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Física Geral e Experimental
Práticas em Laboratório
Versão 1.1
Copyright © Outubro de 2017
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
Crédito das imagens:
Conceitos Básicos: http://texon-ing.com.ar/en/img/content/unidades/metrologia2.jpg;
erros: https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/originals/79/56/13/7956131876cec2fc665364fd0857c528.
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MRU & MRUV: Barcelona. Three Looks/ CC-BY-2.0;
Lançamento de Projeteis: https://www.wonderwhizkids.com/conceptmaps/Projectile_motion.html;
Lei de Hooke: https://ebybliotheca.files.wordpress.com/2016/04/maxresdefault-1.jpg?w=960&h=720&
crop=1;
Quadro de Forças: goo.gl/s2bnGC
Queda Livre: goo.gl/wQnTu7
Vantagem Mecânica: goo.gl/j1Z2y4
Medidas: https://ipemsp.files.wordpress.com/2013/04/tira-papel-rev.jpg;
Dilatação térmica: http://i.imgur.com/LHSHc.gif MHS:https://sites.google.com/site/
klamphysicsproject/;
Principio de Arquimedes: http://hookedoneverything.com/wp-content/uploads/2015/05/hot-air-main-
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Lei de Boyle-Mariotte: http://www.thisiscolossal.com/wp-content/uploads/2016/07/hox-2.jpg
Versão 1.1 desenvolvida por Profª Karina Kodel, Prof. Pablo Pedra e Profª Sânzia Alves
Primeira versão, Dezembro de 2016
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goo.gl/wQnTu7
goo.gl/j1Z2y4
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https://sites.google.com/site/klamphysicsproject/
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Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I Teoria
1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Grandezas Físicas 12
1.1.1 Padrões adotados - S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Medidas de uma grandeza e suas Incertezas 14
1.2.1 Medidas de uma grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Ordem de Grandeza e Algarismos Significativos 15
1.3.1 Ordem de Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Operações com Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Regras de Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Incertezas durante a leitura de escalas 20
2.2 Incertezas em Medições Repetidas 22
2.3 Como relatar uma medida 23
2.4 Algarismos significativos 24
2.5 Alguns conceitos importantes 25
2.5.1 Discrepância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.2 Precisão e Exatidão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Tipos de Erros 29
2.6.1 Erro absoluto, relativo e percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Medida direta de uma grandeza física 31
2.8 Propagação de erros 32
2.8.1 Incertezas independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.2 Funções arbitrárias de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.3 Regra geral para propagação de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9 O desvio padrão 35
2.10 Desvio padrão da média 36
3 Representações gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 A construção e interpretação de gráficos 38
3.1.1 Escolha do Papel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Título e Legenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.3 Eixos das variáveis com seus respectivos nomes, escalas e unidades . . 39
3.1.4 Dados experimentais e incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.5 Funções teóricas ou curvas médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Informações a partir de gráfico 47
3.2.1 Determinação dos coeficientes de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Papel gráfico em diferentes escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Papel di-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II Física Experimental 1
4 Medidas Direta e Indiretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Objetivos 59
4.2 Materiais utilizados 59
4.3 Procedimentos experimentais 60
4.3.1 Aprendendo a utilizar os instrumentos que estão sobre a bancada. . . 60
4.3.2 Medindo as dimensões dos tubo cilíndrico e do bloco de madeira com o
paquímetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.3 Medida do perímetro e altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Tratamento e apresentação dos dados experimentais 60
4.4.1 Valores médios e erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Estudo do MRU & MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1 Objetivos 61
5.2 Materiais utilizados 61
5.3 Procedimentos experimentais 62
5.3.1 Estudo do MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3.2 Estudo do MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 63
5.4.1 MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.2 MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Lançamento de Projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.1 Objetivos 66
6.2 Materiais utilizados 66
6.3 Procedimentos experimentais 67
6.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 68
7 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.1 Objetivos 70
7.2 Materiais utilizados 70
7.3 Procedimentos experimentais 71
7.4 Associação de Molas 72
7.4.1 Em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4.2 Em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.5 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 72
8 Quadro de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.1 Objetivos 75
8.2 Materiais utilizados 75
8.3 Procedimentos experimentais 76
8.3.1 Equilíbrio entre duas forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3.2 Equilíbrio entre três forças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4 Procedimentos experimentais 77
8.4.1 Equilíbrio entre duas forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4.2 Equilíbrio entre três forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9 Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.1 Objetivos 79
9.2 Materiais utilizados 79
9.3 Procedimentos experimentais 80
9.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 80
10 Forças Coplanares e Vantagem Mecânica . . . . . . . . . . . . 82
10.1 Objetivos 82
10.2 Materiais utilizados 82
10.3 Procedimentos experimentais 83
10.3.1 Roldanas Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.3.2 Roldana Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.3.3 Talha Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.3.4 Cadernal Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.4 Tratamento dos dados experimentais 84
III Física Experimental 2
11 Dilatação Térmica de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.1 Objetivos 88
11.2 Materiais utilizados 88
11.3 Procedimentos experimentais 89
11.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 89
12 Movimento Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.1 Objetivos 91
12.2 Materiais utilizados 91
12.3 Procedimentos experimentais 92
12.3.1 Sistema Massa-Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12.3.2 Pêndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
12.3.3 Pêndulo Físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
13 Princípio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
13.1 Objetivos 100
13.2 Materiais utilizados 100
13.3 Procedimentos experimentais 100
13.3.1 Comprovação Experimental da Força de Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . 100
13.3.2 Verificação experimental do Princípio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . 102
13.3.3 A influência da densidade do fluido no valor do empuxo . . . . . . . . . . 102
13.3.4 Determinando a densidade de um sólido através do empuxo. . . . . . . 102
14 Transformação Isotérmica e a Lei de Boyle-Mariotte 104
14.1 Objetivos 104
14.2 Materiais utilizados 104
14.3 Procedimentos experimentais 105
Apresentação
Este será, provavelmente, seu primeiro contato com a ciência experimental. Assim, para
contextualizar este curso, relembremos um pouco sobre o que é ciência e o que é a ciência
experimental. Derivada do latim, scientia (de scire ), a palavra ciência significa saber e já
se referiu a todo o saber e conhecimento. Nos dias atuais, quando usamos a palavra ciência,
em geral, estamos nos referindo a um subconjunto desse significado original. De fato, hoje
podemos dividir o conhecimento em quatro categorias:
• ciências experimentais;
• ciências observacionais;
• quasi-ciências;
• não-ciências.
Qual seria então a característica que distingue a ciência experimental das demais categorias
do conhecimento acima referidos? Podemos dizer com segurança que é o controle que
se possui sobre as condições em que as observações são realizadas. A física é uma das
principais ciências em que as variáveis experimentais podem ser reguladas. Por exemplo,
podemos controlar a temperatura e a pressão em que uma experiência é feita. Por outro lado,
se tomarmos o exemplo da astronomia vamos ter uma ciência na qual podemos realizar
medidas, mas sem grande controle sobre a fonte das observações. Tomemos, por exemplo,
a observação e o estudo da radiação solar: apesar de haver inúmeras e detalhadas medições,
nos mais diversos comprimentos de onda, resultando em informações sobre a estrutura e a
química do Sol, temos que aceitar estas medições tais quais. O desenvolvimento de teorias
neste caso, para serem cientificas, devem ser de caráter quantitativo e comparável com as
observações realizadas.
Assuntos como a psiquiatria ou a sociologia, nos quais as experiências controladas
praticamente inexistem, e, embora se possa efetuar observações não é possível testá-las
com teorias quantitativas são representações do que podemos chamar quasi-ciência. O que
lhes falta é a objetividade necessária para serem classificados como ciência, embora possam
apresentar modelos que reproduzem o comportamento do individuo ou da sociedade. Já
8
as não ciências são os campos do conhecimento tais como a música, a literatura ou a
arte, que de fato não possuem a pretensão de serem atividades cientificas. Obviamente,
poderão valer-se do fazer cientifico e tecnológico para desenvolver instrumento úteis para
sua prática.
A física é uma das Ciências Naturais1. Ela busca compreender e prever os fenômenos
da natureza de carácter mais elementar. Tal abordagem ao invés de fazer com que esta
ciência se ocupe de fenômenos muito simples e elementares, a leva a tal complexidade e
vastidão de conhecimento que não é raro encontrar dois físicos que desconhecem os campos
de atuação um do outro quase que completamente. De fato, os fenômenos estudados na
física vão desde as partículas elementares até ao Universo como um todo.
Em física, se queremos compreender um dado fenômeno natural o modo pelo qual
procedemos é selecionando as características que julgamos essenciais. Em qualquer ramos
da ciência o método empregado para obter/produzir conhecimento e sistematizá-lo visando
não somente sua compreensão como também utilização futura em sistemas similares é o
que chamamos de Método Experimental: dado um sistema que será estudado, realizamos
experiências controladas sobre o mesmo, medindo e registrando as grandezas que, sendo
observáveis, supomos determinam o comportamento do sistema em questão; posterior
ao experimento, tentamos encontrar as relações matemáticas às quais nossos resultados
obedecem, sistematizando e formalizando nossos achados de tal forma que seja possível
prever o comportamento de sistemas similares àquele sobre o qual foi feito o estudo (sempre
e quando nas mesmas condições); finalmente, comunicamos à comunidade cientifica sobre
este resultado, apresentando também o modo pelo qual o mesmo foi encontrado, de tal
forma que um outro cientista seja capaz de duplicar nossos resultados, verificando-os
através de sua aplicação a outros sistemas.
Um algoritmo que resume o funcionamento do método experimental (MENDES,
1998)
Repetir
Anotações
Projetar experiência
Medir variáveis experimentais
Analisar os dados
Fazer modelo da experiência
Comparar o modelo com os dados
Até comparação satisfatória
Escrever artigo científico
Uma das partes mais importantes da atividade cientifica de um físico é a reali-
zação de experiências com os sistemas que se pretende estudar. Dada a experiência
adquirida ao longo dos séculos, hoje em dia dispomos de um conjunto de regras, meto-
dologias e comportamentos que se devem adotar quando se realizam experiências em
laboratório.
O curso de Física Geral e Experimental I está voltado para o aprendizado dos conceitos
fundamentais da mecânica newtoniana. Em sua parte prática, alguns dos fenômenos físicos
1O grande desenvolvimento cientifico dos séculos XVII, XVIII e XIX levou à divisão das ciências
naturais nos grandes ramos que conhecemos hoje: Física, Química, Biologia (Botânica e Zoologia), Medicina
e Engenharias.
9
cuja fundamentação teórica foi aprendida em sala de aula serão estudados experimen-
talmente em laboratório visando ao entendimento e à compreensão desses fenômenos
através de seu estudo quantitativo. Além disto, este curso aborda o básico do trabalhar em
laboratório, desde conduzir e documentar os experimentosa apresentar seus resultados
através de gráficos e tabelas, finalizando-se com a discussão de sua conexão com a física
teórica. Este curso é, portanto, o passo inicial para a formação de um profissional que
lidará, eventualmente, com atividades experimentais uma vez que atuará na área de ciências
exatas e tecnologia. Imprescindível para o trabalho em laboratório são a organização, a
iniciativa, a dedicação e a clareza ao apresentar os resultados, de tal forma que se re-
comenda que o estudante tenha um caderno específico para uso no laboratório, no qual
deverá anotar metodicamente o que está fazendo durante o experimento, bem como suas
dúvidas e questionamentos que eventualmente surgirá durante a prática. Neste caderno,
recomenda-se também, que o aluno detalhe o procedimento experimental adotado, seus
resultados e anotações prévias ou póstumas que fundamenta tal experimento. O uso de tal
caderno ficará facultado ao estudante, salvo casos em que o professor o exigir. Mas note-se
que, com tal instrumento, a tarefa posterior de confeccionar os relatórios será facilitada
enormemente.
Finalmente, lembre-se que os trabalhos de laboratório são realizados com um dos
seguintes objetivos (MENDES, 1998)
• demonstrar ideias teóricas em física,
• criar familiaridade com um aparelho,
• treinar como se fazem experiências.
– ter consciência, e providenciar para eliminar, os erros sistemáticos nos métodos
e nos instrumentos,
– analisar os resultados de modo a tirar conclusões corretas,
– fazer uma estimativa da precisão do resultado final,
– registar as medidas e os cálculos com precisão, clareza e concisamente.
Vamos, portanto, iniciar nosso curso e observar como funciona a física na prática!
Se você ainda tem dúvidas sobre o que é a Física e o método científico procure se
informar sobre o assunto em bons livros e boas referências online, como por exemplo
artigos e documentários.
TeoriaI
1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Grandezas Físicas
1.2 Medidas de uma grandeza e suas Incertezas
1.3 Ordem de Grandeza e Al-
garismos Significativos
2 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Incertezas durante a leitura de escalas
2.2 Incertezas em Medições Repetidas
2.3 Como relatar uma medida
2.4 Algarismos significativos
2.5 Alguns conceitos importantes
2.6 Tipos de Erros
2.7 Medida direta de uma grandeza física
2.8 Propagação de erros
2.9 O desvio padrão
2.10 Desvio padrão da média
3 Representações gráficas . . . . . . . . . . 37
3.1 A construção e interpretação de gráficos
3.2 Informações a partir de gráfico
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1. Conceitos Básicos
Antes dos procedimentos de medir e calcular vem sempre o momento de fazer uma
estimativa daquilo que queremos medir e calcular, oportunidade esta na qual podemos
exercitar nossa engenhosidade. Para fazer uma estimativa, devemos nos valer de nosso
conhecimento prévio (mesmo que aproximado ou superficial) e de nossa experiência
anterior com resultados quantitativos (SCHOLBERG; DOURMASHKIN, 2002). Muitas
vezes podemos fazer modelos simplificados para estimar a resposta de uma pergunta
que envolve números, como por exemplo: quantos cabelos há em sua cabeça? quantos
galões de gasolina são usados anualmente na cidade em que você vive? qual a ordem de
grandeza do número de voltas dadas pela roda de um automóvel ao percorrer uma estrada
de 200 km?1 etc. Problemas deste tipo, que tratam de estimar um número sem exatidão
nem com precisão extrema são chamados de Problemas de Fermi, devido ao físico italiano
Enrico Fermi, prêmio Nobel de Física em 1938.
Você deve se está perguntando para que queremos uma estimativa tão grosseira, que
muitas vezes chegará a uma ordem de magnitude somente. Primeiramente, uma estimativa
grosseira é muito melhor que nada, caso em que você não tem à disposição instrumentos
adequados para fazer sua medida, ou seu cálculo. Ter em mãos uma boa estimativa,
mesmo que de uma ordem de magnitude somente, nos permite ter uma ideia se um dado
experimento (ou quem sabe um negócio) é, ou não, factível. Observe que o sentimento
intuitivo das dimensões ou magnitudes das grandezas físicas pode ser útil. Por exemplo, (a)
quando falamos na grandeza peso, cuja unidade é o Newton, podemos associar o peso de
1 N ao que pesa uma maça de dimensões médias, (b) se você é uma pessoa comum você
caminha 1 km em aproximadamente 12 min, (c) O volume de uma cabeça humana típica
é de aproximadamente 0,005 m3, (d) uma maça que cai de uma altura de 1 m armazena,
aproximadamente, 1 J de energia (cinética) etc. (KESTEN; TAUCK, 2015).
Em mecânica clássica, as grandezas físicas fundamentais massa, comprimento e tempo
1Questão Fuvest-SP
12 Capítulo 1. Conceitos Básicos
podem ser estimadas através de noções de quantidade, tamanho e duração, que muitas vezes
tomam como padrões objetos comuns. Ter uma estimativa antes de fazer um experimento
é um bom modo de sabermos se estamos indo no caminho certo. Lembre-se, entretanto,
que uma medida ou cálculo bem realizados serão muito mais confiáveis que qualquer
estimativa grosseira realizada com base em nosso senso comum.
1.1 Grandezas Físicas
Chamamos de grandeza física aquilo que pode ser quantizado, isto é, aquilo a que
pode ser atribuído um valor numérico e uma unidade de medida que o caracteriza. Medir
uma grandeza física significa compará-la com um padrão de medida cuja escala é pré-
determinada. Em outras palavras, compará-la com outra grandeza física, de mesma espécie,
que é a unidade de medida e verificar quantas vezes essa unidade esta contida na grandeza
a ser medida. Lembre-se que um número isolado não representa uma grandeza física: a
unidade de medida é imprescindível para identificá-la. Evidentemente podemos medir uma
grandeza de diversas formas, conforme os instrumentos disponíveis para a medida e o local
onde será efetuada a medida, dentre outros fatores. Num certo momento, foi necessário
padronizar algumas unidades para facilitar a comunicação científica e o comércio de
produtos industriais e manufaturados. Um conjunto de unidades padrões forma o que
chamamos de Sistema de Unidades (LURDES MACHADO, 2014).
1.1.1 Padrões adotados - S.I.
Praticamente todos os processos, características e fenômenos físicos podem ser ex-
pressos em termos função de umas poucas grandezas fundamentais independentes. São
grandezas fundamentais comprimento, tempo, temperatura e massa pois elas não podem
ser expressas em termos de outras grandezas físicas. Para expressar os valores de qualquer
grandeza, adota-se o Sistema Internacional de Unidades (S.I). Observe que embora a
escolha das unidades do S.I. seja arbitrária, já que foram feitas por seres humanos ao invés
de estabelecidas pela natureza, elas são amplamente usadas em todo o mundo. Assim, a
escolher por adotar as unidades do S.I. permitem a conversão de valores de grandezas
fundamentais e de outras grandezas delas derivadas de forma que todos possam entender.
As grandezas físicas podem portanto serem classificadas em duas categorias:
• Grandezas fundamentais: aquelas que são independentes das outras, sendo originárias
de um padrão pré-estabelecido. Exemplos: tempo, comprimento, massa, temperatura
termodinâmica, carga elétrica, quantidade de substância, intensidade luminosa etc.
• Grandezas derivadas: todas as que não são fundamentais, sendo normalmente com-
postas por mais de uma unidade fundamental. Exemplos incluem a velocidade,
aceleração, momento de inércia etc.
A Tab. 1.1 apresenta as grandezas fundamentais e suas unidades no S.I.; observe que a
maioria das unidades mostradas nesta tabela foi definida com base em fenômenos naturais.
Leia mais sobre este assunto no livro de Kesten e Tauck (2015).
Em física lidamos tanto com números muito pequenos quanto com números muito gran-
des, já que vamos desde o subatômico ao extragaláctico. Quando necessitamos expressar
números em tais dimensões é conveniente usar o que chamamos notação científica. Nesta
notação os númerossão expressos como um coeficiente multiplicado por uma potência de
10.
1.1 Grandezas Físicas 13
Tabela 1.1: Grandezas fundamentais e suas unidades do S.I.
Grandeza Unidade Abre-
viação
Definição
compri-
mento
metro m "... comprimento do percurso percorrido pela luz no
vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299792458
de um segundo. (NIST, 2001, p. 5).
tempo segundo s A definição refere-se a um átomo de césio em repouso
a uma temperatura de 0 K. "... baseia-se em um átomo
césio imperturbável por radiação de corpo negro, isto é,
num ambiente cuja temperatura é de 0 K:"... a duração
de 9 192 631 770 vibrações da transição entre dois
níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de
césio 133". (1967). (NIST, 2001, p. 5).
massa quilo-
grama
kg O protótipo internacional do quilograma, de platina-
irídio, é mantido no Escritório Internacional de Pesos
e Medidas (BIPM) sob condições especificadas pela
1a CGPM em 1889 (CR, 34-38): "... este protótipo
passará a ser considerado a unidade de massa". A 3a
CGPM (1901; CR, 70), para acabar com a ambigui-
dade em relação ao uso popular da palavra "peso", con-
firmou: "O quilograma é a unidade de massa, é igual
à massa do protótipo internacional do quilograma".
(NIST, 2001, p. 4-5).
tempera-
tura
kelvin K "... a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica
do ponto triplo da água". (NIST, 2001, p. 7).
corrente
elétrica
ampère A "...a corrente constante que, mantida em dois conduto-
res paralelos retilíneos, de comprimento infinito, de se-
ção circular desprezível, separados por uma distância
de um metro no vácuo, provoca entre estes, condutores
uma força igual a 2×10−7N/m”. (1946). (NIST„2001,
p. 7).
quanti-
dade
de uma
substân-
cia
mol mol "... a quantidade de matéria de um sistema que con-
tém tantas entidades elementares quanto o número de
átomos que existem em 0,012Kg de carbono 12, o seu
símbolo é o mol". (1971) (NIST, 2001, p. 8). "(...),
as entidades elementares devem ser especificadas e
podem ser átomos, moléculas, íons, elétrons,outras
partículas, ou grupos específicos de tais partículas".
Idem.
intensi-
dade da
luz
candela cd "(...) é a intensidade luminosa, em uma determinada di-
reção, de uma fonte que emite uma radiação monocro-
mática, de frequência 540×1012 Hz, cuja intensidade
de radiação naquela direção é 1/683 watt/rad.(1979)
(NIST, 2001, p. 9).
Adaptado do The International System of Unit (SI), National Bureau of Standards Special Publication, 330, edição de 2001
e reproduzido de Lurdes Machado (2014).
14 Capítulo 1. Conceitos Básicos
Um aspecto importante ao qual você deve prestar atenção é a presença de prefixos
na declaração das unidades de sua medição. Por exemplo, ao lidar com um comprimento
de nm não se esqueça que o n junto ao m significa nano, ou seja, o número deve ser
multiplicado por 10−9. Ao esquecer de adequar as unidades e seus prefixos ao seu cálculo,
suas respostas além de erradas parecerão absurdas.
