Funções Vetoriais

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de funções vetoriais.
PROPÓSITO
Conhecer as funções vetoriais e suas operações, a partir do cálculo do limite, da derivada e da
integral dessas funções, para aplicar tais conceitos em problemas de cálculo vetorial.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora
científica, ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas
MÓDULO 2
Aplicar as operações do limite, da derivada e da integral nas funções vetoriais
MÓDULO 3
Empregar as funções vetoriais no estudo das curvas no plano e no espaço, bem como no
movimento de um objeto
MÓDULO 4
Aplicar o sistema de coordenadas polares ao estudo das curvas polares
MÓDULO 1
 Definir as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas
INTRODUÇÃO
O vetor é um objeto da Matemática de grande aplicação prática em diversas áreas. Assim, é
necessário definir funções que tenham os elementos vetoriais em suas entradas ou saídas.
A função a variáveis reais, a valores vetoriais ou simplesmente função vetorial é aquela que
tem domínio no conjunto dos números reais e vetores que pertencem ao conjunto Rn como
imagem.
Neste módulo, estudaremos as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES VETORIAIS
No cálculo de uma variável, trabalhamos com funções que têm domínio e imagem no conjunto
dos números reais. Elas são denominadas funções reais à variável real, ou simplesmente
funções reais.
Há um elemento matemático de grande aplicação prática: o vetor, definido não apenas por seu
valor (módulo), mas também por sua direção e seu sentido.
 
Fonte: Peshkova/Shutterstock
UM VETOR É REPRESENTADO POR SUAS
COORDENADAS. O NÚMERO DE COORDENADAS DE
UM VETOR DEPENDE DO CONJUNTO AO QUAL
PERTENCE. CONSIDERANDO 
→
V O VETOR
PERTENCENTE A RN, 
→
V SERÁ REPRESENTADO POR
N COORDENADAS:
→
V = V1 , V2 , … , VN
No exemplo, v1, v2, ... , vn são números reais que representam a projeção do vetor v na direção
e no sentido de cada uma das dimensões do Rn.
Estamos trabalhando com coordenadas cartesianas. Particularmente, neste tema, nosso
interesse está em R2 e R3. Assim, um vetor 
→
v , pertencente ao R3, é representado por três
coordenadas. Veja a figura 1, em que o vetor 
→
v projetado na direção do eixo x apresenta um
tamanho vx; na direção do eixo y, um tamanho vy; na direção do eixo z, um tamanho vz:
Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal
da coordenada será negativo. Portanto, o vetor 
→
v terá coordenadas (vx, vy , vz), em que vx, vy
e vz são números reais. No caso do R2, caso particular do R3, o vetor não terá a componente
vz.
⟨ ⟩
 
Fonte: Autor
 Figura 1: Representação do vetor no espaço
Assim, precisamos definir funções que tenham elementos vetoriais em seus domínios e/ou em
suas imagens. Neste módulo, iniciaremos com as funções que têm como imagens, isto é, como
saídas, elementos vetoriais.
Trabalharemos com a função que tem domínio no conjunto real e tem imagem no conjunto Rn.
Assim, sua entrada é um número real, mas sua saída é um vetor. Esta função é denominada
função vetorial ou, de forma mais precisa, função de uma variável real a valores vetoriais.
Uma função de uma variável real a valores vetoriais em Rn é uma função 
→
F : S⊂R → Rn, com
n inteiro e n > 1, em que S é um subconjunto dos números reais. Assim, para cada valor real,
pertencente ao domínio de 
→
F , teremos como resultante uma imagem que será um vetor
pertencente a Rn. Logo:
Im
→
F = t∈S⊂R 
→
F ( t ) = 〈 f1 ( t ) , f2 ( t ) , … , fn t 〉 ∈Rn
Como a imagem da função é um vetor, cada componente desse vetor dependerá da variável de
entrada. Portanto, a variável de entrada pode ser considerada um parâmetro e a função pode
ser também representada por uma equação paramétrica.
Observe que a entrada da função vetorial será um número real e a saída será um vetor. Veja o
exemplo.
{ | ( ) }
 EXEMPLO
→
F : R → R3, tal que 
→
F ( m ) = ( 2m + 3 , 5m , 2 - m ) , com m real.
Note que cada vetor da imagem dependerá do elemento do domínio, que, neste caso, será o
parâmetro m.
Existem funções denominadas campos vetoriais que apresentam, tanto no domínio quanto na
imagem, vetores. Assim, seriam funções 
→
F : Rn → Rm, com m e n inteiros maiores do que 1.
Por exemplo:
→
F : R3 → R4, tal que 
→
F ( x , y , z ) = ( 2x + 3y , 2x + 5 , y + 3z , 4x + y )
Perceba que as coordenadas dos elementos vetoriais da saída dependem das coordenadas
dos elementos vetoriais da entrada. Aqui, não abordaremos este tipo de funções.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
A função vetorial pode ser representada por sua forma vetorial, já exemplificada, ou por sua
forma paramétrica.
Seja 
→
F ( t ) : t∈S⊂R →
→
F ( t ) ∈R3. Como já vimos, cada componente do vetor de saída
depende da variável de entrada, denominada parâmetro. Dessa forma, a função pode ser
representada por:
→
F ( t ) =
x = f ( t )
y = g ( t )
z = h ( t )
, 
Observe que f(t), g(t) e h(t) são funções reais, que relacionam cada coordenada ao parâmetro
t. Este tipo de equação é chamado de equação paramétrica. Para funções com imagem no
Rn, n inteiro maior do que 1, a equação paramétrica terá n equações.
 EXEMPLO
{
Seja a função F → t = t , t 2 + 5 , ln t , definida para t > 0. Determine o valor de F → 1 e F
→ e
SOLUÇÃO
A função é uma função de variável real a valores vetoriais de R3, F → t = f t , g t , h ( t )
Onde:
f(t) = t
g(t) = t2 + 5
h(t) = ln t
Logo, temos:
F → t = x = t y = t 2 + 5 z = ln t , para t real e t > 0.
Então,
F → 1 = f 1 , g 1 , h ( 1 ) = 1 , 1 + 5 , ln 1 = 1,6 , 0
Portanto, para uma entrada t = 1, o resultado da função será o vetor 〈 1 , 6 , 0 〉
Para t = e:
F → e = f e , g e , h ( e ) = e , e 2 + 5 , ln e = e , e 2 + 5,1
Por fim, para uma entrada t = e, o resultado da função será o vetor ⟨ e , e 2 + 5 , 1 ⟩
FUNÇÕES VETORIAIS E TRAÇADOS DE CURVA
Para o caso de R2 e R3, a imagem da função vetorial F → pode ser analisada como a trajetória
de uma curva (lugar geométrico) em R2 ou R3 descrita pela equação paramétrica da função.
Em outras palavras, a função vetorial definirá uma curva plana, no caso de sua imagem em R2,
ou uma curva espacial, quando sua imagem estiver no R3.
Se considerarmos que a imagem da função vetorial é um vetor com extremidade inicial na
origem, a trajetória da curva será definida pela extremidade final dos vetores obtidos pela
imagem da função vetorial.
javascript:void(0)
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considere a função F → u = u , u 2 , definida para u ∈ R. Determine a trajetória
definida pela imagem da função.
SOLUÇÃO
Trata-se de uma função de variável real a valores vetoriais de R2.
Repare que a componente x do vetor determinado pela imagem de F → vale u e a componente
y vale u2. Então, se F → u = x , y , temos a seguinte representação paramétrica:
F → u = x = u y = u 2 → y = x 2
Esta é a equação de uma parábola vertical. Assim, a imagem da função será a parábola de
equação y = x2, representada a seguir:
 
Fonte: Autor
 Figura 2: Imagem da função F → u = u , u 2
Conforme o valor do parâmetro u se altera, a imagem obtida pela função vetorial também
muda, traçando uma curva, que, neste exemplo, será uma parábola vertical de vértice na
origem.
 EXEMPLO
javascript:void(0)
Exemplo 2 - Seja a função F → t = s e n t , cos t , 5 . Determine a trajetória definida pela
imagem da função.
SOLUÇÃO
Trata-se de uma função de variável real a valores vetoriais de R3.
Seja F → t = x , y , z
Repare que:
F → t : x = s e n t y = cos t z = 5 → x 2 + y 2 = 1 e z = 5
A imagem da função representará uma circunferência pertencente ao plano z = 5. Assim, será
uma circunferência de centro em 〈 0 , 0 , 5 〉 e raio 1, conforme observamos a seguir:
 
Fonte: Adaptado de Guidorizzi (2013)
 Figura 3: Imagem da função F → t = s e n t ,cos t , 5
Se quisermos dar um sentido à trajetória, este pode ser definido como o sentido do
crescimento do parâmetro ou do decrescimento do parâmetro. No caso do exemplo de F → u =
u , u 2 , a trajetória da parábola é percorrida no sentido da esquerda para direita, quando
cresce o parâmetro u:
javascript:void(0)
 
