Matemática em Foco - Cálculo Algébrico e Expressões Algébricas

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Matemática em Foco - Profº Mick Xavier
A Matemática está em TUDO, inclusive em VOCÊ!2
CÁLCULO ALGÉBRICO, 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
E FATORAÇÃO
ALGÉBRICA
Cálculo Algébrico, Produtos Notáveis e Fatoração Algébrica
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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam apenas letras ou nú-
mero e letras. Vejamos a seguinte situação:
Quilometragem 
(Km)
Valor correspondente à 
quilometragem Taxa fixa Valor total a receber
1 R$ 4,00 R$ 5,00 R$ 9,00
2 R$ 8,00 R$ 5,00 R$ 13,00
3 R$ 12,00 R$ 5,00 R$ 17,00
4 R$ 16,00 R$ 5,00 R$ 21,00
5 R$ 20,00 R$ 5,00 R$ 25,00
Mesmo após criar a tabela Paulo não ficou satisfeito pois queria algo que lhe desse a opor-
tunidade de calcular o valor a receber em qualquer situação. Então ele resolveu generalizar a 
quilometragem supondo que um cliente poderia rodar “x” quilômetros. Sendo assim a expressão 
que representaria o valor a ser recebido por Paulo é dado em função de “x” da seguinte maneira:
Valor a ser recebido = (taxa fixa) + R$ 4,00 x (número de quilômetros rodados) 
Então,
Valor a ser recebido = 5,00 + 4x
Utilizamos as letras, em geral, com o intuito de traduzir uma situação para linguagem mate-
mática, e assim obtemos uma expressão algébrica. Vejamos outros exemplos.
1. O dobro de um número mais o triplo de outro número: 2x + 3y
2. A diferença entre os quadrados de dois números: a2 – b2
3. O produto do cubo de um número pelo quadrado de outro número: c3 . d2
Paulo é taxista e recebe por corri-
da. O valor a ser recebido depende da 
quantidade de quilômetros rodados, 
já que o cliente paga um valor fixo (taxa 
de corrida) mais um valor de R$ 4,00 por 
quilômetro rodado. Sendo assim, Paulo 
elaborou uma tabela:
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CLASSIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
1. Toda expressão algébrica que apresenta letras no radicando é denominada expressão 
algébrica irracional, por exemplo:
1)
2)
)
2 −
−
+
xc
bxb
aya
2. Toda expressão algébrica que NÃO apresenta letras no radicando é denominada 
expressão algébricas racional, por exemplo:
yxf
yx
yxe
yxd
bac
xxb
xxa
−
−
+
+
−
++
+−
2)
2)
1010)
)
8118)
12)
22
2
2
Expressões algébricas racionais podem ser INTEIRAS ou FRACIONÁRIAS.
As expressões algébricas racionais INTEIRAS são aquelas que não apresentam frações 
com letras no denominador, por exemplo:
5
3)
2
2)
3
2)
bac
yxb
xa
−
+
As expressões algébricas racionais FRACIONÁRIAS são aquelas que apresentam frações 
com letras no denominador, por exemplo:
yx
yxc
c
yb
b
x
a
−
+
+
)
3
)
3)
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VALOR NUMÉRICO DA EXPRESSÃO ALGÉBRICA
Toda expressão algébrica pode ter um valor numérico, desde que sejam atribuídos valores 
às letras que a formam. Por exemplo, vamos lembrar do taxista Paulo e a expressão algébrica 
que ele elaborou para generalizar o valor a ser recebido por corrida: 5 + 4x sendo x o número de 
quilômetros rodados.
Se Paulo rodar 12km com um cliente qual valor ele deverá receber pela corrida?
Para calcular devemos trocar (substituir) x por 12, e fazer o cálculo (5 + 4 . 12) que resulta 
em 53. Logo Paulo deverá receber R$ 53,00 pela corrida.
