LISTA 1 - FÍSICA GERAL

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Lista de Exerćıcios - Movimento Uniforme e Variado
LISTA DE EXERCÍCIOS - MOVIMENTO
UNIFORME E VARIADO
FACULDADE ANHANGUERA - POLO
PARAUAPEBAS
PROFESSOR MESTRE MAYK WILLIAMS DA
SILVA OLIVEIRA
Aplicações em Engenharia Elétrica, Mecânica e Civil
Movimento em Uma, Duas e Três Dimensões
Cálculo Diferencial, Integral e Métodos Básicos
Objetivo dos Exerćıcios
Esta lista de exerćıcios foi elaborada para desenvolver competências em análise de
movimentos aplicados às três principais áreas da engenharia. Os problemas abor-
dam desde conceitos básicos de cinemática até aplicações avançadas envolvendo
cálculo diferencial e integral, preparando o estudante para situações reais encontra-
das na prática profissional.
As questões estão organizadas por tipo de movimento e complexidade matemática,
proporcionando uma progressão natural do aprendizado e conectando teoria f́ısica
com aplicações práticas em cada área de engenharia.
1. MOVIMENTO UNIFORME UNIDIMENSIONAL
1. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
Em um cabo de transmissão de energia elétrica, um defeito propaga-se como uma
onda eletromagnética à velocidade constante de 2,8 × 108 m/s. Um sistema de
monitoramento detecta o sinal em dois pontos: primeiro na estação A e, 15 µs
depois, na estação B.
Dados: v = 2,8× 108 m/s; ∆t = 15× 10−6 s
Determine a distância entre as estações A e B.
2. [ENGENHARIA MECÂNICA]
Uma correia transportadora industrial opera com velocidade constante de 1,5 m/s.
Uma peça é colocada no ińıcio da correia e deve percorrer 45 metros até a estação
de processamento.
Dados: v = 1,5 m/s; d = 45 m
Calcule o tempo necessário para a peça chegar à estação de processamento
e determine a equação horária da posição.
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3. [ENGENHARIA CIVIL]
Durante um ensaio de resistência, uma fissura se propaga através de uma viga de
concreto com velocidade constante. A fissura inicia-se em x = 0 no instante t = 0 e
atinge a posição x = 80 cm em t = 4,0 s.
Dados: x0 = 0; x = 80 cm; t = 4,0 s
Determine a velocidade de propagação da fissura e estabeleça a função
x(t).
2. MOVIMENTO UNIFORME BIDIMENSIONAL
4. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
Em um tubo de raios catódicos, um elétron move-se com velocidade constante v⃗ =
(3,0 × 106î + 4,0 × 106ĵ) m/s. No instante t = 0, o elétron está na posição r⃗0 =
(2,0̂i+ 1,5ĵ) mm.
Dados: v⃗ = (3,0× 106î+ 4,0× 106ĵ) m/s; r⃗0 = (2,0̂i+ 1,5ĵ)× 10−3 m
Encontre a equação vetorial da posição r⃗(t) e determine a posição do
elétron em t = 10−8 s.
5. [ENGENHARIA MECÂNICA]
Um robô industrial move-se em trajetória retiĺınea sobre um plano horizontal. Sua
velocidade é constante e igual a v⃗ = (0,8̂i − 0,6ĵ) m/s. No instante t = 0, o robô
está na origem do sistema de coordenadas.
Dados: v⃗ = (0,8̂i− 0,6ĵ) m/s; r⃗0 = 0
Determine a equação da trajetória e calcule a distância percorrida em 10
segundos.
6. [ENGENHARIA CIVIL]
Uma part́ıcula de poluente move-se através de um filtro de ar com velocidade cons-
tante. As componentes de sua velocidade são vx = 2,5 m/s e vy = −1,8 m/s. No
instante t = 0, a part́ıcula está na posição (x0 = 10 cm, y0 = 5 cm).