Fonte: Autor
 Figura 4: Sentido da trajetória pelo crescimento do parâmetro
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
Uma função de uma variável real a valores do Rn, conforme definida, será composta por n
funções reais, definindo cada uma de suas coordenadas. Assim, temos:
F → t = f 1 t , f 2 t , … , f n ( t ) ∈ R n , com t real
Tais funções f1, f2, ... , fn são denominadas funções componentes da função F → .
Como a imagem da função F → t será um vetor, ela atende todas as propriedades e
operações que um vetor possui.
Considerando que F → , G → : S ⊂ R → R n , p(t) uma função real e k uma constante real, é
possível definir as seguintes propriedades:
A) SOMA
H → t = F → + G → t = F → t + G → t
H → t = f 1 t + g 1 t , f 2 t + g 2 t , … , f n t + g n t ∈ R
B) PRODUTO POR UM ESCALAR K
H → t = ( k F → ) t = k F → t
H → t = k f 1 t , k f 2 t , … , k f n t ∈ R n
C) PRODUTO POR UMA FUNÇÃO REAL P(T)
H → t = p . F → t = p t F → t
H → t = p t f 1 t , p t f 2 t , … , p t f n t ∈ R n
Cuidado! Não existe produto (multiplicação) entre duas funções vetoriais.
D) PRODUTO ESCALAR ENTRE F → E G →
m t = F → . G → t = F → t . G → t
m t = f 1 t . g 1 t + f 2 t . g 2 t + … + f n t . g n t , m ( t ) ∈ R
E) PARA N = 3, PRODUTO VETORIAL ENTRE F → E G
→
H → t = F → x G → t = F → t x G → t
H → t = x ^ y ^ z ^ f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 3 ( t ) g 1 ( t ) g 2 ( t ) 
 g 3 ( t )
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considerando as funções F → u = u + 5 , cos u , u 2 , G → u = 2 - u 2 , sen u ,
 3 u e p(u) = 2eu, 
determine o valor para t = 0 da função m t = ( 2 F → t ) . ( p t G → t )
SOLUÇÃO
Se F → u = u + 5 , cos u , u 2 , então 2 F → u = 2 ( u + 5 ) , 2 cos u , 2 u 2
Se G → u = 2 - u 2 , sen u , 3 u e p(u) = 2 . eu, então: p(u) G→u=2 . eu . (2-
u2), 2 . eu . sen u, 2 . eu . 3 . u
Portanto,
 mu = 2u+5 . 2 . eu . 2-u2 + 2 cos u . 2 . eu . sen u+2 . u2 . 2 . eu . 3 . u
Assim,
m0 = 2 0+5 . 2 . e0 . 2-02 + 2 cos 0 . 2 . e0 . sen 0+2 . 02 . 2 . e0 . 3 . 0=8 . 5+0+0=40
javascript:void(0)
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Considerando as funções F → u = u , cos u , 3 u e G → u = u 2 , sen u , u
determine a função H → t = F → t x G → t e seu valor 
para t=π.
SOLUÇÃO
H → t = F → x G → t = F → t x G → t
H → t = x ^ y ^ z ^ t cos t 3 t t 2 s e n ( t ) 
 t = t c o s t x ^ + t s e n t z ^ + 3 t t 2 y ^ - t 2 cos t z ^ - 3 t s e n t x ^ - t . t y ^
H → t = t c o s t - 3 t s e n t x ^ + 3 t 3 - t 2 y ^ + t s e n t - t 2 c o s t z ^
H → t = t c o s t - 3 t s e n t , 3 t 3 - t 2 , t s e n t - t 2 c o s t
Assim,
H → π = π . cos π - 3 . π s e n π , 3 π 3 - π 2 , π s e n π - π 2 c o s π = - π , 3 π 3 -
π 2 , π 2
javascript:void(0)
TEORIA NA PRÁTICA
Desejamos traçar, com um computador, uma curva espacial denominada toroide espiral. A
função vetorial que define essa curva espacial é a seguinte:
F → t = 4 + s e n k t c o s t , 4 + s e n k t s e n t , cos k t , com k real e 0 < k < 1 2
Sabendo que o módulo de F → t , para t = 4π , vale 5, determine o valor de F → 8 π
FUNÇÕES VETORIAIS
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES F→U=U+5, 3-U2, U3 E
G→T= T2+1, T+10, T2 COM U E T REAIS, SABENDO QUE H→U=2 F→U-
G→U, O VALOR DE H→2 É:
A) 〈9,-14,12〉
B) 〈19,-4,2〉
C) 〈8,14,-12〉
D) 〈7,-1,5〉
2. CONSIDERANDO A FUNÇÃO G→T=T+2, 3T-1 , DEFINIDA PARA T ∈ R, A
TRAJETÓRIA DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO É:
A) Circunferência de equação x2+y2=1
B) Reta de equação 3x-y-7=0
C) Plano de equação x-3y+7=0
D) Reta de equação 3x+y+7=0
3. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES F→T=X=TY=3-TZ=T2 E
G→U= U2, U ,3+U, COM U E T REAIS, SABENDO QUE H→U=2 F→U X (-
G→U), O VALOR DE H→-1 É:
A) 〈-14,6,4〉
B) 〈9,3,-4〉
C) 〈-18,-6,6〉
D) 〈18,6,-8〉
4. CONSIDERANDO A FUNÇÃO F→U=2UCOS U, 2U SEN U, U, DEFINIDA
PARA U∈R, QUAL É A EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA DA CURVA ESPACIAL
DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO?
A) x2+y2+2z2=1
B) x2+y2-4z2=0
C) 4x2+4y2+z2=1
D) x2+y2+z2=0
5. CONSIDERE A FUNÇÃO VETORIAL G→V=X=3V-6Y=V+1Z=V2, COM V
REAL, E A FUNÇÃO H→U, CUJA IMAGEM FORMA UMA PARÁBOLA DE
EQUAÇÃO Y = 2X2+ 3, QUE PERTENCE AO PLANO Z = 4. 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA VERDADEIRA SOBRE OS PONTOS COMUNS
NAS IMAGENS DAS DUAS FUNÇÕES:
A) Não existem pontos comuns nas imagens das funções.
B) Existem dois pontos comuns nas imagens das funções com z = 4.
C) Existe apenas um ponto comum nas imagens das funções com z = 4.
D) Existem infinitos pontos comuns nas imagens das funções.
6. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES F→U=U+COS U, 1, 3U E G→T=2T3,-1,
2T-13SEN T , DEFINIDAS PARA U E T∈[0,2Π], QUAL É A EQUAÇÃO DO
LUGAR GEOMÉTRICO FORMADO PELA IMAGEM DA FUNÇÃO H→T,
SENDO H→T=2F→T-3G→T?
A) 4x2-z2=1 e y = 3
B) x2+y2+4z2=4 e y = 5
C) x2+4z2=4 e y = 5
D) x2+4y2=1 e z = 5
GABARITO
1. Considerando as funções F→u=u+5, 3-u2, u3 e G→t= t2+1, t+10, t2 com u e t reais,
sabendo que H→u=2 F→u-G→u, o valor de H→2 é:
A alternativa "A " está correta.
Usando as operações básicas da função vetorial, temos:
H→u=2 F→u-G→u=2f1u-g1u,2f2u-g2u,2f3u-g3(u)
H→u=2u+5-u2+1,23-u2-(u+10),2u3-u2
H→u=2u-u2+9, -2u2-u-4 , 2u3-u2
H→2=4-4+9, -8-2-4 , 16-4=9,-14,12
2. Considerando a função G→t=t+2, 3t-1 , definida para t ∈ R, a trajetória definida pela
imagem da função é:
A alternativa "B " está correta.
Usando as definições de função vetorial, encontramos a equação paramétrica de:
G→t=x=t+2y=3t-1, t real
Identificando o valor de t em função de x e substituindo na segunda equação, temos:
t=x-2→y=3(x-2)-1=3x-6-1=3x-7
Então, a imagem segue a trajetória 3x-y-7=0. Como a imagem de G→t é definida em R2, a
curva é plana e, pela equação, será uma reta.
3. Considerando as funções F→t=x=ty=3-tz=t2 e G→u= u2, u ,3+u, com u e t reais,
sabendo que H→u=2 F→u x (-G→u), o valor de H→-1 é:
A alternativa "C " está correta.
4. Considerando a função F→u=2ucos u, 2u sen u, u, definida para u∈R, qual é a
equação da trajetória da curva espacial definida pela imagem da função?
A alternativa "B " está correta.
Usando as definições de função vetorial, encontramos a equação paramétrica de:
F→u=x=2u cos uy=2u sen uz=u, u real
Eliminando a variável u, temos:
x2+y2=2u cos u2+2u sen u2=4u2cos2u+4u2sen2u=4u2(cos2u+sen2u)=4u2
Porém, pela terceira equação z = u, obtemos:
x2+y2=4u2=4z2→x2+y2-4z2=0
5. Considere a função vetorial G→v=x=3v-6y=v+1z=v2, com v real, e a função H→u, cuja
imagem forma uma parábola de equação y = 2x2+ 3, que pertence ao plano z = 4. 
 
Assinale a alternativa verdadeira sobre os pontos comuns nas imagens das duas
funções:
A alternativa "C " está correta.
Vamos determinar a função H→t. Para isso, escolhemos um parâmetro t real, tal que x = t.
Assim: y = 2t2 + 3
Dessa forma, a equação paramétrica da função será:
H→t=x=ty=2t2+3z=4
A imagem comum deve satisfazer às duas equações paramétricas. Logo, temos:
G→v=H→t↔3v-6=tv+1=2t2+3v2=4
Da terceira equação, tiramos que v = 2 ou v = – 2
Para v = 2, na primeira equação, obtemos: t = 3 . 2 - 6 = 0
Substituindo v = 2 e t = 0 na segunda equação, obtemos: 2 + 1 = 2 . 0 + 3 → 3 = 3
Assim, a imagem obtida para v = 2 na função G ou t = 0 na função H será a mesma com valor:
x=0y=2.02+3=3z=4 ou x=3.2-6=0y=2+1=3z=22=4→〈0,3,4〉
Para v = – 2, na primeira equação, obtemos: t = 3 . (– 2) – 6 = – 12
Substituindo v = – 2 e t = – 12 na segunda equação, obtemos: – 2 + 1 = 2 . (– 12)2 + 3 → – 1
≠291
Assim, não existe imagem comum para o caso de v= – 2
6. Considerando as funções F→u=u+cos u, 1, 3u e G→t=2t3,-1, 2t-13sen t , definidas
para u e t∈[0,2π], qual é a equação do lugargeométrico formado pela imagem da função
H→t, sendo H→t=2F→t-3G→t?
A alternativa "C " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJAM AS FUNÇÕES G→T=T2-1, 3-T,T+3 E F→U=U+1, U2+2, U2, COM
U E T REAIS. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA O VALOR
DA FUNÇÃO M(U)=F→U.G→U, PARA U=1:
A) 〈0,6,4〉
B) 〈2,3,1〉
C) 8
D) 10
2. CONSIDERANDO A FUNÇÃO F→T=2T SEN T, LN T , TCOS T ,
DEFINIDA PARA T REAL MAIOR DO QUE 0 (ZERO), ASSINALE A
ALTERNATIVA QUE APRESENTA A EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA DA
CURVA ESPACIAL DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO F→T:
A) x2-4e2y+4z2=0
B) x2-e2y+z2=0
C) x2-y2+4z2=0
D) x2+4ln y+4z2=1
GABARITO
1. Sejam as funções G→t=t2-1, 3-t,t+3 e F→u=u+1, u2+2, u2, com u e t reais. Assinale a
alternativa que representa o valor da função m(u)=F→u.G→u, para u=1:
A alternativa "D " está correta.
 
A função m(u) é o resultado de um produto escalar de duas funções vetoriais. Assim, ela será
uma função real.
Se mu=F→u.G→u→mu=f1ug1u+f2ug2u+f3ug3u
mu=u2-1u+1+3-uu2+2+u+3u2
mu=u3+u2-u-1+3u2+6-u3-2u+u3+3u2=u3+7u2-3u+5
m1=1+7-3+5=10 
2. Considerando a função F→t=2t sen t, ln t , tcos t , definida para t real maior do que 0
(zero), assinale a alternativa que apresenta a equação da trajetória da curva espacial
definida pela imagem da função F→t:
A alternativa "A " está correta.
 
