Exercícios de Processamento Digital de Sinais

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IFBA/Processamento Digital de Sinais/ Prof. Fabŕıcio Simões 1
Lista de Exerćıcios II
1. A resposta ao impulso h[n] de um sistema LTI de tempo discreto está mostrada na Figura 1.
Determine e esboce a sáıda y[n] desse sistema para a entrada x[n] mostrada na Figura 1.
Fig. 1: Sistema h[n] e sinal x[n]
2. Um sistema discreto no tempo é descrito pela equação de diferenças
y[n] = x[n] + 3x[n− 1] + 2x[n− 4]
Qual a função de transferência do sistema ? Esboce a sua resposta ao impulso.
3. O sistema da Figura 2 é composto por dois subsistemas em cascata. Cada subsistema é representado
por uma equação diferença com condições iniciais nulas.
Subsistema 1 Subsistema 2
x[n] y[n]w[n]
Fig. 2: Subsistemas 1 e 2
Subsistema 1: w[n]− (1/2)w[n− 1] = x[n]
Subsistema 2: y[n]− (1/3)y[n− 1] = w[n]
Os dois subsistemas podem ser substitúıdos por um sistema único, conforme Figura 3 com função
de transferencia H(z). Encontre H(z) e apresente o diagrama de pólos e zeros. Qual a equação de
diferenças total do sistema ?
x[n] y[n]
h[n]
Fig. 3: Sistema h[n]
Dica: Use as respostas ao impulso de cada subsistema.
4. Calcule a DFT com N amostras das seqüências a seguir:
(a) x1[n] = δ[n].
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(b) x2[n] = α
n, em que 0 ≤ n ≤ N − 1
(c) x3[n] = u[n]− u[n− no], 0 ≤ no ≤ N
5. Encontre a DFT do sinal discreto com N amostras
x[n] = exp(j2πn/N)
6. Considere o sinal discreto
x[n] =
{
ejωon, 0 ≤ n ≤ N − 1;
0, caso contrário
Determine:
a) Encontre a transformada de Fourier Xd(ω) de x[n]
b) Encontre a DFT Xd[m] de x[n]
7. Considere Xd(ω), a transformada de Fourier do sinal x[n] =
(
1
2
)n
u[n]. Considere também o sinal
y[n] limitado no tempo, definido em n = 0, 1, 2, . . . , 9 com duração N = 10 amostras e com DFT
Yd[m] = Xd((2πm)/10) com 10 amostras. Encontre y[n] no intervalo n [0, 9].
Dica: Lembre da relação entre o sinal original e aquele obtido via transformada DFT
inversa.
8. Considerando o cálculo do espectro de frequências de um sinal analógico usando uma DFT de 1024
pontos. Se o sinal for amostrado a 10kHz, qual a resolução ∆ω obtida ?
9. Calcule a DFT dos sinais discretos abaixo:
a) x[n] = [1 0 -1 0];
b) x[n] = [j 0 0 1];
c) x[n] = [1 1 1 1 1 1 1 1].
10. Um sinal discreto no tempo r[n] é distorcido devido a um eco. O eco tem um atraso de 10 amostras
e uma amplitude de 2/3. Ou seja,
r[n] = x[n] + 2/3x[n− 10],
no qual x[n] é o sinal original. Projete um sistema LTI com resposta ao impulso h[n] capaz de
recuparar o sinal x[n] a partir do sinal r[n]. Determine a equação de diferenças do sistema obtido e
classifique-o quanto a estabilidade e causalidade.
11. Calcule a resposta ao impulso da equação diferença de segunda ordem abaixo e especifique se a
equação é FIR ou IIR.
y[n] + y[n− 1] = x[n]− x[n− 2]
12. Quando a entrada a um sistema LTI é
x[n] =
(
1
2
)n
u[n] + 2nu[−n− 1]
a sáıda é
y[n] = 6
(
1
2
)n
u[n]− 6
(
3
4
)n
u[n].
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(a) Encontre a função H(z) do sistema. Desenhe a posição dos pólos e zeros e indique a região de
convergência;
(b) Escreva a equação diferença que caracterize o sistema;
(c) O sistema é estável? É causal? Justifique a sua resposta.
13. Dada a função de transferência H(z) escreva a sua equação diferença.
H(z) =
2z4 + z3 + 0.8z2 + 2z + 8
z4
O sistemas é FIR ou IIR ?
14. Dado o plano complexo ilustrado na figura a seguir, responda:
x
1/3
Im
Re
Ćırculo Unitário
(a) Sabendo que a transformada de Fourier existe, determine as posśıveis regiões de convergência.
(b) O sistema é estável? Justifique sua resposta.
15. Mostre que h[n] = 2n+1u[n− 1] + en−1u[n] tem Transformada Z igual a
H(z) =
4
z − 2
+
z
e(z − e)
.
