície terrestre,
para que o corpo escape do campo gra vitacional da
Terra.
Nesse cálculo, não se considera a pre sen ça da
atmosfera terrestre.
74
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52. (FUVEST-SP) – Alienígenas desejam observar o nosso planeta.
Para tanto, enviam à Terra uma nave N, inicialmente ligada a uma
nave auxiliar A, ambas de mesma massa. Quando o conjunto de
naves se encontra muito distante da Terra, sua energia cinética e
sua energia potencial gra vitacional são muito pequenas, de forma
que a energia mecânica total do conjunto pode ser consi derada
nula. Enquanto o conjunto é acelerado pelo campo gra vitacional da
Terra, sua energia cinética aumenta e sua energia potencial fica
cada vez mais negativa, con servando a energia total nula. Quando
o conjunto N-A atinge, com velocidade V0 (a ser determinada), o
ponto P de máxima aproximação da Terra, a uma distância R0 de
seu centro, um explosivo é acionado, separando N de A. A nave N
passa a percorrer, em torno da Terra, uma órbita circular de raio R0,
com velocidade VN (a ser determinada). A nave auxiliar A adquire
uma veloci dade VA (a ser deter mina da). Suponha que a Terra
esteja isolada no espaço e em repouso.
Determine, em função de M, G e R0,
a) o módulo da velocidade V0 com que o conjunto atin ge o ponto
P;
b) o módulo da velocidade VN, de N, em sua órbita cir cular;
c) o módulo da velocidade VA, de A, logo após se sepa rar de N.
53. (UNESP-MODELO ENEM) – Isaac Newton procurou unificar a
física celeste com a física terrestre, ou seja, leis que regem
movimentos ob servados no céu podem explicar os movimentos
ob servados na Terra.
O astrônomo inglês Edmund Halley, em 1758, aplicou a física
newtoniana para prever a aparição de um cometa, cometa de
Halley, que já havia sido observado em 1607 e 1682. Infelizmente,
não foi possível para Halley con firmar seus estudos.
A Lei de Newton utilizada por Halley está descrita na alternativa: 
a) Todo corpo que atua sobre outro corpo, por meio de uma
força, recebe deste último uma força de reação de mesma
direção, intensidade e de mesmo sentido.
b) Dois corpos de massas iguais ou distintas, separados por uma
distância, atraem-se devido a uma força de natureza
gravitacional, na direção que os une.
c) Todo corpo mantém seu estado de repouso ou em movimento
retilíneo uniforme, quando o somatório das forças sobre ele
for igual a zero.
d) Quando o somatório das forças em um corpo for igual a zero,
a velocidade do corpo é constante e ele descreve uma
trajetória circular.e) A ação de uma força constante em um corpo é pro porcional à
sua aceleração, tendo esta mesma direção e intensidade da
força.
54. (UFSCar-SP-MODELO ENEM) – Leia a tirinha.
Não é difícil imaginar que Manolito desconheça a relação entre a
força da gravidade e a forma de nosso planeta. Brilhantemente
traduzida pela expressão criada por Newton, conhecida como a lei
de gravitação universal, esta lei é por alguns aclamada como a
quarta Lei de Newton. De sua apreciação, é correto entender que
a) em problemas que envolvem a atração gravitacional de corpos
sobre o planeta Terra, a constante de gravitação universal,
inserta na expressão newtoniana da lei de gravitação, é
chamada de aceleração da gravidade.
b) é o planeta que atrai os objetos sobre sua superfície e não o
con trário, uma vez que a massa da Terra supera muitas vezes a
massa de qualquer corpo que se encontre sobre sua superfície.
c) o que caracteriza o movimento orbital de um satélite terrestre
é seu distanciamento do planeta Terra, longe o suficiente para
que o satélite esteja fora do alcance da força gravitacional do
planeta.
d) a força gravitacional entre dois corpos diminui linearmente
conforme é aumentada a distância que separa esses dois
corpos.
e) aqui na Terra, o peso de um corpo é o resultado da interação
atrativa entre o corpo e o planeta e depende diretamente das
massas do corpo e da Terra.
55. (FUVEST-MODELO ENEM) – A Estação Espacial Internacional,
que está sendo cons truída num esforço conjunto de diversos
países, de verá orbitar a uma distância do centro da Terra igual a
1,05 do raio médio da Terra. A razão R = Fe/F, entre a intensidade
da força Fe com que a Terra atrai um corpo nessa Estação e a
intensidade da força F com que a Terra atrai o mesmo corpo na
superfície da Terra, é aproximadamente de
a) 0,02 b) 0,05 c) 0,10
d) 0,50 e) 0,91
56. (UNESP-MODELO ENEM) – A Lei da Gravitação Universal foi pu -
bli cada em 1687 pelo físico e matemático inglês Isaac Newton.
Por meio dessa lei, podem-se determi nar as intensidades das for -
ças de interação gravita cional entre a Terra e a Lua, FTL, e entre o
Sol e a Lua, FSL. Considerando-se que a massa do Sol é 3,2 . 10
5
vezes a massa da Terra e que a dis tância média do Sol à Lua é 400
vezes a distância média da Terra à Lua, a relação aproximada entre
estas duas intensidades de força é
NOTE E ADOTE
1) A força de atração gravitacional F, entre um corpo de massa
m e o planeta Terra, de massa M, tem 
GMm
intensidade dada por F = –––––––– = mgR.
R2
2) A energia potencial gravitacional EP do sistema for mado pelo
corpo e pelo planeta Terra, com re ferencial de potencial zero
no infinito, é dada por: 
– GMm
EP = ––––––––.
R
G: constante universal da gravitação.
R: distância do corpo ao centro da Terra.
gR: módulo da aceleração da gravidade à distância R do centro
da Terra.
75
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 75
a) FTL = 0,5 FSL b) FTL = FSL
c) FTL = 1,5 FSL d) FTL = 2 FSL
e) FTL = 2,5 FSL
57. (FAAP-SP-MODELO ENEM)
Nasa quer construir base espacial próxima à Lua
Embora a construção da ISS (Estação Espacial In ternacional) ainda
esteja longe de acabar, a Nasa está fa zendo de tudo para deixar
claro que seu programa tripulado não para por aí. Durante o
Congresso Es pa cial Mundial, que começou na última quinta-feira e
vai até sábado, em Houston, EUA, a agência espacial norte-ame -
ricana apresentou o próximo item em sua lista de prio ri dades
astronáuticas – uma nova base no espaço. (…)
A base, apelidada de L1 Gateway, ficaria mais de 800 vezes mais
distante da Terra que a ISS. Sua lo calização seria no primeiro dos
cinco pontos de Lagrange do sistema Terra-Lua (daí o “L1” do no -
me). O ponto de Lagrange (ou de libração), nesse caso, é um local
do espaço em que a gravidade da Terra e da Lua se compensam,
fazendo com que um objeto ali localizado fique mais ou menos no
mesmo lugar (com relação à Terra e à Lua) o tempo todo. (…)
(Folha de S.Paulo, 15/10/02)
Considere que a massa da Terra (M) seja cerca de 81 vezes maior
que a massa da Lua (m). Seja D a distância entre os centros de
massa da Terra e da Lua.
A distância d entre a base L1 Gateway e o centro da Terra vale:
a) 90%D b) 81%D c) 80%D
d) 79%D e) 75%D
58. (VUNESP-MODELO ENEM)
MARÉS TERRESTRES 
Maré é o fenômeno da subida e da descida do nível das águas e
tam bém do solo de uma região por causa dos efeitos gravita cio -
nais criados pela Lua e pelo Sol. A região da Terra que estiver
voltada para um desses astros sofre uma atração gravitacional
maior do que aquela sofrida pela região mais distante. Essas
forças desiguais causam acelerações também desiguais que
acabam deformando, temporariamente, a distribuição de massas
na Terra. Apesar do nome parecer paradoxal, ocorrem, de fato,
marés terrestres, ou seja, o solo da Terra ‘sobe’ e ‘desce’
dependendo das posições do Sol e da Lua. Mas, sobe e desce em
relação a quê? Não podemos esquecer que boa parte do interior
da Terra está na forma pastosa, e que os continentes ‘boiam’
sobre essa pasta como se cada continente fosse um pequeno
barco. Da mesma forma que as marés ‘marítimas’ deformam a
distribuição das águas, elas redistribuem também a parte pastosa
da Terra. Com isso, os continentes parecem subir e descer com
relação ao centro da Terra. É a esse movimento que chamamos
de marés terrestres. (www.iag.usp.br)
Sobre o texto apresentado, são feitas as afirmações seguintes.
I. O fenômeno das marés pode ser explicado pela Lei da
Gravitação Universal, proposta por Newton.
II. Forças resultantes desiguais causam acelerações desiguais,
somente quando agem em corpos de mesma massa.
III. Os continentes boiam sobre o centro pastoso da Terra porque
a força de atração gravitacional, exercida pelo Sol e pela Lua
sobre eles, e a força peso desses continentes formam um par
de forças tipo ação-reação, anulando-se.
É correto o contido em
a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas.
d) II e III, apenas. e) I, II e III.
59. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE ASTRONO MIA-MODELO ENEM) –
As Viagens Espaciais. Durante as viagens dos ônibus espaciais,
têm sido comum atividades de videocon ferência, nas quais
estudantes aqui da superfície conver sam com os astronautas,
que estão em órbita, em ge ral a uma altura da ordem de 300
quilômetros da su per fície terrestre. Um estudante secundarista,
que as sis tiu a uma dessas transmissões, numa sala de aula aqui
no Brasil, ficou curioso em saber o motivo pelo qual o fio do
microfone usado pelos astronautas pare cia flutuar o tempo todo
dentro da nave. Conversando com colegas logo após terem visto
a referida situa ção, o estudante e seus colegas elaboraram as
seguin tes expli cações sobre o fato de verem o fio flutuando no
interior da nave. Indique, entre as explicações apre sentadas pelo
estudante e seus colegas, qual é fisicamente correta. O fio flutua
porque
a) a força centrípeta sobre a nave e tudo em seu in terior anula a
força de atração gravitacional.
b) as naves espaciais estão em órbita em uma região onde a
gravidade é nula.
c) o ônibus espacial em órbita se comporta como um corpo em
queda livre.
d) em órbita, a contribuição da atração gravitacional da Lua sobre
os cor pos se torna importante e é isso que faz com que os
corpos flu tuem.
e) a força gravitacional que a Lua aplica sobre a nave equilibra a
força gravitacional que a Terra aplica sobre a nave.
76
7) B 8) B 9) D
10) a) máxima em P e mínima em A
b) TVPI < TPIA = TAVP < TIAV
11) A 12) D 13)
14) a) 103 15) a) 5,0 . 102s e 2,0 . 104s
b)
b) 248 anos
c) 10
16) a) Aproximadamente 4,4 anos terrestres.
b) O ano de Mercúrio é mais curto que o ter res tre.
1
mG = ––– M
8
1
–––
10
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 76
17) a) 25 ua 18) a) 1,9 . 1027 kg
b)
b) 6,5d
19) D 20) E 21) C 22) B 23) D
24) D 25) E 26) E
27) a) 
b) K =
29) D 30) C 31) = 9
32) B 33) C 34) C
35) a) Desprezando-se os efeitos de rotação, temos:
P = FG
mg = 
g = módulo da aceleração da gravidade na superfície do
planeta
M = massa do planetaR = raio do planeta
Portanto: = 
2
Sendo = e = 5, vem:
= . 25 = ⇒
Na Terra: PT = m gT
Em Plutão: PP = m gP
= ⇒
b) No lançamento vertical, temos:
V2 = V0
2 + 2� �s (MUV)
0 = V0
2 + 2(– g)H
Para o mesmo valor de V0 , temos:
= 
= ⇒
Respostas: a) 2,0N
b) 30m
36) 8,0m/s2 37) C 38) C 39) gG = 1,5g
40) C
41)
A Terra e a Lua gravitam em MCU em torno do centro de
massa do sistema Terra–Lua.
Para o centro C da Terra, a força gravitacional aplicada pela
Lua tem a mesma intensidade da resultante centrípeta.
Para o ponto A, a força gravitacional é mais intensa que a
centrípeta necessária, provocando a protuberância de água
na face voltada para a Lua.
Para o ponto B, a força gravitacional é menor que a centrípeta
necessária, provocando a protube rân cia na face oposta à Lua.
Resposta: D
42) a)
b)
43) 1 44) D 45) D 46) D
47) 48) A
49) a) Para um satélite em órbita circular, a aceleração da gra -
vidade nos pontos da órbita é igual à aceleração centrí -
peta associada ao seu movimento:
g = acp = 
2 r
2 = ⇒ 
 = ⇒ = 
⇒ T0 = 6 (s) = 4800 s
T0 = (min) ⇒
b) Para r = 4 RT , temos:
g = = = = (m/s2)
Portanto:
T4 = 2 π (s)
T4 = 6 . 8 . 800 (s) = 38400 s
T4 = (min) ⇒
Respostas: a) 80 min
b) 640min
50) A
51) a) A força gravitacional que a Terra aplica no satélite faz o
papel de resultante centrípeta:
1
–––
5
G M
V = ���––––––R
4π2
–––––
GM
R
–––
r
GM
g = ––––––
R2
GMm
–––––––
R2
RT�–––––�RP
MP
–––––
MT
gP
–––––
gT
RT
–––––
RP
1
–––––
500
MP
–––––
MT
gP = 0,5 m/s
2
1
––––
20
1
–––––
500
gP
–––––
10
PP = 2,0 N
0,5
––––
10
PP
–––––
40
V0
2
H = –––––
2g
gT
––––
gP
HP
–––––
HT
H = 30m
10
––––
0,5
H
–––––
1,5
VT
––– = 9
VL
TT VL 1–––– = –––– = –––
TL VT 9
R3
T = 2π ––––––
2 G M
g
––
r
2 π
–––
T
g
––
r
g
––
r
6,4 . 106
–––––––
10
r
T = 2 π –– 
g
T0 = 80 min
4800
–––––
60
10
–––
16
g0
–––
16
G M
––––––
16 RT
2
G M
––––
d2
4 . 6,4 . 106
––––––––––
10/16
T4 = 640 min
38400
–––––
60
FG = Fcp
77
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 77
= ⇒
b) A força gravitacional que a Terra aplica em um corpo, na
superfície dela, corresponde ao peso do corpo.
= m g0 ⇒
c) 1) A energia cinética do satélite é dada por:
EC = = � �2
2) A energia mecânica total Em é dada por:
Em = Ep + EC
Em = – +
d) Se o corpo escapar do campo gravitacional da Terra, sua
energia potencial gravitacional vai-se anular.
Usando-se a conservação da energia mecânica entre a
posição de lançamento e a posição fora do campo gravi -
tacional, vem:
Einicial = Efinal
– = Ecinf
Como Ecinf
� 0, vem:
– � 0
� ⇒ V0 �
Ve = V0 (mín) = 
Sendo g0 = , vem GM = g0 R
2
Ve = ⇒
Respostas: a) b)
c) d) Ve = ����2g0R
52) a) Usando-se a conservação da energia mecânica do sistema
formado pelas duas naves, antes da explosão, entre o
ponto muito afastado (infinito) e o ponto P, vem:
E
 = EP
0 = + V
0
2
em que m é a massa de cada nave.
= ⇒
b) Para a nave em órbita circular e movimento uniforme em
torno do centro da Terra, teremos:
FG = Fcp
= ⇒
c) No ato da explosão, o sistema é isolado e haverá conser -
vação da quantidade de movimento total do sistema:
→
Qapós = 
→
Qantes
m VN + m VA = 2m V0
VN + VA = 2V0
VA = 2V0 – VN
VA = 2 –
VA = –
Respostas: a) V0 = b) VN = 
c) VA = ( ��8 – 1) 
53) B 54) E 55) E 56) A 57) A
58) A 59) C
G M m
–––––––
r
G M m
–––––––
2r
GM m
Em = – ––––––– = – EC
2r
mV0
2
–––––––
2
GMm
–––––––
R
mV0
2
–––––––
2
GMm
–––––––
R
V0
2
–––––
2
GM
––––
R
2 G M
––––––
R
2 G M
–––––
R
GM
––––
R2
g0R
2
2 –––––
R
Ve = ����2g0R
G M
V = ––––���
r
GM
g0 = –––––
R2
GMm
Em = – ––––––2r
– GM2m
––––––––––
R0
2m
–––––
2
V
0
2
–––
2
GM
–––––
R0
2GM 
V0 = ����–––––R0
GMm
–––––
R0
2
mVN
2
––––––
R0
G M
––––
r
m
––––
2
m V2
–––––––
2
GMm
EC = ––––––2r
GM
g0 = –––––R2
G M m
–––––––
R2
FG = P
G M
V = ––––���r
mV2
–––––––
r
G M m
–––––––
r2
GM 
VN = ����–––––R0
2GM
–––––
R0
GM
–––––
R0
8GM
–––––
R0
GM
–––––
R0
GM
VA = ( ��8 – 1) –––––
R0
2GM
–––––
R0
GM
–––––
R0
GM
–––––
R0
78
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 78
1. Matéria e antimatéria
As partículas de matéria e de antimatéria têm massas
iguais e cargas com sinais opostos.
Se a partícula não tiver carga, ela difere da antipar -
tícula por alguma outra propriedade, porém as massas se -
rão sempre iguais.
As principais partículas de an tima téria são:
(1) Antielétron, também cha mado de pósitron, tem
mesma massa do elétron e carga positiva.
(2) Antipróton, partícula que tem a mesma massa
do próton e carga negativa.
O antiátomo é formado com as antipartículas e a
antimolécula é for mada com os antiátomos. Quando uma
partícula encontra sua antipar tícula, ocorre um pro cesso
denomi nado aniquilação e a matéria total de ambas é
inte gralmente trans for mada em energia, na forma de
radia ções, de acordo com a Equação de Einstein:
c: módulo da velocidade da luz no vá cuo = 3,0 . 108m/s
m: massa aniquilada
E: energia radiante produzida 
2. Buraco negro
Considere um corpo celeste co mo, por exemplo, um
planeta. Des preze o efeito da atmosfera e da ro tação do
planeta. Se lan çarmos uma partícula, a partir da su per fície
do planeta, com uma velocidade su fi ciente mente gran de, a
partícula po de escapar da influência gravita cional do
plane ta. A velocidade mí ni ma pa ra que isto ocorra é deno -
mina da velo cidade de escape ou ve lo cida de cósmica
segun da, e seu módulo é dado pela seguinte expres são:
G = constante de gravitação uni versal.
M = massa do planeta ou corpo celeste.
R = raio do planeta ou corpo celeste, suposto esféri co.
Para a Terra, o módulo da velocidade de es cape é de
11,2km/s.
Uma região do espaço é cha ma da de buraco negro
quando a concentração de massa é tão gran de, a força
gravitacional é tão inten sa, que a velocidade de escape é
maior que a velocidade da luz no vácuo (3,0 . 108m/s).
Isto significa que nada, nem mes mo a luz, conseguirá
escapar da influência gravitacional do buraco ne gro.
Obviamente, por não deixar a luz escapar, o buraco negro
não pode ser “visto”, mas a sua pre sen ça é percebida
pelos efeitos gravi tacionais produzidos em suas vizi nhan -
ças co mo, por exemplo, des vian do a luz que passa em suas
pro ximidades e tor nando curva a trajetória dela. 
3. O surgimento do 
Universo e sua evolução
Em Astronomia, chamamos de Universo o espaço
com a matéria e a energia que o formam.
A Cosmologia estuda a origem, a estrutura e a evo -
lução do Universo ou de partes componentes deste, tal
como um sistema planetário.
E = mc2
2 G M
VE = ���––––––R
79
Einstein foi um dos maiores físicos de todos os tempos.
Sua obra mais importante foi a teoria da relatividade, 
porém recebeu o prêmio Nobel de Física por seus estudos 
sobre o efeito fotoelétrico.
ORIGEM E EVOLUÇÃO DO UNIVERSO
Mecânica
5
CAPÍTULO
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 79
Muitos foram
os seres humanos
que de dicaram as
suas vi das ao es -
tudo das ciên cias e
da desco berta da
origem do Uni -
verso.
Entre as princi pais descobertas e teo rias desen -
volvidas para elucidar a origem do Uni verso, podemos
citar:
– 1905 – Albert Eins tein enun cia a
Teoria da Re la tividade e, em 1907,
mos tra a equi va lência en tre ma té ria e
ener gia por meio da equa ção:
– 1917 – O astrônomo holan dês Willen de Sitter
demonstra de forma teórica que o Universo está em ex -
pan são.
– 1927 – O as trônomo belga Geor -
 ges Lemaître sugere que, ini cial men -
te, toda a energia do Uni ver so estava
con centrada em um único lu gar: o
ovo cós mico ou átomo pri mor dial.
– 1929 – Edwin
Hubble, baseado em suas
observa ções, enun cia sua
famosa lei se gundo a qual
o módulo da veloci dade
com que uma galá xia se
afasta de nós é propor -
cional à sua dis tância até
nós. Esta foi a pri meira
evidência da expansão do
Univer so.
– 1950 – Herman,
Gamov e Alpher pro -
põem a Teoria do Big
Bang (no me sugeridopor Fred Hoyle, em tom
pejorativo, para o even to
que dá iní cio ao Uni -
verso).
– 1965 – Os físicos
norte-ame ri canos Arno
Pen zias e Robert Wil -
son detec tam a radiação
cós mica de fundo, equi -
valente à ra diação emi -
ti da por um cor po ne -
gro a uma tem pera tura
de 2,7K.
Para a análise do Universo como um todo, temos de
nos basear no es tudo da força gravitacional, que é a
única das quatro interações fun damentais que apresenta
uma atua ção em distâncias muito gran des. De fato, as
forças nucleares forte e fraca estão restritas a distân cias
da ordem do diâmetro do núcleo do átomo e, como os
corpos macros cópicos são eletrica mente neutros, tam -
bém elimi namos a atuação das forças eletro mag né ticas.
Uma primeira análise do Uni verso, estudado como
um todo, foi feita por Isaac Newton (1642-1727). O Uni -
verso era tratado como in fi nito e homogêneo, com os
cor pos celestes ordenadamente dis tri buídos. A interação
gravitacional era suposta com propagação instan tâ nea.
