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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP 
Faculdade de Ciências Aplicadas 
Limeira 
 2020 
 
 
 
 
 
JOSÉ RENATO BARBIERI FILHO 
 
 
 
 
A MATEMÁTICA APLICADA AOS JOGOS: 
Torre de Hanói 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 O texto tem como objetivo explorar alguns conceitos matemáticos que podem 
ser observados na torre de Hanói. O desafio é muito conhecido e foi até utilizado em 
um filme. Ele aparece em “Planeta dos macacos: A origem”, na cena o jogo é utilizado 
pelos pesquisadores para avaliar a capacidade cognitiva de um dos macacos que 
recebe o medicamento da inteligência. O jogo consiste em reagrupar discos de 
diferentes raios em três hastes fixas, de modo que ao iniciar o desafio sejam 
respeitadas duas regras básicas. Apresentaremos também algumas curiosidades e 
como esse desafio se originou, demonstraremos as regras e os princípios utilizando 
ilustrações que facilitarão a compreensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
A torre de Hanói é um jogo de raciocínio logico muito conhecido. Existem muitas 
lendas sobre a sua existência, mas o seu criador foi um matemático francês chamado 
Edouard Lucas, tendo sido publicado oficialmente em 1883. 
 A lenda mais famosa acerca do seu surgimento é sobre um desafio que Brama 
(um deus muito importante para o hinduísmo) teria proposto aos monges de um templo 
Hindu. O desafio consistia em reagrupar 64 discos de ouro de tamanhos diferentes 
numa outra haste que não fosse a inicial, com o auxílio de uma terceira haste. O 
desafio teria sido utilizado para aumentar a disciplina mental desses monges. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estrutura e regras 
O desafio consiste em reagrupar os discos respeitando sua ordem original, 
discos menores em cima dos maiores, o desafio pode conter um número variado de 
discos começando com o desafio mais fácil de ser realizado com 2 discos. 
Abaixo temos uma imagem que ilustra a forma que o jogo possui 
 
Figura 1 
 
Como podemos observar o jogo contem três pinos fixos separados entre si, um 
deles contém todos os discos posicionados sempre com o maior disco abaixo dos 
menores (pino destacado como o número 2), seguindo a ordem. 
O objetivo é reagrupar esses discos em qualquer um dos outros pinos (pinos 1 
ou 3), mas deve-se movimentar apenas um disco de cada vez. No exemplo acima 
trouxemos um desafio que possui 6 discos, nesse caso o nível de dificuldade já é alto, 
mas poderemos ter torres de Hanói com uma grande variedade na quantidade discos. 
Exemplo de jogabilidade 
Para que possamos apresentar as regras detalhadamente abaixo teremos uma 
ilustração da torre de Hanói com 3 discos e o passo a passo para a conclusão. 
 
 
 
Aqui temos um exemplo clássico com a torre de Hanói de três discos, aqui o 
objetivo é transferir os discos vermelho, amarelo e verde para um dos outros dois 
pinos (2 ou 3). Porém, de modo que ao deslocar os discos (os movimentos devem ser 
feitos um a um) e nenhum disco maior deve sobrepor um menor. 
O primeiro movimento deve necessariamente ser feito com o disco vermelho, 
que está localizado no topo da torre. Você pode escolher um dos dois pinos que não 
possuem nenhum disco. 
Movimento número 1 
 
Escolhemos movimentar o disco vermelho para o pino número “2” deste modo 
ao terminar o desafio os discos serão reagrupados ao meio. O próximo movimento 
será movimentar o disco amarelo. 
Movimento número 2: 
 
Veja que caso o disco amarelo fosse movimentado para o pino “2”, nós 
estaríamos desrespeitando a regra de não nunca colocar um disco maior sobre um 
disco menor, então o pino correto foi o número “3”. 
Movimento número 3. 
 
 
 
Neste momento a única saída possível para tirar o disco verde da posição inicial 
foi abrir caminho tirando o disco vermelho da sua posição o colocando no pino número 
3, desta forma nenhuma regra foi desrespeitada, pois, o disco vermelho é menor que 
o amarelo. 
Movimento número 4 
 
Agora com o pino número 2 liberado pudemos deslocar o disco verde para o 
centro, e, com o último disco que faltava fora da posição inicial, poderemos 
movimentar os discos com o objetivo de reagrupá-los de forma decrescente. 
Movimento número 5 
 
O que fizemos agora foi movimentar o disco vermelho para o pino número 1, 
liberando o disco amarelo para ser movimentado para o centro. 
 
 
Movimento número 6 
 
Com o disco amarelo liberado pudemos movimentá-lo para o pino número 2 de 
forma que realizando o último movimento que é deslocar o último disco (vermelho) 
fara com que completemos o desafio da torre de Hanói de 3 discos. 
Movimento número 7 
 
e... pronto! Completamos o desafio, fácil não é. Agora já podemos aumentar o número 
de discos aumentando dessa maneira a dificuldade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Princípios matemáticos presente no desafio 
 O desafio possui um número mínimo de movimentos para cumprir o objetivo 
como observamos no exemplo intuitivo acima. Mas com a tabela de movimentos 
trazida abaixo poderemos perceber que os movimentos mínimos para realizar o 
desafio tem uma relação bastante interessante com o número de discos usados. 
Quantidade de 
discos (d) 
Quantidade mínima 
de movimentos (N) 
2 3 
3 7 
4 15 
5 31 
 
Ao analisarmos a reação entre o número de discos e a quantidade de 
movimentos necessários para realizar o desafio, percebemos que existe uma função 
que a define. 
Perceba, analisando a relação entre o número de discos com o número de 
movimentos mínimos necessários, podemos atribuir a seguinte função: 
𝑛 = 2𝑑 − 1 
Onde “n” representa o número de movimentos e “d” representa o número de 
discos. Desta forma contando o número de discos presente no desafio que estejamos 
realizando poderemos descobrir qual a quantidade mínima de movimentos 
necessárias para completa-lo. Em matemática isto recebe o nome de indução finita. 
Agora veja esta função aplicada a tabela acima: 
 
 
 
 
 
Quantidade de 
discos (d) 
Quantidade mínima 
de movimentos (N) 
2 3 
 3 7 
4 15 
5 31 
 
 
Conclusão 
A torre de Hanói pode ser um ótimo exercício para o cérebro, possui regras 
extremamente simples e intuitivas como pudemos ver acima e pode ser um bom 
desafio de raciocínio lógico para pessoas de diferentes idades. Mas ele também pode 
se tornar um exercício bastante complicado quando simplesmente aumentamos o 
número de discos, por possuir o número de movimentos mínimos necessários para 
completar o desafio a função destacada acima. Dessa forma conseguimos aplica-lá e 
descobrir o número de movimentos mínimos para cada jogo com diferentes 
quantidades de discos.