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TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS 
NATURAIS (ℕ) 
 
A ideia de número natural surgiu da necessidade 
de contar objetos. Tal fato deu origem, inicialmente, 
aos números 1, 2, 3, 4, 5, ...e, posteriormente, ao 
número zero. 
Portanto, chamamos conjunto dos números 
naturais o conjunto 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
O conjunto dos números naturais não-nulos é 
representado por IN*. Logo 
 
ℕ * = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
POTENCIAÇÃO EM ℕ 
 
Sendo an, n Î IN, definimos a potenciação em 
IN da seguinte maneira: 
 
I. a0 = 1, a ¹ 0 
II. a1 = a 
III. , n ³ 2 
 
Se an = b, o número a é denominado base, o 
número n é o expoente e o resultado b é a potência. 
Não se define 00. 
 
Exemplos: 
- 53 = 5. 5. 5 =125 
- 271 = 27 
- 160 = 1 
- 27 = 2 . 2. 2. 2. 2. 2. 2 =128 
 
A potenciação possui algumas propriedades 
importantes, que apresentamos a seguir. 
 
1. 𝑎! ⋅ 𝑎" = 𝑎!#" 
 
2. $
!
$"
= 𝑎!%", com a ¹ 0 
 
3. (𝑎#)$ = 𝑎#⋅$ 
	
4. (𝑎 ⋅ 𝑏)" = 𝑎" ⋅ 𝑏" 
 
5. &
&
'
'
$
= &
!
'!
, b ¹ 0 
Ex.: 
 
Simplifique a expressão 
 
 
 
 
 
DIVISÃO COM RESTO ( DIVISÃO EUCLIDIANA ) 
Definida em IN, a divisão com resto, então sejam 
a Î IN e b Î IN com b ¹ 0. Dividir a por b é 
encontrar dois números q Î IN e r Î IN tais que: 
 
 
Observe que o resto “r” deve ser menor que o 
divisor “b”. 
 
Exemplo: 
§ Na divisão de 34 (dividendo) por 5 (divisor), 
o quociente é 6 e o resto é 4. 
 
 porque 6 . 5 + 4 = 34 e 4 < 5. 
 
 Se na divisão de a por b ¹ 0 encontramos r = 0, 
concluímos que a = b . q, que temos uma divisão 
exata e ainda, que a é divisível por b. 
 Dizemos, então, que a divisão de a por b é exata 
ou, podemos afirmar ainda, neste caso, que a é 
múltiplo de b e que b é divisor de a. 
 
 O maior resto possível de uma divisão exata 
será sempre o Divisor menos uma unidade. 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 São critérios que nos permite verificar se um 
número é divisível por outro sem precisarmos efetuar 
grandes divisões. 
 
Por 2: Se termina em número par. 
 

fatores n
n a...aaaa ××××=
( ) =
××
=
×
××××
=
×
×××
46
8224
423
824
42
8024
32
2323
32
21323
38
2563
.
.)(
24
46
610
32
32
32
×=
×
=
.
a de divisor é b
b de múltiplo é a
qba Þ×=
10 
 
Por 3: Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3. 
 
Por 4: Se seus dois últimos algarismos é 00 ou é 
um múltiplo de 4. 
 
Por 5: Se termina em 0 ou em 5. 
 
Por 6: Se é divisível por 2 e por 3. 
 
Por 7: Separa-se o algarismo das unidades do 
restante, então a diferença entre esse número e o 
dobro do algarismo das unidades, tem que ser 
divisível por 7. 
 
Por 8: Se seus três últimos algarismos é 000 ou 
formar um número divisível por 8. 
 
Por 9: Se a soma dos algarismos resultar em um 
número divisível por 9. 
 
Por 10: Se terminar em 0. 
 
Por 11: A diferença entre as somas dos algarismos 
de ordem ímpar e de ordem par resulta em um no 
divisível por 11 os números iguais. 
 
 
 
Por 12: Um número será divisível por 12 quando 
for, ao mesmo tempo, divisível por 3 e por 4. 
 
Por 15: Um número será divisível por 15 quando 
for, ao mesmo tempo, divisível por 3 e por 5. 
 
 
 
 
 
 
DIVISORES NATURAIS DE UM NÚMERO 
NATURAL 
 
 Dado um número a Î IN, convencionaremos 
representar por D(a) o conjunto dos divisores de a. 
 Para determinar todos os divisores de um número 
natural não nulo é uma tarefa às vezes um pouco 
complexa, principalmente para números maiores. 
Iremos ver alguns processos de determinação mais 
adiante. 
 Vejamos alguns exemplos simples em que basta 
efetuar divisões elementares: 
 
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
D(14) = {1, 2, 7 , 14) 
D(17) = {1, 17} 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
 Sendo n Î IN tal que n ¹ 0 e n ¹ 1, dizemos que 
n é um número: 
 
a) Primo se possui apenas os dois divisores 
triviais naturais distintos (1 e n); 
Pode-se afirmar que, se n é um número primo, ele 
possui apenas 4 divisores inteiros distintos ( 1, – 
1, n, – n ) 
 
Exs.: 
• 2 tem apenas os divisores naturais 1 e 2, 
portanto 2 é primo. 
• 23 tem apenas os divisores naturais 1 e 23, 
portanto 23 é primo. 
 
b) Composto se, além dos divisores triviais (1 
e n), possui pelo menos um divisor próprio. 
Todo número composto pode ser decomposto 
em um produto de números primos. 
 
Ex.: 12 = 2 . 2 . 3 
Atenção!!!! 
1 não é um número primo, porque ele tem apenas 
um divisor. 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA 
 
 Todo número composto é igual a um produto de 
números primos. 
 Quando escrevemos um número composto como 
um produto de números primos, nós dizemos que o 
número dado foi decomposto em seus fatores primos 
ou, ainda, que o número foi fatorado. 
 
Exemplo: Faça a decomposição em fatores primos 
dos números 72 e 140. 
 
Regra: Coloque à direita do traço vertical o menor 
número primo que divide o número dado. Continue 
procedendo do mesmo modo com os quocientes 
obtidos, até encontrar o quociente 1. 
11 
 
 
 
DETERMINANDO OS DIVISORES NATURAIS DE 
UM NÚMERO NATURAL 
 
 Na prática determinamos todos os divisores de 
um número utilizando os seus fatores primos. 
 Vamos determinar, por exemplo, os divisores 
de 72: 
1º Fatoramos o número 72. 
 
2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, 
porque ele é divisor de qualquer número. 
 
3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo 
pelos divisores já obtidos e escrevemos esses 
produtos ao lado de cada fator 
primo(desconsiderando os valores repetidos). 
 
4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 
Então o conjunto dos divisores de 72 é 
 
 
D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} 
CONTANDO DE DIVISORES NATURAIS DE UM 
NÚMERO NATURAL 
 
 Será que é possível descobrir quantos divisores 
tem um número sem determinar antes quais são 
eles? 
Isso é possível e é outra interessante aplicação da 
fatoração. 
 
Ex.: 
 Vamos descobrir quantos são os divisores 
POSITIVOS de 72 (já sabemos, contando, que são 
12). O processo, cuja demonstração utiliza noções 
elementares de cálculo combinatório, é o seguinte: 
 
1°) Fatoramos o número: 
 
2°) Tomamos apenas os expoentes da fatoração: 
 
 
3°) Adicionamos 1 (um) a cada expoente: 
 
4°) Multiplicamos os resultados obtidos: 
 
 
Conclusão: o número 72 possui 12 divisores 
(positivos ou naturais), conforme já havíamos 
descoberto por mera contagem. 
Obs.: O número 72 possui 24 divisores INTEIROS. 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
 Analise a seguinte situação: deseja-se dividir 3 
toras de madeira, que medem respectivamente 
12m, 18m e 24m, em partes iguais e com maior 
tamanho possível. Qual comprimento deve possuir 
cada uma das partes? 
12 
 
 
Para responder a esta pergunta, devem-se 
encontrar os divisores de 12, 18 e 24? 
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
D(18) = {1, 2, 3, 6, 18} 
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
D(12) ∩ M(18) ∩ M(24) = {6} 
Observe que 6 é o maior divisor comum entre 12, 
18 e 24. Logo, cada tora deve possuir 
comprimento igual a 6 m para que todas fiquem no 
maior tamanho possível. 
 O máximo divisor comum entre dois ou mais 
números naturais não nulos (números diferentes de 
zero) é o maior número que é divisor ao mesmo 
tempo de todos eles. 
 
PROCESSO PRÁTICO PARA DETERMINAR O 
MDC 
 
Regra da decomposição simultânea 
 
 Escrevemos os números dados, separamos uns 
dos outros por vírgulas, e colocamos um traço 
vertical ao lado do último. 
 No outro lado do traço colocamos o menor dos 
fatores primos que for divisor de todos os números 
de uma só vês. 
 O mdc será a multiplicação dos fatores primos que 
serão usados. 
 
Ex.: 
 
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 
 
 Dois números naturais a e b são ditos primos 
entre si ou relativamente primos, se e somente se, o 
MDC(a, b) = 1. 
 