A análise do Universo como um todo foi refeita por
Einstein (1879-1955), que utiliza como ferramenta a
Teoria da Relatividade Geral, publicada em 1916. A
gravi tação deixa de ser tratada como uma força e passa a
significar uma distorção na estru tura do espaço-tempo,
consi derados de forma conjunta. Exemplificando: na
Teo ria de Newton, a Terra move-se em uma órbita elíp -
tica em torno do Sol, em virtude da ação de uma força
gravitacional aplicada pelo Sol sobre a Terra; na Teoria
de Einstein, a presença do Sol provoca uma dis torção do
espaço-tempo em suas redon dezas e a trajetória elíptica
passa a ser o caminho natural a ser seguido pela Terra.
Ou tra diferença fundamental entre a Teoria de New ton e
a de Einstein, é que, segundo Newton, a atração gravita -
cional é um processo instantâneo e segundo Einstein a
distorção gravitacional pro paga-se com a limitação da
velo cidade das ondas eletromag né ticas.
Einstein acreditava que o Uni ver so fosse estático, o
que significaria que a estrutura espaço-tempo não va ria -
ria com o tempo.
A Teoria do Universo estático ou estacionário
admitia que o Universo era similar em todas as direções
(iso trópico) e imutável com o tempo, com produção
contínua de matéria para contrabalançar a sua expansão,
man tendo constante a sua den si dade mé dia. Os principais
defen so res deste Universo estático foram Thomas Gold,
Her man Bondi e Fred Hoyle.
E = m . c2
80
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 80
O astrônomo Edwin Powell Hubble (1889-1953), em
1929, reuniu elementos suficientes para concluir que “o
módulo da velocidade com que uma galáxia se afasta
de nos sa galáxia é diretamente pro porcional à sua dis -
tância à nossa galáxia”.
Matematicamente: V = H d
V: módulo da velocidade de afastamento da galáxia
considera da.
d: distância entre a galáxia con siderada e a nossa ga -
láxia.
H:constante de Hubble � 2,3 . 10–18Hz.
A Lei de Hubble sugere que toda es sa matéria que es -
tá em expansão, num dado instante, pode ter es tado jun -
ta em um só lo cal: o ovo cósmi co.
A medida da velocidade de afastamento das estrelas
foi feita por meio do Efeito Doppler: quando uma estrela
se afasta da Terra, o espectro de suas radiações se desloca
para o lado da cor vermelha, que corresponde à menor
fre quência do espectro visível
A medida do deslocamento para o vermelho (red
shift) permite obter o módulo da velocidade com que a
es trela se afasta de nós.
Os físicos norte-americanos Arno Penzias e Robert
Wilson, ao estudarem ondas de rádio, detec ta ram a
presença de “ruídos” estra nhos que iriam constituir a ra -
diação cósmica de fundo. A descoberta foi feita em 1964,
mas anunciada somente em 1965. Os estudos pos teriores
mostraram que esta ra dia ção é equivalente à emitida por um
cor po negro a uma tem peratura de 2,7K.
Essa descoberta da radiação cós mica de fundo pa rece
evidenciar duas coisas: a existência do Big Bang, sen do
esta radiação de fundo proveniente da transfor mação de
massa em energia radiante, um resí duo do Big Bang,
tendo sido emitida quando o Universo tinha 380 mil anos
de idade, e ainda, que 2,7K seria a tem peratura atual do
Universo consi derado como um todo (uma es pécie de
tem peratura média do Universo).
Contudo, existia ainda um pro ble ma a ser solucio -
nado: se a radia ção cósmica de fundo, proveniente de to -
das as partes do céu, fosse per feita mente uniforme (o que
era evi den cia do pelo fato de apresentar uma tem peratura
constante), o Uni verso de ve ria ser extremamente ho mo gê -
neo e uniforme, o que inviabili zaria a exis tên cia de galá -
xias com suas es trelas e demais corpos celestes.
Em abril de 1992, um satélite de no minado COBE
(Cosmic Background Explorer) detectou flu tua ções da ra -
dia ção cósmica de fun do com varia ções de temperatura da
ordem de 30 milési mos de kelvin: T = (2,735 ± 0,030)K,
que eram pre vistas pela presença das galáxias.
No dia 11/02/2003, a Nasa anun ciou os resultados de
outra sonda es pacial, conhecida como WMAP (Son da
Wilkinson de Medida da Aniso tropia em Micro-ondas),
que mediu as va ria ções de temperatura da radiação de
fundo com precisão ainda maior, da ordem de milionésimo
de kelvin, o que permitiu estabelecer a ida de do Uni verso
em 13,8 bilhões de anos des de o Big Bang, com um desvio
máximo da ordem de 200 milhões de anos, isto é:
A teoria do Big Bang admite que o Universo tem uma
ida de limite, da ordem de 13,8 bilhões de anos com mar gem
de erro de 200 milhões de anos (menos de 2%), e, por tan to,
existe um instante inicial em que o Universo foi cria do.
Segundo essa teoria, há 13,8 bilhões de anos uma fa bu -
losa quan ti dade de energia estava localizada em uma es fera
de diâmetro inferior a 1cm, denominada ovo cós mico.
Num dado instante (t = 0), toda essa energia, em rá -
pida expansão, criou o Universo, que se dilatou e se res -
friou uniformemente.
A redução rápida de temperatura determinou as su ces -
sivas transfor ma ções da energia liberada, que se ma te ria -
lizou na forma de partículas (quarks) e antipar tícu las
(anti quarks). A matéria e a antimatéria aniqui laram-se,
gerando uma quanti dade enorme de energia na for ma de
fótons e obedecendo à Equação de Einstein: E = mc2. O
excesso de ma téria em relação à antimatéria deu ori gem à
matéria existente no Universo em que hoje vive mos.
a) Instante t = 0: instante ini cial em que ocorreu o
Big Bang; a es cala de distâncias vale zero, a den si dade
do Universo é infinita mente ele vada e não há ferramentas
na Ma te mática ou na Física, que hoje co nhe cemos, para
estudar este mo mento.
O evento instante zero é tra tado como uma singu -
laridade no estudo da evolução do Universo.
idade do Universo = (13,8 ± 0,2) . 109 anos
81
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 03/04/14 09:08 Página 81
b) Intervalo de tempo entre t = 0 e t = 10–43s: o que
ocorreu neste intervalo é pura especulação teórica sem
ne nhuma possibilidade de comprovação por obser vações
físicas.
c) Intervalo de tempo entre t = 10–43s e t = 10–35s:
neste curto intervalo de tempo, os quarks e os antiquarks
aniquilaram-se, dan do ori gem à radiação, na forma de fó -
tons. A quantidade de quarks é maior que a de anti quarks,
de modo a restar matéria na forma de quarks.
O Universo está-se resfriando, passando de uma tem -
pe ratura de 1032K em t = 10–43s para a tempe ratura de
1027K em t = 10–35s.
d) No instante t = 10–30s, os quarks remanescentes do
processo de aniquilamento começam a se fun dir, dando
origem aos prótons e nêu trons. Os prótons são formados
por três quarks: up, up e down. Cada quark up tem carga 
elétrica + (e = carga elementar = 1,6 . 10–19C) e 
 
cada quark down tem carga ; por isso, a carga total 
do próton vale: e + e e = e.
Os nêutrons são formados tam bém por três quarks:
down, down e up e sua carga total é nula, pois 
+ + = 0
A força que mantém os quarks unidos na formação
de prótons e nêutrons é a nuclear forte.
e) No instante t = 10–6s, a fusão dos quarks origi -
nando prótons e nêutronsé concluída e os quarks desapa -
recem.
Os prótons e nêutrons podem-se transmutar entre si e
vão coexistir com elétrons e fótons. O nêutron emite um
elé tron e um neutrino (ou antineutrino) e se transforma em
um próton. A força envolvida neste processo é a nuclear
fraca. Um pró ton captura um elétron e um neu trino (ou
antineutrino) e se transforma em um nêutron.
f) Após o instante t = 1s, com a queda da tem pera -
tura, os prótons não podem mais transmutar-se, pois não
são mais capazes de capturar o elétron e o neutrino (ou
antineutrino), po rém o nêutron ainda continua transfor -
mando-se em pró ton. É por isso que existem, até ho je,
quatro vezes mais prótons do que nêutrons.
g) No intervalo de t = 10s a t = 500s, ocorrem as
reações de fusão dos núcleos: 
• um próton une-se a um nêu tron e formam o núcleo
do deutério (isó topo de hidrogênio).
• um próton une-se a dois nêu trons e formam o
núcleo do trítio (isó topo de hidrogênio).
• dois prótons unem-se a dois nêu trons e formam o
núcleo do hélio (partícula �).
• três prótons unem-se a três nêu trons e formam o
núcleo do lítio.
Ao final de três minutos, as fu sões terminam e o Uni -
verso contém 75% de núcleos de hidrogênio (pró tons) e
quase 25% de núcleos de hélio e quantidades ínfimas de
deutério, trítio e lítio.
h) Quando o Universo possui uma idade da ordem de
380 mil anos, a temperatura já é su fi cien temente baixa
para que os elétrons comecem a se as sociar aos prótons
para formar os átomos de hidro gê nio. Com a formação dos
átomos, é costume dizer que o Universo se tornou trans -
parente, permitindo a expansão da radiação cósmica de
fundo que estava confinada por uma espécie de malha for -
mada pelas partículas e núcleos atômicos (que faziam com
que o Universo fosse opaco).
Quando a radiação cósmica de fundo começou a sua
expansão, sua temperatura era da ordem de 3000K e a
temperatura atual é da ordem de 2,7K, o que permitiu a
avaliação da idade atual do Universo.
i) Com idade de 200 milhões de anos, pela ação da
força gra vita cional, as primeiras estrelas apa re ce ram.
a) Organização cósmica da matéria: o Universo
não é homo gêneo sob um aspecto local, mas é homo -
gêneo quando considerado co mo um todo.
b) Afastamento relativo das galáxias: as galáxias
afas tam-se uma das outras, com grandes velo cidades,
evi den ciando que o Univer so deve estar em contínua ex -
pan são desde sua criação.
c) Quantidade relativa dos elementos no Univer -
so: a abun dância dos elementos no Universo permanece
constante no tempo e no espaço, com 75% de hi dro gênio,
23% de hélio e 2% dos demais elementos, portanto com
uma proporção aproximada de um átomo de hélio para
três átomos de hidrogênio.
d) Inexistência de antima té ria no Universo: fato
que contraria o princípio, segundo o qual para cada
partícula existe a corres pondente antipartícula.
A explicação dada pelo Big Bang refere-se ao ex ces -
so de maté ria, antes do processo de aniquila mento, em
re lação à quantidade de antimatéria. E justamente essa
ma téria residual corresponde à matéria que existe atual -
mente no Universo.
e) Existência da radiação cósmica de fundo: a nu -
vem re sidual de radiação indica para o Universo, co mo um
todo, uma tem peratura média aproximada de 2,7K.
f) A pequena densidade do Universo: a densidade
média é de 1 próton, 1 nêutron e 1 elétron por m3 e de
300 fótons e 100 neutrinos por cm3.
2e
–––
3
–e
–––
3
2
–––
3
2
–––
3
1
– –––
3
– e(––––)3
– e(––––)3
2e(––––)3
82
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 03/04/14 09:08 Página 82
a) A teoria do Big Bang prevê uma expansão unifor -
me das partí cu las no espaço, porém não conse gue explicar
como planetas, estrelas, ga láxias e aglomerados de
galáxias se associaram durante essa expan são.
b) As previsões teóricas, feitas pelo Big Bang, para a
abundância dos elementos no Universo são pou co preci -
sas e com verificação expe rimental não convincen te, a
não ser a relação entre as quantidades de hélio e hidro gê -
nio,que foi prevista corre ta mente.
c) Como não há meios de detec tar a presença de
antigaláxias, não é justo afirmar que elas não existem.
d) A existência de galáxias que não obedecem à Lei
de Hubble (por exemplo, a galáxia de Andrômeda).
e) O Big Bang não consegue explicar a origem da
energia do Uni verso.
Usando-se a Lei de Hubble, po de mos estimar a idade
do Universo, admitindo-se que as galáxias mais dis tantes
se moveram com veloci da des constantes para chegar aos
lo cais em que atualmente se encon tram.
Sendo d a distância percorrida pe la galáxia desde sua
criação até a posição atual e T a sua idade (idade
aproximada do Universo), temos:
V = = H . d
Portanto = H ⇒
Assim, uma estimativa gros seira da idade do Uni -
verso corres pon de ao inverso da constante de Hubble.
Atualmente, o valor aceito para a cons tante de
Hubble é estimado entre 2,2 . 10–18 Hz e 2,4 . 10–18Hz.
Para H = 2,2 . 10–18 Hz, teremos
T � � . 1018 s � 4,5 . 1017s
Sendo 1 ano � 3,2 . 107s, vem
T � . anos � 14 . 109 anos
Para H = 2,4 . 10–18 Hz, teremos:
T � � . 1018 s � 4,2 . 1017s
T � anos � 13 . 109 anos
Portanto, a estimativa da idade do Universo, usan do-se
a Lei de Hubble, fica entre 13 e 14 bilhões de anos. O valor
mais aceito atualmente é de 13,8 bilhões de anos.
1ª hipótese: Big Crunch (grande esmagamento)
A força gravitacional vai con se guir frear a expansão
do Universo e reverter o processo, provocando uma fase de
contração que termi na rá com o colapso final do Univer so. 
Para que isto ocorra, a densi da de do Universo não po -
de ficar menor que uma densidade crítica da ordem de 
10–26 kg/m3, que cor responde a 5 átomos de hidrogênio por
m3.
2ª hipótese: o Universo vai expandir-se para
sempre
Até o ano de 1998, para saber o destino do Universo,
bastaria medir a densidade do Universo e com pará-la
com a densidade crítica.
Se a densidade fosse maior que a crítica, haveria o
co lapso previsto pelo big crunch; caso contrário, a ex -
pansão continuaria eternamente.
Porém, em 1998, astrônomos cons tataram que o Uni -
verso está em uma fase em que a expansão está sen do
acelerada. Para que isto ocor ra, é necessária a existência
de uma espécie de antigravidade, que ficou conhecida
como cons tan te cosmológica.
A existência dessa misteriosa cons tante cosmológica
é um com pli cador nas previsões do destino do Uni verso
baseadas em sua densida de. É possível que o Universo
tenha den si dade acima da crítica e, assim mes mo, nunca
entrar em colapso.
Portanto, a conclusão é a de que o destino do Uni ver -
so é incerto, sen do mais provável que continue a se ex -
pandir eternamente.
d
–––
T
1
––
T
T = H–1
1
–––
H
1
–––
2,2
4,5
––––
3,2
1017
––––
107
T � 14 bilhões de anos
1
–––
H
1
–––
2,4
4,2 . 1017
–––––––––
3,2 . 107
T � 13 bilhões de anos
83
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84
1. A teoria do Big Bang, que tenta explicar a origem do Universo, é
a) ficção científica.
b) uma teoria aceita, sem contestação, por toda a comunidade
científica.
c) uma teoria de caráter religioso.
d) uma teoria que admite que o Universo sempre exis tiu.
e) uma teoria aceita por boa parte da comunidade cien tífica, que
afirma que o Universo tem uma ida de da ordem de 13,8
bilhões de anos.
Resposta: E
Ainda existem cientistas que acreditam que o Universo sem -
pre existiu.
2. Entre os fatos citados a seguir, assinale aquele que não é
explicado pela teoria do Big Bang:
a) As galáxias afastam-se uma das outras, com gran des veloci -
dades, evidenciando um Universo em ex pansão.
b) O hidrogênio e o hélio são os elementos mais abun dantes no
Universo e existem numa propor ção quase constante de três
átomos de hidrogênio para um átomo de hélio.
c) A existência da radiação cósmica de fundo.
d) A pequena densidade do Universo.
e) A existência de galáxias que não obedecem à Lei de Hubble.
Resposta: E
A galáxia de Andrômeda parece estar aproximando-se de nós.
3. Qual o fenômeno que explica o paradoxo de Olbers (o enigma da
escuridãoda noite)?
a) A poeira interestelar absorve a luz das estrelas.
b) A expansão do Universo degrada a energia, de for ma que a luz
de objetos muito distantes che ga ria desviada para o vermelho
e portanto, muito fraca.
c) O Universo tem uma idade finita.
d) O Universo está em contração acelerada.
e) O Universo está em expansão uniforme.
Resolução
Como o Universo tem uma idade finita, e a luz tem uma veloci -
dade também finita, a luz das estrelas mais distantes ainda não te -
ve tempo de chegar até nós. Portanto, o Universo que enxer -
gamos é limitado no espaço, por ser finito no tempo. A escuridão
da noite é uma prova de que o Universo teve um início.
Se o Universo sempre existiu, a luz de todas as estrelas do Uni -
verso já teria tempo suficiente para chegar até nós e a noite seria
clara.
Resposta: C
4. (UEL-PR-MODELO ENEM) – O Universo está imerso em ra dia -
ções eletro mag néticas, chamadas de radiação de fundo que,
supõe-se, tenham sido geradas no Big Bang, nome dado ao
evento que resultou na forma ção do Universo, há cerca de 13,8
bilhões de anos. Por volta de cem mil anos depois do Big Bang, a
tem peratura do Universo era de, aproximadamente, 105K, com a
radiação de fundo mais in tensa tendo com primento de onda igual
a 29 nm. Medidas atuais mostram que o comprimento de onda da
radia ção de fundo mais intensa tem o valor de 1,1 mm. Por outro
lado, é sabido que, devido à sua tem pera tura, todo corpo emite
radiações eletromag néticas numa faixa contínua de compri men -
tos de onda. Em 1893, Wilhelm Jan Wien mostrou que o compri -
mento de onda �, da radiação mais intensa entre as emitidas por
um corpo à tempe ratura T, em kelvin (K), pode ser expresso
como:
� . T = 2,898 . 10–3 (m.K)
Com base no texto, é correto afirmar:
a) O Universo principiou-se pelo Big Bang na tem pe ratura de cem
mil kelvin, tendo sua radiação de fun do mais intensa um com -
primento de onda igual a 29 nm. Atualmente, a radia ção de
fundo for nece uma temperatura para o Universo de 2898K.
b) O Big Bang deu origem ao Universo, cuja tempe ratura, cem
mil anos depois, era de cem mil kel vins. O Universo foi esfrian -
do e hoje sua tem peratura é de 2634,5K.
c) O Universo principiou-se pelo Big Bang, quando altíssimas
temperaturas e radiações eletromag né ticas foram geradas, e
foi-se esfriando ao longo do tempo. Atualmente, a radiação de
fundo mais inten sa corresponde a uma temperatura de 2,6K.
d) O Universo principiou-se pelo Big Bang, quando altíssimas
temperaturas e radiações eletromag né ticas foram geradas, e
foi-se esfriando ao longo do tempo. Atualmente a temperatura
correspondente à radiação de fundo é de 2,6�K.
e) O Big Bang deu origem ao Universo há cerca de cem mil anos,
gerando uma temperatura de cem mil kelvin e uma radiação
de fundo de 1,1mm.
Resolução
O valor atual de � é 1,1mm = 1,1 . 10–3m
Calculemos a temperatura da radiação cósmica de fundo (tempe -
ratura média do Universo) atual:
� . T = 2,898 . 10–3 (m . K)
1,1 . 10–3 . T = 2,898 . 10–3
2,898
T = –––––– K � 2,6K
1,1
Resposta: C
Nota: Em realidade, o valor mais aceito para a temperatura atual
da radiação cósmica de fundo é 2,7K.
5. (UNIRIO-MODELO ENEM) – Em 1929, o astrônomo Edwin
Hubble descobriu a expansão do Universo, quando observou que
as galáxias se afastam de nós em gran des velocidades. Os
cientistas puderam chegar a essa conclusão analisando o
espectro da luz emitida pelas galáxias, uma vez que ele apresenta
desvios em relação às frequências que as luzes das galáxias te -
riam, caso estivessem paradas em relação a nós. Por tanto, a con -
fir mação de que o Universo se expande está asso cia da à (ao)
a) Lei de Ohm. b) efeito estufa. c) Efeito Joule. 
d) Efeito Doppler. e) Lei de Coulomb.
Resolução
De acordo com o Efeito Doppler-Fizeau, quando uma estrela se
afas ta da Terra, o espectro de sua luz se desloca para o lado do
vermelho (cor de menor frequência): “red-shift”, que evi dencia a
expansão do Universo e serve como argumento para a validade da
teoria do Big Bang.
Resposta: D
6. (UFC-CE-MODELO ENEM) – No modelo do Universo em ex -
pansão, há um instante de tempo no passado em que toda a
matéria e toda a radiação, que hoje constituem o Universo,
estiveram espetacularmente concentra das, formando um estado
termodinâmico de altíssima temperatura (T → �), conhecido
como Big Bang. De acordo com o físico russo G. Gamov, nesse
estado inicial, a densidade de energia eletromag né tica (radiação)
teria sido muito superior à densidade de matéria. Em
consequência disso, a tem peratura média do Universo, T, em um
instante de tempo t após o Big Bang satisfaria a relação
T =
sendo o tempo t medido em segundos (s) e a tempe ratura T, em
kelvins (K). Um ano equivale a 3,2 x 107 segundos e atualmente a
temperatura média do Universo é T = 3,0 K. Assim, de acordo
com Gamov, podemos afirmar que a idade aproxi ma da do Univer -
so é:
2,1 . 109
––––––––
��t
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a) 700 bilhões de anos. b) 16 bilhões de anos.
c) 15 bilhões de anos. d) 12 bilhões de anos.
e) 350 milhões de anos.
Resolução
Para resolver a presente questão, basta reescrever a relação
fornecida no enunciado.
2,1 . 109 2,1 . 109��t = –––––––– ⇒ t = �––––––––�
2
, ou t = 49 . 1016 segundos
T 3,0 
Dividindo-se por 3,2 · 107 o valor de t, acima encontrado, obte mos
a idade do Universo, em anos.
Essa idade é 15 . 109 anos ou 15 bilhões de anos.
