Circunferências e Elementos

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
CIRCUNFERÊNCIAS 
Prof. Wellington Nishio 
CIRCUNFERÊNCIAS 
Definição 
Circunferência é o conjunto dos pontos que são 
equidistantes de um ponto fixo (O) chamado centro. A 
esta distância damos o nome de raio (R). 
 
Elementos 
• Corda: Qualquer segmento com extremidades 
sobre a circunferência. 
• Raio: É qualquer segmento com uma extremidade 
no centro e outra na circunferência. 
• Diâmetro: Corda que passa pelo centro da 
circunferência. 
 
Flecha 
É o segmento que tem uma extremidade na 
circunferência e outra em uma corda, tal que, a reta 
suporte deste segmento passe pelo centro da 
circunferência. 
 
Pontos na circunferência 
Um ponto P é interno à circunferência quando a 
distância de P ao centro O é menor do que o raio. 
𝒅𝑷,𝑶 < 𝒓 
Um ponto P pertence à circunferência quando sua 
distância ao centro O é igual ao raio. 
𝒅𝑷,𝑶 = 𝒓 
Um ponto P é exterior à uma circunferência quando 
sua distância ao centro O é maior do que o raio. 
𝒅𝑷,𝑶 > 𝒓 
 
 
Posições relativas entre retas e circunferências 
Considere uma circunferência de centro O, raio R e 
uma reta t. 
 
Se a distância entre o centro O e a reta t for maior do 
que o raio R a reta é EXTERIOR à circunferência. 
Portanto não possuem pontos em comum 
Se a distância entre o centro O e a reta t for igual ao 
raio R a reta é TANGENTE à circunferência. Portanto 
possuem um ponto em comum. 
Se a distância entre o centro O e a reta t for menor do 
que o raio R a reta é SECANTE à circunferência, 
portanto possuem dois pontos em comum. 
 
Observações: 
Reta secante: Se um raio passa pelo ponto médio de 
uma reta secante, ele é perpendicular a essa reta. 
 
Reta tangente: Uma reta é tangente a uma 
circunferência se, e somente se, for perpendicular a um 
raio. 
 
Segmentos tangentes e com extremidade num 
mesmo ponto fora da circunferência são congruentes. 
 
 
 
Posições relativas entre duas circunferências 
 
Seja C1 uma circunferência de centro O e raio R1 e C2 
uma circunferência de centro P e raio R2. E suponha 
que R1 > R2 
 
Se a distância entre O e P for menor do que R1 – R2 
então C2 é INTERIOR à C1. 
𝐝𝐎,𝐏 < 𝐑𝟏 − 𝐑𝟐 
 
Se a distância entre O e P for igual a R1 – R2 então C2 
é TANGENTE INTERIOR à C1. 
𝐝𝐎,𝐏 = 𝐑𝟏 − 𝐑𝟐 
 
Se a distância entre O e P for 𝐑𝟏 − 𝐑𝟐 < 𝐝𝐎,𝐏 < 𝐑𝟏 +
𝐑𝟐 , C1 e C2 são SECANTES. 
 
Se a distância entre O e P for igual a R1 + R2 então C1 
e C2 são TANGENTES EXTERIORES. 
𝒅𝑶,𝑷 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 
 
Se a distância entre O e P for maior do que R1 + R2 
então C1 e C2 são EXTERIORES. 
𝒅𝑶,𝑷 > 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 
PA = PB 
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Círculos ortogonais 
São círculos secantes onde dois raios são 
perpendiculares no ponto comum aos dois círculos. 
 
 
Polígonos inscritos na circunferência: 
Um polígono é inscrito em uma circunferência quando 
cada vértice do polígono é um ponto da circunferência 
e, neste caso, dizemos que a circunferência é 
circunscrita ao polígono. 
 
Propriedade dos quadriláteros inscritos 
Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência 
então os ângulos opostos são suplementares, isto é, a 
soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de 
todos os quatro ângulos é 360 graus. 
 
 
Polígonos circunscritos 
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que 
possui seus lados tangentes à circunferência. Ao 
mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está 
inscrita no polígono. 
 
Propriedade dos quadriláteros circunscritos 
Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, 
a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros 
dois lados. 
 
Comprimento da circunferência 
O comprimento ou perímetro de uma circunferência é 
dado por: 
 
Comprimento de um arco 
O comprimento ou perímetro de um arco de 
circunferência de abertura igual a  é dado por: 
 
 
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA. 
 