Ex.: Verifique se 4 e 15 são primos entre si. 
 
 D(4) = {1, 2, 4) e D(15) = {1, 3, 5, 15} 
 Como o único divisor comum de 4 e15 é 1 então 
4 e 15 são primos entre si. 
 É claro que, sendo a e b primos entre si, MDC (a, 
b) = 1, já que 1 é o único divisor comum. 
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO 
 
 Dado um número aÎ IN, convencionaremos 
representar por M (a) o conjunto dos múltiplos de a e 
por D (a) o conjunto dos divisores de a. 
 Na prática, para obter os múltiplos de um número 
a ¹ 0, basta multiplicar cada número natural não nulo 
por a. Assim, sendo n uma variável natural não nula, 
podemos escrever, por exemplo: 
 
M(5) = {x Î IN / x = 5n} = {5.0, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, ...)= 
{ 0, 5, 10, 15, 20, ...} 
 
M(7) = {x Î IN / x = 7n} = {7.0, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, ...} 
= 
{0, 7, 14, 21, 28, ...} 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
 O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais 
números naturais não nulos(números diferente de 
zero), é o menor número que é múltiplo de todos eles. 
 Analise a seguinte situação: 
 Três navios fazem o mesmo percurso entre dois 
portos: o primeiro de 8 em 8 dias. O segundo de 12 
em 12 dias e o terceiro de 16 em 16 dias. 
 
Tendo saído juntos em certo dia do mês, após 
quantos dias sairão juntos novamente? 
 
 Para responder a essa pergunta, devem-se 
encontrar os múltiplos de 8, 12 e 16. 
 
M(8) = {0, 8,16, 24, 32, 40,48, ....} 
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} 
M(16) = {0, 16, 32, 48, 64, 80, .... } 
M(8) ∩ M(12) ∩ M(16) = {48} 
 
Logo, após 48 dias esses navios sairão juntos 
novamente. 
 
REGRA DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA 
 
 Devemos saber que existe outras formas de 
calcular o mmc, mas vamos nos ater apenas a 
decomposição simultânea. 
 
OBS: Esta regra difere da usada para o MDC, fique 
atento as diferenças. 
 
Ex.: 
 
MMC (8,12,16) = 48 
 
1º: Escrevemos os números dados, separados por 
vírgulas, e colocamos um traço vertical a direita dos 
números dados. 
 
2º: Abaixo de cada número divisível pelo fator primo 
13 
 
colocamos o resultado da divisão. Os números não 
divisíveis pelo fator primo são repetidos. 
 
3º: Continuamos a divisão até obtermos resto 1 para 
todos os números. 
 
 
CALCULANDO MDC E MMC PELA FATORAÇÃO 
 
 O cálculo do MDC e do MMC de dois ou mais 
números torna-se extremamente simples quando 
eles se apresentam na forma fatorada, ou seja, 
decompostos em fatores primos. 
 
Basta usar a seguinte regra geral: 
 
MDC - tomam-se apenas os fatores comuns com os 
menores expoentes. 
 
MMC - tomam-se tanto os fatores comuns como os 
não comuns com os maiores expoentes. 
 
Exs.: 
 
Calcular o MDC e o MMC de 1200, 480 e 2520 
 
1°) Fatoramos os três números. 
 
1200 = 24 . 3 . 52 
480 = 25 . 3 . 5 
2520 = 23 . 32 . 5 . 7 
 
2°) Calculando o MDC 
 
Fatores comuns: 2, 3, 5 com os menores expoentes: 
23. 3 . 5 = 120 
 
3°) Calculando o MMC 
 
Fatores comuns e não comuns: 2, 3, 5, 7 com os 
maiores expoentes: 25 . 32 . 52 . 7 = 50400 
 
Logo, MDC (1200, 480, 2520) = 120 e 
MMC (1200, 480, 2520) = 50400 
 
RELAÇÃO ENTRE MMC E MDC 
 
MMC(a, b) x MDC(a, b) = a x b 
 
Ex.: 
 
MDC (12, 20) = 4 e MMC (12, 20) = 60 observe 
que, de fato, 4 x 60 = 12 x 20 = 240. 
EXERCÍCIOS 
 
01. (CESGRANRIO) Se a2 = 996, b3 = 
997 e c4 = 998, então (abc)12 vale: 
 
 
 
A) 9912 
B) 9921/2 
C) 9928 
D) 9988 
E) 9999 
 
02 . ( PUC – MG ) Na divisão do 
número natural P pelo número 
natural m o quociente é 13 e o 
resto, 5. O menor valor de P é : 
 
a) 44 
b) 57 
c) 83 
d) 13 
 
03. (Enem 2021) Um lava-rápido 
oferece dois tipos de lavagem de 
veículos: lavagem simples, ao preço 
de R$ 20,00, e lavagem completa, ao 
preço de R$ 35,00. Para cobrir as 
despesas com produtos e funcionários, e não ter 
prejuízos, o lava-rápido deve ter uma receita diária 
de, pelo menos, R$ 300,00. 
 
Para não ter prejuízo, o menor número de lavagens 
diárias que o lava-rápido deve efetuar é 
a) 6. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 15. 
e) 20. 
 
04. (ENEM) O ciclo de atividade 
magnética do Sol tem um período de 
11 anos. O início do primeiro ciclo 
registrado se deu no começo de 1755 
e se estendeu até o final de 1765. 
Desde então, todos os ciclos de atividade magnética 
do Sol têm sido registrados. 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 
fev. 2013. 
 
No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade 
magnética de número 
 
a) 32. b) 34. c) 33. d) 35. e) 31. 
 
 05. (Enem 2021) O sistema de 
numeração romano ainda é utilizado 
na indicação de capítulos e volumes 
de livros, na designação de séculos 
e, em ordem cronológica, de papas e 
reis de mesmo nome. São utilizadas sete letras do 
alfabeto: 
 
14 
 
Quatro fundamentais: I (vale 1); X (vale 10); C (vale 
100) e M (vale 1 000). 
Três secundárias: V (vale 5); L (vale 50) e D (vale 
500). 
 
As regras para escrever números romanos são: 
 
1. Não existe símbolo correspondente ao zero; 
2. Os símbolos fundamentais podem ser repetidos 
até três vezes e seus valores são adicionados. 
Exemplo: XXX = 30; 
3. Uma letra posta à esquerda de outra de maior 
valor indica subtração dos respectivos valores. 
Exemplo: IX = 10 – 1 = 9; 
4. Uma letra posta à direita de outra de maior valor 
indica adição dos respectivos valores. Exemplo: 
XI = 10 + 1 = 11. 
 
Em uma cidade europeia há uma placa indicando o 
ano de sua fundação: MCDLXIX. 
 
Quantos anos de fundação essa cidade 
comemorará em 2050? 
a) 379 
b) 381 
c) 579 
d) 581 
e) 601 
06. ( ETF – RJ ) Qual o menor 
número que se deve subtrair de 
21.316 para se obter um número 
que seja divisível por 5 e por 9 ? 
 
a) 31 
b) 1 
c) 30 
d) 42 
e) 41 
 
 07. (Enem 2021) Uma das bases 
mais utilizadas para representar um 
número é a base decimal. Entretanto, 
os computadores trabalham com 
números na base binária. Nessa 
base, qualquer número natural é representado 
usando apenas os algarismo 0 e 1. Por exemplo, as 
representações dos números 9 e 12, na base 
binária, são 1001 e 1100, respectivamente. A 
operação de adição, na base binária, segue um 
algoritmo similar ao utilizado na base decimal, como 
detalhado no quadro: 
 
a b a + b 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 10 
 
Por exemplo, na base binária, a soma dos números 
10 e 10 é 100, como apresentado: 
 
 
 
Considerando as informações do texto, o resultado 
da adição 9 + 12 será representado, na base 
binária, por 
a) 101. 
b) 1101. 
c) 1111. 
d) 10101. 
e) 11001. 
 
08.(FIP) Suponha que uma pessoa 
esteja percorrendo uma pista em 
forma do polígono ABCDEFGHI da 
figura abaixo. Saindo do ponto A, no 
sentido horário, ao caminhar, ela irá 
contando quantos lados já percorreu. Em qual dos 
vértices (A, B, C, ...) ela estará quando disser 
555.555.555.555.555? 
 
 
09.(Enem) Um edifício tem a 
numeração dos andares iniciando no 
térreo (𝑇), e continuando com 
primeiro, segundo, terceiro, …, até o 
último andar. Uma criança entrou no 
elevador e, tocando no painel, seguiu uma 
sequência de andares, parando, abrindo e fechando 
a porta em diversos andares. A partir de onde 
entrou a criança, o elevador subiu sete andares, em 
seguida desceu dez, desceu mais treze, subiu nove, 
desceu quatro e parou no quinto andar, finalizando 
a sequência. Considere que, no trajeto seguido pela 
criança, o elevador parou uma vez no último andar 
do edifício. 
 
