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EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 30 
 
 
 
 
CIRCUNFERÊCIA 
É o espaço geométrico de um região 
circular que compreende todos os pontos de 
um plano, localizados a uma determinada 
distância, determinada raio,de um ponto 
chamado centro. 
CORDA, DIÂMETRO E RAIO 
Corda de uma circunferência é um 
segmento cujas extremidades pertencem à 
circunferência. 
 
AB̅̅ ̅̅ é uma corda. 
Diâmetro de uma circunferência é uma corda 
que passa pelo centro. 
𝐶𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅ é um diâmetro 
Um raio de uma circunferência é um 
segmento com uma extremidade no centro e 
a outra nem ponto da circunferência. 
𝑂𝑃̅̅ ̅̅ é o raio 
Arco De Circuferência E Semicircuferência 
 
 
 
 
 
CÍRCULO 
Região interna da circunferência. 
Setor circular, segmento circular e 
semicírculo. 
Setor circular é a área de 
um círculo limitada por dois raios e um arco. 
Segmento circular é 
região delimitada por uma corda e um arco 
de circuferência. 
 Semicírculo é a área 
que corresponde a metade do círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
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ÂNGULO CENTRAL 
 
ÂNGULO INSCRITO 
 
MEDIDA DO ÂNGULO DE SEGMENTO 
 
 
ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR 
 
 
 
 
 
ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR 
 
 
 
 
PROPRIEDADES GERAIS 
1) Propriedade da tangente 
Toda reta perpendicular a um raio na sua 
extremidade da circunferência é tangente à 
circunferência. 
 
 
 
 
 
2) Segmentos Tangentes: 
 Se de um ponto P conduzirmos os 
segmentos PA e PB, ambos tangentes a uma 
circunferência, com A e B na circunferência, 
então PA = PB 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NA 
CIRCUNFERÊNCIA E POTÊNCIA DE 
PONTO. 
𝛽 = 𝐴�̂� 
𝛼 =
𝛽
2
 
𝛼 =
𝐴�̂�
2
 
𝛼 =
𝛽
2
 
𝛼 =
𝐴�̂�
2
 
x = 
𝑎+𝑏
2
 
X = 
𝑎− 𝑏
2
 
 
B
A 
P o 
 
 
 
 
 
 
 
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(PA) . (PB) = (PC) . (PD) 
“Se duas cordas de uma mesma 
circunferência se interceptam, então o 
produto das medidas das duas partes de 
uma é igual ao produto das medidas das 
duas partes da outra” 
 
 (PA) . (PB) = (PC) . (PD) 
Se por um ponto (P) exterior a uma 
circunferência conduzimos dois “segmentos 
secantes” (PA e PC), então o produto da 
medida do primeiro (PA) pela de sua parte 
exterior (PB) é igual ao produto da medida 
do segmento (PC) pela de sua parte 
exterior ( PD 
 
 
 
 (PA) . (PB) = (PT)² 
 
 
 
Cálculo da potência de ponto P em função 
da distância d entre centro O e o ponto P e 
do raio r da circuferência. 
 
 (𝑃𝐴) ̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑥(𝑃𝐵)̅̅ ̅̅ ̅ = (d + r). (r − d) = 𝑟2 – 𝑑2 
 
 
 
 
 (𝑃𝐴) ̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑥(𝑃𝐵)̅̅ ̅̅ ̅ = (d + r). (r − d) = 𝑟2 – 𝑑2 
 
Nos dois casos: x = |𝑑2 − 𝑟2| 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS 
CIRCUNFERÊNCIAS. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1)Determine o valor de x, sendo O o centro 
da circunferência nos casos: 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Determine o valor do arco x nos casos: 
 
 
 
3) Nas figuras, calcule x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine a incógnita nas questões 
abaixo: 
 
5) Determine o comprimento do arco menor 
𝐴�̂�, dado o raio de 90 cm e o ângulo central 
correspondente, nos casos: 
 
 
 
 
6) Determine x nos casos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
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7) Na figura ao lado, calcule pot A + pot B + 
pot C. 
 
 
 
 
 
 
 
8) Na figura abaixo, o círculo está inscrito no 
quadrilátero ABCD. Sabendo que AD = 15 cm 
e DG = 5 cm, calcular, em cm, a medida de 
AE. 
 
 
 
a) 5 cm b) 10 cm c) 8 cm d) 4 cm 
 
9) Na figura, as circunferências são 
tangentes duas a duas e os centros são os 
vértices do triãngulo ABC. Sendo AB = 7cm, 
AC=5cm e BC = 6cm, determine os raios 
das circunferências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Os pneus de uma bicicleta têm raio R e 
seus centros distam 3R. Além disso, a reta t 
passa por P e é tangente à circunferência do 
pneu, formando um ângulo α com a reta s 
 
 
 
 
 
 
 
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que liga os dois centros. 
 
 
 
Pode-se concluir que cos α 
a) 
2 3
3
 b) 
3 2
2
 c) 
3 3
2
 d) 
2 2
3
 e) 
3
3
 
 
11) Uma máquina possui duas engrenagens 
circulares, sendo a distância entre seus 
centros A e B igual a 11cm, como mostra o 
esquema: 
 
 
 
Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 
voltas no mesmo tempo em que a maior dá 
375 voltas, e que os comprimentos dos 
dentes de ambas têm valores desprezíveis. 
A medida, em centímetros, do raio da 
engrenagem menor equivale a: 
a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0 
 
 
 
 
 
12) Uma circunferência de raio R é tangente 
externamente a duas circunferências de raio 
r, com r < R. As três circunferências são 
tangentes a uma mesma reta, como ilustrado 
a seguir. Qual a distância entre os centros 
das circunferências de raio r? 
 
 
a) 4 Rr b) 3 Rr c) 2 Rr d) Rr e) 
Rr /2 
 
13) As circunferências C1 e C2 estão 
centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 = 
12, respectivamente, e tangenciam-se 
externamente. Uma reta t é tangente a C1 no 
ponto P1, tangente a C2 no ponto P2 e 
intercepta a reta 
1 2O O no ponto Q. Sendo 
assim, determine 
a) o comprimento P1P2; 
b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1; 
c) a área do triângulo QO2P2.