Usando as definições de função vetorial, encontramos a equação paramétrica de:
F→t=x=2t sen ty=ln tz=tcos t, t>0
Eliminando a variável t na primeira e na terceira equações: t sent=x2 e t cos t=z, temos:
(x2)2+z2=(t sent)2+(t cost)2=t2cos2t+t2sen2t=t2(cos2t+sen2t)=t2
Porém, pela segunda equação: y=ln t→t=ey.
Logo:
(x2)2+z2=t2=(ey)2=e2y
Então:
x2+4z2=4e2y→x2-4e2y+4z2=0
MÓDULO 2
 Aplicar as operações do limite, da derivada e da integral nas funções 
vetoriais
INTRODUÇÃO
Da mesma forma que definimos as operações de limite, derivada e integral para uma função
real, também o faremos para as funções vetoriais.
Neste módulo, definiremos, então, as operações de limite, derivada e integral e as aplicaremos
em alguns problemas de cálculo diferencial e integral. Veremos que essas operações se
relacionam com aquelas correspondentes às funções reais, que são componentes da função
vetorial.
LIMITE E CONTINUIDADE
O limite de uma função vetorial é alcançado obtendo-se o limite de cada uma de suas funções
componentes.
Assim, seja F → t = f 1 t , f 2 t , … , f n ( t ) ∈ R n , com t real.
lim t → a F → t = lim t → a f 1 ( t ) , lim t → a f 2 t , … , lim t → a f n ( t )
O limite existirá se houver o limite de todas as funções componentes.
A existência do limite implica que, toda vez que t se aproximar do valor a, a função vetorial F →
se aproximará do valor do limite. No caso da função real, a aproximação da função a seu valor
do limite ocorre por valores acima ou abaixo. No caso da função vetorial, essa aproximação
acontece por infinitos caminhos. Porém, existindo o limite L → , a função sempre tenderá ao
vetor L → , quando t tender ao valor de a.
A definição foi feita para t → a, mas pode ser extrapolada para todos os tipos de limite para t →
a+ , t→ a- ou t → ± ∞ .
Observe que o limite de cada função componente é um limite de uma função real, já estudado
anteriormente. Assim, todos os métodos e as propriedades já conhecidas podem ser utilizados.
A única diferença, neste caso, é que, para a função vetorial, serão resolvidos n limites
diferentes, cada um relacionado a uma das n funções componentes.
 EXEMPLO
Determine o limite de F → t = 2 t + 1 , 2 s e n t t , t 3 - 3 t + 2 t + 2 quando t tende a 0
SOLUÇÃO
lim t → 0 F → t = lim t → 0 2 t + 1 , lim t → 0 2 s e n t t , lim t → 0 t 3 - 3 t + 2 t + 2
Resolvendo os limites das funções componentes, temos:
✓ Por substituição direta: lim t → 0 2 t + 1 = 2 . 0 + 1 = 1
✓ Pelo limite trigonométrico fundamental: lim t → 0 2 s e n t t = 2 lim t → 0 s e n t t = 2 . 1
= 2
✓ Pelo teorema de Leibniz: lim t → 0 t 3 - 3 t + 2 t + 2 = 2 2 = 1
Portanto,
lim t → 0 F → t = 1,2 , 1 = x ^ + 2 y ^ + z ^
javascript:void(0)
javascript:void(0)
TEOREMA DE LEIBNIZ
De acordo com este teorema:
Todo polinômio é equivalente a seu termo de maior grau, quando sua variável
independente tende a mais ou menos infinito (+∞ ou - ∞).
Todo polinômio é equivalente a seu termo de menor grau, quando sua variável
independente tende a 0 (zero).
Algumas propriedades para o limite de funções vetoriais podem ser demonstradas pela
definição do limite e pelas operações das funções vetoriais. Por exemplo:
✓ lim t → a ( k 1 F → t ± k 2 G → t ) = k 1 lim t → a F → t ± k 2 lim t → a G → t , onde k1 e
k2 são números reais
✓ lim t → a F → t . G → t = lim t → a F → t . lim t → a G → t
✓ lim t → a F → t x G → t = lim t → a F → t x lim t → a G → t
CONTINUIDADE
De forma semelhante à função real, vamos definir a continuidade de uma função vetorial em
um ponto do seu domínio t = t0
Considerando F → t = f 1 t , f 2 t , … , f n ( t ) ∈ R n , com t real, e t0 um ponto do domínio da
função, a função F → t será contínua em t = t0 se e somente se: lim t → t 0 F → t = F → t 0
Em outras palavras, é necessário existir o limite para quando t tende a t0, e esse limite precisa
ter o valor da função no ponto t = t0
A função F → t só será contínua em um ponto t0 se todas as suas funções componentes forem
contínuas no ponto t0
 EXEMPLO
Considerando a função F → t = 2 t + 1 , 2 s e n t t , t 3 - 3 t + 2 t + 2 , para t real diferente de 0
(zero) e de – 2, determine o valor de F → 0 e F → - 2 para que a função seja contínua para
todo t real.
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, já foi obtido o limite:
lim t → 0 F → t = 1,2 , 1 = x ^ + 2 y ^ + z ^
O limite existe. Para que seja contínua, a função deve ter valor em t = 0 igual ao valor do limite
no ponto. Portanto, temos:
F → 0 = 1,2 , 1 = x ^ + 2 y ^ + z ^
Para o caso de t = – 2, necessitamos, inicialmente, verificar se o limite existe. Vejamos:
lim t → - 2 F → t = lim t → - 2 2 t + 1 , lim t → - 2 2 s e n t t , lim t → - 2 t 3 - 3 t + 2 t + 2
Resolvendo os limites das funções componentes, temos:
✓ Por substituição direta: lim t → - 2 2 t + 1 = 2 . - 2 + 1 = - 3
✓ Por substituição direta: lim t → - 2 2 s e n t t = 2 s e n - 2 - 2 = - s e n - 2 = s e n 2
✓ Pelo método da substituição de funções: lim t → - 2 t 3 - 3 t + 2 t + 2 = - 8 + 6 + 2 - 2 + 2 = 0
0
Porém, t 3 - 3 t + 2 = ( t + 2 ) ( t 2 - 2 t + 1 )
Logo, lim t → - 2 t 3 - 3 t + 2 t + 2 = lim t → - 2 ( t + 2 ) ( t 2 - 2 t + 1 ) t + 2 = lim t → - 2 ( t 2 -
2 t + 1 ) = 4 + 4 + 1 = 9
Portanto, lim t → - 2 F → t = - 3 , s e n ( 2 ) , 9 = - 3 x ^ + s e n 2 y ^ + 9 z ^
O limite existe. Para que seja contínua, a função deve ter valor em t = – 2 igual ao valor do
limite no ponto. Assim:
F → - 2 = - 3 , s e n ( 2 ) , 9 = - 3 x ^ + s e n 2 y ^ + 9 z ^
DERIVADA DE FUNÇÕES VETORIAIS
javascript:void(0)
A derivada de uma função vetorial será definida de forma similar às funções reais.
Assim, seja F → t = f 1 t , f 2 t , … , f n ( t ) ∈ R n , com t real:
F ' → t = d F → d t = lim h → 0 F → t + h - F → t h
Se o limite existir, a função será derivável ou diferençável, e sua derivada terá o valor fornecido
pelo limite. Para ser derivável ou diferençável em um intervalo, a função deve ser derivável
para todos os pontos desse intervalo.
A definição anterior pode ser obtida pela derivada das funções componentes da seguinte
forma:
F ' → t = f ' 1 t , f ' 2 t , … , f ' n ( t ) ∈ R n , com t real
Observe, portanto, que devemos empregar todas as formas e regras de derivação aprendidas
para as funções reais, com a única diferença de que derivaremos n funções componentes.
 EXEMPLO
Vamos obter a derivada da função G → u = sec u , u 2 + 1 , 3 e u para u= π 4
SOLUÇÃO
G ' → u = g 1 , u , g 2 , u , g 3 , ( u )
g 1 ( u ) = s e c u → g 1 , ( u ) = s e c u t g u
g 2 ( u ) = u 2 + 1 → g 3 , ( u ) = 2 u
g 3 ( u ) = 3 e u → g3 , ( u ) = 3 e u
Assim,
G ' → u = sec u t g u , 2 u , 3 e 2 = s e c u t g u x ^ + 2 u y ^ + 3 e u z ^
G ' → π 4 = sec π 4 t g π 4 , 2 π 4 , 3 e π 4 = 2 , π 2 , 3 e π 4 = 2 x ^ + π 2 y ^ +
3 e π 4 z ^
Geometricamente, a derivada de F → t representará um vetor que será tangente à trajetória
definida pela função vetorial. Esse vetor será denominado vetor tangente à curva de F → t no
ponto analisado. No próximo módulo, estudaremos a aplicação da derivada no cálculo
do vetor e da reta tangente à trajetória definida pela função.
javascript:void(0)
PROPRIEDADES DA DERIVAÇÃO
Por meio da definição da derivada e das operações das funções vetoriais, podemos
obter algumas propriedades para a derivação de uma função vetorial. São elas:
✓ d d t F → t + G → t = d d t F → t + d d t G → t
✓ d d t k F → t = k d d t F → t , k real
✓ d d t u t F → t = u ' t F → t + u t d d t F → t ,u(t) função real
✓ d d t F → t . G → t = d d t F → t . G → t + F → t . d d t G → t 
✓ d d t F → t x G → t = d d t F → t x G → t + F → t x d d t G → t
✓ d d t F → u t = d d t F → u t u ' t , com u(t) função real – Regra da Cadeia
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considerando uma função vetorial G → t , tal que, para todo t de seu
domínio, a norma (módulo) de G → t seja sempre igual a uma constante k, determine o
valor do produto escalar de G → t . d d t G → t