De acordo com as informações dadas, o último 
andar do edifício é o 
 
a) 16º b) 22º c) 23º d) 25º e) 32º 
 
10. (Enem) Um arquiteto está 
reformando uma casa. De modo a 
contribuir com o meio ambiente, 
decide reaproveitar tábuas de 
madeira retiradas da casa. Ele dispõe 
10
10
100
+
15 
 
de tábuas de de e de 
 todas de mesma largura e espessura. Ele 
pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em 
pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, 
e de modo que as novas peças ficassem com o maior 
tamanho possível, mas de comprimento menor que 
 
 
Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro 
deverá produzir 
 
a) peças. 
b) peças. 
c) peças. 
d) peças. 
e) peças.11. ( Fuvest) O número de divisores 
positivos de 360 é : 
a) 18 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
e) 30 
 
12. (Enem) Uma carga de 
contêineres, idênticos ao modelo 
apresentado na Figura 1, devera ser 
descarregada no porto de uma 
cidade. Para isso, uma área 
retangular de por foi cedida para o 
empilhamento desses contêineres (Figura 2). 
 
 
 
 
De acordo com as normas desse porto, os 
contêineres deverão ser empilhados de forma a não 
sobrarem espaços nem ultrapassarem a área 
delimitada. Após o empilhamento total da carga e 
atendendo a norma do porto, a altura mínima a ser 
atingida por essa pilha de contêineres é 
 
a) b) c) 
d) e) 
 
13. (ENEM) Durante a Segunda 
Guerra Mundial, para decifrarem as 
mensagens secretas, foi utilizada a 
técnica de decomposição em fatores 
primos. Um número é dado pela 
expressão na qual e são 
números inteiros não negativos. Sabe-se que é 
múltiplo de e não é múltiplo de 
 
O número de divisores de diferentes de é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
14. (UFMG) A soma de todos os 
divisores do número 105 é: 
 
a) 15 b) 16 c) 120 
d) 121 e) 192 
 
 
 
15. (Enem) Em um aeroporto, os 
passageiros devem submeter suas 
bagagens a uma das cinco máquinas 
de raio-X disponíveis ao adentrarem 
a sala de embarque. Num dado 
instante, o tempo gasto por essas máquinas para 
escanear a bagagem de cada passageiro e o 
número de pessoas presentes em cada fila estão 
apresentados em um painel, como mostrado na 
figura. 
 
 
 
Um passageiro, ao chegar à sala de embarque 
desse aeroporto no instante indicado, visando 
esperar o menor tempo possível, deverá se dirigir à 
máquina 
 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 
 
 
16. (UFMG) Sabe-se que o número 
213 – 1 é primo. Seja n = 217 – 16. No 
conjunto dos números naturais, o 
número de divisores de n é 
 
a) 5 
40 540 cm, 30 810 cm 10
1.080 cm,
2m.
105
120
210
243
420
100
10 m 32m
12,5 m. 17,5 m. 25,0 m.
22,5 m. 32,5 m.
N
x y z2 5 7 ,× × x, y z
N
10 7.
N, N,
x y z× ×
(x 1) (y 1)+ × +
x y z 1× × -
(x 1) (y 1) z+ × + ×
(x 1) (y 1) (z 1) 1+ × + × + -
16 
 
b) 8 
c) 6 
d) 10 
 
17. ( UFMG ) Sabe-se que os meses 
de janeiro, março, maio, julho, agosto, 
outubro e dezembro têm 31 dias. O 
dia 31 de março de um certo ano 
ocorreu numa quarta-feira. Então, 15 
de outubro do mesmo ano foi: 
a) quinta-feira 
b) terça-feira 
c) quarta-feira 
d) sexta-feira 
 
18. (Enem PPL 2020) Embora a 
civilização maia já estivesse em 
declínio na época da chegada dos 
espanhóis à América, seu 
desenvolvimento em vários campos 
da ciência, em especial, na matemática e na 
astronomia, era notável. Eles possuíam um sistema 
numérico avançado e diferente do sistema decimal 
utilizado pelas sociedades modernas. 
A imagem representa o sistema de numeração 
maia, que consistia em 20 símbolos representando 
os números de 0 a 19. 
 
 
 
O zero era representado por uma espécie de tigela 
e todo número inteiro entre 19 e 360 era escrito em 
uma coluna vertical com duas figuras, na qual a 
superior representava a quantidade de grupos de 20 
unidades e a inferior, a quantidade de unidades. O 
número era lido de cima para baixo e obtido 
somando-se as quantidades representadas. Por 
exemplo: 
 
 
 
O número 359 é representado, no sistema de 
numeração maia, como 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
19. ( PUC / MG) Uma praça 
retangular, de 110 m de 
comprimento por 66 m de largura é 
contornada por fileiras de palmeiras 
igualmente espaçadas. A distância 
entre uma palmeira e a seguinte é a mesma e a maior 
possível. Se em cada vértice da praça existe uma 
palmeira, o número total de palmeiras contornando a 
praça é : 
a) 16 
b) 18 
c) 22 
d) 24 
 
20. ( FEI ) Em uma sala retangular de 
piso plano nas dimensões 8,80 m por 
7,60 m deseja-se colocar ladrilhos 
quadrados iguais, sem necessidade 
de recortar nenhuma peça. A medida 
máxima do lado de cada ladrilho é: 
 
a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm 
110 
66 
17 
 
d) 40 cm e) 50 cm 
 
21. (EEAer) Três rolos de arame 
farpado têm, respectivamente, 168 m, 
264 m e 312 m. Deseja-se cortá-los 
em partes de mesmo comprimento, de 
forma que, cada parte, seja a maior 
possível. Qual o número de partes obtidas e o 
comprimento, em metros de cada parte? 
 
a) 21 e 14 b) 23 e 16 
c) 25 e 18 d) 31 e 24 
 
22. (UFU) Os irmãos José e Maria 
visitam regularmente seu avô Pedro. 
José visita-o a cada 8 dias e Maria a 
cada 6 dias, ambos, rigorosamente, 
sem nunca falharem. Se José e Maria 
visitaram simultaneamente o avô no primeiro dia do 
ano de 2004, quantas vezes mais eles fizeram a visita 
simultânea até o dia 31 de dezembro de 2006? 
Obs.: Considere cada ano com 365 dias. 
 
A) 48 
B) 44 
C) 46 
D) 45 
 
23. ( CFTPR ) Três vendedores 
encontraram-se num certo dia na 
cidade de Medianeira - PR e jantaram 
juntos. O primeiro vendedor visita esta 
cidade a cada 6 dias, o segundo a 
cada 8 dias e o terceiro a cada 5 dias. Estes três 
vendedores marcaram de jantar juntos novamente no 
próximo encontro. Este, deverá acontecer após: 
 
a) 480 dias. b) 120 dias. c) 48 dias. 
d) 80 dias. e) 60 dias. 
 
24. ( UEL – PR ) Em 1982 ocorreu 
uma conjunção entre os planetas 
Júpiter e Saturno, o que significa que 
podiam ser vistos bem próximos um 
do outro quando avistados da Terra. 
Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor 
do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, 
respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos 
estiveram em conjunção no céu da Terra? 
 
a) 1840 b) 1852 c) 1864 
d) 1922 e) 1960 
 
25. ( UERJ ) Dois sinais luminosos 
fecham juntos num determinado 
instante. Um deles permanece 10 
segundos fechado e 40 segundos 
aberto, enquanto o outro permanece 
10 segundos fechado e 30 segundos aberto. 
O número mínimo de segundos necessários, a partir 
daquele instante, para que os dois sinais voltem a 
fechar juntos outra vez é de: 
 
a) 150 b) 160 c) 190 d) 200 
 
26. (UFMG) No sítio de Paulo, a 
colheita de laranjas ficou entre 500 e 
1500 unidades. Se essas laranjas 
fossem colocadas em sacos com 50 
unidades cada um, sobrariam 12 
laranjas e, se fossem colocadas em sacos com 36 
unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. 
Assim sendo, quantas laranjas sobrariam se elas 
fossem colocadas em sacos com 35 unidades cada 
um? 
 
A) 4 
B) 6 
C) 7 
D) 2 
 
27. (UFTM) Márcia fabrica trufas de 
chocolate, que são vendidas em 
embalagens com 5, 8 ou 12 unidades. 
Renata, uma de suas vendedoras, 
possui em seu estoque 793 trufas, 
que serão todas vendidas em embalagens do mesmo 
tipo. Porém, ela ainda não decidiu qual das três 
embalagens irá utilizar. Nessas condições, a menor 
quantidade de trufas que Márcia deverá acrescentar 
ao estoque de Renata de modo que, 
independentemente do tipo de embalagem utilizada, 
não sobre nenhuma trufa no estoque depois da 
confecção das embalagens, é igual a 
 
a) 7. 
b) 11. 
c) 23. 
d) 39. 
e) 47. 
 