Resposta: C
85
7. Em que consiste o Big Crunch?
8. Levando-se em conta que a idade média do Universo está em tor -
no de 14 bilhões de anos e a luz se desloca a 300 000km/s, es -
time a ordem de grandeza da medi da do raio médio do Univer so. 
Considere 1 ano = 3 . 107s.
9. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE ASTRONO MIA)
A Radiação Cósmica de Fundo
Chama-se de corpo negro a um corpo ao mesmo tempo emissor
ideal e absorvedor ideal de radiação. Isto porque, segundo sua
definição, um corpo negro absorve toda a radiação que cai em sua
superfície e emite num espectro contínuo, cuja intensidade de -
pende exclusivamente de sua temperatura. A tem peratura de corpo
negro de um corpo é, assim, a tem peratura na qual a emis são
energética atinge seu valor máximo. Estrelas podem ser, iro ni -
camente, estudadas como corpos negros. A radiação cósmica de
fundo é uma emissão observada em qualquer lu gar do céu que se
olhe, e é bem representada pela radiação de um corpo negro à
temperatura de 2,735 K. Esta ra diação é remanescente do estado
quente do Universo, quando sua temperatura, diminuindo à me dida
que o Universo se expandia (e ainda se expande, e sua temperatura
continua a cair cada vez mais lenta men te), tornou-se, embora ainda
bastante elevada, pe quena o suficiente para que a matéria deixasse
de ser afetada pela radiação. Assim, os núcleos atômicos pri -
mordiais puderam capturar elétrons e a matéria eletricamente
neutra foi for mada. O Universo passou de opaco para trans paren te,
na chamada época de recombinação, aproxi madamente uns 380 mil
anos após o Big Bang. A iden tificação da existência da radiação de
fundo re presenta uma das provas mais convincentes que te mos de
que a teoria do Big Bang está correta. Sabemos que o espectro de
corpo negro obedece à cha mada Lei de Wien: 
�máx T = constante, 
em que �máx é o comprimento de onda do máximo do es pectro e
T é a temperatura absoluta do corpo negro. No caso do Sol, que
também emite radiação ele tro magnética como um corpo negro,
temos �máx = 5000 Å (1 Å = 10
–10m) e T = 6000 K. 
Calcule �máx do espectro da radiação de fundo. 
10. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE ASTRONO MIA)
Em 1958, George Gamov fez a seguinte afirmação durante uma
reunião científica:
É tão certo que o Universo começou com um Big Bang
quanto é certo que a Terra gira em torno do Sol.
Tal afirmação, tão categórica, mostra a confiança dos cientistas
sobre a teoria do Big Bang. Entretanto, você não deve imaginar
que o Big Bang foi uma explosão gigantesca, como uma bomba
gigante que explode, e que alguém (talvez você mesmo!) poderia
ficar do lado de fora da bombae observar o fenômeno do Big
Bang. Isto porque no Big Bang não existe ‘lado de fora’ nem ‘lado
de dentro’. O Big Bang representa a geração do próprio espaço e
do próprio tempo. É como se o espaço e o tempo tivessem
começado ali, no momento do Big Bang. Uma das evidências
mais fortes a favor do Big Bang foi observada por Edwin P. Hubble
(1889-1953), que em 1929 desenvolveu a famosa Lei de Hubble
com base num fato observacional aparentemente des con -
certante: todas as galáxias, estejam elas próximas ou distantes,
estão-se afastando da Terra. Ou seja, o Universo está em
expansão. A Lei de Hubble é dada pela equação:
V = Hd,
em que H é definida como a Constante de Hubble e vale,
aproximadamente, 2,3 . 10–18Hz, V é o módulo da ve lo cidade com
a qual uma galáxia ou quasar está-se afas tando de nós (também
chamada de velocidade de re cessão) e d é a distância da galáxia
ou quasar até nós.
Assim, a Lei de Hubble, ao mostrar que o Universo está em ex -
pan são, concorda com a hipótese do Big Bang e aquilo que nós
observamos hoje no cosmo representa os “fragmentos” que
foram expelidos no Big Bang ou na explosão primordial. 
Considere, então, um quasar (que é um corpo extre ma mente
luminoso com massa tão grande quanto a massa das galáxias)
que está afastando-se de nós com uma velocidade de módulo
2,04 . 108m/s. (Ob serve que tal ve lo cidade equivale a cerca de
66% da velo cidade da luz no vácuo!)
a) Determine, em anos-luz, a distância aproximada deste quasar
até a Terra.
b) Suponha que a velocidade do quasar foi constante no tempo
desde o Big Bang. Com base nesta hi pótese, calcule, usando
a Lei de Hubble, o tempo gasto pelo quasar para chegar a esta
distância. Este tempo é chamado de tempo de Hubble e re -
pre senta a idade do Universo.
11. O Sol emite energia à razão de 1,0 . 1026J/s. A energia irradiada
pelo Sol provém da conversão de massa em energia, de acordo
com a Equação de Einstein.
Em cada segundo, a massa transformada em energia, no Sol, é
um valor mais próximo de
a) zero b) 1,1 . 109kg c) 1,1 . 1010kg
d) 4,0 . 1026kg e) 3,5 . 1043kg
12. (MODELO ENEM) – Um astrônomo, chamado Edwin Hubble, me -
din do a distância e a ve locidade de di ver sas estrelas que se afas -
ta vam da Terra, cons truiu o gráfi co apresen tado abaixo.
Sabendo-se que o módulo da veloci dade da estrela não pode atin -
gir o módulo da veloci dade da luz no vá cuo (3,0 . 108 m/s), po de -
mos esti mar o raio-limite do Universo (região onde existe ma té -
ria), medido a partir da Terra, como tendo ordem de grandeza de:
a) 1026m b) 1028m c) 1030m d) 1036m e) 1040m
13. (MODELO ENEM) – Um corpo celeste esférico tem raio R e a
aceleração da gravidade em sua superfície tem intensidade igual
a g. Não considerando a presença de atmos fera, a mínima
velocidade de lançamento de uma partícula, a partir da superfície
deste corpo celeste, para escapar de seu campo gravitacional, é
deno minada velocida de de escape Ve e seu mó dulo é dado por:
Ve = ����� 2 g R
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Para que este corpo celeste seja um buraco negro, é preciso que
nem mesmo a luz consiga escapar de seu campo gravitacional.
Considere o raio da Terra igual a 6,0 . 106m e o mó du lo da velocidade
da luz no vácuo igual a 3,0 . 108 m/s.
Para que um corpo celeste esférico, com raio igual ao da Terra, se -
ja um buraco negro, a condição neces sária e suficiente é que a in -
tensidade da ace leração da gravidade, em sua superfície, seja
maior que:
a) 3,0 . 108 m/s2 b) 3,0 . 109 m/s2 c) 7,5 . 109 m/s2
d) 7,5 . 1010 m/s2 e) 7,5 . 1011 m/s2
14. (SEPEB-Concurso para professor da rede esta dual-SP-MODE LO
ENEM) – No mo delo atômico atual, os pró tons e nêutrons não são
mais considerados partículas elementares; eles são constituídos de
partículas cha madas quarks: do tipo u, que tem carga elétrica posi -
tiva e d, que tem carga elétrica negativa. O próton é formado por
dois quarks do tipo u e um quark do tipo d, enquanto o nêutron é
formado por dois quarks d e um quark u. Atribuindo ao próton carga
elétrica igual a 1 unidade de carga e, ao nêutron, zero, as cargas de
u e d valem, respectivamente:
a) 2/3 e 1/3 b) –2/3 e –1/3 c) –2/3 e 1/3
d) 2/3 e –1/3 e) –1/3 e –1/3
86
7) É uma das teorias que tentam explicar o futuro do Uni verso.
Se gundo essa teoria, o Universo voltará a colapsar nova -
mente se a atração gravitacional da matéria contida nele for
grande o suficiente para parar a expansão.
8) R = V . t = 3 . 108 . 14 . 109 . 3 . 107m
logo: R = 1,26 . 1026m
1,26 . 1026m tem como ordem de gran deza 1026m.
9) Usando-se a Lei de Wien para a radia ção emitida pelo Sol e
para a radiação cósmica de fundo, vem:
(�máx T)Sol = (�máx T)RCF
5000 . 6000 = �máx . 3
�máx = 1,0 . 10
7Å = 1,0 . 107 . 10–10m
10) a) V = H . d
2,04 . 108 = 2,3 . 10–18 d
d = 0,89 . 1026m
1 ano-luz = 3 . 108 . 3 . 107 (m)
1 ano-luz = 9 . 1015m
d = anos-luz
d � 9,9 . 109 anos-luz
b) V = Hd = 
�t = = s
�t � 4,35 . 1017s � 1,38 . 1010 anos
Respostas: a) 9,9 . 109 anos-luz
b) 1,38 . 1010 anos = 13,8 bi lhões de anos
11) Equação de Einstein: E = mc2
Em 1s, temos E = 1,0 . 1026J
Sendo c = 3,0 . 108m/s, resulta:
1,0 . 1026 = m . 9,0 . 1016
m = . 1010kg = . 109kg
Resposta: B
12) De acordo com o gráfico, temos: 
V = kd
Para d = 1,0 . 1025m
V = 0,23 . 108m/s
Portanto: k = (SI)
Como V < c, resulta:
kd < c
d < ⇒ d < (m)
Resposta: A
13) Para ser um buraco negro:
ve > vluz no vácuo
����2gR > c
2gR > c2
g > 
g > (m/s2)
g > (m/s2)
g > 0,75 . 1010m/s2
Resposta: C
14) 1 próton = 2u + d
e = 2qu + qd (1)
1 nêutron = 2d + 1u
0 = 2qd + qu (2)
Em (2): qu = –2qd
Em (1): e = 2 (–2qd) + qd
e = –3qd ⇒
qu = –2 ⇒
Resposta: D
–e�–––�
3
2
qu = –– e3
e
qd = – ––3
m � 1,1 . 109kg
1
–––
9
10
–––
9
1
––––––––––
2,3 . 10–18
1
––
H
d
–––
�t
0,89 . 1026
–––––––––
9 . 1015
�máx = 1,0 . 10
–3m = 1,0mm
0,23 . 108
–––––––––
1,0 . 1025
k = 2,3 . 10–18 Hz
c
–––
k
3,0 . 108
–––––––––––
2,3 . 10–18
d < 1,3 . 1026m
c2
–––
2R
(3,0 . 108)2
–––––––––––
2 . 6,0 . 106
9,0 . 1016
––––––––––
12,0 . 106
g > 7,5 . 109 m/s2
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 86
1. Fótons de luz
Max Planck concluiu que a ener gia luminosa é emi -
tida de modo des contínuo, isto é, agrupada em quan ti -
dades bem definidas (pacotes de energia) que foram
chamadas de fótons de energia.
Cada radiação eletromagnética é definida por sua
fre quência f que, para a luz visível, cresce do vermelho
para o violeta na sequência em que as cores aparecem no
arco-íris: vermelho – alaranjado – amarelo – verde – azul
– anil – violeta.
O “quantum” de energia, isto é, a quantidade de
energia E, asso cia da a cada fóton de luz, é propor cional
à frequência f da radiação:
h = Constante de Planck = 6,62.10–34J.s
Einstein comprovou que a ener gia luminosa também
se propaga e é absorvida de modo descontínuo, isto é,
por meio dos fótons de luz.
Assim, quando a luz se propaga no espaço, a energia
luminosa não está presente em toda a região var rida pela
luz, mas sim concen trada em “pacotes” de energia, ver -
da deiros grãos de energia que são os fótons de luz e cor -
respondem aos “quanta” de energia apresen tados por
Planck. 
2. Efeito fotoelétrico
Quando determinado tipo de luz atinge a super fí cie
de um metal, ob serva-se que o metal passa a emi tir elé -
trons. Esse fenômeno é chamado de efeito fotoelétrico.
O efeito fotoelétrico foi explicado em 1905 por
Einstein e lhe valeu o Prêmio Nobel de Física.
Einstein propôs que, no efeito fo toelétrico, um fóton é
inteiramente absorvido por um único elétron em um ti po
de interação semelhante à colisão entre duas partí culas.
Para que o elétron seja emitido, é necessário que a
ener gia transpor tada pelo fóton de luz (E = h f) seja su -
perior à energia de ligação (�) entre o elétron e o núcleo
do átomo. A energia de ligação � é também chama da
função trabalho.
A energia cinética com que o elétron abandona o
átomo é a diferença entre a energia do fóton e a energia
de ligação aser vencida.
Portanto, para que uma luz consi ga arrancar elétrons
de um metal, ela deve ter uma frequência adequada dada
por:
h f > � ⇒
E = h f
Ecin = h f – �
�
f > –––
h
87
O desenho faz referência ao princípio
da complementaridade: a luz pode
comportar-se como onda ou como partícula,
porém nunca as duas coisas ao mesmo
tempo. Conforme a maneira de olhar o
desenho, vemos uma paisagem ou seis
rostos, não as duas coisas simultaneamente.
NOÇÕES DE FÍSICA MODERNA
Mecânica
6
CAPÍTULO
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 09/08/12 10:42 Página 87
Se fizermos um gráfico da ener gia cinética do elétron
emitido em função da frequência da luz inciden te, tere -
mos:
Observe que, como cada elétron só pode absorver
um único fóton, é irrelevante para o valor da energia
cinética a intensidade da luz inciden te, importando
apenas a frequência (cor) dessa luz.
O aumento da intensidade da luz incidente faz com
que aumente a quantidade de elétrons emitidos, mas não
a energia cinética de cada um.
3. Dualidade 
onda-partícula: Louis de Broglie
O efeito fotoelétrico mostrou que a luz, embora te nha
natureza ondu latória, pode ter comportamento aná lo go
ao de uma partícula (partícula de energia, que é o fó ton).
Este comportamento dual onda-partícula aplica-se
não apenas para a luz, mas para todas as partículas.
Assim, para uma partícula em movimento, a
intensidade da onda associada, num dado ponto, é
pro porcional à proba bilidade de se encontrar a par tí -
cula naquele ponto.
Um fóton de luz monocromática de frequência f e 
comprimento de onda � = transporta energia E e 
quantidade de movimento Q dados por:
Analogamente, a uma partícula em movimento, com
quantidade de mo vimento Q e energia cinética E, asso -
ciamos uma onda de frequência f e comprimento de onda
� dados por:
Observe que, se a partícula se move com velocidade
cujo módulo é muito pequeno em comparação com c
(3,0 . 108m/s), então sua massa é igual à de repouso e 
Q = m0 V.
Porém, se o valor de V é próximo de c, então
em que re presenta a massa da par-
tí cula quando está com velocidade de módulo V.
4. Princípio da
complementaridade de Bohr
De acordo com o princípio da dua lidade onda-
partícula, a luz ora se comporta como onda ora como par -
tícula, dependendo do fenômeno es tudado, porém nunca
a luz tem si multaneamente os dois com porta mentos.
Esse fato é chama do Prin cí pio da complementa rida de
de Bohr.
5. Princípio da 
incerteza de Heisenberg
Consideremos uma partícula elementar com veloci -
da de V e cuja posição é defi nida por uma coordenada x.
A Física Moderna ensina que não po demos especifi -
car simultanea mente a posição e a velocidade (ou a
quan tidade de movimento) da partí cula elementar de um
modo exato. Es ta im possibilidade é denominada “Prin -
cípio da Incerte za”.
Seja �x a incerteza na medida da posição x da
partícula elementar e �Q a incerteza na medida da
quantidade de mo vimento Q da partícula elementar.
Heisenberg mostrou que:
em que h é a Constante de Planck, cujo valor numérico é
muito pequeno (6,6 . 10–34J . s). 
O princípio da incer teza nada tem que ver com falhas
de nossos ins trumentos de medição ou com limi tações de
nossos mode los. A incer teza prevista é irredutível mesmo
usando-se perfeitos ins tru mentos de medição.
c
–––
f
E = h f
h
Q = –––
�
E
f = –––
h
h
� = –––
Q
m0Q = ––––––––––––––––– . V
V���� 1 – (––)2c
m0–––––––––––––––––
V���� 1 – (––)2c
h
(�x) . (�Q) � –––
4π
88
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 88
1. (UFC-MODELO ENEM) – Quanto ao número de fótons exis tentes
em 1 joule de luz verde, 1 joule de luz ver melha e 1 joule de luz
azul, podemos afir mar, cor retamente, que
a) existem mais fótons em 1 joule de luz verde que em 1 joule
de luz vermelha e existem mais fótons em 1 joule de luz verde
que em 1 joule de luz azul.
b) existem mais fótons em 1 joule de luz vermelha que em 1
joule de luz verde e existem mais fótons em 1 joule de luz
verde que em 1 joule de luz azul.
c) existem mais fótons em 1 joule de luz azul que em 1 joule de
luz verde e existem mais fótons em 1 joule de luz vermelha
que em 1 joule de luz azul.
d) existem mais fótons em 1 joule de luz verde que em 1 joule
de luz azul e existem mais fótons em 1 joule de luz verde que
em 1 joule de luz vermelha.
e) existem mais fótons em 1 joule de luz vermelha que em 1
joule de luz azul e existem mais fótons em 1 joule de luz azul
que em 1 joule de luz verde.
Resolução
A energia total associada a n fótons de frequência f é dada por:
E = n h f
Para a mesma energia E, o número de fótons é inversamente
proporcional à sua frequência f
Sendo: fazul > fverde > fvermelha
Resulta: nazul < nverde < nvermelha
Resposta: B
2. (UFSC) – Assinale a(s) proposição(ões) cor reta(s):
01. A luz, em certas interações com a matéria, comporta-se como
uma onda eletromagnética; em outras interações, ela se com -
porta como partícula, como os fótons no efeito fotoelétrico.
02. A difração e a interferência são fenômenos que somente po -
dem ser explicados satisfatoriamen te por meio do compor -
tamento ondulatório da luz.
04. O efeito fotoelétrico somente pode ser explicado satisfa toria -
mente quando consideramos a luz formada por partículas, os
fótons.
08. O efeito fotoelétrico é consequência do comportamento
ondulatório da luz.
16.Devido à alta frequência da luz violeta, o “fóton violeta” é mais
energético do que o “fóton vermelho”.
Dê como resposta a soma dos números associados às propo -
sições corretas.
Resolução
(01) VERDADEIRA. O efeito fotoelétrico é uma das prin cipais
evidências do comportamento corpuscular da luz.
(02) VERDADEIRA. 
(04) VERDADEIRA. Explicação dada por Einstein e que lhe va -
leu o prêmio Nobel de Física.
(08) FALSA.
(16) VERDADEIRA. E = h f; quanto maior a frequência da luz,
maior é a energia associada a seu fóton.
Resposta: 23
3. (UFSC) – Dispõe-se de uma placa metálica M, e de uma esferinha
metálica P, muito leve, suspensa por um fio isolante, ambas,
inicialmente, neutras e isoladas. Um feixe de luz violeta incide so -
bre a placa, e, logo em seguida, a bolinha é atraída. Repetindo-se
a operação com luz vermelha, isso não ocorre.
As figuras a seguir ilustram o desenrolar dos fenô menos.
Sobre esses fenômenos, é correto afirmar:
01.a intensidade da luz vermelha foi menor que aquela da luz
violeta.
02.a placa M, ao ser iluminada pelo feixe violeta, ficou eletrizada.
04.a placa M estava pintada com tinta violeta.
08.o fóton de luz violeta tem mais energia que o fóton de luz
vermelha.
16.aumentando-se o tempo de iluminação da placa M com luz
vermelha, ela passaria a atrair a esferinha P.
Dê como resposta a soma dos números associados às
proposições corretas.
Resolução
Podemos concluir que a luz violeta, de maior frequência, provo cou
efeito fotoelétrico e a luz vermelha, de frequência mais baixa, não
arrancou elétrons do metal.
01) F 02)V 04) F 08)V 16) F
Resposta: 10
E
n = –––
h f
89
A restrição dada pelo princípio da incerteza não se
refere à precisão com que x ou Q podem ser medidos,
mas sim ao produto das incertezas �Q . �x numa medida
simultânea de ambos. Quanto mais modificamos uma ex -
periência de modo a melho rar mos a precisão na medida
de uma das duas grandezas (x ou Q), mais estaremos
aumentando a incerteza com que medimos a outra.
O princípio da incerteza também pode ser formulado
em relação às incertezas na medida do instante (�t) e da
energia (�E) associados ao mo vimento de uma partícula
elementar
As incertezas nas medidas estão ligadas às pertur ba -
ções introdu zi das pelos processos de observação e
medida como, por exemplo, a in teração entre o fóton de
luz usado na observação e a partícula elementar em
estudo. A interação entre o fóton de luz e a partícula
elementar pode modificar a sua posição, a sua quantidade
de movimento e a sua energia.
h
(�t) . (�E) � –––
4π
O ato de medir afeta a grandeza da medida.
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 89
6. (UFPI) – O momentum do fóton é inversamente proporcional à (ao)
a) sua frequência.
b) sua massa.
c) seu peso.
d) seu comprimento de onda.
e) Constante de Planck.
7. (UFMG) – Dois feixes de raios X, I e II, incidem so bre uma placa
de chumbo e são totalmente absor vi dos por ela. O comprimento
de onda do feixe II é três vezes maior que o comprimento de onda
do feixe I.
Ao serem absorvidos, um fóton do feixe I transfere à placa de
chumbo uma energia E1 e um fóton do feixe II, uma energia E2.
Considerando-se essas informações, é correto afir mar que
a) E2 = 9 E1 b) E2 = 3 E1
c) E2 = E1 d) E2 = E1
8. Assinale a opção correta:
a) O fóton é um corpúsculo de matéria.
b) Todos os fótons de luz têm a mesma energia.
c) Todos os fótons de luz têm a mesma frequência.
d) Para a luz visível, o fóton de luz violeta é o que tem maior
energia.
e) Quando a luz varre uma certa região, todos os pon tos da
região são atingidos pela energia lu minosa.
9. (ITA) – Incide-se luz num material fotoelétrico e não se observa a
emissão de elétrons. Para que ocorra a emissão de elétrons do
mesmo material, basta que se aumente(m)
a) a intensidade da luz.
b) a frequência da luz.
c) o comprimento de onda da luz.
d) a intensidade e a frequência da luz.
e) a intensidade e o comprimento de onda da luz.
