Para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos \( P(1, 2, 1) \) e \( Q(3, 1, -1) \) e é paralelo ao eixo \( y \), precisamos seguir alguns passos. 1. Identificar a normal do plano: Como o plano é paralelo ao eixo \( y \), a normal do plano não terá componente em \( y \). Assim, podemos considerar a normal na forma \( (a, 0, c) \). 2. Encontrar o vetor diretor: O vetor que vai de \( P \) a \( Q \) é dado por: \[ \vec{PQ} = Q - P = (3 - 1, 1 - 2, -1 - 1) = (2, -1, -2) \] 3. Encontrar a normal: Para que o plano seja perpendicular ao vetor \( \vec{PQ} \), a normal \( (a, 0, c) \) deve satisfazer o produto escalar: \[ (2, -1, -2) \cdot (a, 0, c) = 0 \implies 2a - 2c = 0 \implies a = c \] 4. Escolher valores para \( a \) e \( c \): Podemos escolher \( a = 1 \) e \( c = 1 \) para simplificar. Assim, a normal do plano é \( (1, 0, 1) \). 5. Equação do plano: Usando a forma geral \( ax + by + cz + d = 0 \): \[ 1(x) + 0(y) + 1(z) + d = 0 \implies x + z + d = 0 \] 6. Encontrar \( d \): Para encontrar \( d \), podemos usar um dos pontos, por exemplo, \( P(1, 2, 1) \): \[ 1 + 1 + d = 0 \implies d = -2 \] 7. Equação final do plano: Portanto, a equação do plano é: \[ x + z - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad x + z = 2 \] Essa é a equação do plano que passa pelos pontos \( P \) e \( Q \) e é paralelo ao eixo \( y \).