 
28.(UECE) Dois relógios tocam uma 
música periodicamente, um deles a 
cada 60 segundos e o outro a cada 
62 segundos. Se ambos tocaram, 
juntos, às 10 horas, que horas estarão marcando os 
relógios quando voltarem a tocar juntos, pela primeira 
vez após as 10 horas ? 
a) 10 horas e 31 minutos 
b) 11 horas e 02 minutos 
c) 13 horas e 30 minutos 
d) 17 horas 
 
29.(Enem) A gripe é uma infecção 
respiratória aguda de curta duração 
causada pelo vírus influenza. Ao 
entrar no nosso organismo pelo nariz, 
esse vírus multiplica-se, 
disseminando-se para a garganta e demais partes 
das vias respiratórias, incluindo os pulmões. 
O vírus influenza é uma partícula esférica que tem 
um diâmetro interno de 0,00011 𝑚𝑚. 
Disponível em: www.gripenet.pt. Acesso em: 2 nov. 
2013 (adaptado). 
 
18 
 
 
Em notação científica, o diâmetro interno do vírus 
influenza, em 𝑚𝑚, é 
a) 1,1 × 10() 
b) 1,1 × 10(* 
c) 1,1 × 10(+ 
d) 1,1 × 10(, 
e) 1,1 × 10(- 
 
30. (Enem 2020) “1, 2, 3, GOL, 5, 6, 
7, GOL,9, 10, 11, GOL, 13, GOL, 15, 
GOL, 17, 18, 19, GOL, 21, 22, 
23,GOL, 25, ...” 
Para a Copa do Mundo de Futebol de 
2014, um bar onde se reuniam amigos para assistir 
aos jogos criou uma brincadeira. Um dos presentes 
era escolhido e tinha que dizer, numa sequência em 
ordem crescente, os números naturais não nulos, 
trocando os múltiplos de 4 e os números terminados 
em 4 pela palavra GOL. A brincadeira acabava 
quando o participante errava um termo da sequência. 
Um dos participantes conseguiu falar até o número 
103, respeitando as regras da brincadeira. 
 
O total de vezes em que esse participante disse a 
palavra GOL foi 
 
a) 20. 
b) 28. 
c) 30. 
d) 35. 
e) 40. 
 
31. (Enem) A Agência Espacial Norte 
Americana (NASA) informou que o 
asteroide YU 55 cruzou o espaço 
entre a Terra e a Lua no mês de 
novembro de 2011. A ilustração a 
seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória 
no mesmo plano que contém a órbita descrita pela 
Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a 
proximidade do asteroide em relação à Terra, ou 
seja, a menor distância que ele passou da superfície 
terrestre. 
 
 
 
Com base nessas informações, a menor distância 
que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra 
é igual a 
a) 3,25 × 102 km. b) 3,25 × 103 km. 
c) 3,25 × 104 km. d) 3,25 × 105 km. 
e) 3,25 × 106 km. 
 
32.(ENEM) Para o reflorestamento de 
uma área, deve-se cercar totalmente, 
com tela, os lados de um terreno, 
exceto o lado margeado pelo rio, 
conforme a figura. Cada rolo de tela 
que será comprado para confecção da cerca contém 
48 metros de comprimento. 
 
 
 
A quantidade mínima de rolos que deve ser 
comprada para cercar esse terreno é 
 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 11. 
e) 12. 
 
 
 
33.(UPE) Se dividirmos 2018 por 
todos os números naturais de 1 a 
1000, qual o maior resto obtido ? 
 
 
a) 336 
b) 672 
c) 1009 
d) 1018 
e) 2017 
 
 
 
GABARITO 
 
1) D 2) C 3) C 4) A 5) D 6) A 7) D 
8) A 9) C 10) E 11) C 12) A 13) E 14) E 
15) B 16) D 17) D 18) A 19) A 20) D 21) D 
22) D 23) B 24) D 25) D 26) D 27) E 28) A 
29) D 30) C 31) D 32) C 33) B 
 
 
 
19 
 
4
3
520
515
20
15
=
÷
÷
=
O CONJUNTO DOS NÚMEROS 
INTEIROS (ℤ) 
 
O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0, +1,+2,+3....}. 
 
Observe que este conjunto é formado por 
números negativos, zero e números positivos. Vale 
lembrar que zero é um número nulo ou neutro, não é 
negativo e nem positivo. 
No seu dia a dia você já dever ter deparado 
com números inteiros; quando temos um crédito 
temos um número positivo, um débito é um número 
negativo, temperaturas acima de zero são positivas, 
abaixo de zero são negativas, se você prestar 
atenção ao seu redor vai encontrar muitos números 
negativo e positivos. 
 
Como subconjuntos de Z, destacamos: 
 
a. o conjunto dos inteiros não negativos 
 
𝕫# = {0, + 1, +2, +3, +4, ...} = IN 
 
b. o conjunto dos inteiros positivos 
 
𝕫#∗ = {+1, +2, +3, +4, ... } = IN* 
 
c. o conjunto dos inteiros não positivos 
 
𝕫%= {0, –1 , –2, –3, –4, ...} 
 
d. o conjunto dos inteiros negativos 
 
𝕫%∗ = {–1, –2. –3, –4, ... } 
 
RETA NUMÉRICA INTEIRA 
 
 
 
 Observe que a reta tem uma seta que indica a 
ordem de crescimento dos números, eles estão 
crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que 
-6, 0 é maior que -1 e assim em diante. 
 
Lembrete: 
 
1º: Zero é maior que qualquer número negativo. 
 
2º: Menos um é o maior número negativo. 
 
3º: Zero é menor que qualquer número positivo. 
 
4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer 
número negativo. 
 
NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS 
 
 Observe na reta numérica que a distância do -3 até 
o zero é a mesma do +3 até o zero, estes números 
são chamados de opostos ou simétricos. 
 
Logo: - 3 é oposto ou simétrico do + 3. 
 
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
Exemplos: 
 
a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 
 
b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32 
 
**Importante: 
 
 (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de 
 - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4 
 
 No primeiro caso, tanto o sinal quanto o número 
estão ao quadrado e no segundo caso apenas o 
número está elevado ao quadrado. 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS 
RACIONAIS (ℚ) 
 
 O conjunto dos Números Racionais (Q) é formado 
por todos os números que podem ser escritos na 
forma &
'
 onde a (numerador) e b (denominador)∈ Z 
e 𝑏 ≠ 0 (1º Mandamento da Matemática: NÃO 
DIVIDIRÁS POR ZERO) 
 
 São racionais por exemplo: 
• ()*
+
= − )*
+
= −4 ( inteiro ) 
• )+
(,
= − )+
,
= −3,25 ( Decimal exato ) 
• (.
(+
= .
+
= 2,6666. .. ( Dízima periódica ) 
 Podemos definir, portanto, o conjunto Q dos 
números racionais da seguinte forma 
 
ℚ = *
𝒂
𝒃 /	𝒂 ∈ ℤ	𝒆	𝒃	 ∈ 	ℤ
∗1 
 
 
 
SIMPLIFICANDO FRAÇÕES 
 
Uma fração pode ser simplificada dividindo-
se numerador e denominador pelo seu máximo 
divisor comum 
 
Exemplos: 
 
 (MDC (15, 20) = 5) 
 
 Dizemos que a fração +
,
 é irredutível, pois o único 
divisor comum do numerador e do denominador é 1. 
 
 
 
 
20 
 
1
ab
ab
a
b
b
a
==×
7
13
7
131
13
7
1
=×=
OPERAÇÕES EM Q 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
Adição e Subtração 
 
Reduzem-se as frações ao mesmo 
denominador. Para isso devemos encontrar o mmc 
dos denominadores, criarmos uma mesma 
sequência de fração com o novo denominador e 
numerador igual ao resultado da divisão do novo 
denominador pelo velho multiplicado pelo numerador 
velho. 
 
Exemplo *
+
+ +
,
= 
 
O mmc(3,4) = 12 então 
)*
+
)*
= 
 
Dividindo-se 12 por 3 e multiplicando-se por 2, depois 
dividindo-se 12 por 4 e multiplicando-se por 3, então 
teremos: 
 
8
12 +
9
12 =
17
12 
 
Inverso De Um Número Racional 
Chama–se inverso de um número racional &
'
 ≠ 0 o 
número racional '
&
 ≠ 0 , obtido do primeiro invertendo-
se numerador e denominador. 
 
Exemplos: 
§ O inverso de +
-
 é -
+
. 
 
§ O inverso de − .
/
 é − /
.
. 
Observe que: 
 
a) Não se define o inverso de 0 (zero): 
b) O produto de um racional pelo seu inverso e 
igual a 1. 
 
 De fato: 
 
 
**O inverso de um número racional a pode ser 
indicado por )
&
 sendo a ¹ 0 ou por a –1. 
 
Exemplo: 
O inverso de /
)+
 é: 
 
Observe que: 
 
Multiplicação 
 
Multiplicam-se os numeradores e os denominadores 
obtendo-se assim o resultado. 
3
5 .
2
7 =
6
35 
Divisão 
 
 Deve-se multiplicar a primeira pelo inverso da 
segunda 
3
5 :
2
7 =
3
5 .
7
2 =
21
10 
 
Potenciação de frações 
 
Para se elevar uma fração a um expoente natural, 
elevam-se numerador e denominador a esse 
expoente. 
 