Dados: vx = 2,5 m/s; vy = −1,8 m/s; x0 = 0,10 m; y0 = 0,05 m
Escreva as equações horárias x(t) e y(t) e determine quando a part́ıcula
cruzará o eixo x.
3. MOVIMENTO UNIFORME TRIDIMENSIONAL
7. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
Um ı́on positivo move-se em linha reta através de um espectrômetro de massa com
velocidade constante v⃗ = (1,2 × 105î + 0,8 × 105ĵ − 0,6 × 105k̂) m/s. No instante
t = 0, sua posição é r⃗0 = (0,5̂i+ 0,3ĵ + 0,4k̂) mm.
Dados: v⃗ = (1,2×105î+0,8×105ĵ−0,6×105k̂) m/s; r⃗0 = (0,5̂i+0,3ĵ+0,4k̂)×10−3
m
Determine a função vetorial r⃗(t) e calcule o módulo da velocidade.
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8. [ENGENHARIA MECÂNICA]
Um ponto material em uma máquina CNC move-se com velocidade constante v⃗ =
(15̂i− 8ĵ + 12k̂) mm/s. A posição inicial é r⃗0 = (20̂i+ 30ĵ − 15k̂) mm.
Dados: v⃗ = (15̂i− 8ĵ + 12k̂)× 10−3 m/s; r⃗0 = (20̂i+ 30ĵ − 15k̂)× 10−3 m
Escreva a equação vetorial da posição e determine em que instante a
coordenada z será nula.
4. MOVIMENTOUNIFORMEMENTE VARIADOUNIDIMEN-
SIONAL
9. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
Um capacitor está sendo carregado e a corrente elétrica varia segundo i(t) = i0−kt,
onde i0 = 2,0 A e k = 0,5 A/s. Considerando que a carga elétrica é dada pela
integral da corrente, q(t) =
∫
i(t)dt.
Dados: i(t) = 2,0− 0,5t (A); q(0) = 0
Determine a função q(t) e calcule a carga acumulada em t = 3,0 s.
10. [ENGENHARIA MECÂNICA]
Um pistão em um motor parte do repouso e acelera uniformemente com a = 8,5
m/s2. Após percorrer uma distância de 12 cm, o pistão deve iniciar a desaceleração.
Dados: v0 = 0; a = 8,5 m/s2; ∆x = 0,12 m
Calcule a velocidade atingida pelo pistão e o tempo necessário para per-
correr essa distância.
11. [ENGENHARIA CIVIL]
Uma estaca está sendo cravada no solo por um martelo pneumático. A estaca parte
do repouso e é acelerada para baixo com aceleração constante de 15 m/s2. A estaca
deve penetrar 80 cm no solo.
Dados: v0 = 0; a = 15 m/s2; h = 0,80 m
Determine a velocidade final da estaca e o tempo de penetração no solo.
12. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
Em um acelerador linear, uma part́ıcula carregada inicia o movimento com veloci-
dade v0 = 1,0× 106 m/s e é acelerada uniformemente até atingir v = 5,0× 106 m/s
ao longo de uma distância de 2,4 m.
Dados: v0 = 1,0× 106 m/s; v = 5,0× 106 m/s; d = 2,4 m
Calcule a aceleração da part́ıcula e o tempo necessário para atingir a
velocidade final.
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5. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO BIDIMEN-
SIONAL
13. [ENGENHARIA MECÂNICA]
Um projétil é lançado de uma máquina de teste com velocidade inicial v⃗0 = (40̂i+
30ĵ) m/s. Considere apenas a aceleração gravitacional g⃗ = −9,8ĵ m/s2.
Dados: v⃗0 = (40̂i+ 30ĵ) m/s; g = 9,8 m/s2 (vertical para baixo)
Determine as equações horárias x(t), y(t), vx(t) e vy(t). Calcule o alcance
horizontal e a altura máxima.
14. [ENGENHARIA CIVIL]
Uma part́ıcula de material particulado é ejetada de uma chaminé industrial com
velocidade inicial horizontal de 8,0 m/s a uma altura de 45 m do solo.