O sistema é causal ? É estável ?
16. Considere o sistema descrito pela equação de diferenças
y[n] = x[n]− x[n− 1]− 2y[n− 1]
Encontre a sua resposta ao impulso h[n], a transformada Z H(z) e a sua região de convergência
ROC.
17. Dado o sistema abaixo, encontre a função de transferência total do sistema HT (z).
Sabendo que H1 : r[n] = 2x[n]− 12r[n−1], H2 : f [n] = r[n]−
1
3f [n−1] e H3 : g[n] = r[n]−
1
4r[n−1].
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18. Deduza os seguintes pares de transformadas:
(cos Ωon)u[n]↔
z2 − (cos Ωo)z
z2 − (2 cos Ωo)z + 1
(sin Ωon)u[n]↔
z2 − (sin Ωo)z
z2 − (2 cos Ωo)z + 1
Esboce a região de convergência, os pólos e os zeros no plano z.
19. Considere o sinal discreto x[n]
x[n] = 0, 3δ(n+ 2) + 2δ(n) + 1, 5δ(n− 3)
esboce x[n] e determine a Transformada Z.
20. Encontre a Transformada Z do sinal
x[n] = 4
(
1
3
)n
u[n]−
(
2
3
)n
u[n]
É uma sequência a direita ? A esquerda ? Qual a região de convergência ? Possui transformada de
Fourier ?
21. Determine a frequência de Nyquist (frequência de amostragem) para os sinais cont́ınuos no tempo
abaixo:
a) cos(20πt)
b) 1 + sen(30πt) + cos(50πt)
c) cos(100πt)
d) sinc(50πt)
e) sinc2(20t)
Para os itens (c), (d) e (e), adote uma frequência de amostragem ωa e esboce o espectro do sinal
amostrado.
22. Considere o sinal x(t) = 10 cos(20πt). Suponha que este sinal é amostrado a uma frequência de
amostragem ωa = 50π rad/s.
a) Determine o espectro do sinal amostrado.
b) Determine o sinal recuperado xr(t) que se obtém passando o sinal amostrado por um filtro
passa baixa ideal com ganho unitário e frequência de corte igual a metade da frequência de
amostragem.
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Respostas
1. y[n] = h[n− 2]− h[n− 4]
2. H(z) = 1 + 3z−1 + 2z−4
h[n] = δ[n] + 3δ[n− 1] + 2δ[n− 4]
3. HT (z) =
1
1−(5/6)z−1+(1/6)z−2
y[n]− (5/6)y[n− 1] + (1/6)y[n− 2] = x[n]
4. (a) Xd[m] = 1 para m = 0, 1, . . . N − 1;
(b) Xd[m] =
1−αNe−j2πm
1−αe−j2πm/N para m = 0, 1, . . . N − 1 ;
(c) Xd[m] = e
jπ(m−m/no) sen(πm)
sen(πm/no)
para m = 0, 1, . . . no − 1
5. Xd[m] = e
j(α/2)(N−1) sen(αN/2)
sen(α/2) para α =
2π
N (1−m) e m = 0, 1, 2, . . . , N − 1
6. (a) Xd(ω) =
1−ej(ωo−ω)N
1−ej(ωo−ω)
(b) Xd[m] =
1−ej(ωo−
2πm
N
)N
1−ej(ωo−
2πm
N
)
7. y[n] = 10241023
(
1
2
)n
para n = 0, 1, 2, . . . , 9
8. ∆ω = 6,13 rad/s.
9. (a) Xd[m] = [0 2 0 2]; (b) Xd[m] = [(1 + j) 2j (-1 + j) 0] e (c) Xd[m] = [8 0 0 0 0 0 0 0];
10. H(z) = 1
1+(2/3)z−10 , y[n] + 2/3y[n− 10] = r[n]
11. h[0] = 1, h[1] = −1 e h[n] = 0 para n ≥ 2. O sistema é FIR.
12. H(z) = 1−2z
−1
1−(3/4)z−1 , y[n]− (3/4)y[n− 1] = x[n]− 2x[n− 1], sistema estável, causal.
13. y[n] = 2x[n] + x[n− 1] + 0, 8x[n− 2] + 2x[n− 3] + 8x[n− 4], Sistema FIR.
14. ROC: r > 1/3, É estável.
15. Causal, Instável.
16. h[n] = δ[n] + (−1)n(2)n−13u[n− 1], H(z) = z−1z+2
17. H(z) = H3(z)H1(z) +H2(z)H1(z)
18.
19. X(z) = 0, 3z2 + 2 + 1, 5z−3
20.
21. (a) ωa ≥ 40π rad/s; (b) ωa ≥ 100π rad/s; (c) ωa ≥ 200π rad/s; (d) ωa ≥ 100π rad/s e (e) ωa ≥ 80
rad/s;
22.