Exemplos: 
• &+
-
'
*
= +
"
-"
= 0
*-
 
 
 
• 2− '
(
4
(
= (%')
1
(1
= %+
',
 
 
Potenciação De Frações – Expoente Inteiro 
Negativo 
 
 Sendo &
'
 ≠ 0 um número racional, definimos a 
potenciação com expoente inteiro negativo da 
seguinte forma: 
 
&&
'
'
($
= &'
&
'
$
 , com n Î IN 
 
 Observe que basta tomar o inverso da base e 
elevar ao expoente natural simétrico. 
 
Exemplos: 
 
 
 0 – 5 não se define. Pois não existe o inverso de 0. 
 
A partir desta definição, o inverso de um número 
racional x ¹ 0 pode ser indicado por )
2
 ou x –1. 
 
OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS DECIMAIS 
 
As operações elementares com números 
decimais obedecem a regras simples, conforme 
veremos a seguir. 
 
Adição e subtração de decimais 
 
 Colocamos vírgula debaixo de vírgula e 
efetuamos a operação normalmente. 
 
Exemplos: 
§ 31,45 + 2,137 
 
 31,45 
+ 2,137 
( )
8
27
8
27
2
3
2
3
3
2
3
333
-=
-
=
-
=÷
ø
ö
ç
è
æ-=÷
ø
ö
ç
è
æ-
-
21 
 
 33,587 
 
§ 6,4 – 3,158 
 
 6,400 
+ 3,158 
 3,242 
Multiplicação de decimais 
 
 Efetuamos normalmente a multiplicação e 
separamos, no produto, um número de casas 
decimais igual à soma do número de casas decimais 
de cada um dos dois fatores. 
 
Exemplo: 
§ Vamos efetuar 2,3 . 0,138 
 
 0,138 Þ 3 casas decimais 
´2,3 Þ 1 casa decimal 
 414 
+ 276 . 
0,3174 Þ 4 casas decimais 
 
Divisão de decimais 
 
 Transformamos o divisor em inteiro, multiplicando 
dividendo e divisor por uma potência de dez 
adequada efetuamos a divisão normalmente e 
separamos, no quociente, um número de casas 
decimais igual ao número de casas decimais 
utilizadas no dividendo (incluindo os zeros que 
tenham sido acrescentados) 
 
Exemplos: 
 
§ Dividir 32,4 por 0,008 
32,4 ÷ 0,008 = 32400 ÷ 8 = 4050 
 
 
 
 
DÍZIMAS PERIÓDICAS 
 
Conforme você já estudou, todo número 
racional (Conjunto Q), resulta da divisão de dois 
números inteiros, a divisão pode resultar em um 
número inteiro ou decimal. 
 Convém lembrar que temos decimais exatos. 
 
Exemplo: 2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689 
 
 Temos também decimais não exatos (dízima 
periódica) 
 
Exemplos: 2,555555.... ; 45,252525....; 
0,123123123...; 456,12454545; 7,4689999.... 
 
 Você deve saber, que em uma dízima periódica a 
parte decimal que repete, recebe o nome de período, 
a parte que não repete é chamada de anteperíodo, 
a parte não decimal é a parte inteira. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
Dízima periódica composta 
 
Dízima periódica simples 
 
 
FRAÇÃO GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA 
 
 
Dízima periódica simples 
 
 Devemos adicionar a parte decimal à parte inteira. 
Deve-se lembrar que a parte decimal será 
transformada em uma fração cujo numerador é o 
período da dízima e o denominador é um número 
formado por tantos noves quantos sãos os 
algarismos do período. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
Dízima periódica composta 
 
 Devemos adicionar à parte inteira, uma fração 
cujo numerador é formado pelo anteperíodo, 
seguindo de um período, menos o anteperíodo, e 
cujo denominador é formado de tantos noves 
quantos são os algarismos do período seguidos de 
tantos zeros quanto são os 
Algarismos do anteperíodo. 
 
Exemplos: 
Parte inteira = 0 
Período = 7(implica que temos um nove) 
22 
 
Anteperíodo = 1 (implica em um 0) 
 
 
 
Parte inteira = 2 
Período = 5 (implica um nove) 
Anteperíodo = 003 (implica três zeros) 
 
 
 
Exercício Resolvido 
 
 
 
RADICIAÇÃO NO CONJUNTO DOS RACIONAIS 
 
 A Radiciação é o ato de extrair a raiz de um 
número, lembrando que temos raiz quadrada, raiz 
cúbica, raiz quarta, raiz quinta e etc... 
Radiciação é a operação inversa da potenciação. 
Sendo: 
 
 
Sendo a Î Q e n Î IN*, definimos a raiz enésima 
de a > √𝑎! @ da seguinte forma: 
𝑛	 → par	e	a	 > 	0				 √𝑎! = 𝑏		 ⇔ 	b$ = 𝑎		e		b	 ≥ 	0 
𝑛	 → 	ímpar												 √𝑎! = 𝑏		 ⇔ 	b$ = 𝑎 
Lembrando que: 
 Se o índice é um número maior que 1 (n > 1), se 
este for igual a dois (raiz quadrada "não escrevemos 
este valor, o local do índice fica vazio ou seja fica 
entendido que ali está o número 2"), se for igual a 3 
(raiz cúbica "este valor deve aparecer no índice"), 
etc... 
 
 
Exemplos: 
§ √9 = 3porque 32 = 9 e 3 > 0 
§ √0# = 0 
§ M.)
)3
$ = +
*
porque&+
*
'
,
= .)
)3
 e +
*
> 0 
 
 Para trabalhar com radicais, utilizamos a definição 
potência de expoente fracionário e as 
propriedades da radiciação, conformes iremos ver 
a seguir, onde supomos as raízes definidas em IR. 
 
1. (m Î Z e n Î IN*) 
2. 
3. b ¹ 0 
4. 
5. 
6. 
 
 A simplificação de um radical consiste em 
reduzir seu radicando à expressão mais simples 
possível. Um radical em que o índice e o expoente do 
radicando têm um divisor comum pode ser 
simplificado. 
Exemplo: 
§ 
 
 Se o radicando ou os fatores que o compõem 
possuem expoentes maiores que ou iguais ao índice 
do radical, ele pode também ser simplificado. 
 
Exemplo: 
§ 
 
 A redução de radicais ao mesmo índice é 
importante na multiplicação e na divisão de radicais. 
Para reduzir radicais ao mesmo índice, utilizamos a 
propriedade 6, tomando como índice comum o MMC 
dos índices dos radicais dados. 
 
Exemplos: 
 
§ Reduza ao mesmo índice os radicais 
, e 
Os índices são 2, 4 e 6, cujo MMC é 12. Temos: 
 
 
 
 
Obtemos então: , e 
n mn
m
aa =
nnn abba =×
n
n
n
b
a
b
a
=
( ) n mmn aa =
mnn m aa ×=
pn pmn m aa × ×=
33 22:6 2:46 46 422216 ====
2452.3.52.353.251625 244 ====
ab 4 2ab3 6 5ba
12 62 )ab(ab =
12 324 2 )ab(3ab3 =
( )12 256 5 baba =
12 66ba 12 63ba3 12 210ba
23 
 
OPERAÇÕES COM RADICAIS 
 
 A adição e a subtração de radicais semelhantes 
resulta sempre em um radical. Basta aplicar a 
propriedade distributiva da multiplicação em relação 
à adição. Esse procedimento é denominado redução 
de radicais semelhantes. 
Exemplos: 
 
§ 
 De maneira geral, a adição e a subtração de 
radicais se efetuam simplificando-se os radicais (se 
possível) e reduzindo-se, em seguida, os radicais 
semelhantes acaso existentes. 
 
 A multiplicação e a divisão de radicais se 
efetuam da seguinte forma: 
 
1º- Reduzem-se os radicais ao mesmo índice; 
2°- Aplicam-se as propriedades 2 e 3. 
 
Exemplos: 
§ 
§ 
 
 A potenciação de radicais é efetuada utilizando-se 
a propriedade 4 e simplificando-se, em seguida, a 
expressão obtida. 
 
Exemplo: 
 
§ 
 
 A radiciação de radicais é efetuada introduzindo-
se o coeficiente no radicando e aplicando-se, em 
seguida, a propriedade 5 . 
 
Exemplos: 
§ 
§ 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (Enem) Deseja-se comprar lentes 
para óculos. As lentes devem ter 
espessuras mais próximas possíveis 
da medida 3 𝑚𝑚. No estoque de uma 
loja, há lentes de espessuras: 
3,10 𝑚𝑚; 3,021 𝑚𝑚; 2,96 𝑚𝑚; 
2,099 𝑚𝑚 e 3,07 𝑚𝑚. 
 
Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a 
espessura escolhida será, em milímetros, de 
a) 2,099. 
b) 2,96. 
c) 3,021 . 
d) 3,07. 
e) 3,10. 
 02.(Enem) O artigo 33 da lei 
brasileira sobre drogas prevê a pena 
de reclusão de 5 a 15 anos para 
qualquer pessoa que seja condenada 
por tráfico ilícito ou produção não 
autorizada de drogas. Entretanto, caso o condenado 
seja réu primário, com bons antecedentes criminais, 
essa pena pode sofrer uma redução de um sexto a 
dois terços. Suponha que um réu primário, com bons 
antecedentes criminais, foi condenado pelo artigo 33 
da lei brasileira sobre drogas. 
 
Após o benefício da redução de pena, sua pena 
poderá variar de 
 
a) 1 ano e 8 meses a 12 anos e 6 meses. 
b) 1 ano e 8 meses a 5 anos. 
c) 3 anos e 4 meses a 10 anos. 
d) 4 anos e 2 meses a 5 anos. 
e) 4 anos e 2 meses a 12 anos e 6 meses. 
 
03. (Enem 2020) Para chegar à 
universidade, um estudante utiliza um 
metrô e, depois, tem duas opções: 
- seguir num ônibus, percorrendo 
2,0 𝑘𝑚; 
- alugar uma bicicleta, ao lado da estação do metrô, 
seguindo 3,0 𝑘𝑚 pela ciclovia. 
 
O quadro fornece as velocidades médias do ônibus e 
da bicicleta, em 4#
5
, no trajeto metrô-universidade. 
 
Dia da 
semana 
Velocidade média 
Ônibus (4#
5)
 Bicicleta (4#
5)
 
Segunda-
feira 9 15 
Terça-feira 20 22 
Quarta-feira 15 24 
Quinta-feira 12 15 
Sexta-feira 10 18 
Sábado 30 16 
 
A fim de poupar tempo no deslocamento para a 
universidade, em quais dias o aluno deve seguir pela 
ciclovia? 
a) Às segundas, quintas e sextas-feiras. 
b) Às terças e quintas-feiras e aos sábados. 
c) Às segundas, quartas e sextas-feiras. 
d) Às terças, quartas e sextas-feiras. 
e) Às terças e quartas-feiras e aos sábados. 
 
 
04. (Enem PPL 2020) Uma pessoa 
chega ao hotel no qual fez uma pré-
reserva com diária no valor de 
𝑅$ 210,00. Como a confirmação da 
reserva não foi feita, quando chegou 
ao hotel não havia quarto disponível. Dessa forma, o 
recepcionista apresentou-lhe algumas opções de 
hotéis com diárias mais baratas, mas localizados a 
certa distância desse hotel, conforme apresentado. 
4
5115
4
115
4
313
4
53553 ==÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-=+-
( ) 1065.2.2.35223 ==×
66 326 36 23 5005.25.25.2 -=-=-=-
( ) 33 33 4443 21622.2.812323 ==×=
63 55 =
63 33 405.252 ==
24 
 
 
1. H1: diária de 𝑅$ 180,00 e distância de 7 𝑘𝑚; 
2. H2: diária de 𝑅$ 200,00 e distância de 
1,6 𝑘𝑚; 
3. H3: diária de 𝑅$ 199,00 e distância de 
4,5 𝑘𝑚; 
4. H4: diáriade 𝑅$ 190,00 e distância de 
1,5 𝑘𝑚; 
5. H5: diária de 𝑅$ 205,00 e distância de 
1,2 𝑘𝑚. 
 
Para se locomover até um outro hotel, essa pessoa 
utiliza um táxi que cobra 𝑅$ 2,50 por quilômetro 
rodado mais taxa fixa de 𝑅$ 6,00. 
Sua escolha será em função do menor custo, 
composto pelo valor da diária mais a locomoção de 
táxi. 
 
O hotel escolhido foi o 
a) H1. 
b) H2. 
c) H3. 
d) H4. 
e) H5. 
 
05.(Ufrgs) O algarismo das unidades 
de é 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
06. (UNIMONTES) A terça parte da 
soma 37 + 95 é igual a 
 
 
 
A) 39 + 93 
B) 37 + 92 
C) 39 + 35 
d) 36 + 35 
 
07.(Enem) No contexto da 
matemática recreativa, utilizando 
diversos materiais didáticos para 
motivar seus alunos, uma professora 
organizou um jogo com um tipo de 
baralho modificado, No início do jogo, vira-se uma 
carta do baralho na mesa e cada jogador recebe em 
mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, 
sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma 
carta na mão do jogador, que tenha um valor 
equivalente àquele descrito na carta da mesa. O 
objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o 
maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada 
na mesa e as cartas da mão de um jogador são como 
no esquema: 
 
 
 
Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão 
desse jogador podem formar um par com a carta da 
mesa? 
 
a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3 
 
 
 
 08. (Unimontes) Qual o valor de a 
+ b, se &
'
 é a fração irredutível 
!,###...
%,&&&...
 ? 
A) 42/9 
B) 21/9 
C) 21 
D) 42 
 
 
09. ( UFJF ) A soma 3.103 + 3.100 + 
3.10– 1 é igual a: 
 
 
 
a) 303,3 
b) 27000. )
+7
 
c) 3001,01 
d) 3001,3 
e) 3003,3 
 
 
10. ( Fuvest) O valor de ( 0,2 )3 + ( 
0,16 )2 é 
 
 
 
a) 0,0264 
b) 0,0336 
c) 0,1056 
d) 0,2568 
e) 0,6256 
 
 
11. ( PUC – RJ ) O maior número a 
seguir é: 
 
 
 
a) 3 31 
b) 8 10 
c)16 8 
99 449 4-
1.
2.
3.
4.
5.
25 
 
d) 81 6 
e) 243 4 
 
12. ( UFG – GO ) O número √18 −
√8 − √2 é igual a: 
 
 
 
a) √8 
b) 4 
c) √18 − √6 
d) √10 − √2 
e) 0 
 
13. (Enem digital 2020) Um jogo 
pedagógico é formado por cartas nas 
quais está impressa uma fração em 
uma de suas faces. Cada jogador 
recebe quatro cartas e vence aquele 
que primeiro consegue ordenar crescentemente 
suas cartas pelas respectivas frações impressas. O 
vencedor foi o aluno que recebeu as cartas com as 
frações: e 
 
A ordem que esse aluno apresentou foi 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
14. ( Izabela Hendrix – BH ) Se 2k = 
x e 2t = y, então 22k + 3té : 
 
 
 
a) 2x + 3y 
b) x.y 
c) x + y 
d) x2. y3 
e) x3. y2 
 
15. ( PUC – MG ) O produto 21,2222.... 
20,133333...é igual a : 
 
 
 
a) 2. √20%& 
b) 2. √2))$' 
c) 2. √2)3$% 
d) 2. √2() 
e) 2. √2)*"% 
 
16. ( PUC – SP ) O valor da 
expressão 
M>√2 + 1@
*
− >√2 − 1@
*
− 3√2
(
 é: 
 
a) 2
(
" 
b) 3
"
( 
c) 6
&
" 
d) 3
&
" 
e) 2
&
* 
 
17. ( PUC – SP ) Considere o número 
p = *#
$
, em que 𝑚 = &*
+
'
(*
+ 0,3 e n 
= 4 – &)
*
'
*
. O valor de “p” é tal que: 
a) 0 < p < 1 
b) 1 < p < 2 
c) 2 < p < 3 
d) 3 < p < 4 
e) 4 < p < 5 
 
 
 18.(PUC –MG) Calcule o valor da 
expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19. ( Unimontes) Se a =−√−𝟔𝟒𝟑 e b 
= 𝟏𝟔
𝟏
𝟒, então a única alternativa 
CORRETA é: 
 
 
a) a + b = 0
*
 
b) a = b 
c) a : b = 2 
d) a.b = )
.
 
 
 
20. ( Unimontes) Se a e b são 
números reais positivos, m e n são 
números naturais não nulos, então, 
das afirmações abaixo, a única 
INCORRETA é: 
a) √𝑎! . √𝑏! = √𝑎. 𝑏! 
b) √𝑎. + √𝑏! = √𝑎 + 𝑏./! 
c) (am)n . (bn)m = (a.b)mn 
d) &&
.
'.
'
$
= 𝑎#$. 𝑏(#$ 
3 1 2, ,
5 4 3
5 .
9
1 5 3 2; ; ;
4 9 5 3
1 2 3 5; ; ;
4 3 5 9
2 1 3 5; ; ;
3 4 5 9
5 1 3 2; ; ;
9 4 5 3
2 3 1 5; ; ;
3 5 4 9
26 
 
21. (CTSP/PM)(FUVEST) Dividir um 
número por 0,0125 equivale a 
multiplicá-lo por: 
 
 
A. 8 
B. 80 
C. 1/8 
D. 1/125 
 
22. (UFOP) O valor simplificado da 
expressão 
 
é: 
A) 1,7 
B) 2 
C) -3,025 
D) -4 
 
 
 23. (Enem PPL 2021) Na loteria 
Lotex, cada aposta corresponde à 
marcação de cinquenta números em 
um cartão. Caso o apostador marque 
uma quantidade inferior a cinquenta 
números, o sistema completará aleatoriamente a 
sua aposta até integralizar os cinquenta números 
necessários. Por exemplo, o cartão de aposta 
retratado representa as escolhas de um jogador 
antes que o sistema integralize o seu 
preenchimento. 
 
