9-Aritmética e Álgebra para Professores

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ARITMÉTICA E ÁLGEBRA 
PARA PROFESSORES
UNIASSELVI-PÓS
Autoria: Dra. Gislaine Donizeti Fagnani da Costa
Indaial - 2020
1ª Edição
CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, no 1.040, Bairro Benedito
Cx. P. 191 - 89.130-000 – INDAIAL/SC
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Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
 UNIASSELVI – Indaial.
C837a
 Costa, Gislaine Donizeti Fagnani da
 Aritmética e álgebra para professores. / Gislaine Donizeti 
Fagnani da Costa. – Indaial: UNIASSELVI, 2020.
 150 p.; il.
 ISBN 978-65-5646-239-4
 ISBN Digital 978-65-5646-235-6
1. Aritmética. - Brasil. 2. Álgebra. – Brasil. Centro Universitário 
Leonardo Da Vinci.
CDD 510
Impresso por:
Reitor: Prof. Hermínio Kloch
Diretor UNIASSELVI-PÓS: Prof. Carlos Fabiano Fistarol
Equipe Multidisciplinar da Pós-Graduação EAD: 
Carlos Fabiano Fistarol
Ilana Gunilda Gerber Cavichioli
Jóice Gadotti Consatti
Norberto Siegel
Julia dos Santos
Ariana Monique Dalri
Marcelo Bucci
Jairo Martins
Marcio Kisner
Revisão Gramatical: Equipe Produção de Materiais
Diagramação e Capa: 
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Sumário
APRESENTAÇÃO ............................................................................5
CAPÍTULO 1
DESVENDANDO INCÓGNITAS, VARIÁVEIS, EQUAÇÕES,
INEQUAÇÕES E POLINÔMIOS ......................................................7
CAPÍTULO 2
COMPREENDENDO FUNÇÕES, MATRIZES E
PROGRESSÕES............................................................................55
CAPÍTULO 3
ENTENDENDO DIVISIBILIDADE,ALGORITMO DE
EUCLIDES, EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES E
SUAS APLICAÇÕES .................................................................... 117
APRESENTAÇÃO
Diversas pesquisas têm sido divulgadas no campo da matemática. Nesse 
sentido, como fruto das pesquisas realizadas no âmbito do ensino e da prática 
escolar, a educação matemática se expande vinculada a todos os níveis da 
escolarização. No que diz respeito às pesquisas referentes à aprendizagem 
da matemática no campo escolar, tem-se, especialmente, progredido bastante, 
imbuindo ao ensino aprendizagem dessa disciplina novas formas de ensinar e 
aprender incluindo as metodologias ativas em constante evolução. 
Dessa forma, pode-se inferir que não se aceita mais uma matemática 
desvinculada da prática e sem a relação com as diversas áreas do conhecimento 
humano. Por essa ótica, a matemática necessita ter um cunho aplicativo, histórico 
e artístico que pode permear as áreas física, humana ou biológica, rompendo assim 
com os paradigmas disciplinares e interdisciplinares até então estabelecidos, 
atingindo níveis de excelência com relação a seu ensino e aprendizagem.
Nesse sentido, percebe-se a necessidade de se romper com o excesso 
formalismo, o foco exclusivo em memorização de fórmulas, os cálculos 
descontextualizados e a punição para os alunos nas avaliações. Nesse panorama 
carente de reformas para o ensino da matemática e do melhoramento da 
aprendizagem do aluno, surgiu a Educação Matemática.
Tendo como referência o pesquisador e educador matemático Ubiratan 
D’Ambrósio, a Educação Matemática surgiu com o intuito de ampliar o olhar para 
as dificuldades com relação ao ensino da matemática que permeavam métodos 
de ensino ultrapassados, direcionando-se para um ensino robusto da matemática, 
embasado em práticas que busquem fortalecer e efetivar o ensino aprendizagem 
da matemática tendo como base o conhecimento multicultural, interdisciplinar e 
transdisciplinar.
No caso da matemática presente no modelo tradicional de educação 
escolar, o aluno era caracterizado como passivo dos processos de ensino, ou 
seja, uma caixa vazia que apenas recebia o conhecimento centrado na figura do 
professor, de forma inacessível e inquestionável. Dessa forma, a aprendizagem 
da matemática baseava-se apenas em mentalizações de fórmulas prontas e 
acabadas e resolução de listas de exercícios realizadas mecanicamente, levando 
em consideração apenas um caminho correto com procedimentos mecânicos 
para se chegar à solução de um determinado problema.
Nas perspectivas advindas da Educação Matemática, o aluno passa 
a ser ativo, trazendo consigo uma bagagem cultural e uma perspectiva de 
conhecimento de mundo, ou seja, se torna protagonista da construção de sua 
própria aprendizagem, de forma reflexiva, crítica e autônoma. O professor 
assume o papel de mediador na organização e direcionamento da aprendizagem, 
adaptando-se a esse novo cenário, revendo sua própria prática, avaliando e 
reavaliando sua postura enquanto docente, dando continuidade a seu processo 
de formação contínua, dentro e fora da sala de aula.
Derivada das tendências da educação matemática surge uma nova 
metodologia de ensino que contempla as diferentes áreas do conhecimento 
humano. Tal metodologia, denominada de Modelagem Matemática, assim, torna 
a matemática visivelmente prática transformando problemas das mais diferentes 
ciências ou atividades humanas em modelos matemáticos, visando assim o 
levantamento e estruturamento de dados estatísticos, bem como a avaliação 
desses dados para que se possa chegar a uma solução matemática que melhor 
se aplique àquela determinada situação. 
Por outro lado, também existe um redirecionamento da prática docente, 
definindo-se um novo paradigma de professor caracterizado pela tríade intelectual-
reflexivo-pesquisador. A reflexão sobre a própria prática é vista como estratégia 
para ensinar aprender matemática. Pensar sobre o que foi planejado, na forma 
como foi desenvolvido, na resposta dada pelos alunos, possibilita ao professor 
propor situações didáticas, planejando e propondo intervenções cada vez mais 
ajustadas ao perfil do aluno. Tal reflexão permeada por referenciais teóricos que 
a fomentam e a fundamentam, pois é a partir de uma dada concepção sobre o 
processo ensino-aprendizagem da matemática que o professor discute, avalia, 
reorganiza e ressignifica a própria prática.
A avaliação em matemática, por sua vez, antes caracterizada como punitiva 
passando a ser formativa, ou seja, passou a comtemplar todos os momentos da 
atividade realizada pelos alunos, valorizando e mostrando as múltiplas culturas, 
as condições físicas e organizacionais da escola, a afetividade, o raciocínio, a 
habilidade, a visão de mundo, de sociedade, de educação e de escola e, claro, os 
conhecimentos formais sobre a matemática e suas áreas de interdisciplinaridade. 
Nesse sentido, é importante o professor de matemática repensar 
constantemente suas próprias práticas pedagógicas, aprimorando sempre que 
houver necessidade. No decorrer da convivência com o aluno é necessário que 
o professor de matemática instaure um clima de reciprocidade inerente a sua 
metodologia de trabalho, tornando-se efetivamente o mediador do processo de 
ensino aprendizagem. 
Assim, no ensino da matemática, o professor deve ser um mediador ou um 
agente de mudanças que intervém nos processos afetivos, cognitivos e sociais do 
aluno, ou seja, não basta reconhecer que o aluno não teve sucesso nas atividades 
de ensino aprendizagem, indo além de meramente ensinar o conteúdo, propondo 
estratégias e estabelecendo relações.
Prof.ª Gislaine Donizeti Fagnani da Costa
CAPÍTULO 1
Desvendando Incógnitas, Variáveis, 
Equações, Inequações E Polinômios
A partir da perspectiva do saber-fazer, são apresentados os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
• Conceituar e definir as propriedades de produtos notáveis, fatoração e 
polinômios.
• Identificar variáveis/incógnitas e resolver equações e inequações.
• Definir o conceito de polinômios.
• Aplicar os conceitos e propriedades dos produtos notáveis, fatoração, 
equações, inequações e polinômios na vida real.
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 Aritmética e álgebra para professores
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações,Inequações E Polinômios Capítulo 1 
1 CONTEXTUALIZAÇÃO
A matemática é algo que deve estar disponível para todo ser humano, para 
que possa fazer uso dela como uma de suas ferramentas de sobrevivência e 
convívio social, promovendo uma formação integral e inclusiva.
As formas de pensar as características da matemática podem expandir-
se para outros raciocínios, impulsionando a capacidade global de aprendizado. 
Ao lidar com a matemática, fundamentamos o pensamento em um conjunto de 
axiomas, na geração e validação de hipóteses, no desenvolvimento de algoritmos 
e procedimentos de resolução de problemas, estabelecendo conexões e fazendo 
estimativas.
Dessa forma, ao analisar situações particulares inseridas na estrutura global, 
é possível construir estruturas de pensamento também úteis em situações não 
matemáticas da vida em sociedade. Tendo como referência o desenvolvimento 
das competências e habilidades descritas pela BNCC, temos que a:
competência é definida como a mobilização de conhecimentos 
(conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas 
e socioemocionais) atitudes e valores para resolver demandas 
complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e 
do mundo do trabalho (BRASIL, 2017, p. 8)
Em um ambiente mundial cada vez mais competitivo e desenvolvido do ponto 
de vista tecnológico, é preciso tornar acessíveis a todas as pessoas as vantagens 
desses avanços. E é de responsabilidade também da educação escolar levar 
o aluno a perceber criticamente a realidade, cuja interpretação depende da 
compreensão de sua estrutura lógica, do entendimento da simbologia adotada no 
contexto, da análise das informações veiculadas por dados numéricos, imagens, 
taxas, indexadores econômicos entre outros.
Um indivíduo com poucos conhecimentos matemáticos pode estar privado de 
exercer seus direitos como cidadão, por não ter condições de opinar em situação 
de igualdade com os demais membros da sociedade, nem de definir seus atos 
públicos e sociais com base em uma avaliação acurada da situação.
Nesse sentido, podemos afirmar que a maior parte das sociedades de hoje 
depende cada vez mais do conjunto de conhecimento produzido pela humanidade, 
incluindo de maneira notável as contribuições da ciência matemática. Assim, no 
ensino da matemática, assumem grande importância aspectos como o estímulo 
a relacionar os conceitos matemáticos com suas representações (esquemas, 
diagramas, tabelas, figuras); a motivação para identificar no mundo real o uso 
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 Aritmética e álgebra para professores
de tais representações; o desafio à interpretação, por meio da Matemática, da 
diversidade das informações advindas desse mundo.
2 DESVENDANDO INCÓGNITAS, 
VARIÁVEIS, EQUAÇÕES, 
INEQUAÇÕES E POLINÔMIOS
O objetivo desta seção é conceituar e definir as propriedades de produtos 
notáveis, fatoração e polinômios, bem como identificar variáveis/incógnitas e 
resolver equações e inequações.
2.1 PRODUTOS NOTÁVEIS E 
FATORAÇÃO
Fatoração é o termo utilizado na álgebra para designar a decomposição 
de cada um dos elementos que integram um produto, isto é, o resultado 
de uma multiplicação. Por meio da fatoração busca-se a simplificação das 
fórmulas matemáticas em que ocorre a multiplicação, especialmente das 
chamadas equações.
Um exemplo particular e extremamente importante é a fatoração de um 
polinômio, que significa transformá-lo em um produto de polinômios de graus 
menores ou mais simples. Dessa forma, a fatoração surge como um recurso da 
matemática utilizado com a finalidade de facilitar os cálculos algébricos; para que 
possamos conseguir resolver situações mais complexas. 
Existem várias aplicações e problemas relacionados, tais quais os de 
fatoração de números primos e criptografia. Sendo a fatoração é indispensável na 
resolução de equações do segundo grau ou maior.
Nessa perspectiva fatorar significa transformar a soma e a subtração de 
expressões algébricas ou equações em um produto com fatores. Para facilitar 
à compreensão e o entendimento da fatoração como sendo a simplificação das 
sentenças matemáticas, a fatoração é dividida em casos de fatoração, que serão 
apresentados na sequência.
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
2.1.1 Fatoração por fator comum ou 
evidência 
 
Ao realizar a fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a ideia 
de fazer grupos de polinômios, ao fatorar escrevemos a expressão na forma de 
produto de expressões mais simples. 
Nesse caso de fatoração pode ser determinada pela fórmula:
ax+bx = x(a+b)
O termo a ser colocado em evidência foi o x, pois ele se repete na composição 
do monômio ax e bx.
Observe o polinômio P(x) = x² + 3x, podemos verificar que o monômio x é 
comum a todos os termos. Ao colocá-lo em evidência, dividindo cada termo do 
polinômio P(x) = x² + 3x por x, obtemos x (x + 3), permitindo a conclusão de que 
a forma fatorada do polinômio P(x) = x² + 3x. Veja a seguir, mais alguns exemplos 
de fatoração utilizando fator comum em evidência.
Exemplo 1:
Seja P(x) = 9x³ - 3x² + 6x, temos:
Fator comum: 3x
Forma fatorada: 3x (3x² - x + 2)
Exemplo 2:
P(a) =a6 – 4a²
Fator comum: a²
Forma fatorada: a² (a4 – 4) 
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 Aritmética e álgebra para professores
Faça a fatoração da expressão P(b) =3b12 – 6b6, utilizando 
fator comum em evidência.
2.1.2 Fatoração por agrupamento
Agrupamento consiste no método pelo qual se pode simplificar uma 
expressão algébrica, agrupando os termos que são comuns ou semelhantes. A 
fórmula geral que estabelece o agrupamento é dada por:
ax + bx + ay + by = (x + y)⋅ (a + b)
Podendo ser escrita como:
ax + bx + ay + by = x⋅ (a + b) + y⋅ (a + b)= (x + y)⋅ (a + b)
Observe que no método do agrupamento necessita fazer uso da fatoração por 
termo comum em evidência. No entanto, no caso da fatoração por agrupamento 
não existe um fator que será comum a todos os termos, temos somente fatores 
que são comuns a alguns termos. 
Seja P(x) = 4x² + 8x + 6xy + 12y, colocando os termos em comum em evidência 
por agrupamento temos: 4x (x + 2) + 6y (x + 2). Observe que os termos 4x e 6y ainda 
possuem termos em comum. Ao colocar novamente os termos 4x e 6y temos: (4x 
+ 6y) (x + 2). A seguir veja mais alguns exemplos de fatoração por agrupamento: 
Exemplo 1:
Seja P(x) = 2xy – 12x + 3by – 18b 
Fatorando, temos: 2x (y – 6) + 3b (y – 6)
Fatorando novamente: (2x + 3b) (y – 6)
 
 Exemplo 2:
Seja P(x) = 6x²b + 42x² – y²b – 7y² 
Fatorando temos: 6x² (b + 7) – y² (b + 7) 
Fatorando novamente: (6x² – y²) (b + 7) 
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Fatore P(a)= ab + 3b + 7a + 21 usando agrupamento.
2.1.3 Fatoração: diferença de dois 
quadrados
A fórmula geral desse caso de fatoração é igual a:
a2 − b2 = (a + b) ⋅ (a − b)
A fatoração pela diferença de dois quadrados, ou seja, a subtração de dois 
quadrados só pode ser empregada quando: 
• For realizada uma expressão algébrica com dois monômios (sejam 
binômios). 
• Os dois monômios sejam quadrados. 
• A operação entre os dois monômios for de diferença ou subtração. 
Observe, a seguir, um exemplo de expressão algébrica que satisfaz a 
exigência: a2 - 1 é uma expressão algébrica que possui apenas dois monômios, 
os dois estão ao quadrado e entre eles há uma operação denominada subtração. 
Considere a seguinte expressão algébrica: 16x2 – 25, ao extrair a raiz 
quadrada de ambos os membros que compõem a equação, temos:
 
Sendo assim, a forma fatorada da equação: 16x2 – 25 será (4x – 5) (4x + 5). 
Exemplo 1: 
Ao extrair as raízes da expressão algébrica x2 – 49, obtemos 
respectivamente x e 7, então a sua forma fatorada é (x –7) (x + 7). 
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 Aritmética e álgebra para professores
Exemplo 2: 
Sendo a expressãoalgébrica 64x2 – 81, a raiz dos termos 64x2 e 81 é 
respectivamente 8x e 9. Então, a forma fatorada é (8x – 9) (8x + 9). 
Fatore a expressão algébrica 4x² – 81y².
2.1.4 Fatoração: trinômio do 
quadrado perfeito 
O trinômio quadrado perfeito possui representação tanto na soma como na 
diferença. A seguir, as suas fórmulas gerais:
Diferença: a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
Soma: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
O que é um trinômio? Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem 
termos semelhantes. 
Exemplo 1:
a) 5x2 + 3x + 5
b) 10x3 + 2x – 3x2 
c) 5ab +6b + 2c
A fatoração pelo trinômio do quadrado perfeito só pode ser utilizado quando 
a expressão algébrica for um trinômio, ou seja, polinômio com três monômios e 
esse trinômio formar um quadrado perfeito. No entanto, nem todos os trinômios 
apontados anteriormente podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito.
Você sabe o que é quadrado perfeito? Um número é considerado um 
quadrado perfeito, quando esse número for o resultado de outro número elevado 
ao quadrado, por exemplo: 16 é um quadrado perfeito, pois 42 = 16.
Dado um trinômio qualquer, como podemos identificar se esse trinômio é 
quadrado perfeito? Basta observar as seguintes regras:
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas 
dos dois outros termos. 
Dado o polinômio a seguir, podemos observar:
Os dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro do produto 
das raízes obtidas é igual ao termo do meio, dessa forma, podemos dizer que o 
trinômio 16x2 + 8x + 1 é quadrado perfeito.
Assim, podemos concluir que a forma fatorada do trinômio é 16x2 + 8x + 1 é 
(4x + 1)2, pois é a soma das raízes ao quadrado.
Exemplo 2:
Seja o trinômio 4x2 – 8xy + y2, ao extrair as raízes dos termos 4x2 e y2, 
obtemos respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, 
é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não pode ser fatorado usando o 
quadrado perfeito.
Sendo o trinômio 1 + 9 a² – 6 a, obtenha a forma fatorada desse 
trinômio.
2.2 PRODUTOS NOTÁVEIS
Na álgebra, há expressões representadas por produtos de expressões 
algébricas, que surgem com maior frequência. Pela relevância que representam 
no cálculo algébrico, tais expressões são denominadas Produtos Notáveis e 
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 Aritmética e álgebra para professores
são utilizados especialmente para a fatoração de polinômios e também com a 
finalidade de evitar erros com sinais. 
Os produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. 
Há cinco produtos notáveis mais importantes: quadrado da soma, quadrado da 
diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. 
No entanto, antes do entendimento de um produto notável, faz-se necessário a 
compreensão do conceito de expressões algébricas, ou seja, expressões que 
possuem letras e números. 
Observe alguns exemplos:
2x + 3 = 4
- y + 2x + 1 = 0
z2 + ax + 2y = 3
Os produtos notáveis, por sua vez, consistem em fórmulas que facilitam a 
simplificação de produtos algébricos, por exemplo:
(x + 2) . (x + 2)
(y – 9) . (y – 9)
(z + 5 ). (z – 5) 
Existem cinco casos diferentes de produtos notáveis, apresentados a seguir:
Caso 1 – Quadrado da soma de dois termos
• Quadrado significa elevar ao expoente 2.
• Soma de dois termos = a + b.
• Assim, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)2. 
Ao efetuar o produto do quadrado da soma, teremos:
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) =
= a2 + a . b + a . b + b2 =
= a2 + 2 . a . b + b2
Exemplo 1:
(5 + a)2 
52 + 2 . 5 . a + a2 
25 + 10 . a + a2 
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Efetue o quadrado da soma de dois termos para a expressão 
(2x + y)².
Caso 2 – Quadrado da diferença de dois termos
• Quadrado, significa elevar ao expoente 2.
• Diferença de dois termos = a - b.
Assim, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)2. Efetuando os 
produtos por meio da propriedade distributiva, temos:
(a - b)2 = (a – b) . (a – b)
a2 – a . b – a . b + b2 =
a2 – 2 .a . b + b2
Exemplo 3:
(a – 3c)2 
a2 – 2 . a . 3c + (3c)2 
a2 – 6 . a . c + 9c2
Efetue o quadrado da diferença de dois termos para a expressão 
é: (p - 2r)².
Caso 3 – Produto da soma pela diferença de dois termos
• Produto significa multiplicação.
• Soma de dois termos, como já foi dito é igual a: a + b.
• Lembrando que a diferença de dois termos é igual a: a – b.
Dessa forma, o produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . 
(a – b).
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 Aritmética e álgebra para professores
Efetuando o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:
(a + b) . (a – b) =
a2 - ab + ab - b2 =
a2 + b2 
Obtendo o seguinte produto notável:
(a + b) . (a – b) = a2 - b2
Exemplo 5:
(2 – b) . (2 + b) 
22 – b2 
4 – b2
Efetue o produto da soma pela diferença de dois termos para a expressão 
(3x² – 1) . (3x² + 1).
Caso 4 – Cubo da soma de dois termos
• Cubo significa expoente igual a 3.
• Soma de dois termos é igual a + b.
Dessa forma, o cubo da soma de dois termos é igual a (a + b)3.
Ao efetuar o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:
(a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) =
(a2 + a . b + a . b + b2) . (a + b) = 
( a2 + 2 . a . b + b2 ) . ( a + b ) =
 a3 +2. a2 . b + a . b2 + a2 . b + 2 . a . b2 + b3 =
a3 +3 . a2 . b + 3. a . b2 + b3
Obtemos o seguinte produto notável:
(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Exemplo 7:
(3c + 2a)3 
(3c)3 + 3 . (3c)2 .2a + 3 . 3c . (2a)2 + (2a)3 
27c3 + 54 . c2 . a + 36 . c . a2 + 8a3
Efetue o cubo da soma de dois termos na expressão (3x + 
1)³ por meio da propriedade distributiva.
Caso 5 – Cubo da diferença de dois termos
• Cubo = expoente 3.
• Diferença de dois termos = a - b.
Assim, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )3.
Efetuando os produtos, obtemos:
(a - b)3 = (a - b) . (a - b) . (a - b) =
(a2 - a . b - a . b + b2) . (a - b) = (a2 - 2 . a . b + b2) . (a - b) =
a3 - 2. a2 . b + a . b2 - a2 . b + 2 . a . b2 - b3 =
a3 - 3 . a2 . b + 3. a . b2 - b3
Obtendo o seguinte produto notável:
(a - b)3 = a3 - 3 . a2 . b + 3 . a . b2 - b3
Exemplo 8:
(x - 2y)3 
x3 - 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 
x3 - 6 . x2 . y + 12 . x . y2 – 8y3
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 Aritmética e álgebra para professores
Efetue o cubo da diferença de dois termos na expressão (5y - 
2)³ por meio da propriedade distributiva.
Nesta obra, a seguir, a autora apresenta meios para trabalhar os 
produtos notáveis com base no uso de material concreto: 
ALMEIDA, G. C. E. de. Ensino de produtos notáveis através 
de material concreto. Curitiba: Editora CRV, 2013.
Neste livro, a seguir, é possível encontrar discussões sobre 
como abordar ideias da álgebra em sala de aula, envolvendo prática 
e teoria:
COXFORD, A. F. E.; SHULTE, A. P. (org). As ideias da álgebra. 
São Paulo: Atual, 1994.
2.3 INCÓGNITA, EQUAÇÃO E 
INEQUAÇÃO
Toda sentença aberta expressa uma proposta de igualdade consiste em 
uma equação. A palavra equação caracteriza-se pelo prefixo equa que vem 
do latim e significa igual. Numa equação as letras que representam os valores 
desconhecidos são as incógnitas. A palavra incógnita significa desconhecida.
Uma equação é uma expressão matemática que possui, em sua composição 
incógnita, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são 
caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas.
Assim como uma igualdade, uma equação possui dois membros: o primeiro 
membro está colocado à esquerda do sinal de igualdade e o segundo membro 
fica à direita do sinal de igualdadeda equação. 
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Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Exemplo: 3x + 5 = 2x – 8.
Dessa forma, uma equação é uma expressão algébrica que contém uma 
igualdade, criada com a finalidade de encontrar soluções para problemas nos 
quais um número não é conhecido.
2.3.1 Equação do primeiro grau
Equações de primeiro grau são sentenças matemáticas que associam 
relações de igualdade entre termos desconhecidos e conhecidos, representadas 
sob a forma:
ax + b = 0
Assim, equação é toda sentença aberta, redutível e equivalente a ax + b = 0, 
com a ∈ R* e b ∈ R.
Ou seja, a e b são números que pertencem aos conjuntos dos números reais 
(R), com a diferente de zero e x representa uma variável que não conhecemos 
(incógnita).
A incógnita é o valor que precisamos achar para encontrar a solução para a 
equação. A variável que não conhecemos (incógnita) costumamos representá-la 
na equação pelas letras x, y e z. Numa equação do primeiro grau, o expoente da 
incógnita é sempre 1.
Exemplo: 15 + x = 18.
2.3.2 Raiz de uma Equação do 
primeiro grau
Um número é chamado raiz de uma equação quando, ao substituir a incógnita 
por ele, obtemos uma sentença verdadeira.
 