OS MONÔMIOS
As expressões algébricas racionais representadas por um único produto, são chamadas de 
monômios (ou termos algébricos) como 2x, 3xy, 4z2 e 5x3y2. 
Observe que os monômios são formados por um coeficiente (parte numérica) e uma 
parte literal (letras). Os monômios também possuem o grau, que corresponde à soma dos ex-
poentes da parte literal.
Monômio Coeficiente Parte literal Grau
2x 2 x 1
3xy 3 xy 2
4z2 4 z2 2
5x3y2 5 x3y2 5
Monômios que possuem a mesma parte literal são ditos monômios semelhantes.
Exemplos de monômios semelhantes:
1. 2x e 3x
2. 5b e 7b
3. 6x3, - 12x3 e 0,73x3
SOMANDO OU SUBTRAINDO MONÔMIOS
É possível somar ou subtrair monômios semelhantes. Basta somar ou subtrair os coeficien-
tes e conservar a parte literal.
Exemplos:
1. 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x
2. 5b – 7b = (5 – 7)b = - 2b
3. 6x3 - 12x3 + 0,73x3 = (6 – 12 + 0,73) x3 = - 5,27 x3
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MULTIPLICANDO OU DIVIDINDO MONÔMIOS
Na multiplicação e divisão de monômios devemos utilizar algumas propriedades já estuda-
das como comutativa e associativa da multiplicação além de propriedades de potência. Em geral, 
devemos seguir os seguintes passos:
1. Multiplicamos (ou dividimos) os coeficientes;
2. Multiplicamos (ou dividimos) as partes literais.
22
2
34
3
2
5
2
32
4
5
20)
4
4
16)
122.6)
205.4)
yx
yx
yxd
x
x
xc
xyyxyb
baabaa
−=
−
−=
−
−=−
=
OBSERVAÇÕES
Exemplos:es
1. Todo número real diferente de zero é considerado um monômio sem parte literal;
2. O número real zero é denominado monômio nulo;
3. A soma de dois monômios não semelhantes é denominada binômio;
4. A soma de três monômios não semelhantes é denominada trinômio;
5. A soma de quatro ou mais monômios não semelhantes é denominada polinômio;
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Produtos notáveis são produtos de binômios que aparecem com frequência no cálculo al-
gébrico e também em outros conteúdos por isso é muito importante você conhecer suas estruturas.
QUADRADO DA SOMA
O quadrado da soma de dois 
termos é igual ao quadrado do primei-
ro termo mais duas vezes o produto 
do primeiro termo pelo segundo termo 
mais o quadrado do segundo termo.
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QUADRADO DA DIFERENÇA
Exemplos:
22222
22222
2222
2222
1025).5.(2)5()5)(
25309)5()5).(3.(2)3()53)(
2530955).3.(2)3()53)(
9633..2)3)(
bababbaabad
yxyxyyxxyxc
aaaaab
xxxxxa
++=+−−−=−−
+−=+−=−
+−=+−+−=+−
++=++=+
Lembre-se que todos os cálculos acima também poderiam ser efetuados utilizando a pro-
priedade distributiva.
O quadrado da diferença de 
dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo menos duas vezes o 
produto do primeiro termo pelo se-
gundo termo mais o quadrado do se-
gundo termo.
O produto da soma de dois 
termos pela diferença dos mesmos 
termos resulta na diferença de dois 
quadrados, que será o quadrado do 
primeiro termo menos o quadrado do 
segundo termo.
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CUBO DA SOMA
CUBO DA DIFERENÇA
O cubo da diferença (a – b)3 segue o mesmo padrão do cubo da soma, porém o sinal varia 
entre positivo e negativo: 
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Até aqui já trabalhamos a fatoração de um número natural, que significa decompor o nú-
mero em um produto de dois ou mais fatores primos. Fatorar um polinômio (quando possível) 
significa decompor este polinômio em um produto de polinômios mais simples, como monômios 
e binômios.
Vejamos a figura abaixo:
Suponhamos que a figura acima seja um retângulo.