 
 
Com relação ao cartão exibido, o jogador reconhece 
que o número racional que corresponde ao 
quociente do número de pontos marcados pelo 
sistema, em seu jogo, pelo número máximo de 
pontos para validar a aposta é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
24. (Enem PPL 2021) Uma 
operadora de telefonia oferece cinco 
planos de serviços. Em cada plano, 
para cada mês, o cliente paga um 
valor V que lhe dá direito a telefonar 
por M minutos para clientes da mesma operadora. 
Quando a duração total das chamadas para clientes 
da mesma operadora excede M minutos, é cobrada 
uma tarifa T1 por cada minuto excedente nesse tipo 
de chamada. Além disso, é cobrado um valor T2, 
por minuto, nas chamadas para clientes de outras 
operadoras, independentemente do fato de os M 
minutos terem ou não sido usados. A tabela 
apresenta o valor de V, M, T1 e T2 para cada um 
dos cinco planos. 
 
 V M T1 T2 
Plano 
A 
R$ 
25,00 
20 
min 
R$ 
1,50/min 
R$ 
2,00/min 
Plano 
B 
R$ 
60,00 
65 
min 
R$ 
1,00/min 
R$ 
1,20/min 
Plano 
C 
R$ 
60,00 
75 
min 
R$ 
1,00/min 
R$ 
1,50/min 
Plano 
D 
R$ 
120,00 
160 
min 
R$ 
0,80/min 
R$ 
0,90/min 
Plano 
E 
R$ 
120,00 
180 
min 
R$ 
0,80/min 
R$ 
1,20/min 
 
Se um cliente dessa operadora planeja telefonar 
durante 75 minutos para amigos da mesma 
operadora e 50 minutos para amigos de outras 
operadoras, o plano que ele deverá escolher, a fim 
de pagar menos, é o 
a) Plano A. 
b) Plano B. 
c) Plano C. 
d) Plano D. 
e) Plano E. 
 
25. (Enem 2021) Os diretores de 
uma escola precisam construir um 
laboratório para uso dos alunos. Há 
duas possibilidades: 
 
(i) um laboratório do tipo A, com capacidade para 
100 usuários, a um custo de 180 mil reais e 
gastos de 60 mil reais por ano para manutenção; 
(ii) um laboratório do tipo B, com capacidade para 
80 usuários, a um custo de 120 mil reais e 
11
25
14
25
14
11
25
14
25
11
27 
 
gastos com manutenção de 16 mil reais por ano. 
 
Considera-se que, em qualquer caso, o laboratório 
implantado será utilizado na totalidade de sua 
capacidade. 
 
A economia da escola, na utilização de um 
laboratório tipo B, em vez de um laboratório tipo A, 
num período de 4 anos, por usuário, será de 
a) 1,31 mil reais. 
b) 1,90 mil reais. 
c) 2,30 mil reais. 
d) 2,36 mil reais. 
e) 2,95 mil reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) C 
2) A 
3) C 
4) D 
5) C 
6) A 
7) E 
8) D 
9) E 
10) B 
11) A 
12) E 
13) A 
14) D 
15) C 
16) E 
17) B 
18) 7/3 
19) C 
20) B 
21) B 
22) B 
23) B 
24) B 
25) B 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS 
IRRACIONAIS (ℚ!) 
 
 A radiciação nem sempre e possível no conjunto 
Q dos números racionais. Observe que, por exemplo, 
 
 Pode–se provar, no entanto, que raízes do tipo 
√𝟐, √𝟓𝟑 , M𝟑𝟒
𝟓 , etc. não são racionais. Isso quer dizer 
que, por exemplo, não existe número racional cujo 
quadrado é 2, não existe número racional cujo cubo 
é 5, e assim por diante. 
 Números como esses são chamados números 
irracionais. 
Escritos na forma decimal, os números irracionais, 
não são exatos nem periódicos. De fato, usando 
uma simples calculadora, encontramos 
 
√𝟐 = 1,414213562... 
√𝟓𝟑 = 1,709975947... 
M𝟑
𝟒
𝟓 = 0,944087511... 
 Os números irracionais não provém 
necessariamente da radiciação. São também 
irracionais, por exemplo, os números 
 
§ p = 3.141592654... (importante no estudo do 
círculo) 
 
§ e = 2.71828182... (importante no estudo dos 
logaritmos) 
 
§ 0,303303330... 
 
RACIONALIZAÇÃODE DENOMINADORES 
 
 Quando um radical ou uma expressão com 
radicais aparece como denominador de uma fração, 
é possível as vezes encontrar uma fração 
equivalente cujo denominador não contém radical. 
Tal procedimento é chamado racionalização de 
denominadores. 
O processo geral consiste em multiplicar numerador 
e denominador por um fator conveniente, 
denominado fator racionalizante. 
 
 
1º- O denominador é um radical simples 
 
 O fator racionalizante é um radical com o mesmo 
índice que o denominador e com radicando tal que, 
ao se efetuar a multiplicação, a raiz obtida no 
denominador seja exata. 
 
Exemplo: 
 
Q
5
6
25
36 ;Q283 Î=Î-=-
23
2
26
2
2
2
6
2
6
-=-=×-=-
28 
 
 
2º- O denominador é do tipo 
 
 Duas expressões do tipo √𝑎 + √𝑏 e √𝑎 − √𝑏 são 
ditas conjugadas. É importante observar que 
 
 
 
Essa identidade nos permite racionalizar 
denominadores do tipo . O fator 
racionalizante é o conjugado do denominador. 
 
Exemplo: 
 
 
 Às vezes, a racionalização deve ser feita por 
partes. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS 
REAIS (ℝ) 
 
 Acrescentando ao conjunto dos números 
racionais os números irracionais, obtemos o 
conjunto IR dos números Reais. 
Portanto, IR = Q U {irracionais} 
 Podendo ser representado da seguinte maneira 
pelo diagrama de VENN: 
 
 
O EIXO REAL 
 
 A cada ponto de uma reta pode-se associar um 
único número real e a cada número real pode-se 
associar um único ponto dessa reta. 
 
 
 
INTERVALOS REAIS 
 
 Os intervalos reais são subconjuntos dos 
números reais . Serão caracterizados por 
desigualdades, sendo a e b números reais, com a < 
b, temos: 
 
 
Ø Intervalo fechado: 
 
 
Notação: [a, b] = {x Î IR / a ≤ x ≤b} 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b ,inclusive a e b . 
 
Ø Intervalo aberto: 
 
 
Notação: ]a, b[ = { x Î IR / a < x < b } 
 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b , excluindo a e b. 
 
 
Ø Intervalo fechado à esquerda e aberto à 
direita: 
 
 
Notação: [a, b[ = { x Î IR / a ≤ x < b } 
 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b , incluindo a e não 
incluindo b. 
 
Ø Intervalo aberto à esquerda e fechado à 
direita: 
 
 
Notação: ]a, b] = { x Î IR / a < x ≤ b } 
 A este intervalo pertencem todos os números 
compreendidos entre a e b , exceto a e incluindo b. 
ba ±
( )( ) bababa -=-+
ba ±
( ) ( )
2
153
15
156
15
15
15
6
15
6 +
=
-
+
=
+
+
×
-
=
-
( )
( )
( ) =--
--
×
+-
=
+- 123
123
123
3
123
3
( )
( ) =-
--
=
--
--
=
624
363
123
1233
22
4
63223
624
624
624
363 -+
=
+
+
×
-
--
29 
 
 
Ø Intervalos indicados pelo símbolo∞ 
(infinito): 
 
Notação: ]a, +∞[ = { x Î IR / x > a } 
 
 
Notação: ]-∞, a[ = { x Î IR / x < a } 
 
 
Notação: [a, +∞[ = { x Î IR / x ≥ a } 
 
Notação: ]-∞, a] = { x Î IR / x ≤ a } 
 
Notação : ]-∞, ∞[ = IR 
 
v Não esqueça!!!!! 
 
 Os números reais a e b são denominados extremos 
dos intervalos. 
 O intervalo é sempre aberto na indicação do 
infinito. 
 
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
 
 Chama-se módulo ou valor absoluto de um 
número inteiro “x” a distância desse n 
úmero até o zero na reta numérica. 
 Sendo x∈IR, definimos de módulo ou valor 
absoluto de x e indicamos por |𝑥|, através da 
relação: 
 
Y𝑥, 𝑠𝑒𝑥 ≥ 0−𝑥𝑠𝑒𝑥 < 0 , 
ou seja: um número real positivo tem como módulo 
o próprio número. Já um número real negativo terá 
como módulo o oposto a esse número. 
 