Ângulo Central 
É todo ângulo que possui seu vértice no centro da 
circunferência. 
 
 
Ângulo Inscrito 
É todo ângulo que possui vértice na circunferência e 
seus lados são retas secantes à mesma. 
 
 
Ângulo de Segmento ou ângulo semi-inscrito 
É todo ângulo que possui vértice no ponto de tangencia 
de uma reta a uma circunferência. 
 
 
Ângulo Ex-Inscrito 
É todo ângulo que apresenta o vértice na circunferência 
e seus lados são uma corda e o prolongamento da 
outra. 
 
 
AB AC
2
+
 =
 
C = 2πR 
C = 
𝟐𝝅𝒓𝜶
𝟑𝟔𝟎°
 
𝑨�̂� = 𝜶 
𝑨�̂� = 𝟐𝜶 
𝑨�̂� = 𝟐𝜶 
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Ângulo Excêntrico Interior 
É todo ângulo que apresenta o vértice no interior do 
círculo e é formado por duas cordas que se cortam fora 
do centro. 
 
 
AB CD
2
+
 =
 
 
Ângulo Excêntrico Exterior 
É todo ângulo que apresenta o vértice no exterior do 
círculo e seus lados são: duas secantes, uma secante 
e uma tangente ou duas tangentes. 
Observação: O ângulo excêntrico exterior formado por 
duas tangentes também, é chamado de ângulo 
circunscrito. 
 
 
 
 
 
 
AB CD
2
−
 =
 
 
Arco Capaz 
Considere um segmento AB e um ângulo α, denominam-
se arcos-capazes de AB, segundo α, o lugar geométrico 
dos pontos P de um plano (que contém AB) tais que APB 
meça α. 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Duas retas secantes à circunferência 
A partir de um ponto P interno ou externo a uma 
circunferência, é traçamos duas secantes à 
circunferência que a encontra nos pontos A, B. C e D de 
acordo com as figuras abaixo, termos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma reta secante e outra tangente à circunferência 
Se por um ponto A, traçarmos uma reta secante e uma 
tangente a uma circunferência, como na figura abaixo, 
teremos que: 
 
 
 
 
Potência de Ponto 
Seja λ uma circunferência de centro O e raio R. Se um 
ponto P está a uma distância d de O, definimos potência 
do ponto P em relação à circunferência λ por: 
 
2 2Pot (P) d - R =
 
Observações: 
1ª) Se P é interior ao círculo temos d < R, logo a potência 
é negativa. 
2ª) Se P pertence à circunferência temos d = R, logo a 
potência é nula. 
3ª) Se P é exterior à circunferência temos d > R, logo a 
potência é positiva. 
4ª) No centro do círculo a potência assume o seu valor 
mínimo, pois temos d = 0. 
 
ÁREAS DE REGIÕES CIRCULARES 
 
Área do Círculo 
Seja um círculo de raio R sua área será 
 
 
Setor Circular 
 
 
Segmento Circular 
 
Coroa Circular 
 
PA.PD = PB.PC 
AB² = AC.AD 
S = πR² 
𝑺 =
𝝅𝑹𝟐𝜶
𝟑𝟔𝟎°
 
𝑨𝑪𝒐𝒓𝒐𝒂 = 𝝅(𝑹𝟐 − 𝒓𝟐) 
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EXERCÍCIOS 
 
1. Um ângulo central α determina, em uma 
circunferência de raio r, um arco de comprimento 
2 r
3

= . A medida desse ângulo é 
a) 150º 
b) 120º 
c) 100º 
d) 80º 
 
2. Na figura, PA é tangente à circunferência em A, e B 
é ponto médio de PC . A medida de PC , em cm, é 
 
a) 12 2 b) 14 2 c) 16 d) 20 
 
3. Sejam AB o diâmetro da circunferência, e as retas t e 
t’ tangentes a ela nos pontos N e M, respectivamente. 
O valor de x é 
 
a) 66º b) 60º c) 55º d) 50º 
 
 
4. Um setor circular, cujo arco mede 15 cm, tem 30 cm2 
de área. A medida do raio desse setor, em cm, é 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
 