Exercício 1.1 Quais as vantagens e desvantagens de se adotar o comprimento de seu
braço como padrão de comprimento? �
Exercício 1.2 Considere dois corpos A e B, de massas mA = 500µg mB = 0,5kg. Qual
a diferença de massa entre eles? �
Exercício 1.3 Coloque as seguintes dimensões em ordem crescente:
0,1 mm 7µm 6380 km 165 cm 200 nm
�
Exercício 1.4 Para cada um dos pares de valores de grandezas, determine qual é o
maior de quanto.
(a) 1 mg, 1 kg
(b) 1 mm, 1 cm
(c) 1 MW, 1kW
(d) 10−10 m, 10−14 m
(e) 1010 m, 1014 m
�
1.2 Medidas de uma grandeza e suas Incertezas
Tanto na física como em todas as outras ciências experimentais e trabalhos de aplicação
técnica estamos constantemente envolvidos com resultados de medidas. Uma medida
nada mais é que a realização de uma observação experimental, que nos permite conhecer
e descrever determinado fenômeno ou sistema (a natureza, de modo geral). A seguir
vamos estudar mais sobre este conceito, aprendendo como podemos expressar com clareza
os resultados obtidos. Por clareza entenda-se que queremos que tais resultados sejam
compreensíveis e reprodutíveis por quaisquer experimentadores. Para mensurar o valor
de uma dada grandeza devemos I) estabelecer o método de medida, II) o sistema de
medidas com a respectiva unidade e, finalmente, III) que instrumentos serão necessários.
Imagine que queremos medir a largura da porta de nosso laboratório. Neste exemplo,
vamos necessitar de uma régua como instrumento, a unidade será em metros, caso em que
escolhemos o sistema internacional (SI).
1.3 Ordem de Grandeza e Algarismos Significativos 15
Exercício 1.5 Para refletir: Em que unidade apresentaríamos esta medida se houvés-
semos escolhido o sistema imperial britânico? �
O método de medição será determinar quantas vezes a unidade escolhida e suas frações
estão contidas na largura da porta (valor que estamos medindo). Normalmente, as medidas
se apresentam sob a forma numérica. Tais números, que expressam o valor de determinadas
grandezas, irão confirmar ou refutar uma teoria ou contribuir para o desenvolvimento de
um dado trabalho tecnológico. Portanto, realizar uma experiência científica nada mais
é que fazer medições as quais trarão respostas acerca da validade dos modelos físicos
adotados e transcritos em linguagem matemática (FERNANDES, 2013).
É importante notar que toda medida efetuada é afetada por incertezas provenientes
tanto das limitações e exatidão instrumentais, quanto da própria interação entre o método
de medida e o mesurando, além da definição do objeto a ser medido e da influência do
observador sobre a medição. De fato, as informações (quantitativas e/ou qualitativas)
obtidas da natureza através das relações existentes entre os fenômenos observados serão
expressas como grandezas físicas descritas sempre por um número, uma incerteza e
uma unidade. Isto quer dizer que a medição de uma dada grandeza física se faz através de
um número acompanhado de uma unidade ou padrão: em outras palavras, quantas vezes
a unidade (ou padrão) foi tomado na medição. Observe que a unidade é definida pelo
padrão adotado. De fato, uma vez que certa unidade é tomada como padrão, devemos
nos certificar que este padrão não se altere com o tempo, de modo que vamos dispor de
medidas confiáveis e precisas.
Recordemos que existem duas maneiras de se comparar:
1. por contagem
Quando percebemos que o mensurado é maior que o padrão, podemos contar o
número de divisões de escala (menor incremento digital ε) do padrão.
2. por interpolação
Quando percebemos que o mensurado é menor que o padrão (ou o menor incremento
digital ε) ele será expresso por um número único de algarismo não nulo.
Voltaremos a este tópico mais tarde, após revisarmos alguns conceitos importantes para
a total compreensão deste tema.
1.2.1 Medidas de uma grandeza
Quando medimos uma grandeza física através da leitura de sua magnitude em um dado
instrumento de medida dizemos que realizamos uma medida direta desta grandeza. Por
exemplo, quando medimos um comprimento usando uma régua graduada ou cronome-
tramos um dado intervalo de tempo. Por outro lado, quando, para encontrar a magnitude
de uma grandeza física, aplicamos uma relação matemática que a vincula com outras
grandezas que são diretamente mensuráveis estamos realizando uma medida indireta. Um
exemplo disto é a medida da velocidade média, da área, densidade, frequência etc.
1.3 Ordem de Grandeza e Algarismos Significativos
1.3.1 Ordem de Grandeza
Chamamos de ordem de grandeza a potência de 10 com expoente inteiro que mais
16 Capítulo 1. Conceitos Básicos
se aproxima do valor medido de uma determinada grandeza a ser analisada. Qualquer
que seja o número q que corresponde a essa medida em módulo, está compreendida entre
duas potências de 10, inteiras e consecutivas, 10n ≤ |q| ≤ 10n+1. Para obter a ordem de
grandeza de um número, devem os inicialmente colocá-la em notação científica, q = a10n,
com 1≤ a < 10. Para saber se a ordem de grandeza é n ou n+1 comparamos o módulo de
a com o valor de 101/2 já que a variação do expoente é igual a 1. Assim,
• Se |a|≤ 3,16 a ordem de grandeza é n
• Se |a|> 3,16 a ordem de grandeza é n+1
Exercício 1.6 Qual a ordem de grandeza de 2,7×106 e 5,9×106? �
1.3.2 Algarismos Significativos
O texto a seguir sobre algarismos significativos foi baseado em reproduções na íntegra de
Cotta (2013), Kesten e Tauck (2015) e Fernandes (2013).
Um número é constituído de algarismos. Aos algarismos encontrados por contagem
mais a interpolação são ditos algarismos significativos (A.S.). Em uma medição, quando
expressamos um número por 7 ou 7,00, dizemos que a medição pode variar de 6 a 8 ou
6,99 a 7,99, respectivamente. O que implica maior ou menor precisão em nossa medição.
Portanto, A.S. são os algarismos necessários para nos referirmos a um valor medido com
a mesma precisão da instrumentação utilizada para medi-lo (obviamente, quanto mais
preciso o instrumento mais caro ele provavelmente será!). Portanto, os A.S. caracterizam a
exatidão, ou nível de clareza, do valor de uma medida ou de um valor calculado.
Em toda medição é importante se expressar o resultado com o número correto de A.S.
Existe regras que são utilizadas para se determinar a quantidade de A.S. de um valor
numérico.
• Cada dígito não nulo de um número é considerado um A.S.;
• Os A.S. de uma medida são todos os considerados corretos até aquele considerado o
duvidoso;
• O algarismo duvidoso é o que é afetado pela incerteza da medição;
• Os zeros, à esquerda do primeiro algarismo não nulo (antes ou depois da vírgula),
não são significativos. Eles expressam apenas a ordem de magnitude da unidade.
Por exemplo, o número 0,00519 possui três A.S. Isto torna-se mais evidente ao
reescrevê-lo em notação científica: 5,19×10−3;
• Qualquer zero, à direita do primeiro número não nulo, é significativo.
– Um zero não é significativo quando está no final de um número sem vírgula
decimal. Por exemplo, 300 é considerado tendo um A.S., enquanto 300, possui
três e 300,00 possui cinco A.S.
• A potência de dez em uma medida não altera o número de algarismos significativos.
• Os valores exatos possuem uma quantidade infinita de A.S.
As normas da ABNT recomendam que a incerteza da medição seja fornecida com, no
máximo, dois algarismos significativos.
É importante observar que o número de algarismos significativos no resultado é deter-
minado apenas pela incerteza, e não pelo instrumento utilizado. A incerteza, por sua vez,
é inerente ao processo de medição. Por exemplo, se a régua milimetrada for utilizada na
medição do diâmetro de uma moeda, facilmente obtém-se uma incerteza de décimos de
milímetros. No entanto, se a mesma régua, ou uma trena, milimetrada for utilizada para
1.3 Ordem de Grandeza e Algarismos Significativos 17
determinar o comprimento de um longo corredor, dificilmente será obtida uma incerteza
menor que um centímetro.
O resultado final de uma medição de ser sempre indicado com os algarismos signifi-
cativos consistentes com a incerteza. No entanto, para se evitar erros de arredondamento,
todos os cálculos intermediários devem ser feitos com todos os algarismos disponíveis.
Isto significa, por exemplo, que todas as medidas intermediárias realizadas com uma régua
milimetrada devem ser escritas com todos os algarismos disponíveis, ou seja, até décimos
de milímetro (a ser estimado pelo utilizador).
1.3.3 Operações com Algarismos Significativos
Quando se medem diversas grandezas indiretamente devemos adotar certas regras
para melhor expressarmos o resultado final em termos de A.S. uma vez que, as mesmas,
resultam da aplicação de ao menos um operador matemático. No quadro abaixo estão
listadas algumas regras que você deverá seguir ao realizar operações com algarismos
significativos:
Operadores Não é significativo o que estiver além de:
+ ou - Ordem decimal final mais elevada que houver entre os
participantes.
×, /, Sen, Cos, etc. Quantidade de algarismos do participante do cálculo
mais pobre em algarismos.*
Potenciação e radiciação Manter o número de casas decimais da base ou radi-
cando.*
Logaritmo Contar o número de A.S. do argumento. O resultado
deve possuir o número de casas decimais iguais ao
número de A.S. do argumento.*
*Caso o resultado termine em dígito 1, aumenta-se um algarismo.
A subtração é a única operação em que se pode perder grande quantidade de informação
(em termos de algarismos significativos) em relação ao participante mais pobre do cálculo.
Por isso, adie sempre as operações de subtração. Caso o resultado comece com o dígito 1,
ele terá um A.S. a mais: perceba que passar de 11 a 12, ou de 12 a 13, nos fornece uma
variação de 1 e, portanto, de cerca de 10%. Já, uma variação de 11,0 a 12,0 nos fornece
passos de 0,1, ou seja, de cerca de 1%. Portanto, com o acréscimo de um dígito diminuímos
a incerteza gerada pelo dígito 1 que inicia o resultado.
1.3.4 Regras de Arredondamento
Quando interpolamos certo valor, teremos de interromper a série de números neste
valor. Porém, desconsiderar todo restante da série pode resultar em um erro substancial.
Assim, interpolamos a grandeza e realizamos um arredondamento, para minimizarmos
os demais números perdidos, de acordo com o valor do próximo dígito na interpolação
aplicando as regras:
• Desprezando-se algo que é maior que 5: aumenta-se 1 na última casa do número
que se conservou.
• Desprezando algo menor que 5: Deixe como está.
• Para algo igual a 5, número precedente sempre é par segundo as regras:
18 Capítulo 1. Conceitos Básicos
– Mantenha o dígito precedente inalterado se ele for um número par.
– Aumente 1 ao dígito precedente se o mesmo for ímpar.
Exercício 1.7 As medidas indicadas abaixo estão expressas corretamente em
algarismos significativos. Indique os algarismos corretos e o primeiro duvidoso, em
cada medida.
algarismos corretos primeiro duvidoso
a. 473 m
b. 0,0705 cm
c. 37 mm
d. 37,0 mm
�
Exercício 1.8b) Efetue as seguintes operações:
a) 2,3462 cm + 1,4 mm + 0,05 m;
b) 0,052 cm/1,112 s;
c) 10,56 m × 36 cm.
�
2. Erros
Uma grandeza física experimental pode ser entendida como qualquer grandeza física
cujo valor é determinado a partir de um conjunto de dados experimentais(VUOLO, 1996).
Tal grandeza deve, portanto, ser determinada a partir de medição e seu resultado é sempre
uma aproximação para o valor verdadeiro da grandeza. Entretanto, nenhuma grandeza
física pode ser medida com certeza perfeita; sempre haverá erros em qualquer medição.
Isto significa que se medirmos uma dada grandeza e, então, repetir a mesma medição
sob as mesmas condições, iremos certamente medir um valor diferente. Como então
podemos saber qual o "verdadeiro valor "de uma grandeza? A resposta curta é: "Não
podemos!"Podemos contudo realizar nossas medidas com muito cuidado e aplicar métodos
experimentais cada vez mais refinados e sofisticados, para assim diminuir os erros e ganhar
maior confiança de que nossas medidas se aproximam cada vez mais do "verdadeiro valor".
Análise de Erros é o estudo das incertezas em medidas físicas. Observe que uma
descrição completa deste tema iria requerer muito mais tempo do que dispomos neste
curso, sendo assim vamos nos ater aos princípios mais básicos e fundamentais:
• Compreender como medir o erro de uma medida experimental
• Compreender os tipos e fontes de erros experimentais
• De forma clara e correta, saber como reportar as medidas, levando em consideração
suas incertezas
Os objetivos da teoria dos erros podem ser resumidos em dois aspectos: a) obter o
melhor valor para o mensurando1 a partir dos dados experimentais disponíveis; b) Obter a
incerteza no melhor valor obtido.
Com respeito ao uso da palavra erro, Taylor (2012) esclarece que:
1O termo mensurando refere-se a grandeza a ser determinada em um processo de medição.
20 Capítulo 2. Erros
“Em ciências, a palavra erro não tem a mesma conotação comum dostermos equívoco ou engano. Erro em uma medida científica significa ainevitável incerteza que acompanha todas as medições. Desta forma,erros não são equívocos; você não pode eliminá-los mesmo sendo muito
cuidadoso. O melhor que você pode fazeré assegurar que os erros
sejam tão pequenos quanto possível e ter uma estimativa confiável de
quão grande eles podem ser. A maioria dos livros-texto introduz outras
definições de erro [...] Por enquanto, erro será usado exclusivamente no
sentido de incerteza e as duas palavras serão utilizadas indistintamente.”A Fig. 2.1, extraída do livro do (TAYLOR, 2012), ilustra claramente a importânciacrucial de se conhecer quão grande são as incertezas associadas a uma medida. Esta
figura ilustra o resultado das medidas de densidade, realizadas por dois especialistas, para
verificar se uma coroa é feita de ouro 18-quilates ou por uma liga mais barata. Seguindo o
princípio de Arquimedes, a densidade ρ da coroa foi testa, tendo presente que a densidade
do ouro é ρouro = 15,5 g/cm3 e a densidade da liga que suspeitamos a coroa pode ser
feita é de ρliga = 13,8 g/cm3. O especialista Jorge fez uma medida rápida e relatou sua
estimativa para a densidade da coroa como sendo 15 g/cm3, estando quase que certamente
entre 13,5 e 16,5 g/cm3. Enquanto isto, a especialista Marta levou mais tempo realizando
suas medidas, e informou que a melhor estimativa é de 13,9g/cm3, estando dentro de um
provável intervalo de 13,7 e 14,1 g/cm3.
Com respeito a estes resultados, é importante notar que embora a medida de Marta
seja muito mais acurada (???), a medida de Jorge também está provavelmente correta.
Entretanto, a incerteza na medida de Jorge é tão grande que seu resultado não tem utilidade,
pois tanto a densidade do ouro quanto da liga estão dentro do seu intervalo de incerteza:
isto impossibilita chegar a uma conclusão sobre o material do qual é feito a coroa! Já o
resultado de Marta mostra claramente que a cora é feita da liga, e não de ouro. Isto nos leva
a concluir que se as incertezas nos resultados vão servir para tomarmos uma decisão, elas
não podem ser tão amplas. Por outro lado, elas tampouco necessitam ser extremamente
pequenas. Este é um exemplo típico no qual não necessitamos de uma acurácia extrema.
Outro ponto importante é lembrar que precisamos sempre justificar o intervalo de
valores dentro do qual está contido nosso resultado. Não podemos simplesmente declarar
nossas incertezas esperando que o outro confie no que estamos dizendo. Lembre-se: sem
uma explicação de como a incerteza foi estimada, a declaração é quase inútil (TAYLOR,
2012).
Observe que o mais importante sobre as medidas apresentadas por Jorge e Marta foi a
inclusão da declaração confiável de suas incertezas. Se não tivéssemos esta informação, não
somente seríamos incapazes de chegar a uma conclusão válida, como também poderíamos
ser levados ao engano, dado que o resultado de Jorge (ρcoroa = 15 g/cm3) sugere que a
coroa é feita de ouro 18-quilate, ou seja, genuína.
2.1 Incertezas durante a leitura de escalas
Avaliar a magnitude de uma incerteza pode ser algo bem complicado de ser feito,
entretanto podemos fazer estimativas razoáveis da incerteza de algumas medições simples
2.1 Incertezas durante a leitura de escalas 21
Figura 2.1: A importância do conhecimento das incertezas da Duas medições da den-
sidade de uma coroa supostamente de ouro. Os dois pontos pretos indicam as melhores
estimativas de Jorge e Marta para a densidade; as duas barras verticais mostram as suas
margens de erro, os intervalos dentro dos quais eles acreditam que a densidade provavel-
mente está. A incerteza de Jorge é tão grande que ambos, o ouro e a liga suspeita, residem
dentro de suas margens de erro; portanto, a sua medida não determina que metal foi usado.
A incerteza de Marta é consideravelmente menor e sua medida mostra claramente que a
coroa não é feita de ouro. Fonte: Taylor (2012)
22 Capítulo 2. Erros
(a) Medindo comprimento com uma régua. (b) Leitura de um voltímetro.
Figura 2.2: Reprodução das Figuras 1.2 (painel a) e 1.3 (painel b) do livro de Taylor
(2012).
através de procedimentos muito fáceis. Vamos ilustrar tais situações através do seguinte
exemplo.
� Exemplo 2.1 — Medição usando uma escala com marcações. Realizar uma
medida usando uma escala com marcações (confiáveis), como por exemplo a régua ou o
voltímetro da Fig. 2.2, apresenta como problema principal decidir onde um certo ponto
recai em relação às marcas da escala usada. No caso da régua por exemplo as marcas estão
separadas por 1 mm; olhando para a mesma podemos afirmar com razoável certeza que o
comprimento do lápis é mais próximo de 36 mm do que de 35 mm ou 37 mm. Podemos
ainda estar seguros de que nenhuma outra leitura é possível de ser feita, isto quer dizer que:
(a) melhor estimativa = 36 mm (b) intervalo possível: 35,5 a 36,5 mm. (O comprimento do
lápis foi medido com referência ao milímetro mais próximo da régua.)
Observe que existe uma convenção de que a declaração "l = 36 mm", sem qualquer
incerteza explícita, significa de fato que l está mais próximo de 36 do que de 35 ou de 37, ou
seja, 35,5 mm6 l 6 36,5 mm. É sempre recomendado indicar as incertezas explicitamente.
Além disto, é preciso ter cuidado com o uso das calculadoras eletrônicas e planilhas de
computador (tipo Excel, por exemplo), que muitas vezes nos dão como resultados números
que possuem muitos algarismos significativos. Se expressarmos nosso resultado tal qual
nos foi entregue por estas máquinas, então estamos assumindo que nosso resultado/cálculo
está definitivamente correto até aquele número de algarismos significativos, o que é muito
improvável.
Com respeito a leitura da escala do voltímetro, observamos que está muito mais
espaçada que a régua, o que nos permite estimar realisticamente onde o ponteiro recai
entre as duas marcas. Neste caso, uma leitura razoável seria de (a) melhor estimativa da
voltagem = 5,3 volts, (b) intervalo possível: 5,2 e 5,4 volts. Ou seja, usamos para estimar
as posições um processo que chamamos interpolação. �
2.2 Incertezas em Medições Repetidas
Imagine que medimos um intervalo de tempo usando um cronômetro. A principal
fonte de incerteza nestas medições advém da reação de resposta do experimentador de
quando iniciar/parar o cronômetro. Este tipo de incerteza pode ser estimada com relativa
segurança se formos capazes de repetir as medidas uma quantidade suficiente de vezes.
Imagine, por exemplo, que estamos medindo o tempo do período de um pêndulo. Após
a primeira medida, obtemos o valor de 2,3 s. A partir desta única medida não temos
2.3 Como relatar uma medida 23
nenhuma informação a cerca do erro associada a tal medida. Se realizarmos a medida,
sob as mesmas condições, uma segunda vez e obtermos um valor de 2,4 s podemos
supor imediatamente a incerteza provável é da ordem de 0,1 s. Vamos então repetir o
processo numa sequencia de quatro medidas, dadas em segundos, que são: 2,3; 2,4; 2,5;
2,4. A partir daí podemos começar a fazer uma estimativa mais realística. Uma suposição
natural é dizer que a melhor estimativa do período é a média de todas as medidas, ou seja,
(2,3+2,4+2,5+2,4)/4 = 2,4 s. Outra suposição igualmente razoável é que o período
correto está entre o valor mínimo medido e o máximo, ou seja, 2,3 a 2,5 s.
Observe que aqui estamos usando somente o bom senso, mas existem tratamentos
estatísticos apropriados para lidar com este tipo de situação, como é descrito nos capítulos
4 e 5 do Taylor (2012).
2.3 Como relatar uma medida
Já aprendemos até aqui que por mais cuidadosos que sejamos na preparação e execução
de uma medida, e por mais preciso que seja o instrumento que usamos para tal, nunca será
possível realizar uma medida direta livre de imprecisões e incertezas. Tais imprecisões e
incertezas provem
• de limitações da aparelhagem (por exemplo, quanto a sua sensibilidade, precisão,
desvio do zero etc.);
• do experimentador (por exemplo, da estimativa que faz ao avaliar uma dada posição
em uma escala, dos seus reflexos ao ligar ou desligar um cronômetro etc.);
• do próprio método experimental que põe destaca certos aspectos e menospreza
outros.