10. (MEC) – O efeito fotoelétrico con trariou as previ sões teóricas da
Física clássica por que mostrou que a energia cinética máxima dos
elé trons, emitidos por uma placa metálica iluminada, depende
a) exclusivamente da intensidade da radiação inciden te.
b) da frequência e não do comprimento de onda da radiação
incidente.
c) da intensidade e não do comprimento de onda da radiação
incidente.
d) do comprimento de onda e não da frequência da radiação
incidente.
e) da frequência e não da intensidade da radiação inci dente.
11. (UFPI) – A frequência mínima de uma radia ção, necessária para
ar rancar elétrons do potássio, é igual a 5,37 . 1014 Hz. Sendo 
h = 6,63 . 10–34 Js a Cons tante de Planck e c = 3,0 . 108m/s o
módulo da velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo, a
função trabalho para o potássio é igual a:
(Dado: 1eV = 1,6 . 10–19J)
a) 2,2 eV b) 3,56eV c) 4,6eV
d) 5,4eV e) 6,63eV
12. (UFPE) – O efeito fotoelétrico é a emissão de elétrons pela super -
fí cie de certos metais, quando submetidos a ondas eletromag -
néticas de determi nadas frequências. Qual dos gráficos a seguir
repre senta o potencial de corte Vcorte dos elétrons emi tidos, em
função da frequência f da luz que incide sobre uma superfície
metálica?
1
–––
3
90
4. (UFRN-MODELO ENEM) – Bárbara ficou encantada com a ma -
neira de Na tasha ex plicar a dualidade onda-partícula, apresentada
nos textos de Física Moderna. Natasha fez uma analogia com o
processo de percep ção de ima gens, apresentando uma
explicação baseada nu ma figura muito utilizada pelos psicólogos
da Gestalt. Seus esclare cimentos e a figura ilustrativa são repro -
duzidos abaixo.
A minha imagem prefe rida so -
bre o compor tamento dual da
luz é o desenho de um cálice
feito por dois perfis. Qual a
realidade que per cebe mos na
figura ao lado? Pode mos ver
um cálice ou dois perfis,
dependendo de qual con -
 sideramos como fi gu ra e qual
con side rare mos como fundo,
mas não podemos ver ambos
si multaneamente. É um exem -
plo perfeito de realidade criada
pelo observador, em que nós
decidimos o que vamos obser -
var. A luz comporta-se de for -
ma aná loga, pois, dependendo do tipo de experiência (“fundo”),
revela sua natureza de onda ou sua natureza de par tícula, sempre
escondendo uma quando a outra é mos trada.
Diante das explicações acima, é correto afirmar que Natasha
estava ilustrando, com o comportamento da luz, o que os físicos
chamam de princípio da
a) incerteza de Heisenberg. b) complementaridade de Bohr. 
c) superposição. d) relatividade.
Resolução
A analogia apresentada sugere que ou vemos o cálice ou os dois
perfis, não sendo possível a visão simultânea das duas coisas.
Isto também ocorre ao estudarmos o comportamento dual da luz:
ora se comporta como onda, ora se comporta como corpúsculo,
dependendo do fenômeno estudado, mas não as duas coisas
simultaneamente. Isto é chamado de princípio da complementari -
dade de Bohr.
Resposta: B
5. Em relação ao Princípio da Incerteza de Heisenberg, con sidere as
proposições que se seguem e verifique quais estão corretas.
(1) Para medidas simultâneas da posição e da quan tidade de
movimento de uma partícula ele men tar, se aumentarmos a
precisão com que me di mos a posição, estaremos aumen -
tando a in cer teza na medida da quantidade de movi men to.
(2) É impossível medirmos com precisão, simulta nea mente, a
posição e a velocidade de uma partí cula elementar.
(3) O princípio da incerteza será eliminado quando melhorarmos a
qualidade de nossos instrumen tos de medição.
(4) O princípio da incerteza, para objetos grandes como uma bola
de futebol ou um automóvel, não é relevante porque as
perturbações introduzidas pelos processos de observação e
medida são muito pequenas.
(5) Se uma partícula elementar estiver em repouso de modo que
sua quantidade de movimento Q e respectiva incerteza �Q
sejam nulas, então nada poderemos saber a respeito de sua
posição, pois se �Q → 0 (tende a zero), então �x → 
 (tende
para infinito).
Resolução
Corretas: 1 – 2 – 4 – 5
O princípio da incerteza está ligado ao fato de que o ato de medir
afeta a grandeza medida. Por exemplo: o fóton de luz usado para
se medir a posição de uma partícula elementar interfere com a
partícula alterando sua posição e quantidade de movimento.
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 90
13. (ITA) – Num experimento que usa o efeito fotoelétrico, ilumi na-se
sucessivamente a superfície de um metal com luz de dois
comprimentos de onda diferentes, �1 e �2, respectivamente.
Sabe-se que as velocidades máxi mas dos fotoelétrons emitidos
são, respectivamente, V1 e V2 , em que V1 = 2V2 . Desig nando por
c o módulo da velocidade da luz no vácuo, e por h a Constante de
Planck, pode-se, então, afirmar que a função trabalho � do metal
é dada por
a) (2 �1 – �2) h c /(�1 �2) b) (�2 – 2 �1) h c /(�1 �2)
c) (�2 – 4 �1) h c/(3�1 �2) d) (4 �1 – �2) h c /(3�1 �2)
e) (2 �1 – �2) h c/(3�1 �2) 
14. (UFMG) – Uma lâmpada – L1 – emite luz mono cromática de com -
primento de onda igual a 3,3 . 10–7m, com potência de 2,0 . 102W.
A Constante de Planck vale 6,6 . 10–34J.s.
a) Com base nessas informações, calcule o número de fótons
emitidos a cada segundo pela lâmpada L1. 
b) Quando a lâmpada L1 é usada para iluminar uma placa metá -
lica, constata-se, experimental men te, que elétrons são
ejetados dessa placa. No entanto, se essa mesma placa for
iluminada por uma outra lâmpada – L2 –, que emite luz mono -
cromática com a mesma potência, 2,0 . 102 W, mas de com -
pri mento de onda igual a 6,6 . 10–7m, nenhum elé tron é
arrancado da placa.
Explique por que somente a lâmpada L1 é capaz de arrancar
elétrons da placa metálica.
c) É possível arrancar elétrons da placa iluminando-a com uma
lâmpada que emite luz com o mesmo comprimento de onda
de L2, porém com maior potência? Justifique sua resposta.
15. (UFRN) – Uma das aplicações do efeito fo toelétrico é o visor
notur no, aparelho de visão sen sível à radiação infravermelha, ilus -
trado na figura a seguir. Um aparelho desse tipo foi utilizado por
membros das forças especiais norte-americanas para observar
supostos integrantes da rede al-Qaeda. Nesse tipo de equipa -
mento, a radiação infravermelha atinge suas lentes e é dire -
cionada para uma placa de vidro revestida de material de baixa
função trabalho (W). Os elétrons arrancados desse material são
“transformados”, eletronicamente, em imagens. A teo ria de
Einstein para o efeito fotoelétrico estabe lece que:
EC = hf – W
sendo:
• EC a energia cinética máxima de um fotoelétron;
• h = 6,6 . 10–34 J.s a Constante de Planck;
• f a frequência da radiação incidente.
Foto ilustrativa de um visor noturno.
Considere que um visor noturno recebe radiação de fre quência 
f = 2,4 . 1014 Hz e que os elétrons maisrá pidos ejetados do
material têm energia cinética EC = 0,90eV. Sabe-se que a carga
do elétron é q = 1,6 . 10–19 C e 1 eV = 1,6 . 10–19 J.
Baseando-se nessas informações, calcule
a) a função trabalho (W) do material utilizado pa ra revestir a placa
de vidro desse visor noturno, em eV;
b) o potencial de corte (V0) desse material para a frequência (f) da
radiação incidente.
16. (UFCE) – A função trabalho (energia de liga ção entre um elétron
periférico e o núcleo do átomo) de um dado metal é 2,5 eV.
a) Verifique se ocorre emissão fotoelétrica quando so bre esse
metal incide luz de comprimento de onda = 6,0 . 10–7m. A
Constante de Planck é h = 4,2 . 10–15 eV.s e o módulo da
velocidade da luz no vácuo é c = 3,0 . 108m/s.
b) O que deve ocorrer com a frequência da luz in ci dente para
arrancar elétrons do metal?
17. (PUC-RS) – O dualismo onda-partícula refere-se a características
corpusculares presentes nas ondas luminosas e a características
ondulatórias presentes no comportamento de partículas, tais como
elétrons. A natureza nos mostra que características corpuscu lares
e ondulatórias não são antagônicas, mas sim comple mentares.
Entre os fenômenos listados, o único que não está relacionado
com o dualismo onda-partícula é
a) o efeito fotoelétrico.
b) a ionização de átomos pela incidência de luz.
c) a difração de elétrons.
d) o rompimento de ligações entre átomos pela inci dên cia de luz.
e) a propagação, no vácuo, de ondas de rádio de fre quência
média.
18. (MEC) – A dualidade onda-partícula para a luz permite afirmar que
a
a) luz é a soma de uma partícula e uma onda.
b) interpretação ondulatória se aplica a alguns fenô menos,
enquanto a interpretação corpuscular a outros.
c) interpretação ondulatória é incompatível com a interpretação
corpuscular.
d) luz é composta de partículas superpostas em ondas.
e) luz é uma partícula que se propaga ao longo de uma onda.
91
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 91
19. (UFJF-MG) – O modelo atômico de Bohr, aper feiçoado por
Sommerfeld, prevê órbitas elípticas pa ra os elétrons em torno do
núcleo, como num sis te ma planetário. A afirmação “um elétron
encontra-se exa tamente na posição de menor distância ao nú -
cleo (periélio) com velocidade de módulo exatamente igual a
107m/s” é correta do ponto de vista do modelo de Bohr, mas
viola o princípio
a) da relatividade restrita de Einstein.
b) da conservação da energia.
c) de Pascal.
d) da incerteza de Heisenberg.
e) da conservação do momento linear.
20. (UFC) – O diagrama a seguir mostra os estados de energia que
podem ser ocupados por um determi nado elétron. A diferença de
energia entre os estados 1 e 2, E2 – E1, é o dobro da diferença de
energia E3 – E2, entre os estados 2 e 3. Numa transição do estado
3 para o estado 2, o elétron emite um fóton de comprimento de
onda � = 600 nm.
Determine os comprimentos de onda das outras tran sições pos -
síveis.
21. (ITA) – Um átomo de hidrogênio tem níveis de ener gia discretos 
dados pela equação En = eV, em que {n � � / n � 1}. 
Sabendo-se que um fóton de energia 10,19 eV excitou o átomo do
estado funda mental (n = 1) até o estado p, qual deve ser o valor
de p? Justifique.
22. (UFPI) – Sobre o modelo atômico de Bohr, in di que com (V) a(s)
verdadeira(s) e com (F) a(s) fal sa(s).
(1) Uma vez que um elétron em um átomo des creve, por
exemplo, uma circunferência em tor no do núcleo, ele possui
aceleração e portanto emite radiação continuamente.
(2) Ao passar de um estado estacionário para outro, o átomo
emite ou absorve um quantum de ener gia igual à diferença
entre as energias corres pondentes aos dois estados.
(3) No átomo de hidrogênio, para passar do nível de energia 
n = 2 para n = 3, o elétron deve ab sorver um fóton com
energia aproximadamente igual a 1,89 eV. 
(4) O chamado estado fundamental do átomo de hidrogênio é
aquele no qual o elétron está no mais baixo nível de energia.
Dado: Os níveis de energia permitidos no átomo de Bohr são
dados pela expressão: 
En = (eV)
em que n é um inteiro positivo e En a energia associada ao
nível de ordem n.
23. (UPE) – No modelo planetário do átomo, o núcleo tem carga
positiva e pequena dimensão e os elétrons circulam em volta
dele. De acordo com a Mecânica Clássica de Newton, o equilíbrio
da órbita depende de que a força de atração entre núcleo e elétron
faça o papel de força centrípeta. Desse modo, os raios das órbitas
atômicas poderiam ter qualquer valor. Na prática, observa-se que
só algumas órbitas são permitidas. Conforme a teoria
eletromagnética de Maxwell, cargas elétricas aceleradas irradiam.
O elétron, girando, tem aceleracão centrípeta e, como carga
acelerada, perde energia. Assim, o modelo atômico de Bohr seria
inviável. Entretanto, várias evidências apoiam esse modelo. Para
preservar a concepção do átomo, propôs-se que, em deter -
minadas órbitas, o elétron não irradiaria energia, contrariando o
eletromagnetismo. Estas órbitas especiais atenderiam à condição
de quantização da quan tidade de movimento angular ou,
equivalen temente, do perímetro de cada órbita eletrônica.
Sejam:
Z = número atômico; 
m = massa do elétron; 
e = carga do elétron; 
K = constante elétrica; 
r = raio da órbita;
h = Constante de Planck; 
v = módulo da velocidade do elétron na órbita; n = 0, 1, 2, 3, ...
Analise as pro posições que se seguem e classifique-as como
verdadeiras ou falsas.
(1) A condição clássica para estabilidade da órbita é m v2 r = K Z e2.
(2) A condição quântica para estabilidade da órbita é 2 π r m v = n h.
(3) A condição quântica para estabilidade da órbita é 2 π n r = m v h.
(4) A condição clássica para estabilidade da órbita é m 
2 r3 = K Z e2.
(5) A condição quântica para estabilidade da órbita é m v r = K Z e2.
24. (ITA) – Experimentos de absorção de radiação mostram que a
relação entre a energia E e a quantidade de movimento p de um
fóton é E = p c. Considere um sistema isolado formado por dois
blocos de massas m1 e m2, respec ti vamente, colocados no
vácuo, e separados entre si de uma distância L. No instante t = 0,
o bloco de mas sa m1 emite um fóton que é posteriormente
absorvido intei ramente por m2, não havendo nenhum outro tipo
de interação entre os blocos (ver figura). Suponha que m1 se
torne m1’ em razão da emissão do fóton e, ana logamente, m2 se
torne m2’ devido à absorção des se fóton. Lembrando que esta
questão também pode ser resolvida com recursos da Mecânica
Clássica, assinale a opção que apresenta a relação correta entre a
energia do fóton e as massas dos blocos.
a) E = (m2 – m1)c
2 b) E = (m1’ – m2’)c
2
c) E = (m2’ – m2)c
2/2 d) E = (m2’ – m2 )c
2
e) E = (m1 + m1’)c
2
E3 –––––––––––––––––––––––––––––
E2 –––––––––––––––––––––––––––––
E1 –––––––––––––––––––––––––––––
–13,6
–––––
n2
–13,6
–––––
n2
92
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25. (UFRN) – Em alguns programas de televisão, apresentam-se pes -
soas que dizem alimentar-se apenas de luz. Para muitos, a palavra
alimento está associada a uma boa porção de massa e a palavra
luz ao con ceito de energia. Os conceitos de massa e energia
dentro da Física Moderna estão relacionados a duas constantes
fundamentais: h, constante introduzida por Planck (em seu
trabalho sobre radiação de corpo negro), e c, que é o módulo da
velo cidade da luz no vácuo.
O quadro abaixo exemplifica, com duas equações, a presença
dessas constantes, tanto na Teoria Quântica como na Teoria da
Relatividade de Einstein.
Tendo como referência as informações dadas e con si derando-se
uma radiação de frequência 6 . 1014 hertz, obtenha
a) a quantidade de fótons, N, que produziria um equi valente
energético de uma massa igual a 0,4kg;
b) a unidade para a Constante de Planck, h, a partir de uma
análise dimensional, representada em função das grandezas:
massa (kg), comprimento (m) e tem po (s).
26. (UFMG) – Paulo Sérgio, viajando em sua na ve, aproxima-se de
uma plataforma espacial, com velocidade de módulo 0,7 c , em
que c é o módulo da velocidade da luz no vácuo.
Para se comunicar com Paulo Sérgio,Priscila, que está na
plataforma, envia um pulso luminoso em di reção à nave.
Com base nessas informações, é correto afirmar que o módulo da
velocidade do pulso medida por Paulo Sérgio vale
a) 0,7 c b) 1,0 c c) 0,3 c d) 1,7 c
27. (UFPE) – Um astronauta é colocado a bordo de uma espaçonave
e enviado para uma estação es pacial a uma velocidade constante
de módulo v = 0,8 c, em que c é o módulo da velocidade da luz
no vácuo. No referencial da es pa çonave, o tempo transcorrido en -
tre o lançamento e a chegada à estação espacial foi de 12 meses.
Qual o tempo transcorrido no referen cial da Terra, em me ses?
28. (UFCE-Modificado) – Texto:
A energia relativística de uma partícula (ER) é dada por:
em que m é a massa relativística e c o módulo da velo cidade com
que a luz se propaga no vácuo.
A massa relativística m de uma partícula é dada pela expressão:
em que m0 é a chamada massa de repouso e V é o mó dulo da
velocidade da partícula.
Por outro lado, a energia relativística de uma partí cula (ER) é a so -
ma de sua energia cinética (Ec) com sua energia de repouso (E0).
Um elétron é acelerado a partir do repouso até atingir uma energia
relativística final igual a 2,5 MeV. A energia de repouso do elétron
é E0 = 0,5 MeV. Determine
a) a energia cinética do elétron quando ele atinge a ve lo cidade
final;
b) o módulo da velocidade atingida pelo elé tron co mo uma fração
do módulo da velocidade da luz no vá cuo, c.
29. (UEL-PR) – Até o início do século XX, maté ria e energia eram
consideradas entidades distintas. A primeira caracterizaria uma das
propriedades intrín secas dos corpos e a segunda o estado
dinâmico dos corpos em relação a um determinado meio. A partir
dos trabalhos de A. Einstein, ficou claro que tal separação não
deveria existir; matéria e energia poderiam transformar-se uma na
outra. Essa nova visão dos conceitos de massa e energia cele -
brizou-se pela relação E = mc2, em que E é a energia, m é a massa
e c é o módulo da velocidade da luz no vácuo (300000 km/s).
Assim, ao gerar energia, observa-se um equivalente desa -
parecimento de massa. Consi de re a queima de 1 litro de gasolina
que libera 5 . 107 jou les de energia e indique a massa desaparecida
(transfor mada em energia) nesse processo.
a) . 10–9kg b) . 10–9kg
c) . 109kg d) . 10–1kg
e) . 10–3kg
 
30. (SEPEB-Concurso para professor da rede esta dual-SP-MODELO
ENEM) – A ta bela a seguir relaciona regiões do espectro
eletromagnético com seus respectivos comprimentos de onda,
aproximados. A região que possui fótons de maior energia é
a) Raios Gama. b) Raios X. c) Ultravioleta.
d) Infravermelho. e) Ondas de rádio.
31. (UFCE-MODELO ENEM) – O gráfico mostrado a seguir resultou
de uma experiência na qual a superfície metálica de uma célula
fotoelétrica foi iluminada, separada men te, por duas fontes de luz
monocromática distintas, de fre quên cias f1 = 6,0 x 10
14Hz e 
f2 = 7,5 x 10
14Hz, res pectivamente. 
ER = mc
2
m0
m = –––––––––––––––––
V���� 1 – (––)2c
ER = Ec + E0
Teoria Quântica
(modelo corpuscular da luz)
E = hf
E: energia de um fóton as so -
cia do a uma radiação de fre -
 quên cia f;
h � 6 x 10–34 unidades do Sis -
tema Internacional (SI).
Teoria da Relatividade
E = mc2
E: é o equivalente em energia
da massa m de um objeto;
c = 3 x 108m/s (módulo da ve -
lo cidade da luz no vá cuo).
5
––
3
5
––
9
Região do Espectro 
Eletromagnético
Comprimento 
de onda (m)
Raios Gama 5,0 . 10–14
Raios X 5,0 . 10–11
Ultravioleta 1,0 . 10–7
Visível 5,5 . 10–7
Infravermelho 1,0 . 10–5
Micro-onda 1,0 . 10–2
Ondas de Rádio 1,0 . 103
5
––
3
5
––
9
5
––
9
93
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6) A energia associada ao fóton é dada por:
E = hf = mc2
hf = mc . c
h = Q
Como c = �f, vem = 
Portanto: 
Resposta: D
7) A energia do fóton é dada por:
E = h f = h 
hc é uma constante universal 
Sendo �II = 3�I, re sulta E2 = 
Resposta: D
8) a) O fóton é um corpúsculo de energia.
b) A energia do fóton é proporcional à sua fre quência 
(E = hf).
c) Cada luz monocromática tem a sua frequência.
d) A luz violeta é a de maior frequência na região do visível.
f
––
c
f
––
c
1
––
�
h
Q = ––––
�
c
––
�
E1
–––
3
94
As energias ciné ti cas máximas, Ec1 = 2,0eV e Ec2 = 2,6eV, dos
elé trons arran ca dos do metal, pe los dois tipos de luz, estão indica -
das no gráfico. A reta que passa pe los dois pontos experimentais
do gráfico obedece à relação estabele cida por Einstein para o
efeito foto elétrico, ou seja, Ec = hf – �, em que h é a Constante
de Planck e � é a chamada função trabalho, carac te rística de cada
material. Baseando-se na relação de Einstein, o valor calculado de
�, em eV, é
a) 0,4 b) 1,6 c) 1,8 d) 2,0 e) 2,3
32. (ITA-MODELO ENEM)
Um trecho da mú sica Quanta, de
Gil berto Gil, é re pro duzido no des -
ta que ao lado.
As frases “Quantum gra nulado no
mel” e “Quantum ondulado do
sal” relacionam-se, na Física, com
a) conservação de energia.
b) conservação da quantidade de movimento.
c) dualidade partícula-onda.
d) princípio da causalidade.
e) conservação do momento angular.
33. (UFRGS-MODELO ENEM) – No início do século XX, as teorias clás -
 sicas da Física – co mo o eletromagnetismo de Maxwell e a
mecânica de Newton – não conduziam a uma explicação satisfatória
para a dinâmica do áto mo. Nessa época, duas descobertas
históricas tiveram lugar: o experimento de Rutherford demonstrou a
exis tência do núcleo atômico, e a interpretação de Einstein para o
efeito fotoelétrico revelou a natureza corpus cular da interação da luz
com a matéria. Em 1913, incorporando o resultado dessas
descobertas, Bohr pro pôs um modelo atômico que obteve grande
suces so, embora não respeitasse as leis da física clás sica.