5. Se MNOPQR é um hexágono regular inscrito na 
circunferência, então a + b – c é igual a 
 
a) 150º 
b) 120º 
c) 100º 
d) 90º 
 
6. Na figura, AB e CD são cordas tais que AP = 2PB, 
CD = 10 cm, e 
CP PD
.
2 3
= A medida de AB, em cm, é 
 
a) 6 3 
b) 7 3 
c) 8 2 
d) 9 2 
 
7. Para dar 10 voltas completas em volta de um jardim 
circular, uma pessoa percorrerá 2198 m. Considerando 
π = 3,14, a medida, em metros, do diâmetro desse 
jardim é 
a) 70 
b) 65 
c) 58 
d) 52 
 
8. Na figura, O é centro da circunferência e PA é 
tangente a ela, em P. Se PÂO = 30º e OA = 12 3 cm, 
então a medida do raio da circunferência, em cm, é 
 
a) 8 3 
b) 8 2 
c) 6 3 
d) 6 2 
 
9. Considerea figura composta de três círculos 
concêntricos de raios medindo, respectivamente, 5 cm, 
4 cm e 3 cm. A área, em cm2, da parte hachurada é 
 
a) 9π 
b) 16π 
c) 18π 
d) 24π 
 
 
 
 
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10. Na figura, as circunferências 1, 2, 3 e 4 são 
congruentes entre si e cada uma delas tangencia duas 
das outras. Se a circunferência 5 tem apenas um ponto 
em comum com cada uma das outras quatro, é correto 
afirmar que 
 
a) a circunferência 5 é secante às outras quatro 
circunferências. 
b) a circunferência 5 é tangente exterior às outras 
quatro circunferências. 
c) todas as circunferências são tangentes interiores 
entre si. 
d) todas as circunferências são tangentes exteriores 
entre si. 
 
11. Na figura, PT é tangente, em T, à circunferência de 
centro O e raio 6 m. Sabendo que P está situado a 10 
m de O, então PT = _____ m. 
 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
 
12. Utilizando a Potência do Ponto P em relação à 
circunferência dada, calcula-se que o valor de x é 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
13. Na figura, AB = 8 cm é o diâmetro do círculo de 
centro O e AO é o diâmetro do semicírculo. Assim, a 
área sombreada dessa figura é_____ π cm2. 
 
a) 14 
b) 13 
c) 11 
d) 10 
14. Em uma circunferência de raio r = 6 cm, a área de 
um setor circular de 30º é _____ π cm2. 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 
 
15. A figura é formada por um círculo de raio R = 4 cm 
e três triângulos equiláteros de lados congruentes ao 
raio do círculo. Os triângulos têm apenas um ponto de 
intersecção entre si e dois vértices na circunferência. A 
área hachurada, em cm2, é 
 
a) 6π 12 3− 
b) 16π 6 3− 
c) 12π 8 3− 
d) 16π 12 3− 
 
16. Na figura, A e B são pontos da circunferência e CD 
é seu diâmetro. Assim, o ângulo ˆBAC mede 
 
a) 20º b) 30º c) 50º d) 60º 
 
17. A figura abaixo ilustra um círculo com centro em O, 
origem do plano cartesiano, e uma reta r. Considerando 
tal figura, a área da região sombreada corresponde a 
 
a) 2π –4 
b) 2π –2 
c) π – 4 
d) π – 2 
 
18. A figura abaixo apresenta um quadrado inscrito em 
um círculo de raio 2 2 cm e centro O. Considerando 
π = 3, a área da região hachurada é igual a______cm2. 
 
a) 2 b) 8 c) 16 d) 24 
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19. Um carrinho de brinquedo que corre em uma pista 
circular completa 8 voltas, percorrendo um total de 
48m. Desprezando a largura da pista e considerando 
π = 3, o seu raio é, em metros, igual a 
 
a) 0,8 
b) 1,0 
c) 1,2 
d) 2,0 
 
20. Duas cordas se cruzam num ponto distinto do 
centro da circunferência, conforme esboço. A partir do 
conceito de ângulo excêntrico interior, a medida do arco 
x é 
 
a) 40º 
b) 70º 
c) 110º 
d) 120º 
 
 
21. Na figura, O é o centro do semicírculo de raio 
r = 2 cm. Se A, B e C são pontos do semicírculo e 
vértices do triângulo isósceles, a área hachurada é 
_______ cm². (Use π = 3,14) 
 
a) 2,26 
b) 2,28 
c) 7,54 
d) 7,56 
 
22. Se A, B, C e D são pontos da circunferência, o valor 
de x é múltiplo de 
 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 
 