Sendo assim, a cada medida que fazemos sempre estará associada uma incerteza, de tal
forma que podemos afirmar quenunca é possível conhecer o "verdadeiro valor M0"de uma
grandeza2. Entretanto,
“Do ponto de vista da teoria de erros, será admitido que existe umvalor verdadeiro bem definido para toda grandeza física experimental(VUOLO, 1996). ”Sempre que possível, devemos realizar várias medidas da mesma grandeza3 , conser-vando as mesmas condições experimentais. Normalmente, estes valores irão diferir entre
si, ou seja, haverá uma dispersão nos resultados das medidas. A partir deste conjunto de
medidas, devemos dispor de modos para obter a melhor estimativa para o "verdadeiro valor
"da grandeza que estamos medindo, ou seja, um M. Se o conjunto de medidas efetuadas
apresentarem uma baixa dispersão, ou seja, se os valores medidos não se afastarem muito
uns dos outros, é natural que M esteja muito próximo do "verdadeiro valor "M0. Quando
esta dispersão é alta, o grau de confiança com que adotamos a melhor estimativa é pequeno.
Portanto, sempre que apresentamos um valor para M devemos apresentar também o grau
de confiança que temos neste resultado. Considere o intervalo de valores ao redor de M
2Aqui se faz exceção às grandezas exatas, por definição.
3Observe que há situações em que apenas se pode realizar uma medida. Por exemplo, no caso de
acontecimentos astronômicos ou de experiências de elevado custo, complexidade ou duração.
24 Capítulo 2. Erros
dentro do qual confiamos que estar o "verdadeiro valor"da grandeza, M0. Em análise de
dados chamamos este intervalo é definido pela incerteza ou erro, δM, que atribuímos à
nossa estimativa, ou seja,
M0 ∈ [M−δM,M+δM]
Isto implica dizer que o resultado final da grandeza m, depois de efetuadas uma série de
medidas sob as mesmas condições experimentais, e após a devida análise de dados, deverá
ser expresso matematicamente como
m = (M±δM) unidade
.
Podemos definir esta incerteza no valor de M como uma indicação de quanto esta
melhor estimativa M pode diferir do valor verdadeiro do mensurando, em termos de
probabilidade. Observe que no formalismo de teoria de erros, o valor verdadeiro M0 é
desconhecido, de tal forma que o erro δM também é uma quantidade desconhecida, por
hipótese.
Definição 2.3.1 Em geral, o resultado de qualquer medição de uma dada grandeza x é
expresso como
(valor medido de x) = (xmelhor±δx) Unidades
A incerteza δx associada a x chamamos erro absoluto, incerteza ou margem de erro.
Por conveniência, tomamos sempre δx > 0 de modo que o valor mais alto do intervalo
será sempre xmelhor + δx. Isto é, o erro absoluto δx é o limite superior do erro ou
incerteza. Observe que a incerteza terá sempre as mesmas unidades da grandeza a qual
está associada.
Exercício 2.1 Um estudante após medir o comprimento de um pêndulo simples relatou
sua melhor estimativa como 110 mm e o intervalo em que o comprimento provavelmente
se encontra como 108 a 112 mm. Reescreva este resultado na forma padrão apresentada
na Def. 2.3.1. �
Exercício 2.2 Ao relatar sua medição da corrente elétrica como I = 3,05±0,03 ampè-
res, qual o intervalo dentro do qual I provavelmente se encontra? �
Exercício 2.3 Após medir os ângulos internos de um quadrilátero obteve-se o valor
de 361,3°. Considerando que erro é a diferença entre o valor obtido ao se medir uma
grandeza e o valor real ou correto da mesma, qual o erro relacionado a esta medida? �
2.4 Algarismos significativos
As regras apresentadas a seguir foram baseadas na abordagem no livro Introdução à
Análise de Erros: O Estudo de Incertezas em Medições Físicas (TAYLOR, 2012).
Regra 2.4.1 — Declaração de Incertezas. Incertezas experimentais devem quase sem-
pre ser arredondadas para um dígito significativo.
2.5 Alguns conceitos importantes 25
Exceção: Se o dígito líder da incerteza δx for igual a 1, é melhor manter dois dígitos
significativos para δx. O mesmo pode ser aplicado para o caso em que o dígito líder é 2,
mas não maior que isto.
Esta regra é clara por si mesma. Considere a seguinte medida da aceleração da gravidade
g:
(g medido) = 9,82±0,02385 m/s2
Não se pode conceber que a incerteza seja conhecida com 4 dígitos significativos;
observe que em trabalhos de alta-precisão as incertezas são, algumas vezes, apresentadas
com 2 dígitos significativos. Portanto, uma representação realista desta medição deveria
ser dada como:
(g medido) = 9,82±0,02 m/s2
Agora considere a exceção feita à regra 2.4.1. Considere que encontrou-se δx = 0,14
após os cálculos apropriados para determinar a incerteza. Se a arredondarmos para δx= 0,1
estaremos proporcionando uma redução significativa, pelo que matemos o resultado da
incerteza com os dois dígitos já que a precisão será maior.
Regra 2.4.2 — Declaração de respostas. O último dígito significativo em uma resposta
deve geralmente ser da mesma ordem de magnitude (na mesma posição decimal) que a
incerteza.
Por exemplo, se temos uma medida cujo resultado é 92,81 com uma incerteza de 0,3
devemos então arredondar a mesma, e escrevê-la como 92,8±0,3. No mesmo caso, se
a incerteza for igual a 3, então devemos apresentar nosso resultado como 93± 3. Caso
tenhamos 30 de incerteza, então devemos escrever nossa medida como 90±30.
Aqui um observação importante é preocupar-se de reduzir as imprecisões decorrentes de
arredondamentos, portanto quaisquer números que serão usados em cálculos subsequentes
devem normalmente preservar, pelo menos, um dígito significativo a mais do que na sua
concepção final (TAYLOR, 2012). Ao final dos cálculos, o resultado deve ser arredondado
para remover estes algarismos extras. Obviamente, se o dígito líder na incerteza for pequeno
(1 ou talvez 2) podemos então manter o dígito extra na resposta final, já que neste caso isto
é apropriado pois arredondar a resposta pode levar a perda de informação. Por exemplo,
se temos como resposta 3,6±1, escrevê-la como 4±1 talvez não seja o mais adequado.
Conserve com seu professor sobre que abordagem ele prefere nestes casos.
Exercício 2.4 Reescreva as seguintes medidas na sua forma mais apropriada:
(a) v = 8,123456±0,0321 m/s
(b) x = 3,1234×104±2 m
(c) m = 5,6789×10−7±3×10−9 kg
�
2.5 Alguns conceitos importantes
A seguir vamos apresentar alguns conceitos que precisam ser distinguidos com clareza.
26 Capítulo 2. Erros
Observe que a nomenclatura sobre metrologia e as regras básicas sobre incerteza vem
sendo discutidas nos últimos anos por especialistas indicados por diversas organizações
internacionais (BIPM, ISO, IUPAC, IUPAP, IEC, OIML ) tendo sido inclusive publicadas
em dois textos de referência (GUM, 2012; VIM, 2012).
2.5.1 Discrepância
Discrepância é a diferença entre dois valores de medidas de uma mesma grandeza. A
discrepância entre duas medidas pode ser significativa ou não. Isto é ilustrado na Fig. 2.3.
A discrepância entre duas medidas de uma mesma grandeza deve ser avaliada por quão
grande ela é quando comparada com as incertezas das medidas.
Figura 2.3: (a) Duas medidas de uma mesma resistência. Cada medida inclui a melhor
estimativa, ilustrada por um ponto escuro, e um intervalo de valores prováveis, ilustrado por
uma barra vertical de erro. A discrepância (diferença entre as duas melhores estimativas) é
10 ohms e é significativa por que ela é muito maior do que a combinação das incertezas das
duas medidas. Quase certamente, pelo menos um dos experimentos cometeu um erro. (b)
Duas medidas diferentes da mesma resistência. A discrepância é novamente 10 ohms, mas,
neste caso, é insignificante por que as margens de erro declaradas se interceptam. Não há
razão para duvidar de qualquer uma das medidas (embora elas possam ser criticadas por
serem um tanto imprecisas). Fonte: Reprodução na íntegra da Figura 2.1 de Taylor (2012).
2.5.2 Precisão e Exatidão
Uma prática comum e corrente para caracterizar o grau de rigor com que uma dada
medição foi realizada é a utilização dos conceitos de exatidão e precisão. Exatidão4
4Também podemos encontrar o sentido de exatidão sendo referido como acurácia. Quando isto acontece,
o termo exatidão passa a designar a correção, perfeição ou ausência de erro em uma medida oucálculo.
Quando estiver lendo alguma referência em inglês, encontrará os termos precision e accuracy para designar
precisão e exatadião, respectivamente.
http://www.bipm.fr
http://www.iso.ch
http://www.iupac.org/
http://www.physics.umanitoba.ca/IUPAP/IUPAP.html
http://www.iec.org
http://www.oiml.org/index.html
2.5 Alguns conceitos importantes 27
refere-se a maior ou menor aproximação entre o resultado obtido e o valor verdadeiro da
grandeza, já precisão está associada à dispersão dos valores resultantes da repetição das
medições.
Fazendo uma analogia com o disparo de um projétil contra um alvo, a exatidão cor-
responde a acertar no (ou próximo ao) centro do alvo, enquanto a precisão ocorre quando
vários disparos conduzirem a acertar pontos próximos entre si. Observe que não necessa-
riamente para sermos precisos devemos acertar o centro do alvo. Podemos ser precisos
acertando várias vezes as proximidades de um ponto fora do alvo! Por isto além de precisos
necessitamos ser exatos em nossos tiros contra o alvo. Observe as diversas combinações
destes dois conceitos na Fig. 2.5
Figura 2.4: Ilustração dos conceitos de precisão e exatidão enquanto conceitos independen-
tes. Cada coluna (A, C e B, D) tem a mesma precisão e cada linha (A, B eC, D) tem a mesma
exatidão. Créditos da imagem: http://www.yorku.ca/psycho/en/postscript.asp
http://www.yorku.ca/psycho/en/postscript.asp
28 Capítulo 2. Erros
Fi
gu
ra
2.
5:
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http://www.cqeacademy.com/cqe-body-of-knowledge/product-process-control/measurement-systems/
2.6 Tipos de Erros 29
2.6 Tipos de Erros
Geralmente, os erros são classificados de acordo com a influência que possuem sobre as
medições em:
• Erros Grosseiros — Ocorrem por falta de atenção, pouco treino ou falta de perícia
do operador. Por exemplo, uma troca de algarismos ao registar um valor lido. São
geralmente fáceis de detectar e eliminar.
• Erros Sistemáticos — São chamados assim os erros que afetam o sistema sempre do
mesmo modo,
ou seja, ocorrem e conservam em medidas sucessivas o mesmo valor e sinal. Os erros
sistemáticos Por exemplo, o posicionamento do "zero"da escala incorreto vai afetar
todas as leituras feitas com este instrumento. Estes erros devem ser compensados ou
corrigidos convenientemente
, devendo ser estudados para cada caso particular.
– Erros sistemáticos instrumentais
(a) Calibração (temperatura e desgaste),
(b) Qualidade do instrumento de medida,
(c) Ajuste do zero.
– Erros sistemáticos teóricos
(a) Modelo teórico,
(b) Equações teóricas ou empíricas.
– Erros sistemáticos ambientais
(a) Temperatura,
(b) Pressão,
(c) Umidade,
(d) Aceleração da gravidade,
(e) Campo magnético terrestre.
– Erros sistemáticos devido a falhas de procedimento do observador
(a) Efeito de paralaxe (não alinhamento correto entre o olho do observador, o
ponteiro indicador e a escala do observador),
(b) Tempo de reação do ser humano (0,7 s).
• Erros Aleatórios ou acidentais — Este tipo de erro está associado à variabilidade
natural dos processos físicos, levando a flutuações nos valores medidos. São impre-
visíveis, devendo ser abordados com métodos estatísticos adequados.
Os erros acidentais ocorrem devido a causas diversas e incoerentes, assim como a
causas temporais que variam durante a observação (ou em observações sucessivas),
escapando assim a uma análise dado sua imprevisibilidade. Suas principais fontes
são:
– instrumentos de medidas
– variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade, fontes de
ruídos)
– fatores relacionados com o próprio observador, flutuações de visão e audição,
paralaxe.
Observe que este tipo de erro tende a se neutralizar quando o número de medidas ou
30 Capítulo 2. Erros
observações é suficientemente grande5.
Aumentamos a exatidão de uma medida (diminuímos sua incerteza) buscando aumentar
a veracidade da medida6, ou seja, diminuindo os erros sistemáticos e aumentando a precisão,
ou seja, diminuindo os erros aleatórios. De fato, esta relação lógica entre os termos que
estamos aprendendo até o momento podem ser resumidos na Tab. 2.1.
Vamos considerar uma medida exata quando os erros sistemáticos são nulos ou despre-
zíveis. Já uma medida exata é aquela para a qual os erros acidentais são pequenos.
Tabela 2.1: Relação entre os conceitos de erros e o modo como eles são quantificados.
Conceito Medida Quantitativa
Exatidão Incerteza
Precisão Erro Aleatório
Veracidade Erro Sistemático
De fato, pode-se afirmar que a ilustração clássica que representa a exatidão e precisão
em termos de um padrão de dardos num alvo já não descreve corretamente a exatidão, uma
vez que esta refere-se a uma combinação de erros sistemáticos e aleatórios, não somente a
erros sistemáticos. Assim, uma análise cuidadosa da Fig. 2.6 lhe dará uma melhor ideia de
qual deve ser seu objetivo ao realizar uma medição.
Podemos falar em erros absolutos, relativos ou percentuais dependendo do modo como
eles são calculados.
2.6.1 Erro absoluto, relativo e percentual
Conforme vimos anteriormente neste texto, o erro absoluto corresponde á diferença
algébrica entre o melhor valor medido e o valor verdadeiro da grandeza para a qual estamos
efetuando a medição.
Muitas vezes é mais conveniente apresentar valores relativos para exprimir os erros de
nossas medições. Veja as definições a seguir.
Definição 2.6.1 — Erro relativo. Seja x a melhor estimativa de nossa grandeza e δx
seu erro absoluto, então
εr =
∣∣∣∣δxx
∣∣∣∣
Definição 2.6.2 — Erro percentual. Seja x a melhor estimativa de nossa grandeza e
δx seu erro absoluto, então
εr =
∣∣∣∣δxx
∣∣∣∣×100%
Em determinados domínios da ciência e da técnica7 os erros relativos são expressos
em partes por milhão (ppm), ou seja,
5Em suas aulas de estatística você verá que quando o tamanho de uma amostra é elevado, os erros
acidentais apresentam uma distribuição de frequência que se aproxima bastante da distribuição normal. Este
é o motivo pelo qual é ideal se trabalhar com um número de amostras significativas
6Define-se veracidade da medida (trueness em inglês) como a proximidade de concordância entre a
média de um número infinito de valores de medições repetidas e o valor de uma quantidade de referência.
7Usado na presença de valores muito pequenos, tipicamente em laboratórios onde se efetuam medições
de elevado grau de rigor, como por exemplo nos laboratórios de calibração. É interessante notar que esta
2.7 Medida direta de uma grandeza física 31
Figura 2.6: O significado e a inter-relação dos termos precisão e exatidão levando também
em consideração a veracidade da medida, usando a analogia dos dardos em um alvo.
Observe que aqui se pode ver também os conceitos de erro (distância de cada ponto ao
centro do alvo) e de viés (ou seja, uma componente do erro que varia de uma forma
predizível). Fonte: Royal Society of Chemistry (2003).
Definição 2.6.3 — Partes por milhão. Seja x a melhor estimativa de nossa grandeza
e δx seu erro absoluto, então
εr =
∣∣∣∣δxx
∣∣∣∣×106 ppm
2.7 Medida direta de uma grandeza física
Podemos realizar uma medida direta de uma grandeza x, com seu erro estimado, de
duas formas. A primeira é medir x apenas uma vez, caso em que o erro da medida será
dado por ∆x. A estimativa do erro ∆x é feita a partir doinstrumento utilizado para realizar
notação vem sendo desaconselhada pelos organismos internacionais ligados à metrologia e às normas técnicas
(CABRAL, 2004).
32 Capítulo 2. Erros
a medida. Expressamos o resultado como x±∆x (unidade). A segunda forma de realizar
uma medida direta de x é medindo-a N vezes, mantendo-se as mesmas condições físicas.
Neste caso, o valor mais provável da grandeza será obtido através do cálculo do valor
médio das medidas x̄ (soma de todos os valores dividido pela quantidade de valores),
x̄ =
1
N
N
∑
i=1
xi
Observe que a notação sigma foi introduzida aqui; supomos que você já a tenha
aprendido nas suas aulas de cálculo, mas relembrando ela nos diz que:
N
∑
i=1
xi = ∑
i
xi = ∑xi = x1 + x2 + · · ·+ xN .
Consideramos que todos vocês já estejam familiarizados com o conceito de média.
Chamamos de desvio δi a diferença entre cada valor obtido xi e a média das N medidas,
ou seja,
δi = xi− x̄
Observe que estes valores podem ser tanto positivos quanto negativos. Podemos definir
o desvio médio absoluto δ , que é dado pela média aritmética dos valores absolutos dos
desvios δi, isto é
δ =
1
N
N
∑
i=1
|δi|
Utilizamos o desvio médio absoluto quando há erros sistemáticos ou quando não temos
certeza da minimização dos mesmos. Neste caso, a medida da grandeza x será dada por
x̄±δ .
Assim na definição 2.3.1 o valor da incerteza δx pode ser tanto o desvio médio absoluto
δ quanto o desvio avaliado pelo próprio instrumento utilizado. O mais apropriado será o
maior dos dois ou a incerteza combinada de ambos. Converse com seu professor sobre isto.
Outra forma de representar o desvio é a utilização do desvio padrão ou desvio mé-
dio quadrático, uma medida da dispersão estatística dos valores da grandeza medida.
Voltaremos a este tema na Sec. 2.9.
Exercício 2.5 Durante uma experiência de laboratório, foram obtidos os seguintes
resultados da medida do comprimento L de um dado objeto, usando uma régua graduada
em centímetros:
Li (cm) 10,3 10,8 10,6 10,4 10,5
Expresse, de forma adequada, o resultado desta série de medidas. �
2.8 Propagação de erros
Quando calculamos uma grandeza q a partir de outras grandezas medidas é preciso
ter em mente que as incertezas nestas grandezas medidas se propagam para causar uma
incerteza em q. A seguir veremos algumas regras estabelecidas, provisoriamente, para lidar
2.8 Propagação de erros 33
com cálculos entre grandezas diferentes. São ditas provisórias porque existe regras mais
precisas para lidar com ambos os casos descritos.
Regra 2.8.1 — Incerteza em uma diferença. Seja x±δx e y±δy. Se queremos calcu-
lar a diferença q = x− y, então a incerteza em q é a soma das incertezas em x e y:
δq≈ δx+δy
Regra 2.8.2 — Incerteza em um produto. Seja x e y duas grandezas medidas com
incertezas fracionárias δx/|xmelhor| e δy/|ymelhor| pequenas (muito menores que 1). Se
queremos calcular o produto q = x× y, então a incerteza fracionária de q é a soma das
incertezas fracionárias de x e y:
δq
|qmelhor|
≈ δx
|xmelhor|
+
δy
|ymelhor|
Regra 2.8.3 — Incerteza nas somas e diferenças. Se várias grandezas x, · · · ,w são
medidas com incertezas δx, · · · ,δw e os valores medidos são utilizados para calcular
q = x+ · · ·+ z− (u+ · · ·+w)
então a incerteza no valor calculado de q é a soma de todas as incertezas originais, isto é,
δq≈ δx+ · · ·+δ z+δu+ · · ·+δw
Isto quer dizer que quando se adiciona ou subtrai qualquer quantidade de grandezas, as
incertezas dessas grandezas sempre se adicionam para gerar a incerteza do resultado da
adição ou subtração realizada.
Regra 2.8.4 — Incerteza em produtos e quocientes. Se várias grandezas x, · · · ,w são
medidas com pequenas incertezas δx, · · · ,δw e os valores medidos são utilizados para
calcular
q =
x×·· ·z
u×·· ·w
,
então a incerteza fracionária no valor calculado de q é a soma de todas as incertezas
fracionárias, isto é,
δq
|q|
≈ δx
|x|
+ · · ·+ δ z
|z|
+
δu
|u|
+ · · ·+ δw
|w|
Em outras palavras, quando grandezas que possuem incertezas pequenos são multipli-
cadas ou divididas, as incertezas fracionárias se somam.
Regra 2.8.5 — Caso Especial: Medida da grandeza vezes um número exato. Seja
x±δx a medida de uma dada grandeza. Seja B uma constante, portanto sem incerteza. Ao
calcularmos o produto
q = Bx
a incerteza em q é exatamente |B| vezes a incerteza em x,
δq = |B|δx.
34 Capítulo 2. Erros
Regra 2.8.6 — Caso Especial: Incerteza em uma potência. Seja x±δx a medida de
uma dada grandeza. Ao calcularmos a potência
q = xn
a incerteza fracionária de q é n vezes a incerteza em x,
δq
|q|
= n
δx
|x|
.