A finalidade de achar a raiz numa equação de primeiro grau é achar o 
valor desconhecido, isto é, encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade 
verdadeira. É relevante observar que a mudança de posição dos elementos deve 
ser realizada de forma que a igualdade continue sendo verdadeira.
24
 Aritmética e álgebra para professores
Quando um termo da equação mudar de lado do sinal de igual, deve-se 
inverter a operação. Nesse sentido, se estiver multiplicando, passará dividindo, se 
estiver somando, passará subtraindo e vice-versa.
O procedimento de substituição da incógnita por um número consiste em 
verificar se esse número é ou não raiz da equação. Nessa perspectiva, raiz de 
uma equação é o valor da incógnita que a transforma numa sentença matemática 
fechada e verdadeira, assim resolver uma equação é encontra sua raiz.
Exemplo 1: para verificar se o número 5 é raiz da equação x + 2 = 7, 
substituímos x por 5:
5 + 2 =7. 7 = 7 (verdadeira), logo, 5 é raiz da equação x + 2 = 7.
2.3.3 Raízes ou solução de equações 
do primeiro grau
A resolução de equações do 1º grau com uma incógnita é feita transformando-
se cada equação equivalente e mais simples, até que as soluções sejam obtidas.
Exemplo 1: ache a raízes da equação que seguem:
a) 2x - 16 = 4 
Resolução:
2x = 4 + 16
2x = 20
x = 20/2
x = 10
b) 4 . (x – 1) = 2 . 4
Resolução:
4x – 4 = 8
4x = 8 + 4
4x = 12
x = 12/4
x= 3
25
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Exemplo 2: Antônio tinha certa quantidade de balas, deu 1/3 da quantia para 
Ana e 1/4 da quantia para Camila, ficando com R$ 25,00. Qual era a quantia de 
balas que Antônio possuía?
Resolução:
Sendo a quantia de balas: x
Um terço da quantia: 1/3x
Um quarto da quantia: 1/4x
Então: 1/3 x + 1/4 x + 25 = x
Achando o mmc e simplificando os denominadores temos:
4x + 3x + 300 = 12x
12x – 4x – 3x = 300
12x – 7x = 300
5x = 300
x = 300/5
x = 60
Atividade 1: o triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta 
em 900. Qual é o número?
Atividade 2: os 38 alunos da 9ª série A de uma escola representam 
25% de todos os alunos da 9ª série dessa mesma instituição. 
Quantos são os alunos da 9ª série dessa escola?
Atividade 3: as reproduções das telas a seguir são assinadas por 
Eliane Montari. Eu as comprei por R$1320,00. Pela tela A, paguei o 
dobro do que paguei pela tela B, e pela tela C, peguei o triplo do que 
paguei pela B. Quanto paguei respectivamente pelas telas A, B e C?
Atividade 4: Pedro e Thiago são ciclistas e decidiram percorrer uma 
estrada que possui um trecho de terra e outro asfaltado. Pedro 
percorreu o trecho asfaltado e mais 6 km do trecho de terra, 
retornando logo após o ponto de partida. Thiago percorreu o 
trecho e mais 2 km do trecho de terra, depois voltou ao ponto de 
partida. Ele fez esse percurso duas vezes. Quando fizeram as 
contas, descobriram que haviam percorrido a mesma distância. 
Quantos quilômetros tem o trecho asfaltado?
26
 Aritmética e álgebra para professores
2.3.4 Equação do segundo grau
Uma equação do 2º grau com uma incógnita é qualquer equação que pode 
ser escrita na forma reduzida ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais 
denominados de coeficientes, e x é a incógnita a ≠ 0. 
Quanto aos coeficientes a, b e c, a é sempre coeficiente de x², b é sempre 
coeficiente de x, e c é sempre coeficiente do termo independente.
 
O que determina o grau de uma equação é o expoente (a potência) da 
incógnita (a letra, geralmente x e y). Nas equações de segundo grau, o maior 
expoente da incógnita é 2. 
Exemplo:
a) x² – 10x + 24 = 0, em que a = 1, b = -10 e c = 24.
b) - 3x² + 7x - 5 = 0, em que a = - 3, b = 7 e c = - 5.
2.3.5 Equações do segundo grau 
incompletas
Quando pelo menos um dos coeficientes, b ou c, for igual a zero, dizemos 
que a equação do segundo grau é incompleta. 
Exemplo: 
a) x² - 4 = 0, em que a= 1, b = 0 e c = - 4.
b) 2x2 + 3x = 0, em que a = 2 b = 3 e c = 0.
c) -13x2 = 0 em que a = -13, b = 0 e c = 0.
2.3.6 Raízes ou solução de uma 
equação do segundo grau
A solução de uma equação é chamada de raiz. O número de raízes possíveis 
de uma equação é igual ao seu grau. Resolver uma equação é o mesmo que 
achar suas raízes, ou seja, o valor ou os valores que satisfazem a equação. 
27
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou 
x = 6, pois: Substituindo x = 4 na equação, temos: 
x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 . 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Substituindo x = 6 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 . 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Essa expressão consiste num método eficiente de resolução desse modelo 
de equação, com base nos coeficientes numéricos. Considere a equação ax² + bx 
+ c = 0, onde a, b e c são números reais. Acompanhe os passos para a resolução 
de uma equação do segundo grau, a seguir.
2.3.7 Resolução de equações 
incompletas
a) Equações do tipo ax2 + bx = 0
Equações do tipo ax2 + bx = 0, com a ≠ 0 com b ≠ 0, tem uma solução 
igual a zero e outra diferente de zero.
Exemplo 1: 
Seja a equação x2 - 6x = 0, temos a = 1, b = - 6 e c = 0.
Como a incógnita aparece nos dois termos da equação, é possível colocá-la 
em evidência:
x2 - 6x = 0
x .(x - 6) = 0
28
 Aritmética e álgebra para professores
Como o produto de x por x - 6 é igual a zero, pelo menos um dos fatores deve 
ser igual a zero.
Assim, se x . (x - 6) = 0, temos que: x1= 0 ou x - 6= 0, ou seja, x2= 6.
 
Dessa forma, as soluções dessa equação são 0 e 6.
b) Equações do tipo ax2 + c = 0
Equações do tipo ax2 + c = 0, com a ≠ 0 com c ≠ 0, têm duas soluções reais 
opostas quando a > 0 e c < 0 ou a < 0 e c > 0 não têm soluções reais quando a 
> 0 e c > 0 ou a < 0 e c < 0.
Exemplo 2:
 
Seja a equação x2 - 16 = 0, temos a= 1, b= 0 e c= -16.
 
Como a > 0 e c < 0 então a equação tem duas soluções reais.
 
Resolvendo essa equação em duas formas temos:
1ª forma: isolando a incógnita no primeiro membro.
x2 - 16 = 0
x2 = 16
x= ±√16
x=±4
Observe que (- 4)2= (4)2=16.
2ª forma: usando fatoração.
O primeiro membro dessa equação é uma diferença de quadrados. Assim, 
fatorando essa expressão, temos: 
x2 - 16 = 0
x2 - 42 = 0
(x + 4) ( x - 4) = 0
Assim temos:
(x + 4) = 0
x = 4
(x - 4) = 0
x = - 4
29
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações,Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Dessa forma, as soluções da equação são 4 e – 4.
c) Equações do tipo ax2 = 0
Equações do tipo ax2 + bx = 0, com a ≠ 0 têm uma única solução, que é x= 
0. Nesse caso, é comum que se diga que a equação tem duas soluções reais 
iguais à zero.
Exemplo 3:
Seja a equação 7x2 = 0, dividindo os dois membros da equação por 7, temos:
O único número que, elevado ao quadrado, é igual a zero é o próprio 
zero. Logo, temos duas raízes reais e iguais à zero.
As equações x² - 9 = 40 e 5x² = - 35x têm uma solução em 
comum. Determine-a.
No livro, a seguir, o autor descreve a história do desenvolvimento 
das equações algébricas, apresentando não somente a matemática 
por trás de cada método, mas também os fatos históricos que 
ajudaram nesse desenvolvimento.
GARBI, G. G. O romance das equações algébricas. 2. ed. 
São Paulo: Livraria da Física, 2003.
De forma interessante e envolvente, este livro, a seguir, 
apresenta diversas utilidades práticas de conteúdo de álgebra. Uma 
importante ferramenta para o trabalho em sala de aula. 
IMENES, L. M. P. et al. Álgebra. 6. ed. São Paulo: Atual, 1992.
30
 Aritmética e álgebra para professores
2.3.8 Resolução de equações 
completas
a) Equações do tipo ax2 + bx + c = 0
Equações do tipo ax2 + bx +c = 0, com a, b e c ≠ 0 por meio dos seguintes 
métodos: fatoração (uso do trinômio do quadrado perfeito), completar quadrados 
(algebricamente e geometricamente) e fórmula geral (Bhaskara).
Exemplo 1: fatorando para obter um trinômio quadrado perfeito.
Dada a equação x2 + 2x + 1 = 0, temos a = 1, b = 2 e c = 1.
Essa equação é chamada de Equação do Segundo Grau Completa, pois 
nenhum dos seus coeficientes é nulo. Além disso, observe que temos um trinômio 
quadrado perfeito no primeiro membro da igualdade. Dessa forma, fatorando o 
trinômio da equação temos:
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Então, como zero é o único número que elevado ao quadrado é igual à zero, 
podemos concluir que:
(x + 1) = 0
x = -1
Logo, essa equação tem duas raízes reais iguais a -1.
2.3.9 Resolução de equações 
completas
a) Equações do tipo ax2 + bx + c = 0
Equações do tipo ax2 + bx + c = 0, com a, b e c ≠ 0 por meio dos seguintes 
métodos: fatoração (uso do trinômio do quadrado perfeito), completar quadrados 
(algebricamente e geometricamente) e fórmula geral (Bhaskara).
31
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Exemplo 1: fatorando para obter um trinômio quadrado perfeito.
Dada à equação x2 + 2x + 1 = 0, temos a = 1, b = 2 e c = 1.
Essa equação é chamada de Equação do Segundo Grau Completa, pois 
nenhum dos seus coeficientes é nulo. Além disso, observe que temos um trinômio 
quadrado perfeito no primeiro membro da igualdade. Dessa forma, fatorando o 
trinômio da equação temos:
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Então, como zero é o único número que elevado ao quadrado é igual à zero, 
podemos concluir que: 
(x + 1) = 0
x = -1
Logo, essa equação tem duas raízes reais iguais a -1.
Exemplo 2: Completando quadrados.
Considere a equação x2 + 16x - 17 = 0. Essa equação é chamada de equação 
do segundo grau completa, pois nenhum dos seus coeficientes é nulo.
• 1º passo: escreva a equação na forma ax2 + bx = - c.
x2 + 16x = 17
• 2º passo: para obtermos um trinômio quadrado perfeito no primeiro 
membro, adicionamos m2 aos dois membros da equação:
x2 + 16x + m2 = 17 + m2
 
Para que o primeiro membro seja um quadrado perfeito, 2xm deve ser igual 
a 16x. Então:
2xm = 16x
m = 16x/2x
m = 8
Assim:
x2 + 16x + 82 = 17 + 82
32
 Aritmética e álgebra para professores
(x + 8)2 = 17 + 64
(x + 8)2 = 81
• 3º passo: em seguida, resolvemos a nova equação:
(x + 8)2 = 81
(x + 8) = ± √81
(x + 8) = ± 9
Logo:
(x1 + 8) = 9
x1 = 9 – 8
x1 = 1
Ou
(x2 + 8) = - 9
X2 = -9 - 8
x2 = -17
Dessa forma, as soluções da equação são -17 e 1.
Exemplo 3: fórmula resolutiva de equação do segundo grau (Fórmula de 
Bhaskara).
x = -b ± √Δ
 2a
Δ = b² - 4 ac
Em que b² - 4ac é chamado discriminante da equação do segundo grau 
denominado pela letra grega Δ (delta). Dada a equação x2 + 4x + 3= 0, usando a 
fórmula resolutiva de equações do segundo grau, identificamos que a = 1, b = 4 e 
c = 3. Calculando o valor do discriminante temos:
Δ = b² - 4 ac
Δ = 4² - 4.1.3
Δ = 16 - 12
Δ = 4
Assim:
x = -b ± √Δ
 2a
33
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
x = -4 ± √4
 2.1
x1 = -4 + 2 = -1
 2
x2 = -4 - 2 = -3
 2
Logo, as soluções da equação são – 3 e – 1.
Atenção! Nem toda equação do segundo grau completa pode 
ser manipulada de modo a obter um trinômio quadrado perfeito, 
já a fórmula resolutiva para equação do segundo grau (Fórmula 
de Bhaskara) pode ser aplicada para obter a solução de qualquer 
equação do segundo grau, seja ela completa ou incompleta.
Atividade 1: dada as dimensões do retângulo a seguir, com base 
nas informações indicadas, determine o valor de x para o qual a 
área do retângulo é igual a 56 m2 são iguais a:
a) ( ) 5 e -5.
b) ( ) 5 e -10.
c) ( ) -10 e 10.
d) ( ) -1 e 5.
Atividade 2: a soma de um número racional não inteiro com o 
dobro do seu inverso multiplicativo é 33/4. Esse número está 
compreendido entre:
34
 Aritmética e álgebra para professores
a) ( ) 5 e 6
b) ( ) 1 e 5
c) ( ) 1/2 e 1
d) ( ) 3/10 e 1/2
e) ( ) 0 e 3/10
Atividade 3: o quadrado de um número menos o triplo do seu 
sucessivo é igual a 15. Qual é esse número?
2.3.10 Análise do discriminante de 
uma equação do segundo grau
Discriminar significa perceber diferenças, na matemática, o termo 
discriminante é empregado para denominar um número ou uma expressão que 
permite classificar equações do segundo grau conforme a existência de raízes ou 
não.
 
Dessa forma, existe uma relação entre valor do discriminante e a existência 
de raízes reais para a equação. Ao calcularmos o valor do discriminante é possível 
identificar se a equação do segundo grau tem ou não raízes. Observe a seguir as 
análises do valor do discriminante:
• Δ = 0. Se o discriminante é igual à zero, a equação de 2º grau possui duas 
raízes reais iguais.
Exemplo: 
Dada a equação x2 – 6x + 9 = 0, temos que: a = 1, b = – 6 e c = 9.
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 x = -b ± √Δ
 2a
em que Δ = b² - 4 ac, temos:
Δ = (– 6)² – 4.1.(9)
Δ=36 - 36
35
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Δ= 0
x = – (– 6) ± √0
 2.1
x = 6 ± 0
 2
x1 = 6/2= 3 
x2 = 6/2=3
 
A equação possui duas raízes iguais a 3, logo o conjunto solução desta 
equação é: S= {3}.
 
• Δ > 0. Se o valor do discriminante é maior que zero, a equação possui 
duas raízes reais diferentes.
Exemplo: 
Dada a equação x2 + 3x – 4 = 0, temos que: a = 1, b = 3 e c = – 4.
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 x = -b ± √Δ
 2a
em que Δ = b² - 4 ac, temos:
Δ = (6)² – 4.1.(-4)
Δ=9 + 16
Δ= 25
x = – (3) ± √25
 2.1
x = - 3 ± 5
 2
x1 = 2/2= 1 
x2 = - 8/2= - 4
A equação possui duas raízes diferentes, logo o conjunto solução desta 
equação é: S= {- 4,1}.
• Δ < 0. Quando o discriminante é menor que zero, não existem raízes reais 
(em R).
Exemplo: 
36
 Aritmética e álgebra para professores
Dada a equação x2 + 5x + 7 = 0, temos: a = 1, b = 5 e c = 7.
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 x = -b ± √Δ
 2a
em que Δ = b² - 4 ac, temos:
Δ = (5)² – 4.1.(7)
Δ= 25 – 28
Δ= - 3
x = – (– 6) ± √- 3 
 2.1
Como nos reais não existe raiz de número negativo, a equação não tem 
raízes reais, logo o conjunto solução desta equação é: S=ø.Assim:
2.3.11 Inequações
Diferente da equação que expressa igualdade, a inequação consiste em uma 
expressão matemática que tem a propriedade de expressar desigualdades. 
 
Na equação, o sinal usado é o símbolo da igualdade (=), já na inequação 
usaremos os seguintes símbolos matemáticos que expressam desigualdades: >: 
(maior que); <: (menor que); ≥: (maior que ou igual) ou ≤: (menor que ou 
igual).
A resolução de uma equação pode ser dividida em passos que, por sua 
vez, se assemelham aos passos de resolução de uma equação. Dados a ≠ 0 e b 
números reais, resolva para x (incógnita) a.x + b < 0. 
37
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
2.3.12 Resolução de inequações do 
primeiro grau e representação na 
reta real
 
A principal entre equação e inequação é basicamente que a equação 
representa uma igualdade e a inequação representa uma desigualdade. Nas 
equações do primeiro grau, busca-se encontrar um resultado único para a 
incógnita, e tais resultados nas inequações este resultado pode ser um conjunto 
aberto ou fechado de números, identificados pelos símbolos de desigualdade.
A resolução de uma inequação se assemelha aos passos de resolução de 
uma equação. Dados a ≠ 0 e b números reais, e a.x + b, chamamos de inequação 
do primeiro grau toda desigualdade que, quando reduzida, possui uma das 
seguintes formas:
• a.x + b < 0
• a.x + b > 0
• a.x + b ≤ 0
• a.x + b ≥ 0
Intervalos: significa que o conjunto possui cada número real entre dois 
extremos indicados, seja numericamente ou geometricamente.
Notação desigualdade/tipo de intervalo:
Sejam a e b números reais:
• Aberto: (a,b) = {x ∈ R : a < x < b} 
• Fechado: [a,b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
• Semiaberto à direita: [a,b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} 
• Semiaberto à esquerda: (a,b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} 
• Infinito: (− ∞,+∞) = {x ∈ R : − ∞ < x < +∞} = R
Exemplo 1:
Dada a inequação 4x – 10 < 20 – 2x, qual o valor de x que satisfaz essa 
desigualdade? Represente a solução na reta real. 
Resolução:
38
 Aritmética e álgebra para professores
4x + 2x < 20 + 10
6x < 30
x < 5, ou seja,
{x Є R/ x < 5}
Representação da solução na reta real: 
Observe a solução não inclui o número 5, portanto, a bolinha é aberta no 
número 5.
Exemplo 2:
Dada a inequação 4 < 2x – 4 < 10, qual o valor de x que satisfaz essa 
desigualdade? Represente a solução na reta real.
Resolução:
4 < 2x – 4 < 10
4 + 4 < 2x < 10 + 4
8/2 < x < 14/2
4 < x < 7
{x Є R/ 4 < x < 7}
Representação da solução na reta real: 
Observe a solução não inclui o número 4, em o número 7, portanto a bolinha 
é aberta no número 4 e no número 7.
Exemplo 3:
Dada a inequação 5 ≤ 2x – 3 < 7, qual o valor de x que satisfaz essa 
desigualdade? Represente a solução na reta real. 
5 ≤ 2x – 3 < 7
5 + 3 ≤ 2x < 7 + 3
8 ≤ 2x < 10
39
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
8/2 ≤ x < 10/2
4 ≤ x < 5
{x Є R/ 4 ≤ x < 5}
Representação da solução na reta real: 
Observe a solução inclui o número 4, mas não inclui o número 5, portanto, a 
bolinha é fechada no número 4 e aberta no número 5.
Exemplo 4:
Dada a inequação 1 ≤ 4x – 7 ≤ 13, qual o valor de x que satisfaz essa 
desigualdade? Represente a solução na reta real.
1 ≤ 4x – 7 ≤ 13
1 + 7 ≤ 4x ≤ 13 + 7
8 ≤ 4x ≤ 20
8/4 ≤ x ≤ 20/4
2 ≤ x ≤ 5
{x Є R/ 2 ≤ x ≤ 5}
Representação da solução na reta real:
Observe a solução inclui o número 2 e inclui o número 5, portanto, a bolinha 
é fechada no número 4 e no número 5. 
Dada a inequação 4x + 8 > – 2x + 2, qual o valor de x que 
satisfaz essa desigualdade? Represente a solução na reta real.
40
 Aritmética e álgebra para professores
2.3.13 Resolução de inequações do 
segundo grau e representação na 
reta real
Resolver uma inequação é determinar os valores de x que tornam a 
desigualdade verdadeira, ou seja, obter o conjunto-solução da inequação.
 
Seja ax2 + bx + c uma equação do segundo grau, denominamos inequação 
do segundo grau toda desigualdade que, quando reduzida, possui uma das 
seguintes formas:
• ax2 + bx + c > 0
• ax2 + bx + c < 0
• ax2 + bx + c ≥ 0
• ax2 + bx + c ≤ 0
 
Para resolver uma inequação do segundo grau, é interessante primeiro 
resolver a equação normalmente e depois determinar as condições de existência 
em função de suas raízes e de sua desigualdade. 
Exemplo 1:
Resolva a equação: x2 + 5x + 6 ≥ 0.
Resolução:
Igualando a equação a zero temos:
x2 + 5x + 6 = 0.
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 x = -b ± √Δ
 2a
em que Δ = b² - 4 ac, temos:
Δ = (5)² – 4.1.(6)
Δ= 25 - 24
Δ= 1
41
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
x = – (5) ± √1
 2.1
x = - 5 ± 1 
 2
x1 = - 4/2= -2 
x2 = - 6/2 = - 3
Logo, as raízes da equação são - 3 e - 2.
Analisando as raízes da equação segundo a condição da equação dada, na 
qual a solução da equação deve ser maior ou igual à zero, é necessário estudar 
um estudo do sinal de ambas as raízes obtidas separadamente e também uma 
análise da representação de ambas na reta. Assim, representando na reta real 
temos:
• Se x for maior ou igual a - 2, os valores da equação são maiores ou 
iguais a 0:
• Se x for menor ou igual a -3 então os valores de x também serão maiores 
que zero:
Dessa forma, o conjunto solução de nossa inequação será representado na 
reta real:
Escrito da seguinte forma: S= { x ∈ R: x ≤ −3 ou x ≥ −2} = ]− ∞,− 3] ∈ [− 2,+ 
∞[.
Exemplo 2:
Estude a equação: x2 + x – 2 ≤ 0.
42
 Aritmética e álgebra para professores
Resolução:
Igualando a equação a zero temos: x2 + x - 2 = 0.
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
 x = -b ± √Δ
 2a
em que Δ = b² - 4 ac, temos:
Δ = (1)² – 4.1.(-2)
Δ= 1 + 8
Δ= 9
x = – (1) ± √9 
 2.1
x = - 1 ± 3 
 2
x1 = 2/2= 1 
x2 = - 4/2 = - 2
Logo, as raízes da equação são – 2 e 2. Analisando o sinal temos:
• Se x ≥ 1, os valores da equação serão maiores ou igual zero.
• Se x ≤ − 2, os valores também serão maiores ou iguais a zero.
• Se − 2 ≤ x ≤ 1, então os valores serão menores do que zero, o que satisfaz 
a nossa condição de existência da equação. 
Escrita como: S = { x ∈ R:− 2 ≤ x ≤ 1} ou [−2,1].
Estude a equação x² − 8x + 15 > 0.
3 POLINÔMIOS 
Os polinômios são expressões algébricas constituídas coeficientes numéricos 
e letras denominadas partes literais, as quais também representam os valores 
43
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
desconhecidos da expressão. Um polinômio na variável x é dado por:
Em que: 
• , com n ∈ N são 
denominados os termos do polinômio (note que todos os expoentes devem ser 
números naturais);
• são números reais denominados 
coeficientes;
• a0 é o termo chamado independente de x;
• x é a variável.
Exemplo 1:
a) 8ab + 2
b) - 2x3 + 6xy - 12x2y3
c) 125x2 - 49y2
Os polinômios são constituídos por termos. A operação entre os elementos 
de um termo é a multiplicação. Quando um polinômio possui apenas um termo, 
ele é chamado de monômio, por exemplo: 5x; 6abc; 2x2y3z4.
 