23. Na figura, os arcos que limitam a região sombreada 
são arcos de circunferências de raio R e centrados nos 
vértices do quadrado ABCD. Se o lado do quadrado 
mede 2R e considerando π = 3, então a razão entre a 
área sombreada e a área branca é 
 
a) 
2
1
 b) 
3
1
 c) 2 d) 3 
 
24. Considere o quadrilátero ABCO, de vértices A, B e 
C na circunferência e vértice O no centro dela. Nessas 
condições x mede 
 
a) 30° 
b) 45° 
c) 55° 
d) 60° 
 
25. Considere uma roda de 20 cm de raio que gira, 
completamente e sem interrupção, 20 vezes no solo. 
Assim, a distância que ela percorre é ____ π m. 
a) 100 
b) 80 
c) 10 
d) 8 
 
26. O triângulo ABC está inscrito na circunferência. Se 
BC = 8, a medida do raio é 
 
a) 4 2 b) 2 2 c) 4 d) 2 
 
27. O segmento AT é tangente, em T, à circunferência 
de centro O e raio R = 8 cm. A potência de A em relação 
à circunferência é igual a______ cm2. 
 
a) 16 b) 64 c) 192 d) 256 
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28. Com um fio de arame, deseja-se cercar dois jardins: 
um circular, de raio 3 m, e o outro triangular, cujo 
perímetro é igual ao comprimento da circunferência do 
primeiro. Considerando π = 3,14, para cercar 
totalmente esses jardins, arredondando para inteiros, 
serão necessários ____ metros de arame. 
a) 29 b) 30 c) 35 d) 38 
 
29. O piso de uma sala foi revestido completamente 
com 300 placas quadradas justapostas, de 20 cm de 
lado. Considerando que todas as placas utilizadas não 
foram cortadas e que não há espaço entre elas, a área 
da sala, em metros quadrados, é 
a) 120 b) 80 c) 12 d) 8 
 
30. A figura mostra um quadro que possui quatro 
círculos de raio R e um de raio r, ambos medidos em 
cm. Considerando que os círculos não são secantes 
entre si, que r = R/2 e 4R + 2r = 30 cm, a área que os 
círculos ocupam é _____ π cm2. 
 
a) 120 b) 138 c) 150 d) 153 
 
31. Da figura, sabe-se que OB = r é raio do semicírculo 
de centro O e de diâmetro AC. Se AB = BC, a área 
hachurada da figura, em unidades quadradas, é 
 
a) 1
2
r2
−

 
b) 





−

1
2
r
2 
c) )2(r2 − 
d) 
2
1
r
2
− 
 
32. O ponto OI é o centro da circunferência I, que tem 
raio medindo 6 cm. O ponto OII é o centro da 
circunferência II, que tem raio medindo 2 cm. O 
segmento AB é tangente à circunferência I, em A, e 
passa por OII. Se OIOII = 10 cm, então AB =______cm. 
 
a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 
 
33. Em uma circunferência, um arco de 25º mede 30 
cm. O raio dessa circunferência, em cm, é: 
a) 

250
 
b) 

260
 
c) 

216
 
d) 

280
 
 
34. Na figura abaixo, a medida do arco AB é: 
 
a) 40º 
b) 60º 
c) 80º 
d) 100º 
 
 
35. A medida de um ângulo central é representada por 
3x – 148º. Esse ângulo central determina um arco na 
circunferência, cuja medida é representada por 
2
x
+ 18º. 
A medida desse arco, portanto é: 
a) 25º 36’ 
b) 51º 12’ 
c) 66º 24’ 
d) 64º 
 
36. De posse dos dados da figura abaixo e sabendo 
que as circunferências são tangentes entre si e que 
ambas tangenciam os lados do ângulo AOB, pode-se 
concluir que o valor de sen  é igual a: 
O
A
B
R
r
2
 
a)
R r
R r
+
−
 
b)
R r
R r
−
+
 
c) 
R
R r+
 
d)
2R
R r+
 
e)
2R
R r−
 
 
37. Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de 
centro O, tais que P e Q estejam do mesmo lado em 
relação ao diâmetro que passa por R. Sabendo-se que 
med (ORP) = 10º e med (RÔQ) = 80º, tem-se que o 
ângulo PQO vale: 
a) 20º 
b) 40º 
c) 50º 
d) 60º 
 