2.8.1 Incertezas independentes
Regra 2.8.7 — Incertezas nas somas e diferenças. Suponha que x, · · · ,w sejam me-
didas com incertezas δx, · · · ,δw e que os valores medidos sejam usados para calcular
q = x+ · · ·+ z− (u+ · · ·+w).
Se as incertezas em x, · · · ,w forem conhecidas como independentes e aleatórias, então a
incerteza em q é a soma quadrática das incertezas originais, isto é,
δq =
√
(δx)2 + · · ·+(δ z)2 +(δu)2 + · · ·+(δw)2.
Em qualquer situação, δq nunca será maior do que as somas originais, ou seja,
δq≤ δx+ · · ·+δ z+δu+ · · ·+δw
Regra 2.8.8 — Incertezas nos produtos e quocientes. Suponha que x, · · · ,w sejam
medidas com incertezas δx, · · · ,δw e que os valores medidos sejam usados para calcular
q =
x×·· ·z
u×·· ·w
.
Se as incertezas em x, · · · ,w forem conhecidas como independentes e aleatórias, então a
incerteza fracionária em q é a soma quadrática das incertezas fracionárias originais, isto é,
δq
|q|
=
√(
δx
|x|
)2
+ · · ·+
(
δ z
|z|
)2
+
(
δu
|u|
)2
+ · · ·+
(
δw
|w|
)2
.
Em qualquer situação,
δq
|q|
≤ δx
|x|
+ · · ·+ δ z
|z|
+
δu
|u|
+ · · ·+ δw
|w|
2.8.2 Funções arbitrárias de uma variável
Regra 2.8.9 — Incerteza em qualquer função de uma variável. Seja x±δx a medida
de uma dada grandeza que será usada para calcular a função q = q(x), então a incerteza
δq será
δq =
∣∣∣∣dqdx
∣∣∣∣δx
2.9 O desvio padrão 35
Observe que se q(x) for complicada e caso você tenha escrito um programa para
calcular q(x) muitas vezes será mais fácil utilizar a fórmula equivalente,
δq = |q(xmelhor +δx)−q(xmelhor)|
para encontrar a incerteza em q ao invés de derivar q(x).
Regra 2.8.10 — Incerteza em uma potência. Seja x± δx a medida de uma dada
grandeza que será usada para calcular a potência q = xn, em que n é um número fixo
conhecido, então a incerteza fracionária em q é |n| vezes aquela em x,
δq
|q|
= |n|δx
|x|
.
2.8.3 Regra geral para propagação de erros
Até agora estabelecemos três regras para a propagação dos erros: a) soma e diferença;
b) produtos e quocientes; c) funções arbitrárias de uma variável. Entretanto, podemos
encontrar uma fórmula geral única a partir da qual podemos deduzir as três regras anteriores.
Com esta regra qualquer problema de propagação de erro poderá ser resolvido.
Regra 2.8.11 — Incerteza em uma função de várias variáveis. Suponha que x, · · · ,z
são medidas com incertezas δx, · · · ,δ z e que os valores medidos são utilizados para
calcular q(x, · · · ,z). se as incertezas em x, · · · ,z são independentes e aleatórias, então a
incerteza em q é
δq =
√(
∂q
∂x
δx
)2
+ · · ·+
(
∂q
∂ z
δ z
)2
.
De qualquer forma, ela nunca será maior que a soma ordinária
δq≤
∣∣∣∣∂q∂x
∣∣∣∣δx+ · · ·+ ∣∣∣∣∂q∂ z
∣∣∣∣δ z.
2.9 O desvio padrão
Suponha que realizamos N medições de uma dada grandeza x, todas sob as mes-
mas condições (mesmo equipamento e procedimentos). Assim dispomos de N valores
x1,x2, · · · ,xN . A melhor estimativa para x é comumente a média desses valores, ou seja,
xmelhor = x̄≡
x1 + x2 + · · ·+ xN
N
=
∑xi
N
O desvio padrão de um conjunto de N medidas é uma estimativa da média da incerteza
nas medidas x1, · · · ,xN . Denotamos este número por σx. Ele é dado pela seguinte equação:
σx =
√
1
N
N
∑
i=1
(xi− x̄)2 (2.1)
36 Capítulo 2. Erros
Observando esta definição vemos que o desvio padrão é a raiz média quadrática (RMS –
do inglês, root mean square) dos desvios das medidas x1, · · · ,xN . O desvio padrão é uma
maneirade grande utilidade para caracterizar a confiabilidade das medidas. Em alguns
livro-texto você encontrará uma definição alternativa para o desvio padrão, que substitui
o fator N por (N−1). A argumentação teórica para tal substituição foge do escopo deste
texto.
Se realizarmos uma única medição a probabilidade de que o resultado esteja dentro de
σx é de 68 % do valor correto (veja TAYLOR, 2012). Portanto, podemos adotar que σx é a
incerteza associada a essa única medição de x; ou seja,
δx = σx.
Observe que quanto maior for a medida do desvio padrão, maior é a dispersão dos
valores da grandeza medida. Além disto somente podemos usar o desvio padrão como
incerteza de nossa medida se os erros sistemáticos forem minimizados ou eliminados.
2.10 Desvio padrão da média
A incerteza na resposta final xmelhor = x̄ é dada pelo desvio padrão σx dividido por√
N. A demonstração pode ser encontra em diversos livro-texto (TAYLOR, 2012, veja por
exemplo o capítulo 5).
Desta forma temos o desvio padrão da média (SDOM – do inglês, standard deviation
of the mean) dado por
σx̄ = σx/
√
N.
Esta fórmula é valida para amostras de até 20 medidas.
Se houver erros sistemáticos consideráveis, então σx̄ é a componente aleatória da
incerteza na melhor estimativa de x, que chamaremos δxale. Caso disponha de algum
procedimento para estimar a componente δxsis devido aos erros sistemáticos então a
incerteza total será dada pela soma quadrática
δxtot =
√
(δxale)2 +(δxsis)2
3. Representações gráficas
Em muitas das atividades experimentais objetivamos estudar a relação entre quantidades
diferentes (ou propriedades). Um exemplo disto é como o comprimento de um pêndulo
afeta seu período. Uma questão desta natureza pode ser muito melhor estudada através de
métodos gráficos, que evidenciam a dependência de uma grandeza em relação à outra. É
essencial, portanto, ao trabalho em laboratório que conheçamos as técnicas para confecção
de gráficos, sua interpretação, bem como seus diversos tipos e os métodos para análise
gráfica de dados.
De maneira geral, podemos dizer que existem cinco tipos básicos de gráficos:
1. Diagramas
(a) De linhas
i. Poligonais
ii. Curvas
(b) Superfícies
i. Colunas
ii. Barras
iii. Histogramas
iv. Setores
2. Cartogramas
3. Organogramas
4. Estereogramas (sólidos)
38 Capítulo 3. Representações gráficas
5. Harmogramas ou Fluxogramas
A opção por um dado tipo de gráfico vai depender da análise que iremos realizar com
nossos dados pois podemos ter situações em que um certo tipo é mais adequado que outro.
Em física experimental, os gráficos mais utilizados são do tipo diagrama ou linha, como
mostrado na Fig. 3.1.
Um gráfico é, portanto, a representação visual da relação entre duas variáveis x e y, em
que y = f (x). Usamos gráficos porque através deles é mais fácil identificar tendências nos
dados que coletamos em laboratório, bem como interpretá-las corretamente. Além disto,
em um gráfico podemos dispor de uma grande quantidade de informação em um pequeno
espaço.
Em física experimental, os gráficos têm três usos principais:
1. Ajudar na determinação do valor de uma quantidade qualquer. Observe que
este é um uso pouco relevante, pois na prática o que estamos utilizando são os valores
numéricos dos pontos indicados. A utilização do gráfico em si para determinar a
inclinação somente se dar quando desenhamos a melhor reta através dos pontos a
olho, que é um método muito grosseiro, embora não se deva desprezar, mas que deve
ser usado somente quando se quer fazer uma estimativa inicial, ou quando este valor
de inclinação não tem grande importância no resultado final.
2. Ajudar visualmente. Este uso é muito mais importante, pois muitas vezes olhando
somente para os números em uma tabela é muito difícil, senão impossível, observar
qualquer relação entre suas variáveis; quando entretanto os números são postos
em um gráfico, alguns resultados são imediatamente aparentes. Assim, mostrar os
resultados na forma gráfica é sempre grande ajuda para ver o que está acontecendo
com nossos dados.
3. Obtenção de relações empíricas entre duas quantidades.
3.1 A construção e interpretação de gráficos
Existe um conjunto de regras universais para confecção de um gráfico, facilitando
significantemente sua interpretação. A seguir falaremos um pouco sobre cada uma destas
regras. Para começar, lembre-se de selecionar o tamanho de suas figuras de tal forma que
elas caibam no seu texto, ocupando até no máximo metade da folha de papel. Seja na folha
de papel gráfico, no caderno, no relatório ou em um artigo, este critério deve ser sempre
atendido visto que não se trata de estética, mas de eficácia na apresentação: dificilmente o
leitor, posicionando-se a uns 30 cm de distância, conseguirá focalizar seus olhos em uma
área maior.
A seguir apresentamos os elementos essenciais que devem compor seu gráfico. Observe
que estes elementos estão presentes na Fig. 3.1.
3.1.1 Escolha do Papel
Quando seu gráfico é elaborado a mão, deve ser feito em um papel gráfico, conforme
veremos na Sec. 3.2.2. Quando se usa um programa de computador para desenhar o gráfico,
o mesmo deve ser feito evitando sempre apresentar as "linhas de grade"(em inglês, grid)
disponibilizadas pelo software. Apesar de essas linhas ajudarem na orientação no momento
3.1 A construção e interpretação de gráficos 39
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
∆t = 0,01s
Tempo [s]
V
el
oc
id
ad
e
[c
m
/s
]
Velocidade de queda de um corpo
Dados Experimentais
Incertezas em v
Curva média
Figura 3.1: Exemplo de uma gráfico científico padrão, com suas principais componentes
destacadas.
da leitura do gráfico, quando em demasia acabam atrapalhando o entendimento do mesmo.
Neste capítulo temos apresentado sempre as linhas de grade nos gráficos para remeter ao
fato de que neste curso será usado papel gráfico.
3.1.2 Título e Legenda
O título de um gráfico é colocado na parte superior, em destaque. É preciso ter cuidado
para evitar títulos redundantes, como por exemplo: "gráfico de distância vs. tempo", pois
não acrescentam informações. Quando o gráfico está inserido em um texto, devemos
colocar uma legenda, posicionada abaixo do gráfico, devidamente numerada, para que
tal número seja usada no corpo do texto ao fazer referência ao mesmo. A legenda deve
explicar de forma sucinta e eficaz o que o gráfico está mostrando: conteúdo e possível
explicação para o fenômeno observado, quando for o caso. Na presença de uma legenda, o
título torna-se desnecessário (opcional).
3.1.3 Eixos das variáveis com seus respectivos nomes, escalas e unidades
Os eixos de um gráfico devem ser sempre desenhados, contendo explicitamente o nome
da variável que representa (ou seu símbolo, caso em que deve ser explicado na legenda).
Também é obrigatória a presença da escala de leitura utilizada e a unidade correspondente.
40 Capítulo 3. Representações gráficas
Uma escala pode ser representada por qualquer trecho de curva, marcada por pequenos
traços que representam os valores ordenadas de uma dada grandeza. São exemplos de
escalas: o mostrador de um relógio, de um medidor de combustível, de um voltímetro e,
claro, os eixos de um gráfico.
Saber escolher a escala para os eixos é essencial para uma boa representação gráfica: a
regra prática consiste em dividir a faixa de variação da variável a ser colocada no gráfico
pelo número de divisões principais disponíveis; arredondando-se para um valor superior e
de fácil leitura, tais como 1, 2, 5 unidades e seus múltiplos e sub-múltiplos desses valores.
Observe que a escolha de blocos de divisões de valores 3,7,11,... e seus múltiplos são
de difícil leitura (apresentam dificuldade de interpolar os pontos, por exemplo) devendo,
portanto, ser evitados. Já as escalas com divisão 6,12,15, ... não são recomendadas por
serem também múltiplos de 3; o mesmo se aplica as escalas que são simultaneamente
múltiplas de 2 ou 5 ou de quaisquer outro valor não recomendado.
Para construção da escala, um procedimento a ser adotado é primeiramentefazer a
razão entre a máxima variação da grandeza em questão ∆W e o espaço disponível em folha
L, ou seja, o módulo de escala λ é dado por:
λ =
|Wn−W1|
L
(3.1)
Adotamos então o valor inteiro mais próximo de λ . Em papel milimetrado você encontrar
valores de 280 mm ou 180 mm para L, uma vez que este tipo de papel vem com folhas de
280mm no eixo vertical e 180mm no eixo horizontal. Obviamente, podemos usá-lo tanto
nesta posição, ou seja, retrato quando invertendo os eixos para obter a posição paisagem.
Isto é feito de modo a otimizar a construção do gráfico visando ocupar melhor o espaço
disponível.
Deve-se adotar uma "escala limpa e fácil de ser lida"de modo a que não seja necessário
fazer cálculos para achar a localização dos pontos no gráfico. Aliás, se você precisar
fazer muitos cálculos, algo está inadequado.(COTTA, 2013)
� Exemplo 3.1 Através de uma experiência mediu-se a distância percorrida por um corpo
em função do tempo, cujos resultados foram os seguintes (PIACENTINI, 2013):
d(cm) 20,05 40,10 59,98 81,05 101,00
t(s) 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00
Estes valores devem ser representados graficamente em um papel milimetrado de
formato A4, cujas dimensões são 28 cm × 18 cm. Vamos então encontrar as escalas para
ambos eixos.
Determinação da escala para o eixo das ordenadas, em que a variável d será colocada:
λy =
∆dmáx
L
=
101,00−20,05
28
= 2,891071429
Isto significa que cada centímetro do eixo em questão equivale a 2,891071429 unidades da
variável d. Evidentemente, isto não é apropriado para construir o gráfico. Logo, fazemos o
arredondamento deste resultado para cima, para encontrar um múltiplo de 2 ou 5 próximo,
mas que não seja simultaneamente múltiplo de um outro valor não permitido (3, 7, 11, ...)
Neste caso, o arredondamento aconselhável será então 4. isto é:
3.1 A construção e interpretação de gráficos 41
 
x 
(c
m
)
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
t (s)
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Figura 3.2: Reprodução da Fig.A2-1 de (PIACENTINI, 2013), página 107.
4,0 unidade de distância : 1,0 cm do papel
Determinação da escala para o eixo das abscissas, em que a variável t será colocada:
λx =
∆tmáx
L
=
25,00−5,00
18
= 1,1111111
Arredonda-se o resultado acima para 2, já que devemos seguir a norma estabelecida
anteriormente.
2,0 unidade de tempo : 1,0 cm do papel
Uma vez que definimos as escalas corretas, podemos agora proceder para o desenho
do gráfico em papel milimetrado, obtendo resultado conforme Fig. 3.2.
A escala usada em um eixo é totalmente independente da escala usada no outro.
�
Fique atento para o fato de que a escala de um gráfico não deve necessariamente
começar na origem (0, 0), mas sim abranger a faixa de variação que as variáveis a serem
representadas possuem. Por conveniência, os limites da escala costumam ser escolhidos
de tal modo a que correspondem a um número inteiro de divisões principais. Os valores
correspondentes a cada uma destas divisões principais devem ser escritos de modo legível.
Se você está fazendo seu gráfico em papel gráfico comum, cuidado com sua caligrafia.
Quando for usar um programa de computador para fazê-lo, tenha atenção com o tamanho
da fonte escolhida.
Outro aspecto importante é a escolha da unidade em que a variável será apresentada:
a unidade deve ser escolhida de tal forma que minimize o número de dígitos utilizados
na divisão principal. Imagine, por exemplo, um gráfico que apresenta medidas de massa
que vão desde 1 g até 1850 g. Você não acha que seria melhor representar estes dados
em kg? A regra prática neste caso é usar no máximo até três dígitos para representar os
valores das variáveis nos respectivos eixos. Casos em que se tem mais que 3 dígitos, usa-se
potências de 10 na expressão das unidades, simplificando a escala e facilitando a leitura
42 Capítulo 3. Representações gráficas
e interpretação do gráfico. Observe na Fig. 3.3 alguns exemplos de eixos desenhados de
forma correta. Na Fig. 3.4 são mostrados exemplos de como desenhar, de forma incorreta,
os eixos de um gráfico. Por exemplo, um erro comum é colocar no próprio eixo os valores
medidos no experimento para cada variável: não cometa este equívoco, pois além de ser
um erro muito grosseiro torna o gráfico ilegível. Use o bom senso para desenhar um eixo,
fazendo o seguinte teste: escolha aleatoriamente um ponto qualquer; se o leitor for capaz
de identificar rapidamente o valor correspondente desse ponto apenas lendo o eixo no
gráfico então o eixo utilizado é adequado para representar seus dados.
Lembre-se que toda grandeza medida ou calculada apresenta uma determinada precisão,
que está indicada no número de casas decimais, conforme vimos anteriormente. Na escala
escolhida deves-e ter o cuidado de considerar essas casas decimais. Portanto, os pontos
principais da escala devem ter o número de casas decimais igual ao dos valores da grandeza
representada.
Finalmente, observe que cada eixo trás o nome da variável, ou seu símbolo correspon-
dente, juntamente com sua respectiva unidade, entre parêntesis. Nunca esqueça de fazer
isto nos seus gráficos.
0 1 2 3 4 5 6 7
t(s)
(a)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x(m)
(b)
0 20 40 60 80 100
m (g)
(c)
Figura 3.3: Alguns exemplos de eixos de gráficos desenhados corretamente.
Neste curso, você irá usar papel gráfico para compor suas figuras a partir dos dados
coletados nos experimentos. É importante saber usar este tipo de papel. Voltaremos a falar
deles na Sec. 3.2.2.
Nas experiências de física é frequente o estudo dos valores de uma dada grandeza y
em função da variação nos valores de outra grandeza x, ou seja, temos y = f (x). Lembre-
se, portanto, que a variável dependente deve estar sempre no eixo das ordenadas (eixo
vertical - y) e a variável independente no eixo das abscissas (eixo horizontal - x). Em
suas experiências, você deve ser capaz de identificar quem são as variáveis dependentes e
independentes.
3.1.4 Dados experimentais e incertezas
Ao colocar seus pontos experimentais no gráfico use marcadores bem visíveis, com
tamanhos que não afetem a estética do seu gráfico (muito grandes ou muito pequenos, cores
muito apagadas, ou muito brilhantes etc.). Devemos identificar cada ponto experimental por
3.1 A construção e interpretação de gráficos 43
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617
t(s)
(a)
0 3 6 9 12 15 18 21
t(s)
(b)
0 2.8 5.7 10.6 1516.3
x(m)
(c)
0 50 100
m(kg)
(d)
Figura 3.4: Alguns exemplos de eixos de gráficos desenhados incorretamente. De cima
para baixo temos os seguintes problemas: a) Escala comprimida, b) escala múltipla de 3,
que deve ser evitada; c) pontos experimentais escritos nos eixos e d) escala expandida.
um símbolo que não deixe dúvidas sobre o referido ponto, nem se confunda com eventual
imagem de fundo no papel usado. Se no seu gráfico existem dois conjuntos de pontos a
serem representados (por exemplo, medidas de velocidade feitas a diferentes alturas de lan-
çamento) você deverá usar dois tipos de símbolos, facilmente distinguíveis, para representar
cada conjunto. São exemplos de símbolos: #, ,�,�,7,D,A,4,C,�,F,♦,C,�,� etc.
Conforme mencionado anteriormente, nunca indique as coordenadas de seu ponto
experimental nos eixos do gráfico. A experiência tem mostrado que nenhuma medição,
mesmo que cuidadosamente realizada, pode estar completamente livre de incertezas.
Voltaremos a este assunto, mas por enquanto basta saber que as incertezas associadas às
medidas realizadas devem ser apresentadas em seu gráfico através das chamadas barras de
incerteza. Estas barras devem ser postas nos pontos, conforme indica a Fig. 3.1. Caso as
incertezas sejam menores que o tamanho dos pontos, devemos indicar a barra de erro na
legenda. No caso da Fig. 3.1, considerando que o tempo foi medido usando um cronômetro
digital, cuja incerteza é da ordem de 0,01 s, este valor foi indicado no canto inferior direito
do gráfico (∆t = 0,01s).
Nunca ligue os pontos experimentais um a um. Muitos programas de computador
oferecem esta opção, como é o caso do Excel. Veja por exemplo a Fig. 3.5. Neste gráficoa leitura da reta vermelha, que representa a tendência da variação da velocidade com o
tempo, ficou prejudicada porque os pontos foram ligados um a um.
44 Capítulo 3. Representações gráficas
Velocidade de Queda de um Corpo
v 
(c
m
/s
)
0
5
10
15
20
 
t (s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Velocidade (cm/s)
melhor ajuste
Figura 3.5: Exemplo de gráfico mal feito, pois os pontos foram ligados um a um.
3.1.5 Funções teóricas ou curvas médias
Uma vez que todos os pontos experimentais estão marcados no gráfico, devemos traçar
a curva que representa a tendência entre os dados apresentados, conforme veremos na
Sec. 3.2. Observe que esta curva não passará necessariamente sobre todos os pontos,
podendo inclusive ocorrer casos em que a curva não passará sobre nenhum dos pontos.