Os chamados binômios são polinômios que possuem somente dois monômios 
(dois termos), separados por uma operação de soma ou subtração, por exemplo: 2a2 - b2; 
8x + y; 2ab - 4cd2. Já os trinômios são polinômios que possuem três monômios 
(três termos), separados por operações de soma ou subtração, por exemplo: x2 + 
3x + 7; 3ab - 4xy - 10y; m3n + m2 + n4.
3.1 GRAU DOS POLINÔMIOS
O grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se an ≠ 0, 
então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamosgr(P) = n. Dessa 
forma, o grau de um polinômio é fornecido pelos expoentes da parte literal. 
Exemplo 1: 
Dado P(x) = x3 + 4y, como o índice de maior expoente é 3, o grau do 
polinômio é 3.
44
 Aritmética e álgebra para professores
3.2 VALOR NUMÉRICO OU RAIZ DE 
UM POLINÔMIO 
O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o número que se obtém 
substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação 
que define o polinômio. Assim, se o valor numérico para x = a for igual ao valor 
numérico zero, esse valor é denominado raiz do polinômio.
Exemplo 1:
Dado P(x) = 2x⁵ + x⁴ - 2x² - x, verifique os valores numéricos de P(x) para x= 
-2 e x=1 e diga ainda se x = - 2 e x = 1 são raízes desse polinômio.
Resolução:
Calculando o valor de P(x) para x = - 2, temos:
P(-2) = 2(-2)⁵ + (-2)⁴ - 2(-2)² - (-2)
P(-2) = 64 + 16 - 8 + 2
P(-2) = -54
Como P(-2) = -54 ≠ 0, x = -2 não é raiz do polinômio.
Calculando o valor de P(x) para x= 1, temos:
P(1) = 2(1)⁵ + (1)⁴ - 2(1)² - (1)
P(1) = 2 + 1 - 2 - 1
P(1) = 0
Como P(1) = 0, x = 1 é raiz do polinômio.
3.3 POLINÔMIOS IDENTICAMENTE 
NULOS
Polinômio identicamente nulo é o polinômio cujo valor numérico é igual a 
zero para todo valor da variável x. Assim, a condição necessária para que dois 
polinômios sejam iguais ou idênticos ao polinômio nulo é que os coeficientes dos 
termos correspondentes sejam iguais à zero.
45
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Exemplo 1:
Para quais valores de a e c o polinômio P(x) = (a² - 9)x⁴ + (2b + 1) x², é 
identicamente nulo.
Resolução:
Fazendo P(x) = 0, temos:
(a² - 9) = 0
a² = 9
a = 3 ou a = -3
(2b + 1) = 0
2b = -1
b = 1/2
Assim P(x) será nulo para a= 3, ou a= - 3 e b= - 1/2.
1 Indique o grau dos polinômios:
a) 2x3 – 3
b) 9x4 – 3
c) 2ab - b + 2a
d) 5zk7 - 20z2k3w6 + 4x
2 Dada a figura a seguir, calcule:
a) Qual o valor do perímetro da figura?
b) Encontre o polinômio que representa a área da figura.
3 Fatore o polinômio a seguir: 
8ab + 2a2b - 4ab2 
46
 Aritmética e álgebra para professores
4 Para quais valores de a e c o polinômio P(x) = (a² - 4)x⁶ + (b + 1) x³, 
é identicamente nulo.
5 Dado P(x) = x⁸ + 2x⁴ - 2x² - x, verifique os valores numéricos de 
P(x) para x = 3 e x = 1 e diga ainda se x = - 3 e x = 1 são raízes 
desse polinômio.
3.4 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Nesta seção, abordaremos as operações com polinômios: adição, subtração, 
multiplicação e divisão.
3.4.1 Adição de Polinômios
Considere os seguintes polinômios: M(x)= - 8x3 + 3 x2y - xy + 4y e N(x)= - 
2x2y + 2xy - 8y. Ao somar os coeficientes dos termos semelhantes, ou seja, os 
coeficientes da mesma parte literal têm:
- 8x3 + 3 x2y - xy + 4y - 2x2y + 2xy - 8y
- 8x3 + x2y + xy - 4y 
3.4.2 Subtração de Polinômios
Sejam os seguintes polinômios: P(x)= 5x2 - 2xk + 6k e Q (x)= 2x - 3k. A 
diferença entre os polinômios caracteriza-se por:
(5x2 - 2xk + 6k) - (2x - 3k)
Ao eliminar os parênteses, juntando os termos semelhantes, temos:
5x2 - 2xk + 6k - 2xk + 3k
5x2 - 4xk + 9k
47
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
3.4.3 Multiplicação de Polinômios
Dados os polinômios: A(x)= 2x2 - 5x + 8 e B(x)= - 3x + 1, multiplicando termo 
a termo dos dois polinômios, temos que ao multiplicar letras iguais, repetem-se e 
soma-se os expoentes.
(2x2 - 5x + 8) . (- 3x + 1)
- 6x3 + 2x2 + 15x2 - 5x - 24x + 8
- 6x3 + 17x2 - 24x + 8
3.4.4 Divisão de Polinômios
Considere os polinômios: C(x)= 3x3 - 14x2 + 23x -10 e D(x)= x2 - 4x + 5. 
Ao efetuar a divisão de C(x) por D(x), usamos o método chave. Primeiro, faz-se 
a divisão entre os coeficientes numéricos e, depois, a divisão de potências de 
mesma base, conservando-se a base e subtraindo os expoentes. Assim, temos:
3.5 TEOREMA DO RESTO
Sendo a uma constante qualquer, o resto r da divisão de um polinômio P(x) 
por x – a é igual a p (a), isto é, r = p(a). 
Demonstração: 
Dado que a divisão de p(x) por x − a resulta um quociente q(x) e um resto r, 
temos que:
p(x) = (x − a)q(x) + r
48
 Aritmética e álgebra para professores
Ao tomar x = a, teremos que:
p(a) = (a − a)q(a) + r = 0. q(a) + r = r
ou seja, r = p(a).
Note: ao substituir x por a, o resto r não muda, pois é um valor constante.
Exemplo 1:
Seja P(x) = 2x⁴ + 5x³ - x² + 8, determine o resto da divisão desse polinômio 
por H(x) = x + 1.
Como a = - 1, teremos:
P(-1) = 2(-1)⁴ + 5(-1)³ - (-1)² + 8
P(-1) = 2 - 5 -1 + 8
P(-1) = 4
Assim, o resto da divisão de P(x) = 2x⁴ + 5x³ - x² + 8 por H(x) = x + 1 é igual 
a 4.
3.6 DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI
A divisão de polinômios pode ser feita utilizando o algoritmo da divisão. Um 
dispositivo prático para realizar esta divisão é denominado dispositivo de Briot-
Ruffini. Tal algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo 
(x - a). 
Seja P(x) o polinômio a ser dividido (dividendo); e H(x) o divisor no qual H(x) 
= x - a. Assim, a estrutura do dispositivo fica da seguinte forma:
Para entender como dispositivo funciona, considere P(x) = x² + 4x + 3 
e H(x) = x+1.
49
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
Depois multiplique o termo repetido pelo divisor, o resultado será somado ao 
próximo termo do dividendo p(x). 
O processo deve ser repetido para o novo elemento, multiplicando esse 
número pelo divisor e somando ao próximo termo.
Dessa forma, temos o resto igual a 0 e o quociente igual a Q(x) = x+3.
Para verificarmos se a divisão foi feita de forma correta, podemos utilizar o 
algoritmo da divisão que diz o seguinte: 
P(x) = H(x). Q(x) + R(x)
Substituindo temos que:
x² + 4x + 3 = (x+1) . (x+3) + 0 = x² + 3x + 1x + 3 = x² + 4x + 3
50
 Aritmética e álgebra para professores
3.7 FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Como visto anteriormente, fatorar consiste em representar um número ou 
em uma expressão como produto de fatores. Dessa forma, fatorar um polinômio 
significa escrevê-lo como a multiplicação de outros polinômios, conseguindo 
frequentemente simplificar a expressão.
• Fator Comum em Evidência: ax + bx = x (a + b).
Exemplo 1: 4x + 20 = 4 (x + 5).
• Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b).
Exemplo 2: 8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y).
• Trinômio Quadrado Perfeito: (Adição) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
Exemplo 3: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2.
• Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
Exemplo 4: x2 - 2x + 1 = (x - 1)2.
• Diferença de Dois Quadrados: (a + b) . (a - b) = a2 - b2.
Exemplo 5: x2 - 25 = (x + 5) . (x - 5).
• Cubo Perfeito: (Adição) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3.
Exemplo 6: x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 2)3.
• Cubo Perfeito (Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3.
Exemplo 7: y3 - 9y2 + 27y - 27 = y3 - 3 . y2 . 3 + 3 . y . 32 - 33 = (y - 3)3.
51
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
1 Dados os polinômios P(x) = 6x⁴ 5x² -2x - 12 e G(x) = 2x³ + 7x + 13 
calcule:
a) p + g
b) p – g
c) 2. f - g
2 Fatore os polinômios a seguir:
a) 4x2 - 25.
b) x2 + 6x + 9
c) x3 + 6x2 + 12x + 8
d) a3 - 9a2 + 27a – 27
3 Um terreno será disponibilizado para que seja feito o plantio 
de plantas frutíferas. Sabendo as medidas desse terreno 
apresentadas na figura a seguir: 
a) Determine o polinômio V (x) que corresponde ao perímetro desse 
terreno. 
b) Qual o perímetro desse terreno para x = 3?
52
 Aritmética e álgebra para professores
O artigo a seguir apresenta uma prática que auxilia os alunos 
arelacionar letras e formas geométricas manipuláveis, envolvendo 
teoria e prática. Sugere o uso do Algeplan, que consiste na 
utilização de figuras geométricas planas (quadrados e retângulos), 
confeccionados em papel.
BERTOLI, V.; SCHUHMACHER, E. Aprendendo polinômios 
utilizando o Algeplan: uma prática no ensino da Matemática para 
o Ensino Fundamental. 2013. Disponível em: http://linkte.me/fe0c0. 
Acesso em: 7 mar. de 2020.
Neste livro, a seguir, você encontrará mais sobre polinômios, 
além das relações de Girard e Equações Polinomiais.
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. 6. ed. Rio de 
Janeiro: SBM, 2006.
4 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
A matemática, no contexto escolar é, muitas vezes, uma disciplina temida e 
considerada pouco importante para grande parte de alunos que não veem relação 
entre o que aprendem e o mundo fora dos muros da escola. 
 
Junto às críticas ao modelo escolar vigente, muitas vezes desconfigurado 
e engessado, por um lado a matemática é vista como uma disciplina 
compartimentalizada, enquanto do outro lado temos uma sociedade altamente 
tecnológica que clama por inovações. Dessa forma, quando a abordagem é feita 
de forma exclusivamente tradicional, a Matemática escolar tende a afastar os 
alunos e precisa ser ‘’reinventada’’ para propiciar um ensino e uma aprendizagem 
significativa, criativa, prática e contextualizada de acordo com a realidade social e 
cultural do aluno.
 
Para que a aprendizagem seja significativa, por exemplo, além de considerar 
os conhecimentos prévios dos alunos, é necessário a existência de uma 
predisposição positiva deles para aprender e materiais de ensino potencialmente 
significativos. A disposição dos alunos para aprender não depende somente de 
sua estrutura cognitiva, mas também da motivação e materiais disponíveis no 
ambiente educacional. 
53
Desvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E PolinômiosDesvendando Incógnitas, Variáveis, Equações, Inequações E Polinômios Capítulo 1 
 
Os recursos materiais correspondem ao espaço físico que circunda os 
alunos e aos materiais dos quais fazem uso durante a realização das atividades. 
Situações que envolvem o cotidiano dos alunos tendem a motivá-los para o 
estudo dos conteúdos matemáticos e podem constituir elementos motivacionais 
em sua predisposição para aprender. Ainda que a aprendizagem não seja um ato 
que se possa compartilhar, pois é algo individual, o trabalho em grupo favorece as 
interações e a negociação dos significados atribuídos aos objetos matemáticos 
durante a atividade.
 
O professor mediador deve, de acordo com a faixa etária, considerando o 
conhecimento prévio e respeitando o ritmo e perfil cognitivo, colocar seus alunos 
diante de situações que propiciem o desenvolvimento da percepção, atenção, 
memória, do raciocínio, de fala, por exemplo, e o desenvolvimento das funções 
mais complexas como a leitura e a escrita, os raciocínios lógico e dedutivo, a 
elaboração de estratégias, entre outras.
O uso de computadores, telefones celulares e tablets com fins pedagógicos, 
em todos os níveis de escolaridade, pode ser uma ação social de caráter 
motivacional que pode promover a interação entre os pares, estimula a elaboração 
de estratégias e de formas de representação por meio de expressões textual, 
gráfica e oral. 
 
As atividades matemáticas que trabalham com construções preestabelecidas 
podem ser consideradas situações que privilegiam a resolução de problemas. As 
habilidades e competências cognitivas e sociais desenvolvidas com esse tipo de 
atividade passam a fazer parte da estrutura mental dos alunos, que podem ser 
generalizadas em outras situações.
 
Estabelecer relações entre conceitos e ideias próprias da matemática e de 
outros componentes curriculares, com o propósito de superar a fragmentação dos 
saberes, possibilita abordar uma situação-problema sob diferentes perspectivas.
 
Os conhecimentos, de maneira geral, devem dialogar entre si. Por exemplo, 
ao estudar números, percebemos a concepção que os números que temos 
hoje são resultado de um processo sócio histórico. Explorar o tem números, por 
exemplo, pode favorecer a relação entre a Matemática e a História que, quando 
trabalhadas a partir de uma proposta de ensino integrada, possibilitam aos 
discentes compreenderem a importância do uso de um sistema de numeração.
 
Assim, o ensino da Matemática precisa despertar nos alunos o prazer 
de aprender, e os conceitos matemáticos devem ser compreendidos como 
elementos que contribuirão para a vida social dos alunos. Tais conceitos, em 
54
 Aritmética e álgebra para professores
algumas situações, podem ser desenvolvidos por meio de atividades lúdicas e 
desafiadoras, que favoreçam o raciocínio, a reflexão e o pensamento lógico. 
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Fundamentos 
pedagógicos e estrutural da BNCC. Brasília, 2017. Disponível em: http://portal.
mec.gov.br/index.php. Acesso em: 14 maio 2020.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 3. ed., v. 4. São Paulo: Ática, 2008a.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 3. ed., v. 4. São Paulo: Ática, 
2008b.
DINIZ, M. I.; SMOLE, K. S. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Editora 
Saraiva, 2010.
PAIVA, M. Matemática: Paiva. São Paulo: Moderna, 2009.
TARDIFE, M. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes, 
2002. 
CAPÍTULO 2
Compreendendo Funções, Matrizes 
E Progressões
A partir da perspectiva do saber-fazer, são apresentados os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
• Identificar os conceitos de plano cartesiano, funções, gráficos, sistemas 
lineares, matrizes, sequências e progressões. 
• Compreender as aplicações práticas de plano cartesiano, funções, gráficos, 
sistemas lineares, matrizes, sequências e progressões no cotidiano.
56
 Aritmética e álgebra para professores
57
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
1 CONTEXTUALIZAÇÃO
Os avanços nas teorias de aprendizagem, o aparecimento de novas 
tecnologias aplicadas à Educação, os progressos recentes da matemática e 
das demais ciências provocam alterações importantes e profundas no ensino da 
matemática.
No entanto, muitas pessoas ainda consideram a matemática uma disciplina 
com resultados precisos e procedimentos infalíveis, cujos elementos fundamentais 
são as operações aritméticas, procedimentos algébricos e definições e teoremas 
geométricos. Dessa forma, o conteúdo é fixo e seu estado pronto e acabado. 
Assim sendo, há uma necessidade dos professores compreenderem a matemática 
como uma disciplina em que o avanço se dá como consequência do processo de 
investigação e resolução de problemas.
É importante, ainda, que o professor entenda que a matemática estudada 
deve, de alguma forma, ser útil aos alunos, ajudando-os a compreender, explicar 
ou organizar a sua realidade. Inúmeros filósofos da matemática vêm desafiando a 
visão da matemática que predomina no ensino dessa disciplina, como uma visão 
absolutista em que ela se caracteriza pela lógica formal e pelo predomínio da 
razão absoluta. 
A Matemática evolui de um processo humano e criativo de geração de ideias 
e subsequente processo social de negociação de significados, simbolização, 
refutação e formalização, afirmando ainda que o conhecimento matemático evolui 
da resolução de problemas provenientes da realidade ou da própria construção 
matemática. 
Dessa forma, a educação matemática tem como principal desafio determinar 
como transferir para o ensino essa visão da matemática, visto que a sociedade 
em geral e também o educando, em particular, não encara a matemática como 
uma disciplina dinâmica que oportuniza criatividade e emoção.
Dentro dessa visão, o objetivo do ensino de matemática é que os alunos 
tenham experiências matemáticas idênticas as dos matemáticos. Experiências 
essas que devem caracterizar-se pela identificação de problemas e comprovaçãoda legitimidade das soluções propostas.
Nessa perspectiva, a escola é uma estrutura social pela sua capacidade 
transformadora e por encontrar-se inserida numa sociedade que ela reflete. 
Assim sendo, o seu papel é de suma importância para a vida do aluno, para a sua 
preparação no desenvolvimento de habilidades e capacidades que lhe possibilite 
58
 Aritmética e álgebra para professores
integra-se a essa sociedade e com ela interagir de forma eficiente, fazendo-se 
necessário que a escola utilize metodologias que oportunizem ao aluno ser o 
sujeito da ação, o agente da construção de seu próprio conhecimento.
2 COMPREENDENDO FUNÇÕES, 
MATRIZES E PROGRESSÕES
• Funções
o Noção intuitiva de função no cotidiano
Em diversas situações do dia a dia é possível identificar o conceito de 
grandezas que se relacionam entre si. Quando abastecemos um veículo, por 
exemplo, percebemos que existe uma relação direta entre as grandezas “número 
de litros de combustível” e “valor a pagar”. Veja, nos exemplos a seguir, como tais 
grandezas se relacionam: 
Exemplo 1: 
O biodiesel é um tipo de combustível obtido a partir de gorduras animais e 
de plantas oleaginosas, como a soja, o algodão, o girassol, e a mamona. Dentre 
as vantagens para a atmosfera na utilização desse combustível podemos citar a 
menor emissão de gases, quando comparado ao diesel comum (obtido por meio 
do petróleo) (EMBRAPA, 2012). 
A tabela a seguir apresenta entre a quantidade de mamona e a quantidade 
de biodiesel produzida:
TABELA 1 – QUANTIDADE DE MAMONA E BIODIESEL PRODUZIDAS
Quantidade de biodiesel (em litros) Quantidade de mamona (em toneladas)
1 560
2 1120
3 1680
4 224
... ...
x 560.x
FONTE: Adaptado de Embrapa (2012)
59
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Observe que há uma relação entre as grandezas “quantidade de biodiesel” 
(x) e a quantidade de biodiesel (q). Tal relação remete à noção intuitiva de função, 
ou seja, podemos escrever a quantidade em biodiesel (em litros) e a quantidade 
de mamona (em toneladas) por meio da seguinte relação: 
Quantidade de biodiesel (L) =
(quantidade de biodiesel produzida com 1 tonelada 
de mamona) . (quantidade de mamona (t))
 
Chamando de (Q) a quantidade de biodiesel produzida e (x) a quantidade 
de mamona utilizada nessa produção, podemos escrever matematicamente essa 
relação:
Q = 560. x
Assim, utilizando a relação matemática anterior, podemos calcular quantos 
litros de combustível poderiam ser calculados ao utilizar 12,5 toneladas de 
mamona: 
Q = 560. 12,5 = 7 000 litros
Exemplo 2: 
Determinada indústria fabricante de parafusos verificou que o custo C em 
reais de cada parafuso depende da medida x em milímetros do diâmetro da base 
de cada parafuso. Dessa forma, podemos concluir que o valor pago por cada 
parafuso depende do seu diâmetro. 
Sabendo-se que o valor cobrado pela indústria por cada parafuso corresponde 
a 0,01 do seu diâmetro acrescido de R$ 0,06. Usando a noção intuitiva de função 
para expressar matematicamente o preço de cada parafuso, temos:
C = 0,01 x + 0,06
Assim, utilizando a expressão matemática anterior, podemos calcular o preço 
de um parafuso cuja base tem 3 milímetros de diâmetro:
C = 0,01. 3 + 0,06 = 0,09 (preço de cada parafuso)
Para calcular o preço de 500 parafusos cuja base tem 3 milímetros de 
diâmetro, temos:
C = 500. 0,09 = R$ 45,00
60
 Aritmética e álgebra para professores
Podemos calcular ainda a medida, em milímetros, do diâmetro da base de 
um parafuso cujo preço é de R$ 0,11? Substituindo na fórmula C = 0,01. x + 0,06, 
temos:
0,11 = 0,01. x + 0,06
Ao isolar o valor de x na equação acima obtemos:
0,11 – 0,06 = 0,01x
0,05 = 0,01x
x= 0,05/0,01
x= 5 parafusos
o O conceito de função:
O conceito de função é um dos mais relevantes para a matemática. 
Basicamente, o conceito de função é caracterizado por dois conjuntos e alguma 
de associação existente entre eles que faça corresponder a todo elemento do 
primeiro conjunto um único elemento do segundo. O uso de funções pode ser 
encontrado em diversos assuntos. Por exemplo: na tabela de preços de uma loja, 
a cada produto corresponde um determinado preço. 
Outro exemplo seria o preço pago e a relação existente em um posto de 
gasolina entre a quantidade de litros de gasolina e o preço a pagar. O valor a ser 
pago depende da quantidade de litros de gasolina, assim, podemos perceber que 
o valor do litro da gasolina é R$ 2,50. Desse modo temos que: 
FIGURA 1 – PREÇO DA GASOLINA
FONTE: <https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/
be/e/5(10).jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
61
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Dizemos que o preço a pagar é dado em função da quantidade de litros. A 
linguagem matemática utilizada para expressar esse tipo de situação pode ser 
dada da seguinte maneira:
FIGURA 2 – FUNÇÃO DA QUANTIDADE DE LITROS
FONTE: <https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/e/6(9).jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
Definição: seja dois conjuntos A e B não vazios, chamamos 
de função a correspondência f ou relação binária entre os 
conjuntos A e B, nessa ordem, de forma que qualquer elemento x ∈ 
A possui um único correspondente y ∈ B, que é a imagem de x.
Para ilustrar a definição anteriores, temos o seguinte diagrama de flechas:
FIGURA 3 – DIAGRAMA DE FLECHAS
FONTE: <https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/
funcao-1.png>. Acesso em: 22 maio 2020.
62
 Aritmética e álgebra para professores
Observe ainda que cada elemento do conjunto A está relacionado a um único 
elemento em B. Ao fazer a análise do diagrama podemos definir:
• O conjunto A é denominado domínio.
• O conjunto B é chamado contradomínio.
• O subconjunto dos elementos de B, que estão relacionados a elementos 
em A é denominado de imagem da função.
Definimos função como a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida 
por uma lei de formação, isto é, uma regra geral. Os elementos de um grupo 
devem ser relacionados com os elementos do outro grupo, através dessa lei. Por 
exemplo, consideraremos o conjunto A formado pelos seguintes elementos {– 3, – 
2, 0, 2, 3}, que possuirão representação no conjunto B de acordo com a seguinte 
lei de formação y = x². 
Aplicada à lei de formação, temos os seguintes pares ordenados: {(–3, 9), 
(–1, 1), (0, 0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser representada com 
a utilização de diagramas de flechas, relacionando cada elemento do conjunto A 
com os elementos do conjunto B. Observe:
FIGURA 4 – DIAGRAMA DE FLECHAS
FONTE: <https://mundoeducacao.uol.com.br/upload/conteudo/
Untitled-5(36).jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
No diagrama é possível observar com mais clareza que todos os elementos 
de A estão ligados a pelo menos um elemento de B, então podemos dizer que 
essa relação é uma função. Dessa forma, o domínio é dado pelos elementos do 
conjunto A, e, a imagem, pelos elementos do conjunto B. 
 