Exemplos: 
 
 O módulo de +177 é 177 e indica-se |+177| = 
177. 
 O módulo de − 79 é 79 e indica-se |−79| = 79. 
 
 
Propriedades envolvendo módulo 
 
 Admitiremos, sem demonstrar, algumas 
propriedades dos módulos: 
 
1. Para todo x ∈ IR, temos |x| ≥ 0 e |x| = 0 ⇔ x = 0 
 
2. Para todo x ∈ IR, temos |x| = |−x| 
 
3. Para todo x ∈ IR, temos |x2| = |−x2| = x2 
 
4. Para todo x e y ∈ IR, temos |x.y| = |x|.|y| 
 
5. Para todo x e y∈ IR, temos |x+y||≤|x|+|y| 
 
6. Para todo x e y ∈ IR, temos |x|−|y| ≤ |x − y| 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 01. (Enem) O ábaco é um antigo 
instrumento de cálculo que usa 
notação posicional de base dez para 
representar números naturais. Ele 
pode ser apresentado em vários 
modelos, um deles é formado por hastes apoiadas 
em uma base. Cada haste corresponde a uma 
posição no sistema decimal e nelas são colocadas 
argolas; a quantidade de argolas na haste representa 
o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se 
adesivos abaixo das hastes com os símbolos 
𝑈,  𝐷,  𝐶,  𝑀,  𝐷𝑀 e 𝐶𝑀 que correspondem, 
respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, 
unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de 
milhar, sempre começando com a unidade na haste 
da direita e as demais ordens do número no sistema 
decimal nas hastes subsequentes (da direita para 
esquerda), até a haste que se encontra mais à 
esquerda. 
Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não 
seguiram a disposição usual. 
 
Nessa disposição, o número que está representado 
na figura é 
a) 46.171. 
b) 147.016. 
c) 171.064. 
d) 460.171. 
e) 610.741. 
 
02. (ENEM) Para cada indivíduo, a 
sua inscrição no Cadastro de Pessoas 
Físicas (CPF) é composto por um 
número de 9 algarismos e outro 
número de 2 algarismos, na forma 
d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados 
dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são 
calculados, a partir da esquerda, da seguinte 
maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados 
pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 
10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em 
seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos 
resultados das multiplicações por 11, e se esse resto 
r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O 
dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os 
números a serem multiplicados pela sequência dada 
=x
30 
 
são contados a partir do segundo algarismo, sendo 
d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s 
da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 
ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s). Suponha que João 
tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão 
de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não 
conseguisse lembrar quais eram os dígitos 
verificadores, recordando-se apenas que os nove 
primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, 
os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, 
respectivamente, 
A) 0 e 9. 
B) 1 e 4. 
C) 1 e 7. 
D) 9 e 1. 
E) 0 e 1. 
 
03. (Enem) Até novembro de 2011, 
não havia uma lei específica que 
punisse fraude em concursos 
públicos. Isso dificultava o 
enquadramento dos fraudadores em 
algum artigo específico do Código Penal, fazendo 
com que eles escapassem da Justiça mais 
facilmente. Entretanto, com o sancionamento da Lei 
12.550/11, é considerado crime utilizar ou divulgar 
indevidamente o conteúdo sigiloso de concurso 
público, com pena de reclusão de 12 a 48 meses (1 
a 4 anos). Caso esse crime seja cometido por um 
funcionário público, a pena sofrerá um aumento de )
+
. 
 
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 
ago. 2012. 
 
 
Se um funcionário público for condenado por fraudar 
um concurso público, sua pena de reclusão poderá 
variar de 
a) 4 a 16 meses. 
b) 16 a 52 meses. 
c) 16 a 64 meses. 
d) 24 a 60 meses. 
e) 28 a 64 meses. 
 
04.(Enem) Um estudante se 
cadastrou numa rede social na 
internet que exibe o índice de 
popularidade do usuário. Esse índice 
é a razão entre o número de 
admiradores do usuário e o número de pessoas que 
visitam seu perfil na rede. 
Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que 
seu índice de popularidade é 0,3121212… O índice 
revela que as quantidades relativas de admiradores 
do estudante e pessoas que visitam seu perfil são 
a) 103 em cada 330. 
b) 104 em cada 333. 
c) 104 em cada 3.333. 
d) 139 em cada 330. 
e) 1.039 em cada 3.330. 
05. (Enem) Nas construções prediais 
são utilizados tubos de diferentesmedidas para a instalação da rede de 
água. Essas medidas são conhecidas 
pelo seu diâmetro, muitas vezes 
medido em polegada. Alguns desses tubos, com 
medidas em polegada, são os tubos de )
*
,  +
.
 e -
,
. 
 
Colocando os valores dessas medidas em ordem 
crescente, encontramos 
a) !
"
,  #
$
,  %
&
 
b) !
"
,  %
&
,  #
$
 
c) #
$
,  !
"
,  %
&
 
d) #
$
,  %
&
,  !
"
 
e) %
&
,  !
"
,  #
$
 
 
 
06. (UNB) A expressão 
%& !
!"!#
'%& $
!%!#
 
é equivalente a: 
A) #
"
 
B) "
#
 
C) !
#
 
D) !
&
 
 
 
 
07. (Enem) André, Carlos e Fábio 
estudam em uma mesma escola e 
desejam saber quem mora mais perto 
da escola. André mora a cinco vinte 
avos de um quilômetro da escola. 
Carlos mora a seis quartos de um quilômetro da 
escola. Já Fábio mora a quatro sextos de um 
quilômetro da escola. 
 
A ordenação dos estudantes de acordo com a ordem 
decrescente das distâncias de suas respectivas 
casas à escola é 
a) André, Carlos e Fábio. 
b) André, Fábio e Carlos. 
c) Carlos, André e Fábio. 
d) Carlos, Fábio e André. 
e) Fábio, Carlos e André. 
 
 
08. (FUVEST) O valor da expressão 
&'√&
√&')
 é: 
 
31 
 
A) √2 
B) )
√*
 
C) 2 
D) )
*
 
E) √2 + 1 
 
09. (USP) Sela &
'
 a fração geratriz da 
dízima 0,1222... com a e b primos 
entre si. Nestas condições, temos: 
 
 
A) ab = 990 
B) ab = 900 
C) a – b = 8 
D) a + b = 110 
E) b – a = 79 
 
10. (UFMG) Efetuando as operações 
indicadas na expressão 
 
 
 
 
b
c
(0,01 ⋅ 0,12) + (0,14)d + √0,04 
 
obtemos: 
A) 0,220 
B) 0,226 
C) 0,296 
D) 0,560 
E) 0,650 
 
11. (UFMG) O valor de 
10–2 . [(–3)2 – (–2)3] ÷√−0,0011 
é: 
 
 
 
A) –17 
B) – 1,7 
C) – 0,1 
D) 0,1 
E) 1,7 
 
12. (Enem PPL 2021) A imagem 
representa uma calculadora científica 
com duas teclas destacadas. A tecla 
A eleva ao quadrado o número que 
está no visor da calculadora, e a tecla 
B extrai a raiz cúbica do número apresentado no 
visor. 
 
 
 
Uma pessoa digitou o número 8 na calculadora e 
em seguida apertou três vezes a tecla A e depois 
uma vez a tecla B. 
 
A expressão que representa corretamente o cálculo 
efetuado na calculadora é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
13. (Enem PPL 2019) O boliche é 
um esporte cujo objetivo é derrubar, 
com uma bola, uma série de pinos 
alinhados em uma pista. A 
professora de matemática organizou 
um jogo de boliche em que os pinos são garrafas 
que possuem rótulos com números, conforme 
mostra o esquema. 
 
 
 
O aluno marca pontos de acordo com a soma das 
quantidades expressas nos rótulos das garrafas que 
são derrubadas. Se dois ou mais rótulos 
representam a mesma quantidade, apenas um 
deles entra na contagem dos pontos. Um aluno 
marcou pontos em uma jogada. Uma das 
garrafas que ele derrubou tinha o rótulo 
 
A quantidade máxima de garrafas que ele derrubou 
para obter essa pontuação é igual a 
a) 
2 3 3 38 + +
3 2 2 28 ´ ´
2 3 3 38 8 8+ +
3 2 2 28 8 8+ +
3 2 2 28 8 8´ ´
7,55
6,8.
2.
32 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
14. (Enem PPL 2020) Usando um 
computador construído com peças 
avulsas, o japonês Shigeru Kondo 
calculou o valor da constante 
matemática com precisão de 5 
trilhões de dígitos. Com isso, foi quebrado o recorde 
anterior, de dois trilhões de dígitos, estabelecido 
pelo francês Fabrice Bellard. 
Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 14 dez. 2012. 
 
A quantidade de zeros que segue o algarismo 5 na 
representação do número de dígitos de calculado 
pelo japonês é 
a) 3. 
b) 6. 
c) 9. 
d) 12. 
e) 15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. D 
02. A 
03. C 
04. A 
05. C 
06. A 
07. D 
08. A 
09. E 
10. A 
11. B 
12. B 
13. E 
14. D 
 
3.
4.
5.
6.
π
π