A área de um retângulo é calculada através da multiplicação do valor do seu comprimen-
to pelo valor da sua largura. Portanto a área neste caso seria representada pela expressão 
(a + b + c).d .
Mas como o retângulo está dividido em três retângulos menores (figuras 1, 2 e 3) podemos 
também expressar a área do retângulo grande através da soma das áreas dos três retângulos 
menores. Sendo assim a área do retângulo grande seria expressa por a.d + b.d + c.d .
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Logo, (a + b + c).d = a.d + b.d + c.d .
Dizemos que a expressão (a + b + c).d é a forma fatorada do polinômio ad + bd + cd.
FATORAÇÃO POR EVIDÊNCIA
A expressão fatorada (a + b + c).d apresentada anteriormente é chamada de fatoração 
por evidência. Esse tipo de fatoração sempre é possível quando todos os termos do polinômio 
possuem um fator em comum. No caso anterior, o fator em comum é o “d” afinal ele é um fator 
que está emtodas as multiplicações ad, bd e cd.
Vejamos um outro exemplo, agora de outro retângulo dividido em três retângulos menores, 
porém com a base conhecida.
Observe a figura a seguir.
Para determinar a área da figura ao lado, considerando o retângulo maior 
dividido em três retângulos menores, vamos somar as áreas menores: 3.x + 3.y 
+ 3.z . Note que o fator 3 aparece em todas as multiplicações, já que todos os 
retângulos possuem a mesma base 3. No entanto também podemos expressar 
a área do retângulo grande por 3.(x + y + z).
Portanto podemos escrever 3x + 3y + 3z = 3. (x + y + z) .
Nesse caso, dizemos que 3. (x + y + z) é fatoração por evidência do polinômio 3x + 3y + 3z. 
Vejamos outro exemplo detalhadamente:
Vamos fatorar o polinômio 25a2b + 15a3b2
Primeiro passo seria fatorar individualmente cada termo do polinômio.
Fatorando os termos obtemos: 25a2b = 52. a . a . b
 15a3b2 = 3 . 5 . a . a . a . b . b
Analisando as fatorações acima, vamos destacar os fatores comuns:
25a2b = 52. a . a . b
15a3b2 = 3 . 5 . a . a . a . b . b
Então o fator comum é dado pela multiplicação 5 . a . a . b = 5a2b . Então devemos colocá-lo 
em evidência:
25a2b + 15a3b2 = 5a2b . ( )
Fator comum: base comum 
aos retângulos.
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Para descobrirmos os termos que deverão entrar dentro dos parênteses basta dividirmos 
cada termo do polinômio 25a2b + 15a3b2 pelo fator 5a2b em evidência, e aplicar as propriedades 
de potência:
ab
b
b
a
a
ba
ba
b
b
a
a
ba
ba
3..
5
15
5
15
5..
5
25
5
25
2
2
3
2
23
2
2
2
2
==
==
FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO
A fatoração por agrupamento corresponde à sucessivas fatorações por evidência. Em 
geral num dado da momento da fatoração por agrupamento, o fator em comum poderá ser um 
binômio, trinômio ou polinômio. 
Vejamos um exemplo detalhado:
1. Fatorando o polinômio ax – bx + 2a – 2b vamos primeiro observar os fatores que podem 
ser colocados em evidência:
ax – bx + 2a – 2b
 Fator comum é x Fator comum é 2.
2. Colocando os fatores comuns citados acima em evidência, obtemos que 
ax – bx + 2a – 2b = x. (a – b) + 2. (a – b)
 Fator comum é (a-b).
3. Colocando o fator comum (a – b) em evidência obtemos:
= x. (a – b) + 2. (a – b) = (a – b). (x + 2)
 Fatoração de
 ax – bx + 2a – 2b
FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
A fatoração da diferença de dois quadrados seria o processo inverso do produto notável 
“produto da soma pela diferença” já que (a + b) . (a – b) = a2 – b2. 