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38. Seja PQ tangente a circunferência de centro O e 
raio r. Se CQ = r, pode-se afirmar que PQ + PC é igual 
a: 
 
a) 𝑟 + √3 
b) 2𝑟 + 𝑟√3 
c) 𝑟√3 
d) 𝑟 + 𝑟√3 
 
39. Conforme a figura abaixo, s e t são, respectivamente, 
retas secante e tangente à circunferência de centro O. 
Se T é um ponto da circunferência comum às retas 
tangente e secante, então o ângulo , formado por t e s, 
é 
a) 10O 
b) 20O 
c) 30O 
d) 40O 
 
 
 
 
 
40. Sobre o ângulo x da figura abaixo, pode-se com 
certeza, afirmar que é sempre um número: 
a) par 
b) ímpar 
c) múltiplo de 3 
d múltiplo de 5 
 
41. A distância entre os centros de dois círculos de raios 
iguais a 5 e 4 é 41. Assinale a opção que apresenta a 
medida de um dos segmentos tangentes aos dois 
círculos. 
a) 38,5 
b) 39 
c) 39,5 
d) 40 
e) 40,5 
 
42. Por um ponto P exterior a um círculo de centro O e 
raio R = 1cm, traça-se uma secante que intersecta a 
circunferência do círculo dado nos pontos A e B, nesta 
ordem. Traça-se pelo ponto A uma paralela à reta PO 
que intersecta a mesma circunferência no ponto C. 
Sabendo que o ângulo OPA mede 15 , o 
comprimento do menor arco BC , em centímetros, é: 
a) 
12

 
b) 
6

 
c) 
4

 
d) 
3
e) 
5
12

 
43. Sejam uma circunferência C com centro O e raio R, 
e uma reta r tangente a C no ponto. Traça-se o diâmetro 
AB oblíquo a r. A projeção de AB sobre r é o segmento 
PQ. Sabendo que a razão entre OQ e o raio R é 
7
2
, o 
ângulo, em radianos, entre AB e PQ é 
a) 
4

 
b) 
6

 
c)
 
5
18

 
d) 
3

 
e) 
7
18

 
 
44. Seja AB o diâmetro de uma circunferência. Por A 
traça-se uma tangente a circunferência, que encontra o 
prolongamento de uma corda MN paralela ao diâmetro, 
num ponto P. Sabendo que PM mede 9 cm (M está 
mais próximo de P do que N) e que o raio do círculo 
vale 12,5 cm então a distância do centro à corda MN, 
em cm, mede: 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 15 
 
45. Numa circunferência de centro C e raio 20 cm, 
considera a corda AB, cujo ponto médio é M. Se CM = 
10 cm, então a medida de AB é, em cm, 
a) 15√5 
b) 20√3 
c) 15 
d) 20 
 
46. P é um ponto da corda CD do círculo de centro O. 
Se CP = 9 cm, PD = 5 cm e o raio mede 9cm, então o 
valor de OP é: 
a) 4 cm 
b) 5 cm 
c) 6 cm 
d) 7 cm 
 
47. De um ponto P exterior a uma circunferência, 
traçam-se uma secante PB de 32 cm, que passa pelo 
seu centro, e uma tangente PT cujo comprimento é de 
24 cm. O comprimento dessa circunferência, em πcm, 
é 
a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 
 
48. Um festival de música lotou uma praça semicircular 
de 200m de diâmetro. Admitindo-se uma ocupação 
média de 3 (três) pessoas por m², qual é o número mais 
aproximado de pessoas presentes? (adote π =3,14) 
a) 22340 
b) 33330 
c) 42340 
d) 16880 
e) 47100 
 
 
O 
T 
t 
s 
80O 
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49. A partir de ponto exterior a uma circunferência, é 
traçado um segmento secante de 32 cm, que 
determina, nesta circunferência, uma corda de 30 cm. 
Quanto mede, em centímetros, o segmento tangente 
traçado do mesmo ponto? 
a) 15 
b) 4 15 
c) 8 
d) 8 15 
e) 4 
 
50. Se aumentarmos a medida do raio “r” de um círculo 
em 15%, obtemos um outro círculo de raio “R”. O 
aumento da área, em termos percentuais, foi de: 
a) 32,25 
b)32,52 
c)3,252 
d)3,225 
e)3,522 
 
51. Considere duas circunferências de raios iguais a 2 
tal que, sobrepostas, cada uma pelo centro da outra. A 
área da região comum a ambas é: 
a) 
8
2 3
3