Considere as seguintes afirmações sobre a dinâmica do átomo.
I. No átomo, os raios das órbitas dos elétrons po dem assumir
um conjunto contínuo de valores, tal como os raios das órbitas
dos planetas em torno do Sol.
II. O átomo pode existir, sem emitir radiação, em es tados esta -
cionários cujas energias só podem assumir um conjunto
discreto de valores.
III. O átomo absorve ou emite radiação somente ao passar de um
estado estacionário para outro.
Quais dessas afirmações foram adotadas por Bohr como
postulados para o seu modelo atômico?
a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III.
d) Apenas II e III. e) I, II e III.
34. (ITA-MODELO ENEM) – A tabela abaixo mostra os níveis de
energia de um áto mo do elemento X que se encontra no estado
gasoso.
Dentro das possibilidades abaixo, a energia que po deria restar a
um elétron com energia de 15,0eV, após colidir com um átomo
de X, seria de:
a) 0 eV c) 4,4 eV e) 16,0 eV 
b) 2,0 eV d) 14,0 eV 
35. (UFCE-MODELO ENEM) – Uma fábrica de produtos metalúr gicos
do Distrito Indus trial de Fortaleza consome, por mês, cerca de 
2,0 x 106 kWh de energia elétrica (1 kWh = 3,6 x 106 J). Suponha
que essa fábrica pos sui uma usina capaz de converter
diretamente massa em energia elétrica, de acordo com a Equação
de Einstein, E = mc2. Nesse caso, a massa necessária pa ra suprir
a energia requerida pela fábrica, durante um mês, é, em gramas:
a) 0,08 b) 0,8 c) 8 d) 80 e) 800
36. (UFCE-MODELO ENEM) – De acordo com a Teoria da Relati vi -
dade, de Einstein, a ener gia total de uma partícula sa tisfaz a
equação E2 = p2c2 + m
0
2c4, em que p é o módulo da quantidade
de movimento linear da partícula, m0 é sua massa de repouso e c
é o módulo da velocidade da luz no vácuo. Ainda de acordo com
Einstein, uma luz de frequência f pode ser tratada como sendo
constituída de fótons, partículas com massa de repouso nula e
com energia E = hf, em que h é a Constante de Planck. Com base
nessas informações, você pode concluir que o módulo da
quantidade de movimento linear p de um fóton é dado por:
a) p = hfc b) p = hc/f c) p = 1/hc
d) p = hf/c e) p = cf/h
E0 0
E1 7,0 eV
E2 13,0 eV
E3 17,4 eV
Ionização 21,4 eV
Fragmento infinitésimo,
Quase que apenas mental,
Quantum granulado no mel,
Quantum ondulado do sal,
Mel de urânio, sal de rádio
Qualquercoisa quase ideal.
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 03/10/13 10:31 Página 94
e) A luz concentra-se em pacotes de energia que são os
fótons e, portanto, propaga-se de ma neira descontínua.
Resposta: D
9) Resposta: B
10) EC = h f – �
h = Constante de Planck
f = frequência da radiação incidente
� = energia necessária para arrancar o elétron do átomo.
Resposta: E
11) Da teoria do efeito fotoelétrico, temos:
Ec = hf – �
em que � é a função trabalho (energia de ligação en tre o
elétron e o núcleo)
A frequência mínima ocorre quando Ec = 0
h fmín = �
� = 6,63 . 10–34 . 5,37 . 1014 (J)
� = 35,6 . 10–20 J
1J = 
� = . (eV) 
Resposta: A
12) Define-se o potencial de corte como sendo a ddp que cria um
campo elétrico capaz de interromper a corrente elétrica
formada pelos elétrons emi ti dos por um metal por ocasião
do efeito fotoelé tri co.
Sendo VC o potencial de corte, temos:
e . VC = Ecin = hf – �
VC = f – 
Resposta: A
13) A energia cinética Ec do elétron emitido é dada por:
E = hf – � = h – �
Sendo V1 = 2V2, resulta E1 = 4E2, pois a energia ci nética é
proporcional ao quadrado da velocida de.
– � = 4 	 – �
– � = – 4 �
4� – � = –
3� = h c � – � = h c 
Resposta: D
14) a) Pot = = 
h = 6,6 . 10–34J.s
f = = (Hz) = . 1015 Hz
�t = 1,0s
Pot = 2,0 . 102W
2,0 . 102 = n . 6,6 . 10–34 . . 1015 
b) Porque o fóton da luz de L2 não tem energia su ficiente
para vencer a energia de ligação entre os elétrons e o
núcleo nos átomos do metal.
c) Não, porque cada átomo só pode capturar um único fóton
e, portanto, não interessa a quan tidade de fótons que
estão chegando ao metal.
15) a) 1) hf = 6,6 . 10–34 . 2,4 . 1014 (J)
hf = 15,84 . 10–20 J = eV
hf = 0,99 eV
2) EC = h f – �
0,90 = 0,99 – �
b) O potencial de corte corresponde à ddp U apli cada contra
os fotoelétrons para interromper a corrente elétrica e é
dado por:
e U = Ec
1,6 . 10–19 . U = 0,90 . 1,6 . 10–19
Respostas: a) 0,09eV
b) 0,90V
16) Para haver efeito fotoelétrico, a energia do fóton (E = hf) deve
superar a energia de ligação entre o elétron que vai ser
arrancado e o núcleo do átomo (função trabalho �).
E = hf = h . = 4,2 . 10–15 . (eV)
Como E (2,1eV) é menor que � (2,5eV), não ocor rerá emissão
fotoelétrica.
b) Para que haja efeito fotoelétrico:
E > � ⇒ hf > �
f > ⇒ f > Hz ⇒
1 eV
––––––––––
1,6 . 10–19
35,6
–––––
1,6
10–20
–––––
10–19
� � 2,2 eV
h–––
e
�
–––
e
c
–––
�
hc
–––
�1
hc
–––
�2
hc
–––
�1
4 h c
–––––
�2
4 h c
–––––
�2
hc
–––
�1
4
–––
�2
1
–––
�1
(4 �1 – �2) 
––––––––––
�2 �1
h c 4�1 – �2
� = –––– (––––––––)
3 �1�2
E
–––
�t
n h f
–––––
�t
c
–––
�
3,0 . 108
–––––––––
3,3 . 10–7
3,0
–––
3,3
3,0
–––
3,3
10
n = ––– . 1020
3
15,84 . 10–20
––––––––––––
1,6 . 10–19
� = 0,09 eV
U = 0,90V
3,0 . 108
––––––––––
6,0 . 10–7
c
–––
�
E = 2,1 eV
f > 6,0 . 1014Hz
2,5
–––––––––
4,2 . 10–15
�
––
h
95
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 95
17) Resposta: E
18) De acordo com a teoria de Louis de Broglie, a luz tem com -
por tamento dual: onda ou partícula, con for me o fenômeno
observado.
Resposta: B
19) Resposta: D
20) Seja E3 – E2 = E, então E2 – E1 = 2E e E3 – E1 = 3E
�E = hf = h ⇒ 	1 = = 600nm
De E2 para E1 ⇒ 	2 = = 300nm
De E3 para E1 ⇒ 	3 = = 200nm
Respostas: 	2 = 300nm
	3 = 200nm
21) Calculemos o acréscimo de energia requerido pelo átomo pa -
ra passar do estado fundamental, em que ni = 1, até o estado
subsequente, em que nf = 2.
�E = Enf
– Eni 
⇒ �E = – (eV)
Como o fóton que incide sobre o átomo tem uma energia de
apenas 10,19 eV (menor que �E), ele não consegue produzir
o caso em que nf = 2.
Esse fóton é então reemitido com sua ener gia de 10,19 eV,
sem conseguir alterar o valor de ni = 1.
Logo: 
Observação: se operarmos com três algarismos sig nificativos
e aproximarmos a energia do fóton para 10,2 eV, então será
atingido o estado p = 2.
22) (1) FALSA. Só há emissão quando o elétron “pu la” de um nível
de energia para outro menor.
(2) VERDADEIRA.
(3) VERDADEIRA. 
Para n = 2 ⇒ E2 = (eV)
Para n = 3 ⇒ E3 = (eV)
E2 – E3 = –13,6 eV = –13,6 (eV)
E3 – E2 � 1,89 eV = energia do fóton
(4) VERDADEIRA.
23) (1) VERDADEIRA.
Fcp = Feletrostática
= K . ⇒ m V2 r = K Z e2
(2) VERDADEIRA.
P = Perímetro da órbita = n 	
P = 2πr e mV = 
2πr = n . ⇒ 2 π r mV = nh
(3) FALSA.
(4) VERDADEIRA.
m(�r)2 r = K Z e2 ⇒ m �2 r3 = K Z e2
(5) FALSA.
24) A diferença entre m2’ e m2 é provocada pelo acrés cimo da
energia trazida pelo fóton.
Da equivalência entre massa e energia, traduzida pela
Equação de Einstein, temos:
m2’ – m2 = 
Portanto: 
Analogamente, a perda de massa m1 – m’1 é pro vocada pela
redução da energia correspon dente ao fóton emi ti do:
m1 – m’1 = 
Resposta: D
25) a) E = mc2 = N h f
0,4 . 9 . 1016 = N . 6 . 10–34 . 6 . 1014
b) E = h f
ML2T–2 = [h] T–1
[h] = ML2T–1
Respostas: a) N = 1035
b) kg . m2 . s–1
26) De acordo com um dos postulados da teoria da relatividade,
a velocidade da luz no vácuo, me dida por qualquer sistema
de referência inercial, tem o mesmo módulo c = 3,0 . 108m/s.
Resposta: B
27)
� = 1 – 
� = 1 – = 1 – 0,64 = 0,36 = 0,6
c
–––
	
h c
––––
E
h c
––––
2E
h c
––––
3E
–13,6
––––––
22
(–13,6)
–––––––
12
�E = 10,20 eV
p = ni = 1
–13,6
––––––
4
–13,6
––––––
9
1 1�––– – –––�
4 9
5
–––
36
m V2
–––––
r
Ze . e
–––––
r2
h
––
	
h
––––
m V
E
–––
c2
E = (m2’ – m2 ) c
2
E
–––
c2
E = (m1 – m’1 ) c
2
N = 1035
u(h) = kg . m2 . s–1
�t0�t = –––
�
V2
–––
c2
0,8c(–––––)2
c
96
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 09/08/12 10:42 Página 96
�t = (meses) = 20 meses
Resposta: 20
28) a) ER = Ec + E0
2,5 = Ec + 0,5 ⇒
b) ER = mc
2 = . c2
E0 = m0c
2 é a energia de repouso
Portanto: ER =
= ⇒ = 
= 1 – 
V = = c 
V = c = c = 0,98c
Respostas: a) 2,0 MeV
b) 0,98c
29) E = m c2
5 . 107 = m (3 . 108)2
5 . 107 = m . 9 . 1016
Resposta: A
30) E = hf 
como c = �f, vem
Quanto menor �, maior será E.
Portanto, a região que possui fótons mais ener gé ticos é a
faixa de menor comprimento de onda.
Resposta: A
31) Ec = hf – �
2,0 = h 6,0 . 1014 – � (1)
2,6 = h 7,5 . 1014 – � (2)
De (1): h = De (2): h = 
Portanto: = 
15,0 + 7,5� = 15,6 + 6,0 �
1,5� = 0,6 ⇒ � = eV ⇒
Resposta: A
32) A expressão “Quantum granulado no mel” sugere ener gia
associada a partículas, enquanto a ex pres são “Quantum
ondulado do sal” sugere energia associada a ondas.
Isso nos remete à opção C, que menciona o conceito de dua -
lidade partícula-onda.
Resposta: C
33) Resposta: D
34) Os estados de energização possíveis para o átomo do
elemento X são:
1) E0 → E1 recebendo 7,0 eV
2) E0 → E2 recebendo 13,0 eV
3) E0 → E3 recebendo 17,4 eV
4) E1 → E2 recebendo 6,0 eV
5) E1 → E3 recebendo 10,4 eV
6) E2 → E3 recebendo 4,4 eV
Quando um elétron com energia de 15,0 eV colide com um
átomo de X, ele pode provocar as energizações (1), (2), (4), (5)
e (6) e a energia restante do elétron em cada caso seria:
(1): 8,0 eV (2): 2,0 eV (4): 9,0 eV 
(5): 4,6 eV (6): 10,6 eV 
Resposta: B
35) 1) E = 2,0 . 106kWh = 2,0 . 106 . 3,6 . 106J
2) E = mc2
7,2 . 1012 = m . (3,0 . 108)2
m = kg = 0,8 . 10–4kg
m = 0,8 . 10–4 . 103g
Resposta: A
36) E2 = p2c2 + m
0
2 c4
Para o fóton, temos m0 = 0 (massa de repouso nu la) e, por -
tanto:
E2 = p2c2 ⇒ E = p . c
Como E = hf, vem:
hf = pc ⇒
Resposta: D
12
–––
0,6
Ec = 2,0 MeV
m0
–––––––––––––––––
V
1 – �––�
2
c
E0
–––––––––––––––––
V
1 – �––�
2
c
V
1 – �––�
2
c
E0
–––
ER
V
1 – �––�
2
c
V2
–––
c2
E0�––––�
2
ER
E0
c2 	1 – �––––�
2
ER
0,5	1 – �––––�
2
2,5
1
1 – –––
25
24
–––
25
5
m = ––– . 10–9 kg 
9
h . c
E = ––––
�
2,6 + �
–––––––––
7,5 . 1014
2,0 + �
–––––––––
6,0 . 1014
2,6 + �
–––––––––
7,5 . 1014
2,0 + �
–––––––––
6,0 . 1014
� = 0,4eV
0,6
–––
1,5
E = 7,2 . 1012J
7,2 . 1012
–––––––––
9,0 . 1016
m = 0,08g
hf
p = –––––
c
E0�––––�
2
ER
97
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 97
98
1. Fórmulas dimensionais
Uma grandeza física qualquerpode ser expressa, a
menos de um fator puramente numérico, sob a forma de
um produto de potências das grandezas das quais ela
depende. Por exemplo, se uma grandeza G depende das
grandezas X, Y e Z, pode-se escrever que:
em que K, a, b e c são números reais.
Entretanto, usualmente, costuma-se expressar as
grandezas físicas em função de grandezas específicas,
denominadas fundamentais ou primitivas.
Na Mecânica, adotamos como fundamentais as gran -
dezas: comprimento (L), massa (M) e tempo (T).
[comprimento] = L; [massa] = M; [tempo] = T
A expressão de uma grandeza física G em função das
grandezas fundamentais ou primitivas denomina-se
fórmula ou equação dimensional. Neste caso, a gran de -
 za considerada G é dada sob a forma de um produto de
potências das grandezas fundamentais.
Para indicar que se trata de uma equação dimen sio nal,
cos tumamos escrever a grandeza G entre col chetes:
Os números a, b e c são chamados de dimensões de
G.
Assim, a grandeza G tem dimensão a em relação à
mas sa, b em relação ao comprimento e c em relação ao
tempo.
A título de exemplo, determinemos a fórmula di men -
 sional da velocidade.
Basicamente, esta grandeza é definida como o quo -
ciente da variação de espaço (�s) pelo intervalo de tem -
po (�t).
A fórmula dimensional de v é, então, obtida fazen -
do-se:
[v] = 
Mas: [�s] = L e [�t] = T
Logo: [v] = = LT–1
Em função de M, L e T, temos:
2. Principais fórmulas
dimensionais da Mecânica
a = ⇒ [a] = = 
F = m. a ⇒ [F] = [m][a]
[F] = MM0LT–2 ⇒
Q = mv ⇒ [Q] = [m] [v]
[Q] = MM0LT–1 ⇒
E = mgh ⇒ [E] = [m] [g] [h]
[E] = MM0LT–2 L ⇒
G = K Xa Yb Zc
[G] = Ma Lb Tc
�s
v = ––––
�t
[�s]
––––
[�t]
L
–––
T
[v] = M0LT–1
[v] = M0LT–1
�v
–––
�t
[�v]
––––
[�t]
M0LT–1
–––––––
T
[a] = M0LT–2
[F] = MLT–2
[Q] = MLT–1
[E] = ML2T–2
A ANÁLISE DIMENSIONAL
Mecânica
7
CAPÍTULO
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 98
Pot = ⇒ [Pot] = 
[Pot] = ⇒
I = F . �t ⇒
[ I ] = MLT–2 . T ⇒
Observe que [I] = [Q]
3. Homogeneidade dimensional
Deve-se entender pelo exposto que as dimensões de
um membro da equação devem ser iguais às dimensões do
outro membro. Seria, por exemplo, absurdo consta tar-se
que 50 quilogramas = 20 metros + X metros.
O que deve ocorrer é a igualdade:
50 metros = 20 metros + X metros.
Note-se que o princípio da homogeneidade dimen -
sional fornece-nos apenas uma condição necessária, mas
não suficiente, para a legitimidade de uma equação
física. Uma equação física não pode ser verdadeira se
não for dimensionalmente homogênea, mas nem toda
equação física dimensionalmente homogênea é obrigato -
riamente verdadeira.
4. Previsão de fórmulas
A análise dimensional é um poderoso instrumento
auxiliar na previsão de fórmulas físicas. Seja o exemplo
seguinte no qual tal fato fica claro.
Um cientista, fazendo experiências num laboratório,
verifica que o período (T) de oscilação de um pêndulo
simples depende do comprimento do fio (�) e do módulo
da aceleração de gravidade (g).
Como pode ele, usando a análise dimensional, obter
uma fórmula para o cálculo de t, isto é, uma função do
tipo T = f (�, g)?
Dos experimentos realizados, o cientista pode
escrever que:
em que K é uma constante adimensional e x e y são
núme ros reais.
Tendo em conta o princípio de homogeneidade di -
men sional, segue-se que:
[T] = [�xgy] = [�]x [g]y
Mas: [T] = M0L0T; [�] = M0LT0 e
[g] = M0LT– 2
Assim: M0L0T = (M0LT0)x (M0LT–2)y
M0L0T = M0Lx + y T – 2 y
Identificando-se os expoentes:
x + y = 0 x = 1/2{ ⇒ {– 2y = 1 y = –1/2
Retornando à expressão inicial, vem:
T = K �1/2 g–1/2
ou 
Nota
Apenas a constante K não pode ser obtida por meio
da análise dimensional.
[E]
––––
[�t]
E
–––
�t
[Pot] = ML2 T–3
ML2 T–2
––––––––
T
[I] = [F] [�t ]
[I] = MLT–1
Uma equação física não pode ser verdadeira se não
for dimensionalmente homogênea.
T = K � x gy
�
T = K ���–––g
99
1. Em relação às grandezas fundamentais comprimento (L), massa
(M) e tempo (T), determine as fórmulas dimensionais
a) de área de uma superfície;
b) do volume de um corpo.
Resolução
a) Uma área qualquer é obtida pelo produto de dois compri -
mentos: a e b.
A = ab
[A] = [a] [b] ⇒ [A] = L . L = L2
Em função de M, L e T, temos:
b) Um volume qualquer é obtido pelo produto de três compri -
mentos: a, b e c.
V = a b c
[V] = [a] [b] [c] ⇒ [V] = L . L . L = L3
Em função de M, L e T, temos:
[A] = M0 L2 T0
[V] = M0 L3 T0
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 99
2. Adote como fundamentais as grandezas mecânicas: compri men -
to (L), massa (M) e tempo (T).
Determine as fórmulas dimensionais
a) da massa específica de um corpo;
b) da pressão exercida por uma força sobre uma superfície.
Resolução
a) A massa específica de um corpo é dada por: � = 
Assim: [�] = = ⇒
b) A pressão exercida por uma força sobre uma superfície é dada
por:
em que Fn é a intensidade da componente normal da força em
relação à superfície e A é a área.
[p] = = ⇒
3. Adotando-se como dimensões mecânicas primitivas F (força), L
(comprimento) e T (tempo), obtenha as fórmulas dimensionais
a) da massa; b) da energia.
Resolução
a) F = ma ⇒ m = 
[m] = ⇒ [m] = ⇒
b) E = � = Fd ⇒ [E] = [F] [d] = F L
4. (VUNESP) – O Sistema Internacional de Unidades, SI, com preende
sete unidades de base: o metro, o quilograma, o segun do, o
ampère, o kelvin, o mol e a candela, representativos das gran dezas:
comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, tem pe ratura
termodinâmica, quantidade de matéria e intensidade luminosa,
respectivamente. Para efeito de análise dimensional, usa mos os
seguintes símbolos associados às grandezas: L = com primento, 
M = massa, T = tempo e I = corrente elétrica.
Determine a equação dimensional da carga elétrica, da tensão
elétrica e da resistência elétrica.
Resolução
1) Da definição de intensidade de corrente elétrica:
i = ⇒ [i] = 
I = ⇒
2) Da equação do trabalho no campo elétrico:
� = qU ⇒ [ � ] = [q] [U]
ML2T–2 = IT [U] ⇒
3) Da 1.a Lei de Ohm:
R = ⇒ [R] = 
[R] = ⇒
5. (MACKENZIE-MODELO ENEM) – Se, num determinado sistema
de unidades, forem multiplicadas por K as unidades de com pri -
mento, massa e tempo, então a unidade de força desse sistema
será multiplicada por:
a) K–2 b) K–1 c) K0 d) K1 e) K2
Resolução
Como [F] = MLT–2, associando as unidades, temos:
u(F) = u(M) u(L) 
u’(F) = k u(M) . k u(L) . 
u’(F) = u(M) u(L) ⇒
Resposta: C
6. (EEMAUÁ) – Considere como grandezas fundamentais o volume
(V), a pressão (p) e a aceleração (a).
Determinar nesse sistema a equação dimensional da potência.
Resolução
Em relação ao sistema MLT, temos:
[V] = L3; [p] = ML–1T–2; [a] = LT–2
[Pot] = ML2T–3
Para o sistema V, p, a, temos:
[Pot] = Vxpyaz
ML2T–3 = (L3)x (ML–1T–2)y (LT–2)z
ML2T–3 = MyL3x–y+z T– 2 y – 2 z
Portanto: a
3x – y + z = 2 b
–2y –2z = –3 c
Substituindo a em c:
2 + 2z = 3 ⇒
Em b: 3x – 1 + = 2 ⇒
7. A intensidade (F) da força que age em uma partícula é dada em
função do tempo (t), conforme a expressão:
F = A + Bt
em que A e B são parâmetros constantes não nulos.