Então a fatoração do binômio a2 – b2 é dada por (a + b) . (a – b)
Vejamos alguns exemplos:
Portanto a fatoração completa do 
polinômio 25a2b + 15a3b2 é
5a2b . (5 + 3ab)
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( ) 




 −




 +=−




=−
−+=−=−
−+=−=−
+−=−=−
−+=−=−
ukukukuke
yyyyd
aaaac
abxabxabxbaxb
xxxxa
8
3
2.8
3
28
3
264
9
4)
)110).(110(1)10(1100)
)6).(6(636)
)7).(7()()7(49)
)3)(3(39)
2
2
22
222
222
22222
222
Observação
Existem casos onde precisamos utilizar mais de um processo de fatoração!
Por exemplo, vamos fatorar o polinômio 5x2 – 20:
1. Primeiro passo seria utilizar a fatoração por evidência: 5x2 – 20 = 5 .( x2 – 4).
2. Em seguida utilizamos a fatoração por diferença de dois quadrados: 
5 .( x2 – 4) = 5. (x + 2). (x – 2)
FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
A fatoração de um trinômio quadrado perfeito seria o processo inverso do quadrado da 
soma, ou quadrado da diferença: 
1.(x + 2)2 = x2 + 2. x . 2 + 22 = x2 + 4x + 4
 Trinômio quadrado perfeito
A fatoração do trinômio quadrado perfeito x2 + 4x + 4 é (x + 2)2 .
2. (2x - 3)2 = (2x)2 - 2. 2x . 3 + 32 = 4x2 - 12x + 9
A fatoração do trinômio quadrado perfeito 4x2 - 12x + 9 é (2x - 3)2.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1- Aplique as regras de produtos notáveis estudadas e faça a expansão em cada item:
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )22)
3)
3535)
35)
5252)
14)
1111)
3)
)9)(
22
22
2
2
22
2
+−
−
−−
+
+−
−
−+
−
+
xxi
yxh
babag
yf
mme
xd
xxc
ab
xa
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2- Colocando o fator comum em evidência, fatores os polinômios de acordo com as proprie-
dades e regras de fatoração estudadas.
2
2
2
735)
)
5)
34)
1010)
cce
yyxyd
abac
axab
yxa
+
−+
−
−
+
3- Fatore por agrupamento de acorda com as regras estudadas:
yxayaxf
axxaae
baabd
yxxyc
cbacabb
cybyaycxbxaxa
−+−
−+−
+−−
+++
+++
+++++
)
)
1243)
1052)
1010)
)
2
4- Fatore os seguintes polinômios, usando a fatoração por diferença de dois quadrados:
22
22
22
2
2
8149)
916)
1)
100)
81)
phe
yxd
nmc
ab
xa
−
−
−
−
−
5- Fatore cada um dos trinômios quadrados perfeitos abaixo. Cada um deles será transfor-
mado no quadrado da soma ou quadrado da diferença.