SOLUÇÃO
Como G → t é um vetor, então: G → t 2 = G → t . G → t
Pelo enunciado, temos: G → t 2 = G → t . G → t = k 2
Como G → t . G → t é uma constante, então sua derivada é nula. Usando a regra da
derivada do produto escalar, temos:
d d t G → t . G → t = d d t G → t . G → t + G → t . d d t G → t = 2 G → t . d d t G → t = 0
Logo, G → t . d d t G → t = 0
Como o produto escalar será 0 (zero), o vetor G → t e o vetor G ' → t serão ortogonais.
Por fim, as derivadas de ordem superior serão definidas de forma semelhante, isto é, a
derivada de ordem n da função vetorial será obtida pelas derivadas de ordem n das
funções componentes.
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 EXEMPLO
Exemplo 2 - Vamos obter a derivada de segunda ordem da função G → u = sec u , u 2 +
1 , 3 e u .
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, já foi obtido que: G ' → u = sec u t g u , 2 u , 3 e u
Assim, G ' ' → u = G ' → u ,
g 1 ( u ) = sec u → g 1 , ( u ) = sec u t g u → g 1 , , ( u ) = sec u t g 2 u + sec 3 u
g 2 ( u ) = u 2 + 1 → g 3 , ( u ) = 2 u → g 2 , , ( u ) = 2
g 3 ( u ) = 3 e u → g 3 , ( u ) = 3 e u → g 3 , , ( u ) = 3 e u
Portanto,
G ' ' → u = sec u t g 2 u + s e c 3 u , 2 , 3 e u 
INTEGRAIS DAS FUNÇÕES VETORIAIS
De forma semelhante à operação do limite e da derivada, a integração de funções
vetoriais segue a mesma definição da integração de uma função real e será calculada
por meio da integração de suas funções componentes.
Assim, seja F → t = f 1 t , f 2 t , … , f n ( t ) ∈ R n , com t real, definida em [a,b]:
∫ a b F → t d t = ∫ a b f 1 t d t , ∫ a b f 2 t d t , … , ∫ a b f n t d t ∈ R n
Portanto, a integração definida de uma função vetorial terá como resultado um vetor. A
função será integrável se existirem todas as integrais definidas das funções
componentes.
Também podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo e verificar que:
∫ a b F → t d t = G → t a b = G → b - G → a
Onde G → t é uma primitiva de F → t , isto é, G ' → t = F → t
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javascript:void(0)
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
∫ a b f x d x = F x a b = F b - F a
 EXEMPLO
Considerando a função H → u = u x ^ + cos u y ^ - s e c 2 u z ^ para u > 0, determine
∫ 0 π 4 H → u d u .
SOLUÇÃO
∫ 0 π 4 H → u d u = ∫ 0 π 4 u x ^ + cos u y ^ - s e c 2 u z ^ d u = ∫ 0 π 4 u d u x ^ + ∫ 0
π 4 cos u d u y ^ - ∫ 0 π 4 s e c 2 u d u z ^
∫ 0 π 4 H → u d u = u 2 2 0 π 4 x ^ + s e n u 0 π 4 y ^ - tg u 0 π 4 z ^
∫ 0 π 4 H → u d u = 1 2 π 4 2 - 0 x ^ + s e n π 4 - s e n ( 0 ) y ^ - t g π 4 - t g ( 0 ) z ^
∫ 0 π 4 H → u d u = π 2 32 x ^ + 2 2 y ^ - z ^
javascript:void(0)
TEORIA NA PRÁTICA
Um objeto se desloca em uma trajetória definida pela função F → t = x = t 3 - t 2 + 1 y = t
2 - 8 t + 4 z = t + 8 , com t > 0 e as componentes medidas em metro.
Considere como sentido positivo da trajetória o sentido do crescimento do parâmetro t.
Determine o valor do módulo da velocidade e da aceleração do objeto para o instante t =
2.
SOLUÇÃO
Como o enunciado informa, a posição do objeto será dada pela imagem da função
vetorial.
Como a velocidade será a taxa de variação instantânea da posição, a velocidade será a
derivada da posição em relação ao parâmetro t. Portanto, será derivada da função
vetorial.
Assim, temos:
v → t = F ' → t = t 3 - t 2 + 1 , , t 2 - 8 t + 4 , , t + 8 ,
v → t = F ' → t = 3 t 2 - 2 t , 2 t - 8 , 1 m/s
Para t = 2→ v → 2 = 3.4 - 2.2 , 2.2 - 8 , 1 = 8 , - 4,1 m/s
v → ( 2 ) = 8 2 + ( - 4 ) 2 + 1 2 = 64 + 16 + 1 = 81 = 9 m/s
Como a aceleração será a taxa de variação instantânea da velocidade, a aceleração será
a derivada da velocidade em relação ao parâmetro t. Portanto, será derivada da função
vetorial.
javascript:void(0)
Assim, temos:
a → t = F ' ' → t = 3 t 2 - 2 t , , 2 t - 8 , , 1 ,
a → t = F ' ' → t = 6 t - 2 , 2 , 0 m/s2
Para t = 2→ a → 2 = 6.2 - 2 , 2 , 0 = 10,2 , 0 m/s2
a → ( 2 ) = 10 2 + 2 2 + 0 2 = 100 + 4 + 0 = 104 = 2 26 m/s2
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO A FUNÇÃO F→T=ET-2,T+6T+2,T-2T-2, CASO EXISTA,
QUAL É O LIMITE DE F→T QUANDO T TENDE A 2?
A) O limite não existe.
B) limt→2 F→t=1, 2 , 24
C) limt→2 F→t=∞, 2 , 24
D) limt→2 F→t=1, 2 , 0
2. CONSIDERANDO A FUNÇÃO F→U=TG U,U2+3, SEN U+COS U, PARA U
REAL, ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM VETOR COM
DIREÇÃO PARALELA À DIREÇÃO TANGENTE À CURVA DEFINIDA PELA
IMAGEM DA FUNÇÃO NO PONTO U = Π4:
A) 〈4 ,π ,0〉
B) 〈-4 ,2π ,0〉
C) 〈4 ,0 ,8〉
D) 〈0 ,2π ,4〉
3. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE
∫0ΠG→UDU, SENDO G→U=X=U-EUY=1-U2Z=SEN U, U REAL:
A) π22+eπ-1x^+π+π33+1y^+π+2z^
B) eπ+1x^+π33y^+cos 2z^
C) π3+1x^+π+1y^+2z^
D) π22-eπ+1x^+π-π33y^+2z^
4. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE
∫01(H→T X F→T) DT, SENDO H→T=2T, 2 , 1 E F→T=X=3Y=T2+1Z=2T-1, T
REAL:
A) 〈-43,83,92〉
B) 〈23,13,72〉
C) 〈43,83,92〉
D) 〈-23,53,12〉
5. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES F→U=U2 SENU,U2+6U-1U+1,U+8U+4 E
G→U=UU-12-1,2UCOS U,8, CASO EXISTA, QUAL SERÁ O LIMITE DE
F→U X G→U QUANDO U TENDE A 0 (ZERO)?
A) 〈-8,-5,-12〉
B) 〈-1,2,12〉
C) O limite não existe.
D) 〈8,5,12〉
6. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES F→U=3U2+EU, 2 SEN 2U,U E
G→U=4, U2+1, U+1, DEFINIDAS PARA U > 0 E A FUNÇÃO REAL V(U) =
U2, QUAL SERÁ A DERIVADA DA FUNÇÃO MU=F→U.G→VU PARA M=1?
A) 8 – 2e + 4 cos 2 – 16 sen 2
B) 12 + 2e – 2 sen 2 – 8 cos 2
C) 29 + 4e + 8 cos 2 + 16 sen 2
D) 4e2 + sen 2 – cos 2
GABARITO
1. Considerando a função F→t=et-2,t+6t+2,t-2t-2, caso exista, qual é o limite de F→t
quando t tende a 2?
A alternativa "B " está correta.
limt→2 F→t=limt→2 et-2,limt→2 t+6t+2, limt→2 t-2t-2
✓ Por substituição direta: limt→2et-2=e2-2=e0=1
✓ Por substituição direta: limt→2t+6t+2=2+62+2=2
✓ Por substituição de função: limt→2t-2t-2=00
Porém, t-2=(t+2)(t-2)
Logo, limt→2t-2t-2=limt→2t-2(t+2)(t-2)=limt→21(t+2)=122=24
Assim, limt→2 F→t=1, 2 , 24
2. Considerando a função F→u=tg u,u2+3, sen u+cos u, para u real, assinale a alternativa
que apresenta um vetor com direção paralela à direção tangente à curva definida pela
imagem da função no ponto u = π4:
A alternativa "A " está correta.
A direção tangente à curva em um ponto é dada pela derivada da função vetorial no
ponto desejado.
Se F→u=tg u,u2+3, sen u+cos u→F'→u=(tg u),,u2+3,, (sen u+cos u),
F'→u=sec2u, 2u ,cos u-sen u
F'→π4=sec2π4, 2π4 ,cos π4-sen π4=2 , π2,0
Qualquer vetor paralelo à direção tangente terá componente dado por:
w→=k F→'π4=k2 , π2,0=2k , πk2,0 , k real
Se k = 2 → w→=〈4 ,π ,0〉
3. Assinale a alternativa que apresenta o valor de ∫0πG→udu, sendo G→u=x=u-euy=1-
u2z=sen u, u real:
A alternativa "D " está correta.∫0πG→udu=∫0πu-eudu x^+∫0π1-u2du y^+∫0πsen u du z^
∫0πG→udu=u22-eu0πx^+u-u330πy^+-cos u0πz^
∫0πG→udu=π22-eπ-0+e0x^+π-π33-0+0y^+-cosπ+cos 0z^
∫0πG→udu=π22-eπ+1x^+π-π33y^+2z^
4. Assinale a alternativa que apresenta o valor de ∫01(H→t x F→t) dt, sendo H→t=2t, 2 , 1
e F→t=x=3y=t2+1z=2t-1, t real:
A alternativa "A " está correta.
5. Considerando as funções F→u=u2 senu,u2+6u-1u+1,u+8u+4 e G→u=uu-12-1,2ucos u,8,
caso exista, qual será o limite de F→u x G→u quando u tende a 0 (zero)?
A alternativa "A " está correta.
6. Considerando as funções F→u=3u2+eu, 2 sen 2u,u e G→u=4, u2+1, u+1, definidas
para u > 0 e a função real v(u) = u2, qual será a derivada da função mu=F→u.G→vu para
m=1?
A alternativa "C " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SABENDO QUE G→U=2 COS 2U, U3+2, LN U , PARA U > 0, QUAL É A
DERIVADA DE G→U PARA U=Π4?
A) 4, π216,2π 
B) -1, 3π28,4 
C) -4, 3π216,4π 
D) 4, π26,1π 
2. SABENDO QUE G→U=U, 3U24, 12 , PARA U REAL, QUAL É O MÓDULO
DO VETOR W→, JÁ QUE W→=∫04G→(U)DU?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
GABARITO
1. Sabendo que G→u=2 cos 2u, u3+2, ln u , para u > 0, qual é a derivada de G→u para
u=π4?
A alternativa "C " está correta.
 