Portanto, ela não precisa iniciar no primeiro ponto e terminar no último: ela deve ser traçada
levando-se em conta a tendência dos pontos experimentais. Conforme dito anteriormente,
nunca ligue os pontos um a um: jamais!
Tanto as funções teóricas quanto as curvas médias podem ser omitidas do gráfico,
dependendo das circunstâncias em que estamos apresentando nosso resultado, isto é, ao
depender da análise que faremos vamos decidir se a apresentação destas curvas é ou
não importante. Ambas curvas permitem a extrapolação e/ou a interpolação dos dados,
permitindo ainda que comparemos os dados experimentais com previsões teóricas. Mais
adiante discutiremos sobre este tópico.
Exercício 3.1 Identifique nos gráficos apresentados nas Fig. 3.6 e Fig. 3.7 quais os
problemas que eles apresentam em sua construção, se houver.
3.1 A construção e interpretação de gráficos 45
Velocidade de Queda de um Corpo
v 
(c
m
/s
)
0
10
20
30
40
50
 
t (s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Velocidade (cm/s)
melhor ajuste
Velocidade de Queda de um Corpo
v 
(c
m
/s
)
0
5
10
15
20
25
 
t (s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Velocidade (cm/s)
melhor ajuste
Velocidade de Queda de um Corpo
v 
(c
m
/s
)
0
5
10
15
20
25
 
t (s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Velocidade (cm/s)
melhor ajuste
Figura 3.6
Velocidade de Queda de um Corpo
v 
(c
m
/s
)
−10
0
10
20
30
40
 
t (s)
−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
Velocidade de Queda de um Corpo
v 
(c
m
/s
)
0
10
20
 
t (s)
3 6 9
Figura 3.7
�
Exercício 3.2 — Campo magnético no interior de um solenoide. Neste experi-
mento foi medida a força eletromotriz V induzida em uma bobina em função de sua
46 Capítulo 3. Representações gráficas
posição no solenoide, expressa por X em centímetros. Os dados experimentais obtidos
foram anotados na seguinte tabela:
Tabela 3.1: Força eletromotriz induzida em uma bobina V , dada em milivolts e sua
respectiva posição dentro de um solenoide, X , dada em centímetros.
X(cm) V(mV)
0 9,41
1 9,41
2 9,24
3 8,74
4 7,39
5 5,38
6 3,36
7 2,02
8 1,34
Desenhe estes resultados em um gráfico. �
3.2 Informações a partir de gráfico 47
3.2 Informações a partir de gráfico
Frequentemente, no desenvolvimento de projetos técnico-científicos se busca resolver
um mesmo tipo de problema, embora este possa manifestar-se através de uma vertente
dupla:
1. Existe algum tipo de correlação entre duas ou mais magnitudes experimentais de
um mesmo sistema? Ou seja, uma variação de uma das variáveis é seguido por uma
variação proporcional nas demais?
2. Se tal relação existe, podemos deduzir uma lei matemática simples que a reproduza
analiticamente?
Estas duas vertentes estão completamente relacionadas, sendo duas caras de um mesmo
problema. Se formos capazes de encontrar uma lei matemática que conecte certas variáveis
de um sistema é evidente que as mesmas guardam algum tipo de relação entre si.
De acordo com o que temos discutido até aqui, você já deve ter percebido que a
representação gráfica de um fenômeno físico se dá através de uma curva. Embora as infor-
mações fornecidas por um gráfico possam ser obtidas de várias formas, vamos necessitar
geralmente desta curva para nos auxiliar a obter tal informação.
3.2.1 Determinação dos coeficientes de uma reta
Observando a Fig. 3.1 vemos que o gráfico dá como curva uma reta. Esta é a situação
mais simples que podemos encontrar para a função de y= f (x). Relembrando, da geometria
analítica sabemos que a equação genérica de uma reta é
Y = β +αX (3.2)
em que β é o chamado coeficiente linear da reta, sendo determinado pelo seu ponto de
intersecção com o eixo das ordenadas e α é o coeficiente angular da reta, diretamente
relacionado à inclinação da mesma.
Em física experimental, vamos nos deparar frequentemente com o problema de determi-
nar os estimadores a e b dos coeficientes α e β , respectivamente, que melhor representam
a relação linear entre duas variáveis X e Y , conforme dado pela Eq. 3.2, a partir de um
conjunto de valores medidos (xi,yi) em que i = 1, 2, .... N. Este problema é resolvido
através do procedimento de Mínimos Quadrados, que no caso particular de uma função
linear chama-se regressão ou ajuste linear. Existe vasta e detalhada literatura sobre este
método, consulte seu professor para que ele lhe indique alguma. Aqui vamos nos focalizar
no caso mais simples que é o da regressão linear.
Existe fórmulas prontas para encontrar estes estimadores a e b, para situações em que
β = 0 e β 6= 0 (veja Tab. 3.2). O primeiro passo ao utilizar uma fórmula é saber qual sua
validade, portanto verifique sempre se as condições de validade da fórmula de ajuste de
mínimos quadrados ou de regressão linear que pretende usar são tais que se aplicam ao seu
experimento. Ao longo de sua vida acadêmica verá que muitos programas gráficos para
computadores já incorporam algoritmos de ajuste linear. Embora um software deste tipo
seja muito conveniente, devemos sempre saber antes de usá-lo que algoritmo ele utiliza
para fazer seus cálculos, para não correr o risco de aplicá-lo a uma situação onde o mesmo
não tem validade.
48 Capítulo 3. Representações gráficas
Métodos dos Mínimos Quadrados
O método dos mínimos quadrados se baseia em achar os valores de a e b que minimizam
a função
f (a,b) =
N
∑
i=1
(yi−axi−b)2 (3.3)
A função f (a,b) representa a soma dos desvios quadráticos da relação linear. A Tab. 3.2
apresenta um conjunto de fórmulas que se aplicam, caso as seguintes condições sejam
satisfeitas (BRITO CRUZ; FRAGNITO, 1997):
1. os valores xi são medidos sem erro;
2. todos os yi tem a mesma distribuição (mas com diferente média);
3. todos os yi tem o mesmo desvio padrão σ .
Tabela 3.2: Estimadores para o caso dos yi com o mesmo desvio padrão. As somató-
rias indicam soma de i = 1,2, ...,N. Tabela reproduzida na íntegra de (BRITO CRUZ;
FRAGNITO, 1997).
Aqui não iremos nos atear ao método dos mínimos quadrados, mas vamos descrever
um método rápido para estimarmos os parâmetros de uma reta. Tal método é aconselhável
quando não temos a nossa disposição material mais sofisticado que um lápis, papel e uma
régua (transparente, preferencialmente). Quando dispomos de um computador, já vimos
que existem softwares que realizam cálculos estatísticos que nos entregam os resultados
prontos. Tais ferramentas serão usadas nos cursos de laboratório de física vindouros.
Método Gráfico (MG)
Se temos duas medidas experimentais, x e y, cuja relação entre ambas sabemos que é
linear, podemos encontrar uma relação analítica que melhor ajusta estes dados. Isto pode
ser feito analiticamente mediante o método dos mínimos quadrados, mas também podemos
fazê-lo através do gráfico de y versus x, ao que chamaremos método gráfico.
Uma consideração importante é que este método funcionará melhor se as escalas do
gráfico foram escolhidas com os pontos experimentais relativamente alinhados ao longo de
uma diagonal.
A seguir reproduzimos na íntegra o uso deste método, conforme descrito em (BRITO
CRUZ; FRAGNITO, 1997).
3.2 Informações a partir de gráfico 49
Figura 3.8: Método gráfico para determinar os coeficientes da reta e seus desvios. As
barras de erro são menores que o tamanho do símbolo de cada ponto experimental. Figura
reproduzida na íntegrade (BRITO CRUZ; FRAGNITO, 1997)
50 Capítulo 3. Representações gráficas
Para ilustrar o método vamos considerar os dados representados na Fig. 3.8. Para
simplificar as coisas nos limitaremos ao caso em que todos os pontos tem o mesmo peso.
Siga os passos abaixo.
1. Estime o centro de gravidade dos pontos (x̄, ȳ). As retas vertical e horizontal que
passam por este ponto divide o gráfico em quatro quadrantes. No exemplo da Fig. 3.8
os dados estão, aproximadamente, metade no quadrante 3 e metade no quadrante 2.
2. Coloque a ponta do lápis no ponto (x̄, ȳ) e apoie a régua no lápis.
3. Gire a régua em torno do ponto (x̄, ȳ) até que 50% dos pontos de cada quadrante
estejam por cima, e 50% por abaixo da régua. (Note que mais de uma reta satisfazem
esta condição e você deve escolher uma média.) Trace a reta média. A equação
desta reta será y = ax+b.
4. Apoie novamente a régua no lápis e gire-a em torno do ponto (x̄, ȳ) até deixar,
aproximadamente, 16% dos pontos de cada quadrante abaixo e 84% acima da régua.
A equação desta reta é y = ȳ+ amin(x− x̄). A inclinação desta reta representa a
inclinação mínima, amin, dentro de um desvio padrão. Prolongando esta reta até
cortar o eixo x = 0, o ponto de interseção determina bmax.
5. Agora gire a régua, sempre em torno do ponto (x̄, ȳ), de modo de deixar 16%
dos pontos de cada quadrante acima e 84% abaixo. A equação desta reta é y =
ȳ+amax(x− x̄). Esta reta determina a inclinação máxima, amax, e a sua prolongação
até x = 0, bmin.
Note que na região delimitada pelas retas de inclinação máxima e mínima ficam
aproximadamente 68% dos pontos experimentais, que é consistente com o conceito de
desvio padrão para uma distribuição normal. Se a sua apreciação foi correta, a reta média
(item 3) deve ficar no meio das retas com inclinações mínima e máxima traçadas nos itens
4 e 5. Para determinar os valores de a e b, assim como os erros padrões nestes parâmetros
utilize as equações:
a =
(amax +amin)
2
, b =
(bmax +bmin)
2
∆ā =
1
2
√
N|amax−amin|
, ∆b̄ =
1
2
√
N|bmax−bmin|
(3.4)
Muitas vezes, ao representarmos os dados obtidos em um experimento em um gráfico,
vamos verificar que resultam não serem ajustáveis a uma reta. Uma forma de proceder
é representar estes mesmos dados em um tipo especial de papel gráfico, que não possua
escala linear, para ver se neste caso se ajustaria à reta. Vejamos a seguir um pouco mais
sobre isto.
3.2.2 Papel gráfico em diferentes escalas
O termo papel gráfico refere-se a um papel que possui linhas desenhadas nele para
auxiliar a marcar os pontos, ou seja, é um papel que vem com um determinado tipo
de escala. Estas escalas são especializadas para certas aplicações, existindo uma grande
variedade de tipos.
3.2 Informações a partir de gráfico 51
Quando queremos representar uma dependência de uma dada grandeza em relação à
outra é comum que usemos os chamados gráficos de linhas, conforme vimos na Fig. 3.1.
Podem-se construir muitos tipos de gráficos de linhas, dentre os quais destacamos os
gráficos lineares, logarítmicos e polares como sendo os mais comumente utilizados no
meio científico. Neste laboratório, para confeccionar nossos gráficos de linhas iremos
utilizar um papel gráfico. De modo geral, em física, os papeis gráficos de uso mais comum
são aqueles que possuem escalas lineares e escalas logarítmicas. O primeiro tipo é o
chamado papel milimetrado e o segundo é o papel logarítmico, que pode ser dividido
em dois tipos dependendo da divisão logarítmica ser somente em um dos eixos (papel
semi-log ou mono-log) ou em ambos eixos (papel log-log ou di-log). A Fig. 3.9 apresenta
um esboço destes três tipos de papel que são os mais comumente usados no laboratório de
física.
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
Papel Milimetrado
0 1 2 3 4 5
100
101
102
103
Papel monolog
100 101 102 103
100
101
102
103
Papel log-log
Figura 3.9: Esboço dos tipos de papel gráfico mais comumente usados no laboratório de
física para construção de gráficos de linhas.
Há duas razões principais para que usemos escalas logarítmicas em gráficos. A primeira
52 Capítulo 3. Representações gráficas
ocorre quando estamos lidando com inclinação em direção a grandes valores (em estatística,
esta inclinação recebe o nome de obliquidade ou assimetria; em inglês skewness), isto
é, aqueles casos em que um ou alguns pontos são muito maiores do que a maior parte
dos dados. A segunda ocorre quando queremos mostrar variações percentuais ou fatores
multiplicativos.
Relembrando matemática básica de seus tempos de escola, logaritmos são apenas
uma outra maneira de escrever equações exponenciais, uma que lhe permite separar o
expoente de um lado da equação. A equação 24 = 16 pode ser reescrita como log2 16 = 4,
pronunciada como "log de 16 na base 2 é 4". É útil lembrar que o log é o expoente, neste
caso, "4". A equação y = logb(x) significa que y é a potência ou expoente ao qual b é
elevado para obtermos x. A base comum para escalas logarítmicas é a base 10. No entanto,
outras bases também são úteis. Enquanto uma base de dez é útil quando os dados variam
em várias ordens de grandeza, uma base de dois é útil quando os dados têm um intervalo
menor.
Os motivos para que a representação de um gráfico exija a utilização de um tipo de
papel específico são diversas. Vejamos aqui alguns exemplos:
1. A magnitude representada cobre um intervalo muito grande ou envolve dife-
rentes escalas (como por exemplo quando mede-se o comportamento de um
sistema com respeito a frequencia, esta indo desde os Hz até os MHz.)
2. Queremos linearizar uma curva, como por exemplo uma variação exponencial.
3. Queremos representar uma magnitude em função da direção em que a medimos.
4. Queremos representar a dependência entre três variáveis, ao invés de duas,
como é habitual.
Nos dois primeiros casos usaremos um papel semilogarítmico ou logarítmico; no
terceiro caso usaremos um papel polar, onde as divisões correspondem a raios e
circunferências em lugar de linhas horizontais e verticais. No quarto caso iremos
utilizar um papel com representação triangular.
Papel de gráfico e seu uso
Papel monolog
Imagine que estamos estudando um fenômeno físico no qual existe uma relação
exponencial entre suas variáveis. Isto é,
y = aebx (3.5)
em que y e x são, respectivamente, as variáveis dependente e independente enquanto a
e b são constantes. Obviamente, se construirmos o gráfico desta função em um papel
milimetrado a curva obtida não será uma reta. Entretanto, a obtenção de informações a
partir de um gráfico é muito mais fácil quando sua curva é uma reta. Para fenômenos
descritos por equações exponenciais, podemos obter uma reta em um gráfico de duas
maneiras:
3.2 Informações a partir de gráfico 53
1. linearizando-se a equação e construindo o gráfico com os pontos da equação lineari-
zada em papel milimetrado;
2. utilizando-se papel monolog.
A primeira maneira apresentada será discutida mais adiante, mas como será visto envolve
o cálculo dos logaritmos dos valores da variável dependente, enquanto que ao usar o papel
monolog nenhum logaritmo será calculado, isto porque o eixo das ordenadas neste tipo
de papel já possui escala logarítmica: vamos, portanto, colocar os valores da variável
dependente diretamente sobre o eixo.
Conforme podemos ver na Fig. 3.9, o papel monolog possui a escala vertical dividida
de forma logarítmica e a horizontal linearmente (similar ao papel milimetrado). O eixo
logarítmico é dividido em regiões cuja relação entre seus inícios é uma potência de 10.
A estas regiões chamamos décadas. Por exemplo, se a primeira linha da primeira década
é 1 (100), a primeira linha da década seguinte assumirá o valor de 10 (101), e assim
sucessivamente. Obviamente, já que não existe logaritmo de número negativo ou nulo, a
escala nesse eixo nunca será iniciada por um número negativo.
Linearização
INSERIR TEXTO AQUI
3.2.3 Papel di-log
Vários fenômenos físicos são descritos por equações do tipo
y = Kxn (3.6)
em que y e x são as variáveis dependente e independente, respectivamente,enquanto K e n
são constantes numéricas de valores desconhecidos. A questão é como construir um gráfico
a partir das medidas efetuadas de tal forma que se obtenha um reta, quando claramente
esta não é a equação de uma reta. Há duas possibilidades:
1. Fazer uma mudança de variável do tipo: xn 7→ X e traçar o gráfico de y como função
de X . Isto é possível quando conhecemos o valor de n, senão necessitamos fazer uma
série de tentativas até encontrar o valor correto de n, o que pode consumir tempo.
2. Aplicar logaritmos aos dois membros da Eq. 3.6, isto é:
logy = log(Kxn)⇒ logy = logK +n logx
Isto nos deixa com logaritmos para ambas as variáveis, de modo que se queremos usar
o papel milimetrado devemos calcular os valores destes logaritmos para cada valor
de y e de x. Para facilitar, podemos então usar o chamado papel di-log. Conforme
vemos na Fig. 3.9, o papel di-log é um papel no qual tanto as escalas vertical quanto
horizontal são proporcionais aos logaritmos dos números que elas representam. Estas
escalas também estão divididas em décadas, do mesmo modo que o visto no papel
mono-log.
Linearização
INSERIR TEXTO AQUI
54 Capítulo 3. Representações gráficas
R Para evitar erros ao desenhar seu gráfico, observe as seis regras básicas a seguir ao
fazê-lo:
1. Use lápis e régua;
2. Use pelo menos 50% de papel gráfico;
3. Rotule os eixos;
4. Use sempre unidades;
5. Não una ponto a ponto seus dados;
6. Assegure-se que os eixos estão corretos: o eixo x deve sempre mostra a
variável independente (variável que você está mudando); o eixo y deve
sempre mostrar a variável dependente (a variável que você está medindo);
7. Use pontos pequenos para representar seus dados;
8. Se seu gráfico possui mais de um conjunto de dados, escreve uma legenda
para o mesmo;
9. Desenhe uma curva contínua que represente o melhor ajuste aos seus dados;
10. Se for necessário extrapolar (estender o gráfico, ao longo da mesma inclina-
ção, acima ou abaixo dos dados medidos), use linha pontilhada;
11. Identifique os valores atípicos.a
aAs observações que apresentam um grande afastamento das restantes ou são inconsistentes com elas
são habitualmente designadas por outliers, ou ainda por observações anormais, contaminantes, estranhas,
extremas ou aberrantes.
Bibliografia
BRITO CRUZ, Carlos H. de; FRAGNITO, Hugo Luis. Guia para Física Experimental:
Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros. [S.l.], 1997. Disponível em: <http://www.
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<http://www.rsc.org/images/terminology-part-1-technical-brief-13_tcm18-214863.pdf>
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Física Experimental 1II 4 Medidas Direta e Indiretas . . . . . . . . 594.1 Objetivos4.2 Materiais utilizados4.3 Procedimentos experimentais
4.4 Tratamento e apresenta-
ção dos dados experimentais
5 Estudo do MRU & MRUV . . . . . . . . . . . 61
5.1 Objetivos
5.2 Materiais utilizados
5.3 Procedimentos experimentais
5.4 Tratamento e análise grá-
fica dos dados experimentais
6 Lançamento de Projéteis . . . . . . . . . . 66
6.1 Objetivos
6.2 Materiais utilizados
6.3 Procedimentos experimentais
6.4 Tratamento e análise grá-
fica dos dados experimentais
7 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.1 Objetivos
7.2 Materiais utilizados
7.3 Procedimentos experimentais
7.4 Associação de Molas
7.5 Tratamento e análise grá-
fica dos dados experimentais
8 Quadro de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.1 Objetivos
8.2 Materiais utilizados
8.3 Procedimentos experimentais
8.4 Procedimentos experimentais
9 Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.1 Objetivos
9.2 Materiais utilizados
9.3 Procedimentos experimentais
9.4 Tratamento e análise grá-
fica dos dados experimentais
58 Física Experimental 1II 10 Forças Coplanares e VantagemMecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.1 Objetivos10.2 Materiais utilizados10.3 Procedimentos experimentais10.4 Tratamento dos dados experimentais
4. Medidas Direta e Indiretas
4.1 Objetivos
• Familiarizar-se com o uso dos instrumentos de medidas e identificar a precisão de
cada aparelho de medida.
• Medir grandezas físicas utilizando os instrumentos adequados e apresentar correta-
mente os valores medidos de acordo com as regras da Teoria dos Erros.
4.2 Materiais utilizados
Figura 4.1: Esquema do aparato experimental.
• Réguas com diferentes escalas: decimetrada, centimetrada e milimetrada.
• Paquímetro.
• Micrômetro.
• Papel milimetrado cortado em tiras.
• Tubos cilíndricos e blocos de madeira.
60 Capítulo 4. Medidas Direta e Indiretas
4.3 Procedimentos experimentais
4.3.1 Aprendendo a utilizar os instrumentos que estão sobre a bancada.
1. Familiarize-se com o uso de cada dosinstrumentos de medida determinando seu
estado de uso, sua escala e sua menor divisão de escala.
2. Anote na folha de dados a escala, a menor divisão da escala e o erro associado de
cada instrumento de medida.
4.3.2 Medindo as dimensões dos tubo cilíndrico e do bloco de madeira com o
paquímetro.
1. Obtenha uma série de 5 medidas da altura e do diâmetro de cada objeto cilíndrico.
No caso particular do cilindro vazado, façam 5 medidas de cada diâmetro: diâmetro
interno (DInt.) e diâmetro externo (DExt.). (Atenção! Cada componente da equipe
deverá realizar a coleta dos dados experimentais).