+ 
b) 4 3− 
c) 
8
2 3
3

− 
d) 4 2 3− 
e) 
8
3
3

− 
 
52. A secante r à uma circunferência de 6 cm de raio 
determina uma corda AB de 8√2 cm de comprimento. 
A reta s é paralela a r e tangencia a circunferência no 
menor arco AB. A distância entre r e s é de: 
a) 6 cm 
b) 10 cm 
c) 5 cm 
d) 4 cm 
e) 7 cm 
 
53. Considere as cordas AP = 13 e BD = 12 de uma 
circunferência, que se interceptam no ponto Q; e um 
ponto C da corda AP, tal que ABCD seja um 
paralelogramo. Determinado este ponto C, AC mede: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 18 
 
54. Na figura abaixo, PA é uma secante ao círculo, PT 
é uma tangente ao círculo e BC é uma corda do círculo. 
Qual das relações abaixo sempre será válida? 
 
a) 
PD PT
PT PA
= 
b) 
PD PT
PT AD
= 
c) 
CT AT
BT DT
= 
d) 
PT TB
CT PA
= 
e) 
PD CT
BT PA
= 
 
55. Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos 
uma secante que corta a circunferência nos pontos M e 
N de maneira que PN = 3x e PM = x – 1. Do mesmo 
ponto P tiramos outra secante que corta a mesma 
circunferência em R e S, de maneira que PR = 2x e 
PS = x + 1. O comprimento do segmento da tangente à 
circunferência tirada do mesmo ponto P, se todos os 
segmentos estão medidos em cm é: 
a) 40 
b) 60 
c) 34 
d) 10 
e) 8 
 
56. Duas circunferências são tangentes exteriores em 
P. Uma reta tangencia essas circunferências nos 
pontos M e N respectivamente. Se PM = 4 cm e PN = 2 
cm, o produto dos raios dessas circunferências dá: 
a) 8 cm² 
b) 4 cm² 
c) 5 cm² 
d) 10 cm² 
e) 9 cm² 
 
57. Pela extremidade A de um diâmetro AB de uma 
circunferência de raio R, traça-se uma tangente. Com 
centro na extremidade B, descreve-se um arco de raio 
4R, que intercepta a tangente no ponto C. Traça-se BC 
que encontra a circunferência dada em E. O valor de 
AB é: 
a) 0,25R 
b) 0,5R 
c) 0,75R 
d) 0,8R 
e) R 
 
58. As retas PA e PB são tangentes a circunferência de 
raio R nos pontos A e B respectivamente. Se PA = 3x e 
x é a distância do ponto A à reta PB, então R é igual a: 
a) ( )3 3 2 2 x− 
b) ( )3 3 2 2 x+ 
c) 3x 
d) ( )2 2 3 3 x+ 
e) x 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
CIRCUNFERÊNCIAS 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
a
b
r
2r
 
 
A 
C 
D 
B 
E 
O 
59. 
 
 
O raio do círculo da figura acima, onde a² = b.c é: 
a) a c b+ − 
b) 2a c b+ − 
c) a b c+ − 
d) 2a c− 
e) b c− 
 
60. Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O 
e raio R tal que OP = R 3 . Traça-se por P a secante 
PAB ao círculo. Se PA = R, AB = é igual a: 
a) R b) R/2 c) R/3 d) 2R e) 3R 
 
61. Considere um triângulo equilátero ABC, inscrito em 
um círculo de raio R. Os pontos M e N são, 
respectivamente, os pontos médios do arco menor AC 
e do segmento BC. Se a reta MN também intercepta a 
circunferência desse círculo no ponto P, P ≠ N, então o 
segmento NP mede: 
a) 
R 7
2
 
b) 
3R 3
2
 
c) 
3R 7
14
 
d) 
R 5
7
 
e) 
R 5
3
 
 
62. Na figura, RST é um triângulo retângulo em S. Os 
arcos RnST, RmS e SqT são semicircunferências cujos 
diâmetros são respectivamente, RT, SR e ST. A soma 
das áreas das figuras hachuradas está para a área do 
triângulo RST na razão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 1/3 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 
 
63. O diâmetro de uma circunferência com centro m é 
110cm. Um ponto p pertencente a uma corda divide-a 
em pedaços de 30cm e 60cm. Então PM (em cm) mede: 
a) 28 b) 30 c) 32 d) 33 e) 35 
 