De acordo com o conceito da derivada de uma função vetorial:
Se G→u=2 cos 2u, u3+2, ln u →G→'u=2 cos 2u', u3+2', ln u' 
G→'u=-4sen(2u), 3u2,1u →G→'π4=-4sen(2π4), 3π42,1π4 
G→'π4=-4, 3π216,4π 
2. Sabendo que G→u=u, 3u24, 12 , para u real, qual é o módulo do vetor w→, já que
w→=∫04G→(u)du?
A alternativa "B " está correta.
 
De acordo com o conceito da integral de uma função vetorial:
w→=∫04G→(u)du=∫04u du x^+∫04(3u24)du y^+∫0412du z^
w→=∫04G→udu=u2204x^+u3404y^+12u04z^
w→=∫04G→udu=162-0x^+644-0y^+2-0z^
w→=8x^+16y^+2z ^→|w→|=82+162+22=324=18
MÓDULO 3
 Empregar as funções vetoriais no estudo das curvas no plano e no espaço, 
bem como no movimento de um objeto
INTRODUÇÃO
A imagem de uma função vetorial pode ser analisada como o traçado de uma curva, que
é percorrida conforme o parâmetro varia. Assim, uma aplicação da função vetorial é o
estudo de curvas no plano e no espaço.
Os vetores e as retas normais e tangenciais à curva, bem como o comprimento do arco e
a curvatura, podem ser obtidos por meio da função vetorial.
Este módulo apresentará tal estudo e a aplicação do conceito na análise do movimento
de um objeto.
VETOR E RETA TANGENTE À CURVA
Como já vimos, a imagem de uma função vetorial pode ser analisada como a trajetória
de uma curva no plano ou no espaço.
Como também já analisamos, a derivada da função vetorial terá a direção tangente à
trajetória da curva traçada pela função. Assim, podemos, por meio da função derivada,
obter um versor que definirá a direção tangente à curva no ponto F → t 0 .
Como a derivada da função é um vetor tangente à curva no ponto t0, então, conforme se
estuda em geometria analítica, o versor que definirá a direção tangente à curva será
dado por:
T → t 0 = F ' → t 0 F ' → t 0
Para F ' → t 0 ≠ 0 .
Lembre-se de que o versor é um vetor unitário, isto é, de módulo igual a 1.
Se soubermos um ponto da reta e sua direção (vetor diretor), poderemos definir sua
equação.
A reta tangente à curva passa pelo ponto F → t 0 e tem vetor diretor dado pelo valor de F
' → t 0 . Portanto, a equação paramétrica da reta tangente à curva pode ser obtida por:
r → λ - F → t 0 = λ F → ' t 0 , λ real
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considerando a função F → t = 2 s e n t , 2 cos t , 5 , definida para t ∈
0,2 π , determine o vetor, de módulo 3, tangente à curva para t = π 4
SOLUÇÃO
Vamos obter a derivada da função vetorial:
F ' → t = 2 s e n t ' , 2 cos t ' , 5 ' = 2 cos t , - 2 s e n t , 0
Então,
F ' → t = ( 2 c o s t ) 2 + ( - 2 s e n t ) 2 + 0 = 4 ( ( c o s t ) 2 + ( s e n t ) 2 ) = 2
Assim, o versor tangente à curva no ponto t0 será:
T → t = F → ' t F → ' t = 1 2 2 cos t , - 2 s e n t , 0 = cos t , - s e n t , 0
Para t0= π 4 → T → π 4 = cos π 4 , - s e n π 4 , 0 = 2 2 , - 2 2 , 0 = 2 2 x ^ - 2 2 y
^
Como o vetor u → terá módulo 3, então:
u → = 3 T → π 4 = 3 2 2 , - 3 2 2 , 0
Portanto, no ponto t = π 4 , isto é, F → π 4 = 2 s e n π 4 , 2 cos π 4 , 5 = 2 , 2 , 5 , o
versor tangente será T → π 4 = 2 2 x ^ - 2 2 y ^ e o vetor pedido será u → = 3 2 2 x ^ - 3
2 2 y ^
 EXEMPLO
javascript:void(0)
Exemplo 2 - Considerando a função F → t = 2 s e n t , 2 cos t , 5 , definida para t ∈
0,2 π , determine a reta tangente à curva para t = π 4
SOLUÇÃO
Vamos obter a derivada da função vetorial:
F ' → t = 2 s e n t ' , 2 c o s t ' , 5 ' = 2 cos t , - 2 s e n t , 0
Obtendo a equação da reta tangente a curva, temos:
r → λ - F → t 0 = λ F ' → t 0 → r → t = F → t 0 + λ F ' → t 0 , λ real
r → λ = 2 s e n t 0 , 2 cos t 0 , 5 + λ 2 cos t 0 , - 2 s e n t 0 , 0
Substituindo t = π 4 , temos:
r → ( λ ) = 〈 2 s e n π 4 , 2 cos π 4 , 5 〉 + λ 2 cos π 4 , - 2 s e n π 4 , 0
r → λ = 2 , 2 , 5 + λ 2 , - 2 , 0 = 2 + λ 2 , 2 - λ 2 , 5
r → λ = x = 2 + λ 2 y = 2 - λ 2 z = 5 , λ r e a l
VETOR NORMAL E BINORMAL À CURVA
Outro vetor que pode ser obtido é o vetor normal à curva no ponto t0.
Qualquer vetor que apresente um produto escalar com o vetor tangente igual a 0 (zero)
será normal à curva. Lembre-se de que, no caso do plano, só existe uma direção normal,
mas, no caso do espaço, existem infinitas direções normais.
Vamos usar um conceito que já foi visto em um exemplo anterior. Se o módulo de um
vetor for constante para todos os valores do parâmetro, então o vetor será ortogonal a
sua derivada.
Considere o versor tangente à curva T → t = F ' → t F ' → t Como já é de nosso
conhecimento, por ser um versor, T → t = 1 para todos os valores de t; assim,
obrigatoriamente: T → t . T → ' t = 0
Portanto, o vetor T → ' t será perpendicular ao vetor tangente T → t e, então, normal à
curva. Basta, agora, transformar o mesmo em um versor.
Definimos o versor normal principal ou vetor normal principal unitário N → t como:
javascript:void(0)
N → t = T ' → t T ' → t
 EXEMPLO
Exemplo 1- Considere a função F → t = 2 s e n t , 2 cos t , 5 , definida para t ∈ 0,2
π . Determine o versor normal principal à curva para t = π 4
SOLUÇÃO
Como calculado nos exemplos anteriores:
T → t = F ' → t F ' → t = cos t , - s e n t , 0
T → ' t = ( cos t ) ' , ( - s e n t ) ' , ( 0 ) ' = - s e n t , - cos t , 0
Observe como T → t e T , → t são ortogonais:
T → t . T , → t = c o s t - s e n t + - s e n t t - c o s t + 0.0 = - s e n t c o s t + s e n t c o s
t = 0
Isso era o esperado!
Calculando o módulo do vetor T , → t , temos:
T ' → t = ( - s e n t ) 2 + ( - c o s t ) 2 + 0 2 = 1
Portanto, o vetor unitário principal será:
N → t = T ' → t T ' → t = T ' → t 1 = - s e n t , - cos t , 0
Para t = π 4 → N → t = - s e n π 4 , - cos π 4 , 0 = - 2 2 , - 2 2 , 0
Outro vetor que pode ser definido para uma curva é o vetor binormal B → t = T → t x N
→ t
Como o vetor binormal é o resultado de um produto vetorial entre T → t e N → t , ele será
ortogonal à direção tangente à curva e ortogonal à direção normal principal da curva.
Por isso, ele é denominado binormal. Por ser um produto vetorial entre dois vetores
ortogonais e unitários, o vetor binormal também é um vetor unitário.
 EXEMPLO
javascript:void(0)
Exemplo 2 - Considere a função F → t = 2 s e n t , 2 cos t , 5 , definida para t ∈ 0,2
π , e determine o vetor binormal à curva para t = π 4
SOLUÇÃO
Como calculado nos exemplos anteriores:
T → t = F ' → t F ' → t = cos t , - s e n t , 0
N → t = - s e n t , - cos t , 0
B → t = T → t x N → t = x ^ y ^ z ^ cos t - s e n t 0 - s e n t - c o s t 
 0
B → t = - c o s 2 t z ^ - s e n 2 t z ^ = - c o s 2 t+ s e n 2 t z ^ = - 1 z ^
B → ( t ) = 〈 0,0 , - 1 〉
COMPRIMENTO E CURVATURA DE UMA
CURVA
Considere uma curva em que conhecemos a equação paramétrica da trajetória dada pela
função vetorial F → t :
F → t = x = f t y = g t z = h ( t ) , t real
Podemos definir uma equação que determina o comprimento da curva entre dois pontos
de seu domínio.
Imagine uma curva C descrita pelas equações paramétricas de F → t = f t , g t , h ( t ) ,
com f’(t), g’(t) e h’(t) contínuas, para a≤t≤b. Caso a trajetória de C seja percorrida apenas
uma vez, quando t varia de a até b, o comprimento da curva C, entre a e b, será dado por:
L = ∫ a b F ' → t d t = ∫ a b d d t x t 2 + d d t y t 2 + d d t z t 2
L = ∫ a b F ' → t d t = ∫ a b f ' t 2 + g ' t 2 + h ' t 2 d t
Para o caso do plano, não existirá a componente z, e a fórmula se reduzirá a:
L = ∫ a b F ' → t d t = ∫ a b d d t x t 2 + d d t y t 2 d t = ∫ a b f ' t 2 + g ' t 2 d t
Também podemos obter uma função comprimento de arco que mede desde um ponto
inicial t = a:
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s t = ∫ a t F ' → t d t = ∫ a t f ' t 2 + g ' t 2 + h ' t 2 d t
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considere a função F → ( t ) = 〈 2 s e n t , 2 cos t , 5 〉 , definida para t
∈ 0,2 π , e determine o comprimento da curva entre t = 0 e t =2π.
SOLUÇÃO
F ' → t = 2 s e n t ' , 2 c o s t ' , 5 ' = 2 cos t , - 2 s e n t , 0
L = ∫ 0 2 π F ' → t d t = ∫ 0 2 π 2 c o s t 2 + - 2 s e n t 2 + 0 2 d t
L = ∫ 0 2 π 4 c o s 2 t + 4 s e n 2 t d t = ∫ 0 2 π 2 d t = 2 t 0 2 π = 4 π
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Considere a função F → ( t ) = 〈 2 s e n t , 2 cos t , 5 〉 , definida para t
∈ [ 0,2 π ] , e determine a função comprimento do arco que mede o comprimento da
curva desde o ponto t = 0.
SOLUÇÃO
F ' → t = 2 s e n t ' , 2 c o s t ' , 5 ' = 2 cos t , - 2 s e n t , 0
s t = ∫ 0 t F ' → t d t = ∫ 0 t 2 c o s t 2 + - 2 s e n t 2 + 0 2 d t
s t = ∫ 0 t 4 c o s 2 t + 4 s e n 2 t d t = ∫ 0 t 2 d t = 2 t 0 t = 2 t
Uma curva pode ser parametrizada por meio do parâmetro comprimento do(s) arco(s). A
vantagem dessa parametrização é que o comprimento ficará visível na própria imagem
obtida pela variação do parâmetro.
As curvas parametrizadas pelo comprimento de arco têm a derivada da função, isto é,
sua velocidade com módulo 1, pois, a cada variação de uma unidade do parâmetro,
ocorrerá a variação de uma unidade de comprimento de arco.
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 EXEMPLO
Exemplo 3 - Parametrize a curva definida pela função F → ( t ) = 〈 2 s e n t , 2 cos t ,
 5 〉 para t ∈ 0,2 π por meio de seu comprimento de arco.
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, foi obtido que: s(t) = 2t, assim t = s/2
Portanto, com o novo parâmetro, a equação da curva será: F → s = 2 s e n s 2 , 2 
cos s 2 , 5
Assim, para obtermos dois pontos com uma diferença de comprimento entre eles de 2
unidades, basta obtermos um ponto com s = s0 e o outro com s = s0 + 2, por exemplo.