2. Anote os valores medidos numa tabela na folha de dados
3. Obtenha uma série de 5 medidas de cada dimensão do bloco de madeira e, em
seguida, anote os valores medidos numa tabela na folha de dados.
4.3.3 Medida do perímetro e altura
1. Meça o perímetro do bloco de madeira com a tira de papel milimetrado e com as
réguas decimetrada, centimetrada e milimetrada.
2. Anote os valores medidos numa tabela na folha de dados.
4.4 Tratamento e apresentação dos dados experimentais
4.4.1 Valores médios e erros
1. Expresse os valores médios das grandezas físicas coletadas no experimento de acordo
com a fundamentação presente na Teoria de Erros.
2. Calcule o volume real dos cilindros e do bloco de madeira e encontre o erro pro-
pagado usando a equação de propagação de erros. Em seguida, expresse o valor
do volume de acordo com a Teoria dos erros e discuta sobre qual dos instrumentos
utilizados apresentam maior precisão..
3. Classifique as medidas da altura, diâmetro, volume e perímetro dos tubos cilíndricos
como medidas diretas e indiretas, e justifique suas respostas.
5. Movimento Retilíneo e Uniforme
e Movimento Retilíneo Uniforme-
mente Variado
5.1 Objetivos
1. Estudar o Movimento Retilíneo e Uniforme e o Movimento Retilíneo Uniformemente
Variado.
2. Calcular e interpretar a aceleração, a velocidade e posição de um móvel em MRU e
MRUV.
3. Determinar as equações de movimento de um móvel em MRU e MRUV.
4. Construir e interpretar os gráficos da posição versus tempo e da velocidade versus
tempo.
5. Determinar o ponto de encontro entre dois móveis.
5.2 Materiais utilizados
Figura 5.1: Esquema do aparato experimental.
62 Capítulo 5. Estudo do MRU & MRUV
• 1 (uma) base de sustentação principal com um plano inclinado articulável com escala
de 0° a 45°.
• 1(um) tubo lacrado contendo óleo, uma esfera de aço e bolha.
• 1 (um) imã.
• 1 (um) cronômetro.
• 1 (uma) esfera de aço.
• Fita adesiva.
5.3 Procedimentos experimentais
5.3.1 Estudo do MRU
1. Familiarize-se com o uso de cada instrumento de medida determinando seu estado de
uso e a sua menor divisão de escala. Anote na folha de dados a escala, a menor divisão da
escala e o erro associado a cada instrumento de medida.
2. Eleve o plano com inclinação 90 < φ ≤ 5 acima da horizontal e com o auxílio do imã,
posicione a esfera de aço, que está dentro do tubo lacrado contendo óleo, antes da marca
X0 = 0 cm. Libere a esfera e dispare o cronômetro no mesmo instante em que a esfera
passa pela posição X0 = 0 e pare o cronômetro quando a esfera passar pela marca X1 = 10
cm. Repita esta operação mais 4 vezes, para obter uma valor médio do tempo associado a
esse percurso, e também anote os valores obtidos na Tabela 1.1.
3. Repita a operação realizada no item 2 para os intervalos X0 = 0 cm a X2 = 20 cm,
X0 = 0 cm a X3 = 30 cm e de X0 = 0 cm a X4 = 40 cm e anote os valores obtidos na Tabela
1.1.
4. Mantendo o plano num ângulo de φ , incline o aparto experimental fazendo com que a
bolha de ar atinja a posição X4 = 40 cm. Em seguida, torne a apoiar a plataforma na mesa,
disparando o cronômetro no mesmo em que a bolha passa pela posição X4 = 40. Meça o
tempo necessário para a bolha chegar à posição X0 = 0 e anote o valor obtido na Tabela
1.2. Repita esta operação mais 4 vezes para obter uma valor médio do tempo associado a
esse percurso.
5. Repita a operação realizada no item anterior para os intervalos X4 = 40 cm a X3 = 30
cm, X4 = 40 cm a X2 = 20 cm e de X4 = 40 cm a X1 = 10 cm e anote os valores coletados
na Tabela 1.2.
6. Arraste a esfera até a posição X0 = 0 cm e a mantenha nesta posição por meio do imã.
Em seguida, incline novamente a base do plano para conduzir a bolha de ar até a posição
X4 = 40 cm.
7. Apoie o plano inclinado sobre a mesa e, concomitantemente, libera a esfera e dispara o
cronômetro. Em seguida, obtenha a posição e o tempo de encontro da esfera e com a bolha
e anote os valores obtidos na Tabela 1.3. Repita esta operação mais 4 vezes para obter uma
valor médio do tempo, bem como da posição de encontro.
5.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 63
5.3.2 Estudo do MRUV
1. Incline os trilhos do aparato experimental reportado na Figura 9.1 para 90 < φ ≤ 5
acima da horizontal e, em seguida, fixe, com a fita adesiva, retângulos de papel sobre a
escala lateral para indicar a posição inicial X0, X1, X2, X3 e X4, equidistantes 10 cm entre
si, a partir de X0 = 0 cm.
2. Coloque o centro da esfera antes da posição X0 = 0 cm e a abandone, em seguida,
dispare o cronômetro assim que a esfera chegar em X0 = 0 cm. Cronometre o tempo
necessário para a esfera ir de X0 até X1 e anote os valor obtida na Tabela 1.4. Repita esta
operação mais 4 vezes para obter uma valor médio do tempo associado a esse percurso.
3. Repita esta operação para os intervalos X0 = 0 cm a X2 = 20 cm, X0 = 0 cm a X3 = 30
cm e de X0 = 0 cm a X4 = 40 e anote os valores obtidos na Tabela 1.4.
5.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais
5.4.1 MRU
Esfera
1. Determine o valor médio e a incerteza combinada do tempo de descida da esfera nos
intervalos de X0 = 0 cm a X1 = 10 cm, X0 = 0 cm a X2 = 20 cm, X0 = 0 cm a X3 = 30
cm e de X0 = 0 cm a X4 = 40 cm.
2. Discutam, no relatório, quais das grandezas que estão representadas na Tabela 1.1 são
do tipo dependente e independente. Em seguida, construa, em papel papel milimetrado,
um gráfico que relacione a posição da esfera e o tempo de descida. (Atenção! Marque
as coordenadas com suas respectivas barras de erro).
3. Com o auxílio do Método Geométrico (MG), encontre a reta que melhor representa
a correlação entre a posição e o tempo e, posteriormente, a represente no gráfico.
4. Discutam quais são os significados físicos dos parâmetros da reta obtida. Em seguida,
discuta se a forma do gráfico da posição versus tempo é característica do MRU.
5. Utilizando os valores da velocidade e do tempo médio, que estão reportados na
Tabela 1.1, construa, no papel milimetrado, o gráfico da velocidade em função do tempo
de descida da esfera. Em seguida, discuta no relatório se a forma do gráfico obtido é
característica do MRU e qual o significado físico da área sob o gráfico.
Bolha
1. Determine o valor médio e o erro do tempo de subida da bolha no intervalo de de
X0 = 0 cm a X1 = 10 cm, X0 = 0 cm a X2 = 20 cm, X0 = 0 cm a X3 = 30 cm e de X0 = 0
cm a X4 = 40 cm.
2. Utilizando os valores da posição e tempo médio da subida da bolha, construa, no
mesmo gráfico da esfera, o gráfico da posição em função do tempo da bolha.
3. Com o auxílio do MG, encontre a reta que melhor representa a equação de movimento
64 Capítulo 5. Estudo do MRU & MRUV
da posição da esfera e da bolha em função do tempo e a representem no gráfico.
4. Discutam quais são os significados físicos dos parâmetros angular e linear da reta
obtida.
Sistema esfera-bolha
1. Discutam, no relatório, o significado físico das coordenadas do cruzamento das duas
retas ilustradas no gráfico da posição em função do tempo. Em seguida, obtenha, através
das equações de movimento, a posição e o tempo teórico de encontro da bolha e da
esfera.
2. Calcule o erro relativo percentual do tempo e da posição de encontro dos móveis e
discutam as causas das possíveis diferenças.
5.4.2 MRUV
1. Determine o valor médio e o erro da velocidade de descida da esfera no intervalo de
X0 = 0 cm a X1 = 10 cm, X0 = 0 cm a X2 = 20 cm, X0 = 0 cm a X3 = 30 cm e de X0 = 0
cm a X4 = 40 cm.
2. Considereque a velocidade média é constante dentro de cada intervalo e construa o
gráfico da velocidade em função do tempo com os valores da velocidade e do tempo médio
reportados na Tabela 1.4.
3. Com o auxílio do MG, encontre a reta que melhor representa a equação horária da
velocidade da esfera em função do tempo e a represente no gráfico. Em seguida, discutam
quais são os significados físicos dos parâmetros angular e linear da reta obtida através do
MG.
4. Obtenha a aceleração da gravidade local através deste experimento e, em seguida,
calcule seu o erro relativo percentual.
5. Expliquem os motivos físicos que contribuíram para o alto valor do erro relativo
percentual da aceleração da gravidade obtida nesse experimento.
Tabela 5.1: Dados experimentais obtidos com a esfera em MRU.
Medidas
Tempo
(s)
1º Intervalo 2º Intervalo 3º Intervalo 4º Intervalo
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
Valores Médios
Velocidade Média
(mm/s)
5.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 65
Tabela 5.2: Dados experimentais obtidos com a bolha.
Medidas
Tempo
(s)
1º Intervalo 2º Intervalo 3º Intervalo 4º Intervalo
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
Valores Médios
Velocidade Média
(mm/s)
Tabela 5.3: Posição e tempo de encontro da esfera com a bolha.
Medidas
Encontro
Posição Tempo
(mm) (s)
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
Valores Médios
Tabela 5.4: Dados experimentais obtidos com a esfera executando um MRUV.
Medidas
Tempo
(s)
1º Intervalo 2º Intervalo 3º Intervalo 4º Intervalo
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
Valores Médios
Velocidade Média
(mm/s)
6. Lançamento de Projéteis
6.1 Objetivos
1. Estudar o movimento bidimensional no campo gravitacional terrestre.
2. Reconhecer no lançamento de um projétil a composição de dois movimentos reti-
líneos: Movimento Retilíneo Uniforme e o Movimento Retilíneo Uniformemente
Variado.
3. Determinar a velocidade de uma esfera em um lançamento horizontal utilizando o
princípio da conservação da energia.
4. Diferenciar energia cinética translacional da energia cinética rotacional.
6.2 Materiais utilizados
• 01 (uma) esfera metálica de lançamento.
• Bobina de disparo e retenção.
• Fonte para bobina de disparo e retenção.
• Suporte alinhador horizontal.
• Tripé universal horizontal com sapatas niveladoras e haste para fixação.
• 01 (uma) rampa lançadora horizontal com suporte de sustentação e regulagem
horizontal.
• 01 (um) cronômetro
• 01 (um) fio de prumo com engate rápido.
• 02 folhas de papel carbono.
• 02 folhas de papel de seda ou sulfite.
• Fita adesiva.
• Fita adesiva.
6.3 Procedimentos experimentais 67
Figura 6.1: Esquema do aparato experimental.
• Paquímetro.
• Fita métrica.
• Balança digital.
6.3 Procedimentos experimentais
1. Monte o aparato experimental conforme ilustrado na Figura 6.1 e nivele a base da
rampa de lançamento para garantir a ausência da componente vertical da velocidade
no momento do lançamento horizontal da esfera.
2. Cole a folha de papel carbono sobre a mesa com a parte carbonada voltada para cima
e próxima ao tripé. Em seguida, coloque as folhas de papel seda ou sulfite sobre as
folhas de papel carbono.
3. Utilize o fio de prumo para marcar no papel de seda ou sulfite a posição inicial (X0)
do lançamento que fica verticalmente abaixo da saída da rampa.
4. Familiarize-se com o uso de cada instrumento de medida determinando seu estado
de uso e a sua menor divisão de escala. Anote na folha de dados a escala, a menor
divisão da escala e o erro associado a cada instrumento de medida. Meça do diâmetro
da esfera e a sua massa e anote na folha de dados.
5. Ajuste a bobina de disparo e retenção para soltar a esfera de lançamento no ponto
de desnível Y = 60 mm existente na escala da rampa de lançamento e, em seguida,
meça a altura h” do ponto de lançamento horizontal, em relação à mesa sobre o qual
o experimento é realizado.
68 Capítulo 6. Lançamento de Projéteis
6. Libere a esfera de aço, meça o tempo de queda (tempo de voo) da esfera e, concomi-
tantemente, olhe atentamente a superfície do papel para verificar o ponto do impacto
da esfera com o papel de seda ou sulfite. (Atenção! Evite manter a bobina ligada por
mais de 30 segundos e, além disso, cuide para não deixar a esfera pingar (quicar)
duas vezes sobre o papel, para não confundir com as marcações futuras.)
7. Assinale a primeira marcação com o nº 1 para não confundi-la com as outras que
ainda serão produzidas e meça a distância entre a marca X0 (produzida com o fio
de prumo) e a marca indicada pelo nº 1. Em seguida, anote os valores do tempo de
queda (tempo de voo) e do alcance na Tabela 6.1.
8. Reproduza mais 4 lançamentos usando esta configuração e complete a Tabela 6.1.
9. Escolha mais 3 alturas h” do ponto de lançamento horizontal em relação a mesa
refaça o experimento. Anote na Tabela 6.1 as alturas h” utilizadas, os tempos de
queda (tempo de voo), bem como seus respectivos alcances.
6.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais
1. Verifique se as marcas deixadas pela esfera em cada série de lançamento são coinci-
dentes ou não e explique fisicamente o motivo deste fenômeno. Em seguida, obtenha
os valores médios e o erro dos tempos de queda (tempo de voo) e dos alcances da
esfera.
2. Utilizando os valores médios dos alcances e dos tempos de queda (tempos de voo),
construa o gráfico relacionando os pontos experimentais do alcance e do tempo de
queda da esfera com suas respectivas barras de erro e, em seguida, discutam no
relatório se a forma do gráfico é característica do Movimento Retilíneo Uniforme
(MRU).
3. Com o auxílio do Método Geométrico (MG) encontre a reta que melhor representa o
alcance da esfera em função do tempo e a represente no gráfico e, posteriormente,
discuta quais são os significados físicos dos parâmetros da reta obtida através do
MG e verifique o tipo de movimento presente na direção horizontal.
4. Determine a energia cinética de translação da esfera no instante do lançamento
horizontal, compare-a com a energia potencial inicial. Em seguida, comente as
causas das possíveis diferenças.
5. Considere que apenas forças conservativas agem sobre esse sistema e obtenha as
expressões das velocidades teóricas (com e sem o movimento de rolamento) da esfera
no momento em que ela abandona a rampa de lançamento (Adote I = 2MR2/5 para
o momento de inércia da esfera maciça em relação a um eixo que passa pelo seu
centro).
6. Obtenha o erro relativo percentual entre o valores teóricos da velocidade da esfera no
instante em que ela abandona a rampa de lançamento e o valor experimental obtido
via o Método Geométrico (MG), em seguida, comente suas possíveis diferenças.
6.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 69
7. Use os conceitos da Cinemática Vetorial e determine as componentes horizontal
e vertical da velocidade da esfera num instante que antecede a queda da esfera e
quando a mesma toca a folha de papel.
Ta
be
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6.
1:
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7. Lei de Hooke
7.1 Objetivos
1. Medir grandezas físicas utilizando os instrumentos propostos e apresentar correta-
mente os valores medidos de acordo com as regras da Teoria dos Erros.
2. Construir e interpretar gráficos que relacione as grandezas de força e a elongação da
mola a partir dos dados experimentais coletados.
3. Verificar a validade da Lei de Hooke e discutir seu comportamento.
4. Realizar tratamento estatístico nos dados coletados e obter a constante elástica da
mola a partir do gráfico obtido pelo método geométrico.
5. Determinar a constante de mola equivalente de sistemas físicos montados a partir de
associações de mola em série e em paralelo.
7.2 Materiais utilizados• Molas helicoidais.
• Conjunto de massas.
• Porta peso para o conjunto de massas.
• Balança digital.
• Tripé com suporte e perfil com escala milimetrada.
• Suportes para associação de molas.
7.3 Procedimentos experimentais 71
Figura 7.1: Associação de molas em (a) série e (b) paralelo.
7.3 Procedimentos experimentais
1. Familiarize-se com o uso de cada instrumento de medida, determinando seu estado
de uso e a sua menor divisão de escala. Anote na folha de dados a escala, a menor
divisão da escala e o erro associado a cada instrumento de medida.
2. Pendure uma mola na haste de sustentação e ajuste a régua para obter a posição da
extremidade da mola e, consequentemente, definir o comprimento inicial L0, em
seguida, anote o valor de L0 na folha de dados.
3. Com o auxílio da balança, obtenha, separadamente, o valor da massa do porta peso,
dos suportes para associação de molas e dos elementos que integram o conjunto de
massas.
4. Pendure o porta peso na mola e anote o valor do comprimento final da mola na
Tabela 7.1. Refaça o procedimento 4 mais cinco vezes com o objetivo de obter um
valor médio do comprimento final.
5. Adicione diferentes massas no porta peso e meça, em cada caso, o valor do com-
primento final. Anote os valores das massas utilizadas, bem como do cumprimento
final na folha de dados. (Atenção! Cuidado para não esticar a mola acima do limite e
provocar deformação permanente na mola)
6. Repita os mesmos procedimentos com mola 2 e anote os valores dos comprimentos
finais na Tabela 7.2.
72 Capítulo 7. Lei de Hooke
7.4 Associação de Molas
7.4.1 Em série
1. Acople as molas de modo à formar uma “mola composta” formada por duas ou mais
molas em série, conforme está ilustrado na Figura 7.1a.
2. Pendure a mola composta na haste de sustentação e ajuste a régua para obter a
posição da extremidade inferior da última mola e, consequentemente, defina o
comprimento inicial L0. Anote o valor de L0 na Tabela 7.3.
3. Adicione diferentes massas no porta peso e anote os valores dos comprimentos finais
do sistema de molas em série na Tabela 7.3.
7.4.2 Em paralelo
1. Configure as molas de modo a obter uma “mola composta” formada por duas ou
mais molas em paralelo, conforme está ilustrado na Figura 7.1b.
2. Pendure a mola composta na haste de sustentação e ajuste a régua para obter a posição
da extremidade inferior do suporte para associação de molas e, consequentemente,
defina o comprimento inicial L0. Anote o valor de L0 na Tabela 7.4.
3. Adicione diferentes massas no porta peso e anote os valores dos comprimentos finais
do sistema de molas em paralelo na Tabela 7.4.
7.5 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais
1. Obtenha o valor médio do comprimento final da mola para cada massa adicionada e
encontre o valor da elongação.
2. Determine o módulo da força peso exercido sobre o sistema, utilizando o valor da
gravidade de 9,78 m/s2 (valor aproximado da aceleração da gravidade na cidade de
Cruz das Almas: latitude de 12,67°, longitude de 39,01° e altitude de 200 m).
3. Construa gráficos com os dados experimentais da força peso e da elongação da mola
para cada configuração, com suas respectivas barras de erro. (Atenção para definir
qual das duas grandezas é a variável dependente e a independente.)
4. Com o auxílio do Método dos Geométrico (MG), encontre a reta que melhor repre-
senta os dados experimentais e a represente no gráfico e discuta se o comportamento
obtido é compatível com a Lei de Hooke.
5. Discutam o significado físico dos parâmetros da reta obtida através do MG.
6. Obtenha o valor teórico das constantes elásticas das molas individuais 1 e 2, bem
como das molas associadas em série e em paralelo.
7. Calcule o erro relativo percentual das constantes elásticas das molas individuais,
assim como das molas associadas em série e em paralelo. Em seguida, discutam os
motivos das possíveis diferenças.
7.5 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 73
Ta
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7.
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74 Capítulo 7. Lei de Hooke
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L
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8. Quadro de Forças
8.1 Objetivos
1. Medir grandezas físicas utilizando os instrumentos adequados e apresentar correta-
mente os valores medidos de acordo com as regras da Teoria de Erros.
2. Verificar experimentalmente o equilíbrio de forças usando um dispositivo conhecido
como quadro de forças.
3. Operar com vetores a partir de exemplos experimentais.
4. Obter a força resultante experimental gerada a partir de duas ou mais forças.
5. Calcular, pelos métodos geométrico e analítico, o vetor força resultante.
8.2 Materiais utilizados
• Painel de forças NDF III com disco transferidor acoplado.
• Tripé universal Delta-Max.
• Conjunto de massas acopláveis.
• Gancho de engate rápido para acoplamento de massas.
• Dinamômetros com fixação magnética.
• Fios de poliamida com anéis.
• Papel milimetrado.
• Balança digital.
76 Capítulo 8. Quadro de Forças
Figura 8.1: Esquema do aparato experimental.
8.3 Procedimentos experimentais
8.3.1 Equilíbrio entre duas forças
1. Familiarize-se com o uso de cada instrumento de medida determinando seu estado
de uso, sua escala e sua menor divisão de escala. Anote a escala, a menor divisão da
escala e o erro associado de cada instrumento de medida na folha de dados.
2. Ajuste a escala dos dinamômetros e utilize um nível de bolhas para verificar se o
quadro de força está nivelado.
3. Monte o quadro de força com um dinamômetro com fixação magnética conectado a
um gancho de engate rápido usando um fio de poliamida com anéis.