As funções possuem diversas aplicações no cotidiano, sempre relacionando 
grandezas, valores, índices, variações entre outras situações. Por exemplo, a 
inflação é medida através da função que relaciona os preços atuais com os preços 
63
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
anteriores, dentro de um determinado período, caso ocorra variação para mais 
dizemos que houve inflação, e, havendo variação para menos, denominamos 
deflação. A distância percorrida por um veículo depende da quantidade de 
combustível presente no tanque. Ciências como a Física, a Química e a Biologia 
utilizam em seus cálculos as propriedades das funções para demonstrarem a 
ocorrência de determinados fenômenos. 
o Representando graficamente uma função:
É comum encontrarmos a representação gráfica de uma função na divulgação 
de informações, seja por meios digitais(internet) ou escritos tais como jornais, 
boletins e revistas.
A representação gráfica de uma informação ajuda na compreensão de tal 
informação, bem como no entendimento da relação das grandezas compreendidas 
no contexto dessa informação, como, por exemplo, a taxa de desemprego com 
relação à população economicamente ativa em determinado período de tempo.
Ao construir o gráfico de uma função, devemos atribuir valores à variável que 
representa um valor do domínio da função para encontrar o valor que representa a 
imagem para aquele elemento do domínio.
Antes de apresentar a representação gráfica de uma função, vamos nos 
remeter a um conceito extremamente necessário a representação gráfica, o 
conceito de plano cartesiano.
O plano cartesiano caracteriza-se por um plano composto por duas retas 
numéricas perpendiculares, isto é, retas que tem apenas um ponto em comum, 
formando entre si um ângulo de 90°. Tal em ponto comum é denominado origem e 
representa o número zero para ambas as retas.
 
• Conhecendo as retas numéricas: abcissa e ordenada:
 
Uma reta numérica consiste em uma reta comum na qual foi estabelecida 
uma correspondência com os números reais. Dessa forma, cada ponto da reta 
está associado a um único número real e é esse fato que permite qualquer 
localização. 
O plano cartesiano é constituído por duas retas numéricas: uma representa 
a coordenada horizontal, denominada abcissa e outra representa coordenada 
vertical, chamada de ordenada. É usual utilizar usar as letras x para a 
representação da reta horizontal e y para a reta vertical.
64
 Aritmética e álgebra para professores
GRÁFICO 1 – PLANO CARTESIANO
FONTE: <https://s3.static.brasilescola.uol.com.br/img/2016/09/
abcissa-e-ordenada.jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
• Pares ordenados e localizações no plano cartesiano:
 
Um par ordenado constitui-se por dois números reais que representam uma 
coordenada. A ordem de escrita acontece da seguinte forma: em primeiro lugar 
vêm as coordenadas x e, segundo, as coordenadas y, que são colocadas entre 
parênteses para representar uma localização qualquer. Veja na imagem a seguir 
a representação do ponto A, de abcissa igual a 6 e ordenada igual a 4.
GRÁFICO 2 – PLANO CARTESIANO
FONTE: <https://matematicazup.com.br/wp-content/uploads/2018/10/
plano-cartesiano-pares-ordenados.jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
65
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
No gráfico a seguir, os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro 
quadrantes. Observe que um ponto no plano cartesiano é a associação de um 
valor do eixo x e outro do eixo y, esse ponto é chamado de par ordenado (x, y).
GRÁFICO 3 – PLANO CARTESIANO
FONTE: <https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/
plano-cartesiano-quadrantes.png>. Acesso em: 22 maio 2020.
• Voltando à representação gráfica de uma função:
Exemplo 1:
Considere a função f: A → R, tal que f(x) = 2x – 1. Sendo A = [0, 4], 
represente-a graficamente. 
Resolução:
Para achar os valores dos pares ordenados (x, y) do plano cartesiano, 
atribuímos os valores do domínio A que estão dentro do intervalo [0, 4]. Assim 
para:
x = 0, temos: 2(0) – 1 = 0 – 1 = - 1
x = 1, temos: 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1
x = 2, temos: 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3
x = 3, temos: 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5
x = 4, temos: 2(4) – 1 = 8 – 1= 7 
Apresentando a associação entre os valores x e y na tabela, temos:
66
 Aritmética e álgebra para professores
TABELA 2 – VALORES X E Y
FONTE: A autora
x y
0 -1
1 1
2 3
3 5
4 7
Em que:
x: é um valor do domínio da função.
Y: é um valor da imagem.
Ao representar os pares (x, y) no plano cartesiano obtemos o gráfico a seguir:
GRÁFICO 4 – PLANO CARTESIANO
FONTE: <https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/
funcao-4.png>. Acesso em: 22 maio 2020.
o Função linear e proporcionalidade: 
Duas grandezas são diretamente proporcionais. Quando, ao aumentarmos 
o valor de uma dessas grandezas um determinado número de vezes, o valor da 
outra grandeza igualmente aumenta o mesmo número de vezes. Analogamente, 
quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o valor da outra 
grandeza também diminui.
 
67
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Analisando os pontos (-1, 2) e (-2, 4) pertencentes à função, notamos que 
se multiplicarmos as coordenadas do primeiro ponto: (-1, 2), por 2, obteremos o 
ponto (-2 4). De forma semelhante, ao tomar os pontos (-1, 2) e (-7/2, 7) e aplicar 
os mesmos procedimentos, só que agora multiplicando por 3,5, obteremos o 
segundo ponto.
GRÁFICO 5 – FUNÇÃO
FONTE: A autora
Se tomarmos os pontos (-2, 4) e (-3, 6), ao calcular a razão entras as 
abscissas e ordenadas, temos que -2/-3 = 4/6, prevalecendo a mesma proporção.
Dessa forma, dado um ponto qualquer (x, y) que pertença à função, 
ao multiplicarmos x e y por uma mesma constante k, encontraremos o 
ponto (kx, ky) também pertencente pertence à função. 
Assim, quando aumentamos ou diminuímos x um número de k vezes, o valor 
de y será igualmente aumentado ou diminuído este mesmo número de vezes, 
portanto k é a constante de proporcionalidade. 
o Função polinomial do primeiro grau:
Uma função polinomial do primeiro grau é caracterizada por uma lei de 
formação que pode ser escrita na seguinte maneira: 
68
 Aritmética e álgebra para professores
y = ax + b ou f(x) = ax + b
Em que a e b são pertencentes ao conjunto dos números reais, e a é diferente 
de zero. A função do primeiro grau também é denominada função afim.
As funções do primeiro grau são fórmulas que associam cada elemento 
de um conjunto a um único elemento de outro. O grau de uma função do 
primeiro grau é fornecido pelo maior expoente da variável independente e, ou 
seja, no caso das funções do primeiro grau, o maior expoente é 1.
Exemplo 1:
a) y = 3x + 2, em que a = 3 e b = 2.
b) y = – 2 x – 5, em que a = – 2 e b = – 5. 
c) y = 0,5x, em que a = 0,5 e b = 0.
• Gráfico da função polinomial do primeiro grau
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Para elaborar 
essa reta é necessário achar dois pares ordenados de pontos que pertencem a 
essa reta, representa-los no plano cartesiano e traçar a reta que contém os dois 
pares ordenados.
 
Podemos verificar que o gráfico de toda função polinomial do primeiro grau 
f(x) = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta. Para isso, considere dois pontos quaisquer. 
A (xA, yA) e B(xB, yB) e mostrar que qualquer ponto P(x,y) dessa função pertence à 
reta que passa pelos pontos A e B. No plano cartesiano, temos:
GRÁFICO 6 – PLANO CARTESIANO
FONTE: A autora
69
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Com relação à medida dos catetos dos triângulos ACP e PDB, indicados no 
gráfico, podemos escrever a igualdade:
Por essa igualdade, temos que os triângulos possuem lados proporcionais 
e, além disso, possuem um ângulo reto. Portanto, pelo caso de semelhança 
LAL (lado, ângulo, lado), os triângulos ACP e PDB são semelhantes. Logo, 
seus ângulos correspondentes possuem mesma medida. Como AC ⁄⁄ DP, temos 
que med (CÂP) = med (DPB), o que é possível somente se os pontos A, B e P 
pertencerem à mesma reta, transversal às retas paralelas AC e DP.
Portanto, todo gráfico de uma função polinomial do primeiro grau, com a ≠ 0, 
é uma reta.
Ao analisar a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, 
e identificamos dois números: a e b, coeficientes da função, o valor de a indica se 
a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção 
da função com o eixo y no plano cartesiano. Assim:
<–> <–>
<–> <–>
^
GRÁFICO 7 – FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU
FONTE: <https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/
conteudo/Untitled-2(11).jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
70
 Aritmética e álgebrapara professores
No primeiro gráfico, observamos uma função crescente: à medida em 
que os valores de x aumentam os valores correspondentes em y também 
aumentam. Já no segundo gráfico, temos uma função decrescente: à medida em 
que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.
• Raiz ou zero de uma função polinomial do primeiro grau:
Achar o valor da raiz de uma função do primeiro grau é calcular o valor em 
que a reta que intercepta o eixo x. Nesse sentido, tome o valor de y igual à zero, 
pois no momento em que a reta cruza o eixo x, temos y = 0. Dessa forma, temos a 
representação gráfica a seguir:
GRÁFICO 8 – RAIZ DA FUNÇÃO
FONTE: <https://s1.static.brasilescola.uol.com.br/be/e/
Untitled-5(25).jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
Pode-se adotar uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função 
do 1º grau, criando uma generalização com base a lei de formação da função, 
considerando y = 0 e isolando o valor de x temos:
y = ax + b
y = 0
ax + b = 0
ax = – b
x = – b/a
Dessa forma, a raiz de uma função do 1º grau, pode ser calculada usando a 
expressão x = – b/a.
 Exemplo 1:
 Esboce o gráfico da função y = 2x + 4.
Resolução:
71
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Sendo a= 2 e b= 4, utilizando a fórmula: x = – b/a, obtemos: x = - (-4) /2 = - 2, 
representando graficamente temos:
GRÁFICO 9 – RAIZ: FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU
FONTE: <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-uma-
funcao-1-grau.htm>. Acesso em: 22 maio 2020.
1 Uma pizzaria oferece serviço de entrega e cobra por isso uma taxa 
fixa de R$ 2,00 mais R$ 0,80 por quilômetro rodado no trajeto 
entre o estabelecimento e o local da entrega.
a) Escreva uma função que permita calcular o valor de t da taxa 
de entrega, em reais, em função da distância d percorrida em 
quilômetros?
b) Qual o valor da taxa se o local da entrega for a 13 km da pizzaria? 
2 Às 6 horas de um determinado dia, um tanque, cuja capacidade 
máxima é de 6.000 litros, estava cheio de gasolina. No entanto, 
um furo na base desse tanque fez com que a gasolina escoasse 
a uma vazão constante. Sabendo-se que às 14 horas desse 
mesmo dia o tanque restava apenas 4.800 litros de gasolina no 
tanque, após quanto tempo (em horas) esse tanque atingiu a 
metade da sua capacidade total?
a) ( ) 40.
b) ( ) 30.
c) ( ) 25.
d) ( ) 20.
72
 Aritmética e álgebra para professores
o Função polinomial do segundo grau:
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer 
função f definida de IR em IR que pode ser expressa pela lei de formação:
f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c
Em que a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠ 0. Assim, 
são exemplos de função do segundo grau:
a) f(x) = 2 x2 + 4x –1
b) f(x) = – 3x2
• Raízes de uma função polinomial do segundo grau:
As raízes de uma função são os valores assumidos por x quando f(x) 
= 0. Para encontrar essas raízes, substitui-se f(x) ou y por zero na função e 
encontramos o valor da incógnita na equação resultante. Podemos encontrar 
as raízes de uma equação polinomial do segundo grau, utilizando a fórmula de 
Bhaskara, o método de completar quadrados ou ainda qualquer outro método. 
Como a função é do segundo grau, ela possui até duas raízes 
reais distintas. O diferencial é que essas equações podem ter três soluções 
diferentes. De acordo com o valor do discriminante, já apresentado no Capítulo 1 
e representado pela letra grega ∆ (delta). Temos que:
∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.
∆ = 0, a equação possui raízes reais iguais.
∆ < 0, a equação não possui raízes reais.
Lembrando ainda que a forma de resolução para uma equação polinomial 
do segundo grau depende do valor de delta é denominada fórmula Bháskara. Tal 
expressão consiste num método eficiente de resolução desse modelo de equação, 
com base nos coeficientes numéricos:
δ = b2 - 4ac; e
x = -b ± √δ
 2a 
Exemplo 1: 
Dada a equação x2 - 3x – 10 = 0, temos que: a = 1, b = - 3 e c = – 10.
73
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
x = -b ± √δ
 2a
onde δ = b2 - 4ac, temos:
Δ = (- 3)² – 4.1.(- 10)
Δ=9 + 40
Δ= 49
x = – (- 3) ± √49
 2.1
x = 3 ± 7
 2
x1 = 10/2= 5 
x2 = - 4/2= - 2
 
Logo a equação possui duas raízes diferentes, e o conjunto solução desta 
equação é: S= {- 2,5}.
• Representação gráfica das raízes de uma função polinomial do segundo 
grau: 
O gráfico de uma função polinomial do segundo grau, y = ax2 + bx + c, com 
a ≠ 0, é uma curva denominada parábola. Para construir o gráfico de funções 
polinomiais do segundo grau, devemos observar o coeficiente “a”, pois este 
indica sua concavidade: 
Se a > 0, a parábola será voltada para cima e terá ponto de mínimo. 
Se a < 0, a parábola será para baixo e possuirá ponto de máximo.
O vértice de uma parábola é dado pelos valores numéricos de xv e yv, 
cujas coordenadas podem ser escritas como: V = (xv,yv), consiste no seu ponto 
de máximo (se a < 0) ou de mínimo (se a > 0), podendo ser calculado pela 
substituição dos valores dos coeficientes “a”, “b” e “c” nas seguintes fórmulas:
xv = -b
 2a
xv = -δ
 4a
74
 Aritmética e álgebra para professores
Quando existem, as raízes devem estar inclusas na representação gráfica de 
uma função polinomial do segundo grau. 
Exemplo 1:
Construa o gráfico da função do segundo grau y = 2x2 – 6x.
Resolução: 
Os coeficientes da equação são a = 2, b = – 6 e c = 0. 
Podemos observar que a > 0, portanto, a parábola será voltada para cima.
Calculando o vértice dessa parábola temos:
xv = – b
 2a
xv = – (– 6)
 2·2
xv = 6/4
xv = 1,5
yv = – ∆ 
 4a
Como: ∆ = b2 – 4ac
∆ = (– 6)2 – 4·2·0
∆ = (– 6)2
∆ = 36
Temos:
yv = – 36/8
yv = – 4,5
Logo, as coordenadas do vértice são: V = (1,5, – 4,5).
Na sequência, escolhemos dois valores para a variável x, um maior e outro 
menor que xv, obtemos:
Se x = 1
y = 2x2 – 6x
y = 2·12 – 6·1
y = – 4
75
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Se x = 2 
y = 2x2 – 6x
y = 2·22 – 6·2
y = - 4
Logo, os dois pontos obtidos são B = (1, – 4) e C = (2, – 4).
 Achando ar raízes da equação obtemos:
∆ = b2 – 4ac
∆ = (– 6)2 – 4·2·0
∆ = (– 6)2
∆ = 36
 x = – b ± √∆
 2a
x = – (– 6) ± √36
 2·2
x = 6 ± 6
 4
x1 = 3
 x2 = 0
Logo, os pontos obtidos por meio das raízes, tendo em vista que, para obter 
x = 0 e x = 3, foi preciso fazer y = 0, são: A = (0, 0) e D = (3, 0).
Dessa forma, temos obtemos seis pontos para que possamos construir o 
gráfico da função polinomial do segundo grau y = 2x2 – 6x. Assim, teremos:
GRÁFICO 10 – FUNÇÃO POLINOMIAL DO SEGUNDO GRAU
FONTE: <https://s5.static.brasilescola.uol.com.br/img/2016/07/grafico-
funcao-do-segundo-grau-do-exemplo.jpg>. Acesso em: 22 maio 2020.
76
 Aritmética e álgebra para professores
1 Dado que o custo de C para produzir x unidades de certo produto 
é dado pela fórmula matemática C = x² – 80x + 3000. Com base 
nessas informações, responda as questões que seguem:
a) Qual a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja 
mínimo e o valor desse custo mínimo. 
b) Esboce o gráfico dessa função.
o Função modular:
Antes de definir o que é uma função modular, faz-se necessário recordar o 
que é um módulo na matemática?
Para compreender o conceito de módulo recorremos à reta numérica real, 
em que o módulo é obtido por meio do cálculo da distância de um ponto da reta a 
sua origem, sendo também chamado de valor absoluto. Dessa forma, expresse a 
distância do ponto até a origem dos seguintes valores: - 3, e 4:
FIGURA 5 – DISTÂNCIA DO PONTO ATÉ A ORIGEM
FONTE: <https://www.estudopratico.com.br/wp-content/uploads/2014/08/
reta-num%C3%A9rica.png>. Acessoem: 22 maio 2020.
Distância do ponto - 3 a origem: 
|- 3| = 4 → A distância é 3.
Distância do ponto 4 a origem: 
|+4| = 4 → A distância é 4.
77
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Dessa forma, o módulo de um número real a, indicado por |a| → leia-
se: módulo de a também é chamado de valor absoluto desse número possui a 
seguinte representação:
Se a for um número real positivo, o módulo de a é a.
Se a for um número real negativo, o módulo de a terá como resposta o oposto 
de a, sendo o seu resultado positivo.
Caso a seja o número zero, o módulo de a terá como resposta o zero.
Então: 
lal = a, se a > 0
lal = -a, se a < 0
Assim o conceito da função modular vai de encontro ao conceito de módulo 
de um número real:
• Representação gráfica de uma função modular do primeiro grau:
Considere a função y = lxl + 3.
Resolução:
Usando a definição de função modular, temos:
y = lxl + 3 = x + 3, se x > 0
y = lx + 3l = -x + 3, se x < 0
Seja F(x) = R –> R, a função modular é definida como
f(x) = lal = a, se a > 0
 lal = -a, se a < 0.{
78
 Aritmética e álgebra para professores
TABELA 3 – FUNÇÃO MODULAR
FONTE: A autora
Assim, graficamente temos:
GRÁFICO 11 – FUNÇÃO MODULAR EM GRÁFICO
FONTE: <https://www.estudopratico.com.br/wp-content/uploads/2014/08/Gr%C3%A1fico-
fun%C3%A7%C3%A3o-modular-exemplo-1.png>. Acesso em: 22 maio 2020.
Ao fazer um balanço de suas vendas, um determinado site constatou 
que em certo mês o número de produtos vendidos por dia pode 
ser representado pela fórmula:
79
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
n(t) = 9 . lt - 21l + 5, com 1 < t < 30, em que t é o dia do mês e n é a 
quantidade de produtos vendidos nesse dia. 
a) Quantos produtos foram vendidos no dia 28 desse mês?
b) Em qual dia a quantidade de produtos vendidos foi a menor?
c) Em quantos dias a quantidade de produtos vendidos foi maior ou 
igual a 86 unidades?
d) Faça uma representação gráfica para o balanço das vendas.
• Representação gráfica de uma função modular do segundo grau:
Considere a função modular f(x) = |2x2 – 4x|. Aplicando a definição de módulo, 
teremos:
f(x) = 2x2 – 4x se 2x2 – 4x ≥ 0 
- (2x2 – 4x) se - 2x2 + 4x < 0
2x2 – 4x ≥ 0
2x2 – 4x = 0
x’ = 0
x” = 2
GRÁFICO 12 – FUNÇÃO MODULAR DE SEGUNDO GRAU
FONTE: A autora
- 2x2 + 4x < 0
-2x2 + 4x =0
x’ = 0
x” = 2
80
 Aritmética e álgebra para professores
GRÁFICO 13 – FUNÇÃO MODULAR DE SEGUNDO GRAU
FONTE: A autora
A união dos dois gráficos, considerando a definição de módulo, formará o 
gráfico da função f(x) = |2x2 – 4x|.
GRÁFICO 14 – UNIÃO DOS DOIS GRÁFICOS
FONTE: A autora
Construa o gráfico da função modular definida por f(x) = |4x² + 
8x – 5|:
o Funções exponenciais:
A Função Exponencial caracteriza-se pela variável estar presente no 
expoente, cuja base é sempre maior que zero e diferente de um. 
E importante lembrar que a função exponencial não pode possuir na base o 
valor 1 (um) pois, dessa forma, ela não seria exponencial, e, sim, constante. Ainda 
devemos considerar que a base não pode ser negativa e nem zero, pois nesses 
casos a função não é definida.
Nessa perspectiva, devido ao crescimento muito rápido da função, usamos 
com frequência a expressão: “cresceu exponencialmente”. Desse modo, é muito 
difícil calcular funções exponenciais sem a ajuda de máquinas e calculadoras.
81
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Definição: a função exponencial é a função f: R → R*+, definida 
como f(x) = a x, com 0 < a ≠ 1.
• Representação gráfica da Função Exponencial
Para compreender a representação gráfica de uma função do tipo exponencial 
atribui-se valores ao expoente dessa função. A representação gráfica de uma 
função exponencial pode ser denominada crescente ou decrescente. 
Crescente: dada à função f(x) = 2 x, construa gráfico para essa função.
Resolução: atribuindo valores à variável x, temos:
TABELA 4 – FUNÇÃO EXPONENCIAL
FONTE: A autora
A função f(x) = 2x tem base maior que 1 (um), sendo uma função exponencial 
crescente cuja representação gráfica:
GRÁFICO 15 – FUNÇÃO EXPONENCIAL
FONTE: A autora
82
 Aritmética e álgebra para professores
Decrescente: dada a função f(x) = (1⁄2)x, construa o gráfico para essa função.
Resolução: atribuindo valores à variável x, temos:
TABELA 5 – VALORES DA VARIÁVEL X
FONTE: A autora
A função f(x) = (1⁄2)x tem base a com 0 < a < 1, sendo uma função exponencial 
decrescente cuja representação gráfica:
GRÁFICO 16 – FUNÇÃO EXPONENCIAL
FONTE: A autora
Assim, temos que a função exponencial é:
crescente se a > 1;
decrescente se 0 < a < 1.
Uma rede de lojas de informática verificou que a quantidade 
de peças vendidas de determinado produto, em uma de suas filiais, 
denominada F1, pode ser expressa pela função y=10.5ˣ, em que x 
representa a quantidade em meses desde a inauguração da loja, e, o 
83
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
total de produtos vendidos. Outra filial, denominada F2, vende a cada 
mês o triplo de F1. Sabendo que ambas as lojas foram inauguradas 
em janeiro (t= 0), em que mês as duas lojas juntas venderam 25 000 
peças do produto?
o Função logarítmica:
Uma aplicação importante dos logaritmos consiste na escala Richter 
desenvolvida pelos sismólogos Charles Richter e Beno Gutenberg, que mede a 
magnitude de terremotos. Os logaritmos são usados também na Física para medir 
a intensidade de decibéis suportáveis pelo ouvido humano.
Na Química, os logaritmos são utilizados para calcular o pH de uma 
substância. Além disso, a navegação marítima e área também se beneficiam do 
conceito de logaritmo. Além de sua importância nas navegações e no comércio, o 
logaritmo também foi importante para calcular o acúmulo de riquezas e dos juros 
gerados pelas viagens marítimas e no desenvolvimento da Astronomia, com isso, 
facilitando o trabalho de diversos astrônomos como Tycho Brahe e Johannes 
Kepler. 
Na astronomia, em particular, já estava passando da hora para essa 
descoberta, pois, como afirmou Pierre Simon Laplace, a invenção dos Logaritmos 
“ao diminuir o trabalho, dobrou a vida dos astrônomos”. 
Antes de definir o conceito de função exponencial, vamos relembrar o 
logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual se deve elevar à 
base a para obter o número x, ou seja:
A função logarítmica de base a é definida como f (x) = loga x, com a real, 
positivo e a ≠ 1. A função inversa da função logarítmica é a função exponencial.
84
 Aritmética e álgebra para professores
Exemplo 1: 
a) f (x) = log3 x
b) h (x) = log10 x = log x
O domínio da função logarítmica está contido no conjunto R*+, conjunto dos 
números reais positivos sem o 0 (zero). Para obter o domínio da função logarítmica 
basta atribuir os valores a variável x. Cabe ressaltar ainda que o logarítmico e a 
base tem que ser positivos, e a base precisa ser diferente de 1.
Exemplo 2: 
Dado f(x) = log2 2x + 1, determine o domínio da função.
Resolução:
Verificando a condição de existência do logaritmo, temos que 0 < a ≠ 1. Logo:
2x + 1 > 0 ⇒ 2x > -1 ⇒ x > –1⁄2
Desse modo, o domínio é definido como: D = {x ∈ R | x > –1⁄2 }.
• Gráfico de uma função logarítmica: 
Ao atribuir valores de x em uma função logarítmica, podemos esboçar 
o gráfico no plano cartesiano. As funções logarítmicas são classificadas 
em crescente ou decrescente.
o Função Crescente:
Dada a função f(x) = log2x, ao atribuir valores para x, podemos observar 
que uma função logarítmica com base a > 1 é estritamente crescente e contínua 
em R*+. 
 