Sua derivada será:
F ' → s = 2 s e n s 2 , , 2 c o s s 2 , , 5 ' = cos t , - s e n t , 0
F ' → s = c o s 2 t + ( - s e n t ) 2 + 0 = c o s 2 t + s e n 2 t = 1
CURVATURA
A curvatura indica quão rapidamente uma trajetória muda com a variação do parâmetro,
ou seja:
k = d T → d s
CURVATURA
Taxa de variação do módulo do versor tangente em relação ao comprimento do
arco.
Conhecemos o valor de T → em relação ao parâmetro t, e não em relação ao
comprimento s. Por isso, devemos usar a regra da cadeia:
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d T → d t = d T → d s d s d t → d T → d s = d T → / d t d s / d t = T ' → t s ' t 
No entanto, pelo teorema fundamental do cálculo, aplicado na fórmula da função
comprimento de arco, temos:
s t = ∫ a t F ' → t d t → s’(t)= F ' → t
Portanto:
k t = T ' → t F ' → t
Caso a curvatura seja diferente de 0 (zero), definimos o raio de curvatura ρ(t) como o
inverso da curvatura. Logo:
ρ t = 1 k ( t ) , para k ( t ) ≠ 0
Existe outra fórmula que pode ser obtida pelas definições apresentadas, a partir da
manipulação matemática, que determina a curvatura apenas em relação à função vetorial
que define a curva.
Observe:
k t = F ' → t x F ' ' → t F ' → t 3
 SAIBA MAIS
A demonstração dessa fórmula pode ser estudada pelas referências apresentadas ao
final do tema.
 EXEMPLO
Considere a função F → t = 2 s e n t , 2 cos t , 5 , definida para t ∈ 0,2 π Determine
a curvatura da curva definida pela função.
SOLUÇÃO
Já foi calculado anteriormente para esta função que:
T ' → t = ( cos t ) ' , ( - s e n t ) ' , ( 0 ) ' = - s e n t , - cos t , 0 
T ' → t = ( - s e n t ) 2 + ( - c o s t ) 2 + 0 2 = 1
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Além disso,
F , → t = 2 s e n t , , 2 c o s t , , 5 , = 2 cos t , - 2 s e n t , 0
F → ' t = 2 c o s t 2 + - 2 s e n t 2 + 0 2 = 2
k t = T ' → t F ' → t = 1 2
Neste exemplo, por se tratar de uma circunferência, a curvatura não dependeu do
parâmetro, isto é, da posição na curva.
MOVIMENTO NO ESPAÇO: VELOCIDADE E
ACELERAÇÃO
Os vetores normais e tangenciais definidos no início deste módulo podem ser usados
para estudarmos o movimento de determinado objeto, sua velocidade e aceleração,
quando ele estiver percorrendo uma trajetória estipulada por uma curva plana ou
espacial.
Agora, veremos a função F → t , que define a trajetória percorrida pelo objeto.
A velocidade é uma grandeza vetorial expressa como a taxa de variação (derivada) da
posição com o tempo. A velocidade tem direção tangencial à curva. Assim:
v → t = d d t s t = F , → t = F , → t T → t
Da mesma forma, a aceleração é uma grandeza vetorial obtida pela taxa de variação
(derivada) da velocidade pelo tempo. Dessa forma:
a → t = v ' → t = F ' → t
Porém,
v → t = v → t T → t
a → t = d d t v → t = d d t v → t T → t = v ' → t T → t + v → t T → ' t
Como pode ser verificado, a aceleração tem uma componente tangencial e uma normal
(ortogonal à tangencial).
A aceleração tangencial, v , → t T → t , que tem a direção tangencial à curva, é
responsável pela mudança do módulo da velocidade.
A aceleração normal, v → t T → ' t , que é ortogonal à curva, é responsável pela mudança
da direção do vetor velocidade.
Logo,
a → t = v ' → t T → t + v → t T → ' t
Entretanto,
k t = T → ' t F → ' t → T → ' t = F ' → t k t
N → t = T → ' t T → ' t → T → ' t = T → ' t N → t = F → ' t k t N → t
Como v → t = F , → t , então a parcela anormal terá valor:
v → t T → ' t = F → ' t T → ' t = F → ' t F → ' t k t N → t = F → ' t 2 k t N → t
Assim,
a → t = d d t v → t = v ' → t T → t + F → ' t 2 k t N → t
Repare que a aceleração sempre estará contida no plano formado pelos vetores T → t e
N → t . Esse plano é denominado plano osculador. Podemos manipular esta fórmula
para depender apenas da função vetorial e de suas derivadas.
Substituindo a fórmula da curvatura k t = F → ' t x F → ' ' t F → ' t 3
Então,
F → ' t 2 k t = F → ' t x F → ' ' t F → ' t 
Seja v → t . a → t = ( F → ' t T → t ) . ( v ' → t T → t + F → ' t 2 k t N → t ) = F → ' t v ' → t
Logo,
v , → t = v → t . a → t F , → t = F , → t . F , , → t F , → t
Portanto,
a → t = F → ' t . F → ' ' t F → ' t T → t + F → ' t x F → ' ' t F → ' t N → t
Consequentemente, temos:
a → T t = F → ' t . F → ' ' t F → ' t T → t e a → N t = F → ' t x F → ' ' t F → ' t N → t
TEORIA NA PRÁTICA
Um objeto se desloca em uma trajetória definida pela função F → t = 4 t 2 , 4 t 2 , 4 t 3 ,
com t ≥ 0. Determine o módulo da velocidade, da aceleração tangencial e da aceleração
normal para o instante de t = 1.
FUNÇÃO VETORIAL – MOVIMENTO NO
ESPAÇO
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO A CURVA C IMAGEM DA FUNÇÃO
G→P=X=P2+2Y=PZ=1-P3,P REAL, ASSINALE A ALTERNATIVA QUE
APRESENTA UM VETOR PARALELO AO VETOR TANGENTE À CURVA C
NO PONTO (3,1,0):
A) 1, 3, 5
B) 4, 2, – 6
C) 1 , 2, 6
D) 2, 0, – 3
2. CONSIDERANDO A CURVA DEFINIDA PELA FUNÇÃO
G→T=X=2COST+2Y=2TZ=3-2SEN T,T∈0,2Π, ASSINALE A ALTERNATIVA
QUE APRESENTA O VERSOR NORMAL PRINCIPAL NO PONTO T = Π3:
A) 32,0,12
B) 12,1,22
C) -12,0,32
D) 12,0,-32
3. CONSIDERANDO A CURVA DEFINIDA PELA FUNÇÃO
H→T=X=4Y=3 SEN T+3Z=3-3COS T, T∈0,2Π, ASSINALE A ALTERNATIVA
QUE APRESENTA O VETOR BINORMAL PRINCIPAL NO PONTO T = Π6:
A) B→t=0, 12 ,32
B) B→t=1 , 0 ,1
C) B→t=1 , 0 ,0
D) B→t=12 , 32 ,0
4. A RETA R É TANGENTE À CURVA, DEFINIDA PELA FUNÇÃO VETORIAL
F→U=SEN U,3+3TGU,2U, PARA O PONTO U = Π. O PONTO DA RETA R
QUE TEM ORDENADA NULA É:
A) 1 , 0 , π
B) -1 , 0 , 2π
C) 1 , 0 , 2π-2
D) 2 , 0 , π-2
5. O RAIO DE CURVATURA DA IMAGEM DA FUNÇÃO F→T=2T ,ET, E-T,
PARA T = 0, É:
A) 2
B) 32
C) 42
D) 22
6. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A PARAMETRIZAÇÃO
DA CURVA GERADA PELA FUNÇÃO F→U=4 SEN U , -4COS U , 3U POR
MEIO DE SEU COMPRIMENTO DE ARCO:
A) F→s=4 sen s , -4cos s , 3s
B) F→(s)=〈4 sen s5 , -4 cos s5, 35s〉
C) F→s=4 cos s5 , 4 sen s5, 35s
D) F→s= sen s5 , - cos s5, 3s
GABARITO
1. Considerando a curva C imagem da função G→p=x=p2+2y=pz=1-p3,p real, assinale a
alternativa que apresenta um vetor paralelo ao vetor tangente à curva C no ponto (3,1,0):
A alternativa "B " está correta.
O vetor tangente à função G→p será o vetor: G'→p=(p2+2)',(p)',(1-p3)'=2p,1,-3p2
O ponto (3,1,0) pertence à curva. Necessitamos obter o valor do parâmetro p para obter
esse ponto.
Vamos aos cálculos:
{x=p2+2=3→p=±1y=p=1→p=1z=1-p3=0→p=1
Assim, o valor do parâmetro será p = 1
O vetor tangente à curva C no ponto onde p = 1 será G→'(1) = 〈2.1, 1 , -3.12〉=〈2,1,-3〉
Portanto, todo vetor do tipo 2,1, -3k , k real→2k,k,-3k
Analisando as alternativas, apenas a letra B tem um vetor deste tipo, que é obtido para k
= 2
Dessa forma, o vetor 〈4,2,– 6〉 é paralelo ao vetor tangente no ponto (3,1,0)
2. Considerando a curva definida pela função G→t=x=2cos t+2y=2tz=3-2sen t,t∈0,2π,
assinale a alternativa que apresenta o versor normal principal no ponto t = π3:
A alternativa "C " está correta.
O vetor tangente à função G→t será o vetor: G→'t = 〈(2cos t+2)',(2t)',(3-2sen t)'〉
G→'t=〈-2 sen t, 2, -2cos t〉=
G→'t=-2 sen t2+22+-2cos t2=4+4sen2t+4cos2t=8
T→t=G→'tG→'t=18-2 sen t, 2, -2cos t=-12 sen t, 12, -12cos t
T→t=-22 sen t, 22, -22cos t
Portanto, obtemos:
T→'t=-22 sen t', 22', -22cos t'=-22cos t,0, 22sen t
T→'t=-22cos t2+02+22sen t2=12cos2t+12sen2t=12=22
Assim,
N→t=T→'tT→'t=12/2-22cos t,0, 22sen t=-cos t,0, sen t
N→π3=-cos π3,0, sen π3=-12,0,32
3. Considerando a curva definida pela função H→t=x=4y=3 sen t+3z=3-3cos t, t∈0,2π,
assinale a alternativa que apresenta o vetor binormal principal no ponto t = π6:
A alternativa "C " está correta.
4. A reta r é tangente à curva, definida pela função vetorial F→u=sen u,3+3tgu,2u, para o
ponto u = π. O ponto da reta r que tem ordenada nula é:
A alternativa "C " está correta.
Vamos obter a derivada da função vetorial:
F'→u=sen u', 3+3 tg u ', 2u'=cos u , 3sec2u , 2
Agora, vamos obter a equação da reta tangente a curva:
✓ Ponto de tangência: F→π=sen π, 3+3tg π,2u=0, 3, 2π
✓ Vetor diretor: F→'π=cos π, 3sec2π , 2=-1, 3 , 2
Assim, a equação da reta será:
r→t=F→u0+λF→'u0, λ real
r→λ=0, 3,2π + λ -1, 3 , 2 → r→λ=x=λ(-1)y=3+λ 3z=2π+λ 2, λ real
Para y = 0 → 3 + 3λ = 0 → λ = – 1. Logo, temos:
r→(-1)={x=--1=1y=3- 3=0z=2π-2
Portanto, o ponto será: (1 ,0 ,2π-2)
5. O raio de curvatura da imagem da função F→t=2t ,et, e-t, para t = 0, é:
A alternativa "D " está correta.
kt= F→'t x F→''tF→'t3
F→'t=2t,, et,, e-t,=2,et,-e-t
F→'t=22+et2+e-t2=2+e2t+1e2t
F→'t=e4t+2e2t+1e2t=e2t+12e2t=e2t+1et
F→''t=2,, et,, -e-t,=0,et,e-t 
F→'t x F→''t=x^y^z^2et-e-t0ete-t =x^+2 et z^-2 e-t y^+x^=2x^-2 e-t y^+2 et z^
F→'t x F→''t=22+-2 e-t2+2 et2=4+2 e2t+2e2t
F→'t x F→''t=4e2t+2e4t+2e2t=2e2t+12e2t=2e2t+1et
Assim,
kt= F→'t x F→''tF→'t3=2e2t+1ete2t+1et3=2e2te2t+12
k0=2e0e0+12=24→ρ0=42=22
6. Assinale a alternativa que apresenta a parametrização da curva gerada pela função
F→u=4 sen u , -4cos u , 3u por meio de seu comprimento de arco:
A alternativa "B " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A FUNÇÃO H→U=- 4COS U , 8, 4 SEN U, DEFINIDA PARA
U∈0,2Π. QUAL É O VERSOR NORMAL PRINCIPAL À CURVA PARA U =Π6?
A) -12,0, 32
B) 12,0, -32
C) 32,0, -12
D) -32,0, 12
2. CONSIDERE A FUNÇÃO F→T=2T , COS 2T, SEN 2T, DEFINIDA PARA
T∈0,Π. QUAL É A CURVATURA DA CURVA?
A) t2
B) t
C) 2
D) 12
GABARITO
1. Considere a função H→u=- 4cos u , 8, 4 sen u, definida para u∈0,2π. Qual é o versor
normal principal à curva para u =π6?
A alternativa "C " está correta.
 