Adotando como fundamentais as grandezas massa (M), compri -
mento (L) e tempo (T), obtenha as equações dimensionais dos
parâmetros A e B.
Resolução
Levando-se em conta o princípio da homogeneidade dimensional,
deve-se ter:
[A] = [F] ⇒
[Bt] = [F] ⇒ [B] [t] = [F]
[B] T = MLT–2 ⇒
8. Num movimento oscilatório, a abscissa (x) da partícula é dada em
função do tempo (t) por: x = A + B cos (Ct), em que A, B e C são
parâmetros constantes não nulos.
m
––
V
[�] = M L– 3 T0M––––––––
M0 L3 T0
[m]
–––
[V]
Fn
p = ––––
A
[p] = ML– 1 T– 2
M L T–2
–––––––––
M0 L2 T0
[Fn]––––
[A]
F
––
a
[m] = FL–1 T2
F
–––––
LT–2
[F]
–––
[a]
[E] = F L T0
[Q]
––––
[�t]
Q
–––
�t
[Q] = I T
[Q]
–––
T
[U] = ML2T–3I– 1
[U]
–––
[i]
U
–––
i
[R] = ML2T–3I– 2
ML2T–3I– 1
–––––––––––
I
1
––––––
[u(T)]2
1
–––––––
[k u(T)]2
u’(F) = u(F)
1
––––––
[u(T)]2
k2
–––
k2
y = 1
1
z = –––
2
[Pot] = p a1/2 V5/6
5
x = –––
6
1
–––
2
[A] = MLT–2
[B] = MLT–3
100
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/1211:31 Página 100
Adotando como fundamentais as dimensões M (massa), L (com pri -
men to) e T (tempo), obtenha as fórmulas dimensionais de A, B e C.
Resolução
Levando-se em conta o princípio da homogeneidade dimensional,
deve-se ter:
[A] = [x] = L ⇒
[Ct] = M0L0T0, pois a função cosseno é aplicada a números puros.
Logo: [C] [t] = M0L0T0 ⇒ [C] T = M0L0T0
Como cos (Ct) deve ser adimensional, segue-se que: 
[B] = [x] = L ⇒
9. (PUCC-MODELO ENEM) – Na expressão F = Ax2, F representa
força e x um com primento. Se MLT–2 é a fórmula dimensional da
força, em que M é o símbolo da dimensão massa, L da dimensão
comprimento e T da dimensão tempo, a fórmula dimensional de
A é:
a) ML–1T–2 b) ML3T–2 c) L2 d) MT–2 e) M
Resolução
Sendo F = Ax2, vem:
[F] = [A] [x]2
MLT–2 = [A] L2 ⇒
Resposta: A
10. A intensidade da resultante centrípeta é função apenas da massa,
da velocidade escalar e do raio da trajetória. Por análise dimen -
sional, obter, a menos de uma constante adimensional (K), a
expressão da intensidade da resultante centrípeta.
Resolução
Do enunciado: Fcp = Km
xvyRz
Os dois membros devem ter a mesma equação dimensional.
Logo: MLT–2 = Mx(LT–1) yLz
MLT–2 = MxLy+zT– y
Identificando os expoentes:
Assim: Fcp = Kmv
2R–1
ou:
11. (INATEL) – Ler com atenção o seguinte trecho extraído do livro
Pen sando a Física, do Prof. Mário Schenberg:
“Há na Física uma coisa muito misteriosa que é o chamado
comprimento de Planck. É muito curioso saber que quando Planck
descobriu a constante h percebeu que com a constante h, com a
constante gravitacional (G) e com a velocidade da luz (c) podia-se
formar um comprimento. Esse comprimento é extre mamente
pequeno, da ordem de 10–33cm. Hoje se compreende que esse
comprimento deve ser importante para a compreensão da origem
do Universo. Esse número deve estar ligado ao que há de mais
fundamental na Física.”
Responder agora à seguinte questão:
Qual é a possível combinação das constantes h, G e c que forma
o comprimento de Planck de acordo com o texto acima?
Resolução
1) A energia E associada a um fóton de luz de frequência f é dada
por:
E = hf
[E] = [h] [f]
ML2T–2 = [h] . T–1 ⇒
2) A força gravitacional é dada por:
F = G 
MLT–2 = [G] ⇒
3) Do exposto no texto, temos:
L = K hxGycz
K = adimensional
Portanto: M0LT0 = (ML2T–1)x (M–1L3T–2)y (LT–1)z
M0LT0 = Mx–y L2x+3y+z T–x–2y–z
Identificando os expoentes: x – y = 0 a
2x + 3y + z = 1 b
–x –2y –z = 0 c
De a: x = y
De c: z = –x –2y = –3x
Em b : 2x + 3x –3x = 1 ⇒
Portanto: x = ; y = e z = – 
A equação proposta será: L = K h1/2 G1/2 c–3/2
[B] = M0LT0
[C] = M0L0T–1
[A] = ML–1T–2
x = 1
y = 2
z = –1
x = 1{ y + z = 1 ⇒
–y = –2
K m v2
Fcp = ––––––––R
[h] = ML2T–1
Mm
–––––
d2
[G] = M–1L3T–2
M2
–––––
L2
1
x = –––
2
3
–––
2
1
–––
2
1
–––
2
G h
L = K ���––––c3
[A] = M0LT0
101
12. (PUC-PR) – Representando o comprimento por L, a massa por M
e o tempo por T, as dimensionais
L M T–2, L2 MT–3 e L–1 MT–2
representam, respectivamente:
a) o trabalho, a força e a massa específica.
b) a potência, a aceleração e a pressão.
c) a força, a potência e a pressão.
d) o peso específico, a aceleração e a potência.
e) a tensão, a potência e a energia.
13. (FEEPA) – A equação dimensional da constante de gravitação
universal no Sistema LMT é:
a) L3M–1T–2 b) L–1M–2T3 c) L–2M3T
d) L–1M3T–2 e) L–2M–1T3
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 101
14. (UESPI-MODELO ENEM) – Se p é pressão, m é massa e d é 
densidade absoluta (ou massa específica), entã o termo 
tem as dimensões da grandeza
a) força. b) potência. c) velocidade.
d) aceleração. e) trabalho.
15. (FUND. CARLOS CHAGAS) – O quociente da unidade de força
dividida pela unidade de velocidade pode ser utilizado para medir
a) potência. b) trabalho.
c) vazão volumétrica de gás. d) vazão volumétrica de líquidos.
e) vazão de massas.
16. (AMAN) – Uma certa grandeza “P” tem por expressão
P = �����������������2mE + (E/c)2, em que
m = massa; E = energia cinética; c = velocidade da luz.
Em unidades do Sistema Internacional, a grandeza “P” é ex pressa
em:
a) m . kg . s–1 b) m . kg . s c) m2 . kg . s2
d) m . kg2 . s e) m . kg–1 . s–2
17. (MACKENZIE) – Considerando as grandezas físicas, comprimen -
to, massa, tempo e carga elétrica e suas respectivas unidades de
medida no sistema internacional, podemos dizer que a unidade
ohm (�) é igual a:
a) b) c)
d) e) 1 C/s
18. (EFEI) – Determinar a equação dimensional da permeabilidade
magnética �0 num sistema cujas grandezas fundamentais são
comprimento (L), massa (M), tempo (T) e corrente elétrica (I).
19. (EEMAUÁ) – Um sistema de unidades é de base LMT. Se forem
multiplicadas por , com a e b números positivos, as unidades
fundamentais de comprimento, massa e tempo, como se al te -
rarão as unidades de velocidade, aceleração, força e quantidade
de calor?
20. (UNICAMP) – Num dado sistema de unidades, multiplicam-se por
um mesmo fator � as unidades de comprimento, velocidade e
força. Por que fatores serão multiplicadas as unidades de tem po,
massa e energia?
21. (ITA) – Para efeito de análise dimensional, considere as asso cia -
ções de grandezas apresentadas nas alternativas e indique qual
delas não tem dimensão de tempo. Sejam: R = resistência elé -
trica; C = capacitância; M = momento angular; E = energia;
B = indução magnética; S = área e I = corrente elétrica.
a) R . C b) c) d) ������
e) todas as alternativas têm dimensão de tempo.
Nota: momento angular é dado pelo produto da quantidade de
movimento por uma distância.
22. (MODELO ENEM) – Um físico apresentou uma teoria refor mu lan -
do alguns conceitos nas leis da Mecânica Newtoniana. Um jornal,
pretendendo repro du zir essa teoria, apresentou como expressão da
intensidade da força gravitacional (F) entre duas partículas de
massas m1 e m2, se pa ra das por uma distância r, a relação: 
F = (1 + v2 + r . a), em que v é a intensidade da velocidade
relativa e a é a intensidade da aceleração relativa entre os corpos.
A respeito desta expres são, assinale a opção correta: 
a) A expressão pode estar correta apenas quando v = 0 e a = 0.
b) A expressão é dimensionalmente correta.
c) A expressão é dimensionalmente absurda, pois só podemos
somar parcelas que tenham a mesma equação dimensional.
Além disso, mesmo no caso em que v = 0 e a = 0, o segundo
membro não tem equação dimensional de força.
d) A expressão estaria dimensionalmente correta se o conteúdo 
dos parênteses fosse: 1 + .
e) A expressão está correta.
23. (UnB) – Um estudante resolveu um problema de Mecânica e
encontrou, para a força que atua num corpo, a expressão:
,
na qual m é a sua massa, v é a velocidade, r é a sua distância a
um determinado referencial, e g é a aceleração da gravidade. Em
princípio, do ponto de vista dimensional a equação proposta é
possível? Justifique.
24. (VUNESP) – Um estudante de física resolvendo certo problema
chegou à expressão final: F = 2 (m1 + m2) vt
2, na qual:
F representa uma força,
m1 e m2 representam massas,
v é uma velocidade linear,
t é tempo.
Outro estudante resolvendo o mesmo problema, chegou à ex -
pressão: F = 2 (m1 + m2) vt
–1.
Mesmo sem conhecer os detalhes do problema, você deve ser
capaz de verificar qual das respostas acima obviamente deve
estar errada. Explique qual delas é certamente errada. 
25. (FEI) – A variação da massa M com o tempo t, de uma esfera de
naftalina que sublima, é dada por M = M0e
–Kt, válida no Sistema
Internacional de Unidades.
Quais as unidades de M0 e K?
Sabe-se que e é a base dos logaritmos neperianos.
26. (UFJF-MODELO ENEM) – De acordo com a teoria das forças
nucleares, a força entre um nêutron e um próton tem a seguinte
energia potencial:
u(x) = 
em que K e L são constantes, x é a distância entre nêutron e pró -
ton e “e” é a base dos logaritmos neperianos. Então, as unidades
de K e L são, respectivamente:
a) inverso de comprimento e comprimento.
b) comprimento e inverso de comprimento.
c) inverso de energia e energia.
d) energia vezes o comprimento e inverso de comprimento.e) energia vezes o inverso de comprimento e comprimento.
27. (FEEPA) – Se na equação p = v2 K, v é velocidade, então para que
p seja pressão é necessário que K seja
a) massa. b) massa específica. c) vazão mássica.
d) peso. e) peso específico.
28. (CESGRANRIO) – Na expressão seguinte, x representa uma
distân cia, v uma velocidade, a uma aceleração, e K representa
uma constante adimensional.
x = K 
Qual deve ser o valor do expoente n para que a expressão seja
fisicamente correta?
29. Em certas condições, para um líquido escoando, vale a Equação
de Bernoulli:
m . p
–––––
d
1kg . m
–––––––––
C . s
1kg . m2
–––––––––
C2 . s
1kg2 . m
–––––––––
C . s
1kg2 . m2
–––––––––
C2 . s2
a
–––
b
(B . S . C)
––––––––
I
M
–––
E
(B . S)
––––––
(I . R)
m1 m2
–––––––
r2
v2
––––
r a
F = ����������� m2gv2/r
K e – L x
–––––––
x
vn
–––
a
102
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 102
p + + �cgdhe = constante
Nesta equação:
p representa pressão;
� é a densidade do líquido;
v representa o módulo de uma velocidade;
g é o módulo da aceleração da gravidade;
h representa uma altura.
Determine os valores dos expoentes a, b, c, d e e para que a
equação seja dimensionalmente correta.
30. (AMAN) – A frequência do som emitido por uma corda vibrante
de comprimento “L” e sujeita a uma tração “T” é dada pela ex -
pres são: f = ���, na qual N = 1, 2, 3, 4 . . . e “�” é a 
massa específica da corda. Em um sistema em que as grandezas
funda men tais são com pri mento, massa e tempo, a equação
dimensional de “�” é:
a) LMT–1 b) L–1MT–1 c) L–1MT–2
d) LMT0 e) L–1MT0
31. (CESGRANRIO-MODELO ENEM) – Na análise de determinados
movimentos, é bas tante razoável supor que a força de atrito seja
proporcional ao qua drado da velocidade da partícula que se move.
Analiti camen te:
A unidade da constante de proporcionalidade K no S.I. é:
a) b) c)
d) e)
32. (ITA) – A velocidade de propagação v de um certo fenômeno on -
dulatório é dada pela fórmula v = Ka xb, na qual as unidades das
gran dezas K e x são, respectivamente, newton/(metro)2 e qui -
lo grama/(metro)3. Determinar os expoentes a e b.
33. (UNICAMP) – A velocidade das ondas numa praia pode depender
de alguns dos seguintes parâmetros: a aceleração da gravidade g,
a altura da água h, e a densidade da água d.
a) Na crista da onda, a velocidade é maior ou menor do que na
base? Por quê?
b) Fazendo análise dimensional, observa-se que a velocidade da
onda não depende de um dos 3 parâmetros citados. Que parâ -
me tro é esse? Qual a expressão da velocidade em termos dos
2 parâmetros restantes?
34. (FEI) – Estudando um determinado fenômeno físico, um pes qui -
sador concluiu que a velocidade do objeto em estudo dependia de
certa força (F), de certa massa (m) e de certo comprimento (� ),
ou seja, concluiu que v = f (F, m, � ).
Pela análise dimensional das grandezas citadas, determinar uma
possível expressão monômia para v = f (F, m, �).
35. (FUVEST) – Um objeto esférico de raio R move-se, com veloci -
dade v, através de um fluido de viscosidade h. Sabe-se que a for -
ça de atrito viscoso Fv depende de v, h e R. O coeficiente de vis -
cosidade h tem dimensão [h] = ML–1T–1, em que M é massa, L é
com primento e T é tempo.
a) Qual é a dimensão [F] da grandeza força?
b) Utilize análise dimensional para determinar a relação entre a
força viscosa Fv e as variáveis R, h e v.
36. (CESGRANRIO) – A pressão de um gás rarefeito depende do
volume (V) que ele ocupa, do número de moléculas (N) que o
cons titui e da energia cinética média por molécula (E). A ex pres -
são dimensionalmente correta para a pressão é propor cional a:
a) b) c) d) e) V .N .E
37. Quando o sangue escoa em nossas veias, em regime per ma -
nente, a vazão � (volume/tempo) só depende da área da secção
transversal da veia A e do módulo da velocidade do sangue v.
Sabendo que o fator adimensional vale 1, responda os quesitos
que se seguem:
a) Obtenha � = f (A, v).
b) Responda, justificando, o que ocorre com a velocidade do san -
gue se houver um estrangulamento da veia e seu diâmetro se
reduzir à metade.
38. (MACKENZIE) – Sabe-se que a velocidade de propagação de uma
onda deve ser função da densidade (�) do meio, do módulo de
Young (E = Força/área) e da frequência f do movimento ondu latório.
Deduzir por meio de análise dimensional a função v = f (�, E, f), re -
pre sentando por K a constante de proporcionalidade adimen sional.
39. (MODELO ENEM) – A potência (Pot) de um moinho a vento
depende de seu diâmetro (d), do valor da velocidade do vento (v)
e da densidade do ar (�).
Sendo K um fator adimensional, podemos deduzir, por análise di -
men sional, que:
a) Pot = K � d2 v3 b) Pot = K � d v2
c) Pot = K � d2 v2 d) Pot = K �2 d2 v2
e) Pot = K � d v3
40. A diferença entre a pressão interna e a pressão externa (�p), em
uma bolha de sabão, depende apenas da tensão superficial do
líquido � (força/comprimento) e do raio da bolha R. Sabe-se que o
fator adimensional na relação de dependência entre �p, � e R vale
4. Assinale a opção que traduz a relação correta entre �p, � e R e
explica o que ocorre quando duas bolhas de raios diferentes estão
ligadas por um canudinho.
a) �p = 4 ; as bolhas ficam do mesmo tamanho.
b) �p = ; as bolhas ficam do mesmo tamanho.
c) �p = ; a bolha menor diminui e a maior aumenta.
d) �p = ; a bolha maior diminui e a menor aumenta.
e) �p = 4 � R; não passa ar de uma bolha para outra.
41. (ITA-MODELO ENEM) – Em determinadas circunstâncias verifi -
ca-se que o módulo da velocidade v das ondas na superfície de
um líquido depende da massa específica � e da tensão superficial
� do líquido bem como do comprimento de onda �, das ondas.
Neste caso, admitindo-se que C é uma constante adimen sional,
pode-se afirmar que:
a) v = C ��� b) v = C � � �
c) v = C ��������� � � d) v = C 
e) A velocidade é dada por uma expressão diferente das mencio -
nadas.
Dado: � =
N
–––
2L
�
–––
�
f = Kv2
kg . m2
–––––––
s2
kg . s2
–––––––
m2
kg . m
––––––
s
kg
–––
m
kg
–––
s
N
––––
V . E
V . E
––––
N
N . V
––––
E
N . E
––––
V
R
–––
�
4�
–––
R
4�
–––
R
4R
–––
�
�
––––
� �
� �2
––––
�
força
–––––––––––––
comprimento
�a Vb
––––––
2
103
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104
12) C 13) A 14) E 15) E 16) A 17) B
18) MLT–2I–2
19) u(V’) = u(V); u(F’) = u(F)
u(A’) = u(A); u(Q’) = u(Q)
20) 1; 1; �2 21) E 22) C
23) Dimensionalmente sim.
[F] = MLT–2
[m2gV2/L]1/2 = M(LT–2)1/2 V L–1/2 = ML1/2T–1LT–1L–1/2 = MLT–2
24) 1.a, pois é dimensionalmente incorreta.
25) kg e Hz 26) D 27) B 28) n = 2
29) a = 1; b = 2; c = 1; d = 1; e = 1 
30) C
31) D 32) a = ; b = – 
33) a) Maior porque a resistência ao movimento é menor.
b) v = K ���g h; não depende de d
34) v = K
35) a) MLT–2 b) F = K v h R
36) A
37) a) � = Av
b) Quadruplica, pois, quando o diâmetro se reduz à metade, a
área fica dividida por 4.
38) v = K 39) A 40) C 41) A
E��–––�
F ���–––m
1
–––
2
1
–––
2
a
–––
b
b
–––
a
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 104
1. Objeto de estudo
Hidrostática é a parte da Física que estuda as
propriedades associadas aos líquidos em equilíbrio.
A Hidrostática fundamenta-se em três leis básicas:
a) Lei de Stevin
b) Lei de Pascal
c) Lei de Arquimedes
2. Densidade absoluta
Considere um corpo de massa m que ocupa um
volume V.
Define-se densidade absoluta do corpo � como a
razão entre sua massa (m) e o volume ocupado (V):
Não se deve confundir a densidade de um corpo com
a densidade do material (substância) que o constitui.
Se o corpo for maciço e homogêneo, a densidade do
corpo coincidirá com a densidade do material, porém
quando o corpo apresentar partes ocas, a densidade do
corpo será menor do que a densidade do material.
A título de exemplo, consideremos uma esfera de raio
externo Re com uma parte oca de raio Ri. 
Sendo m a mas sa da par te maciça e despre zando a mas -
sa de ar contida na parte oca, te mos:
�esfera = (I)
�material = 
�material = (II)
Verifica-se pelas expressões (I)e (II) apresentadas
que:
�esfera < �material
Assim, uma esfera oca de alumínio flutua em água
por ter densidade menor que a da água, ao passo que uma
esfera maciça de alumínio afunda por ser mais densa do
que a água.
m
� = –––
V
m m
––– = ––––––––
Ve 4–– � Re
3
3
m
––––––––
Ve – Voco
m
––––––––––––––
4
–– � (Re
3 – Ri
3)
3
105
A prensa hidráulica (macaco hidráulico) é uma máquina
simples que multiplica forças.
A vantagem mecânica da prensa hidráulica é a razão entre a área
do êmbolo maior e a área do êmbolo menor.
HIDROSTÁTICA
Mecânica
8
CAPÍTULO
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 105
a) No Sistema Internacional, temos:
b) No sistema CGS, temos:
c) Relação entre as unidades
Sendo 1kg = 103g e 1m3 = 106cm3, vem:
1 = = 10–3
Sendo 103kg = 1t (tonelada), temos ainda:
Tomando como grandezas fundamentais a massa
(M), o comprimento (L) e o tempo (T), temos:
Consideremos dois corpos, A e B, de densidades ab -
so lutas �A e �B.
Define-se densidade relativa do corpo A em rela ção
ao corpo B como o número �AB dado por:
A densidade relativa é uma grandeza adimensional
(número “puro”).
Se falarmos em densidade relativa de um dado cor -
po, sem especificarmos em relação a que outro corpo,
fica convencionado que este outro corpo é a água.
Neste caso, a densidade relativa mede quantas
vezes o corpo é mais denso que a água.
A densidade da água é dada por:
Se a densidade relativa de um corpo for igual a n (sem
especificar em relação a que), devemos entender que:
3. Peso específico
Considere um corpo de peso P
→
que ocupa um vo lu -
me V.
Define-se peso específico (�) do corpo como a razão
en tre a intensidade de seu peso (P) e o volume ocupado
(V):
� = = g ⇒
g = intensidade da aceleração da gravidade.