64. Duas circunferências C1 e C2, ambas com 1 m de 
raio, são tangentes. Seja C3 outra circunferência cujo 
raio mede ( 12 − )m e que tangência C1 e C2. A área, 
m2, da região limitada e exterior às três circunferências 
dadas, é: 
a) 1 -  








−
2
2
1 
b) 
1
62

− 
c) ( )212 − 
d) 





−

2
1
2
16
 
e) ( )12 − - 1 
 
65. Na figura, todas as circunferências menores têm o 
mesmo raio r e os centros das circunferências que 
tocam a circunferência maior são vértices de um 
quadrado. Sejam a e b as áreas cinzas indicadas na 
figura. Então a razão a/b é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 1/2 b) 2/3 c) 1 d) 3/2 e) 2 
 
66. Um triângulo retângulo tem os catetos com 2 cm e 
6 cm. A área do círculo que tem o centro sobre a 
hipotenusa e tangencia os dois catetos é de : 
a) 29
 cm
4

 
b) 225
 cm
9

 
c) 216
 cm
9

 
d) 2
20 cm 
e) 2
18 cm 
 
67. Na figura, o diâmetro 
___
AB mede 38 e a corda
___
CD
forma um ângulo de 30º com 
___
AB . Se E é ponto médio 
de 
___
AO , onde O é o centro do círculo, a área da região 
hachurada mede : 
a) ( )338 − 
b) ( )1310 + 
c) ( )3218 + 
d) ( )2327 − 
e) ( )338 + 
 
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CIRCUNFERÊNCIAS 
Prof. Wellington Nishio 
68. Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A , o 
ponto O é o centro do semicírculo de raio r , tangente 
aos lados AB e AC . Sabendo-se que 3rOB = , a área 
do triângulo ABC é dada por: 
 
a) ( )422
3
r
2
+ 
b) ( )432
4
r
2
+ 
c) ( )223
4
r
2
+ 
d) ( )423
4
r
2
+ 
 
69. Sejam 1C e 2C dois círculos ortogonais de raios 1R 
e 2R . A distância entre os centros é  . A soma das 
áreas dos círculos é igual a: 
a) 
2
3
2

 
b) 
4
2

 
c) 2
 
d) 3
 
e) 
4
5
2

 
 
70. O comprimento da circunferência de um círculo de 
raio R1 é igual ao comprimento de um arco de 30° da 
circunferência de um círculo de raio R2. Se a área do 
primeiro é igual a 2, então a área do segundo é 
a) 288 
b) 144 
c) 72 
d) 48 
 
71. Na figura, todos os círculos têm raio r. Qual a área 
da parte hachurada ? 
a) r2 (23 - ) 
b) r2 (3 3 - ) 
c) r2 (4 3 - ) 
d) r2 (5 3 - ) 
 
72. Três circunferências de raios r, 2r e 3r são tais que, 
cada uma delas tangência exteriormente as outras 
duas. O triângulo, cujos vértices são os centros dessas 
circunferências, tem área: 
a) r2 
b) 23
r
2
 
c) 4r2 
d) 6r2 
e) 12r2 
73. Duas circunferências de raios iguais a 9 m e 3m são 
tangentes externamente num ponto C. Uma reta 
tangencia estas duas circunferências nos pontos 
distintos A e B. A área, em m2, do triângulo ABC é: 
a) 27 3 
b) 
2
327
 
c) 9 3 
d) 27 2 
e) 
2
227
 
 
74. Uma circunferência de raio r é tangente aos lados 
AB, AD e CD de um retângulo ABCD e passa pelo ponto 
médio da diagonal AC. A área do retângulo é: 
a) 3πr2 
b) 12r 
c) 2r + r² 
d) 8r2 
e) 8πr 
 
75. Na figura abaixo AB e AC são tangentes ao círculo 
menor. Determinar, em função de r, a área da parte 
hachurada. 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
A) 3, 4, 6, 7, 13, 14, 16, 18, 26, 39, 40, 47, 50, 53, 54, 
58, 60, 64, 66, 70, 71 
B) 1, 5, 10, 19, 20, 21, 22, 31, 32, 36, 42, 43, 45, 55, 73 
C) 2, 8, 9, 27, 29, 33, 35, 37, 44, 46, 49, 56, 61, 62, 65 
D) 11, 12, 15, 17, 23, 24, 25, 28, 30, 34, 38, 41, 52, 68, 
69, 72, 74 
E) 48, 51, 57, 59, 63, 67 
75. r2