Dados: v0x = 8,0 m/s; v0y = 0; h0 = 45 m; g = 9,8 m/s2
Calcule o tempo de voo, o alcance horizontal e a velocidade com que a
part́ıcula atinge o solo.
15. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
Em um tubo de raios catódicos, um elétron é acelerado por um campo elétrico
uniforme. O elétron parte do repouso e sofre aceleração a⃗ = (2,0×1013î−1,5×1013ĵ)
m/s2.
Dados: v⃗0 = 0; a⃗ = (2,0× 1013î− 1,5× 1013ĵ) m/s2; r⃗0 = 0
Escreva as equações vetoriais v⃗(t) e r⃗(t). Calcule a posição e velocidade
do elétron em t = 10−9 s.
6. MOVIMENTO COM CÁLCULO DIFERENCIAL E INTE-
GRAL
16. [ENGENHARIA MECÂNICA]
A velocidade de um êmbolo em uma máquina varia segundo v(t) = 5t2 − 3t + 2
(m/s). No instante t = 0, o êmbolo está na posição x0 = 1,5 m.
Dados: v(t) = 5t2 − 3t+ 2 m/s; x(0) = 1,5 m
Determine a função posição x(t) e a aceleração a(t). Calcule a posição em
t = 2,0 s.
17. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
A corrente elétrica em um circuito RLC varia segundo i(t) = 3e−2t cos(5t) ampères.
A carga elétrica é relacionada à corrente por q(t) =
∫ t
0
i(τ)dτ .
Dados: i(t) = 3e−2t cos(5t) A; q(0) = 0
Calcule a carga q(t) usando integração e determine di/dt no instante t = 0.
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18. [ENGENHARIA CIVIL]
A posição de uma part́ıcula em suspensão em um fluido é dada por x(t) = 2t3 −
6t2 + 5t+ 1 (metros). Analise o movimento da part́ıcula.
Dados: x(t) = 2t3 − 6t2 + 5t+ 1 m
Determine v(t) e a(t). Encontre os instantes em que a velocidade é nula
e classifique o movimento nesses pontos.
19. [ENGENHARIA MECÂNICA]
Um sistema vibratório tem posição dada por x(t) = A sin(ωt + ϕ), onde A = 0,15
m, ω = 4π rad/s e ϕ = π/3.Analise completamente este movimento harmônico
simples.
Dados: x(t) = 0,15 sin(4πt+ π/3) m
Calcule v(t), a(t), e determine a velocidade máxima, aceleração máxima
e o peŕıodo do movimento.
20. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
A aceleração de um elétron em um campo magnético variável é dada por a(t) =
a0e
−t/τ , onde a0 = 1012 m/s2 e τ = 10−6 s. O elétron parte do repouso da origem.
Dados: a(t) = 1012e−t/10−6
m/s2; v(0) = 0; x(0) = 0
Integre para encontrar v(t) e x(t). Calcule a velocidade máxima teórica
(quando t → ∞).
7. MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL COMPLEXO
21. [ENGENHARIA MECÂNICA]
Uma part́ıcula move-se no espaço com vetor posição r⃗(t) = (t2î + 2tĵ + (t3/3)k̂)
metros. Analise completamente este movimento tridimensional.
Dados: r⃗(t) = t2î+ 2tĵ + (t3/3)k̂ m
Determine v⃗(t), a⃗(t), e calcule os módulos da velocidade e aceleração em
t = 2,0 s.
22. [ENGENHARIA CIVIL]
O movimento de uma part́ıcula de poluente atmosférico é descrito por r⃗(t) =
(5 cos(t)̂i+ 5 sin(t)ĵ + 0,2tk̂) metros, representando um movimento helicoidal.
Dados: r⃗(t) = 5 cos(t)̂i+ 5 sin(t)ĵ + 0,2tk̂ m
Calcule v⃗(t), a⃗(t), e prove que |⃗a| é constante. Determine o raio da com-
ponente circular.