Importante salientar que quando não mencionados o domínio e contradomínio 
são subentendidos aqueles para os quais a função existe.
85
Compreendendo Funções,Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
TABELA 6 – FUNÇÃO CRESCENTE
FONTE: A autora
GRÁFICO 17 – FUNÇÃO CRESCENTE
FONTE: A autora
Observe que, à medida em que os valores de x aumentam, a função cresce 
de forma mais lenta.
o Função Decrescente:
Dada a função f(x) = log 1⁄2 x, ao atribuir valores para x, podemos observar 
que uma função logarítmica com base 0 < a < 1 é estritamente decrescente e 
contínua em R*+. 
86
 Aritmética e álgebra para professores
TABELA 7 – FUNÇÃO DECRESCENTE
FONTE: A autora
GRÁFICO 18 – FUNÇÃO DECRESCENTE
FONTE: A autora
Observe que à medida que os valores de x aumentam, a função decresce 
mais lentamente. Assim uma função logarítmica é:
crescente, para a > 1;
decrescente, para 0 < a < 1.
• Matrizes 
Toda matriz tem o formato m x n (leia-se: m por n, com m e n ∈ N*), em 
que m é o número de linhas e n o número de colunas. Existem diversas maneiras 
de representarmos matrizes, as mais usuais são, colchetes [ ] e parênteses ( ). 
Assim, seja a matriz genérica Amxn, isto é, m representa as linhas e n o número de 
colunas, temos:
87
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Os elementos da matriz A são indicados por aij, em que o i representa o 
índice da linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Para 
localizarmos um elemento na coluna, procuramos o número da linha e da coluna, 
esses números são os índices i e j. Observe que as linhas são numeradas de cima 
para baixo, enquanto as colunas são numeradas da esquerda para a direita. Dada 
a matriz:
a11 representa o elemento 1.
a12 representa o elemento 4.
a13 representa o elemento 0.
a21 representa o elemento - 2.
a22 representa o elemento 4.
a23 representa o elemento 3.
Em cada um dos quatro dias de desfile de carnaval, a temperatura foi 
medida em graus Celsius, no meio da multidão, em três momentos 
distintos. Cada elemento aij da matriz A a seguir corresponde à 
medida da temperatura no momento i do dia j.
Qual foram, respectivamente, o momento e o dia em que se registrou 
a maior temperatura durante os desfiles?
a) ( ) 2.º e 4.º
b) ( ) 2.º e 2.º
c) ( ) 3.º e 2.º
d) ( ) 3.º e 3.º
e) ( ) 3.º e 4.º
88
 Aritmética e álgebra para professores
o Classificação das matrizes
Algumas matrizes recebem classificações especiais:
• Matriz Linha: caracteriza-se por uma matriz formada por uma única linha, 
por exemplo:
•	 Matriz Coluna: caracteriza-se por uma matriz formada por uma única 
coluna, por exemplo:
•	 Matriz Nula: caracteriza-se por uma matriz formada por elementos iguais 
a zero, por exemplo:
• Matriz Quadrada: caracteriza-se por uma matriz formada pelo mesmo 
número de linhas e colunas, por exemplo: 
• Matriz Oposta: na constituição da matriz oposta, os elementos entre duas 
matrizes têm sinais diferentes. Seja matriz A, dada a seguir:
 
• Matriz Identidade: a matriz identidade apresenta elementos da diagonal 
principal iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0 (zero): 
89
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
I3 = matriz identidade de ordem 3.
• Propriedades da Matriz Identidade:
Uma matriz identidade de ordem n é representada por In. Se n = 2 então 
chamamos a matriz identidade de ordem 2.
Uma multiplicação de uma matriz A qualquer pela matriz identidade In tem 
como resultado a matriz A, ou seja: A . In = In . A = A.
o Transposta de uma matriz:
Se A= [aij] é uma matriz m x n, então a matriz m x n, então a matriz n x m Aᵗ 
= [aij ], em que: 
Aᵗ = [aitᵗj] (1 < i < m, 1 < j < n).
A transposta de uma matriz consiste na troca de suas linhas por suas colunas, 
ou seja:
• Propriedades da transposta:
Sendo as matrizes A e B, e a um número real qualquer, caso as operações a 
seguir sejam possíveis, então temos que:
(A + B)t = At + Bt
(a . A)t = a . At
(At)t = A
(A . B)t = Bt . At
Uma matriz é simétrica, se, e somente se, ela seja igual a sua transposta: A 
= At.
Uma matriz é antissimétrica, se, e somente se, ela seja igual a oposta da sua 
transposta: A = - At.
o Inversão de matrizes quadradas:
T
90
 Aritmética e álgebra para professores
A inversão de matrizes é uma operação que só pode ser feita com matrizes 
quadradas, ou seja, matrizes que tenham o número de linhas igual ao número de 
colunas, ou seja, 2x2, 3x3. Tal operação é definida por:
 
A.A-¹ = I
 
Sendo:
A a matriz A;
A-¹ a inversa de A;
I a matriz identidade, que é uma matriz quadrada, ou seja, uma matriz 
que possui o mesmo número de linhas e colunas, onde todos os elementos da 
diagonal principal são 1 e os demais elementos da matriz são 0.
Exemplo:
 
Calcule a inversa da matriz a seguir.
• Inversão de matrizes quadradas:
A inversão de matrizes é uma operação que só pode ser feita com matrizes 
quadradas, ou seja, matrizes que tenham o número de linhas igual ao número de 
colunas, ou seja, 2x2, 3x3. Tal operação é definida por:
 
A.A-¹ = I
 
Sendo:
A a matriz A;
A-¹ a inversa de A;
I a matriz identidade, que é uma matriz quadrada, ou seja, uma matriz 
que possui o mesmo número de linhas e colunas, onde todos os elementos da 
diagonal principal são 1 e os demais elementos da matriz são 0.
Exemplo:
 
Calcule a inversa da matriz a seguir.
91
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Resolução:
 
Ao realizar a multiplicação das linhas da matriz A pelas colunas de sua matriz 
inversa, igualando aos elementos da matriz identidade teremos:
 
 
Resolvendo o sistema de equações, obtemos:
 
a = 4, d =1.
o Inversão de matrizes quadradas:
 
A inversão de matrizes é uma operação que só pode ser feita com matrizes 
quadradas, ou seja, matrizes que tenham o número de linhas igual ao número de 
colunas, ou seja, 2x2, 3x3. Tal operação é definida por: 
 
A.A ¹ = I
 
Sendo:
A a matriz A;
A-¹ a inversa de A;
I a matriz identidade, que é uma matriz quadrada, ou seja, uma matriz 
que possui o mesmo número de linhas e colunas, onde todos os elementos da 
diagonal principal são 1 e os demais elementos da matriz são 0.
Exemplo:
 
Calcule a inversa da matriz a seguir.
Resolução:
 
-
92
 Aritmética e álgebra para professores
Ao realizar a multiplicação das linhas da matriz A pelas colunas de sua matriz 
inversa, igualando aos elementos da matriz identidade teremos:
 
 Resolvendo o sistema de equações, obtemos:
 
a = 4, d =−7, c = 3, f =−5
 
 
Logo:
−7, c = 3, f = − 5
Logo:
Ao realizar a multiplicação das linhas da matriz A pelas colunas de sua matriz 
inversa, igualando aos elementos da matriz identidade teremos:
 
Resolvendo o sistema de equações, obtemos:
 
a = 4, d = −7, c = 3, f = −5
Logo:
93
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
o Operações entre Matrizes
As operações da aritmética são usadas também para resolver problemas 
com matrizes, a seguir apresentamos cada uma delas.
Igualdade de Matrizes: em matrizes consideradas iguais, os elementos das 
linhas e das colunas se correspondem. Duas matrizes A e B de mesma ordem m 
x n são iguais, se, e somente se, todos os elementos que correspondem a B e 
a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ aij = bij. Assim: 
Adição de Matrizes: se A= [aij] B= [bij] são matrizes m x n, a soma de A e B 
é a matriz C do tipo m x n definida por:
cij = aij + cij (1 < i < m, 1 < j < n).
A adição de matrizes é uma operação que só pode ser executada por 
matrizes do que possuem o número de linhas iguais ao número de colunas, ou 
seja, matrizes que sejam do mesmo tipo. Em tal operação somamos os elementos 
correspondentes das matrizes A e B. Dadas as matrizes A e B, temos:
Subtração ou diferença de matrizes: se A=[aij] B= [bij] são matrizes m x 
n, a soma de A e B é a matriz C do tipo m x n, definida por:
cij = aij + cij (1 < i < m, 1 < j < n).
A subtração de matrizes é uma operação que só pode ser realizada por 
matrizes do mesmo tipo com número de linhas igual ao número de colunas, nessa 
operação subtraímos os elementos correspondentes de A e B. Dadas as matrizes 
A e B, temos:
94
 Aritmética e álgebra para professores
Multiplicação de uma matriz por um Escalar: se A= [aij] é uma matriz m x 
n e r é um número real, então o múltiplo escalar de A por r, rA, é a matriz m x n, 
B definida por:
bij = raij (1 < i < m, 1 < j < n).
Sendo:
Multiplicação ou Produto de Matrizes: se A= [aij] B= [bij]é uma matriz m x 
n, então o produto de A e B, denotado por AB, é a matriz m x n, C definida por:
A multiplicação de matrizes é um processo que pode ser feito quando o 
número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda 
matriz. Nesse sentido, dada uma matriz A do tipo “m x n” e uma matriz B do 
tipo “n x p”, o produto da operação será uma matriz “m x p”, que pode ser 
denominada AB ou de C. Sendo A e B dados a seguir, determine AB:
95
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Note:
• A multiplicação de matriz somente é possível se o número de colunas em 
uma matriz for igual ao número de linhas da outra matriz.
• A matriz resultante C tem o mesmo número de linha da primeira matriz e o 
mesmo número de colunas da segunda matriz.
1 Dado que a A matriz fornece em reais o custo das porções de arroz, 
carne e salada usadas num restaurante: 
 
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada 
usadas na composição dos pratos tipo P1, P2 e P3 desse 
restaurante: A matriz que fornece o custo de produção, em reais, 
dos pratos tipo P1, P2 e P3. Qual é o custo total de produção?
 
2 Um fast-food de sanduíches naturais vende dois tipos de sanduíche, 
A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) 
nas seguintes quantidades (em gramas) por sanduíches: 
3 Durante um almoço foram vendidos 6 sanduíches do tipo A e 10 
sanduíches do tipo B. Qual foi a quantidade necessária de cada 
ingrediente para a preparação desses 16 sanduíches? 
4 O cálcio é essencial para a transmissão nervosa, coagulação 
do sangue e contração muscular; atua também na respiração 
celular, além de garantir uma boa formação e manutenção de 
ossos e dentes. A Tabela 1, a seguir, mostra que a ingestão diária 
recomendada de cálcio por pessoa varia com a idade:
Sanduíche A Sanduíche B
Queijo 18 g 10 g
Salada 26 g 33 g
Rosbife 23 g 12 g
Atum - 16 g
96
 Aritmética e álgebra para professores
Foi por essa importância que o cálcio tem para o corpo humano que 
a diretora de uma escola resolveu calcular a quantidade de cálcio 
que teria de usar nas refeições diárias dos seus alunos para suprir 
a essa necessidade. A Tabela 2, a seguir, mostra a quantidade de 
alunos por idade existente nessa escola:
A quantidade diária de cálcio, em mg, que teria que usar nas refeições 
desses alunos é:
a) ( ) 286 000.
b) ( ) 300 000.
c) ( ) 294 000.
d) ( ) 322 000.
• Determinantes
Denomina-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos 
produtos obtidos realizando todas as permutações dos segundos índices do termo 
principal, fixados os primeiros índices, e fazendo preceder os produtos do sinal + 
ou -, conforme a permutação dos segundos índices seja de classe par ou ímpar.
o Ordem de um Determinante: denomina-se ordem de um determinante 
a ordem da matriz a que o mesmo corresponde. Assim, se a matriz é de 
ordem 3, por exemplo, o determinante será de ordem 3.
o A representação do determinante do determinante de uma matriz A: 
a representação do determinante de uma matriz A, que será designado 
por det A, faz-se de maneira análoga à da matriz, colocada entre dois 
traços verticais.
97
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Det A = 
Calcular o determinante de qualquer matriz é possível desde que essa 
matriz seja quadrada, ou seja, que a matriz tenha o mesmo número de linhas 
e de colunas (seja uma matriz de ordem n x n). Portanto, podemos concluir 
que determinante de uma matriz quadrada consiste no valor numérico.
O determinante de uma matriz quadrada M é a associação de um número 
real único, chamado de determinante de M e podemos usar a abreviação det 
(M), que pode ser utilizado na resolução de sistemas lineares.
o Determinante de matriz de ordem 1
Na matriz de ordem 1, o determinante dessa é o próprio elemento da matriz.
Exemplo 1: 
A = [1] ⇒ det A = 1
o Determinante de matriz de ordem 2
O determinante das matrizes quadradas – aquelas que possuem os 
mesmo números de linhas e colunas – de ordem 2×2 é calculado pela diferença 
da multiplicação dos elementos da diagonal principal pela secundária. Desse 
modo:
Exemplo 2:
Seja a matriz M:
Então:
o Determinantes de matriz de ordem 3
98
 Aritmética e álgebra para professores
Ao calcularmos o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3×3, 
utilizamos a regra de Sarrus.
Seja A uma matriz quadrada de ordem 3×3:
A regra de Sarrus funciona da seguinte maneira: copiamos a 1ª e 2ª 
coluna da matriz A para o lado direito da matriz, assim:
Depois fazemos o produto entre os termos da matriz com as colunas que 
copiamos para o lado direito, seguindo as setas a seguir: para as setas azuis, 
multiplicamos os 3 elementos diagonalmente e associamos os sinais de mais (+); 
para as setas vermelhas, multiplicamos os 3 elementos de cada seta e associamos 
o sinal de menos (-). Observe:
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 
– a12 . a21. a33
Exemplo 3:
Considere a matriz A a seguir.
Assim, seguindo a regra de Sarrus, copiamos a 1ª e 2ª coluna de A para o 
lado direito:
99
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Ao seguir o sentido das setas e obedecer aos sinais, temos que:
det A = 1 . 5 . 3 + 3 . 1 . 2 + 0 . 2 . 1 – 0 . 5 . 2 – 1 . 1 . 1 – 3 . 2 . 3 =
15 + 6 + 0 – 0 – 1 – 18 = 21 – 19 = 2
Portanto, det (A) = 2.
Cabe destacar que existe o determinante para matrizes de ordem 4 
ou superior, no entanto, por motivos de espaço e aplicação do conteúdo 
na resolução de sistemas lineares, neste capítulo, nos limitaremos ao 
determinante de ordem 3.
o Sistemas Lineares: sistemas lineares são conjuntos de equações lineares 
associadas entre si, com m equações e n incógnitas. Os sistemas Lineares são 
conjuntos de equações associadas entre elas que apresentam a forma a seguir:
Em que os coeficientes amxm, am2xm2, am3xm3, ... , an, an2, an3 das incógnitas x1, 
xm2,xm3, ... , xn, xn2, xn3 são números reais, e b denominado de termo independente 
também é número real.
o Resolução de um sistema linear
Existem várias formas de resolver um sistema linear, tais como a adição, 
subtração e o escalonamento, e a regra de Cramer. Neste capítulo, abordaremos 
apenas a regra de regra de Cramer, tal forma pode ser usada na resolução de 
sistemas nos quais o número de equações for igual ao número de incógnitas. Ao 
resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas devemos calcular 
o determinante (D) da equação incompleta do sistema, e depois substituirmos 
os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos 
determinantes aplicando a regra de Cramer que diz que os valores das incógnitas 
são calculados da seguinte forma:
 
100
 Aritmética e álgebra para professores
Exemplo 4:
Dado o sistema a seguir, aplique a regra Cramer, para calcular os valores de 
x, y e z:
Utilizar da regra de Cramer, para o sistema anterior, percebemos que ele possui 3 
equações e 3 incógnitas, ou seja,o número de incógnitas é igual ao número de equações. 
A matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A, dada a seguir:
Calculando o seu determinante que será representado por D, temos:
 
 
D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4 = 15
Substituindo-se os temos independentes na primeira coluna da matriz A, 
formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.
Calculando o seu determinante representado por Dx:
Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6 = 15
Substituindo-se os termos independentes na segunda coluna da matriz 
incompleta formando a matriz Ay.
101
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Calculando-se o seu determinante Dy, obtemos:
Dy = -3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16 = 30
Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da 
matriz incompleta formaremos a matriz Az.
 
Calculando o seu determinante representado por Dz:
 
Dz = – 2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8 = 45
Aplicando a regra prática de Cramer, temos:
 
 
 