4. Adicione uma massa conhecida no suporte de massa acopláveis e ajuste a posição
angular do dinamômetro para que o centro do anel coincida com o centro do disco
transferidor (posição de equilíbrio). Atenção! Ajuste os dinamômetros de modo a
não ficarem tortos e nem pegando nas bordas.
5. Anote na Tabela 8.1 os valores da massa adicionada no gancho, da força no dinamô-
metro e das posições angular do dinamômetro e do gancho.
6. Trace um sistema de eixos cartesianos em uma folha de papel milimetrado e repre-
sente, em escala, os módulos das forças (Atenção! Não esqueça de representar a
posição angular de cada força).
7. Repita os procedimentos anteriores com diferentes massas e complete a Tabela 8.1.
8.4 Procedimentos experimentais 77
8.3.2 Equilíbrio entre três forças
1. Ajuste a escala dos dinamômetros e utilize um nível de bolhas para verificar se o
quadro de força ainda está nivelado.
2. Monte o quadro de força com dois dinamômetros com fixação magnética conectado
a um gancho de engate rápidoatravés de um fio de poliamida com anéis, conforme
ilustrado na Figura 8.1.
3. Nomeie os dois dinamômetros e o gancho de engate rápido de ~F1, ~F2 e ~F3, respecti-
vamente.
4. Coloque o dinamômetro 1 (um) na posição angular 45º (quarenta e cinco graus)
e o dinamômetro 2 (dois) na posição angular 90º (noventa graus). Em seguida,
acrescente uma massa conhecida no gancho de massas acopláveis.
5. Mantenha a posição angular de ~F3 fixa e ajuste as posições dos dinamômetros até
que o centro do anel coincida com o centro do disco com transferidor (posição de
equilíbrio). Em seguida, meça e anote na Tabela 8.2 o ângulo entre ~F1 e ~F2.
6. Trace um sistema de eixos cartesianos em uma folha de papel milimetrado e re-
presente, em escala, os módulos das forças ~F1, ~F2 e ~F3 (Atenção! Não esqueça de
representar a posição angular de cada força).
7. Aumente a força ~F3 e encontre as novas posições angular de ~F1 e ~F2 que favorecem
a condição de equilíbrio do sistema. Em seguida, anote os valores obtidos na Tabela
8.2 e represente as forças em um papel milimetrado.
8. Repita os procedimentos anteriores até completar a Tabela 8.2.
8.4 Procedimentos experimentais
8.4.1 Equilíbrio entre duas forças
1. Calcule o módulo da força de equilíbrio utilizando a relação |~P3|= m3g e compare
com o valor do módulo da força registrado no dinamômetro. Adote g = 9,78 m/s2.
2. Discuta se há alguma diferença entre o módulo da força peso e o do valor indicado no
dinamômetro. Em seguida, explique quais foram as principais causas das possíveis
diferenças.
3. Discuta qual a relação entre a posição angular da força peso e da força exercida pelo
dinamômetro.
4. Se as forças não forem coplanares, poderia haver equilíbrio? Justifique sua resposta.
8.4.2 Equilíbrio entre três forças
1. Aplique a Regra do Paralelogramo nas forças ~F1 e ~F2 representadas na folha de
papel milimetrado e obtenha, em escala, o vetor força resultante (~FR). Em seguida,
compare com módulo do valor da força ~F3 obtido no experimento (Adote g = 9,78
m/s2).
78 Capítulo 8. Quadro de Forças
2. Explique qual a relação que a força ~F3 e a força resultante (~FR) devem possuir para
que o sistema permaneça em equilíbrio.
3. Discuta sobre qual metodologia analítica deve ser utilizada, juntamente com Regra
do Paralelogramo, para obter o módulo da força resultante gerada pelos vetores ~F1 e
~F2.
4. Utilize a Lei dos cossenos para calcular o módulo da força resultante produzida pelas
forças ~F1 e ~F2 e compare com os valores obtidos no experimento.
5. Determine o erro relativo percentual de ~F3 em relação ao valor teórico (~FR). Em
seguida, discutam quais foram as principais causas dos desvios.
Tabela 8.1: Dados experimentais referentes ao equilíbrio de duas forças coplanares.
Medidas
Gancho Dinamômetro
Massa (kg) Ângulo (º) Massa (kg) Ângulo (º)
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
Tabela 8.2: Dados experimentais referentes ao equilíbrio de três forças coplanares.
Medidas
Força (N) Posição Ângular (º) |~FR| (N)|~F1| |~F2| |~F3| θ1 θ2 θ3
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
9. Queda Livre
9.1 Objetivos
1. Medir grandezas físicas utilizando os instrumentos adequados e apresentar correta-
mente os valores medidos de acordo com as regras da Teoria dos Erros.
2. Observar e estudar o movimento de um corpo em queda livre.
3. Traçar gráficos das variáveis do movimento de um corpo em queda e interpretá-los.
4. Estimar o valor da aceleração gravitacional local.
5. Identificar as formas de energia presentes no movimento de um corpo em queda
livre e verificar o Princípio da Conservação de Energia Mecânica.
9.2 Materiais utilizados
Figura 9.1: Esquema do aparato experimental.
• 02 (duas) esferas metálicas.
• Bobina de disparo e retenção.
80 Capítulo 9. Queda Livre
• Fonte para bobina de disparo e retenção.
• Suporte alinhador horizontal.
• Tripé universal horizontal com sapatas niveladoras e haste para fixação.
• 01 (um) cronômetro.
• Régua milimetrada.
• Balança digital.
9.3 Procedimentos experimentais
1. Monte o aparato experimental conforme ilustrado na Figura 9.1 e verifique se o tripé
universal está nivelado.
2. Familiarize-se com o uso de cada instrumento de medida, determinando seu estado
de uso e sua menor divisão de escala. Em seguida, anote na folha de dados a escala,
a menor divisão da escala e o erro associado a cada instrumento de medida.
3. Com o auxílio da balança digital obtenha as massas das esferas metálicas e anote na
Tabela 9.1.
4. Posicione a esfera de menor massa na bobina de disparo e retenção situada numa
posição vertical qualquer da haste e, em seguida, meça a altura (H) entre a base
inferior da esfera metálica e a superfície onde a esfera cairá. Posteriormente, anote o
valor da altura obtida na Tabela 9.1.
5. Ligue a chave da fonte da bobina para prender a esfera metálica no eletroímã.
Posteriormente, libere a chave e, concomitantemente, inicie o cronômetro para obter
o tempo de queda da esfera. Em seguida, anote o valor do tempo de queda da esfera
na Tabela 9.1. (Atenção! Evite manter a bobina ligada por mais de 30 segundos).
6. Refaça mais 4 lançamentos usando esta configuração e anote os valores dos tempos
de queda da esfera de menor massa na Tabela 9.1. Em seguida, repita os procedimen-
tos anteriores com diferentes valores de H e anote os resultado obtidos na Tabela
9.1.
7. Utilize os mesmo valores das alturas e repita os procedimentos anteriores com a
esfera de maior massa e, em seguida, anote os valores dos tempos de queda na Tabela
9.1.
9.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais
1. Obtenha os valores médios dos tempos de queda das esferas para cada altura e os re-
presentem de acordo com a Teoria de Erros. Em seguida, discuta qual a interferência
da massa da esfera em seu tempo de queda.
2. Construa um gráfico do deslocamento em função do tempo de queda no papel
milimetrado e discuta se o perfil dos dados coletados está condizente com a teoria.
3. Analise o perfil dos dados coletados e proponha uma equação experimental que
melhor os representem, em seguida, discuta qual a metodologia que deve ser utilizada
9.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais 81
para obter informações físicas dos dados experimentais.
4. Construa, no papel milimetrado, um gráfico do deslocamento em função do tempo
de queda ao quadrado e encontre, via o Método Geométrico, a reta que melhor
representa os dados experimentais.
5. Discutam quais são os significados dos parâmetros angular e linear da reta obtida.
6. Calcule o erro relativo percentual da aceleração da gravidade local e discutam as
possíveis causas da diferença entre o resultado experimental e o teórico.
Tabela 9.1: Dados experimentais obtidos usando as esferas menor e maior.
Massa (kg) Altura (m)
Tempo (s)
Medida 1 Medida 2 Medida 3 Medida 4 Medida 5 Valor Médio
M1 =
h1 =
h2 =
h3 =
h4 =
M2 =
h1 =
h2 =
h3 =
h4 =
10. Forças Coplanares e Vantagem
Mecânica
10.1 Objetivos
1. Verificar experimentalmente os conceitos de grandeza vetorial através de roldanas
fixa e móvel.
2. Comprovar que as roldanas podem modificar a direção e o sentido da força.
3. Reconhecer as roldanas como máquina simples e verificar a eficiência de associações
de roldanas fixas e móveis.
4. Determinar a vantagem mecânica estática real, estática ideal e dinâmica das mon-
tagens denominadas de roldana fixa, roldana móvel, talha exponencial e cadernal
paralelo.
10.2 Materiais utilizados
• Sistema de sustentação principal com tripé, haste principal, sapatas niveladoras e
mesa suporte.
• 03 (três) ganchos lastro;
• 08 (oito) massas acopláveis com peso de aproximadamente 0,5 N.
• 03 (três) cordões com anel e ganchos.
• 03 roldanas móveis com gancho;
• 01 (um) conjunto móvel de polias paralelas com gancho.
• 01 (uma) régua milimetrada.
• 01 (um) dinamômetro de 2 N.
• 01 (uma) balança digital.
10.3 Procedimentos experimentais 83
Figura 10.1: Tipos de montagens do aparato experimental: (a) roldana fixa, (b) roldanas
móvel, talha exponencial com (c) duas e (d) três roldanas móveis e (e) cadernal paralelo.10.3 Procedimentos experimentais
10.3.1 Roldanas Fixas
1. Familiarize-se com o uso de cada instrumento de medida, determinando seu estado
de uso e sua menor divisão de escala. Em seguida, anote na folha de dados a escala,
a menor divisão da escala e o erro associado a cada instrumento de medida.
2. Com o auxílio da balança digital, determine o peso de um gancho lastro e duas
massas acopláveis para serem utilizados como cargas, em seguida, anote o valor
encontrado como Força Resistente (FR) na Tabela 10.1.
3. Execute a montagem da roldana fixa no conjunto de sustentação principal, conforme
ilustrado na Figura 10.1a, e obtenha, com o auxílio do dinamômetro, o valor da
Força Motriz de Equilíbrio (FME) necessária para alcançar o equilíbrio estático do
sistema, em seguida, anote o valor obtido na Tabela 10.1. (Atenção! Não estique a
mola do dinamômetro acima do limite para não ocorrer deformação permanente).
4. Com o auxílio da régua milimetrada, determine a distância dM que deve ser per-
corrida pela força motriz para elevar a carga (força resistente) de uma distância dR
qualquer. Repita esse procedimento mais 4 vezes para obter os valores médios de
dM e dR.
5. Determine o valor médio da menor Força Motriz Dinâmica (FMD) capaz de imprimir
um movimento uniforme ao sistema. Para isso, realize o seguinte procedimento: com
o dinamômetro preso na parte livre do cordão, levante e abaixe lentamente os pesos
até obter um movimento uniforme no sistema.
6. Repita o procedimento anterior mais 4 vezes e complete a Tabela 10.1, em seguida
84 Capítulo 10. Forças Coplanares e Vantagem Mecânica
obtenha o valor médio da FMD
10.3.2 Roldana Móvel
1. Realize a fixação de uma roldana móvel ao conjunto de sustentação principal,
conforme ilustrado na Figura 10.1b. Em seguida, obtenha o valor da Força Motriz de
Equilíbrio (FME) necessária para alcançar o equilíbrio estático do sistema e anote o
valor obtido na Tabela 10.1.
2. Determine a distância dM que deve ser percorrida pela força motriz para elevar a
carga (força resistente) de uma distância dR qualquer. Repita esse procedimento
mais 4 vezes para obter os valores médios de dM e dR.
3. Obtenha o valor médio da menor Força Motriz Dinâmica (FMD) capaz de imprimir
um movimento uniforme ao sistema. Repita o procedimento anterior mais 4 vezes e
complete a Tabela 10.1, em seguida obtenha o valor médio da FMD
10.3.3 Talha Exponencial
1. Realize a montagem de uma talha exponencial I composta por duas roldanas móveis
e uma roldana fixa, conforme está ilustrado na Figura 10.1c, posteriormente, adicione
quatro massas acopláveis no gancho lastro.
2. Obtenha os valores de FME , dM, dR e FMD para a talha exponencial com duas
roldanas móveis e uma roldana fixa e os anotem na Tabela 10.1.
3. Realize a montagem de uma talha exponencial II composta por três roldanas móveis,
conforme ilustrado na Figura 10.1d, e utilize como carga dois ganchos lastro e oito
massas acopláveis. Em seguida, obtenha e anote na Tabela 10.1 os valores de FME ,
dM, dR e FMD desse sistema.
10.3.4 Cadernal Paralelo
1. Realize a montagem de um cadernal paralelo com três roldanas, conforme ilustrado
na Figura 10.1e, e adicione seis massas acopláveis e dois ganchos lastro como carga.
Em seguida, obtenha os valores de FME , dM, dR e FMD e anote na Tabela 10.1.
10.4 Tratamento dos dados experimentais
1. Determine o valor médio das forças de equilíbrio e dinâmica, bem como das dis-
tâncias dM e dR de cada configuração (montagem) de roldanas e as representem de
acordo com a Teoria de Erros.
2. Com auxílio dos valores médios das forças Força Resistente (FR) e Força Motriz
Equilibrante (FME), determine a Vantagem Mecânica Estática Real (VMER) de cada
sistema de roldanas, através da razão entre as forças FR e FME , conforme representado
matematicamente pela equação .
VMER =
FR
FME
(10.1)
10.4 Tratamento dos dados experimentais 85
3. Obtenha a Vantagem Mecânica Dinâmica (VMD) entre FR e a Força Motriz Dinâmica
(FMD) de cada sistema de roldanas, através da razão entre as forças FR e FMD,
conforme representado matematicamente pela equação .
VMER =
FR
FME
(10.2)
4. Calcule e discuta fisicamente os erros relativos percentuais das Forças motrizes
de equilíbrio e dinâmica presentes nas configurações denominadas de talhas expo-
nenciais e na roldana móvel, para isso adote o valor teórico da força motriz como
sendo:
FMTeo. =
FR
2n
(10.3)
em que n representa o número de roldanas móveis.
5. Obtenha a relação teórica entre a força motriz FM e a força resistente FR presente
na montagem de um cadernal paralelo e discuta fisicamente seus resultados. Em
seguida, compare seu resultado com a equação 10.4:
FMTeo. =
FR
n
(10.4)
em que n representa o número de trecho da corda ou o número de roldanas utilizadas
no cadernal paralelo.
6. Calcule os erros relativos percentuais das Forças Motrizes (de equilíbrio e dinâmica)
presente na montagem de um cadernal paralelo, para isso adote o valor teórico
da força motriz, representado pela equação 10.4, e discuta os fenômenos físicos
responsáveis pelo surgimento desses erros.
7. Com auxílio dos valores médios das distâncias dM e dR obtidas no experimento,
calcule a Vantagem Estática Ideal (VMEI) de cada sistema de roldana usando a razão
entre as distâncias dM e dR, conforme representado matematicamente pela equação .
VMEi =
dM
dR
(10.5)
8. Calcule o trabalho realizado pelas forças resistente e motriz e, em seguida, discuta
como no princípio de conservação da energia está associado aos resultados obtidos
nesse experimento.
86 Capítulo 10. Forças Coplanares e Vantagem Mecânica
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Física Experimental 2III
11 Dilatação Térmica de Sólidos . . . . 88
11.1 Objetivos
11.2 Materiais utilizados
11.3 Procedimentos experimentais
11.4 Tratamento e análise grá-
fica dos dados experimentais
12 Movimento Harmônico Simples . . 91
12.1 Objetivos
12.2 Materiais utilizados
12.3 Procedimentos experimentais
13 Princípio de Arquimedes . . . . . . . . . 100
13.1 Objetivos
13.2 Materiais utilizados
13.3 Procedimentos experimentais
14 Transformação Isotérmica e a Lei
de Boyle-Mariotte . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
14.1 Objetivos
14.2 Materiais utilizados
14.3 Procedimentos experimentais
11. Dilatação Térmica de Sólidos
11.1 Objetivos
1. Determinar o coeficiente de dilatação linear de uma barra metálica;
2. Relacionar a variação de comprimento sofrida por uma barra em função da variação
de temperatura experimentada pela mesma;
3. Relacionar a variação do comprimento sofrida por uma barra em função do compri-
mento inicial da mesma.
11.2 Materiais utilizados
Figura 11.1: Esquema do aparato experimental utilizado no experimento de dilatação
térmica linear.
• 01 tripé para aquecimento;
• tela para aquecimento;
11.3 Procedimentos experimentais 89
• 01 fonte térmica (lamparina ou bico de Bunsen);
• 01 termômetro analógico -10 a 110 ºC;
• 1 termômetro digital;
• Papel toalha.
• dilatômetro com base principal metálica com guias tipo mufa e medidor de dilatação.
• batente móvel de fim de cursor
• Balão volumétrico com rolha de borracha e furações longitudinais.
11.3 Procedimentos experimentais
1. Execute a montagem do dilatômetro com o corpo de prova (haste de latão) fixa na
marca dos 500 mm (comprimento inicial) e verifique se o batente móvel no fim do
cursor está tocando a ponteira do medidor de dilatação. Em seguida, zere a escada
do medidor de dilatação.
2. Fixe o balão volumétrico, coloque aproximadamente 50 ml de água no seu interior efaça as conexões. Posteriormente, verifique se as mangueiras utilizadas não estão
desobstruídas.
3. Confira o comprimento inicial (L0) do corpo de prova (distância entre o centro da
guia com mufa até a ponteira do medidor de dilatação), bem como a temperatura
inicial da haste de latão (via o medidor digital de temperatura) e anote os resultados
na folha de dados. Em seguida, ative a fonte térmica (lamparina ou bico de Bunsen)
e aguarde que o vapor d’água, percorrendo o circuito, atinjam os termômetros.
(Atenção! Não aqueça o balão volumétrico diretamente com a chama da lamparina
ou bico de bunsen, use a tela de amianto para o aquecimento.
4. Após o equilíbrio térmico do sistema, anote na folha de dados às temperaturas
registradas nos termômetros, bem como as respectivas variações de tamanho re-
gistradas no medidor de dilatação. (Atenção! Aconselha-se que as variações de
comprimento sejam obtidas, preferencialmente, em intervalos regulares de variações
de temperatura.)
5. Com o auxílio de um pano úmido, remova o corpo de prova e o resfrie. Em seguida,
altere o comprimento inicial da barra de latão (300 e 400 mm) e refaça o experimento.
6. Repita os procedimentos realizados nos itens 1 a 5 com as hastes de alumínio (Al) e
cobre (Cu), considerando apenas o comprimento inicial de 500 mm.
11.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais
1. Calcule as temperaturas médias de cada medição realizada com da haste de latão e,
em seguida, obtenha as variações de temperatura (∆T ) sofrida pela haste de latão a
cada medição realizada.
2. Construa um gráfico da variação de comprimento (∆L) da haste de latão em função
do seu comprimento inicial (L0), utilizando, sempre que possível, variações de
comprimento provocadas por uma mesma variação de temperatura.
90 Capítulo 11. Dilatação Térmica de Sólidos
3. Classifique o comportamento de ∆L em função de L0 (para ∆T constante) e, em
seguida, discutam a relação matematicamente existente entre eles.
4. Com o auxílio do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), encontre a reta que
melhor representa a variação de comprimento da haste em função do comprimento e
a represente no gráfico.
5. Discutam quais são os significados físicos dos parâmetros angular e linear da reta
obtida através do MMQ.
6. Com auxílio das dados coletadas utilizando o comprimento inicial de L0 = 500,
construa um único gráfico da variação de comprimento das hastes em função da
variação de temperatura e, em seguida, discutam a relação existente entre as variações
L e T.
7. Com o auxílio do MMQ, encontre a reta que melhor representa a variação de
comprimento da haste em função da temperatura e a represente no gráfico. Em
seguida, discutam quais são os significados físicos dos parâmetros angular e linear
da reta obtida através do MMQ.
8. Obtenha os coeficientes de dilatação térmica linear das hastes utilizadas, bem como
seu erro relativo percentual em relação ao seu valor teórico e, posteriormente, discu-
tam quais as principais causas das possíveis diferenças.
12. Movimento Harmônico Simples
12.1 Objetivos
1. Reconhecer o Movimento Harmônico Simples (MHS) executado pelo oscilador
massa-mola como o movimento de um ponto material sujeito à ação de uma força
restauradora proporcional à elongação da mola.
2. Determinar, pelo processo dinâmico, a constante elástica k da mola helicoidal.
3. Reconhecer o MHS executado pelo pêndulo simples como o movimento de um ponto
material sujeito à ação de uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento
angular.
4. Obter as relações entre o período de oscilação, a amplitude de oscilação, a massa
pendurada e o comprimento da corda.
5. Determinar o valor da gravidade local por meio da medida do comprimento do fio e
do período de oscilação.
6. Reconhecer o MHS executado pela régua como o movimento de um corpo extenso
sujeito à ação de um torque restaurador proporcional ao seu deslocamento angular,
bem como ao momento de inércia da barra.
7. Determinar, pelo processo dinâmico, o valor do momento de inércia da régua com
relação a diferentes eixos de giro.