22
2
2
22
16164)
11881)
2510)
9124)
xaxad
nnc
yyb
yxyxa
++
+−
++
+−
GABARITO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
)735.()
)1.()
)5.()
)34.()
).(10)
)2
4)
96)
93025)
93025)
254)
1816)
121)
69)
8118)
)1
4
224
22
2
2
2
2
42
2
cce
yxyd
baac
xab
yxa
xi
yyxxh
babag
yyf
me
xxd
xc
aab
xxa
+
−+
−
−
+
−
+−
+−
++
−
+−
−
+−
++
 
)735.()
)1.()
)5.()
)34.()
).(10)
)2
4)
96)
93025)
93025)
254)
1816)
121)
69)
8118)
)1
4
224
22
2
2
2
2
42
2
cce
yxyd
baac
xab
yxa
xi
yyxxh
babag
yyf
me
xxd
xc
aab
xxa
+
−+
−
−
+
−
+−
+−
++
−
+−
−
+−
++
 )735.()
)1.()
)5.()
)34.()
).(10)
)2
4)
96)
93025)
93025)
254)
1816)
121)
69)
8118)
)1
4
224
22
2
2
2
2
42
2
cce
yxyd
baac
xab
yxa
xi
yyxxh
babag
yyf
me
xxd
xc
aab
xxa
+
−+
−
−
+
−
+−
+−
++
−
+−
−
+−
++
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Figura 1: gabarito questão 3 (fixação)
2
2
2
2
)42)(
)19)(
)5)(
)32)(
)5
)97).(97)(
)34).(34)(
)1).(1)(
)10).(10)(
)9).(9)(
)4
xad
nc
yb
yxa
phphe
yxyxd
mnmnc
aab
xxa
+
+
+
+
−+
−+
−+
−+
−+
 
2
2
2
2
)42)(
)19)(
)5)(
)32)(
)5
)97).(97)(
)34).(34)(
)1).(1)(
)10).(10)(
)9).(9)(
)4
xad
nc
yb
yxa
phphe
yxyxd
mnmnc
aab
xxa
+
+
+
+
−+
−+
−+
−+
−+
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) O resultado de uma expressão algébrica é a2 – b2. Silvio encontrou como resposta (a – b)2;
Cláudio (a + b) (a – b) e Célia (a + b)2 – 2 b2 . Como o professor aceita o desenvolvimento 
incompleto da resposta, podemos afirmar que :
a) apenas Silvio acertou 
b) apenas Claudio acertou 
c) apenas Celia acertou 
d) apenas os rapazes acertaram
e) todos acertaram
2) (ESA) Simplificando a expressão algébrica (m+1) (m – 1) + (m+1)2 – 2m , obtemos :
a) 2m2 
b) 2
c) 0
d) 2m2 + 2
3) (UFES - adaptada) Simplifique a expressão [102+202+302+...+1002] – [92+192+292+...+992].
4) Calculando 9342872 - 9342862, obtemos:
a) 1 
b) 2 
c) 1868573 
d) 1975441 
e) 0
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5) Em uma prova em que deviam ser dados os resultados do 1º membro um aluno desatento apre-
sentou estes cálculos:
aa
iv
aiii
aaii
aai
+
=+
=
+
+=+
+=+
2
21
2
1)
2
2
)2()
10)5.(2)
4)2)( 22
Quantos enganos esse aluno desatento cometeu? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4
6- O valor da fração 
a ² – b ²
a ² – 2 ab b ² quando a = 1 e b = 3, é :
a) -2
b) -3
c) -4
d) -5
7- (CEFET) Com relação às identidades matemáticas
I. a2 - b2 = (a+b)(a-b)
II. a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
III. (a+b)( a2 – ab + a2) = a3 + b3
IV. (a+b)3 = a3 + b3
podemos afirmar que
a) todas são verdadeiras.
b) são verdadeiras l. IIe IV.
c) são verdadeiras l. II e III.
d) são verdadeiras apenas duas dessas identidades
e) apenas uma dessas identidades é verdadeira.
8- (Cap-UFRJ) Determine o valor numérico de y = (a+1) (b+1) , sabendo que ab = –6 e a+b =1.
9- (OBM-2006) Efetuando as operações indicadas na expressão 
2007 2005
2006 2004
2 2 2006
2 2
 +
× + 
, obte-
remos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número ?
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a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8
10) (OBM) Se x+y = 8 e xy = 15, qual é o valor de 2 26x xy y+ + ? 
a) 64 
b) 109 
c) 120 
d) 124 
e) 154
GABARITO
Figura 2: gabarito questão 1 (diversas)
2- A
3- 1090
4- C
Figura 3: gabarito questão 5
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6- A
Figura 4: gabarito questão 7 
Figura 5: gabarito questão 8
9- D
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Figura 6: gabarito questão 10
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MAPAS MENTAIS