Portanto, a solução desse sistema será V = {(1,2,3)}.
102
 Aritmética e álgebra para professores
Na disciplina de Matemática de certo curso, o professor aplicou três 
provas com pesos diferentes. Na tabela a seguir, apresentamos 
as notas dos alunos que tiveram o melhor desempenho nessas 
provas, bem como suas médias ponderadas.
De acordo com as informações, determine o peso de cada prova, 
sabendo-se que a soma deles é 10.
Aluno Provas Nota final
Primeira Segunda Terceira
Carlos 9,7 8,4 8,9 9,2
João 9,5 8,3 8,3 8,9
Melissa 8,4 9,4 8,4 8,6
• Sequências Numéricas: uma sequência numérica consiste em uma 
sucessão finita ou infinita de números que obedece a uma determinada 
ordem definida antecipadamente. A notação utilizada para representar 
uma sequência numérica na matemática deve ser representada entre 
parênteses e de forma ordenada.
Exemplos:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, …): sequência dos números naturais;
(1, 3, 5, 7, 9, …): sequência dos números ímpares positivos.
• Classificação das Sequências Numéricas: as sequências numéricas 
são classificadas em finitas e infinitas.
Sequência Finita: uma sequência finita é representada da seguinte 
forma: (a1, a2, a3, a4, … , an)
Exemplo: (1,3,5,7,9), sequência dos algarismos ímpares do sistema decimal 
de numeração.
Em uma sequência finita podemos apontar o elemento an da sequência, 
pois se umas sequências finitas têm como saber exatamente a quantidade de 
elementos dessa sequência. Observe na sequência acima, temos: n = 5, a1 = 1 
e an = a10 = 9.
103
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
• Sequência Infinita: uma sequência infinita é representada da seguinte 
forma: (a1, a2, a3, a4… , an, …).
Exemplo: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …), sequência dos números naturais.
Uma sequência infinita é representada com uma reticência no final. Os 
elementos são apontados pela letra a. Assim, o elemento a1, equivale ao primeiro 
elemento, a2, ao segundo elemento e assim sucessivamente.
• Igualdade de Sequências Numéricas:
Duas sequências são consideradas iguais se apresentarem os mesmos 
termos e na mesma ordem.
Exemplo: sejam as sequências:
(a, b, c, d, e)
(1, 5, 10, 15, 20)
As duas sequências podem ser consideras iguais se, e somente se, a = 1, b 
= 5, c = 10, d = 15 e e = 20.
• Lei de formação de uma sequência numérica:
Uma sequência numérica pode ser determinada por uma lei de formação, ou 
seja, uma lei que associe a cada número natural n diferente de zero a um termo an 
conhecido por termo geral da sequência.
Toda sequência numérica possui sua lei de formação. Dada a sequência (2, 
11, 26, …), temos que essa sequência possui a seguinte lei de formação:
an = 3 n2 – 1, n ∈ N*
Essa expressão matemática pode ser usada para encontrar qualquer termo 
da sequência. 
Se n= 5, por exemplo, temos: a4 = 3.5 2 – 1 = 75 - 1 = 74.
A seguir, destacaremos dois tipos de sequências numéricas: as progressões 
aritméticas e geométricas.
104
 Aritmética e álgebra para professores
Em determinado teatro, as poltronas da plateia são dispostas em 14 
filas de modo que a primeira fila possui 20 poltronas; a segunda, 
24; a terceira, 28; e assim por diante. Dizemos então que a 
partir da primeira fila, a seguinte possui 4 poltronas a mais que a 
anterior. Podemos representar a quantidade de poltronas de cada 
fila da seguinte forma: (20, 24, 28, 32,...,68,72). De acordo com 
essas informações, responda:
a) Quantas poltronas há na décima fila da plateia desse teatro?
b) É possível que uma das filas tenha um número ímpar de poltronas? 
Por quê?
c) Qual é a quantidade de poltronas desse teatro?
• Progressões Aritméticas
Considere a seguinte situação: um funcionário de uma padaria preparou uma 
tabela com o total a ser pago em reais pelos clientes de acordo com a quantidade 
de pães pedidas. Note que o valor a pagar, em função do número de pães, forma 
uma sequência: (0,80; 1,20; 1,60; 2,00; 2,40; 2,80; 3,20; 3,60; 4,00). Assim, os 
termos dessa sequência, a partir do segundo, são determinados somando-
se a constante 0,40 ao termo antecedente. Esse é um exemplo de progressão 
aritmética. 
Dessa forma uma progressão aritmética (PA) é um tipo de sequência em que 
cada termo, começando a partir do segundo, é o termo anterior somado a uma 
constante r, a qual é chamada de razão da PA. 
Seja a P.A. com razão r: (a1, a2, a3, …, an-1, an, …). Podemos encontrar 
qualquer termo de uma PA, pois:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a4 = a3 + r
a5 = a4 + r 
. 
. 
.
an = an-1 + r
105
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Somando as igualdades anteriores:
(a1 + a2 + a3 + … + na-1) + (na = a1 + a2 + a3 + … na-1) + r + r + r + … + r ((n 
– 1) vezes)
Simplificando, chegamos a seguinte fórmula:
an = a1 + (n – 1). r
Em que:
an: é o termo geral;
a1: é o primeiro termo da P.A.;
n: é o número de termos ou o total de termos;
r: é a razão.
Exemplo 1:
Sabendo que o primeiro termo a1 = 3 e r = 6, encontre o sexto termo 
dessa progressão aritmética.
Resolução:
Substituindo na fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1). r, temos:
a6 = 5 + (6 – 1).5
a6 = 5 + 5 . 5
a6 = 5 + 25
a6 = 30
Exemplo 2:
Ao financiar uma casa em 20 anos, José fechou o seguinte negócio com a 
financeira: em cada ano, o valor das 12 prestações deve ser igual e o valor da 
prestação mensal nos próximos anos sofrerá um reajuste anual de R$ 40,00 a 
mais que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Considerando que o valor 
da prestação no primeiro ano é de R$ 350,00, determine o valor da prestação no 
último ano.
Resolução:
Substituindo na fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1). r, temos:
106
 Aritmética e álgebra para professores
a12 = 350 + (20 – 1). 40
a12= 1110
o Tipos de progressões aritméticas (P.A.):
Crescente: é toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é 
sempre maior que o antecessor, ou seja, com r > 0.
Exemplo: (1, 4, 7, 10, 13, …) é uma P.A. com razão r = 3.
Decrescente: é toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é 
sempre menor que o seu antecessor, ou seja, r < 0.
Exemplo: (5, 4, 3, 2, 1, -1, - 2,- 3, …) é uma P.A. com r = - 1.
Constante: toda P.A. em que seus termos são iguais, o seja, com r = 0.
Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2, …) é uma P.A. com r = 0.
No início de 2015, uma empresa adquiriu uma máquina que produziu 
65.000 unidades de determinado produto no decorrer desse ano. 
A produção dessa máquina a produção em 3.000 unidades a 
cada ano. Quantas unidades do produto foram produzidas por 
essa máquina no ano de 2018?
o Soma dos termos de uma Progressão Aritmética:
Uma progressão aritmética (PA) é dada pela multiplicação da metade 
do seu número de termos pela soma do primeiro com o último termo. Assim, 
uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que segue a seguinte 
lógica: um elemento é igualao anterior somado com uma constante real. 
Assim, é uma propriedade das progressões aritméticas que a diferença entre 
dois termos consecutivos quaisquer tenham sempre o mesmo resultado. 
Tal resultado é chamado de razão. A soma dos termos de uma PA pode ser 
calculada de maneira fácil por meio de uma fórmula, que será discutida a seguir. 
107
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Dada a PA (a1, a2, a3, …, an – 2, an – 1, an), que possui n termos, a soma desses 
termos por Sn, teremos a seguinte expressão:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
Ao reescrever a soma como outra soma de termos de em ordem decrescente 
temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an
 Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1
Ao somar as duas progressões aritméticas, obtemos:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + … + (an – 2 + a3) + (an – 1 + a2) + (an + 
a1)
Colocando os resultados dessas somas entre parênteses serão iguais aos do 
primeiro termo somado ao último, temos:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)
Trocando toda a soma acima pela multiplicação por n, que é o número inicial 
de termos, e resolvendo a equação, teremos:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)
2Sn = n (a1 + an)
Em que n é o número de termos; a1 e an são os primeiros e o último termo, 
respectivamente.
Exemplo 1: 
Considerando a PA (2, 4, 6, 8, 10, …), obtenha a soma dos seus 200 primeiros 
termos.
Resolução:
108
 Aritmética e álgebra para professores
Para efetuar o cálculo dessa soma, precisamos conhecer o último termo 
dessa PA. Substituindo na fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1). r, temos:
a200 = 2 + (200 – 1). 2
a12= 2 + (199 ). 2
a12= 2 + (199 ). 2
a12= 2 + 398
a12= 400
Substituindo a fórmula para soma dos n primeiros termos de uma 
PA, temos:
S200 = 200 (2 + 400) 
 2
S200 = 200 (402) 
 2
S200 = 80400 
 2
S200 = 20 200
1 Um ciclista percorre 36 km na primeira hora; 18 km na segunda 
hora, e assim por diante, formando uma progressão aritmética. 
Quantos quilômetros este ciclista percorrerá em 5 horas? 
a) ( ) 230 km.
b) ( ) 200 km.
c) ( ) 270 km. 
d) ( ) 240 km.
2 Um veículo parte de uma cidade A em direção a uma cidade 
B, distante 500 km. Na primeira hora do trajeto ele percorre 
20 km, na segunda 22,5 km, na terceira hora 25 km e assim 
sucessivamente. Ao completar a décima segunda hora do 
percurso, a distância que esse veículo estará de B será igual a:
a) ( ) 95 km 
b) ( ) 115 km. 
109
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
c) ( ) 125 km. 
d) ( ) 135 km. 
e) ( ) 155 km.
o Progressões Geométricas:
Uma progressão geométrica (PG) é um tipo de sequência em que cada 
termo, começando a partir do segundo, é determinado pela multiplicação por uma 
constante r, a qual é chamada de razão da PG. Sendo uma sucessão de números 
obtidos através da multiplicação entre o termo anterior e a razão r.
Considerando a PG (a1, a2, a3, ..., a n – 1, an) e utilizando a definição de PG 
an = an – 1. r com n > 1 podemos encontrar a fórmula do termo geral da PG, desde 
que a1 ≠ 0 e r ≠ 0. 
a 2 = a1 . r
a 3 = a2 . r
a 4 = a3 . r
...
an = a n – 1 . r
an = a1 . r n – 1
Dessa forma, o termo geral da PG é calculado com a utilização da fórmula:
an = a1 . r (n - 1)
 Em que:
an: número que queremos obter;
a1: o primeiro número da sequência;
r (n - 1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1.
Exemplo 1: 
(1, 2, 4, 8, 16, 32, …): é uma PG em que o primeiro termo a1 = 0 e razão r = 2.
Exemplo 2:
Certo investimento é remunerado mensalmente a uma taxa fixa de 0,65%. 
Por exemplo, se uma pessoa investiu R$ 100,00, com índice do mês em 0,65%, 
após um mês será aplicada a seguinte correção:
110
 Aritmética e álgebra para professores
100. 1,0065 = 100,65
Nesse caso, os R$ 100,00 renderam R$ 0,65 em um mês. Nessa perspectiva, 
qual será a quantia obtida ao final de dois anos por um capital de R$ 12.000,00 
aplicados nesse investimento?
Dica: a partir do segundo mês, a quantia obtida é calculada 
sobre o capital do mês anterior.
Resolução:
Calculando a quantia obtida ao final de cada mês, temos:
1º mês: 12 000 . 1,0065= 12 078
2º mês: 12 078 . 1,0065= 12 156,507
3º mês: 12 156,507 . 1,0065= 12 235,5243
Assim, a sequência (12 078; 12 156,507; 12 235,5243;...) é uma PG, em que 
a1 = 12 078 e r = 1,0065. Dessa forma, ao final do 24º mês, teremos:
an = a1 . r (n – 1)
a24 = 12 078 . 1,0065 (24 – 1)
a24 = 12 078 . 1,0065 (23)
a24 = 14 018,84
• Tipos de progressões Geométricas (P.G.):
Crescente: uma PG é crescente quando cada termo, a partir do segundo, 
é maior que o termo anterior a ele. Sendo necessário e suficiente que 
a 1 > 0 e r > 1, como, por exemplo: (1,2,4,8,16,32,64,...) ou 
a 1 < 0 e 0 < r < 1, por exemplo (-1 , -1/2, -1/4, ....).
Decrescente: uma PG é decrescente quando cada termo, a partir do 
segundo, é menor que o termo anterior a ele. Sendo necessário e suficiente que 
a 1 > 0 e 0 < r < 1, por exemplo: (64, 32, 16, 8,...) ou a 1 < 0 e q > 1, por exemplo: 
(- 2,- 4,- 8,...).
111
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Constante: uma PG é constante quando todos os seus termos são iguais. 
Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que sua razão seja 1 ou que 
todos os seus termos sejam nulos. Exemplo: (8, 8, 8, 8...) é uma PG constante de 
razão r = 1. 
Oscilante: uma PG é oscilante quando todos os seus termos são diferentes 
de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos. Sendo 
necessário e suficiente que a1 ≠ 0 e r < 0. Exemplo: (3, -6, 12, -24, 48, -96...) é 
uma PG oscilante de razão r = - 2.
Quase nula: uma PG é quase nula quando o primeiro termo é diferente de 
zero e todos os demais são iguais à zero. Sendo necessário e suficiente que a1 ≠ 
0 e r = 0. Exemplo: (8, 0, 0, 0, 0...) é uma P.G. quase nula.
• Soma dos termos de uma progressão Geométrica (P.G.): 
O estudo das progressões está pautado nas sequências que possuem um 
padrão matemático. De acordo com este padrão é possível determinar diversos 
elementos de uma sequência apenas sabendo seu primeiro elemento e a razão 
dessa sequência.
Em determinadas situações é necessário calcularmos a somatória dos 
termos de uma determinada sequência. Nas sequências do tipo de progressão 
geométrica, podemos encontrar dois tipos de somatória, a somatória de termos 
finitos e a somatória de termos infinitos.
• Soma dos termos de uma progressão Geométrica (P.G.) Finita:
Progressão geométrica finita é uma PG que tem um número determinado de 
elementos. Por exemplo, a sequência (2,4,8,16,32) é uma PG de razão igual a r = 
2. A soma dos temos dessa PG será 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.
Embora seja possível somar os termos de uma progressão geométrica 
finita sem o uso de fórmulas, quando o úmero de termos for muito grande, esse 
processo torna-se lento e trabalhoso. 
Dessa forma, seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...). Para efetuar o cálculo da 
soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Ao multiplicar ambos os membros pela razão r, temos: 
112
 Aritmética e álgebra para professores
Sn . r = a1 . r + a2 .r + .... + an-1 . r + an .r
Segundo a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: 
Sn . r = a2 + a3 + ... + an + an . r
Note que a2 + a3 + ...+ an é igual a Sn - a1 . Assim, substituindo, vem:
Sn . r = Sn - a1 + an . r
Simplificando, temos:
Em que:
Sn: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência
r: razão
n: quantidade de elementos da PG
Exemplo 1:
Uma fábrica inaugurou sua produção com quatro itens. Sabendo-se que a 
quantidade de itens produzidos pela fábricaem cada ano consecutivo obedece 
a uma progressão geométrica e que, no quinto ano, foram produzidos 324 itens, 
qual a soma total de itens fabricados nesses cinco primeiros anos? 
 
Resolução:
Como a quantidade de itens produzidos anualmente cresce em progressão 
geométrica, sendo que, no primeiro ano, a fábrica produziu quatro itens, e no 
quinto ano, a fábrica produziu 324 itens. Assim, utilizando a fórmula: an = a1 . r (n - 1), 
achamos a razão: 
4.r 4 = 324
r 4 = 324/4
r 4 = 81
r = 3
Considerando r = 3, a produção da fábrica foi a seguinte:
Primeiro ano: 4
113
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Segundo ano: 3.4 = 12
Terceiro ano: 3.12 = 36
Quarto ano: = 3.36 = 108
Quinto ano: 324
Ao somar, temos: 4 + 12 + 36 + 108 + 324 = 484.
Utilizando a fórmula
Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, 
quatro no segundo dia, oito no terceiro dia e assim sucessivamente 
até terminar o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá tomado todo 
o conteúdo, que é de 98 pílulas?
• Soma dos termos de uma progressão Geométrica (P.G.) infinita:
É possível somar os termos de uma progressão geométrica infinita, quando 
os termos de uma Progressão Geométrica acabam convergindo para o valor 1. 
Tal fato ocorre quando a razão r for um número entre - 1 e 1. Dessa forma, 
114
 Aritmética e álgebra para professores
quando n tende ao infinito, temos a seguinte fórmula para a soma dos infinitos 
termos:
 com – 1< r < 1
Exemplo 1:
Calcule o valor de y = 1 + 1⁄3 + 1⁄9 + …
O valor de y será dado pela soma dos infinitos termos da PG: (1 + 1⁄3 + 1⁄9 + 
…)
Assim:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... = 100
3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
A Educação Matemática, pela própria natureza dinâmica que a caracteriza, 
transforma-se, aprimora-se, visando atender às exigências tecnológicas da vida 
moderna. O mundo vive em constante evolução impondo mudanças significativas 
na visão de mundo do homem, no seu modo de fazer, pensar e sentir as coisas. 
Sendo a educação uma prática social, tais mudanças podem ser observadas 
em todos os setores da sociedade. Na educação, tais mudanças ocorrem tanto 
quanto aos objetivos e aos procedimentos ou métodos ou técnicas por ela 
utilizados. Sendo papel da educação matemática, pautar que o desenvolvimento 
de uma sociedade não consiste num simples movimento linear desta, a sociedade 
contemporânea produz e acolhe as inovações tecnológicas numa velocidade 
muito intensa. Os jovens são os que mais são influenciados pelas inovações 
tecnológicas, pois nascem e crescem interagindo com um mundo que para uma 
grande quantidade de adultos é novidade e, desse modo, eles conseguem com 
mais facilidade aprender e se vincular a situações novas.
115
Compreendendo Funções, Matrizes E ProgressõesCompreendendo Funções, Matrizes E Progressões Capítulo 2 
Segundo Moran (2000), os alunos estão prontos para o uso das tecnologias, 
em contrapartida, os professores, como mediadores têm insegurança frente a essa 
nova ferramenta de ensino. Nesse contexto, a Educação Matemática vinculada ao 
uso contínuo da tecnologia em sala de aula, contribui significativamente para a 
inclusão e para cidadania e, desse modo, supera currículos obsoletos, ligados 
a concepções teórico-metodológicos que dissociam o conhecimento matemático 
da realidade do educando tornando o cidadão apto a viver numa sociedade 
em transformação que apresenta novos instrumentos nas produções e nas 
suas relações sociais e que se consolida continuamente com novos impactos 
tecnológicos.
Assim, a escola deverá propiciar ao aluno novas formas de aprender com o 
uso das tecnologias da informação e comunicação para não se tornar obsoleta. 
As tendências metodológicas modernas baseiam-se em dois pressupostos: 
a necessidade de tornar o aluno um agente ativo da construção de seu 
próprio conhecimento e o aproveitamento de suas experiências cotidianas no 
desenvolvimento de suas atividades matemáticas. Dessa forma, buscando novas 
informações e aprendizagens o sujeito amplia seus conhecimentos inerentes 
a conceitos e habilidades mais complexos, sabendo-se que vivemos situações 
desafiadoras continuamente.
REFERÊNCIAS
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. 3. ed. São Paulo: Ática, 2008.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 3. ed. São Paulo: Ática, 2008.
DINIZ, M. I.; SMOLE, K. S. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Editora 
Saraiva, 2010.
EMBRAPA. Conhecendo um pouco os biocombustíveis. 2012. Disponível em: 
https://www.embrapa.br/busca-de-publicacoes/-/publicacao/936241/conhecendo-
um-pouco-os-biocombustiveis. Acesso em: 22 maio 2020.
MORAN, J. M. (Org.). Novas tecnologias e mediação pedagógica. Campinas: 
Papiru, 2000.
PAIVA, M. Matemática. v. 3. São Paulo: Moderna, 2009.
TARDIFE, M. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes, 
2002.
116
 Aritmética e álgebra para professores
CAPÍTULO 3
Entendendo Divisibilidade,
Algoritmo De Euclides, Equações 
Diofantinas Lineares E Suas
Aplicações
 A partir da perspectiva do saber-fazer, são apresentados os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
•	 Conhecer as propriedades dos números inteiros. 
•	 Compreender os critérios de divisibilidade.
•	 Aprender sobre as equações diofantinas.
•	 Entender o que é congruência.
•	 Compreender as aplicações das propriedades dos números inteiros, dos 
critérios de divisilidade, do algorítmo de Euclides, das equações diogantinas e 
de congruência no dia a dia.
118
 Aritmética e álgebra para professores
119
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
1 CONTEXTUALIZAÇÃO
O entendimento dos conceitos matemáticos é de extrema relevância para o 
sucesso do processo de ensino-aprendizagem em matemática. Tal compreensão 
auxilia na estruturação do raciocínio e contribui para o desenvolvimento de 
processos que transcendem o âmbito da própria Matemática.
Assimilar tais conceitos é um fator importante, pois a matemática se constitui 
no status de ciência, possibilitando a interpretação de situações do cotidiano, 
servindo como ferramenta de suporte ao pensamento humano. 
Nessa perspectiva, este capítulo aborda alguns conceitos de Congruência, 
os quais nos permitem classificar números com características semelhantes e 
aplicar critérios de divisibilidade de forma atrativa, sem se afastar do rigor e da 
essência dos conceitos matemáticos clássicos historicamente construídos.
A operação de determinar o resto, e suas aplicações, vai desde a simples 
abordagem de conceitos de divisibilidade a aplicações mais elaboradas, 
empregadas em programas computacionais avençados. Dessa forma, a aritmética 
modular permite contextualizações desafiadoras e também a realização de 
operações aritméticas que permitem conjecturar, argumentar e demonstrar, ações 
que legitimam a Matemática como ciência.
A abordagem de conceitos de congruência, com a apresentação de 
definições, teoremas, propriedades, exemplificações e demonstrações que 
servirão de base para fundamentar as aplicações em situações do cotidiano.
Nesse sentido, neste capítulo, apresentamos especificamente as 
demonstrações e aplicações de alguns dos critérios de divisibilidade, envolvendo 
a geração do número de CPF (Cadastro de Pessoas Físicas), criptografia e 
cálculo de códigos de identificação de livros (ISBN). 
Por essa ótica, é importante que os professores percebam que a educação 
matemática ensinada e aplicada em sua forma contextual transforma a matemática 
em uma aliada diária do indivíduo na construção de seu conhecimento, nas 
ordenações mentais e cognitivas, nas interações sociais, na prática do raciocínio 
no estabelecimento de planos e diretrizes, na aptidão ao aprendizado, no 
manuseio e utilização da tecnologiae suas múltiplas funções, enfim o indivíduo 
com acesso a educação matemática é imerso em um conhecimento capaz de 
agregar valor humano e equipá-lo com uma vasta quantidade de ferramentas 
que pode capacitá-lo a ser um cidadão realizado e integrado no diversos 
relacionamentos sociais e culturais que permeiam sua vida.
120
 Aritmética e álgebra para professores
Desse modo, a matemática deve fazer parte integrante da vida do cidadão, 
pois ela o direciona a defender a integridade, e a sobrevivência, em seu papel 
social e cultural como demonstrada pela sua história no decorrer do tempo. A 
escola em seu papel de ensinar semeia sonhos, mostra além do que se pode ver, 
deixa aberto ao aluno um leque de opções e muitos caminhos com a desvenda 
de sua mente quanto ao mundo, desmembrado em disciplinas, apresentando a 
ciência concreta e a filosofia ainda oculta a provas, e todas as possiblidades de 
conquista, como o desbravar de terras desconhecidas, onde tudo é novo, tudo é 
tátil e provável.
Neste contexto de abrir os olhos, o professor tem o papel de intermédio entre 
o aluno e o conhecimento, não como um simples transferir de conhecimento, mas 
como que produzindo conhecimento com conhecimento, ferramentas que o aluno 
deverá lançar mão e integrar-se, construir, sonhar, projetar, planejar, executar, em 
resumo tornar a vida interessante, vislumbrar desafios individuais e coletivos, em 
disputas, vitórias, derrotas, uma roleta russa em que se resume o viver.
2 ENTENDENDO DIVISIBILIDADE, 
ALGORITMO DE EUCLIDES, 
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES 
E SUAS APLICAÇÕES
2.1 RELEMBRANDO AS 
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS 
INTEIROS 
Os números inteiros surgiram da necessidade de quantificar produtos por 
comerciantes, pois esses enfrentavam dificuldades em mensurar ganhos ou 
perdas.
O conjunto dos números inteiros é constituído pelos algarismos inteiros 
positivos e negativos e o zero. Eles são importantes para o cotidiano, 
principalmente nas situações envolvendo valores negativos, como escalas de 
temperatura, saldos bancários, indicações de altitude em relação ao nível do mar, 
entre outras situações. 
121
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
O conjunto dos números naturais não é suficiente para que tratemos de 
muitas questões matemáticas, mesmo algumas bem corriqueiras. Por exemplo, 
se dividirmos um bolo em duas partes iguais, não temos como exprimir o resultado 
dessa divisão usando números naturais. Os saldos bancários nem sempre são 
positivos, isto é, às vezes sacamos do banco quantias que não temos.
Muitas são as situações em que o conjunto N é insuficiente. Para resolver 
essa situação vamos construir um novo conjunto, ampliando N, o conjunto dos 
números inteiros, denotado pela letra Z.
Para construção de Z vamos considerar equações do tipo x + a = b com a, 
b ∈	N. Se a equação for solúvel em N sua solução é b − a como já vimos. Ainda 
que a equação acima não seja solúvel em N, vamos indicar sua solução por b – a.
Definição: o conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é definido por:
Z = {m − n: m, n ∈ N }
Um resultado imediato é que NC Z, uma vez que se p ∈	N então p = p − 0 ∈	
Z.
Por outro lado, Z não está contido em N, pois, 2 − 3 ∈	Z mas 2 − 3 ∉ N.
Para as operações em Z necessitamos que o maior número possível de 
propriedades de N continue sendo válido. Mais especificamente, necessitamos 
que sejam válidas as propriedades enunciadas nos dois teoremas do capítulo 
anterior. Usando-os, temos as seguintes definições:
2.1.1 Adição em Z
A adição em Z é definida por:
(a − b ) + (c − d) = (a + c) − (b + d)
Exemplos:
a) 2 + 3 = (2 − 0) + (3 − 0) = (2 + 3) − (0 + 0) = 5 – 0 = 5 
b) (2 − 3) + (4 − 1) = (2 + 4) − (3 + 1) = 6 – 4 = 2
c) (2 − 3) + (5 − 8) = (2 + 5) − (3 + 8) = 7 − 11
122
 Aritmética e álgebra para professores
2.1.2 Multiplicação em Z
A multiplicação em Z é definida por:
(a − b)(c − d) = (ac + bd) − (bc + ad)
Exemplos:
a) 2 . 3 = (2 − 0) (3 − 0) = (2 . 3 + 0 . 0) − (2 . 0 + 0 . 3) = 6 – 0 = 6 
b) (2 − 3) (1 − 4) = (2 . 1 + 3 . 4) − (2 . 4 + 3 1) = 14 – 11 = 3
c) (6 − 2) (3 − 5) = (6 . 3 + 2 . 5) − (6 . 5 + 2 . 3) = 28 – 3
Uma primeira observação a respeito de Z que fazemos é a seguinte: os 
números naturais de Z podem ser escritos de muitas formas. Por exemplo: 2= 2 – 
0 = 3 – 1 = 4 – 2 = 5 − 3 …. Observe que em qualquer das igualdades a soma dos 
extremos é igual à soma dos meios: 3 − 1= 4 − 2 e 3 + 2 = 1 + 4.
Usando esse fato podemos enunciar o seguinte teorema, temos:
• Teorema 1: os números inteiros a − b e c − d são iguais se, e somente 
se, a + d = b + c.
Exemplos:
a) 6 – 2 = 20 − 16 porque 6 + 16 = 2 + 20
b) 1 – 7 = 6 − 12 porque 1 + 12 = 7 + 6
Para evitar tantas formas de escrever um número inteiro, temos o seguinte 
teorema.
• Teorema 2: Sejam m, n ∈	N. Então:
a) Se m > n, então m − n e (m − n) − (n − n) = (m − n) − 0 são iguais.
b) Se m < n então m − n e (m − m) − (n − m) = 0 −( n − m) são iguais.
Notação: os números inteiros da forma 0 − a com a ∈	N serão indicados por 
− a; os números da forma a − 0 com a ∈	N serão indicados por + a ou apenas a, 
dependendo da situação.
Dessa forma, Z = { …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}.
Com o objetivo de ser mais completo na exposição, temos os seguintes 
teoremas:
• Teorema 3: as operações com números inteiros não dependem das 
diferenças utilizadas.
123
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
o Os números 2 − 0 e 3 − 1 são iguais. Da mesma forma 6 – 0 = 8 − 2. 
Então, as somas (2 − 0) + (6 − 0) e (3 − 1) + (8 − 2) devem ser iguais. A primeira 
soma é 8 – 0 = 8 e a segunda 11 – 3 = 8, como era esperado. Os produtos são 12 
– 0 = 12 e 3.8 + 1.2) − (3.2 + 1.8) = 26 – 14 = 12, também já esperado.
o Analogamente, temos: 0 – 3 = 5 − 8 e 0 – 4 = 2 – 6 e (0 − 3) + (0 − 4) = 
0 − 7= −7, enquanto (5 − 8) + (2 − 6) = (5 + 2) − ( 8 + 6) = 7 – 14 = −7. Os produtos 
são (0 −3 ) (0 − 4) = (0.0 + 3.4) − (0.4 + 3.0) = 12 – 0 = 12 e (5 − 8) (2 − 6) = (5.2 + 
8.6) − (5.6 + 8.2) = 58 – 46 = 12.
• Teorema 4: as operações adição e multiplicação em Z tem as seguintes 
propriedades:
1. Associativa: Para quaisquer a,b,c ∈	Z, tem-se que (a + b) + c = a + (b + c) 
e (ab) c = a (bc).
2. Comutativa: Para quaisquer a, b ∈	Z, tem-se quea + b = b +a e ab = ba.
3. Existência de Elemento Neutro: Para qualquer a ∈	Z
a) existe 0 ∈	Z tal que a + 0 = 0 + a = a.
b) existe 1 ∈	Z tal que a.1 = 1.a = a.
4. Existência de oposto: Para qualquer a ∈	Z, existe −a ∈	Z tal que a + (−a) 
= (−a) + a = 0
5. Distributiva: Para quaisquer a,b,c ∈	Z, tem-se que a (b + c) = ab + ac.
6. Lei do cancelamento da multiplicação: Para quaisquer a,b,c ∈	Z, tem-se 
que a + c = b + c => a = b.
2.1.3 Quocientes em Z
Nem toda equação da forma ax = b tem solução em Z. Por exemplo, a 
equação 2x = 6 tem solução 3 em Z, enquanto que a equação 3x = 5 não tem 
solução inteira.
Definição: se a equação ax = b tem solução em Z, esta será indicada por 
b/a.
Note que, por definição, segue que a.(b/a) = b. O número b/a tem forma de 
fração, mas é um número inteiro.
• Teorema 5: se as frações b/a e d/c são números inteiros então valem:
1. O denominador a da fração b/a nunca é zero.
2. As frações b/a e (kb) / (ka) são soluções da mesma equação ax=b.
3. (b/a) + (d/c) = (bc + ad) / (ac.
4. (b/a).(d/c) = (bd) / (ac.
124
 Aritmética e álgebra para professores
2.2 Números inteiros e o critério de 
divisibilidade
Note que uma equação do tipo a ·x = b, com a, b ∈ Z, pode ou não ter solução 
inteira, dependendo dos valores de a e b. Quando tal equação tem solução 
dizemos que a é divisível por b. Assim temos:
Definição: sejam a, b ∈ Z. Dizemos que adivide b se existir k ∈ Z tal que b = 
a · k. Se a divide b, diremos também que a é um divisor ou um fator de b ou, ainda 
que b é um múltiplo de a.
Quando a divide b escrevemos a | b, enquanto a negação desta sentença é 
representada por a † b. Desta forma a † b se e somente se b ≠ a · k, para todo k 
∈ Z.
• Exemplo 1:
a) 2 | 24, pois 24 = 2 · 12; 
b) 3 | 243, pois 243 = 3 · 81;
c) −42 | 9996, pois 9996 = −42 · (−238).
• Exemplo 2:
Os divisores de 8 são ± 1, ± 2, ± 4 e ± 8 e os divisores de 19 são ± 1 e ± 19.
• Exemplo 3:
Sabemos que 2 † 7, pois 7 ≠ 2 · c, para todo c ∈ Z.
Vamos supor que a | b com a ≠ 0 e seja k ∈ Z tal que b = a · k. O número 
inteiro k é único e chamado de quociente de b por a e usaremos a notação k = 
 para indicar tal inteiro. Em contrapartida, 0 | b se, e somente se, b = 0. Nesse 
caso, o quociente não é único, pois 0 = 0 · k, para todo k ∈ Z. Desta forma, o 
quociente é indeterminado. Devido a isso, vamos excluir o caso com divisor nulo 
e adotar esta convenção daqui em diante.
Exemplo 4: é fácil ver que:
a) 0 l1 = O Digite a equação aqui.
b) 8l 4 = 2
c) 7l 7 = 1
Ressaltamos que b l a é apenas uma notação e não uma fração. 
125
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
2.2.1 O algoritmo geral de divisão
Proposição 1: sejam a, b dois números inteiros com b > 0. Então existem 
únicos números inteiros q, r tais que:
a = b.q + r 
 com 0 ≤ r < b .
q chama-se o quociente, r o menor resto não negativo na divisão de a por b.
Note: os números q e r são chamados, respectivamente, de quociente e 
resto da divisão de a por b. Observemos que o resto da divisão de a por b é zero 
se, e somente se, b | a.
Exemplo 1:
Para a = 100 e b = 7 temos q = 14 e r = 2, pois 100 = 7 · 14 + 2. 
Exemplo 2:
Para a = −100 e b = 7 temos q = −15 e r = 5, pois −100 = 7 · (−15) + 5.
• Teorema 1: (Algoritmo de divisão geral) Para quaisquer números a, b ∈ Z 
com b ≠ 0 existem únicos q, r ∈ Z tais que a = bq + r e 0 ≤ r < |b|.
Exemplo 3:
Para a = 100 e b = −7 temos q = −14 e r = 2 pois 100 = (−7) · (−14) + 2
Exemplo 4:
Para a = −100 e b = −7 temos q = 15 e r = 5 pois −100 = (−7) · 15 + 5.
 Exemplo 5: se a = 32 e b = 5, então q = 6 e r = 2, pois 32 = 5 · 6 + 2 e 0 
≤ 2 < 5.
Exemplo 6: considere a = −27 e b = 4. 
Temos que 27 = 4 · 6 + 3.
Dessa forma: −27 = 4 · (−6) − 3 (*). 
Note que o quociente e o resto da divisão de −27 por 4 não são −6 e −3, 
respectivamente, pois não vale 0 ≤ −3 < 4.
126
 Aritmética e álgebra para professores
Porém, somando e subtraindo 4 no lado direito de (*) temos −27 = 4 · (−6) − 3 
+ 4 − 4 = 4 · (−6 − 1) + 1, ou seja, −27 = 4 · (−7) + 1. Logo, o quociente procurado 
é −7 e o resto é 1. (ver algoritmo da divisão)
Definição: dizemos que um inteiro b é divisível por um inteiro a (também: a 
divide b ou b é múltiplo de a) se existe q ∈ Z com b = aq.
Notação: escrevemos a /b se a divide b e a † b se isto não ocorre.
Exemplo 5:
3| - 12, 5| 15, -7| 21
Vale 1| b para todo b ∈ Z e a|0 para todo a ∈ Z.
Porém: ± 4† ± 10, ± 49† ± 77
A seguir, apresentamos, sem demonstração, algumas propriedades da 
divisibilidade.
Proposição 2. (Regras) Para todos os números a, b, c, d ∈ Z valem:
i) a|0, 1|b, a|a.
ii) a|1↔ a= ±1; 0|b <-> b= 0 
iii) Se a|b e c|d então ac|bd .
iv) Se a|b e b|c então a|c .
v) Se a|b e b|a ↔ a= ± b
vi) Se a|b e b≠ 0 então |a| ≤ |b|.
vii) Se a|b e a|c então a |bx +cy| 
Exemplos:
(a) Pela Proposição 2 (i), temos 3 | 3, 10 | 10, 15 | 15, 17 | 17.
(b) Observe que 3 | 6, 6 | 720 e 2 | 10, 10 | 50. Assim, pela Proposição 2 (iii), 
temos:
127
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
3 | 720 e 2 | 50.
(c) 2 | 6 e 5 | 15 e assim, pela Proposição 2 (iv), 10 | 90.
(d) Como 3 | 9 e 3 | 27, segue da Proposição 2 (v) que 3 | (9 + 27) = 36.
(e) Uma vez que 2 | 4, da Proposição 2 (vi), vem que:
2 | 4 · 2 = 8, 2 | 4 · 3 = 12, 2 | 4 · 4 = 16, . . . .
(f) Observe que 3 | 21 e 3 | 33. Consequentemente, pela Proposição 2 (vii):
3 | (5 · 21 − 3 · 33) = 6.
Se a e b são inteiros e b não divide a, é possível empregarmos um m´método 
que possibilite executar a “divisão” de a por b, obtendo-se um resto. Sendo assim, 
dados a e b inteiros, com b ≠0, existem q e r inteiros tais que a = b · q + r e 0 ≤ r < 
|b|, onde |b| denota o módulo de b.
 