H→'u=(- 4cos u)', 8',4 sen u'=4 sen u, 0, 4cos u 
Como calculado nos exemplos anteriores:
H'→u=16cos2u+0+16sen2u=4
Assim:
T→u=H→'tH→'t= sen u , 0,cos u
T→'u=( sen u)', (0)' , (cos u)'=cos u , 0, -sen u
T→'u=(cos u)2+0+(-sen u)2=1
Portanto, o vetor unitário principal será: N→u=T→'uT→'u=T→'u1=cos u , 0, -sen u
Para u = π6→N→u=cos π6 , 0, -sen π6 =32,0, -12
2. Considere a função F→t=2t , cos 2t, sen 2t, definida para t∈0,π. Qual é a curvatura da
curva?
A alternativa "D " está correta.
 
kt= F→'t x F→''tF→'t3
F→'t=2t', cos 2t', sen 2t'=2,-2 sen 2t,2cos 2t
F→'t=22+-2 sen 2t2+2cos 2t2=4+4sen22t+4cos22t=4+4=22
F→''t=2', -2 sen 2t', 2cos 2t'=0,-4cos 2t,-4 sen 2t
F→'t x F→''t=x^y^z^2-2 sen 2t2cos 2t0-4cos 2t-4 sen 2t 
F→'t x F→''t=8 sen22t x^-8cos 2t z^+8 cos22t x^+8 sen 2t y^
F→'t x F→''t=8 x^+8 sen 2t y^-8cos 2t z^ 
F→'t x F→''t=82+8 sen 2t2+-8cos 2t2=64+64sen22t+64cos22ts
=64+64=82
Assim,
kt= F→'t x F→''tF→'t3=82223=12
MÓDULO 4
 Aplicar o sistema de coordenadas polares ao estudo das curvas polares
INTRODUÇÃO
Já estudamos o sistema cartesiano, no qual o ponto é definido pelas coordenadas (x, y).
Este módulo apresentará o sistema polar e sua aplicação ao estudo de comprimento e
de área de curvas planas polares.
COORDENADAS E CURVAS POLARES
Um sistema de coordenadas é um sistema de referência para que possamos identificar a
posição de um ponto no plano ou no espaço por meio da definição de suas
coordenadas.
Até aqui, trabalhamos com coordenadas cartesianas no R2, em que as coordenadas de
um ponto eram definidas por meio de (x, y), que eram, respectivamente, as distâncias do
ponto ao eixo y e ao eixo x.
Outro sistema que pode ser utilizado para as curvas no plano é o sistema de
coordenadas polares. Para defini-lo, precisaremos de um ponto (origem) e de uma
semirreta que parta dessa origem, denominada eixo polar.
Usando os eixos cartesianos x e y, colocamos a origem do sistema polar na origem do
sistema cartesiano, isto é, no ponto O, que é a interseção dos dois eixos. O eixo polar
será o eixo positivo do eixo x.
As coordenadas polares de um ponto serão:
A distância do ponto à origem do sistema polar, representada por ρ.
O ângulo que a reta OP faz com o eixo polar, representada por θ, medido no sentido
anti-horário.
Dessa forma, o ponto P em coordenadas polares será representado por P(ρ, θ), como
mostra o gráfico:
 
Fonte: Autor
 Figura 5: Coordenadas polares
Como ρ é uma distância, ele será um número real não negativo, porém, no sistema polar,
também se trabalha com ρ < 0. O ponto Q (-ρ , θ) será o ponto simétrico ao ponto P (ρ, θ).
O ponto Q também poderia ser representado por Q (ρ, θ + π).
Consideraremos θ negativo se ele for medido no sentido horário. Assim, o ponto R(ρ, - θ)
poderia ser representado no plano por R(ρ,2π– θ), como mostra o gráfico:
 
Fonte: Autor
 Figura 6: Representação dos pontos em coordenadas polares
Conforme observamos, diferentemente do sistema cartesiano, onde cada ponto tem
apenas uma representação, o mesmo ponto pode ser representado de diversas formas
no sistema de coordenada polar.
RELAÇÃO ENTRE SISTEMA POLAR E
CARTESIANO
Pode ser obtida uma relação entre as coordenadas cartesianas de um ponto P(x,y) e
suas coordenadas polares P(ρ,θ). Veja:
 