8. PROBLEMAS AVANÇADOS APLICADOS
23. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
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Em um ciclotron, uma part́ıcula carregada move-se em uma trajetória circular de
raio R = 0,5 m com velocidade angular ω = 2π × 106 rad/s. A part́ıcula completa
50 voltas antes de ser ejetada.
Dados: R = 0,5 m; ω = 2π × 106 rad/s; n = 50 voltas
Calcule a velocidade linear, a aceleração centŕıpeta, o tempo total e a
distância percorrida.
24. [ENGENHARIA MECÂNICA]
Uma peça em uma linha de montagem move-se sobre uma esteira curva. A veloci-
dade tangencial varia segundo v(t) = v0(1 − e−t/τ ), onde v0 = 2,0 m/s e τ = 3,0 s.
A peça parte do repouso.
Dados: v(t) = 2,0(1− e−t/3.0) m/s; s(0) = 0
Determine s(t) por integração e calcule a distância percorrida em t = 9,0
s.
25. [ENGENHARIA CIVIL]
Durante um terremoto, um edif́ıcio vibra horizontalmente segundo x(t) = A0e
−βt cos(ωt),
onde A0 = 15 cm, β = 0,2 s−1 e ω = 5 rad/s. Analise este movimento amortecido.
Dados: x(t) = 0,15e−0.2t cos(5t) m
Calcule v(t), a(t), e determine quando a amplitude será reduzida à metade
do valor inicial.
26. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
Um feixe de elétrons em um monitor CRT é defletido por um campo elétrico. A
trajetória é descrita por x(t) = v0t e y(t) = 1
2
at2, onde v0 = 107 m/s e a = 1014
m/s2.
Dados: x(t) = 107t m; y(t) = 0,5× 1014t2 m
Elimine o parâmetro tempo para obter y(x). Calcule a velocidade resul-
tante em t = 10−8 s.
9. INTEGRAÇÃO E APLICAÇÕES ESPECIAIS
27. [ENGENHARIA MECÂNICA]
A aceleração de uma máquina durante a partida varia segundo a(t) = A(1− t/T )2,
onde A = 8,0 m/s2 e T = 10 s. A máquina parte do repouso.
Dados: a(t) = 8,0(1− t/10)2 m/s2; v(0) = 0; x(0) = 0
Integre duas vezes para encontrar v(t) e x(t). Calcule a velocidade final
em t = T .
28. [ENGENHARIA CIVIL]
O deslocamento de uma estrutura sob carga dinâmica é dado pela integral
∫ t
0
v0 sin(ωτ)dτ ,
onde v0 = 0,5 m/s e ω = 2π rad/s.
Dados: x(t) =
∫ t
0
0,5 sin(2πτ)dτ ; x(0) = 0
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Resolva a integral para encontrar x(t) e determine a amplitude máxima
de deslocamento.
29. [ENGENHARIA ELÉTRICA]
A densidade de corrente em um condutor varia espacialmente segundo J(x) =
J0e
−x/λ, onde J0 = 106 A/m2 e λ = 2,0 cm. A corrente total é I =
∫∞
0
J(x)Adx,
com A = 1,0 mm2.
Dados: J(x) = 106e−x/0.02 A/m2; A = 10−6 m2
Calcule a corrente total I e determine x1 tal que 90% da corrente flua
entre x = 0 e x = x1.
30. [ENGENHARIA MECÂNICA]
Uma part́ıcula move-se em uma trajetória tal que sua aceleração é sempre direcio-
nada para a origem e tem módulo proporcional à distância: a⃗ = −kr⃗, onde k = 4,0
s−2. No instante t = 0, r⃗0 = (3,0̂i+ 0ĵ) m e v⃗0 = (0̂i+ 6,0ĵ) m/s.
Dados: a⃗ = −4,0r⃗ m/s2; r⃗0 = 3,0̂i m; v⃗0 = 6,0ĵ m/s
Reconheça este como movimento harmônico bidimensional e escreva as
soluções x(t) e y(t) usando ω =
√
k.
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