Note que b · q é múltiplo de b e r = a − b · q. A condição 0 ≤ r < |b| pode ser 
entendida da seguinte forma: estamos procurando um múltiplo de b, menor ou 
igual a a pois, a − b · q ≥ 0, de tal forma que este múltiplo seja “o mais próximo 
possível de a”.
2.2.2 Máximo divisor comum de dois 
números
Definição: sejam a, b ∈ Z dois números, pelo menos um deles diferente de 
zero. O máximo divisor comum entre a e b é o número natural d = mdc (a, b), 
definido pelas duas propriedades:
P1) Se d|a e d|b, (isto é d é divisor comum de a e b).
P2) Se algum c ∈	N	dividir ambos a e b então temos c|d.
O mdc de a e b será denotado por mdc (a, b). Como o máximo divisor comum 
de a e b não depende da ordem dos termos, temos mdc (a, b) = mdc (b, a). Se d = 
mdc (a, b) e c é um divisor comum desses números, então c ≤ d. Assim, o máximo 
divisor comum é o maior divisor comum de a e b.
128
 Aritmética e álgebra para professores
Exemplo 1:
Os números ±1, ±2, ±5 e ±10 são os divisores comuns de 10 e 20. Logo, 
mdc(10, 20) = 10.
Proposição 3: sejam a, b ∈ Z, não simultaneamente nulos, então:
(i) mdc (a, 0) = |a|, desde que a 6= 0;
(ii) mdc (1, a) = 1;
(iii) mdc (a, a) = |a|;
(iv) Se a | b, então mdc (a, b) = |a|.
Exemplo 1:
Como 5 | 125, então mdc (5, 125) = 5.
Proposição 4: dados a, b ∈ Z, não simultaneamente nulos, tem-se:
• Teorema 2: Sejam a, b ∈ Z não ambos zero e seja d = mdc (a, b). Então 
existem x1, y1 ∈ Z tais que:
ax1 + by1 = d.
2.2.3 Consequência
Sejam a, b ∈	Z, ambos não nulos e seja d = mdc (a, b). Então:
 
Em outras palavras: as combinações lineares inteiras de a e b são exatamente 
os múltiplos do mdc (a, b).
129
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Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
SOUZA, F. H. T. de. Programa de Iniciação Cientifica da 
OBMEP Alguns problemas com resto e divisibilidade. Disponível 
em: < https://www.youtube.com/watch?v=7jnlhPZoIjo. Acesso em: 16 
jan. 2015>. Acesso em: 16 jan. 2015.
1 No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes 
“piscam” com frequências diferentes. A primeira, “pisca“ 12 vezes 
por minuto e a segunda, “pisca“ 15 vezes por minuto. Se num 
certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos 
segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? 
a) ( ) 10 segundos. 
b) ( ) 20 segundos.
c) ( ) 15 segundos. 
d) ( ) 40 segundos. 
e) ( ) 30 segundos.
2 No almoço de confraternização de uma empresa estavam presentes 
250 homens, 300 mulheres e 400 crianças. Em uma brincadeira 
foram formadas equipes compostas apenas de crianças, equipes 
apenas de mulheres e equipes somente de homens. Todas as 
equipes 75 tinham o mesmo número de pessoas e foi feito de 
maneira que fosse o maior número possível. Em cada equipe 
havia um total de:
a) ( ) 10 pessoas.
b) ( ) 20 pessoas. 
c) ( ) 30 pessoas. 
d) ( ) 40 pessoas.
e) ( ) 50 pessoas. 
130
 Aritmética e álgebra para professores
2.3 Algoritmo de Euclides 
2.3.1 Euclides 
Euclides de Alexandria viveu aproximadamente entre 360 e 295 a.C. Foi 
professor, matemático e escritor. Teria sido educado em Atenas e frequentado 
a Academia de Platão. Foi convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de 
professores da recémfundada Academia, que tornaria Alexandria o principal 
centro de erudição por gerações. Foi autor de várias obras. Entre elas: Os 
Elementos; Os Dados (uma espécie de manual de tabelas de uso interno da 
Academia e que complementava os seis primeiros livros de Os Elementos); 
Divisão de Figuras; Os Fenômenos (sobre astronomia); e Óptica (sobre a visão). 
Essas obras sobreviveram parcialmente, e hoje são alguns dos mais antigos 
tratados científicos gregos existentes. Pela sua maneira de expor nos escritos 
deduz-se que Euclides era um habilíssimo professor. 
Sem dúvida nenhuma, sua obra mais importante foi Os Elementos um 
tratado composto de treze livros que cobria toda a Matemática Elementar: o livro 
I apresenta boa parte da geometria que é ensinada no Ensino Médio; o livro II 
trata de uma álgebra geométrica, diferente da álgebra simbólica moderna, mas 
como os mesmos fins; os livros III e IV tratam da geometria no círculo; os livros 
V e VI tratam sobre a teoria das proporções; os livros VII, VIII e IX são dedicados 
à Teoria dos Números; o livro X trata sobre incomensurabilidade; o livro XI trata 
sobre geometria no espaço; o livro XII traz proposições referentes à medida de 
figuras, usando o método da exaustão; o último livro é inteiramente dedicado às 
propriedades dos cinco sólidos regulares. Não é certo que Os Elementos tenha 
sido de completa autoria de Euclides. 
Acredita-se que a obra foi fruto de uma equipe de colaboradores coordenada 
por ele. Mas na Grécia antiga era comum que todo o crédito fosse dado ao 
mestre. Sobre a autoria e originalidade de Os Elementos, Boyer (2012) afirma: 
O próprio Euclides não manifesta qualquer pretensão de originalidade, e é claro 
que ele utilizou grandemente obras de seus predecessores. Acredita-se que a 
ordenação seja dele, e presumivelmente, algumas demonstrações foram feitas 15 
por ele; mas afora isso, é difícil avaliar o grau de originalidade dessa obra, a mais 
renomada da história da matemática (p.89). 
Para os gregos “números” sempre se referia aos inteiros e positivos (os 
naturais). Em todos os livros cada número é representado por um segmento que 
ele chama AB. Por isso, Euclides não usa frases como “é múltiplo de” ou “é fator 
de”, ele as substitui por frases como “é medido por” e “mede” respectivamente. 
131
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Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
Isto é, um número n é medido por outro número m se existe um terceiro número 
k tal que n = km. O livro VII começa com duas proposições que constituem a 
celebre e tão útil regra na Teoria dos Números, hoje conhecida como “algoritmo 
de Euclides” para calcular o máximo divisor (medida) comum de dois números. 
2.3.2 O Algoritmo de Euclides para 
Determinação do MDC
O algoritmo de Euclides é um dos algoritmos mais antigos conhecidos e o 
método destaca-se por ser simples e eficiente para a determinação do MDC entre 
números inteiros diferentes de zero.
O método aparece pela primeira vez no Livro VII de sua obra Os Elementos, 
cerca de 300 a. C. e tem sua origem geométrica, como a determinação da maior 
medida comum entre dois segmentos de reta.
Proposição II: sendo dados dois números não primos entre si, achar a maior 
medida comum deles.
Esta proposição nos diz que dados os segmentos AB e CD representando 
dois números não primos entre si e diferentes de zero, existe um terceiro 
segmento EF que cabe um número inteiro de vezes nos primeiros dois segmentos, 
ou seja, o segmento EF mensura os segmentos AB e CD.
FIGURA 1 – SEGMENTOS
FONTE: A autora
132
 Aritmética e álgebra para professores
Para a demonstração, considere o lema a seguir:
Lema 1: sejam a, b e m inteiros. Temos que mdc (a, 0) = |a| e que mdc (a, b) 
= mdc (b, a) = mdc (|a|, |b|) = mdc (a – mb, b).
Para calcular o mdc (a, b), tendo em vista o lema acima, vamos supor 
que a e b são não negativos. Se b = 0 ou a = b, então mdc (a,b) = a e nada temos 
que calcular. Vamos supor que a ≠ b, como mdc (a, b) = mdc(b, a), podemos 
supor que a > b > 0.
Dessa forma, pela divisão euclidiana, temos que:
Da igualdade acima e pelo Lema 1, temos que:
Assim, podemos ter duas situações:
a1) r2 = 0: neste caso, temos mdc (a, b) = mdc (b, r2) = mdc (b, r2) = b;
b1) r2 ≠ 0: neste caso, efetuamos a divisão euclidiana de b por r, obtendo:
Dessa forma, segue que:
Novamente, duas novas situações podem ocorrer:
a2) r3 = 0: neste caso, (a, b) = (r2, 0) = r2;
b2) r3 ≠ 0: neste caso, efetuamos a divisão euclidiana de r2 por r3, obtendo:
Seguindo que:
e assim sucessivamente.
Definido r1 = b, existe um valor n tal que rn + 1 = 0 e rn ≠ 0. De fato, se tivéssemos 
para todo n ≠ o, teríamos uma sequência infinita r1, r2, r3, ... tal que:
133
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
Segue que:
Portanto, o último resto não nulo rn deste processo, fornece o valor de mdc 
(a, b).
O cálculo do mdc (a, b) através do dispositivo prático que decorre do processo 
aqui demonstrado chamamos de Algoritmo de Euclides.
Exemplo 1: 
Calcular o mdc (330, 240). Neste caso, a = 330 e b = 240.
Dividimos a por b:
Assim, temos que q1 = 1 e r1 = 90. Inserimos estes valores na grade:
Agora, dividimos 240 por 90:
134
 Aritmética e álgebra para professores
Assim, temos que q2 = 2 e r2 = 60. Inserimos estes valores na grade:
Agora, dividimos 90 por 60:
Assim, temos que q3 = 1 e r3 = 30. Inserimos estes valores na grade:
Agora, dividimos 60 por 30:
Assim, temos que q4 = 2 e r4 = 0. Inserimos estes valores na grade:
Como obtivemos um resto igual a zero, o mdc procurado é o último rn não 
nulo: 
135
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
Exemplo 2: 
Calcular o mdc (484,1521). Neste caso, fazemos a = 1521 e b = 484.
Dividimos a por b:
Assim, temos que q1 = 3 e r1 = 69. Inserimos estes valores na grade:
Agora, dividimos 484 por 69:
Assim, temos que q2 = 7 e r2 = 1. Inserimos estes valores na grade:
Agora, dividimos 69 por 1:
136
 Aritmética e álgebra para professores
Assim, temos que q3 = 69 e r3 = 0. Inserimos estes valores na grade:
Como obtivemos um resto igual a zero, o mdc procurado é o último rn não 
nulo: 
Acadêmico, indicamos o livro Os Elementos de Euclides:
Obra de matemática, composta por 13 livros em que, além de 
definições, postulados e noções comuns/axiomas, demonstram-se 
465 proposições, em forte sequência lógica, referentes à geometria 
euclidiana, a da régua e compasso, e à aritmética, isto é, à teoria dos 
números. Os seis primeiros livros dão conta da geometria plana; os 
três seguintes, da teoria dos números; o livro X, o mais complexo, 
estuda uma classificação de incomensuráveis/irracionais; e os três 
últimos abordam a geometria no espaço/estereometria. Esta é a 
primeira tradução completa para o português feita a partir do texto 
grego.
Calcular o MDC (4074, 582) usando o método de Euclides.
Solução:
Temos, a = 4086 e b = 582.
137
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
Dividimos a por b:
Assim, temos que q1 = 7 e r1 = 12. Inserimos estes valores na grade:
Agora, dividimos 582 por 12:
Assim, temos que q2 = 48 e r2 = 6. Inserimos estes valores na grade:
Agora, dividimos 12 por 6:
Assim, temos que q3 = 2 e r3 = 0. Inserimos estes valores na grade:
Como obtivemos um resto igual a zero, o mdc procurado é o 
último rn não nulo:138
 Aritmética e álgebra para professores
2.3.3 Diofanto
A vida de Diofanto é uma das grandes incertezas da História da Matemática. 
Não se pode afirmar categoricamente nem ao menos o século em que ele 
viveu. Em geral, acredita-se que viveu antes da Nossa Era. Alguns historiadores 
questionam, inclusive, se ele realmente era grego, devido a sua escrita fora dos 
padrões da Matemática grega à época. Sabe-se que estudou e trabalhou na 
Escola de Alexandria, no período denominado “Idade de Prata” (250-350 depois 
da Nossa Era). 
Por um verso relatado em uma coleção de problemas chamada “Antologia 
Grega” e escrito no túmulo de Diofanto deduz-se quanto tempo ele viveu: Aqui jaz 
Diofanto. Maravilhosa habilidade. Pela arte da álgebra a lápide nos diz sua idade: 
Deus deu um sexto da vida como infante, um duodécimo mais como jovem, de 
barba abundante; e ainda uma sétima parte antes do casamento; em cinco anos 
nasce-lhe o rebento. Lastima! O filho do mestre e sábio do mundo se vai. Morreu 
quando da metade da idade final do pai.
A palavra Diofantina se refere ao matemático grego Diofanto de Alexandria, 
considerado por muitos como o “Pai da Álgebra”. Seu sobrenome se refere à 
cidade da Grécia antiga que foi o maior centro de atividade matemática. Pouco 
se sabe sobre sua vida. A maioria dos historiadores diz que ele viveu no século 
III, depois da Nossa Era, em meados do ano 250, no período helenístico, que 
se refere ao marco entre o domínio da cultura grega e o advento da civilização 
romana. Deduz-se que Diofanto faleceu com 84 anos, casou-se aos 26 anos e 
teve um filho que morreu aos 42 anos. Essas informações foram extraídas de uma 
epigrama lapidada em seu túmulo em forma de problema enigmático. 
O problema anuncia o seguinte: “Deus deu a ele um sexto de sua vida na 
infância, um duodécimo como adolescente enquanto cresciam bigodes e, ainda, 
um sétimo antes de iniciar o casamento. Após um quinquênio, chegou um vigoroso 
filho. Ah! Querida criança do mestre e sábio. Depois de alcançar metade da idade 
que viveu seu pai, o destino frio o levou. Após consolar-se por quatro anos com a 
ciência dos números, ele terminou sua vida”. 
Para resolver esse enigma, chamemos de x, a idade de Diofanto, 
interpretando os dados temos:
• um sexto na infância: x/6 
• um duodécimo na adolescência: x/ 12 
• um sétimo antes do casamento: x/7
• quinquênio até o filho: 5 
139
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
• metade da idade: x/ 2 
• quatro anos de consolo: 4 
Como a idade de Diofanto é igual à soma dos anos de cada etapa de sua 
vida, temos: 
x = x/6 + x/12 + x/ 7 + 5 + x/ 2 + 4
x = 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336
84x = 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336
9x = 756 x = 756 9
x = 84 anos
2.3.4 Equações Diofantinas Lineares
A designação equação diofantina, é uma singela homenagem dos 
matemáticos a Diofante de Alexandria - grego do século III D.C. Muito pouco 
se sabe sobre a vida do matemático Diofante, que deve ter vivido apenas 
84 anos, segundo interpretações dos livros de História da Matemática. 
• Definição: equações Diofantinas são equações polinomiais, em várias 
incógnitas, com coeficientes inteiros (ou racionais) para as quais se buscam 
soluções restritas ao conjunto dos números inteiros. 
Dessa forma, podemos dizer que uma equação Diofantina é 
uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas 
valores inteiros. Uma equação linear Diofantina é uma equação entre duas somas 
de monômios de grau zero ou um.
Chama-se equação diofantina do primeiro grau de duas variáveis, a toda 
equação da forma ax + by = c, em que x e y são variáveis inteiras e a, b e c são 
números inteiros. Vemos, pois, que numa equação diofantina, tanto as variáveis 
como os coeficientes são números inteiros.
Assim um determinado par ordenado de números inteiros (x0 , y0) é solução 
da equação ax + by = c se e somente se a.x0 + b.y0 = c.
 