12.2 Materiais utilizados
• 01 sistema de sustentação composto por tripé triangular, sapatas niveladoras, haste
principal e painel com saliência de posicionamento.
92 Capítulo 12. Movimento Harmônico Simples
• 01 mola helicoidal.
• 01 cronômetro.
• 01 conjunto de massas acopláveis e gancho lastro.
• 01 trena.
• 01 transferidor.
• 01 régua milimetrada com dois orifícios (o maior na extremidade e o menor na
posição da escala).
• Balança digital.
• 02 massas pendulares de mesmo volume e massas diferentes.
12.3 Procedimentos experimentais
12.3.1 Sistema Massa-Mola
Figura 12.1: Aparato experimental utilizado no estudo do sistema massa-mola.
1. Execute a montagem do aparato experimental conforme o esquema ilustrado na
Figura 12.1.
2. Com o auxílio da balança digital, obtenha o valores individuais de quatro massas
acopláveis que será utilizada neste experimento, bem como do gancho lastro e, em
12.3 Procedimentos experimentais 93
seguida, anote na Tabela 12.1. (Atenção! Cuidado para não esticar a mola acima do
limite e provocar deformação permanente na mola).
3. Dependure a mola, o gancho e um massa acoplável na saliência do painel de posicio-
namento e, em seguida, determine e anote na folha de dados a posição de equilíbrio
(X0) do sistema.
4. Distenda a mola 10 mm além de X0 e libere o sistema. Em seguida, analise o
fenômeno observado e classifique o tipo de movimento executado pela massa m
pendurada na mola.
5. Repita o procedimento anterior e analise o comportamento da amplitude (A) e a
frequência (f) do movimento à medida que o tempo passa. Em seguida, discutam
se o resultado dessa análise é condizente com as características do movimento
identificado no item anterior. Caso não seja, discutam como é possível analisar esse
sistema usando o modelo de Movimento Harmônico Simples.
6. Distenda novamente a mola 10 mm além X0 e libere o sistema. Em seguida, obtenha
o intervalo de tempo para que sistema execute 5 oscilações completas e anote o
resultado na Tabela 12.1. Repita 5 vezes esta medida e anote os valores dos tempos
das 5 oscilações na Tabela 12.1.
7. Refaça o procedimento anterior com diferentes massas e anote, na Tabela 12.1, o
intervalo de tempo necessário para sistema executar 5 oscilações completas.
8. Obtenha o valor médio do intervalo de tempo das 5 oscilações e, posteriormente,
encontre o período de uma oscilação completa. Em seguida, construa, em papel
log-log, um gráfico do período de oscilação em função da massa utilizada e obtenha
o tipo de relação existente entre essas duas grandezas. Em seguida, discutam qual a
melhor metodologia para obter a constante elástica experimental (KE) da mola.
9. Construa um gráfico adequado para representar o período de oscilação em função
da massas e obtenha o valor da KE da mola utilizada. Em seguida, obtenha o erro
relativo da KE em relação ao valor teórico da constate elástica (KT ) fornecida pelo
fabricante (KT = 20 N.m−1) e discutam quais foram as principais causas da possível
diferença.
10. Suponha que a mola possui uma densidade linear uniforme e se distende uniforme-
mente durante o movimento oscilatório. Em seguida, demonstre que a influência
da massa da mola (mm) no período de oscilação do sistema massa-mola pode ser
representada por.
T = 2π
√
M+mm
K
(12.1)
11. Construa um novo gráfico do período de oscilação em função da massa corrigida
através da Equação 12.1 e obtenha o novo valor da constante elástica da mola. Em
seguida, calcule o erro relativo de KE em relação ao valor teórico e discutam seus
resultados.
94 Capítulo 12. Movimento Harmônico Simples
12.3.2 Pêndulo Simples
Figura 12.2: Aparato experimental utilizado no estudo do pêndulo simples.
1. Execute a montagem do aparato experimental conforme o esquema ilustrado na
Figura 12.2. Em seguida, fixe o pêndulo de massa maior ao painel, através do
parafuso central, e encaixe o fio no corte longitudinal.
2. Com o auxílio do dispositivo de variação contínua,ajuste o comprimento do fio de
modo que a distância entre o ponto de suspensão do pêndulo e o centro de gravidade
da massa pendular seja 20,0 cm.
3. Discutam sobre quais são as condições reais e necessárias que o movimento de um
pêndulo simples deve possuir para que seu movimento possa ser representado através
de um movimento harmônico simples.
4. Desloque o pêndulo da posição de equilíbrio e o abandone. Em seguida, use o
cronômetro para medir o intervalo de tempo que o pêndulo leva para realizar 5
oscilações completas e anote o valor obtido na Tabela 12.2. (Atenção! Recomenda-
se que a amplitude utilizada não seja exagerada, ou seja, maior que 10°).
12.3 Procedimentos experimentais 95
5. Repita o procedimento anterior mais 4 vezes e anote os valores dos tempos das
5 oscilações na Tabela 12.2. Em seguida, obtenha o valor médio do intervalo de
tempos das 5 oscilações e encontre o período de uma oscilação.
6. Com o auxílio do dispositivo de variação contínua, altere o comprimento do fio
que forma o pêndulo e complete as lacunas existentes na Tabela 12.2. Em seguida,
discutam como o período do pêndulo está relacionado com o seu comprimento.
7. Construa, em papel log-log, um gráfico do período de oscilação em função do
comprimento do fio e obtenha o tipo de relação existente entre essas duas grandezas.
8. Construa um gráfico adequado e obtenha o valor experimental da aceleração da
gravidade local (gE). Calcule o erro relativo de gExp em relação ao valor teórico da
aceleração da gravidade (gT = 9,78 m.s−2) na cidade de Cruz das Almas-BA e, em
seguida, discutam as causas da possível diferença.
9. Reduza a massa pendular do sistema e repita os procedimentos 4 a 6 utilizando o
comprimento do fio de 20, 60 e 100 cm e anote os valores dos intervalos de tempo
das 5 oscilações completas na Tabela 12.3.
10. Obtenha o período de oscilação do sistema e compare com os valores obtidos com a
massa pendular maior e, em seguida, explique fisicamente qual a relação existente
entre o período de oscilação do sistema e a massa pendular.
12.3.3 Pêndulo Físico
1. Com o auxílio da régua milimetrada e da balança digital, meça a largura (a), o
comprimento (b) e a massa (m) da barra delgada e anote os valores obtidos na
Tabela 12.4. Em seguida, calcule o momento de inércia teórico da barra em relação
ao eixo perpendicular ao plano da barra delgada e que passa pelo seu centro de
massa.
2. Execute a montagem do aparto experimental conforme o esquema ilustrado na
Figura 12.3 e, em seguida, fixe o pêndulo físico (barra delgada), por algum de seus
orifícios, ao painel de sustentação.
3. Meça a distância (d) entre o centro do furo e a posição do centro de massa da
barra e anote o valor obtido na Tabela 12.4. Em seguida, desloque o pêndulo físico
da posição de equilíbrio e o abandone. Por fim, meça o intervalo de tempo que o
pêndulo físico leva para realizar as 5 primeiras oscilações completas e anote o valor
obtido na Tabela IV. (Atenção! Recomenda-se que a amplitude utilizada não seja
exagerada, ou seja, maior que 10°).
4. Repita o procedimento anterior mais 4 vezes e anote os valores dos tempos das 5
primeiras oscilações na Tabela 12.4. Em seguida, obtenha o valor médio do intervalo
de tempo das 5 primeiras oscilações e encontre o período de uma oscilação.
5. Obtenha a expressão teórica do período de oscilação do pêndulo físico, substitua
os valores experimentais e obtenha o momento de inércia experimental (IE) da
barra. Em seguida, compare o valor de IE com o teórico obtido no item 1 e discuta
96 Capítulo 12. Movimento Harmônico Simples
Figura 12.3: Aparato experimental utilizado no estudo do pêndulo físico.
fisicamente as causas de sua possível diferença.
6. Utilize o Teorema de Steiner, também denominado de Teorema dos Eixos Paralelos,
para corrigir o valor teórico do momento de inércia da barra delgada e compare com
o valor obtido no experimento. 7. Refaça os procedimentos 3 e 4 com diferentes
distância entre o centro do furo e a posição do centro de massa da barra até completar
as lacunas existentes na Tabela 12.4. Em seguida, obtenha o IE da barra e compare
com o valor teórico para cada distância.
12.3 Procedimentos experimentais 97
Tabela 12.1: Tabela dos dados coletados no estudo do sistema massa-mola.
Massa do Porta Peso (kg): Posição de Equilíbrio (X0):
Massa
Tempo das 5 oscilações
Período(s)
(kg) 1ª Medida 2ª Medida 3ª Medida 4ª Medida 5ª Medida Valor Médio (s)
98 Capítulo 12. Movimento Harmônico Simples
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12.3 Procedimentos experimentais 99
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13. Princípio de Arquimedes
13.1 Objetivos
1. Determinar experimentalmente a presença da força de empuxo.
2. Constar a veracidade do Princípio de Arquimedes.
3. Verificar a dependência do empuxo em relação à densidade do líquido deslocado.
4. Determinar experimentalmente a densidade de um corpo através da força empuxo
sofrida por ele ao ser submerso em fluido.
13.2 Materiais utilizados
• Tripé universal horizontal com sapatas niveladoras e haste para fixação.
• Cilindro de Arquimedes dotado de recipiente e êmbolo.
• Béquer de 250 ml.
• 01 dinamômetro de 2 N.
• 01 uma seringa sem agulha.
• Paquímetro.
• Sal.
• Álcool.
• Colher descartável.
13.3 Procedimentos experimentais
13.3.1 Comprovação Experimental da Força de Empuxo
1. Retire lentamente o êmbolo de dentro do conjunto denominado de cilindro de
Arquimedes e, em seguida, compare o volume do êmbolo com o volume da cavidade
13.3 Procedimentos experimentais 101
Figura 13.1: Esquema do aparato experimental.
oca presente no cilindro após a retirada do êmbolo.
2. Calibre a escala do dinamômetro de 2 N para realizar medidas na direção vertical e,
em seguida, pese o conjunto formado pelo cilindro e seu êmbolo e anote o peso do
corpo (P) na folha de dados.
3. Pendure o êmbolo na parte inferior do cilindro oco e ambos ao dinamômetro, con-
forme ilustrado na Figura 13.1. Em seguida, ajuste a altura da haste de sustentação
de modo que o êmbolo, quando pendurado, fique a uns 5 milímetros acima da mesa.
4. Posicione um béquer com água sobre a bancada e, em seguida, mergulhe lentamente
o êmbolo ainda conectado a parte inferior do cilindro oco e ambos ao dinamômetro.
Com o auxílio do dinamômetro, anote na folha de dados o módulo do peso aparente
(Pa) do corpo dentro líquido.
5. Compare os valores do peso do corpo obtidos fora e dentro do líquido e expliquem a
principal causa da diferença entre eles. Em seguida, obtenha o módulo, a direção e o
sentido da força que provocou a aparente diminuição de peso sofrida pelo corpo e
anote seus resultados na folha de dados.
6. Submerja a metade do êmbolo na água e obtenha o novo valor do empuxo, posterior-
mente anote o valor obtido na folha de dados.
102 Capítulo 13. Princípio de Arquimedes
7. Compare o valor obtido com o módulo do empuxo encontrado quandoo êmbolo
estava completamente submerso e discutam se há ou não uma relação direta entre o
volume submerso do corpo e a força de empuxo.
13.3.2 Verificação experimental do Princípio de Arquimedes
1. Mantendo novamente o êmbolo submerso, utilize a seringa para encher o recipiente
superior (cilindro oco) com água líquida e, em seguida, obtenha a indicação do
dinamômetro quando o recipiente estiver completamente cheio d’água. Compare o
valor registrado com o módulo do peso do corpo obtido fora do líquido e discutam
seus resultados.
2. Compare o volume da água contida no recipiente com o volume do êmbolo que
foi submerso. Em seguida, compare o peso do volume do líquido deslocado pelo
êmbolo submerso com o valor do empuxo e discutam seus resultados.
3. Discutam sobre a veracidade da seguinte afirmação: “Todo corpo mergulhado em
um fluido fica submetido à ação de uma força vertical, orientada de baixo para cima,
denominada empuxo, de módulo igual ao peso do volume do fluido deslocado”. Em
seguida, demonstre, através do conceito de massa específica, a expressão matemática
da força do empuxo (E).
13.3.3 A influência da densidade do fluido no valor do empuxo
1. Com o auxílio da colher descartável, dissolva uma quantia de sal no béquer até obter
uma solução levemente saturada de água e sal. Posteriormente, mergulhe lentamente
o êmbolo no béquer contendo água salgada e determine o módulo do empuxo sofrido
pelo êmbolo quando ele está completamente submerso.
2. Descarte a água salgada num local apropriado e repita o procedimento anterior com
álcool.
3. Compare os valores dos empuxos obtidos utilizando a água, o álcool e a solução
saturada de água e sal e, posteriormente, expliquem as possíveis diferenças entre
eles.
4. Com o auxílio do paquímetro, obtenha o diâmetro e a altura do êmbolo, posterior-
mente, calcule o valor do volume do fluido deslocado e obtenha as massas específicas
do álcool e da água salgada.
13.3.4 Determinando a densidade de um sólido através do empuxo.
1. Descarte o álcool contido num béquer no local apropriado e complete-o com água.
Em seguida, substitua o duplo cilindro de Arquimedes por um dos corpos de prova e
ajuste a altura da haste de sustentação.
2. Com o auxílio do dinamômetro, meça o peso de um corpo de prova fora do líquido e
anote o resultado na folha de dados.
3. Mergulhe lentamente o corpo de prova no béquer contendo água, meça o peso
aparente do corpo de prova e, em seguida, determine o módulo do empuxo sofrido
13.3 Procedimentos experimentais 103
pelo corpo quando ele estiver completamente submerso.
4. Determine a densidade do corpo de prova e compare com seu valor teórico, posteri-
ormente, explique as causas das possíveis diferenças.
14. Transformação Isotérmica e a
Lei de Boyle-Mariotte
14.1 Objetivos
1. Estudar o comportamento do um gás em função da pressão, mantendo a temperatura
constante.
2. Construir e interpretar o gráfico que relaciona a pressão exercida sobre um gás versus
o volume por ele ocupado.
3. Construir e interpretar o gráfico que relaciona a pressão de um gás com o inverso de
seu volume.
4. Verificar a validade da Lei de Boyle e Mariotte para uma transformação isotérmica
de uma massa gasosa.
14.2 Materiais utilizados
• Tripé com haste e sapatas niveladoras.
• Haste metálica com 400 mm.
• Painel posicionador.
• Parafuso micrométrico com escala espelhada.
• Manípulo.
• Seringa em vidro resistente com escala volumétrica.
• Válvula.
• Tubo de conexão.
• Monômetro com fundo de escala de 2 kgf/cm2.
14.3 Procedimentos experimentais 105
Figura 14.1: Aparato experimental utilizado no estudo de transformações isotérmicas.
14.3 Procedimentos experimentais
1. Execute a montagem do aparato experimental conforme o esquema ilustrado na
Figura 14.1.
2. Abra a válvula e eleve o êmbolo da seringa para introduzir o volume inicial V0 =
15 ml = 15 cm3 de ar no interior da seringa. Em seguida, gire o manípulo até a
pressão de 0,6 kg f/cm2 e aguarde 60 segundos para verificar se a pressão se mantém
constante.
3. Caso haja vazamento, verifique a vedação das válvulas e das conexões. Em seguida,
refaça o teste de vazamento reportando no item anterior até sanar o problema de
vazamento.
4. Com o auxílio do termômetro, determine a temperatura local e anote o valor obtido
na folha de dados.
5. Abra novamente a válvula e eleve o êmbolo da seringa para introduzir um volume
inicial V0 ≈ 15 ml de ar no interior da seringa e, em seguida, anote o volume inicial
de ar na Tabela 14.1.
106 Capítulo 14. Transformação Isotérmica e a Lei de Boyle-Mariotte
6. Feche a válvula do sistema e prepare-se para comprimir gradualmente o gás da
seringa, com o objetivo de obter o valor da pressão manômetro (PM) registrada no
manômetro. Para tanto, sugere-se completar três voltas no manípulo antes de cada
leitura da pressão, visto que, 3 voltas no manípulo do sistema produz uma redução
no volume inicia do gás de aproximadamente 1,35 ml (3 voltas x 0,45 ml/volta ≈
1,35 ml).
7. Execute três voltas no manípulo e obtenha o valor do volume ocupado pelo gás, bem
como a pressão manométrica correspondente. Em seguida, anote os valores obtidos
na Tabela 14.1. Repita este procedimento até completar a Tabela 14.1.
8. Considere a pressão atmosférica (P0) igual a 1,0 kg f/cm2 e calcule a pressão total
(PT ) exercida sobre o gás contido na seringa.
9. Com auxílio dos dados da Tabela 14.1, construa o gráfico da pressão em função
do volume no papel milímetrado e verifique o tipo de relação existente entre essas
grandezas. Em seguida, discuta qual metodologia deve ser utilizada para extrair
informações físicas dos dados experimentais coletados.
10. Obtenha o inverso dos volumes (V−1) e construa o gráfico de PT em função de V−1.
Em seguida, discutam a relação existente entre essas grandezas.
11. Com o auxílio do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), encontre a reta que
melhor representa a pressão total exercida sobre o gás em função do inverso do
volume e a represente no gráfico.
12. Discutam quais são os significados físicos dos parâmetros angular e linear da reta
obtida através do MMQ.
13. Obtenha a relação PT .V e anote na Tabela 14.1. Em seguida, verifiquem se os valores
encontrado são semelhantes e discutam fisicamente seus resultados.
14. Discuta sobre o intervalo de validade da lei de Boyle-Mariotte para os gases reais e,
posteriormente, determine o número de mol do gás contido na seringa.
15. Construa, no papel milimetrado, o gráfico do log(PT ) em função do log(V ) e compare
o perfil da curva obtida com o perfil ilustrado no gráfico de PT em função de V . Em
seguida, obtenha a reta que melhor representa os dados experimentais e compare os
valores obtidos no item 11. discutam fisicamente seus resultados.
16. Construa um gráfico da pressão total em função do volume num papel log-log e
compre com o perfil das curvas obtidas no papel milimetrado. Em seguida, discutam
seus resultados.
14.3 Procedimentos experimentais 107
Tabela 14.1: Dados experimentais coletados na transformação isotérmica.
Medições Volume†
Pressão
V−1 PT .V(kgf/cm2)
(ml) Manométrica Total (m−3)
0 V0
1 V0 - 1,35
2 V0 - 2,70
3
4
5
6
7
8
9
10
†Adote: 1ml = 1cm3
Esta apostila foi escrita em LATEX 2ε .
	Apresentação
	Parte I — Teoria
	1 Conceitos Básicos
	1.1 Grandezas Físicas
	1.2 Medidas de uma grandeza e suas Incertezas
	1.3 Ordem de Grandeza e Algarismos Significativos
	2 Erros
	2.1 Incertezas durante a leitura de escalas
	2.2 Incertezas em Medições Repetidas
	2.3 Como relatar uma medida
	2.4 Algarismos significativos
	2.5 Alguns conceitos importantes
	2.6 Tipos de Erros
	2.7 Medida direta de uma grandeza física
	2.8 Propagação de erros
	2.9 O desvio padrão
	2.10 Desvio padrão da média
	3 Representações gráficas
	3.1 A construção e interpretação de gráficos
	3.2 Informações a partir de gráfico
	Bibliografia
	Parte II — Física Experimental 1
	4 Medidas Direta e Indiretas
	4.1 Objetivos
	4.2 Materiais utilizados
	4.3 Procedimentos experimentais
	4.4 Tratamento e apresentação dos dados experimentais5 Estudo do MRU & MRUV
	5.1 Objetivos
	5.2 Materiais utilizados
	5.3 Procedimentos experimentais
	5.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais
	6 Lançamento de Projéteis
	6.1 Objetivos
	6.2 Materiais utilizados
	6.3 Procedimentos experimentais
	6.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais
	7 Lei de Hooke
	7.1 Objetivos
	7.2 Materiais utilizados
	7.3 Procedimentos experimentais
	7.4 Associação de Molas
	7.5 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais
	8 Quadro de Forças
	8.1 Objetivos
	8.2 Materiais utilizados
	8.3 Procedimentos experimentais
	8.4 Procedimentos experimentais
	9 Queda Livre
	9.1 Objetivos
	9.2 Materiais utilizados
	9.3 Procedimentos experimentais
	9.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais
	10 Forças Coplanares e Vantagem Mecânica
	10.1 Objetivos
	10.2 Materiais utilizados
	10.3 Procedimentos experimentais
	10.4 Tratamento dos dados experimentais
	Parte III — Física Experimental 2
	11 Dilatação Térmica de Sólidos
	11.1 Objetivos
	11.2 Materiais utilizados
	11.3 Procedimentos experimentais
	11.4 Tratamento e análise gráfica dos dados experimentais
	12 Movimento Harmônico Simples
	12.1 Objetivos
	12.2 Materiais utilizados
	12.3 Procedimentos experimentais
	13 Princípio de Arquimedes
	13.1 Objetivos
	13.2 Materiais utilizados
	13.3 Procedimentos experimentais
	14 Transformação Isotérmica e a Lei de Boyle-Mariotte
	14.1 Objetivos
	14.2 Materiais utilizados
	14.3 Procedimentos experimentais