Fonte: Autor
 Figura 7: Relação entre sistema cartesiano e polar
Analisando o gráfico, temos:
x = ρ c o s θ y = ρ s e n θ
Além disso,
ρ = x2 + y 2 t g θ = y x
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Determine as coordenadas cartesianas do ponto P, que tem coordenadas
polares (1 , π 6 ).
SOLUÇÃO
x = ρ c o s θ = 1 c o s π 6 = 3 2
y = ρ s e n θ = 1 s e n π 6 = 1 2
Assim, o ponto P terá coordenadas cartesianas 3 2 , 1 2
 EXEMPLO
javascript:void(0)
Exemplo 2 - Determine as coordenadas polares do ponto P, que tem coordenadas
cartesianas (2, – 2).
SOLUÇÃO
ρ = x 2 + y 2 = 2 2 + 2 2 = 2 2
t g θ = y x = - 2 2 = - 1 → θ = 3 π 4 o u θ = 7 π 4 
Repare que o ponto P está no quarto quadrante (x positivo e y negativo). Assim,
chegamos ao valor do θ = 7 π 4
Dessa forma, P ρ , θ = 2 2 , 7 π 4
Uma questão importante: também poderia ter sido escolhida a coordenada P ρ , θ = 2 2 ,
- π 4
CURVAS POLARES
As curvas no plano R2, que podem ter seu gráfico definido por uma equação cartesiana,
também são representadas por uma equação polar do tipo ρ = f (θ). Com essa
representação, tais curvas são denominadas curvas polares.
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considere a curva planar com imagem dada pela função vetorial F → t = 2
cos t , 2 s e n t e determine a equação polar para essa curva.
SOLUÇÃO
Se observarmos a equação cartesiana da curva, veremos que:
x = 2 cos t y = 2 s e n t → x 2 + y 2 = 4
Isso representa uma circunferência de centro em (0,0) e raio 2.
Vamos obter, agora, a equação polar:
x 2 + y 2 = 4 = ( ρ c o s θ ) 2 + ( ρ s e n θ ) 2 = ρ 2 → ρ = 2
Portanto, a equação polar será ρ = 2
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Determine a equação cartesiana da figura no plano cuja equação polar é
dada por ρ = 4 cos θ
SOLUÇÃO
x = ρ cos θ → c o s θ = x ρ
Assim,
ρ = 4 cos θ = 4 x ρ → ρ 2 = 4 x
Porém,
ρ 2 = x 2 + y 2 . Então: ρ 2 = x 2 + y 2 = 4 x
x 2 + y 2 = 4 x → x 2 - 4 x + y 2 = 0
Completando os quadrados, temos:
x 2 - 2.2 x + 4 + y 2 = 4 → x - 2 2 + y 2 = 4
Isso representa uma circunferência de centro (2,0) e raio 4 = 2
Para obtermos a reta tangente a uma curva polar com equação ρ = f(θ), teremos de
considerar θ como um parâmetro. Assim:
x = ρ c o s θ = f θ cos θ y = ρ s e n θ = f θ sen θ
O valor do coeficiente angular da reta tangente à curva será dado por d y d x
Logo,
d y d x = d y d θ d x d θ = f ' θ s e n θ + f θ cos θ f ' θ c o s θ - f θ sen θ
Se d y d θ = 0 , com d x d θ ≠ 0 , a reta terá d y d x = 0 , sendo uma reta horizontal.
Se d x d θ = 0 , com d y d θ ≠ 0 , a reta não terá d y d x , sendo uma reta vertical.
 EXEMPLO
Exemplo 3 - Obtenha a equação da reta tangente à curva polar de equação ρ = 2 + sem θ,
no ponto que θ = π
javascript:void(0)
SOLUÇÃO
Vamos obter a inclinação da reta.
Se ρ = f(θ) = 2 + senθ → f’(θ) = cos θ:
m = d y d x = d y d θ d x d θ = f ' ( θ ) s e n θ + f ( θ ) cos θ f ' ( θ ) c o s θ - f ( θ ) sen 
θ = c o s θ s e n θ + ( 2 + sen θ ) cos θ c o s θ c o s θ - ( 2 + sen θ ) sen θ
Para θ = π , temos:
d y d x = = c o s π s e n π + ( 2 + sen π ) cos π c o s π c o s π - ( 2 + sen π ) sen
 π = ( 2 + 0 ) ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) = - 2
O ponto da curva será o ponto:
x = f θ cos θ = 2 + senθ c o s θ y = f θ sen θ = 2 + senθ senθ →
x = 2 + senπ c o s π = 2 + 0 - 1 = - 2 y = 2 + senπ senπ = 2 + 0 . 0 = 0
Consequentemente, em coordenadas cartesianas, a equação da reta de inclinação m = –
2, passando no ponto (-2,0), será:
y - y 0 = m x - x 0 → y = - 2 ( x - - 2 = - 2 ( x + 2 )
y = - 2 x - 4 → 2 x + y + 4 = 0
ÁREA E COMPRIMENTO DE UMA CURVA
POLAR
A área de uma curva polar, definida pela equação ρ=f(θ), compreendida entre dois
valores de θ, é obtida pela equação:
A = ∫ θ 0 θ 1 1 2 f ( θ ) 2 d θ
 SAIBA MAIS
Esta fórmula não será demonstrada neste módulo, pois se baseia na divisão da figura
em setores circulares infinitesimal e monta um somatório semelhante à soma de
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Riemann. Caso seja de seu interesse, a demonstração pode ser estudada nos livros que
constam na lista de referências ao final deste tema.
SOMA DE RIEMANN
∫ a b f ( x ) d x = lim ∆ u m a x → 0 ∑ i = 1 n f ( p i ) ∆ u i
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Determine a área da figura definida pela equação ρ=2 sen2θ para o intervalo
- π 4 < θ < π 4
SOLUÇÃO
A = ∫ θ 0 θ 1 1 2 f ( θ ) 2 d θ = ∫ - π 4 π 4 1 2 2 s e n 2 θ 2 d θ = 2 ∫ - π 4 π 4 s e n 2 2 θ d θ
Para resolver esta integral, necessitamos usar a relação trigonométrica:
cos 2 α = c o s 2 α - s e n 2 α = 1 - 2 s e n 2 α = 2 c o s 2 α - 1
s e n 2 α = 1 2 - 1 2 cos 2 α e c o s 2 α = 1 2 cos 2 α + 1 2
Portanto: s e n 2 2 θ = 1 2 - 1 2 cos 4 θ
A = 2 ∫ - π 4 π 4 s e n 2 2 θ d θ = 2 ∫ - π 4 π 4 ( 1 2 - 1 2 cos 4 θ ) d θ = ∫ - π 4 π 4 d θ - ∫ - π
4 π 4 cos 4 θ d θ
A = θ | - π 4 π 4 - 1 4 s e n 4 θ | - π 4 π 4 = ( π 4 - - π 4 ) - 1 4 ( s e n π - s e n - π ) = π 2
Em relação ao comprimento da curva dada por uma equação polar, utilizaremos a
mesma equação já apresentada em módulos anteriores:
L ( t ) = ∫ a b d d t x ( t ) 2 + d d t y ( t ) 2 d t 
Acontece que, para as curvas polares, o parâmetro será o ângulo θ.
Assim,
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L ( θ ) = ∫ θ 0 θ 1 ( d d θ x θ ) 2 + ( d d θ y θ ) 2 d θ = ∫ θ 0 θ 1 ( d d θ ( f θ c o s θ ) ) 2 + ( d d θ
( f θ s e n θ ) ) 2 d θ
Mas:
( d d θ ( f θ c o s θ ) ) 2 + ( d d θ ( f θ s e n θ ) ) 2 = ( f ' ( θ ) c o s θ - f ( θ ) s e n θ ) 2 + ( f ' ( θ
) s e n θ + f ( θ ) c o s θ ) 2
= ( f ' θ ) 2 c o s 2 θ - 2 f ' θ f θ c o s θ s e n θ + f ' θ 2 s e n 2 θ + f θ 2 c o s 2 θ + 2 f ' θ f θ c
o s θ s e n θ + f θ 2 s e n 2 θ = f ' θ 2 + ( f θ ) 2
Então,
L θ = ∫ θ 0 θ 1 f ' θ 2 + ( f θ ) 2 d θ
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Determine o comprimento da curva definida pela equação ρ=2senθ entre os
pontos θ = - π 4 e θ = π 4
SOLUÇÃO
Se f θ = ρ = 2 s e n θ → f ' θ = 2 c o s θ
Portanto,
L ( θ ) = ∫ - π 4 π 4 ( 2 s e n θ ) 2 + ( 2 c o s θ ) 2 d θ = ∫ - π 4 π 4 2 d θ = 2 ( π 4 - - π 4
) = 2 π 2 = π
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TEORIA NA PRÁTICA
Uma rosácea de 4 pétalas é definida por curva polar de equação ρ = 10 c o s 2 θ , com ρ
em metros e θ em radianos. Um artista plástico deseja pintar essa curva em uma parede
e necessita saber quantos metros quadrados de tinta será necessário para isso.
Determine a área coberta pela figura para ajudar o levantamento do artista plástico.
ÁREA DE CURVA POLAR
MÃO NA MASSA
1. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE DEMONSTRA UMA POSSÍVEL
REPRESENTAÇÃO EM COORDENADAS POLARES (Ρ,Θ) PARA O PONTO
QUE APRESENTA (-3 , 33) EM COORDENADAS CARTESIANAS:
A) 2,5π3 
B) 6,-π3 
C) 2,π3 
D) 6,5π3 
2. CONSIDERE A CURVA COM IMAGEM DADA PELA EQUAÇÃO
CARTESIANA X2+(Y-4)2=16, QUE É UMA CIRCUNFERÊNCIA CENTRADA
EM (0,4) E COM RAIO 4. QUAL É A EQUAÇÃO POLAR PARA A CURVA?
A) ρ=2 cosθ
B) ρ=8
C) ρ=8 senθ
D) ρ=senθ+cosθ
3. QUAL É A EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE À CURVA POLAR DE
EQUAÇÃO Ρ = 1 – COS Θ NO PONTO EM QUE Θ=Π2?
A) x+2y-1=0
B) x-y+1=0
C) x+y-1=0
D) x-y-1=0
4. QUAL É O COMPRIMENTO DA CURVA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO
POLAR Ρ=E-Θ ENTRE OS PONTOS Θ=0 E Θ=Π?
A) (1-eπ)
B) 2(1-e-π)
C) (1+e-π)
D) 2(1+eπ)
5. QUAL É A ÁREA DA FIGURA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO Ρ=3-SENΘ
PARA O INTERVALO 0<Θ<Π?
A) 19π4+4
B) π4-1
C) 9π4+5
D) 19π4-6
6. O COMPRIMENTO DA CURVA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO POLAR Ρ=Θ
ENTRE OS PONTOS Θ=0 E Θ=2Π VALE:
A) 2π4π2+1-ln(2π+4π2+1)
B) π4π2+1+ln(2π-4π2+1)
C) π4π2+1+12ln(2π+4π2+1)
D) 2ππ2+1-12ln(2π+4π2+1)
GABARITO
1. Assinale a alternativa que demonstra uma possível representação em coordenadas
polares (ρ,θ) para o ponto que apresenta (-3 , 33) em coordenadas cartesianas:
A alternativa "D " está correta.
ρ=x2+y2=(-3)2+(33)2=6tg θ=yx=-333=-3
Como x é negativo e y é positivo, o ponto está no segundo quadrante e:
θ=arctg-3=π-π3=5π3
Portanto, o ponto ρ,θ=6,5π3
2. Considere a curva com imagem dada pela equação cartesiana x2+(y-4)2=16, que é uma
circunferência centrada em (0,4) e com raio 4. Qual é a equação polar para a curva?
A alternativa "C " está correta.
Sabemosque {x=ρ cos θy=ρ sen θ 
Como x2+(y-4)2=16→x2+y2-8y+16-16=0→x2+y2-8y=0
Então, (x2+y2)-8y=0→ρ2-8ρ senθ=0→ρ=8 senθ
3. Qual é a equação da reta tangente à curva polar de equação ρ = 1 – cos θ no ponto em
que θ=π2?
A alternativa "C " está correta.
4. Qual é o comprimento da curva definida pela equação polar ρ=e-θ entre os pontos θ=0
e θ=π?
A alternativa "B " está correta.
Se fθ=ρ=e-θ→f'θ=-e-θ:
Sabemos que L(θ)=∫θ0θ1(f'θ)2+(f(θ))2dθ
Assim,
Lθ=∫0πe-θ2+(-e-θ)2dθ=∫0π2e-2θdθ=∫0π2 e-θdθ=-2e-θ0π=21-e-π
5. Qual é a área da figura definida pela equação ρ=3-senθ para o intervalo 0<θ<π?
A alternativa "D " está correta.
A=∫θ0θ112f(θ)2dθ=∫0π123- senθ2dθ=∫0π129-6senθ+sen2θ dθ
A=∫0π92dθ-∫0π3 senθdθ+∫0π12 sen2θ dθ
Para resolver esta integral, necessitamos usar a relação trigonométrica:
sen2α=12-12cos 2α
Portanto, sen2θ=12-12cos 2θ
A=∫0π92dθ-∫0π3 senθdθ+∫0π12 (12-12cos 2θ) dθ
A=92θ|0π + 3cosθ|0π+14θ|0π-18sen2θ|0π=9π2-0+(-3)-3+π4-0-0+0=19π4-6
6. O comprimento da curva definida pela equação polar ρ=θ entre os pontos θ=0 e θ=2π
vale:
A alternativa "C " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A CURVA COM TRAJETÓRIA ELÍPTICA DEFINIDA PELA
EQUAÇÃO 4X2+Y2=1. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A
EQUAÇÃO POLAR PARA ESSA CURVA:
A) ρ=11+3cos2θ
B) ρ=11+cos2θ
C) ρ=11+3senθ
D) ρ=11+3sen2θ
2. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O COMPRIMENTO DA
CURVA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO POLAR Ρ=SEC Θ ENTRE OS PONTOS
Θ=0 E Θ=Π6
A) 3
B) 33
C) 23
D) 1
GABARITO
1. Considere a curva com trajetória elíptica definida pela equação 4x2+y2=1. Assinale a
alternativa que apresenta a equação polar para essa curva:
A alternativa "A " está correta.
 
Sabemos que {x=ρ cos θy=ρ sen θ 
Como 4x2+y2=1→(x2+y2)+3x2=1:
ρ2+3ρ cosθ2=1→ρ2(1+3cos2θ)=1→ρ2=11+3cos2θ→ρ=11+3cos2θ
2. Assinale a alternativa que apresenta o comprimento da curva definida pela equação
polar ρ=sec θ entre os pontos θ=0 e θ=π6
A alternativa "B " está correta.
 
Se fθ=ρ=secθ→f'θ=secθtgθ
Sabemos que: L(θ)=∫θ0θ1(f'θ)2+(f(θ))2dθ
Assim,
L(θ)=∫0π6(sec θ)2+(sec θtg θ)2dθ=∫0π6sec2θ(1+tg2θ) dθ
L(θ)=∫0π6sec2θ sec2θ dθ=∫0π6sec2θ dθ=tg θ|0π6=tgπ6-tg0=33
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou e aplicou o conceito de função vetorial e de coordenadas polares.
No primeiro módulo, definimos a função vetorial, que apresenta como domínio um
número real, porém, como imagem, um vetor que pertence ao Rn. Também
apresentamos as operações básicas das funções vetoriais.
No segundo e no terceiro módulos, definimos as operações de limite, derivada e integral
para uma função vetorial e suas aplicações ao estudo de curvas planas e espaciais, bem
como no movimento de um objeto.
Por fim, no quarto módulo, apresentamos o sistema de coordenadas polares, que pode
ser utilizado para representar curvas planas e determinar o comprimento de seus arcos
e suas áreas.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo. 1. ed. Barcelona: Editorial Reverte SA, 1985. v. 1, cap. 14, p.
597-640.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. v. 1, cap. 13, p. 422-432.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. v. 2, cap. 7, p. 104-132.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. v. 2, cap. 10, p. 665-
679; cap. 13, p. 847-883.
EXPLORE+
Pesquise mais sobre funções vetoriais na internet e nas referências bibliográficas.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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