Exemplo 1: verifique se o par ordenado (2, 7) é uma das soluções da equação 
diofantina 3x + 5y = 4.
Solução: o par ordenado (2, 7) é uma das soluções da equação diofantina 3x 
+ 5y = 41, pois:
140
 Aritmética e álgebra para professores
3.2 + 5.7 = 6 + 35 = 41.
Exemplo 2: sendo k ∈ Z, determine a equação diofantina que admite como 
soluções os pares ordenados (x, y) tais que x = 10 + 2k e y = 3k – 8.
Solução: de x = 10 + 2k, tiramos x – 10 = 2k, isolando o valor de K temos k = 
(x – 10) / 2.
 
De y = 3k – 8 vem y + 8 = 3k, isolando o valor de K de onde vem k = (y + 8) / 3.
 
Portanto, igualando os valores de k, fica: (x – 10) / 2 = (y + 8) / 3 
Multiplicando-se ambos os membros pelo número 6, conseguimos eliminar 
os denominadores:
3(x – 10) = 2(y + 8)
Ao desenvolver a expressão acima, temos: 3x – 30 = 2y + 16. 
Logo, 3x – 2y = 16 + 30 = 46. Portanto, a equação procurada é 3x – 2y = 46. 
Olhando para a questão de um modo inverso, podemos dizer que a equação diofantina 
3x – 2y = 46, possui infinitas soluções dadas pelos pares ordenados (x, y) tais que 
x = 10 + 2k e y = 3k – 8, em que k ∈ Z .
Ao atribuir valores inteiros a k, obteremos as soluções da equação 3x – 2y = 
46. Assim, por exemplo:
Se k = 0, x = 10 e y = – 8, ou seja, o par (10, -8) é uma solução.
Se k = 1, x = 12 e y = – 5, ou seja, o par (12, -5) é uma solução.
Se k = -1, x = 8 e y = - 11, ou seja, o par (8, -11) é uma solução.
Se k = 25, x = 60 e y = 67, ou seja, o par (60, 67) é uma solução e assim 
sucessivamente.
Note que como k ∈ Z e Z é um conjunto infinito, assim existirão infinitas 
soluções inteiras para a equação diofantina 3x – 2y = 46.
2.3.5 Equações Diofantinas lineares 
de duas variáveis
A seguir enuncio dois teoremas básicos utilizados para a solução de 
equações diofantinas do primeiro grau a duas variáveis:
141
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
• Teorema 1: a equação diofantina ax + by = c terá soluções se e somente 
se o de a e b for um divisor de c, ou seja, mdc (a,b) divide c.
• Teorema 2: as soluções gerais da equação diofantina ax + by = c são 
dadas por:
 
Em que k é um número inteiro e (x0 , y0) é uma solução particular de ax + by = c.
Observe: mdc (a,b) = máximo divisor comum de a e b.
 
Exemplo 1: 
Resolver a equação 2x + 6y = 8, onde a = 2, b = 6 e c = 8.
Solução: 
Podemos notar que x = 1 e y = 1 é uma solução pois, 2.1 + 6.1 = 8.
Do Teorema 1, temos a equação possui solução, pois mdc (2,6) = 2 e 2 divide 
o termo independente c = 8.
Assim, considerando-se que a = 2, b = 6 e mdc (2,6) = 2, x0 = 1 e y0 = 1, ao 
substituir nas igualdades acima, temos:
 
x = 1 – k . (6/2) = 1 – 3k
 
y = 1 + k . (2/2) = 1 + k em que k é um inteiro qualquer.
Ao atribuir valores inteiros a k, obtemos as soluções inteiras da equação 2x + 
6y = 8. Observe algumas soluções, listadas na tabela a seguir:
TABELA 1 – EQUAÇÃO 2x + 6y = 8
k x y
- 1 4 0
- 2 7 -1
0 1 1
1 - 2 2
2 - 5 3
FONTE: A autora
142
 Aritmética e álgebra para professores
Podemos então escrever o conjunto solução S da equação 2x + 6y = 8 na 
forma de pares ordenados (x,y), isto é:
 
S = {... , (7, -1), (4,0), (1,1), (-2,2), (-5,3), ...}
A solução também pode ser apresentada na forma geral:
 
S = {(x,y) | x = 1 – 3k e y = 1 + k, k ∈ Z}
OLIVEIRA, S. B. As equações diofantinas lineares e o 
livro didático de matemática para o ensino médio. São Paulo: 
PUC, 2006. Disponível em: https://tede2.pucsp.br/bitstream/
handle/11059/1/dissertacao_silvio_barbosa_oliveira.pdf. Acesso em: 
26 fev. 2014. 
1 Resolva a equação diofantina 8x – 3y = 5.
2 O seguinte problema (adaptado para o nossa moeda) 
está no livro 536 Curious Problems & Puzzles, de Henry 
Dudeney, famoso criadorde quebra-cabeças no século XIX. 
 
Uma pessoa foi ao banco para descontar 
um cheque no valor de x reais e y centavos. 
O caixa do banco errou na leitura do valor do cheque e 
pagou y reais e x centavos. A pessoa guardou o dinheiro no 
bolso sem verificar a quantia. No caminho de casa, ela gastou 
cinco centavos e quando chegou em casa verificou que tinha 
exatamente o dobro do valor do cheque. Sabendo-se que essa 
pessoa não levou dinheiro nenhum consigo quando foi ao banco, 
pergunta-se qual era o valor do cheque.
143
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
2.4 Congruência 
2.4.1 Significado de congruência e 
de congruência numérica 
Aprenderemos aqui a utilizar Congruências para a resolução de vários 
problemas, como a solução de equações, a determinação de restos de divisões 
impossíveis de se fazer no “braço” e problemas de invariância (problemas onde 
algo, por exemplo, a paridade, nunca muda).
Karl F. Gauss, estudou as aplicações a ideia de congruência aos números 
inteiros, abordando o assunto em seu livro Disquisitiones Arithmeticae (Estudos 
de Aritmética) por volta de 1800, revolucionando a Teoria dos Números.
A exploração da paridade serve como exemplo bem simples da essência da 
ideia de congruência de números. Seja decidir se 345 678 + 1 111 111 é número 
par ou ímpar. Em vez de efetuarmos a soma desses dois números e depois 
verificar se esta soma é par ou ímpar, meramente observamos que se trata de 
uma soma do tipo par + ímpar, logo podemos afirmar que o resultado é ímpar, 
sem nem ter calculado seu valor! 
2.4.2 Congruência
A ideia de congruência é a seguinte: quando nos deparamos com um 
problema que relacione divisões, potenciações etc., por que não trabalhamos com 
os restos das divisões ao invés dos próprios números? Quer dizer, por que não 
nos esquecemos dos números e ficamos apenas com os restos? 
Uma vez que esses restos são menores do que os números, é de se esperar 
que isso simplifique a solução desses problemas, o que de fato ocorre! Antes das 
aplicações, vamos ver um pouco de teoria.
Definição: se a, b e m são inteiros (m > 0), dizemos que a é congruente a b 
módulo m se:
m | (b − a).
Denotaremos essa situação por:
a ≡ b (mod m)
144
 Aritmética e álgebra para professores
Dizer que a é congruente a b módulo m significa que a e b deixam o mesmo 
resto quando divididos por m.
Exemplo 1:
a) 21 ≡ 15 (mod 6) , pois 6 | (21 −15) .
Note que o resto da divisão dos dois números por 6 é igual a 5.
b) 4 ≡ 15 (mod11) , pois 11 | (4 -15); 32 ≡ 0 (mod 4) , pois 4 | (32 - 0).
Proposição 1: 
Sejam a, b, c e m inteiros, m > 0. Então:
(a) a ≡ a (mod m) 
(b) Se a ≡ b (mod m), então b ≡ a (mod m) 
(c) Se a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m), então a ≡ c (mod m).
Como já dito o símbolo ≡ (congruente) funciona de modo parecido ao símbolo 
= (igual), quer dizer, muitas das manipulações que fazemos com equações podem 
ser feitas com o sinal de congruência. Abaixo, estão outras dessas propriedades e 
os equivalentes a elas em equações.
Proposição 2:
Sejam 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑚,𝑟 números inteiros, com 𝑚 > 1 e 𝑟 ≥ 1. Então: 
• 𝑎 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). 
• Se 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚), então 𝑏 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). 
• Se 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) e 𝑏 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚), então 𝑎 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). 
• Se 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) e 𝑐 ≡ 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚), então 𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). 
• Se 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) e 𝑐 ≡ 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚), então 𝑎∙𝑐 ≡ 𝑏∙𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). 
• Se 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚), então 𝑎𝑟 ≡ 𝑏𝑟 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). 
• 𝑎+ 𝑐 ≡ 𝑏+ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) se, e somente, se 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). 
• Se 𝑎𝑏 ≡ 𝑎𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) e 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑚 )= 1, então 𝑏 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). 
2.4.3 Aplicações
Existe uma vasta aplicação dos conceitos de congruência e divisibilidade 
tanto em disciplinas de ensino regular, quanto relacionados ao cotidiano. A seguir, 
apresentamos aplicações em resoluções de exercícios da Olimpíada Brasileira 
de Matemática e também aplicações tais como, determinação de códigos de 
segurança (CPF, ISBN).
145
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
Aplicação 1: retirado do Banco de Questões da OBMEP 2010 (Olimpíada 
Brasileira de Matemática das Escolas Públicas). 
Em que fio? 
A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que uma aranha usa para construir 
sua teia mostrados na figura a seguir. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual 
fio de apoio estará o número 118?
FIGURA 2 – BANCO DE QUESTÕES DA OBMEP 2010
FONTE: Adaptada de OBMEP (2010)
Solução: 
Sobre o fio A se encontram os múltiplos de 8, isto é, os números que deixam 
resto zero quando divididos por 8 e podem ser representados simbolicamente por 
8 n, com 𝑛 ∈ N.
Sobre o fio B aparecem os (múltiplos de 8) + 1, isto é, números que podem 
ser representados simbolicamente por 8n + 1, com 𝑛 ∈ N.
Sobre o fio C aparecem os (múltiplos de 8) + 2, isto é, números que podem 
ser representados simbolicamente por 8n + 2, com 𝑛 ∈ N e assim sucessivamente, 
o que permite organizar os dados conforme os dados dispostos na tabela. 
146
 Aritmética e álgebra para professores
TABELA 2 – DADOS
FONTE: A autora
O problema poderia ter sido resolvido dando continuidade ao processo de 
construir a tabela até alcançar o número 118, mas essa solução não é prática 
e ela é inviável para números muito grandes, já que poderíamos perguntar, por 
exemplo, qual o fio correspondente ao número 1367? 
Também não seria viável é se o problema apresentasse um número de 
fios muito grande, como por exemplo, uma distribuição com 27 fios. Assim, para 
respondermos o questionamento feito, basta verificarmos em qual coluna ou 
grupo de números se encontra o número 118 e para isso basta sabermos qual é 
o resto da divisão de 118 por 8. Podemos verificar que 118 = 8 ∙ 14 + 6, isto é, o 
resto da divisão de 118 por 8 é 6, o que significa que 118 pertence ao grupo de 
números que estão na coluna G ou sobre o fio G.
Aplicação 2: prove que 30⁹⁹ + 62¹⁰⁰ .
Solução: observemos que 30 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 31), assim pelo item (vi) da 
proposição 2 temos:
30 99 ≡ (−1) 99 (𝑚𝑜𝑑 31) e portanto 30 99 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 31).
Da mesma forma, podemos observar que 6199 ≡ (−1)100 (𝑚𝑜𝑑 31) e, portanto, 
6199 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 31). Assim, considerando os resultados acima obtemos:
30 99 + 61 00 ≡ −1 + 1 (𝑚𝑜𝑑 31), Isto é, 30 99 + 61 100 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 31), o que prova 
que 30 99 + 61 100 é divisível por 31.
Aplicação 3: no Brasil, o Cadastro de Pessoas Físicas junto à Receita Federal 
(CPF) é composto por 11 dígitos, dividido em dois blocos: um primeiro bloco com 
9 algarismos e um segundo bloco com dois, que são os dígitos de controle. Para 
determinarmos os dígitos de controle, utilizamos também à congruência módulo 
𝑚 (SÁ, 2007).
Podemos obter o décimo dígito ou primeiro dígito verificador como resultado 
de uma congruência, módulo 11 de um número obtido por uma operação dos 
A B C D E F G H
0 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
... ... ... ... ... ... ... ...
147
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Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
primeiros nove algarismos. Em primeiro lugar atribuímos pesos a cada um dos 
nove primeiros dígitos: 
Se 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 𝑎9 é a sequência formada pelos nove primeiros dígitos, 
devemos multiplicar eles nesta mesma ordem, pela base: {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, e 
em seguida somar os produtos obtidos. Se denotarmos a soma obtida por S, o 
décimo dígito que denotaremos por 𝑎10, deverá ser tal que 𝑆−𝑎10 seja múltiplo de 
11ou 𝑆−𝑎10 ≡ 0 (mod 11). Assim, obtemos que S será o próprio resto da divisão 
por 11 da soma obtida. 
Se considerarmos um CPF cujos nove primeiros dígitos são 235 343 104, 
podemos calcular o primeiro dígito de controle seguindo a ideia descrita: 
2×1 + 3×2 + 5×3 + 3×4 + 4×5 + 3×6 + 1×7 + 0×8 + 4×9 = 116
Dividindo o resultado obtido por 16, obtemos 116 = 11×10 + 6, isto é, a 
divisão por 11 deixa resto 6, o que mostra que o primeiro dígito de controle é 6. 
Para obtermos o segundo dígito de controle, utilizamos o mesmo procedimento 
acrescentando o décimo dígito que acabamos de calcular e usando uma base de 
multiplicação de 0 a 9, assim:
2×0 + 3×1 + 5×2 + 3×3 + 4×4 +3×5 + 1×6 + 0×7 + 4×8 + 6×9 = 145
Dividindo o resultado obtido por 16, obtemos 145 = 11×13 + 2, isto é, a divisão 
por 11 deixa resto 2, o que mostra que o segundo dígito de controle é 2. Se o resto 
da divisão em algum dos dois casos fosse 10, utilizaríamos o dígito zero. Com os 
resultados obtidos podemos afirmar que o CPF completo é 235 343 104 62.
 
Aplicação 5: o ISBN ou International Standard Book Number é um sistema 
de catalogação de livros, criado em 1967 e oficializado como norma internacional 
em 1972. Até dezembro de 2006 o ISBN tinha 10 dígitos e a partir de 1º de janeiro 
de 2007 passaram a ser utilizados 13 dígitos, usaremos as denominações ISBN-
10 e ISBN-13 para cada um dos sistemas. Ambos os sistemas, utilizam dígito 
de controle ou de verificação que pode ser obtido através da aritmética modular. 
Apresentaremos a forma de calcular o dígito de controle para o sistema ISBN-10, 
que é o último dos 10 algarismos utilizados. 
O sistema ISBN-10 utiliza os nove primeiros dígitos para identificação do 
livro e os subdivide em três grupos de tamanho variável e separados por hífen. 
Segundo Colombo (2013), da esquerda para a direita, a primeira parte identifica 
um grupo nacional ou geográfico de editores, por exemplo, no Brasil esse número 
é 85. A segunda parte determina, especificamente, uma editora desse grupo e por 
fim, a terceira parte, identifica um título específico. 
148
 Aritmética e álgebra para professores
Para entendermos o funcionamento do cálculo do dígito de controle, 
denotaremos por 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 𝑎9 𝑋 a sequência formada pelos dez 
dígitos, em seguida devemos multiplicar eles nesta mesma ordem, pela base 
{10,9,8,7,6,5,4,3,2,1} somar os produtos obtidos e o resultado deve ser congruente 
a zero módulo 11, ou seja, devemos ter:
10 × 𝑎1 + 9 × 𝑎2 + 8 × 𝑎3 + … + 3 × 𝑎8 + 2 × 𝑎9 + 𝑋 ≡ 0 (mod11)
Observando que, se o dígito de controle encontrado for o número 10, ele 
será representado pela letra 𝑋, fazendo referência à numeração romana. 
Por exemplo, consideremos o livro Temas e Problemas Elementares, da 
Coleção Professor de Matemática, da SBM, cujo código do ISBN-10 é 85-85818-
29-8. Neste caso, a soma dos produtos será:
𝑆 = 10×8 + 9×5 + 8×8 + 7×5 + 6×8 + 5×1 + 4×8 + 3×2 + 2×9 + 𝑋
S= 80 + 45 + 64 + 35 + 48 + 5 + 32 + 6 + 18 + 𝑋
Ou seja:
𝑆 ≡ 3 + 1 −2 + 2 + 4 – 6 −1 – 5 + 7 + 𝑋 ≡ 3 + 𝑋. 
Assim, para obtermos 𝑆 ≡ 0 (mod11), devemos ter 3 + 𝑋 ≡ 0 (mod 11) e 𝑋 = 8. 
Consideremos agora o livro Precalculus: Mathematics for Calculus de 
James Stewart, lothar Redlin e Saleem Watson, publicado em inglês pela editora 
Thomson Brooks/Cole e cujo código ISBN é dado por 0-534-49277-0. Teremos:
𝑆 = 10×0 + 9×5 + 8×3 + 7×4 + 6×4 + 5×9 + 4×2 + 3×7 + 2×7 + 𝑋
0 + 45 + 24 + 28 + 24 + 45 + 8 + 21 + 14 + 𝑋
Ou seja, 𝑆 ≡ 0 + 1 + 2 – 5 + 2 + 1 – 3 −1 + 3 + 𝑋 ≡ 0 + 𝑋. Assim, para 
obtermos 𝑆 ≡ 0 (mod11), devemos ter 𝑋 ≡ 0 (mod 11) e 𝑋 = 0. 
RIBEIRO, C. M. A Álgebra dos Sistemas de Identificação. Ata 
do Encontro da Sociedade Portuguesa de Investigação em Educação 
Matemática: Números e Álgebra na aprendizagem da Matemática e 
na Formação de Professores. Caminha, 2005. Disponível em: http://
spiem.pt/publicacoes/arquivo/encontro-2005/. Consultado em: 12 
maio 2020.
149
Entendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, EquaçõesEntendendo Divisibilidade,Algoritmo De Euclides, Equações
Diofantinas Lineares E Suas AplicaçõesDiofantinas Lineares E Suas Aplicações Capítulo 3 
1 Baseado no conceito de congruência, julgue as afirmações 
a seguir, colocando: Verdadeiro (V) ou falso (F). 
 
(a) 91 ≡ 0 (mod.7) 
(b) 3 + 5 + 7 ≡ 5 (mod.10) 
(c) –2 ≡ 2 (mod.8) 
(d) 112 ≡ 1 (mod.3) 
(e) 17 ≡ 9 (mod.2) 
(f) 42 ~≡ -8 (mod.10)
2 Sabendo-se que 1066 ≡ 1766 (mod. m), achar todos os possíveis 
valores do módulo m.
3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
A importância da Matemática foi efetivamente firmada no sistema escolar com 
o avanço da ciência moderna e da tecnologia, sobretudo a partir do século XVIII, 
e ganhou um importante espaço na educação quando se atingiu a modernidade 
europeia. 
No século passado as preocupações com o ensino da Matemática teve 
grande impulso. Com o advento da educação para todos, consequência natural da 
industrialização desenvolver um currículo de Matemática moderna, incorporando 
os avanços da época. Naturalmente, assim como acontece hoje, a formação de 
professores é essencial, e um professor deve dominar o assunto de suas aulas de 
um ponto de vista crítico e mais avançado.
Assim, inevitavelmente a prática docente sofreu modificações profundas, 
configurando pouco espaço para um currículo definido a priori, baseado em 
conteúdos acordados como sendo de importância. A postura normativa foi 
claramente superada ao se falar em currículo. A própria conceituação do que é 
importante resultou de considerações de natureza sociocultural. 
Dessa forma, assumiu-se tanto para a pesquisa como para a docência uma 
postura etnográfica e um comportamento correspondente. O docente tradicional, 
cuja missão era ensinar, não encontra mais seu lugar na sala de aula dando lugar 
ao animador de atividades. O docente no seu papel tornou-se efetivamente o 
docente/pesquisador, e o resultado de sua ação vai além da sala de aula.
150
 Aritmética e álgebra para professores
Por essa ótica, conhecer a utilidade dos conceitos de congruência e 
divisibilidade tanto para resolver problemas matemáticos, bem como para 
solucionar problemas que podem ser encontrados no cotidiano é importante para 
que o professor possa desenvolver suas metodologias e estratégias de ensino 
adequadas.
Sendo assim, o futuro da matemática depende essencialmente de o professor 
assumir sua nova posição, reconhecendo que ele é um companheiro de seus 
estudantes na busca de conhecimento, e que a Matemática é parte integrante 
desse conhecimento. Um conhecimento que dia-a-dia se renova e se enriquece 
pela experiência vivida por todos os indivíduos deste planeta.
REFERÊNCIAS
D’AMBRÓSIO, U. Educação Matemática da teoria à prática: uma breve 
Introdução da matemática e sua história. 17. ed. São Paulo: Papirus Editora, 
2009. p. 17-29.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 3. ed. 4 v. São Paulo: Ática, 2008.
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. 3. ed. 4 v. São Paulo: Ática, 
2008.
DINIZ, M. I.; SMOLE, K. S. Matemática Ensino Médio. São Paulo: Editora 
Saraiva, 2010.
PAIVA, M. Matemática: Paiva. 3 v. São Paulo: Moderna, 2009.
TARDIFE, M. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes, 
2002.