Tomando como grandezas fundamentais a massa
(M), o comprimento (L) e o tempo (T), temos:
4. Pressão
Considere uma superfície plana de área A submetida 
a uma força F
→
.
kg
–––
m3
103g
––––––
106cm3
g
––––
cm3
g kg
1 –––– = 103 ––––
cm3 m3
g t
1 –––– = 1 –––
cm3 m3
[m] M
[�] = ––– = –––
[V] L3
[�] = ML–3 = ML–3 T0
�A�AB = –––�B
[ �rel] = M
0 L0 T0
g kg
�água = 1,0 –––– = 1,0 . 10
3 –––– =
cm3 m3
t kg
= 1,0 ––– = 1,0 –––
m3 �
g
�corpo = n . �água = n ––––cm3
P
� = –––
V
uni(m) g
uni(�) = –––––– = –––– = g . cm–3
uni(V) cm3
uni(m) kg
uni(�) = –––––– = ––– = kg . m–3
uni(V) m3
� = � g
m
––
V
P
––
V
uni(P) N
uni(�) = –––––– = ––– = N . m–3
uni(V) m3
[P] MLT–2
[�] = ––– = ––––––– = ML–2T–2
[V] L3
106
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1. Um bloco cúbico tem 2,0cm de aresta e massa igual a 56 gramas.
O cubo é oco e a parte oca também tem for -
ma cúbica, com aresta igual a 1,0cm. O cubo
é cons tituído de material homogêneo, na
parte não oca. Con si dere vácuo na parte oca.
Determinar
a) o volume do cubo Vc (volume deli mi tado
por sua superfície ex ter na);
b) o volume da parte oca (VO);
c) a densidade absoluta do material que
constitui o cubo (�mat);
d) a densidade do cubo (�c).
Resolução
a) Vc = (2,0)
3 cm3 ⇒
b) VO = (1,0)
3 cm3 ⇒
c) A densidade absoluta do material (�mat) calcula-se dividindo a
massa do material (mmat) pelo volume realmente ocupado por
ele (Vmat).
Assim:
�mat = = ⇒
Note que o volume realmente ocupado pelo material é a
diferença entre o volume do cubo e o volume da parte oca.
(Vmat = 8,0cm
3 – 1,0cm3 = 7,0cm3)
d) A densidade do cubo (�c) calcula-se dividindo a massa do cubo
(que também é igual a 56 gramas) pelo seu volume (vo lume
delimitado por sua superfície externa).
Assim: �C = = ⇒
Note que a densidade do cubo é menor que a do material que o
constitui. Observe também que a densidade do cubo somente
seria igual à do material se o cubo fosse maciço, caso em que o
volume do cubo seria igual ao volume do material.
2. Pelas normas vigentes, o litro do álcool hidratado que
abastece os veículos deve ser cons ti tuído de uma
mistura de álcool e água, sendo a quan tidade de água
no máximo de 4%, em volume. As den sidades desses compo -
nentes são dadas na tabela.
Um técnico de um órgão de defesa do consumidor ins pecionou
cinco postos suspeitos de venderem álcool hidratado fora das
normas. Colheu uma amos tra do produto em cada posto e mediu
a densidade de cada uma, obtendo:
Vc = 8,0cm
3
V0 = 1,0cm
3
�mat = 8,0g/cm
3
56g
––––––––
7,0cm3
mmat–––––
Vmat
�C = 7,0g/cm
3
56g
–––––––
8,0cm3
mC–––
VC
Substância Densidade (g/�)
Água 1000
Álcool 800
Posto Densidade (g/�)
I 822
II 820
III 815
IV 808
V 805
107
A força 
→
F pode ser decomposta em uma componen te
tangencial 
→
Ft e uma componente normal 
→
FN. Dessas com -
po nentes, apenas 
→
FN está ligada ao efeito de pressão.
Define-se pressão média sobre a superfície como a
grandeza escalar dada pela razão entre a intensi dade
da componente normal da força atuante e a área da
superfície.
a) Sistema Internacional
A unidade de pressão do SI recebe o nome de pascal
(Pa):
b) Unidade prática: atm
A pressão exercida pela atmosfera no nível do mar é
tomada como unidade de pressão e indicada por atm:
a) Tomando-se como grandezas fundamentais a mas -
sa (M), o comprimento (L) e o tempo (T), temos:
b) Tomando-se como grandezas fundamentais a for -
ça (F), o comprimento (L) e o tempo (T), temos:
|
→
FN|p = –––––
A
uni(F) N
uni(p) = –––––– = ––– = N . m–2
uni(A) m2
N
Pa = ––––
m2
1 atm = 1,01 . 105Pa
[F] MLT–2
[p] = ––– = ––––––– = ML–1T–2
[A] L2
[F] F
[p] = ––– = ––– = FL–2 = FL–2T0
[A] L2
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 107
6. (UNIFOR-CE) – Dois líquidos, A e B, quimi ca mente inertes e imis -
cíveis entre si, de densi dades dA = 2,80 g/cm
3 e dB = 1,60 g/cm
3,
respecti vamente, são colocados em um mesmo recipiente.
Sabendo-se que o volume do líquido A é o dobro do de B, a
densidade da mistura, em g/cm3, vale
a) 2,40 b) 2,30 c) 2,20 d) 2,10 e) 2,00
7. (UNIFOR-CE) – Misturam-se 120g de um líqui do A de densidade
dA = 0,75g/cm
3 com 240cm3 de um líquido B de densidade 
dB = 1,25g/cm
3. Admi tindo-se que os líquidos não reagem entre
si e que o volume total se conserva, a densidade da mistura, em
g/cm3, vale:
a) 0,85 b) 0,90 c) 1,00 d) 1,05 e) 1,10
108
A partir desses dados, o técnico pôde concluir que estavam com
o combustível adequado somente os postos
a) I e II. b) I e III. c) II e IV.
d) III e V. e) IV e V.
Resolução
dmistura = =
sendo: Va = 0,04 V
Va� = 0,96 V
vem:
dmistura = (g/�)
dmistura = 768 + 40(g/�) = 808 g/�
A densidade do álcool hidratado deve ser no máximo igual a 
808 g/�, isto é, são adequadas as amostras IV e V.
Resposta: E
3. Considere dois líquidos homogêneos, A e B, que são miscíveis
entre si.
É feita uma mistura de uma massa mA de A com uma massa mB
de B.
As densidades de A e B são, respectivamente, dA e dB.
a) Supondo que não haja contração de volume, calcule a den sida -
de da mistura.
b) Estude o caso em que mA = mB.
Resolução
a) A densidade d da mistura é dada por:
d = 
Porém : VA = e VB = 
Portanto: 
b) Se mA = mB = m, então:
A densidade da mistura, com mA = mB, é a média har -
mônica entre as densidades de A e B.
4. Verifica-se que, quando uma pessoa está deitada sobre a areia
mo vediça, a superfície em que ela se apoia cede menos facil -
mente que se a mesma pessoa estiver em pé. Suponha o chão
plano e horizontal.
a) Compare as forças que a pessoa exerce na superfície de
apoio, em cada caso. Suponha a pessoa em equilíbrio mecâ ni -
co.
b) Explique o fato observado.
Resolução
a) As forças são iguais nos dois casos e têm a mesma inten -
sidade do peso da pessoa. Isto decorre do equilíbrio mecâ nico
da pessoa.
Conclui-se, então, que o fato de a superfície ceder mais facil -
mente ou menos facilmente não depende apenas da força
apli ca da.
b) Quando deitada, a su perfície de contato é maior que quando
em pé. Como nos dois casos as forças normais são iguais,
concluímos que, no primeiro caso (pessoadeitada), a pressão
exercida na superfície é menor que no segundo, ou seja, no
primeiro caso o chão suporta me nos força por unidade de
área, em média.
Observe-se, então, que o que interessa na análise feita não é
simplesmente a força normal atuante na superfície, mas sim a
intensidade dessa força por unidade de área, isto é, a pres são.
5. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um avião que voa a grande altura é
pressurizado para conforto dos passageiros. Para evitar sua explo -
são, é estabelecido o limite máximo de 0,5 atmosfera para a
diferença entre a pressão interna no avião e a externa.
O gráfico representa a pressão atmosférica p em função da altura
H acima do nível do mar. Se o avião voa a uma altura de 7000
metros e é pressurizado até o limite,os passageiros ficam sujeitos
a uma pressão igual à que reina na atmosfera a uma altura de
aproximadamente
a) 0 m b) 1000 m c) 2000 m
d) 5500 m e) 7000 m
Resolução
Do gráfico dado, obtemos para a altura H = 7000m uma pressão
atmosférica p = 0,40atm.
Considerando-se que pavião – p = 0,50atm e fazendo-se p = 0,40atm,
vem:
pavião – 0,40 atm = 0,50 atm ⇒
Consultando novamente o gráfico, obtemos, para p = 0,90 atm,
uma altura H = 1000m.
Resposta: B
mA + mB
d = –––––––––––––––
mA mB
–––– + ––––
dA dB
2m 2
d = ––––––––––– = ––––––––––––
m m 1 1
––– + ––– ––– + –––
dA dB dA dB
2 dAdB
d = –––––––––
dB + dA
mA + mB–––––––––
VA + VB
mB––––
dB
mA––––
dA
Ma� + Ma––––––––––
Va� + Va
�a� Va� + �aVa––––––––––––––
Va� + Va
800 . 0,96V + 1000 . 0,04V
––––––––––––––––––––––––
V
pavião = 0,90 atm
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8. (UFC) – Um recipiente de vidro, quando vazio, pesa 1,2 . 10–1 N;
quando cheio de gasolina, pesa 3,2 . 10–1 N; e cheio de água, pesa
4,2 . 10–1 N. Calcule a massa específica da gasolina, em kg/m3, e
assinale a alternativa correta.
a) 0,67 . 103 b) 0,69 . 103 c) 0,75 . 103
d) 0,76 . 103 e) 0,81 . 103
Dado: densidade da água = 1,0 . 103kg/m3
9. (OLIMPÍADA COLOMBIANA DE FÍSICA-MODELO ENEM) – A
tabela a seguir indica a massa e o respectivo volume de três
líquidos homo gêneos e imiscíveis.
Quando volumes iguais desses líquidos são vertidos em um
recipiente cilíndrico, a situação de equilíbrio estável é a mostrada
na figura:
10. (UERJ) – A razão entre a massa e o volume de uma substância,
ou seja, a sua massa específica, depende da temperatura. A
seguir, são apresentados os gráficos da massa em função do
volume para o álcool e para o ferro, ambos à tempe ratura de 0°C.
Considere �F a massa específica do ferro e �A a mas sa específica
do álcool.
De acordo com o gráfico, a razão é igual a:
a) 4 b) 8 c) 10 d) 20
11. (UERJ) – Nas ilustrações abaixo, estão representados três sólidos
de bases circulares, todos com raios iguais e mesma altura.
Considere as medidas dos raios iguais às medidas das alturas, em
centímetros.
As massas específicas de quatro substâncias, três das quais
foram empregadas na construção desses sólidos, estão indicadas
na tabela:
Admita que os sólidos tenham a mesma massa e que cada um
tenha sido construído com apenas uma dessas substâncias.
De acordo com esses dados, o cone circular reto foi construído
com a seguinte substância:
a) w b) x c) y d) z
12. (UFMG) – As figuras mostram um mesmo ti jolo, de dimensões
5cm x 10cm x 20cm, apoiado so bre uma mesa de três maneiras
diferentes. Em cada situa ção, a face do tijolo em contato com a
mesa é dife ren te.
As pressões exercidas pelo tijolo sobre a mesa nas situaçoes I, II
e III são, respectivamente, p1, p2 e p3.
Com base nessas informações, é correto afirmar que
a) p1 > p2 > p3 b) p1 = p2 = p3
c) p1 < p2 < p3 d) p1 < p2 > p3
13. (OLIMPÍADA PAULISTA DE FÍSICA) – Uma cadeira de quatro pés
tem massa de 4,0kg e a área de contato de cada pé com o chão é
de 5,0 . 10–4m2. Considere g = 10m/s2 e 1atm = 1,0 . 105Pa. Uma
pes soa de massa 60,0kg está sentada na cadeira.
A pressão que cada pé exerce sobre o piso horizontal vale
a) 3,0 . 103Pa b) 3,5 . 104Pa c) 3,0atm
d) 3,2atm e) 4,0atm
14. (UNESP) – Em uma competição esportiva, um halterofilista de
80kg, levantando uma barra metálica de 120kg, apoia-se sobre os
seus pés, cuja área de con tato com o piso é de 25cm2. Con si -
derando-se g = 10 m/s2 e lembrando-se de que a pressão é o efei -
to produzido por uma força sobre uma área e consi derando-se que
essa força atua uniformemente sobre toda a extensão da área de
contato, a pressão exer cida pelo halterofilista sobre o pi so, em
, é de
a) 2,0 . 105 b) 8,0 . 105 c) 1,2 . 106
d) 2,0 . 106 e) 2,5 . 106
15. (FUVEST) – A janela retangular de um avião, cuja cabina é pres -
su rizada, mede 0,50m por 0,25m. Quando o avião está voando a
uma certa altitude, a pressão em seu interior é de, aproxi -
madamente, 1,0atm, enquanto a pressão am biente fora do avião
é de 0,6atm. Nessas con dições, a janela está sujeita a uma força,
dirigida de dentro para fora de inten sidade igual à intensidade do
pe so, na superfície da Terra, de um cor po de massa
a) 50kg b) 320kg c) 480kg d) 500kg e) 750kg
16. (UFSC) – Uma pessoa comprime um lápis entre os seus dedos,
da maneira indicada na figura adiante. Adotando-se como A a área
da superfície de contato entre a ponta do lápis e o dedo polegar e
como B a área de contato entre o lápis e o dedo indicador, e
admitindo-se que A seja menor que B, assinale a(s) propo -
sição(ões) correta(s). Não considere o peso do lápis.
Líquido Massa Volume
1 5,0kg 0,005m3
2 0,30kg 0,60�
3 6,0kg 4,0 . 103cm3
�F–––
�A
substâncias massa específica (g.cm–3)
w 2,0
x 3,0
y 4,0
z 6,0
N
–––
m2
1 atm = 1,0 . 105 Pa = 1,0 . 105 N/m2
109
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 109
MÁXIMO, Antonio; ALVARENGA, Beatriz. 
Curso de Física, vol. 1, São Paulo: Scipione, 2002. p. 226.
01. A intensidade da força do polegar sobre A é maior que a do
indi cador sobre B.
02. A pressão exercida pela força do polegar sobre A é maior que
a do indicador sobre B.
04. A pressão exercida pela força do polegar sobre A é igual à do
indi cador sobre B.
08. Pressão é sinônimo de força.
16. A pressão exercida por uma força sobre uma superfície só
de pen de da intensidade da força.
32. A intensidade da força do polegar sobre A é igual à do
indicador sobre B.
17. (UFPB) – Deseja-se utilizar uma ventosa, objeto similar a um
desentupidor de uso doméstico, para pendurar um jarro com
plantas ornamentais em uma sala, situada em uma casa no nível
do mar, cujo teto é bastante liso e resistente. Para realizar essa
tarefa, considere as seguintes informações:
• patm = 1,0 . 10
5 Pa e g = 10 m/s2
• a massa do jarro com a planta é de, aproximadamente, 10kg;
• a ventosa tem massa desprezível e é esvaziada
completamente (caso ideal)
Nesse contexto, para que a ventosa possa segurar esse jarro, a
área mínima necessária dessa ventosa é de
a) 1,0 cm2 b) 5,0 cm2 c) 10,0 cm2
d) 15,0 cm2 e) 20,0 cm2
18. (UNICAMP-SP) – O avião estabeleceu um novo paradigma nos
meios de transporte. Em 1906, Alberto Santos-Dumont realizou
em Paris um voo his tórico com o 14 Bis. A massa des se avião,
incluindo o pi loto, era de 300kg, e a área total das duas asas era
de aproximadamente 50m2.
A força de sustentação de um avião, dirigida vertical mente de
baixo para cima, resulta da diferença de pres são entre a parte
inferior e a parte superior das asas. O gráfico representa, de forma
simplificada, o módulo da força de sustentação aplicada ao 14 Bis
em função do tempo, durante a parte inicial do voo.
a) Em que instante a aeronave decola, ou seja, perde contato
com o chão? Adote g = 10m/s2.
b) Qual é a diferença de pressão entre a parte inferior e a parte
superior das asas, �p = pinf – psup, no instante t = 20s?
19. (UFMG) – A figura I mostra uma caixa de aço, cúbica e oca, formada
por duas metades. A aresta do cubo mede 0,30m. Essas duas me -
ta des são unidas e o ar do interior da caixa é retirado até que a pres -
são interna seja de 0,10atm. Isso feito, duas pessoas puxam cada
uma das metades da caixa, tentandosepará-las, como mostra a fi -
gura II. A pressão atmosférica é de 1,0atm (1 atm = 1,0 x 105 N/m2).
Considerando-se as informações dadas, responda:
Nessa situação, as pessoas conseguirão separar as duas metades
dessa caixa?
Justifique sua resposta, apresentando os cálculos necessários.
20. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Qual das seguintes
alternativas melhor representa a ordem de grandeza da massa
total da atmosfera ter restre?
a) 1016 kg b) 1019 kg c) 1020 kg 
d) 1022 kg e) 1024 kg 
Dados: 1) raio médio da Terra = 6,5 . 106m
2) π � 3
3) 1 atm = 1,0 . 105 Pa
4) módulo da aceleração da gravidade = g = 10m/s2
21. (UFCG-PB-MODELO ENEM) – Um vendedor de leite in natura, na
época do verão (estiagem), com dificuldade para alimentar os
animais, planejou acrescentar água ao leite, de tal forma que a
cada litro de leite fossem acres centados 300 m� de água. Para
atender às exigências da cooperativa dos produtores, o vendedor
precisou calcu lar a densidade da mistura. Nesse caso, se a den si -
dade do leite puro for 1,10 g/m� e a densidade da água 1,00 g/m�,
o valor calculado é mais próximo de:
a) 1,01 g/m� b) 1,03 g/m� c) 1,05 g/m�
d) 1,08 g/m� e) 1,09 g/m�
22. (UEPB-MODELO ENEM) – O Princípio de Arquimedes tem ma ni -
fes tações e aplicações extremamente importantes: é este prin cí -
pio que explica porque animais e pessoas nadam, enquanto
objetos tal como navios navegam através de oceanos etc. O com -
portamento dos sólidos na água é um dos conhecimentos mais
antigos do homem. Historicamente, Arquimedes (287-212 a.C.)
formulou o princípio que levou seu nome, ou lei do empuxo, que
permite entender-se como os corpos podem ou não flutuar,
quando recebeu a tarefa de determinar se uma coroa feita para o
rei Hierão II, de Siracusa, era de ouro puro ou se continha um
metal menos nobre. Arquimedes chegou à solução do problema
durante um banho e após esse, saiu nu pelas ruas de Siracusa
gritando “Eureka! Eureka!” (palavra grega que significa “achei”).
Ele havia descoberto um meio de verificar se o rei fora ou não
enganado. 
(Adaptado de Máximo, Antonio & Alvarenga, Beatriz. Física. São Paulo:
Scipione, 1997).
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Como base nas informações do texto, observe, na figura, uma
representação do raciocínio de Arquimedes para resolver o
problema da coroa do rei de Siracusa. Na figura A, ele colocou na
água uma massa de ouro igual à da coroa. Suponha que tenham
sido recolhidos 40 cm3 de água. Na figura B, retomando o
recipiente cheio de água, mergulhou nele uma massa de prata
pura, também igual à massa da coroa, recolhendo a água que
transbordou. Como a densidade da prata é menor que a do ouro,
o volume de água recolhido nesta segunda operação era maior
que na primeira. Podemos afirmar que a massa da coroa em
gramas e o volume da água recolhido na figura B, em cm3, são,
respectivamente, iguais a
a) 600g e 40 cm3 b) 700g e 60 cm3 c) 600g e 50 cm3
d) 800g e 50 cm3 e) 800g e 80 cm3
Dados: densidade do ouro = 20g/cm3 e 
densidade da prata = 10g/cm3
23. (UFCG-MODELO ENEM) – No ouvido médio existem três ossícu -
los (martelo, bigorna e estribo). Eles transmitem a energia sonora
da membrana timpânica ao fluido do ouvido interno através da
janela oval. As ondas sonoras não são transmitidas facilmente do
ar para o fluido, sendo a maior parte da energia sonora refletida
nas interfaces entre as várias partes do ouvido. Há, portanto,
necessidade de ampliação da pressão na denominada janela oval,
a fim de se produzir audição adequada. A força aplicada sobre a
janela oval é a força sobre o tímpano ampliada por um fator 1,3
pelos ossículos, sendo a área do tímpano 17 vezes maior que a
área da janela oval. Pode-se afirmar que, aproxima damente, a
pressão na janela oval é maior que a pressão no tímpano
a) 22 vezes. b) 18,3 vezes. c) 17 vezes.
d) 13 vezes. e) 1,3 vez.
24. (UFES-MODELO ENEM) – A velocidade do ar acima das asas de
um avião é maior do que a velocidade do ar abaixo delas. Por isso,
a pressão sobre a superfície inferior das asas é maior do que a
pressão sobre a superfície superior. 
Considerando-se que a diferença de pressão seja �P e que a área
efetiva das asas seja A, calcule o módulo do empuxo dinâmico
(força ascensional). A resposta correta é
a) A�P b) �P/A c) A/�P d) A/(�P)2 e) �P(A2)
25. (UNICAMP-SP-MODELO ENEM) – Num acendedor moderno, um
cristal de quartzo é pres sionado por uma ponta acionada por molas.
Entre as duas faces do cristal, surge então uma tensão elé trica, cuja
dependência em função da pressão é dada pelo gráfico a seguir. 
Se a tensão necessária para a ignição é de 2,0 . 104V e a ponta atua
numa área de 2,5 . 10–7m2, qual a intensidade da força exercida pela
ponta sobre o cristal?
a) 10N b) 20N c) 30N d) 40N e) 50N
26. (UEM-PR-MODELO ENEM) – Para se perfurar uma certa pilha de
papéis, pode-se utilizar a prensa A ou a prensa B, com as
seguintes especificações:
• a prensa A pesa 100 kgf e apresenta 50 agulhas perfuradoras;
• a prensa B pesa 50 kgf e apresenta 25 agulhas perfuradoras.
Sabendo-se que o peso de cada prensa está distribuído unifor -
memente sobre as agulhas e que todas elas são idênticas, é
correto afirmar que
a) a prensa A produzirá sulcos mais profundos na pilha de papéis.
b) a prensa B produzirá sulcos mais profundos na pilha de papéis.
c) a profundidade da perfuração das prensas depende apenas do
número de agulhas.
d) as duas prensas produzirão sulcos com a mesma profundi da -
de na pilha de papéis.
e) a profundidade da perfuração das prensas depende apenas
das suas massas.
27. (UFPR-MODELO ENEM) – Num certo ano, um furacão pas sou
pela Região Sul do Brasil, atingindo principalmente as cidades do
litoral de Santa Catarina. Na madrugada de 27 de março desse
ano, ven tos de 150 km/h destelharam mais de 40 mil casas e
outras 3 mil ficaram destruídas. Devido a esses fortes ventos, em
um ginásio de esportes, uma telha metálica medindo 0,50m por
2,40m ficou sujeita a uma diferença de pressão de aproxi -
madamente 1000 Pa. De acordo com esses dados, a intensidade
da força que atuou sobre a telha, devida a essa diferença de
pressão, foi de:
a) 500 N b) 1000 N c) 1200 N
d) 1900 N e) 2400 N 
28. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um motorista para em um posto e
pede ao frentista para regular a pressão dos pneus de seu carro
em 25 “libras” (abreviação da unidade “libra-força por po legada
quadrada” ou “psi”). Essa unidade corresponde à pressão exer ci -
da por uma força igual ao peso da massa de 1 libra, distribuí da so -
bre uma área de 1 polegada qua dra da. Uma libra corresponde a
0,5kg e 1 polegada a 25 . 10–3m, aproximadamente. Como 1 atm
corres pon de a cerca de 1 . 105 Pa no SI (e 1 Pa = 1 N/m2), aquelas
25 “libras” pedidas pelo motorista equiva lem aproximadamente a:
a) 2 atm b) 1 atm c) 0,5 atm 
d) 0,2 atm e) 0,01 atm
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5. Pressão exercida por uma
coluna líquida em equilíbrio
Considere um recipiente cilíndrico de área de base A,
contendo um líquido homogêneo, de densidade (�) e em
equilíbrio.
Calculemos a pressão exercida por esta coluna líqui -
da, de altura h, na base do recipiente.
A força exercida pelo lí qui do sobre a base do reci -
pien te tem intensidade igual ao peso do líquido:
pH = = (1)
Sendo � = e V = A . h, vem:
m = �V = �Ah (2)
Substituindo (2) em (1), vem:
pH = 
A pressão exercida por uma coluna líquida é cha ma -
da pressão hidrostática ou pressão efetiva e não de pen -
de da espessura da coluna líquida e sim de sua altura.
Surge então a ideia de se medir a pressão por meio de
altura de coluna líquida.
Calculemos que altura de coluna de mercúrio exerce
pressão de uma atmosfera:
pH = �M g hM
pH = 1,0 . 10
5 Pa; g = 9,8m/s2
�M = 13,5 . 10
3
1,0 . 105 = 13,5 . 103 . 9,8 . hM
Calculemos que altura de água exerce pressão de
uma atmosfera:
pH = �a g ha
pH = 1,0 . 10
5 Pa; g = 10m/s2
�a = 1,0 . 10
3kg/m3
1,0 . 105 = 1,0 . 103 . 10. ha
6. Lei de Stevin
A Lei de Stevin permite calcular a diferença de pres -
são entredois pontos de um fluido homogêneo, em
equilíbrio e sob a ação da gravidade.
Considere um flui do homogêneo contido em um
recipiente qualquer e em equilíbrio.
Desejamos obter a diferença de pres são entre dois
pontos quaisquer, A e B, com desnível h.
Consideremos um ponto C na mesma horizontal de A
e na mesma vertical de B.
A diferença de pressão entre os pontos B e C é dada
pela pressão da coluna fluida de altura h:
pB – pC = �gh (1)
Por outro lado, como os pontos A e C estão na mes -
ma profundidade (mesma altura h’ de coluna fluida aci -
ma dos pontos), eles suportam a mesma pressão:
pA = pC (2)
Substituindo (2) em (1), vem:
A relação obtida traduz a Lei de Stevin:
→
| P |
–––
A
mg
–––
A
m
––
V
� A h g
–––––––
A
pH = �gh
kg
–––
m3
hM � 0,76m
Uma coluna de mercúrio de altura 76cm exerce
uma pressão de 1,0 atm.
ha = 10m
Uma coluna de água de altura 10m exerce uma
pressão de 1,0 atm.
pB – pA = �gh
112
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Nota
A Lei de Stevin é válida para líquidos e gases, po -
rém, como a densidade de um gás é relativamente peque -
na, a di ferença de pressão só se torna relevante para
alturas muito grandes.
Assim, para um gás contido em um recipiente, de
dimensões normais, consideramos a pressão como a mes -
ma em todos os pontos da massa gasosa.
7. Aplicações da Lei de Stevin
Consideremos um líquido homogêneo, em equilíbrio
e sob ação da gravidade, contido em um recipiente ex -
posto à atmosfera.
 Para obtermos a pressão total em um ponto A do
líquido, basta aplicar a Lei de Stevin entre o ponto A e
um pon to O da superfície do líquido.
pA – pO = �gh
Como o ponto O está em contato com a atmosfera, a
pressão pO é igual à pressão atmosférica.
Assim:
pA – patm = �gh
pA = pressão total ou absoluta no ponto A.
patm = pressão atmosférica local.
�gh = pressão hidrostática ou efetiva.
A pressão, no interior de um líquido, aumenta
linearmente com a profundidade.
Mostremos os gráficos das pressões hidrostática e
total em função da profundidade h.
As retas re pre sentativas são pa ralelas e o ângulo � é
tal que:
Quanto mais den so for o líquido (maior �), maior se -
rá o ângulo �.
Para um líquido homogêneo, em equilíbrio e sob
ação da gravidade, de acordo com a Lei de Stevin, te mos:
Se impusermos a igualdade de pressões entre os pon -
tos genéricos B e A, teremos:
Isto significa que todos os pontos que suportam a
mes ma pressão estão no mesmo nível, isto é, pertencem
ao mesmo plano horizontal.
Em particular, como a superfície livre do líquido é
iso bárica (pressão igual à pressão atmosférica), concluí-
mos que:
Nota
A diferença de pressão entre dois pontos quais quer
de um fluido homogêneo, em equilíbrio e sob a
ação da gravidade, é dada pelo produto do peso
específico do fluido (�g) pelo desnível (diferença de
profundidade) entre os pontos considerados.
pA = patm + �gh
tg � N= (�g)
pB – pA = �gh
pB = pA ⇒ pB – pA = 0 ⇒ h = 0
Em um líquido homogêneo, em equilíbrio e sob a
ação da gravidade, as regiões isobáricas (pontos de
mesma pressão) são planos horizontais.
A superfície livre de um líquido em equilíbrio e sob
a ação da gravidade é horizontal.
113
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29. Dois pontos, A e B, si tua dos no interior de um líqui do ho mo gêneo
e incom pres sível, de densi dade ab so luta igual a 1,0 . 103kg/m3,
apre sen tam uma di ferença de nível de 10m. 
a) Qual a diferença de pressão entre esses pontos, adotando-se
a aceleração da gravidade igual a 10m/s2?
b) Qual a relação entre as pressões nos pontos B e C?
Resolução
a) Pelo Teorema de Stevin, temos:
pB – pA = �gh = (1,0.10
3) (10) (10) (N/m2)
b) Entre os pontos B e C, o desnível h é nulo e, portanto:
30. Sejam os vasos da figura, contendo, respectivamente, 55kg, 50kg
e 45kg de água. As bases dos vasos são planas e têm áreas
iguais a 0,100m2. Sendo g = 10,0m/s2 e a massa específica da
água (�) igual a 1,00 . 103kg/m3, pedem-se:
a) as pressões hidrostáticas nos fundos dos vasos;
b) as pressões absolutas nos fundos, sabendo-se que a pressão
atmosférica é igual a 1,00 . 105 N/m2;
c) os módulos das forças exercidas nos fundos pelos líquidos.
Resolução
a) A pressão hidrostática é dada por:
pH = 1,00 . 10
3 . 10,0 . 0,500 (Pa)
b) A pressão total ou absoluta é dada por:
p = 1,00 . 105 + 0,05 . 105 (Pa)
Note que, nos três líquidos, os valores de pH e p são os mes -
mos.
c) A força que o líquido exerce no fundo tem intensidade F dada
por:
em que A = 0,100m2 é a área da base dos recipientes.
F = 1,05 . 105 . 0,100 (N)
31. O vaso da figura contém dois líquidos imiscíveis, (1) e (2), de den -
sidades absolutas �1 e �2, respectivamente iguais a 0,80g/cm
3 e
1,0g/cm3 (dado g = 10m/s2).
a) Determinar as pressões hidrostáticas do líquido nos pontos A,
B e C.
pB – pA = 1,0 . 10
5N/m2
pB = pC
pH = �gh
pH = 5,00 . 10
3Pa
p = patm + pH = patm + �gh
p = 1,05 . 105 Pa
F = pA
F = 1,05 . 104 N
114
Se o recipiente que contém o lí qui do tiver ace leração
constante (não nu la) em re lação à superfície terrestre, a
super fície livre fi cará inclinada de um ângulo � que de -
penderá da aceleração e as regiões isobáricas serão
planos paralelos à superfície livre.
Consideremos recipientes com formatos diferentes
contendo o mesmo líquido homogêneo e em equilíbrio,
sob a ação da gravidade.
Admitamos que a altura líquida h seja a mesma em
todos os recipientes.
A pressão que o líquido exerce no fundo do recipien -
te é dada por:
e será a mesma em todos os casos esquematizados (mes -
mo líquido e mesma altura), não importando a forma do
recipiente nem a quantidade de líquido.
 
A força que o líquido exerce no fundo do recipiente
tem intensidade dada pelo produto da pressão pela área
(A) da base do recipiente: F = pA; se todos os recipientes
tiverem a mesma área de base, as forças também terão a
mesma intensidade.
O fato de a pressão e a força não dependerem da
for ma do recipiente nem da quantidade de líquido é
chamado de paradoxo hidrostático.p = pO + �gh
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 114
b) Traçar o gráfico da pressão hidrostática do líquido em função
da profundidade h.
Resolução
a) 1) Para o ponto A: pA = 0 (não há líquido acima de A)
2) Para o ponto B:
pHB = �1gh1
pHB = 0,80 . 10
3 . 10 . 0,50 (Pa) 
3) Para o ponto C:
pHC = �1gh1 + �2gh2
pHC = 0,80.10
3.10.0,50 + 1,0.103.10.0,50 (Pa)
b)
32. (MODELO ENEM) – Uma represa com água, cuja largura é de
5,0m, está dividida por uma barreira.
De um dos lados, o nível da água em relação ao fundo é de 4,0m,
e do outro lado, 2,0m.
A densidade da água vale 1,0 . 103kg/m3 e a acelera ção da
gravidade tem intensidade 10m/s2.
A força resultante que a água exerce sobre a barreira tem
intensidade igual a
a) 3,0 . 105N b) 1,5 . 105N c) 6,0 . 104N
d) 3,0 . 104N e) 1,5 . 104N
Resolução
A intensidade da força que o líquido exerce sobre cada lado da
barreira é dada por:
pc é a pressão no centro da área banhada pelo líquido.
A é a área banhada pelo líquido.
Assim:
h1F1 = � g ––– . A12
F1 = 1,0 . 10
3 . 10 . 2,0 . 20(N) ⇒
h2F2 = � g ––– . A22
F2 = 1,0 . 10
3 . 10 . 1,0 . 10(N) ⇒
A força resultante 
→
FR tem intensidade dada por:
FR = F1 – F2 ⇒
Resposta: A
33. (UNIP-MODELO ENEM) – Os pulmões humanos podem funcio -
nar normalmente suportando uma diferença de pressão máxima
de atmosfera.
Um mergulhador usa um tubo longo para respirar abaixo do nível
de água, nadando horizontalmente.
Considere os seguintes dados:
1) 1 atm = 1,0 . 105 Pa
2) densidade da água: 1,0 . 103
3) módulo da aceleração da gravidade: 10m/s2.
A profundidade máxima h, recomendável ao mergulhador, é de:
a) 1,0m b) 50cm c) 40cm
d) 30cm e) 20cm
Resolução
A pressão hidrostática exercida pela coluna de água de altura h 
deve corresponder a atmosfera. Como a pressão de 1,0 atm 
equivale à pressão hidrostática de uma coluna de 10m de água,
vem:
h = (10m) ⇒
Resposta: B
34. (UNESP-MODELO ENEM) – Para que se administre medica men -
to via en dovenosa, o frascodeve ser colocado a uma certa altura
acima do ponto de aplicação no paciente. O frasco fica suspenso
em um suporte vertical com pontos de fixação de altura variável e
se conecta ao paciente por um cateter, por onde desce o
medicamento. A pressão na superfície livre é a pressão atmos -
férica; no ponto de aplicação no paciente, a pressão deve ter um
valor maior do que a atmosférica. Considere que dois medica -
mentos dife rentes precisam ser adminis trados. O frasco do
primeiro foi colocado em uma posição tal que a superfície livre do
líquido se encontra a uma altura h do ponto de apli cação. Para
aplicação do segundo medicamento, de massa específica 1,2 vez
maior que a do anterior, a altura de fixação do frasco deve ser
outra. Tomando-se h como referência, para a aplicação do
segundo medicamento, deve-se 
a) diminuir a altura de h/5. b) diminuir a altura de h/6. 
c) aumentar a altura de h/5. d) aumentar a altura de 2h/5. 
e) aumentar a altura de h/6. 
pHB
= 4,0 . 103 Pa
pHC
= 9,0. 103 Pa
F = p
c
.A
F1 = 4,0 . 10
5N
F2 = 1,0 . 10
5N
FR = 3,0 . 10
5N
1
–––
20
kg
–––
m3
1
–––
20
1
–––
20
h = 0,50m = 50cm
115
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 115
35. (UFBA-ADAPTADO) – Uma bomba de sucção usada para fazer a
água de um lago chegar a uma usina de tratamento de água con -
segue elevar água até uma altura máxima H em relação ao ní vel do
lago, que está submetido a uma pressão de 1,0 atm = 1,0 . 105Pa.
A pressão do vapor-d’água existente na tubulação é de 0,3m H2O
e a densidade da água vale 1,0g/cm3. O valor de H é:
a) 10,0m b) 9,8m c) 9,7m d) 8,7m e) 7,7m
Adote: g = 10,0m/s2
36. (UFPE) – O casco de um submarino suporta uma pressão externa
de até 12,0 atm sem se romper. Se, por acidente, o submarino
afundar no mar, abaixo de qual profundidade, em metros, o casco
rom per-se-á?
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140
Dados: (1) 1 atm = 1,0 . 105 Pa
(2) densidade da água: 1,0 . 103kg/m3
(3) g = 10m/s2
37. (UPE) – Os membros da tripulação de um submarino tentam
escapar de um acidente ocorrido a uma profundidade de 100m
abaixo da superfície da água. Considere que a densidade da água
do mar é de 1020kg/m3 e a pressão atmosférica tem valor igual a
1,0 . 105 Pa. Sa bendo-se que, no submarino, existe uma porta de
saída de emergência com área de 0,5m2, a intensidade da força
que deve ser aplicada a essa porta para abri-la nessa profundidade
vale, em newtons,
a) 4,5 . 102 b) 6,8 . 103 c) 7.4 . 104
d) 3.8 . 105 e) 5,1 . 105
38. A pressão atmosférica em Santos vale 1,0 . 105Pa e, em São
Paulo, vale 9,2 . 104Pa. Considere a den si da de mé dia do ar igual
a 1,0kg/m3 e considere a ace le ra ção da gravidade constante e
com módulo g = 10m/s2.
Com os dados apresentados, a altitude da cidade de São Paulo é
um valor mais próximo de
a) 4,0 . 102m b) 6,0 . 102m c) 8,0 . 102m
d) 9,0 . 102m e) 1,0 . 103m
39. (UNIOESTE) – Em um reservatório fechado se encontram dois
líqui dos imiscíveis de densidades constantes. O gráfico da pres -
são hidrostática P em função da profundidade h é representado
na figura a seguir. Assinale a alternativa que fornece a densidade
correta de cada líquido. Adote g = 10,0m/s2.
Líquido I Líquido II
a) 2,00 . 105 kg/m3 e 5,00 . 105 kg/m3.
b) 1,50 . 102 kg/m3 e 1,00 . 102 kg/m3.
c) 0,50 . 103 kg/m3 e 1,50 . 103 kg/m3.
d) 1,20 . 104 kg/m3 e 0,80 . 104 kg/m3.
e) 0,70 . 103 kg/m3 e 1,10 . 103 kg/m3.
40. (VUNESP-FMTM-MG) – O re cipiente
repre sen tado na figura contém dois líquidos
imis cíveis, X e Y. Dos gráficos re presen ta -
dos, indique aquele que tra duz a variação da
pressão hidrostática p, num pon to do 
interior dos líquidos, em função da distância, h, ao fundo do vaso.
116
Resolução
Para o medicamento (1): p1 = �1 gh1 + patm
Para o medicamento (2): p2 = �2 gh2 + patm
Na extremidade inferior dos tubos (nos cateteres), as pres sões
são iguais. Logo:
p2 = p1 ⇒ 1,2 �1 gh2 + patm = �1 gh + patm
Da qual: 1,2 h2 = h ⇒ h2 = h
Assim, para a aplicação do segundo medicamento, deve-se
reduzir a altura em �h, tal que:
�h = h – h
Da qual: 
Resposta: B
p1 = �1 gh + patm
p2 = 1,2 �1 g h2 + patm
6
–––
5
5
h2 = ––– h6
5
–––
6
h
�h = ––– 
6
P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:31 Página 116
41. (UFMG) – A figura mostra três vasos, V1, V2 e V3, cujas bases têm
a mesma área A.
Os vasos estão cheios de líquidos homogêneos L1, L2 e L3, cujas
densidades são, respectivamente, d1, d2 e d3, até uma mesma
altura H.
Sejam F1, F2 e F3 as intensidades das forças que os líquidos
exercem no fundo dos respectivos vasos (região de área A).
Podemos afirmar que
a) F1 = F2 = F3, somente se d1 = d2 = d3.
b) F1 = F2 = F3, quaisquer que sejam os líquidos L1, L2 e L3.
c) F1 > F2 > F3, somente se d1 = d2 = d3.
d) F1 > F2 > F3, quaisquer que sejam os líquidos L1, L2 e L3.
42. (VUNESP) – Ao subir do fundo de um lago para a superfície, o
volume de uma bolha de gás triplica. Sabe-se, ainda, que a
pressão exercida pelo peso de uma coluna de água de 10,0
metros é igual à pressão atmosférica na região em que o lago se
localiza.
a) Qual seria a profundidade desse lago, supondo-se que a
temperatura no fundo fosse igual à temperatura na superfície?
b) Qual seria a profundidade desse lago, supondo-se que a
temperatura absoluta no fundo fosse 4% menor que a
temperatura na superfície?
43. Uma represa re tan gular com lar gura L = 30m su por ta uma mas sa
de água com al tura H = 20m.
Sendo � = 1,0 . 103kg/m3 a densidade da água e g = 10m/s2 o
módulo da aceleração da gravidade, determine
a) a pressão hidrostática em um ponto da água em função da sua
profundidade h;
b) a pressão hidrostática média que a água exerce na represa;
c) a intensidade da força que a água exerce na re presa.
44. (FUVEST) – Para se estimar o valor da pressão atmosférica, patm,
pode ser utilizado um tubo comprido, transparente, fechado em
uma extremidade e com um pequeno gargalo na outra. O tubo,
aberto e parcialmente cheio de água, deve ser invertido, segu -
rando-se um cartão que feche a abertura do gargalo (Situação I).
Em seguida, deve-se mover lentamente o cartão de forma que a
água possa escoar, sem que entre ar, coletando-se em um
recipiente a água que sai (Situação II). A água para de escoar
quando a pressão no ponto A, na abertura, for igual à pressão
atmosférica externa, devendo-se, então, medir a altura h da água
no tubo (Situação III). Em uma experiência desse tipo, foram
obtidos os valores, indicados na tabela, para V0, volume inicial do
ar no tubo, �V, volume da água coletada no recipiente e h, altura
final da água no tubo. 
Em relação a essa experiência, e consi derando-se a Situação III,
a) determine a razão R = p/patm, entre a pressão final p do ar no
tubo e a pressão atmosférica;
b) escreva a expressão matemática que relaciona, no ponto A, a
patm com a pressão p do ar e a altura h da água dentro do tubo;
c) estime, utilizando as expressões obtidas nos itens anteriores,
o valor numérico da pressão atmosférica patm, em N/m
2.
45. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA-MODELO ENEM) – Um
desafio prático e muito comum nas residências é a obtenção de
uma pressão maior da água nos pontos onde serão instaladas as
torneiras, chuveiros etc. Para aumentar a pressão hidrostática
(quan do a água ainda não está saindo da torneira), muitas suges -
tões são dadas. Algumas delas estão listadas a seguir. Examine-as:
I) Substitua a caixa-d’água por uma maior, não importando a
forma ou as dimensões da caixa, desde que possa conter um
volume maior de água que antes. O peso adicional da água
dará uma pressão maior em toda a tubulação hidráulica.
II) Aumente o comprimento da tubulação colocando a caixa-d’á -
gua o mais longe possível da saída de água em que se deseja
aumentar a pressão. Desta maneira os canos reterão uma
maior massa de água e então, ao abrir uma torneira, a sua
energia de movimento fará a pressão aumentar.
III) Pode-se usar até uma caixa-d’água menor, mas erga-a colo -
cando-a o mais alto possível em relação ao ponto em que se
deseja aumentar a pressão. Desta forma, a pressão hidros -